Ecuatii Diferentiale Cu Derivate Partiale

download Ecuatii Diferentiale Cu Derivate Partiale

of 90

  • date post

    03-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    144
  • download

    3

Embed Size (px)

Transcript of Ecuatii Diferentiale Cu Derivate Partiale

GAVRIIL PLTINEANU

PAVEL MATEI

ECUAII DIFERENIALE I CU DERIVATE PARIALENote de curs

Bucureti 2007

CAPITOLUL 2

SERII FOURIER

2.1. Serii trigonometrice. Serii FourierFie funcia f :[ a, b] . Reamintim c punctul x0 [a, b] se numete punct de discontinuitate de prima spe al funciei f dac limitele laterale f ( x0 0) i f ( x0 + 0) exist i sunt finite.y

Definiia 2.1.1. Funcia f :[ a, b] se numete continu pe poriuni dac este continu pe [a, b] cu excepia unui numr finit de puncte de discontinuitate de prima spe (fig. 1.1). O astfel de funcie este integrabil.a b x

O

Fig. 1.1 Lema 2.1.1. Fie f :a + 2

Reamintim c funcia f : este periodic de perioad T dac f ( x + T ) = f ( x) , x .

o funcie periodic de perioad 2 . Atunci

a

f ( x ) dx =

f ( x ) dx .a + 2

Demonstraie. Pentru aceasta este suficient s observm c

f ( x)dx = f ( x)dx + a

a

f ( x ) dx +a

a+2

f ( x)dx .

Cu schimbarea de variabil x = t 2 , obinema + 2

f ( x ) dx =

a

f (t )dt = f (t )dt ,

deci

a

f ( x ) dx +

a + 2

f ( x ) dx = 0 ,

de unde rezult lema. n general, dac f are perioada T , atuncia +T

a

f ( x)dx = f ( x)dx .0

T

2. Serii Fourier

3

Definiia 2.1.2. Fie ( n ) n 0 , ( n ) n1 dou iruri de numere reale. Seria de funcii 0 (1) + ( n cos nx + n sin nx ) 2 n =1 se numete serie trigonometric de coeficieni n , n 0 , n , n 0 . Sumele pariale ale unei astfel de serii de funcii

0

2 k =1 se numesc polinoame trigonometrice.

+ ( k cos kx + k sin kx)

n

Definiia 2.1.3. Fie funcia f : , periodic de perioad 2 , continu pe poriuni pe orice interval compact i fie 1 1 1 a 0 = f ( x)dx , a n = f ( x) cos nxdx , bn = f ( x) sin nxdx , n 1 .

Atunci seria trigonometric a0 (2) + (a n cos nx + bn sin nx ) 2 n =1 se numete seria Fourier ataat funciei f , iar coeficienii a n , bn se numesc coeficienii Fourier ai funciei f . Definiia 2.1.4. Funcia f :[ a, b] se numete continuu difereniabil pe poriuni (sau neted pe poriuni) pe [a, b] dac este derivabil pe [a, b] cu excepia unui numr finit de puncte i f este continu pe [a, b] cu excepia acestor puncte n care are limite laterale finite. Teorema 2.1.1. (Dirichlet). Fie f : o funcie periodic de perioad 2 , continuu difereniabil pe poriuni pe orice interval compact [ a, b] . Atunci seria Fourier (2) este convergent pe i avem a0 f ( x 0 ) + f ( x + 0) , x , + (a n cos nx + bn sin nx ) = 2 n =1 2 unde 1 1 a n = f ( x) cos nxdx , n , bn = f ( x) sin nxdx , n * .

Observaia 2.1.1. Dac, n plus, f este continu pe , avem a f ( x) = 0 + (a n cos nx + bn sin nx ) , x . 2 n =1 ( f se dezvolt n serie Fourier pe ). Observaia 2.1.2. Dac funcia f este par, atunci bn = 0 , n este impar, atunci a n = 0 , n .*

. Dac funcia f

4

ECUAII

Exemplu. S se dezvolte n serie Fourier pe intervalul [ , ] funcia f ( x) = x 2 . Fie f * : , funcia obinut prin prelungirea prin periodicitate, cu perioada T = 2 , a funciei f . Deoarece funcia este par, coeficienii bn sunt nuli. Vom calcula coeficienii a n . Avem: 2 x dx =

2 3 , 32

sin nx x cos nxdx = x n 2

2 x sin nxdx = n

4 (1) n 2 cos nx 1 = x + cos nxdx = , n 1. n n n n2 2 n (1) 2 n consecin a 0 = , a n = 4 2 , bn = 0 , n 1 , deci 3 n 2 n (1) x2 = + 4 2 cos nx , x [ , ] . 3 n =1 n

n particular, pentru x = obinem o identitate cunoscut, datorat lui Euler: 1 2 = n2 6 . n =1 Teorema 2.1.2. (Fejr). Fie f :

o funcie continu, periodic de perioad

2 ,n a0 + (a k cos kx + bk sin kx ) , n 2 k =1 i sumele Fejr de ordinul n , s + s + ... + s n 1 n = 0 1 , n * . n Atunci irul de funcii ( n ) n converge uniform la f pe

sn =

.

Teorema 2.1.3. (Weierstrass). Fie f : o funcie continu, periodic de perioad 2 . Atunci pentru orice > 0 exist un polinom trigonometric T astfel nct

f T < .Demonstraie. Fie m *

astfel nct p f < , pentru orice p m . Putem alege

T = m , unde m este dat de Teorema lui Fejr.

Teorema 2.1.4. (Weierstrass). Dac funcia f :[ a, b]

este continu, atunci

pentru orice > 0 exist un polinom algebric P astfel nct f P < .

2. Serii Fourier

5

Demonstraie. Pentru nceput, fie f :[0, 2 ] o funcie continu care satisface a funciei f . Conform Teoremei f (0) = f ( 2 ) i f * prelungirea prin periodicitate pe 2.1.3, pentru orice > 0 exist un polinom trigonometric T astfel nct f T < , cu 2

2 k =1 Dezvoltnd n serie funciile cos i sin , rezult c exist un rang m astfel nct T a k x k 0 exist un polinom P astfel nct g P < , adicf (0) f (2 ) x P ( x) < , x [0,2 ] . 2 f (0) f (2 ) Notnd Q ( x ) = P ( x) x , rezult c 2 f Q < . f ( x) +

o funcie continu i ba h : [0,2 ] [ a, b] , h(t ) = a + t. 2 Evident, h este un homeomorfism. Considerm funcia g :[0, 2 ] , g (t ) = f ( h(t )) , t [0,2 ] . innd seama de cele de mai sus, rezult c pentru orice > 0 exist un polinom P astfel nct g P < , adic

n sfrit, fie f :[ a, b]

f (h(t )) P (t ) < , t [0,2 ] . n consecin, f ( x) P ( h 1 ( x)) < , x [ a, b] .Notnd Q = P h 1 , rezult c

f Q < .

6

ECUAII

2.2. Serii Fourier generalizateFie ( H , < , >) un spaiu prehilbertian real i fie {e1 , e2 ,..., en ,...} un sistem ortonormal de elemente din H . Aadar avem: 1, dac i = j . < ei , e j >= ij = 0, dac i j Fie x H oarecare. Coeficienii Fourier (generalizai) ai lui x n raport cu sistemul ortonormal {e1 , e2 ,..., en ,...} se definesc astfel:

n =< x, en > , n iar seria

*

,

(1) (2)

n =1

n n

e ,

se numete seria Fourier ataat lui x n raport cu sistemul ortonormal {e1 , e2 ,..., en ,...} . Teorema 2.2.1. x i ei x ci ei , ci i =1 i =1 n n

, 1 i n.

Demonstraie. ntr-adevr:

x c i eii =1

n

2

=< x ci ei , x c j e j >=i =1 j =1n n 2 n n

n

n

= x 2 ci i + ci2 = x + (ci i ) 2 i2 .2 i =1 i =1 i =1 i =1

Aadar, avem

x c i eii =1n

n

2

= x + (ci i ) 2 i2 .2 i =1 i =1n

n

n

(3)

Evident aceast expresie este minim dac ci = i , 1 i n . Rezult c x i ei x ci ei , ci i =1 i =1

, 1 i n.

Corolarul 1. Dac n , n * , sunt coeficienii Fourier ai lui x n raport cu sistemul ortonormal {e1 , e2 ,..., en ,...} , atunci are loc inegalitatea lui Bessel:

i =1

2 i

x .

2

(4)

Demonstraie. Din (3) rezult c

0 x i eii =1

n

2

x i2 ,2 i =1

n

deci

2. Serii Fourier

7

i =1

n

2 i

x .

2

Fcnd n , se obine (4). Definiia 2.2.1. Sistemul ortonormal {en }n1 se numete nchis dac Sp ({en }n1 ) este dens n H , deci dac pentru orice x H i orice > 0 exist c1 , c2 ,..., cn astfel nct x c i ei < .i =1 n

Teorema 2.2.2. Dac sistemul ortonormal {en }n1 este nchis atunci are loc identitatea lui Parseval:x2

= i2 .i =1

(5)

Demonstraie. Este suficient s artm cx2

i2 .i =1

(6) astfel nct

Fie > 0 . Atunci exist c1 , c2 ,..., cn x c i ei < .i =1 n

Din (3) obinem

> x ci ei2 i =1

n

2

= x + (ci i ) 2 i2 x i2 .2 2 i =1 i =1 i =1

n

n

n

Aadar

i =1

n

2 i

+2 > x .

2

Cum este arbitrar, fcnd n , rezult (6). Definiia 2.2.2. Un sistem ortonormal {en }n1 se numete complet (total) dac orice

x H care satisface i =< x, ei >= 0 , pentru orice i deci x = 0 H .

*

, coincide cu elementul nul din H ,

Teorema 2.2.3. Orice sistem ortonormal nchis este complet. Demonstraie. Deoarece i = 0 , i Afirmaia reciproc nu este adevrat n general. Se poate arta c ntr-un spaiu Hilbert cele dou noiuni coincid.*

, din egalitatea lui Parseval rezult c x = 0 H .

8

ECUAII

~ Fie [ a, b] . Vom nota cu C ([a, b]) spaiul vectorial al funciilor continue pe poriuni pe [a, b] care satisfac 1 f ( x ) = [ f ( x 0) + f ( x + 0)] , x [ a, b] . 2 ~ ~ Evident C ([ a, b]) C ([ a, b]) . Pe C ([a, b]) definim urmtorul produs scalar

< f , g >=

f ( x) g ( x)dx , f , g C ([a, b]) .a

b

~

~ ntr-adevr, se verific uor c dac f , g , f 1 , f 2 C ([a, b]) , atunci: < f1 + f 2 , g >=< f1 , g > + < f 2 , g > , < f , g >= < f , g > , , < f , g >=< g , f > , < f , f > 0 . Vom arta acum c din < f , f >= 0 , rezult c f 0 . S presupunem c

fa

b

2

( x)dx = 0 .

Fie : a = x0 < x1 < ... < xi 1 < xi < ... < x n = b o diviziune a intervalului [a, b] , astfel nct funcia f este continu pe intervalul ( xi 1 , xi ) . Considerm funciile gi :[ xi 1 , xi ] , 1 i n ,

f ( xi 1 + 0), dac x = xi 1 , g i ( x) = f ( x), dac x ( xi 1 , xi ), f ( xi 0), dac x = xi . Funcia g i este continu pe [ xi 1 , xi ] i 0 =xi xi 1

f

2

( x)dx = g i2 ( x)dx . n consecinxi 1

xi

g i ( x) = 0 , x [ xi 1 , xi ] , deci f ( x ) = 0 , x ( xi 1 , xi ) , f ( xi 1 + 0) = 0 , f ( xi 0) = 0 . Atunci pentru orice i, 1 i n 1 , 1 f ( xi ) = [ f ( xi 0) + f ( xi + 0)] = 0 . 2 Prin urmare f ( x ) = 0 , x [ a, b] . ~ n concluzie, C ([a, b]) este un spaiu prehilbertian.~ Fie acum spa