Curs Mecanica Fluidelor TDDH 2013

8/20/2019 Curs Mecanica Fluidelor TDDH 2013

1/117

UNIVERSITATEA „LUCIAN BLAGA” DIN SIBIU

FACULTATEA DE INGINERIE „HERMANN OBERTH”

EUGEN MIHAIL IONESCU

2013


2/117

Tehnoredactare şi editare computerizată: Eugen Mihail Ionescu


3/117

C U P R I N S pag.

1 Introducere 7

1.1 Obiectul cursului şi legătura cu alte discipline 71.2 Scurt istoric 7

1.3 Mărimi fizice şi unităţi de măsur ă. Sistemul Internaţional 10

2 Proprietăţile fluidelor 132.1 Clasificarea fluidelor 13

2.2 Densitatea şi greutatea specifică 142.2.1 Densitatea fluidelor monocomponente 14

2.2.2 Densitatea fluidelor multicomponente 162.3 Vâscozitatea 17

2.4 Compresibilitatea 172.5 Tensiunea interfacială şi presiune capilar ă 18

3 Statica fluidelor 21

3.1 Starea de tensiuni într-un fluid aflat în repaus 223.2 Ecuaţia microscopică a echilibrului static al fluidelor 22

3.3 Legea variaţiei presiunii într-un fluid aflat în repaus 233.3.1 Legea variaţiei presiunii într-un gaz aflat în repaus în câmpul gravitaţional terestru 23

3.3.2 Presiunea într-un fluid aflat în repaus în absenţa for ţelor masice 243.3.3 Legea variaţiei presiunii într-un lichid aflat în repaus în câmpul gravitaţional terestru 24

3.4 For ţe de presiune pe suprafeţe 25

3.4.1 For ţe de presiune pe o suprafaţă plană 253.4.1.1 For ţa de presiune pe o suprafaţă plană aflată în contact cu un lichid în repaus 253.4.1.2 For ţa de presiune pe o suprafaţă plană aflată în contact cu un gaz în repaus 26

3.4.2 For ţe de presiune pe suprafeţe curbe 26

3.4.2.1 For ţa de presiune pe o suprafaţă curbă aflată în contact cu un lichid în repaus 26

3.4.2.2 For ţa de presiune pe o suprafaţă curbă aflată în contact cu un gaz în repaus 273.4.3 For ţa de presiune exercitată de un lichid în repaus pe o suprafaţă curbă închisă. Plutirea corpurilor 27

3.5 Echilibrul relativ al lichidelor 28

3.5.1 Ecuaţia fundamentală a echilibrului relativ al lichidelor 28

3.5.2 Echilibrul relativ al lichidului dintr-un vas aflat în mişcare de rotaţie uniformă în jurul unei axe verticale 293.5.3 Echilibrul relativ al lichidului dintr-un vas aflat în mişcare de translaţie uniform accelerată 30

3.6 Probleme 30

3.6.1 Probleme rezolvate 303.6.2 Probleme propuse 33

4 Cinematica fluidelor 37

4.1 Noţiuni fundamentale de cinematica fluidelor 37

4.1.1 Parametrii cinematici ai mişcării unui fluid 374.1.2 Câmp de viteze 37

4.1.3 Linie de curent 374.1.4 Tub de curent 37

4.1.5 Fluxul vitezei 384.1.6 Rotorul vitezei 38

4.1.7 Linie de vârtej 38

4.1.8 Tub de vârtej 384.1.8 Circulaţia 38

4.2 Mişcarea de deformaţie a unui particule de fluid 39

4.3 Ecuaţia continuităţii 394.3.1 Ecuaţia microscopică a continuităţii 39

4.3.2 Ecuaţia macroscopică a continuităţii 405 Dinamica fluidelor perfecte 41

5.1 Ecuaţia microscopică a mişcării fluidelor perfecte 415.2 Ecuaţia macroscopică a mişcării fluidelor perfecte. Teorema impulsului 41

5.3 Teorema momentului impulsului 43


4/117

4 CuprinsCopyright© 2004…2013 Eugen Mihail Ionescu

5.4 Ecuaţia energiei 445.5 Aplicaţii ale teoremei impulsului pentru un tub de curent 46

5.5.1 Acţiunea fluidului asupra unei conducte curbe 465.5.2 Acţiunea jeturilor libere de fluid asupra pereţilor rigizi 46

5.5.2.1 Cazul peretelui plan de întindere infinită 46

5.5.2.2 Cazul discului de dimensiuni finite 465.5.2.3 Cazul discului de dimensiuni finite cu marginea curbată în unghi drept spre amonte 47

5.5.3 Turbina Pelton 47

5.5.4 Pierderea locală de sarcină hidraulică la mărirea bruscă a diametrului conductei 47

5.6 Aplicaţii ale ecuaţiei conservării energiei mecanice (ecuaţia lui BERNOULLI) 485.6.1 Tubul PITÔT 485.6.2 Sonda de presiune 485.6.3 Tubul PITÔT –PRANDTL 48

5.6.4 Tubul VENTURI 49

5.6.5 Ejectorul 495.6.6 Trompa de vid 50

5.6.7 Oscilaţia unei coloane de lichid perfect 505.8 Probleme 51

5.8.1 Probleme rezolvate 515.8.2 Probleme propuse 52

6 Mişcări potenţiale 55

6.1 Aspecte fundamentale 556.2 Mişcări potenţiale bidimensionale 55

6.2.1 Potenţialul complex al mişcării 55

6.2.2 Mişcări potenţiale simple 57

6.2.2.1 Puncte singulare 576.2.2.2 Mişcarea uniformă 57

6.2.2.3 Sursa bidimensională 586.2.2.4 Vârtejul simplu 58

6.2.2.5 Dubletul bidimensional 596.2.3 Mişcări potenţiale compuse 60

6.2.3.1 Mişcarea generată de două surse de semne contrare 60

6.2.3.2 Mişcarea f ăr ă circulaţie în jurul unui cilindru 616.2.3.3 Mişcarea cu circulaţie în jurul unui cilindru 62

6.3 Probleme 646.3.1 Problemă rezolvată 646.3.2 Problemă propusă 64

7 Dinamica fluidelor vâscoase 657.1 Aspecte generale 65

7.2 Mişcarea laminar ă 657.2.1 Ecuaţiile NAVIER – STOKES 65

7.2.2 Mişcarea laminar ă într-un tub de secţiune circular ă 67

7.3 Mişcarea turbulentă 697.4 Ecuaţia energiei 71

7.5 Probleme 727.5.1 Probleme rezolvate 72

7.5.2 Probleme propuse 738 Similitudinea şi analiza dimensională 75

8.1 Similitudinea 75

8.1.1 Aspecte generale 758.1.1 Criterii de similitudine 75

8.2 Analiza dimensională 77

8.2.1 Legea omogenităţii dimensionale 77

8.2.2 Teorema π 78

8.2.3 Aplicaţii ale teoremei π 78

8.2.3.1 Legea fundamentală a hidrostaticii 78

8.2.3.2 Legea rezistenţei opuse unui corp la înaintarea sa printr-un fluid 798.2.3.3 Legea variaţiei tensiunii tangenţiale la perete în cazul mişcării unui fluid vâscos printr-o conductă 79

8.3 Probleme 809 Mişcarea lichidelor în conducte 81


5/117

Mecanica fluidelor 5Copyright© 2004…2013 Eugen Mihail Ionescu

9.1 Pierderile longitudinale de sarcină hidraulică 819.2 Determinarea coeficientului de rezistenţă hidraulică longitudinală λ în cazul mişcării laminare 81

9.3 Determinarea coeficientului de rezistenţă hidraulică longitudinală λ în cazul mişcării turbulente 81

9.3.1 Rugozitatea conductei 819.3.2 Domeniul conductelor netede 82

9.3.3 Domeniul conductelor par ţial rugoase 82

9.3.4 Domeniul conductelor rugoase 839.4 Graficele coeficientului de rezistenţă hidraulică longitudinală λ 83

9.5 Pierderile locale de sarcină hidraulică 849.6 Clasificarea hidraulică a conductelor 85

9.7 Calculul hidraulic al conductelor pentru transportul lichidelor 869.7.1 Conducte simple 869.7.2 Conducte în serie 879.7.3 Conducte în paralel 87

9.8 Şocul hidraulic 88

9.9 Probleme 899.9.1 Problemă rezolvată 89

9.9.2 Probleme propuse 89

10 Scurgerea lichidelor prin orificii sau ajutaje şi peste deversoare 9110.1 Orificii 9110.1.1 Aspecte generale 9110.1.2 Orificii mici 9110.1.3 Orificii mari 92

10.2 Ajutaje 92

10.3 Golirea rezervoarelor de lichid prin orificii şi ajutaje 9410.4 Deversoare 94

10.5 Probleme 9610.5.1 Probleme rezolvate 96

10.5.2 Probleme propuse 9611 Mişcarea lichidelor în canale 97

11.1 Aspecte generale 9711.2 Energia specifică 9711.3 Mişcarea uniformă a lichidelor în canale 98

11.4 Valurile 10011.5 Saltul hidraulic 101

11.6 Probleme 10111.6.1 Problemă rezolvată 101

11.6.2 Probleme propuse 10212 Mişcarea gazelor 103

12.1 Propagarea micilor perturbaţii de presiune 103

12.2 Unda de şoc 10412.3 Mişcarea staţionar ă izotermă a gazelor în conducte 106

12.4 Scurgerea gazelor prin orificii 10812.5 Scurgerea gazelor prin ajutaje şi difuzoare 110

12.6 Probleme 112

Bibliografie 113

Anexe 115


6/117


7/117

INTRODUCERE

1.1. Obiectul cursului şi legătura cu alte discipline

Hidraulica generală este disciplina care studiază legile echilibrului şi mişcării fluidelor în natur ă şi în

construcţiile tehnice concepute şi realizate de societatea umană.Termenul românesc hidraulică provine din cuvântul francez hydraulique care, la rândul său, îşi are etimologia încuvântul grecesc hidraulis, derivat din hidor (apă) şi aulos (tub). Hidraulis era un instrument muzical folosit înantichitate, precursor al orgii, la care un rezervor cu apă stabiliza presiunea aerului furnizat tuburilor. Ulterior, acesttermen a fost atribuit ca denumire ştiinţei care se ocupa de folosirea apei de către om (alimentări cu apă, sisteme deirigaţii, poduri, baraje, canale pentru navigaţie, amenajarea cursurilor de apă etc.). Prin extinderea treptată a

preocupărilor hidraulicii la studiul întregului domeniu al lichidelor şi gazelor, a apărut necesar ă folosirea unei noidenumiri: mecanica fluidelor. În prezent, sintagma mecanica fluidelor este folosită pentru partea cu caracter pronunţatteoretic a disciplinei menţionate, iar termenul hidraulică desemnează partea preponderent aplicativă a acesteia, careutilizează metode experimentale şi formule empirice, alături de metodele teoretice.

Problemele asociate echilibrului şi mişcării fluidelor prin mediile permeabile (poroase şi/sau fisurate) subterane,cu particularizare la straturile saturate cu apă, ţiţei sau gaze, fac obiectul unei păr ţi distincte a hidraulicii, numită hidraulica subterană.

Hidraulica este o ramur ă a mecanicii, desprinsă, la rândul ei, din fizică. Ea dispune de informaţii de natur ă experimentală şi este guvernată de legile conservării masei şi energiei care, exprimate diferenţial, conduc la ecuaţii cuderivate par ţiale, a căror soluţionare necesită utilizarea unui aparat matematic adecvat. Operarea cu vectori (viteză,acceleraţie, for ţe etc.), în cadrul ecuaţiilor fundamentale ale echilibrului şi mişcării fluidelor implică apelarea lacunoştinţele de calcul vectorial. Utilizarea funcţiilor de variabilă complexă la studiul unor clase de mişcări ale fluidelornecesită cunoaşterea teoriei acestui tip de funcţii. În cadrul hidraulicii sunt necesare, de asemenea, elemente de calculdiferenţial şi integral, teoria câmpului, statistică matematică. metode numerice etc. Hidraulica a preluat din mecanică ecuaţiile fundamentale ale echilibrului şi mişcării corpurilor rigide, iar din disciplina elasticitate şi-a însuşit ecuaţiilecorpurilor deformabile. Noţiunile şi legile termodinamicii sunt utilizate frecvent în dinamica gazelor, precum şi laformularea ecuaţiilor de mişcare a fluidelor în cadrul metodelor termice de recuperare a petrolului sau în cazulexploatării zăcămintelor de ape geotermale.

Cunoştinţele de hidraulică sunt esenţiale pentru înţelegea ulterioar ă a noţiunilor specifice disciplinelor care

profilează specialităţile: forajul sondelor, extracţia petrolului, transportul, depozitarea şi distribuţia hidrocarburilor, precum şi ingineria zăcămintelor de hidrocarburi fluide. Dintre aceste discipline menţionăm: transportul petrolului şigazelor prin conducte, tehnologia extracţiei petrolului, tehnologia extracţiei gazelor, geologia zăcămintelor dehidrocarburi, fluide de circulaţie şi izolare, tehnologia for ării sondelor, fizica zăcămintelor de hidrocarburi, proiectareaexploatării zăcămintelor de petrol etc. Într-un cadru mai larg, legile şi noţiunile specifice hidraulicii generale suntaplicabile practic tuturor specializărilor inginereşti, iar în sfera producţiei aproape că nu există domeniu în care acesteasă nu-şi dovedească utilitatea.

1.2. Scurt istoric

Primele cunoştinţe de hidraulică datează din vremuri str ăvechi şi sunt atestate de existenţa unor baraje, apeducte,diguri de protecţie împotriva inundaţiilor, canalizări, băi publice, care au fost construite începând din mileniul 3 î.e.n. înAsia Mică, India, Egipt, China, iar mai apoi în Grecia şi Roma antică. Aceste realizări, asociate cu cele din domeniulnavigaţiei, confer ă hidraulicii, în această lungă perioadă, un caracter predominant experimental.

ARHIMEDE, savant grec din Siracuza (287…212 î.e.n.), care a adus contribuţii esenţiale în domeniul geometrieişi mecanicii, este în acelaşi timp fondatorul hidrostaticii. El a enunţat principiul care îi poartă numele şi a scris un scurttratat despre plutirea corpurilor. De la lucrarea lui ARHIMEDE şi până la tratatul privind mişcarea şi măsurarea apei,elaborat de LEONARDO DA VINCI (1452…1519), nu se cunoaşte apariţia altei lucr ări de hidraulică care să ateste preocupări ştiinţifice în acest domeniu.

Arhimede - portret ideal Leonardo Da Vinci - Simon Stevin Portretul lui Galileo Galilei,din evul mediu Autoportret (1512) de Justus Sustermans, 1636


8/117

8 Capitolul 1. IntroducereCopyright© 2004…2013 Eugen Mihail Ionescu

Conturarea hidraulicii pe bază de cunoştinţe teoretice şi experimentale are loc începând abia din secolul al XVII-lea, după perioada Renaşterii, când ideile lui ARHIMEDE au fost reluate şi duse mai departe de o pleiadă de oameni deştiinţă, dintre care cei mai proeminenţi sunt amintiţi în cele ce urmează. SIMON STEVIN , cunoscut şi sub numele deSimon de Bruges (1548…1620), matematician şi fizician flamand, care a demonstrat imposibilitatea mişcării perpetue şia studiat fracţiile zecimale, a avut contribuţii majore în hidrostatică, descoperind legile presiunii lichidelor asupra pereţilor vaselor. Fizicianul, astronomul şi scriitorul italian GALILEO GALILEI (1564…1642), unul din fondatoriimecanicii moderne prin lucrarea sa Discurs privind două noi ştiin ţ e (1638), s-a aflat printre precursorii introducerii

matematicii pentru explicarea legilor fizicii; a descoperit legea căderii corpurilor în vid, a dat o primă formulare principiului iner ţiei şi a revizuit concepţia asupra vidului; prin punerea bazelor ştiinţifice ale mecanicii, a facilitatdescoperirea legilor hidraulicii. EVANGELISTA TORRICELLI (1608…1647), matematician şi fizician italian, unul dinelevii lui GALILEI, a enunţat implicit principiul conservării energiei şi a descoperit atât efectele presiunii atmosferice (pecare a măsurat-o, construind primul barometru), cât şi legea scurgerii lichidelor prin orificii.

Matematicianul, fizicianul, filosoful şi scriitorul francez BLAISE PASCAL (1623…1662) a efectuat, până în 1652,numeroase experimente asupra presiunii atmosferice şi echilibrului lichidelor, stabilind principiul transmiterii presiuniiîntr-un fluid. Sir ISAAC NEWTON, fizician, matematician şi astronom englez (1642…1727), fondator al mecanicii clasice(prin lucrarea Principiile matematice ale filosofiei naturale, 1687), inventator al telescopului şi pionier (alături deGOTTFRIED WILHELM LEIBNITZ, 1646…1716) al calculului diferenţial, are meritul de a fi impulsionat dinamicafluidelor reale prin stabilirea legilor vâscozităţii lichidelor şi rezistenţei opuse de un fluid în repaus unui corp în mişcare.

Bazele ştiinţifice ale dinamicii fluidelor perfecte incompresibile sunt puse în secolul al XVIII-lea de către

matematicianul elveţian LEONHARD EULER (1707…1783) şi fizicianul elveţian de origine belgiană DANIEL BERNOULLI (1700…1782). LEONHARD EULER şi-a desf ăşurat activitatea la Sankt Petersburg, unde a funcţionat ca profesor lainvitaţia ţarului PETRU I CEL MARE (1682…1725) şi a avut realizări ştiinţifice remarcabile în matematică, mecanică şifizică, care au fost concretizate în domeniul hidraulicii prin stabilirea ecuaţiilor fundamentale ale staticii şi dinamiciifluidelor perfecte, demonstrarea ecuaţiei de continuitate şi formularea teoremei impulsului, pe care a aplicat-o roţilorhidraulice, creând teoria turbinelor. DANIEL BERNOULLI a publicat, în anul 1738, primul tratat de hidraulică şi a stabilitecuaţia energiei pentru un fluid în mişcare staţionar ă, cunoscută sub numele de ecua ţ ia lui Bernoulli.

Contribuţii importante la dezvoltarea hidraulicii în secolul al XVIII-lea au fost aduse şi de alte personalităţi.JEAN-BAPTISTE LE R OND D'ALEMBERT (1717…1783) a stabilit principiul echilibrului dinamic al unui fluid şi paradoxulrezultantei nule a presiunilor pe un cilindru aflat în mişcare de translaţie într-un fluid. Inginerul şi fizicianul francezHENRI PITÔT (1695…1771) a construit tubul pentru măsurarea presiunii totale a unui curent de fluid. GIOVANNIBATTISTA VENTURI, fizician italian (1746…1822), a cercetat mişcarea fluidelor prin ajutaje şi a realizat debitmetrulcare-i poartă numele. Fizicianul, matematicianul şi navigatorul francez JEAN-CHARLES DE BORDA (1733…1799) a

stabilit formula rezistenţei hidraulice locale provocate de variaţia bruscă a secţiunii conductei, iar A NTOINE DE CHÉZY (1718…1798) a preconizat relaţia de calcul a vitezei medii a lichidului într-un canal. În fine, matematicianul francezJOSEPH LOUIS DE LAGRANGE (1736…1813), fondator al calculului diferenţial şi integral, preşedinte al comisieiînsărcinate cu stabilirea sistemului de măsuri şi greutăţi care a stat la baza actualului Sistem Internaţional, a formulat,independent de L. EULER , ecuaţiile fundamentale ale dinamicii fluidelor perfecte şi a publicat tratatul de mecanică analitică.

Evangelista Torricelli Blaise Pascal Sir Isaac Newton Leonhard Euler

Daniel Bernoulli Jean-Baptiste le Rond d’Alembert Giovanni-Battista Venturi Jean-Charles de Borda


9/117


Dinamica fluidelor perfecte cunoaşte o mare dezvoltare în secolul al XIX-lea, paralel cu apari ţia dinamiciifluidelor vâscoase şi a dinamicii gazelor. Prin contribuţiile lor din această perioadă se remarcă: Sir GEORGE GABRIELSTOKES (1819…1903), care, independent de CLAUDE-LOUIS MARIE HENRI NAVIER (1785…1836) şi SIMÉON DENISPOISSON (1781…1840), a stabilit ecuaţiile mişcării laminare a lichidelor; JEAN LOUIS MARIE POISEUILLE (1799…1869),care a cercetat mişcarea lichidelor în tuburi capilare şi a stabilit legea mişcării laminare a unui lichid într-un tub; HENRIPHILIBERT GASPARD DARCY (1803…1858), care a studiat mişcarea apei în medii poroase şi a stabilit legea liniar ă afiltraţiei; OSBORNE R EYNOLDS (1824…1917), care a studiat mişcările laminar ă şi turbulentă ale lichidelor în tuburi şi a

stabilit criteriul separ ării regimului laminar de cel turbulent; WILLIAM FROUDE (1810…1879), care a studiat pe modelecomportarea navelor şi a formulat criteriul de similitudine în cazul preponderenţei for ţelor gravitaţionale şi a celor de iner ţie.

Începutul secolului XX este marcat în hidraulică prin: formularea ecuaţiilor generale ale mişcării apelorsubterane de către NICOLAI EGOROVICI JUKOVSKI (1847…1921); crearea teoriei aripii de avion de către N. E. JUKOVSKI,MARTIN WILHELM. K UTTA (1867…1944), LUDWIG PRANDTL (1875…1953), S. A. CIAPLÂGHIN; elaborarea teorieistratului limită de către L. PRANDTL; contribuţii la teoria turbulenţei aduse de GEOFFREY I NGRAM TAYLOR(1886…1975), L. PRANDTL, THEODORE VON K ÁRMÁN (1881…1963), A NDREI NICOLAEVICI K OLMOGOROV(1903…1987); cercetarea mişcării fluidelor în conducte netede realizată de PAUL R ICHARD HEINRICH BLASIUS(1883…1970); stabilirea diagramei rezistenţelor hidraulice în conducte de către JOHANN NIKURADSE (1894…1979).

Hidraulica subterană, fondată pe legea liniar ă a filtraţiei, stabilită de HENRI DARCY în anul 1856, are ca obiect, până în anul 1920, în principal, studiul mişcării apei prin medii poroase, după care obiectul ei se extinde şi asupra problemelor asociate exploatării zăcămintelor de ţiţei şi gaze. Prima monografie privind mişcarea fluidelor prin medii poroase este elaborată de L. S. LEIBENZON, în anul 1924, iar următoarea este cea a americanului MAURICE MUSKAT,

publicată în anul 1937.

În România, primele lucr ări importante din domeniul mecanicii fluidelor sunt cele ale lui V. VÂLCOVICI, din1913, prezentate în teza sa de doctorat susţinută la Göttingen. Primul doctorat susţinut în domeniul hidraulicii în ţar ă este cel al lui A. BĂRGLĂZAN, din 1940, la Timişoara, iar primul tratat românesc de hidraulică apar ţine lui DIONISIEGHERMANI (1877…1948) şi a fost publicat în anul 1942. Contribuţii însemnate la dezvoltarea hidraulicii au adus, deasemenea, GEORGE (GOGU) CONSTANTINESCU (1881…1965) (prin elaborarea teoriei sonicităţii) şi HENRI MARIECOANDĂ (1886…1972), descoperitorul efectului care îi poartă numele

Joseph-Louis de Lagrange Sir George Gabriel Stokes Claude-Louis Marie Henri Navier Siméon Denis Poisson

Jean-Louis Marie Poiseuille Henri Philibert Gaspard Darcy Osborne Reynolds William Froude

Nicolai Egorovici Jukovski Martin Wilhelm Kutta Ludwig Prandtl Geoffrey Ingram Taylor


10/117


Cercetările întreprinse de CAIUS IACOB, ELIE CARAFOLI (1901…1983), DUMITRU DUMITRESCU, CRISTEAMATEESCU, TEODOR OROVEANU, VECESLAV HARNAJ, ŞTEFAN I. GHEORGHIŢĂ şi DUMITRU CIOC au dus la îmbogăţireacunoştinţelor în domeniul mecanicii fluidelor.

GHEORGHE ALDEA şi NICOLAE CRISTEA au contribuit la dezvoltarea hidraulicii zăcămintelor de petrol şi aucreat, în cadrul Institutului de cercetări şi proiectări pentru petrol şi gaze de la Câmpina, o valoroasă şcoală decercetători în inginerie de zăcământ. NICOLAE CRISTEA a publicat, în anul 1956, primul tratat românesc de hidraulică subterană. Universitatea Petrol – Gaze din Ploieşti, prin rezultatele cercetărilor întreprinse de GRIGORE IOACHIM,GABRIEL MANOLESCU, CONSTANTIN BECA, ION CREŢU, CORNEL POPESCU şi ALEXANDRU SOARE, se poate mândri curealizări importante în domeniile tehnologiei extracţiei hidrocarburilor şi ingineriei de zăcământ.

1.3. Mărimi fizice şi unităţi de măsur ă. Sistemul Internaţional

Mărimea este un atribut al elementelor unei mulţimi de obiecte sau fenomene cărora li se poate asocia un criteriude comparaţie. Măsurarea unei mărimi constă în operaţia de comparare a ei cu o altă mărime de aceeaşi natur ă, luată drept unitate de măsur ă.

Mărimea m asociată unei mulţimi de obiecte sau fenomene fizice de aceeaşi natur ă se numeşte mărime fizică şise poate exprima ca produsul dintre un număr adimensional m şi unitatea ei de măsur ă u, astfel

.umm = (1.1)

Mărimile fizice pot fi clasificate, în funcţie de modul de stabilire a unităţilor lor de măsur ă, în trei categorii:fundamentale, suplimentare şi derivate. Mărimile fundamentale sunt cele ale căror unităţi de măsur ă sunt alese în modarbitrar. Mărimile suplimentare sunt cele ale căror unităţi de măsur ă, stabilite de asemenea arbitrar, sunt folosite pentrudeducerea unităţilor de măsur ă ale unor mărimi derivate. Toate celelalte mărimi fizice sunt derivate, iar unităţile lor de

măsur ă se deduc prin produsul sau câtul unităţilor de măsur ă ale unor mărimi fundamentale şi, eventual, suplimentare.Unităţile de măsur ă se organizează în sisteme, definite pe baza unui număr de mărimi fundamentale. În cadrul

mecanicii, pentru a defini un sistem coerent de unităţi de măsur ă sunt suficiente trei mărimi fundamentale. Astfel,sistemele CGS (centimetru – gram – secundă) şi MKfS (metru – kilogram for ţă – secundă) au ca mărimi fundamentalelungimea. masa şi timpul, respectiv lungimea, for ţ a şi timpul, ale căror unităţi de măsur ă formează numele sistemelorrespective. Pentru a acoperi toate domeniile fizicii, un sistem de unităţi de măsur ă trebuie să aibă şapte mărimi fizicefundamentale.

Ţara noastr ă, ca membr ă a Conven ţ iei metrului din 1883, a adoptat Sistemul Interna ţ ional de unit ăţ i de mă sur ă (SI) printre primele ţări din lume, în anul 1961. Ca urmare, la noi, sistemele CGS şi tehnic (MKfS) au devenit sisteme tolerate.

Începutul organizării Sistemului interna ţ ional de unit ăţ ide mă sur ă are la bază propunerea de unificare a măsurilor şigreutăţilor f ăcută la 9 martie 1790, în Franţa, de deputatulTALLEYRAND şi aprobată de Academia de Ştiinţe, la 8 mai 1790.O comisie constituită din LAGRANGE, LAPLACE, MONGE şiCONDORCET a hotărât, la 19 martie 1791, asupra stabiliriimetrului (de la metron – măsur ă, în limba greacă) ca unitate demăsur ă a lungimii egală cu a patruzecea milioana parte dinmeridianul terestru.

În cadrul evoluţiei lui, sistemul zecimal metric şi-aînceput etapele de internaţionalizare cu Comisia internaţională a

metrului, din 8…13 august 1872, care s-a întrunit din nou la 20 mai 1875 şi a obţinut, prin 17 ţări semnatare, înfiinţareaBiroului internaţional de măsuri şi greutăţi (BIPM) şi organizarea Conferinţei generale (CGPM) ale cărei decizii suntexecutate de Comitetul internaţional (CIPM).

Sistemul internaţional de unităţi de măsur ă a fost pus la punct între 1948 (la a 9-a CGPM) şi 1960 (la a 11-aCGPM). În anul 1960 s-a adoptat denumirea prescurtată SI, după care acest sistem s-a îmbogăţit la fiecare conferinţă

CGPM cu noi definiţii sau denumiri de unităţi de măsur ă. Unitatea de măsur ă a presiunii N/m2

a primit, la cea de a 14-aCGPM, din anul 1971, denumirea de pascal (Pa). La a 16-a CGPM (1979) s-a redefinit candela şi s-a introdus unitateade măsur ă sievert.

Mărimile fundamentale ale Sistemului Internaţional şi unităţile de măsur ă ale acestora sunt prezentate în tabelul 1.1.Mărimile suplimentare sunt măsura unghiului plan, cu unitatea de măsur ă radian (rad), şi măsura unghiului sferic (solid), cuunitatea steradian (sr). Anumite unităţi de măsur ă derivate au denumiri specifice, care sunt prezentate în tabelul 1.2.

Theodore von Kármán Andrei Nicolaevici Kolmogorov Henri Marie Coand ă Elie Carafoli

Tabelul 1.1

Unitatea SIMărimea fizică Denumirea Simbolul

lungimea metru mmasa kilogram kgtimpul secundă sintensitatea curentului electric amper Atemperatura termodinamică kelvin Kintensitatea luminoasă candelă cdcantitatea de substanţă kilomol kmol


11/117


Sistemul Internaţional este un sistem coerent, ceea ce înseamnă că produsul sau câtul a două unităţi de măsur ă dă direct unitatea mărimii rezultante (singurul factor numeric este 1). Astfel, raportul dintre unităţile de masă şi volum dă unitatea de măsur ă a densităţii.

Prin prefixele prezentate în tabelul 1.3 se potforma multiplii şi submultiplii zecimali ai unităţilor demăsur ă din SI.

Evoluţia Sistemului Internaţional de unităţi demăsur ă pune în evidenţă caracterul dinamic, evolutiv, alunui sistem care caută să se adapteze noilor necesităţi

ale ştiinţei şi tehnicii.În tabelul 1.4 sunt prezentate valorile factorilorde conversie a unor unităţi de măsur ă în altele, undelitera E urmată de semnele + sau – şi de două cifreindică puterea lui 10 cu care trebuie multiplicat numărulcare precede simbolul respectiv.

Tabelul 1.4

Pentru convertire din în se multiplică cu Pentru convertire din în se multiplică cu

acre m2 4,046856 E+03 grad Rankine K T k = T x/1,8

acre (S.U.A.) m2 4,046873 E+03 inch m 2,540000 E–02

amper-or ă C 3,600000 E+03 inch pătrat m2 6,451600 E–04angström m 1,000000 E–10 inch cub m3 1,638706 E–05

an civil s 3,153600 E+07 kilocalorie (IT) J 4,186800 E+08an lumină m 9,460530 E+15 kilogram for ţă N 9,806650 E+00atmosfer ă (normală) Pa 1,013250 E+05 kilowattor ă J 3,600000 E+06

atmosfer ă (tehnică) Pa 9,806650 E+04 micron m 1,000000 E–06 bar Pa 1,000000 E+05 milă (internaţională) m 1,609344 E+03

barre (42 gal) m3 1,589873 E–01 milă marină m 1,852000 E+03 barye Pa 1,000000 E–01 milibar Pa 1,000000 E+02

Btu (International Table) J 1,055056 E+03 milidarcy m2 9,869233 E–16Bushel (S.U.A.) m3 3,523907 E–02 ounce kg 2,834952 E–02

calorie (IT) J 4,186800 E+00 parsec m 3,085678 E+16

carat metric kg 2,000000 E–04 poise Pa·s 1,000000 E–0lcentimetru col. apă (4 °C) Pa 9,806380 E+01 pound-mass kg 4,535924 E–01

cm col. mercur (0 °C) Pa 1,333220 E+03 pound-force N 4,448222 E+00centipoise Pa·s 1,000000 E–03 pound-force pe inch pătrat (psi) Pa 6,894757 E+03

centistokes m2/s 1,000000 E–06 pound-mass pe inch cub kg/m3 2,767990 E+04cal putere W 7,354988 E+02 poundal N 1,382550 E–01

ciclu pe secundă Hz 1,000000 E+00 quart (S.U.A.) m3 9,463529 E–04

Tabelul 1.2

Unitatea de măsur ă SIMărimea fizică Denumirea Simbolul Expresia în alte

unităţi SIExpresia în unităţiSI fundamentale

frecvenţă hertz Hz – s –1 for ţă newton N – kg·m·s –2 presiune, tensiune mecanică pascal Pa N/m2 kg·m –1·s –2 energie, lucru mecanic, cantitate de căldur ă joule J N·m kg·m2·s –2 putere, flux energetic watt W J/s kg·m2·s –3 cantitate de electricitate, sarcină electrică coulomb C – A·s potenţial electric, tensiune electrică, tensiuneelectromotoare

volt V W/A kg·m2·s –3·A –1

capacitate electrică farad F C/V kg –1·m –2·s4·A2 rezistenţă electrică ohm Ω W/A2 kg·m2·s –2·A –2 conductanţă siemens S A/V kg –1·m –2·s3·A2 fluxul inducţiei magnetice weber Wb V·s kg·m2·s –2·A –1 inducţie magnetică tesla T Wb/m2 kg·s –2·A –1 inductanţă henry H Wb/A kg·m2·s –2·A –2 temperatura Celsius grad Celsius °C – Kfluxul luminos lumen lm – cd·sriluminarea lux lx lm/m2 cd·m –2·sr

activitatea radiaţiilor ionizante becquerel Bq – s –1 doza absorbită, energie masică comunicată,kerma, indice de doză absorbită

gray Gy J/kg m2·s –2

Tabelul 1.3

Factor demultiplicare

Prefix Simbol Factor demultiplicare

Prefix Simbol

1024 yotta Y 10 –1 deci D1021 zetta Z 10 –2 centi C1018 exa E 10 –3 mili M1015 penta P 10 –6 micro μ

1012

tera T 10 –9

nano N109 giga G 10 –12 pico p106 mega M 10 –15 femto f103 kilo k 10 –18 atto a102 hecto h 10 –21 zepto z101 deca da 10 –24 yocto y


12/117


Tabelul 1.4 (continuare)

Pentru convertire din în se multiplică cu Pentru convertire din în se multiplică cu

dalton kg 1,660530 E–27 rad Gy 1,000000 E–02

darcy m2 9,869233 E–13 slug kg 1,459390 E+01dynă N 1,000000 E–05 stokes m2/s 1,000000 E–04

electronvolt J 1,602190 E–19 stone kg 6,350300 E+00

erg J 1,000000 E–07 tex kg/m 1,000000 E–06erg pe secundă W 1,000000 E–07 ton (register) m3 2,831685 E+00

foot m 3,048000 E–01 ton (long, 2.240 lb) kg 1,016047 E+03foot pătrat m2 9,290304 E–02 ton (short, 2.000 lb) kg 9,071847 E+02

foot cub m3 2,831685 E–02 tonne kg 1,000000 E+03

galon (S.U.A.) m3 3,785412 E–03 torr (mm Hg, 0 °C) Pa 1,333220 E+02grad centezimal rad 1,570796 E–02 tour (o tur ă) rad 6,283185 E+00grad sexagesimal rad 1,745329 E–02 Yard m 9,144000 E– 01

grad Celsius K T k = T c + 273,15 Yard pătrat m2 8,361274 E–01

grad Fahrenheit °C T c = (T f – 32)/1,8 Yard cub m3 7,645549 E–01

grad Fahrenheit K T k = (T f + 459,68)/l,8 Yard cub pe minut m3/s 1,274258 E–02


13/117

2. PROPRIET ĂŢILE FLUIDELOR

2.1. Clasificarea fluidelor

Fluidele sunt corpurile care-şi schimbă forma f ăr ă a opune rezistenţe apreciabile la deformarea lor. Ele se împartîn lichide şi gaze.

Lichidele iau forma vaselor în care sunt puse, prezintă suprafaţă liber ă şi sunt fluide foarte puţin compresibile.Gazele sunt fluide cu compresibilitate mare şi se caracterizează prin absenţa for ţelor de coeziune, ceea ce le face

să ocupe întregul volum disponibil.Fluidele pot fi monofazice sau multifazice, după cum sunt formate dintr-o singur ă fază sau din mai multe faze.

Fluidele monofazice sunt fluide omogene, în timp ce fluidele multifazice pot fi pseudoomogene (cu comportare similar ă celei a fluidelor omogene) sau eterogene. Un fluid multifazic poate fi bifazic sau trifazic, cele trei faze fiind gazoasă,lichidă şi solidă. Fluidele bifazice pot fi, deci, de următoarele patru tipuri: gaz – lichid, lichid – lichid, gaz – solid saulichid – solid.

Lichidele şi gazele pot fi monocomponente sau multicomponente, după cum sunt formate dintr-o singur ă substanţă chimică, respectiv din mai multe substanţe. Pe de altă parte, două sau mai multe lichide aflate în contact pot fi

miscibile sau nemiscibile, după cum se amestecă între ele f ăr ă a se forma interfeţe, respectiv r ămân separate de interfeţe.Fluidele bifazice, reprezentate prin cele patru tipuri enumerate anterior, pot fi grupate în:a) dispersii fine, constând fie din bule mici de gaz, picături de lichid nemiscibil sau particule solide dispersate,

mai mult sau mai puţin uniform, într-o fază lichidă continuă, fie din picături mici de lichid sau particule solide finedispersate într-o fază gazoasă continuă1;

b) dispersii grosiere, formate fie din bule mari de gaz, picături mari de lichid nemiscibil sau particule solide maridispersate în faza lichidă continuă, fie din picături mari de lichid sau particule solide mari dispersate într-o fază gazoasă continuă;

c) macroamestecuri, constituite din spume sau amestecuri puternic turbulente ale unui gaz cu un lichid sau adouă lichide imiscibile, în condiţiile în care nici una din faze nu este continuă;

d) fluide stratificate, constituite din amestecuri gaz–lichid sau lichid–lichid (nemiscibile), în condiţiile în careambele faze sunt continue.

Dispersiile în cadrul cărora particulele fazei discontinue sunt suficient de fine (având dimensiuni sub 1 μm) potfi stabile fie sub acţiunea mişcării browniene sau a sarcinilor electrostatice, în absenţa mişcărilor turbulente, fie caurmare a proprietăţilor de consistenţă ridicată sau specială a fazei continue. Aceste suspensii pot fi considerate pseudoomogene, iar comportarea lor la curgere poate fi inclusă în aceea a fluidelor monofazice. Dispersiile de fineţemoderată, care nu sunt stabile în repaus sau în mişcare laminar ă, dar care pot fi menţinute în stare de dispersie aproapeuniformă în condiţii de mişcare turbulentă, pot fi incluse în domeniul comportării fluidelor monofazice aflate în mişcareturbulentă.

Fluidele omogene sau fluidele pseudoomogene cu comportare similar ă acestora se clasifică, în funcţie decomportarea lor la curgere, în fluide vâscoase şi fluide vâscoelastice. Fluidele vâscoase pot avea, în cadrul mişcării lor,o comportare independentă sau dependentă de timp. Fluidele independente de timp care, în stare de repaus, prezintă tensiuni tangenţiale nule, iar în stare de mişcare laminar ă au tensiunile tangenţiale propor ţionale cu gradientul vitezei senumesc fluide newtoniene. Restul fluidelor vâscoase şi vâscoelastice se numesc fluide nenewtoniene şi sunt clasificateca în tabelul 2.1. Studiul fluidelor nenewtoniene constituie obiectul reologiei. Hidraulica se ocupă îndeosebi de fluidelenewtoniene, ale căror principale proprietăţi sunt densitatea, vâscozitatea, compresibilitatea şi tensiunea interfacială.

2.2. Densitatea şi greutatea specifică

Densitatea sau masa specifică ρ a unui fluid este, prin definiţie, raportul dintre masa m a fluidului şi volumul V ocupat de acesta, adică

,V m=ρ (2.1)

Densitatea are formula dimensională ML –3 şi unităţile de măsur ă: kg/m3 în SI, g/cm3 în sistemul CGS şikgf·s2/m4 în sistemul MKfS.

Inversul densităţii, v s = 1/ρ, se numeşte volum specific.Greutatea specifică, notată cu γ, este definită ca raportul dintre greutatea G a fluidului şi volumul V ocupat de

acesta, adică ,V G=γ (2.2)

are expresia dimensională ML –2T –2 şi se măsoar ă în N/m3 în SI, dyn/cm3 în sistemul CGS, respectiv kgf/m3 în sistemul MKfS.

1 Exemple (în ordinea din text): spume, emulsii, suspensii, ceaţă. fum


14/117

14 Capitolul 2. Proprietăţile fluidelorCopyright© 2004…2013 Eugen Mihail Ionescu

Legea a doua a mecanicii clasice leagă greutatea specifică şi densitatea prin relaţia, g ρ=γ (2.3)unde g este acceleraţia gravitaţională, cu valoarea standard 9,80665 m/s2. Pentru latitudinea Bucureştiului, g = 9,806m/s2, valoare recomandată pentru aplicaţiile numerice.

2.2.1. Densitatea fluidelor monocomponente

Ecuaţia care corelează parametrii de stare ai unui fluid (presiune, volum sau densitate şi temperatur ă) se numeşteecua ţ ie de stare. Cea mai simplă şi cunoscută ecuaţie de stare generală este cea propusă de VAN DER WAALS (1873),care are forma

( ) ,2

T Rbvv

a p u sm

sm

=−⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ + (2.4)

unde,

64

27 22

cr

cr u

p

T Ra = (2.5)

,8 cr

cr u

p

T Rb = (2.6)

p este presiunea, v sm – volumul molar, T – temperatura absolută, Ru = 8.314,3 J/(kmol·K) – constanta universală agazelor, T cr – temperatura critică, pcr – presiunea critică,

Această ecuaţie reproduce cu aproximaţie comportarea fluidelor monocomponente, dar nu este aplicabilă în zona bifazică şi nu dă rezultate bune în zona lichidului sau lângă zona bifazică.

Dintre ecuaţiile de stare cu aplicabilitate generală şi având doi parametri, ecuaţia lui R EDLICH şi K WONG (1949)este cea mai frecvent folosită. Ea are forma

( ) ( ) ,115,0 1 T RbvbvvT

a p u sm

sm sm=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++ (2.7)

unde

,7248,0 5,22

1cr

cr u

p

T Ra = .

0867,01

cr

cr u

p

T Rb = (2.8)

Tabelul 2.1

Fluide multifazice (gaz-lichid, lichid-lichid, gaz-solid, lichid-solid)

Fluide monofaziceDispersii fine

Dispersiigrosiere

Macro-amestecuri

Fluidestratificate

Fluide pseudoomogene

Fluide omogene Mişcare laminar ă sauturbulentă

Mişcareexclusiv

turbulentă

Fluide eterogene

Fluide newtoniene

Fluide pseudoplastice

Fluide dilatante

Fluide binghamiene

F l u i d e i n d e p e n d e n t e d e t i m p

Fluide reţinătoare

pseudoplastice saudilatante

Fluidetixotropice

F l u i d e

v â s c o a s e

F l u i d e d e p e n -

d e n t e d e t i m p

Fluidereopectice

v â s c o -

e l a s t i c e

Multe forme

F l u i d e n e n e w t o n i e n e

Fluide cu comportare multifazică


15/117


La fel ca şi ecuaţia VAN DER WAALS, ecuaţia R EDLICH – K WONG nu este aplicabilă în zona bifazică şi dă aproximaţii grosiere în zona lichidului. K ENNEDY şi BHAGIA (1969) au exprimat constantele R EDLICH – K WONG (pentrusubstanţe individuale) ca funcţii empirice de temperatur ă şi au ar ătat că densitatea acelor substanţe pure poate fideterminata cu o eroare de numai 0,25 procente.

Ecuaţiile de stare cu mai mult de doi parametri caracteristici ai fluidului sunt mai exacte, dar utilizarea lor estelimitată la puţinele fluide pentru care sunt determinaţi aceşti parametri. Cele mai cunoscute ecuaţii de acest tip suntecuaţia lui BEATTIE şi BRIDGEMAN (1927), care are cinci parametri, şi ecuaţia BENNEDICT, WEBB şi R UBIN (1940),

bazată pe opt parametri caracteristici ai fluidului.În zona gazului aflat la presiune mică sau destul de departe de frontiera zonei bifazice se poate aplica, cu

rezultate bune pentru calcule inginereşti, legea gazelor perfecte,,T Rv p s = (2.9)

unde: v s = 1/ρ este volumul specific, R = Ru/ M m – constanta gazului, iar M m – masa molar ă.O aplicabilitate mai generală în zona gazului şi în apropierea frontierei zonei bifazice o are legea gazelor reale

,T R Z v p s = (2.10)unde Z este factorul de abatere de la legea gazelor perfecte.

Pentru determinarea factorului de abatere s-auf ăcut multe încercări de stabilire a unei corelaţii bazate pe valorile lui Z calculate din relaţia (2.10) cu ajutoruldatelor experimentale. În acest sens au fost elaborate

metode bazate pe principiul stărilor corespondente,conform căruia toate fluidele se comportă în mod similarla aceleaşi raţii ale presiunilor şi temperaturilor critice.

Cea mai simplă corelaţie bazată pe conceptulstărilor corespondente are forma

( ) ,, rd rd T p f Z = (2.11)

unde presiunea redusă şi temperatura redusă suntdefinite astfel: prd = p/ pcr , T rd = T /T cr . Această corelaţiea fost prezentată grafic de către STANDING şi K ATZ (1942) pentru o serie de gaze. De atunci au fost publicate noi date, care au îmbunătăţit precizia rezultatelor. Diagrama lui VISVANATH şi SU (1965), prezentată în figura2.1, este, probabil, cea mai bună corelaţie general aplicabilă de acest tip, disponibilă pentru gaze pure. Factorul de

abatere citit din această diagramă pentru gaze obişnuite, altele decât hidrogen, dioxid de sulf şi hidrogen sulfurat, prezintă o eroare cuprinsă între 2 şi 10 procente.Deşi corelaţiile factorului de abatere de tipul (2.10) sunt foarte utile, iar pentru gaze nepolare cu structur ă

molecular ă simplă sunt destul de precise, pentru extinderea aplicării lor şi pentru obţinerea unor rezultate cu preciziemărită s-a propus să se ia în consideraţie şi alte variabile în afar ă de presiunea şi temperatura redusă. În acest sens, s-aconsiderat ca variabilă adiţională factorul de abatere Z c în punctul critic (care variază de la 0,23 pentru abur la 0,304 pentru hidrogen, în timp ce diagrama din figura 2.1 corespunde lui Z c = 0,28) şi s-au obţinut corelaţii care dau valoriîmbunătăţite în vecinătatea punctului critic, f ăr ă a avea însă caracter de generalitate.

O altă corelaţie, legată mai direct de comportareamoleculelor de fluid, are la bază factorul de acentricitate,care reprezintă o măsur ă a abaterii for ţelor intermolecularefaţă de cazul gazului perfect şi este definit astfel

,1lg −−=ω vr p (2.12)unde pvr este presiunea de vapori redusă corespunzătoareunei temperaturi reduse egală cu 0,7. Această relaţie se bazează pe observaţia că, în cazul gazelor simple ca argon,neon, kripton şi metan, pvr este apropiat de valoarea 0,1, ceeace corespunde lui ω = 0. Pentru multe alte fluide, ω variază între 0 şi 0,4. În absenţa presiunii de vapori, valoarea lui ω poate fi determinată din relaţia aproximativă

.5,126375,3 c Z −=ω (2.13)

În cazul gazelor simple, factorul de abatere de la legeagazelor perfecte este funcţie numai de presiunea redusă şitemperatura redusă. Pentru gaze mai complexe, Z are expresia

,)1()0( Z Z Z += (2.14)unde Z (0) este factorul de abatere pentru gaze simple, prezentat în figura 2.2, iar Z (1) este factorul de corecţie dat în figura 2.3.

Figura 2.1 Varia ţ ia factorului de abatere Z pentru gaze pure

Figura 2.2. Varia ţ ia factorului de abatere Z (0) pentru gaze pure


16/117


Deşi lichidele sunt mult mai puţin sensibile la variaţia presiunii decât gazele, densitatea lor şi variaţia acesteia cutemperatura sunt dependente de structura molecular ă.

Densitatea hidrocarburilor lichide poate fi determinată dinecuaţia VAN DER WAALS, modificată de ALANI şi K ENNEDY (1960) prin definirea constantelor a şi b sub forma

,/kmol)Pa(m,e61,3623T n

K a = (2.15)( ) ,/kmolm,0624,0 3C T mb += (2.16)

unde parametrii K, n, m şi C sunt prezentaţi pentru o serie dehidrocarburi în anexa 1.

Densitatea hidrocarburilor lichide saturate rezultă din relaţialui BRADFORD şi THODOS, exprimată astfel

( ) ( ) ( )[ ] ,1111 2 nr r r cls T cT bT a −+−+−+ρ=ρ (2.17)unde ρc este densitatea în punctul critic, iar parametrii a, b, c şi n au expresiile

n = 0,16 + 0,586 Z c , (2.18)

c = 2,785 – 3,544 Z c , (2.19)

a = 2,924 – 7,34 Z c , (2.20)

b = c – a – 1 . (2.21)

Densitatea lichidelor la temperatur ă constantă se exprimă, în mod obişnuit, în funcţie de coeficientul decompresibilitate β, definit astfel

,1

T p

V

V ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂∂

−=β (2.22)

unde indicele T indică un proces izoterm, iar semnul minus a fost introdus deoarece factorul pV ∂∂ este negativ(volumul scade odată cu creşterea presiunii).

Dacă se admite β constant, relaţia (2.22) scrisă sub forma

,d

d1

p

ρ

ρ=β (2.23)

duce, după integrare, la formula( ) ,e 00

p p−βρ=ρ (2.24)

care este cunoscută sub numele de ecua ţ ia de stare a lichidelor compresibile şi poate fi aproximată, reţinând doar primiidoi termeni din dezvoltarea în serie a exponenţialei, astfel

( )[ ] .1 00 p p −β−ρ=ρ (2.25)

2.2.2. Densitatea fluidelor multicomponente

Există puţine corelaţii destinate determinării densităţii fluidelor multicomponente, independent de starea lichidă sau gazoasă a acestora. Una dintre aceste corelaţii este cea a lui K ENNEDY şi BHAGIA (1969), obţinută prin extindereaecuaţiei (2.7) la cazul fluidelor gaze–condensat din cadrul zăcămintelor de hidrocarburi.

Comportarea densităţii gazelor multicomponente este similar ă cu aceea a gazelor monocomponente, dar prezintă un grad sporit de complexitate. În acest sens, pentru determinarea densităţii gazelor multicomponente se poate folosirelaţia (2.10), pentru care factorul de abatere se obţine, conform propunerii lui K AY (1936), în funcţie de presiunea pseudoredusă şi temperatura pseudoredusă definite astfel

, pc pr p p p = (2.26)

, pc pr T T T = (2.27)

unde:

∑=

=n

iicr mi pc pn p

1

, ∑=

=n

iicr mi pc T nT

1

sunt presiunea, respectiv temperatura pseudocritice, nmi – fracţia molar ă a componentului i din gaze; pcr i, T cr i – presiuneacritică şi temperatura critică ale acestuia. Valoarea lui Z corespunzătoare lui p pr şi T pr calculate cu relaţiile (2.26) şi(2.27) se citeşte din figura 2.1.

Pentru amestecurile de gaze naturale constituite din hidrocarburi parafinice lipsite de dioxid de carbon şihidrogen sulfurat se foloseşte, în mod frecvent în industria de petrol, diagrama lui STANDING şi K ATZ (1942), prezentată în figura 2.4.

Figura 2.3 Varia ţ ia corec ţ iei factorului de abatere Z (1) pentru gaze pure


17/117


Pentru lichidele multicomponente, ca şi încazul gazelor, relaţia dintre densitate şi structuramolecular ă, precum şi dependenţa densităţii de presiune şi temperatur ă au o complexitate sporită faţă de cazul lichidelor monocomponente.

Ecuaţiile de stare pentru amestecurilelichide pot fi folosite în acelaşi mod în care au fost

folosite pentru gazele multicomponente.Coeficienţii acestor ecuaţii se determină dincoeficienţii componenţilor puri. Pentru sistemelede hidrocarburi lichide se poate folosi metodaALANI – K ENNEDY, înlocuind relaţiile (2.15) şi(2.16) cu ecuaţiile

,1

∑=

=n

iimi ana (2.28)

,1

∑=

=n

iimi bnb (2.29)

,e61,36*

T nii i K a = (2.30)( ) ,0624,0 iii C T mb += (2.31)

cu nmi — fracţiile molare ale componenţilor şi K i ,*in , mi şi C i având valorile prezentate în anexa 1

pentru o serie de componenţi puri.

2.3. Vâscozitatea

Vâscozitatea este proprietatea fluidelor de aopune rezistenţă la deformarea (mişcarea) lor. Într-unlichid aflat în mişcare apar, pe lângă eforturilenormale, eforturi tangenţiale, care se manifestă prin for ţe de frecare internă, având tendinţa să frâneze mişcarea şi să împiedice

deplasările lichidului, adică să se opună deformaţiilor.Vâscozitatea este caracterizată cantitativ prin coeficientul pus în evidenţă de NEWTON în expresia efortului

tangenţial ce apare la mişcarea laminar ă între două plăci plane paralele.Considerând două plane P şi P’ ale mişcării laminare a unui fluid între două plăci plane paralele distanţate cu d y

şi având vitezele de mişcare v, respectiv v + dv, NEWTON a ar ătat că, între două suprafeţe de arii egale, situate în planele P şi P’ , acţionează o for ţă tangenţială propor ţională cu aria A, cu diferenţa de viteză dv şi invers propor ţională cudistanţa d y, adică

,d

d

y

v A F μ= (2.32)

iar efortul unitar tangenţial corespunzător este dat de relaţia

,d

d

y

vμ=τ (2.33)

unde μ este o constantă de propor ţionalitate caracteristică fluidului la presiune şi temperatur ă date, numită coeficient devâscozitate dinamică (sau, pe scurt, vâscozitate dinamică), iar dv/d y este modulul gradientului de viteză pe normala y ladirecţia mişcării. Comportarea reologică a fluidului newtonian este aşadar definită de o singur ă constantă de propor ţionalitate care caracterizează frecarea internă a particulelor de fluid aflate în mişcare. Vâscozitatea dinamică aredimensiunile ML –1T –1 şi se exprimă în N·s/m2 în SI, în kgf·s/m2 în CGS şi în P (poise = dyn·s/cm2) în MKfS.

Vâscozitatea cinematică ν este definită prin relaţia

ρμ=ν (2.34)

şi are unităţile de măsur ă m2/s în SI şi în MKfS, respectiv St (stokes = cm2/s) în sistemul CGS. Numele de vâscozitatecinematică indică absenţa din definiţia ei a mărimilor fizice de natur ă dinamică (masă, for ţă etc.).

2.4. CompresibilitateaProprietatea corpurilor manifestată prin micşorarea volumului lor sub acţiunea for ţelor exterioare de

compresiune se numeşte compresibilitate. Ea este caracterizată cantitativ prin coeficientul de compresibilitate β, care, potrivit relaţiei de definiţie (2.22), are dimensiunile M –1LT2 şi unităţile de măsur ă Pa –1 = m2/N în SI, cm2/dyn însistemul CGS şi m2/kgf în sistemul MKfS.

Figura 2.4. Varia ţ ia factorului de abatere Z pentru gaze naturale


18/117


Lichidele sunt fluide foarte puţin compresibile, fapt reflectat de valorile foarte mici ale coeficientului lor decompresibilitate. Neglijarea compresibilităţii unui lichid presupune β ≅ 0, ceea ce este echivalent cu propagareainstantanee a oricărei variaţii de presiune în întreaga masă a lichidului. Ţinând seama că orice variaţie de presiune se propagă într-un fluid cu viteza sunetului, însuşi sunetul fiind o manifestare a variaţiei de presiune, rezultă că un lichid poate fi asimilat cu un fluid incompresibil dacă viteza c a sunetului în acel lichid, definită sub forma

,

d

d12

ρ

=

βρ

= p

c (2.35)

este teoretic egală cu infinit. În funcţie de extinderea domeniului ocupat de lichid, acesta se poate comporta ca un fluidincompresibil sau compresibil, după cum o variaţie bruscă de presiune produsă într-un punct al lichidului se face simţită instantaneu sau diferenţiat în timp, în toată masa lichidului. Astfel, apa este considerată, în general, ca fiind un fluidincompresibil, deşi în cazuri speciale ca şocul hidraulic, exploatarea unui zăcământ de ţiţei mărginit de o zonă de apă deîntindere foarte mare, măsurarea adâncimilor mari ale fundului mării cu ajutorul batimetrului VEEREN şi altele, luarea înconsiderare a compresibilităţii apei este esenţiala. Ecuaţia (2.24) se reduce pentru β = 0 la relaţia

,0ρ=ρ (2.36)

care reprezintă ecuaţia de stare a lichidelor incompresibile.Ecuaţia (2.9), particularizată pentru T = const, sub forma

,const=ρ p (2.37)

cunoscută sub numele de ecua ţ ia de stare a gazelor perfecte aflate în câmp izoterm, duce în baza rela

ţiei (2.23) la formula

.1

p=β (2.38)

În cazul gazelor reale, din relaţiile (2.10) şi (2.23) se obţine pentru β expresia

,1

1 p p

Z

Z

p⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−=β (2.39)

care, în câmp izoterm, se modifică formal prin înlocuirea derivatei par ţiale p Z ∂∂ cu derivata totală d Z /d p.

Din anexa 6 se observă că, pentru apă, coeficientul de compresibilitate scade în ritm lent, atât cu creşterea presiunii, cât şi cu creşterea temperaturii.

2.5. Tensiunea interfacială şi presiunea capilar ă

La suprafaţa de separaţie lichid – gaz, lichid – lichid sau lichid – solid există for ţe moleculare neechilibrate, careau ca efect tendinţa de contractare a acestei suprafeţe către o suprafaţă cu arie minimă. O moleculă oarecare de apă dininteriorul volumului ocupat de o cantitate de apă într-un vas este atrasă în mod egal, în toate direcţiile, de cătremoleculele vecine. Dacă molecula de apă se găseşte pe suprafaţa liber ă, ea nu va avea alte molecule de apă deasupra eişi, ca urmare, rezultanta for ţelor de atracţie exercitate de moleculele de apă vecine va tinde să atragă molecularespectivă către interiorul volumului de lichid. Deci, pentru a se aduce la suprafaţa liber ă o moleculă de apă dininteriorul volumului de lichid este necesar să se efectueze un lucru mecanic. Astfel, pentru a se crea un element desuprafaţă liber ă de arie unitar ă trebuie să se producă un lucru mecanic egal cu suma lucrurilor mecanice necesareaducerii tuturor moleculelor unităţii de arie din interiorul lichidului la suprafaţa liber ă. Lucrul mecanic necesar creăriiunei suprafeţe libere de arie unitar ă poartă numele de energie de suprafa ţă a acelui lichid.

Pentru caracterizarea acestui fenomen se foloseşte, mai frecvent decât energia de suprafaţă,noţiunea de tensiune superficial ă, care, prin definiţie, este raportul dintre for ţa care se exercită tangenţial la suprafaţa lichidului şi unitatea de lungime a normalei dusă din punctul respectiv laaceastă suprafaţă. Tensiunea superficială este numeric egală cu energia de suprafaţă. Noţiunea detensiune superficială este rezervată tensiunii care acţionează pe suprafaţa de contact a lichidului cuvaporii săi sau cu aerul. Când suprafaţa separ ă două lichide sau un lichid şi un corp solid sefoloseşte noţiunea de tensiune interfacial ă. Tensiunea superficială a unei substanţe pure sautensiunea interfacială dintre două substanţe pure este o caracteristică a substanţei sau perechiirespective de substanţe. Spre exemplificare, tensiunea superficială a apei pure la temperatura de20 °C este egală cu 72,6 mN/m, iar tensiunea interfacială dintre apă şi hidrocarburi lichide arevaloarea aproximativă de 3 mN/m şi variază în funcţie de natura hidrocarburilor lichide. Caurmare a acţiunii tensiunii superficiale sau interfaciale, o picătur ă de lichid în aerul atmosferic sau

într-un alt lichid nemiscibil tinde să ia forma unei sfere (care are aria minimă pentru un volum dat).Tensiunea superficială poate fi măsurată prin diferite metode, dintre care cea mai frecvent folosită are la bază

ridicarea lichidului într-un tub capilar (ilustrată, în condiţii de echilibru static, în figura 2.5). Unghiul θ dintre suprafaţa

liber ă a lichidului în tubul capilar şi suprafaţa tubului se numeşte unghi de contact . Folosind notaţiile: r – raza tubuluicapilar, ρa – densitatea lichidului, σ – tensiunea superficială şi h — înălţimea lichidului în tub, condiţia de echilibrustatic dintre for ţa capilar ă şi greutatea lichidului din tub se exprimă astfel

g hr r aρπ=θσπ2cos2 (2.40)

şi se reduce la egalitatea

Figura 2.5. Schemaridicării lichidului într-

un tub capilar


19/117


.cos2 θ

ρ=σ

g hr a (2.41)

Relaţia (2.41) arată că, pentru un lichid dat (adică pentru θ constant), înălţimea de ridicare a lichidului în tubulcapilar este cu atât mai mare cu cât raza tubului este mai mică.

Fenomenele de ridicare a lichidelor în tuburi de diametru relativ mic se numesc fenomene capilare. Membrulstâng al relaţiei (2.40) defineşte for ţ a capilar ă , care, după cum se observă, depinde (pentru un tub de rază dată) atât de

tensiunea superficială, cât şi de unghiul de contact. În timp ce tensiunea superficială caracterizează contactul dintredouă fluide, unghiul de contact descrie comportarea celor două fluide aflate în contact cu o suprafaţă solidă. Această comportare defineşte proprietatea de umidibilitate şi se poate manifesta fie prin ridicarea lichidului în tubul capilar (cazîn care se spune că lichidul ud ă peretele tubului sau că este umezitor ), fie prin coborârea lichidului în tub (caz în carelichidul este numit neumezitor în raport cu peretele tubului). Conform relaţiei (2.41), înălţimea h a lichidului în tub este pozitivă, negativă sau zero după cum θ < 90°, θ > 90° sau θ = 90°. Aceste concluzii privind caracterizarea umidibilităţiiunui lichid prin valoarea unghiului de contact sunt confirmate experimental. Astfel, dacă în experimentul ilustrat în figura 2.5 se foloseşte mercur în loc de apă, unghiul θ, care în cazul apei era unghi ascuţit, va deveni unghi obtuz, iarlichidul în tubul capilar va coborî sub suprafaţa liber ă a mercurului din vas.

În cazul experimentului cu un tub capilar scufundat în poziţie verticală într-un vas care conţine două lichidenemiscibile, spre exemplu apă şi ţiţei, relaţia (2.41) permite exprimarea tensiunii interfaciale sub forma

( ),

cos2 θ

ρ−ρ=σ

g hr t ata (2.42)

în care înălţimea h va avea valoarea pozitivă sau negativă după cum suprafaţa tubului capilar va fi umezită preferenţialde apă sau de ţiţei. For ţa capilar ă

,cos2 θσπ= r F c (2.43)

împăr ţită la aria πr 2 a secţiunii transversale a tubului se numeşte presiune capilar ă şi are expresia

.cos2

r pc

θσ= (2.44)

Pe de altă parte, presiunea capilar ă este egală cu diferenţa dintre valorile presiunii existente pe cele două feţe alesuprafeţei comune celor două fluide din tubul capilar. În cazul ilustrat în figura 2.5, presiunea pa pe faţa apei din tubulcapilar este mai mică decât presiunea paer de pe faţa de contact a aerului şi, ca urmare, presiunea capilar ă se exprima astfel

,h g p p p aaaer c ρ=−= (2.45)

dacă se ţine seama şi de membrul drept al relaţiei (2.42) sau de condiţia de echilibru hidrostatic.În cazul sistemului apă – ţiţei, presiunea capilar ă, definită drept căderea de presiune la meniscul apă – ţiţei, are

expresia

( ) h g p p p t aat c ρ−ρ=−= (2.46)şi poate fi pozitivă sau negativă după cum presiunea ţiţeiului pe interfaţa apă – ţiţei este mai mare sau mai mică decât presiunea apei, ceea ce corespunde comportării ţiţeiului ca fază neumezitoare, respectiv umezitoare.


20/117



21/117

3. STATICA FLUIDELOR

Statica este capitolul mecanicii fluidelor care studiază echilibrul fluidelor şi interacţiunea dintre fluidele aflate înrepaus relativ şi corpurile solide. Un fluid se află în echilibru static în raport cu un sistem de referin ţă dacă orice

particulă din acel fluid este în repaus faţă de sistemul de referinţă respectiv.

3.1. Starea de tensiuni într-un fluid aflat în repaus

Un corp C ( figura 3.1), solicitat de un sistem de for ţe exterioare F 1, F 2,.…, F n, se află în echilibru static (înrepaus) dacă sistemul de for ţe este static echivalent cu zero.

For ţele sunt acţiuni reciproce între mase şi se împart în: – for ţe exterioare, care reprezintă acţiuni ale altor corpuri asupra unui

corp dat, şi – for ţe interioare, care apar între particulele corpului studiat în urma

acţiunii for ţelor exterioare.For ţele exterioare care se exercită asupra tuturor particulelor unui corp

se numesc for ţe masice sau de volum, iar cele care acţionează doar pesuprafaţa corpului sau pe o parte a acesteia se numesc for ţe superficiale.

Singura for ţă masică de pe Pământ este greutatea (for ţa gravitaţională).Se foloseşte metoda secţiunilor imaginare a lui CAUCHY. Se

secţionează corpul C în păr ţile P 1 şi P 2 cu un plan. Pe suprafaţa de secţionare S se introduce densitatea de for ţe interioare corespunzătoare şi astfel se poateface abstracţie de partea P 2 dacă se studiază echilibrul păr ţii P 1 şi invers.

For ţele interioare de pe suprafaţa S devin astfel for ţe exterioaresuperficiale şi reprezintă acţiunea pe care o exercită partea P 2 asupra păr ţii P 1.

Unui element de suprafaţă ΔS având aria Δ A îi revine o for ţă F r

Δ , ale

cărei componente pe suprafaţa S şi pe normala la această suprafaţă sunt T r

Δ şi N r

Δ ( figura 3.1).Limitele rapoartelor Δ N /Δ A şi ΔT /Δ A când Δ A tinde către zero se numesc tensiune normală (efort unitar normal)

σ, respectiv tensiune tangenţială (efort unitar tangenţial) τ şi constituie componentele tensorului tensiune:

.lim,lim 00 τ=Δ

Δ

σ=Δ

Δ

→Δ→Δ A

T

A

N

A A În orice punct interior apar ţinând unui corp solid în repaus se dezvoltă, în toate direcţiile, tensori tensiune având

mărimi care se înscriu într-un elipsoid al tensiunilor.În cazul când corpul C este un fluid aflat în repaus, conform relaţiei lui NEWTON privind vâscozitatea (2.33)

rezultă τ = 0, deci Δ F = Δ N , adică tensorul tensiune are numai componenta normală. care se exprimă astfel

p A

F

A=

ΔΔ

→Δlim

0 (3.1)

şi se numeşte presiune. Prin definiţie, presiunea într-un fluid este orientată după normala la suprafaţa (reală sauimaginar ă) considerată. Se poate demonstra că, în orice punct din domeniul ocupat de un fluid în repaus, se dezvoltă tensiuni cu valori egale în toate direcţiile, adică elipsoidul tensiunilor degenerează într-o sfer ă.

Conform principiului solidificării sau al rigidizării păr ţ ilor , un corp se află în echilibru static dacă şi numai dacă

for ţele care acţionează asupra fiecăreia din păr ţile sale formează un sistem static echivalent cu zero. Acest principiu permite să sesepare o parte a corpului oricât de mică, introducându-se asupraacestei păr ţi un sistem de for ţe (de legătur ă) echivalent cuacţiunea restului corpului asupra acesteia. Detaşând în acestmod dintr-un fluid în repaus un domeniu de forma unei prismetriunghiulare, orientate arbitrar ( figura 3.2) şi introducândfor ţele de legătur ă în centrele feţelor prismei (ca rezultante ale

presiunilor pe fiecare faţă), precum şi for ţa masică m F r

(de

direcţie oarecare) aplicată în centrul prismei, se poate scriecondiţia de echilibru sub forma

.021 =+++++ md d cba F F F F F F rrrrrr

(3.2)

Prin proiectarea acestei ecuaţii pe axa prismei rezultă ,021 =− d d F F (3.3)

ceea ce este echivalent cu F d 1 = F d 2 , (3.4)

sau

Figura 3.1. Sec ţ ionarea imaginar ă a unui corp aflatîn echilibru sub ac ţ iunea unui sistem de for ţ e

Figura 3.2. Domeniu prismatic separat dintr-un fluid aflat în repaus


22/117

22 Capitolul 3. Statica fluidelorCopyright© 2004…2013 Eugen Mihail Ionescu

021 =+ d d F F rr

(3.5)

şi relaţia (3.2) se reduce la forma

( ) ( ) ,0=++++ mccbmaa F F F F F rrrrr

(3.6)

unde ma F r

şi mc F r

sunt componentele for ţei masice m F r

pe direcţiile for ţelor a F r

şi c F r

, ale căror suporturi sunt

concurente ( figura 3.3).Prisma are dimensiunile a, b, c, d

infinitezimale, iar în procesul de trecere la limită pentru definirea tensiunilor punctiforme ele vortinde către zero. Ca urmare, în relaţia (3.5) s-a putut admite aproximaţia că for ţa masică ( figura

3.3) este concurentă cu a F r

şi c F r

. În aceste

condiţii, poligonul for ţelor se reduce la figura 3.4.Triunghiurile A1 B1C 1 (v. figura 3.2) şi

LMN (v. figura 3.4) sunt asemenea, avândlaturile perpendiculare între ele. Condiţia de propor ţionalitate a laturilor acestor triunghiuri,

exprimată sub forma

,c

F F

b

F

a

F F mccbmaa +

==

−

(3.7)unde

,cos,cos cmmcamma AV F AV F αΔρ=αΔρ= (3.8)

cu Am – acceleraţia câmpului for ţelor masice, ΔV – volumul prismei, αa, αc – unghiurile f ăcute de m F r

cu a F r

respectiv

c F r

, duce, după amplificare cu 1/d şi trecere la limită, la

.limlimlimlimlim00000 d c

F

d c

F

d b

F

d a

F

d a

F mcV

c

V

b

V

ma

V

a

V →Δ→Δ→Δ→Δ→Δ+==− (3.9)

Deoarece, în baza relaţiilor (3.8), limitele componentelor for ţelor masice sunt nule, ecuaţiile (3.9) se reduc, înconformitate cu expresia (3.1), la

pa = pb = pc , (3.10)ceea ce arată că în centrul prismei, pe cele trei direcţii normale la feţele acesteia, există tensiuni având mărimi egaleîntre ele. Întrucât prisma poate avea orice orientare în spaţiu, menţinându-şi însă poziţia centrului de greutate, rezultă că în centrul ei de greutate acţionează tensiuni dezvoltate în toate direcţiile, având aceeaşi intensitate. Reprezentând graficaceste tensiuni se obţine o sfer ă de rază egală cu presiunea în acel punct.

3.2. Ecuaţia microscopică a echilibrului static al fluidelor

Se consider ă un element de volum de formă paralelipipedică ( figura3.5), cu dimensiunile infinitezimale d x, d y, d z raportate la un sistem de axecarteziene paralele cu muchiile sale, detaşat din domeniul ocupat de un fluid

aflat în repaus. Se introduc for ţele de legătur ă x F 1dr

, x F 2dr

, y F 1dr

, y F 2dr

,

z F 1dr

, z F 2dr

în centrele celor şase feţe, precum şi for ţa masică m F r

d , care este

singura for ţă exterioar ă, cu punctul de aplicaţie în centrul M al elementului.

Condiţia de echilibru static al fluidului din volumul de control seexprimă prin relaţia

.0ddddddd 212121 =++++++ m z z y y x x F F F F F F F rrrrrrr

(3.11)

Având în vedere că presiunea este o funcţie continuă în domeniulocupat de fluid şi notând cu p valoarea presiunii în punctul D, for ţele delegătur ă (care sunt rezultantele for ţelor de presiune pe cele şase feţe ale

paralelipipedului) şi for ţa masică (definită de acceleraţia m Ar

) au expresiile

,dddd,ddd 21 z y x x

p pi F z y pi F x x ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂

∂+−==

rrrr

,dddd,ddd 21 z x y

y

p p j F z x p j F y y

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

∂

∂+−==

rrrr

(3.12)

,dddd,ddd 21 y x z z

p pk F y x pk F z z ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂

∂+−==

rrrr

.dddd z y x A F mm ρ= rr

(3.13)

Figura 3.3 Descompunerea for ţ ei masice Figura 3.4 Poligonul for ţ elor

după suporturile for ţ elor a F r

şi c F r

Figura 3.5. Domeniu paralelipipedic elementardeta şat dintr-un fluid aflat în repaus


23/117


Se introduc expresiile (3.12) şi (3.13) în relaţia (3.11), se reduc termenii asemenea şi se simplifică cu ρ d x d y d z,rezultând egalitatea

,0=ρ+∂∂

−∂∂

−∂∂

− m A z p

k y

p j

x

pi

rrrr

care poate fi scrisă sub forma

,01

=∇ρ

− p Am

r

(3.14)

şi reprezintă ecua ţ ia microscopică a echilibrului static al fluidelor , unde ∇ este operatorul lui HAMILTON, definit în

coordonate carteziene (pe baza versorilor ir

, jr

, k r

ai axelor Ox, Oy, Oz) astfel

. z

k y

j x

i∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ r

rr

(3.15)

Exprimând acceleraţia m Ar

a câmpului for ţelor masice prin proiecţiile sale X , Y , Z pe cele trei axe carteziene, adică

, Z k Y j X i Amr

rrr

++= (3.16)

ecuaţia vectorială (3.14) este echivalentă cu următoarele trei ecuaţii scalare:

,1

,1

,1

z

p Z

y

pY

x

p X

∂∂

ρ=

∂∂

ρ=

∂∂

ρ= (3.17)

cunoscute sub numele de ecua ţ iile lui EULER din statica fluidelor.

3.3. Legea variaţiei presiunii într-un fluid aflat în repaus

Dacă se cunosc componentele X , Y , Z ale acceleraţiei câmpului for ţelor masice, din ecuaţiile (3.17) se obţinexpresiile derivatelor par ţiale ale presiunii, care, introduse în diferenţiala presiunii

z z

p y

y

p x

x

p p dddd

∂∂

+∂∂

+∂∂

= (3.18)

conduc la ecuaţia( ) ,dddd z Z yY x X p ++ρ= (3.19)

al cărei membru drept este o diferenţială totală exactă dacă există o funcţie F ( x, y, z) astfel încât să avem egalitatea

.,, z

F Z y

F Y x

F X ∂

∂=ρ∂

∂=ρ∂

∂=ρ

În acest caz, for ţa masică derivă dintr-un potenţial de for ţe U = – F, iar ecuaţia (3.19) se reduce la formad p = d F , (3.20)

care integrată dă relaţia p = F + C 1 , (3.21)

unde C 1 este constanta de integrare egală cu presiunea p1 corespunzătoare absenţei for ţelor masice.Când fluidul este incompresibil, membrul drept al ecuaţiei (3.19) este o diferenţială totală exactă dacă acceleraţia

m Ar

derivă dintr-un potenţial U * = – Γa , adică

,,, z

Z y

Y x

X aaa∂Γ∂

=∂Γ∂

=∂Γ∂

= (3.22)

ceea ce duce la ,dd a p Γρ= (3.23)

sau.C p a +Γρ= (3.24)

În câmpul gravitaţional terestru, alegând axa Oz verticală ascendentă, componentele acceleraţiei m Ar

a câmpului

for ţelor masice sunt X = 0, Y = 0, Z = – g , deci g k Amrr

−= , dΓa = – g d z, Γa = – g z, iar relaţia (3.24) devine

p = C – ρ g z , (3.25)cunoscută sub numele de ecua ţ ia fundamental ă a hidrostaticii.

3.3.1. Legea variaţiei presiunii într-un gaz aflat în repaus în câmpul gravitaţional terestru

Ecuaţia (3.19) se reduce, în câmp gravitaţional, la egalitatea

d p = – ρ g d z . (3.26)Dacă se admite că gazul este perfect şi sufer ă o transformare izotermă (T = const.), din ecuaţia de stare (2.9) se

poate exprima densitatea sub forma

, pT R

M

u

m=ρ (3.27)


24/117


care se înlocuieşte în ecuaţia (3.26), rezultând expresia

,dd z pT R

g M p

u

m−=

în care se separ ă variabilele şi se integrează astfel

,dd

z

T R

g M

p

p

u

m−= ,dd

11 ∫∫ −=

z

zu

m

p

p

z

T R

g M

p

p ( ) ,ln 1

1

z z

T R

g M

p

p

u

m −−=

obţinându-se legea variaţiei presiunii sub forma

( ),e

1

1

z zT R

g M

u

m

p p−−

= (3.28)

unde p1 este presiunea la cota de referinţă z1.Formula (3.28) permite calculul presiunii statice sau dinamice la adâncimea de fixare a garniturii de ţevi de

extracţie într-o sondă de gaze, când se cunoaşte presiunea p1 citită la manometrul montat la coloană. Temperatura însondă fiind variabilă cu adâncimea, relaţia (3.28) se foloseşte pe tronsoane pe care variaţia de temperatur ă esteneglijabilă sau se poate aproxima printr-o valoare medie constantă.

În cazul aerului atmosferic, dacă se introduce, pe baza ecuaţiei (3.27), notaţia

,

0

00

g M

T R

g

p H

ma

u=

ρ

= (3.29)

relaţia (3.28) poate fi scrisă sub forma

,e 01

1 H

z z

p p

−−

= (3.30)

unde M ma = 28,9 kg/kmol este masa molar ă a aerului, p0 = 101.325 Pa – presiunea atmosferică normală, iar ρ0 = 1,289kg/m3 – densitatea aerului în condiţii normale. Ecuaţia (3.30) se numeşte formula barometrică.

3.3.2. Presiunea într-un fluid aflat în repaus în absenţa for ţelor masice

Dacă for ţele masice lipsesc sau sunt neglijabile, se poate scrie X = Y = Z = 0 şi, din ecuaţia (3.19), rezultă 0d = p (3.31)

sau, după integrare,,.const== i p p (3.32)

ceea ce arată că presiunea este constantă în domeniul ocupat de fluid şi are valoarea iniţială pi. Această situaţie seîntâlneşte în cazul fluidelor aflate în stare de imponderabilitate sau în cazul gazelor care ocupă înălţimi relativ mici.Astfel, presiunea gazului aflat în repaus într-un recipient are, practic, aceeaşi valoare în orice punct al domeniuluiocupat de gaz, întrucât argumentul exponenţialei din formula (3.28) este neglijabil când z – z1 are valori mici.

Pe de altă parte, pentru valori mici ale argumentului, exponenţiala din relaţia (3.28) poate fi aproximată prin primii doi termeni din dezvoltarea în scrie şi relaţia (3.28) devine

( ) .1 11 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−= z z

T R

g M p p

u

m (3.33)

Punând condiţiile: z1 = 0, p1 = p g şi M g /( Ru T ) = ρ g g / p g , ecuaţia (3.33) capătă forma p = p g – ρ g g z , (3.34)

care arată că, în cazul când gazul ocupă înălţimi mici, variaţia densităţii gazului cu înălţimea poate fi neglijată, iar

termenul ρ g g z este şi el neglijabil faţă de valoarea p g a presiunii gazului din recipient.3.3.3. Legea variaţiei presiunii într-un lichid aflat în repaus în câmpul gravitaţional terestru

Considerând că lichidul este incompresibil (ρ = const.), prin integrarea ecuaţiei diferenţiale a presiunii (3.26)rezultă relaţia

,a z g p +ρ−= (3.35)

care arată că orice plan orizontal ( z = const.) dintr-un lichid aflat în repaus este o suprafaţă izobar ă ( p = const.).Planul orizontal de cotă z = z0 în care presiunea este egală cu presiunea atmosferică p0 se numeşte planul

suprafe ţ ei libere a lichidului.Forma plan–orizontală a suprafeţelor izobare corespunde condiţiei de ortogonalitate a for ţelor gravitaţionale,

dirijate după verticala locului, cu suprafeţele echipotenţiale. Ca urmare, suprafeţele libere de dimensiuni mari(apar ţinând mărilor sau oceanelor) au forma scoar ţei terestre (geoidală), care numai pentru întinderi relativ mici se

confundă cu forma plană.Punând ecuaţiei (3.35) condiţia la limită p = p0 la z = z0, se obţine pentru constanta de integrare expresia

00 z g pa ρ+=

şi ecuaţia (3.35) devine( ) .00 z z g p p −ρ+= (3.36)


25/117


Dacă se consider ă originea axei Oz la suprafaţa liber ă a lichidului din vas, z0 = 0 şi ecuaţia (3.36) se identifică formal cu ecuaţia (3.34), cu deosebirea că, ρ fiind mult mai mare decât ρ g , termenul ρ g z nu mai este neglijabil înraport cu presiunea p0 de la suprafaţa de separaţie gaz–lichid.

Notând cu h adâncimea la care se găseşte un punct oarecare în masalichidului, se constată ( figura 3.6 ) că z0 – z = h şi ecuaţia (3.36) ia forma

.0 h g p p ρ+= (3.37)Ecuaţiile (3.36) şi (3.37) exprimă legea hidrostaticii, care arată că

presiunea absolut ă într-un lichid aflat în repaus în câmp gravitaţional creştedirect propor ţional cu adâncimea, iar valoarea presiunii p0 de la suprafaţa deseparaţie gaz–lichid se transmite în întreaga masă a lichidului cu aceeaşiintensitate (principiul lui PASCAL).

Presiunea într-un fluid este o presiune absolută p sau relativă pr după cum ea include sau nu valoarea presiunii atmosferice p0 = 101.325Pa = 760 mm Hg 2 = 1,033 kgf/cm2 = 1,033 at 3 = 1 atm 4.

Se numeşte presiune relativă valoarea presiunii măsurate de lasuprafaţa liber ă a lichidului, adică

.h g pr ρ= (3.38) Astfel, ecuaţia (3.37) devine

.0 r p p p += (3.39)

Notând cu h0 înălţimea coloanei de lichid echivalentă presiuniiatmosferice ( figura 3.6 ) şi cu H suma dintre înălţimea h0 Şi sarcinahidraulică relativă h, relaţia (3.39) devine

. H g p ρ= (3.40)Ecuaţiile (3.39) şi (3.40) definesc două drepte care trec prin origine, dar fiecare dreaptă îşi are originea ei. Planul

orizontal care conţine originea Oa se numeşte planul sarcinilor absolute, iar cel care conţine originea Or coincide casuprafaţa liber ă şi reprezintă planul sarcinilor relative.

Când presiunea absolută este mai mică decât presiunea atmosferică, presiunea relativă are valoarea negativă.Valoarea absolută a presiunii relative negative se numeşte presiune de vacuum:

r vac p p = când pr < 0 , (3.41)

sau pvac = p0 – p când p


26/117


relaţia (3.44), după integrare pe aria A a suprafeţei capacului, devine

,dsin ∫αρ= A

p A y g F (3.45)

unde

A y A y G

A

=∫ d (3.46)

este momentul static al suprafeţei cu aria A, iar yG – ordonata centrului de greutate. Notând cu hG şi prG adâncimea, respectiv presiunea relativă corespunzătoare centrului de greutate al suprafeţei şi

ţinând seama că yG sin α = hG, iar ρ g hG = prG, relaţia (3.45) ia forma A p F rG p = (3.47)

şi arată că for ţa de presiune care acţionează pe o suprafaţă plană are mărimea egală cu produsul dintre presiunea relativă prG în centrul de greutate şi aria A a suprafeţei considerate.

Coordonatele xC , yC ale centrului de presiune C se obţin din ecuaţiile de momente ale for ţelor faţă de axele Ox şiOy, scrise astfel:

,sindsindsind xy A A A

pC p I g A y x g A y x g F x x F αρ=αρ=αρ== ∫∫∫,sindsindsind 22 xx

A A A

pC p I g A y g A y g F y y F αρ=αρ=αρ== ∫∫∫

sub forma

,sin

sin

A y

I

A y g

I g x

G

xy

G

xyC =αρ

αρ= (3.48)

,sin

sin

A y

I

A y g

I g y

G

xx

G

xxC =αρ

αρ= (3.49)

unde

∫∫ == A

xx

A

xy A y I A y x I d,d2 (3.50)

reprezintă momentul centrifugal, respectiv momentul de iner ţie al suprafeţei capacului.Apelând la teorema lui STEINER şi la analoaga acesteia se poate scrie

,,2 A y x I I A y I I GG XY xyG XX xx +=+= (3.51)

iar relaţiile (3.48), (3.49) devin

, A y

I x x

G

XY GC += (3.52)

, A y

I y y

G

XX GC += (3.53)

unde I XX şi I XY sunt momentele de iner ţie şi centrifugal definite faţă de axele GX , GY ce au originea în G şi sunt paralele

cu axele Ox, respectiv Oy. Relaţia (3.53) arată că centrul de presiune se situează mai jos decât centrul de greutate,distanţa dintre ele, numită excentricitate, fiind cu atât mai mică cu cât yG este mai mare. Când capacul este orizontal,centrul de presiune coincide cu centrul de greutate, presiunea fiind în acest caz uniform distribuită pe capac.

3.4.1.2. For ţa de presiune pe o suprafaţă plană aflată în contact cu un gaz în repaus

Dacă vasul din figura 3.7 este închis şi conţine un gaz cu presiunea relativă prg admisă constantă pe bazaconsideraţiilor din §3.3.2, for ţa de presiune pe capac, ca rezultantă a unui sistem de for ţe paralele uniform distribuite,are mărimea

A p F rg p = (3.54)

şi se aplică în centrul de greutate al capacului.

3.4.2. For ţe de presiune pe suprafeţe curbe3.4.2.1. For ţa de presiune pe o suprafaţă curbă aflată în contact cu un lichid în repaus

Se consider ă vasul deschis, plin cu lichid de densitate ρ, OABC , care are trei pereţi plani (OAB, OAC , OBC ) şi un perete curb ( ABC , figura 3.8). For ţele de presiune elementare de pe suprafaţa curbă ABC variază atât ca mărime cât şi cadirecţie, corespunzător poziţiei punctului şi direcţiei normalei la suprafaţa curbă în acel punct.


27/117


Faţă de sistemul de axe ales, unde planul xOy conţine suprafaţa liber ă a lichidului din vas, for ţa de presiune peun element de suprafaţă curbă cu aria d A se exprimă astfel

,ddd A z g n A pn F r p ρ== rr

r

(3.55)

unde nr

este versorul normalei la suprafaţa curbă în centrul elementului de suprafaţă, iar z este cota acestui punct.

Se proiectează relaţia (3.55) pe cele trei axe carteziene şi se

integrează, obţinându-se ecuaţiile,dd ∫∫ ρ=ρ=

x A

x

A

x px A z g An z

Curs Mecanica Fluidelor TDDH 2013

Documents

Transcript of Curs Mecanica Fluidelor TDDH 2013