matematica aplicata in economie

MATEMATICA APLICATA IN ECONOMIE

SUPORT DE CURS

CUPRINS

CUPRINS

CAPITOLUL I SPAŢII VECTORIALE 1

1.1. Definiţia spaţiului vectorial 1 1.2. Dependenţă şi independenţă liniară 3 1.3. Bază. Coordonate. Teorema lui Steinitz 4 1.4. Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de bază 7 1.5. Mulţimi convexe 9 1.6. Probleme propuse 10

CAPITOLUL al II-lea FORME LINIARE. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE 11

2.1. Forme liniare 11 2.2. Forme biliniare. Forme pătratice 15 2.3. Forma canonică a unei forme pătratice reale. Signatura unei forme pătratice reale 16 2.4. Probleme propuse 21

CAPITOLUL al III-lea SISTEME DE ECUAŢII LINIARE 23

3.1. Noţiuni generale 23 3.2. Metoda lui Gauss de rezolvare a sistemelor 25 3.3. Soluţii de bază ale unui sistem 27 3.4. Probleme propuse 29

CAPITOLUL al IV-lea NOŢIUNI DE PROGRAMARE LINIARĂ 31

4.1. Introducere 31 4.2. Diverse forme ale problemei de programare liniară 35 4.3. Soluţii ale unei probleme de programare liniară 37 4.4. Metoda Simplex 42 4.5. Probleme propuse 47

CAPITOLUL al V-lea SERII NUMERICE 49

5.1. Serii de numere reale 49 5.2. Serii cu termeni pozitivi 55 5.3. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente 62 5.4. Probleme propuse 63

CAPITOLUL al VI-lea FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE. DERIVATE PARŢIALE. DIFERENŢIALE 65

6.1. Derivate parţiale 65 6.2. Diferenţiale 74 6.3. Formula lui Taylor pentru funcţii de mai multe variabile 79 6.4. Puncte de extrem pentru funcţii de mai multe variabile 80 6.5. Derivata după o direcţie. Gradient. Divergenţă. Rotor 84 6.6. Probleme propuse 87

CUPRINS

CAPITOLUL al VII-lea FUNCŢII DEFINITE IMPLICIT 89

7.1. Funcţii implicite definite de ecuaţia 0)y,x(F = 89

7.2. Funcţii implicite definite de ecuaţia 0)y,x,...,x,x(F n21 = 92 7.3. Sisteme de funcţii definite implicit 95 7.4. Extreme condiţionate 98 7.5. Probleme propuse 101

CAPITOLUL al VIII-lea ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 103

8.1. Integrale improprii 103 8.2. Integrala dublă 107 6.3. Probleme propuse 114

CAPITOLUL al IX-lea ECUAŢII DIFERENŢIALE 117

9.1. Noţiuni generale 117 9.2. Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi 118 9.3. Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n 129 9.4. Probleme propuse 138

CAPITOLUL al X-lea ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ 139

10.1. Câmp de evenimente. Câmp de probabilitate 139 10. 2. Variabile aleatoare 150 10. 3. Distribuţii continue clasice 166 10.4. Exerciţii propuse 174 BIBLIOGRAFIE 177

SPAŢII VECTORIALE

1

CAPITOLUL I

SPAŢII VECTORIALE

1.1. Definiţia spaţiului vectorial

Definiţie. Fie K un corp. Se numeşte spaţiu vectorial1 (peste corpul K) un grup abelian ( )+,V

pe care este dată o lege de compoziţie externă cu operatori în K,

( ) uu,,VVK α→α→× ,

care îndeplineşte următoarele axiome:

1) ( ) Vu,K,,uuu ∈∀∈βα∀β+α=β+α ;

2) ( ) Vv,u,K,vuvu ∈∀∈α∀α+α=+α ;

3) ( ) ( ) Vu,K,,uu ∈∀∈βα∀αβ=βα ;

4) uu1 = (1 este elementul unitate în K).

Elementele lui V se numesc vectori, iar operaţia grupului ( )+,V se numeşte adunarea

vectorilor.

Elementele lui K se numesc scalari, iar legea de compoziţie externă VVK →× se numeşte

înmulţirea vectorilor cu scalari.

Elementul neutru al grupului ( )+,V se numeşte vectorul nul şi se notează cu 0 .

Dacă R=K sau C=K se spune că V este spaţiu vectorial real, respectiv complex.

Spaţiile vectoriale se mai numesc şi spaţii liniare.

Teoremă. Dacă V este un spaţiu vectorial peste corpul K, atunci K, ∈βα∀ şi Vw,v,u ∈∀

au loc următoarele proprietăţi:

1) 0v0 = ;

2) 00 =α ;

3) ( ) vv1 −=− ;

4) uwuvwv =⇒+=+ ;

5) β=α⇒≠β=α 0vşivv .

1 Spaţiile vectoriale au fost definite în forma actuală de G. Peano (1888), dar fondatorul teoriei spaţiilor vectoriale rămâne H.

Grassmann (1844)

Capitolul I 2

Exemple.

1) Spaţiul vectorial nul 0V = constând dintr-un singur vector (cel nul) este spaţiu vectorial

peste orice corp K.

2) Spaţiul vectorial nR . Fie 1n > un număr natural. Se notează cu nR mulţimea tuturor

n-uplelor ordonate ( ) n,1i,x,x,,x,xx in21 =∈= R K ,

( ) n,1i,x,x,,x,xx in21n =∈== R R K .

Dacă R∈α şi ny,x R∈ , ( ) ( )n21n21 y,,y,yy,x,,x,xx KK == , atunci:

n,1i,yxyx ii ==⇔= ,

( )nn2211 yx,,yx,yxyx +++=+ K ,

( )n21 x,,x,xx ααα=α K .

O verificare directă arată că legea de compoziţie internă

( ) yxy,x,nnn +→→× RRR

este asociativă şi comutativă.

Dacă ( )0,,0,00 K= , atunci ( )n21n x,,x,xx,x K=∈∀ R avem

( ) ( )( )( )

,x

x,,x,x

x0,,x0,x0

x,,x,x0,,0,0x0

n21

n21

n21

=

=

+++=

+=+

K

K

KK

iar dacă ( )n21 x,,x,xx −−−=− K , atunci ( )n21n x,,x,xx,x K=∈∀ R avem

( ) ( ) ( )( )( )

.0

0,,0,0

xx,,xx,xx

x,,x,xx,,x,xxx

nn2211

n21n21

=

=

−−−=

−−−+=−+

K

K

KK

Rezultă că ( )+,nR este grup abelian.

De asemenea, se verifică că legea de compoziţie externă

( ) αxα,x,nn →→× RRR

îndeplineşte axiomele 1) – 4) din definiţia spaţiului vectorial.

Elementele lui nR se numesc vectori (linie) n – dimensionali, iar nR se numeşte spaţiul real

n – dimensional.

Analog, se introduce spaţiul nC şi de asemenea spaţiul vectorial nK cu K corp oarecare.

SPAŢII VECTORIALE

3

3) Mulţimea n,mM ( )R a matricelor cu m linii şi n coloane, cu elemente numere reale

formează spaţiu vectorial peste corpul R în raport cu adunarea matricelor şi cu înmulţirea matricelor cu

scalari.

4) Mulţimea [ ]XR a polinoamelor în nedeterminata X cu coeficienţi reali formează spaţiu

vectorial peste corpul K în raport cu adunarea polinoamelor şi cu înmulţirea polinoamelor cu scalari.

1.2. Dependenţă şi independenţă liniară

Fie V un K – spaţiu vectorial.

Definiţie. Se spune că un vector Vv∈ este o combinaţie liniară de vectorii

Vv,,v,v n21 ∈K dacă există scalarii K,,, n21 ∈ααα K astfel încât

∑α=α++α+α==

n

1iiinn2211 vvvvv K .

Definiţie. Se spune că vectorii Vv,,v,v n21 ∈K formează un sistem de generatori pentru V

dacă orice vector Vv∈ se poate reprezenta ca o combinaţie liniară de vectorii n21 v,,v,v K , adică

∑α=∈ααα∃∈∀=

n

1iiin21 vva.î.K,,,,Vv K .

Definiţie. Un spaţiu vectorial V se numeşte de tip finit dacă pentru V există un sistem finit de

generatori.

Definiţie. Se spune că vectorii Vv,,v,v n21 ∈K sunt liniar dependenţi dacă există scalarii

K,,, n21 ∈ααα K nu toţi nuli, astfel încât

0vvv nn2211 =α++α+α K .

În caz contrar, se spune că vectorii sunt liniar independenţi.

Aşadar, se spune că vectorii Vv,,v,v n21 ∈K sunt liniar independenţi2 dacă orice relaţie de

forma 0vvv nn2211 =α++α+α K cu K,,, n21 ∈ααα K implică numai 0n21 =α==α=α K .

2 Noţiunea de independenţă liniară a vectorilor a fost introdusă de H. Grassmann

Capitolul I 4

1.3. Bază. Coordonate. Teorema lui Steinitz

Definiţie. Se spune că vectorii Vv,,v,v n21 ∈K formează o bază pentru K – spaţiul vectorial

V dacă sunt îndeplinite următoarele condiţii:

1) constituie un sistem de generatori pentru V şi

2) sunt liniar independenţi

adică

1') ∑α=∈ααα∃∈∀=

n

1iiin21 vv.î.aK,,,,Vv K şi

2') dacă 0vv nn11 =α++α K cu K,, n1 ∈αα K ,atunci 0n1 =α==α K .

Observaţie. Se poate demonstra că orice spaţiu vectorial diferit de spaţiul vectorial nul 0

admite cel puţin o bază şi că dacă o bază a unui spaţiu vectorial are un număr finit de vectori, atunci

toate bazele spaţiului respectiv au acelaşi număr de vectori.

Definiţie. Fie V un spaţiu vectorial. Dimensiunea lui V se notează cu Vdim şi se defineşte

astfel

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∞

≠

=

=

itde tip finV nu este dacă,

vectorindinformatăbazăoadmiteinit si, de tip f0Vdacă,n

0Vdacă,0

Vdim

Observaţie. Dacă ∞<= nVdim , se notează acest lucru şi prin nV .

Exemple.

1) În spaţiul real n – dimensional nR o bază este n21 e,,e,eB K= , unde

( )0,,0,0,1e1 K= , ( )0,,0,1,0e2 K= , ..., ( )1,0,,0,0en K= . Ea se numeşte baza canonică a lui nR .

Evident ndim n =R .

2) În R – spaţiul n,mM ( )R baza canonică este n,1j,m,1i,EB ij === , unde ijE este

matricea care are elementul 1 la intersecţia liniei i cu coloana j şi în rest toate elementele nule. Evident

dim n,mM ( )R nm ⋅= .

3) În R – spaţiul [ ]XR o bază este KK ,X,,X,X,1B n2 = . Astfel, [ ]XR este un spaţiu

vectorial infinit dimensional.

SPAŢII VECTORIALE

5

Definiţie. Fie nV un K – spaţiu vectorial, n21 e,,e,eB K= o bază a lui nV şi nVv∈ .

Scalarii unic determinaţi K,, n1 ∈αα K astfel încât

nn11 eev α++α= K

se numesc coordonatele vectorului v în baza B.

Teoremă (teorema înlocuirii sau a lui Steinitz). Fie nV un K – spaţiu vectorial,

n21 u,,u,uB K= o bază a sa şi p21 v,,v,vS K= , np ≤ un sistem de p vectori liniar independenţi

din nV . Atunci, există p vectori din B (fără a restrânge generalitatea, putem să-i presupunem pe primii

p) care înlocuiţi cu vectorii sistemului S conduc la baza n1pp21 u,,u,v,,v,v'B KK += pentru nV .

Demonstraţie. Dacă 1p = , atunci 1vS = unde 0v1 ≠ . Cum B este o bază pentru nV

avem

(1) ∑α==

n

1iii1 uv , unde nu toţi iα sunt 0.

Presupunem că 01 ≠α (în caz contrar schimbăm numerotarea vectorilor). Din (1) obţinem

(2) n1

n2

1

21

11 uuv

1u

α

α−−

α

α−

α= K .

Să arătăm că 'B este un sistem de generatori pentru nV .

Fie nVv∈∀ . Din faptul că B este bază, avem

,uuv

uuuuv1

uuuv

n1

n1n2

1

2121

1

1

nn22n1

n2

1

21

11

nn2211

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

α

αλ−λ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

α

αλ−λ+

α

λ=

λ++λ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

α

α−−

α

α−

αλ=

λ++λ+λ=

K

KK

K

deci 'B este sistem de generatori pentru nV .

Să arătăm că vectorii din 'B sunt liniar independenţi.

Fie 0uuv nn2211 =β++β+β K . Înlocuind 1v din (1) obţinem

( ) ( ) 0uuu nnn12221111 =β+αβ++β+αβ+αβ K .

Cum n21 u,,u,uB K= este bază pentru nV trebuie ca

0,,0,0 nn122111 =β+αβ=β+αβ=αβ K cu 01 ≠α .

Rezultă 0n21 =β==β=β K , deci vectorii lui 'B sunt liniar independenţi.

Presupunem că am înlocuit 1s − vectori 1s1 u,,u −K din B cu primii 1s − vectori 1s1 v,,v −K

din S şi că ns1s1 u,,u,v,,v"B KK −= constituie o bază pentru nV . Avem

Capitolul I 6

(3) nnss1s1s11s uuvvv α++α+α++α= −− KK ,

unde cel puţin un n,1i,0i =≠α . Presupunem că 0s ≠α . Din (3) avem

(4) ns

n1s

s

1s1s

s

1s1

s

1s

ss uuvvv

1u

α

α−−

α

α−

α

α−−

α

α−

α= +

+−

−KK .

Să arătăm că înlocuind su din "B cu sv din S obţinem o nouă bază

n1ss11 u,,u,v,,vB KK += .

Cum "B este bază, Vv∈∀ se scrie

(5) nnss1s1s11 uuvvv λ++λ+λ++λ= −− KK .

Înlocuind su , din (4) obţinem

,uu

vvv

uu

uuvvv1

vvv

ns

nsn1s

s

1ss1s

ss

s1s

s

1ss1s1

s

1s1

nn1s1s

ns

n1s

s

1s1s

s

1s1

s

1s

ss1s1s11

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

α

αλ−λ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

α

αλ−λ+

++α

λ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

α

αλ−λ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

α

αλ−λ=

=λ++λ+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

α

α−−

α

α−

α

α−−

α

α−

αλ+λ++λ=

++

+

−−

−

++

++

−−

−−

K

KK

K

KKK

deci vectorii lui 1B formează un sistem de generatori pentru V.

Să arătăm că vectorii din 1B sunt liniar independenţi.

Fie relaţia

0uuvvv nn1s1sss1s1s11 =β++β+β+β++β ++−− KK .

Înlocuind pe sv din relaţia (3), obţinem

( )0uu

uuvvvv

nn1s1s

nnss1s1s11s1s1s11

=β++β+

+α++α+α++αβ+β++β

++

−−−−

K

KKK

sau

( ) ( )

( ) ( ) 0uu

uvv

nnsn1s1ss1s

sss1s1ss1s11s1

=αβ+β++αβ+β+

+αβ+αβ+β++αβ+β

+++

−−−

K

K

Cum "B este bază, rezultă

0,,0,0,0,,0 nsn1ss1sss1ss1s1s1 =αβ+β=αβ+β=αβ=αβ+β=αβ+β ++−− KK

Ţinând seama că 0s ≠α rezultă 0n1ss1ss1 =β==β=β=β=β=β +− KK , deci vectorii

lui 1B sunt liniar independenţi.

SPAŢII VECTORIALE

7

1.4. Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare de bază

Fie V un K – spaţiu vectorial n dimensional şi n21 v,,v,vB K= o bază pentru V.

Un vector Vx∈ se exprimă cu ajutorul bazei B ca o combinaţie liniară

(1) ∑λ==

n

1iiivx .

Considerând matricele

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

n

2

1

v

v

v

vM

şi ( )n21 λλλ=λ K

relaţia (1) se scrie matriceal sub forma

(2) vx λ= .

Fie o bază n21 u,,u,u'B K= a spaţiului V. În baza 'B vectorul x se scrie sub forma

(3) ux α= , unde ( )n21 ααα=α K şi

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

n

2

1

u

u

u

uM

.

Vectorii bazei 'B fiind din V sunt combinaţii liniare de vectorii bazei B, adică

(4)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+++=

+++=

+++=

nnn22n11nn

nn22221212

nn12121111

vavavau

.....................................................

vavavau

vavavau

K

K

K

.

Dacă notăm cu

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

A

K

LLLL

K

K

,

atunci relaţiile (4) se scriu sub forma

(5) Avu = .

Capitolul I 8

Deoarece vectorii n21 u,,u,u K sunt liniar independenţi avem 0Adet ≠ , deci există 1A− . Din

(5) obţinem uAv 1−= şi înlocuind în (2) avem

(6) uAx 1−λ= .

Comparând (3) cu (6) obţinem

(7) 1A−λ=α

relaţie care dă schimbarea coordonatelor vectorului x la schimbarea de bază 'BB → .

Exemple.

1) Dacă 321 v,v,vB = şi 321 vv2v5x ++= , atunci expresia lui x în raport cu vectorii din

baza 321 u,u,u'B = , unde

21312321 v8vu,vu,v2v5u +==+=

este

321 u161

u1681

u21

x −+= .

Într-adevăr, uAx 1−λ= , unde ( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛==λ

3

2

1

u

u

u

u,

081

001

250

A,125 .

Cum inversa matricei A este

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=−

558

220

0160

161

A 1 efectuând calculele, obţinem

321 u161

u1681

u21

x −+= .

2) Dacă n21 v,,v,vB K= şi n21 nvv2vx +++= K , atunci expresia lui x în raport cu

vectorii din baza n21 u,,u,u'B K= , unde

1n321n

n4213

n4312

n3211

vvvvu

...............................................

vvvvu

vvvvu

vvvvu

−++++=

++++=

++++=

++++=

K

K

K

K

este

( ) n321

2u1nu2uu

22nn

x −−−−−+−

= K .

SPAŢII VECTORIALE

9

Într-adevăr, uAx 1−λ= , unde

( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==λ

n

3

2

1

u

u

u

u

u,

0111

1011

1101

1111

A,n321

M

K

LLLLL

K

K

K

K .

Cum inversa matricei A este

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

−

=−

1001

0101

0011

111n2

A 1

K

LLLLL

K

K

K

efectuând calculele, obţinem

( ) n321

2u1nu2uu

22nn

x −−−−−+−

= K .

1.5. Mulţimi convexe

Definiţie. Fie V un spaţiu vectorial real şi VA ⊂ o submulţime nevidă a sa. Mulţimea A se

numeşte convexă dacă

Ax,x 21 ∈∀ şi [ ]1,0∈λ∀ avem ( ) Ax1x 21 ∈λ−+λ ,

adică dacă odată cu două puncte conţine întregul segment determinat de cele două puncte.

Notând 21 -λ1, λ=λ=λ avem [ ]1,0, 21 ∈λλ cu 121 =λ+λ .

Definiţia precedentă se poate reformula astfel:

Mulţimea A se numeşte convexă dacă

Ax,x 21 ∈∀ şi [ ]1,0, 21 ∈λλ∀ cu 121 =λ+λ avem Axx 2211 ∈λ+λ .

Această definiţie are avantajul că poate fi generalizată.

Mulţimea A se numeşte convexă dacă

Ax,,x,x n21 ∈∀ K şi [ ]1,0,,, n21 ∈λλλ∀ K cu 1n21 =λ++λ+λ K avem

Axxx nn2211 ∈λ++λ+λ K .

Observaţii.

1) Intersecţia a două mulţimi convexe este o mulţime convexă.

2) Reuniunea a două mulţimi convexe nu este în general o mulţime convexă.

Capitolul I 10

Definiţie. Fiind daţi vectorii Vv,,v,v n21 ∈K , se spune că vectorul v este o combinaţie

liniară convexă de vectorii n21 v,,v,v K dacă

nn2211 vxvvv ++λ+λ= K ,

unde [ ]1,0,,, n21 ∈λλλ K şi 1n21 =λ++λ+λ K .

Observaţie. Combinaţia liniară convexă este un caz particular de combinaţie liniară.

Definiţie. Fie A o mulţime convexă. Un punct Ax∈ se numeşte vârf (sau extrem) dacă nu se

poate exprima ca o combinaţie convexă de alte două puncte din A.

1.6. Probleme propuse

1. Să se studieze dependenţa liniară pentru sistemele de vectori:

a) ( ) ( ) ( )9,7,5v,6,5,4v,3,2,1v 321 === în 3R ;

b) ( ) ( ) ( )2,1,3v,3,1,2v,1,2,1v 321 === în 3R ;

c) ( ) ( ) ( ) ( )5,3,0,2v,3,0,2,1v,2,4,1,2v,0,0,3,3v 4321 −=−=−=−= în R4.

2. În 3R se dau vectorii ( ) ( ) ( )7,5,2v,9,4,1v,3,2,1v 321 === .

a) Să se arate că 321 v,v,v formează o bază.

b) Să se determine coordonatele vectorului ( )5,8,7v = în baza 321 v,v,v .

3. Fie în 3R baza 321 v,v,vB = cu ( ) ( ) ( )9,4,1v,3,2,1v,1,1,1v 321 === .

Să se determine coordonatele vectorului 321 vvv2x −+= în baza 321 u,u,u'B = , unde

( ) ( ) ( )1,2,1u,0,2,0u,0,0,1u 321 −=== .

4. În 4R se dau vectorii ( ) ( ) ( ),1,1,0,0v,1,0,1,1v,1,2,1,1v 321 −=−== ( )0,2,2,1v4 = .

a) Să se arate că 4321 v,v,v,v formează o bază.

b) Să se determine coordonatele vectorului ( )1,1,1,1v = în baza 4321 v,v,v,v .

FORME LINIARE. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE

11

CAPITOLUL al II-lea

FORME LINIARE. FORME BILINIARE. FORME PĂTRATICE 2.1. Forme liniare

Fie V un K – spaţiu vectorial.

Definiţie. O aplicaţie KV:f → se numeşte formă liniară pe V dacă îndeplineşte următoarele

condiţii:

1) ( ) ( ) ( ) Vy,x,yfxfyxf ∈∀+=+ (f este aditivă);

2) ( ) ( ) Vx,K,xfxf ∈∀∈α∀α=α (f este omogenă).

Observaţie. Condiţiile 1) şi 2) sunt echivalente cu condiţia

3) ( ) ( ) ( ) Vy,x,K,,yfxfyxf ∈∀∈βα∀β+α=β+α .

Consecinţă. Dacă KV:f → este o formă liniară, n21 v,...,v,vB = este o bază în V şi

∑==

n

1iiivxx este un vector oarecare din V, atunci

( ) ( )∑=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑=

==

n

1iii

n

1iii vfxvxfxf .

Notând ( ) n,1i,vfa ii == obţinem ( ) ∑==

n

1iiixaxf .

Această relaţie se numeşte expresia analitică a formei liniare f faţă de baza considerată B, iar

scalarii ( ) n,1i,vfa ii == se numesc coeficienţii lui f relativ la baza B.

Notăm cu V mulţimea tuturor formelor liniare pe V

liniarăformăfKV:fV →= .

Teoremă. Fie V un K – spaţiu vectorial şi Vg,f ∈ . Atunci

1) Vgf ∈+ ;

2) K,Vf ∈γ∀∈γ .

Demonstraţie. Într-adevăr, Vy,x,K, ∈∀∈βα∀ avem

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )ygfxgf

ygxgyfxf

yxgyxfyxgf

+β++α=

β+α+β+α=

β+α+β+α=β+α+

Capitolul al II - lea 12

şi

( )( ) ( )

( ) ( )[ ]

( )( ) ( )( ) .yfxf

yfxf

yxfyxf

γβ+γα=

β+αγ=

β+αγ=β+αγ

Prin verificarea axiomelor din definiţia spaţiului vectorial se argumentează următoarea

Teoremă. V este un K – spaţiu vectorial în raport cu adunarea formelor liniare şi cu

înmulţirea formelor liniare cu scalari.

V se numeşte spaţiul dual al spaţiului vectorial V.

Observaţie. Spaţiile vectoriale V şi V sunt izomorfe, deci dim V = dim V .

Sisteme de forme liniare

Definiţie. Fiind date m forme liniare

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+++=

+++=

+++=

nmn22m11mm

nn22221212

nn12121111

xaxaxay

xaxaxay

xaxaxay

K

M

K

K

ansamblul lor formează un sistem de forme liniare.

Matriceal, acest sistem se scrie

AXY = ,

unde

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

m

2

1

mn2m1m

n22221

n11211

m

2

1

x

x

x

X,

aaa

aaa

aaa

A,

y

y

y

YM

K

KKKK

K

K

M .

Matricea ( )n,1jm,1iijaA

=== se numeşte matricea sistemului de forme liniare, iar rangul matricei A

se numeşte rangul sistemului de forme liniare.

Definiţie. Dacă m = n, sistemul de forme liniare se numeşte transformare liniară.

Astfel, o transformare liniară T se poate scrie

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+++=

+++=

+++=

nnn22n11nn

nn22221212

nn12121111

xaxaxay

......................................................

xaxaxay

xaxaxay

T

K

K

K

sau matriceal


13

( ) AXYT = ,

unde

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

n

2

1

nn2n1n

n22221

n11211

n

2

1

x

x

x

X,

aaa

aaa

aaa

A,

y

y

y

YM

K

KKKK

K

K

M .

Observaţii.

1) Dacă 0Adet ≠ , atunci transformarea liniară se numeşte nedegenerată iar dacă 0Adet = ,

atunci transformarea liniară se numeşte degenerată.

2) Dacă nIA = , unde nI este matricea unitate, atunci transformarea liniară se numeşte

identică.

3) Dacă kA = , transformarea liniară se numeşte omotetie.

Operaţii cu transformări liniare

Fie AXY = şi BXZ = două transformări liniare. Definim suma acestor două transformări

liniare prin

( )XBAZY +=+ .

Fie acum transformările liniare AXY = şi BYZ = . Definim produsul sau compunerea lor prin

( )XBAYZ =o .

Dacă transformarea liniară AXY = este nedegenerată, atunci YAX 1−= se numeşte

transformarea inversă a transformării liniare AXY = .

Valori proprii şi vectori proprii pentru o matrice pătratică

Fie transformarea AXY = , unde

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nn2n1n

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

A

K

KKKK

K

K

. Prin această

transformare liniară, vectorului

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

n

2

1

x

x

x

XM

îi corespunde vectorul

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

n

2

1

y

y

y

YM

.


Ne punem problema găsirii unei transformări liniare prin care vectorului X să-i corespundă un

vector Y paralel cu X, adică să avem XY λ= .

Cum AXY = şi XY λ= , obţinem ( ) 0XIA n =λ− .

Ecuaţia ( ) 0IAdet n =λ− se numeşte ecuaţia caracteristică a matricei A.

Ecuaţia caracteristică se mai poate scrie şi sub forma

0

aaa

aaa

aaa

nn2n1n

n22221

n11211

=

λ−

λ−

λ−

K

KKKK

K

K

sau

0sss n1n1n

1n =+λ++λ+λ −

−K ,

unde n1n1 s,s,,s −K sunt coeficienţii ce rezultă din dezvoltarea determinantului precedent.

Rădăcinile ecuaţiei caracteristice se numesc valori proprii ale matricei A iar vectorii

corespunzători se numesc vectori proprii.

Exemplu. Să se determine valorile proprii ale matricei

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −−

=

1000

590

318

A .

Soluţie. Ecuaţia caracteristică a matricei A este

0

1000

590

318

=

λ−

λ−

−−λ−

sau echivalent

( )( )( ) 01098 =λ−λ−λ− .

Valorile proprii ale matricei A sunt 10,9,8 321 =λ=λ=λ .

Se poate demonstra următoarea teoremă

Teoremă (Cayley1 - Hamilton2). Orice matrice pătratică verifică propria ecuaţie caracteristică.

1 Arthur Cayley (1821 - 1895), matematician englez

2 William Rowan Hamilton (1805 - 1865), matematician şi mecanician irlandez


15

2.2. Forme biliniare. Forme pătratice

Fie V1 şi V2 două K – spaţii vectoriale.

Definiţie. O aplicaţie KVV:f 21 →× se numeşte formă biliniară dacă pentru 121 Vx,x,x ∈∀ ,

221 Vy,y,y ∈∀ şi K, ∈βα∀ îndeplineşte următoarele condiţii:

1) ( ) ( ) ( )y,xfy,xfy,xxf 2121 +=+ ;

2) ( ) ( ) ( )2121 y,xfy,xfyy,xf +=+ ;

3) ( ) ( )y,xfy,xf α=α ;

4) ( ) ( )y,xfy,xf β=β .

Observaţie. Condiţiile 1), 2), 3 )şi 4) sunt echivalente cu condiţiile:

5) ( ) ( ) ( ) 21212121 Vy,Vx,x,K,,y,xfy,xfy,xxf ∈∀∈∀∈βα∀β+α=β+α

6) ( ) ( ) ( ) 22112121 Vy,y,Vx,K,,y,xfy,xfyy,xf ∈∀∈∀∈βα∀β+α=β+α

Să considerăm cazul când spaţiile vectoriale V1 şi V2 au dimensiune finită.

Fie n211 u,...,u,uB = o bază în V1 şi m212 v,...,v,vB = o bază în V2.

Dacă ∑==

n

1iiiuxx şi ∑=

=

m

1jjjvyy , atunci

( ) ( )∑ ∑=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑∑=

= ===

n

1i

m

1jjiji

m

1jjj

n

1iii v,ufyxvy,uxfy,xf .

Notând ( ) m,1j,n,1i,v,ufa jiij === obţinem

( ) ∑ ∑== =

n

1i

m

1jjiij yxay,xf .

Această relaţie se numeşte expresia analitică a formei biliniare f faţă de bazele considerate B1

şi B2, iar scalarii ( ) m,1j,n,1i,v,ufa jiij === se numesc coeficienţii lui f relativ la bazele B1 şi B2.

Matricea ( ) ( )KaA n,mm,1jn,1iij M∈=

== se numeşte matricea formei biliniare f în raport cu bazele

B1 şi B2. Rangul matricei A se numeşte rangul formei biliniare f.

În continuare vom considera cazul particular V1 = V2 = V cu V un R – spaţiu vectorial.

Notăm cu ( )R,VB mulţimea tuturor formelor biliniare pe V

( ) R R →×= VV:f,VB f formă biliniară.


Se poate demonstra că ( )R,VB este un R – spaţiu vectorial în raport cu adunarea formelor

biliniare şi cu înmulţirea acestora cu scalari.

Definiţii. 1) Forma biliniară f se numeşte simetrică dacă

( ) ( ) Vy,x,x,yfy,xf ∈∀= .

2) Forma biliniară f se numeşte antisimetrică dacă

( ) ( ) Vy,x,x,yfy,xf ∈∀−= .

Teoremă. O formă biliniară ( )R,VBf ∈ este simetrică (respectiv antisimetrică) dacă şi numai

dacă matricea formei într-o bază fixată a spaţiului V este simetrică (respectiv antisimetrică).

Definiţie. Fie ( )R,VBf ∈ o formă biliniară simetrică. Funcţia f determină unic funcţia

( ) ( ) Vx,x,xfxf,V:f ∈∀=→ R ,

care se numeşte forma pătratică (asociată formei biliniare f).

Observaţie. Cunoaşterea formei pătratice f permite recuperarea formei biliniare simetrice f.

Într-adevăr, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y,yfx,yfy,xfx,xfyx,yxfyxf +++=++=+ şi cum

( ) ( ) Vy,x,x,yfy,xf ∈∀= rezultă că ( ) ( ) ( ) ( ) Vy,x,y,yfy,xf2x,xfyxf ∈∀++=+ . Astfel,

( ) ( ) ( ) ( )[ ] Vy,x,yfxfyxf21

y,xf ∈∀−−+= .

Forma biliniară simetrică f asociată formei pătratice f se numeşte forma polară sau forma

dedublată a formei pătratice f .

2.3. Forma canonică a unei forme pătratice reale. Signatura unei forme pătratice

reale

Fie V un R – spaţiu vectorial, ( )R,VBf ∈ o formă biliniară simetrică şi f forma pătratică

asociată.

Dacă n21 v,...,v,vB = este o bază în V, atunci pentru orice vector Vvxxn

1iii ∈∑=

=, forma

pătratică f are expresia analitică

( ) ( ) ( )

( ),xxaxxaxxa2xaxa

xxa

x,xfxf*

n1nn1nn1n121122nnn

2111

n

1i

n

1jjiij

−−

= =

+++++++=

∑ ∑=

=

KKK


17

unde ( ) n,1j,i,v,vfa jiij == .

A aduce la forma canonică forma pătratică f înseamnă a găsi o bază (numită bază canonică)

astfel încât în această bază forma pătratică să se scrie ca o sumă algebrică de pătrate.

Sunt mai multe metode de realizare a acestui lucru (metoda Gauss3, metoda Jacobi4, metoda

valorilor proprii).

Prezentăm în continuare metoda lui Gauss, metodă ce constă în completarea pătratelor.

Cazul I. Să presupunem că în expresia analitică (*) există cel puţin un n,1i,0aii =≠ . Fără a

restrânge generalitatea, fie acesta 11a .

Expresia analitică a formei pătratice f se poate scrie sub forma

( ) ( ) 2nnnn2n23223

2222nn12121

2111 xaxxa2xxa2xaxaxax2xaxf ++++++++++= KLK Notăm cu

nn1212 xaxa ++=α K , scoatem în factor 11a1

din toţi termenii ce conţin pe x1, adunăm şi scădem

termenii necesari astfel încât cu termenii ce conţin pe x1 să construim un pătrat perfect şi obţinem

( ) ( ) 2nnnn2n23223

2222

2

11

2111

11xaxxa2xxa2xa

a1

xaa1

xf ++++++α−α+= KL

sau

( ) ( ) ( )n22

nn121211111

x,,xgxaxaxaa1

xf KK ++++= ,

unde g este o formă pătratică în (n – 1) coordonate ( )n2 x,,x K .

Făcând transformarea de coordonate

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

+++=

,xy

.............

xy

xaxaxay

nn

22

nn12121111

K

expresia analitică a lui f devine

( ) ( )n221

11y,,ygy

a1

xf K+= .

În continuare, algoritmul constă în repetarea raţionamentului pentru forma pătratică în (n – 1)

variabile, nou obţinută.

3 Karl Friedrich Gauss (1777 - 1855), matematician, fizician şi astronom german

4 Karl Gustav Jacob Jacobi (1804 - 1851), matematician german


Cazul II. Dacă în expresia analitică (*) n,1i,0aii == iar f nu este identic nulă, atunci există cel

puţin un 0aij ≠ cu ji ≠ . În acest caz prin transformarea de coordonate

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−==

−=

+=

j,in,1k,zx

zzx

zzx

kk

jij

jii

cu forma pătratică ce se va obţine suntem în cazul I.

Observaţii.

1) Metoda Gauss reprezintă un algoritm elementar de aducere la forma canonică, dar nu

furnizează direct noua bază, ci schimbarea de coordonate pe baza căreia se determină noua bază.

2) O formă pătratică poate fi adusă la diferite forme canonice.

Teoremă (metoda lui Jacobi). Fie forma pătratică R→V:f având corespunzător bazei

n21 v,,v,vB K= expresia analitică

( ) ∑ ∑== =

n

1i

n

1jjiij xxaxf

cu toţi determinanţii

nn2n1n

n22221

n11211

n2221

12112111

aaa

aaa

aaa

,,aa

aa,a

K

KKKK

K

K

K =∆=∆=∆

nenuli. Atunci, există în V o bază 'v,,'v,'v'B n21 K= corespunzător căreia f are forma canonică

( ) 2n

n

1n22

2

121

1yyy

1xf

∆∆

++∆∆

+∆

= −K

cu ∑==

n

1iii 'vyx .

Metoda Jacobi este utilă când se cere determinarea rapidă a formei canonice (de exemplu în

aprecierea naturii punctelor de extrem ale unei funcţii reale), fără a fi interesaţi şi de baza

corespunzătoare.

Metoda are dezavantajul că presupune neanularea tuturor determinanţilor n,1i,i =∆ .

Definiţii.

1) O formă pătratică R→V:f se numeşte pozitiv semidefinită (respectiv negativ

semidefinită) dacă ( ) 0xf ≥ (respectiv ( ) 0xf ≤ ), Vx∈∀ .


19

2) O formă pătratică R→V:f se numeşte pozitiv definită (respectiv negativ definită) dacă

( ) 0xf > (respectiv ( ) 0xf < ), 0Vx −∈∀ .

3) O formă pătratică R→V:f se numeşte nedefinită dacă Vv,v 21 ∈∃ astfel încât

( ) 0vf 1 > şi ( ) 0vf 2 < .

Fie ( ) ∑==

n

1i

2iixaxf o formă canonică a formei pătratice R→V:f . Se numeşte signatura

formei pătratice f tripletul de numere reale ( )d,q,p , în care:

p este numărul de coeficienţi din setul n21 a,,a,a K strict pozitivi;

q este numărul de coeficienţi din setul n21 a,,a,a K strict negativi;

( )qpnd +−= (numărul de coeficienţi nuli).

Teoremă (legea de inerţie a lui Sylvester5). Signatura unei forme pătratice f este aceeaşi în

orice formă canonică a lui f .

Exemple.

1) Să se aducă la forma canonică, prin metoda lui Gauss şi apoi prin metoda Jacobi

următoarea formă pătratică

( ) ( ) 3321323121

23

22

21 x,x,xx,xx16xx12xx8x3xx2xf R ∈=+−+++= .

Soluţie.

Metoda lui Gauss

( )( )( )

( ) 3223

22

2321

3223

2232

23

22

2321

3223

223121

21

3223

223121

21

xx40x15x7x6x4x221

xx16x3xxx24x18x8x6x4x221

xx16x3xxx24xx16x421

xx16x3xxx12xx8x2f

+−−−+=

++++−−−+=

+++−+=

+++−+=

Făcând transformarea de coordonate

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

−+=

33

22

3211

xy

xy

x6x4x2y

,

obţinem 3223

22

21 yy40y15y7y

21

f +−−= .

5 James Joseph Sylvester (1814 - 1897), matematician englez


Cu forma pătratică obţinută 3223

22 yy40y15y7g +−−= procedăm analog.

Astfel,

( )( )( )

( ) 23

232

21

23

23

232

21

2332

22

21

2332

22

21

y7

295y20y7

71

y21

y15y7

400y20y7

71

y21

y15yy280y4971

y21

y15yy40y7y21

f

+−−=

−+−−=

−−−=

−+−+=

Făcând transformarea de coordonate ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−=

=

33

322

11

yz

y20y7z

yz

,

obţinem pentru forma pătratică f forma canonică 23

22

21 z

7295

z71

z21

f +−= .

Metoda Jacobi.

Matricea formei pătratice f relativ la baza canonică a spaţiului R3 este ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

386

814

642

A .

Determinanţii 321 ,, ∆∆∆ sunt

590

386

814

642

,1414

42,2 321 −=

−

−

=∆−==∆=∆ .

Forma canonică a formei pătratice f este

23

22

21

23

22

21 y

2957

y71

y21

y59014

y142

y21

f +−=−−

+−

+= .

2) Să se aducă la forma canonică, forma pătratică 323121 xx3xx2xxf ++= .

Soluţie. Cum 0a12 ≠ , facem substituţia ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−=

+=

33

212

211

yx

yyx

yyx

şi obţinem

( )( ) ( ) ( )

.yyyy5yy

yyy3yyy2yyyyf

323122

21

3213212121

−+−=

−+++−+=

Se continuă ca în exemplul precedent.


21


1. Să se aducă la forma canonică şi să se găsească signatura următoarelor forme pătratice:

a) 312123

22

21 xx6xx4x3x2xf ++++= ;

b) 32312123

22

21 xx8xx6xx2xx4x2f +−+−+= ;

c) 243221

21 xxx2xx7x3f +++= ;

d) 32312123

22

21 xx2xx4xxx2x3xf +−+−+= ;

e) 31322123

22

21 xx2xx4xxxx2xf −+−++= ;

f) 32312123

22

21 xx4xx3xxx4xx2f +−+−+= ;

g) 32312123

22

21 xx6xx4xx2x3x2xf −+−++= ;

h) 312123

22

21 xx6xx4x70x20xf +−++= ;

i) 323121 xxxxxxf ++= .

Care dintre aceste forme sunt pozitiv definite şi care sunt negativ definite?

2. Folosind teorema Cayley – Hamilton să se calculeze inversa matricei A, unde:

a) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

=

331

211

321

A ; b)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0111

1100

0110

0011

A .

SISTEME DE ECUAŢII LINIARE

23

CAPITOLUL al III-lea


3.1. Noţiuni generale

Fie sistemul de m ecuaţii liniare cu n necunoscute, n21 x,,x,x K

(1)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++

=+++

mnmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

bxaxaxa

.........................................................

bxaxaxa

bxaxaxa

K

K

K

Notând

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

m

2

1

0

n

2

1

mn2m1m

n22221

n11211

b

b

b

P,

x

x

x

X,

aaa

aaa

aaa

AMM

K

KKKK

K

K

sistemul (1) se poate scrie sub forma

(2) 0PAX =

numită forma matriceală.

Matricea A se numeşte matricea sistemului, numerele m21 b,,b,b K se numesc termeni liberi,

iar matricea ( )0PA care se obţine din A prin adăugarea coloanei termenilor liberi se numeşte matricea

extinsă a sistemului.

Un sistem ordonat de numere n21 ,,, ααα K se numeşte soluţie a sistemului (1) dacă

înlocuind în (1) pe jx cu n,1j,j =α , toate cele m ecuaţii sunt verificate, adică

( '1 )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=α++α+α

=α++α+α

=α++α+α

.baaa

baaa

baaa

mnmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

K

M

K

K

Un sistem de ecuaţii care nu are soluţie se numeşte incompatibil.

Capitolul al III - lea 24

Un sistem de ecuaţii care are cel puţin o soluţie se numeşte compatibil.

Un sistem compatibil se numeşte determinat dacă are o singură soluţie şi se numeşte

nedeterminat dacă are mai mult decât o soluţie.

Dacă n,mminrrangA ≤= , atunci există cel puţin un minor de ordin r al lui A cu proprietatea

de a fi nenul.

Minorul de ordin r având proprietatea menţionată, o dată ales, este menţinut fix în decursul

studierii sistemului dat. Acest minor se numeşte determinantul principal al sistemului şi se notează cu

p∆ .

Necunoscutele ai căror coeficienţi se găsesc în determinantul principal se numesc

necunoscute principale, iar celelalte necunoscute se numesc necunoscute secundare.

Ecuaţiile ai căror coeficienţi se găsesc în determinantul principal se numesc ecuaţii principale,

iar celelalte ecuaţii se numesc ecuaţii secundare.

Orice determinant obţinut prin bordarea determinantului principal cu o linie formată din

coeficienţii necunoscutelor principale dintr-o ecuaţie secundară şi cu coloana termenilor liberi din liniile

corespunzătoare se numeşte determinant caracteristic.

Numărul determinanţilor caracteristici ai sistemului (1) este egal cu numărul ecuaţiilor

secundare ale acestui sistem.

Pentru studiul compatibilităţii sistemelor de ecuaţii liniare, amintim următoarele teoreme:

Teorema lui Rouché. Sistemul (1) este compatibil dacă şi numai dacă toţi determinanţii

caracteristici sunt nuli sau nu există asemenea determinanţi.

Teorema lui Kronecker – Capelli. Sistemul (1) este compatibil dacă şi numai dacă

( )0PArangrangA = .

Pentru găsirea soluţiilor unui sistem compatibil, păstrăm din sistemul dat ecuaţiile care

corespund liniilor minorului principal. În aceste ecuaţii, trecem în membrul drept termenii care conţin

necunoscutele secundare, în membrul stâng păstrând numai termenii care conţin necunoscutele

principale.

Asupra rezolvării sistemului pătratic astfel obţinut avem mai multe metode: reducerii,

substituţiei, Cramer1, Gauss.

1 Gabriel Cramer (1704 - 1752), matematician elveţian


25

3.2. Metoda lui Gauss de rezolvare a sistemelor

Fie sistemul (1) în care m = n = rangA

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=++++++

=++++++

=++++++

=++++++

++−−

++−−

++−−

++−−

.bxaxaxaxaxa

.........................................................................................

bxaxaxaxaxa

.........................................................................................

bxaxaxaxaxa

.........................................................................................

bxaxaxaxaxa

nnnn1i1niini1i1ni11n

knkn1i1kiiki1i1ki11k

inin1i1iiiii1i1ii11i

1nn11i1i1ii11i1i1111

KK

KK

KK

KK

Notând

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

n

2

1

0

n

2

1

nn2n1n

n22221

n11211

b

b

b

P,

x

x

x

X,

aaa

aaa

aaa

AMM

K

KKKK

K

K

sistemul (1) se poate scrie sub

forma

(2) 0PAX = .

Cum 0Adet ≠ avem 01

n PAXI −= , nI fiind matricea unitate

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

100

010

001

In

K

KKKK

K

K

.

Deci a rezolva sistemul ( )0PA revine la a obţine sistemul de forma ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

01

n PAI .

Cu alte cuvinte a rezolva sistemul înseamnă a face ca din matricea A să obţinem matricea

unitate In lucrând numai cu liniile (adică ecuaţiile) sistemului.

Aceasta înseamnă că trebuie să eliminăm:

- necunoscutele x2, …, xn din prima ecuaţie;

- necunoscutele x1,x3, …, xn din a doua ecuaţie;

M

- necunoscutele x1,x2, …, xn-1 din a n –a ecuaţie;

şi mai mult

- necunoscuta x1 să rămână în prima ecuaţie cu coeficientul 1;

- necunoscuta x2 să rămână în a doua ecuaţie cu coeficientul 1;

M

- necunoscuta xn să rămână în a n –a ecuaţie cu coeficientul 1.


Pentru a elimina din ecuaţia k necunoscuta xi procedăm astfel: înmulţim ecuaţia i cu ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ii

kiaa

(deci trebuie ca 0aii ≠ ) şi apoi o adunăm cu ecuaţia k.

Obţinem

ii

kiikn

ii

inkikn1i

ii

1iiki1ki

1iii

1iiki1ki1

ii

1iki1k

aa

bbxaa

aaxa

aaa

0xa

aaax

aa

aa

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++

+

−−

−

K

K

Notând coeficienţii necunoscutelor x1, …, xi-1, xi, xi+1, …, xn din această ecuaţie cu

kn1kiki1ki1k 'a,...,'a,'a,'a,...,'a +− avem

(*) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

≠=−=

.n,1k,0'a

ij,n,1j,a

aaa'a

ki

ii

ijkikjkj

Formulele (*) permit eliminarea necunoscutelor aşa cum am cerut

( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛→ −

01

n0 PAIPA .

Exemplu. Să se rezolve prin metoda lui Gauss sistemul

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−

=−+

=++

3xxx2

5xx3x2

6xxx

321

321

321

.

Soluţie.

( )

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

−⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−−

−⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

3

2

1

100

010

001

~

3

2

3

100

010

011

~

3

7

6

100

310

111

~

~

30

7

6

1000

310

111

~

9

7

6

130

310

111

~

3

5

6

112

132

111

PA 0

Soluţia sistemului este ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

=

3x

2x

1x

3

2

1

.

Observaţie. Pentru aflarea inversei matricei sistemului dat plecăm de la ( )nIA şi trebuie să

ajungem la ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −1

n AI .


27

Cu alte cuvinte a afla inversa matricei sistemului dat înseamnă a face ca din matricea A să

obţinem matricea unitate In lucrând numai cu liniile sistemului.

Exemplu. Să se determine prin metoda lui Gauss inversa matricei asociate sistemului

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−

=−+

=++

3xxx2

5xx3x2

6xxx

321

321

321

.

Soluţie.

( )

.

101

103

54

103

101

52

52

51

51

100

010

001

~

101

103

54

103

101

52

101

103

51

100

010

011

~

101

103

54

012

001

100

310

111

~

~

138

012

001

1000

310

111

~

102

012

001

130

310

111

~

100

010

001

112

132

111

IA 3

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

−

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−

−⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

−−

−⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

Inversa matricei asociate sistemului este

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

−

=−

101

103

54

103

101

52

52

51

51

A 1 .

3.3. Soluţii de bază ale unui sistem

Fie sistemul liniar (1).

Notând

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mn

n2

n1

n

2m

22

12

2

1m

21

11

1

a

a

a

P,,

a

a

a

P,

a

a

a

PM

KMM

sistemul (1) se poate scrie şi sub forma

0nn2211 PPxPxPx =+++ K

numită forma vectorială.


Presupunem că rangA = m < n.

n21 P,,P,P K sunt vectori din Rm.

Pentru ca m vectori să formeze o bază în Rm trebuie ca determinantul format din componentele

lor să fie diferit de zero.

Cu vectorii Pj, n,1j = se pot forma maxim mnC baze în Rm.

Dacă avem o bază m21 P,,P,PB K= lăsând necunoscutele principale în membrul stâng şi

trecând necunoscutele secundare în membrul drept, obţinem

( )nn1m1m0mm2211 PxPxPPxPxPx ++−=+++ ++ KK .

Se numeşte soluţie de bază corespunzătoare bazei B, soluţia care se obţine prin anularea

necunoscutelor secundare ( )0xx n1m ===+ K .

Deci pentru soluţia de bază corespunzătoare bazei B avem

0mm2211 PPxPxPx =+++ K .

Dacă xi > 0, m,1i = soluţia de bază se numeşte soluţie de bază pozitivă. Dacă xi ≠ 0, m,1i =

soluţia de bază se numeşte nedegenerată şi degenerată în caz contrar.

Exemplu. Să se afle soluţiile de bază ale sistemului

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++

=+++

8x6x4x3x2

5x4x3x2x

4321

4321.

Soluţie. În cazul nostru m = 2, n = 4,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

8

5P,

6

4P,

4

3P,

3

2P,

2

1P 04321

şi cu vectorii P1, P2, P3, P4 se pot forma maxim 6C24 = baze în R2.

Verificăm dacă S1 = P1, P2 este bază.

Cum 0132

211 ≠−==∆ rezultă că vectorii sistemului S1 formează o bază B1.

Pentru a găsi soluţia de bază corespunzătoare bazei B1 = P1, P2 anulăm necunoscutele

secundare (x3 = x4 = 0).

Obţinem sistemul

⎩⎨⎧

=+

=+

8x3x2

5x2x

21

21

care are soluţia x1 = 1, x2 = 2.

Soluţia de bază corespunzătoare bazei B1 este astfel ( )0,0,2,1x1B = .


29

Verificăm dacă S2 = P1, P3 constituie o bază.

Cum 0242

312 ≠−==∆ rezultă că vectorii sistemului S2 constituie o bază B2.

Pentru a găsi soluţia de bază corespunzătoare bazei B2 = P1, P3 anulăm necunoscutele

secundare (x2 = x4 = 0).

Obţinem sistemul

⎩⎨⎧

=+

=+

8x4x2

5x3x

31

31


Soluţia de bază corespunzătoare bazei B2 este astfel ( )0,1,0,2x2B = .

Analog pentru S3 = P1, P4, S4 = P2, P3, S5 = P2, P4, S6 = P3, P4.

S3, S4, S6 constituie baze (S5 nu constituie bază, deoarece 063

425 ==∆ ) iar soluţiile de

bază corespunzătoare bazelor B3 = P1, P4, B4 = P2, P3, B6 = P3, P4 sunt respectiv

( ) ( ) ( )2,1,0,0x,0,1,4,0x,1,0,0,1x643 BBB −=−== .

Observaţie. Soluţiile de bază 321 BBB x,x,x sunt soluţii de bază pozitive.


1. Să se rezolve sistemele:

a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−

=++

=−+

1x2xx3

6xxx

9xx2x2

321

321

321

; b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++

=+−

−=−+

18x5xx

7x2xx3

8x4xx2

321

321

321

;

c) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++

=+−

=−+

6xx2x3

2x3x2x

2xxx2

321

321

321

; d)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=++

=++

=−+−

=−−+

1xxx

0xxx

1xx2xx2

2xxxx

432

321

4321

4321

;

e)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−=−++

=+−+

=−+−

−=+−+

2x3xx4x

2xxx2x3

10xx2xx2

7x2x3x2x

4321

4321

4321

4321

.


2. Să se calculeze inversa matricei A, unde:

a) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

=

331

211

321

A ; b)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0111

1100

0110

0011

A .

3. Fie sistemul ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++

=−+

=−+

6xxx

1xxx2

2xx2x

321

321

321

.

a) Să se rezolve sistemul.

b) Să se calculeze inversa matricei asociate sistemului.

4. Să se afle soluţiile de bază ale sistemelor:

a) ⎩⎨⎧

=+−

=++

1x6xx2

8x3x2x

321

321 ; b) ⎩⎨⎧

=++

=++

7x6xx2

5x3x2x

321

321 ;

c) ⎩⎨⎧

=++

=++

7x4xx2

4x2xx

321

321 ; d) ⎩⎨⎧

=++−

=−++

0xxx4x2

2x4x3x2x

4321

4321 ;

e) ⎩⎨⎧

=−+++

=−+++

012x2x6xx2

010x4x3x2x

4321

4321 .

NOŢIUNI DE PROGRAMARE LINIARĂ

31

CAPITOLUL al IV-lea


4.1. Introducere

Multe probleme de mare importanţă practică, cum sunt cele de planificare, organizare,

amestec, transporturi, investiţii, etc au următoarea formă:

Să se afle valoarea maximă (minimă) a unei funcţii liniare de n variabile (numită funcţie scop

sau funcţie de eficienţă) ştiind că variabilele trebuie să satisfacă m condiţii exprimate sub forma unor

ecuaţii sau inecuaţii liniare.

Exemplu. O societate comercială realizează două produse P1 şi P2 folosind trei materii prime

M1, M2 şi M3.

Datele sunt cuprinse în tabelul de mai jos:

Se cere să se stabilească câte unităţi din produsul P1 şi câte din P2 trebuie să realizeze

societatea comercială astfel încât beneficiul să fie maxim şi să nu se depăşească disponibilităţile de

materii prime.

Soluţie. Notăm cu x, y numărul de unităţi din P1, respectiv P2 ce trebuie realizate de societatea

comercială pentru ca beneficiul să fie maxim.

Beneficiul este dat de

(1) f(x,y) = x + 3y.

Condiţiile cerute de problemă sunt:

(2) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤

≤+

≤+

10x2

12yx2

20y4x

(3) ⎩⎨⎧

≥

≥

0y

0x

P1 P2 Disponibil în

tone

M1 1 4 20

M2 2 1 12

M3 2 0 10

Beneficiu

unitar 1 3

Capitolul al IV - lea 32

Matematic, problema se enunţă astfel:

Să se determine maximul funcţiei (1) ştiind că sunt îndeplinite condiţiile (2) şi (3).

Pentru rezolvarea acestei probleme folosim metoda geometrică.

Reprezentăm grafic dreptele

d1: x + 4y = 20, d2: 2x + y = 12, d3: 2x = 10.

Din condiţiile (2), (3), se obţine poligonul convex OABCD, unde O(0,0), A(0,5), B(4,4), C(5,2),

D(5,0)

Mulţimea soluţiilor posibile ale problemei este dată de poligonul convex OABCD.

Problema noastră este să alegem din această infinitate de soluţii pe acea (acele) soluţie

(soluţii) care fac funcţia (1) maximă.

Se numeşte curbă de nivel orice dreaptă de ecuaţie f(x,y) = λ , R∈λ , adică x + 3y = λ . O

asemenea curbă de nivel este perpendiculară pe vectorul OP unde O(0,0) şi P(1,3).

Soluţia optimă (unde f ia valoarea maximă) trebuie să se găsească atât pe dreapta x + 3y = λ

cât şi să aparţină poligonului OABCD.

Distanţa d de la O la curba de nivel x + 3y - λ = 0 este 10

dλ

= .

Se observă că d este cu atât mai mare cu cât λ este mai mare în valoare absolută.

Rezultă că soluţia optimă este dată de ultimul vârf al poligonului OABCD când curba de nivel

variază, adică ultimul vârf întâlnit. În cazul nostru acesta este punctul B(4,4) şi deci fmax = f(4,4) = 4 +

3·4 = 16.

Concluzie. Beneficiul maxim se obţine făcând 4 unităţi din produsul P1 şi 4 unităţi din produsul

P2.

Observaţii.

1) Mulţimea soluţiilor sistemului (2), (3) numită şi mulţimea soluţiilor posibile este o mulţime

convexă (notată cu L).

2) Valoarea optimă (maximă sau minimă) a funcţiei scop, dacă există, se realizează în unul

din vârfurile poligonului convex (mulţimii soluţiilor posibile).


33

3) Dacă vectorul OP era, de exemplu, perpendicular pe BC, atunci funcţia scop (1) îşi

atingea valoarea maximă în orice punct al segmentului închis BC. În acest caz, mulţimea soluţiilor

optime este infinită. Acest caz este cel mai convenabil economiei, economistul alegând-o pe aceea pe

care o va considera mai potrivită.

4) Metoda geometrică (folosită în rezolvarea exemplului de mai sus) poate fi utilizată şi pentru

cazul funcţiilor de trei variabile, dar nu şi pentru funcţii de mai mult de 3 variabile.

Problema transporturilor

O anumită marfă ce se găseşte în depozitele (Di), m,1i = respectiv în cantităţile (ai), m,1i =

este cerută de magazinele (Mj), n,1j = respectiv în cantităţile (bj), n,1j = . Presupunem că cererea este

egală cu oferta, adică în depozitele (Di), m,1i = se găseşte atâta marfă cât este cerută de magazinele

(Mj), n,1j = deci

∑=∑==

n

1jj

m

1ii ba .

Cunoscând preţul de transport (cij), m,1i = , n,1j = al unei unităţi de marfă de la depozitul Di la

magazinul Mj, se cere să se organizeze astfel transportul încât preţul total de transport să fie minim.

Notăm cu (xij), m,1i = , n,1j = cantitatea de marfă ce o vom transporta de la depozitul Di la

magazinul Mj.

Trebuie să avem îndeplinite condiţiile:

- la fiecare magazin Mj să se transporte cantitatea de marfă bj cerută, deci

jm

1iij bx =∑

=, n,1j = ,

- la fiecare depozit să epuizăm întreaga cantitate de marfă ai existentă, deci

in

1jij ax =∑

=, m,1i = ,

- cantităţile xij de marfă transportată trebuie să fie mărimi nenegative, deci

0xij ≥ , m,1i = , n,1j = .

Preţul total al transporturilor este


∑ ∑== =

m

1i

n

1jijijxcf .

Rezumând, se cere să se afle minimul funcţiei

(1) ∑ ∑== =

m

1i

n

1jijijxcf

ştiind că necunoscutele xij îndeplinesc condiţiile:

(2)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==∑

==∑

=

=

m,1i,ax

n,1j,bx

in

1jij

jm

1iij

(3) 0xij ≥ , m,1i = , n,1j = .

Observaţii.

1) Funcţia f se mai numeşte şi funcţie scop sau de eficienţă

2) Coeficienţii cij se mai numesc şi coeficienţi tehnici.

3) Condiţiile (2), (3) se mai numesc şi restricţiile problemei

Problema resurselor

Dispunem de resursele (Ri), m,1i = , în cantităţile (ai), m,1i = (de exemplu: sume de bani,

materii prime, forţă de muncă, mijloace fixe, energie, etc) şi cu aceste resurse putem fabrica mai multe

produse (Pj), n,1j = . Se ştie că pentru fiecare unitate de produs Pj se consumă din fiecare resursă Ri

cantitatea aij, m,1i = , n,1j = şi că beneficiul obţinut prin fabricarea unei unităţi din produsul Pj, n,1j =

este cj unităţi monetare.

Se cere să se antecalculeze câte unităţi din fiecare produs să se realizeze astfel încât să nu se

depăşească resursele iar beneficiul obţinut să fie maxim.

Notăm cu (xj), n,1j = numărul unităţilor din produsul Pj ce trebuie fabricat.

Beneficiul este dat de

∑==

n

1jjjxcf .

Ca să nu depăşim resursele trebuie să avem


35

in

1jjij axa ≤∑

=, m,1i = .

Cum nu putem avea cantităţi negative fabricate, trebuie şi

0x j ≥ , n,1j = .

Rezumând, problema se reduce la a afla maximul funcţiei

( '1 ) ∑==

n

1jjjxcf

ştiind că trebuie îndeplinite condiţiile:

( '2 ) in

1jjij axa ≤∑

=, m,1i =

şi

( '3 ) 0x j ≥ , n,1j = .

Din cele două probleme prezentate (problema transporturilor, problema resurselor) observăm

că funcţia f a cărei valoare optimă (minimă sau maximă) trebuie să o aflăm este o funcţie liniară iar

restricţiile sunt date de sisteme de ecuaţii sau inecuaţii liniare.

O asemenea problemă, când atât funcţia scop cât şi sistemul restricţiilor sunt liniare se

numeşte problemă de programare liniară.

4.2. Diverse forme ale problemei de programare liniară

Din exemplele precedente rezultă că modelul matematic al unei probleme de programare

liniară are următoarea formă:

Să se determine valoarea maximă sau minimă (valoarea optimă) a funcţiei

(1) ∑==

n

1jjjxcf

în condiţiile:

(2) in

1jjij bxa

≥

=

≤

∑=

, m,1i =

(3) 0x j ≥ , n,1j = .

Observaţie. Orice restricţie de forma (2) care nu este de tip egalitate, poate fi adusă la forma

unei egalităţi, fie prin adăugarea unei mărimi pozitive, fie prin scăderea unei mărimi pozitive.


Se numeşte formă standard a unei probleme de programare liniară, forma următoare:

Să se determine valoarea maximă sau minimă (valoarea optimă) a funcţiei

( '1 ) ∑==

n

1jjjxcf

în condiţiile:

( '2 ) in

1jjij bxa =∑

=, m,1i =

( '3 ) 0x j ≥ , n,1j = .

Observaţii.

1) Dacă considerăm matricele

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mn2m1m

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

A

K

KKKK

K

K

,

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

m

2

1

b

b

b

BM

,

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

n

2

1

x

x

x

XM

,

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

n

2

1

c

c

c

CM

,

obţinem aşa numita formă matriceală adică:

Să se determine valoarea maximă sau minimă a funcţiei

( "1 ) XCf t=

în condiţiile

( "2 ) BAX =

( "3 ) 0X ≥ ( 0x j ≥ , n,1j = )

2) Dacă considerăm vectorii coloană

BP,

a

a

a

P,,

a

a

a

P,

a

a

a

P 0

mn

n2

n1

n

2m

22

12

2

1m

21

11

1 =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= M

KMM

,

obţinem aşa numita formă vectorială, adică:

Să se determine valoarea maximă sau minimă a funcţiei

( "'1 ) XCf t=

în condiţiile

( "'2 ) 0nn2211 PPxPxPx =+++ K

( "'3 ) 0X ≥ .

Observaţie. În cele ce urmează vom considera rang A = m < n.


37

4.3. Soluţii ale unei probleme de programare liniară

Fie o problemă de programare liniară dată sub una din formele de mai sus.

Definiţii. 1) Se numeşte soluţie posibilă orice vector nX R∈ care îndeplineşte condiţiile ( '2 ),

( '3 ) sau ( "2 ), ( "3 ) sau ( "'2 ), ( "'3 ).

Mulţimea soluţiilor posibile se notează cu L.

2) Se numeşte soluţie optimă, soluţia posibilă X care face funcţia f dată optimă (maximă sau

minimă).

3) Se numeşte soluţie de bază orice soluţie de bază a sistemului ( '2 ), ( '3 ) sau ( "2 ), ( "3 ) sau

( "'2 ), ( "'3 ).

Teoremă. Mulţimea soluţiilor posibile L este o mulţime convexă.

Demonstraţie. Fie X1 şi X2∈L două soluţii posibile diferite ale unei probleme de programare

liniară, adică

0X,BAX

0X,BAX

22

11

≥=

≥=

Fie X o combinaţie liniară convexă oarecare a soluţiilor X1 şi X2, adică

( ) 21 X1XX λ−+λ= cu [ ]1,0∈λ .

Deoarece

( )[ ] ( ) ( ) BB1BAX1AXX1XAAX 2121 =λ−+λ=λ−+λ=λ−+λ=

şi 0X ≥ rezultă că X este o soluţie posibilă a problemei. Am demonstrat astfel că mulţimea L este

convexă.

Teoremă. Orice soluţie de bază X a unei probleme de programare liniară este un vârf al

mulţimii soluţiilor posibile L şi reciproc, orice vârf al mulţimii L este o soluţie de bază.

Demonstraţie.

Direct. Fie

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0

0

x

x

x

X m

2

1

M

M

soluţia de bază corespunzătoare bazei formate cu primii m vectori P1, P2, …, Pm.


Presupunem prin absurd că soluţia de bază X nu ar fi un vârf al mulţimii soluţiilor posibile L.

Aceasta înseamnă că există două soluţii posibile

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

n

2

1

'x

'x

'x

'XM

,

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

n

2

1

"x

"x

"x

"XM

, "X'X ≠ astfel încât

( ) ( )1,0,"X1'XX ∈λλ−+λ= .

Relaţia ( ) "X1'XX λ−+λ= se poate scrie pentru fiecare componentă, astfel

( )( )

( )( )

( ) nn

1m1m

mmm

222

111

"x1'x0

"x1'x0

"x1'xx

"x1'xx

"x1'xx

λ−+λ=

λ−+λ=

λ−+λ=

λ−+λ=

λ−+λ=

++

M

M

Din ultimele n – m relaţii, rezultă că 0"x'x,,0"x'x nn1m1m ==== ++ K şi deci

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0

0

'x

'x

'x

'X m

2

1

M

M

,

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0

0

"x

"x

"x

"X m

2

1

M

M

.

Cum 'X şi "X sunt soluţii posibile, avem

0mm2211 PP'xP'xP'x =+++ K

şi

0mm2211 PP"xP"xP"x =+++ K

Se contrazice astfel ipoteza că vectorii m21 P,,P,P K sunt liniar independenţi, deci X este un

vârf al mulţimii soluţiilor posibile L.

Reciproc. Fie X un vârf al mulţimii L. Presupunem că primele m componente ale vectorului X

sunt nenule. Vom demonstra că vectorii m21 P,,P,P K corespunzători acestor componente sunt liniar

independenţi. Presupunem, prin absurd, că cei m vectori de mai sus, nu sunt liniar independenţi. Există

deci scalarii m21 ,,, λλλ K nu toţi nuli, astfel încât

0PPP mm2211 =λ++λ+λ K .


39

Pe de altă parte, cum X este soluţie posibilă avem

0mm2211 PPxPxPx =+++ K .

Au loc şi relaţiile

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) .PPxPxPx

PPxPxPx

0mmm222111

0mmm222111

=αλ−++αλ−+αλ−

=αλ+++αλ++αλ+

K

K

Putem alege α astfel încât iix αλ+ şi iix αλ− să fie nenegative pentru m,1i = . În aceste

condiţii,

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

αλ−

αλ−

αλ−

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

αλ+

αλ+

αλ+

=

0

0

x

x

x

X,

0

0

x

x

x

X mm

22

11

2mm

22

11

1

M

M

M

M

sunt două soluţii posibile.

Adunând aceste două soluţii, obţinem

X2

0

0

x2

x2

x2

XX m

2

1

21 =

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=+

M

M

,

adică

21 X21

X21

X += ,

ceea ce contrazice ipoteza făcută asupra lui X.

În consecinţă, presupunerea că vectorii m21 P,,P,P K ar fi liniar dependenţi este contrazisă. Am

demonstrat astfel că X este o soluţie de bază.

Teoremă. Dacă funcţia scop a unei probleme de programare liniară are optim finit, atunci

valoarea optimă este atinsă cel puţin într-un vârf al mulţimii soluţiilor posibile L.

Demonstraţie. Pentru a fixa condiţiile, fie o problemă de programare liniară în care se cere

maximul funcţiei scop.


Fie X0 o soluţie optimă a problemei, adică

( ) ( ) MXfmaxXfLX

0 ==∈

.

Presupunem, prin absurd, că X0 nu este unul dintre vârfurile k21 X,,X,X K ale mulţimii L.

Înseamnă că ∑λ==

k

1iii0 XX , unde [ ]1,0,,, k21 ∈λλλ K şi 1

k

1ii =∑λ

=.

Cum ∑λ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑λ==

==

k

1iii

k

1iii0 )X(fXf)X(fM , notând ( ) ( )YfXfmax i

k,1i=

=, avem

)Y(f)Y(f)X(fMk

1ii

k

1iii =∑λ≤∑λ=

==.

Deci )Y(fM ≤ , inegalitate care nu poate fi adevărată deoarece ( )XfmaxMLX∈

= şi deci

( ) ( )YfXf 0 = , adică X0 este un vârf.

Observaţie. Dacă funcţia scop a unei probleme de programare liniară are optim finit şi X1, X2

sunt două soluţii optime ale problemei, atunci

( ) 21 X1XX λ−+λ= cu [ ]1,0∈λ

este tot o soluţie optimă.

Din teoremele de mai sus rezultă că pentru rezolvarea unei probleme de programare liniară,

trebuie să determinăm toate soluţiile de bază (numărul lor fiind cel mult mnC ) şi dintre acestea vom

alege pe acelea care optimizează funcţia scop.

Exemplu. Să se determine maximul funcţiei

(1) f(x) = 2x1 + 3x2 + 4x3

în condiţiile:

(2) ⎩⎨⎧

=++

=++

8x5x3x2

3x2xx

321

321

(3) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

≥

≥

0x

0x

0x

3

2

1

Soluţie. În cazul nostru m = 2, n = 3, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1P1 , ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

3

1P2 , ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

5

2P3 , ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

8

3P0 şi cu vectorii

P1, P2, P3 se pot forma maxim 3C23 = baze în R2.

Verificăm dacă S1 = P1, P2 este bază.


41

Cum 0132

111 ≠==∆ rezultă că vectorii sistemului S1 formează o bază B1.

Pentru a găsi soluţia de bază corespunzătoare bazei B1 = P1, P2 anulăm necunoscuta

secundară (x3 = 0).

Obţinem sistemul

⎩⎨⎧

=+

=+

8x3x2

3xx

21

21


Soluţia de bază corespunzătoare bazei B1 este astfel ( )0,2,1x1B = .

Verificăm dacă S2 = P1, P3 constituie o bază.

Cum 0152

212 ≠==∆ rezultă că vectorii sistemului S2 constituie o bază B2.

Pentru a găsi soluţia de bază corespunzătoare bazei B2 = P1, P3 anulăm necunoscuta

secundară (x2 = 0).

Obţinem sistemul

⎩⎨⎧

=+

=+

8x5x2

3x2x

31

31

care are soluţia x1 = - 1, x3 = 2.

Soluţia de bază corespunzătoare bazei B2 este astfel ( )2,0,1x2B −= . Având o coordonată

negativă 2Bx nu este soluţie de bază (ea nu verifică a doua condiţie de nenegativitate din (3)).

Analog, pentru S3 = P2, P3 găsim ( )1,1,0x3B = .

Calculând valoarea funcţiei f pentru soluţiile de bază 1Bx ,

3Bx , avem

f(1,2,0) = 2·1 + 3·2 + 4·0 = 8

f(0,1,1) = 2·0 + 3·1 + 4·1 = 7,

deci fmax = 8, pentru x1 = 1, x2 = 2, x3 = 0.

Observaţie. Procedeul din exemplul dat este impracticabil pentru m, n mari.

Vom prezenta în continuare metoda simplex, elaborată de G. B. Dantzig, care a publicat

primele lucrări în acest sens în 1947. Ulterior a dat diverse variante ale metodei.


4.4. Metoda Simplex

Fie dată o problemă de programare liniară sub forma:

Să se determine maximul (minimul) funcţiei

∑==

n

1jjjxcf

în condiţiile:

0nn2211 PPxPxPx =+++ K ,

0x j ≥ , n,1j = .

Presupunem că primii m vectori m21 P,,P,P K formează o bază P,,P,PB m21 K= şi că

soluţia de bază corespunzătoare bazei B este

( )0,,0,0,B,,B,Bx m21B KK=

cu 0Bi > , m,1i = .

Determinând componentele vectorilor jP , n,1j = în raport cu baza B, întocmim primul tabel

simplex

Avem

(1) ∑==

m

1iii0 PBP ,

(2) ∑==

ββm

1iii PAP ,

(3) ∑==

m

1iiikk PAP , n,1mk += .

Algoritmul simplex constă în a înlocui un vector din baza B (de exemplu αP ) cu un vector din

afara bazei (de exemplu βP ) astfel încât sistemul nou obţinut P,,P,P,P,,P,P m1121 KK +αβ−α să

constituie o bază 'B , iar soluţia corespunzătoare să fie o soluţie de bază.


43

Să determinăm ce condiţii trebuie să îndeplinească vectorul βP .

Înmulţind (2) cu θ (număr real, deocamdată nedeterminat) şi scăzând rezultatul obţinut din (1),

avem

(4) ( ) β=

β θ+∑ θ−= PPABPm

1iiii0 .

Cum în relaţia (4) nu trebuie să existe vectorul αP , avem

0AB =θ− αβα

de unde obţinem pentru θ expresia αβ

α=θAB

.

Observaţie. Pentru a exista numărul θ trebuie ca 0AB ii >θ− β să fie diferit de zero.

αβA se numeşte pivot.

Urmărind acum ca soluţia corespunzătoare bazei 'B să fie o soluţie de bază, trebuie să avem

0AB ii >θ− β , m,1i = , α≠i .

Cum 0Bi > , pentru a avea îndeplinite condiţiile de mai sus este suficient ca pentru un θ

pozitiv şi elementul βiA să fie pozitiv şi să avem β

<θi

iAB

.

Rezultă deci că numărul pozitiv θ trebuie să fie valoarea minimă pozitivă a rapoartelor

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

βi

iAB

.

Componentele vectorului P0 în noua bază 'B (notate cu i'B , m,1i = ) sunt

(5) ⎪⎩

⎪⎨⎧

θ=

α≠=θ−=

β

β

.'B

i,m,1i,AB'B iii

Pentru întocmirea tabelului simplex SII, corespunzător bazei noi 'B , trebuie determinate

componentele tuturor vectorilor Pj, n,1j = în raport cu baza 'B .

Componentele vectorilor din baza 'B sunt toate 0 afară de componenta vectorului în raport cu

el însuşi care este 1.

Să determinăm componentele vectorilor Pk, n,1mk += din afara bazei 'B .

Înmulţind (2) cu kθ (număr real, deocamdată nedeterminat) şi scăzând-o din (3), avem

(6) ( ) β=

β θ+∑ θ−= PPAAP km

1iiikikk .


Cum în relaţia (6) nu trebuie să existe vectorul αP , avem

0AA kk =θ− αβα

de unde obţinem pentru kθ expresia αβ

α=θAA k

k .

Observaţie. kθ se obţine împărţind elementele de pe linia lui αP (vectorul scos din bază) la

elementul pivot ( αβA )

Componentele vectorilor Pk în baza 'B sunt

(7) ⎪⎩

⎪⎨⎧

θ=

α≠=θ−=

β

β

.'A

i,m,1i,AA'A

kk

ikikik

Algoritmul de trecere de la un tabel simplex S I la alt tabel simplex S II rezultă din formulele (5)

şi (7).

Algoritmul simplex ne permite să găsim soluţiile de bază. La fiecare tabel simplex avem câte o

soluţie de bază.

Pe de altă parte, am demonstrat că valoarea optimă a funcţiei scop se realizează într-o soluţie

de bază.

Construind prin algoritmul simplex soluţii de bază, se pun următoarele probleme:

- să ştim când am găsit soluţia de bază care realizează optimul funcţiei pentru a nu lucra mai

departe şi

- să căutăm să ajungem cât mai repede la această soluţie.

Pentru aceasta să vedem cum variază valoarea funcţiei scop atunci când trecem de la un tabel

simplex SI (deci de la o bază P,,P,P,P,,P,PB m1121 KK +αα−α= ) la un tabel simplex SII (la o bază

P,,P,P,P,,P,P'B m1121 KK +αβ−α= ).

Notăm cu z0 valoarea funcţiei scop în baza B şi cu 0'z valoarea funcţiei scop în baza 'B .

Avem

(8) ∑=∈Bj

jj0 Bcz , ∑=∈ 'Bj

jj0 'Bc'z .

Cum

⎪⎩

⎪⎨⎧

θ=

α≠∈θ−=

β

β

,'B

j,Bj,AB'B jjj

rezultă că


45

β∈

β∈

θ+∑ θ−=∑= c)AB(c'Bc'zBj

jjj'Bj

jj0

sau

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑−θ+∑=∈

ββ∈ Bj

jj'Bj

jj0 AccBc'z .

Deci

(9) ( )B00 zcz'z −θ+= β , unde ∑=∈

βBj

jjB Acz .

Notând

Bzc −=∆ ββ ,

se obţine

(10) β∆θ+= 00 z'z ,

relaţie ce ne dă variaţia funcţiei scop atunci când se trece de la o soluţie de bază la alta, adică de la un

tabel simplex la altul.

Dacă avem 0zc B >−=∆ ββ , cum 0>θ , rezultă că 00 z'z > , adică prin trecerea de la o

bază la alta, valoarea funcţiei scop devine mai mare.

Concluzie. În aplicarea algoritmului simplex, pentru determinarea soluţiei de bază care face

funcţia scop maximă, apar necesare condiţiile:

- să existe în afara bazei cel puţin un vector βP care să aibă cel puţin o componentă

pozitivă ( 0Ai >β )

- pentru vectorul ales βP trebuie ca diferenţa corespunzătoare 0zc B >−=∆ ββ .

Dacă există în afara bazei mai mulţi vectori care au componente pozitive cu diferenţe

corespunzătoare kkk zc −=∆ pozitive, în cazul căutării maximului funcţiei scop, vom alege pentru a fi

introdus în bază acel vector pentru care diferenţa k∆ este maximă.

Algoritmul simplex aplicat pentru determinarea maximului funcţiei scop se opreşte

- dacă toate diferenţele 0zc kkk ≤−=∆ (în acest caz, soluţia de bază dată de tabelul

simplex format corespunde vârfului care face funcţia scop maximă; valoarea corespunzătoare a lui z0

este valoarea maximă a funcţiei scop)

sau

- dacă există cel puţin o diferenţă kkk zc −=∆ pozitivă, dar vectorul Pk respectiv, din afara

bazei, nu are componente pozitive (în acest caz, problema de programare liniară nu are maxim finit).


Observaţii.

1) Atunci când se cere să se determine minimul funcţiei scop se iau în considerare diferenţele

kkk zc −=∆ negative. De obicei, se va lucra cu diferenţa minimă. 2) Pentru a lucra mai puţin şi a organiza calculele, tabelul simplex S I trebuie completat astfel:

Exemplu. Să se afle valoarea minimă a funcţiei f(x) = x1 + 2x2 – x3 când sunt îndeplinite

condiţiile

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=≥

=+−+

=+++

.5,1j,0x

4x2xx3x

3x3xx2x

j

5432

5431

Soluţie.

Cum nu mai avem diferenţe k∆ negative, algoritmul simplex se opreşte.

fmin = 5

7− şi se realizează pentru x1 = 0, x2 = 0, x3 =

5

7, x4 =

5

1, x5 = 0.


47


1. Să se determine maximul funcţiei y3x2)y,x(f += în condiţiile

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥≥

≤

≤

≤+

≤+

0y,0x

3y

4x

8y2x

6yx

.

2. Să se determine minimul funcţiei ( ) y3x2y,xf += în condiţiile

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥≥

≥+

≥+

≥+

0y,0x

8y4x

2y3x4

6yx6

.

3. Să se determine valoarea maximă a funcţiei f în condiţiile date în fiecare din cazurile:

a) 321 xx2xf ++= , ⎩⎨⎧

=++

=+−

3x3xx2

2xxx3

321

321 , 3,1i,0xi =≥ ;

b) 21 xx2f += ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++

=+−

=++−

5xxx

2xx2x

2xxx2

521

421

321

, 5,1i,0xi =≥ ;

c) 4321 xx2xxf −++= ,⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+++

=−++−

=+−+

6x4xxx

3x2xxx2

2x4xxx

4321

4321

4321

4,1i,0xi =≥ ;

d) 321 x4x2x3f +−= , ⎩⎨⎧

=++

=++

4xx3x3

3x2x3x

321

321 , 3,1i,0xi =≥ ;

e) 4321 xx2x2xf +++= , ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+

=+−

1xxx

1x21

xx

432

431 , 4,1i,0xi =≥ ;

f) 321 x2xx3f −+= , ⎩⎨⎧

−=+−

=+−

1xxx

7xxx2

321

321 , 3,1i,0xi =≥ .


4. Să se determine minimul funcţiei f în condiţiile date în fiecare din cazurile:

a) f = x2 - 3x3 + 2x5 ,

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=≥

=+++−

=++−

=+−+

6,1i,0x

10xx8x3x4

12xx4x2

7x2xx3x

i

6532

432

5321

;

b) f = - x1 – 2x2 – 3x3 + x4,

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=≥

=+++

=++

=++

4,1i,0x

10xxx2x

20x5xx2

15x3x2x

i

4321

321

321

.

SERII NUMERICE

49

CAPITOLUL al V-lea

SERII NUMERICE

5.1. Serii de numere reale

Definiţii. Fie ( ) ∗∈Nnna un şir de numere reale. Acestui şir îi ataşăm un nou şir din R,

( ) ∗∈Nnns , unde

∗∈∀+++= Nn,aaas n21n K .

Şirul ( ) ∗∈Nnns se numeşte şirul sumelor parţiale ataşat şirului ( ) ∗∈Nnna .

Cuplul format din şirurile ( ) ∗∈Nnna , ( ) ∗∈Nnns se numeşte serie de termen general an şi se

notează ∑∑≥

∞

= 1nn

1nn a,a sau simplu ∑ na .

Observaţie. Şirurile ( ) ∗∈Nnna şi ( ) ∗∈Nnns se definesc reciproc, în sensul că dacă se dă şirul

( ) ∗∈Nnna , atunci din definiţia lui ( ) ∗∈Nnns rezultă că ( ) ∗∈Nnns este unic definit.

Reciproc, din

2n,ssa

,sa

1nnn

11

≥−=

=

−

rezultă că ( ) ∗∈Nnna este bine definit dacă se cunoaşte ( ) ∗∈Nnns .

Definiţii. Se spune că seria ∑∞

=1nna este convergentă, dacă şirul sumelor parţiale ( ) ∗∈Nnns

este convergent în R. În acest caz, sslim nn

=∞→

se numeşte suma seriei şi se notează sa1n

n =∑∞

=.

Se spune că seria ∑∞

=1nna este divergentă dacă şirul sumelor parţiale ( ) ∗∈Nnns nu are limită

sau are limită dar este infinită.

Convergenţa sau divergenţa determină natura seriei.

Capitolul al V - lea 50

Observaţii.

1) Prin simbolul ∑∞

=1nna se înţelege fie seria cu termenul general an, fie suma seriei cu

termenul general an în caz de convergenţă. Din context va reieşi dacă este vorba de serie, sau de

suma seriei.

2) Uneori, vom indexa termenii unei serii începând cu n = 0. Atunci vom scrie ∑∞

=0nna şi în

acest caz vom conveni să notăm prin sn suma a0 + a1 + … + an.

Exemple.

1) Seria geometrică ∑∞

=0n

nr este convergentă pentru 1r < şi divergentă în rest.

2) Seria armonică generalizată ∑∞

=1n an

1 este convergentă pentru a > 1 şi divergentă în rest.

Demonstraţie.

1) Pentru 1r ≠ , 1r

1rrr1s

1nn

n −−

=+++=+

K , iar pentru r = 1, 1nsn += .

În studiul convergenţei acestei serii distingem următoarele cazuri:

a) Dacă 1r < , avem r1

1slim n

n −=

∞→ şi deci seria este convergentă şi are suma

r11

s−

= .

b) Dacă 1r ≥ , atunci ( )ns diverge, deoarece pentru 1r ≥ , ∞=∞→

nn

slim iar pentru 1r −≤

limita şirului ( )ns nu există.

Observaţie. Pentru 1r −= se obţine seria divergentă 1 – 1 + 1 – 1 + … numită seria oscilantă.

2) Fie funcţia ( )( )

1a,a1

x

xa1

1xf

a1

1a≠

−=

−=

−

−. Derivata ei este ( )

ax

1x'f = .

Aplicăm teorema lui Lagrange pe intervalul [k,k + 1] şi avem

( ) ( ) ( ) a1a1aa k

1

k

1

1k

1a1

1

1k

1<

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

+−<

+ −−.

Făcând k = 1, 2, …, n şi sumând avem

( ) ( ) aa1aaa n

1

2

111

1n

1a1

1

)1n(

1

2

1+++<

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

+−<

+++

−KK

SERII NUMERICE

51

sau

( ) ( ) n1a1n s11n

1a1

11s <

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

+−<−

−+ .

Dacă a > 1, atunci

( ) 1a1

11n

11a

11a

11s

1a1n ++<

+⋅

−−

−+<

−+ .

Şirul ( )ns este crescător şi mărginit superior, deci convergent, ceea ce înseamnă că seria este

convergentă.

Dacă a < 1, din

( ) ( ) n1as1

1n

1a1

1<

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

+− −

şi

( )∞=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

+− −∞→1

1n

1a1

1lim

1an

rezultă că ∞=∞→

nn

slim , deci seria este divergentă.

Pentru a = 1, plecând de la k1

kln)1kln(1k

1<−+<

+, dând valori lui k de la 1 la n şi sumând,

avem

ns)1nln( <+

şi deci

∞=∞→

nn

slim .

Observaţie. Dacă la o serie se adaugă sau se elimină un număr finit de termeni, atunci natura

ei nu se modifică. Se schimbă însă suma, în cazul convergenţei.

Teoremă. Dacă seria ∑∞

=1nna este convergentă, atunci 0alim n

n=

∞→.

Demonstraţie. Într-adevăr, dacă seria este convergentă şirul ( )ns este convergent şi din

faptul că 1nnn ssa −−= , prin trecere la limită avem

0ssslimslimalim 1nn

nn

nn

=−=−= −∞→∞→∞→

.

Reciproca acestei teoreme nu este adevărată.


Exemplu. 0n1

limn

=∞→

dar seria ∑∞

=1n n1

este divergentă.

Observaţie. Dacă pentru seria ∑∞

=1nna şirul ( )na nu converge la zero, atunci seria este

divergentă.

Teoremă. Dacă seriile ∑∞

=1nnu , ∑

∞

=1nnv sunt convergente şi au respectiv sumele s, t atunci:

a) seria ( )∑ +∞

=1nnn vu este convergentă şi are suma s + t;

b) seria ( )∑ −∞

=1nnn vu este convergentă şi are suma s – t;

c) seria ( )∑ λ∞

=1nnu este convergentă pentru R∈λ∀ şi are suma sλ .

Demonstraţie.

a) Notăm cu n21n uuus +++= K şi n21n vvvt +++= K sumele parţiale ale şirurilor

date şi cu ( ) ( ) ( )nn2211n vuvuvuc ++++++= K suma parţială a seriei sumă.

Prin ipoteză, avem

sslim nn

=∞→

şi ttlim nn

=∞→

.

Rezultă că avem şi

( ) tstslimclim nnn

nn

+=+=∞→∞→

.

b) Analog

c) Notăm cu n21n uuus +++= K şi n21n uuuc λ++λ+λ= K sumele parţiale pentru

∑∞

=1nnu şi respectiv ( )∑ λ

∞

=1nnu .

Prin ipoteză, avem sslim nn

=∞→

.

Cum ( ) nn21n21n suuuuuuc λ=+++λ=λ++λ+λ= KK , avem şi sclim nn

λ=∞→

.

Observaţie. Dacă seriile ∑∞

=1nnu şi ∑

∞

=1nnv sunt divergente, atunci este posibil ca seria

( )∑ +∞

=1nnn vu să fie convergentă

SERII NUMERICE

53

Exemplu. Seriile ( )∑ −∞

=1n

n1 şi ( )∑ −∞

=

−

1n

1n1 sunt divergente, iar seria

( ) ( )[ ]∑ −+−∞

=

−

1n

1nn 11

este convergentă.

Pentru serii cu termeni oarecare au loc următoarele criterii de convergenţă :

Criteriul lui Cauchy. Seria ∑∞

=1nnu este convergentă dacă şi numai dacă

( ) N∈ε∃>ε∀ N,0 astfel încât ( )ε≥∀ Nn şi N∈∀p avem ε<+++ +++ pn2n1n uuu K .

Demonstraţie.

Direct. Seria ∑∞

=1nnu fiind convergentă rezultă că şirul sumelor parţiale ( )ns este convergent.

Conform criteriului lui Cauchy pentru şiruri de numere reale, rezultă că ( )ns este şir fundamental. Cum

pn2n1nnpn uuuss ++++ +++=− K rezultă condiţia din enunţ.

Reciproc. Din condiţia dată rezultă că ( )ns este şir fundamental. Conform criteriului lui

Cauchy pentru şiruri de numere reale, rezultă că ( )ns este şir convergent. Aceasta înseamnă că seria

dată este convergentă.

Criteriul lui Abel1. Dacă seria ∑∞

=1nnu are şirul sumelor parţiale ( ) ∗∈Nnns mărginit şi dacă

( ) ∗∈α Nnn este un şir descrescător de numere reale pozitive convergent la zero, atunci seria ∑α∞

=1nnnu

este convergentă.

Demonstraţie. Pentru a demonstra criteriul lui Abel vom arăta că seria ∑α∞

=1nnnu verifică

criteriul lui Cauchy.

Deoarece şirul sumelor parţiale ( )ns este mărginit, rezultă că 0M >∃ astfel încât

N ∈∀< n,Msn .

1 Niels Henrik Abel (1802 – 1829), matematician norvegian


( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )[ ]

.M2

M

ssss

ssss

ssssss

uuu

1n

pnpn1pn2n1n1n

pnpn1pnpn1pn1n2n1nn1n

pnpn1pnpn1pn1n2n1nn1n

1pnpnpn1n2n2nn1n1n

pnpn2n2n1n1n

+

++−++++

++−++−+++++

++−++−+++++

−++++++++

++++++

α=

α+α−α++α−α+α≤

α+α−α++α−α+α≤

α+α−α++α−α+α−=

−α++−α+−α=

=α++α+α

K

K

K

K

K

Din faptul că 0alim nn

=∞→

, rezultă că 0>ε∀ , ( ) N∈ε∃N astfel încât ( )ε≥∀ Nn avem

M2an

ε< .

Astfel,

ε<α++α+α ++++++ pnpn2n2n1n1n uuu K ,

adică seria cu termenul general nnuα verifică criteriul lui Cauchy şi deci este convergentă.

Definiţie. Se numeşte serie alternată o serie ∑∞

=1nnu pentru care produsul

N ∈∀<⋅ + n,0uu 1nn .

O serie alternată este deci de forma ( )∑ −∞

=

+

1nn

1n u1 sau ( )∑ −∞

=1nn

nu1 , unde 0un > , ∗∈∀ Nn .

Deoarece a doua serie se reduce la prima prin înmulţire cu -1, vom considera în continuare

numai serii alternate de forma

( )∑ −∞

=

+

1nn

1n u1 , 0un > , ∗∈∀ Nn .

Criteriul lui Leibniz2. Fie ( )∑ −∞

=

+

1nn

1n u1 o serie alternată. Dacă şirul ( )nu este descrescător şi

converge către zero, atunci seria este convergentă.

Demonstraţie. Seria ( )∑ −∞

=

+

1n

1n1 are şirul sumelor parţiale mărginit iar ( )nu este un şir

descrescător de numere reale pozitive convergent la zero.

2 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), matematician şi filozof german

SERII NUMERICE

55

Conform criteriului lui Abel, seria ( )∑ −∞

=

+

1nn

1n u1 este convergentă.

Exemplu. Să se stabilească natura seriei ( ) ( )( )

∑+

+−

∞

=+

++

1n 2n

1n1n

1n

2n1 .

Soluţie. Şirul cu termenul general ( )( ) 2n

1n

n1n

2nu

+

+

+

+= este descrescător şi converge către zero.

Într-adevăr,

( )( )

( )( )

14n2n

3n4n

2n

1n

2n

3nu

u2n

2

2

1n

2n

3n

2n

n

1n <⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++

++=

+

+⋅

+

+=

+

+

+

+

++

şi

( )( )

01n

11

1n1

1n1

1n

2nu

1n

1n

1n

n →⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

++

=+

⋅+

+=

+

+

+.

Folosind criteriul lui Leibniz rezultă că seria dată este convergentă.

Teoremă. Fie seria alternată ( )∑ −∞

=

+

1nn

1n u1 în care ( )nu îndeplineşte condiţiile din criteriul lui

Leibniz şi fie s suma sa. Atunci ∗+ ∈∀≤− Nn,uss 1nn , unde ( ) ∗

=

+ ∈∀∑ −= Nn,u1sn

1kk

1kn , adică sn

aproximează suma s a seriei cu o eroare mai mică decât un + 1.

5.2. Serii cu termeni pozitivi

Definiţie. O serie ∑∞

=1nna se numeşte serie cu termeni pozitivi dacă an > 0, ∗∈∀ Nn .

Pentru stabilirea naturii unei serii cu termeni pozitivi se folosesc următoarele criterii:

Criteriul I al comparaţiei. Fie ∑∞

=1nnu şi ∑

∞

=1nnv două serii cu termeni pozitivi.

Să presupunem că N∈∃ 1n astfel încât nn vu ≤ , 1nn ≥∀ .

a) Dacă seria ∑∞

=1nnv este convergentă, atunci seria ∑

∞

=1nnu este convergentă.

b) Dacă seria ∑∞

=1nnu este divergentă, atunci seria ∑

∞

=1nnv este divergentă.


Demonstraţie. Fie ( )ns şi ( )nt şirurile sumelor parţiale pentru ∑∞

=1nnu şi respectiv ∑

∞

=1nnv .

a) Avem nn ts ≤ , 1nn ≥∀ .

Cum seria ∑∞

=1nnv este convergentă, şirul ( )nt este mărginit iar din relaţia de mai sus rezultă că

şi ( )ns este mărginit.

Seria ∑∞

=1nnu fiind cu termeni pozitivi, şirul ( )ns este crescător. Cum şirul ( )ns este mărginit şi

crescător, el este convergent. Rezultă deci că seria ∑∞



=1nnu este divergentă, atunci şirul ( )ns este nemajorat, deci divergent. Prin

urmare, seria ∑∞


Exemplu. Să se studieze natura seriei ∑ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

∞

=1n n1n

lnn1

.

Soluţie. Se ştie că ( )+∞<<−≠<+ x1,0xx)x1ln( . Folosind această relaţie,

n1

n1

1lnn

1nln <⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=+

şi în acelaşi timp 1n

11n

11ln

1nn

lnn

1nln

+>⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−−=+

−=+

.

De aceea, 2n

1)1n(n

11n

1n1

n1n

lnn1

0 <+

=+

−<+

−< .

Aşadar, 2n

n

1u0 << şi cum seria ∑

∞

=1n 2n

1 este convergentă, rezultă că şi seria dată este convergentă.

Criteriul II al comparaţiei. Fie ∑∞

=1nnu şi ∑

∞


Să presupunem că N∈∃ 1n astfel încât n

1n

n

1nv

vu

u ++ ≤ , 1nn ≥∀ .

a) Dacă seria ∑∞

=1nnv este convergentă, atunci seria ∑

∞



=1nnu este divergentă, atunci seria ∑

∞


SERII NUMERICE

57

Demonstraţie. Din inegalităţile de mai sus rezultă

1n

1n

n

nvu

vu

+

+≥ , 1nn ≥∀ ,

adică

KK ≥≥≥≥+

+

n

n

1n

1n

n

n

vu

v

u

v

u

1

1

1

1 , 1nn ≥∀ .

Notând 0v

uk

1

1

n

n≠= , avem nn kvu ≤ , 1nn ≥∀ .

Ţinând seama de criteriul I al comparaţiei, rezultă afirmaţiile teoremei.

Exemplu. Să se studieze natura seriei ∑⋅

∞

=1n n

n

!ne

n

.

Soluţie. n1nn

n

1nn1

1n1

1n

1ne1

uu

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +≥⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

−−+

deoarece

1n

n1

1e+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +< .

Aşadar,

n1

1n1

uu

n

1n +≥+ şi cum seria ∑∞

=1n n1

este divergentă, rezultă că şi seria dată este

divergentă.

Criteriul III al comparaţiei. Fie ∑∞

=1nnu şi ∑

∞


Dacă există ∗+

∞→∈= Ra

vu

limn

n

n, atunci cele două serii au aceeaşi natură.

Demonstraţie. Cum avu

limn

n

n=

∞→, rezultă că 0>ε∀ , ( ) N∈ε∃N astfel încât ( )ε≥∀ Nn

avem ε<− avu

n

n .

Pentru 2a

=ε avem 2a

vu

2a

n

n ε<< , ( )ε≥∀ Nn sau nnn v

2a

uv2a ε

<< , ( )ε≥∀ Nn .

Ţinând seama de criteriul I al comparaţiei, rezultă afirmaţiile teoremei.


Observaţii.

1) Dacă a = 0, atunci avem următoarele implicaţii:

∑∞

=1nnv convergentă ⇒ ∑

∞

=1nnu convergentă,

∑∞

=1nnu divergentă ⇒ ∑

∞

=1nnv divergentă.

2) Dacă +∞=a , atunci avem următoarele implicaţii:

∑∞

=1nnu convergentă ⇒ ∑

∞

=1nnv convergentă,

∑∞

=1nnv divergentă ⇒ ∑

∞

=1nnu divergentă.

Exemplu. Să se studieze natura seriei ( )π<<∑∞

=3x0

3

xsin2

1n nn .

Soluţie. Deoarece

∗+

∞→∈=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Rx

32

3

xsin2

limn

nn

n

rezultă că seria dată are aceeaşi natură cu seria ∑ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∞

=1n

n

32

, despre care ştim că este convergentă. În

concluzie, seria dată este convergentă.

Criteriul de condensare al lui Cauchy. Fie ∑∞

=1nnu o serie cu termeni pozitivi astfel ca şirul

termenilor ( )nu să fie descrescător. Atunci seria ∑∞

=1nnu are aceeaşi natură cu seria ∑

∞

=1n 2n

nu2 .

Exemplu. Să se studieze natura seriei

( )R

∈∑

∞

=p,

nlnn

1

2n p.

Soluţie. Cum ( )p

nnlnn

1u = îndeplineşte condiţiile din criteriul de condensare al lui Cauchy,

seria dată are aceeaşi natură cu seria ( ) ( )∑=∑∞

=

∞

= 2n pp2n pnnn

n

1

2ln

1

2ln2

12

care este convergentă

pentru p > 1 şi divergentă pentru 1p ≤ .

SERII NUMERICE

59

Criteriul rădăcinii (al lui Cauchy). Fie ∑∞

=1nnu o serie cu termeni pozitivi.

a) Dacă N∈∃ 1n şi un număr 0 < r < 1 astfel încât runn ≤ , 1nn ≥∀ , atunci seria ∑

∞

=1nnu

este convergentă.

b) Dacă N∈∃ 1n astfel încât 1unn ≥ , 1nn ≥∀ , atunci seria ∑

∞

=1nnu este divergentă.

Demonstraţie.

a) Din enunţ, rezultă că nn ru < , 1nn ≥∀ şi cum ( )1,0r∈ urmează că termenul general al

seriei ∑∞

=1nnu este mai mic decât termenul general al seriei geometrice cu raţia subunitară.

Din criteriul I al comparaţiei, rezultă că seria ∑∞


b) Din enunţ, rezultă că 1un ≥ , 1nn ≥∀ . Astfel, şirul ( )nu nu converge la zero şi deci seria

∑∞


Din criteriul I al comparaţiei, rezultă că seria ∑∞


Corolar. Fie ∑∞

=1nnu o serie cu termeni pozitivi pentru care există λ=

∞→n

nn

ulim .

a) Dacă 1<λ , atunci seria este convergentă.

b) Dacă 1>λ , atunci seria este divergentă.

c) Dacă 1=λ , atunci nu putem preciza natura seriei.

Exemplu. Să se stabilească natura seriei ∑ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+∞

=1n

n

2

2

19n2

n17n8.

Soluţie. Cum

1419n2

n17n8lim

19n2

n17n8limulim

2

2

nn

n

2

2

nn

nn

>=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+=

∞→∞→∞→,

rezultă că seria dată este divergentă.


Criteriul raportului (al lui d’Alembert3). Fie ∑∞


a) Dacă N∈∃ 1n şi un număr 0 < r < 1 astfel încât ru

u

n

1n ≤+ , 1nn ≥∀ , atunci seria ∑∞

=1nnu

este convergentă.

b) Dacă N∈∃ 1n astfel încât 1u

u

n

1n ≥+ , 1nn ≥∀ , atunci seria ∑∞


Demonstraţie.

a) Din enunţ, rezultă că

11 n1n ruu ≤+

111 n

21n2n urruu ≤≤ ++

M

111 n

p1pnpn urruu ≤≤ −++ .

Aplicând criteriul I al comparaţiei seriilor ∑∞

= 1nnnu şi ∑

∞

=1n

nn ru

1, rezultă că seria ∑

∞

= 1nnnu este

convergentă deci şi seria ∑∞


b) Din enunţ, rezultă că 1nn uu0 +≤< , 1nn ≥∀ . Astfel, şirul ( )nu nu converge la zero şi

deci seria ∑∞


c)

Corolar. Fie ∑∞

=1nnu o serie cu termeni pozitivi pentru care există λ=+

∞→ n

1n

n uu

lim .

a) Dacă 1<λ , atunci seria este convergentă.

b) Dacă 1>λ , atunci seria este divergentă.


Exemplu. Să se stabilească natura seriei ( )( )∑

−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅∞

=1n 1n3521n231

K

K.

3 Jean de Rond d’Alembert (1717 – 1783), matematician, fizician, filozof şi literat francez

SERII NUMERICE

61

Soluţie. Cum

( )( )( )( )

( )( )

132

2n31n2

lim1n2311n352

2n31n3521n21n231

limu

ulim

nnn

1n

n<=

++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅

⋅+−⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅

=∞→∞→

+

∞→ K

K

K

K,

rezultă că seria dată este convergentă.

Criteriul lui Raabe4 - Duhamel5. Fie ∑∞


a) Dacă N∈∃ 1n şi un număr r > 1 astfel încât r1uu

n1n

n ≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+ , 1nn ≥∀ , atunci seria ∑

∞

=1nnu

este convergentă.

b) Dacă N∈∃ 1n astfel încât 11uu

n1n

n ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+, 1nn ≥∀ , atunci seria ∑

∞


Corolar. Fie ∑∞

=1nnu o serie cu termeni pozitivi pentru care există λ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+∞→1

uu

nlim1n

n

n .

a) Dacă 1>λ , atunci seria este convergentă

b) Dacă 1<λ , atunci seria este divergentă


Exemplu. Să se stabilească natura seriei ( )( )∑

−⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅∞

=1n 1n3521n231

K

K.

Soluţie. Deoarece

( )( ) 1aaalimalim

a

alim

uu

lim 01lnn1n

ln

n

nln1nln

nnln

1nln

nn

1n

n======

+

∞→

−+

∞→

+

∞→

+

∞→,

corolarul criteriului raportului nu ne poate preciza natura seriei.

Cum

,alnn1

1ln

n1

1ln

1alim

n1

1alim1

uu

nlim

nn1

1ln

n

n1

1ln

n1n

n

n

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⋅

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

−=

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

∞→

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

∞→+∞→

4 J. L. Raabe (1801 – 1859)

5 J. M. Duhamel (1797 – 1872), matematician francez


rezultă că pentru 1aln >− , echivalent e1

a < seria dată este convergentă şi pentru e1

a > seria este

divergentă.

Pentru e1

a = , avem ∑=∑∞

=

∞

=

−

1n1n

nln

n1

e şi deci seria este divergentă.

5.3. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente

Definiţie. O serie ∑∞

=1nna se numeşte absolut convergentă6 dacă seria modulelor ∑

∞

=1nna este

convergentă.

Teoremă. Orice serie absolut convergentă este convergentă.

Demonstraţie. Seria fiind absolut convergentă, rezultă că seria modulelor verifică criteriul lui

Cauchy, deci

0>ε∀ , ( ) N∈ε∃N astfel încât ( )ε≥∀ Nn şi N∈∀p avem

ε<+++ +++ 2n2n1n uuu K .

Cum

2n2n1npn2n1n uuuuuu ++++++ +++≤+++ KK ,

rezultă teorema.

Observaţii.

1) Reciproca acestei teoreme nu este în general adevărată

Exemplu. Seria armonică alternată ( )∑ −∞

=

+

1n

1n

n1

1 este convergentă, dar seria modulelor ∑∞

=1n n1

este divergentă. 2) Pentru seriile cu termeni pozitivi, noţiunile de convergenţă şi absolută convergenţă coincid.

3) Cum seria modulelor ataşată unei serii date este o serie cu termeni pozitivi, pentru a

decide natura sa se utilizează criteriile prezentate în paragraful precedent.

Definiţie. Fie ∑∞

=1nnu şi ∑

∞

=1nnv două serii. Se numeşte produs Cauchy al celor două serii, seria

∑∞

=1nnw în care ∑=

=+−

n

1k1knkn vuw .

6 Seriile absolut convergente au fost considerate iniţial de A. Cauchy (1831)

SERII NUMERICE

63

Observaţie. Produsul Cauchy a două serii convergente nu este întotdeauna o serie

convergentă.

Teoremă (Mertens). Dacă două serii sunt convergente şi cel puţin una este absolut

convergentă, atunci seria produs Cauchy a celor două serii este convergentă şi suma sa este egală cu

produsul sumelor celor două serii.

Definiţie. O serie convergentă care nu este absolut convergentă se numeşte serie

semiconvergentă7.

Exemplu. Seria armonică alternată.

Observaţie. La o serie semiconvergentă schimbarea ordinii termenilor poate schimba suma ei

putându-se obţine o serie cu o sumă fixată anticipat – cum au dovedit B. Riemann şi P. L. Dirichlet, sau

o serie divergentă.


1. Să se calculeze suma seriilor:

a) ( )

∑−+

∞

=1n 22 23n

1; b) 0a,

anan

1

1n 2≠∑

+

∞

= ; c) ∑

+∞

=1n !n3n2

;

d) ∑+∞

=1n n2

1n; e)

( ) ( )∑++

∞

=1n 1999n1nn1

K;

f) ∑∞

= +++1n pn2n1n aaa1K

, unde a1, a2, … formează o progresie aritmetică. Caz particular

pentru p = 2;

g) ∑∞

=1n nn 2

xtg

2

1 . Caz particular

4x

π= .

2. Să se stabilească natura seriilor:

a) ∑+∞

=1n 3n

ban; b) ∑ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛++∞

=1n

n

4bn3an

;

c) ( )∑

−⋅⋅⋅⋅

∞

=1n 1n25311

K; d) ∑

π∞

=1n

n

3sinn .

7 Noţiunea şi denumirea au fost introduse de A. Legendre (1811)


3. Să se studieze natura seriilor următoare şi în caz de convergenţă să se afle suma lor:

a) ( )( )∑

++

∞

=1n 2000n1999n1

; b) ( )( )( )∑

+++

∞

=1n 3n2n1nn1

;

c) ( )( )( )( )∑

++++−∞

=1n 4n3n2n1n1n2

; d) ∑+∞

=1n n4

3n2.

FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE. DERIVATE PARŢIALE. DIFERENŢIALE 65

CAPITOLUL al VI-lea

FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE.

DERIVATE PARŢIALE. DIFERENŢIALE

6.1. Derivate parţiale

Definiţie. Fie )y,x(ff,A:f 2 =→⊂ R R o funcţie reală de două variabile reale şi

( ) 'AAb,a ∩∈o

un punct interior mulţimii A, care este în acelaşi timp, punct de acumulare pentru A .

1. a) Se spune că funcţia f(x,y) are derivată parţială în raport cu variabila x în punctul (a,b)

dacă există

ax)b,a(f)b,x(f

limax −

−

→.

Limita însăşi se numeşte derivata parţială în raport cu x a funcţiei f(x,y) în punctul (a,b) şi se

notează )b,a(f 'x sau

x)b,a(f

∂∂

.

b) Se spune că funcţia f(x,y) este derivabilă parţial în raport cu variabila x în punctul (a,b)

dacă R∈∂

∂x

)b,a(f.

2. a) Se spune că funcţia f(x,y) are derivată parţială în raport cu variabila y în punctul (a,b)

dacă există

by)b,a(f)y,a(f

limby −

−

→.

Limita însăşi se numeşte derivata parţială în raport cu y a funcţiei f(x,y) în punctul (a,b) şi se

notează )b,a(f 'y sau

y)b,a(f

∂∂

.

b) Se spune că funcţia f(x,y) este derivabilă parţial în raport cu variabila y în punctul (a,b)

dacă R∈∂

∂y

)b,a(f.

CAPITOLUL al VI-lea 66

Exemplu. Să se calculeze, folosind definiţia, )2,1(f 'x şi )2,1(f '

y pentru

2yx)y,x(f 22 ++= .

Soluţie.

7

1

76x

1xlim

76x)1x(

1xlim

1x76x

lim

1x22122x

lim1x

)2,1(f)2,x(flim)2,1(f

21x2

2

1x

2

1x

2222

1x1x

'x

=++

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−

−=

−−+

=

−++−++

=−−

=

→→→

→→

şi

.7

2

73y

2ylim

73y)2y(

4ylim

2y

73ylim

2y

2212y1lim

2y)2,1(f)y,1(f

lim)2,1(f

21x2

2

1x

2

1x

2222

1x1x

'y

=++

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−

−=

−

−+=

−

++−++=

−−

=

→→→

→→

Definiţie.

1. Se spune că f(x,y) este derivabilă parţial în raport cu x pe A dacă f este derivabilă parţial în

raport cu x în orice punct din A.

2. Se spune că f(x,y) este derivabilă parţial în raport cu y pe A dacă f este derivabilă parţial în

raport cu y în orice punct din A.

3. Se spune că f(x,y) este derivabilă parţial pe A dacă este derivabilă parţial în raport cu

variabilele x şi y în orice punct din A .

Dacă funcţia RR →⊂ 2A:f , )y.x(ff = este derivabilă parţial pe A, se definesc derivatele

parţiale de ordinul întâi ale funcţie )y,x(f ca fiind funcţiile

R→∂∂

A:xf

, x

)y,x(f)y,x(

∂∂

→

şi

R→∂∂

A:yf

, y

)y,x(f)y,x(

∂∂

→ .

Teoremă. Dacă funcţia f(x,y) este derivabilă parţial în raport cu x în punctul (a,b), atunci

funcţia f este continuă parţial în raport cu x în punctul (a,b).


Observaţie. Dacă funcţia f(x,y) este derivabilă parţial în raport cu x şi în raport cu y în

punctul (a,b), atunci f este continuă în raport cu cu fiecare variabilă în parte în punctul (a,b), dar nu în

mod necesar în raport cu ansamblul variabilelor.

Teoremă. Dacă funcţia )y,x(f admite derivate parţiale de ordinul întâi yf

,xf∂∂

∂∂

mărginite

într-o vecinătate V a punctului (a,b), atunci f este continuă în punctul (a,b) (în raport cu ansamblul

variabilelor).

Observaţie. În mod analog se definesc derivatele parţiale ale unei funcţii reale de n

variabile reale.

Definiţie. Fie )x,...,x,x(ff,X:f n21n =→⊂ R R o funcţie reală de n variabile reale şi

'XX)a,...,a,a( n21 ∩∈o

un punct interior mulţimii X, care este în acelaşi timp, punct de acumulare

pentru X .

1. Se spune că funcţia )x,...,x,x(f n21 are derivată parţială în raport cu variabila kx în

punctul )a,...,a,a( n21 dacă există

kk

n1kk1k21n1kk1k21

xx ax)a,...,a,a,a,...,a,a(f)a,...,a,x,a,...,a,a(f

limk −

− +−+−

→.

Limita însăşi se numeşte derivata parţială în raport cu kx a funcţiei )x,...,x,x(f n21 în punctul

)a,...,a,a( n21 şi se notează )a,...,a(f n1'xk

sau k

n1x

)a,...,a(f∂

∂.

2. Se spune că funcţia )x,...,x,x(f n21 este derivabilă parţial în raport cu variabila kx în

punctul )a,...,a,a( n21 dacă R∈∂

∂

k

n1x

)a,...,a(f.

Definiţie.

1. Se spune că funcţia )x,...,x,x(f n21 este derivabilă parţial în raport cu variabila kx pe

X, dacă f este derivabilă parţial în raport cu kx în orice punct din X .

2. Se spune că )x,...,x,x(f n21 este derivabilă parţial pe X dacă este derivabilă parţial în

raport cu fiecare variabilă n21 x,...,x,x în orice punct din X .

Dacă funcţia RR →⊂ nX:f , )x,...,x,x(ff n21= este derivabilă parţial pe X, se definesc

derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei )x,...,x,x(f n21 ca fiind funcţiile


.x

)x,...,x,x(f)x,...,x,x(,X:

xf

...............................................................................

x)x,...,x,x(f

)x,...,x,x(,X:xf

x)x,...,x,x(f

)x,...,x,x(,X:xf

n

n21n21

n

2

n21n21

2

1

n21n21

1

∂

∂→→

∂∂

∂

∂→→

∂∂

∂

∂→→

∂∂

R

R

R

Deoarece derivarea parţială în raport cu o variabilă este de fapt derivarea funcţiei în raport cu

acea variabilă, celelalte variabile fiind considerate constante, rezultă că regulile de derivare stabilite

pentru funcţiile de o variabilă se menţin.

Funcţii omogene

Definiţie. Se spune că funcţia RR →⊂ nX:f , )x,...,x,x(ff n21= este omogenă de

grad k, dacă pentru orice 0t > şi orice X)x,...,x,x( n21 ∈ avem

)x,...,x,x(ft)tx,...,tx,tx(f n21k

n21 = .

Teorema lui Euler. Dacă funcţia RR →⊂ nX:f , )x,...,x,x(ff n21= , omogenă de grad

k este derivabilă parţial pe X, atunci

kfxf

x...xf

xxf

xn

n2

21

1 =∂∂

++∂∂

+∂∂

.

Exemplu. Să se arate că funcţia 5 22 xz7y2xy3x)z,y,x(f +++= verifică relaţia

f52

zf

zyf

yxf

x =∂∂

+∂∂

+∂∂

.

Soluţie. Deoarece

( ) ),z,y,x(ftxz7y2xy3xtxz7y2xy3xt

xzt7yt2xyt3xt)tz)(tx(7)ty(2)ty)(tx(3)tx()tz,ty,tx(f

52

5 2252

5 222

5 2222225 22

=+++=+++=

+++=+++=

rezultă că funcţia f este omogenă de grad 52

.

Aplicând teorema lui Euler, avem

f52

zf

zyf

yxf

x =∂∂

+∂∂

+∂∂

.


Derivate parţiale de ordin superior

Definiţie. Fie )y,x(ff,A:f 2 =→⊂ R R o funcţie derivabilă parţial pe A şi

'AA(a,b) ∩∈o

. În acest caz sunt definite derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţie )y,x(f :

.y

)y,x(f)y,x(,A:

yf

,x

)y,x(f)y,x(,A:

xf

∂∂

→→∂∂

∂∂

→→∂∂

R R

1. Dacă există derivata parţială în (a,b) în raport cu x a funcţiei xf

∂∂

, atunci aceasta se va numi

derivata parţială de ordin doi a funcţiei f în punctul (a,b) şi se va nota prin 2

2

x

)b,a(f

∂

∂ sau )b,a(f "

x2 .

Dacă există derivata parţială în (a,b) în raport cu y a funcţiei xf

∂∂


derivata parţială mixtă de ordin doi a funcţiei f în punctul (a,b) şi se va nota prin xy

)b,a(f2

∂∂∂

sau )b,a(f "xy .

Dacă există derivata parţială în (a,b) în raport cu x a funcţiei yf

∂∂


derivata parţială mixtă de ordin doi a funcţiei f în punctul (a,b) şi se va nota prin yx

)b,a(f2

∂∂∂

sau )b,a(f "yx .

Dacă există derivata parţială în (a,b) în raport cu y a funcţiei yf

∂∂


derivata parţială de ordin doi a funcţiei f în punctul (a,b) şi se va nota prin 2

2

y

)b,a(f

∂

∂ sau )b,a(f "

y2 .

2. Dacă funcţiile RR →⊂∂∂

∂∂ 2A:

yf

,xf

sunt derivabile parţial pe A, se definesc derivatele

parţiale de ordinul doi ale funcţiei )y,x(f ca fiind funcţiile

2

2

2

2

22

22

2

2

2

2

y

)y,x(f)y,x(,A:

y

f

xy)y,x(f

)y,x(,A:xyf

yx)y,x(f

)y,x(,A:yxf

x

)y,x(f)y,x(,A:

x

f

∂

∂→→

∂

∂

∂∂∂

→→∂∂

∂

∂∂∂

→→∂∂

∂

∂

∂→→

∂

∂

R

R

R

R


Observaţie. În general, derivatele parţiale mixte nu sunt egale.

Următoarea teoremă stabileşte condiţii suficiente pentru egalitatea derivatelor parţiale mixte.

Teoremă (Criteriul lui Schwarz). Dacă funcţia f(x,y) are derivate parţiale mixte de

ordinul doi xyf

,yxf 22

∂∂∂

∂∂∂

într-o vecinătate V a punctului (a,b) şi dacă acestea sunt continue în (a,b),

atunci

xy)b,a(f

yx)b,a(f 22

∂∂∂

=∂∂

∂.

Observaţie. În mod analog se definesc derivatele parţiale de ordinul doi ale unei funcţii

reale de n variabile reale.

Teoremă. Fie RR →⊂ nX:f , )x,...,x,x(ff n21= o funcţie derivabilă parţial pe X şi

)a,...,a,a( n21 un punct interior lui X , care este, în acelaşi timp, punct de acumulare pentru X .

În acest caz sunt definite derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei )x,...,x,x(f n21 :

R→∂∂

X:xf

k,

k

n21n21 x

)x,...,x,x(f)x,...,x,x(

∂

∂→ , n,1k = .

1. Dacă există derivata parţială în )a,...,a,a( n21 în raport cu kx a funcţiei kxf

∂∂

, atunci

aceasta se va numi derivată parţială de ordin doi a funcţiei f în punctul )a,...,a,a( n21 şi se va nota prin

( )2k

n12

x

a,...,af

∂

∂ sau ( )n1

"x

a,...,af 2k

.

Dacă există derivata parţială în )a,...,a,a( n21 în raport cu lx a funcţiei kxf

∂∂

)k( ≠l , atunci

aceasta se va numi derivată parţială mixtă de ordin doi a funcţiei f în punctul )a,...,a,a( n21 şi se va

nota prin ( )

k

n12

xxa,...,af

∂∂

∂

l

sau ( )n1"

xx a,...,afk l

( k≠l ).

2. Dacă funcţiile RR →⊂∂∂ n

kX:

xf

, n,1k = sunt derivabile parţial pe X, se definesc

derivatele parţiale de ordinul doi ale funcţiei )x,...,x,x(f n21 ca fiind funcţiile

2k

n212

n212k

2

x

)x,...,x,x(f)x,...,x,x(,X:

x

f

∂

∂→→

∂

∂R , n,1k =


k

n212

n21k

2

xx)x,...,x,x(f

)x,...,x,x(,X:xxf

∂∂

∂→→

∂∂∂

ll

R , n,1k = .

Observaţie. Derivatele parţiale de ordin trei, patru, ş.a.m.d. se definesc în acelaşi mod ca

şi derivatele parţiale de ordin doi.

Derivate parţiale pentru funcţii compuse

Fie )y,x(vv),y,x(uu,A:v,u 2 ==→⊂ R R două funcţii reale de două variabile reale astfel

ca A)y,x(,B))y,x(v),y,x(u( ∈∀∈ şi R→B:f , )v,u(ff = o funcţie reală definită pe B.

Putem considera funcţia compusă

))y,x(v),y,x(u(f)y,x(F =

(funcţie reală definită pentru A)y,x( ∈ ).

Teoremă. Dacă funcţiile u(x,y) şi v(x,y) au derivate parţiale continue pe A şi funcţia f(u,v)

are derivate parţiale continue pe B, atunci funcţia compusă ))y,x(v),y,x(u(f)y,x(F = are derivate

parţiale continue pe A date de formulele:

.y

)y,x(vv

))y,x(v),y,x(u(fy

)y,x(uu

))y,x(v),y,x(u(fy

)y,x(F

x)y,x(v

v))y,x(v),y,x(u(f

x)y,x(u

u))y,x(v),y,x(u(f

x)y,x(F

∂∂

∂∂

+∂

∂∂

∂=

∂∂

∂∂

∂∂

+∂

∂∂

∂=

∂∂

Aceste formule se scriu într-o formă incompletă, dar mai uşor de reţinut astfel:

.yv

vf

yu

uf

yF

xv

vf

xu

uf

xF

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

Observaţie. Teorema precedentă rămâne adevărată pentru funcţii reale de n variabile

reale.

Fie ...,),x,...,x,x(uu),x,...,x,x(uu n2122n2111 == )x,...,x,x(uu n21nn = n funcţii reale de

n variabile reale astfel ca )x,...,x,x(u( n211 , Y))x,...,x,x(u...,),x,...,x,x(u n21nn212 ∈ ,

X)x,...,x,x( n21 ∈∀ şi R→Y:f , )u,...,u,u(ff n21= o funcţie reală definită pe Y.

Putem considera funcţia compusă

))x,...,x,x(u),...,x,...,x,x(u),x,...,x,x(u(f)x,...,x,x(F n21nn212n211n21 =

(funcţie reală definită pentru X)x,...,x,x( n21 ∈ cu valori reale).


Teoremă. Dacă funcţiile )x...,,x,x(uu),x...,,x,x(uu n2122n2111 == , ...,

)x...,,x,x(uu n21nn = admit derivate parţiale continue pe X şi funcţia )u,...,u,u(f n21 admite derivate

parţiale continue pe Y, atunci funcţia compusă

))x,...,x,x(u),...,x,...,x,x(u),x,...,x,x(u(f)x,...,x,x(F n21nn212n211n21 =

are derivate parţiale continue pe X date de formulele :

∑∂

∂

∂

∂=

∂

∂

∑∂

∂

∂

∂=

∂

∂

∑∂

∂

∂

∂=

∂

∂

=

=

=

n

1i n

n21i

i

n21n21n21

n

n21

n

1i 2

n21i

i

n21n21n21

2

n21

n

1i 1

n21i

i

n21n21n21

1

n21

.x

)x,...,x,x(u

u

))x,...,x,x(u),...,x,...,x,x(u),x,...,x,x(u(f

x

)x,...,x,x(F

.....................................................................................................................................

x

)x,...,x,x(u

u

))x,...,x,x(u),...,x,...,x,x(u),x,...,x,x(u(f

x

)x,...,x,x(F

x

)x,...,x,x(u

u

))x,...,x,x(u),...,x,...,x,x(u),x,...,x,x(u(f

x

)x,...,x,x(F


.xu

uf

xF

xu

uf

xF

xu

uf

xF

n

1i n

i

in

n

1i 2

i

i2

n

1i 1

i

i1

∑∂

∂

∂∂

=∂∂

∑∂

∂

∂∂

=∂∂

∑∂

∂

∂∂

=∂∂

=

=

=

LLLLLLL

Derivate parţiale de ordin doi ale funcţiilor compuse

Teoremă. Dacă funcţiile )y,x(uu = şi )y,x(vv = admit derivate parţiale de ordinul doi

continue pe A şi funcţia )v,u(f admite derivate parţiale de ordinul doi continue pe B, atunci funcţia

compusă ))y,x(v),y,x(u(f)y,x(F = admite derivate parţiale de ordinul doi continue pe A date de

formulele:

2

2

2

22

2

2

22

2

2

2

2

x

)y,x(vv

))y,x(v),y,x(u(f

x

)y,x(uu

))y,x(v),y,x(u(fx

)y,x(v

v

))y,x(v),y,x(u(f

x)y,x(v

x)y,x(u

vu))y,x(v),y,x(u(f

2x

)y,x(u

u

))y,x(v),y,x(u(f

x

)y,x(F

∂

∂∂

∂+

+∂

∂∂

∂+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂

∂

∂+

+∂

∂∂

∂∂∂

∂+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂

∂

∂=

∂

∂


2

2

2

22

2

2

22

2

2

2

2

y

)y,x(vv

))y,x(v),y,x(u(f

y

)y,x(uu

))y,x(v),y,x(u(fy

)y,x(v

v

))y,x(v),y,x(u(f

y)y,x(v

y)y,x(u

vu))y,x(v),y,x(u(f

2y

)y,x(u

u

))y,x(v),y,x(u(f

y

)y,x(F

∂

∂

∂

∂+

+∂

∂

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂+

+∂

∂

∂

∂

∂∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

.xy

)y,x(vv

))y,x(v),y,x(u(fxy

)y,x(uu

))y,x(v),y,x(u(fx

)y,x(vy

)y,x(v

v

))y,x(v),y,x(u(f

x)y,x(u

y)y,x(v

x)y,x(v

y)y,x(u

vu))y,x(v),y,x(u(f

x)y,x(u

y)y,x(u

u

))y,x(v),y,x(u(fxy

)b,a(F

yx)y,x(v

v))y,x(v),y,x(u(f

yx)y,x(u

u))y,x(v),y,x(u(f

y)y,x(v

x)y,x(v

v

))y,x(v),y,x(u(f

y)y,x(u

x)y,x(v

y)y,x(v

x)y,x(u

vu))y,x(v),y,x(u(f

y)y,x(u

x)y,x(u

u

))y,x(v),y,x(u(fyx

)y,x(F

22

2

2

2

2

22

22

2

2

2

2

22

∂∂

∂

∂

∂+

∂∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

∂

∂+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂+

∂

∂

∂

∂

∂

∂=

∂∂

∂

∂∂

∂

∂

∂+

∂∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

∂

∂+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂+

∂

∂

∂

∂

∂

∂=

∂∂

∂


.xyv

vf

xyu

uf

xv

yv

v

fxu

yv

xv

yu

vuf

xu

yu

u

fxyF

yxv

vf

yxu

uf

yv

xv

v

fyu

xv

yv

xu

vuf

yu

xu

u

fyxF

y

vvf

y

uuf

yv

v

fyv

yu

vuf

2yu

u

f

y

F

x

vvf

x

uuf

xv

v

fxv

xu

vuf

2xu

u

f

x

F

22

2

22

2

22

22

2

22

2

22

2

2

2

22

2

222

2

2

2

2

2

2

2

22

2

222

2

2

2

2

∂∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

∂

∂+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

∂

∂=

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

∂

∂+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂∂

∂

∂=

∂∂∂

∂

∂∂∂

+∂

∂∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂

∂+

∂∂

∂∂

∂∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂

∂=

∂

∂

∂

∂∂∂

+∂

∂∂∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂

∂+

∂∂

∂∂

∂∂∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂

∂=

∂

∂

Într-adevăr,

.x

vvf

x

uuf

xv

v

fxv

xu

vuf

2xu

u

f

x

vvf

xu

xv

v

fxu

vuf

x

uuf

xu

xv

vuf

xu

u

f

x

vvf

xv

vf

xx

uuf

xu

uf

xxv

vf

xu

uf

xxF

xx

F

2

2

2

22

2

222

2

2

2

2

2

22

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

∂

∂∂∂

+∂

∂∂∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂

∂+

∂∂

∂∂

∂∂∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂

∂=

∂

∂∂∂

+∂∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂

∂+

∂∂

∂∂∂

+∂

∂∂∂

+∂∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂

∂=

∂

∂∂∂

+∂∂

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+∂

∂∂∂

+∂∂

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

∂∂

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=∂

∂

Analog, se calculează şi celelalte trei.


6.2. Diferenţiale

Diferenţiabilitatea funcţiilor de mai multe variabile

Fie RR →⊂ 2A:f , f = f(x,y) o funcţie reală de două variabile reale şi 'AA)b,a( ∩∈o

.

Definiţie. Se spune că funcţia f(x,y) este diferenţiabilă în punctul (a,b) dacă există două

numere reale 21, λλ şi două funcţii )y,x(),y,x(,A:, 221121 α=αα=α→αα R continue în

punctul (a,b) cu 0)b,a(α)b,a(α 21 == astfel încât să avem

)by)(y,x()ax)(y,x()by()ax()b,a(f)y,x(f 2121 −α+−α+−λ+−λ=− ,

.A)y,x( ∈∀

Se spune că )y,x(f este diferenţiabilă pe A dacă este diferenţiabilă în orice punct din A .

Teoremă. Dacă funcţia f(x,y) este diferenţiabilă în punctul (a,b), atunci ea are derivate

parţiale în (a,b) şi

21 y)b,a(f

,x

)b,a(fλ=

∂∂

λ=∂

∂ .

Observaţie. Reciproca teoremei nu este în general adevărată. Există funcţii care au

derivate parţiale, dar care nu sunt diferenţiabile.

Egalitatea de definiţie a diferenţiabilităţii se scrie atunci astfel

A)y,x(),by)(y,x()ax)(y,x()by(y

)b,a(f)ax(

x)b,a(f

)b,a(f)y,x(f 21 ∈∀−α+−α+−∂

∂+−

∂∂

=−

Diferenţa x – a se numeşte creşterea primei variabile de la a la x, iar diferenţa y – b se

numeşte creşterea celei de a doua variabile de la b la y.

Diferenţa )b,a(f)y,x(f − se numeşte creşterea funcţiei corespunzătoare creşterilor x-a şi y-b

ale argumentelor.

Deoarece funcţiile 21,αα sunt continue în punctul (a,b) cu 0)b,a()b,a( 21 =α=α , are loc

următoarea relaţie de aproximare

)by(y

)b,a(f)ax(

x)b,a(f

)b,a(f)y,x(f −∂

∂+−

∂∂

≈− .

Definiţie. Funcţia liniară RR →2:T definită prin ( ) 2121 hy

)b,a(fh

x)b,a(f

h,hT∂

∂+

∂∂

=

se numeşte diferenţiala funcţiei f în punctul (a,b) şi se notează df(a,b)

( ) 2121 hy

)b,a(fh

x)b,a(f

h,h))b,a(df(∂

∂+

∂∂

= .


Dacă funcţia f este diferenţiabilă pe A, diferenţiala sa într-un punct arbitrar (x,y) din A este

( ) 2121 hy

)y,x(fh

x)y,x(f

h,h))y,x(df(, :)y,x(df∂

∂+

∂∂

=→ RR .

În particular, dacă x)y,x(f = avem ( ) 121 hh,h)dx( = , iar dacă y)y,x(f = avem

( ) 221 hh,h)dy( = . Astfel, obţinem formula diferenţialei

dyy

)y,x(fdx

x)y,x(f

)y,x(df∂

∂+

∂∂

= sau dyyf

dxxf

df∂∂

+∂∂

= .

Exemplu. Să se calculeze )2,1(df pentru funcţia 22 yx)y,x(f += .

Soluţie. dyy

)2,1(fdx

x)2,1(f

)2,1(df∂

∂+

∂∂

= .

Cum

42

3

42

3

4242 yx

y2

yx2

y4yf

,yx

x

yx2

x2xf

+=

+=

∂∂

+=

+=

∂∂

,

17

16

21

22y

)2,1(f,

17

1

21

1x

)2,1(f42

3

42=

+

⋅=

∂∂

=+

=∂

∂ ,

rezultă

dy17

16dx

17

1)2,1(df += .

Observaţie. În mod analog se defineşte diferenţiabilitatea unei funcţii reale de n variabile

reale. Fie )x,...,x,x(ff,X:f n21n =→⊂ RR o funcţie reală de n variabile reale şi

'XX)a,...,a,a( n21 ∩∈o

.

Se spune că funcţia )x,...,x,x(f n21 este diferenţiabilă în punctul )a,...,a,a( n21 dacă există n

numere reale n21 ,...,, λλλ şi n funcţii

)x,...,x,x(,...,)x,...,x,x(),x,...,x,x(

,X:,...,,

n21nnn2122n2111

n21

α=αα=αα=α

→ααα

R

continue în punctul )a,...,a,a( n21 cu

0)a,...,a,a(...)a,...,a,a()a,...,a,a( n21nn212n211 =α==α=α astfel încât să avem

),ax)(x,...,x,x(...)ax)(x,...,x,x()ax)(x,...,x,x(

)ax(...)ax()ax()a,...,a,a(f)x,...,x,x(f

nnn21n22n21211n211

nnn222111n21n21

−α++−α+−α+

+−λ++−λ+−λ=−

X)x,...,x,x( n21 ∈∀ .


Se spune că )x,...,x,x(f n21 este diferenţiabilă pe X dacă este diferenţiabilă în orice punct din

X .

Dacă funcţia )x,...,x,x(f n21 este diferenţiabilă pe nX R⊂ , diferenţiala sa într-un punct arbitrar

din X se scrie

nn

n212

2

n211

1

n21n21 dx

x

)x,...,x,x(f...dx

x

)x,...,x,x(fdx

x

)x,...,x,x(f)x,...,x,x(df

∂

∂++

∂

∂+

∂

∂=

sau

.dxxf

...dxxf

dxxf

df nn

22

11 ∂

∂++

∂∂

+∂∂

=

Diferenţiale de ordin superior

Fie RR →⊂ 2A:f , f = f(x,y) o funcţie reală de două variabile reale şi 'AA)b,a( ∩∈o

.

Definiţie. Se spune că funcţia f este diferenţiabilă de n ori în punctul (a,b) dacă toate

derivatele parţiale de ordinul n – 1 ale lui f există într-o vecinătate V a lui (a,b) şi sunt diferenţiabile în

(a,b) .

Se spune că f este diferenţiabilă de n ori pe A dacă este diferenţiabilă de n ori în fiecare punct

din A .

Diferenţiala de ordinul n în punctul (a,b) se notează )b,a(fdn şi se defineşte prin egalitatea

)b,a(fdyy

dxx

)b,a(fdn

n⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

+∂∂

= ,

unde exponentul n înseamnă că se dezvoltă formal suma din paranteză după regula binomului lui

Newton şi apoi se înmulţeşte formal cu f(a,b).

Observaţie. Pentru funcţii de n variabile reale, diferenţiabilitatea de ordinul n se defineşte

ca şi pentru funcţiile de două variabile reale.

Fie RR →⊂ nX:f , )x,...,x,x(ff n21= o funcţie reală de n variabile reale şi

'XX)a,...,a,a( n21 ∩∈o

.

Se spune că funcţia f este diferenţiabilă de n ori în punctul )a,...,a,a( n21 dacă toate derivatele

parţiale de ordinul n – 1 ale lui f există într-o vecinătate V a lui )a,...,a,a( n21 şi sunt diferenţiabile în

)a,...,a,a( n21 .


Se spune că f este diferenţiabilă de n ori pe X dacă este diferenţiabilă de n ori în fiecare punct

din X .

Diferenţiala de ordinul n în punctul )a,...,a,a( n21 se notează )a,...,a,a(fd n21n şi se defineşte

prin egalitatea

)a,...,a,a(fdxx

...dxx

dxx

)a,...,a,a(fd n21

n

nn

22

11

n21n

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

++∂∂

+∂∂

= .

Exemplu. Să se calculeze )2,0,1(fd2 pentru funcţia

z5xxyzy2x)z,y,x(f 2423 −+−++= .

Soluţie. Conform teoriei

Avem

.0zyf

,0zxf

,y2yxf

,z12z

f,x24

y

f

,x6x

f,5z4

zf

,xy2y4yf

,1yx3xf

2222

2

2

2

2

2

2322

=∂∂

∂=

∂∂∂

−=∂∂

∂=

∂

∂−=

∂

∂

=∂

∂−=

∂∂

−=∂∂

+−=∂∂

Astfel

0zy

)2,0,1(f,0

zx)2,0,1(f

,002yx

)2,0,1(f

,48212z

)2,0,1(f,2124

y

)2,0,1(f,616

x

)2,0,1(f

222

22

2

2

2

2

2

=∂∂

∂=

∂∂∂

=⋅−=∂∂

∂

=⋅=∂

∂=⋅−=

∂

∂=⋅=

∂

∂

şi

2222 )dz(48)dy(2)dx(6)2,0,1(fd ++= .

.dydzzy

)2,0,1(f2dxdz

zx)2,0,1(f

2dxdyyx

)2,0,1(f2

)dz(z

)2,0,1(f)dy(

y

)2,0,1(f)dx(

x

)2,0,1(f

)2,0,1(fdzz

dyy

dxx

)2,0,1(fd

222

22

22

2

22

2

2

22

∂∂∂

+∂∂

∂+

∂∂∂

+

+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂

=


Diferenţiala funcţiilor compuse

Fie RR →⊂ 2A:v,u , u = u(x,y), v = v(x,y) două funcţii reale de două variabile reale astfel ca

B))y,x(v),y,x(u( ∈ , A)y,x( ∈∀ şi R→B:f , f = f(u,v) o funcţie reală definită pe B.

Putem considera funcţia compusă F(x,y) = f(u(x,y),v(x,y)).

Teoremă. Dacă funcţiile u(x,y) şi v(x,y) sunt diferenţiabile pe A şi funcţia f(u,v) este

diferenţiabilă pe B, atunci funcţia compusă F(x,y) = f(u(x,y),v(x,y)) este diferenţiabilă pe A.

Avem dyyF

dxxF

dF∂∂

+∂∂

= . Dar

xv

vf

xu

uf

xF

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

şi yv

vf

yu

uf

yF

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

.

Înlocuind, obţinem

.dfdvvf

duuf

dyyv

dxxv

vf

dyyu

dxxu

uf

dyyv

vf

yu

uf

dxxv

vf

xu

uf

dF

=∂∂

+∂∂

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

∂∂

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=

Rezultă că diferenţiala de ordinul întâi este invariantă faţă de compunerea funcţiilor.

Diferenţiala de ordin doi a funcţiilor compuse

Teoremă. Dacă funcţiile )y,x(uu = şi )y,x(vv = sunt diferenţiabile de două ori pe A şi

funcţia )v,u(f este diferenţiabilă de două ori pe B, atunci funcţia compusă ))y,x(v),y,x(u(f)y,x(F =

este diferenţiabilă de două ori pe A.

Avem

22

222

2

22 )dy(

y

Fdxdy

yxF

2)dx(x

FFd

∂

∂+

∂∂∂

+∂

∂= .

Înlocuind derivatele parţiale de ordinul doi ale funcţiei compuse F şi efectuând calculele,

obţinem

vdvf

uduf

fdFd 2222

∂∂

+∂∂

+= .

Rezultă că diferenţiala de ordinul doi nu este invariantă faţă de compunerea funcţiilor.


6.3. Formula lui Taylor pentru funcţii de mai multe variabile

Fie RR →⊂ 2A:f , )y,x(ff = o funcţie diferenţiabilă de 1n + ori în punctul o

A)b,a( ∈ .

Presupunem că în toate derivatele parţiale mixte nu are importanţă ordinea variabilelor în raport cu care

se derivează.

Polinomul lui Taylor de gradul n, ataşat funcţiei f în punctul (a,b) este

)b,a(fd!n

1...)b,a(fd

!21

)b,a(df!1

1)b,a(f)b,a(T n2

n ++++= .

Formula lui Taylor de ordinul n pentru funcţia f în punctul (a,b) este

)y,x(R)b,a(T)y,x(f nn += , adică

)y,x(R)b,a(fd!n

1...)b,a(fd

!21

)b,a(df!1

1)b,a(f)y,x(f n

n2 +++++= ,

unde )y,x(Rn reprezintă restul de ordin n al formulei lui Taylor.

Observaţie. Formula lui Taylor rămâne adevărată pentru funcţii de n variabile reale.

Fie RR →⊂ nX:f , )x,...,x,x(ff n21= o funcţie diferenţiabilă de 1n + ori în punctul

o

X)a,...,a,a( n21 ∈ . Presupunem că în toate derivatele parţiale mixte nu are importanţă ordinea

variabilelor în raport cu care se derivează.

Polinomul lui Taylor de gradul n, ataşat funcţiei f în punctul )a,...,a,a( n21 este

).a,...,a,a(fd!n

1...)a,...,a,a(fd

!21

)a,...,a,a(df!1

1)a,...,a,a(f)a,...,a,a(T

n21n

n212

n21n21n21n

+++

++=

Formula lui Taylor de ordinul n pentru funcţia f în punctul )a,...,a,a( n21 este

)x,...,x,x(R)a,...,a,a(T)x,...,x,x(f n21nn21nn21 += ,

adică

,)x,...,x,x(R)a,...,a,a(fd!n

1...

)a,...,a,a(fd!2

1)a,...,a,a(df

!11

)a,...,a,a(f)x,...,x,x(f

n21nn21n

n212

n21n21n21

+++

+++=

unde )x,...,x,x(R n21n reprezintă restul de ordin n al formulei lui Taylor.


6.4. Puncte de extrem pentru funcţii de mai multe variabile

Definiţie. Fie RR →⊂ 2A:f , )y,x(ff = şi )b,a( un punct din A .

Se spune că )b,a( este punct de minim local (sau minim relativ) al funcţiei f dacă

( )b,aVV∈∃ astfel încât )b,a(f)y,x(f ≥ , AV)y,x( ∩∈∀ .

Se spune că )b,a( este punct de maxim local (sau maxim relativ) al funcţiei f dacă

( )b,aVV∈∃ astfel încât )b,a(f)y,x(f ≤ , AV)y,x( ∩∈∀ .

Punctele de minim local sau maxim local ale funcţiei f se numesc puncte de extrem local ale

lui f .

Teoremă. Fie RR →⊂ 2A:f , )y,x(ff = şi )b,a( un punct interior mulţimii A . Dacă

)b,a( este un punct de extrem local al funcţiei f şi f are derivate parţiale de ordinul întâi în )b,a( , atunci

0x

)b,a(f=

∂∂

şi 0y

)b,a(f=

∂∂

.

Soluţiile sistemului

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∂∂

=∂∂

0yf

0xf

formează mulţimea punctelor staţionare ale funcţiei f .

Teoremă. Fie RR →⊂ 2A:f , )y,x(ff = şi )b,a( un punct staţionar al funcţiei f .

Fie

2221

12112111 aa

aa,a =∆=∆ ,

unde

2

2

22

2

122

2

11y

)b,a(fa,

yx)b,a(f

a,x

)b,a(fa

∂

∂=

∂∂∂

=∂

∂= .

1) Dacă 01 >∆ şi 02 >∆ , atunci )b,a( este un punct de minim pentru f.

2) Dacă 01 <∆ şi 02 >∆ , atunci )b,a( este un punct de maxim pentru f.

Exemplu. Să se determine punctele de extrem local pentru funcţia

22 )2x(xy)y,x(f −−= .

Soluţie. Punctele staţionare sunt soluţii ale sistemului


⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=−−−−⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∂∂

=∂∂

0y2

0)2x(x2)2x(

0yf

0xf

2

Obţinem două puncte staţionare )0,2(M1 şi ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ 0,32

M2 .

Cum

2y

f,0

yxf

,x2)2x(2)2x(2x

f2

22

2

2=

∂

∂=

∂∂∂

−−−−−=∂

∂ ,

rezultă

- pentru )0,2(M1

2y

)0,2(fa,0

yx)0,2(f

a,4x

)0,2(fa

2

2

22

2

122

2

11 =∂

∂==

∂∂∂

=−=∂

∂=

şi

820

04,4 21 −=

−=∆−=∆ ⇒ (2,0) nu este punct de extrem

- pentru ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ 0,32

M2

2y

0,32

fa,0

yx

0,32

fa,4

x

0,32

fa

2

2

22

2

122

2

11 =∂

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂==

∂∂

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂==

∂

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂=

şi

82004,4 21 ==∆=∆ ⇒ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ 0,32

este punct de minim.

Definiţie. Fie RR →⊂ nX:f , )x,...,x,x(ff n21= şi )a,...,a,a( n21 un punct din X.

Se spune că )a,...,a,a( n21 este un punct de minim local (sau minim relativ) al funcţiei f dacă

)a,...,a,(aVV n21 ∈∃ astfel încât )a,...,a,a(f)x,...,x,x(f n21n21 ≥ ,

XV)x,...,x,x( n21 ∩∈∀ .

Se spune că )a,...,a,a( n21 este un punct de maxim local (sau maxim relativ) al funcţiei f dacă

)a,...,a,(aVV n21 ∈∃ astfel încât )a,...,a,a(f)x,...,x,x(f n21n21 ≤ ,

XV)x,...,x,x( n21 ∩∈∀

Punctele de minim local sau maxim local ale funcţiei f se numesc puncte de extrem local ale

lui f .


Teoremă. Fie RR →⊂ nX:f , )x,...,x,x(ff n21= şi )a,...,a,a( n21 un punct interior

mulţimii X . Dacă )a,...,a,a( n21 este un punct de extrem local al funcţiei f şi f are derivate parţiale de

ordinul întâi în )a,...,a,a( n21 , atunci

0x

)a,...,a,a(f

1

n21 =∂

∂, 0

x)a,...,a,a(f

2

n21 =∂

∂, …, 0

x)a,...,a,a(f

n

n21 =∂

∂.

Soluţiile sistemului

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=∂∂

=∂∂

=∂∂

0xf

..............

0xf

0xf

n

2

1

formează mulţimea punctelor staţionare ale funcţiei f .

Teoremă. Fie RR →⊂ nX:f , )x,...,x,x(ff n21= şi )a,...,a,a( n21 un punct staţionar

al funcţiei f .

Fie

nn2n1n

n22221

n11211

n2221

12112111

a...aa

............

a...aa

a...aa

,...,aa

aa,a =∆=∆=∆ ,

unde

ji

n212

ij xx)a,...,a,a(f

a∂∂

∂= .

1) Dacă 01 >∆ , 02 >∆ , …, 0n >∆ , atunci )a,...,a,a( n21 este un punct de minim pentru

f.

2) Dacă 01 <∆ , 02 >∆ , 03 <∆ , 04 >∆ , …, atunci )a,...,a,a( n21 este un punct de

maxim pentru f.


Exemplu. Să se determine punctele de extrem local pentru funcţia

16z

zy

yx

x1

)z,y,x(f +++= , x > 0, y > 0, z > 0.

Soluţie. Punctele staţionare sunt soluţii ale sistemului

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+−

=+−

=+−

⇔

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=∂∂

=∂∂

=∂∂

0161

z

y

0z1

y

x

0y1

x

1

0xf

0xf

0xf

2

2

2

Obţinem un singur punct staţionar )8,4,2(M .

Cum

,z

1zyf

,0zxf

,y

1yxf

,z

y2

z

f,

y

x2

y

f,

x

2

x

f2

22

2

2

32

2

32

2

32

2−=

∂∂∂

=∂∂

∂−=

∂∂∂

=∂

∂=

∂

∂=

∂

∂

rezultă

641

8

1zy

)8,4,2(fa,0

zx)8,4,2(f

a,161

4

1yx

)8,4,2(fa

,641

8

42

z

)8,4,2(fa,

161

4

22

y

)8,4,2(fa,

41

2

2

x

)8,4,2(fa

2

2

23

2

132

2

12

32

2

3332

2

2232

2

11

−=−=∂∂

∂==

∂∂∂

=−=−=∂∂

∂=

=⋅

=∂

∂==

⋅=

∂

∂===

∂

∂=

şi

.64642

1

641

641

0

641

161

161

0161

41

,16

3

161

161

161

41

,41

3

22

1

⋅⋅=

−

−−

−

=∆

=−

−=∆

=∆

Deoarece 01 >∆ , 02 >∆ , 03 >∆ rezultă că punctul staţionar )8,4,2(M este punct de

minim.


6.5. Derivata după o direcţie. Gradient. Divergenţă. Rotor

Definiţie. Fie funcţia RR →⊂ 3A:f , f = f(x,y,z), presupusă derivabilă parţial pe A, fie

)z,y,x(M 0000 un punct interior mulţimii A şi )cos,cos,(cos γβαl o direcţie dată 1. Fie M(x,y,z) un

punct oarecare al dreptei care trece prin 0M şi are vectorul director l .

Se numeşte derivata funcţiei f după direcţia l în punctul 0M limita

|MM|

)M(f)M(flim

0

0

MM 0

−

→.

Se notează ld

)M(df 0 şi are expresia

γ∂

∂+β

∂

∂+α

∂

∂= cos

z

)z,y,x(fcos

y

)z,y,x(fcos

x

)z,y,x(f

d

)z,y,x(df 000000000000l

.

Exemplu. Să se calculeze derivata funcţiei zxyzxy)z,y,x(f ++= în punctul )3,1,2(M0 ,

după direcţia NM0 , unde )15,5,5(N .

Soluţie. Cum xyzf

,zxyf

,zyxf

+=∂∂

+=∂∂

+=∂∂

rezultă că

3z

)3,1,2(f,5

y)3,1,2(f

,4x

)3,1,2(f=

∂∂

=∂

∂=

∂∂

.

Cosinusurile directoare ale direcţiei NM0 sunt

.1312

1443

12cos

,134

1443

4cos

,133

1443

3cos

222

222

222

=++

=γ

=++

=β

=++

=α

Prin urmare, 1368

1312

3134

5133

4d

)3,1,2(df=⋅+⋅+⋅=

l.

1 În funcţie de parametrii directori a, b, c ai unei direcţii date l , cosinusurile directoare se determină prin formulele:

2c2b2a

ccos,

2c2b2a

bcos,

2c2b2a

acos

++±=γ

++±=β

++±=α .

Semnele ± corespund celor două sensuri de pe direcţia considerată.


Definiţie 2. Fie u(x,y,z) o funcţie reală definită pe 3A R⊂ , derivabilă parţial pe A. Se

numeşte gradientul funcţiei u sau gradientul câmpului scalar u şi se notează ugrad funcţia vectorială

kzu

jyu

ixu

ugrad∂∂

+∂∂

+∂∂

= .

Gradientul într-un punct este normal la suprafaţa u = const. (numită suprafaţă de nivel), direcţia

sa reprezentând direcţia celei mai rapide creşteri a funcţiei u.

În mod formal, gradientul funcţiei u se obţine prin aplicarea operatorului 3

kz

jy

ix ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=∇

funcţiei u: uugrad ∇= .

Definiţie4. Fie ))z,y,x(v),z,y,x(v),z,y,x(v()z,y,x(v 321= o funcţie vectorială definită pe

3A R⊂ cu valori în 3R , derivabilă parţial pe A . Se numeşte divergenţa funcţiei v sau divergenţa

câmpului vectorial v şi se notează vdiv funcţia scalară

zv

yv

xv

vdiv 321∂

∂+

∂

∂+

∂

∂= .

Simbolic, divergenţa câmpului vectorial v se poate defini ca produsul scalar dintre operatorul

∇ şi v: vvdiv ⋅∇= .

Dacă divergenţa se anulează într-un domeniu D, câmpul vectorial v se spune că este

solenoidal.

Definiţie5. Fie ))z,y,x(v),z,y,x(v),z,y,x(v()z,y,x(v 321= o funcţie vectorială definită pe

3A R⊂ cu valori în 3R , derivabilă parţial pe A . Se numeşte rotorul funcţiei v sau rotorul câmpului

vectorial v şi se notează rot v funcţia vectorială

kyv

xv

jx

vzv

iz

vy

vvrot 123123 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−

∂

∂+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂−

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−

∂

∂= .

2 Noţiunea de gradient are originea în lucrările lui W. Hamilton (1853), iar denumirea şi notaţia se datoresc lui G. B.

Riemann (1854) şi J. C. Maxwell (1855).

3 Operatorul kz

jy

ix ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇ se numeşte operatorul nabla sau operatorul lui Hamilton

4 Noţiunea de divergenţă are originea în lucrările lui W. Hamilton (1853), iar denumirea şi notaţia se datoresc lui M. Abraham

(1902) şi P. Langevin (1905)

5 Noţiunea de rotor are originea în lucrările lui W. Hamilton (1853), iar denumirea şi notaţia se datoresc lui H. Lorentz (1895)

şi M. Abraham (1902)


Simbolic, rotorul câmpului vectorial v se poate scrie ca produsul vectorial dintre operatorul ∇

şi v

321 vvvzyx

kji

vvrot∂∂

∂∂

∂∂

=×∇= .

Dacă rotorul se anulează într-un anumit domeniu, câmpul vectorial v se spune că este

irotaţional (sau lamentar) în acel domeniu.

Exemplu. Să se arate că:

a 6) u)ugrad(div ∆= , 2

2

2

2

2

2

zyx ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∆ ;

b) 0)vrot(div = ;

c) 0)ugrad(rot = .

Soluţie.

a) uz

u

y

u

x

uzu

zyu

yxu

x)ugrad(div

2

2

2

2

2

2∆=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

= ;

;0yz

vzy

vxz

vzx

vxy

vyx

v

yzv

xzv

xy

v

zyv

zxv

yx

v

yv

xv

zx

v

zv

yzv

y

v

x)vrot(div)b

12

12

22

22

32

32

12

22

32

12

22

32

123123

=∂∂

∂−

∂∂

∂+

∂∂

∂−

∂∂

∂+

∂∂

∂−

∂∂

∂=

∂∂

∂−

∂∂

∂+

∂∂

∂−

∂∂

∂+

∂∂

∂−

∂∂

∂=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−

∂

∂

∂∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂−

∂

∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−

∂

∂

∂∂

=

.0kxy

uyxu

jzx

uxz

ui

yzu

zyu

kxu

yyu

x

jzu

xxu

zi

yu

zzu

y)ugrad(rot)c

222222=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂∂

−∂∂

∂+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂∂

−∂∂

∂+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂∂

−∂∂

∂=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=



1. Folosind definiţia să se calculeze:

a) )0,1(f 'x şi )0,1(f '

y pentru 2yxe)y,x(f −= ;

b) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ππ3

,4

f 'x şi ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ππ3

,4

f 'y pentru 1ysincos)y,x(f +−= .

2. Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul întâi şi al doilea pentru următoarele funcţii:

a) 3yyx3x)y,x(f 423 +++= ; b) xysinyx)y,x(f 2 ++= ;

c) 23 y)x2(x)y,x(f −−= ; d) 22 y4x)y,x(f += ;

e) ysinx)y,x(f 32= ; f) yxyx

)y,x(f2

+= ;

g) 234 zyxe)z,y,x(f ++= ; h) zsinxy 2

e)z,y,x(f = ;

i) 22 zy

xarcsin)z,y,x(f

+= ; j) 3z)1xln(e)z,y,x(f 52y ++++=

(funcţiile sunt înţelese pe domeniile lor maxime de existenţă).

3. Să se calculeze )3,2(df şi )3,2(fd2 pentru următoarele funcţii:

a) 522 xyxy3x)y,x(f ++= ;

b) )xyyx1ln()y,x(f +++= .

4. Să se calculeze )0,2,1(df şi )0,2,1(fd2 pentru următoarele funcţii:

a) yzxzxy eee)z,y,x(f ++= ;

b) xyz3z3y2x)z,y,x(f 223 −+−= .

5. Să se arate că funcţiile următoare verifică relaţiile indicate:

a) 5 566 xy2yx)y,x(f ++= , f56

yf

yxf

x =∂∂

+∂∂

;

b) 0x,xy

sin)yx()y,x(f 22 ≠+= , f2yf

yxf

x =∂∂

+∂∂

;

6 Operatorul 2z

2

2y

2

2x

2

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∆ se numeşte operatorul lui Laplace


c) zyyx

arctg)zyxx()z,y,x(f 2005520002005

++

−+= , f2005zf

zyf

yxf

x =∂∂

+∂∂

+∂∂

;

d) 45

549549

zy

yxcos)zyxx()z,y,x(f

+

+++= , )z,y,x(f9

zf

zyf

yxf

x =∂∂

+∂∂

+∂∂

.

6. Să se determine punctele de extrem local pentru funcţiile:

a) y16x32xy16y4x)y,x(f 22 −+−+= , 2)y,x( R∈ ;

b) yx2xy6yx3yx)y,x(f 2233 −−+−+= , 2)y,x( R∈ ;

c) 3z12y8x6z2yx)z,y,x(f 222 +−+−+−= , 3)z,y,x( R∈ ;

d) yz4xz6xy4y2x)z,y,x(f 22 −+−+= , 3)z,y,x( R∈ ;

e) yz4xy2x2zyx)z,y,x(f 2223 +−−++= , 3)z,y,x( R∈ ;

f) yz18xz12xy3zyx)z,y,x(f 222 −−−++= , 3)z,y,x( R∈ .

7. Să se demonstreze următoarele formule din analiza vectorială:

a) vdivuuvgrad)uv(div += ;

b) vrotuv)ugrad()uv(rot +×= .

FUNCŢII DEFINITE IMPLICIT 89

CAPITOLUL al VII -lea

FUNCŢII DEFINITE IMPLICIT

7.1. Funcţii implicite definite de ecuaţia 0)y,x(F =

Definiţie. Fie ecuaţia

(1) F(x,y) = 0,

unde F = F(x,y) este o funcţie reală definită pe BA × , R⊂A , R⊂B .

O funcţie

(2) BA:)x(fy →=

se numeşte soluţie în raport cu y a ecuaţiei (1) pe mulţimea A, dacă

0))x(f,x(F = , Ax∈∀ .

Observaţie. Ecuaţia (1) poate avea în raport cu y o soluţie, mai multe soluţii sau nici una.

Ne interesează cazul când ecuaţia (1) admite o singură soluţie (2). Spunem în acest caz că

funcţia f(x) este definită implicit de ecuaţia (1).

Teorema de existenţă şi unicitate. Fie F(x,y) o funcţie reală definită pe BA × , R⊂A ,

R⊂B şi )y,x( 00 un punct interior lui BA × . Dacă

• F )y,x( 00 = 0,

• F admite derivate parţiale continue în BA × ,

• 0y

)y,x(F 00 ≠∂

∂,

atunci:

a) există o vecinătate U a lui x0, o vecinătate V a lui y0 şi o funcţie unică VU:)x(fy →=

astfel încât 00 y)x(f = şi 0))x(f,x(F = , Ux∈∀ ,

b) funcţia y =f(x) are derivata continuă pe U şi Ux,

y)y,x(F

x)y,x(F

)x('f ∈∀

∂∂∂

∂

−= .

Observaţie. Dacă funcţia F(x,y) admite derivate parţiale de ordinul k continue în BA × ,

atunci funcţia y = f(x) are derivata de ordinul k continuă pe U.

CAPITOLUL al VII-lea 90

Exemple.

1) Să se calculeze )x('f pentru funcţia y = f(x) definită implicit de ecuaţia

02005yyx3xyx 32 =+++−− .

Soluţie. Metoda I. Pentru calculul lui )x('f se poate utiliza formula

y)y,x(F

x)y,x(F

)x('f

∂∂∂

∂

−= .

Cum 2005yyx3xyx)y,x(F 32 +++−−= şi

3yx2x

)y,x(F−−=

∂∂

, 1y3xy

)y,x(F 2 ++−=∂

∂,

rezultă că 1xy3

3yx2)x('f

2 +−

−−−= .

Metoda a II-a. Deoarece y = f(x) verifică ecuaţia

02005yyx3xyx 32 =+++−− ,

rezultă că 02005)x(f)x(fx3)x(xfx 32 =+++−− .

Derivând această ultimă identitate, obţinem

0)x('f)x('f)x(f33)x('xf)x(fx2 2 =++−−− ,

de unde deducem

1x)x(f3

3)x(fx2)x('f

2 +−

−−−= sau

1xy3

3yx2)x('f

2 +−

−−−= .

2) Să se calculeze )0('f şi )0("f pentru funcţia y = f(x) definită implicit de ecuaţia

01yxy2xyx 22 =−−++− , ştiind că f(0) = 1.

Soluţie. Cum 1yxy2xyx)y,x(F 22 −−++−= avem

1yx2x

)y,x(F+−=

∂∂

, 1y4xy

)y,x(F−+−=

∂∂

,

iar 1y4x1yx2

y)y,x(F

x)y,x(F

)x('f+−+−

=

∂∂∂

∂

−= .

Deoarece f(0) = 1, rezultă că 011401102

)0('f =+⋅−+−⋅

= .

Pentru determinarea lui )x("f derivăm relaţia


1y4x1yx2

)x('f+−+−

=

în raport cu x, considerând y ca funcţie de x.

Obţinem 2)1y4x(

)'y41)(1yx2()1y4x)('y2()x("f

+−

−+−−+−−= .

Înlocuind pe 'y obţinut mai sus, găsim

2)1y4x(

1y4x1yx2

41)1yx2()1y4x(1y4x1yx2

2

)x("f+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−+−

−+−−+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−+−

−

=

astfel că

32

)1140(

11401102

41)1102()1140(11401102

2)0("f

2−=

+⋅−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⋅−+−⋅

−+−⋅−+⋅−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⋅−+−⋅

−= .

Interpretarea geometrică a derivatelor parţiale ale funcţiei F(x,y)

Se ştie că ecuaţia tangentei la curba y = f(x) în punctul (a,b) al curbei este

)ax)(a('fby −=− .

În ipoteza că y = f(x) este funcţie implicită definită de ecuaţia F(x,y)=0, avem

y)b,a(F

x)b,a(F

)a('f

∂∂∂

∂

−=

şi ecuaţia tangentei se scrie

)ax(

y)b,a(F

x)b,a(F

by −

∂∂∂

∂

−=−

sau echivalent 0y

)b,a(F)by(

x)b,a(F

)ax( =∂

∂−+

∂∂

− .

Rezultă că derivatele parţiale x

)b,a(F∂

∂ şi

y)b,a(F

∂∂

sunt parametrii directori ai tangentei la

curba definită de ecuaţia F(x,y) = 0 în punctul (a,b) al ei.

Exemplu. Să se scrie ecuaţia tangentei la cercul de ecuaţie 222 Ryx =+ în punctul

)y,x(M 000 ce aparţine cercului.

Soluţie. Ecuaţia tangentei în M0 este

0y

)y,x(F)yy(

x

)y,x(F)xx( 00

000

0 =∂

∂−+

∂

∂− ,

unde 222 Ryx)y,x(F −+= .


Cum 000

000 y2

y)y,x(F

,x2x

)y,x(F=

∂

∂=

∂

∂ avem

0y2)yy(x2)xx( 0000 =−+− sau 0)yx(yyxx 20

2000 =+−+ .

Deoarece )y,x(M 000 aparţine cercului 222 Ryx =+ , rezultă că 220

20 Ryx =+ . Obţinem

astfel pentru tangenta căutată ecuaţia 200 Ryyxx =+ .

7.2. Funcţii implicite definite de ecuaţia 0)y,x,...,x,x(F n21 =

Definiţie. Fie ecuaţia

(3) 0)y,x,...,x,x(F n21 = ,

unde F = )y,x,...,x,x(F n21 este o funcţie reală definită pe BA × , nA R⊂ , R⊂B .

O funcţie

(4) BA:)x,...,x,x(fy n21 →=

se numeşte soluţie în raport cu y a ecuaţiei (3) pe mulţimea A, dacă

0))x,...,x,x(f,x,...,x,x(F n21n21 = , A)x,...,x,x( n21 ∈∀ .

Observaţie. Ecuaţia (3) poate avea în raport cu y o soluţie, mai multe soluţii sau nici una.

Ne interesează cazul când ecuaţia (3) admite o singură soluţie (4). Spunem în acest caz că

funcţia f(x n21 x,...,x, ) este definită implicit de ecuaţia (3).

Teorema de existenţă şi unicitate. Fie F(x n21 x,...,x, ,y) o funcţie reală definită pe

BA × , nA R⊂ , R⊂B şi )y,x,...,x,x( 00n

02

01 un punct interior lui BA × . Dacă

• F )y,x,...,x,x( 00n

02

01 = 0,

• F admite derivate parţiale continue în BA × ,

• 0y

)y,x,...,x,x(F 00n

02

01 ≠

∂

∂,

atunci:

a) există o vecinătate U a lui )x,...,x,x( 0n

02

01 , o vecinătate V a lui y0 şi o funcţie unică

VU:)x,...,x,x(fy n21 →= astfel încât

00n

02

01 y)x,...,x,x(f = şi 0))x,...,x,x(f,x,...,x,x(F n21n21 = , U)x,...,x,x( n21 ∈∀ ,

b) funcţia y = f( n21 x,...,x,x ) are derivate parţiale de ordinul întâi continue pe U şi


.U)x,...,x,x(,

y)y,x,...,x,x(F

x)y,x,...,x,x(F

x)x,...,x,x(f

...............................................................

y)y,x,...,x,x(F

x)y,x,...,x,x(F

x)x,...,x,x(f

,

y)y,x,...,x,x(F

x)y,x,...,x,x(F

x)x,...,x,x(f

n21n21

n

n21

n

n21

n21

2

n21

2

n21

n21

1

n21

1

n21

∈∀

∂

∂∂

∂

−=∂

∂

∂

∂∂

∂

−=∂

∂

∂

∂∂

∂

−=∂

∂

Observaţie. Dacă funcţia F( n21 x,...,x,x ,y) admite derivate parţiale de ordinul k continue în

BA × , atunci funcţia y = f( n21 x,...,x,x ) are derivate parţiale de ordinul k continue pe U.

Exemplu. Să se calculeze x

)2,2(f∂

∂ şi

y)2,2(f

∂∂

pentru funcţia )y,x(fz = definită implicit

de ecuaţia

0zxyyexe zz =−−+ ştiind că 0)2,2(f = .

Soluţie. Pentru calculul derivatelor parţiale x

)y,x(f∂

∂ şi

y)y,x(f

∂∂

se utilizează formulele:

z)z,y,x(F

x)z,y,x(F

x)y,x(f

∂

∂∂

∂

−=∂

∂ ,

z)z,y,x(F

y)z,y,x(F

y)y,x(f

∂∂

∂∂

−=∂

∂ .

Cum zxyyexe)z,y,x(F zz −−+= avem

1yexex

)z,y,x(F,xe

y)z,y,x(F

,yex

)z,y,x(F zzzz −+=∂

∂−=

∂∂

−=∂

∂

iar

1yexe

yex

)y,x(fzz

z

−+

−−=

∂∂

şi 1yexe

xey

)y,x(fzz

z

−+

−−=

∂∂

.

Deoarece 0)2,2(f = , rezultă că

31

1e2e2

2ex

)2,2(f00

0=

−+

−−=

∂∂

şi 31

1e2e2

2ey

)2,2(f00

0=

−+

−−=

∂∂

.


Interpretarea geometrică a derivatelor parţiale ale funcţiei F(x,y,z)

Se ştie că ecuaţia planului tangent la suprafaţa z = f(x,y) în punctul (a,b,c) al suprafeţei este

)by(y

)b,a(z)ax(

x)b,a(z

cz −∂

∂+−

∂∂

=− .

În ipoteza că z = f(x,y) este funcţie implicită definită de ecuaţia F(x,y,z)=0, avem

z)c,b,a(F

x)c,b,a(F

x)b,a(z

∂∂

∂∂

−=∂

∂ ,

z)c,b,a(F

y)c,b,a(F

y)b,a(z

∂∂

∂∂

−=∂

∂

şi ecuaţia planului tangent se scrie

)by(

z)c,b,a(F

y)c,b,a(F

)ax(

z)c,b,a(F

x)c,b,a(F

cz −

∂∂

∂∂

−−

∂∂

∂∂

−=−

sau echivalent

0z

)c,b,a(F)cz(

y)c,b,a(F

)by(x

)c,b,a(F)ax( =

∂∂

−+∂

∂−+

∂∂

− .

Rezultă că derivatele parţiale x

)c,b,a(F∂

∂,

y)c,b,a(F

∂∂

şi z

)c,b,a(F∂

∂ sunt parametrii directori ai

normalei la suprafaţa definită de ecuaţia F(x,y,z) = 0 în punctul (a,b,c) al ei.

Exemplu. Să se scrie ecuaţia planului tangent la elipsoidul de ecuaţie

01c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2=−++ în punctul )z,y,x(M 0000 ce aparţine elipsoidului.

Soluţie. Ecuaţia planului tangent în M0 este

0z

)z,y,x(F)zz(

y)z,y,x(F

)yy(x

)z,y,x(F)xx( 000

0000

0000

0 =∂

∂−+

∂

∂−+

∂

∂− ,

unde 1c

z

b

y

a

x)z,y,x(F

2

2

2

2

2

2−++= .

Cum 20000

20000

20000

c

z2z

)z,y,x(F,

b

y2y

)z,y,x(F,

a

x2x

)z,y,x(F=

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂

avem

0c

z2)zz(

b

y2)yy(

a

x2)xx(

20

020

020

0 =−+−+−

sau 0c

z

b

y

a

x

c

zz

b

yy

a

xx2

20

2

20

2

20

20

20

20 =⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++−++ .


Deoarece )z,y,x(M 0000 aparţine elipsoidului 01c

z

b

y

a

x2

2

2

2

2

2=−++ , rezultă că

1c

z

b

y

a

x2

20

2

20

2

20 =++ .

Obţinem astfel pentru planul tangent cerut ecuaţia 1c

zz

b

yy

a

xx20

20

20 =++ .

7.3. Sisteme de funcţii definite implicit

Definiţie. Fie sistemul de ecuaţii

(5)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

,0)y,...,y,y;x,...,x,x(F

.....................................................

0)y,...,y,y;x,...,x,x(F

0)y,...,y,y;x,...,x,x(F

m21n21m

m21n212

m21n211

unde )y,...,y,y;x,...,x,x(F m21n21i , m,1i = sunt funcţii reale definite pe BA × , nA R⊂ , mB R⊂ .

Un sistem de funcţii

(6)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

→=

→=

→=

R

R

R

A:)x,...,x,x(fy

.................................................

A:)x,...,x,x(fy

A:)x,...,x,x(fy

n21mm

n2122

n2111

se numeşte soluţie în raport cu )y,...,y,y( m21 a sistemului (5) pe mulţimea A, dacă

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

0))x,...,x,x(f),...,x,...,x,x(f),x,...,x,x(f;x,...,x,x(F

.................................................................................................................



n21mn212n211n21m

n21mn212n211n212

n21mn212n211n211

A)x,...,x,x( n21 ∈∀ .

Observaţie. Sistemul (5) poate avea în raport cu )y,...,y,y( m21 o soluţie, mai multe soluţii

sau nici una.

Ne interesează cazul când sistemul (5) admite o singură soluţie (6). Spunem în acest caz că

funcţiile f1(x n21 x,...,x, ) , f2(x n21 x,...,x, ), …, fm(x n21 x,...,x, ) sunt definite implicit de sistemul de

ecuaţii (5).


Pentru simplificarea scrierii, notăm )x,...,x,x(x n21= şi )y,...,y,y(y m21= .

Dacă notăm )F,...,F,F(F m21= , atunci F este o funcţie vectorială definită pe BA × cu valori în

mR , iar sistemul (5) se scrie

( '5 ) 0)y,x(F = . De asemenea, dacă notăm )f,...,f,f(f m21= , atunci f este o funcţie vectorială definită pe A cu

valori în mR , iar sistemul (6) se scrie

( '6 ) )x(fy = . Teorema de existenţă şi unicitate. Fie funcţia vectorială

mm21 BA:)F,...,F,F(F R→×=

şi )y,...,y,y,x,...,x,x()y,x( n21n21oooooooo = un punct interior lui BA × . Dacă

• F )y,x( oo = 0,

• Fi , m,1i = admit derivate parţiale continue pe BA × ,

• 1) 0

yF

...yF

yF

............yF

...yF

yF

yF

...yF

yF

)y,...,y,y(D)F,...,F,F(D

m

m

2

m

1

m

m

2

2

2

1

2m

1

2

1

1

1

m21

m21 ≠

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

= în )y,x( oo ,

atunci:

a) există o vecinătate U a lui ox , o vecinătate V a lui oy şi o funcţie vectorială unică

VU:))x(f),...,x(f),x(f()x(f m21 →= astfel încât oo y)x(f = şi 0))x(f,x(F = , m,1i = , Ux∈∀ ,

c) funcţiile f1=f1(x), f2=f2(x),…, fm=fm(x) au derivate parţiale de ordinul întâi continue pe U şi

)y,...,y,y(D)F,...,F,F(D)y,...,y,x(D)F,...,F,F(D

x)x(f

m21

m21

m2i

m21

i

1 −=∂

∂ calculat în x,

1 Determinantul )y,...,y,y(D

)F,...,F,F(D

m21

m21 se numeşte determinantul funcţional sau jacobianul funcţiilor m21 F,...,F,F în raport cu

variabilele m21 y,...,y,y . A fost introdus de K. Jacobi (1841), iar notaţia simbolică a fost propusă de către W. F. Donkin

(1854)


)y,...,y,y(D)F,...,F,F(D)y,...,x,y(D)F,...,F,F(D

x)x(f

m21

m21

mi1

m21

i

2 −=∂

∂ calculat în x,

…………………………………………………

)y,...,y,y(D)F,...,F,F(D)x,...,y,y(D)F,...,F,F(D

x)x(f

m21

m21

i21

m21

i

m −=∂

∂ calculat în x,

Ux∈∀ .

Observaţie. Dacă funcţiile iF , m,1i = admit derivate parţiale de ordinul k continue pe

BA × , atunci funcţiile f1(x), f2(x),…, fm(x) au derivate parţiale de ordinul k continue pe U.

Exemplu. Funcţiile u(x,y) şi v(x,y) sunt definite implicit de sistemul de ecuaţii

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=+

=+∗

.2005yvxu

xvu)(

2

Să se calculeze xv

,yu

,xu

∂∂

∂∂

∂∂

şi yv∂∂

.

Soluţie. Derivând în raport cu x cele două ecuaţii ale sistemului )(∗ şi ţinând seama că

u şi v sunt funcţii de x obţinem

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∂∂

+∂∂

+

=∂∂

+∂∂

0xv

v2xu

xu

1xv

xu

sau

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

0xv

v2xu

x

1xv

xu

Pentru 0xv2v2x

11≠−= , utilizând regula lui Cramer, avem

xv2v2

v2x

11

v20

11

xu

−==

∂∂

, xv2

x

v2x

11

0x

11

xv

−−

==∂∂

.

Derivând în raport cu y cele două ecuaţii ale sistemului, obţinem

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

.1yv

v2yu

x

0yv

yu


Pentru 0xv2v2x

11≠−= , utilizând regula lui Cramer, avem

xv21

v2x

11

v21

10

yu

−−

==∂∂

, xv2

1

v2x

11

1x

01

yv

−==

∂∂

.

7.4. Extreme condiţionate

În anumite probleme se cere găsirea extremelor unei funcţii )x,...,x,x(fy n21= , cu condiţia ca

cele n variabile să verifice anumite relaţii.

Această problemă se numeşte problema găsirii extremelor funcţiei cu legături.

Pentru rezolvarea acestei probleme, folosim metoda multiplicatorilor lui Lagrange.

Dacă se cere să se determine extremele funcţiei )x,...,x,x(fy n21= în care variabilele

n21 x,...,x,x sunt supuse la legăturile (condiţiile)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≤=

=

=

nm,0)x,...,x,x(F

................................

0)x,...,x,x(F

0)x,...,x,x(F

n21m

n212

n211

se procedează astfel:

- se construieşte funcţia ajutătoare

)x,...,x,x(F...)x,...,x,x(F

)x,...,x,x(F)x,...,x,x(f),...,,;x,...,x,x(L

n21mmn2122

n2111n21m21n21

λ++λ+

+λ+=λλλ

cu coeficienţii m21 ,...,, λλλ nedeterminaţi; - se formează sistemul de n + m ecuaţii

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

==

=∂∂

=∂∂

=∂∂

⇔

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=λ∂∂

=λ∂∂

=λ∂∂

=∂∂

=∂∂

=∂∂

0F..............

0F0F

0xL

.............

0xL

0xL

0L

..............

0L

0L

0xL

.............

0xL

0xL

m

21

n

2

1

m

2

1

n

2

1

cu n + m necunoscute m21n21 ,...,,,x,...,x,x λλλ şi se rezolvă.


Fie ),...,,,a,...,a,a(P m21n21 µµµ una din soluţiile acestui sistem. Pentru a vedea dacă

punctul corespunzător )a,...,a,a(M n21 este extrem condiţionat al funcţiei date se procedează astfel:

- coeficienţii m21 ,...,, λλλ din funcţia ajutătoare L se înlocuiesc cu m21 ,...,, µµµ şi se

consideră funcţia

)x,...,x,x(F...)x,...,x,x(F)x,...,x,x(f)x,...,x,x(L n21mmn2111n21n21 µ++µ+=∗

- se calculează diferenţiala de ordinul doi a funcţiei ∗L de mai sus în punctul

)a,...,a,a(M n21

- se diferenţiază legăturile date, iar din sistemul astfel obţinut scoatem m dintre diferenţialele

n21 dx,...,dx,dx în funcţie de celelalte n - m

- se înlocuiesc cele m diferenţiale în diferenţiala de ordinul doi )a,...,a,a(Ld n212 ∗ şi se

obţine o formă pătratică în cele n - m diferenţiale rămase.

Dacă această formă pătratică este pozitiv definită, atunci punctul )a,...,a,a(M n21 este punct

de minim condiţionat pentru funcţia )x,...,x,x(f n21 , iar dacă această formă pătratică este negativ

definită, atunci punctul )a,...,a,a(M n21 este punct de maxim condiţionat pentru funcţia )x,...,x,x(f n21 .

Exemple.

1) Să se determine extremele funcţiei xy)y,x(f = , variabilele fiind legate prin condiţia

1yx =+ .

Soluţie. Funcţia ajutătoare are forma

)1yx(xy);y,x(L −+λ+=λ .

Derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei L conduc, prin anulare, la sistemul

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+

=λ+

=λ+

.01yx

0x

0y

Unica soluţie a acestui sistem este 21

y,21

x == ; 21

−=λ .

Avem deci de considerat funcţia

)1yx(21

xy)y,x(L −+−=∗ .

Diferenţiala de ordinul doi a funcţiei ∗L în punctul ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛21

,21

M are forma următoare


22

222

2

22 dy

y

)M(Ldxdy

yx)M(L

2dxx

)M(L)M(Ld

∂

∂+

∂∂∂

+∂

∂=

∗∗∗∗ .

Cum 0y

)M(L,1

yx)M(L

,0x

)M(L2

22

2

2=

∂

∂=

∂∂∂

=∂

∂ ∗∗∗ , avem dxdy2)M(Ld2 =∗ .

Diferenţiind legătura, obţinem 0dydx =+ , astfel că 22 )dx(2)M(Ld −=∗ şi deci punctul

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛21

,21

M este punct de maxim condiţionat pentru funcţia )y,x(f .

2) Să se determine extremele funcţiei zyx)z,y,x(f ++= , variabilele fiind legate prin

condiţiile

2zyx =+− , 4zyx 222 =++ .

Soluţie. Funcţia ajutătoare are forma

)4zyx()2zyx(zyx),;z,y,x(L 2222121 −++λ+−+−λ+++=λλ .

Derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei L conduc, prin anulare, la sistemul

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−++

=−+−

=λ+λ+

=λ+λ−

=λ+λ+

.04zyx

02zyx

0z21

0y21

0x21

222

21

21

21

Rezolvând acest sistem, găsim soluţiile

31

1 =λ , 21

2 −=λ , 32

y,34

x == , 34

z = ;

11 −=λ , 21

2 =λ , 2y,0x −== , 0z = .

Pentru 31

1 =λ , 21

2 −=λ avem de considerat funcţia

)4zyx(21

)2zyx(31

zyx)z,y,x(L 222 −++−−+−+++=∗ .

Diferenţiala de ordinul doi a funcţiei ∗L în punctul ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛34

,32

,34

M1 are forma

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ).dydz

zyML

2dxdzzxML

2dxdyyxML

2

dzz

MLdy

y

MLdx

x

MLMLd

12

12

12

22

12

22

12

22

12

12

∂∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂

∂+

+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∗∗∗

∗∗∗∗

Cum


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

,0zyML

,0zxML

,0yxML

,1z

ML,1

y

ML,1

x

ML

12

12

12

21

2

21

2

21

2

=∂∂

∂=

∂∂

∂=

∂∂

∂

−=∂

∂−=

∂

∂−=

∂

∂

∗∗∗

∗∗∗

avem ( ) 2221

2 dzdydxMLd −−−=∗ şi deci punctul ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛34

,32

,34

M1 este punct de maxim condiţionat

pentru funcţia )z,y,x(f .

Pentru 11 −=λ , 21

2 =λ , avem de considerat funcţia

)4zyx(21

)2zyx(zyx)z,y,x(L 222 −+++−+−−++=∗ .

Procedând analog obţinem pentru diferenţiala de ordinul doi a funcţiei ∗L în punctul

( )0,2,0M2 − expresia ( ) 2222

2 dzdydxMLd ++=∗ şi deci punctul ( )0,2,0M2 − este punct de minim

condiţionat pentru funcţia )z,y,x(f .


1. Să se calculeze )x('f pentru funcţia )x(fy = definită implicit de ecuaţia

03x4yyx2 22 =−−+ .

2. Să se scrie ecuaţia tangentei la curba

03yx2xyx 22 =−++−

în punctul )0,1(M0 .

3. Să se scrie ecuaţia tangentei la conica de ecuaţie

0aaa,0aya2xa2yaxya2xa 222

212

211002010

22212

211 ≠++=+++++

în punctul )y,x(M 000 ce aparţine conicei.

4. Să se calculeze x

)y,x(f∂

∂ şi

y)y,x(f

∂∂

pentru funcţia )y,x(fz = definită implicit de ecuaţia

03)zyxln( yxz =− .


5. Să se calculeze )1,1(df pentru funcţia )y,x(fz = definită implicit de ecuaţia

00zxz3yz4y3x 9525 ==+−+− , ştiind că 1)1,1(f = .

6. Să se scrie ecuaţia planului tangent la suprafaţa 02zxz2x 22 =−−+ în punctul

)1,1,1(M0 .

7. Să se scrie ecuaţia planului tangent la cuadrica de ecuaţie

,0aza2ya2xa2yza2xza2xya2zayaxa 003020102313122

332

222

11 =+++++++++

0aaaaaa 223

213

212

233

222

211 ≠+++++ , în punctul )z,y,x(M 0000 ce aparţine cuadricei.

8. Să se determine ),r(D)g,f(Dθ

dacă θ=θ cosr),r(f şi θ=θ sinr),r(g .

9. Să se determine ),,r(D)h,g,f(Dϕθ

dacă ϕθ=ϕθ cossinr),,r(f , ϕθ=ϕθ sinsinr),,r(g şi

θ=ϕθ cosr),,r(h .

10. Funcţiile u(x,y) şi v(x,y) sunt definite implicit de sistemul de ecuaţii

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−=+

−−=+

3333 yx7vu

yx2vu.

Să se calculeze xv

,yu

,xu

∂∂

∂∂

∂∂

şi yv∂∂

.

11. Să se determine extremele condiţionate pentru funcţiile:

a) xy)y,x(f = , variabilele fiind legate prin condiţia 4yx 22 =+ ;

b) 22 yxy3x5)y,x(f ++= , variabilele fiind legate prin condiţia 1yx 22 =+ ;

c) z2yx)z,y,x(f +−= , variabilele fiind legate prin condiţia 2z2yx 222 =++ ;

d) 32zxy)z,y,x(f = , variabilele fiind legate prin condiţia

4z3y2x =++ , 0x > , 0y > , 0z > .

ELEMENTE DE CALCUL INTEGRAL 103

CAPITOLUL al VIII-lea

ELEMENTE DE CALCUL INTERGAL

8.1. Integrale improprii

Integrale improprii cu limite de integrare infinite

Definiţie. Fie f o funcţie definită pe [ )+∞,a şi integrabilă pe [a,b], ab >∀ . Limita

∫∞→

b

abdx)x(flim (finită sau infinită) se notează ∫

∞

adx)x(f . În cazul în care această limită este finită se

spune că integrala ∫∞

adx)x(f este convergentă. Dacă limita este infinită sau nu există se spune despre

integrală că este divergentă.

Analog se definesc integralele:

∫=∫−∞→∞−

b

aa

bdx)x(flimdx)x(f

şi

∫=∫

+∞→−∞→

∞

∞−

b

aba

dx)x(flimdx)x(f .

Exemple.

1) Integrala ∫∞

1 xdx

este divergentă.

Într-adevăr,

∞===∫=∫∞→∞→∞→

∞blnlim|x|lnlim

xdx

limx

dx

b

b

1b

b

1b1 .

2) Integrala ∫∞

12005x

dx este convergentă.

Într-adevăr,

20041

2004b

20041

lim2004

xlim

x

dxlim

x

dx 2004

b

b

1

2004

b

b

12005b1

2005=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

−=∫=∫

−

∞→

−

∞→∞→

∞ .

Observaţie. Deoarece

...dx)x(f...dx)x(fdx)x(fdx)x(f1na

na

2a

1a

1a

aa+∫++∫+∫=∫

++

+

+

+

+∞,

CAPITOLUL al VIII-lea 104

rezultă că ...u...uudx)x(f n10a

++++=∫∞

, unde ∫=++

+

1na

nan dx)x(fu .

Astfel, convergenţa integralei ∫∞

adx)x(f se reduce la convergenţa seriei ∑

∞

=0nnu .

Folosind rezultatele de la serii numerice, obţinem

1. Dacă )x(g)x(f0 ≤< , [ )+∞∈ ,ax , atunci

- din convergenţa integralei ∫∞

adx)x(g , rezultă convergenţa integralei ∫

∞

adx)x(f

iar

- din divergenţa integralei ∫∞

adx)x(f , rezultă divergenţa integralei ∫

∞

adx)x(g .

2. Dacă 0)x(f > , 0)x(g > , [ )+∞∈ ,ax şi k)x(g)x(f

limx

=∞→

, ∞≤≤ k0 , atunci

- din convergenţa integralei ∫∞

adx)x(g pentru ∞<k , rezultă convergenţa integralei ∫

∞

adx)x(f

iar

- din divergenţa integralei ∫∞

adx)x(f pentru 0k > , rezultă divergenţa integralei ∫

∞

adx)x(g .

3. Dacă 0)x(f > , [ )+∞∈ ,ax şi k)x(fxlimx

=λ

∞→, ∞<< k0 , atunci

- pentru 1>λ , integrala ∫∞

adx)x(f este convergentă

iar

- pentru 1≤λ , integrala ∫∞

adx)x(f este divergentă.

4. Dacă f(x) este integrabilă pe orice interval [a,b] şi kdx)x(fb

a≤∫ iar g(x) tinde monoton

către zero când ∞→x , atunci ∫∞

adx)x(g)x(f este convergentă.

Exemple. Să se studieze convergenţa integralelor:

a) dxx1

x

02

23

∫+

∞;

b) dxx1

x

17

2

∫+

∞ ;

c) dxx

xcos

1∫∞

.


Soluţie.

a) Deoarece 1x1

xlim)x(fxlim

2

23

xx=

+=

+λ

→∞

λ

→∞ pentru 1

21<=λ , integrala este divergentă.

b) Deoarece 1x1

xlim)x(fxlim

7

2

xx=

+=

+λ

∞→

λ

∞→ pentru 15 >=λ , integrala este convergentă.

c) Considerăm funcţiile xcos)x(f = şi x1

)x(g = . Deoarece

22sinbsindxcosb

1≤−=∫

şi x1

)x(g = descreşte monoton la zero când ∞→x , rezultă că integrala dxx

xcos

1∫∞

este convergentă.

Integrale improprii din funcţii nemărginite

Definiţie. Fie a un punct singular pentru funcţia f definită pe ]b,a( şi integrabilă pe

]b,a[ ε+ , 0>ε∀ . Limita ∫ε+→ε

b

a0dx)x(flim (finită sau infinită) se notează ∫

b

adx)x(f . În cazul în care

această limită este finită se spune că integrala ∫b

adx)x(f este convergentă. Dacă limita este infinită sau

nu există se spune despre integrală că este divergentă.

Analog, dacă b este punct singular pentru funcţia f, integrala (improprie) ∫b

adx)x(f se defineşte

ca ∫ε−

→ε

b

a0dx)x(flim .

Exemple.

1) Integrala ∫−

10

5 5xdx

este divergentă.

Într-adevăr, funcţia 5x

1)x(f

−= este nemărginită în punctul x = 5 şi avem

∞=ε−=−=∫−

=∫− →εε+→εε+→ε

)ln5(lnlim|5x|lnlim5x

dxlim

5xdx

0

10

50

10

50

10

5 .

2) Integrala ∫−

10

5 5x

dx este convergentă.


Într-adevăr, funcţia 5x

1)x(f

−= este nemărginită în punctul x = 5 şi avem

52)252(lim5x2lim5x

dxlim

5x

dx

0

10

50

10

50

10

5=ε−=−=∫

−=∫

− →εε+→εε+→ε .

Observaţie. Integrala (improprie) ∫b

adx)x(f (b - a > 1) cu a punct singular se poate

transforma într-o serie numerică. Într-adevăr,

...dx)x(f...dx)x(fdx)x(fdx)x(fn1

a

1n1

a

1a

21

a

b

1a

b

a+∫++∫+∫=∫

+

++

+

++

şi astfel

...u...uudx)x(f n10

b

a++++=∫ , unde ∫=

+

++

n1

a

1n1

a

n dx)x(fu .

Convergenţa integralei (improprii) ∫b

adx)x(f poate fi aşadar redusă la convergenţa seriei ∑

∞

=0nnu .

Are loc următorul rezultat

Fie a un punct singular pentru funcţia f(x) > 0 definită pe (a,b] şi integrabilă pe [a+ ε ,b],

0>ε∀ . Dacă k)x(f)ax(lim

axax

=− λ

>→

, ∞<< k0 , atunci

- pentru 1<λ , integrala (improprie) ∫b

adx)x(f este convergentă

iar

- pentru 1≥λ , integrala (improprie) ∫b

adx)x(f este divergentă.

Exemplu. Să se studieze convergenţa integralei ∫−+

3

1 2 1x)1x(

dx.

Soluţie. Deoarece

22

1

1x)1x(

)1x(lim)x(f)1x(lim

21

1x1x

1x1x

=++

−=−

−λ

>→

λ

>→

,

pentru 121<=λ , integrala este convergentă.


8.2. Integrala dublă

Fie o funcţie )y,x(ff,D:f 2 =→⊂ RR .

Cu drepte paralele cu axele de coordonate împărţim domeniul plan D în subdomenii. Notăm cu

kD , n,1k = subdomeniile obţinute numerotate într-o ordine oarecare.

Definiţie. Familia de subdomenii )D...,,D,D( n21 =∆ se numeşte diviziune a domeniului

D.

Definiţie 1. Se numeşte norma diviziunii )D...,,D,D( n21 =∆ numărul kn,1k

maxρ=∆=

, unde

)N,M(dmaxk =ρ , kDN,M ∈ .

Definiţie. O familie de puncte )P,...,P,P(P n21= astfel încât kk DP ∈ , n,1k = se

numeşte sistem de puncte intermediare asociat diviziunii ∆ .

Definiţie. Se numeşte sumă integrală ataşată funcţiei f, diviziunii ∆ şi punctelor

intermediare P numărul

∑=σ=

∆n

1kkk )D(s)P(f)P,f( sau ∑ ηξ=σ

=∆

n

1kkkk )D(s),(f)P,f( ,

unde am notat cu )D(s k aria subdomeniului kD , iar cu ),( kk ηξ coordonatele punctului kP .

Definiţie. Se spune că funcţia f este integrabilă pe D dacă oricare ar fi şirul de diviziuni

)( n∆ cu 0lim nn

=∆∞→

şi oricare ar fi alegerea punctelor intermediare P, sumele integrale

corespunzătoare au o limită comună finită I.

Numărul I se numeşte integrala dublă a funcţiei f pe domeniul D şi se notează ∫∫D

dxdy)y,x(f .

Din analogia dintre definiţia integralei duble şi definiţia limitei unei funcţii rezultă următoarea

1 Am notat cu d(M,N) distanţa de la M la N


Teoremă. Funcţia f este integrabilă pe D dacă şi numai dacă există un număr real I cu

proprietatea că pentru orice 0>ε , există 0)( >εδ astfel încât oricare ar fi diviziunea ∆ cu )(εδ<∆

şi oricare ar fi alegerea punctelor intermediare P are loc inegalitatea ε<−σ∆ |I)P,f(| .

Consecinţă. Dacă funcţia f este integrabilă pe D, atunci f este mărginită pe D.

Observaţie. Reciproca nu este adevărată.

Observaţie. Aria domeniului plan D este ∫∫=D

dxdy)D(s .

Proprietăţi ale integralei duble

1. Proprietatea de liniaritate. Dacă f, g sunt funcţii integrabile pe D şi R∈βα, , atunci

gf β+α este integrabilă pe D şi ∫∫β+∫∫α=∫∫ β+αDDD

dxdy)y,x(gdxdy)y,x(fdxdy)]y,x(g)y,x(f[ .

2. Proprietatea de aditivitate. Dacă f este funcţie integrabilă pe D şi 21 DDD ∪= , iar

21 D,D au în comun cel mult frontiera, atunci f este integrabilă pe 1D şi 2D şi

∫∫+∫∫=∫∫21 DDD

dxdy)y,x(fdxdy)y,x(fdxdy)y,x(f .

3. Proprietatea de monotonie. Dacă f este funcţie integrabilă pe D şi 0)y,x(f ≥ ,

D)y,x( ∈∀ , atunci 0dxdy)y,x(fD

≥∫∫ .

Consecinţe.

a) Dacă f, g sunt funcţii integrabile pe D şi D)y,x(,)y,x(g)y,x(f ∈∀≤ , atunci

∫∫≤∫∫DD

dxdy)y,x(gdxdy)y,x(f .

b) Dacă f este funcţie integrabilă pe D şi M)y,x(fm ≤≤ , D)y,x( ∈∀ , atunci

)D(Msdxdy)y,x(f)D(msD

≤∫∫≤ .

4. Formule de medie. Dacă f, g sunt funcţii integrabile pe D şi 0)y,x(g ≥ ,

D)y,x( ∈∀ , atunci există ]M,m[∈µ (m, M sunt marginile funcţiei f) astfel încât

∫∫µ=∫∫DD

dxdy)y,x(gdxdy)y,x(g)y,x(f .

Consecinţe.

a) Dacă f este funcţie integrabilă pe D, atunci există ]M,m[∈µ (m, M sunt marginile funcţiei

f) astfel încât

)D(sdxdy)y,x(fD

µ=∫∫ .


b) Dacă f este funcţie continuă pe D, atunci există D),(P ∈ηξ astfel încât

)D(s),(fdxdy)y,x(fD

ηξ=∫∫ .

c) Dacă f este funcţie continuă pe D, iar g este funcţie integrabilă pe D şi 0)y,x(g ≥ ,

D)y,x( ∈∀ , atunci există D),(P ∈ηξ astfel încât

∫∫ηξ=∫∫DD

dxdy)y,x(g),(fdxdy)y,x(g)y,x(f .

Calculul integralei duble

Pentru calculul integralei duble se disting următoarele tipuri fundamentale de domenii de

integrare:

1. dyc,bxa:)y,x(D ≤≤≤≤= (D este un dreptunghi cu laturile paralele cu axele de

coordonate)

Teoremă. Dacă funcţia )y,x(f este integrabilă în raport cu y pe ]d,c[ , adică există

∫=d

cdy)y,x(f)x(F şi dacă )x(F este integrabilă pe ]b,a[ , atunci ∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∫=∫∫

b

a

d

cDdxdy)y,x(fdxdy)y,x(f , adică,

calculul integralei duble se reduce la calculul a două integrale iterate.

Exemplu. Să se calculeze ∫∫D

dxdyysinx , unde ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ π

≤≤≤≤=2

y0,1x0:)y,x(D .

Soluţie.

∫ ∫=∫∫

π1

0

2

0Ddx]dyysinx[dxdyysinx .

Deoarece


x0cos2

cosx)ycos(xdyysinxdyysinx 20

2

0

2

0=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +π

=−=∫=∫

πππ

,

rezultă că

21

2x

dxxdxdyysinx

1

0

21

0D==∫=∫∫ .

2. )x(yy)x(y,bxa:)y,x(D 21 ≤≤≤≤=

Teoremă. Dacă funcţia )y,x(f este integrabilă în raport cu y pe )]x(y),x(y[ 21 , adică

∫=)x(y

)x(y

2

1

dy)y,x(f)x(F şi dacă )x(F este integrabilă pe ]b,a[ , atunci

∫⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∫=∫∫

b

a

)x(y

)x(yDdxdy)y,x(fdxdy)y,x(f

2

1

.

Exemplu. Să se calculeze ∫∫ +D

dxdy)yx( , unde D este limitat de dreapta xy = şi

parabola 2xy = . Soluţie.

Punctele de intersecţie dintre dreapta xy = şi parabola 2xy = sunt )0,0(O şi )1,1(A .

∫ ∫ +=∫∫ +1

0

x

xDdx]dy)yx([dxdy)yx(

2.

Deoarece


,2

xx

2x3

2x

2x

xx2

x2

x)xx(x

2y

yxdyydyxdyydyxdy)yx(

43

24232

422

x

x

2x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x 22

22222

−−=−+−=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−+−=

+=∫+∫=∫+∫=∫ +

rezultă că

203

10x

3x

6x3

dx2

xx

2x3

dxdy)yx(

1

0

5431

0

43

2

D=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−−=∫ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−−=∫∫ + .

3. Domeniul D este oarecare

În acest caz prin paralele la axa Oy duse prin vârfurile domeniului D, împărţim domeniul D în

subdomenii de tipurile precedente, iar pentru calculul integralei duble aplicăm proprietatea de aditivitate

a acesteia.

În unele situaţii s-ar putea să ajungem la calcule complicate şi de aceea este recomandat să

efectuăm acea schimbare de variabilă care să transforme domeniul D într-un domeniu 'D de tipul 1 sau

2.

Schimbarea de variabilă în integrala dublă

Fie transformarea ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

)v,u(yy

)v,u(xxT pentru care funcţiile x, y îndeplinesc condiţiile:

- sunt funcţii continue împreună cu derivatele lor parţiale;

- stabilesc o corespondenţă biunivocă şi bicontinuă între punctele domeniului D din planul

Oxy şi punctele domeniului 'D din planul 'O uv;

- determinantul funcţional (jacobianul)

0

vy

uy

vx

ux

)v,u(D)y,x(D

J ≠

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

== în D.

În aceste condiţii asupra transformării T, are loc formula

∫∫=∫∫'DD

dudvJ))v,u(y),v,u(x(fdxdy)y,x(f .

Observaţie. În cazul coordonatelor polare θρ , cu ⎪⎩

⎪⎨⎧

θρ=

θρ=

siny

cosx, ρ=J , iar formula

precedentă se scrie

∫∫ θρρθρθρ=∫∫'DD

dd)cos,cos(fdxdy)y,x(f .


Exemplu. Să se calculeze următoarele integrale duble:

1) ∫∫D

dxdyxy , unde 4yx1:D 22 ≤+≤ ;

2) ∫∫ +D

dxdy)y2x( , unde D este domeniul mărginit de dreptele

2yx,1yx,2yx,1yx =−=−=+=+ .

Soluţie.

1) Este indicat să facem transformarea ⎪⎩

⎪⎨⎧

θρ=

θρ=

siny

cosxT care duce domeniul D (coroana

circulară)

în dreptunghiul ⎪⎩

⎪⎨⎧

π≤θ≤

≤ρ≤

20

21'D

.ddsincosddsincosdd)sin)(cos(dxdyxy2

0

2

1

3

'D

3

'DD θ∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∫ ρθθρ=∫∫ θρθθρ=∫∫ θρρθρθρ=∫∫

π

Deoarece

θθ=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ρθθ=∫ ρρθθ=∫ ρθθρ sincos

415

4sincosdsincosdsincos

2

1

42

1

32

1

3 ,


rezultă că

022cos

815

d2sin8

15dsincos

415

dxdyxy2

0

2

0

2

0D=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ θ−=θ∫ θ=θ∫ θθ=∫∫

πππ .

2)

Notăm ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+

vyx

uyx şi obţinem

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

+=

2v

2u

y

2v

2u

xT

Transformarea T duce domeniul D în pătratul ⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤

≤≤

2v1

2u1'D

Jacobianul transformării este

21

21

21

21

21

vy

uy

vx

ux

J −=−

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= .

Astfel,

.dudv4

vu3dudv

21

2v

2u3

dudv21

2v

2u

22v

2u

dxdy)y2x(2

1

2

1'D'DD ∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∫

−=∫∫ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=∫∫ −⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −++=∫∫ +

Deoarece


,83

4u3

23

41

4u3

2v

41

v4u3

dvv41

dv4u3

dv4

vu32

1

22

1

2

1

2

1

2

1 −=⋅−=−=∫−∫=∫

−

rezultă că

43

u83

2u

43

du83

duu43

du83

4u3

dxdy)y2x(2

1

2

1

22

1

2

1

2

1D=−=∫−∫=∫ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=∫∫ + .

Aplicaţii ale integralei duble

Fie o placă D cu densitatea de masă 0)y,x(f > . Masa m şi coordonatele centrului de greutate

G al plăcii sunt date de

∫∫=D

dxdy)y,x(fm ,

∫∫=D

G dxdy)y,x(xfm1

x ,

∫∫=D

G dxdy)y,x(yfm1

y .

Momentele de inerţie ale plăcii D în raport cu axele de coordonate Ox şi Oy sunt date de

∫∫=D

2x dxdy)y,x(fyI ,

∫∫=D

2y dxdy)y,x(fxI ,

iar momentul de inerţie al plăcii în raport cu originea este

yx0 III += .


1. Folosind definiţia, să se cerceteze convergenţa integralelor:

a) ∫∞

−

0

x3 dxex ; b) ∫∞

1dx

xxln

; c) ∫+

∞

322

dx)5x(

1;

d) dxx3cose1

x2 ∫∞

− ; e) ∫−

2

31

dx1x3

1; f) ∫

+

5

03

dxxx

1;

g) ∫−+

3

1 2dx

1x)1x(

1; h) ∫

+

1

03xx

1; i) ∫

+

+

−

4

13

4dx

1x

1x.


2. Pe baza criteriilor, să se studieze convergenţa integralelor:

a) ∫+

∞

0 3 2dx

1x

1; b) ∫

++

∞

2 2dx

5x)3x(

1;

c*) dxxcos0

2 ∫∞

; d**) dxxsin0

2 ∫∞

;

e) ∫−+

1

0 2x1)2x(

1; f) ∫

−

2

0 5 2dx

x4

1.

3. Să se arate că integrala lui Euler de speţa întâi ∫ −=β −−1

0

1b1a dx)x1(x)b,a( este

convergentă pentru a > 0, b > 0.

4. Să se demonstreze că:

a) )a(a)1a( Γ=+Γ , 1a > ;

b) !n)1n( =+Γ , N∈n ;

5. Să se arate că integrala lui Euler de speţa a doua ∫=Γ∞

−−

0

x1a dxex)a( este convergentă

pentru a > 0.

6. Să se demonstreze că:

a) )a,b()b,a( β=β ;

b) )1b,a(1ba

1b)b,1a(

1ba1a

)b,a( −β−+

−=−β

−+−

=β , 1b,1a >> ;

c) )!1nm(

)!1m()!1n()n,m(

−+−−

=β , N ∈n,m ;

d) ∫+

=β∞

+

−

0ba

1ady

)y1(

y)b,a( ;

e) )ba()b()a(

)b,a(+ΓΓΓ

=β .

Integralele * şi ** prezintă o importanţă deosebită în fizică. Ele sunt aşa numitele integrale ale lui A. J. Fresnel.


7. Să se calculeze următoarele integrale duble:

a) ∫∫ +D

2 dxdy)yxy( , unde 2y0,1x0:)y,x(D ≤≤≤≤= ;

b) ∫∫ +D

dxdy)ycosxxsiny( , unde ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ π≤≤

ππ≤≤= y

2,

2x0:)y,x(D ;

c) ∫∫ ++D

223 dxdy)yxy2x( , unde 4y2,1x0:)y,x(D ≤≤≤≤= ;

d) ∫∫D

dxdyxy , unde xyx,1x0:)y,x(D 2 ≤≤≤≤= ;

e) ∫∫ +D

dxdy)yx( , unde D este sfertul din primul cadran al elipsei 019

y4

x 22=−+ ;

f) ∫∫ +D

22 dxdy)yx( , unde D este sfertul din primul cadran al cercului cu centrul în origine şi

rază egală cu 1;

g) ∫∫ +D

dxdy)ycos1( , unde D este domeniul cuprins între 0x = , 1x = , 0y = , xarcsiny = ;

h) ∫∫ +D

dxdy)y2x( , unde D este domeniul cuprins între curbele xy = şi 0x,xy 3 >= ;

i) ∫∫ +D

dxdy)yx( , unde D este domeniul mărginit de dreptele

4y2x,1y2x,3yx2,1yx2 =+−=+=−=− ;

j) ∫∫ +D

dxdy)y3x2( , unde D este domeniul mărginit de dreptele 0yx =+ , 1yx =+ ,

1y2x3 =− , 2y2x3 =− ;

k) ∫∫D

xy

dxdye , unde D este domeniul mărginit de dreptele xy = , 0y = , 1x = .

ECUAŢII DIFERENŢIALE 117

CAPITOLUL al IX-lea

ECUAŢII DIFERENŢIALE1

9.1. Noţiuni generale

Definiţie. Fie )x(yy = o funcţie de n ori derivabilă.

O ecuaţie de forma

(1) 0)y,...,'y,y,x(F )n( =

se numeşte ecuaţie diferenţială ordinară de ordinul n.

O funcţie )x(yy = care verifică ecuaţia (1) se numeşte soluţie sau integrală a ecuaţiei

diferenţiale (1).

O funcţie

(2) )c,...,c,c,x(yy n21= ( n21 c,...,c,c = constante arbitrare)

care verifică ecuaţia (1) se numeşte soluţie generală a ecuaţiei (1).

Orice soluţie a ecuaţiei (1) care se obţine din soluţia generală prin particularizarea constantelor

se numeşte soluţie particulară.

O soluţie a ecuaţiei (1) care nu se poate obţine din soluţia generală prin particularizarea

constantelor se numeşte soluţie singulară.

La o ecuaţie diferenţială se ridică următoarele probleme:

- să se găsească soluţia generală2 (sau să se integreze ecuaţia);

- să se găsească o soluţie particulară care îndeplineşte anumite condiţii.

Problema lui Cauchy. Să se găsească soluţia particulară a ecuaţiei (1) care verifică condiţiile

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

−− .y)c,...,c,c,x(y

.....................................

y)c,...,c,c,x('y

y)c,...,c,c,x(y

1nn210)1n(

1n210

0n210

1 Primele ecuaţii diferenţiale au fost considerate de I. Newton (1687) şi G. Leibniz (1693)

2 Aflarea soluţiei generale nu poate fi făcută în general ci numai în cazuri particulare

CAPITOLUL al IX-lea 118

Pentru aceasta se procedează astfel:

- se rezolvă sistemul de mai sus în raport cu constantele n21 c,...,c,c şi

- se înlocuiesc valorile obţinute pentru n21 c,...,c,c în (2).

Problema polilocală. Să se găsească soluţia particulară a ecuaţiei (1) care trece prin

punctele )y,x(M...,),y,x(M),y,x(M nn1222111 .

Pentru aceasta se procedează astfel:

- se rezolvă sistemul

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

)c,...,c,c,x(yy

.....................................

)c,...,c,c,x(yy

)c,...,c,c,x(yy

n21nn

n2122

n2111

în raport cu constantele n21 c,...,c,c şi

- se înlocuiesc valorile obţinute pentru n21 c,...,c,c în (2).

9.2. Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi

Definiţie. O ecuaţie de forma

(3) 0)'y,y,x(F =

se numeşte ecuaţie diferenţială ordinară de ordinul întâi.

Ecuaţii diferenţiale care provin din anularea unei diferenţiale totale

Definiţie. O ecuaţie diferenţială de forma

(4) 0dy)y,x(Qdx)y,x(P =+ ,

unde P, Q sunt funcţii continue cu derivate parţiale de ordinul întâi continue pe un domeniu 2D R⊂ şi

D)y,x(,xQ

yP

∈∀∂∂

=∂∂

se numeşte ecuaţie diferenţială ce provine din anularea unei diferenţiale totale.

Soluţia generală a ecuaţiei (4) este

cdt)t,x(Qdt)y,t(Py

y0

x

x 00

=∫+∫ , D)y,x( 00 ∈ .

Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială 0dy)yx(dx)yx( 22 =+++ .


Soluţie. Avem 22 yx)y,x(Q,yx)y,x(P +=+= , 2D R= , 1yP=

∂∂

şi 1xQ=

∂∂

. Alegem

D)0,0()y,x( 00 ∈= . Soluţia generală a ecuaţiei este

c3

yxy

3x

c3t

yt3t

cdttdt)yt(33y

0

3x0

x

0

3y

0

2x

0

2 =++⇔=++⇔=∫+∫ + ,

unde c este o constantă arbitrară.

Ecuaţii diferenţiale cu variabile separabile


(5) 0dy)y(Qdx)x(P =+ ,

unde R→I:P şi R→J:Q sunt funcţii continue se numeşte ecuaţie cu variabile separabile.

Soluţia generală a ecuaţiei (3) este cdy)y(Qdx)x(P =∫+∫ .

Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială 01'yyx2 =+ .

Soluţie. Punând dxdy

'y = şi separând variabilele avem 0ydydxx

12

=+ . Soluţia generală a

ecuaţiei este cx1

2y

cydydxx

1 2

2=−⇔=∫+∫ , unde c este o constantă arbitrară.

Ecuaţii diferenţiale omogene


(6) )y,x(Q)y,x(P

'y = ,

unde P şi Q sunt funcţii omogene de grad m, se numeşte ecuaţie omogenă.

Cum funcţiile P şi Q sunt omogene de grad m, rezultă că

)y,x(Pt)ty,tx(P m= şi )y,x(Qt)ty,tx(Q m= .

Înlocuind x1

t = , 0x ≠ obţinem

)y,x(Px

1xy

,1Pm

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ şi )y,x(Qx

1xy

,1Qm

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

adică ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=xy

,1Px)y,x(P m şi ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=xy

,1Qx)y,x(Q m .


Ecuaţia )y,x(Q)y,x(P

'y = se scrie ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=xy

f

xy

,1Q

xy

,1P

xy

,1Qx

xy

,1Px'y

m

m

.

Prin urmare, ecuaţia diferenţială omogenă are şi forma

( '6 ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=xy

f'y ,

unde R→I:f este o funcţie continuă.

Cu substituţia xuy = o ecuaţie diferenţială omogenă se reduce la o ecuaţie diferenţială cu

variabile separabile.

Într-adevăr, din xuy = rezultă udxxdudy += şi ecuaţia ( '6 ) devine

)u(fdx

udxxdu=

+ sau )u(fu

dxdu

x =+

sau duu)u(f

1dx

x1

−= (dacă u)u(f ≠ ), şi aceasta este o ecuaţie cu variabile separabile.

Dacă u)u(f = , atunci ecuaţia ( '6 ) se scrie xy

'y = şi ea este o ecuaţie cu variabile separabile.

Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială 0dy)y3xy2(dx)yx( 222 =+++ .

Soluţie. Folosind substituţia xuy = rezultă udxxdudy += şi ecuaţia devine

0)udxxdu)(ux3ux2(dx)uxx( 222222 =++++ .

Împărţind prin 2x ( 0x ≠ ) avem

0)udxxdu)(u3u2(dx)u1( 22 =++++

sau

0du)u3u2(xdx)u3u31( 232 =++++ .

Separând variabilele, avem 0duu3u31

u3u2dx

x1

32

2=

++

++ .

Soluţia generală a ecuaţiei este


,c1x

y3

x

y3ln

31

|x|ln

c|1u3u3|ln31

|x|ln

cduu3u31

u3u2dx

x1

2

2

3

3

23

32

2

=+++

⇔=+++

⇔=∫++

++∫


Ecuaţii diferenţiale reductibile la ecuaţii omogene


(7) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++++

=111 cybxa

cbyaxf'y ,

unde R→I:f este o funcţie continuă, iar a, b, c, a1, b1, c1 sunt constante reale se numeşte ecuaţie

reductibilă la ecuaţie omogenă.

Cazul I. Dacă c = c1 = 0 (adică 0cc 21

2 =+ ), atunci ecuaţia (7) se scrie

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

=xy

g

xy

ba

xy

baf

ybxabyax

f'y

1111

care este o ecuaţie omogenă.

Cazul al II-lea. Dacă 0cc 21

2 ≠+ şi 0ba

ba

11≠=∆ , atunci sistemul

⎪⎩

⎪⎨⎧

=++

=++

0cybxa

0cbyax

111

este de tip Cramer, deci are soluţie unică

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

0

0

yy

xx.

Cu substituţia ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−=

0

0

yyv

xxu, ecuaţia (7) se reduce la o ecuaţie omogenă.

Într-adevăr, din ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−=

0

0

yyv

xxu rezultă

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

dydv

dxdu şi ecuaţia (7) devine

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++++

++++=

10101

00c)yv(b)xu(ac)yv(b)xu(a

fdudv

sau


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++++

++++=

1010111

00cybxavbua

cbyaxbvauf

dudv

.

Cum ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

0

0

yy

xx este soluţie a sistemului

⎪⎩

⎪⎨⎧

=++

=++

0cybxa

0cbyax

111, obţinem

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

=uv

g

uv

ba

uv

baf

vbuabvau

fdudv

1111


Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială 8y3x5yx2

'y+−−+

= .

Soluţie. 06425cc 21

2 ≠+=+ şi 031

12≠

−=∆ .

Sistemul ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−

=−+

08y3x

05yx2 are soluţia

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

3y

1x.

Folosind substituţia ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−=

3yv

1xu rezultă

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

dydv

dxdu şi ecuaţia devine

8)3v(3)1u(5)3v()1u(2

'v++−+−+++

= sau v3uvu2

'v−+

=


Cu substituţia utv = , se obţine soluţia generală

ct23

arctg23

31

|2t3|ln21

|u|ln 2 =−++

sau

cuv

23

arctg23

31

2u

v3ln

21

|u|ln2

2=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++

sau

c1x3y

23

arctg23

31

2)1x(

)3y(3ln

21

|1x|ln2

2=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−+−

−+− ,


Cazul al III-lea. Dacă 0cc 21

2 ≠+ şi 0ba

ba

11==∆ , atunci k

bb

aa

11== .

Înlocuind ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

1

1

kbb

kaa în ecuaţia (7), obţinem ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

++=

111

11cybxa

c)ybxa(kf'y .

Cu substituţia uybxa 11 =+ , ecuaţia (7) se reduce la o ecuaţie cu variabile separabile.


Într-adevăr, din uybxa 11 =+ rezultă dudybdxa 11 =+ , de unde 1

1b

dxadudy

−= şi ecuaţia

(7) devine )u(gcucku

fdxb

dxadu

11

1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

=−

sau )u(gadxdu

b1

11

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ − sau )u(gba

dudx

11 += şi aceasta

este o ecuaţie cu variabile separabile.

Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială 1yx21y3x6

'y++−+

= .

Soluţie. 011cc 21

2 ≠+=+ , 012

36==∆ .

Folosind substituţia uyx2 =+ , rezultă 2'u'y −= şi ecuaţia devine

1u1u3

2'u+−

=− sau 1u1u5

'u++

= sau 0du1u51u

dx =++

− ,

care este o ecuaţie cu variabile separabile.

Se obţine soluţia generală

c|1u5|ln254

u51

|x|ln =+−−

sau

c|1)yx2(5|ln254

)yx2(51

|x|ln =++−+− ,


Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul întâi


(8) )x(Qy)x(P'y =+ ,

unde P şi Q sunt funcţii continue pe un interval I se numeşte ecuaţie liniară de ordinul întâi.

Când 0)x(Q ≡ , ecuaţia (8) se numeşte ecuaţie liniară omogenă. În acest caz ea este o

ecuaţie cu variabile separabile.

Într-adevăr, din 0y)x(P'y =+ , rezultă y)x(Pdxdy

−= sau dx)x(Py

dy−= . Integrând, obţinem

clndx)x(P|y|ln +∫−= sau ∫−= dx)x(Pcey .

Aceasta este soluţia generală a ecuaţiei liniare omogene.

Pentru a obţine soluţia generală a ecuaţiei liniare neomogene (8), folosim metoda variaţiei

constantelor a lui Lagrange.


Soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale liniare neomogene se caută de aceeaşi formă cu soluţia

generală a ecuaţiei diferenţiale liniare omogene numai că în locul constantei c se consideră o funcţie

u(x)

(9) ∫−= dx)x(Pe)x(uy .

Funcţia u(x) se determină impunând condiţia ca (9) să verifice ecuaţia (8).

Cum ∫−∫− −= dx)x(Pdx)x(P e)x(P)x(ue)x('u'y , înlocuind în ecuaţia (8) obţinem

)x(Qe)x(P)x(ue)x(P)x(ue)x('u dx)x(Pdx)x(Pdx)x(P =+− ∫−∫−∫−

sau

∫= dx)x(Pe)x(Q)x('u

de unde

dxe)x(Qc)x(u dx)x(P∫+= ∫ .

Aşadar, soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale liniare de ordinul întâi (8) este

( )dxe)x(Qcey dx)x(Pdx)x(P∫+= ∫∫− .

Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială x3exy2'xy =− .

Soluţie. Ecuaţia se scrie sub forma x2exyx2

'y =− .

Soluţia generală a ecuaţiei este ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛∫+=

∫−∫−−dxeexcey

dxx2

x2dxx2

sau

( )∫+= − dxeexcey |x|ln2x2|x|ln2

sau

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∫+= dxeexcey22

x

1ln

x2xln

sau

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∫+= dx

x

1excxy

2x22

(am folosit Ae Aln = ) sau ( )x2 ecxy += , unde c este o constantă arbitrară.


Ecuaţii diferenţiale de tip Bernoulli 3


(10) α=+ y)x(Qy)x(P'y ,

unde 1,0−∈α R şi P, Q sunt funcţii continue pe un interval I se numeşte ecuaţie diferenţială

Bernoulli.

Cu substituţia α−= 11

zy , o ecuaţie diferenţială Bernoulli se reduce la o ecuaţie diferenţială

liniară în z.

Într-adevăr, din α−= 11

zy rezultă 'zz1

1'y 1 α−

α

α−= şi ecuaţia (10) devine

α−α

α−α−α

=+α−

111

1 z)x(Qz)x(P'zz1

1.

Împărţind prin α−α

α−1z

11

, obţinem ecuaţia )x(Q)1(z)x(P)1('z α−=α−+ , care este o ecuaţie

diferenţială liniară de ordinul întâi în z.

Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială yxy4'xy 2=− .

Soluţie. Ecuaţia se scrie sub forma 21

xyyx4

'y =− .

Folosind substituţia 221

1

1

zyzy =⇔=−

rezultă 'zz2'y = şi ecuaţia devine

xzzx4

'zz2 2 =− .

Împărţind prin 2z, obţinem ecuaţia liniară

2x

zx2

'z =− .


⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ += |x|ln21

cxz 2 sau ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ += |x|ln21

cxy 2 ,


3 Jean Bernoulli (1667-1748), matematician elveţian


Ecuaţii diferenţiale de tip Riccati 4


(11) )x(Ry)x(Qy)x(P'y 2 ++= ,

unde P, Q şi R sunt funcţii continue pe un interval I se numeşte ecuaţie Riccati.

Pentru a afla soluţia generală a ecuaţiei (11) trebuie să cunoaştem o soluţie particulară py a

acestei ecuaţii.

Cu substituţia z1

yy p += , o ecuaţie diferenţială Riccati se reduce la o ecuaţie diferenţială

liniară în z.

Într-adevăr, din z1

yy p += rezultă 'zz

1'y'y

2p−= şi ecuaţia (11) devine

)x(Rz1

y)x(Qz1

y)x(P'zz

1'y p

2

p2p +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=−

sau

)x(Rz1

)x(Qy)x(Qz

1)x(P

z1

y)x(P2y)x(P'zz

1'y p2p

2p2p +++++=− .

Cum py este o soluţie particulară a ecuaţiei (11), obţinem

z1

)x(Qz

1)x(P

z1

y)x(P2'zz

12p2++=− .

Eliminând numitorii obţinem ecuaţia

)x(Pz)]x(Qy)x(P2['z p −=++

care este o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul întâi în z.

Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială

1xy'y 22 +−= ,

ştiind că admite soluţia particulară xyp = .

Soluţie. Folosind substituţia z1

xy += , rezultă 'zz

11'y

2−= şi ecuaţia devine

1xz1

x'zz

11 2

2

2+−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=− sau 22 z

1z1

x2'zz

1+=− .

Înmulţind cu 2z− , obţinem ecuaţia liniară

1xz2'z −=+ .

4 Jacopo Riccati (1676-1754)



⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∫−= − dxecez

22 xx

sau

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∫−=−

− dxecexy

1 22 xx ,


Ecuaţii diferenţiale de tip Lagrange 5


(12) )'y(g)'y(xfy += ,

unde f şi g sunt funcţii continue cu derivate de ordinul întâi continue pe un interval I şi 'y)'y(f ≠ se

numeşte ecuaţie Lagrange.

Notând p'y = , obţinem

)p(g)p(xfy += .

Derivând în raport cu x şi ţinând seama că p este funcţie de x, avem

dxdp

dpdg

dxdp

dpdf

x)p(fp ++=

sau

dpdg

dpdf

xdpdx

)]p(fp[ +=−

sau

dpdg

)p(fp1

xdpdf

)p(fp1

dpdx

−+

−=

care este o ecuaţie liniară în x.

Soluţia generală a acestei ecuaţii este )c,p(xx = , unde c este o constantă arbitrară. Înlocuind

în ecuaţia iniţială, obţinem

)p(g)p(f)c,p(xy += .

Rezultă că soluţia generală a ecuaţiei (12) este definită parametric prin

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

=

)p(g)p(f)c,p(xy

)c,p(xx.

5 Joseph Louis Lagrange (1736-1813), matematician şi mecanician francez


Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială 2'y'xy4y +−= .

Soluţie. Notând p'y = , obţinem 2pxp4y +−= .


dxdp

p2dxdp

x4p4p +−−=

sau

x4p2dpdx

p5 −= sau 52

xp54

dpdx

=+

cu soluţia generală

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∫+=∫∫−

dpe52

cexdp

p54

dpp54

sau ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+=

−59

54

p92

cpx

, ≠p 0.

Soluţia generală a ecuaţiei Lagrange dată este definită parametric prin

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≠+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+=

−

−

0p,ppp92

cp4y

p92

cpx

259

54

59

54

sau

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≠+−=

−=−

.0p,p91

cp4y

p92

cpx

251

54

Ecuaţii diferenţiale de tip Clairaut 6


(13) )'y(g'xyy += ,

unde g este o funcţie continuă cu derivata de ordinul întâi continuă pe un interval I se numeşte ecuaţie

Clairaut.

Observaţie. Ecuaţia Clairaut este o ecuaţie Lagrange particulară ( 'y)'y(f = ).

Notând p'y = , obţinem )p(gxpy += .


dxdp

dpdg

dxdp

xpp ++= sau 0dxdg

xdxdp

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ + .

6 Alexis Claude Clairaut (1713-1765), matematician şi astronom francez


Cazul I. 0dxdp

= , deci p = c, adică c'y = . Înlocuind în ecuaţia iniţială, obţinem soluţia

generală a ecuaţiei Clairaut şi anume )c(gxcy += .

Cazul al II-lea. 0dpdg

x =+ , deci dpdg

x −= . Înlocuind în ecuaţia iniţială obţinem soluţia

singulară

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+−=

−=

)p(gpdpdg

y

dpdg

x

.

9.3. Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n

Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n cu coeficienţi variabili


(14) )x(fy)x(a'y)x(a...y)x(ay)x(a n1n)1n(

1)n(

0 =++++ −−

,

unde )x(f),x(a),...,x(a),x(a n10 sunt funcţii continue pe un interval I, 0)x(a0 ≠ , Ix∈∀ se numeşte

ecuaţie diferenţială de ordinul n, liniară şi neomogenă.

O ecuaţie de forma

(15) 0y)x(a'y)x(a...y)x(ay)x(a n1n)1n(

1)n(

0 =++++ −−

unde )x(a),...,x(a),x(a n10 sunt funcţii continue pe un interval I, 0)x(a0 ≠ , Ix∈∀ se numeşte ecuaţie

diferenţială de ordinul n, liniară şi omogenă.

Cu ajutorul operatorului liniar

)x(adxd

)x(a...dx

d)x(a

dx

d)x(aL n1n1n

1n

1n

n

0n ++++= −−

−

ecuaţia liniară de ordinul n, neomogenă (14) se scrie

( '14 ) )x(f)y(Ln = ,

iar ecuaţia liniară de ordinul n, omogenă (15) se scrie

( '15 ) 0)y(Ln = .

Definiţie 7. Un sistem de soluţii n21 y,...,y,y al ecuaţiei (15), definit pe I cu

7 W(y1, y2, …, yn) se numeşte wronskianul funcţiilor y1, y2, …, yn şi a fost introdus de H. Wronski (1812)


0

yyy

'y'y'y

yyy

)y,...,y,y(W

)1n(n

)1n(2

)1n(1

n21

n21

n21 ≠=

−−−L

LLLL

L

L

pe I se numeşte sistem fundamental de soluţii al ecuaţiei (15).

Dacă n21 y,...,y,y este un sistem fundamental de soluţii al ecuaţiei (14), atunci

nn22110 yc...ycycy +++= ,

unde n21 c,...,c,c sunt constante arbitrare este soluţia generală a ecuaţiei omogene (14).

Soluţia generală a ecuaţiei neomogene (14) este p0 yyy += , unde 0y este soluţia generală

a ecuaţiei omogene (15), iar py este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene (14).

Metoda variaţiei constantelor pentru determinarea unei soluţii particulare a

ecuaţiei neomogene

Dacă se cunoaşte un sistem fundamental de soluţii n21 y,...,y,y al ecuaţiei omogene (15),

atunci o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene (14) este

nn2211p y)x(c...y)x(cy)x(c)x(y +++= ,

unde funcţiile )x(c),...,x(c),x(c n21 se obţin din sistemul

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+++

………………………………………

=+++

=+++

−−−

)x(a)x(f

y)x('c...y)x('cy)x('c

.

0'y)x('c...'y)x('c'y)x('c

0y)x('c...y)x('cy)x('c

0

)1n(nn

)1n(22

)1n(11

nn2211

nn2211

Exemplu. Ştiind că ecuaţia diferenţială omogenă

0y2'xy2"yx2 =+−

are soluţiile particulare 221 x2y,xy == să se integreze ecuaţia diferenţială neomogenă

32 xy2'xy2"yx =+− .

Soluţie. Cum 0x2x41

x2x)y,y(W 22

21 ≠== pe ∗R , rezultă că pe orice interval I

conţinut în ∗R soluţia generală a ecuaţiei omogene 0y2'xy2"yx2 =+− este

221o x2cxcy += .

Determinăm o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene


32 xy2'xy2"yx =+−

prin metoda variaţiei constantelor.

Avem

221p x2)x(cx)x(cy += ,

unde funcţiile )x(c),x(c 21 se obţin din sistemul

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+

2

3

21

221

x

xx4)x('c)x('c

0x2)x('cx)x('c

sau ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

.x)x('xc4)x('c

0)x('cx2)x('xc

21

22

1

Soluţia sistemului este ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−=

,21

)x('c

x)x('c

2

1

de unde rezultă că

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−=

.2x

)x('c

2x

)x('c

2

2

1

Astfel

2x

yx22x

x2

xy

3

p2

2

p =⇔+−= .

Soluţia generală a ecuaţiei neomogene 32 xy2'xy2"yx =+− este

∗∈++=⇔+= Rx,2

xx2cxcyyyy

32

21p0 .

Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n cu coeficienţi constanţi


(16) )x(fya'ya...yaya n1n)1n(

1)n(

0 =++++ −− ,

unde n10 a,...,a,a sunt constante reale, 0a0 ≠ , iar f(x) este funcţie continuă se numeşte ecuaţie

diferenţială de ordinul n, liniară şi neomogenă cu coeficienţi constanţi.

O ecuaţie de forma

(17) 0ya'ya...yaya n1n)1n(

1)n(

0 =++++ −−

,

unde n10 a,...,a,a sunt constante reale, 0a0 ≠ se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul n, liniară şi

omogenă cu coeficienţi constanţi.


Ecuaţii omogene

Pentru ecuaţia (17) putem determina totdeauna un sistem fundamental de soluţii. Anume, dacă

se caută soluţii de forma rxey = , obţinem succesiv rxre'y = , rx2er"y = , …, rxn)n( ery = .

Înlocuind în (16), avem ( ) 0ara...rarae n1n1n

1n

0rx =++++ −

− , deci numărul r trebuie să fie

rădăcină a ecuaţiei

(18) 0ara...rara n1n1n

1n

0 =++++ −−

care se numeşte ecuaţia caracteristică a ecuaţiei diferenţiale (17).

Cazul I. Ecuaţia caracteristică are rădăcini reale distincte

Teoremă. Fie ecuaţia diferenţială liniară de ordinul n cu coeficienţi constanţi

(∗ ) 0ya'ya...yaya n1n)1n(

1)n(

0 =++++ −− .

Dacă ecuaţia caracteristică 0ara...rara n1n1n

1n

0 =++++ −−

are rădăcinile reale simple

n10 r,...,r,r , atunci funcţiile xr

11ey = , xr

22ey = , …, xr

nney = formează un sistem fundamental de

soluţii pentru ecuaţia (∗ ).

Soluţia generală a ecuaţiei (∗ ) este xr

nxr

2xr

1n21 ec...ececy +++= , unde n21 c,...,c,c

sunt constante arbitrare.

Demonstraţie. Deoarece wronskianul funcţiilor n21 y,...,y,y

( )∏ −=

⋅⋅⋅=

=

≤<≤

+++

−−−

−−−

nji1ij

x)r...rr(

1nn

1n2

1n1

n21xrxrxr

xr1nn

xr1n2

xr1n1

xrn

xr2

xr1

xrxrxr

n21

rre

rrr

rrr

111

e...ee

ererer

ererer

eee

)y,...,y,y(W

n21

n21

111

n21

n21

L

LLLL

L

L

L

LLLL

L

L

este diferit de zero, rezultă că funcţiile n21 y,...,y,y formează un sistem fundamental de soluţii.

Astfel, soluţia generală a ecuaţiei (∗ ) este

.ec...ececyc...ycycy xrn

xr2

xr1nn2211

n21 +++=+++=

Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială 0y12'y7"y =+− .


Soluţie. Ecuaţia caracteristică 012r7r 2 =+− are rădăcinile reale distincte 4r,3r 21 == .

Soluţia generală a ecuaţiei este x42

x31 ececy += , unde 21 c,c sunt constante arbitrare.

Cazul al II-lea. Ecuaţia caracteristică are rădăcini complexe distincte



1)n(

0 =++++ −−

.

Dacă ecuaţia caracteristică

0ara...rara n1n1n

1n

0 =++++ −−

are rădăcinile complexe simple

,p2n,ir...,,ir,ir

,ir...,,ir,ir

ppp222111

ppp222111

=β−α=β−α=β−α=

β+α=β+α=β+α=

atunci funcţiile

xsineY,xcoseY

...............................................................

,xsineY,xcoseY

,xsineY,xcoseY

px

ppx

p

2x

22x

2

1x

11x

1

pp

22

11

β=β=

β=β=

β=β=

αα

αα

αα

formează un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia (∗ ).

Soluţia generală a ecuaţiei (∗ ) este

,e)xsincxcosc(...

e)xsincxcosc(e)xsincxcosc(y

xpppp

x2222

x1111

p

21

α

αα

β+β++

+β+β+β+β=

unde p21p21 c,...,c,c,c,...,c,c sunt 2p constante arbitrare.

Demonstraţie. Corespunzător lui 111 ir β+α= avem soluţia particulară

)xsinix(coseeeey 11xxixx)i(

111111 β+β=== αβαβ+α ,

iar corespunzător lui 111 ir β−α= avem soluţia particulară

)xsinix(coseeeey 11xxixx)i(

111111 β−β=== αβ−αβ−α .

Astfel, corespunzător rădăcinilor p21p21 r,...,r,r,r,...,r,r avem soluţiile


).xsinix(cosey),xsinix(cosey

......................................................................................................

),xsinix(cosey),xsinix(cosey

),xsinix(cosey),xsinix(cosey

ppx

pppx

p

22x

222x

2

11x

111x

1

pp

22

11

β−β=β+β=

β−β=β+β=

β−β=β+β=

αα

αα

αα

Acestea au dezavantajul că sunt complexe. Cum în practică interesează soluţii reale, vom lua

ca sistem fundamental următoarele funcţii

.xsinei2

yyY,xcose

2

yyY

.....................................................................................................

,xsinei2yy

Y,xcose2

yyY

,xsinei2yy

Y,xcose2

yyY

pxpp

ppxpp

p

2x22

22x22

2

1x11

11x11

1

pp

22

11

β=−

=β=+

=

β=−

=β=+

=

β=−

=β=+

=

αα

αα

αα

Astfel, soluţia generală a ecuaţiei (∗ ) este cea precizată în teoremă.

Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială

0y13'y4"y =+− .

Soluţie. Ecuaţia caracteristică 013r4r 2 =+− are rădăcinile complexe distincte

i32r1 += , i32r1 −= . Soluţia generală a ecuaţiei este

x211 e)x3sincx3cosc(y += ,

unde 1c şi 1c sunt constante arbitrare.

Cazul al III-lea. Ecuaţia caracteristică are rădăcini reale multiple



1)n(

0 =++++ −−

.


1n

0 =++++ −−

are rădăcina reală α=r de

ordin de multiplicitate p + 1, atunci aceasta contribuie la soluţia generală cu

xp1p

x2

x1 exc...xececy α

+αα +++= , unde 1p21 c,...,c,c + sunt constante arbitrare.


Demonstraţie. Se verifică uşor că funcţiile xp1p

x2

x1 exy,...,xey,ey α

+αα === sunt

soluţii ale ecuaţiei (∗ ). Astfel, funcţia xp1p

x2

x1 exc...xececy α

+αα +++= este o soluţie e ecuaţiei

diferenţiale (∗ ).

Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială 0y8'y12"y6'''y =−+− .

Soluţie. Ecuaţia caracteristică 0)2r(08r12r6r 323 =−⇔=−+− are rădăcina reală

2r = de ordin de multiplicitate 3.

Soluţia generală a ecuaţiei este x323

x32

x31 excxececy ++= , unde 21 c,c şi 3c sunt

constante arbitrare.

Cazul al IV-lea. Ecuaţia caracteristică are rădăcini complexe multiple



1)n(

0 =++++ −−

.


1n

0 =++++ −−

are rădăcina complexă

β+α= ir de ordin de multiplicitate p + 1, atunci aceasta contribuie la soluţia generală cu

[ ]xsin)x(Qxcos)x(Pey ppx β+β= α , unde )x(Pp şi )x(Qp sunt polinoame în x de grad p.

Demonstraţie. Cum ecuaţia (∗ ) este cu coeficienţi constanţi, rezultă că ecuaţia caracteristică

are şi rădăcina β−α= ir tot de ordin de multiplicitate p + 1. Cele 2p + 2 rădăcini vor da soluţiile

.exy,...,xey,ey

,exy,...,xey,ey

x)i(p1p

x)i(2

x)i(1

x)i(p1p

x)i(2

x)i(1

β−α+

β−αβ−α

β+α+

β+αβ+α

===

===

Ca şi în cazul al II-lea, ca sistem fundamental de soluţii se ia sistemul format din funcţiile

.xsinexi2

yyY,xcosex

2

yyY

.....

,xsinxei2

yyY,xcosxe

2

yyY

,xsinei2yy

Y,xcose2

yyY

xp1p1p1p

xp1p1p1p

x222

x222

x111

x111

β=−

=β=+

=

…………………………………………………………………

β=−

=β=+

=

β=−

=β=+

=

α+++

α+++

αα

αα

Astfel, rădăcina complexă β+α= ir de ordin de multiplicitate p + 1 îşi aduce contribuţia la

soluţia generală cu ( ) ( )[ ]xsinxB...xBBxcosxA...xAAey pP10

pP10

x β++++β+++= α .


Notând cu )x(Pp polinomul pp10 xA...xAA +++ şi cu )x(Qp polinomul

pp10 xB...xBB +++ obţinem [ ]xsin)x(Qxcos)x(Pey pp

x β+β= α .

Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială 0y"y2y )4( =++ .

Soluţie. Ecuaţia caracteristică 0)1r(01r2r 2224 =+⇔=++ are rădăcina complexă

ir = de ordin de multiplicitate 2 şi rădăcina complexă ir −= de ordin de multiplicitate 2. Soluţia

generală a ecuaţiei este

xsin)xBB(xcos)xAA(y 1010 +++= ,

unde A0, A1, B0 şi B1 sunt constante arbitrare.

Algoritmul de rezolvare a unei ecuaţii diferenţiale liniare omogene cu coeficienţi constanţi este

următorul:

- ataşăm ecuaţia caracteristică;

- rezolvăm ecuaţia caracteristică;

- scriem contribuţia fiecărei rădăcini a ecuaţiei caracteristice la soluţia generală a ecuaţiei

date;

- soluţia generală este combinaţie liniară de soluţiile de la punctul 3).

Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială 0y18'y9"yy3y )3()4( =−+−− .

Soluţie. Ecuaţia caracteristică 018r9rr3r 234 =−+−− are rădăcinile

2i1r,2i1r,3r,2r 4321 +=−==−= .


( ) x33

x32

x211 ex2sincx2coscececy +++= − ,

unde 3321 c,c,c,c sunt constante arbitrare.

Ecuaţii neomogene

Algoritmul de rezolvare a unei ecuaţii diferenţiale liniare neomogene cu coeficienţi constanţi

este următorul:

- se determină soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale liniare omogene asociate ( 0y );

- se determină o soluţie particulară a ecuaţiei diferenţiale liniare neomogene ( py );

- soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale liniare neomogene este suma celor două soluţii

p0 yyy += .


Pentru determinarea unei soluţii particulare a ecuaţiei diferenţiale liniare neomogene

)x(fya'ya...yaya n1n)1n(

1)n(

0 =++++ −−

se poate folosi metoda variaţiei constantelor.

În multe situaţii se alege soluţia particulară py după forma lui f(x). Enumerăm mai jos aceste

situaţii:

a) Fie f(x) = Pm(x) polinom de grad m în x.

Dacă r = 0 nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice, se caută py de forma )x(Qy mp = , unde

)x(Qm este un polinom oarecare de grad m.

Dacă r = 0 este rădăcină multiplă de ordin k a ecuaţiei caracteristice, se caută py de forma

)x(Qxy mk

p = .

b) Fie f(x) = xeα Pm(x).

Dacă r = α nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice, se caută py de forma )x(Qey mx

pα= ,

iar dacă r = α este rădăcină multiplă de ordin k, se caută py de forma )x(Qexy mxk

pα= .

c) Fie f(x) = [ ]xsin)x(Qxcos)x(Pe mmx β+βα .

Dacă r = β±α i nu este rădăcină a ecuaţiei caracteristice, atunci se caută py de forma

[ ]xsin)x(Qxcos)x(Pey mmx

p β+β= ∗∗α ,

iar dacă r = β±α i este rădăcină multiplă de ordin k, atunci se caută py de forma

[ ]xsin)x(Qxcos)x(Pexy mmxk

p β+β= ∗∗α .

Exemplu. Să se integreze ecuaţia diferenţială xe)1x2(y6'y5"y +=+− .

Soluţie. Soluţia generală a ecuaţiei omogene este x32

x210 ececy += .

Deoarece r = 1 nu este soluţie a ecuaţiei caracteristice, căutăm soluţia particulară a ecuaţiei

neomogene de forma )BAx(ey xp += .

Cum )BAAx(e'y xp ++= , )BA2Ax(e"y x

p ++= înlocuind în ecuaţie, obţinem

xxxx e)1x2()BAx(e6)BAAx(e5)BA2Ax(e +=++++−++


sau 1x2)B2A3(Ax2 +=+−+ .

Rezolvând sistemul ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+−

=

1B2A3

2A2 avem

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

2B

1A şi deci )2x(ey x

p += .

Soluţia generală a ecuaţiei neomogene este

)2x(eececy xx32

x21 +++= ,

unde 1c şi 2c sunt constante arbitrare.


Să se integreze următoarele ecuaţii diferenţiale:

a) 0xydydx)yx( 22 =++ ;

b) 0dy)yx(dx)yx( 2222 =+−− ;

c) 0dy)yx(dx)2yx( =−+−+ ;

d) 0dy)3yx2(dx)3y2x( =−++−+ ;

e) 0dy)3yx(dx)y2x( =−+++ ;

f) 0dy)y4xy2x(dx)x6yxy2( 3222 =+++−+ ;

g) 3xxy'y =+ ; h) 2xyxy'y =− ;

i) xsinxy'xy =− ; j) 33 xyx'y =+ ;

k) 2xexy2'y −=+ ; l) 0xcosyy'y 2 =+− ;

m) 2000xy'xy =− ; n) 1xy24'y26"y9'''y 3 +=−+− ;

o) 4)4( xy36'''y13y =+− ; p) xey6'y11''y6'''y =−+− .

ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ 139

CAPITOLUL al X-lea

ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR1 ŞI

STATISTICĂ MATEMATICĂ

10.1. Câmp de evenimente. Câmp de probabilitate

Lucrurile, fiinţele sau fenomenele care datorită unei proprietăţi comune pot fi considerate

împreună formează o colectivitate, o populaţie, o mulţime.

Exemple.

1) Studenţii unui an de studiu dintr-o facultate.

2) Piesele produse de o secţie a unei firme.

Fiind dată o colectivitate C, putem să cercetăm dacă elementele sale au sau nu o anumită

proprietate P. Proprietatea P se numeşte criteriu de cercetare a colectivităţii.

Exemplu. Dacă se consideră colectivitatea formată din piesele produse de o firmă, atunci

putem considera drept criteriu de cercetare proprietatea ca o piesă să corespundă sau nu stasului.

Prin experienţă se înţelege realizarea practică a complexului de condiţii corespunzătoare unui

criteriu de cercetare.

Efectuarea unei experienţe asupra unui element al colectivităţii se numeşte probă.

Realizarea unui criteriu în urma unei probe se numeşte eveniment.

Un eveniment care în unele probe poate avea loc, iar în altele nu se numeşte eveniment

întâmplător, stochastic sau aleator.

Dacă considerăm drept criteriu de cercetare al colectivităţii apartenenţa unui element la

colectivitate şi dacă notăm evenimentul corespunzător cu E, atunci evenimentul E se va realiza în urma

oricărei probe şi în consecinţă îl vom numi eveniment sigur.

Exemplu. La aruncarea unui zar, evenimentul sigur este „apariţia uneia din feţele 1, 2, 3, 4, 5,

6 ”.

Evenimentul imposibil φ nu se poate realiza în nici o efectuare a experienţei.

Definiţie. Se spune că evenimentul A implică evenimentul B dacă realizarea evenimentului A

atrage după sine realizarea evenimentului B.

Dacă evenimentul A implică evenimentul B, se scrie BA ⊂ .

1 Apariţia teoriei probabilităţilor este legată de probleme referitoare la jocurile de noroc (L. Pacioli, 1494; G. Cardano, 1539).

Fondatorii acestei teorii sunt matematicienii B. Pascal (1623 – 1662) şi P. Fermat (1601 – 1665)

CAPITOLUL al X-lea

140

Observaţii.

1) Evenimentul imposibil implică orice eveniment ( A⊂φ ).

2) Orice eveniment implică evenimentul sigur ( EA ⊂ ).

Definiţie. Evenimentul contrar evenimentului A este evenimentul care se realizează atunci şi

numai atunci când nu se realizează evenimentul A.

Evenimentul contrar lui A se notează cu A sau CA.

Operaţii cu evenimente

Fie A şi B două evenimente legate de o experienţă.

Definiţie. Se numeşte reuniunea evenimentelor A şi B un nou eveniment care se realizează

atunci şi numai atunci când se realizează cel puţin unul din evenimentele A sau B.

Se notează BA ∪ .

Exemplu. Deoarece realizarea evenimentului A sau a contrarului său A este întotdeauna o

certitudine, avem relaţia EAA =∪ .

Observaţie. Reuniunea se poate extinde pentru un număr oarecare de evenimente.

Definiţie. Se numeşte intersecţia evenimentelor A şi B un nou eveniment care se realizează

atunci şi numai atunci când se realizează ambele evenimente A şi B.

Se notează BA ∩ .

Exemplu. Din definiţia evenimentului contrar lui A rezultă că avem φ=∩ AA .

Observaţie. Intersecţia se poate extinde pentru un număr oarecare de evenimente.

Definiţie. Evenimentele A şi B se numesc incompatibile dacă nu se pot realiza simultan,

adică dacă îndeplinesc relaţia φ=∩BA .

Dacă φ≠∩BA , evenimentele A şi B se numesc compatibile.

Definiţie. Se numeşte diferenţa dintre evenimentul A şi evenimentul B un nou eveniment care

se realizează atunci şi numai atunci când se realizează evenimentul A dar nu se realizează

evenimentul B.

Se notează BA − . Observaţie. BABA ∩=− . Definiţie. Fie Ω o mulţime nevidă. O familie K de părţi ale lui Ω se numeşte corp de părţi

dacă este închisă faţă de operaţiile de reuniune finită şi complementară, adică dacă îndeplineşte

următoarele condiţii:

1) KB,A ∈∀ rezultă KBA ∈∪ ;

2) KA∈∀ rezultă KA∈ .


Definiţie. Fie Ω o mulţime nevidă. O familie K de părţi ale lui Ω se numeşte σ - corp sau

corp borelian dacă este închisă faţă de operaţiile de reuniune infinită şi complementară, adică dacă

îndeplineşte următoarele condiţii:

1) ∗∈∈∀ N i,KAi rezultă KAi

i ∈∗∈

U

N;

2) KA∈∀ rezultă KA∈ .

Observaţie. Orice corp borelian este şi corp.

Practica arată că mulţimea evenimentelor asociate unei experienţe formează un corp de părţi

dacă ele sunt în număr finit şi un corp borelian dacă sunt în număr infinit. De aceea, vom numi câmp

(câmp borelian) de evenimente, evenimentul sigur E înzestrat cu un corp (corp borelian) K de

evenimente. Un câmp de evenimente îl vom nota prin (E,K).

Definiţie. Se spune că evenimentele )K,E(A,,A,A n21 ∈K reprezintă o desfacere sau o

partiţie a evenimentului A dacă îndeplinesc următoarele condiţii:

1) ji,n,1j,i,AA ji ≠=φ=∩ ;

2) Un

1kkAA

== .

Definiţie. O mulţime finită E,...,E,E n21 de evenimente din )K,E( formează mulţimea

evenimentelor elementare a câmpului de evenimente )K,E( dacă:

1) φ=∩ ji EE , n,1j,i = , ji ≠ ;

2) Un

1iiEE

== ;

3) )K,E(A∈∀ , φ≠A , n,...,2,1k∈∃ astfel încât k21 iii E...EEA ∪∪∪= .

Definiţie. Fie (E,K) un câmp de evenimente. Se numeşte probabilitate 2 pe K o aplicaţie

R→K:P care îndeplineşte următoarele condiţii:

1) KA,0)A(P ∈∀≥ ;

2) 1)E(P = ;

3) KB,A),B(P)A(P)BA(P ∈∀+=∪ cu φ=∩BA .

Tripletul (E, K, P) se numeşte câmp de probabilitate.

2 Definiţia axiomatică a probabilităţii a fost formulată iniţial de A. N. Kolmogorov (1933)

CAPITOLUL al X-lea

142

Definiţie. Fie (E,K) un câmp borelian de evenimente. Se numeşte probabilitate σ - aditivă

sau complet aditivă, o aplicaţie R→K:P care îndeplineşte următoarele condiţii:

1) KA,0)A(P ∈∀≥ ; 2) 1)E(P = ;

3) ( ) ( ) KA,APAP IiiIi

iIi

i ∈∀∑=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∈

∈∈

U cu ji,AA ji ≠φ=∩ , I este o mulţime cel mult

numărabilă de indici.

Tripletul (E, K, P) se numeşte în acest caz câmp borelian de probabilitate.

Consecinţe.

1. Fie un câmp de evenimente (E,K) şi fie desfacerea E1, E2, …, En a evenimentului sigur E în

evenimente elementare. Orice eveniment )K,E(A∈ se poate scrie ca reuniune de evenimente

elementare, adică

k21 iii EEEA ∪∪∪= K cu sjii ii,EEsj

≠φ=∩ .

Din axioma 3) rezultă ( ) ( ) ( ) ( )k21 iii EPEPEPAP +++= K .

Înseamnă că pentru a cunoaşte probabilitatea unui eveniment oarecare A este suficient să

cunoaştem probabilităţile evenimentelor elementare E1, E2, …, En.

Cum n21 EEEE ∪∪∪= K , avem ( ) ( ) ( ) ( ) 1EPEPEPEP n21 =+++= K .

Considerând că toate evenimentele elementare au aceeaşi probabilitate de a se realiza, adică

( ) ( ) ( )n1

EPEPEP n21 ==== K

rezultă nk

)A(P = .

Am găsit astfel definiţia clasică a probabilităţii 3.

Definiţie. Probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul evenimentelor

elementare favorabile realizării evenimentului considerat şi numărul total al evenimentelor elementare,

evenimentele elementare fiind considerate egal probabile.

Se observă că definiţia clasică a probabilităţii nu se poate aplica atunci când numărul

evenimentelor elementare este infinit.

Exemplu. Într-o magazie sunt 40 de piese dintre care 4 au defecte. Care este probabilitatea

ca o piesă luată la întâmplare să fie cu defecte?

Soluţie. Fie A evenimentul ca piesa aleasă să fie cu defecte. Deoarece alegerea unei piese

este un eveniment aleator, rezultă că putem lua orice piesă din cele 40 şi deci avem 40 de cazuri

3 Definiţia clasică a probabilităţii a fost formulată iniţial de J. Bernoulli (1705)


posibile. Numărul cazurilor favorabile realizării evenimentului A este egal cu numărul pieselor cu

defecte, adică este egal cu 4. Din definiţia clasică, rezultă 1,0404

)A(P == .

2. Pentru orice )P,K,E(A∈ avem )A(P1)A(P −= .

Într-adevăr, cum EAA =∪ şi φ=∩ AA rezultă că 1)A(P)A(P)E(P =+= , de unde

)A(P1)A(P −= .

3. ( ) 0P =φ . Într-adevăr, cum AA =∪φ şi φ=∩φ A rezultă că ( ) )A(P)A(PP =+φ , de unde ( ) 0P =φ .

4. Pentru orice )P,K,E(A∈ avem 1)A(P0 ≤≤ .

Prima parte a inegalităţii este asigurată prin definiţie, iar pentru partea a doua folosim

consecinţa 2 şi avem 1)A(P1)A(P ≤−= .

5. Dacă )P,K,E(B,A ∈ şi BA ⊂ , atunci )B(P)A(P ≤ .

Într-adevăr, cum )AB(AB ∩∪= şi φ=∩∩ )AB(A rezultă că

)A(P)AB(P)A(P)B(P ≥∩+= .

6. Dacă )P,K,E(B,A ∈ , atunci )BA(P)B(P)AB(P ∩−=− .

Într-adevăr, cum )BA()AB(B ∩∪−= şi φ=∩∩− )BA()AB( rezultă că

)BA(P)AB(P)B(P ∩+−= .

7. Dacă )P,K,E(B,A ∈ şi BA ⊂ , atunci )A(P)B(P)AB(P −=− .

Într-adevăr, cum A)AB(B ∪−= şi φ=∩− A)AB( rezultă că

)A(P)AB(P)B(P +−= .

8. Formula de adunare a probabilităţilor. Dacă )P,K,E(B,A ∈ , atunci

)BA(P)B(P)A(P)BA(P ∩−+=∪ .

Într-adevăr, cum )]BA(B[ABA ∩−∪=∪ şi φ=∩−∩ )]BA(B[A rezultă că

)]BA(B[P)A(P)BA(P ∩−+=∪ .

Cum BBA ⊂∩ , din consecinţa 7 rezultă )BA(P)B(P))BA(B(P ∩−=∩− care înlocuită în

egalitatea precedentă ne dă )BA(P)B(P)A(P)BA(P ∩−+=∪ .

Observaţie. Prin inducţie matematică se demonstrează că oricare ar fi evenimentele A1, A2,

…, An )P,K,E(∈ avem

).AAA(P)1()AAA(P)AA(P)A(PAP n21n

kjikji

jiji

n

1ii

n

1ii ∩∩∩−+−∑ ∩∩+∑ ∩−∑=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

<<<==KKU

CAPITOLUL al X-lea

144

9. Oricare ar fi ∈B,A (E,K,P) avem )B(P)A(P)BA(P +≤∪ .

Aceasta rezultă imediat din consecinţa 8.

Observaţie. Proprietatea rămâne adevărată oricare ar fi evenimentele A1, A2, …, An

)P,K,E(∈ şi avem ∑≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

==

n

1ii

n

1ii )A(PAP U .

10. Inegalitatea lui Boole 4. Dacă A1, A2, …, An )P,K,E(∈ , atunci ∑−≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

==

n

1ii

n

1ii )A(P1AP I .

Într-adevăr, ∑−≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

====

n

1ii

n

1ii

n

1ii

n

1ii )A(P1AP1APAP UUI .

Observaţie. Inegalitatea lui Boole ne dă o limită inferioară pentru probabilitatea intersecţiei a

n evenimente.

Exemplu. La fabricarea unui dispozitiv pot să apară defecte datorită materialului folosit la

fabricarea pieselor, datorită pieselor componente şi datorită montajului. Dispozitivul se consideră bun

dacă nu are nici unul din aceste defecte. Din practică se cunoaşte că datorită materialului folosit 5% din

piese au defecte, datorită prelucrării 8% au defecte, iar datorită montajului 4% din dispozitive au

defecte.

Se cere probabilitatea minimă ca un dispozitiv să fie bun.

Soluţie. Fie A evenimentul ca piesele componente să nu aibă defecte din cauza materialului

folosit, B evenimentul ca piesele componente să nu aibă defecte de fabricaţie şi C evenimentul ca

dispozitivul să nu aibă defecte de montaj. Se cere )CBA(P ∩∩ . Avem

05,0)A(P = , 08,0)B(P = şi 04,0)C(P = .

Din inegalitatea lui Boole avem

83,0)04,008,005,0(1)]C(P)B(P)A(P[1)CBA(P =++−=++−≥∩∩ .

Probabilităţi condiţionate

Fie (E,K,P) un câmp de probabilitate (câmp borelian de probabilitate), iar A şi B două

evenimente ale câmpului cu 0)B(P ≠ .

Definiţie. Se numeşte probabilitate condiţionată 5 a evenimentului A de către evenimentul B

raportul )B(P

)BA(P ∩.

4 George Boole (1815 – 1864), matematician şi logician englez, fondatorul logicii matematice moderne 5 Definiţia a fost formulată iniţial de Jacques Bernoulli (1700)


Se notează )B|A(P sau )A(PB .

Observaţie. Tripletul (E,K,PB) este un câmp (câmp borelian) de probabilitate.

Formula de înmulţire a probabilităţilor. Fie A1, A2, …, An )P,K,E(∈ cu

( ) 0AAAP 1n21 ≠∩∩∩ −K . Are loc formula

( ) ))AAA(|A(P))AA(|A(P)A|A(P)A(PAAAP 1n21n213121n21 −∩∩∩⋅⋅∩⋅⋅=∩∩∩ KKK Demonstraţie. Vom folosi metoda inducţiei matematice .

Pentru n = 2 avem ( ) )A|A(P)A(PAAP 12121 ⋅=∩ care este tocmai definiţia probabilităţii

condiţionate.

Presupunem formula adevărată pentru n – 1 şi o demonstrăm pentru n. Avem

( ) ( ) ( )

))AAA(|A(P))AA(|A(P)A|A(P)A(P

)AAA|A(PAAAPAAAAP

1n21n2n11n121

1n21n1n21n1n21

−−−

−−−

∩∩∩⋅∩∩⋅⋅⋅=

∩∩∩⋅∩∩∩=∩∩∩∩

KKK

KKK

Definiţie. Se spune că evenimentele A şi B )P,K,E(∈ sunt independente dacă

)B(P)A(P)BA(P ⋅=∩ .

Se spune că evenimentele familiei finite A1, A2, …, An )P,K,E(⊂ sunt independente (sau

independente în totalitatea lor) dacă evenimentele oricărei subfamilii nevide a familiei date sunt

independente, adică dacă ni...ii1 k21 ≤≤≤≤≤∀ avem

( ) ( ) ( ) ( )k21k21 iiiiii APAPAPAAAP ⋅⋅⋅=∩∩∩ KK .

Observaţie. Dacă evenimentele familiei A1, A2, …, An sunt independente în totalitatea lor,

atunci sunt independente şi s câte s.

Exemplul datorat lui S. N. Bernstein ne arată că reciproca nu este adevărată.

Fie un tetraedru având o faţă colorată cu alb, una cu roşu, una cu negru şi a patra cu toate cele

trei culori.

Notând cu 1A evenimentul apariţiei culorii albe, cu 2A evenimentul apariţiei culorii roşii şi cu

3A evenimentul apariţiei culorii negre, avem

,41

)AAA(P

,81

)A(P)A(P)A(P

,21

)A(P)A(P)A(P

321

321

321

=∩∩

=⋅⋅

===

CAPITOLUL al X-lea

146

deci 1A , 2A , 3A nu sunt independente în totalitatea lor, dar sunt independente două câte două

deoarece 41

)AA(P)AA(P)AA(P 323121 =∩=∩=∩ .

Exemplu. Un produs necesită două operaţii: de prelucrare şi de montare. La prelucrare,

probabilitatea ca produsul să fie cu defecte este 0,5, iar ca montajul să fie defect este 0,2. Care este

probabilitatea ca produsul să fie defect?

Soluţie. Fie A evenimentul ca produsul să fie cu defecte de prelucrare şi B evenimentul ca

produsul să fie cu defecte de montaj. Se cere ( )BAP ∪ .

Avem P(A) = 0,5 şi P(B) = 0,2.

Cum

( ) ( )BAP)B(P)A(PBAP ∩−+=∪ şi ( ) )B(P)A(PBAP ⋅=∩

(evenimentele A şi B sunt independente) rezultă că

( ) 69,02,05,02,05,0BAP =⋅−+=∪ .

Formula probabilităţii totale. Dacă A1, A2, …, An reprezintă o desfacere în evenimente

incompatibile a evenimentului sigur, atunci pentru orice eveniment X al câmpului de evenimente (E, K,

P) are loc formula ( ) ( ) ( ) ( )XPAPXAPXPkA

n

1kk

n

1kk ∑ ⋅=∑ ∩=

== .

Demonstraţie. Într-adevăr, din faptul că A1, A2, …, An reprezintă o desfacere a evenimentului

sigur în evenimente incompatibile, avem

EAn

1kk =

=U şi φ=∩ ji AA , ji ≠ , n,1j,i = .

Un eveniment oarecare X din câmpul de evenimente se poate scrie

( )UUn

1kk

n

1kk XAXAXEX

==∩=∩⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∩=

cu ( ) ( ) n,1j,i,ji,XAXA ji =≠φ=∩∩∩ şi deci

( ) ( ) ( )∑ ⋅=∑ ∩=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∩=

===

n

1kAk

n

1kk

n

1kk )X(PAPXAPXAP)X(P

kU .

Formula lui Bayes 6. În aceleaşi condiţii ca la formula probabilităţii totale are loc şi formula

( )( ) ( )

( ) ( )XPAP

XPAPAP

k

k

An

1kk

AkkX

∑ ⋅

⋅=

=

.

6 Thomas Bayes, matematician englez


Demonstraţie. Cum ( ) ( ) ( ) )X(PAP)A(PXPXAPkAkkXk ⋅=⋅=∩ rezultă că

( )( ) ( )

( )XP

XPAPAP kAk

kX⋅

= . Înlocuind P(X) din formula probabilităţii totale se obţine formula lui Bayes.

Exemplu. Doi muncitori au lucrat fiecare câte 10 piese şi le-au aşezat în acelaşi loc. Ştiind că

probabilitatea să dea o piesă rebut este de 0,2 şi respectiv 0,3 pentru cei doi muncitori, să se afle

probabilitatea ca luând o piesă la întâmplare ea să fie defectă şi să provină de la primul muncitor.

Soluţie. Fie A1 evenimentul ca piesa luată să provină de la primul muncitor, A2 evenimentul

ca piesa luată să provină de la al doilea muncitor şi X evenimentul ca piesa luată să fie cu defecte.

Piesa defectă poate proveni de la primul muncitor sau de la al doilea şi ( ) ( )21 AXAXX ∩∪∩= . Cum

o piesă luată nu poate proveni decât de la cei doi muncitori, avem EAA 21 =∪ şi φ=∩ 21 AA .

Problema ne cere ca piesa defectă să provină de la primul muncitor, deci se cere ( )1X AP . Aplicând

formula lui Bayes, avem ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )XPAPXPAP

XPAPAP

21

1

A2A1

A11X ⋅+⋅

⋅= .

Dar P(A1) = P(A2) = 0,5 deoarece avem aceeaşi şansă să luăm piesa de la cei doi muncitori şi

din datele problemei rezultă ( ) 2,0XP1A = , ( ) 3,0XP

2A = . Înlocuind în formula lui Bayes, obţinem

( ) 4,03,05,02,05,0

2,05,0AP 1X =

⋅+⋅⋅

= .

Scheme probabilistice clasice

Schema bilei nerevenite

Dintr-o urnă cu a bile albe şi b bile negre se extrag n bine ( ban +≤ ) una câte una fără

întoarcerea bilei extrase în urnă (ceea ce este echivalent cu a extrage n bile deodată).

Probabilitatea ca din cele n bile extrase k1 să fie albe şi k2 să fie negre ( nkk 21 =+ ) este

nba

kb

ka

C

CCP

21

+

⋅= .

Demonstraţie. Numărul cazurilor posibile este nbaC + . Un grup de k1 bile albe poate fi luat în

1kaC moduri, iar unul de k2 bile negre în 2k

bC moduri, deci numărul cazurilor favorabile este 21 kb

ka CC ⋅ .

Folosind definiţia clasică a probabilităţii rezultă formula din enunţ.

Observaţie. Această schemă admite următoarea generalizare

O urnă conţine a1 bile de culoarea 1, a2 bile de culoarea 2, …, as bile de culoarea s. Se extrag

n bile ( s21 a...aan +++≤ ).

CAPITOLUL al X-lea

148

Probabilitatea ca din cele n bile extrase k1 să fie de culoarea 1, k2 să fie de culoarea 2, …, ks

de culoarea s ( nk...kk s21 =+++ ) este n

a...aa

ka

ka

ka

s21

s

s22

11

C

C...CCP

+++

⋅⋅⋅= .

Exemplu. Într-o ladă sunt 12 piese dintre care 2 au defecte. Se extrag 5 piese. Care este

probabilitatea să extragem o piesă cu defecte?

Soluţie. Înlocuind în schema bilei nerevenite bila albă cu piesa bună şi bila neagră cu piesa

cu defecte, avem a = 10, b = 2, n = 5, k1 = 4, k2 = 1, iar probabilitatea cerută este dată de

6635

C

CCP

512

12

410 =⋅

= .

Schema bilei revenite (schema lui Bernoulli 7)

Dintr-o urnă cu a bile albe şi b bile negre se extrag n bile, introducându-se de fiecare dată bila

extrasă înapoi în urnă.

Probabilitatea ca din cele n bile extrase k să fie albe şi n – k să fie negre este knkk

n qpCP −= ,

unde ba

ap

+= este probabilitatea de a extrage o bilă albă, iar

bab

p1q+

=−= este probabilitatea

de a extrage o bilă neagră.

Observaţii.

1) Folosind binomul lui Newton ∑=+=

−n

0k

kknkkn

n tqpC)qpt( , probabilitatea cerută de schema

lui Bernoulli este coeficientul lui kt din această dezvoltare. Din acest motiv schema se mai numeşte şi

schema binomială.

2) Această schemă admite următoarea generalizare

O urnă conţine a1 bile de culoarea 1, a2 bile de culoarea 2, …, as bile de culoarea s. Se extrag

n bile, punând de fiecare dată bila extrasă înapoi în urnă.

Probabilitatea ca din cele n bile extrase k1 să fie de culoarea 1, k2 să fie de culoarea 2, …, ks

de culoarea s ( nk...kk s21 =+++ ) este

s21 ks

k2

k1

s21p...pp

!k!...k!k!n

P = ,

unde

7 Jean Bernoulli (1667 – 1748), matematician elveţian


s21

11 a...aa

ap

+++= este probabilitatea de a extrage o bilă de culoarea 1,

s21

22 a...aa

ap

+++= este probabilitatea de a extrage o bilă de culoarea 2,

…………………………………………………………………………………………..

s21

ss a...aa

ap

+++= este probabilitatea de a extrage o bilă de culoarea s.

Această schemă se numeşte schema polinomială.

Schema lui Poisson 8

Fie n urne U1, U2, …, Un. Urna U1 conţine a1 bile albe şi b1 bile negre, urna U2 conţine a2 bile

albe şi b2 bile negre, …, urna Un conţine an bile albe şi bn bile negre.

Se extrage câte o bilă din fiecare urnă.

Probabilitatea ca din cele n bile extrase k să fie albe şi n – k să fie negre este dată de

coeficientul lui kt din polinomul ( )( ) ( )nn2211 qtp...qtpqtp +++ , unde

p1 este probabilitatea ca din urna U1 să extragem o bilă albă,

p2 este probabilitatea ca din urna U2 să extragem o bilă albă,

……………………………………………………………………… pn este probabilitatea ca din urna Un să extragem o bilă albă,

iar q1 este probabilitatea ca din urna U1 să extragem o bilă neagră, q2 este probabilitatea ca din urna U2 să extragem o bilă neagră,

………………………………………………………………………… qn este probabilitatea ca din urna Un să extragem o bilă neagră.

Observaţie. Schema lui Poisson este o generalizare a schemei polinomiale.

Exemplu. Avem 3 cutii cu piese bune şi piese defecte. Cutia 1 are 3 piese bune şi una

defectă, cutia 2 are 3 piese bune şi 2 cu defecte, cutia 3 are 4 piese bune şi 2 cu defecte. Se scoate

câte o piesă din fiecare cutie. Care este probabilitatea ca o piesă să fie cu defecte?

Soluţie. Avem

43

p1 = , 41

q1 = , 53

p2 = , 52

q2 = , 32

p3 = , 31

q3 = .

Probabilitatea cerută este dată de coeficientul lui t2 din polinomul

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +31

t32

52

t53

41

t43

,

deci 103

6036

52

43

32

32

41

53

32

53

43

P ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= .

8 Siméon Denis Poisson (1781-1840), matematician şi mecanician francez

CAPITOLUL al X-lea

150

10. 2. Variabile aleatoare

Definiţie. Se numeşte variabilă aleatoare acea variabilă pentru care evenimentul de a lua o

valoare oarecare din mulţimea ei de definiţie este un eveniment aleator (întâmplător).

Dacă o variabilă aleatoare ia valori dintr-o mulţime cel mult numărabilă, atunci ea se numeşte

variabilă aleatoare discretă, iar dacă ia valori dintr-un interval al dreptei reale se numeşte variabilă

aleatoare continuă.

Fie X o variabilă aleatoare discretă şi fie xi, n,1i = mulţimea valorilor pe care le poate lua

variabila aleatoare X. Să notăm cu )xX(P i= probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia valoarea xi.

Această probabilitate este evident funcţie de xi şi deci putem scrie iii p)x(f)xX(P === .

Pentru a cunoaşte o variabilă aleatoare trebuie să cunoaştem atât valorile xi pe care le ia

variabila aleatoare în timpul procesului de variaţie cât şi probabilităţile cu care ia aceste valori.

Din această cauză vom nota variabilele aleatoare discrete prin ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

i

i

xf

xX sau ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

i

i

p

xX , n,1i = ,

unde xi se numeşte argumentul variabilei aleatoare X, iar f(xi) = pi se numeşte funcţie de probabilitate.

În mod evident avem 0)x(f i ≥ , n,1i = .

Cum evenimentele )xX(E ii == , constituie o desfacere în evenimente incompatibile a

evenimentului sigur E avem 1)x(fn

1ii =∑

=.

Rezultă că o variabilă aleatoare X se mai poate scrie ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

i

i

xf

xX , n,1i = , unde f(xi)

îndeplineşte condiţiile:

1) 0)x(f i ≥ , n,1i = ;

2) 1)x(fn

1ii =∑

=.

Mulţimea valorilor variabilei aleatoare împreună cu funcţia de probabilitate definesc distribuţia

variabilei aleatoare.

Exemple.

1) Distribuţia discretă uniformă

Variabila aleatoare X care este definită de această distribuţie ia valorile xi cu aceeaşi

probabilitate n1

. Deci distribuţia variabilei X este n,1i,n1x

Xi

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ .


Avem evident 0n1

)x(f i >= , n,1i = şi 1n1

)x(fn

1i

n

1ii =∑=∑

==.

2) Distribuţia binomială (Bernoulli) are variabila aleatoare

n,0k,qpC

kX knkk

n=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− ,

unde k reprezintă numărul de bile albe extrase dintr-o urnă Bernoulli.

Avem evident

0qpC)x(f knkkni ≥= − , n,0k = şi 1)qp(qpC)k(f nn

0k

knkkn

n

0k=+=∑=∑

=

−

=.

Cu variabilele aleatoare discrete se pot efectua diferite operaţii.

Fie un sistem de două variabile aleatoare

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

i

i

xf

xX , n,1i = şi ( )⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

j

j

yg

yY , m,1j = .

Variabila aleatoare YX o va avea distribuţia

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)y,x(h

yxYX

ji

ji oo , n,1i = , m,1j = ,

unde )y,x(h ji este probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia valoarea xi şi variabila aleatoare Y să ia

valoarea yj.

Dacă cele două variabile aleatoare sunt independente, atunci h(xi,yj)=f(xi)·g(yj).

Cu variabilele aleatoare ale unui sistem se pot defini operaţii ca suma, produsul, înmulţirea cu

o constantă, etc.

Definiţie. Se numeşte suma variabilelor aleatoare X şi Y o nouă variabilă aleatoare notată

prin X + Y a cărei distribuţie este

( )⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝

⎛ ++

ji

ji

y,xh

yxYX , n,1i = , m,1j = ,

unde

1) 0)y,x(h ji ≥ , n,1i = , m,1j = ;

2) 1)y,x(hn

1i

m

1jji =∑ ∑

= =.

CAPITOLUL al X-lea

152

Definiţie. Se numeşte produsul cu o constantă k a unei variabile aleatoare X o nouă variabilă

aleatoare notată prin kX a cărei distribuţie este

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

i

i

xf

kxkX , n,1i = ,

unde

1) 0)x(f i ≥ , n,1i = ;

2) 1)x(fn

1ii =∑

=.

Definiţie. Se numeşte produsul variabilelor aleatoare X şi Y o nouă variabilă aleatoare notată

prin XY a cărei distribuţie este

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ji

ji

y,xh

yxXY , n,1i = , m,1j = ,

unde

1) 0)y,x(h ji ≥ , n,1i = , m,1j = ;

2) 1)y,x(hn

1i

m

1jji =∑ ∑

= =.

Definiţie. Se numeşte puterea p a variabilei aleatoare X o nouă variabilă aleatoare notată prin

pX a cărei distribuţie este

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

i

pip

xf

xX , n,1i = ,

unde

1) 0)x(f i ≥ , n,1i = ;

2) 1)x(fn

1ii =∑

=.

Dacă X este o variabilă aleatoare continuă, atunci argumentul ei x ia valori dintr-un interval

[a,b] şi deci P(X = x) = 0.

Pentru a defini distribuţia variabilei aleatoare continue vom considera un interval infinitezimal

[x,x+dx]. Probabilitatea (infinitezimală) dP ca variabila aleatoare X să ia o valoare din acest interval

reprezintă o funcţie de x şi este de forma dP= f(x)dx, unde f(x) se numeşte densitate de probabilitate.


Pentru a cunoaşte o variabilă aleatoare continuă trebuie să cunoaştem densitatea de

probabilitate f(x). Distribuţia variabilei aleatoare continue X cu densitatea de probabilitate f(x) se va

scrie

]b,a[x,)x(f

xX ∈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ .

f(x) are proprietăţile:

1) 0)x(f ≥ , ]b,a[x∈ ;

2) 1dx)x(fb

a=∫ .

Exemple.

1) Distribuţia continuă uniformă pentru o variabilă aleatoare X definită în [a,b] are densitatea

de probabilitate ab

1)x(f

−= .

Avem 0ab

1)x(f >

−= şi 1dx

ab1

dx)x(fb

a

b

a=∫

−=∫ .

2) Distribuţia Cauchy are densitatea de probabilitate R∈+π

= x,)x1(

1)x(f

2.

Avem 0)x1(

1)x(f

2>

+π= şi

12

2narctg2lim

1dx

x1

1lim

1dx

)x1(

1dx)x(f

n

n

n2n2

=π⋅

π=

π=∫

+π=∫

+π=∫

→∞−→∞

+∞

∞−

+∞

∞−.

Reprezentări grafice ale funcţiei de probabilitate şi ale densităţii de probabilitate

Fie o variabilă aleatoare discretă X de distribuţie

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

i

i

xf

xX , n,1i = ,

1) 0)x(f i ≥ , n,1i = , 2) 1)x(fn

1ii =∑

=.

Dacă raportăm planul la un sistem ortogonal de coordonate xOy, atunci mulţimea punctelor

Mi(xi,f(xi)), n,1i = reprezintă graficul variabilei aleatoare discrete X.

CAPITOLUL al X-lea

154

Exemplu. Fie variabila aleatoare discretă X de distribuţie

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

278

94

92

271

3210X .

Graficul ei este dat de mulţimea punctelor ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛271

,0M0 , ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛92

,1M1 , ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛94

,2M2 şi ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛278

,3M0 (Fig. 1).

Dacă pe axa absciselor sunt trecute punctele reprezentând valorile variabilei xi şi din aceste

puncte se ridică segmente verticale de lungime pi = f(xi) se obţine graficul prin bastonaşe.

Pentru variabila aleatoare discretă X din exemplul precedent, graficul prin bastonaşe este dat

de mulţimea segmentelor paralele cu axa Oy, situate deasupra axei Ox, care trec prin punctele de pe

axa Ox: O(0,0), A1(1,0), A2(2,0), A3(3,0) şi au respectiv lungimile 278

,94

,92

,271

. (Fig. 2)

Punctele Mi(xi,f(xi)), n,1i = pot fi unite de o infinitate de curbe. O curbă care uneşte punctele

Mi(xi,f(xi)), n,1i = se numeşte curbă de distribuţie a variabilei aleatoare discrete X. Deci se pot

considera o infinitate de curbe de distribuţie pentru o variabilă aleatoare discretă. Dintre acestea cea

mai simplă curbă de distribuţie se obţine unind punctele Mi(xi,f(xi)), n,1i = prin segmente de dreaptă.

Un alt mod de a reprezenta grafic o variabilă aleatoare discretă, des întâlnit în practică, este

dat de histograma variabilei aleatoare 9. Pentru a construi histograma, se face convenţia ca valorile xi

ale variabilei aleatoare X să se ia echidistante cu 1xx i1i =−+ . În acest caz, ordonata pi = f(xi) are ca

9 Histogramele sunt utilizate în statistica matematică, economie, demografie


mărime acelaşi număr ce exprimă şi aria dreptunghiului de bază 1xx 1ii =− − şi înălţime pi = f(xi). În

practică, se construiesc dreptunghiuri, astfel ca valoarea xi să fie la mijlocul bazei dreptunghiului cu

înălţimea f(xi).

O astfel de reprezentare grafică se numeşte se numeşte histograma variabilei aleatoare X.

Histograma pentru variabila aleatoare discretă X din exemplul precedent este dată în (Fig. 3).

Dacă variabila aleatoare X este continuă şi are distribuţia

]b,a[x,)x(f

xX ∈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ,

1) 0)x(f ≥ , 2) 1dx)x(fb

a=∫ ,

atunci reprezentarea grafică a funcţie densitate de probabilitate f(x) se face după modelul dat de

analiza matematică.

Curba obţinută se numeşte, de asemenea, curbă de distribuţie a variabilei aleatoare X.

Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare

a) Valoarea medie (sau speranţa matematică) 10

Fie o variabilă aleatoare discretă X de distribuţie

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

i

i

xf

xX , n,1i = ,

1) 0)x(f i ≥ , n,1i = , 2) 1)x(fn

1ii =∑

=.

Definiţie. Se numeşte valoarea medie a variabilei aleatoare X numărul

)x(fx...)x(fx)x(fx)x(fx)X(M nn2211n

1iii +++=∑=

=.

10 Noţiunea a fost introdusă de Chr. Huygens (1656)

CAPITOLUL al X-lea

156

Exemplu. Să se calculeze valoarea medie a variabilei aleatoare

n,0k,qpC

kX knkk

n=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− , unde p + q = 1.

Soluţie. Valoarea medie a variabilei aleatoare X este

∑==

−n

0k

knkkn qpkC)X(M .

Pentru calculul lui M(X), folosim identitatea ∑=+=

−n

0k

kknkkn

n xqpC)qpx( .

Derivând, avem ∑=+=

−−− n

0k

1kknkkn

1n xqpkC)qpx(np .

Pentru x= 1, obţinem )X(MqpkC)qp(npn

0k

knkkn

1n =∑=+=

−− .

Cum p + q = 1, rezultă că M(X) = np.


]b,a[x,)x(f

xX ∈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ,

1) 0)x(f ≥ , ]b,a[x∈ , 2) 1dx)x(fb

a=∫ ,

atunci valoarea medie se defineşte prin

∫=b

adx)x(xf)X(M .

Exemplu. Să se calculeze valoarea medie a variabilei aleatoare

R ∈⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+πx,

)x1(

1x

X2

.

Soluţie. Valoarea medie a variabilei aleatoare X este

.0n1

n1lnlim

21

x1

xdx2lim

21

x1

xdxlim

1

)x1(

xdx)X(M

2

2

n

n

n2n

n

n2n2

=+

+π

=∫+π

=∫+π

=∫+π

=∞→−∞→−∞→

∞+

∞−

Proprietăţi ale valorii medii

1) Dacă X = k, adică variabila aleatoare este constantă, atunci M(X) = k.

2) Valoarea medie este valoare internă, adică dacă argumentul variabilei aleatoare ia valori

din [a,b], atunci avem şi M(X)∈ [a,b].

3) M(kX) = kM(X), unde k este o constantă reală.


4) M(k+X) = k + M(X), unde k este o constantă reală.

5) Dacă X şi Y sunt două variabile aleatoare oarecare, atunci M(X + Y) = M(X)+M(Y).

6) Dacă X şi Y sunt două variabile aleatoare independente, atunci M(XY)=M(X)M(Y).

b) Abaterea unei variabile aleatoare

Definiţie. Se numeşte abatere a variabilei aleatoare X cu R∈)X(M , o nouă variabilă

aleatoare ξ de argument egal cu diferenţa dintre argumentul lui X şi M(X)=m (valoarea medie a

variabilei aleatoare X). Astfel, dacă variabila aleatoare X este discretă cu distribuţia

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

i

i

xf

xX , n,1i = ,

1) 0)x(f i ≥ , n,1i = , 2) 1)x(fn

1ii =∑

=,

atunci ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −ξ

)x(f

mx

i

i ,

iar dacă variabila aleatoare X este continuă cu distribuţia

]b,a[x,)x(f

xX ∈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ,

1) 0)x(f ≥ , ]b,a[x∈ , 2) 1dx)x(fb

a=∫ ,

atunci ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −ξ

)x(f

mx

i .

Ţinând seama de proprietatea d) a valorii medii, avem 0mm)m(M)X(M)(M =−=−=ξ , deci

valoarea medie a abaterii este nulă.

c) Momente de ordinul k

Definiţie. Se numeşte moment de ordin k al variabilei aleatoare X valoarea medie a variabilei

kX . Astfel, dacă variabila aleatoare X este discretă cu distribuţia

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

i

i

xf

xX , n,1i = ,

1) 0)x(f i ≥ , n,1i = , 2) 1)x(fn

1ii =∑

=,

atunci ∑==

n

1ii

ki

k )x(fx)X(M ,

CAPITOLUL al X-lea

158


]b,a[x,)x(f

xX ∈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ,

1) 0)x(f ≥ , ]b,a[x∈ , 2) 1dx)x(fb

a=∫ ,

atunci ∫=b

a

kk dx)x(fx)X(M .

d) Medii de ordinul k

Definiţie. Se numeşte medie de ordinul k a variabilei aleatoare X, radicalul de indice k din

momentul de ordinul k al variabilei aleatoare X.

Notând cu )X(Mk media de ordinul k, avem

k kk )X(M)X(M = .

Exemplu. Să se calculeze )X(M 2 şi )X(M2 pentru variabila aleatoare cu distribuţia

binomială

n,0k,qpC

kX knkk

n=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− , p + q = 1.

Soluţie. Din definiţia momentului de ordinul doi avem

∑==

−n

0k

knkkn

22 qpCk)X(M .

Pentru a calcula această sumă, folosim identitatea

∑=+=

−n

0k

kknkkn

n xqpC)qpx( .

Derivând în raport cu x şi apoi înmulţind egalitatea obţinută cu x, avem

∑=+=

−− n

0k

kknkkn

1n xqpkC)qpx(npx .

Derivând din nou această egalitate în raport cu x, avem

∑=+−++=

−−−− n

0k

1kknkkn

22n21n xqpCk)qpx(xp)1n(n)qpx(np .

Pentru x= 1, se obţine

)X(MqpCkp)1n(nnp 2n

0k

knkkn

22 =∑=−+=

− ,


deci )qnp(np)1pnp(np)X(M 2 +=+−= .

Ţinând seama de definiţia mediei de ordinul doi, rezultă că )qnp(np)X(M2 += .

Proprietăţi ale momentelor şi ale mediilor

1) Dacă X = c, adică variabila aleatoare este constantă, atunci kk c)X(M = şi c)X(Mk = .

2) Dacă avem un sistem de n variabile independente X1, X2, …, Xn cu

( ) ( ) ( ) 0XM...XMXM n21 ==== , atunci

( )( ) ( ) ( ) ( )2n

22

21

2n21 XM...XMXMX...XXM +++=+++ .

3) Dacă k < p, atunci )X(M)X(M pk < şi )X(M)X(M pk < .

4) Media de ordinul k este o valoare internă în sensul că dacă argumentul variabilei aleatoare

ia valori din [a,b], atunci avem şi ]b,a[)X(Mk ∈ .

e) Momente centrate

Definiţie. Se numeşte moment centrat de ordinul k al variabilei aleatoare X momentul de

ordinul k al abaterii.

Notând cu mk momentul centrat de ordinul k, dacă variabila aleatoare X este discretă cu

distribuţia

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

i

i

xf

xX , n,1i = ,

1) 0)x(f i ≥ , n,1i = , 2) 1)x(fn

1ii =∑

=,

atunci

( ) ∑ −=ξ==

n

1ii

ki

kk )x(f)mx(Mm ,


]b,a[x,)x(f

xX ∈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ,

1) 0)x(f ≥ , ]b,a[x∈ , 2) 1dx)x(fb

a=∫ ,

CAPITOLUL al X-lea

160

atunci ( ) ∫ −=ξ=b

a

kkk dx)x(f)mx(Mm .

Dezvoltând după formula binomului lui Newton pe k)mx( − avem

kkk

k2k22k

1k1k

kk mC)1(...)X(MmC)X(mMC)X(Mm −+−+−= −− .

Pentru valori particulare ale lui k, avem:

2233

222

1

m2)X(mM3)X(Mm

m)X(Mm

0m

+−=

−=

=

şi aşa mai departe.

Momentul centrat de ordinul doi se numeşte dispersia (sau varianţa sau fluctuaţia) variabilei

aleatoare X şi se notează cu 2σ sau D(X). Astfel, dacă variabila aleatoare X este discretă cu distribuţia

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

i

i

xf

xX , n,1i = ,

1) 0)x(f i ≥ , n,1i = , 2) 1)x(fn

1ii =∑

=,

atunci

22n

1ii

2i

2 m)X(M)x(f)mx( −=∑ −=σ=

,


]b,a[x,)x(f

xX ∈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ,

1) 0)x(f ≥ , ]b,a[x∈ , 2) 1dx)x(fb

a=∫ ,

atunci

22b

a

k2 m)X(Mdx)x(f)mx( −=∫ −=σ .

Proprietăţi ale dispersiei

1) Dacă X = c, adică variabila aleatoare este constantă, atunci D(X) = 0.

2) D(cX) = c2·D(X), unde c este o constantă reală.

3) Dacă X şi Y sunt două variabile aleatoare independente, atunci )Y(D)X(D)YX(D +=+ .

4) )X(D)Xc(D =+ , unde c este o constantă reală.


Observaţie. )X(D se numeşte abaterea medie pătratică a variabilei aleatoare X.

Exemplu. Să se calculeze dispersia variabilei aleatoare cu distribuţia binomială.

Soluţie. Cum M(X) = np şi M(X2) = np(np+q), rezultă că

npqpn)qnp(np)]X(M[)X(M)X(D 2222 =−+=−= .

f) Mediană. Funcţie de repartiţie

Definiţie. Se numeşte funcţie de repartiţie a variabilei aleatoare X probabilitatea ca variabila

aleatoare X să ia valori mai mici decât un număr real x.

Notând cu F(x) funcţia de repartiţie, avem

F(x) = P(X < x).

Dacă variabila aleatoare X este discretă şi are distribuţia

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

i

i

xf

xX , n,1i = ,

1) 0)x(f i ≥ , n,1i = , 2) 1)x(fn

1ii =∑

=,

atunci ∑=<

=

xx

1ii

i)x(f)x(F

, deoarece F(x) = P(X < x) = ∑=∑ =

<

=

<

=

xx

1ii

xx

1ii

ii)x(f)xX(P

.

Observaţie. Cu ajutorul funcţiei de repartiţie putem calcula probabilitatea ca variabila

aleatoare X să ia valori cuprinse între două numere p şi q şi avem

)p(F)q(F)qXp(P −=<< . Dacă variabila aleatoare X este continuă şi are distribuţia

]b,a[x,)x(f

xX ∈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ,

1) 0)x(f ≥ , ]b,a[x∈ , 2) 1dx)x(fb

a=∫ ,

atunci funcţia de repartiţie este

∫=<=x

adt)t(f)xX(P)x(F .

Observaţii.

1) Ca şi în cazul variabilelor aleatoare discrete, avem

∫=−=<<q

pdt)t(f)p(F)q(F)qXp(P .

2) Cunoscând funcţia de repartiţie F(x) a unei variabile aleatoare X, putem afla densitatea de

probabilitate f(x) şi anume dx

)x(dF)x(f = .

CAPITOLUL al X-lea

162

Proprietăţi ale funcţiei de repartiţie

1) F(a) = 0, F(b) = 1;

2) F(x) ∈ [0,1], ]b,a[x∈∀ .

Definiţie. Se numeşte mediana variabilei aleatoare X acea valoare Me pentru care

)MX(P)MX(P ee >=< .

Ţinând seama că )MX(P1)MX(P ee >−=< , rezultă că 21

)M(F e = .

Astfel, mediana este soluţie a ecuaţiei 21

)x(F = .

Exemplu. La un strung s-au strunjit 5 piese de formă cilindrică. În urma măsurării diametrelor

pieselor s-au obţinut rezultatele: 12,01mm, 12,07mm, 12,11mm, 12,05mm, 12,12mm. Se cere

mediana.

Soluţie. Ordonând aceste mărimi şi ţinând seama că probabilitatea ca piesa să aibă unul din

aceste diametre este 2,051

p == rezultă că variabila aleatoare ataşată problemei are distribuţia

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2,02,02,02,02,0

12,1211,1207,1205,1201,12X .

Avem Me = 12,07 deoarece P(X < 12,07) = 0,4 şi P(X>12,07) = 0,4.

Observaţie. În acest caz, Me coincide cu o valoare a variabilei aleatoare. Sunt cazuri când ea

este cuprinsă într-un interval )x,x( 1kk + şi atunci spunem că avem un interval median. Se obişnuieşte

ca Me să se ia mijlocul intervalului median.

Dacă variabila aleatoare este continuă şi are distribuţia

]b,a[x,)x(f

xX ∈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ,

1) 0)x(f ≥ , ]b,a[x∈ , 2) 1dx)x(fb

a=∫ ,

atunci Me se găseşte ca soluţie a ecuaţiei 21

)x(F = , adică 21

dx)x(feM

a=∫ .

Exemplu. Să se calculeze mediana variabilei aleatoare care are distribuţia Cauchy.

Soluţie. Avem

,21

)2

arctgx(1

)arctgnarctgx(lim1

t1

dtlim

1

)t1(

dt)x(F

n

x

n2n

x

2 =

π+

π=−

π=∫

+π=∫

+π=

−∞→−∞→∞−

de unde rezultă că 0arctgx = şi deci x = 0. Înseamnă că Me = 0.


g) Modul (sau valoarea dominantă sau valoarea cea mai probabilă)

Definiţie. Se numeşte modul variabilei aleatoare X acea valoare M0 a argumentului pentru

care funcţia de probabilitate, respectiv funcţia densitate de probabilitate, după cum variabila aleatoare X

este discretă, respectiv continuă, are valoare maximă.

Exemplu. Fie X variabila aleatoare ale cărei valori reprezintă suma numărului de puncte

obţinut prin aruncarea a două zaruri identice. X are distribuţia

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

361

362

363

364

365

366

365

364

363

362

361

12111098765432X .

Avem M0 = P(X = 7) = 61

.


]b,a[x,)x(f

xX ∈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ,

1) 0)x(f ≥ , ]b,a[x∈ , 2) 1dx)x(fb

a=∫ ,

atunci pentru aflarea modului se află maximul funcţiei f(x) din [a,b].

Exemplu. Să se afle modul variabilei aleatoare cu distribuţia Cauchy

R ∈⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+πx,

)x1(

1x

X2

.

Soluţie. Avem )x1(

1)x(f

2+π= şi

22 )x1(

x2)x('f

+π−= . Din f(x) = 0 obţinem x = 0 şi cum

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛π1

,0 este punct de maxim pentru f(x), rezultă că M0 = 0.

h) Quantile

Definiţie. Se numesc quantile de ordinul n a unei variabile aleatoare X rădăcinile reale ale

ecuaţiilor

1n,1i,ni

)x(F −== ,

unde n este un număr natural dat, iar F(x) este funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X.

Se observă că mediana Me fiind rădăcină a ecuaţiei 21

)x(F = este quantilă de ordinul doi.

În practică se consideră de obicei n = 2, 4, 10, 100.

Pentru n = 4, cele trei rădăcini se numesc quartile.

CAPITOLUL al X-lea

164

Pentru n = 10, cele nouă rădăcini se numesc decile, iar pentru n = 100, cele 99 rădăcini se

numesc centile.

Exemplu. Să se determine quartilele variabilei aleatoare X cu distribuţia continuă de densitate

de probabilitate 2x643

)x(f = , ]4,0[x∈ .

Soluţie. Pentru a afla quartilele trebuie să căutăm soluţiile ecuaţiilor 3,2,1k,4k

)x(F == .

Avem 64x

dtt643

)x(F3x

0

2 =∫= .

Pentru k = 1, avem ecuaţia x3 = 16 cu rădăcina x1 = 3 22 .



Quartilele sunt deci x1, x2, x3.

i) Covarianţa

Fie două variabile aleatoare X şi Y.

Definiţie. Se numeşte covarianţa variabilelor aleatoare X şi Y valoarea medie a variabilei (X -

m1)(Y - m2), unde m1 şi m2 sunt respectiv valorile medii ale variabilelor X şi Y.

Notând covarianţa cu cov(X,Y), avem

cov(X,Y) = M((X - m1)(Y - m2)).

Cum m1 = M(X) şi m2 = M(Y), avem

cov(X,Y) = M(XY – m1Y – m2X + m1m2) = M(XY) – m1M(Y) – m2M(X) + m1m2

= M(XY) – M(X)M(Y).

Are loc deci formula cov(X,Y) = M(XY) - M(X)M(Y).

Observaţie. Dacă variabilele aleatoare X şi Y sunt independente, atunci cov(X,Y) = 0.

j) Coeficient de corelaţie

Fie două variabile aleatoare X şi Y cu valorile medii m1, respectiv m2 şi abaterile medii pătratice

1σ şi respectiv 2σ . Lor le putem ataşa variabilele aleatoare 1

1mX'X

σ

−= şi respectiv

2

2mY'Y

σ

−=

numite variabile aleatoare normate.

Observaţie. Dacă X este o variabilă aleatoare de valoare medie m, atunci variabila aleatoare

normată 'X are valoarea medie egală cu m, iar dispersia este 1.


Definiţie. Se numeşte coeficient de corelaţie al variabilelor X şi Y covarianţa variabilelor

aleatoare normate 'X şi 'Y .

Notând coeficientul de corelaţie cu XYρ , avem

212

2

1

1

21

21XY

)Y,Xcov(mYM

mXM

)mY)(mX(M)'Y,'Xcov(

σσ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σ

−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σ

−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

σσ

−−==ρ .

Proprietăţi ale coeficientului de corelaţie

1) 11 XY ≤ρ≤− .

2) Dacă variabilele aleatoare X şi Y sunt independente, atunci 0XY =ρ .

3) Dacă 'Y'X = , atunci 1XY =ρ .

4) Dacă 'Y'X −= , atunci 1XY −=ρ .

k) Funcţia caracteristică

Fie X o variabilă aleatoare discretă sau continuă. Variabilei aleatoare X îi putem ataşa o nouă

variabilă aleatoare itXe de distribuţie

∗∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛N k,

)x(f

ee

k

itxitX k

, dacă variabila aleatoare X este discretă

şi

R ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛x,

)x(f

eeitx

itX , dacă variabila aleatoare X este continuă,

unde i este unitatea imaginară, iar t este un parametru real.

Definiţie. Se numeşte funcţie caracteristică a variabilei aleatoare X valoarea medie a

variabilei aleatoare itXe .

Notând funcţia caracteristică cu c(t), avem

∑==∞

=1k

itxk

itX ke)x(f)e(M)t(c , dacă variabila aleatoare X este discretă

şi

∫==∞

∞−dxe)x(f)e(M)t(c itxitX , dacă variabila aleatoare X este continuă.

CAPITOLUL al X-lea

166

10. 3. Distribuţii continue clasice

O parte din variabilele aleatoare continue au o mare importanţă teoretică şi practică. Dintre

acestea un loc central îl ocupă variabila aleatoare a cărei distribuţie se numeşte distribuţia normală.

Definiţie. Se spune că o variabilă aleatoare X are distribuţia normală dacă are densitatea de

probabilitate

R

∈πσ

=σ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛σ−

−x,e

2

1),m;x(n

2mx21

,

unde m şi σ sunt doi parametri reali, iar 0>σ .

Să arătăm că ),m;x(n σ este o densitate de probabilitate, adică îndeplineşte următoarele

condiţii:

1) 0),m;x(n ≥σ ;

2) 1dx),m;x(n =∫ σ∞

∞−.

Prima condiţie este evident îndeplinită.

Pentru a doua condiţie vom folosi integrala lui Gauss 11 din analiză şi anume 2

dte0

t 2 π=∫

∞ − .

Avem ∫πσ

=∫ σ=∞

∞−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛σ

−−∞

∞−dxe

2

1dx),m;x(nI

2mx

în care efectuând schimbarea de variabilă

t2mx σ=− , avem dt2dx σ= şi limitele de integrare se păstrează, deci putem scrie

∫π

=∫πσ

σ=

∞

∞−

−∞

∞−

− dte1

dte2

2I

22 tt .

Cum funcţia de sub integrală este pară, rezultă ∫π

=∞ −

0

t dte2

I2

.

Ţinând seama de integrala lui Gauss, avem 12

2I =

π

π= .

Observaţie. Funcţia R

∈πσ

=σ σ−

x,e2

1),0;x(n

2

2

2

x

se numeşte densitatea de

probabilitate a variabilei normale centrate.

11 Karl Friedrich Gauss (1777 - 1855), matematician şi astronom german


Să calculăm valoarea medie şi dispersia variabilei aleatoare cu densitatea de probabilitate

),m;x(n σ .

a) ∫πσ

=∫ σ=∞

∞−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛σ

−−∞

∞−dxxe

2

1),m;x(xn)X(M

2mx21

.

Cu aceeaşi schimbare de variabilă ( t2mx σ=− ), avem

,dtem

dtem

dtte2

dte)mt2(1

dt2e)mt2(2

1)X(M

222

22

ttt

tt

∫π

=∫π

+∫π

σ=

∫ +σπ

=∫ σ+σπσ

=

∞

∞−

−∞

∞−

−∞

∞−

−

∞

∞−

−∞

∞−

−

(prima integrală este nulă, deoarece funcţia de sub integrală este impară).

Pentru integrala rămasă folosind paritatea funcţiei şi integrala lui Gauss avem

m2

m2dte

m2)X(M

0

t 2=

π

π=∫

π=

∞− .

Din M(X) = m, rezultă că parametrul m este tocmai valoarea medie a variabilei aleatoare X.

b) ∫ −πσ

=∫ σ−=∞

∞−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛σ−

−∞

∞−dxe)mx(

2

1),m;x(n)mx()X(D

2mx21

22 .

Cu aceeaşi schimbare de variabilă ( t2mx σ=− ), avem

∫π

σ=∫

π

σ=∫ σσ

πσ=

−

−

∞→

∞

∞−

−∞

∞−

−n

n

t2

n

2t2

2t22 dtetlim

2dtet

2dt2et2

2

1)X(D

222.

Integrând prin părţi, unde f = t, 2tte'g −= , 1'f = ,

2te21

g −−= , obţinem

,dtelim212

dte21

lim2

e2t

lim2

)X(D 2n

n

t

n

2n

n

t

n

2n

n

t

n

2 222σ=∫

π

σ=∫ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−π

σ−

π

σ−=

−

−

∞→−

−

∞→−

−

∞→

deoarece 0e2t

limn

n

t

n

2=

−

−

∞→ şi π=∫

−

−

∞→

n

n

t

ndtelim

2.

Deci 2σ este dispersia variabilei aleatoare cu distribuţia normală.

Momentul de ordinul k al variabilei aleatoare X cu distribuţia normală este

∫πσ

=∫ σ=∞

∞−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛σ−

−∞

∞−dxex

2

1dx),m;x(nx)X(M

2mx21

kkk .

Graficul funcţiei ),m;x(n σ are forma unui clopot numit clopotul lui Gauss.

CAPITOLUL al X-lea

168

Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X cu distribuţia normală este

∫πσ

=<=∞−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛σ−

−xmt

21

dte

2

1)xX(P)x(F

2

.

Ea depinde de x, m şi σ şi se notează cu ),m;x(N σ .

Funcţia ∫π

=∞−

−x2t

dte2

1)1,0;x(N

2

se numeşte funcţia de repartiţie normată.

Se demonstrează că variabilele aleatoare cu distribuţia normală au următoarele proprietăţi:

1) Dacă o variabilă aleatoare X are distribuţia normală ),m;x(n σ , iar c este o constantă reală,

atunci variabila aleatoare cX are tot distribuţia normală dată de densitatea de probabilitate )c,cm;x(n σ .

2) Dacă variabilele aleatoare X1, X2, …, Xn sunt independente şi au distribuţii normale, atunci

variabila aleatoare ∑==

n

1kkXX are tot o distribuţie normală şi dacă ),m;x(n kkk σ este densitatea de

probabilitate a variabilei kX , n,1k = , atunci variabila aleatoare X are densitatea de probabilitate dată

de ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛∑σ∑==

n

1k

2k

n

1kk ,m;xn .

Distribuţia Gamma

Definiţie. Se spune că o variabilă aleatoare X are distribuţia Gamma dacă are densitatea de

probabilitate

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

≥Γ=

−−

,0x,0

0x,exb

1)a(

1)b,a;x(f

bx

1aa

unde a şi b sunt doi parametri reali strict pozitivi, iar ∫=Γ∞

−−

0

x1a dxex)a( .


Să arătăm că )b,a;x(f este o densitate de probabilitate, adică îndeplineşte următoarele

condiţii:

1) 0)b,a;x(f ≥ ;

2) 1dx)b,a;x(f =∫∞

∞−.


Ţinând seama de expresia lui )b,a;x(f avem ∫Γ

=∫=∞ −

−∞

∞− 0

bx

1aa

dxexb

1)a(

1dx)b,a;x(fI .

Efectuând schimbarea de variabilă x = bt, avem dx = bdt şi limitele de integrare se păstrează.

Astfel putem scrie

.1)a()a(

1dtet

)a(1

bdtetbb

1)a(

1dx)b,a;x(fI

0

t1a

0

t1a1aa

=ΓΓ

=∫Γ

=∫Γ

=∫=∞

−−∞

−−−∞

∞−

Momentul de ordinul k al variabilei aleatoare X cu distribuţia Gamma este

∫Γ

=∫Γ

=∫=∞ −

−+∞ −

−∞

∞− 0

bx

1kaa

0

bx

1aka

kk dxexb

1)a(

1dxexx

b

1)a(

1dx)b,a;x(fx)X(M

.

Cu aceeaşi schimbare de variabilă (x = bt) avem

.)ka(b)a(

1dtetb

b

1)a(

1bdtetb

b

1)a(

1)X(M k

0

t1kakaa

0

t1ka1kaa

k +ΓΓ

=∫Γ

=∫Γ

=∞

−−++∞

−−+−+

Ţinând seama de formula de recurenţă )a(a)1a)...(2ka)(1ka()ka( Γ+−+−+=+Γ , obţinem

kk b)1ka)...(1a(a)X(M −++= .

Astfel pentru k=1 avem ab)X(M = , iar pentru k=2 avem 22 b)1a(a)X(M += .


)b,a;x(f .

a) ab)X(M = , conform celor de mai sus.

b) 22222 ab)ab(b)1a(a)]X(M[)X(M)X(D =−+=−= .

Graficul funcţiei )b,a;x(f depinde de valorile parametrilor a şi b.

Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X cu distribuţia Gamma este

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

≥∫Γ=<=

−−

.0x,0

0x,dtetb

1)a(

1)xX(P)x(F

x

0

bt

1aa

CAPITOLUL al X-lea

170

Distribuţia Beta

Definiţie. Se spune că o variabilă aleatoare X are distribuţia Beta dacă are densitatea de

probabilitate ⎪⎩

⎪⎨

⎧

><

≤≤−β=

−−

,1x,0x,0

1x0,)x1(x)b,a(

1

)b,a;x(f1b1a

unde a şi b sunt doi parametri reali strict

pozitivi, iar ∫ −=β −−1

0

1b1a dx)x1(x)b,a( .

Să arătăm că )b,a;x(f este o densitate de probabilitate, adică îndeplineşte următoarele

condiţii:

1) 0)b,a;x(f ≥ ;

2) 1dx)b,a;x(f =∫∞

∞−.


Ţinând seama de expresia lui )b,a;x(f avem

1)b,a()b,a(

1dx)x1(x

)b,a(1

dx)b,a;x(fI1

0

1b1a =ββ

=∫ −β

=∫= −−∞

∞−.

Momentul de ordinul k al variabilei aleatoare cu distribuţia Beta este

.)b,ka()b,a(

1dx)x1(x

)b,a(1

dx)x1(xx)b,a(

1dx)b,a;x(fx)X(M

1

0

1b1ka1

0

1b1akkk +ββ

=∫ −β

=∫ −β

=∫= −−+−−∞

∞−

Ţinând seama că între funcţia Beta şi funcţia Gamma are loc relaţia )ba()b()a(

)b,a(+ΓΓΓ

=β ,

obţinem

.)1kba(...)1ba)(ba(

)1ka(...)1a(a)ba()ba)(1ba(...)1kba)(a(

)a(a)1a(...)1ka)(ba(

)kba()a()ka()ba(

)kba()b()ka(

)ba()b()a(

1)X(M k

−++⋅⋅+++

−+⋅⋅+=

+Γ+++⋅⋅−++ΓΓ+⋅⋅−++Γ

=

++ΓΓ+Γ+Γ

=++ΓΓ+Γ

+ΓΓΓ

=

Astfel pentru k=1 avem ba

a)X(M

+= , iar pentru k=2 avem

)1ba)(ba()1a(a

)X(M 2

++++

= .


)b,a;x(f .

a) ba

a)X(M

+= , conform celor de mai sus.


.)1ba()ba(

abba

a)1ba)(ba(

)1a(a)]X(M[)X(M)X(D)b

2

222

+++=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

−+++

+=−=

Graficul funcţiei )b,a;x(f depinde de valorile parametrilor a şi b.

Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X cu distribuţia Beta este

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>

≤≤∫ −β

<

=<= −−

.1x,1

1x0,dt)t1(t)b,a(

1

0x,0

)xX(P)x(F1

0

1b1a

Distribuţia HI – PĂTRAT (Pearson)

Definiţie. Se spune că o variabilă aleatoare X are distribuţia Hi – Pătrat dacă are densitatea

de probabilitate

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

<

≥

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Γσ=σ

σ−−

,0x,0

0x,ex

2n

2

1

),n;x(f

22

x1

2n

n2n

unde n este un parametru ce

reprezintă numărul gradelor de libertate, iar 0>σ .

Să arătăm că ),n;x(f σ este o densitate de probabilitate, adică îndeplineşte următoarele

condiţii:

1) 0),n;x(f ≥σ ;

2) 1dx),n;x(f =∫ σ∞

∞−.


Ţinând seama de expresia lui ),n;x(f σ avem

∫

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Γσ

=∫ σ=∞

σ−−∞

∞− 0

2

x 1

2n

n2n

dxex

2n

2

1dx),n;x(fI

2.

Efectuând schimbarea de variabilă t2x 2σ= , avem dt2dx 2σ= şi limitele de integrare se

păstrează.

Astfel, putem scrie

12n

2n

1dtet

2n

1dt2et2

2n

2

1I

0

t12n

0

2t12n

2n12n

n2n

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Γ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Γ=∫

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Γ=∫ σσ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Γσ

=∞

−−∞−−−−

.

CAPITOLUL al X-lea

172

Momentul de ordinul k al variabilei aleatoare X cu distribuţia Hi – Pătrat este

.dxex

2n

2

1dxexx

2n

2

1dx),n;x(fx)X(M

0

2

x1k

2n

n2n

0

2

x1

2n

k

n2n

kk 22

∫

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Γσ

=∫

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Γσ

=∫ σ=∞

σ−−+∞

σ−−∞

∞−

Cu aceeaşi

schimbare de variabilă ( t2x 2σ= ) avem

.)2k2n(...)2n(n2

)2k2n(...)2n(n2

2n

22n

...2

2k2n2

2n

2n

12n

...1k2n

2

2n

1k

2n

2

2n

1dtet2

2n

1

dtet2

2n

2

1dt2et2

2n

2

1)X(M

k2k

k2kk2k

k2kk2k

0

t1k2n

k2k

0

t1k2n

k2nk2n

n2n

0

2t1k2n

2k2n1k2n

n2n

k

σ−+⋅⋅+=−+⋅⋅+

σ=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⋅⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+σ=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Γ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⋅⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+σ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Γ

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +Γσ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Γ

=∫σ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Γ

=

∫σ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Γσ

=∫ σσ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Γσ

=

∞−

−+

∞−

−++

+∞−

−+−+

−+

Astfel pentru k=1 avem 2n)X(M σ= , iar pentru k=2 avem 42 )2n(n)X(M σ+= .


),n;x(f σ .

a) 2n)X(M σ= , conform celor de mai sus.

( ) 422222 n2n)2n(n)]X(M[)X(M)X(D)b σ=σ−σ+=−= .

Distribuţia „t” (Student) 12

Definiţie. Se spune că o variabilă aleatoare X are distribuţia „t” dacă are densitatea de

probabilitate R ∈

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Γ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +Γ

π=

+t,

nt

1

1

2n2

1n

n

1)n;t(f

21n

2

, unde n este un parametru ce reprezintă

numărul gradelor de libertate.

Să arătăm că )n;t(f este o densitate de probabilitate, adică îndeplineşte următoarele condiţii:

1) 0)n;t(f ≥ ;

2) 1dt)n;t(f =∫∞

∞−.


12 Student este pseudonimul matematicianului englez V. S. Gosset


Ţinând seama de expresia lui )n;x(f avem

∫ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Γ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +Γ

π=∫=

∞

∞−

+−

∞

∞−dt

nt

1

2n2

1n

n

1dt)n;t(fI

21n

2.

Cum funcţia de sub integrală este pară, rezultă ∫ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Γ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +Γ

π=

∞+

−

0

21n

2dt

nt

1

2n2

1n

n

2I .

Efectuând schimbarea de variabilă nxt 2 = şi ţinând seama că limitele de integrare se

păstrează, avem

( ) ( )

( )

.11

211

2n

21

2n

21

2n2

1n1

2n

,21

2n2

1n1

dxx1x

2n2

1n1

dxx1x2n

2n2

1n

n

2dx

nx

12n

x1

2n2

1n

n

2I

02

1n21

02

1n21

02

1n

=ππ

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Γπ

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +Γ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Γ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Γ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Γ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +Γ

π=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛β

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Γ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +Γ

π=∫ +

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Γ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +Γ

π=

∫ +

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Γ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +Γ

π=∫ +

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Γ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +Γ

π=

∞ +−−

∞ +−−∞ +

−

Momentele de ordin impar ale variabilei aleatoare X cu distribuţia „t” sunt nule, deoarece

0dt

nt

1

t

2n2

1n

n

1)X(M

21n

2

1k21k2 =∫

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Γ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +Γ

π=

∞

∞−+

++ ,

funcţia de sub integrală fiind impară.

Momentele de ordin par sunt date de

.dtnt

1t

2n2

1n

n

2dt

nt

1t

2n2

1n

n

1)X(M

0

21n

2k22

1n2

k2k2

∫ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Γ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +Γ

π=∫ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Γ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +Γ

π=

∞+

−∞

∞−

+−

Cu aceeaşi schimbare de variabilă ( nxt 2 = ), efectuând calculele, rezultă

)k2n(...)4n)(2n(n)1k2(...31

)X(Mk

k2

−⋅⋅−−−⋅⋅⋅

= .

CAPITOLUL al X-lea

174

Astfel pentru k=1 avem 2n

n)X(M 2

−= .


)n;t(f .

a) 0)X(M = , conform celor de mai sus.

b) 2n

n0

2nn

)]X(M[)X(M)X(D 22

−=−

−=−= .

10.4. Exerciţii propuse

1. Să se arate că Rx,e2

1)x(f 2

x

2

∈π

=−

este o densitate de probabilitate.

2. Să se determine constanta k astfel ca funcţia 0x,ke)x(f ax ≥= − să fie o densitate de

probabilitate. Să se calculeze valoarea medie şi dispersia variabilei aleatoare cu această densitate de

probabilitate.

3. Fie variabila aleatoare discretă

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1,02,02,03,02,0

54321X .

Să se calculeze valoarea medie, modul, mediana şi dispersia acestei variabile aleatoare.

4. Să se calculeze dispersia variabilei aleatoare cu distribuţia

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

61

61

61

61

61

61

654321X .

5. Să se calculeze valoarea medie şi momentul centrat de ordinul 2 pentru variabila aleatoare

cu funcţia de probabilitate N∈λ=λλ−

k,!k

e)k,(f k .

6. Să se calculeze momentul centrat de ordinul trei pentru variabila aleatoare cu densitatea

de probabilitate ]1,0[x,)x1(x121

)x(f 2 ∈−= .

7. Să se calculeze abaterea medie pătratică pentru variabila aleatoare cu densitatea de

probabilitate R∈

π

=−

x,

e2

1)x(f

2)1x(.


8. Să se calculeze )X(M 2 pentru variabila aleatoare cu densitatea de probabilitate

),0[x,xe)x(f x +∞∈= − .

9. Să se calculeze M(X) şi D(X) pentru variabila aleatoare ce dă numărul de bile albe în 10

extrageri dintr-o urnă cu 7 bile albe şi 3 bile negre, ştiind că după fiecare extragere bila extrasă se

reîntoarce în urnă.

10. În trei cutii cu câte 100 de mere fiecare sunt respectiv 10, 20, 30 mere rele şi restul bune.

Se ia câte un măr din fiecare cutie. Se cere probabilitatea ca două mere din cele trei extrase să fie rele.

11. Trei vânători trag simultan asupra unei vulpi. Se ştie că probabilitatea ca vânătorii să

ochească vulpea este respectiv 0,7; 0,8; 0,9. Care este probabilitatea ca vulpea să nu fie ochită?

CAPITOLUL al X-lea

176

BIBLIOGRAFIE

177

BIBLIOGRAFIE

1. Chiriţă, S. – Probleme de matematici superioare, Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică,

1989

2. Mihăilă, N. – Introducere în teoria probabilităţilor şi statistică matematică, Bucureşti,

Editura Didactică şi Pedagogică, 1965

3. Mihăilă, N.; Popescu, O. – Matematici speciale aplicate în economie, Bucureşti,


4. Nicolescu, M,; Dinculeanu, N.; Marcus, S. – Manual de analiză matematică, vol. I, Bucureşti,


5. Postelnicu, T.; Dinescu, C.; Săvulescu, B. – Matematici speciale aplicate în economie,

Bucureşti, Editura Didactică şi Pedagogică, 1977

6. Precupanu, A. – Analiză matematică, vol. I şi II, Universitatea „Al. I. Cuza” Iaşi, 1987

7. Udrişte, C. – Algebră liniară, geometrie analitică, Bucureşti, Geometry Balkan Press, 1996

matematica aplicata in economie

Documents

Transcript of matematica aplicata in economie