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1

Tema 2

NOT¼A. Tema const¼a în câte un subpunct, corespunz¼ator num¼arului curent alstudentului din Apelul grupei (a…sat pe platform¼a). Dac¼a num¼arul curent dep¼aseste20;   se va considera restul împ¼artirii acestui num¼ar la   20;  de exemplu, un studentavând num¼arul curent  34; va aborda subpunctul  14

Recomandare: se consult¼a …sierul „Probleme_cuadrice“!Model.  Se consider¼a integrala tripl¼a  I   =

RRR 

f  (x ;y;z  ) dxdydz; unde   :   x  

0; y   0; z   0; x + y z  2 0:

a) S¼a se descompun¼a integrala sub forma  I  =RR D

R (x;y)'(x;y)

  f  (x ;y;z  ) dz 

dxdy:

b) S¼a se descompun¼a integrala sub forma  I  =R baRR Dz

f  (x ;y;z  ) dxdy!

dz:

c) S¼a se calculeze  I  pentru  f  (x ;y;z  ) = x + 2y 1:

Solutie.  Domeniul   este limitat de planele de coordonate si de planul xOy:

a) Domeniul plan  D  este proiectia lui    pe planul  xOy   si se obtine f ¼acând  z  = 0 înx+yz 2 0: Rezult¼a D  :  x +y2 0; x 0; y   0: Limitele ' (x; y) si  (x; y)între care variaz¼a  z  se obtin din inegalit¼atile initiale  z    0  si  x + y z  2 0: Înacest mod  z  2 [x + y 2; 0] : În …nal obtinem

I  = ZZ D

Z   0

x+y2

f  (x ;y;z  ) dz  dxdy

cu D  :  x + y 2 0; x 0; y   0:

b) Numerele a si b reprezint¼a valorile extreme între care variaz¼a z  pentru domeniul :

Valoarea maxim¼a a lui z  este 0; care rezult¼a din inegalitatea z   0: Pe de alt¼a parte,din x + y 2 0 rezult¼a  z   x + y 2 2 deoarece  x 0  si y   0: Deci pentrudomeniul  avem z  2 [2; 0] : Domeniul plan Dz este o sectiunea orizontal¼a arbitrar¼aa lui . Din inegalitatea x + yz 2 0 obtinem  Dz  : x + y   z + 2; x 0; y   0:

În …nal

I  = Z   0

20@ZZ 

Dz

f  (x ;y;z  ) dxdy1A dz:

c) Folosim, de exemplu, descompunera de la punctul a):

I  =

ZZ D

Z   0x+y2

(x + 2y 1) dz 

dxdy  =

Z   20

Z   2x0

Z   0x+y2

(x + 2y 1) dz 

dy

dx =

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2

Z   2

0Z 

  2x

0x2

3xy + 3x 2y2 + 5y 2 dy dx = Z   2

0

1

6

x3

1

2

x2 + 2

3 dx =

 2

3

:

Consideratiile anterioare pot … înlocuite în mare parte printr-o …gur¼a. Planul deecuatie  x + y z  2 = 0 intersecteaz¼a axele de coordonate în punctele  A,  B  si  C:

Atunci domeniul   este tetraedrul  OABC; domeniul plan  D este triunghiul  OBC;

iar sectiunea  Dz  este este triunghiul marcat cu s¼ageat¼a, etc

Problem¼a.  Se consider¼a integrala tripl¼a I  =RRR 

f  (x ;y;z  ) dxdydz; unde dome-

niul    este speci…cat în …ecare caz.

a) S¼a se descompun¼a integrala sub forma  I  =RR D

R (x;y)'(x;y)   f  (x ;y;z  ) dz 

dxdy:

b) S¼a se descompun¼a integrala sub forma  I  =R ba

RR Dz

f  (x ;y;z  ) dxdy

!dz:

c) S¼a se calculeze I  în cazul functiei f  (x ;y;z  ) precizat¼a în …ecare din cazurile demai jos:

1.   : x 0; y   0; z   0;   x + 2y + z   2;  f  (x ;y;z  ) = x z ;

2.   : x 0; y   0; z   0;   3x + 6y + 2z   6;  f  (x ;y;z  ) = x y + z ;

3.   : x 0; y   0; z   0;   2x y 2z   2;  f  (x ;y;z  ) = 3x y;

4.   : x 0; y   0; z   0;   2x + 2y z   2;  f  (x ;y;z  ) = 2y z ;

5.   : x 0; y   0; z   0;   5x 15y + 3z   15;  f  (x ;y;z  ) = 2x + 2y z ;

6.   : x 0; y   0; z   0;   x + 2y + 2z   2;  f  (x ;y;z  ) = 4x y + 2z ;

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3

7.   :  x 0; y   0; z   0;   5x + 10y 2z   10;  f  (x ;y;z  ) = 3x + y z ;

8.   :  x 0; y   0; z   0;   3x + 3y + z   3;  f  (x ;y;z  ) = x 4z ;

9.   :  x 0; y   0; z   0;   x + 3y + 3z   3;  f  (x ;y;z  ) = 2x y;

10.   :  x 0; y   0; z   0; x y + 3z   3;  f  (x ;y;z  ) = x + y 2z ;

11.   :  x 0; y   0; z   0;   3x y 3z   3;  f  (x ;y;z  ) = x y + z ;

12.   :  x 0; y   0; z   0;   x + 5y + 5z   5;  f  (x ;y;z  ) = 2x + y z ;

13.   :  x 0; y   0; z   0;   2x 2y + z   4;  f  (x ;y;z  ) = 2y z ;

14.   :  x 0; y   0; z   0;   2x + y 2z   4;  f  (x ;y;z  ) = x + 3y z ;

15.   :  x 0; y   0; z   0;   x + 2y + 4z   4;  f  (x ;y;z  ) = x 2y + z ;

16.   :  x 0; y   0; z   0;   x 5y + 5z   5;  f  (x ;y;z  ) = x 4z ;

17.   :  x 0; y   0; z   0;   3x y + 2z   6;  f  (x ;y;z  ) = x + y z ;

18.   :  x 0; y   0; z   0;   3x + y 6z   6;  f  (x ;y;z  ) = 3x + z ;

19.   :  x 0; y   0; z   0; x 2y 5z   10;  f  (x ;y;z  ) = x y;

20.   :  x 0; y   0; z   0; x + 2y + 2z   4;  f  (x ;y;z  ) = y 2z ;

1. R 02

R   2+x

2

0

R 2+x2y0   (x z ) dz 

dy

dx = 23 ;

2. R 2

0

R   2x

2

0

R   63x6y

2

0  (x y + z ) dz 

dy

dx = 1;

3. R 1

0

R 02x2

R 02xy2

2

(3x y) dz 

dy

dx =   512

;

4.

 R 0

1

R 1+x

0

R 0

2x+2y2 (2y z ) dz 

dy

dx =   1

3;

5. R 

30

R 0x3

3

R  

5x+15y+153

0  (2x + 2y z ) dz 

dy

dx = 58 ;

6. R 02

R   2+x

2

0

R   2+x2y

2

0   (4x y + 2z ) dz 

dy

dx =   34 ;

7. R 2

0

R   2x

2

0

R 05x+10y10

2

(3x + y z ) dz 

dy

dx = 5;

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4

8. R 0

1 R 0

x1 R 0

33x3y (x 4z ) dz  dy dx =   11

8 ;

9. R 03

R   x+3

3

0

R 3+x3y0   (2x y) dz 

dy

dx = 218 ;

10. R 3

0

R 0x3

R   3x+y

3

0  (x + y 2z ) dz 

dy

dx = 3;

11. R 1

0

R 03x3

R 03xy3

3

(x y + z ) dz 

dy

dx =   18

;

12. R 05

R   5+x

5

0

R   5+x5y

5

0   (2x + y z ) dz 

dy

dx = 2512 ;

13. R 20R 0

x

2R 42x+2y

0

  (2y z ) dz  dy dx = 16

3

 ;

14. R 2

0

R 42x0

R 02x+y4

2

(x + 3y z ) dz 

dy

dx =   323 ;

15. R 04

R   x+4

2

0

R   4+x2y

4

0   (x 2y + z ) dz 

dy

dx = 73 ;

16. R 05

R 0x5

5

R   5+x+5y

5

0  (x 4z ) dz 

dy

dx = 158 ;

17. R 2

0

R 03x6

R   63x+y

2

0  (x + y z ) dz 

dy

dx = 212 ;

18. R 

02R 

03x6

R   3x+y+6

60   (3x + z ) dz 

dy

dx = 52 ;

19. R 10

0

R 0x10

2

R 0x2y10

5

(x y) dz 

dy

dx =   1252   ;

20. R 4

0

R   4x

2

0

R   4x2y

2

0  (y 2z ) dz 

dy

dx = 43

;