MARCEL DRĂGAN

MECANICA FLUIDELOR

Manual destinat studenţilor de la specializarea Inginerie economica industriala/ IFR

Anul universitar 2007-2008

CONTINUT 1. PROPRIETĂŢILE FLUIDELOR

1.1. PRESIUNEA, DENSITATEA ŞI TEMPERATURA FLUIDELOR 1.2. COMPRESIBILITATEA FLUIDELOR 1.3. VÂSCOZITATEA 1.4 TENSIUNEA SUPERFICIALÃ 1.5 VÂSCOELASTICITATEA 1.6. FLUIDUL PERFECT 1.6 COEZIUNEA 1.7 LUCRUL MECANIC DE DEFORMARE

CAP 2. HIDROSTATICA 2.1. CARACTERISTICILE GENERALE ALE FLUIDELOR

2.2. STATICA FLUIDELOR 2.3 SUPRAFEŢELE ECHIPOTENŢIALE ŞI PROPRIETĂŢILE LOR 2.4. PRINCIPIUL LUI PASCAL 2.5. PRINCIPIUL VASELOR COMUNICANTE 2.6. PRINCIPIUL LUI ARHIMEDE

3. PIEZOMETRE 4.1. PIEZOMETRELE SIMPLE DIRECTE

4.1.1. TUBUL MANOMETRIC DIRECT 4.1.2. TUBUL VACUUMETRIC DIRECT

4.2. PIEZOMETRELE SIMPLE INDIRECTE 4.2.1. TUBUL MANOMETRIC INDIRECT

4.2.2. TUBUL VACUUMETRIC INDIRECT 4.3. PIEZOMETRE DIFERENŢIALE

4.3.1. PIEZOMETRUL DIFERENŢIAL DIRECT 4.3.2. PIEZOMETRUL DIFERENŢIAL INDIRECT

CAP 4. CINEMATICA FLUIDELOR

4.1 ECUAŢIILE FUNDAMENTALE ALE MIŞCĂRII FLUIDELOR PERFECTE 4.2. REPARTIŢIA PRESIUNILOR ÎNTR-UN FLUID AFLAT ÎN REPAUS 4.3 ECUAŢIILE GENERALE ALE MIŞCĂRII FLUIDELOR

4.3.1 ECUAŢIILE LUI EULER 4.3.2 ECUAŢIA DE CONTINUITATE 4.3.3 ECUAŢIA CARACTERISTICĂ

Cap. 5 DINAMICA LICHIDELOR IDEALE 5.1. CLASIFICAREA MIŞCĂRILOR

5.2. LINIE DE CURENT ŞI TUB DE CURENT/LINIE DE VÂRTEJ ŞI TUB DE VÂRTEJ 5.3. ECUAŢIA DE CONTINUITATE PENTRU UN FIR DE LICHID 5.4. CURENT DE LICHID. DEBIT 5.5. NOŢIUNI GENERALE DESPRE OPERATORUL NABLA

5.5.1. DEFINIŢIE ŞI PROPRIETĂŢI 5.5.2. EXEMPLE DE UTILIZARE A OPERATORULUI NABLA

5.6. ECUAŢIILE LUI EULER-LAMB 5.7. ANALIZA VECTORULUI VITEZĂ CARE INTRĂ ÎN ECUAŢIILE EULER-LAMB 5.8 ECUAŢIA LUI BERNOULLI ÎN REGIM PERMANENT ŞI FĂRĂ FRECĂRI 5.9. ECUAŢIA LUI BERNOULLI ÎN REGIM NEPERMANENT 5.10 ECUAŢIA LUI BERNOULLI PENTRU MIŞCAREA RELATIVĂ A LICHIDULUI IDEAL

INCOMPRESIBIL 5.11. APLICAŢII ALE ECUAŢIEI LUI BERNOULLI

5.12. TEOREMA MOMENTULUI IMPULSULUI 5.13 CIRCULAŢIA VITEZEI

CAP 6. DINAMICA FLUIDELOR VÂSCOASE

6.1 ECUAŢIA DE MIŞCARE A UNUI FLUID REAL 6.2 CURGEREA FLUIDELOR VÂSCOASE PRIN CONDUCTE

7 MIŞCAREA POTENŢIALĂ

7.1. PROPRIETĂŢILE PRINCIPALE ALE MIŞCĂRII POTENŢIALE 7.2. NOŢIUNEA DE MIŞCARE PLANĂ

8. ANALIZA DIMENSIONALĂ

8.1. MĂRIMEA FIZICĂ ŞI ORDINUL EI DE MĂRIME 8.2. MĂRIMI FIZICE FUNDAMENTALE ŞI DERIVATE 8.3. PRINCIPIUL OMOGENITĂŢII DIMENSIONALE 8.4. METODELE ANALIZEI DIMENSIONALE 8.5. NOŢIUNI DESPRE SIMILITUDINE

8.5.1. FOLOSIREA METODELOR 8.5.2. DEFINIŢIA SIMILITUDINII COMPLETE 8.5.3. METODELE DE STABILIRE A CRITERIILOR DE SIMILITUDINE

8.5.4. ANALIZA CELOR MAI IMPORTANTE CRITERII DE SIMILITUDINE ÎNTÂLNITE ÎN FENOMENELE MECANICE

8.6. LEGEA MODELULUI

CAP 9. STRATUL LIMITA. SOCUL HIDRAULIC 9.1 TEORIA STRATULUI LIMITÃ 9.2 INTERPRETAREA DIAGRAMEI MOODY 9.3 SOCUL HIDRAULIC

CAP 10. MASINI HIDRAULICE 10.1 GENERALITÃTI 10.2 RELATIA FUNDAMENTALÃ A TURBOMASINILOR 10.3 CURBA DE SARCINÃ A UNEI POMPE CENTRIFUGE

GENERALITÃÞI

Mecanica fluidelor se ocupã cu studiul repausului respectiv miºcãrii fluidelor ºi interacţiunii mecanice a acestora cu corpurile cu care vin în contact. Maºinile hidraulice vehiculeazã fluide (lichide) cu scopul de a realiza în sisteme tehnologice diferite obiective de lucru: vehicularea fluidelor, transmisia de putere, conversia unor parametrii funcþionali, ungere, etc.

Fluidele sunt corpuri (stãri) care nu au formã proprie ºi a cãror deformare fãrã variaþii semnificative de volum se face foarte uºor, de unde decurge proprietatea de fluiditate. Exista douã categorii de fluide:

- lichidele, care sunt foarte puþin compresibile ºi care în contact cu un gaz posedã suprafaþã liberã;

- gazele sunt fluide foarte compresibile, ele umplu întreg spaþiul, nu rãmân în repaus decât în spaþii închise.

Maºinile hidraulice realizeazã transformarea energiei mecanice în energie hidraulicã sau invers dupã cum funcþioneazã, ca pompã sau ca motor.

Curgerea fluidelor reprezintã un fenomen complex al cãrui studiu impune în fiecare aplicaþie în parte o serie de ipoteze simplificatoare.

Ipoteza valabilã în mecanica fluidelor este aceea a continuitãþii: la scara de studiu a fenomenului, care este una macroscopicã, toate funcþiile ataºate proprietãþii de curgere (viteze, presiuni, densitãþi, etc.) sunt de clasã C1 pe domeniul considerat cu excepþia unor suprafeþe de discontinuitate.

Fluidele se considerã medii continuu deformabile ºi izotrope, posedând un set de proprietãþi care caracterizeazã comportamentul lor real.

Scara de studiu a fenomenelor nu este microscopicã în sensul cã nu se þine seama de agitaþia termicã a particulelor constituente.

1

1. PROPRIETĂŢILE FLUIDELOR

1.1. PRESIUNEA, DENSITATEA ŞI TEMPERATURA FLUIDELOR Corpurile în cadrul cărora se pot produce deplasări ale unor părţi faţă de alte părţi sunt medii continui. Din această categorie fac parte corpurile solide elastice şi fluidele. Fluidele sunt medii continue deformabile care au următoarele caracteristici: a) elementele de masă deplasate ale unui fluid nu se reîntorc la poziţia de echilibru nici în cazul micilor deformaţii; b) orice variaţie a formei unei cantităţi de fluid se face fără efort şi din această cauză fluidele iau forma vasului care le conţin. Faptul că modificările de formă ale fluidelor sunt datorate unor forţe mici demonstrează că în masa de fluid nu există forţe de tensiune tangenţială şi în orice punct al fluidului presiunea se exercită perpendicular

pe orice element de suprafaţă , (SdSF

pdd

= ).

Când eforturile normale sunt aceleaşi în toate direcţiile, mediul deformabil (fără vâscozitate) este un fluid ideal şi în această categorie pot fi incluse gazele rarefiate şi uneori lichidele în mişcare cu viteză foarte mică. Dacă nu pot fi neglijate forţele de frecare dintre două straturi de fluid în mişcare relativă unul faţă de altul, deci trebuie luate în consideraţie forţele de tensiune tangenţială, fluidul respectiv este un fluid real sau vâscos. Starea unei cantităţi de fluid este caracterizată de trei parametri: volumul ocupat de fluid, presiunea exercitată de acesta asupra pereţilor recipientului şi de temperatură, între ei existând o ecuaţie de interdependenţă numită ecuaţie de stare: ( ) 0,, =TVpfşi care pentru un gaz ideal este RTpV ν= , unde ν este numărul de moli de gaz, iar R

este constanta gazelor perfecte care are valoarea KkmolJ10314,8 3⋅=R . Deoarece mediul este continuu, aceşti parametri se determină în fiecare punct al fluidului şi în orice moment. Densitatea fluidului într-un punct se consideră a fi densitatea fluidului din

elementul de volum care include punctul dat VdVm

dd

=ρ , unde este masa de fluid

din elementul de volum . În general, densitatea fluidului variază de la punct la punct precum şi de la un moment la altul, deci

md

Vd( ) ( )trtzyx ,,,,

rρρρ == .

Funcţia ( )tr ,r

ρ descrie un câmp de densităţi care este un câmp scalar deoarece densitatea este o mărime scalară. În cazul lichidelor, practic densitatea poate fi considerată constantă, ele opun rezistenţă mare la varierea volumului, deci sunt practic incompresibile, în timp ce gazele sunt fluide compresibile.

Dacă fluidul este în mişcare, pentru caracterizarea lui este necesară cunoaşterea vitezei care poate să difere de la un punct la altul, deci ( )trvv ,

rrr= .

2

Studiul fluidelor izotropice Prin fluide izotropice se inţeleg acele fluide care în orice punct din masa lor au

aceleaşi proprietăţi în toate direcţiile. Fluidele nu sunt perfect izotrope decât în starea de repaus. In starea de mişcare a fluidelor, în jurul unui punct sunt direcţii în care acestea au

proprietăţi particulare. Principalele proprietăţi ale fluidelor sunt: compresibilitatea, vâscozitatea şi mobilitatea. 1.2. COMPRESIBILITATEA FLUIDELOR Sub acţiunea forţelor de compresie toate fluidele îşi micşorează volumul. Variaţia volumului se exprimǎ prin coeficientul de compresibilitate cubică, β, exprimat prin relaţia:

dpVdV

−=β (1.1)

unde:

VdV este variaţia relativă a volumului de fluid,

dp este variaţia infinitezimală corespunzătoare presiunii Intrucat volumul şi presiunea au variaţii contrare, în relatia (1) vom avea semnul (-). Inversul coeficientului de compresibilitate cubică se numeşte modul de elasticitate

volumică sau cubică, care se notează cu E. Ecuaţia (1.1) se poate deci scrie sub forma:

Edp

VdV

−= (1.2)

care, după cum se vede, este analogă cu legea lui Hooke:

Eldl σε == (1.3)

fluidul acţionând, datorită compresibilităţii, ca şi un resort. Dacă procesul de comprimare a fluidelor este suficient de lent, în aşa fel încat sǎ se poate menţine o temperatură constantă, compresibilitatea se numeşte izotermă.

Modulul de elasticitate al gazelor, supuse unor procese izoterme, este egal cu presiunea absolută a lor.

În cazul proceselor izoterme avem: ctpV = [bar] (1.4)

prin diferenţiere obţinem relaţia:

pdp

VdV

−= (1.5)

care, comparată cu (1.2), dă: pE = (1.6)

Dacă variaţia presiunii fluidului se face în condiţii adiabatice, compresibilitatea se numeşte adiabatică.

3

În cazul proceselor adiabatice avem: ctpV k = (1.7)

şi deci

kpdp

VdV

−= (1.8)

de unde rezultă că modulul de elasticitate este egal cu presiunea absolută, multiplicată cu exponentul adiabatic:

kpE = (1.9) Modulul de elasticitate al fluidelor variază odată cu presiunea şi temperatura; el creşte când presiunea creşte, aproximativ cu 1% pentru intervalul de la 20 [daN/cm2] la 200 [daN/cm2] şi scade când temperatura creşte, aproximativ cu 1% pentru intervalul de la 2oC la 100oC. Dacă uleiul antrenează aer, modulul de elasticitate al sistemului ulei-aer scade foarte mult. Propunându-ne să examinăm mai detaliat această problemă, vom nota cu V volumul umplut cu ulei şi aer la presiunea absolută p. Dacă volumul aerului, la presiunea p, este:

VVa ε= (1.10) volumul uleiului la presiunea p este:

( )VVu ε−= 1 (1.11) având:

au VVV += (1.12) Să admitem că uleiul şi aerul din volumul V sunt supuse la o compresie izotermică, menţinându-şi masa constantă. Crescând presiunea cu , variaţia volumului este: dp

au dVdVdV += (1.13) Cum în conformitate cu relaţiile (1.2) şi (1.6) avem:

( ) dpE

VdpEVdV

uu

uu

ε−−=−=

1 (1.14)

dppVdp

pVdV a

aε

−=−= (1.15)

ecuaţia (1.13) ia forma:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

−−=

puEVdpdV εε1 (1.16)

de unde rezultă inversul modulului de elasticitate al sistemului ulei-aer, aflat la presiunea p:

pKVdpdV

K us

εε+

−=−=

11 (1.17)

în care fracţiunea ε din volumul V(p) corespunde presiunii p. În tehnică prezintă însă interes determinarea modulului de elasticitate al amestecului ulei-aer, pentru o presiune p2 > p1, când se cunoaşte ε1 la presiunea p1. Pentru a rezolva acastă problemă vom admite, cu suficientă aproximaţie, că, atunci când fluidul este comprimat izotermic de la presiunea p1 la presiunea p2, modulul

4

de elasticitate al uleiului rămâne practic constant. Notând participaţiile în volum ale aerului şi uleiului din volumul V1, la presiunea p1, prin:

111VVa ε= (1.18)

( ) 111

VVu ε−= (1.19) volumul aerului la presiunea p2 este:

112

1

2

112

VppV

ppV aa ε== (1.20)

Pentru a obţine volumul uleiului la presiunea p2, vom integra ecuaţia (1.17) între limitele corespunzătoare:

∫∫ −=2

1

2

1

1 u

u

V

V u

up

pu VdVdp

K (1.21)

de unde rezultă:

1

2ln12

u

u

u VV

Kpp

−=− (1.22)

u

21

12

Epp

uu eVV−

⋅= (1.23) Având în vedere seria convergentă, pentru orice valoare a lui x,

∞<++++= x;...!3

x!2

x!1

x1e32

x (1.24)

putem scrie:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

uuuu K

ppVK

ppVV 1211

12 11112

ε (1.25)

Volumul V2, al sistemului ulei-aer, la presiunea p2 este:

( ) 112

11211222 11 V

pp

KppVVVV

uau εε +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−=+= (1.26)

Fracţiunea ε2 din volumul V2, ocupată de aer la presiunea p2, va fi:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−

==

12

11211

112

1

22

11

2

εε

εε

pp

KppV

Vpp

VV

u

a (1.27)

de unde:

( ) 1

2

1121

12

1

2

11 εε

εε

pp

Epp

pp

u

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−

= (1.28)

Modulul de elasticitate al sistemului ulei-aer, la o presiune p2 > p1, se obţine din ecuaţia (1.17), în care se fac înlocuirile: p = p2 şi ε = ε2:

5

2

2211pKK us

εε+

−= (1.29)

Introducând acum ecuaţia (1.28) în (1.29), rezultă formula modulului de elasticitate al sistemului ulei-aer, aflat la presiunea p2:

( ) uu

u

s KKppp

Epp

pp

K111

11

1

21

2

1121

12

1

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−

=εε

ε (1.30)

în care mărimile p1, p2, Ku, şi ε1 sunt cunoscute. Să prezentăm în continuare o altă formulă pentru calculul modulului de elasticitate al sistemului ulei-aer.

În acest scop notăm cu V1 volumul de lucru umplut iniţial cu ulei şi aer la presiunea p1.

Vom admite că după ce presiunea creşte izotermic de la p1 la p2, în volumul V1 se introduce ulei la presiunea p2; în final, volumul uleiului la presiunea p2 este deci egal cu volumul de lucru V1 din care se scade volumul aerului la presiunea p2. Scriind relaţia:

221 au dVdVdV += (1.31) Şi exprimând participaţiile în volum ale uleiului şi aerului la presiunea p2, putem scrie succesiv:

2

1111

2

11

2

2 ppVV

ppV

VV au

ε−=−= (1.32)

2

111

2

12

2 ppV

ppV

V aa

ε== (1.33)

dpp

Vdp

KV

dV a

u

u

21

22 −−= (1.34)

2

111

22

1111 1

ppV

pdp

ppV

KdpdV

u

εε−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= (1.35)

rezultând în final relaţia:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=−=

uus Eppp

KdpVdV

K1111

22

11

1

1 ε (1.36)

în care ε1 este fracţiunea din volumul V1, ocupată de aer la presiunea p1. Valorile medii ale modulului de elasticitate, pentru câteva fluide la 20oC, supuse

la presiuni între 0-200 [daN/cm2], sunt date in tabelul 1.

6

Tabelul 1 Fluidul Modulul de elasticitate, E [daN/cm2] Apa Uleiuri minerale Petrol lampant Glicerină

21.000 12.000-16.000 12.000-15.000 40.000

1.3. VÂSCOZITATEA

1.2.1. Definiţia vâscozităţii. Efortul de vâscozitate Vâscozitatea este proprietatea fluidelor reale de a opune rezistenţă deplasării relative a particulelor lor. Ea se manifestă deci numai în timpul mişcării fluidelor şi este determinată de eforturile tangenţiale dezvoltate de acestea. Pentru determinarea efortului tangenţial τ, Newton a considerat că fluidul se scurge în straturi paralele, în acelaşi sens, cu viteze care variază de la un strat la alt strat (fig. 1).

v

dyyvv∂∂

+

dy

y

y

x

Fig. 1 Efortul de vâscozitate τ, conform legii lui Newton, este proporţional cu gradientul de viteză, factorul de proporţionalitate η numindu-se vâscozitate dinamică sau absolută:

yv∂∂

=ητ (1.37)

Lichidele care ascultă de legea lui Newton se numesc lichide newtoniene (dreapta 1 din figura 2). Dacă variaţia lui τ cu gradientul de viteză nu este liniară, ci curbilinie, (curba 2 din figura 2) lichidele se numesc nenewtoniene. Acestea pot fi: - fluide „de tip nisip” care posedã prag de efort si care pot sã rãmânã în repaus în diferite configuraþii geometrice complexe; - fluide de tip polimeri termoplastici care la viteze mici de deformare permit alunecarea straturilor, practic fãrã frecare pânã la un anumit prag al vitezei de deformare.

7

yv∂∂

1τ2

Fig. 2

Unele uleiuri sintetice sunt lichide nenewtoniene.

Menţionăm însă că noţiunea de vâscozitate se aplică în general lichidelor newtoniene, coeficientul de proporţionalitate η pentru lichidele nenewtoniene numindu-se consistenţă. Unitatea de măsură a vâscozităţii dinamice, în sistemul C.G.S. este „poise” (P):

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅

=scm

gcm

sdynP 111 2

În sistemul S.I., vâscozitatea dinamică se măsoară în [N s/m2] sau [kg/m s]:

[ ]Psm

kgm

sN 1011 2 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅

Vâscozitatea cinematică, ν, este raportul dintre vâscozitatea dinamică şi densitatea fluidului respectiv. Deci:

ρην =

Unitatea de măsură a vâscozităţii cinematice se numeşte „stockes” (St): Un submultiplu al acestei unităţi, curent folosit, este „centistockes-ul”:

[ ] [StcSt 01,01 = ] În sistemul S.I. vâscozitatea cinematică se măsoară în [m2/s]

[ ]Sts

m 42

101 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

De obicei, vâscozitatea fluidelor se determină cu ajutorul vâscozimetrului convenţional Engler, exprimându-se în grade Engler, oE. Numărul gradelor Engler, noE, corespunzător vâscozităţii unui fluid este egal cu raportul dintre timpul de scurgere, sub efectul greutăţii, a 200 cm3 din lichidul examinat („t1”) şi timpul de scurgere a 200 cm3 apă la 20oC („ta”) printr-un orificiu cu diametrul de

8

2,9 mm, dintr-un recipient tipizat:

a

o

ttEn 1=

Transformarea vâscozităţii exprimată în oE, în vâscozitate exprimată în m2/s, se face cu formula:

sm

EnEn o

o2

61025.624,7 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=ν

Vâscozitatea tuturor fluidelor variază cu temperatura. Pentru uleiuri legea de variaţie este de forma:

nTA

ek =+ν (1.38)

unde k, A şi n>0 sunt constante care depind de natura fluidului, iat T este temperatura absolută în grade Kelvin. Vâscozitatea dinamică, η, variază cu presiunea, urmând o lege exponenţială de forma:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=1

0

0

pp

p aηη

(1.39)

unde ηpo este vâscozitatea dinamică la presiunea atmosferică, p0, ηp - vâscozitatea dinamică la presiunea p, iar „a” este un coeficient, care pentru uleiurile minerale, este aproximativ egal cu 1,003. Variaţia vâscozităţii cu presiunea este mult mai redusă decât variaţia vâscozităţii cu temperatura. Pentru câteva fluide la 20oC, vâscozitatea cinematică, exprimată în [m2/s], este dată în tabelul 2:

Tabel.2. Fluidul Vâscozitatea [m2/s] Apă 1,01*10-6

Vapori de apă 560*10-6

Aer la p=1 atm. 15,1*10-6

Alcool 0,7*10-6

Petrol 0,6*10-6

Mercur 0,11*10-6

Glicerină 650*10-6

Pentru gaze: vâscozitatea creste odatã cu cresterea temperaturii. Pentru lichide: vâscozitatea scade odatã cu cresterea temperaturii. Din aceastã variaþie rezultã condiþia obligatorie de termostatare a instalaþiilor prin care curge fluidul.

9

1.4 TENSIUNEA SUPERFICIALÃ

mN

SI =>< σ (1.40)

Experientele evidentiazã cã în repaus o masã oarecare de lichid îsi modificã forma, în sensul minimizãrii ariei suprafeþei de contact cu un alt fluid (energia superficialã are valoarea minimã). Aplicând o tãieturã pe suprafaþa liberã S, conform principiului actiunii si reactiunii se manifestã fortele de legãturã , putându-se defini coeficientul de tensiune superficialã:

dsFdr

r=σ (1.41)

Fig. 3

10

1.5 VÂSCOELASTICITATEA

Lichidele vâscoelastice prezintă comportamente speciale în condiţii identice de încercare cu cele ale fluidelor newtoniene (fig. 4). Astfel, apa şi o soluţie de polimeri transparentă nu pot fi diferenţiate semnificativ în condiţii de repaus absolut. Când un rotor este introdus în cele două lichide comportamentul este diferit. Lichidul vâscoelastic se ridică pe tija rotorului, datorită eforturilor normale suplimentare de natură elastică. O parte din energia lichidului este acumulată sub formă de energie potenţială, restul inducând curgerea şi fiind disipată sub formă de frecare vâscoasă. În acest caz, este necesară o abordare specială pentru a obţine informaţii corecte despre comportarea materialului supus încercărilor.

Lichid în repaus

Fortele de tip elastic depãsesc fortele centrifuge si lichidul urcã pe tija rotorului

Lichid elastic

Fortele centrifugecontribuie înurcarea lichiduluipe pereti

Lichid vâscos

Nu se manifestã fenomene reologice

Fig. 4 Experimente comparative pentru lichidele vâscoase şi elastice La viteze de deformare mici toate fluidele se comportă predominant

vâscos, elasticitatea putând fi neglijată. La viteze de deformare mari situaţia se inversează.

Pentru înţelegerea comportării vâscoelastice se apelează la modele foarte simple ale substanţei (combinaţii de resoarte şi amortizoare vâscoase). Acestea nu au un corespondent direct în structurile moleculare, dar pornesc de la modelul Rouse-Zim şi concentrează fenomenele în vederea aplicării unei tratări matematice accesibile.

În reometrie există două tipuri de teste experimentale: - test de fluaj, care corespunde aplicării unui efort )(0 tH⋅= ττ ºi măsurării-

înregistrării deformaţiei γ . H(t) este funcţia treaptă unitară a lui Heaviside; - test de relaxare, care corespunde aplicării unei deformaţii )(0 tH⋅= γγ şi

măsurării înregistrării efortului τ . Vor fi analizate modelele matematice pentru elementele tip şi pentru câteva

combinaţii reprezentative.

11

a) Solidul ideal (fig. 5)

Fig. 5 Simbolul şi curbele de fluaj şi relaxare pentru solidul ideal

Un solid ideal răspunde instantaneu printr-o deformaţie proporţională cu efortul aplicat, în domeniul elastic. La dispariţia efortului deformaţia dispare şi corpul revine la forma iniţială. Prin intermediul modulelor longitudinal (Young) şi transversal, se pot scrie următoarele ecuaţii constitutive ce descriu comportarea materialului:

γτγσ

GE

==

(1.42)

unde: σ este efortul longitudinal; τ - efortul transversal; γ - deformaţia; E - modulul lui Young; G - modulul de elasticitate transversal.

Acest comportament poate fi descris printr-un resort elastic. b) Lichidul newtonian (fig. 6)

Fig. 6 Simbolul şi curbele de fluaj şi relaxare pentru lichidul newtonian

Pentru lichide, viteza de deformare este proporţională cu efortul; când acesta

dispare deformaţia rămâne constantă. Relaţia de legătură dintre efort şi viteza de deformare este legea lui Newton:

dtdγηγητ == & (1.43)

unde: η este coeficientul de vâscozitate dinamică. Acest comportament poate fi descris printr-un amortizor vâscos ideal.

12

c) Fluide vâscoelastice

Prin combinaţii de resoarte elastice şi amortizoare vâscoase ideale, cuplate în serie, paralel sau mixt pot fi descrise comportamentele materialelor vâscoelastice şi deduse ecuaţiile constitutive corespunzătoare.

Cele mai reprezentative modele sunt Kelvin-Voigt (solidul vâscoelastic) şi Maxwell (lichidul vâscoelastic). c1) Solidul vâscoelastic Kelvin-Voigt (fig. 7)

Fig. 7 Simbolul şi curbele de fluaj şi relaxare pentru modelul Kelvin-Voigt

Solidul vâscoelastic este modelat prin cuplarea în paralel a modelelor simple anterioare.

Deformaţia celor două elemente este aceeaşi, iar efortul total este suma eforturilor parţiale aplicate resortului şi amortizorului:

KvKeK

KvKeK

γγγτττ==+=

(1.44)

Ecuaţia constitutivă corespunzătoare se scrie:

KKKKK G γηγτ &+= (1.45) Soluţia ecuaţiei diferenţiale precedente este:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

−Ke

Gt

KK

λτγ

10 1)( (1.46)

unde: KKK G/ηλ = se numeşte timp de fluaj; 0τ - treapta de efort aplicată la momentul iniţial.

Deformaţia remanentă se poate calcula cu relaţia ( ∞→t ):

KKK G

t 00 )(

τγγ == ∞ (1.47)

Întârzierea răspunsului, determinată de amortizor este caracterizată prin constanta de timp Kλ , măsurată aproximativ prin intersecţia dintre tangenta în origine la curba de evoluţie a deformaţiei şi dreapta 0KK γγ = .

13

La dispariţia efortului deformaţia revine la zero după o lege asemănătoare cu (6). Constanta de timp de relaxare este identică cu timpul de fluaj. c2) Lichidul vâscoelastic Maxwell (fig. 8)

Fig. 8 Simbolul şi curbele de fluaj şi relaxare pentru modelul Maxwell

Lichidul vâscoelastic este modelat prin cuplarea în serie a unui resort elastic cu un amortizor vâscos.

Efortul este acelaşi, iar deformaţia totală este suma deformaţiilor parţiale specifice resortului şi amortizorului:

MvMeM γγγ += (1.48)

MvMeM τττ == Ecuaţia constitutivă corespunzătoare se scrie:

MM

M

M

MM

MM

MM G

τηλ

ητ

τητ

γ &&& +=+=1 (1.49)

unde Mλ este timpul de relaxare al fluidului de tip Maxwell. Ecuaţia diferenţială precedentă are următoarea soluţie:

MMM G

tt 00)(τ

ητ

γ += (1.50)

Când efortul dispare (momentul t1) deformaţia scade instantaneu la o valoare constantă nenulă, corespunzător destinderii resortului. Deformaţia remanentă este o măsură a curgerii vâscoase din faza de fluaj. 1.6. FLUIDUL PERFECT Un fluid lipsit de vâscozitate se numeşte fluid perfect sau ideal. Principala proprietate a unui fluid ideal este reprezentata de mobilitate.

Mobilitatea reprezintǎ proprietatea corpurilor lichide şi gazoase de a lua, sub acţiunea greutăţii proprii, forma vaselor care le conţin. Aceastǎ proprietate se poate explica atât prin vâscozitatea foarte mică cât şi prin coeziune redusă şi lucru mecanic de deformare la volum constant foarte mic.

14

1.6 COEZIUNEA

Coeziunea este proprietatea moleculelor de a se opune separării lor sub acţiunea unor forţe exterioare. Spre deosebire de solide, forţele de coeziune moleculară a fluidelor sunt neglijabile, fără a fi nule (cazul fluidelor reale). Dacă se consideră într-un lichid două particule în contact, aflate sub acţiunea unor forţe exterioare care tind să le despartă, rezultă că despărţirea lor se produce îndată ce forţele exterioare au depăşit valoarea forţelor de coeziune, care - din punct de vedere practic - poate fi considerată zero. În cazul când forţele de coeziune ale unui fluid sunt nule (ceea ce nu se întâlneşte în realitate), rezultă că nu numai despărţirea a două molecule, dar şi lunecarea lor, una faţă de cealaltă, nu întâmpină nici o rezistenţă. De aici rezultă, ca o consecinţă a unei coeziuni neglijabile, că fluidele nu pot dezvolta, practic, decât eforturi de compresiune, eforturile tangenţiale fiind insensibile. Cu cât ne apropiem de starea de repaus a unui fluid real, eforturile tangenţiale tind să devină nule. Din cele prezentate mai sus rezultă că presiunile între particule (respectiv între particule şi suprafeţele cu care vin în contact) nu pot fi decât normale la suprafaţa de contact. Dacă am admite că presiunea nu s-ar exercita normal la această suprafaţa, ea s-ar descompune în două componente: una normală pe planul tangent la particule, presupuse de formă sferică, care s-ar anula reciproc între particule, şi alta tangenţială, care ar produce o continuă mişcare de agitaţie, ceea ce ar contrazice starea de repaus. 1.7 Lucrul mecanic de deformare La o deformare sub volum constant, eforturile de compresiune sunt nule, fluidele nu dezvoltă decât eforturi tangenţiale foarte mici. Aceasta explică de ce rezistenţele fluidelor reale, la o deformaţie fără reducere de volum, este neglijabilă şi de ce fluidele reale nu reclamă, în asemenea situaţie, un lucru mecanic exterior sensibil.

15

CAP 2. HIDROSTATICA

2.1. CARACTERISTICILE GENERALE ALE FLUIDELOR Corpurile în cadrul cărora se pot produce deplasări ale unor părţi faţă de alte părţi sunt medii continui. Din această categorie fac parte corpurile solide elastice şi fluidele. Fluidele sunt medii continue deformabile care au următoarele caracteristici: a) elementele de masă deplasate ale unui fluid nu se reîntorc la poziţia de echilibru nici în cazul micilor deformaţii; b) orice variaţie a formei unei cantităţi de fluid se face fără efort şi din această cauză fluidele iau forma vasului care le conţin. Faptul că modificările de formă ale fluidelor sunt datorate unor forţe mici demonstrează că în masa de fluid nu există forţe de tensiune tangenţială şi în orice punct al fluidului presiunea se exercită perpendicular pe orice element de suprafaţă : Sd

SF

pdd

= . (2.1)

Când eforturile normale sunt aceleaşi în toate direcţiile, mediul deformabil (fără vâscozitate) este un fluid ideal şi în această categorie pot fi incluse gazele rarefiate şi uneori lichidele în mişcare cu viteză foarte mică. Dacă nu pot fi neglijate forţele de frecare dintre două straturi de fluid în mişcare relativă unul faţă de altul, deci trebuie luate în consideraţie forţele de tensiune tangenţială, fluidul respectiv este un fluid real sau vâscos. Starea unei cantităţi de fluid este caracterizată de trei parametri: volumul ocupat de fluid, presiunea exercitată de acesta asupra pereţilor recipientului şi de temperatură, între ei existând o ecuaţie de interdependenţă numită ecuaţie de stare: (2.2) ( ) 0,, =TVpfşi care pentru un gaz ideal este RTpV ν= , unde ν este numărul de moli de gaz, iar

R este constanta gazelor perfecte care are valoarea KkmolJ10314,8 3⋅=R . Deoarece mediul este continuu, aceşti parametri se determină în fiecare punct al fluidului şi în orice moment. Densitatea fluidului într-un punct se consideră a fi densitatea fluidului din

elementul de volum care include punctul dat VdVm

dd

=ρ , unde este masa de

fluid din elementul de volum . În general, densitatea fluidului variază de la punct la punct precum şi de la un moment la altul, deci

md

Vd( ) ( )trtzyx ,,,,

rρρρ == .

Funcţia ( )tr ,r

ρ descrie un câmp de densităţi care este un câmp scalar deoarece densitatea este o mărime scalară. În cazul lichidelor, practic densitatea poate fi considerată constantă, ele opun rezistenţă mare la varierea volumului, deci sunt practic incompresibile, în timp ce gazele sunt fluide compresibile.

Dacă fluidul este în mişcare, pentru caracterizarea lui este necesară cunoaşterea vitezei care poate să difere de la un punct la altul, deci ( )trvv ,

rrr= .

16

2.2. STATICA FLUIDELOR În cadrul staticii fluidelor sunt studiate proprietăţile fluidelor în repaus, deci

viteza lor 0=vr

şi presiunea depinde numai de poziţia punctului considerat. Pentru determinarea presiunii în interiorul unui fluid în repaus considerăm un punct M având coordonatele şi un element de volum de lichid în jurul lui, a cărui masă este (fig. 2.1). Straturile de fluid acţionează cu forţe unele asupra altora. Acţiunea restului de fluid asupra elementului cu volumul se manifestă prin forţele

( zyx ,, ) Vdmd

Vd'd xF , ''d xF , , , 'd yF ''d yF 'd zF , ''d zF .

Fig. 2.1

Pentru feţele pe care acţionează forţele 'd xF şi ''d xF , se poate scrie:

xx

xx

zypF

zypF

1ddd

1ddd''

1'

'1

'rr

rr

−=

= (2.3)

unde şi sunt presiunile medii cu care restul de fluid acţionează asupra celor două suprafeţe ale elementului de fluid considerat, paralele cu planul yOz, fiind egale cu presiunile în punctele centrale dreptunghiurilor care reprezintă aceste suprafeţe şi

a căror coordonate pentru sunt

'1p ''

1p

'1p ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− zy

xx ,,

2d

, iar pentru sunt ''1p

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ zy

xx ,,

2d

. Valorile acestor presiuni se obţin prin dezvoltare în serie Taylor în

vecinătatea punctului , cu neglijarea termenilor de ordin superior care sunt foarte mici

( zyx ,, )

17

( )

( ) .2

d,,

;2

d,,

''1

'1

xxp

zyxpp

xxp

zyxpp

∂∂

+=

∂∂

−= (2.4)

Forţa rezultantă pe direcţia axei Ox este ( ) xxxx zyppFFF 1ddddd ''

1'1

''' rrrr−=+=

sau având în vedere (1.42)

xx zyxp

F 1dddxdrr

∂∂

−= . (2.5)

În mod identic se obţine

.1dddxd

,1dddxd

zz

yy

zyzp

F

zyyp

F

rr

rr

∂∂

−=

∂∂

−= (2.6)

Forţa de suprafaţă care acţionează asupra elementului de fluid considerat este:

Vzp

yp

xp

FFFF zyxzyxS d111dddd ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=++=rrrrrrr

sau VpFS dd −∇=

r, (2.7)

unde s-a notat . zyV dddxd = Forţa de volum este greutatea elementului de fluid . (2.8) VgFV dd

rrρ=

Echilibrul fluidului din elementul de fluid considerat impune ca forţa rezultantă care acţionează asupra lui să fie nulă, 0dd =+ VS FF

rr, care conduce la:

gpr

=∇ρ1

. (2.9)

Expresia obţinută reprezintă legea fundamentală a staticii fluidelor pentru cazul în care forţele de volum care acţionează asupra elementului de fluid sunt determinate numai de câmpul gravitaţional. Relaţia (12.1) se poate scrie şi sub forma:

VF

mF

gpdd

dd

grad

rrr

=== ρρ , (2.10)

care arată că gradientul presiunii este egal cu forţa corespunzătoare unităţii de volum. În particular pentru un lichid incompresibil, aflat în câmp gravitaţional şi căruia i se ataşează un sistem de coordonate cu axa Oz verticală, proiecţiile ecuaţiei (2.9) pe axele sistemului sunt:

0=∂∂xp

, 0=∂∂yp

şi gzp

ρ−=∂∂

(2.11)

care prin integrare între coordonatele şi conduce la 1x 2x hgpp ρ=− 12 , (2.12) unde este diferenţa de nivel dintre cele două puncte. Expresia obţinută (2.12) este o altă formă a legii fundamentale a staticii fluidelor şi

21 xxh −=hgρ , care

reprezintă presiunea determinată de greutatea fluidului, poartă numele de presiune hidrostatică.

18

p0

B

z

z0

Fig. 2.2

Dacă punctul B se află la suprafaţa lichidului, unde acţionează presiunea

atmosferică, p0, ecuaţia (2.12) se citeşte astfel: Presiunea hidrostatică absolută, p, într-un punct din masa unui lichid greu,

incompresibil, este egală cu presiunea atmosferică p0, care se exercită pe faţa lui liberă, plus presiunea relativă γh, corespunzătoare adâncimii h la care se află punctul considerat.

Cum greutatea specifică a apei este 3mN9810=γ , rezultă că unei presiuni de

2mN98100at1 = îi corespunde o coloană de apă de 10 m; secţiunea S a coloanei de

lichid n-are importanţă, deoarece presiunea p este funcţie numai de γ şi h (măsurat pe verticală, adică pe direcţia intensităţii g a câmpului gravitaţional), nu şi de S.

Când γ→0, adică atunci când fluidul este practic fără greutate, aşa cum este aerul atmosferic, presiunea p nu mai depinde de h, păstrând în orice punct din masa sa o valoare constantă, . 0pp =Dacă asupra elementului de fluid considerat acţionează în afară de greutate şi alte forţe de volum şi f

r este forţa de volum rezultantă corespunzătoare unităţii de masă

mF

fddr

r= ,

atunci legea fundamentală a staticii fluidelor (2.9) are forma generală

pf ∇=ρ1r

. (2.13)

Notând cu

UmF

f graddd

−==

rr

(2.14)

forţa corespunzătoare unităţii de masă care aşa cum arată relaţia (1.52) derivă dintr-un potenţial, din (1.48) se obţine: 0gradgrad =+ Up ρ (2.15) care, dacă lichidul este incompresibil, este echivalentă cu const.=+ Up ρ (2.16) relaţie care arată că suprafeţele de egală presiune sunt suprafeţe echipotenţiale. În cazul fluidelor compresibile densitatea nu este constantă, ea variază în funcţie de presiunea fluidului. 19

Dacă fluidul considerat este un gaz ideal, starea lui este descrisă de ecuaţia

RTm

pVμ

= , (2.17)

unde m este masa gazului, iar μ masa sa molară. Din această expresie se obţine pentru densitate:

RTp μ

ρ = , (2.18)

care arată că în condiţii izoterme (T = const.), densitatea este dependentă de presiunea gazului. Introducând această expresie în (2.11) şi integrând

∫∫ −=zp

pz

RTg

pp

00d

d μ, se obţine

z

RTg

eppμ

−⋅= 0 (2.19)

care reprezintă ecuaţia barometrică şi care arată că presiunea fluidelor compresibile aflate în câmp gravitaţional scade exponenţial cu creşterea înălţimii fluidului. 2.3 SUPRAFEŢELE ECHIPOTENŢIALE ŞI PROPRIETĂŢILE LOR Suprafeţele în ale căror puncte particulele fluide au acelaşi potenţial se numesc suprafeţe echipotenţiale. Pentru o deplasare sd de-a lungul acestor suprafeţe, potenţialul rămânând constant, va rezulta un lucru mecanic elementar, al forţei F de forma: ( ) 0,cos =−==⋅+⋅+⋅= dUsdFdsFdzFdyFdxFdL zyx (2.20) Relaţia (2.20) ne arată că intensitatea câmpului F este normală la suprafeţele echipotenţiale. Sensul intensităţii F este acela în care potenţialul descreşte, deoarece: UF −∇= (2.21) Suprafeţele echipotenţiale nu se pot intersecta, deoarece, în acest caz, în punctele respective am avea potenţiale diferite ţi direcţii de forţă diferite. Ţinând seamă de relaţiile (2.20), expresia potenţialului în cazul gravitaţiei – când masa fluidă nu este supusă decât acţiunii greutăţii sale – ia forma: ( ) CgzgygxU zyx +⋅+⋅+⋅−= (2.22) care reprezintă, pentru diferite valori ale lui U, ecuaţiile suprafeţelor echipotenţiale aparţinând câmpului gravitaţiei; acestea, după cum se observă, sunt plane paralele şi orizontale, pe care intensitatea g a câmpului acţionează normal. În cazul când axa Oz este îndreptată vertical în sus, ecuaţia (2.22) ia forma simplificată: (2.23) CgU z +=deoarece

20

şi (2.24) 0== yx gg ggz −= Această relaţie ne arată că potenţialul unităţii de masă este reprezentat de

zg ⋅ , dar numai cu aproximaţia unei constante C, dat fiind că singurele cantităţi care au o semnificaţie fizică sunt numai diferenţele de potenţial. Se vede, de asemenea,

că potenţialul unităţii de greutate, având masa egală cu g1 , este dat de altitudinea z

faţă de planul de reper, ales arbitrar. Din relaţiile (3.13) rezultă că suprafeţele echipotenţiale sunt şi suprafeţe izobare (de egală presiune), deoarece 0=dU atrage 0=dp , oricare ar fi ρ. Să considerăm acum două suprafeţe echipotenţiale infinit vecine, care înregistrează variaţii de presiune şi de potenţial, egale, respectiv, cu dp şi dU (fig. 3.2 ).

M

M ’

U, p

U+dU, P + dp

Fig. 2.3

Pentru diferite elemente MM’, normale acestor suprafeţe, raportul ρ=−dUdp

fiind acelaşi, rezultă că suprafeţele echipotenţiale mai sunt şi suprafeţe de egală densitate (izodense). Cum, în general, ρ depinde în acelaşi timp de presiune şi de temperatură, rezultă că un fluid nu poate fi în echilibru decât dacă suprafeţele echipotenţiale coincid şi cu suprafeţele izoterme. Se ştie că într-o apă în fierbere se produc întotdeauna mişcări dacă în masa ei iau naştere diferenţe de temperatură; acelaşi lucru se întâmplă cu aerul încălzit de razele soarelui. Concludem deci că, pentru echilibru, temperatura şi presiunea trebuie să rămână constante pe orice suprafaţă echipotenţială. Se poate deci arăta că suprafaţa de separaţie între două lichide diferite, sau între un lichid şi un gaz, este o suprafaţă echipotenţială (fig. 2.4 ). 21

p0

N

Fig. 2.4 N

1γ

12 γγ >

Pentru aceasta să observăm că, într-un punct oarecare al suprafeţei de separaţie, presiunea p este aceeaşi pentru ambele fluide. Variaţia dp, între două puncte infinit vecine ale acestei suprafeţe, scrisă trecând prin masa fiecărui fluid în parte, va fi: dUdp 1ρ−= (2.25) şi dUdp 2ρ−= (2.26) Cum rezultă: 21 ρ≠ρ (2.27) 0=dU adică . (2.28) constU = în suprafaţa de separaţie. Suprafeţele libere ale lichidelor în echilibru sub acţiunea greutăţii lor, în contact cu aerul atmosferic sau cu un gaz oarecare, sunt suprafeţe plane orizontale de egală presiune, numite obişnuit şi suprafeţe de nivel; ele sunt suprafeţe echipotenţiale ale câmpului gravitaţiei, pe care presiunea aerului atmosferic este constantă. 2.4. Principiul lui Pascal Considerăm un volum de fluid omogen şi incompresibil în repaus şi două puncte 1 şi 2 continute în acest volum. Fie p1 şi p2 presiunile fluidului în aceste puncte şi z1, z2 – cotele celor două puncte, raportate la un sistem cartezian spaţial oxyz, având axa Oz verticală, în sus. Conform ecuaţiei hidrostaticii, avem: 2211 zpzp γγ +=+ (2.29) Admitem că, la un moment dat, transmitem volumului de fluid considerat o presiune suplimentară, fără a strica repausul fluidului. În aceste condiţii presiunea pucntului 1 înregistrează o creştere p1, iar presiunea puctului 2 – o creştere p2.

22

Fluidul fiind în repaus şi in această situaţie, conform ecuaţiei (3.19) vom avea: 222111 zppzpp γγ +Δ+=+Δ+ (2.30) Prin scăderea ecuaţiilor (3.20) şi (3.19) rezultă: (2.31) 21 pp Δ=Δ Punctele 1 şi 2 fiind alese arbitrar în masa fluidului, conform egalităţii (2.31), concludem că în toate punctele fluidului presiunea înregistrează aceeaşi variaţie. Rezultatul menţionat mai sus este cunoscut sub denumirea de principiul lui Pascal şi se enunţă astfel: „Orice variaţie de presiune produsă într-un punct oarecare dintr-un lichid incompresibil, în echilibru, se transmite cu aceeaşi intensitate fiecărui punct din masa acestui lichid”. 2.5. Principiul vaselor comunicante Considerăm un tub în formă de U, deschis la ambele capete, umplut cu două lichide diferite, de greutăţi specifice γ1 şi γ2.

p0

h1

Fig. 2.5 p0

21

h2

Pentru două puncte, 1 şi 2, situate la nivelul suprafeţei de separaţie a lichidelor, vom avea: (2.32) 21 pp = Notând cu p0 presiunea pe feţele libere ale lichidelor putem scrie: 1101 hpp γ+= (2.33) 2202 hpp γ+= (2.34) Cum , rezultă: 21 pp = 2211 hh γγ = (2.35) sau:

1

2

2

1

γγ

=hh (2.36)

Dacă 21 γγ = , din relaţia (2.36) obţinem 21 hh = , adică feţele libere ale unui lichid omogen, aflat în două vase comunicante, se găsesc în acelaşi plan orizontal. 23

Generalizând această concluzie pentru „n” vase comunicante ( ) se poate enunţa aşa-numitul principiu al vaselor comunicante:

2n ≥

„În două sau mai multe vase comunicante conţinând acelaşi lichid (omogen şi incompresibil) suprafeţele libere ale acestuia se găsesc în acelaşi plan orizontal”.

2.6. PRINCIPIUL LUI ARHIMEDE

Considerăm un corp complet scufundat în masa unui lichid şi ne propunem să calculăm împingerea apei pe suprafaţa lui (fig.3.5).

Pentru aceasta raportăm corpul la un sistem rectangular de axe, oxyz, având planul oxy la faţa liberă a apei. Proiectând corpul pe planele oxy şi yoz, se observă că cilindrii de proiecţie au împreuna cu corpul câte o linie curbă de contact, care împarte suprafaţa corpului în două părţi I şi II, respectiv I’ şi II’’.

Împingerile apei pe aceste părţi sunt opuse, astfel pe suprafaţa I’, vom avea: (2.37) xoxx AzF γ+='

iar pe suprafaţa II’: (2.38) xoxx AzF γ−=''

unde notaţiile au aceleeaşi semnificaţii cunoscute anterior. De aici rezultă că forţa de împingere după direcţia ox, care acţionează pe suprafaţa totală a corpului este nulă: (2.39) 0''' =+= xxx FFF

24

x

z

O

y

Az

Ax Fx” Fx’

Fz”

Fz’

Fig. 2.6

I’ II’’

I II

În mod identic se poate arăta că, după orice direcţie orizontală, împingerea lichidului asupra corpului este nulă. Proiectând corpul pe planul yoz, împingerea apei pe suprafaţa I este:

'' VFz γ+= (2.40) unde V’ este volumul real de lichid cuprins între suprafaţa I a corpului şi proiecţia ei Az. Pe suprafaţa II: (2.41) '''' VFz γ−=unde V’’ este volumul de apă (real şi fictiv) cuprins între suprafaţa II şi proiecţia ei Az; se observă că acest volum este egal cu volumul real de apă V’ plus volumul corpului, V, care este un volum de apă fictiv. Împingerea apei după direcţia verticală, z: ( ) VVVVVFz γγγγ −=−−=−+= '''''' (2.42) şi ea este orientată de jos în sus. Rezultă deci că împingerea ascensională rezultantă pe care un lichid o exercită asupra suprafeţei unui corp, scufundat parţial sau total în el, este egală în valoare absolută cu greutatea volumului de lichid dezlocuit. Aceasta constituie ceea ce se numeşte obişnuit principiul lui Arhimede. Folosind cunoştinţele anterioare se poate arăta că forţa ascensională a lui Arhimede trece prin centrul de greutate al volumului de lichid dezlocuit, care coincide cu însuşi centrul de greutate al corpului numai la corpurile omogene.

25

CAP 3. PIEZOMETRE Piezometrele sunt aparate cu lichid care servesc la măsurarea presiunii. Ele constau din tuburi de sticlă, relativ subţiri, care indică presiunea prin mărimea coloanei de lichid ridicate în ele. Precizia relativ mare care se poate obţine cu aceste aparate, simplitatea şi siguranţa principiului hidrostatic pe care se bazează funcţionarea lor, posbilitatea de a construi aparatul cu mijloace cele mai simple, explică folosirea piezometrelor încă din cele mai vechi timpuri. Piezometrele se numesc simple, când măsoară presiunea într-un singur punct, şi diferenţiale, când măsoară diferenţa de presiune între două puncte.

La rândul lor, atât piezometrele simple cât şi cele diferenţiale se pot numi directe, când în piezometru se foloseşte un lichid la fel cu cel căruia i se măsoară presiunea, sau indirecte, când în piezometru se foloseşte un alt lichid de măsură.

26

3.1. Piezometrele simple directe 3.1.1. Tubul manometric direct (fig. 3.1) să considerăm o conductă care are o priză prevăzută cu un robinet de control, la care este montat un tub de sticlă deschis la partea superioară. Prin deschiderea robinetului, apa, care se găseşte la o presiune mai mare decât presiunea atmosferică, se va ridica în tub până la o anumită cotă. Dacă se notează cu h înălţimea apei din tubul piezometric şi cu p presiunea din centrul conductei, în baza legii fundamentale a hidrostaticii, rezultă: hpp a γ+= (3.1) unde pa este presiunea tmosferică ce se manifestă la capătul liber al piezometrului, iar γ este greutatea specifică a apei.

h

p

P0

Fig. 3.1

Presiunea relativă din conductă, hpp a γ=− (3.2) este măsurată de coloana de apă:

γ

apph

−=

care se mai numeşte şi sarcină piezometrică.

27

4.1.2. Tubul vacuumetric direct (fig. 3.2)

Fig. 3.2

h

p

P0

N N

Acest tub se foloseşte pentru a măsura cu cât este mai mică presiunea

absolută dintr-o conductă (sau dintr-un rezervor oarecare) decât presiunea atmosferică.

Nivelul apei în tubul vacuumetric de sticlă se găseşte la distanţa h sub centrul conductei.

Cum planul NN e un plan izobar de presiune egală cu cea atmosferică, în baza ecuaţiei scrise pentru braţul stâng al tubului, rezultă:

hppa γ+= (3.3) sau

pph a −=γ = presiune vacuumetrică

3.2. Piezometrele simple indirecte

Aceste piezometre constau dintr-un tub de sticlă în formă de U, umplut cu lichid (alcool, toluen, mercur etc.), până aproape de jumătate, şi fixat vertical pe o scândură prevăzută cu o scală. Braţele tubului pot avea diametre egale sau diferite. Când piezometrul nu funcţionează, nivelul lichidului din cele două braţe este acelaşi.

Înainte de a lucra cu aceste piezometre trebuie să se citească distanţa z dintre nivelul lichidului din tub şi punctul de priză.

28

3.2.1. Tubul manometric indirect (fig. 3.3)

h/2

p

P0

N N

h/2

1γ

2γ

z

Fig. 3.3 Fie γ1 greutatea specifică a lichidului din conductă şi γ2 greutatea specifică a

lichidului din tub, care umple ambele braţe până la distanţa z sub punctul de priză al conductei.

Când piezometrul funcţionează, nivelul lichidului din tub coboară în braţul din

stânga cu 2h şi urcă în braţul din dreapta cu

2h .

Planul NN de separaţie a celor două lichide fiind un plan izobar, de presiune pN, se observă că pentru fiecare braţ se poate scrie succesiv:

hpp aN 2γ+= (3.4)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++= zhppN 21γ (3.5)

unde p este presiunea din centrul conductei. Rezultă:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+= zhhpp a 212 γγ (4.6)

Dacă distanţa z se măsoară deasupra punctului de priză, se obţine asemănător:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+= zhhpp a 212 γγ (3.7)

Ecuaţiile obţinute se pot particulariza pentru diferite valori ale lui γ1 şi γ2.

29

3.2.2. Tubul vacuumetric indirect

h/2

p

P0

N N

h/2

1γ

2γ

z

Fig. 3.4

Când vacuumetrul funcţionează, vidul parţial din conductă ridică nivelul lichidului în

braţul din stânga cu 2h şi îl coboară în braţul din dreapta cu

2h .

Planul NN fiind un plan izobar, de presiune egală cu presiunea atmosferică, se poate scrie: (3.8) hppp aN 2

' γ+==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= zhpp

21' γ (3.9)

Deci

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−= zhhpp a 212 γγ (3.10)

unde p’ este presiunea în planul de separaţie a celor două lichide, de greutăţi specifice γ1 şi γ2, iar p este presiunea în conductă. Dacă nivelul lichidului din tub, când acesta nu funcţionează, este la înălţimea z deasupra punctului de priză, se obţine asemănător:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−= zhhpp a 212 γγ (3.11)

Presiunea vacuumetrică va fi deci:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±−=− zhhppa 212 γγ (3.12)

luându-se pentru z semnul plus sau minus, după cum z se măsoară deasupra sau dedesubtul punctului de priză. Dacă lichidul din tub este mercur şi cel din conductă

30

apă, atunci ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡≈γ 32 mkgf13600 şi ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡≈γ 31 mkgf1000 şi deci:

( zhppa ±=− 1,131 )γ (3.13) unde pentru z rezultă semn contrar indicaţiilor de mai sus. Dezavantajul acestor piezometre constă în faptul că pentru măsurarea presiunii sunt necesare două citiri, pe ambele braţe ale tubului, care dublează astfel eroarea de citire. Tendinţa reduceii erorii de citire a dus la constituirea unor piezometre cu braţe de diametre diferite, la care măsurarea presiunii necesită o singură citire. Acest gen de piezometre se foloseşte în special la măsurarea presiunii aerului.

3.3. Piezometre diferenţiale 3.3.1. Piezometrul diferenţial direct

Acest piezometru se compune dintr-un tub de sticlă în formă de U răsturnat, având la partea superioară un robinet r, care rămâne închis la punerea în funcţiune a piezometrului. Prin deschiderea robinetelor r1 şi r2, apa se ridică în cele două braţe ale tubului, comprimând aerul din acesta la o presiune . Dacă diferenţa de presiune dintre cele două conducte este mică, s-ar putea ca nivelurile lichidului să nu fie văzute în dreptul braţelor piezometrelor; pentru a le aduce în câmpul vizibil se deschide cu grijă robinetul r, evacuându-se o parte din aerul aflat în piezometru.

a0 pp >

Notând cu p1 şi p2 presiunile din cele două conducte, putem scrie: 101 hpp γ+= (3.14)

202 hpp γ+= (3.15) Diferenţa de presiune este:

( ) ( zhhhpp += )−=− γγ 2121 (3.16) unde z este diferenţa de cotă între axele conductelor. Acest piezometru se foloseşte comod pentru diferenţele de presiuni până la circa 1 m col.apă.

h

P > P

31

0 a

h1

h2

z

Fig. 3.5

p1

p2

r2r1

3.3.2. Piezometrul diferenţial indirect Acest piezometru este format dintr-un tub de sticlă în formă de U, umplut cu un lichid cu greutatea specifică 12 γ>γ , astfel încât coloana de lichid care măsoară diferenţa de presiune să fie scurtată. Dacă planele izobare, NN li MM, sunt de presiuni respectiv p’ şi p’’, succesiv se poate scrie: (3.17) 11

'1 hpp γ+=

(3.18) 21''

2 hpp γ+= (3.19) 2111

'''21 hhpppp γγ −+−=−

h

h1

h2

z

Fig. 3.6

p1

M

p2

M

N

N

Dar hpp 2

''' γ+= (3.20) ( 211221 hhhpp − )+=− γγ (3.21)

Cum 21 hzhh +=+ (3.22) hzhh −=− 21 (3.23)

se poate scrie ( ) ( ) zhhzhpp 1121221 γγγγγ +−=−+=− (3.24)

32

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=− zhpp 1

1

2121 γ

γγ (3.25)

Pentru apă şi mercur avem, respectiv:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡== 31 1000

mkgfγγ , ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=γ 32 mkgf13600

( zhpp +=− 6,12121 )γ (3.26)

Pentru a evita erorile de măsurare, în cazul piezometrelor indirecte trebuie să

se dea o atenţie deosebită eliminării bulelor de aer din conductele de legătură; în acest scop, piezometrele sunt prevăzute, la partea lor superioară, cu robinete de evacuare a aerului.

33

CAP 4. CINEMATICA FLUIDELOR

4.1 ECUAŢIILE FUNDAMENTALE ALE MIŞCĂRII FLUIDELOR PERFECTE

În general, studiul mişcării fluidelor poate fi făcut prin două metode. O prima metodă - cunoscută ca metoda lul Lagrange - este aceea în care fluidul este considerat un sistem de puncte materiale cu masa continuă şi omogenă, dar cu posibilitatea variaţiei în timp a densităţii şi a formei sale. În acest caz mişcarea fluidului, ca şi a oricărui corp material, este cunoscută numai când se cunoaşte poziţia în timp a fiecărei particule fluide, sau a fiecărui punct material din care este constituit fluidul. Notând cu (a, b, c) coordonatele unei particule la momentul iniţial t = t0 (fig. 2.1) Prin deplasarea de-a lungul traiectoriei, particula va avea la un alt moment t coordonatele (x, y z), care sunt funcţii de a, b, c, t. Mişcarea unei particule oarecare de fluid va fi deci cunoscută când coordonatele (x, y, z) sunt date ca funcţii de mărimile a, b, c, t care se numesc variabilele lui Lagrange, deci:

( )(( )tcbafz

tcbafytcbafx

,,,,,,,,,

3

2

1

===

)

)

(4.1)

(x,y,z,t)

(a,b,c,t0)

x

z

y

Fig. 4.1

Este evident că traiectoria unei particule fluide rezultă din cunoaşterea funcţiilor

f1, f2, f3, în care (a, b, c) variază numai de la o particulă la alta. Considerând şi densitatea variabilă în timp, prin exprimarea urmatoare:

( tcbaf ,,,4=ρ (4.2) Întrucât, în timpul mişcării fluidul nu se divide în particule independente una de alta, se consideră că x, y, z sunt funcţii continue, uniforme şi derivabile.

34

Componentele pe cele trei axe ale unei particule vor fi:

( )

( )

( )tcbadtdf

dtdzv

tcbadtdf

dtdyv

tcbadtdf

dtdxv

z

y

x

,,,

,,,

,,,

33

22

11

ϕ

ϕ

ϕ

===

===

===

(4.3)

unde dx, dy, dz sunt proiecţiile pe cele trei axe ale deplasării particulei fluide în timpul dt. În ce priveşte acceleraţia în sistemul Lagrange, se observă că în proiecţie se poate scrie:

dtdv

dtdj

dtdv

dtdj

dtdv

dtdj

zz

yy

xx

==

==

==

3

2

1

ϕ

ϕ

ϕ

(4.4)

Derivatele dt

dvx , dt

dvy , dtdvz referindu-se la aceeaşi particulă fluidă (la substanţă)

se numesc derivate substanţiale şi ele se pot nota ca derivate totale, deoarece a, b, c, nu variază în cazul aceleiaşi particule. A doua metodă este metoda lui Euler (fig 4.2)

fig 4.2 În metoda Euler nu se mai individualizeazã particulele şi se alege un domeniu de studiu

35

D în interiorul cãruia se studiază variaţia în timp a vitezelor tuturor particulelor fluide care trec printr-un punct oarecare. În aceste puncte se instaleazã aparatele de mãsurã, şi la diferite momente de timp se înregistreazã parametrii mãsurati. În consecinţă, în metoda Euler, vitezele particulelor sunt funcţii de poziţia punctului (x, y, z) şi de timp, t; mărimile (x, y, z, t) se numesc, în acest caz, variabilele lui Euler. Înfãsurãtorile acestor vectori de vitezã, se numesc linii de curent si au caracter formal matematic. Prin urmare:

( )(

( )tzyxzv

tzyxyv

tzyxxv

,,,3

,,,2

,,,1

ψ

ψ )ψ

=

=

=

(4.5)

Unde x, y, z sunt coordonatele unui punct oarecare al spaţiului prin care trece particula cu viteza v la momentul t. Admiţând că şi densitatea se comportă în aceleaşi condiţii, studiul cel mai general al mişcării fluidelor duce la scrierea densităţii în funcţie de aceleaşi variabile, adică: ( tzyx ,,,4 )ψρ = (4.6) Observând că variabilele lui Euler (x, y, z) pot reprezenta în acelaşi timp şi coordonatele particulelor fluide de-a lungul traiectoriilor lor la diferite momente t, putem scrie:

( )

( )

( )tzyxvdtdz

tzyxvdtdy

tzyxvdtdx

z

y

x

,,,

,,,

,,,

3

2

1

ψ

ψ

ψ

==

==

==

(4.7)

Relaţii care fac legătura dintre variabilele Lagrange şi variabilele Euler. Prin integrarea acestor ecuaţii diferenţiale obţinem coordonatele traiectoriilor (x, y, z) în funcţie de timp şi de trei constante arbitrare, care pot fi chiar valorile acestora la momentul iniţial t = t0, adică chiar (a, b, c) şi deci:

(4.8) ( )(( )tcbafz

tcbafytcbafx

,,,,,,,,,

3

2

1

===

)

Se observă că eliminarea timpului t între aceste ecuaţii conduce la ecuaţia traiectoriei particulei de fluid. În ce priveşte acceleraţia în sistemul Euler, trebuie să ţinem seama că viteza variază şi de la un punct la altul, dar chiar şi în acelaşi punct de la un moment la altul; cu alte cuvinte vx, vy, vz sunt funcţii de x, y, z, care, la rândullor, depind de timpul t. Făcând derivata totală a proiecţiilor vitezei, obţinem:

36

dtdz

zv

dtdy

yv

dtdx

xv

tv

dtdva

dtdz

zv

dtdy

yv

dtdx

xv

tv

dtdv

a

dtdz

zv

dtdy

yv

dtdx

xv

tv

dtdva

zzzzzz

yyyyyy

xxxxxx

⋅∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

+∂∂

==

⋅∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

+∂∂

==

⋅∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

+∂∂

==

(4.9)

În baza relaţiilor (4.7), aceste ecuaţii iau forma:

zz

yz

xzzz

z

zy

yy

xyyy

y

zx

yx

xxxx

x

vz

vvyvv

xv

tv

dtdva

vz

vv

yv

vxv

tv

dtdv

a

vz

vv

yv

vx

vt

vdt

dva

⋅∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

+∂∂

==

⋅∂

∂+⋅

∂

∂+⋅

∂

∂+

∂

∂==

⋅∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

+∂∂

==

(4. 10)

Avantajul metodei Euler faţă de metoda Lagrange constă în faptul că utilizează un aparat matematic deosebit de eficient, aparţinând teoriei câmpurilor. 4.2. REPARTIŢIA PRESIUNILOR ÎNTR-UN FLUID AFLAT ÎN REPAUS Presiunile între particulele fluide sunt forţe specifice normale pe suprafaţa de contact a acestora, cu sensul de acţiune orientat spre interiorul volumului de fluid considerat la un moment dat. Acest lucru se înţelege uşor considerând un volum de fluid în echilibru, secţionat în două părţi (fig. 4.3).

P I I II

Fig. 4. 3 Neglijând, de exemplu, partea de fluid din dreapta secţiunii şi dorind totuşi să nu modificăm echilibrul fluidului din stânga secţiunii, va trebui să aplicăm în planul acesteia forţa echivalentă secţiunii pe care o exercită fluidului neglijat. Notând cu P această forţă, rezultă că sensul ei nu poate sa fie decât spre interiorul volumului de fluid aflat în stânga secţiunii. Dacă această forţă ar avea sens contrar, ea ar provoca distrugerea echilibrului. Dacă în masa fluidului considerăm un punct şi în jurul acestuia un element de suprafaţă oarecare A, pe care se exercită forţa P, atunci presiunea

APlimp

0A→= (4. 11)

Ne propunem să studiem dependeţa presiunii p faţă de orientarea în spaţiu a

37

elementului de suprafaţă A, din jurul punctului. Fie acest punct din masa fluidului punctul O, pe care-l considerăm originea unui sistem trirectangular de axe. Detaşăm din masa fluidului un tetraedru elementar de fluid, cu vârful în O şi cu laturile egale cu δx, δy, δz şi-i studiem echilibrul neglijând fluidul înconjurător (fig. 4.4). Este evident că, pentru a nu strica echilibrul fluidului din tetraedru, va trebui să aplicăm pe feţele acestuia acţiunea fluidului înconjurător, respectiv presiunile: px, py, pz şi p, unde p este presiunea pe suprafaţa a1 a2 a3 = A.

M

N (a,b,c)

x

z

y

Fig. 4.4

Px

Py

Pz

xδ yδ

zδ

O

a 2

a 3

a 1

P

Forţele care acţionează asupra fluidului cuprins în acest tetraedru sunt datorate mediului ambiant, gravitaţiei şi, eventual, forţelor de inerţie ale mişcării de antrenare şi forţei Coriolis (în cazul când fluidul se află în reapus relativ. Întrucât gravitaţia, forţele de inerţie şi forţele Coriolis sunt proporţionale cu masa fluidului, le vom numi forţe masice. Condiţia de echilibru se obţine anulând suma proiecţiilor acestor două categorii de forţe după cele trei axe. Pentru aceasra ducem mai întâi normala ON la suprafaţa A şi fie M punctul lor de intersecţie, iar (a, b, c) cosinusii directori ai normalei. Volumul tetraedrului este:

6323

OMAV zyxzyx δδδ=

δ⋅

δδ=⋅= (4.12)

Din triunghiul dreptunghic OMa1, rezultă: (4.13) aOM x ⋅δ=şi deci:

3

aA6

xzyx ⋅δ⋅=

δδδ (4. 14)

sau:

38

aA2

zy ⋅=δδ

(4. 15)

Prin permutări circulare avem:

bA2

xz ⋅=δδ şi cA

2yx ⋅=

δδ (4. 16)

Fie acum X, Y, Z componentele după cele trei axe ale rezultantei forţelor masice care acţionează asupra masei tetraedrului. Fie Fx, Fy, Fz componentele forţei masice care acţionează asupra unităţii de masă. Este evident că aceste componente sunt acceleraţii:

[ ] 2

2

LTMx LTM

MLTmasaFortaF −

−

=== (4. 17)

şi, prin urmare,

x

zyxx F

6FV.accelmasaX ⋅

δδδρ=⋅ρ=⋅=

(4. 18) În mod analog:

y

zyx F6

Y ⋅δδδ

ρ= (4. 19)

zzyx F

6Z ⋅

δδδρ=

(4. 20) În felul acesta, condiţiile de echilibru după cele trei axe, ţinând seama de semnul

forţelor, vor fi:

0Z pAc 2

p

0Y pAb 2

p

0X pAa 2

y x z

x z y

z y x

= + − δ δ

= + − δ δ

= + − δ δ

p (4. 21)

Ţinând seamă de relaţiile anterioare obţinem:

0F

62p

2p

0F62

p2

p

0F62

p2

p

zzyxyxyx

z

yzyxxzxz

y

xzyxzyzy

x

=δδδ

ρ+δδ

−δδ

=δδδ

ρ+δδ

−δδ

=δδδ

ρ+δδ

−δδ

Prin simplificare se ajunge la forma:

39

0F

3pp

0F3

pp

0F3

pp

zz

z

yy

y

xx

x

=δ

ρ+−

=δ

ρ+−

=δ

ρ+−

Imaginându-ne acum că suprafaţa A tinde spre zero, ceea ce înseamnă că δx, δy

şi δz tind spre zero, rezultă: pppp zyx ===

De aici concludem că: Presiunea într-un punct din masa fluidului în reapus este aceeaşi în toate direcţiile şi este independentă de orientarea elementului de suprafaţă din jurul punctului.

4.3 ECUAŢIILE GENERALE ALE MIŞCĂRII FLUIDELOR

4.3.1 Ecuaţiile lui Euler Vom studia, în cazul cel mai general, starea de mişcare a fluidului printr-un volum τ, situat în curentul de fluid; nu vom considera frecările interioare (vâscozitatea), deci vom studia cazul fluidelor perfecte (ideale) în mişcare variată. Raportând volumul τ la un sistem de axe accelerat, solidar cu acest volum, ecuaţiile care descriu mişcarea fluidului se vor obţine aplicând principiul lui D’Alambert particulelor de fluid în mişcare prin volumul τ. Cele trei categorii de forţe care acţionează asupra fluidului în mişcarea prin volumul de control τ, limitat de suprafaţa σ, (fig. 4.5.), sunt: forţele masice mF , forţele de inerţie iF şi forţele de presiune pF , cu efect echivalent, care înlocuiesc secţiunea fluidului neglijat, din afara volumului τ.

σd

σ

σpd

n

Fv

τd

Fig. 4.5

40

În formă primară, ecuaţiile lui Euler, în conformitate cu principiul lui D’Alambert, sunt exprimate prin relaţiile: 0=++ pim FFF (4. 22) Să stabilim expresiile matematice ale acestor trei categorii de forţe. Dacă mF este forţa masică unitară (deci acceleraţia) care acţionează asupra fluidului din volumul τ, forţa masică elementară ce acţionează asupra masei ρdτ este:

τρ dFFd m = (4. 21)

de unde: ∫=

τ

τρ dFF m (4. 23)

Cum viteza fluidului prin volumul τ este o funcţie vectorială de punct şi timp: ( )trvv ,= ,asupra masei ρdτ, în mişcare cu viteza v , va acţiona şi forţa elementară de

inerţie:

τρ ddtvdFd i −= (4. 24)

Forţa rezultantă de inerţie va fi deci:

∫−=τ

τρ ddtvdF i (4. 25)

Dacă dτ este un element de arie, pe care acţionează presiunea p, iar n - versorul normalei exterioare, forţa elementară de presiune este: σdnpFd p −= (4. 26) Ţinând seama de teorema lui Gauss-Ostrogradski, rezultanta forţelor de presiune va fi: ∫∫ ∇−=−=

τσ

τσ dpdnpF p (4. 27)

Înlocuind ecuaţiile (4.27), şi (4.26) în ecuaţia (4.25), obţinem:

0=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∇−∫ τρρ

τ

ddtvdpF (4. 28)

de unde rezultă:

( )vvtv

dtvdpF ∇⋅+

∂∂

==∇−ρ1 (4. 29)

Ecuaţia (4.29) reprezintă ecuaţiile lui Euler scrise în formă vectorială, pentru

mişcarea nepermanentă.

41

În proiecţii pe cele trei axe avem:

zz

yz

xzz

z

zy

yy

xyy

y

zx

yx

xxx

x

vzvv

yvv

xv

tv

zpF

vzv

vyv

vxv

tv

ypF

vzvv

yvv

xv

tv

xpF

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

−

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

−

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

−

ρ

ρ

ρ

1

1

1

(4. 30)

4.3.2 Ecuaţia de continuitate Această ecuaţie se obţine scriind în două feluri diferite variaţia în unitatea de timp a masei de fluid cuprinsă în volumul de control τ, mărginit de suprafaţa σ.

Separând din volumul τ un element dτ şi ţinând seama că densitatea este o funcţie scalară de punct şi timp: ( )t,rρ=ρ , masa totală din volumul τ este: (4. 31) ∫=

τ

τρdm

Variaţia masei totale în unitatea de timp va fi:

∫ ⋅∂∂

=∂∂

τ

τρ dtt

m (4. 32)

A doua formă de scriere a variaţiei masei se obţine examinând debitul masei prin suprafaţa σ, ce delimitează volumul τ.

Notând cu n versorul normalei exterioare la elementul de arie dσ, iar cu v vectorul vitezei fluidului, masa elementară de fluid care trece în unitatea de timp prin elementul de arie dσ este:

σρ dvdM n−= (4. 33) Prin întreaga suprafaţă σ va trece în unitatea de timp masa: ∫−=

σ

σρ dvM n (4. 34)

care reprezintă suma masei intrate şi ieşite din volumul τ, prin traversarea suprafeţei σ. Egalând ecuaţiile (4.33) şi (4.34), rezultă:

0=+∂∂

∫∫στ

σρτρ dvdt n (4. 35)

Dar, conform teoremei Gauss-Ostrogradski, fluxul unui vector printr-o suprafaţă închisă este egal cu integrala de volum din divergenţa vectorului, deci: ( )∫ ∫∇=

σ τ

τρσρ dvdvn (4. 36)

Ţinând seama de ecuaţia (4.32), ecuaţia (4.36) ia forma:

( )∫ =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ∇+∂∂

τ

τρρ 0dvt

(4. 37)

de unde rezultă:

42

( ) 0=∇+∂∂ v

tρρ (4. 38)

Cum operatorul ∇ nu poate acţiona simultan asupra funcţiilor ρ şi v , ecuaţia (4. 38) poate fi retranscrisă succesiv astfel:

( ) ( ) 0=∇+∇+∂∂ vv

t cc ρρρ (4. 39)

0=∇+∇+∂∂ vv

tρρρ (4. 40)

0=∇+∂∂ v

tρρ (4. 41)

Ecuaţia (4. 41) reprezintă ecuaţia de continuitate pentru fluidele compresibile.

În cazul fluidelor incompresibile având ct=ρ şi deci 0dtd

=ρ , ecuatia de

continuitate ia forma: 0=∇v (4. 42) sau

0zv

yv

xv zyx =

∂∂

+∂

∂+

∂∂ (4. 43)

De aici rezultă că volumul de lichid incompresibil care intră în volumul τ este egal cu volumul de lichid care iese din el. 4.3.3 ECUAŢIA CARACTERISTICĂ Adăugând la ecuaţiile vectoriale ecuaţia caracteristică a fluidului, exprimată simbolic de legătura funcţională dintre presiunea p, densitatea ρ şi temperatura absolută T, ( ) 0,, =Tp ρϕ obţinem trei ecuaţii cu trei necunoscute: ( )trv , ; ( )tr,ρ ; ( )trp , , care permit rezolvarea problemelor de scurgere sau repaus ale fluidelor ideale.

43

Cap. 5 DINAMICA LICHIDELOR IDEALE

5.1. CLASIFICAREA MIŞCĂRILOR

Hidrodinamica se ocupă cu stările de mişcare ale fluidelor pe care le studiază atât din punct de vedere cinematic cât şi din punct de vedere dinamic, determinând pe de o parte repatiţia vitezelor şi a presiunilor, iar pe de altă parte, energia care le întreţine.

În general se deosebesc mişcări de scurgere, determinate de curenţi cu o direcţie definită, şi mişcări de agitaţie, determinate de oscilaţii şi de valuri, care au întotdeauna o deplasare limitată.

Mişcările de scurgere pot fi permanente sau nepermanente. Am văzut că viteza fluidului este o funcţie, în cazul general al mişcării, de spaţiu

şi de timp. O asemenea mişcare, în care viteza variază atât de la un punct la altul al

spaţiului cât şi în acelaşi punct, de la un moment la altul, se numeşte mişcare nepermanentă sau variabilă. Regimul de mişcare variabilă este regimul cel mai periculos care se întâlneşte în tehnică şi trebuie luate toate măsurile de preîntâmpinare a neplăcerilor care s-ar ivi odată cu naşterea sau existenţa acestui regim.

Ca exemple de mişcări variabile cităm scurgerea lichidului printr-o conductă cu diametrul variabil, ataşată la un rezervor în care nivelul apei variază în timp, mişcarea apei într-un râu când nivelul apei variază, etc.

Dacă viteza fluidului este funcţie numai de spaţiu, într-un acelaşi punct fiind constantă în timp – mişcarea se numeşte permanentă sau staţionară.

În regimul permanent, moleculele se deplasează, deci, în aşa fel, încât într-un punct al spaţiului viteza este aceeaşi pentru orice moleculă care trece prin acest punct.

Regimul permannet este regimul de mişcare cel mai frecvent întâlnit în tehnică, care conduce la proiectarea turbinelor hidraulice, a pompelor etc.

Ca exemple de mişcări permanente putem cita scurgerea lichidului printr-o conductă cu diametru variabil, ataşată la un rezervor cu nivelul apei constant, scurgerea apei într-un canal sub nivel constant etc.

La rândul ei, mişcarea permanentă se numeşte uniformă când secţiunea transversală şi viteza medie a fluidului nu variază în lungul curentului ca mărime şi formă, respectiv ca mărime şi direcţie.

Fiind vorba, deci, de o mişcare rectilinie uniformă, .constv = , şi (fluid incompresibil), derivatele totale sunt nule:

.constp =.const=ρ

0dtd

dtdp

dtdv

dtdv

dtdv zyx =

ρ==== (5.1)

O mişcare permanentă se numeşte neuniformă sau variată când secţiunea transversală şi viteza medie a fluidului variază în lungul curentului ca mărime şi formă, respectiv ca mărime şi direcţie.

În acest ultim caz, numai derivatele parţiale ale funcţiilor: vx, vy, vz, p şi ρ sunt egale cu zero

44

0tt

pt

vt

vt

v zyx =∂ρ∂

=∂∂

=∂∂

=∂

∂=

∂∂ (5.2)

Derivatele totale ale lor sunt diferite de zero, deoarece viteza, presiunea şi densitatea variază când se trece de la un punct la altul al spaţiului, datorită repartiţiei lor momentane în jurul punctului.

Ecuaţiile generale ale Hidrodinamicii sunt: ecuaţiile lui Euler, ecuaţia de continuitate şi ecuaţia caracteristică.

Pentru mişcarea permanentă, viteza fiind constantă în raport cu timpul, aceste ecuaţii iau forma:

zz

yz

xzz

z

zy

yy

xyy

y

zx

yx

xxx

x

vzvv

yvv

xv

tv

zpF

vzv

vyv

vxv

tv

ypF

vzvv

yvv

xv

tv

xpF

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

−

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

−

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

−

ρ

ρ

ρ

1

1

1

(5.3)

( ) ( ) ( ) 0

zv

yv

xv

tzyx =

∂ρ∂

+∂

ρ∂+

∂ρ∂

+∂ρ∂ (5.4)

( ) 0T,p, =ρϕ (5.5)

5.2. LINIE DE CURENT ŞI TUB DE CURENT LINIE DE VÂRTEJ ŞI TUB DE VÂRTEJ

Linia de curent este o curbă tangentă în fiecare punct al ei la vectorul viteză al punctului respectiv (fig. 5.1).

Prin urmare, particulele fluide situate, la un moment dat, de-a lungul liniei de curent, vor fi animate de viteze care coincid ca direcţie cu tangenteel respective în punctele liniei de curent.

În mişcarea nepermanentă viteza fiind funcţie de timp, dintr-un punct de coordonate x, y, z, deplasarea infinitezimală a particulei fluide, în intervalul de timp dt, se va face, de la un moment la altul, mereu după o altă direcţie, corespunzătoare vitezei care variază încontinuu în acest punct.

De aici rezultă că în mişcarea nepermanentă liniile de curent işi schimbă alura de la un moment la altul, fiind deci variabile.

În mişcarea permanentă a fluidului, liniile de curent sunt invariabile şi ele coincid cu însǎşi traiectoriile particulelor fluide.

45

x

O

y

z

1 2

3 4

1v2v

4v3v

5v

Fig. 5.1

5

În adevăr, se observă că segmentul infinitezimal 1-2 (fig. 5.1) este străbătut de

particula fluidă în timpul dt cu viteza 1v ; cum viteza 2v nu variază în timpul dt, următorul segment infinitezimal 2-3 va fi străbătut cu viteza 2v , ceea ce confirmă că linia de curent coincide cu traiectoria.

Ecuaţiile oricărei linii de curent se obţine scriind că tangenta la linia de curent este paralelă cu vectorul viteză în punctul respectiv (fig. 5.2).

x

O

y

z

ds

v

Fig. 5.2

46

Considerând că în centrul elementului ds al tangentei la linia de curent viteza

fluidului este v şi notând cu dx, dy, dz, respectiv cu vx, vy, vz proiecţiile lui sd şi v , în baza definiţiei liniei de curent rezultă:

γ==

β==

α==

cosvv

dsdz

cosv

vdsdy

cosv

vdsdx

z

y

x

(5.6)

de unde:

zyx v

dzvdy

vdx

== (5.7)

Acestea reprezentand ecuaţiile diferenţiale ale liniilor de curent. Fie acum „C ” un contur închis situat în masa fluidului de scurgere. Tubul format de totalitatea liniilor de curent care trec prin punctele conturului C

determină ceea ce se numeşte un tub de curent, care, în cazul mişcării nepermanente, corespunde numai unei stări instantanee de curgere (fig. 5.3 ).

y

O

z

C

x Fig. 5.3 Conţinutul de lichid al unui tub elementar de curent (când C → O) se numeşte fir

lichid. Secţiunea transversală a firului, în general variabilă în lungul acestuia, se numeşte secţiune vie a firului.

Prin analogie cu linia de curent, se înţelege prin linie de vârtej curba tangentă în orice punct al ei la vârtejul ω al punctului respectiv (fig. 5.4).

47

x

O

y

z

1 2

3 4

2ϖ

Fig. 5.4

1ϖ

3ϖ

4ϖ

5ϖ

5

Ecuaţiile diferenţiale ale liniilor de vârtej rezultă din definiţia lor:

zyx

dzdydxω

=ω

=ω

(5.8)

unde , , sunt, respective, proiecţiile pe cele trei axe ale vârtejului xω yω zω ω . Ele sunt asemănătoare cu ecuaţiile liniilor de curent- totalitatea liniilor de vârtej care trec prin punctele unui contur foarte mic C, situat în spaţiul mişcării turbionare, determină tubul de vârtej.

Conţinutul de lichid al tubului elementar de vârtej se numeşte fir de vârtej. 5.3. ECUAŢIA DE CONTINUITATE PENTRU UN FIR DE LICHID Ecuaţia de continuitate stabilită de Euler, în cazul firului de lichid poate lua şi altă

formă. Stabilirea ei o vom face separând dintr-un fir lichid un element de lungime şi de

secţiune medie dreaptă A (fig.5.5). Vom considera că, în această secţiune, viteza de scurgere a lichidului, notată cu

v , este uniform repartizată şi constantă.

48

1 2 A

ds v

Fig. 5.5

Masa lichidă conţinută iniţial în elementul de fir considerat este egală cu dsAρ şi variaţia ei în timpul dt este:

( )dttdsA

∂ρ∂ (5.9)

Variaţia masei lichide scrise sub această formă este egală cu diferenţa dintre masa intrată şi cea ieşită, în acelaşi timp dt, prin secţiunile drepte ale elementului de fir considerat.

Prin urmare:

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂ρ∂

+ρ−ρ=∂ρ∂ ds

sdtAvdtAvdtAvdt

tdsA (5.10)

sau

( ) ( ) 0dtdssAvdtds

tA

=∂ρ∂

+∂ρ∂ (5.11)

Simplificând obţinem:

( ) ( ) 0sAv

tA

=∂ρ∂

+∂ρ∂ (5.12)

care reprezintă forma ecuaţiei de continuitate în cazul firului lichid. Pentru fluidele incompresibile, ρ fiind constant, ecuaţia ia forma:

( ) 0s

AvtA

=∂

∂+

∂∂ (5.13)

În cazul mişcării permanente având 0tA=

∂∂ (5.14)

rezultă că şi ( ) 0s

Av=

∂∂ (5.15)

adică produsul Av este o constantă (care poate însă varia în timp) în lungul firului lichid.

49

5.4. CURENT DE LICHID. DEBIT Prin curent de lichid se înţelege o masă lichidă în scurgere limitată fie numai de

un mediu solid sau gazos, fie simultan de aceste două medii. Curentul de lichid poate fi cu faţa liberă (de exemplu: un râu), sub presiune (de exemplu: scurgerea apei prin conducta de refulare a unei pompe), sau un fir hidraulic, care e limitat exclusiv de medii lichide sau gazoase (de exemplu: jetul de apă care iese din gura unui furtun).

Debitul de volum Q al unui curent de lichid este egal cu volumul de fluid scurs în unitatea de timp prin secţiunea transversală curentului.

El se mai numeşte şi flux (al vectorului vitezei). Notând cu A secţiunea transversală a unui curent de lichid şi cu dA un element al

acesteia prin care fluidul se scurge cu viteza v , orientată prin unghiul α faţa de normala n la element (fig. 5.6), debitul total al curentului este:

(5.16) ∫∫ =⋅=A

nA

dAvvdAQ αcos

sau: ( ) ( ) ( )[∫ ++=

Azyx dAnzvnyvnxvQ coscoscos ] (5.17)

vn

v

dA

α

Fig. 5.6

n

Pentru debitul total Q al curentului de lichid corespunde însă o viteză medie vm aceeaşi pentru orice punct al secţiunii transversale de scurgere, notată cu A.

Această viteză se numeşte viteză medie în secţiune şi este dată de raportul

AQvm = .

În regimul permanent, ecuaţia de continuitate pentru un curent de lichid este deci: (5.18) .2211 constvAvAQ ===unde v1 şi v2 sunt vitezele medii în secţiunile 1 şi 2.

În afara debitului de volum Q, se folosesc şi debitul de masă şi debitul de greutate

QM ρ=QG γ= , ρ şi γ fiind respectiv, densitatea şi greutatea specifică a lichidului.

50

5.5. NOŢIUNI GENERALE DESPRE OPERATORUL NABLA 5.5.1. Definiţie şi proprietăţi Gradientul unei funcţii scalare φ este un vector orientat după direcţia creşterii

maxime a lui φ avand modulul egal cu derivata lui φ dupǎ aceasta directie . Gradientul lui φ se notează prin ϕ∇ , ∇ fiind operatorul nabla. Ţinând seama de această definiţie, gradientul lui φ se poate scrie sub formele:

nnz

ky

jx

igrad∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇=ϕϕϕϕϕϕ (5.19)

unde n este versorul normalei la suprafaţa de nivel, pe care funcţia φ este constantă, iar

n∂ϕ∂ este derivata lui φ după direcţia acestei normale.

nv

Fig. 5.7

N

.2

2

ctvpu =++ρ

Operatorul are atât proprietăţi diferenţiale cât şi proprietăţi vectoriale,

specifice, pentru care motiv el este prezentat în mod convenţional ca un „vector simbolic”, care, ca şi vectorii reali, se supune legii distributivităţii în operaţiile de înmulţire scalară şi vectorială.

∇

Obţinerea rapidă a formulelor cu ajutorul operatorului nabla se face însă ţinându-se seama de următoarele reguli:

1/. Dacă operatorul ∇ acţionează asupra unui produs sau asupra unui raport oarecare, se pun în evidenţă, mai întâi, proprietăţile lui diferenţiale şi numai după aceea

proprietăţile vectoriale. Operatorul ∇ , ca şi operatorul dtd , nu poate acţiona simultan

asupra a două funcţii. 2/. Vectorii sau scalarii asupra cărora nu acţionează operatorul ∇ se scriu în

stânga operatorului; în dreapta operatorului se scriu mărimile asupra cărora acţionează operatorul.

3/. Deoarece operatorul ∇ nu este un vector real, el nu trebuie să fie scris la

51

sfârşitul unei formule, adică la dreapta operatorului trebuie să fie scrisă întotdeauna mărimea asupra căreia el acţionează.

4/. În formule mai complicate este indicat să se noteze cu indicele c (care înseamnă constant) mărimile asupra cărora operatorul ∇ nu acţionează;

5.5.2. Exemple de utilizare a operatorului nabla Gradientul sumei a două funcţii scalare ( ) ψϕψϕ ∇+∇=+∇ (5.20) Divergenţa sumei a doi vectori ( ) baba ∇+∇=+∇ (5.21)

Rotorul sumei a doi vectori ( ) baba ×∇+×∇=+×∇ (5.22)

Gradientul produsului a două funcţii scalare

( ) ( ) ( ) ϕψψϕϕψψϕψϕ ∇⋅+∇⋅=∇+∇=⋅∇ cc (5.23) Divergenţa unui vector multiplicat cu o funcţie scalară

( ) ( ) ( ) ϕϕϕϕϕ ∇⋅+∇⋅=∇+⋅∇=∇ aaaaa cc (5.24) Rotorul unui vector multiplicat cu o funcţie scalară

( ) ( ) ( ) ϕϕϕϕϕ ∇×−×∇⋅=×∇+⋅×∇=×∇ aaaaa cc (5.25) Gradientul unui produs scalar

( ) ( ) ( )cc bababa ∇+∇=∇ (5.26)

Primul termen din membrul doi al ecuaţiei () se obţine dezvoltând dublul produs vectorial:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) bababababa ccccc ⋅∇−∇=∇−∇=×∇× (5.27)

de unde ( ) ( ) babrotabac ⋅∇+×=∇ (5.28)

Schimbând rolurile între ca şi b , obţinem: ( ) ( ) abarotbba c ⋅∇+×=∇ (5.29)

Introducând relaţiile (5.28) şi (5.29) în (5.26) rezultă: ( ) ( ) ( ) abarotbbabrotaba ⋅∇+×+⋅∇+×=∇ (5.30)

52

Dacă vba == se obţine ecuaţia:

( ) vrotvvvv×+∇=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇

2

2

(5.31)

Divergenţa unui produs vectorial ( ) ( ) ( )cc bababa ×⋅∇+×⋅∇=×⋅∇ (5.32) În cele două produse mixte din membrul doi efectuăm acum o permutare

circulară a factorilor, în aşa fel încât ca şi cb să apară în stânga operatorului: ( ) ( ) ( ) brotaarotbabbaba cc −=×∇+∇×=×∇ (5.33) Rotorul unui produs vectorial ( ) ( ) ( )cc bababa ××∇+××∇=××∇ (5.34) Dezvoltând primul dublu produs vectorial din memrul doi avem:

( ) ( ) ( ) ( ) bababaabba ccc ⋅∇−⋅∇=∇−⋅∇=××∇ (5.35) În mod analog:

( ) ( ) ( ) ( ) ababbaabba ccc ∇−∇=∇−∇=××∇ (5.36) Introducând relaţiile (5.35) şi (5.36) în (5.34) rezultă:

( ) ( ) ( )baababbaba ∇−∇+∇−∇=××∇ (5.37) (5.38) ( ) ( ) ϕΔ=ϕ∇=∇⋅∇=ϕ∇∇=ϕ 2graddiv ( ) 0gradrot =ϕ∇×∇=ϕ∇×∇=ϕ (5.39) ( )aadivgrad ⋅∇∇= (5.40) ( ) 0aarotdiv =×∇⋅∇= (5.41 ( ) ( ) ( ) ( ) aaaaaarotrot Δ−⋅∇∇=∇⋅∇−∇⋅∇=×∇×∇= (5.42) Gradientul unei funcţii scalare compuse F(u) unde ( )z,y,xu ϕ= (5.43) ( ) ( ) uuFuF ' ∇=∇

vv Δ⋅∇=∇⋅Δ (5.44)

53

5.6. ECUAŢIILE LUI EULER-LAMB Aceste ecuaţii reprezintă o altă formă de scriere a ecuaţiilor lui Euler, care pun în

evidenţă natura rotaţională a mişcării fluidului perfect. În notaţii vectoriale, ecuaţiile Euler-Lamb sunt:

( ) vvtvpF ⋅∇+∂∂

=∇−ρ1 (5.45)

dacă se ţine seama de ecuaţia (5.31):

( ) vrotvvvv ×−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇=∇

2

2

(5.46)

Ecuaţiile Euler-Lamb au deci următoare formă vectorială:

vrotvvtvpF ×−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇+

∂∂

=∇−2

1 2

ρ (5.47)

Considerând cazul când forţa exterioară F , care acţionează asupra unităţii de masă a fluidului, derivă dintr-un potenţial U, putem scrie: UF −∇= (5.48)

După cum se ştie, asemenea forţe se numesc conservative, deoarece sub acţiunea lor un punct material îşi conservă în întregime energia sa mecanică (cinematică plus potenţială), lucrul mecanic depinzând numai de extremităţile drumului parcurs.

Ţinând seama de ecuaţia vectorială Euler-Lamb pentru fluidele incompresibile, când , se poate scrie astfel: ct=ρ

vrotvtvvpU ×−∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++∇−

2

2

ρ (5.49)

În cazul fluidelor compresibile, când ( )pρ=ρ , introducând funcţia:

( ) ( )pFp

dpdpP === ∫∫ ρρ (5.50)

şi observând că

( )( ) ( ) ( ) ( )pF

ppd

pdp

dpd

dppdF '11

==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡== ∫∫ ρρρ

(5.51)

( ) ( ) pp

ppFP ∇=∇=∇ρ

1' (5.52)

ecuaţia vectorială Euler-Lamb ia forma:

vrotvtvvPU ×−∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++∇−

2

2

(5.53)

Ecuaţiile (5.47) se simplifică corespunzător dacă mişcarea fluidului este potenţială sau permanentă, în aceste cazuri având:

0=∇×∇=×∇= ϕvvrot (5.54)

54

respectiv

0;;0 00

0 =∂∂

+∂∂

=∂∂

==∂∂

tvvv

tv

tvvvv

tv (5.55)

În proiecţii pe cele trei axe, ecuaţiile Euler-Lamb pentru fluidele incompresibile iau forma:

xyyxz

zxxzy

yzzyx

tvvpU

z

tvvpU

y

tvvpU

x

ωωωωρ

ωωωωρ

ωωωωρ

222

222

222

2

2

2

−+∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

∂∂

−

−+∂

∂=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

∂∂

−

−+∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

∂∂

−

(5.56)

unde

vrot21

=ω (5.57)

este vectorul turbion. 5.7. ANALIZA VECTORULUI VITEZĂ CARE INTRĂ ÎN ECUAŢIILE EULER-LAMB

Să considerăm ecuaţiile Euler-Lamb scrise sub forma vectorială:

vrotvtv

2vpU

2

×−∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ρ+∇−

(5.58)

şi să analizăm variaţia locală a vectorului viteză din aceste ecuaţii, pentru regimurile posibile de scuregere.

Am văzut că viteza v este o funcţie vectorială de punct şi timp, ( )t,rvv = . Întrucât dorim să analizăm cum variază vectorul viteză, v , în acelaşi punct, de la

un moment la altul, vom considera viteza v ca pe o funcţie vectorială numai de timp, adică ( )tvv = .

Notând cu v modulul şi cu 0v versorul vectorului v , putem scrie vectorul şi derivata lui locală sub formele:

( ) ( ) ( )tvtvtv 0⋅= (5.59)

t

vvvtv

tv

∂∂

+∂∂

=∂∂ 0

0 (5.60)

Avem de asemenea relaţia: 1

20 =v (5.61)

care prin derivare dă:

02 00 =

∂∂⋅

tvv (5.62)

55

Este evident că ecuaţia (5.62) are loc în două cazuri distincte:

00 =∂∂

tv (5.63)

şi

00 vt

v⊥

∂∂ (5.64)

adică t

v0

∂∂ perpendicular pe 0v .

Ţinând seama de aceste observaţii, analiza ecuaţiilor (5.60) şi (5.62) conduce la următoarele patru regimuri posibile de mişcare a fluidelor, caracterizate prin:

- 0tv=

∂∂ şi 0

tv0 =∂∂ , adică 0

tv=

∂∂ (5.65)

- 0tv=

∂∂ şi 0

0 vt

v⊥

∂∂ , adică v

tv⊥

∂∂ (5.66)

- 0tv≠

∂∂ şi 0

tv0 =∂∂ , adică v

tv∂∂ (5.67)

- 0tv≠

∂∂ şi 0

0 vt

v⊥

∂∂ (5.68)

Să analizăm pe rând aceste patru regimuri de mişcare a fluidelor.

- În primul caz, exprimat de ecuaţiile (5.65), avem regimul permanent ( 0tv=

∂∂ ),

când vectorul viteză este constant atât ca mărime cât şi ca direcţie. Cu alte cuvinte, printr-un punct din secţiunea firului de lichid toate particulele se

deplasează ci viteze constante ca modul, orientate riguros după aceeaşi direcţie. Acesta este regimul permanent, cunoscut în literatura de specialitate.

În ceea ce priveşte acest regim, trebuie să menţionăm însă că dacă invariabilitatea în timp a modulului vitezei se verifică experimental prin invariabilitatea în timp a debitului unui curent de lichid, invariabilitatea direcţiei vitezei într-un punct de pe firul de lichid se admite fără nici o confirmare experimentală, deoarece până în prezent tehnica de laborator nu poate oferi posibilitatea verificării experimenatle a acestei ipoteze. Este posibil ca liniaritatea firului de lichid să nu fie decât un fenomen optic.

- În cazul doi, exprimat de ecuaţiile (5.66), avem un regim nepermanent, care admite că, într-un punct din secţiunea firului de lichid, viteza fluidului este constantă ca modul dar variabilă ca direcţie.

Ceea ce este foarte important, este că în acest regim nepermanent – aşa cum

rezultă din ecuaţia (5.60), scrisă pentru 0tv=

∂∂ ,

vectorul tv∂∂ este paralel cu vectorul

tv0

∂∂ şi deci, în conformitate cu ecuaţia

(5.62), el este perpendicular pe vectorul viteză v . Acest adevăr rezultă de altfel şi din relaţia:

56

( )tbab

taba

t ∂∂

+∂∂

=⋅∂∂ (5.69)

care pentru vba == dă:

tvv

tv

∂∂

=∂∂ 2

2

(5.70)

de unde rezultă:

v

tvv

tv ∂

∂⋅

=∂∂ (5.71)

care, pentru 0tv=

∂∂ , confirmă afirmaţia de mai sus şi arată, în acelaşi timp, că derivata

modulului unui vector nu este egală, în general, cu modulul derivatei vectorului. Cu alte cuvinte, în acest regim de mişcare nepermanentă, printr-un punct din

secţiunea firului de lichid toate particulele se deplasează cu viteze constante ca modul, dar direcţiile vitezelor pot varia, de la un moment la altul, cu câteva subunităţi de grad, fără ca firul de lichid să-şi piardă, prin aceste variaţii, caracterul său liniar-optic.

- În cazul trei, exprimat de ecuaţiile (5,67), vectorul tv∂∂ , , este paralel cu vectorul

viteză v ; într-un punct vectorul viteză, v , variază deci ca modul dar rămâne orientat mereu după aceeaşi direcţie. În acest caz, componentele vitezei, la diferite momente, sunt proporţionale:

2

1

2

1

2

1

z

z

y

y

x

x

vv

vv

vv

== (5.72)

Aşadar, ecuaţiile (5.67) descriu regimul nepermanent cunoscut în literatură. În cazul patru, exprimat de ecuaţiile (5.68), vectorul viteză variază atât ca modul

cât şi ca direcţie, derivata locală a vitezei având deci două componente, una coliniară cu ( )tv şi alta normală pe ( )tv :

nc vvt

vvvtv

tv ••

+=∂∂

+∂∂

=∂∂ 0

0 (5.73)

În acest ultim caz firul de lichid se destramă iar mişcarea fluidului nu mai este descrisă de ecuaţia (5.49).

57

5.8 ECUAŢIA LUI BERNOULLI ÎN REGIM PERMANENT ŞI FĂRĂ FRECĂRI Considerăm ecuaţia vectorială Euler-Lamb scrisă sub forma:

vrotvtv

2vPU

2

×−∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++∇−

(5.74)

pe care ne propunem s-o integrăm atât în cazul regimului permanent cât şi în cazul regimului nepermanent.

În cazul regimului permanent având 0tv=

∂∂ , ecuaţia (5.74) devine:

vrotv2vPU

2

×−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++∇−

(5.75)

Înmulţind scalar ecuaţia () cu rd („ rd ” fiind o creştere elementară a vectorului de poziţie „ r ”, ce caracterizează poziţia particulei de fluid în spaţiul mişcării) obţinem:

( vrotvrd2vPUd

2

×⋅−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++− ) (5.76)

Cum ω= 2vrot , ecuaţia (5.76) poate fi scrisă sub forma:

zyx

zyx

2

vvvdzdydx

22vPUd

ωωω=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

(5.77)

Determinantul din ecuaţia (5.77) este nul în cazurile când:

(1) zyx v

dzvdy

vdx

== (5.78)

(2) zyx

dzdydxω

=ω

=ω

(5.79)

(3) (5.80) 0zyx =ω=ω=ω

(4) z

z

y

y

x

x vvvω

=ω

=ω

(5.81)

Ecuaţiile (5.78) reprezintă ecuaţiile diferenţiale ale liniilor de curent, ecuaţiile (5.79) reprezintă ecuaţiile diferenţiale ale liniilor de vârtej, iar ecuaţiile (5.80) corespund mişcării potenţiale.

Cazul (4) corespunde mişcării elicoidale, când vectorul viteză v este paralel cu vectorul turbion ω .

Aşadar, ecuaţia (5.77) poate fi integrată cu uşurinţă de-a lungul liniei de curent, de-a lungul liniei de vârtej, în cazul mişcării elicoidale şi în cazul mişcării potenţiale, obţinându-se relaţia:

.constC2vPU

2

==++

(5.82)

în care constanta C ia valori diferite pentru fiecare linie de curent şi pentru fiecare linie de vârtej; constanta C păstrează aceeaşi valoare numerică pentru întregul curent

58

potenţial şi o altă valoare numerică pentru întregul curent elicoidal. Ecuaţia (5.82) reprezintă, în formă primară, ecuaţia lui Bernoulli în cazul mişcării

permanente a unui fluid barotrop, când ( )pρ=ρ .

Dacă fluidul este incompresibil funcţia de presiune P se va înlocui prin „ρp ”,

ecuaţia (5.82) luând forma:

CvpU =++2

2

ρ (5.83)

Dacă axa oz a sistemului de coordonate este verticală, orientată în sus, potenţialul U este:

(5.84) CzgU +=iar ecuaţia Bernoulli, ca ecuaţia a sarcinilor, pentru un fluid ideal, incompresibil, ia forma:

Czpg

v=++

γ2

2

(5.85)

unde termenii din membrul întâi, cu dimensiunea unei lungimi, reprezintă:

g

v2

2

- sarcina cinetică

γp - sarcina piezometrică

z – sarcina de poziţie (sau înălţime de poziţie) Sarcina cinetică reprezintă înălţimea la care s-ar ridica în vid un punct material

aruncat vertical, în sus, cu o viteză iniţială v, egală cu viteza particulei lichide considerate.

Sarcina piezometrică reprezintă înălţimea coloanei de lichid corespunzătoare presiunii „p” a particulei de lichid.

În sfârşit, sarcina de poziţie (sau înălţimea de poziţie) exprimă înălţimea la care se află particula de lichid analizată, faţă de un plan reper orizontal, ales arbitrar.

Referindu-se la linia de curent, ecuaţia lui Bernoulli, ca ecuaţie a sarcinilor, se enunţă astfel: „în regimul permanent al unui fluid ideal, incompresibul, supus acţiunii unor forţe conservative, suma sarcinilor cinetică, piezometrică şi de poziţie păstrează o valoare constantă de-a lungul unei linii de curent”.

Înmulţind ecuaţia (5.85) succesiv cu greutatea specifică γ şi cu greutatea de fluid G, rezultă ecuaţia lui Bernoulli ca ecuaţie a presiunilor:

.constzp2v2

=γ++ρ

(5.86)

respectiv ca ecuaţie a energiilor:

.constGzpGg2

vG2

=+γ

+⋅

(5.87)

Termenii din primul membru al ecuaţiei (5,86) reprezintă, în ordinea succesivă a lor, presiunea dinamică, presiunea piezometrică (statică) şi presiunea de poziţie, iar termenii din primul membru al ecuaţiei (5.87), în aceeaşi ordine, reprezintă energia cinetică, energia de presiune şi energia de poziţie.

59

De aici rezultă că ecuaţia lui Bernoulli reprezintă legea conservării energiei într-o secţiune oarecare a firului de lichid ideal incompresibil.

În cazul fluidelor uşoare (cum ar fi aerul), când greutatea specifică este foarte mică, aproape neglijabilă, ultimul termen din ecuaţia (5,87) dispare, ecuaţia luând forma:

Cpv=+

2

2

ρ (5.88)

Pentru un fluid barotrop (compresibil), ecuaţia lui Bernoulli, ca ecuaţie a sarcinilor este:

( ) .2

2

constzp

dpg

v=++ ∫ γ (5.89)

Ecuaţia lui Bernoulli eset una dintre cele mai importante ecuaţii ale Hidrodinamicii şi ea a fost publicată de către Daniel Bernoulli în Hidrodinamica, în anul 1738.

5.9. ECUAŢIA LUI BERNOULLI ÎN REGIM NEPERMANENT În cele ce urmează ne propunem să integrăm ecuaţia vectorială Euler-Lamb de-

a lungul unei linii de curent, în cazul mişcării nepermanente a fluidului. În acest scop vom înmulţi scalar ecuaţia (5.53) cu un element rd al liniei de curent:

( ) rdvrotvrdtvrdvPU ⋅×−∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++∇− ∫∫∫ 2

2

(5.90)

Cum produsul mixt ( ) 0=⋅× rdvrotv (5.91)

ecuaţia (5.90) ia forma:

rdtvrdvPU ⋅∂∂

=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++∇− ∫∫ 2

2

(5.92)

de unde rezultă ecuaţia lui Bernoulli, în regim nepermanent:

( )tCrdtvvPU =∂∂

+++ ∫2

2

(5.93)

Calculând integralele din ecuaţia (5.93) pe o porţiune a liniei de curent, de la M la N, ecuaţia lui Bernoulli ia forma:

rdtvvPUvPU

MNNM

⋅∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ ∫22

22

(5.94)

Menţionăm însă că ecuaţia lui Bernoulli, (5.94), pentru regimul nepermanent, se referă numai la cazul (3) de la paragraful precedent, când vectorul viteză ( )tv este

paralel cu vactorul derivatei sale, tv∂∂ , iar derivata modulului vitezei,

tv∂∂ , este egalăcu

modulul derivatei acestui vector, tv∂∂ .

În acest caz, având deci:

60

tv

vtvv

tv

o

∂∂

=∂∂

⋅=

∂∂

0cos (5.95)

ecuaţia lui Bernoulli, pentru regimul nepermanent, analizat mai sus, se poate scrie şi sub forma:

( )tCrdtvvPU =∂∂

+++ ∫2

2

(5.96)

deoarece rdv .

Referindu-ne la cazul 2/ de la paragraful precedent când vectorul viteză ( )tv este

perpendicular pe vectorul derivatei sale, tv∂∂ , vom avea 0rd

tv

=⋅∂∂ . În consecinţă,

ecuaţiile (5.93) şi (5.94) devin respectiv:

CvPU =++2

2

(5.97)

sau NM

vPUvPU ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

22

22

(5.97)

5.10 ECUAŢIA LUI BERNOULLI PENTRU MIŞCAREA RELATIVĂ A

LICHIDULUI IDEAL INCOMPRESIBIL Să considerăm scurgerea unui fluid ideal incompresibil printr-un canal care se

roteşte în jurul unei axe oarecare cu viteza unghiulară „ω” constantă (fig. 5.8). Pentru a obţine ecuaţia lui Bernoulli în acest caz, vom relua ecuaţia (5.87) şi vom

determina potenţialul U considerând toate forţele care acţionează asupra lichidului. Menţionăm că în această ecuaţie v reprezintă acum viteza relativă a lichidului

faţă de canalul care se roteşte cu viteza constantă ωru = . Este evident că asupra lichidului acţionează, în acest caz, pe lângă acceleraţia

gravitaţională g şi acceleraţia corespunzătoare mişcării lui circulare, în care r reprezintă distanţa dintre punctul considerat şi axa de rotaţie.

r⋅2ω

Componentele rezultantei forţelor masice care acţionează asupra unităţii de masă lichidă cor fi deci:

(5.98) gF

yF

xF

z

y

x

−=

⋅=

⋅=2

2

ω

ω

(acceleraţia acţionează în planul xoy, iar axa oz este orientată în sus, pe verticală). r2ωPotenţialul U se determină folosind ecuaţia: dzFzdyFydxFxdU ++=− (5.99)

unde Fx, Fy şi Fz sunt date de relaţiile (5.98).

61

r

v2

u2

v1

u1

2ωr

ω

O

Fig. 5.8

Prin integrarea ecuaţiei (5.99) se obţine:

CrzgU +−=2

22ω (5.100)

dat fiind că . 222 yxr +=Introducând ecuaţia (5.100) în ecuaţia (5.83) rezultă ecuaţia lui Bernoulli pentru

mişcarea relativă a unui lichid incompresibil:

Czpgr

gv

=++−γ

ω22

222

(5.101)

sau

Czpguv

=++−

γ2

22

(5.102)

În teoria maşinilor hidraulice, viteza relativă a lichidului se notează obişnuit cu w, rămânând notaţia v pentru viteza absolută a lichidului.

Folosind deci notaţia w pentru viteza relativă, ecuaţia (5.102), scrisă pentru două particule situate pe aceeaşi linie de curent, devine:

22

22

22

11

21

21

22zp

guwzp

guw

++−

=++−

γγ (5.103)

62

5.11. APLICAŢII ALE ECUAŢIEI LUI BERNOULLI Pentru a vedea modul cum se aplică ecuaţia lui Bernoulli vom considera câteva

exemple concrete. Formula lui Torricelli

Considerăm un rezervor plin cu apă şi prevăzut cu un orificiu lateral de secţiune

foarte mică în comparaţie cu secţiunea rezervorului (fig. 5.9). Luând ca plan de reper planul care trece prin axa orificiului, vom scrie ecuaţia lui

Bernoulli în punctele 1 şi 2 ale unui fir de lichid şi vom identifica apoi fiecare termen în parte.

Avem:

22

22

11

21 zp

g2vzp

g2v

+γ

+=+γ

+ (5.104)

Viteza de coborâre a feţei libere a lichidului din rezervor, v1, fiind mult mai mică decât viteza de scurgere prin orificiu, v2, se consideră v1 = 0 şi v2 = v.

În punctele 1 şi 2 ale firului de lichid acţionează presiunea atmosferică, deci , iar şi . atm21 ppp == hz1 = 0z2 =

1

2

N N

Fig. 5.9

Viteza de curgere prin orificiu va fi dată deci de formula lui Torricelli: gh2v = (5.105)

care corespunde vitezei de cădere în vid a unui solid. Din cauza frecării lichidului, viteza reală de scurgere va fi însă puţin mai mică

decât viteza teoretică dată de formula lui Torricelli.

63

Tubul Venturi

Acest tub constă din două tronsoane tronconice unite prin bazele lor mici şi

prevăzute cu prize pentru piezometre. El înlocuieşte o porţiune orizontală de conductă şi serveşte la măsurarea

debitului ei de lichid (fig 5.10).

N

N

A1

A2

γ1p

γ2p

h

v1 v2

Fig. 5.10

Fie A1 şi A2 secţiunea de intrare şi secţiunea strangulată a tubului Venturi; fie, de

asemenea v1, v2, p1, p2, respectiv vitezele şi presiunile lichidului în secţiunile A1 şi A2. Luând ca plan de reper axa conductei, ecuaţia lui Bernoulli este:

22

22

11

21 zp

g2vzp

g2v

+γ

+=+γ

+ (5.106)

Cum , rezultă 0zz 21 ==

γ

−γ

=− 21

21

22 pp

g2vv (5.107)

sau

gh21vvv 2

1

222

1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− (5.108)

unde

64

γ

−γ

= 21 pph (5.109)

Ţinând seama de ecuaţia de continuitate, 2211 vAvA = , ecuaţia (5.108) devine:

gh2A1

A1Av 2

122

21

21 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− (5.111)

rezultând debitul teoretic:

21

22 A

1A1

gh2Q−

= (5.112)

Debitul real se obţine înmulţind debitul teoretic cu un coeficient de corecţie,

determinat de etaloanele tubului venturi.

65

5.12. TEOREMA MOMENTULUI IMPULSULUI Să reluăm mişcarea nepermanentă a unui fluid, omogen şi incompresibil, printr-

un volum oarecare τ, limitat de suprafaţa σ. Fie τd un volum elementar de fluid şi r - vectorul de poziţie al centrului său în raport cu originea sistemului de referinţă. Notând cu ( )t,rv viteza fluidului de volum dτ, masa de fluid ρdτ va fi supusă forţei elementare de inerţie:

τρ ddtvdFi −= ( 5.113)

Momentul forţei elementare de inerţie faţă de punctul O (originea sistemului de

referinţă) este:

( ) τ×ρ−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛τρ−×= dvr

dtdd

dtvdrMd i ( 5.114)

66

deoarece

( )dtvdr

dtvdrvv

dtvdrv

dtrdvr

dtd

×=×+×=×+×=× ( 5.115)

Momentul rezultant al forţelor de inerţie este:

( )∫∫ττ

τ×ρ−== dvrdtdMdM ii ( 5.116)

Dacă τρ= dvId este impulsul elementar, iar Kd - momentul impulsului

elementar, exprimat prin: τρ×= dvrKd ( 5.117)

momentul rezultant al impulsului (sau momentul cinetic) este: ∫

τ

τρ×= dvrK ( 5.118)

Calculând derivata în raport cu timpul a momentului rezultant al impulsului,

obţinem:

( ) iMdvrdtd

dtKd

−=τ×ρ= ∫τ

( 5.119)

adică derivata în raport cu timpul a momentului rezultant al impulsului este egală cu momentul rezultant al forţelor de inerţie luat cu semn schimbat.

Pentru a calcula integrala din relaţia ( 5.119), vom scrie:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]vrvz

vrvy

vrvx

vrt

vz

vy

vx

vr

vrvz

vrvy

vrvx

vrt

vvrz

vvry

vvrx

vrt

vrdtd

dtd

zyx

zyx

zyx

zyx

×ρ∂∂

+×ρ∂∂

+×ρ∂∂

+×∂∂

ρ=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ρ

∂∂

+ρ∂∂

+ρ∂∂

×−

−×ρ∂∂

+×ρ∂∂

+×ρ∂∂

+×∂∂

ρ=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×

∂∂

+×∂∂

+×∂∂

ρ+×∂∂

ρ=×ρρ

( 5.120)

Procedând la fel ca la teorema impulsului, putem scrie:

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]vrvkvrvjvrvivrt

vrdtd

zyx ×ρ∇⋅+×ρ∇⋅+×ρ∇⋅+×∂∂

ρ=×ρ ( 5.121)

În baza relaţiei (5.121) vom retranscrie relaţia (5.119) sub forma:

67

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]∫∫∫∫ττττ

τ⋅×ρ∇+τ⋅×ρ∇+τ⋅×ρ∇+τ×ρ==− dvrvkdvrvjdvrvidvrdtd

dtKdM zyxi

( 5.122)

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]∫∫∫∫σσστ

σ⋅×ρ+σ⋅×ρ+σ⋅×ρ+τ×∂∂

ρ==− dnvrvkdnvrvjdnvrvidvrtdt

KdM zyxi

( 5.123) sau

( ) ( ) ( ) σ⋅⋅×ρ+τ×∂∂

ρ==− ∫∫στ

dnvvrdvrtdt

KdMi ( 5.124)

Termenul ( )∫τ

τ×∂∂

ρ dvrt

, egal cu ( )∫τ

τ×ρ∂∂ dvrt

, reprezintă variaţia în unitatea de

timp a momentului impulsului corespunzător fluidului din volumul τ, iar termenul ( ) ( )∫

σ

σ⋅⋅×ρ dnvvr reprezintă fluxul (sau debitul) momentului impulsului prin suprafaţa

inchisă „σ” ce delimitează volumul τ. Denumirea de „debit al momentului impulsului” este justificată de unitatea de măsură a acestei mărimi fizice, care este de forma:

timpuluiamăsurădeunitateaimpulsuluimomentuluiamăsurădeunitatea

În cazul mişcării permanente a fluidului, relaţia ( 5.124) devine:

( ) ( ) σ⋅⋅×ρ==− ∫σ

dnvvrdtKdMi ( 5.125)

sau, urmând raţionamentele utilizate în demonstrarea teoremei impulsului:

( ) ( )∫∫∑

×−∑

×==−σσ ie

dMvrdMvrdtKdMi ( 5.126)

Dacă suprafeţele σe şi σi sunt plane, având versorii normalelor exterioare en şi in , iar viteza fluidului păstrează câte o valoare constantă în fiecare punct al acestor

suprafeţe, de forma evv = , respectiv ivv = , vom putea scrie: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) eee0eeee0eee

eeeeeeeee

vrnvrvnv

drvnvdrvnvdnvvrdMvreeee

σ×⋅ρ=σ×⋅ρ−=

=σ×⋅ρ−=σ×⋅ρ−=σ⋅ρ×=× ∫∫∫∫σσσσ ( 5.127)

şi, cu totul asemănător: ( ) ( )( ) iii0ii vrnvdMvr

i

σ×⋅ρ−=×∫σ

( 5.128)

unde e0r şi i0r reprezintă vectorii de poziţie ai centrelor de greutate ale suprafeţelor σe, respectiv σi.

Să mai observăm că:

68

( )( ) iiiii

eeeee

MQnv

MQnv

=ρ=σ⋅ρ−

=ρ=σ⋅ρ ( 5.129)

unde Qe, Qi şi Me. Mi reprezintă debitele de volum, respectiv de masă prin suprafeţele σe şi σi.

În baza relaţiilor (5.129) vom putea retranscrie relaţiile (5.127) şi (5.128), astfel: ( ) ( )ee0e vrMdMvr

e

×=×∫σ

( 5.130)

( ) ( )ii0i vrMdMvri

×=×∫σ

( 5.131)

Aşadar, putem scrie: ( ) ( ) ( )∑∑ ∫∫ ×=×=

∑×

σσ

ee0e vrMdMvrdMvree

( 5.132)

( ) ( ) ( )∑∑∫∫ ×=×=∑

×σσ

ii0i vrMdMvrdMvrii

astfel încât relaţia (5.129) capătă forma:

( ) (∑∑ ×−×==− ii0iee0ei vrMvrMdtKdM ) ( 5.133)

Pe de altă parte, este evidentă relaţia: epmi MMMM =+=− (5.134)

unde mM şi pM reprezintă momentul forţelor masice, respectiv al forţelor de presiune în raport cu originea sistemului de referinţă (fiind, după cum se ştie, momente ale forţelor exterioare fluidului din volumul τ).

Cu această precizare, ecuaţia (5.114) a teoremei momentului impulsului ia următoarea formă finală:

( ) ( )∑∑ ×−×= ii0iee0ee vrMvrMM ( 5.135) şi se enunţă astfel: „În regimul permanent al fluidelor ideale, suma vectorială a momentelor forţelor exterioare care acţionează asupra unui volum τ de fluid, limitat de suprafaţa σ, este egală cu momentul fluxului de impuls prin secţiunile de ieşire (din volumul τ) minus momentul fluxului de impuls prin secţiunile de intrare (în volumul τ)”. 5.13 CIRCULAŢIA VITEZEI

Fie C un contur închis fixat în spaţiul ocupat de un fluid în mişcare, iar M, un punct al acestui contur prin care fluidul trece cu viteza v (fig. 5.11).

Notând cu α unghiul dintre vectorul viteză şi tangenta s în punctul M al conturului, produsul de forma αcos⋅dsv , integrat cu un anumit sens de parcurgere de-a lungul arcului AB, reprezintă integrala curbilinie a vitezei de-a lungul arcului AB.

69

y

z

x

A

B

C

M

V S

α

Fig. 5. 11

Această integrală, calculată de-a lungul întregului contur C, se numeşte circulaţia

vitezei şi se notează cu ∫=Γ

C

dsv αcos ( 5.136)

Observând că expresia de sub integrală reprezintă produsul scalar dintre vectorii ( )zyx vvvv ,, şi ( dzdydxsd ,, ) se poate scrie:

∫=ΓC

sdv ( 5.137)

sau, ( )∫ ++=Γ

Czyx dzvdyvdxv (5.138)

Cum circulaţia vitezei ţine seamă de sensul de integrare, este evident că (5.139) AMBAAMBA Γ−=ΓEste evidentă, de asemenea, relaţia: BAAMBAMBA Γ+Γ=Γ (5.140)

70

CAP 6. DINAMICA FLUIDELOR VÂSCOASE

6.1 ECUAŢIA DE MIŞCARE A UNUI FLUID REAL

La studiul curgerii fluidelor ideale nu am luat în consideraţie forţa tangenţială de frecare care ia naştere între două straturi de fluid real care alunecă unul peste altul şi care are expresia data de legea lui Newton

Stv

Fr dd

η−= (6.1)

fiind proporţională cu gradientul de viteză existent între diferitele straturi de fluid, deci în direcţie perpendiculară pe direcţia de mişcare şi cu suprafaţa S de contact între două straturi vecine. Semnul “–” arată că forţa de frecare este îndreptată în sens contrar sensului de curgere a fluidului. În expresia forţei de frecare (1.88) factorul de proporţionalitate η se numeşte coeficient de vâscozitate dinamică a cărui valoare este dependentă de natura fluidului şi de temperatură, fiind cuprins într-un interval larg de valori. În stabilirea ecuaţiei de mişcare a unui fluid vâscos trebuie luată în considerare şi această forţă de frecare internă care se opune mişcării fluidului, astfel încât pentru un element de fluid cu volumul , ecuaţia de mişcare devine: Vd

rVS FFFVtv rrrr

dddddd

−+=ρ , (6.2)

care pentru unitatea de masă de fluid este

rffptv rrr

−+−= grad1

dd

ρ, (6.3)

unde este forţa de frecare internă corespunzătoare unităţii de masă. rfr

z

0 x

zz d+z xFrd

zv x∂∂ S

xv

Fig. 6.1

Pentru deducerea expresiei lui rfr

se consideră un fluid real care se mişcă pe direcţia axei x sub forma unor pături subţiri de fluid care se freacă între ele (fig. 6.1). Din acest fluid se ia un element cu volumul care are suprafaţa de contact cu straturile vecine S şi lăţimea .

Vdzd

71

Asupra acestui element de fluid acţionează forţa de frecare la nivelul z unde

viteza lichidului este

'd rxF

( )zv x şi forţa pentru coordonata ''d rxF ( )zz d+ unde viteza

este ( ) ( ) zz

vzvzzv x

xx dd∂

∂+=+ , deci

( )

Sz

zvF x

rx dd

d ' η−=

şi

( ) Sz

vzv

zF x

xrx ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂+−=

dd

d ' η .

Forţa rezultantă care acţionează asupra elementului de fluid este

Szz

vz

FFF xrxrxrx d

dd

dd

ddd '''⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−= η

sau Vz

vF x

rx dd2

2

∂

∂−= η . (6.4)

Deci 2

2

xr dd

dd

fz

vV

Fm

F xrxrx

∂

∂−===ρη

ρ. (6.5)

Dacă gradientul de viteză nu are direcţia axei Ox, ci o direcţie arbitrară, mişcarea efectuându-se pe direcţia Ox:

xxxx v

z

v

y

v

x

v 22

2

2

2

2

2

xrf ∇−=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

ρη

ρη

. (6.6)

Pentru o mişcare a fluidului pe o direcţie arbitrară, în afara componentei pe direcţia axei Ox, există componente ale forţei de frecare şi corespunzător direcţiilor y şi z, care în analogie cu (6.3) au expresiile

xrf

yv2yrf ∇−=

ρη

, (6.6)

zv2zrf ∇−=

ρη

. (6.7)

Forţa de frecare globală care acţionează asupra elementului de fluid se obţine prin reunirea celor trei componente

vvrrr

Δ−=∇−=ρη

ρη 2

rf . (6.8)

Introducând această expresie în ecuaţia (6.1) se obţine:

( ) ( ) fvpvvtv rrrrr

+Δ−∇−=∇+∂∂

ηρ1

, (6.9)

care este ecuaţia de mişcare a unui fluid real, cunoscută sub denumirea de ecuaţia Navier – Stokes.

72

6.2 CURGEREA FLUIDELOR VÂSCOASE PRIN CONDUCTE Ecuaţia de mişcare Navier – Stokes poate fi aplicată la curgerea staţionară a unui fluid vâscos, aflat în câmp gravitaţional, printr-o conductă cilindrică orizontală de

lungime şi rază R. În aceste condiţii l 0dd

=tvr

deoarece curgerea este staţionară şi

, fiindcă greutatea fluidului nu influenţează mişcarea orizontală a acestuia, deci ecuaţia de mişcare (6.9) devine:

0=fr

. (6.10) 0=Δ−∇ vpr

ηPresupunem că în conducta orizontală curgerea are loc datorită diferenţei de presiune dintre capetele conductei şi în condiţii de staţionaritate a gradientului presiunii, poate fi înlocuit prin:

l

12 ppp

−=∇ . (6.11)

Dată fiind simetria cilindrică amişcării, este convenabil să setreacă de la coordonatele cartezienex, y, z la coordonatele cilindrice r, ϕ ,z (fig. 6.2) între care existăurmătoarele legi de transformare

22 yxr += , xy

tgarc=ϕ ,

zz = ; respectiv

ϕcosrx = , ϕsinry = , x

y

z

( )zyxP ,,

γϕ

zz = . Fig. 6.2 În coordonate cilindrice laplaceianul vitezei are expresia:

2

2

2

2

2

2 11

z

vv

rrv

rxr

v∂

∂+

∂

∂+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

=Δrrr

r

ϕ. (6.12)

Deoarece viteza de curgere a fluidului variază numai în lungul razei conductei, din expresia lui v

rΔ rămâne numai primul termen şi ecuaţia (1.98) devine:

l

12dd

dd1 pp

rv

rrr

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛η , (6.13)

care poate fi scrisă sub forma rrpp

rv

r ddd

d 12lη−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛, care prin integrare conduce

la

1

212

2dd

Crpp

rv

r +−

=lη

, (6.14)

unde deoarece pentru 01 =C 0=r (pe axa conductei) (fig. 6.2), viteza fluidului este

maximă, deci 0dd

=rv

. Ecuaţia (6.14) poate fi scrisă sub forma:

73

rrpp

v d2

d 12lη−

= (6.15)

care prin integrare devine:

∫∫−

=r

R

vrr

ppv d

2d 12

0 lη. (6.16)

l

1p 2p

rdr

R

Fig. 6.3

Limitele de integrare ale primei integrale sunt determinate de valorile vitezei la diferite distanţe faţă de axa conductei, astfel când raza este r, viteza este v, iar la peretele conductei când Rr = , viteza este nulă. Din (6.16) se obţine:

( )22124

Rrpp

v −−

=lη

. (6.17)

Cunoaşterea legii de variaţie a vitezei permite determinarea debitului volumic al fluidului care curge prin conductă, care pentru o arie este: Sd SvQV dd = . (6.18) Considerăm o pătură de fluid care are grosimea cuprinsă între şi şi a cărui suprafaţă transversală este

rd r rr d+

rrS d2d π= , (6.19) deci debitul volumic prin această suprafaţă este:

( ) ( rRrr

ppQV d

2d 2212 −

−=

lη)π

. (6.20)

Debitul total al fluidului prin conductă este

( ) ( ) ( ) 412

0

22128

d2

Rpp

rRrrpp

QR

Vll η

πη

π −=−

−= ∫ (6.21)

Relaţia (6.21) este relaţia Hagen – Poiseuille şi ea arată că în cazul unei curgeri laminare a unui fluid real printr-o conductă orizontală, debitul volumic al fluidului este proporţional cu puterea a patra a razei conductei şi invers proporţional cu lungimea ei. Caracterizarea regimului de curgere laminar sau turbulent prin conductă se face cu ajutorul numărului adimensional al lui Reynolds

ηρ vR

Re2

= . (6.22)

Astfel, dacă curgerea este laminară şi este turbulentă dacă . 2300<eR 2300>eR

74

7 MIŞCAREA POTENŢIALĂ 7.1. Proprietăţile principale ale mişcării potenţiale

Mişcarea fluidului în care vectorul turbion este nul în orice moment şi în orice

punct din spaţiul mişcării se numeşte mişcare potenţială. Având deci:

0y

vxv

21

0xv

zv

21

0z

vyv

21

xyz

zxy

yzx

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂=ω

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

=ω

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

=ω

(7.1)

observăm că aceste relaţii sunt satisfăcute numai dacă există o funcţie , care satisface condiţiile:

( t,z,y,xϕ )

;;;z

vy

vx

v zyx ∂∂

=∂∂

=∂∂

=ϕϕϕ (7.2)

ceea ce înseamnă ϕ∇=v (7.3)

Funcţia ( tzyx ,,, )ϕ se numeşte potenţialul vitezelor. Aşadar, în mişcarea potenţială, proiecţiile vitezei pe axele x, y şi z sunt egale

respectiv cu derivatele funcţiei φ după aceste direcţii. Pentru a arăta că această proprietate se menţine pentru orice direcţie,

considerăm în curentul potenţial un punct M, prin care fluidul trece cu viteza v ;

y

z

x

S

vs

v

s

Fig. 7. 1

75

Fie s o direcţie arbitrară ce trece prin punctul M (fig. 6.1). Notând cosinuşii directori ai direcţiei s respectiv prin ( )xs,cos , ( )ys,cos şi

( )zs,cos , versorul direcţiei s va fi: ( ) ( ) ( )kzsjysixss ,cos,cos,cos0 ++= (7.4) Pe de altă parte proiecţia vectorului v pe direcţia s este dată de relaţia: ( ) ( ) ( )zsvysvxsvsvv zyxs ,cos,cos,cos ++=⋅= (7.5)

care, în cazul mişcării potenţiale, ia forma:

( ) ( ) ( )zsz

ysy

xsx

vs ,cos,cos,cos ⋅∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

=ϕϕϕ (7.6)

Deoarece:

( )

( )

( )dsdzzs

dsdyys

dsdxxs

=

=

=

,cos

,cos

,cos

(7.7)

relaţia (6.6) va reprezenta chiar derivata potenţialului vitezelor după direcţia s:

sds

dzzds

dyyds

dxx

vs ∂∂

=⋅∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

=ϕϕϕϕ (7.8)

Din cele de mai sus rezultă că, în curentul potenţial, proiecţia vitezei fluidului pe

o direcţie oarecare este egală cu derivata potenţialului de viteză după acea direcţie. În particular, dacă raportăm mişcarea fuidului la un sistem de coordonate poalre

în plan, fig. , avem:

r

vr ∂∂

=ϕ (7.9)

θϕϕ∂∂⋅=

∂∂

=rs

vs1 (7.10)

deoarece

x

M

r

s

Fig. 7.2

θ

76

Dacă pe o suprafaţă din spaţiul mişcării potenţialul păstrează o valoare

constantă, suprafaţa respectivă se numeşte suprafaţă echipotenţială. Pe o suprafaţă echipotenţială avem satisfăcută relaţia:

0=⋅∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

= dzz

dyy

dxx

d ϕϕϕϕ (7.11)

sau 0rdvrdd =⋅=⋅ϕ∇=ϕ (7.12)

rd fiind un element de arc situat în planul tangent, într-un punct oarecare, la suprafaţa

echipotenţială. Din ecuaţia (7.12) deducem că fluidul traversează ortogonal suprafeţele

echipotenţiale. În cazul mişcării potenţiale, ecuaţia de continuitate devine:

0zyxz

vy

vx

v2

2

2

2

2

2zyx =

∂ϕ∂

+∂ϕ∂

+∂ϕ∂

=∂∂

+∂

∂+

∂∂ (7.13)

ceea ce înseamnă că potenţialul vitezelor, φ, este o funcţie armonică (deoarece verifică ecuaţia lui Laplace, ). 0=ϕΔ

Pentru o astfel de mişcare, circulaţia vitezei de-a lungul unei curbe oarecare, cu extremităţile A şi B, capătă forma:

AB

B

A

B

A

B

AAB ddz

zdy

ydx

xrdv ϕ−ϕ=ϕ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

∂ϕ∂

+⋅∂ϕ∂

+⋅∂ϕ∂

=⋅=Γ ∫∫∫ (7.14)

nedepinzând, deci, de forma şi lungimea curbei, ci numai de valorile potenţialului φ în punctele extreme, A şi B, ale curbei.

Dacă potenţialul vitezelor este o funcţie uniformă, din relaţia (7.14) deducem că, pe o curbă închisă (adică A=B), circulaţia vitezei este nulă.

7.2. Noţiunea de mişcare plană

Mişcarea fluidului se numeşte plană sau bidimensională, dacă toate particulele

care se găsesc pe aceeaşi perpendiculară au un plan imobil, numit plan director, se deplasează paralel cu acest plan, având toate vitezele egale, atât ca modul cât şi ca direcţie.

Mişcarea plană se produce de fapt în spaţiu, reproducându-se identic în plane paralele, de grosimea particulelor fluide. Rezultă deci că, în mişcarea plană, proiecţiile vitezelor vx, vy, vz sunt funcţii numai de două coordonate (de exemplu x şi y) şi, eventual, de timpul t, dacă mişcarea este nepermanentă.

Evident, dacă planul director (sau planul mişcării fluidului) coincide cu planul xoy

77

al unui sistem de referinţă, vom avea vz = 0. O mişcare plană devine unidimensională dacă componentele vx şi vy ale vitezei

fluidului depind numai de o singură coordonată spaţială. Această coordonată poate fi reprezentată fie printr-o combinaţie liniară între x şi y, de forma ax + by, fie printr-o coordonată curbilinie s. Mişcarea unidimensională definită mai sus va fi descrisă de unul din grupurile de relaţii:

(7.15) ( )( )

0v

t,byaxvvt,byaxvv

z

yy

xx

=

+=+=

(7.16) ( )(

0v

t,svvt,svv

z

yy

xx

=

==

)

Relaţiile (7.15), (7.16) sunt specifice mişcării unidimensionale în tuburi de curent având axa de forma unei curbe plane (paralelă cu planul director xoy), fig. , astfel încât toate particulele fluide care străbat, la un moment „t”, secţiunea plană A’AA” (normală pe axa tubului) au aceeaşi viteză instantanee. Secţiunea A’AA” este definită, după cum rezultă din fig. 7.3, prin coordonata curbilinie sAO1 = .

Dacă mişcarea unidimensională a fluidului este permanentă, relaţiile (7.15) şi (7.16) se simplifică corespunzător, prin suprimarea variabilei „t”.

O

x

y

A A’

A”

O1

s

Fig. 7.3

78

Într-o mişcare plană ecuaţia diferenţială a liniilor de curent, exprimată în funcţie de coordonatele carteziene x şi y, capătă forma:

yx v

dyvdx

= (7.17)

echivalentă cu: (7.18) 0dxvdyv yx =−

Cum într-o mişcare plană vz = 0, ecuaţia de continuitate se va reduce la:

0yv

xv yx =

∂

∂+

∂∂ (7.19)

Atunci când vom vorbi despre debitul fluidului printr-o curbă vom înţelege, de fapt, debitul printr-o suprafaţă cilindrică având generatoarea normală pe planul mişcării, de lungime egală cu unitatea.

79

8. ANALIZA DIMENSIONALĂ

8.1. Mărimea fizică şi ordinul ei de mărime Conform materialismului, materia reprezintă realitatea obiectivă ce există în afara

noastră şi independent de conştiinţa noastră, care, acţionând asupra organelor de simţ,

provoacă senzaţiile.

În ce priveşte starea fizică a materiei, aceasta se caracterizează prin mărimile ei

fizice, ca de exemplu: lungime, timp, viteză, masă, forţă, impuls etc.

Orice mărime fizică se caracterizează printr-o anumită dimensiune. Măsurarea

unei mărimi fizice se face prin compararea ei pe cale experimentală cu o mărime de

aceeaşi natură, aleasă arbitrar şi convenţional, care poartă numele de unitate de

măsură. Rezultatul măsurării este un număr abstract, numit valoarea numerică a acelei

mărimi, care arată de câte ori este cuprinsă unitatea de măsură în mărimea fizică

respectivă. Rezultă deci că pentru a măsura o mărime fizică oarecare trebuie să

precizăm în prealabil unitatea ei de măsură şi să dispunem apoi de mijloace tehnice

care să permită compararea mărimii cu unitatea ei. Se observă că o mărime fizică se

poate exprima sub forma unui produs simbolic între valoarea ei numerică, care este un

număr abstract şi unitatea ei, care include dimensiunea, adică:

mărimea fizică = valoarea numerică x unitatea

O corelaţie între mai multe mărimi fizice determină un fenomen fizic. Considerând

un fenomen fizic descris de ecuaţia:

mx

my

dd

z = (8.1)

ne propunem să stabilim legea de variaţie a lui z în funcţie de x şi y, care sunt două

mărimi fizice oarecare.

Observăm că pentru aceasta nu este necesară cunoaşterea concretă a funcţiei

, deoarece prin calculul derivatei de ordinul m dispar toţi termenii în x, ridicaţi la

o putere mai mică decât m. Să admitem că funcţia

( )xfy =

( )xfy = este un polinom oarecare,

din care noi putem reţine numai termenul cu exponentul cel mai mare.

80

Fie deci . maxy =

Atunci avem a!mdd

z mx

my == şi cum mx

ya = rezultă

mxy!mz = (8.2)

unde x şi y sunt orice valori care corespund egalităţii ( )xfy = .

Întrucât m! este o constană, rezultă că legea de variaţie a lui z în funcţie de x şi y

este:

mmmx

my

xy~

xy!m

dd

z == (8.3)

ceea ce înseamnă că z variază direct proporţional cu y şi invers proporţional cu x la

puterea m.

Uneori se obişnuieşte să se spună că mx

my

dd

are ordinul de mărime mmy . În

particular, dacă m=1 ecuaţia (8.3) devine

xy

dxdyz == (8.4)

deoarece, în acest caz, funcţia y=ax este ecuaţia unei drepte.

8.2. Mărimi fizice fundamentale şi derivate Mărimile fizice se împart în două grupe:

mărimi fizice care se pot defini în funcţie de alte mărimi cunoscute, cum este, de

exemplu, relaţia de definiţie a densităţii:

VM

=ρ

mărimi fizice care nu se pot defini prin nici un fel de relaţii între alte mărimi, cum

sunt, de exemplu, lungimea şi timpul.

Existenţa unor mărimi care nu se pot defini în funcţie de altele se datoreşte

faptului că numarul mărimilor fizice este cu şase unităţi mai mare decât numărul relaţiilor

principale între mărimile fizice.

81

Necesitatea definirii tuturor mărimilor a impus deci alegerea a şase mărimi fizice

ca mărimi fundamentale şi exprimarea în funcţie de acestea a tuturor celorlalte mărimi.

Mărimile fizice fundamentale nu se definesc deci în funcţie de alte mărimi, ci se

definesc prin stabilirea unităţilor de măsură şi prin indicarea procesului lor de măsurare.

Mărimile fundamentale se aseamănă dintr-un anumit punct de vedere cu necunoscutele

principalele ale unui sistem nedeterminat.

Toate mărimile fizice care se definesc în funcţie de mărimile fundamentale se

numesc mărimi derivate.

Funcţiile de mărimi fundamentale, care stabilesc expresiile mărimilor derivate,

trebuie să satisfacă condiţia ca raportul valorilor a două mărimi derivate, de aceeaşi

natură, să rămână constant când se schimbă unităţile de măsură ale mărimilor

fundamentale.

8.3. Principiul omogenităţii dimensionale

Orice ecuaţie, corect stabilită, care descrie un fenomen fizic, trebuie să fie

omogenă dimensional, adică toţi termenii ei trebuie să aibă aceeaşi dimensiune.

Ideea omogenităţii dimensionale a fost introdusă pentru prima oară de către

Fourier, la începutul secolului XIX, în lucrarea sa „Theorie de la chaleur”.

Ulterior ideea lui Fourier este preluată de mulţi oameni de ştiinţă ca Bertrand,

Stokes, Savart, Froude, Reynolds şi alţii, care au stabilit o serie de legi de importanţă

fundamentală.

Reyleigh este însă primul care a analizat condiţiile în care procedeul indicat de

Fourier poate fi folosit ca metodă generală de cercetare, contribuind pe această cale la

fundamentarea teoriei analizei dimensionale şi la impunearea principiului omogenităţii

dimensionale ca un principiu fundamental, care stă la baza edificiului întregii ştiinţe.

Analizând în lumina concepţiei materialist-dialectice (potrivit căreia materia şi

fenomenele din natură au o existenţă independentă de conştiinţa noastră) principiul

omogenităţii dimensionale (potrivit căreia toate fenomenele din natură pot fi descrise

numai de funcţii omogene) se poate concluziona că fenomenele din natură sunt

independente structural de alegerea unităţilor de măsură ale mărimilor fundamentale

82

care intervin în structura fenomenelor, ceea ce cu alte cuvinte se poate exprima astfel:

dacă fenomenele fizice există independent de conştiinţa noastră atunci şi funcţiile

matematice prin care ele se exprimă trebuie să fie independente de conştiinţa noastră

de unde concludem că aceste funcţii trebuie să fie neaparat funcţii omogene

dimensional, pentru că numai acestea nu depind de unităţile de măsură fundamentale

adoptate de oamnei.

Se poate deci afirma că principiul omogenităţii dimensionale, care stă la baza

materialismului dialectic şi al întregii ştiinţe, reprezintă din punct de vedere matematic

adevărul fundamental pe care-l postulează din punct de vedere filozofic materialismul.

Este evident că în afara acestui principiu, cu toate impicaţiile lui, ştiinţa nu s-ar fi

putut dezvolta sub nici o formă.

8.4. Metodele analizei dimensionale

Formularea raţională a unui fenomen fizic oarecare se poate face, în cadrul

analizei dimensionale, prin două metode:

metoda Rayleigh

metoda (sau teorema) π.

Pentru a putea aplica aceste metode trebuie să cunoaştem numai mărimile fizice

care intervin în structura fenomenului, nu şi ecuaţiile diferenţiale care descriu

fenomenul.

Cunoscându-se mărimile fizice, fenomenul fizic studiat poate fi considerat,

conform metodei Rayleigh, ca fiind proporţional cu un produs de puteri ale acestor

mărimi fizice. Punând condiţia omogenităţii dimensionale pentru cei doi membrii ai

egalităţii obţinute rezultă un sistem de ecuaţii, ale cărui soluţii reprezintă exponenţii

mărimilor fizice.

Deoarece, în fenomene mai complexe, numărul ecuaţiilor este mai mic decât

numărul necunoscutelor, rezolvarea sistemului conduce la exprimarea anumitor

necunoscute în funcţie de celelalte, ceea ce uneori face dificilă scrierea relaţiei finale a

fenomenului fizic studiat. Ca o regulă generală, trebuie să observăm că, dacă numărul

83

mărimilor fizice care intervin în structura fenomenului este mai mare decât numărul

mărimilor fundamentale, în expresia finală căutată vor apărea anumite mărimi complexe

adimensionale, al căror număr este egal cu numărul mărimilor fizice minus numărul

mărimilor fundamentale. Această metodă se aplică uşor când fenomenul fizic studiat

cuprinde până la cinci sau şase mărimi fizice, deoarece în acest caz alcătuirea mărimilor

complexe adimensionale nu prezintă dificultăţi prea mari.

În cazul când numărul mărimilor fizice care influenţează fenomenul studiat trece

de cinci sau şase alcătuirea mărimilor complexe adimensionale devine foarte dificilă; în

asemenea împrejurări se foloseşte teorema π.

Aplicaţie:

Să se determine prin metoda Rayleigh expresia vitezei de cădere în vid a

corpurilor fără viteză iniţială, cunoscând că aceasta este în funcţie de acceleraţia

gravitaţională g şi de înălţimea de cădere h.

Conform metodei Rayleigh vom scrie deci:

(8.5) yx hgkv =

de unde rezultă ecuaţia dimensională

yx

2 msm

sm

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (8.6)

Punând condiţia omogenităţii dimensionale pentru cei doi membrii din această

ecuaţie rezultă sistemul de ecuaţii:

(8.7) x21yx1

−=−+=

cu

21yx == (8.8)

Deci

hgkv ⋅= (8.9)

Constanta k se determină pe cale experimentală şi are valoarea 2 .

84

Teorema π

Această teoremă, enunţată de Vaschy şi precizată ulterior de Buckingham, se

enunţă astfel:

„Dacă o funcţie de mai multe mărimi fizice este dimensional omogenă, ea poate fi

redusă întotdeauna la o funcţie de un număr mai mic de variabile adimensionale”.

În conformitate cu această teoremă, funcţia omogenă, implicită, de mai multe

mărimi fizice, care descrie un fenomen fizic oarecare:

( 0b,...,b,a,...,a,af n1kk21 ) =+ (8.10)

unde ... reprezintă mărimile fundamentale, iar mărimile derivate, se

reduce la o mărime o funcţie de un număr mai mic de variabile adimensionale.

1a ka n1k b,...,b +

( ) 0,...,, kn21 =πππϕ −

unde mărimile adimesnionale au forma:

∏∏∏=

=

−=

=

+=

=

+ =π=π=π ki

1i

pi

nknki

1i

ni

2k2ki

1i

mi

1k1

iii a

b,...;a

b;a

b

Se observă că fiecare mărime complexă, adimensională se obţine raportând

fiecare mărime derivată la un produs de puteri ale mărimilor fundamentale.

După Buckingham şi alţi autori, numărul complecşilor adimensionali care intervin

într-un fenomen oarecare este deci egal cu numărul „n” al mărimilor fizice, care intervin

într-un fenomen, minus numărul „k” al mărimilor fundamentale.

Vom vedea că această regulă de calcul nu este infailibilă.

Trecând peste demonstraţia teoremei π să analizăm modul de aplicare al ei.

Se cunosc trei metode de aplicare a teoremei π: primele două depind de felul

cum se aleg mărimile fundamentale, iar a treia metodă se bazează pe utilizarea teoriei

ecuaţiilor algebrice, liniare şi omogene.

Ca mărimi fundamentale pot fi alese fie mărimile fundamentale ale sistemului de

unităţi în care se lucrează fie un număr oarecare de mărimi fizice, care intervin în

fenomenul studiat, alese independent de mărimile fundamentale ale sistemului de unităţi

utilizat.

85

În acest ultim caz, mărimile fundamentale trebuie să îndeplinească următoarele

condiţii:

- să independente dimensional, adică dimensiunile unei mărimi fundamentale să nu se

poată obţine din nici un fel de combinare a dimensiunilor celorlalte mărimi fundamentale;

- dimensiunile mărimilor fundamentale să permită exprimarea dimensională a tuturor

mărimilor derivate de care depinde fenomenul.

8.5. Noţiuni despre similitudine

8.5.1. Folosirea metodelor

Fenomenele fizice pot fi studiate atât pe cale teoretică cât şi pe cale

experimentală. Experienţele de studiu pot fi făcute fie direct pe prototip, adică pe

obiectele în mărimea lor naturală, fie în laborator pe modele, adică pe obiectele reduse

la scară.

Modelul reprezentând prototipul la altă scară, între model şi prototip există un

raport de asemănare (asimilitudine) geometrică. La un punct al modelului corespunde

numai un punct al prototipului şi invers. Două puncte care se corespund (dispuse deci

identic pe model şi prototip) se numesc puncte omologe. Punctele omologe pot

determina drepte omologe, suprafeţe omologe şi volume omologe.

Uneori, în studiul unor anumite fenomene pe model, similitudinea geometrică mai

trebuie completată cu similitudinea rigidităţilor şi a distribuirii maselor pe model şi pe

prototip. Când se studiază fenomene variabile în timp apare noţiunea de timpi omologi.

Timpii omologi sunt timpii în care se produc pe model şi pe prototipul său aceleaşi

fracţiuni din fenomenul variabil cercetat.

8.5.2. Definiţia similitudinii complete

Pentru ca fenomenul reprodus pe model să fie absolut identic cu fenomenul pe

prototip, pe lângă similitudinea geometrică dintre model şi prototip – extinsă la condiţiile

86

limită şi caracterizată printr-un raport de similitudine geometrică – mai trebuie să se

realizeze similitudinea tuturor mărimilor fizice care intră în structuta fenomenului studiat.

Aceasta înseamnă că în fiecare pereche de puncte omologe la timpi omologi,

fiecare mărime fizică trebuie să determine prin valorile ei de pe prototip şi de pe model

un raport constant, independent de alegerea punctelor omologe.

Toate aceste rapoarte se numesc rapoarte de similitudine sau scările mărimilor

fizice. Ca şi mărimile fizice, scările pot fi fundamentale şi derivate. Scările mărimilor

fundamentale se numesc scări fundamentale, iar scările mărimilor derivate se numesc

scări derivate. În sistemul S.I. sunt deci şase scări fundamentale: λ pentru lungimi, μ

pentru mase, τ pentru timpi, α pentru intensităţile curenţilor electrici, θ pentru temperaturi

şi δ pentru intensităţile luminoase.

Având aceeaşi structură ca şi relaţiile de definiţie ale mărimilor derivate, scările

derivate – notate prin litera K însoţită de un indice, care precizează mărimea derivată

respectivă – se pot stabili uşor în funcţie de scările fundamentale.

De exemplu, scările pentru viteze, acceleraţii şi forţe se obţin imediat scriind:

τλ

===

n

m

n

n

m

nv

tltl

vvK (8.11)

2m

na a

aKτλ

== (8.12)

2mm

nn

m

nF am

amFFK

τλ

⋅μ=⋅⋅

== (8.13)

Alături de scări, teoria similitudinii foloseşte, de asemenea, şi mărimile complexe

adimensionale, care se pot forma din mărimile fizice care intervin în structura

fenomenului examinat.

În teoria similitudinii mărimile complexe adimensionale se numesc criterii de

similitudine sau invarianţi de similitudine şi poartă numele savanţilor care au lucrat în

domeniul respectiv al ştiinţei, notându-se fie prin simboluri compuse din literele iniţiale

ale numelui lor, de exemplu Ne (Newton), Fr (Froude), Re (Reynolds), etc., fie prin litera

π însoţită de un indice.

87

În fenomene asemenea reproduse pe modele realizate după o singură scară, criteriile

de similitudine au aceleaşi valori numerice pe model şi pe prototip.

Pentru a arăta acest lucru să considerăm, de exemplu, ecuaţia scrisă sub forma:

2

m

n

m

n

m

n

m

n

tt

ll

mm

FF

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅= (8.14)

şi să separăm mărimile însoţite de acelaşi indice; avem:

4mm

2mm

4nn

2nn

ltF

ltF

⋅ρ⋅

=⋅ρ⋅ (8.15)

sau

e2m

2nm

m2n

2nn

n Nlv

Flv

F=

⋅⋅ρ=

⋅⋅ρ (8.16)

care ne spune că în fenomene asemenea, în ce priveşte forţele de inerţie, criteriul de

similitudine al lui Newton are aceeaşi valoare numerică pe model şi pe prototip.

În teoria similitudinii funcţia de mărimile complexe adimensionale se numeşte

ecuaţie criterială, ecuaţie de invariaţie criterială, şi, reciproc, dacă două fenomene au

aceeaşi ecuaţie criterială, ele sunt asemenea.

Stabilirea ecuaţiei criteriale este deci prima fază a studiului pe model a unui

fenomen. Similitudinea se numeşte completă dacă fiecare criteriu de similitudine

care intervine într-un fenomen păstrează aceeaşi valoare numerică pe model şi pe

prototip. Dacă nu toate criteriile de similitudine păstrează aceleaşi valori numerice pe

model şi pe prototip, similitudinea se numeşte parţială sau incompletă.

De obicei similitudinea completă a unui fenomen este însă foarte greu de realizat.

În consecinţă anumite criterii de similitudine, determinate de mărimi fizice care au

asupra fenomenului o influenţă secundară sau cunoscută, pot avea valori diferite pe

model şi pe prototip.

De exemplu, în studiul rezistenţei la înaintare a unei nave, criteriul de similitudine

în care intervine vâscozitatea fluidului nu este necesar să aibă aceeaşi valoare pe

model ca şi pe prototip deoarece rezistenţa de frecare datorită vâscozităţii poate fi

studiată pe baza teoriei stratului limită. Alteori, datorită dimensiunilor mici ale modelului,

88

evoluţia fenomenului pe model influenţată şi de mărimi fizice care nu au o importanţă

practică pentru evoluţia fenomenului pe prototip.

Efectele care inervin numai în evoluţia fenomenului pe model, având drept cauză

scara modelului, se numesc efecte de scară. Efectele de scară se fac simţite aproape în

toate studiile pe modele şi cea mai bună metodă de a le diminua constăîn construirea

de modele pe cât posibil mai mari.

În incheierea acestui paragraf, subliniem condiţiile de unicitate pe care trebuie să

le îndeplinească două fenomene pentru ca ele să fie asemenea. Acestea se compun

din:

- proprietăţile geometrice care caracterizează forme şi dimensiunile corpului sau

sistemului în care are loc procesul;

- parametrii fizici, care caracterizează proprietăţile fizice ale mediului şi ale corpului care

formează sistemul examinat;

- condiţiile marginale (la limită), care caracterizează particularităţile desfăşurării

procesului la marginile corpului;

- condiţiile iniţiale, care caracterizează desfăşurarea procesului în timp;

- interacţiunea dintre corpul examinat şi mediul exterior.

Condiţiile de unicitate trebuie să fie complet determinate matematic şi ele pot fi

date sub forma unei valori numerice, sub forma unei dependenţe funcţionale sau sub

forma unei ecuaţii diferenţiale; ele separă deci un proces, care se examinează, dintr-o

totalitate de procese descrise de aceleaşi ecuaţii.

8.5.3. Metodele de stabilire a criteriilor de similitudine

Analiza dimensională şi teoria similitudinii dispun de procedee distincte de

stabilire a criteriilor de similitudine. În cadrul analizei dimensionale dispunem de patru

procedee: un procedeu folosit de Rayleigh în aplicarea metodei sale şi încă trei

procedee privind aplicarea teoremei π (Buckingham).

În cadrul teoriei similitudinii, stabilirea criteriilor de similitudine se poate face prin

încă patru procedee: un procedeu se bazează pe folosirea directă a mărimilor fizice cu

89

rol preponderent în evoluţia fenomenului examinat, iar alte trei procedee se obţin

plecând de la ecuaţiile diferenţiale care descriu fenomenul.

În acest ultim caz distingem:

- determinarea criteriilor de similitudine plecând de la independenţa structurii ecuaţiei

faţă de variaţia scărilor mărimilor fizice care intră în ecuaţie,

- determinarea criteriilor de similitudine prin aducerea ecuaţiei respective la forma ei

adimensională,

- determinarea criteriilor de similitudine prin împărţirea ecuaţiei omogene la unul din

termenii ei.

Când se pleacă de la mărimile fizice cu rol preponderent, diferitele criterii de

similitudine se obţin scriindu-se scăderile acestor mărimi, care – exprimate în funcţie de

scările fundamentale – cu aceeaşi structură ca şi relaţiile de definiţie ale mărimilor

respective. Înlocuindu-se apoi scările fundamentale prin mărimile omologe de pe model

şi prototip, prin gruparea corespunzătoare a termenilor însoţiţi de acelaşi indice rezultă

criteriul de similitudine respectiv.

Ca exemplu să considerăm micşorarea unui fluid incompresibil, cu faţă liberă în

care acceleraţia gravitaţională g are un rol hotărâtor.

Scara acceleraţiei gravitaţiei este:

2m

ng g

gKτλ

== (8.17)

Procedând conform indicaţiilor avem:

m

2m

2n

n2

m

n

m

n

m

n

lt

tl

tt

ll

gg

⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

(8.18)

sau

mm

2

m

m

nn

2

n

n

lgtl

lgtl

⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

(8.19)

de unde rezultă complexul adimensional:

90

rmm

2m

nn

2n F

lgv

lgv

=⋅

=⋅

(8.20)

care se numeşte criteriul de similitudine Froude.

Pentru prezentarea ultimilor trei metode de stabilire a criteriilor de similitudine,

considerăm mişcare unui fluid vâscos incompresibil, în regim laminar, descrisă de

ecuaţia Navier-Stokes:

( )vvtvvp1F ∇⋅+∂∂

=Δν+∇ρ

−

(8.21)

1). Cum structura ecuţiei Navier-Stokes nu depinde de scara mărimilor fizice

care intră în expresia ei, putem presupune că, trecând de la fenomenul pe model la

fenomenul pe prototip, fiecare mărime fizică se multiplică de un număr de ori; de

exemplu, lungimea se multiplică de Kl ori, acceleraţia forţelor masice unitare de Km ori,

viteza de Kv ori, densitatea de Kρ ori, presiunea de Kp ori, vâscozitatea de Kν ori şi timpul

de Kt ori.

Fenomenul pe model fiind descris de ecuaţia (8.21), fenomenul pe prototip va fi

descris de ecuaţia:

( )vvKK

tv

KKv

KKKp1

KKK

FKl

2v

t

v2l

v

l

pm ∇+

∂∂

=Δν+∇ρ⋅− ν

ρ

(8.22)

care a fost scrisă în concordanţă cu (8.21).

Ecuaţiile (8.21) şi (8.22) având aceeaşi structură, rezultă egalităţile:

l

2v

t

v2l

v

l

pm K

KKK

KKK

KKK

K ==== ν

ρ

(8.23)

care conduc la stabilirea tuturor criteriilor de similitudine ce intervin în scurgerea fluidelor

vâscoase incompresibile. Pentru aceasta este necesar să se considere succesiv

egalitatea ultimului raport cu fiecare din celelalte patru rapoarte şi să se înlocuiască apoi

constantele K prin raportul mărimilor fizice respective măsurate pe model şi pe prototip.

Este evident că pentru oricare alt fenomen fizic procedeul acesta este principial acelaşi.

2). În continuare ne propunem să stabilim criteriile de similitudine ale aceluiaşi

fenomen fizic folosind forma adimensională a ecuaţiei .

În acest scop, pentru mărimile fizice ale acestei ecuaţii vor fi introduse

următoarele transformări,

91

(8.24) '

0'

0'

0

'0

'0

'0

'0

'0

'0

;FFF;zLz

;ttt;yLy

ppp;vVv;xLx

νν=ν==

ρρ=ρ==

Δ===

în care literele însoţite de semnul prim reprezintă mărimile adimensionale iar litere

însoţite de indicele 0 reprezintă mărimile dimensionale caracteristice în evoluţia

fenomenului (o lungime caracteristică, o viteză şi o acceleraţie caracteristică, un timp

caracteristic şi o cădere de presiune caracteristică, etc.).

Ţinând seama că mărimile L0 şi V0, t0, F0, etc. sunt mărimi constante, prin

introducerea relaţiilor (8.24) în (8.23) obţinem:

( ) ''

0

20

'

'

0

0''20

00''

00

0'0 vv

LV

tv

tVv

LVp1

LpFF ∇+

∂∂

=Δνν

+∇ρρ

Δ− (8.25)

Înmulţind această ecuaţie cu 20

0

VL , rezultă ecuaţia adimensională căutată:

( ) ''

'

'

00

0''

00

0''2

00

0'

20

00 vv

tv

tVLv

LVp1

VpF

VLF ∇+

∂∂

=Δνν

+∇ρρ

Δ− (8.26)

în care complecşii adimensionali:

h0

00e

0

00u2

00

0r

0

20

00

20 S

LtV;BLV;E

Vp;F

LgV

LFV

==ν

=ρΔ

== (8.27)

reprezintă criteriile de similitudine Froude, Euler, Reynolds şi Strouhal, ce

caracterizează mişcarea unui fluid vâscos, incompresibil, în regim laminar.

3). În sfârşit, al treilea procedeu de determinare al criteriilor de similitudine se

bazează pe omogenitatea dimensională a ecuaţiilor algebrice diferenţiale sau integrale,

care descriu fenomenele fizice şi el constă în împărţirea fiecărei ecuaţii la un termen

oarecare al ei. Este evident că orice ecuaţie omogenă se transformă prin acet procedeu

într-o ecuaţie adimensională, în care fiecare complex adimensional reprezintă unul din

criteriile de similitudine căutate.

În cazul când cei n termeni, care alcătuiesc ecuaţia fenomenului conţin şi funcţii

transcendente, alături de cel (n-1) criterii obţinute prin metoda indicată, trebuie să se

considere şi criteriile rezultate din egalarea cu o constantă a argumentelor funcţiilor

transcendente, care trebuie să păstreze aceeaşi valoare numerică pe model şi pe

92

prototip. Această condiţie este absolut obligatorie pentru obţinerea tuturor criteriilor care

caracterizează fenomenele examinate.

8.5.4. Analiza celor mai importante criterii de similitudine întâlnite în fenomenele mecanice

a. Criteriul de similitudine Reynolds

Criteriul Reynolds se poate obţine din ecuaţiile (8.23), dacă se consideră

egalitatea dintre al treilea şi ultimul raport; se observă că aceste rapoarte multiplică, în

ecuaţia (8.22), forţele de vâscozitate şi de inerţie.

Procedând astfel putem scrie:

1K

KK lv =ν

(8.28)

de unde rezultă criteriul Reynolds:

em

mm

n

nn Rlvlv=

ν=

ν (8.29)

Criteriul ν

=lvR e se mai numeşte şi numărul Reynolds şi el are o foarte mare

importanţă în problemele de hidroaerodinamică. După cum se vede, similitudinea

forţelor de vâscozitate este pe deplin asigurată, dacă numărul Re are aceeaşi valoare pe

model şi pe prototip, când cei doi curenţi au deci o turbulenţă identică. Se observă că

numărul Reynolds este direct proporţional cu raportul dintre forţa de inerţie convectivă şi

forţa de vâscozitate. În adevăr, având:

( ) 222

3 vlkl

vlkvvmFi ρρ ==∇= (8.30)

vllvl

dydvFv νρηη === 2 (8.31)

se obţine

e

22

v

i Rklvkvlvlk

FF

=ννρ

ρ= (8.32)

93

ce ne permite să apreciem care din aceste două categorii de forţe are un rol

preponderent în evoluţia fenomenului.

Cu cât numărul Reynolds este mai mic cu atât influenţa vâscozităţii asupra

mişcării fluidului este mai mare.

Pentru numere Re foarte mari, rolul preponderent îl au forţele de inerţie. Cum în

fenomene asemenea în ce priveşte forţele de vâscozitate avem , în baza

ecuaţiei (7.32) putem scrie egalitatea:

mn ee RR =

vm

im

vn

in

FF

FF

= (8.33)

sau

vm

vn

im

in

FF

FF

= (8.34)

care ne arată că similitudinea forţelor de vâscozitate şi de inerţie se realizează simultan,

aceste două categorii de forţe având aceeaşi scară.

Se observă, în sfârşit, că dcă modelul şi prototipul se deplasează în acelaşi fluid,

fiind deci şi , rezultă că: mn ν=ν mn ρ=ρ

(8.35) mmnn ρ⋅ν=ρ⋅ν

de unde

(8.36) λ⋅ν=ν nm

ceea ce înseamnă că în cadrul similitudinii Reynolds viteza modelului este mai mare

decât viteza prototipului.

Din scara vâscozităţii cinematice:

τλ

=νν

=ν

2

m

nK (8.37)

pentru rezultă relaţia de legătură dintre scara lungimilor şi scara timpului: mn ν=ν

(8.38) τ=λ2

care permite exprimarea tuturor mărimilor fizice, care ne interesează, în funcţie numai

de λ ridicat la anumite puteri.

94

b. Criteriul Froude

Procedând în mod analog ca la paragraful precedent, criteriul Froude se poate

obţine din şirul de rapoarte (8.23), dacă se consideră egalitatea dintre primul şi ultimul

raport, care multiplică forţele masice şi forţele de inerţie.

Scriind deci succesiv:

l

2v

m KKK = (8.39)

1KK

K

lm

2v =⋅

(8.40)

rezultă criteriul Froude

rnn

2n

nn

2n F

lgv

lgv

=⋅

=⋅

(8.41)

Dacă numărul Froude are aceeaşi valoare pe model şi pe prototip, curenţii

comparaţi sunt asemenea în ce priveşte forţele de gravitaţie.

Criteriul de similitudine Froude apare în toate fenomenele în care greutatea

mediului are un rol hotărâtor în evoluţia fenomenului, cum sunt, de exemplu, plutirea

navelor, zborul pe verticală a avioanelor, scurgerea râurilor, scurgerea prin orificii şi

deversare, etc..

Criteriul Froude se obţine şi ca o mărime proporţională cu raportul dintre forţele

de inerţie convectivă şi forţa de greutate:

(8.42) glF 3g ρ=

Într-adevăr:

r

2

3

22

g

i Fklg

vkglvlk

FF

=⋅

=⋅⋅ρ⋅⋅ρ⋅

= (8.43)

Prezentat sub această formă, numărul Froude ne permite să apreciem dacă în

fenomenul examinat forţele de gravitaţie sunt mai mari sau mai mici decât forţele de

inerţie. Printr-un procedeu analog cu acela de la criteriul Reynolds, se poate stabili uşor

95

că similitudinea forţelor de inerţie este realizată simultan cu similitudinea forţelor de

gravitaţie şi că aceste două categorii de forţe au aceeaşi scară.

Având în vedere că ecuaţia Navier-Stokes exprimă echilibrul dinamic al unui

volum de fluid aflat sub acţiunea forţelor mecanice, de presiune, de vâscozitate şi de

inerţie, este evident că poligonul forţelor pe model trebuie să fie asemenea cu poligonul

forţelor pe prototip, toate aceste patru categorii de forţe având aceeaşi scară. Pentru

ecuaţia (8.41) ne dă viteza modelului mn gg =

λ

= nm

vv (8.44)

După cum se vede viteza modelului este mult mai mică decât viteza prototipului,

ceea ce face realizarea acestei similitudini mult mai uşoară decât realizarea similitudinii

Reynolds, pentru care viteza modelului este mai mare decât viteza prototipului.

De aici rezultă că respectarea simultană a similitudinii Fr şi Re est imposibilă.

Din scara acceleraţiei gravitaţionale:

2m

ng g

gKτλ

== (8.45)

pentru , rezultă relaţia de legătură dintre scara lungimilor şi scara timpului: mn gg =

(8.46) 2τ=λ

c. Criteriul de similitudine Mach

Criteriul de similitudine Mach se referă la similitudinea a doi curenţi de fluid, aflaţi

sub acţiunea preponderentă a forţelor de compresibilitate şi de inerţie. După cum se

ştie, compresibilitatea fluidului nu se manifestă în mod identic la diferite viteze ale

concurenţilor. În timp ce la viteze mici fluidul poate fi considerat incompresibil, cu

creşterea vitezei curentului influenţa forţelor de compresibilitate creşte şi ea, devenind

covârşitoare la viteze cronice, când influenţa forţelor de vâscozitate şi de greutate

devine neglijabilă.

Influenţa forţelor de compresibilitate fiind deci preponderentă la viteze de

scurgere ale fluidului egale cu viteza sunetului în fluid (a), care este dată de formula:

96

ρ

=Ka (8.47)

unde K şi ρ sunt respectiv modulul de elasticitate cubică şi densitatea fluidului.

Pentru stabilirea criteriului de similitudine Mach vom pleca de la scara vitezei

sunetului în fluid:

τλ

==m

na a

aK (8.48)

Cum vitezele curentului de fluid în jurul modelului şi prototipului satisfac relaţia:

τλ

=m

n

vv (8.49)

rezultă imediat criteriul de similitudine Mach:

am

m

n

n Mav

av

== (8.50)

De aici rezultă că doi curenţi asemenea în ce priveşte forţele de compresibilitate

numai dacă ei se caracterizează prin acelaşi număr Mach.

Pentru Ma > 1, când v > a, curentul de fluid se numeşte supersonic. Pentru

numere Mach apropiate de zero, când v << a , influenţa forţelor de compresibilitate este

neglijabilă, fluidul fiin incompresibil.

Observăm, în sfârşit, că criteriul de similitudine Mach poate fi prezentat şi ca o

mărime proporţională cu rădăcina pătrată a raportului dintre forţa de inerţie convectivă şi

forţa de compresibilitate.

În adevăr, scriind forţa de compresibilitate sub forma:

(8.51) 222c lalKF ρ==

şi ţinând seama de ecuaţia (7.15):

a2

2

22

22

c

i Mkavk

lavlk

FF

==ρρ

= (8.52)

ceea ce confirmă afirmaţia de mai sus.

97

8.6. Legea modelului

După cunoaşterea criteriilor de similitudine care intră în ecuaţia criterială, înainte

de a se construi modelul fenomenului analizat, se impune stabilirea condiţiilor în care

aceste criterii păstrează valori constante pe model şi pe prototip.

Modelul fiind realizat după o singură scară, fiecare criteriu de similitudine va avea

aceeaşi valoare numerică pe model şi prototip numai dacă relaţia între scări,

corespunzătoare lui, va fi egală cu unitatea.

Cum fiecărui criteriu de similitudine îi corespunde o relaţie între scări, rezultă că

numărul relaţiilor între scări este egal cu numărul criteriilor de similitudine din ecuaţia

criterială respectivă, care, după cum se ştie, este egal cu diferenţa (n-r).

Sistemul de (n = r) relaţii între scări, care se obţine din ecuaţia criterială şi care

are n necunoscute, constituie ceea ce se numeşte „Legea modelului”.

Acest sistem fiind nederminat, întotdeauna numărul scărilor care pot primi valori

arbitrare este egal cu rangul matricei dimensionale, r.

Pentru exemplificare să considerăm forţa de împingere a unei elice de navă, care

este funcţie de densitatea ρ a apei, viteza v a navei, diametrul d al elicei, turaţia n a

elicei şi acceleraţia gravitaţiei g.

Se va neglija intenţionat influenţa vâscozităţii.

Forţa de tracţiune a elicei, F, este deci exprimată prin funcţia:

(8.53) ( g,n,d,v,fF ρ= ) Prin metode cunoscute, se stabileşte întâi ecuaţia criterială:

0v

dg,v

dn,dv

F222 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅⋅⋅ρ

ϕ (8.54)

Având trei criterii în ecuaţia criterială, legea modelului este exprimată prin

următoarele trei relaţii între scări cu şase necunoscute:

1K

KK

1K

KK

1KKK

K

2v

dn

v

dn

2d

2v

F

=⋅

=⋅

=⋅⋅ρ

(8.55)

98

Vom alege arbitrar trei scări. Acestea sunt: 1K =ρ (se lucrează cu acelaşi fluid pe

model şi pe prototip) şi 1Kg = 16Kd =λ= .

Din ecuaţiile (8.55) rezultă:

m

n3322vF

m

nvn

m

nv

FF16KK

nn

41KK

vv4K

==λ=λ⋅=

==λ

=

==λ=

(8.56)

Cum τλ

=vK din prima relaţie (8.56), obţinem:

m

n

tt4 ==λ=τ (8.57)

Aşadar mărimile pe model, exprimate în funcţie de mărimile pe prototip sunt:

4tt

16FF

n4n4vv

nm

3n

m

nm

nm

=

=

⋅=

=

(8.58)

Cunoscând viteza vm şi tracţiunea Fm, puterea pe model se poate uşor corela cu

puterea pe prototip.

99

CAP 9. STRATUL LIMITA. SOCUL HIDRAULIC

9.1 TEORIA STRATULUI LIMITÃ Reprezintã o notiune teoreticã cu aplicatii practice în special în domeniul curgerii în jurul unor profile hidrodinamice. Modelele matematice ale curgerii sunt în general complicate. În practicã s-a apelat la notiunea de strat limitã din dorinta de a simplifica modelul matematic. Astfel notiunea de strat limitã înseamnã separarea domeniului curgerii în 2 regiuni: - una în vecinãtatea profilului considerat, în interiorul cãruia fluidul este considerat real; - una în restul domeniului acolo unde fluidul se acceptã ca fiind ideal. Aceastã separare este posibilã numai în cazul unor fluide relative putin vâscoase ca apã, ulei.

ur vitezã constantã vr creste pânã la ur =const. δ grosimea stratului limitã (de unde începe sã fie viteza constantã) Atunci când viteza vr atinge 99%U, se considerã ca acolo avem limita stratului

δ este grosimea stratului limitã. Linia AF face unghi de incidenþã cu vr infinit. Situatia desenatã este o situatie favorabilã când curgerea “îmbracã“, cu performante ridicate hidrodinamice profilul si coeficientul de rezistentã la

înaintare respectiv comportamentul hidrodinamic sunt optime.

- 100 -

Deplasându-se în lungul curgerii între bordul de atac si bordul de fugã, datoritã frecãri fluidului, energia cineticã a acestuia scade. În functie de performantele aerodinamice, desprinderea profilului de stratul limitã (aparitia curgerilor inverse) mai aproape sau mai departe de bordul de fugã se produce în spatele profilului un SIAJ (o zonã de vârtejuri). SIAJ: pierderi de energie coada profilului vibreazã Desprinderea stratului limitã mãreste coeficientul de rezistentã la înaintare si conduce la vibratia profilului datoritã turbulentei. În cazul unghiurilor de incidentã mari (dacã aerul se apropie de profil pe directii oblice) desprinderea se face în apropierea bordului de atac si fenomenul prezentat se agraveazã. În practicã existã mãsuri constructiv functionale (micsorarea stratului limitã prin canale latearale practicate în profil) care sã contribuie la “lipirea“ stratului limitã si la micsorarea siajului turbulent. 9.2 INTERPRETAREA DIAGRAMEI MOODY

gvhlocal 2

2

ξ= pierderea localã a energiei; ξ - coeficientul pierderilor locale de

sarcinã;

gv

Dlhliniar 2

2

λ= λ coeficientul pierderilor liniare de sarcinã;

l lungimea tronsonului de conductã;

101

Ecuatiile lui Bernoulli între sectiunea. 1 - 2:

2,12

222

1

211

22 rhzg

vg

pz

gv

gp

+++=++ρρ

2,1rh pierderea totalã de energie de la sect. 1 la sect. 2;

liniarvcir hhhhh +++=2,1

Pentru evaluarea celor 2 tipuri de pierderi (locale sii liniare) se procedeazã astfel: -pentru pierderile locale ξ se calculeazã cu relatii semiempirice în mod tabelar; - pentru coturi (lãrgiri/îngustãri de secþiune), vane, existã date în literatura de specialitate ce specificã modul de calcul al coeficienþilor; - pentru pierderile liniare coeficientul λ se calculeazã fie cu relatii semiempirice, fie prin utilizarea de diagrame de exemplu diagrama Moody.tr

102

1. regim laminar => [ ]23000Re ÷∈ Re64

=λ

2. tranzitoriu [ 40002300Re ÷∈ ] regim

3. ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ÷∈

kD104000Re regim turbulent neted

k – rugozitatea medie absolutã a peretelui conductei;

Dk – rugozitatea medie relativã a peretelui conductei;

k> δ(Re)λλ = nu depinde de rugozitate;

4. ⎥⎦⎤⎡ ÷∈

DD 50010Re regim turbulent mixt; ⎢⎣ kk

k≈δ

)(Re,Dkλλ =

kD500Re > 5. regim turbulent rugos;

k<<δ

)(Dkλλ =

103

9.3 SOCUL HIDRAULIC

În sistemele tehnice în care existã organe, dispozitive de reglare a debitului,

,

BSERVATIE: Dacã în modelul matematic nu se tine seama de compresibilitatea

se pune problema evaluãrii fenomenelor ce se produc când vanele se închid brusc. Presupunem întâi vana complet deschisã, prin conductã se scurge un debit Qviteza de curgere fiind v0: la închiderea bruscã a vanei, dacã se ia în considerare compresibilitatea lichidului si elasticitatea peretelui conductei se poate realiza un model teoretic care sã explice socurile de presiune (variatiile de presiune care se produc în conductã). Olichidului respectiv de elasticitatea conductei, din calcul s-ar obtine un soc de presiune teoretic infinit.

0vcp ⋅⋅=Δ ρ (Jukovski) saltul ma

c= celeritatea (viteza de propagare a undelor de presiune în lichidul care curge prin

ã, limitarea acestor salturi de presiune se poate face numai prin

/

pΔ = xim de presiune;

conducta datã) În practiclimitarea vitezelor maxime de curgere. v 50 sm≅

104

CAP 10. MASINI HIDRAULICE

10.1 GENERALITÃTI Masina hidraulicã serveste la realizarea unui lucru mecanic util într-un echipament industrial oarecare, prin transformarea energiei mecanice în energie hidraulicã, dacã avem de-a face cu o pompã, sau invers dacã avem de-a face cu un motor. Existã 2 mari categorii de masini hidraulice:

• turbomasini; • masina volumicã;

Principiile de functionare sunt complet diferite, ca si domeniul de lucru. Turbomasina functioneazã la debite mari si presiuni mici, fiind folositã în general la vehicularea lichidelor, iar pompa volumicã functioneazã la presiuni mari si debite mici, lucrând cu lichide speciale (în general uleiuri de înaltã presiune), si sunt folosite în mod obisnuit în circuite de comenzi, actionãri sau transmisii hidrostatice. a). Turbopompa (fig 10.1) Piese componente: 1-rotor 2-arbore 3-lagãr 4-racord de aspiraþie 5-buton 6-stator 7-camera colectoare 8-difuzor 9-racordul de refulare 10-sistem de etansare 11-sistem de labirinturi 12-buton de golire

Pornind de la structura constructivã a pompei prezentate în figurã, functionarea acesteia este urmãtoarea: palele rotorului, prin miscarea acestuia “lovesc“ lichidul imprimându-i atât o miscare de rotatie cât si una centrifugalã (pe directie radialã); la periferia canalelor rotorice (un canal rotoric este delimitat de 2 pale succesive si de discurile fatã/spate) este colectat la periferie de cãtre carcasa spiralã, cu sectiune variabil crescãtoare în lungul curgerii, si care joacã rolul de “colector“ asigurând conducerea lichidului cãtre flansa de refulare.

La intrarea în rotor se creeazã o depresiune care conduce la aspiratia lichidului dinspre flansa de aspiratie si la închiderea circuitului hidraulic. Curgerea lichidului prin pompã se face continuu (nu pulsatoriu), prin jocurile functionale (prin labirinti) existând scurgeri de la flansa de refulare cãtre cea de aspiratie; pentru echilibrarea hidraulicã a rotorului pe discul spate sunt practicate un numãr de orificii care permit închiderea circuitului de de scurgere.

105

TUR

BO

POM

PA

106

b) Pompa volumicã (fig 10.2)

Piese componente: P-piston C-cilindru B-bielã M-manivelã CP-carcasa pompei SA-supapã de aspiraþie SR-supapã de refulare SD-sistem de distribuþie RA-rezervor de aspiraþie RR-rezervor de refulare Jocurile functionale j între piston si cilindru sunt de ordinul a 1...2 sutimi de milimetru asigurând o bunã etanseitate între elementele active piston-cilindru. Masinile volumice prezintã 2 faze distincte de funcþionare: 1) aspiratie: pistonul iese din cilindru, viteza creste, presiunea scade, supapa de aspiratie se deschide si lichidul pãtrunde din rezervorul de aspiratie în cilindru; 2) refulare: pistonul intrã în cilindru, viteza scade, presiunea creste, supapa de refulare se deschide si lichidul este evacuat din cilindru cãtre rezervorul de refulare. Debitul care curge cãtre consumator este pulsatoriu (curgerea este discontinuã), ceea ce în realitate este inacceptabil. La toate masinile volumice trebuie luate mãsuri constructive functionale pentru a “redresa“ si a “filtra“ semnalul de debit (pentru a asigura o cât mai buna continuitate a curgerii).

107

10.2 RELATIA FUNDAMENTALÃ A TURBOMASINILOR Aceastã relatie se deduce pe baza construirii triunghiurilor de viteze la intrarea si la iesirea din rotor. Curgerea lichidului prin rotor este o curgere relativã deoarece, pe de-o parte rotorul se aflã în miscare de rotaþie, si pe de altã parte fluidul se miscã în raport cu acesta. Pentru studiul miscãrii se fac o serie de ipoteze simplificatoare:

• rotorul se învârte cu viteza unghiularã constantã; • fluidul este ideal; • numãrul de pale se considerã a fi infinit.

Daca se scrie relatia lui Bernoulli în miscarea relativã si în ipoteza fluidului ideal sub forma:

2

22

22

22

1

21

21

21

22z

gp

guWz

gp

guW

++−

=++−

ρρ (10.1)

u1,2 - reprezintã viteza de transport la intrarea, respectiv /iesirea de pe palã; W1,2 – reprezintã viteza relativã; C1,2 – reprezintã viteza absolutã.

Fig 10.3

21 ,cc rr –vitezele absolute;

21 ,WWrr

–vitezele relative;

21 ,uu rr –vitezele de transport;

nn cc 21 , rr –componentele tangenþiale ale vitezelor absolute;

mm cc 21 , rr –componentele meridiane ale vitezelor absolute.

108

OBSERVATIE: Dacã sãgetile sunt în sus pentru viteza absolutã si relativã, prin conventie se considerã cã masina functioneazã ca pompã (transformã energia mecanicã în energie hidraulicã). Dacã sãgetile sunt în jos pentru viteza relativã si absolutã, masina functioneazã ca motor (transformã energia hidraulicã în energie mecanicã).

Fig 10.4

ucr – componentele tangenþiale ale vitezei absoulte;

mcr – componentele radiale ale vitezei absoute. Plecând de la aceste triunghiuri de viteze si calculând din aproape în aproape termenii cinetici din relatia lui Bernoulli, se obtine relatia:

gcuz

gc

gp

gcuz

gc

gp uu 22

2

22211

1

211

22−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

ρρ (10.2)

H1 H2In care: H1 – sarcina hidrodinamicã; reprezintã energia mecanicã specificã a lichidului la intrarea în rotor; H2 – sarcina hidrodinamicã; reprezintã energia mecanicã specificã a lichidului la iesirea din rotor.

gcucu

HHH uut

112212

−=−=∞ (10.3)

∞tH - este “sarcina“ teoreticã corespunzãtoare unui numãr infinit de pale (teoretic fluidul este ideal), deoarece nu s-a considerat variatia parametrilor cinematici si dinamici la intrarea si iesirea din rotor cu grosimea palei si cu numãrul de pale real, ci s-a plecat de la ipoteza unei repartitii uniforme de viteze si presiuni pe suprafata de intrare respectiv de iesire din rotor. Ecuatia (10.3) se numeste relatia fundamentalã a turbomasinilor. Optim, din punct de vedere teoretic ar fi ca termenul cu semnul “-“ sã fie 0, posibil numai dacã c1u=0, adicã , adicã intrarea lichidului în rotor sã fie radialã (drept, nu oblic).

o901 =α

109

10.3 CURBA DE SARCINÃ A UNEI POMPE CENTRIFUGE Pornind de la relaþia fundamentalã a turbomasinilor cu ipoteza idealã cã c1u=0 si explicitând termenii din relaþia respectivã, si anume c2u în funcþie de mãrimile constructiv-functionale ale rotorului, se obþine o relaþie de forma: (10.4) BnQAnHt −=∞

2

A ºi B sunt constante constructive aferente unei anumite pompe, n este turaþia de antrenare a pompei, iar Q debitul.

Fig 10.5 În mod uzual, . 0,902 >→< BAoβ

Fatã de aceastã situatie teoreticã se introduc factori de corectie în legaturã cu numãrul finit de pale (faptul cã existã inclusiv o grosime a palei asupra distributiei de viteze în curgere) si de faptul cã fluidul este real (vâscos). Faptul cã avem un numãr finit de pale corespunde unei translatii în jos a caracteristicii teoretice.

O primã categorie de pierderi se încadreazã în categoria pierderilor liniare (asimilãm canalele rotorice ca fiind niste conducte de o anumitã lungime pe care se produc pierderi). Pe lângã pierderi liniare mai avem si pierderi locale.

Conditia Qoptim se referã la c1u=0.

110

Fig 10.6 Fig 10.6 Pierderile locale se mai numesc si pierderi prin “soc“, în sensul cã fluidul în miscare relativã fatã de palã nemaiurmãrind profilul acesteia conduce la aparitia vârtejurilor datoritã desprinderii stratului limitã, si în consecintã la aparitia unor pierderi de sarcinã locale.

Pierderile locale se mai numesc si pierderi prin “soc“, în sensul cã fluidul în miscare relativã fatã de palã nemaiurmãrind profilul acesteia conduce la aparitia vârtejurilor datoritã desprinderii stratului limitã, si în consecintã la aparitia unor pierderi de sarcinã locale. Punctul de functionare pentru o instalatie simplã de pompare Punctul de functionare pentru o instalatie simplã de pompare

111 111

4) Cuplarea în paralel a pompelor centrifuge Când în sistem este nevoie de debite mari nu se justificã utilizarea unei pompe agabaritice, ci cuplarea în paralel a mai multor pompe mici.

Cuplarea în serie a pompelor centrifuge Când în sistem presiunea este mare, nu se poate folosi o singurã pompã, ci se folosesc mai multe pompe inseriate (se face prin montarea unui sir de rotori pe un arbore comun obtinând “pompa multietajatã“).

112