Şcoala Nr. 41”GRIGORE TEOLOGUL” GalaţiAn şcolar 2011/2012

MATEMATICA APLICATA

Disciplină opţională

Clasa a VIII-a

Profesor,

CORINA PRALEA

MATEMATICĂ APLICATĂ

ARGUMENT

Alegerea opţionalului am facut-o din dorinţa de a schimba optica elevilor faţa de matematica precum si de arata latura practică acestei discipline, pe care mulţi elevi o consideră rigida si inabordabilă.

Problemele de geometrie sunt atât de variate, încât nu se pot da indicaţii generale pentru rezolvarea lor. Dificultăţile principale ale acestor probleme constau în caracterul lor nonstandard. Fiecare problemă de geometrie plană sau în spaţiu comportă o investigare specifică în care sunt implicate, în afara cunoştinţelor primite la clasă şi o anumită obişnuinţă de a rezolva probleme, o gândire logică bine structurată, precum şi o anumită creativitate, interes şi motivaţie pentru studiul acestei discipline.

Opţionalul Matematica Aplicata are drept obiectiv principal: introducerea elevilor, prin „exerciţiu”, în largul evantai de metode şi tehnici, generale şi specifice, de rezolvare a problemelor de geometrie plană şi în spaţiu.

Abordarea opţionalului ca activitate de rezolvare a unor contexte problematice variate asigură alternative în învăţare şi evaluare, ducând la o destindere sănătoasă în urma unor lecţii dificile sau pot face obiectul unui studiu individual pentru elevii dotaţi.

Opţionalul îi pregăteşte pe elevi pentru rezolvarea unor situaţii problematice din viaţa cotidiană prin cultivarea perseverenţei, încrederii în sine, voinţei de a duce la bun sfârşit un lucru început.

COMPETENŢE GENERALE

CG1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite CG2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice CG3. Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete CG4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaţii concrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora CG5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii-problemă CG6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoştinţelor din diferite domenii

VALORI ŞI ATITUDINI

Dezvoltarea unei gândiri deschise şi creative; dezvoltarea iniţiativei, independenţei în gândire şi în acţiune pentru a avea disponibilitate de a aborda sarcini variate

Manifestarea tenacităţii, perseverenţei, capacităţii de concentrare şi a atenţiei distributive Dezvoltarea simţului estetic şi critic, a capacităţii de a aprecia rigoarea, ordinea şi

eleganţa în arhitectura rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii Formarea obişnuinţei de a recurge la concepte şi metode matematice în abordarea unor

situaţii cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice Formarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viaţa

socială şi profesională

COMPETENŢE SPECIFICE ŞI EXEMPLE DE ACTIVITAŢI DE ÎNVĂŢARE

CG 1. Identificarea unor date şi relaţii matematice şi corelarea lor în funcţie de contextul în care au fost definite

Competenţe specifice Exemple de activităţi de învăţareRecunoaşterea şi descrierea patrulaterelor în configuraţii geometrice date

- Exerciţii de identificare, diferenţiere şi denumire a patrulaterelor - Exerciţii de identificare a patrulaterelor pe corpuri geometrice sau pe desfăşurări ale acestora - Exerciţii de scriere şi de identificare a unor elemente ale patrulaterelor: laturi, unghiuri, diagonale - Analizarea unor exemple de patrulatere cu sau fără axă de simetrie - Exerciţii de identificare a centrelor/axelor de simetrie pentru patrulaterele studiate

Identificarea perechilor de triunghiuri asemenea în configuraţii geometrice date

- Stabilirea relaţiei de asemănare între două triunghiuri date utilizând măsurarea unghiurilor şi proporţionalitatea laturilor - Exerciţii de stabilire a proporţionalităţii lungimilor unor segmente care reprezintă laturi ale unui triunghi

Recunoaşterea şi descrierea elementelor unui triunghi dreptunghic într-o configuraţie geometrică dată

- Exerciţii de identificare a proiecţiei unui segment pe o dreaptă în diferite configuraţii geometrice - Folosirea instrumentelor geometrice pentru a reprezenta proiecţia unui punct/segment pe o dreaptă

Recunoaşterea şi descrierea elementelor unui cerc, într-o configuraţie geometrică dată

- Exerciţii de identificare a elementelor unui cerc pe configuraţii date - Exerciţii de identificare a unor proprietăţi ale arcelor şi coardelor; diametrul perpendicular pe coardă - Identificarea poziţiei unei drepte faţă de un cerc

CG 2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunţuri matematice

Competenţe specifice Exemple de activităţi de învăţareIdentificarea patrulaterelor particulare utilizând proprietăţi precizate

- Demonstrarea proprietăţilor paralelogramului - Exerciţii de stabilire a unor paralelograme particulare pe baza unor proprietăţi precizate - Exerciţii de identificare a liniei mijlocii în trapez pe baza definiţiei/proprietăţilor acesteia - Exerciţii de identificare a simetriei trapezului isoscel şi caracterizarea tipului de simetrie - Calcularea ariilor unor suprafeţe folosind decupări, pavaje şi reţele

Stabilirea relaţiei de asemănare între două triunghiuri prin metode diferite

- Exerciţii cu rapoarte şi proporţii formate cu lungimi de segmente - Stabilirea relaţiei de asemănare între două triunghiuri date utilizând definiţia sau utilizând criterii de asemănare - Transpunerea în desen a unor perechi de triunghiuri care verifică un criteriu de asemănare cu identificarea laturilor proporţionale şi a unghiurilor congruente - Aplicarea teoremei fundamentale a asemănării în diferite contexte

Aplicarea relaţiilor metrice într-un triunghi dreptunghic pentru determinarea unor elemente ale acestuia

- Utilizarea reciprocei teoremei lui Pitagora pentru stabilirea perpendicularităţii a două drepte sau a naturii unui triunghi - Calcularea unor lungimi de segmente utilizând teorema înălţimii , catetei sau teorema lui Pitagora - Calcularea sinusului, cosinusului, tangentei şi cotangentei pentru unghiurile ascuţite ale unui triunghi dreptunghic - Determinarea valorilor pentru sinus, cosinus, tangenta şi cotangenta unghiurilor de 30, 45, 60

Calcularea unor lungimi de segmente şi a unor măsuri de unghiuri utilizând metode adecvate în configuraţii care conţin un cerc

- Calculul unor lungimi de segmente în cerc - Exerciţii de determinare a măsurii unghiurilor unui poligon regulat - Exerciţii de calculare a elementelor (latură, apotemă, perimetru) poligoanelor regulate: triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat - Exerciţii de utilizare a instrumentelor geometrice adecvate pentru a reprezenta

configuraţii geometrice care conţin un cerc

CG 3. Utilizarea algoritmilor şi a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situaţii concrete

Competenţe specifice Exemple de activităţi de învăţareUtilizarea proprietăţilor calitative şi metrice ale patrulaterelor în rezolvarea unor probleme

- Rezolvarea de probleme utilizând proprietăţile paralelogramelor particulare: dreptunghi, romb şi pătrat - Rezolvarea de probleme utilizând proprietăţile trapezului isoscel - Analizarea şi construcţia unor figuri cu simetrie axială sau centrală - Construcţia cu ajutorul instrumentelor geometrice a unor patrulatere respectând condiţii date - Exerciţii de desenare a paralelogramului utilizând definiţia sau proprietăţi ale acestuia - Justificarea unor proprietăţi ale patrulaterelor pe baza simetriei

Utilizarea noţiunii de paralelism pentru caracterizarea locală a unei configuraţii geometrice date

- Determinarea unor lungimi de segmente şi a unor măsuri de unghiuri, utilizând asemănarea triunghiurilor şi proprietăţile şirului de rapoarte egale - Calcularea unor lungimi de segmente în triunghi utilizând teorema fundamentală a asemănării - Calculul de perimetrelor şi de ariilor a două triunghiuri asemenea, prin utilizarea raportului de asemănare - Stabilirea paralelismului unor drepte utilizând reciproca teoremei lui Thales - Utilizarea definiţiei şi a proprietăţilor liniei mijlocii într-un triunghi - Utilizarea condiţiilor teoremei reciproce a liniei mijlocii pentru a demonstra paralelismul unor drepte - Utilizarea definiţiei şi proprietăţilor liniei mijlocii în trapez - Exerciţii de identificare a liniei mijlocii în trapez pe baza definiţiei/proprietăţilor acesteia

- Determinarea lungimii unor segmente prin utilizarea teoremei paralelelor echidistante, a teoremei lui Thales sau a proporţiilor derivate - Calcularea unor lungimi de segmente determinate de diagonalele unui trapez pe linia mijlocie

Utilizarea informaţiilor oferite de o configuraţie geometrică pentru deducerea unor proprietăţi ale cercului

- Rezolvarea de probleme în care se utilizează proprietăţi ale arcelor, coardelor şi diametrul perpendicular pe coardă - Rezolvarea unor probleme folosind proprietăţile tangentelor duse dintr-un punct exterior la un cerc - Evidenţierea concurenţei bisectoarelor unui triunghi circumscris unui cerc - Calcularea unor lungimi de segmente şi a măsurilor de unghiuri şi de arce de cerc; triunghi înscris în cerc - Exerciţii de determinare a măsurii unghiurilor unui poligon regulat

CG 4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situaţii concrete şi a algoritmilor de prelucrare a acestora

Competenţe specifice Exemple de activităţi de învăţareExprimarea proprietăţilor figurilor geometrice (segmente, triunghiuri, trapeze) în limbaj matematic

- Rezolvarea de probleme utilizând proprietăţile trapezului isoscel - Utilizarea concurenţei medianelor într-un triunghi în rezolvarea de probleme - Argumentarea alegerii între teorema fundamentală a asemănării şi teorema lui Thales pentru rezolvarea unor probleme specifice

Exprimarea, în limbaj matematic, a perpendicularităţii a două drepte prin relaţii metrice

- Exerciţii de utilizare a instrumentelor geometrice pentru a reprezenta prin desen relaţii între elementele unor figuri sau configuraţii geometrice (congruenţă, paralelism, perpendicularitate) - Observarea diferenţei dintre condiţiile necesare şi suficiente în contexte geometrice variate

Exprimarea proprietăţilor elementelor unui cerc în limbaj matematic

- Utilizarea instrumentelor geometrice pentru a reprezenta prin desen cercul şi elementele sale

- Construcţii de arce congruente utilizând unghiuri la centru - Evidenţierea concurenţei bisectoarelor unui triunghi circumscris unui cerc - Utilizarea instrumentelor geometrice pentru construcţia triunghiului echilateral, pătratului şi hexagonului regulat - Exerciţii de determinare a perimetrului triunghiului circumscris unui cerc - Calcularea lungimilor unor arce de cerc şi aria sectorului de cerc folosind regula de trei simplă

CG 5. Analiza şi interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situaţii problem

Competenţe specifice Exemple de activităţi de învăţareAlegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea optimizării calculelor de lungimi de segmente, de măsuri de unghiuri şi de arii

- Calcularea ariei triunghiului şi a patrulaterelor studiate cu ajutorul formulelor - Exerciţii de alegere a celei mai potrivite unităţi de măsură pentru un anumit context dat - Exerciţii de utilizare a instrumentelor geometrice pentru a reprezenta prin desen relaţii între elementele unor figuri sau configuraţii geometrice (congruenţă, paralelism, perpendicularitate) - Utilizarea unor metode diferite de calculare a ariei unui triunghi şi/sau a unui patrulater

Interpretarea asemănării triunghiurilor în corelaţie cu proprietăţi calitative şi/ sau metrice

- Discutarea, analiza şi compararea unor metode diferite de rezolvare a unei probleme de asemănare - Identificarea şi analizarea unor metode alternative de rezolvare a problemelor de geometrie utilizând asemănarea triunghiurilor

Interpretarea perpendicularităţii în relaţie cu rezolvarea triunghiului dreptunghic

- Utilizarea tabelelor trigonometrice în rezolvarea unor probleme practice - Calculul ariei unui triunghi folosind noţiuni de trigonometrie - Determinarea elementelor unui triunghi dreptunghic utilizând relaţiile metrice şi trigonometrice studiate - Exerciţii de calcul a unor lungimi de segmente, măsuri de unghiuri, perimetre, arii ale unor configuraţii geometrice

- Utilizarea unor metode diferite de calculare a ariei unui triunghi şi/sau a unui patrulater

Deducerea unor proprietăţi ale cercului şi ale poligoanelor regulate folosind reprezentări geometrice şi noţiuni studiate

- Poziţionarea unei drepte faţă de un cerc în raport cu numărul de puncte de intersecţie dintre dreaptă şi cerc - Deducerea unor relaţii între latura poligonului regulat şi raza cercului circumscris acestuia

CG 6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoştinţelor din diferite domenii

Competenţe specifice Exemple de activităţi de învăţareInterpretarea informaţiilor deduse din reprezentări geometrice în corelaţie cu anumite situaţii practice

- Rezolvarea de probleme utilizând proprietăţile trapezului şi a paralelogramelor particulare: dreptunghi, romb şi pătrat - Identificarea şi analizarea unor metode alternative de rezolvare a problemelor de geometrie utilizând proprietăţi ale patrulaterelor particulare - Analizarea unei situaţii-problemă sau a unor probleme practice care necesită aplicarea proprietăţilor patrulaterelor particulare şi ale trapezului isoscel - Observarea diferenţei dintre condiţiile necesare şi suficiente în contexte geometrice variate

Aplicarea asemănării triunghiurilor în rezolvarea unor probleme matematice sau practice

- Construcţia cu ajutorul instrumentelor geometrice a unor configuraţii geometrice respectând condiţii date de asemănare - Analizarea prin activităţi de grup sau individuale a unei situaţii problemă sau a unor probleme practice care necesită aplicarea criteriilor de asemănare

Transpunerea rezultatelor obţinute prin rezolvarea unor triunghiuri dreptunghice la situaţii-probleme date

- Identificarea şi analizarea unor metode alternative de rezolvare a problemelor de geometrie utilizând relaţii metrice şi noţiuni de trigonometrie - Compararea diferitelor metode utilizate în rezolvarea unor probleme referitoare la relaţii metrice într-un triunghi dreptunghic

Interpretarea informaţiilor conţinute în - Utilizarea unor relaţii între latura poligonului

probleme practice legate de cerc şi de poligoane regulate

regulat şi raza cercului circumscris acestuia în contexte geometrice variate - Identificarea şi analizarea unor metode alternative de rezolvare a problemelor de geometrie utilizând proprietăţi ale cercului sau ale poligoanelor regulate

CONŢINUTURI

1. Elemente de istoria matematicii

Numeraţia.Primele universităţi; Matematica evului mediu; Matematicieni romani celebri.

2. Concurenţa liniilor importante în triunghi

Concurenţa medianelor, mediatoarelor, bisectoarelor si înalţimilor Cercul înscris în triunghi, cercul circumscris si exînscris unui triunghi

3. Teoremele Menelaus si Ceva

Teorema lui Menelaus Teorema lui Ceva Reciprocele acestor teoreme in triunghi Teorema Van – Aubel

4. Probleme de coliniaritate

Metode de demonstrare a coliniarităţii unor puncte Teorema lui Euler ; dreapta lui Simpson Teorema lui Gauss Relaţia lui Carnot

5. Probleme de concurenta

Metode de demonstrare a concurenţei unor drepte Teoremele lui Nagel si Gergone Teorema lui Steiner

6. Patrulatere inscriptibile si circumscriptibile

Patrulater inscriptibil; Condiţii de inscriptibilitate Teorema lui Ptolemeu Cercul lui Euler Patrulater circumscriptibil.Condiţii de circumscriptibilitate

7. Relatii metrice in triunghi si patrulater

Teorema Pitagora generalizată Teorema medianei Relaţia lui Stewart Relaţia lui Euler pentru patrulatere

MODALITĂŢI DE EVALUARE

În cadrul cursului descris mai sus se vor evalua :

referate conţinând demonstraţii ale unor proprietăţi, referate întocmite pe baza unei bibliografii ce va fi pusă la dispoziţia elevilor de către profesor, cu sprijinul nemijlocit al acestuia ;

participarea activă la rezolvarea frontală dirijată a problemelor ;

redactarea clara, concisa şi riguroasă a soluţiei unei demonstraţii matematice.

BIBLIOGRAFIA PROFESORULUI

1. Traian Lalescu - Geometria triunghiului, Editura Apollo, Craiova 1993

2. Ion Pascaru, Petre Nachila -  Matematica gimnaziala in concursurile scolare, Editura Tiparg 2005

3. Ion Chiţescu, Marcel Chiriţa – Geometria patrulaterului, Editura Teora, 1998

4. Constantin Ionescu – Tiu -  Geometrie plana si in spaţiu pentru admitere, Editura

Albatros 1976

5. Liviu Nicolescu, Vladimir Broskov – Probleme practice de geometrie, Editura Tehnica Bucuresti 1990

6. Miron Oprea – Scurta istorie a matematicii, Editura Premier, Ploiesti 2000 7. Anton Negrilă şi co. – Algebră.Geometrie, clasa a VII-a Editura Paralela 45 Piteşti

8. Anton Negrilă şi co. – Subiecte posibile – 100 variante pentru testele naţionale,

Editura Paralela 45 Piteşti

9. Artur Bălăucă şi co. – Algebră. Geometrie, clasa a VIII-a Editura Taida Iaşi 2005

10. Manual de matematica, clasa a VII-a, Editura Teora

11. www.didactic.ro

PLANIFICAREA ANUALĂ LA DISCIPLINA

„MATEMATICĂ APLICATA”

Clasa a VIII-a

Nr. crt.

CAPITOLUL SEMESTRUL TOTAL ORE

I II

1. Elemente de istoria matematicii 3 - 3

2. Concurenţa liniilor importante in triunghi 4 - 4

3. Teoremele Menelaus si Ceva 4 - 4

5. Probleme de coliniaritate 2 2 4

6. Probleme de concurenţa - 5 5

4. Patrulatere inscriptibile si circumscriptibile 5 5

7. Relaţii metrice in triunghi si patrulater 5 5

8. Evaluare si recapitulare finala 2 2 4

Total ore 15 19 34

PLANIFICAREA MATERIEI PE SEMESTRUL I

Capitolul Succesiunea lecţiilor Nr. Ore

Data (Saptamana)

Obs

1. Elemente de istoria matematicii

Numeraţia. Primele universitaţi. 1 12 – 16 IXS1

Matematica evului mediu 1 19 – 23 IX S2

Matematicieni romani celebri 1 26 – 30 IXS3

2. Concurenţa liniilor importante in triunghi

Concurenţa medianelor, mediatoarelor bisectoarelor si inalţimilor

2 3 – 14 XS4 – S5

Cercul inscris in triunghi, cercul circumscris si exinscris in triunghi

2 17 – 28 XS6 – S7

3. Teoremele Menelaus si Ceva

Teorema lui Menelaus 1 31X – 4 XIS8

Teorema lui Ceva 1 7 – 11 XIS9

Reciproca teoremei lui Menelaus si Ceva in triunghi

1 14 – 18 XIS10

Teorema Van - Aubel 1 21 – 25 XIS11

4. Probleme de coliniaritate

Metode de de demonstrare a coliniaritaţii unor puncte

1 28XI–2XIIS12

Teorema lui Euler; Dreapta lui Simson 1 5– 9 XII S13

5. Evaluare si recapitulare finala

Prezentare referate “ Mari matematicieni” 1 12 – 16XIIS14

Rezolvare de probleme la propunerea elevilor

1 19 – 23 XIIS15

PLANIFICAREA MATERIEI PE SEMESTRUL al II- lea

Capitolul Succesiunea lecţiilor Nr. Ore

Data (Saptamana)

Obs

1. Probleme de coliniaritate

Teorema lui Gauss 1 16 -20 IS1

Relatia lui Carnot 1 23 - 27 IS2

2. Probleme de concurenţa

Metode de demonstrare a concurenţei unor drepte

2 30 I -10 IIS3 – S4

Teoremele lui Nagel si Gergone 1 13 -17 IIS5

Teorema lui Steiner 2 20 II- 2IIIS6 – S7

3. Patrulatere inscriptibile si circumscriptibile

Patrulater inscriptibil. Condiţii de inscriptibilitate

2 5 – 16 IIIS8 – S9

Teorema lui Ptolemeu 1 19 – 23 III S10

Cercul lui Euler 1 26 – 30 IIIS11

Patrulater circumscriptibil. Condiţii de circumscriptibilitate

1 23 – 27 IVS12

4. Relatii metrice in triunghi si patrulater

Teorema lui Pitagora generalizata 2 30 IV–11 VS13 – S14

Teorema medianei 1 14 – 18 VS15

Relaţia lui Stewart 1 16 – 20 VS16

Relaţia lui Euler pentru patrulatere 1 28V – 1VIS17

5. Evaluare si recapitulare finala

Elemente de istoria matematicii. Proiect 1 4 – 8 VIS18

Aplicarea unui test de inteligenta 1 11 – 15 VIS19