ecuatii - ad.ro II - Ecuatii cu derivate partiale _P.pdf · 2 3. -- Se da ecuatia cvasiliniara cu...

1

ecuatii

MULTIPLE CHOICE

1. --

Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2

Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este

a. c.

b. d.

2. --



a. c.

b. d.

B

A

2

3. --



a. c.

b. d.

4. --



a. c.

b. d.

5. --



a. c.

b. d.

A

A

A

3

6. --

Se da ecuatia diferentiala

Sa se identifice intre ecuatiile cu derivatele partiale de mai jos acea ecuatie care admite ecuatia de mai sus ca ecuatie a caracteristicilor:

a.

b.

c.

d.

7. --

Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 pe un

domeniu este

. Atunci daca pe D ecuatia de mai sus este de tip

a. hiperbolic c. eliptic

b. parabolic d. nu putem decide tipul ecuatiei

A

A

4

8. --


domeniu este



b. parabolic d. nu putem decide tipul ecuatiei

9. --


domeniu este



b. parabolic d. criteriul nu decide tipul ecuatiei

10. --

Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu . Ecuatia

caracteristicilor asociata acestei ecuatii este

sinx⋅ y' 2 − 2cosx⋅ y'− sinx = 0

. Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip


b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus

B

C

A

5

11. --

Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe . Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este

. Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip



12. --

Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii

y' 2 − cosx ⋅ y'+ 3 = 0

Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip



13. --

Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii

y' 2 − 2cosx ⋅ y'+ 4 = 0

Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip



A

C

C

6

14. --

Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu cu ecuatie

a caracteristicilor asociata

. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca , cu

functii reale si distincte in fiecare punct .

Atunci pe D ecuatia de mai sus este de tip



15. --



. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca cu functie reala in

fiecare punct .




A

B

7

16. --



. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca , cu

functii complex conjugate asa ca in fiecare punct , nu

este reala.




17. --

acestei ecuatii

. cu .

Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale

a. c.

b. d.

Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata

C

D

8

18. --

Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii

. cu .


a. c.

b. d.

19. --

Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii

. cu .

Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale.

a. c.

b. d.

C

C

9

20. --

Forma canonica a unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 de tip hiperbolic este

a.

b.

c.

d.

21. --

Forma canonica a unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 de tip parabolic este

a.

b.

c.

d.

A

B

10

22. --

Forma canonica a unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 de tip eliptic este

a.

b.

c.

d.

23. --

Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti de tip hiperbolic. este

a. c.

b. d.

24. --

Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti de tip parabolic. este

a. c.

b. d.

D

A

C

11

25. --

Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti de tip eliptic. este

a. c.

b. d.

26. --

Forma canonica a ecuatiei

este

a. c.

b. d.

D

A

12

27. --


este

a. c.

b. d.

28. --


este

a. c.

b. d.

D

C

13

29. --


este

a. c.

b. d.

30. --

Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este

Atunci ecuatia este de tip



31. --





D

A

B

14

32. --





C

15

33. --

Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti . este

De aici rezulta ca

a.

unde f este functie de clasa .

b.

unde f,g sunt functii de clasa .

c.


d.


e. Niciuna din variantele de mai sus

E

16

34. --

Ecuatia

unde c>0 este o constanta , reprezinta

a. ecuatia propagarii caldurii

b. problema Dirichlet pentru disc

c. ecuatia coardei vibrante in absenta fortelor perturbatoare

d. ecuatia neomogena a coardei vibrante


35. --

Ecuatia

reprezinta o forma particulara a

a. ecuatiei propagarii caldurii

b. problemei Dirichlet pentru disc

c. ecuatiei coardei vibrante in absenta fortelor perturbatoare

d. ecuatiei neomemogene a coardei vibrante


C

C

17

36. --

Se considera ecuatia

pentru si .

O conditie de tipul pentru orice reprezinta

a. O conditie la limita c. Niciuna din variantele de mai sus

b. O conditie initiala

37. --

Se considera ecuatia

pentru si .

O conditie de tipul , pentru reprezinta

a. O conditie la limita c. Niciuna din variantele de mai sus

b. O conditie initiala

38. --

Forma canonica a ecuatiei coardei vibrante fara forte perturbatoare este

a. c.

b. d.

A

B

A

18

39. --

Pentru ecuatia coardei vibrante fara forte perturbatoare conditiile

sunt

a. conditii initiale c. conditii necesare

b. conditii la limita d. niciuna din variantele de mai sus

40. --

Consideram ecuatia coardei vibrante fara forte perturbatoare cu conditiile initiale

si conditiile la limita

si incercam sa o rezolvam cu metoda separarii variabilelor. La primul pas cautam o solutie particulara a ecuatiei initiale de forma

a. c.

b. d.

A

A

19

41. --

Consideram urmatoarea ecuatie

(8)

a>0. Aceasta este

a. ecuatia omogena a coardei vibrantec. ecuatia propagarii caldurii

b. ecuatia neomogena a coardei vibranted. ecuatia lui Laplace

42. --


(9)

a>0. Aceasta este o ecuatie de tip


b. parabolic d. niciuna din variantele de mai sus.

C

B

20

43. --

Consideram ecuatia propagarii caldurii

cu conditia initiala

si conditiile pe frontiera


a. c.

b. d.

44. --


(11)

Aceasta este

a. ecuatia omogena a coardei vibrantec. ecuatia caldurii

b. ecuatia neomogena a coardei vibranted. ecuatia lui Laplace

A

D

21

45. --


(12)

Aceasta este o ecuatie de tip


b. parabolic d. nicuna din variantele de mai sus

46. --

Pentru rezolvarea problemei Dirichlet pentru disc

a. se trece la coordonate polare dupa care se aplica metoda separarii variabilelor

b. se aplica metoda separarii variabilelor dupa care se trece la coordonate polare

c. se reduce problema Dirichlet la forma canonica utilizandu-se metoda caracteristicilor

d. niciuna din variantele de mai sus

47.

1. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabila :

a. ξ=y+x; η =2x c. ξ=y+x; η =x

b. ξ=y-x; η =2x d. ξ=y+x; η =2xy

C

A

B

22

TRUE/FALSE

1. --

Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti are forma

unde a,b,c sunt niste numere reale constante.

2. Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2


F

F

1

Ecuatii cu derivate partiale

MULTIPLE CHOICE

1. Să se rezolve problema Cauchy pentru ecuaŃia:

2 2

2 20

u u

t x

∂ ∂− =∂ ∂

cu condiŃiile ini Ńiale:

20 0, 0t t

uu x

t= =∂= =∂

a. ( ) 2 2,u x t t x= +b. ( ) 2 2,u x t t x= −

c. ( ) ( ) ( ) ( )1, ,

2u x t x t x tϕ ϕ ϕ= − + + ⋅ - funcŃie arbitrară.

d. ( ) ( ) ( ) ( )1, ,

2u x t x t x tϕ ϕ ϕ= − − + ⋅ - funcŃie arbitrară.

2. DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:

2 2

2 2

0 0

4 0

0, t t

u u

t xu

u xt= =

∂ ∂− = ∂ ∂ ∂ = = ∂

a. ( ) ( ) ( ) ( )1, 2 2 ,

4u x t x t x tϕ ϕ ϕ= − + + ⋅ - funcŃie arbitrară.

b. ( ),u x t xt=

c. ( ) ( )2 2,u x t x tϕ= + , ( )ϕ ⋅ - funcŃie arbitrară.

d. ( ) 2 2,u x t t x= +

3. DeterminaŃi forma unei coarde la momentul 2

ta

π= dacă mişcarea ei este definită de ecuaŃia:

2 22

2 2

u ua

t x

∂ ∂−∂ ∂

şi de condiŃiile iniŃiale 0 0sin , 1t t

uu x

t= =∂= =∂

.

a. ( ), sin cosu x t ax t t= +b. ( ), sin cosu x t x t t= +

c. ( ),2

u x ta

π=

d. ( ) 1, sin cos

2u x t x at

a=

A

B

C

2


2 2

2 2

0 0

0

, t t

u u

t xu

u x xt= =

∂ ∂− = ∂ ∂ ∂ = = − ∂

a. ( ) ( ), 1u x t t x= −b. ( ) ( ), 1u x t x t= −c. ( ),u x t tx=d. ( ) ( ), 1u x t x t= −


2 22

2 2

0 0

0

0, cost t

u ua

t xu

u xt= =

∂ ∂− = ∂ ∂ ∂ = = ∂

a. ( ) 1, cos sinu x t x at

a=

b. ( ) 1, sin cosu x t x at

a=

c. ( ) 1, sin cosu x t x x

a=

d. ( ) 1, cos sinu x t at x

a=

6. Să se găsească forma unei coarde la momentul t π= dacă mişcarea sa este definită de ecuaŃia:

2 2

2 2

0 0

0

sin , cost t

u u

t xu

u x xt= =

∂ ∂− = ∂ ∂ ∂ = = ∂

a. cosu x=b. sinu x= −c. cosu x= −d. sinu x=

D

A

B

3

7. Să se aducă la forma canonică indicând transformările de variabile:2 2 2

2 22 3 2 6 0.

u u u u u

x x y y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a.2 1

0 , , 32

u ux y x yξ η

ξ η ξ∂ ∂+ = = + = −

∂ ∂ ∂

b.2 1

0 , , 32

u ux y x yξ η

ξ η ξ∂ ∂− = = + = −

∂ ∂ ∂

c.2 1

0 , , 32

u ux y x yξ η

ξ η ξ∂ ∂+ = = − = +

∂ ∂ ∂

d.2 1

0 , , 32

u ux y x yξ η

ξ η ξ∂ ∂− = = + = +

∂ ∂ ∂

8. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:

2 2 2

2 24 5 2 0

u u u u u

x x y y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a.2 2

2 20 , 2 ,

u u ux y xξ η

ξ η η∂ ∂ ∂+ + = = + = −∂ ∂ ∂

b.2 2

2 20 , 2 ,

u u ux y xξ η

ξ η η∂ ∂ ∂+ + = = − =∂ ∂ ∂

c.2 2

2 20 , 2 ,

u u ux y xξ η

ξ η η∂ ∂ ∂− + = = − =∂ ∂ ∂

d.2 2

2 20 , 2 ,

u u ux y xξ η

ξ η η∂ ∂ ∂+ − = = − =∂ ∂ ∂


2 2 2

2 22 0.

u u u u ucu

x x y y x yα β∂ ∂ ∂ ∂ ∂− + + + + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a. ( )2

2 0 , ,

u u ucu x y yα β β ξ η

η ξ η∂ ∂ ∂− + + + = = − =∂ ∂ ∂

b. ( )2

2 0 , ,


η ξ η∂ ∂ ∂+ − − + = = + =∂ ∂ ∂

c. ( )2

2 0 , ,


η ξ η∂ ∂ ∂+ + + + = = + =∂ ∂ ∂

d. ( )2

2 0 , ,


η ξ η∂ ∂ ∂+ + + + = = + =∂ ∂ ∂

A

B

C

4

10. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate

( )2 2 2

22 2

2cos 3 sin 0u u u u

x x yx x y y y

∂ ∂ ∂ ∂− − + − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a.2

0 , 2 sin , 2 -sin -16

u u ux x y x x y

η ξ ξ ηξ η ξ η

∂ − ∂ ∂+ − = = + + = ∂ ∂ ∂ ∂

b.2

0 , 2 sin , 2 -sin -16

u u ux x y x x y


∂ − ∂ ∂+ + = = + + = ∂ ∂ ∂ ∂

c.2

0 , 2 sin , 2 -sin -16

u u ux x y x x y


∂ − ∂ ∂+ − = = − + = ∂ ∂ ∂ ∂

d.2

0 , 2 sin , 2 -sin -32

u u ux x y x x y


∂ − ∂ ∂+ − = = + + = ∂ ∂ ∂ ∂

11. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate2 2 2

2 22 2

2 2 0.u u u u

y xy x yx x y y y

∂ ∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a.2 2

2 2 22 2

1 1 0 , ,

2

u u u ux y xξ η

ξ η ξ η ξ η η∂ ∂ ∂ ∂+ + ⋅ + ⋅ = = − =∂ ∂ − ∂ ∂

b.2 2

2 2 22 2

1 1 0 , ,

2

u u u ux y xξ η

ξ η ξ η ξ η η∂ ∂ ∂ ∂− + ⋅ + ⋅ = = − =∂ ∂ − ∂ ∂

c.2 2

2 2 22 2

1 1 0 , ,

2

u u u ux y xξ η

ξ η ξ η ξ η η∂ ∂ ∂ ∂+ − ⋅ + ⋅ = = + =∂ ∂ − ∂ ∂

d.2 2

2 2 22 2

1 1 0 , ,

u u u ux y xξ η

ξ η ξ η ξ η η∂ ∂ ∂ ∂+ + ⋅ + ⋅ = = + =∂ ∂ + ∂ ∂

12. Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:2 2 2

2 2 32 2

2 0.u u u u

tg x y tgx y tg xx x y y x

∂ ∂ ∂ ∂− + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a.2

20 , sin ,

u uy x y

ξ ξ ηη η ξ

∂ ∂− ⋅ = = =∂ ∂

b.2

2 2

20 , sin ,

u uy x y

ξ ξ ηη η ξ

∂ ∂− ⋅ = = =∂ ∂

c.2

20 , sin ,

u uy x y

ξ ξ ηη η ξ

∂ ∂+ ⋅ = = = −∂ ∂

d.2

20 , sin ,

u uy x y

ξ ξ ηη η ξ

∂ ∂+ ⋅ = = = −∂ ∂

D

A

B

5


2 2 2

22 2

12sin cos cos sin 2 0.

2

u u u u ux x x x

x x y y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a.2 1

cos 0 , cos , cos2 2

u ux y x x y x

ξ η ξ ηξ η η∂ + ∂− = = − + = − −

∂ ∂ ∂

b.2 1


u ux y x x y x

ξ η ξ ηξ η η∂ + ∂− = = − + = − −

∂ ∂ ∂

c.2 1


u ux y x x y x

ξ η ξ ηξ η η∂ + ∂+ = = + + = − −

∂ ∂ ∂

d.2 1


u ux y x x y x

ξ η ξ ηξ η η∂ − ∂+ = = + + = − −

∂ ∂ ∂


2 2 42 2

2 3 2 4 16 0.u u u u u

x xy y x y x ux x y y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − − + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a.2 1 1

0 , , 4 2

u u u xu x y

yξ η

ξ η η ξ ξ η∂ ∂ ∂+ ⋅ − + = = − =

∂ ∂ ∂ ∂

b.2 1 1

0 , , 4 2

u u u xu x y

yξ η

ξ η η ξ ξ η∂ ∂ ∂+ ⋅ − + = = + =

∂ ∂ ∂ ∂

c.2 1 1

0 , , 4

u u u xu xy

yξ η

ξ η η ξ ξ η∂ ∂ ∂− ⋅ + + = = =

∂ ∂ ∂ ∂

d.2 31 1

0 , , 4

u u u xu xy

yξ η

ξ η η ξ ξ η∂ ∂ ∂+ ⋅ − + = = =

∂ ∂ ∂ ∂


( ) ( )2 2

2 22 2

1 1 0.u u u u

x y x yx y x y

∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + =∂ ∂ ∂ ∂

a. ( ) ( )2 22 2

2 20 , ln 1 , ln 1

u ux x y yξ η

ξ η∂ ∂+ = = + + = + +∂ ∂

b. ( ) ( )2 22 2

2 20 , ln 1 , ln 1

u ux x y yξ η

ξ η∂ ∂− = = + + = + +∂ ∂

c. ( ) ( )2 22 2

2 20 , ln 1 , ln 3 1 9

u ux x y yξ η

ξ η∂ ∂+ = = + + = + +∂ ∂

d. ( ) ( )2 22 2

2 20 , ln 2 1 4 , ln 1

u ux x y yξ η

ξ η∂ ∂− = = + + = + +∂ ∂

C

D

A

6


2 22 2

sin 2 sin 0.u u u

x y x yx x y y

∂ ∂ ∂− + =∂ ∂ ∂ ∂

a.2

2 2 2

20 , ln ,

2

u u xy y

ξ ξ ηη ξ η ξ

∂ ∂− ⋅ = = =∂ + ∂

b.2

2 2 2

20 , ,

2

u u xytg y

ξ ξ ηη ξ η ξ

∂ ∂− ⋅ = = =∂ + ∂

c.2

2 2 2

20 , ,

u u xtg y

y

ξ ξ ηη ξ η ξ

∂ ∂+ ⋅ = = =∂ + ∂

d.2

2 2 2

20 , ,

2

u u yxtg y

ξ ξ ηη ξ η ξ

∂ ∂− ⋅ = = = −∂ + ∂


2 22 2

2 2 0.u u u u

cth x y cthx y yx x y x y

∂ ∂ ∂ ∂− + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a.2

2 2

10 , ,

1

u u uy chx shxξ η ξ η

η η ξ η ∂ ∂ ∂+ − = = = ∂ − ∂ ∂

b.2

2 2

10 , ,

1

u u uy shx chxξ η ξ η

η η ξ η ∂ ∂ ∂+ − = = = ∂ + ∂ ∂

c.2

2 2

10 , ,

1

u u uy chx shxξ η ξ η

η η ξ η ∂ ∂ ∂+ + = = = ∂ + ∂ ∂

d.2

2 2

10 , ,

1

u u uy chx yshxη ξ ξ η

η η ξ η ∂ ∂ ∂− + = = = ∂ + ∂ ∂

B

C

7

18. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi apoi să se aducă la forma canonică, precizând transformarea făcută:

2 2

2 20.

u uy

x y

∂ ∂+ =∂ ∂

a. ecuaŃia este de tip eliptic dacă 0y> ,iar, forma canonică este:

( )32 22

2 2

1 20 , , 0

3 3

u u ux y yξ η

ξ η η η∂ ∂ ∂+ + = = = >∂ ∂ ∂

b. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă 0y> , iar forma canonică este:

( )32 22

2 2

1 20 , , 0

3 3

u u ux y yξ η

ξ η η η∂ ∂ ∂− + = = = >∂ ∂ ∂

c. ecuaŃia este de tip hiperbolic pentru 0y< , iar forma canonică este:

( )( )

( )

32

2

32

21 30 , 0

26

3

x yu u u

y

x y

ξ

ξ η η ξ ξ η η

= − − ∂ ∂ ∂ + + = < ∂ ∂ − ∂ ∂ = + −

d. ecuaŃia este de tip eliptic pentru 0y< , iar forma canonică este:

( )( )

( )

32

2 2

2 2 32

21 30 , 0

26

3

x yu u u u

y

x y

ξ

ξ η η ξ ξ η η

= − − ∂ ∂ ∂ ∂ + + = < ∂ ∂ − ∂ ∂ = + −

19. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi apoi să se aducă la forma canonică, precizând transformarea făcută:

2 2

2 20 , unde constant

u u uy

x y yα α∂ ∂ ∂+ + = =

∂ ∂ ∂a. ecuaŃia este de tip eliptic dacă 0y< , iar forma canonică este:

( )2 2

2 2

2 10 , , 2 , 0

u u ux y y

α ξ ηξ η η η

∂ ∂ − ∂+ + = = = − <∂ ∂ ∂

b. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă 0y< , iar forma canonică este:

( )2

122 0 , 02

x yu u uy

x y

α ξξ η ξ η ξ η η

− = − − ∂ ∂ ∂ − − = < ∂ ∂ − ∂ ∂ = + −c. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă 0y< , iar forma canonică este:

( )2 2

2 2

2 10 , , 2 , 0

u u ux y y

α ξ ηξ η η η

∂ ∂ − ∂− + = = = − <∂ ∂ ∂

d. ecuaŃia este de tip eliptic dacă 0y> , iar forma canonică este:

( )2 2

2 2

122 0 , 02

x yu u u uy

x y

α ξξ η ξ η ξ η η

− = − − ∂ ∂ ∂ ∂ + − − = < ∂ ∂ − ∂ ∂ = + −

A

B

8

20. Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică, precizând transformarea făcută:

2 2

2 2 0

u uy x

x y

∂ ∂+ =∂ ∂

a. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă 0 , 0, x y< < iar, forma canonică este:

( )

( )

3322 2

2 2 3322

1 10 ,

3

x yu u u

x y

ξη ξ

ξ η η ξ ξ ηη

= − − ∂ ∂ ∂ + − = ∂ ∂ − ∂ ∂ = − +

b. ecuaŃia este de tip eliptic dacă 0 , 0, x y< < iar forma canonică este:

( )

( )

32 2 2

2 2 3

2

1 10 ,

3 3

xu u u u

y

ξξ η ξ ξ η η η

= −∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ = −c. ecuaŃia este de tip eliptic dacă 0 , 0, x y> > iar, forma canonică este:

( )

( )

32 2 2

2 2 3

2

1 10 ,

3 3

xu u u u

y

ξξ η ξ ξ η η η

= −∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ = −d. ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă 0 , 0, x y> > iar, forma canonică este:

( )

( )

3322 2

2 2 3322

1 10 ,

3

x yu u u

x y

ξη ξ

ξ η η ξ ξ ηη

= − − ∂ ∂ ∂ + − = ∂ ∂ − ∂ ∂ = − +

C

9


2 2

2 20

u ux y

x y

∂ ∂+ =∂ ∂

a. ecuaŃia este de tip eliptic pe interiorul cercului 2 2 1x y+ = , iar, forma canonică este:

2 22 2

2 2

10 , ,

1 1

x yu u y

x xξ η

ξ η+ −∂ ∂+ = = =

∂ ∂ − −b. ecuaŃia este de tip hiperbolic pe exteriorul cercului 2 2 1x y+ = , iar forma canonică

este:2 22 2

2 2

10 , ,

1 1

x yu u y

x xξ η

ξ η+ −∂ ∂− = = =

∂ ∂ − −c. ecuaŃia este de tip hiperbolic pe interiorul cercului 2 2 1x y+ = , iar forma canonică

este:2 22 2

2 2

10 , ,

1 1

x yu u y

x xξ η

ξ η− −∂ ∂− = = =

∂ ∂ − −d. ecuaŃia este de tip eliptic pe exteriorul cercului 2 2 1x y+ = , iar forma canonică

este:2 22 2

2 2

10 , ,

1 1

x yu u y

x xξ η

ξ η− −∂ ∂+ = = =

∂ ∂ − −


( ) ( )2 2 2

2 22 2

1 2 1 2 2 0u u u u u

x xy y x yx x y y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − − + − − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a. pentru 2 21 0 x y− + > ecuaŃia este de tip hiperbolic, iar, forma canonică este:2 22 2

2 2

10 , ,

1 1

x yu u y

x xξ η

ξ η− +∂ ∂− = = =

∂ ∂ + +b. pentru 2 21 0 x y− + < ecuaŃia este de tip hiperbolic, iar, forma canonică este:

2 22 2

2 2

10 , ,

1 1

x yu u y

x xξ η

ξ η− −∂ ∂− = = =

∂ ∂ + +c. pentru 2 21 0 x y− + > ecuaŃia este de tip eliptic, iar, forma canonică este:

2 22 2

2 2

10 , ,

1 1

x yu u y

x xξ η

ξ η− +∂ ∂+ = = =

∂ ∂ + +d. pentru 2 21 0 x y− + < ecuaŃia este de tip eliptic, iar, forma canonică este:

2 22 2

2 2

10 , ,

1 1

x yu u y

x xξ η

ξ η− −∂ ∂+ = = =

∂ ∂ + +

D

A

10

23. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:2 2 2

22 2

2sin cos cos 0u u u u

x x xx x y y y

∂ ∂ ∂ ∂− − − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂a. ( ) ( ) ( ), cos cosu x y x y x x y xϕ ψ= + + + − −b. ( ) ( ) ( ), cos cosu x y x y x x y xϕ ψ= + − + − +c. ( ) ( ) ( ), sin sinu x y x y x x y xϕ ψ= + − + − +d. ( ) ( ) ( ), sin sinu x y x y x x y xϕ ψ= − − + − +

24. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:

a. ( )2 2

2 2

10 , 0, 0 .

2

u u u ux y x y

x y x y

∂ ∂ ∂ ∂− + − = > > ∂ ∂ ∂ ∂

b. ( ) ( ) ( ), 0, 0u x y x y x y x yϕ ψ= − − − + − + − < <

c. ( ) ( ) ( ), , 0u x y x y x y x yϕ ψ= − + + >

d. ( ) ( ) ( ), 0, 0u x y x y x y x yϕ ψ= − − + − + < >

25. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:2 2

2 22 2

2 0u u u

x y yx y y

∂ ∂ ∂− − =∂ ∂ ∂

a. ( ) ( )2

2, ,

x xu x y x y

y yϕ ψ

= +

b. ( ) ( ),x y

u x y x y xyy xϕ ψ = ⋅ +

c. ( ) ( ), ,x y

u x y x yy x

ϕ ψ = +

d. ( ) ( ), ,x y

u x y x yy xϕ ψ = +


2 22 2

2 0u u u u u

x xy y x yx x y y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂− + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a. ( ) ( ) ( ), lnu x y x y y x yϕ ψ= ⋅ + ⋅b. ( ) ( ) ( ), , lnu x y x y y x yϕ ψ= + ⋅

c. ( ) ( ), lnx

u x y x y yy

ϕ ψ = ⋅ +

d. ( ) ( ) ( ), , lny

u x y x y x yx

ϕ ψ= + ⋅

B

C

D

A

11

27. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:2

2 22

u ux x

x x y

∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂

a. ( )( )

,

xx y

yu x y

x

ϕ ψ ⋅ + =

b. ( ) ( ) ( ),

x y x yu x y

x

ϕ ψ− + +=

c. ( ) ( ) ( ),

x y x yu x y

y

ϕ ψ− + +=

d. ( )( )

,

xx y

yu x y

y

ϕ ψ ⋅ + =


( )2

0u u u

x yx y x y

∂ ∂ ∂− − + =∂ ∂ ∂ ∂

a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2, , unde şi Y y sunt funcŃii arbitrare

X x Y yu x y X x

x y=

+

b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , unde şi Y y sunt funcŃii arbitrareX x Y y

u x y X xx y

⋅=

⋅

c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , unde şi Y y sunt funcŃii arbitrareX x Y y

u x y X xx y

−=

−

d. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , unde şi Y y sunt funcŃii arbitrareX x Y y

u x y X xx y

+=

+

29. Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:2

0u u u

y x xyux y x y

∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂ ∂

a. ( ) ( )2 2

2,x y x

u x y e yy

ϕ ψ+−

= +

b. ( ) ( ) ( )2 2

2,x y

u x y e x y x yϕ ψ+

= + + −

c. ( ) ( ) ( )2 2

2,x y

u x y e x y x yϕ ψ+−

= + + −

d. ( ) ( ) ( )2 2

2,x y

u x y e x yϕ ψ+−

= +

B

C

D

12

30. Utizând schimbarea de variabile independente :

, , y z

z yx x

ξ η ζ= = = −

să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2

2 2 2 0u u u u u u

x xy y yz z zxx x y y y z z z x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a. ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , unde , şi ,y z y z

u x y z z yx x x x

ϕ ψ ϕ ψ = − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

b. ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , unde , şi ,y z y z

u x y z z yx x x x

ϕ ψ ϕ ψ = + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , unde , şi ,y z y z

u x y z z y x yx x x x

ϕ ψ ϕ ψ = − + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

d. ( ) ( ) ( ), , , , , unde , şi ,y z y z

u x y z xyx x x x

ϕ ψ ϕ ψ = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅


( )2 2 2 2

211 12 22 11 22 122 2 2

2 u u u u

a a a a a at x x y y

∂ ∂ ∂ ∂= + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a. ( ) ( ) ( )12 22 12 22, , , , u x y t x a t y a t x a t y a tϕ ψ= + + + − −

unde şi sunt funcŃii arbitrare.ϕ ψb. ( ) ( ) ( )11 22 11 22, , , , u x y t x a t y a t x a t y a tϕ ψ= + + + − −

unde şi sunt funcŃii arbitrare.ϕ ψc. ( ) ( ) ( )22 12 22 12, , , , u x y t x a t y a t x a t y a tϕ ψ= + + + − −

unde şi sunt funcŃii arbitrare.ϕ ψd. ( ) ( ) ( )11 22 11 22, , , , u x y t x a t y a t x a t y a tϕ ψ= + − + − −

unde şi sunt funcŃii arbitrare.ϕ ψ

A

B

13


4 2 2 42 0

u u u

x x y y

∂ ∂ ∂− + =∂ ∂ ∂ ∂a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4,u x y yf x xf y f x y f x y= + + − + + ,

( ) ( )unde 1,4 sunt funcŃii arbitrarekf k⋅ =

b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4,u x y xf x yf y f x y f x y= + + − + + ,


c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4,u x y x y f x y x y f x y f x y f x y= − + + + − + − + +


d. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4,u x y xf x yf y x y f x y x y f x y= + + + − + − +


33. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:2 2 2

22 2 0

0

2 3 0 , 3 , 0y

y

u u u uu x

x x y y y==

∂ ∂ ∂ ∂+ − = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a. ( ) 2 2, 3u x y x y= −b. ( ) 2 2, 3u x y x y= −c. ( ) 2 2, 3u x y x y= +d. ( ) 2 2, 3u x y x y= +

C

D

14

34. Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:

( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 20 12 2 0

0

1 1 0 , u , y

y

u u u u ux y x y x x

x y x y yϕ ϕ

==

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + + − = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a. ( )2 2 2

0 0 1

1 1 1 1 1 1,

2 2 2 2 2

zu x y dz

z z

β

α

α βϕ ϕ ϕα β

− − −= −

∫

( )( ) 22 2

2

1unde, 1 1 ,

1

x xx x y y

y yα β + += + + + + =

+ +

b. ( )2 2 2

0 0 1

1 1 1 1 1 1,

2 2 2 2 2

zu x y dz

z z

β

α

α βϕ ϕ ϕα β

+ + −= −

∫

( )( ) 22 2

2

1unde, 1 1 ,

1

x xx x y y

y yα β + += + + + + =

+ +

c. ( )2 2 2

0 0 1

1 1 1 1 1 1,

2 2 2 2 2

zu x y dz

z z

β

α

α βϕ ϕ ϕα β

− − −= −

∫

( )( ) 22 2

2

1unde, 1 1 ,

1

x xx x y y

y yα β − += − + + + =

+ +

d. ( )2 2 2

0 0 1

1 1 1 1 1 1,

2 2 2 2 2

zu x y dz

z z

β

α

α βϕ ϕ ϕα β

+ + −= −

∫

( )( ) 22 2

2

1unde, 1 1 ,

1

x xx x y y

y yα β − += − + + + =

+ +


( ) ( )2 2 2

20 12 2 sin

sin

2cos sin sin 0 , u , y x

y x

u u u u ux x x x x

x x y y y yϕ ϕ

==

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − − = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a. ( ) ( ) ( ) ( )sin

0 0 1

sin

1 1, sin sin

2 2

x x y

x x y

u x y x x y x x y z dzϕ ϕ ϕ+ +

− −

= + + + − − + ∫

b. ( ) ( ) ( ) ( )sin

0 0 1

sin

1 1, sin sin

2 2

x x y

x x y

u x y x x y x x y z dzϕ ϕ ϕ− +

+ −

= − + + + − + ∫

c. ( ) ( ) ( ) ( )cos

0 0 1

cos

1 1, cos cos

2 2

x x y

x x y

u x y x x y x x y z dzϕ ϕ ϕ− +

+ −

= − + + + − + ∫

d. ( ) ( ) ( ) ( )cos

0 0 1

cos

1 1, cos cos

2 2

x x y

x x y

u x y x x y x x y z dzϕ ϕ ϕ+ +

+ −

= + + + + − + ∫

A

B

15


( ) ( )2 2 2

2 2 00

4 5 0, u , y

y

u u u u u uf x F x

x x y y x y y==

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − + − = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a. ( ) ( ) ( ) ( )5 5

6 6 65,

6

y yx x

x y z z

x y x y

u x y f x y e e f z dz e F z dz

− −−

− −

′= − + −

∫ ∫

b. ( ) ( ) ( ) ( )5 5

6 6 65,

6

y yx x

x y z z

x y x y


+ ++−

− −

′= + + −

∫ ∫

c. ( ) ( ) ( ) ( )5 5

6 6 65,

6

y yx x

x y z z

x y x y


− −+−

+ +

′= + + −

∫ ∫

d. ( ) ( ) ( ) ( )5 5

6 6 65,

6

y yx x

x y z z

x y x y


− −+ − −

+ +

′= + + −

∫ ∫


( ) ( )2 2 2

2 20 12 2 1

1

2 3 0 , , y

y

u u u ux xy y u x x

x x y y yϕ ϕ

==

∂ ∂ ∂ ∂− − = = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

a. ( ) ( ) ( ) ( )4 4

7 7

4 40 0 0 1

3 1 3 3,

4 4 16 4

x x

y y

x y x y

xu x y x y y y x x y x dx x y x x dx

yϕ ϕ ϕ ϕ

− − = + + −

∫ ∫

b. ( ) ( ) ( ) ( )4 4

7 72 24 4

0 0 0 1

3 1 3 3,

4 4 16 4

x x

y y

x y x y

xu x y xy y xy x x dx x y x x dx

yϕ ϕ ϕ ϕ

− − = + + −

∫ ∫

c. ( ) ( ) ( ) ( )4 4

7 73 34 44 44

0 0 0 1

3 1 3 3,

4 4 16 4

x x

y y

x y x y

xu x y x y y x y x x dx x y x x dx

yϕ ϕ ϕ ϕ

− − = + + −

∫ ∫

d. ( ) ( ) ( ) ( )3 3

7 73 34 44 43

0 0 0 1

3 1 3 3,

4 4 16 4

x x

y y

x y x y

xu x y x y y x y x x dx x y x x dx

yϕ ϕ ϕ ϕ

− − = + + −

∫ ∫

C

D

1

grele_ecuatii

MULTIPLE CHOICE

1. --

Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii

. Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca , . Se

integreaza aceste ecuatii si se gaseste . Daca ecuatia cu derivate partiale este de tip hiperbolic pe D atunci schimbarea de variabile pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei este

a.

b. Avem si schimbarea de variabile potrivita este

c. Avem ca functiile si sunt complex conjugate si schimbarea

de variabile potrivita este

d. niciuna din variantele de mai sus

A

2

2. --

Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii

. cu .


a. c.

b. d.

3. --

Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de

variabile . Notam Atunci este adevarat ca

a. c.

b. d.

D

B

3

4. --


variabile . Notam Atunci este adevarat ca

a. c.

b. d.

5. --


variabile . Notam Atunci

contine (cu + sau - in fata) termenul

a. c.

b. d.

B

B

4

6. --


variabile . Notam Atunci

contine (cu + sau - in fata) termenul

a. c.

b. d.

7. --


este

a. c.

b. d.

B

C

5

8. --


De aici rezulta ca

a.

unde f este o functie ce admite primitive cel putin local.

b.

unde f,g sunt functii ce admit primitive cel putin local.

c.


d.

unde f este functie ce admite primitive cel putin local.

B

6

9. --


De aici rezulta ca

a.


b.


c.


d.


D

7

10. --


De aici rezulta ca

a.

unde f este o functie ce admite primitive cel putin local.

b.


c.


d.


B

8

11. --


De aici rezulta ca

a.


b.


c.


d.


B

9

12. --

Solutiile generale ale ecuatiei caracteristicilor asociate ecuatiei

unde c este o constanta , sunt

a. unde numere reale

b. unde numere reale

c. unde numere reale

d. unde numere reale

13. --

Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii liniare omogene cu derivate partiale de ordin 2 este

unde c este o constanta .

Care este schimbarea de variabile potrivita pentru aducerea ecuatiei cu derivate partiale la forma canonica?

a. c.

b. d.

A

A

10

14. --

Pentru rezolvarea ecuatiei coardei vibrante fara forte perturbatoare, cu constanta c=1 se aduce ecuatia la forma canonica si apoi se rezolva ecuatia care rezulta. Se obtine

a.


b.


c.


d.



D

11

15. --

Se aplica metoda separarii variabilelor ecuatiei cu derivate partiale

(1)

Se cauta o solutie de forma

. Rezulta atunci ca

X,T satisfac ecuatia

a. c.

b. d.

C

12

16. --


(10)

cu conditia initiala

si conditiile pe frontiera


. Rezulta atunci ca exista un numar constant k asa ca X,T satisfac ecuatia

a. c.

b. d.

D

1

Ecuatii

TRUE/FALSE

1. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie :

Folosim schimbarea de variabila ξ =3y-x ; η =x+y.


Folosim schimbarea de variabila ξ=y-x; η =2x.


Folosim schimbarea de variabila ξ=2x-y; η =3x.


Folosim schimbarea de variabile ξ=x+2y; η =2x-y.


Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-y; η =3x.

F

F

A

F

F

2


Folosim schimbarea de variabile ξ=x+y; η =x.


Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-3y; η=3x-y.


Folosim schimbarea de variabile ξ=x+3y; η =x.


Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-3y; η =x-y.


Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-3y; η =x-y.

A

F

A

F

F

3


Folosim schimbarea de variabile ξ=-x+y; η =-x+2y.

A

ecuatii - ad.ro II - Ecuatii cu derivate partiale _P.pdf · 2 3. -- Se da ecuatia cvasiliniara cu...

Documents

Transcript of ecuatii - ad.ro II - Ecuatii cu derivate partiale _P.pdf · 2 3. -- Se da ecuatia cvasiliniara cu...