Curs + Proiect Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing Petru Aron

1

MECANICA FLUIDELOR CURS PENTRU STUDENTII ANMB

CUPRINS

Capitolul I NOŢIUNI DE CALCUL ŞI ANALIZĂ VECORIALĂ

1.1 Noţiuni introductive............................................................................. 6

1.2 Algebră vectorială................................................................................ 6

1.2.1 Adunarea şi scăderea vectorilor........................................................... 6

1.2.2 Inmulţirea unui vector cu un scalar..................................................... 6

1.2.3 Impărţirea unui vector cu un scalar..................................................... 7

1.2.4 Produsul vectorilor.............................................................................. 7

1.2.5 Produsul mixt...................................................................................... 8

1.2.6 Dublul produs vectorial....................................................................... 9

1.3 Analiza vectorială................................................................................ 9

1.3.1 Diferenţiala.......................................................................................... 9

1.3.2 Gradientul........................................................................................... 9

1.3.3 Divergenta............................................................................................ 9

1.3.4 Rotorul................................................................................................. 10

Capitolul II. NOŢIUNI INTRODUCTIVE

2.1 Generalităţi.......................................................................................... 12

2.2 Particula fluidă.................................................................................... 12

2.3 Modele de fluid................................................................................... 12

2.4 Proprietăţile fizice comune fluidelor................................................... 13

2.4.1 Densitatea............................................................................................ 13

2.4.2 Greutatea specifică............................................................................... 13

2.4.3 Compresibilitatea izotermică............................................................... 13

2.4.4 Dilataţia termică................................................................................... 14

2.4.5 Adeziunea la suprafeţe solide.............................................................. 15

2.4.6 Vâscozitatea......................................................................................... 15

2.5 Proprietăţile fizice specifice fluidelor................................................. 16

2.5.2 Tensiunea superficială......................................................................... 16

2.5.2 Capilaritatea......................................................................................... 17

2.5.3 Absorbţia gazelor................................................................................. 17

2.5.4 Dgajarea gazelor. Cavitaţia................................................................. 17

Capitolul III. STATICA FLUIDELOR

3.1 Definiţie şi obiect................................................................................ 19

3.2 Forţele ce acţionează în interiorul fluidelor......................................... 19

3.3 Ecuaţiile fundamentale ale hidrostaticii............................................... 20

3.4 Expresia potenţialului forţelor masice................................................. 22

3.5 Ecuaţia fundamentală a hidrstaticii în câmp gravitaţional................... 22


2

3.6 Interpretarea ecuaţiei fundamentale şi consecintele ei........................ 23

3.7 Aplicaţii............................................................................................... 25

3.7.1 Presa hidraulică.................................................................................... 25

3.7.2 Acumulatorul hidraulic........................................................................ 25

3.7.3 Amplificatorul hidraulic...................................................................... 25

3.8 Presiunea relativă şi absolută............................................................... 26

3.9 Unităţi de măsură................................................................................. 27

3.10 Instrumente pentru măsurarea presiunilor........................................... 27

3.10.1 Instrumente cu lichid........................................................................... 27

3.11 Repausul relativ în mişcarea de translaţie uniformă............................ 30

3.11.1 Ecuatiile generale ale repausului relativ în mişcarea de translaţie….. 30

3.12 Repausul relativ a unui fluid în mişcarea de rotaţie............................ 31

3.13 Acţiunea fluidelor în repaus pe pereţii solizi....................................... 33

3.13.1 Acţiunea fluidelor în repaus pe pereţii plani........................................ 33

3.13.2 Acţiunea fluidelor în repaus pe pereţi curbi deschişi........................... 37

3.13.3 Actiunea fluidelor in repaus pe suprafeţe curbe deschise…………… 38

3.13.4 Acţiunea fluidelor în repaus pe suprafeţe curbe închise…………….. 38

3.14 Plutirea corpurilor................................................................................ 39

3.14.1 Elementele hidraulice ale unui plutitor................................................ 39

3.14.2 Teoremele plutirii................................................................................ 40

3.14.3 Stabilitatea plutirii. Momentul stabilităţii…………………………… 41

Capitolul IV. CINEMATICA FLUIDELOR

4.1 Definiţie şi obiect................................................................................ 45

4.2 Metode de studiu în mişcarea fluidelor............................................... 45

4.3 Clasificarea mişcarilor......................................................................... 47

4.4 Noţiuni specifice mişcării fluidelor..................................................... 48

4.5 Mişcarea unei particule fluide (Teorema lui Cauchy-Helmoholtz)…. 50

4.6 Ecuaţia continuităţii (Legea conservării masei fluidului)…………… 52

4.6.1 Ecuatia contuităţii în cazul general………………………………….. 52

4.6.2 Ecuaţia continuitatii pentru un tub de current……………………….. 53

Capitolul V. DINAMICA FLUIDELOR IDEALE

5.1 Definiţie şi obiect……………………………………………………. 55

5.2 Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării fluidelor ideale (Ecuaţiile Euler)... 55

5.3 Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării fluidelor ideale sub forma

Gromeka-Lamb………………………………………………………

56

5.4 Integrarea ecuaţiilor mişcării………………………………………... 57

5.5 Ecuaţia lui Bernoulli pentru fluide ideale pe o linie de current…….. 57

5.5.1 Interpretarea energetica a ecuatiei lui Bernoulli (Ecuaţia energiei)… 59

5.5.2 Interpretarea geometrică a ecuaţiei lui Bernoulli……………………. 59

5.6 Pierderile hidraulice (de sarcină)......................................................... 60

5.7 Aplicaţiile ecuaţiei lui Bernoulli.......................................................... 61

5.7.1 Formula lui Toricelli............................................................................ 61


3

5.7.2 Fenomenul Venturi.............................................................................. 61

5.7.3 Presiunea într-un punct de impact....................................................... 62

5.7.4 Presiunea într-o conductă.................................................................... 62

5.8 Teorema impulsului şi teorema momentului cinetic………………... 63

5.8.1 Teorema impulsului............................................................................. 63

5.8.2 Teorema momentului cinetic............................................................... 64

5.9 Aplicaţii ale teoremei impulsului……………………………………. 64

5.9.1 Fortele hidrodinamice……………………………………………….. 64

5.9.2 Roata hidraulică cu acţiune………………………………………….. 65

5.9.3 Forţe de reacţiune…………………………………………………… 66

Capitolul VI. MISCARI POTENTIALE PLANE

6.1 Definiţie şi noţiuni generale…………………………………………. 68

62. Legătura dintre mişcarea potenţială plană şi teoria funcţiilor de

variabilă complex…………………………………………………….

68

6.2.1 Constructia unei solutii a ecuatiilor de miscare ale fluidelor ideale… 68

6.3 Potenţialul complex al mişcării........................................................... 69

6.4 Determinarea unor mărimi caracteristice mişcărilor potenţiale plane 70

6.4.1 Determinarea vitezelor......................................................................... 70

6.4.2 Determinarea vitezei complexe........................................................... 71

6.4.3 Determinarea repartiţiei presiunilor..................................................... 71

6.4.4 Determinarea circulaţiei vitezei şi a debitului..................................... 71

6.5 Tratarea problemelor de mişcări potenţiale plane............................... 72

6.5.1 Mişcarea de translaţie uniformă........................................................... 73

6.5.2 Mişcarea produsă de o sursă punctiformă........................................... 74

6.5.3 Mişcarea produsă de un vârtej............................................................. 75

6.5.4 Mişcarea produsă de un dipol.............................................................. 75

6.5.5 Mişcarea în jurul cercului.................................................................... 76

6.5.6 Mişcarea în jurul cercului cu circulaţie............................................... 78

Capitolul VII. ELEMENTE DE TEORIA VALURILOR

7.1 Ecuaţii de bază..................................................................................... 81

7.2 Valuri plane calătoare de mică amplitudine………………………… 81

7.3 Grupuri de valuri.................................................................................. 83

7.4 Valul staţionar...................................................................................... 84

7.5 Valuri plane calătoare în fluid de adâncime finită………………….. 84

7.6 Energia valului călător......................................................................... 86

Capitolul VIII. MIŞCAREA LAMINARĂ A FLUIDELOR REALE

8.1 Existenţa a două regimuri diferite de mişcare. Experienţa lui

Reynolds…………………………………………………………….

88

8.2 Ecuatiile de miscare ale fluidelor reale in miscarea laminara……… 89

8.2.1 Starea de tensiune într-un fluid în mişcare………………………….. 89


4

8.2.2 Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor reale în componente de eforturi

(forma dată de Cauchy)……………………………………………...

91

8.2.3 Ecuaţiile Navier-Stokes pentru mişcarea laminară a fluidelor reale 92

8.2.4 Ecuaţiile de mişcare a fluidelor reale în mişcarea laminară sub

formele date de Helholtz şi Gromeka-Lamb………………………...

94

8.3 Legea conservării şi transformării energiei în cazul mişcării

laminare a fluidelor reale. Relaţia lui Bernoulli……………………..

96

8.4 Relaţia lui Bernoulli pentru o linie de curent, în mişcarea laminară a

fluidelor reale………………………………………………………..

97

8.5 Mişcarea laminară a fluidelor reale în conducte circulare drepte.

Mişcarea Hagen-Poiseuille………………………………………….

98

8.5.1 Legea Hagen-Poiseuille de distribuţie a vitezelor în mişcarea

laminară a fluidelor reale în conducte circulare drepte……………..

98

8.5.2 Distribuţia eforturilor unitare tangenţiale în mişcarea Hagen-

Poiseuille…………………………………………………………….

100

8.5.3 Determinarea debitului şi a vitezei medii în mişcarea Hagen-

Poiseiulle……………………………………………………………..

101

8.5.4 Calculul coeficientului de rezistenţă al pierderilor de sarcină liniare

(coeficinentul lui Darcy) în mişcarea Hagen-Poiseiulle…………….

101

8.5.5 Liniile de curent şi liniile de vârtej în mişcarea Hagen-Poiseuille…. 102

8.6 Soluţii exacte şi soluţii aproximative ale ecuaţiilor de mişcare

Navier+Stokes în câteva cazuri particulare.........................................

103

8.6.1 Mişcarea permanentă a unui fluid real între două plăci plane

paralele………………………………………………………………

103

8.7 Noţiuni de teoria hidrodinamică a librificatiei………………………. 106

Capitolul IX. TEORIA STRATULUI LIMITA

9.1 Noţiunea de strat limită……………………………………………… 110

9.2 Grosimea stratului limită..................................................................... 111

9.3 Desprinderea stratului limită şi formarea vârtejurilor………………. 113

9.4 Ecuaţiile de mişcare în stratul limită bidimensional incompresibil

(Ecuaţiile lui Prandtl)………………………………………………..

114

Capitolul X. MIŞCAREA TURBULENTĂ A FLUIDELOR REALE

10.1 Structura mişcării turbulente………………………………………… 118

10.2 Teoria amestecului turbulent (Teoria schimbului impulsului)……… 119

10.3 Distribuţia vitezelor în mişcarea turbulentă……………………….. 121

10.4 Eforturile suplimentare turbulente....................................................... 122

10.5 Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor reale în mişcarea turbulent……… 123

10.6 Legea transformării şi conservării energiei în mişcarea turbulentă a

fluidelor reale………………………………………………………...

125

Capitolul XI. ANALIZA DIMENSIONALĂ ŞI TOERIA SIMILITUDINII


5

11.1 Metodele analizei dimensionale…………………………………….. 127

11.1.1 Metoda Rayleigh. Aplicaţii………………………………………….. 127

11.1.2 Teorema produselor. Aplicaţii............................................................. 129

11.2 Bazele teoriei similitudinii................................................................... 132

11.2.1 Similitudinea geometrică, cinematică şi dinamică………………….. 132

11.2.2 Stabilirea criteriilor de similitudine…………………………………. 133

11.3 Principalele criterii de similitudine întâlnite în mecanica fluidelor 135

Capitolul XII. MECANICA FLUIDELOR APLICATĂ

12.1 Calculul pierderilor de sarcină……………………………………… 137

12.2 Conducte netede şi conducte rugoase; grosimea substratului laminar 137

12.3 Determinarea coeficientului pierderilor de sarcină liniare………….. 139

12.4 Calculul pierderilor locale de sarcină……………………………….. 140

12.5 Curgerea prin orificii şi ajutaje……………………………………… 142

12.6 Mişcări permanente în conducte sub presiune……………………… 146

12.7 Calculul conductelor compuse în serie……………………………… 149

12.8 Calculul conductelor compuse in paralel……………………………. 150

MECANICA FLUIDELOR NOTIUNI DE CALCUL SI ANALIZA VECTORIALA Dr.ing Petru Aron

6

I. NOTIUNI DE CALCUL SI ANALIZA VECTORIALA

Prezentul capitol îşi propune o succintă prezentare a principalelor noţiuni de calcul şi

analiză vectorială, curent utilizate în descrierea mişcării fluidelor.

1.1. Notiuni introductive

Marimi scalare: sunt mărimile fizice care pot fi caracterizate printr-un număr real. Exemplu:

timpul, temperatura, lungimea unui segment, masa, energia etc.

Vectorul: este caracterizat prin direcţie, sens şi modul. Modulul vectorilor este reprezentat

prin lungimea segmentului. Exemple: forţa, viteza, translaţia.

- vectori echipolenţi : doi vectori care au aceiaşi direcţie, sens şi modul;

- vector liber: vectorul care reprezintă mulţimea tuturor vectorilor echipolenţi;

- vectori legaţi: vectori a căror origine nu poate fi schimbată fără a înceta de a mai

reprezenta o aceiaşi mărime fizică.

1.2. Algebra vectoriala

1.2.1. Adunarea si scaderea vectorilor

- suma (rezultanta) a doi vectori: baR

Suma este cumulativeă şi asociativă.

Compunerea se face după regula paralelogramului.

Fig.1.1. Adunarea a doi vectori.

- scaderea este operatiunea inverse a adunarii. baD

este

vectorul care adunat cu b

da vectorul a

Fig.1.2. Scaderea a doi vectori

Daca ba

, diferenta este vectorul nul, notat 0

, al carui modul este zero si avand o

directie nedeterminata.

1.2.2. Inmultirea unui vector cu un scalar

Produsul unui vector a

cu un scalar este tot un vector, care se noteaza a

sau a

avand sensul lui a

cand > 0 si sensul opus cand < 0.

a

R

b


7

1.2.3. Impărţirea unui vector cu un scalar

Impartirea se reduce la inmultirea cu 1

. Daca vectorul a

se imparte la modulul sau se

obtine un vector cu modulul egal cu unitatea, avand directia si sensul lui a

. Acest vector a

a

se

numeste versorul lui a

.

1.2.4. Produsul vectorilor.

Produsul dintre doi vectori poate fi definit in mai multe moduri, astfel:

- produsul scalar a doi vectori a

si b

se noteaza cu ba

. Rezultatul este un scalar.

cosabba

unde este unghiul dintre cei doi vectori.

Daca cei doi vectori sunt colineari , produsul lor scalar se reduce la ab , dupa cum cei

doi vectori au acelasi sens sau sensuri opuse.

Produsul scalar este comutativ, distributiv fata de adunare cabacba

)( , iar inmultirea cu

un scalar se poate reduce la inmultirea unuia dintre vectori cu acel scalar.

)()()( bababa

- produsul vectorial a doi vectori a

si b

se noteaza ba

reprezinta aria orientata a

paralelogramului format de cei doi vectori (v.fig. 1.3)

Fig.1.3. Produsul vectorial a doi vectori.

Produsul vectorial se reprezinta printr-un vector cu urmatoarele insusiri:

- este perpendicular pe planul determinat de a

si b

;

- este dirijat in sensul pozitiv fata de sensul indicat de a

pentru parcurgerea conturului

paralelogramului determinat de a

si b

;

- modulul sau. sinabba

este aria paralelogramului construit pe a

si b

ca

laturi.

Produsul vectorial este anticomutativ )( baab

, deoarece a

si b

indica

parcurgerea conturului in sensuri opuse. Proprietatile produsului vectorial sunt:

Inmultirea unui produs vectorial cu un scalar se poate face astfel:

)()()( bababa

Produsul vectorial este distributiv fata de adunare.

cabacba

)(

Modulul produsului vectorial este mai mic sau cel mult egal cu produsul modulelor:

ababba sin


8

Daca doi vectori sunt colineari, 0sin si produsul lor vectorial este nul.

Daca a

si b

sunt perpendiculari, abba

. Daca sunt si unitari, produsul lor vectorial

este un vector unitar.

In cazul triedrului kji

,. , format din vectori unitari si ortogonali vom avea:

1kkjjii

0ikkjji

kkjjii

= 0

kji

, ikj

, jik

Proprietatea de distributivitate permite ca produsul vectorial a doua sume de vectori sa se

efectueze la fel ca produsul a doua polinoame, cu restrictia de a pastra ordinea factorilor,

deoarece produsul vectorial nu este comutativ.

Versorul normalei la planul determinat de a

si b

poate fi reprezentat prin

ba

ban

Expresia carteziana a produsului vectorial se poate scrie ca un determinant simbolic:

321

321

bbb

aaa

kji

ba

Produsul a trei vectori:

cabcba )cos()(

1.2.5. Produsul mixt

Produsul mixt format din trei vectori cba

,, , in aceasta ordine este produsul )( cba

si

reprezinta volumul paralelipipedului construit cu cba

,, ca laturi luat cu semnul + sau -, dupa

cum a

si cb

sunt de aceiasi parte a planului determinat de b

si c

sau de parti opuse.

Produsul mixt se noteaza:

cbacbacba

)()(

Daca intr-un produs mixt se permut doi termini intre ei, produsul mixt isi schimba

semnul:

abcbcacabcba

Permutarea circulara a celor trei vectori nu schimba produsul mixt:

bacacbcba

Prin inmultirea unuia din vectori cu un scalar , produsul mixt se inmulteste cu acel

scalar:

)]([])[())(( cxbacxbacba

)( cba


9

Din interpretarea geometrica a produsului mixt rezulta ca trei vectori sunt coplanari

numai atunci cand produsul lor mixt este nul.

Expresia carteziana a produsului mixt se poate scrie sub forma de determinant:

321

321

321

ccc

bbb

aaa

cba

1.2.6. Dublul produs vectorial.

Dublul produs vectorial )( cba

este un vector perpendicular pe cb

:

cbabcacba

)()()( sau, analog:

acbbcacba

)()()(

1.3. Analiza vectoriala

1.3.1. Diferentiala.

Exemplu: vectorul viteza V

(x,y,z,t) are diferentiala de forma:

dzz

Vdy

y

Vdx

x

Vdt

t

VVd

Daca t este variabila independenta, iar x, y, z functii de t, derivata totala

a functiei V

are expresia:

t

V

dt

dz

z

V

dt

dy

y

V

dt

dx

x

V

dt

Vd

1.3.2. Gradientul .

Fie o functie scalara )(P cu doua suprafete de nivel si d si un sistem de axe

cartezian (v.fig. 1.4).

Fig.1.4. Doua suprafete de nivel infinit apropiate

Din figura se constata:


10

rdndn

, rdnn

dnn

d

unde n

este vectorul normal la suprafata .const , r

este vectorul de pozitie, iar

dzkdyjdxird

Prin definitie:

z

ky

jx

in

ngrad

Introducand operatorul nabla:

z

ky

jx

i

se poate scrie grad

Reguli de calcul:

gradgradgrad )(

gradgradgrad )(

gradd

dFgradF )(

1.3.3. Divergenta.

Fluxul total al campului vectorial V

printr-o suprafata inchisa Σ care margineste un

volum se numeste productivitatea volumului . Raportul reprezinta productivitatea

medie a unitatii de volum, iar limita acestui raport cand toate punctele suprafetei Σ tind catre un

punct interior P, se numeste divergenta campului vectorial V

in punctul P.

z

w

y

v

x

u

z

Vk

y

Vj

x

ViVdiv

unde wvu ,, sunt proiectiile lui V

pe cele trei axe.

1.3.4. Rotorul.

Daca o curba inchisa C care inconjura punctul P, situat in planul curbei C, delimiteaza

suprafata S, limita raportului dintre circulatia Γ pe curba C si suprafata S cand toate punctele

curbei C tind catre P, este proiectia unui vector pe directia normalei la suprafata S care se

numeste rotorul campului V

in punctul P.

z

Vk

y

Vj

x

ViVrot

Rotorul vectorului V

mai poate fi scris sub forma unui determinant simbolic:

wvu

zyx

kji

Vrot

unde wvu ,, sunt proiectiile lui V

pe cele trei axe.


11

Fig.1.6. Volum elementar pentru calculul

rotorului vectorului V

Utilizand operatorul nabla: VVrot

Operatiile grad, div, si rot au proprietati de asociativitate. Exista egalitatile:

)(

VVV

)(

VVV

)(

0)(

0)( V

abbaba

)()()(

babaababba

)()()()()(

VVV

2)()(

abbaabbaba

)()()()()(

Se mai poate scrie:

2)( , VV

)(

unde este operatorul lui Laplace,

2

2

2

2

2

2

zyx

Daca r

este vectorul de pozitie:

VrV

)( , 3r

, 0r

, 03r

r

iar rdd

, VrdVd

)( daca si V

nu depend de timp.Daca depend de timp se mai

aduaga derivatele partiale functie de timp ale lui si V

.

MECANICA FLUIDELOR NOTIUNI INTRODUCTIVE Dr.ing. Petru Aron

12

II. NOTIUNI INTRODUCTIVE

2.1 Generalităţi

Mecanica teoretică defineşte două categorii de corpuri: solide (rigide şi deformabile) şi

fluide (lichide şi gaze). Mecanica fluidelor studiază legile de echilibru şi mişcarea acestora,

precum şi interacţiunea lor când intra în contact cu corpurile solide. Mecanica fluidelor se

împarte în trei părţi:

-Statica fluidelor, care studiază legile şi condiţiile de echilibru ale fluidelor şi acţiunea

lor asupra solidelor cu care intră în contact.

-Cinematica fluidelor, care studiază mişcarea acestora fără a ţine cont de forţele care ar

putea interveni să modifice starea de mişcare.

-Dinamica fluidelor, care studiază legile de mişcare ale fluidelor şi interacţiunea lor cu

corpurile solide.

O particularitate distinctivă a fluidelor în raport cu corpurile solide este fluiditatea lor, cu

alte cuvinte au o rezistenţă nesemnificativă la forfecare iar la cea mai mică deformaţie, forţele de

rezistenţă ale fluidelor, la acea deformaţie, tind către zero. Deci sub acţiunea unor forţe

exterioare relativ mici, pot căpăta deformaţii mari, luând forma recipientului solid în care se

găsesc.

Lichidele sunt acele fluide care pot fi considerate, practic, incompresibile, cu alte cuvinte

dependenţa dintre densitate şi presiune poate fi neglijată. Nu acelaşi lucru se întâmpla cu gazele.

Fluidele sunt studiate în Mecanica fluidelor ca medii continue, omogene şi izotrope. Un

mediu este continuu şi omogen, dacă are aceiaşi densitate în orice punct şi este izotrop dacă

prezintă aceleaşi proprietăţi în toate direcţiile. Există puncte, linii sau suprafeţe de discontinuitate

în fluide, care prezintă condiţii specifice la limită.

2.2 Particula fluidă

Mecanica fluidelor face abstracţie de structura acestora, considerând fluidul un mediu

continuu. Teoretic acesta poate fi împărţit în elemente oricât de mici. Astfel se obţine particula

de fluid, de formă oarecare şi de dimensiuni arbitrar de mici, care păstrează caracteristica de

mediu continuu în raport cu care se studiază repausul şi mişcarea acstuia. Mărimile fizice (viteză,

presiune, densitate, etc.) la un moment dat t sunt cele măsurate în centrul de masa al particulei.

Omogenitate şi izotropia permit ca relaţiile stabilite pentru particula de fluid să fie extinse

la întreaga masa a fluidului.

2.3 Modele de fluid

In Mecanica fluidelor sunt acceptate urmatoarele modele de fluid:

- Fluid uşor (fără greutate);

- Fluid ideal (lipsit de vâscozitate, modelul Euler)

- Fluid vâscos (modelul Newton);

- Fluid incompresibil (fără variaţii de volum la variaţii de presiune, modelul Pascal)


13

2.4 Proprietăţile fizice comune fluidelor

Proprietatile fizice inflentează în mod semnificativ comportarea fluidelor în starea de

repaus şi în mişcare. Ele sunt influenţate de forţele masice şi forţele de contact (presiune şi

tensiune). Cele care influenţează în mod semnificativ comportarea fluidelor sunt:

2.4.1 Densitatea

Densitatea într-un punct oarecare al fluidului se defineşte ca fiind masa unitatii de volum:

Vd

md

V

m

V .

.

.

.lim

0

unde: m. este masa unitatii de volum V.

In cazul unui fluid omogen, densitatea va fi V

m , care în Sistemul International (SI) se

măsoară în [kg/m3]

2.4.2 Greutatea specifică

Greutatea specifică este proprietatea fluidelor de care depinde mărimea forţelor masice

sau volumice şi se defineşte ca greutate a unităţii de volum:

Vd

Gd

V

G

V .

.

.

.lim

0

In cazul unui fluid omogen, greutatea specifică va fi V

G, care în SI se măsoară în [N/m

3].

Se poate exprima şi în sistemul MKfS in [kgf/m3]

Greutatea specifică a apei distilate la 40C şi la presiunea atmosferică este

33

10009810m

kgf

m

N

Greutatea specifică este legată de densitatea prin relaţia g.

Pentru lichide, densitatea şi greutatea specifică sunt practic constante la variaţii de

presiune şi scad nesemnificativ la creşterea temperaturii.

Tabelul 2.1 Greutaţi specifice ale câtorva fluide (dupa Cristea Mateescu, 1963)

Fluid Kgf/m3 t

0C Fluid Kgf/m

3 t0C

Apa distilată 1000 4 Tiţei 850-900 -

Anilina 1022 20 Petrol lampant 90-820 15

Alcool 790 10 Mercur 1596 0

Benzina 640-740 15 Ulei de uns 890-920 -

Glicerina pură 1260 0 Clorura de sodiu 1210 17

2.4.3 Compresibilitatea izotermică

Compresibilitatea izotermică este proprietatea fluidelor de a-şi modifica volumul sub

acţiunea variaţiei de presiune, la temperatură constantă. Compresibilitatea se manifestă sub

acţiunea forţelor de suprafaţă (presiuni). Presiunea care determină modificarea de volum este

normală la suprafaţa care limitează volumul lichidului.


14

In cazul unei variaţii de presiune p. aplicată unui fluid de volum V aflat la presiunea

p se va produce o variaţie de volum VV /. proporţională cu variaţia de presiune, după relaţia:

pV

V.

. sau dacă variaţiile sunt infinitezimale dp

V

dV.

Unde este coeficientul sau modulul de compresibilitate [m2/N], iar semnul minus arată

că la o creştere de presiune îi corespunde o scădere de volum.

Există fenomene în Mecanica fluidelor care se studiază ţinand cont de compresibiliitatea

lor. Este vorba despre lovitura de berbec sau sonicitatea fondată de Gogu Constantinescu în

1916.

Se mai poate defini şi modulul de elasticitate care este inversul modulului de

compresibilitate:

dV

dpV

1 [N/m

2]

Relaţia poate fi exprimată şi funcţie de densitatea cunoscând că masa fluidului este

Vm . = const., deci rezultă 0dm sau 0.. dVdV . De unde:

d

V

dV

In acest caz valorile modulelor de compresibilitate şi de elasticitate se calculează cu

relaţiile:

dp

d1 si

d

dp

Fluidul al cărei variaţie a densităţii funcţie de variaţia de presiune este aproximativ egală

cu zero este fluid incompresibil.

Stiind că viteza de propagare a sunetului, după Newton, este c , se poate deduce:

dp

dd

dpc

1

Analizând expresia de mai sus, rezultă că, dacă 0dpd , viteza sunetului tinde către

infinit, adică avem de+a face cu o propagare instantanee a sunetului, ceea ce contrazice realitatea

fizică. Iată de ce studiul fenomenelor de propagare a sunetului necesită luarea în considerare a

compresibilităţii fluidelor.

2.4.4 Dilataţia termică

Odată cu creşterea temperaturii unui fluid are loc şi o creştere de volum, care poate fi

exprimată cu relaţia:

1V

V

Unde: 1 este coeficientul de dilataţie termică şi are dimensiunea inversă temperaturi [θ-1

] deci

se măsoară în [grd-1

]


15

2.4.5 Adeziunea la suprafeţe solide

Adeziunea la suprafeţele solide cu care fluidul intră în contact este un fenomen

asemănător cu coeziunea (atracţia dintre particulele vecine). Forţa de adeziune depinde de mai

mulţi facori: natura suprafeţei, natura fluidului, temperatură. Stratul de fluid aderent la corpurile

solide este de ordinul unei sutimi de milimetru şi acesta nu participă la mişcarea fluidului.

2.4.6 Vâscozitatea

Vâscozitatea este proprietatea fluidelor de a se opune deformărilor ce nu constituie

reduceri ale volumului lor, prin dezvoltarea unor eforturi unitare, dintre care cele mai specifice

sunt eforturile tangenţiale ce se dezvoltă între straturile de fluid aflate în mişcare. Putem spune că

dacă fluidul se află în mişcare, în diferite straturi ale sale (plane de separare) apar forţe

tangenţiale, care se opun variaţiei formei volumului considerat, frânează mişcarea şi modifică

repartiţia vitezelor.

Vâscozitatea a fost pusă în evidenţă, experimental, de către Newton.

Fig. 2,3 Experienţa lui Newton

Intre două plăci de secţiune S dintre care, placa inferioară este fixă, iar placa superioară

se deplasează cu viteza u Distanţa dintre cele două plăci este h. Intre cele două plăci se află

lichid, care se presupune că este alcătuit din mai multe straturi. Stratul adeziv la placă superioară

are aceiaşi vitezş cu placa. Atracţia dintre acest strat şi următorul face ca şi acesta să fie antrenat

cu o viteză mai mică şi aşa mai departe, până la stratul aderent la placa fixă, care nu se mişcă.

Experimentul a arătat o repartiţie liniară a vitezei, care este proporţională cu distanţa y de

la placa inferioară u(y)=y/h.U . Vâscozitatea se manifestă prin eforturi tangenţiale care dau o

rezultantă .F

care este proportională cu deci

Cum distanţa dintre două straturi este infinit mică dy , care alunecă unul faţă de altul cu

viteza relativă du se poate scrie:

dy

du

Această relaţie este cunoscută sub numele de ipoteza lui Newton.

Mărimea se numeşte vâscozitate dinamică, caracterizează vâscozitatea fluidului şi

depinde de natura acestuia. In Sistemul International se măsoară în [kg/m.s = N.s/m2]

Raportul vâscozitatea dinamică şi densitatea fluidului se notează cu ν şi se numeşte

vâscozitate cinematică.

y

x

h

U(y)


16

Unitatea de măsură, în Sistemul International, pentru vâscozitatea cinematică este [m2/s],

iar în sistemul CGS este stokes [cm2/s]

Vâscozitatea cinematică, la lichide, scade cu creşterea temperaturii, în timp ce la gaze,

creşte.

2.5 Proprietăţile fizice specifice fluidelor

2.5.1 Tensiunea superficială

Între moleculele unui lichid se exercită forţe de interacţie numite forţe de coeziune.

Fiecare moleculă a lichidului este supusă forţelor determinate de moleculele înconjurătoare.

Pentru moleculele din interiorul lichidului rezultanta acestor forţe va fi nulă deoarece distribuţia

acestor forţe este uniformă în toate direcţiile. Pentru moleculele de la suprafaţa lichidului

rezultanta acestor forţe nu va fi nulă deoarece distribuţia acestor forţe nu mai este aceeaşi în toate

direcţiile. Rezultanta acestor forţe va fi perpendiculară pe suprafaţa lichidului şi îndreptată spre

interiorul acestuia. Stratul de lichid de la suprafaţă numit strat superficial va exercita deci o

anumită presiune asupra lichidului. Grosimea acestui strat precum si presiunea pe care o exercită

sunt foarte mici.Această presiune explică compresibilitatea redusă a lichidelor.

Suprafaţa liberă este modelată printr-o membrană perfect elastică, solicitată în mod

uniform de un efort unitar cu intensitate constantă, independent de punctual de aplicaţie şi de

direcţie.

Datorită interacţiei dintre moleculele stratului superficial cu moleculele lichidului şi cu

moleculele mediului extern, stratul superficial va avea o energie potenţială superficială

proporţională cu suprafaţa liberă a lichidului. La echilibru, această energie trebuie să fie minimă,

deci şi suprafaţa liberă trebuie să fie minimă. De aici rezultă că suprafaţa de separare lichid-

mediu extern se curbează, tinzând să devină sferică, la echilibru. Dar o suprafaţă se menţine

curbă dacă asupra ei acţionează în fiecare punct forţe tangente la ea şi perpendiculare pe conturul

său. Acestea se numesc forţe superficiale sau forţe de tensiune superficială. Ele sunt deci:

- tangente la suprafaţa liberă a lichidului

- uniform distribuite pe lungimea conturului

- perpendiculare pe contur.

Se poate afirma că forţa de tensiune superficială este o forţă de tensiune periferică, prin

care un volum dat de fluid tinde să capete o pătură periferică minimă. Ea există atât la lichide cât

şi la gaze.

Coeficientul de tensiunea superficială, ζ, este prin definiţie forţa de tensiune superficială

exercitată pe unitatea de lungime de pe suprafaţă, deci:

l

F

unde l este lungimea unui contur din stratul superficial pe care se exercită forţa F. Coeficientul

de tensiune superficial se măsoară în [N/m].

Coeficientul de tensiune superficială depinde de natura lichidului şi scade cu creşterea

temperaturii.


17

2.5.2 Capilaritatea

Capilaritatea este o consecinţă a proprietăţilor de aderare la suprafeţele solidelor cu care

fluidele intră în contact precum şi a tensiunii superficiale.

Denivelarea h care apare în tuburile capilare este dată, în primă aproximaţie de legea lui

Jurin

Fig.2.5 Denivelarea suprafetei libere in tuburi capilare

gr

h..

.2

Pentru lichide neaderente (mercurul faţă de sticlă), meniscul este convex iar în tubul

capilar se formează o denivelare h < 0.

Studiul fenomenelor capilare prezintă importanţă în studiul fenomenelor de infiltraţii, în

măsurători efectuate cu aparate ce cuprind tuburi capilare.

2.5.3 Absorbţia gazelor

Fenomenul în care gazele pătrund prin difuzie în masa unui fluid defineşte absorbţia.

Acest lucru se produce în cazurile în care concentraţia componentelor gazelor care acţionează

asupra fluidului este mai mare decât cea corespunzatoare gazelor aflate deja dizolvate în fluid.

Absorbţia creşte odată cu creşterea presiunii şi este caracterizată, în timp, de perioada de

semisaturaţie şi de coeficientul de solubilitate al gazului respectiv. Perioada de semisaturaţie este

timpul în care jumatate din cantitatea de gaz a fost absorbită de fluid, iar coeficientul de

solubilitate reprezinta raportul dintre volumul de gaz dizolvat şi volumul de lichid care-l conţine.

2.5.4 Degajarea gazelor. Cavitaţia

Trecerea gazelor dizolvate în lichide în fază gazoasă defineşte degajarea gazelor

(desorbţia), fenomenul invers absorbţiei. Această degajare se produce când concentratia gazelor

aflate în soluţia lichidă este mai mare decât concentraţia gazelor din afara acesteia. Există

tendinţa de echilibrare a concentraţiilor de gaze.

Cavitaţia este fenomenul ce se produce la scăderea presiunii până la nivelul presiunii de

vaporizare a lichidului. In aceste condiţii, se formează cavităţi (bule) în interiorul lichidului aflat

în curgere, care sunt umplute cu gaze continute anterior în lichid, cavităţi ce implodează (surpă)

când lichidul ajunge din nou în zone cu presiuni mai mari decât presiunea de vaporizare din

interiorul bulelor.

Acest fenomen de implozie a cavităţilor gazoase este însoţit de procese mecanice

(presiuni foarte mari, microjeturi), chimice (se degajă oxigen activ), termice (temperaturi locale

r

h

r

h


18

de mii de grade), electrice (fulgere în miniatură) ce au ca efect distrugerea pereţilor solizi ce

mărginesc lichidul în zona respectivă.

MECANICA FLUIDELOR CINEMATICA FLUIDELOR Dr.ing. Petru Aron

19

III. STATICA FLUIDELOR

3.1 Definiţie şi obiect

Statica fluidelor studiază repausul acestora şi acţiunea lor asupra corpurilor solide cu care

intră în contact.

Problemele ce se studiază în acest capitol au o largă aplicativitate în practica

inginerească. Sunt foarte importante problemele legate de acţiunea fluidului asupra corpurilor

solide precum şi problemele legate de determinarea presiunii în interiorul unui fluid.

3.2 Forţele ce acţionează în interiorul fluidelor

Asupra oricărui sistem de mase izolat acţionează două sisteme de forţe: forţe interioare şi

forţe exterioare. Pentru ca sistemul de mase să fie în echilibru trebuie ca suma acestor forţe să fie

egală cu zero. Intrucât forţele interioare sunt egale şi de sens opus, înseamnă că echilibrul este

asigurat când suma forţelor exterioare este zero.

In fluidele aflate în repaus nu apar forţe de vâscozitate (tangenţiale), acestea fiind

condiţionate de mişcare. Prin urmare, relaţiile din statica fluidelor sunt valabile atât pentru

fluidele ideale cât şi pentru cele reale.

Intr-un fluid aflat în repaus acţionează două forţe, care îl echilibrează: forţele masice şi

forţele de presiune.

Forţele masice se datorează prezenţei câmpurilor exterioare şi sunt analoage celor din

mecanica clasică. Forţele masice sunt forţele de greutate datorate câmpului gravitaţional exterior

masei de fluid considerate.

Forţele de suprafaţă au acelaşi rol ca forţele de legătură din mecanica rigidului. Forţele

de suprafaţă sunt forţe de presiune. Pentru a cunoaşte natura forţelor, acestea se pot transforma în

forţe exterioare şi putem demonstra acest lucru astfel: secţionăm masa unui fluid în două părţi ca

în figura 3.1

Fig.3.1

Dacă îndepărtăm masa m2 , pentru ca masa m1 să rămână

în echilibru, masa m2 trebuie înlocuită cu o forţă

exterioară, care reprezintă acţiunea asupra masei m1.

Această forţă raportată la unitatea de suprafaţă

reprezintă tensiunea sau efortul interior, care acţionează

perpendicular pe suprafaţă. Dacă forţa nu ar fi

perpendiculară pe suprafaţa elementară ar admite şi o

componentă tangenţială, ceea ce înseamnă o scoatere din

echilibru al masei m1,

In cazul fluidelor, eforturile interioare sunt presiuni, ele definind presiunea hidrostatică.

Intr-un punct oarecare al suprafeţei de separare din interiorul unui fluid în repaus se poate scrie

relaţia:

dS

dF

S

Fp

S 0lim

Dacă ΔS tinde către zero (un punct al secţiunii de separare), presiunea este funcţie de

coordonatele punctului, iar forţa elementară de suprafaţă dF se numeşte forţă elementară de

presiune.

ΔS m1

ΔF

m2


20

Intr-un fluid în repaus presiunea este o mărime scalară, ceea ce înseamnă că valoarea

presiunii nu depinde de orientarea arbitrară a suprafeţei S şi pentru a demonstra acest lucru se

detaşează din masa de fluid în repaus un tetraedru elementar, ca în figura 3.2.

Fig.3.2

Normala la suprafaţa ABC de arie ΔS este

dirijată spre exteriorul volumului de fluid şi

face cu axele de coordonate unghiurile ,

si . Forţele de presiune pe suprafeţele

tetraedrului sunt reprezentate în fig.3.2.

Asupra tetraedrului vor acţiona forţele de

presiune px,py,pz şi pn precum şi forţa masică

unitară de componente fx , fy şi fz, care trebuie

să se echilibreze.

Ecuaţiile de echilibru pe direcţia celor trei axe

sunt:

06

.),cos(2

dxdydzfxndSp

dydzp xnX

06

.),cos(2

dxdydzfyndSp

dxdzp ynY

06

.),cos(2

dxdydzfzndSp

dxdyp znZ

Deoarece 2

),cos(dydz

xndS 2

),cos(dxdz

yndS 2

),cos(dxdy

zndS

reprezentând proiecţiile suprafeţei ABC pe planurile oxy, oxz şi oyz vom obţine relaţiile

3

.dx

fpp xnX

3.

dyfpp ynY

3.

dzfpp znZ

Trecând la limită, tetraedul tinzând către punctual O, rezultă relaţiile:

px = py =pz =pn =p(O) =p(x,y.z)

In concluzie, presiunea nu depinde de înclinarea suprafeţei ABC, deci presiunea într-un

fluid în repaus formează un câmp scalar.

3.3 Ecuaţiile fundamentale ale hidrostaticii

Ecuaţiile fundamentale ale staticii fluidelor se obţin din condiţia echilibrării forţelor care

acţionează asupra unei mase oarecare de fluid aflată în repaus. Pentru a demonstra acest lucru,

desprindem dintr-o masă de fluid o particulă infinit mică de forma unui paralelogram a cărui

muchii sunt egale cu dx, dy, dz.

Particula se găseşte în echilibru sub acţiunea forţelor superficiale de contact şi a forţelor

masice. Considerând că în centrul volumului elementar avem presiunea p variaţia ei pe feţele

paralele pe directia unei axe sunt cu , si respectiv , mai mici sau mai

mari. Forţele superficiale rezultă din înmulţirea presiunii cu elementul de suprafaţă.


21

Fig.3.3

Tinând cont că asupra elementului de volum acţionează şi forţele masice, a caror

acceleraţie o notăm cu , ecuaţiile echilibrului hidrostatic, proiectate pe cele trei direcţii sunt:

0.22

dxdydzfdydzdx

x

ppdydz

dx

x

pp x

0.22

dxdydzfdxdzdy

y

ppdxdz

dy

y

pp y

0.

22dxdydzfdxdy

dz

z

ppdxdy

dz

z

pp z

După efectuarea calculelor rezultă:

01

x

pf x

0

1

y

pf y

0

1

z

pf z

Acest sistem de ecuaţii sunt cunoscute sub denumirea ecuaţiile lui Euler din hidrostatică.

Forma vectorială a sistemului este:

Relaţia de mai sus este valabilă pentru fluide incompresibile (ρ = const). In cazul în care

densitatea fluidului depinde de presiune [ρ = ρ(p)] ecuaţia se scrie sub forma:

0.dp

gradfm

Rezultă că în cazul fluidului aflat în repaus, câmpul forţelor masice se scrie sub forma

unui gradient al unei funcţii scalare, deci este un câmp potenţial sau irotaţional ).0.( mfrot


22

Pentru ca ecuaţia: să poată fi integrată este suficient ca forţele

masice unitare să constituie un câmp potenţial sau irotaţional. Se notează cu U(x,y,z) potenţialul

forţelor masice exterioare ţi vom avea:

sau în coordonate carteziene

Ecuaţia fundamentală a hidrostaticii se poate scrie sub forma:

Dacă relaţia de mai sus se înmulţeşte cu va rezulta forma diferenţială a ecuaţiei

hidrostaticii:

Prin integrare se obţine

iar pentru ρ = const

Ceea ce reprezintă ecuaţia fundamentală a hidrostaticii.

3.4 Expresia potenţialului forţelor masice

Aşa cum s-a arătat mai sus, condiţia ca un câmp de forţe masice să menţină un fluid în

repaus este ca acesta să fie câmp potenţial, deci = - grad U . Inmulţim expresia cu şi vom

obţine:

=

Cu fx ,fy si fz s-au notat componentele forţelor câmpului potenţial pe cele trei direcţii.

3.5 Ecuaţia fundamentală a hidrostaticii în câmp gravitaţional

Acţiunea forţelor masice în câmp gravitaţional este un caz particular al potenţialului

forţelor masice. Considerând acceleraţia gravitaţională constantă şi dirijată pe verticală (paralel

cu axa oz) componentele forţelor masice sunt:

si

Potenţialul forţelor masice devine

de unde

Ecuaţia fundamentală a hidrostaticii în câmp gravitaţional devine:

în care termenii sunt potenţiale de presiune şi respectiv de

poziţie, iar dacă se împarte ecuaţia la g se obţine:

în care termenii ecuaţiei reprezinta înălţimi (au dimensiuni de lungime).


23

In câmp gravitaţional suprafeţele de presiune constantă sunt orizontale. Planele de

presiune constantă se mai numesc si plane de nivel. Pentru a afla constanta din relaţia de mai sus

se consideră un vas cu lichid aflat în repaus (fig.3.4)

Fig.3.4 Distribuţia presiunii într-un lichid aflat în repaus

Se scrie ecuaţia hidrostaticii pentru cele două puncte A şi B din fluid

Stiind că pA = pa putem calcula presiunea în punctul B

In concluzie, presiunea într-un punct oarecare din lichid este egală cu presiunea de

deasupra lichidului la care se adaugă produsul γ.h unde h este adâncimea la care se măsoară

presiunea. Pentru lichidele cu suprafaţă liberă, asupra cărora acţionează presiunea atmosferică,

mărimea presiunii din interior la o anumită adâncime calculată cu relaţia

reprezintă presiunea absolută. In cazul în care se calculează presiunea numai până la nivelul

suprafeţei libere, cu relaţia , presiunea astfel măsurată se numeşte presiune relativă.

In cazul în care într-un vas se găsesc mai multe lichide imiscibile, aflate în repaus,

distribuţia presiunilor este aratată în fig.3.5

Fig.3.5 Distribuţia presiunilor în cazul a trei fluide imiscibile

3.6 Interpretarea ecuaţiei fundamentale şi consecinţele ei

Relaţia fundamentală a hidrostaticii cu reprezentare geometrică este data de ecuaţia:

unde: p /γ este înalţimea piezometrică, corespunzătoare presiunii absolute p;

z este cota geometrică (cota faţă de un plan de referinţă ales arbitrar);

Habs este sarcina hidrostatică corespunzătoare presiunii absolute.

In fig.3.6 s-a reprezentat un rezervor închis ce conţine un lichid a cărui suprafaţă liberă

este supusă la o presiune p0 mai mare decât presiunea atmosferică pa.


24

Fig.3.6 Reprezentarea geometrică şi verificarea experimentală

a relaţiei fundamentale a hidrostaticii

H este sarcina hidrostatică corespunzătoare presiunii relative p – pa. Dacă p – pa>0, ceea

ce corespunde unei presiuni relative pozitive se numeşte presiune manometrică, iar sarcina

hidrostatică poartă numele de sarcină manometrică. Dacă p – pa < 0, presiunea relativă se

numeşte presiune vacuumetrică, iar sarcina hidrostatică se numeşte sarcinâ vacuumetrică.

Dacă aplicăm ecuaţia hidrostaticii pentru punctele 3 şi 4 (fig.3.6), unde sunt plasate două

tuburi piezometrice deschise la partea superioară (tuburi manometrice) vom avea:

Hzpp

zpp aa

4

4

3

3

- Dacă în ecuaţia , în cazul fluidelor incompresibile p = const, atrage după

sine şi U=const, deci suprafeţele de presiune constantă sunt suprafeţe echipotenţiale (suprafeţe

care au potenţialul forţelor masice constant). In repausul fluidelor suprafeţele echipotenţiale sunt

şi suprafeţe izobare.

- Forţa masică ce acţionează asupra unei particule de fluid este normală la suprafaţa

echipotenţială (izobară) ce trece prin punctul de aplicaţie al forţei şi este îndreptată în sensul

scăderii potenţialului (sensul creşterii presiunii).

- Suprafeţele echipotenţiale nu se intersectează deoarece presiunea fiind o mărime scalară

este unică fiecărui punct din mediul fluid. Dacă s-ar intersecta ar însemna ca într-un punct din

mediul fluid să avem presiuni diferite.

- Dacă suprafaţa este izobară (p = const) şi echipotenţială (U = const) rezultă că şi

densitatea pe suprafaţa respectivă este constantă. In concluzie suprafaţa izobară este

echipotenţială şi izodensă.

- Din ecuaţia lui Clapeyron-Mendeleev a temperaturii rezultă că, dacă p şi ρ

sunt constante, temperatura este constantă, cu alte cuvinte o suprafaţa izobară este echipotenţială,

izodensă şi izotermă.

- Suprafaţa de separare dintre două lichide imiscibile ( ) este echipotenţială.

Acelaşi lucru se poate spune şi despre suprafaţa de separare dintre un lichid şi un gaz.

Considerând că între două puncte infinit vecine ale aceleiaşi suprafeţe avem relaţia:

rezultă


25

de unde dU =0 , deci U = const.

-Dacă forţele masice sunt neglijabile în raport cu cele de presiune, presiunea în fluid este

constantă. Dacă =0 rezultă U = const, deci conform relatiei , p = const.

Această consecinţă poartă numele de principiul lui Pascal (dacă într-o zona a fluidului are loc o

creştere de presiune, aceasta se transmite în toată masa fluidului). Pe acest principiu funcţionează

maşinile hidraulice simple: presa hidraulică, acumulatorul hidraulic, cricul hidraulic, etc.

3.7 Aplicaţii

3.7.1 Presa hidraulică.

Foloseşte principiul lui Pascal pentru amplificarea forţei prin intermediul unui fluid (de

obicei ulei hidraulic). Schema de principiu este prezentată în figura 3.6

Fig.3.7 Principiul presei hidraulice

Un piston cu secţiunea transversală s este folosit pentru exercitarea unei forţe asupra

unui lichid (de regulă ulei). Creşterea presiunii de la suprafaţa lichidului (p =f /s) este transmisă

la un piston mai mare, de secţiune S.

de unde

Deci presa hidraulică este un dispozitiv de amplificare al forţei cu un factor egal cu

raportul suprafeţelor celor două pistoane. Acest principiu este utilizat în practică la elevatoarele

auto şi cricul hidraulic, la frânele hidraulice, la scaune de birou sau de frizerii şi stomatologice.

3.7.2 Acumulatorul hidraulic

Acumulatorul hidraulic are rolul de a inmagazina energie hidraulică pentru a o restitui,

sistemului hidraulic din care face parte, atunci când este nevoie, ceea ce confera o continuitate

alimentării echipamentelor şi pentru amortizarea oscilaţiilor de presiune în timpul funcţionării

pompelor hidraulice.

3.5.3 Amplificatorul hidraulic

Amlificatorul hidraulic se utilizeaza în transmisiile şi acţionările hidraulice pentru

mărirea presiunii. Schema de principu este prezentată in fig.3.8.

Fig.3.8 Amplificator hidraulic. Schema de principiu.

F f

S s

D

d


26

Forţa ce actionează asupra pistoanelor de unde rezultă

1

2

2 pd

Dp

Deci presiunea se amplifică cu raportul dintre diametrele pistoanelor.

3.8 Presiunea relativă şi absolută.

La baza instrumentelor pentru măsurarea presiunilor stă ecuaţia presiunii din hidrostatică.

Fig.3.9

Diferenţa de presiune dintre aerul conţinut intr-

un rezervor şi aerul atmosferic se masoară cu

un tub în forma de U. (fig.3.9)

Revenind la ecuaţia fundamentală a

hidrostaticii scrisă sub forma:

H.constzg

p şi analizând dimensiunile,

se observă că fiecare din termenii relaţiei sunt

înălţimi. In acest caz, pentru determinarea

presiunilor este suficient să se măsoare

înălţimea coloanei de lichid care produce

aceeaşi presiune.

In figura 3.9 s-a reprezentat un rezervor pneumohidraulic, în care se găseşte un lichid

având densitatea , iar la partea superioară o pungă cu gaz având presiunea 01 pp (presiunea

atmosferică). Pentru determinarea presiunii în punctul M se utilizează două tuburi: unul închis şi

vidat şi celălalt deschis la presiunea atmosferică. Dacă punctul M ar fi mobil şi odată cu el şi

partea inferioară a celor tuburi, nivelul lichidului în cele două tuburi şi-ar păstra poziţia astfel:

în tubul vidat nivelul lichidului se va găsi în acelaşi plan, denumit plan barometric;

în tubul deschis la presiunea atmosferică nivelul lichidului se va găsi în acelaşi plan,

denumit plan manometric.

Dacă notăm cu p presiunea în punctul M, se pot scrie următoarele relaţii:

m0b1 ghpghghpp

Rezultă: g

ph b - înălţimea barometrică

g

pph 0

m - înălţimea manometrică

zg

pHb - sarcină barometrică


27

zg

ppH 0

m - sarcină manometrică.

Atunci când 0hm sarcina se numeşte vacuumetrică.

3.9 Unităţi de măsură

Pentru presiune, unitatea de măsura în SI este newton pe metru patrat [N/m2], ce poartă

denumirea de Pascal

In CGS, unitatea de măsură este dyna pe centimetru patrat [dyn/cm2]

1 dyn/cm2 = 0,1 N/m

2

Se mai utilizează bar-ul.

1 bar = 106 dyn/cm

2 = 1 daN/cm

2 = 10

5 N/m

2

La fel de răspândită este şi atmosfera tehnica [at]

1 at = 1 kgf/cm2

= 9,81.104 N/m

2

O altă măsură, la fel de răspândită este atmosfera fizică, care reprezintă presiunea ce

ridică într-un tub barometric o coloana de 760 mm mercur la temperatura de 0oC într-o zona

unde acceleraţia gravitaţională este 9,80665 m/s2.

In practică, datorita utilizării unor instrumente de măsurare a presiunii cu lichide, se mai

întâlnesc următoarele unităţi de măsurare:

- milimetri coloana de apă 1 mm col apa = 9,81 N/m2

- milimetri coloana de mercur 1mm col. Hg = 133,322 N/m2 se mai numeşte şi torr.

3.10 Instrumente pentru măsurarea presiunilor

Măsurarea presiunii presupune uneori fie determinarea înălţimii barometrice bh fie a

înălţimii manometrice mh . Acest lucru se realizează cu aparate speciale denumite manometre cu

lichid, despre care ne vom ocupa in acest curs. In practică manometrele cele mai des utilizate

sunt cele cu element elastic (membrană, burduf), cu piston sau electrice prevăzute cu traductoare

piezoelectrice ce se bazează pe proprietatea unor materiale dielectrice cristaline, care supuse

unor acţiuni mecanice se încarcă cu sarcină electrică.

3.10.1 Instrumente cu lichid

La acest tip de instrumente, presiunea se determină prin coloana de lichid. Acestea

constau din tuburi de sticlă cu diametre mai mari de 6-7 mm în care se găseşte un lichid

manometric. Pentru măsurarea presiunii relative într-un punct se folosesc tuburi manometrice

numite piezometre simple. Pentru măsurarea diferenţei de presiune dintre două puncte se folosesc

piezeometre diferenţiale.

Tubul piezometric

Este un tub vertical închis şi vidat sau deschis la presiunea atmosferică. Deoarece

originea de măsură a presiunii poate să fie vidul absolut sau o presiune de referinţă (ex. presiunea

atmosferică) se utilizează două moduri de măsurare a presiunii.


28

m0b ghpghp

Fig. 3.10 Tubul piezometric

Piezometrul cu mercur

Fig.3.11 Piezometrul cu mercur

Referitor la fig.3.11 se pot scrie

următoarele relaţii:

21 pp

ghpp1

1Hg02 ghpp

ghghpp 1Hg0

În consecinţă, măsurând înălţimile 1hh şi

cunoscând tipul lichidului (ρ) se poate calcula

presiunea în punctul M. Densitatea mercurului

este 3

Hg m/Kg13560 .

Piezoametrul diferential

Referitor la fig. 3.12 s-au făcut

următoarele notaţii:

1–robinet de egalizare;

2,3 – robinete ce închid cele două ramuri ale

tubului cu mercur;

4,5 – robinete de purjare.

Notând cu E şi F două puncte de pe

suprafaţa de separaţie situate în cele două

ramuri ale tubului cu mercur putem scrie:

gxpp EA

)( hxgpp GB

Fig.3.12 Piezometrul diferential


29

Cum: hgppp HgGFE înlocuind în prima relaţie şi scăzând membru cu membru

primele două relaţii va rezulta:

)( HgBA hgpp

Micromanometrul diferenţial

Fig. 3.13 Micromanometru diferenţial

Referitor la fig.3.13, notăm cu densitatea lichidului din micromanometru, celelalte

mărimi utilizate fiind figurate pe desen. Pentru a calcula presiunea fluidului din recipientul A

utilizăm următorul algoritm:

singlphgpp r00

0

2

0

2

4sin)(

4

dll

Dr

Din a doua relaţie rezultă:

sinD

d1

2

2

0r

şi înlocuind în prima relaţie găsim:

2

2

00D

dsingpp .

În consecinţă, cunoscând configuraţia geometrică a micromanometrului,(d.D, sinα) tipul

lichidului de măsură (ρ) şi măsurând deplasarea acestuia în braţul înclinat (l0) se determină

presiunea p a fluidului din recipientul A.

3.11 Repausul relativ al lichidelor în câmp gravitaţional, în mişcare de translaţie uniformă

Considerăm un rezervor prismatic care se deplasează uniform accelerat, cu o acceleraţie

constantă a ca în figura 3.17.pe un plan orizontal. Se constată o înclinare a suprafeţei libere.

Fig. 3.17 Repausul relativ al lichidului într-un

rezervor prismatic care se deplasează, pe

orizontală, uniform accelerat


30

Se spune că un lichid ce se află într-un rezervor este în repaus relativ, dacă particulele din

compunerea sa sunt în repaus în raport cu sistemul de referenţă mobil (x,y,z) ataşat rezervorului.

In raport cu un sistem de referinţă fix, o particula din fluid va avea o viteză absolută

va =vr +vt unde vr este viteza relativă a particulei faţă de sistemul mobil, iar vt este viteza de

transport. Acceleraţia absolută a particulei va fi:

ctra aaaa

Inmulţind relaţia de mai sus cu masa fluidului, relaţia echilibrului dinamic va fi:

ctra amamamam ....

Deci acceleraţia absolută va fie egală cu acceleraţia relativă plus acceleraţia de transport

şi acceleraţia Coriollis. Pentru ca fluidul să fie în repaus relativ, viteza relativă a particulelor

fluidului trebuie să fie nulă (vr = 0) şi deci 0ra şi 0ca , deci vom avea egalitatea:

ta amam ..

3.11.1 Ecuatiile generale ale repausului relativ în mişcarea de translaţie

Aşa cum s-a arătat mai sus, condiţia ca un fluid să fie în repaus relativ este:

ta amam .. sau 0.. ta amam sau 0ia FF

Unde: aa amF . este forţa absolută formată din rezultanta forţelor masice şi a celor de presiune

ti amF . este forţa de inerţie.

In aceste condiţii ecuaţia vectorială a repausului relativ se scrie sub forma:

im ffpgrad.

1

Unde if este forţa de inerţie unitară cu 0. ifrot , deci se poate introduce o funcţie de potenţial

al forţelor de inertie unitare ii Ugradf . . In acest caz relaţia fundamentală a repausului relativ

a lichidelor este :

constUp T unde iT UUU

Consecinţele ecuaţiei fundamentale a repausului relativ sunt analoage cu cele ale

repausului absolut.

Expresia potenţialului total se determină din relaţia:

Tiiim UgradUUgradUgradUgradff .)(..

sau x

Uff T

iXX ; y

Uff T

iYY ; z

Uff T

iZZ

deci: ])()()[( dzffdyffdxffU ixziyyixxT

Revenim la figura 3.17 şi scriem componentele forţelor masice şi de inerţie:

0Xf ; 0Yf ; gfZ

af iX ; 0iYf ; 0iZf

In acest caz:

CgzaxgdzadxUT )(


31

Relatia fundamentală a repausului relativ al fluidelor se poate scrie sub forma:

1)( Cgzaxp

unde constanta C1 se determină scriind relatia între un punct oarecare din masa fluidului şi

punctul A a cărui poziţie este cunoscută A(b/2;h0) şi în care presiunea este p = p0.

).2/.()( 00 hgbapgzaxp

Relaţia permite determinarea presiunii în orice punct al fluidului. Pe verticală, repartiţia

presiunilor este identica cu cea de la repausul absolut.

3.12 Repausul relativ al unui fluid dintr-un rezervor în mişcare de rotaţie uniformă

Un alt exemplu de repaus relativ cazul unui rezervor cu lichid, care se roteşte în jurul axei

sale cu o viteză unghiulară constantă ω (fig.3.18). La începutul mişcării nivelul lichidului este h0,

iar componentele forţei unitare de masă sunt: 0Xf ; 0Yf ; gfZ

Forţele de inerţie au componentele: 2.xf iX ; 2.yf iY

; 0iZf

Fig.3.18 Repausul relativ şi distribuţia presiunilor într-un cilindru

circular ce se află în mişcare de rotaţie uniformă

Relaţia potenţialului total va fi:

CyxzgdzgdyydxxUT )(2

.]...[ 222

22

Suprafaţa liberă a fluidului este un paraboloid de rotaţie. Ecuaţia de mai sus poate fi

scrisă sub forma:

1

2222

2

2.)(

2. C

rzgyxzg

sau 2

22

2C

g

rz care reprezintă ecuaţia suprafeţei libere a lichidului

Se scrie ecuaţia de repaus între două puncte cunoscute A unde z = h, r = 0 şi B unde z=H

şi r =R.

2

22

2C

g

RHh


32

Cum volumul de fluid nu se schimbă în interiorul recipientului putem spune că volumul

iniţial este egal cu cel după ce fluidul în mişcarea de rotaţie, s-a stabilizat:

)(

2

1 22

0

2 hHRHRhR

sau 02hhH

Inlocuind datele de mai sus în relaţia lui C2 se obţine:

2

22

04

Cg

Rhh sau

g

RhH

4

22

0

In acest caz ecuaţia suprafeţei libere a lichidului, prin înlocuirea lui C2, va avea forma:

0

22

2

22h

Rr

gz

Ecuaţia fundamentală a repausului relativ în mişcarea de rotaţie (p + ρUT = C) ţinând

seamă de expresia lui UT devine:

Cr

zgp2

.22

Relaţia este valabilă pentru orice punct din masa de fluid. Repartiţia presiunilor pe pereţii

recipientului este prezentată în fig.3.15, liniară pe pereţii laterali şi parabolică pe fundul acestuia.

Repartiţia pe verticală este aceiaşi ca în cazul repausului absolut.

3.13 Acţiunea fluidelor în repaus pe pereţii solizi

Acţiunea unui fluid în repaus pe un perete solid se calculează însumând forţele

elementare de presiune.

Considerăm o suprafaţă solidă de arie

A asupra căreia se manifestă acţiunea apei

aflată în repaus absolut. Pe elementul de

suprafaţă de arie dA fluidul exercită forţă de

presiune elementară:

dAnpFd

unde: n este versorul normalei orientat spre

interiorul fluidului (fig. 3.22).

ndA

Fd

r

0

p

A

Fig.3.22

Fie r raza vectoare corespunzătoare suprafeţei elementare faţă de originea O a axelor de

coordonate. Momentul în raportul cu O al forţei elementare Fd este:

)(0 dAnxprFdxrMd

3.13.1 Actiunea fluidelor în repaus pe pereţii plani

Dacă suprafaţa A este plană atunci .constn şi expresiile de mai sus devin:

A A

0 dAprxnM,dApnF


33

Forţele elementare de presiune pFd reprezintă un sistem de vectori paraleli care se reduc

la o rezultantă unică dată de prima relaţie din grupul de relatii de mai sus, putându-se aplica în

continuare teorema lui Varignon.

Dacă în punctul C, având vectorul de poziţie Cr , se aplică forţa de presiune F , atunci

pentru determinarea lui Cr se scrie:

0C MFxr

deci:

ndAp

dAprr

A

AC

Se observă că determinarea punctului de aplicaţie al forţei de presiune nu este posibilă,

ceea ce înseamnă că forţa de presiune este un vector alunecător. Se va numi centru de presiune

punctul din plan prin care trece suportul forţei F . Aceasta înseamnă 0 şi

A

AC

pdA

pdArr

În concluzie, calculul acţiunii hidrostatice pe suprafeţe plane se reduce la calculul forţei

rezultante de presiune pF şi al poziţiei centrului de presiune Cr .

a) În cazul acţiunii fluidelor uşoare (p = const.) pe un perete plan avem:

pAnFp

GA

C rA

dArr

deci forţa de presiune este egală cu produsul dintre presiunea fluidului şi aria suprafeţei peretelui,

iar centrul de presiune coincide cu centrul de greutate al acestei suprafeţe.

Fie o suprafata plana de arie A, ce face parte dintr-un perete plan, inclinat cu unghiul α

fata de nivelul apei (fig.3.23).

Sistem de axe coordinate carteziene xOy ce coincide cu planul suprafeţei libere a apei

axa Ox fiind situată la intersecţia acesteia cu planul înclinat în care se găseşte suprafaţa A. Un alt

sistem cartezian figurat este Oxz1 cu axa z1 pozitivă în jos (fig. 3.23 a). Se presupune că atât pe

suprafaţa liberă cât şi la exteriorul rezervorului acţionează presiunea atmosferică p0. Pentru o

suprafaţă elementară dA situată la adâncimea h sub suprafaţa liberă presiunea rezultantă va fi:

y

x

1z

A

0y

0p 0

1z

cz 1

Gz 1

x

'x

1z '

1z

C G

dA

n

pF

0h h

pFd

)a)b

Fig.3.23


34

sin)( 100 zghgpghpp

Rezultanta forţei de presiune este:

dAzgdF ...

In cazul suprafeţelor plane toate forţele elementare sunt paralele între ele. Rezultanta lor

este:

S

dSzgF ...

Pentru suprafaţa noastră, se transpun coordonatele în planul xoz1 unde sin1zz

S

dSzgF .sin.. 1

Integrala reprezintă momentul static al suprafeţei S faţă de axa ox, egal cu Sz G1 Deci:

SzgF G1.sin..

Sau SzgF G.. unde Gz este distanta de la centrul de greutate la suprafaţa apei, pentru

cazul când peretele este vertical.

Forta F este perpendiculară pe suprafaţa S şi este dirijată dinspre lichid spre perete.

Pentru calculul coordonatelor punctului de aplicaţie al acesteia C, numit centru de presiune, se

egalează momentul rezultantei F, faţă de axa ox, cu suma momentelor forţelor elementare

(Varignon)

S

C dFzFz 11

Tinând cont de relaţiile anterioare, se poate scrie:

S

GC dSzgSzgz 2

111 sin...sin..

Sz

dSz

zG

S

iC

1

2

1

Relaţia de mai sus se poate transforma exprimând momentul de inerţie de la numărător Ix în

funcţie de momentul Ixo faţă de axa principală de inerţie (teorema lui Steiner):

SzII Gxox

2

1 de unde:

Sz

Izz

G

xo

iGiC

1

In mod similar se obţine cealaltă coordonată

S

C dFxFx . Rezultă:

Sz

Ix

iG

xzi

C sau Sz

Ixx

G

zx

GCo

1

1

OBS. Dacă suprafaţa S admite o axă de simetrie după direcţia ox sau oz, momentul centrifugal

luat faţă de axele centrale de simetrie este zero şi GC xx


35

Se observă că dacă 'x sau '

1z sunt axe de simetrie, atunci 0I '1

'zx şi GC xx . De

asemenea, întrucât momentul de inerţie axial 'xI este întotdeauna pozitiv G1C1 zz şi GC hh

prin urmare, centrul de presiune este în permanenţă situat sub centrul de greutate.

Dacă suprafaţa A este orizontală,(α=900. OZ1=Oy) centrul de presiune coincide cu centrul

de greutate. În adevăr, deoarece suprafaţa A este paralelă cu suprafaţa liberă a apei

.constzz G1

GA

C rA

dArr

Considerând înălţimea coloanei de apă de deasupra suprafeţei orizontale A egală cu h,

modulul forţei de presiune ce acţionează din partea apei pe această suprafaţă este:

ghAF

Formula de mai sus arată că F nu depinde decât de aria suprafeţei de contact a apei cu

peretele orizontal (A) şi de înălţimea coloanei de lichid (h), nedepinzând de masa lichidului

limitat de suprafaţa A.

În mod tradiţional, acest rezultat poartă numele de paradoxul hidrostatic. Spre exemplu,

dacă suprafeţe orizontale A1, A2 şi A3 din figura 3.24 au aceeaşi arie şi nu sunt solidare cu pereţii

laterali ai vaselor fiind menţinute în repaus de forţele 21 F,F şi 3F , atunci 321 FFF .

1A2A 3A

1F 2F 3F

Fig.2.24

Dacă la suprafaţa liberă a lichidului există presiunea 'p , iar la exteriorul rezervorului

presiunea atmosferică p0,(p’>p0) atunci într-un punct de pe perete situat la adâncimea h presiunea

de calcul este:

g

phgpghpp

*

0

' unde: 0

'* ppp .

Analizând relaţiile de mai sus rezultă că această problemă se reduce la cazul particular

0

' pp studiat mai sus, considerându-se o supraînălţare a suprafeţei libere a lichidului cu

valoarea g/p*.

Pe un perete dreptunghiular se poate face un calcul grafo-analitic (fig.3.24)


36

Fig.3.24

In cazul suprafeţei dreptunghiulare

forţa elementară este:

dF = ρ.gzb.dz1

Rezultanta forţelor elementare este:

1. zdzgzdFF

Sub semnul integral, expresia

reprezintă aria elementară dA. Suma

lor reprezintă aria presiunilor

A(AA’BB’), deci:

AghF ..

Coordonata centrului de de presiune zC

va fi:

A

dAzzC

1

Rezultă că forţa hidrostatică trece prin central ariei presiunilor. In particular, când

suprafaţa dreptunghiulară S începe de la nivelul apei, aria presiunilor va fi un triunghi. In acest

caz

sin2

..2

1hghF şi

113

2hz

3.13.2 Acţiunea fluidelor în repaus pe pereţi curbi deschişi

În cazul unei suprafeţe curbe forţele de presiune elementare au direcţii diferite. Sistemul

acestora va constitui un câmp spaţial vectorial care se reduce în orice punct la un torsor format

dintr-o rezultantă şi un moment. Acest torsor este echivalent cu un sistem de trei forţe, în general

neconcurente paralele cu axele sistemului de coordonate.

Forţa de presiune după o direcţie se defineşte ca fiind rezultanta proiecţiilor tuturor

forţelor de presiune elementare pe acea direcţie.

Cu referire la fig. 3.25, am considerat o suprafaţă generată de o dreaptă perpendiculară pe

planul figurii care conturează curba, având capetele A şi B. Forţa elementară de presiune Fd are

componentele pe cele două direcţii dFx şi dFz care se calculează cu formulele:

zz

xx

dAhgsindAhgdF

dAhgcosdAhgdF

unde dAx şi dAz sunt proiecţiile suprafeţei curbe elementare dA după direcţiile axelor Ox şi Oz.

Proiecţiile forţei rezultante de presiune după cele două direcţii se calculează cu relaţiile:

h1


37

0''A

'A A

dv

zdFdF

xdF

dA

'B B

xdA

h

x

''BzdA

Fig.3.25

xAxx hdAgF

zAzz hdAgF

Se observă că hdAz este volumul elementar

coloanei de lichid ce se sprijină pe suprafaţa

elementară dA.

În consecinţă, zA

zhdA reprezintă volumul

coloanei de lichid care se sprijină pe conturul

suprafeţei curbe şi relaţia (2.40) se poate

rescrie:

zF gV

Punctul de aplicaţie al forţei Fx este centrul de

presiune a proiecţiei acestei suprafeţe pe planul

yoz.

Punctul de aplicaţie al forţei Fz se determină scriind că momentul rezultantei faţă de Oy,

respectiv Ox este egal cu suma momentelor forţelor elementare:

zCz dFxxF .. si zCz dFyyF ..

vom avea relaţiile: V

dVxxC

. si

V

dVyyC

.

de unde, rezultă că forţa Fz trece prin centrul de greutate al volumului V.

Dacă cele doua forţe Fx şi Fz sunt coplanare, rezultanta lor va fi: 22

zx FFF

3.13.3 Actiunea fluidelor in repaus pe suprafete curbe deschise

In cazul suprafetelor curbe deschise, presiunea fluidului la inaltimea z este p = γ.z si

notanad cu α. β si γ unghiurile facute de normal exterioara la suprafata elementara dS cu sensul

pozitiv al axelor ox, oy si oz, fortele de presiune pe proiectiile suprafetelor pe cele trei planuri

vor fi (fig.3.26):

cos.. dSgzdFx

cos.. dSgzdFy

cos.. dSgzdFz

Prin integrare se obtine:

xGxxxx SzdSzgdFF ,..

yGyyyy SzdSzgdFF ,..

z


38

Fig.3.26

VgdVgdSzgdFF xzz .....

V fiind volumul delimitat de suprafaţa S şi

suprafaţa apei.

Forţele Fx şi Fy se aplică în centrul de presiune

al suprafeţelor Sx şi Sy, iar forţa Fz trece prin

centrul de greutate al volumului V.

Dacă cele trei componente sunt concurente, se

compun după relaţia:

222

zyx FFFF

In caz contrar ele se pot reduce la o forţă

rezultantă şi un cuplu resultant.

3.13.4 Acţiunea fluidelor în repaus pe suprafeţe curbe închise

Fie o suprafaţă închisă aflată într-un fluid şi un sistem de referinţă cu planul xoy situat pe

suprafaţa liberă a fluidului (fig.3.27).

V

c

1F

2F

x0p

o

Fig.3.27

Proiecţia suprafeţelor DAC şi DBC pe planul

yoz sunt egale. Forţele de presiune sunt şi ele

egale şi de sens contrar, deci rezultanta forţelor

de presiune pe directia ox este Fx = 0. Acelaşi

lucru se întâmplă şi cu proiecţia pe planul xoz,

deci şi Fy = 0.

Pentru determinarea lui Fz se proiectează

suprafeţele ABC şi ADB pe planul suprafeţei

libere a lichidului, care coincide cu planul xoy.

Notăm cu V1 volumul de lichid format de

cilindrul cuprins între suprafaţa ADB şi

proiecţia ei pe planul xoy şi cu V2 volumul de

de lichid cuprins între suprafaţa ABC şi proiecţia ei pe planul xoy. In acest caz pe suprafaţa ADB

va acţiona forţa F1 = ρ.g.V1 , iar pe suprafaţa ABC forţa F2 = ρ.g V2

Forţa rezultantă va fi:

F = ρ.g.V2 – ρ.g.V1 = ρ.g (V2 – V1) = ρ.g.V

unde V este volumul corpului scufundat.

Relaţia de mai sus exprimă legea lui Arhimede. Asupra unui corp scufundat într-un

fluid se exercită o forţă ascensională egală cu greutatea volumului de fluid dislocuit.

3.14 Plutirea corpurilor

Asupra unui corp scufundat într-un lichid acţionează două forţe:

- Greutatea proprie FG = γmV , unde γm este greutatea specifică medie, şi

- Forţa arhimedică FA = γ.VC , unde VC este volumul dislocuit de corpul scufundat.

Dacă FA < FG corpul se scufundp. Dacă FA = FG corpul rămâne în echilbru şi avem de-a

face cu o plutire cunoscută ca plutirea submarină. Dacă FA > FG corpul pluteşte la suprafaţa

Fy

Fx

Fz

F

A B

C

D

y

z


39

lichidului creinduşi un volum, numit volum de carenă (VC). Astfel, condiţia de plutire a unui

corp este:

FG = γmV = γ VC = FA

3.14.1 Elementele hidraulice ale unui plutitor

Plutitorul este un corp solid, care lăsat liber se scufundă parţial într-un lichid. Elementele

hidraulice ale plutitorului sunt prezentate în figura 3.28.

Un corp aflat în plutire are două părţi, o parte

sub apă numită parte imersă sau carenă şi o

parte deasupra apei numită parte emersă.

Centrul de greutate al plutitorului se notează cu

G.

Volumul lichidului dislocuit de plutitor se

numeşte volum de carenă (VC)

Centrul de greutate al volumului de lichid

dislocuit de plutitor se numeşte centru de

carenă şi se notează cu C. Adâncimea maximă la care se află carena se numeşte pescaj (T).

Planul suprafeţei libere a lichidului se numeşte planul plutirii. Intersecţia dintre planul

plutirii şi corpul plutitorului defineşte linia de plutire. Aria suprafeţei marginită de linia de

plutire se numeşte aria de plutire.

Oscilaţiile plutitorului în plan transversal (în jurul axei oy) se numesc ruliu, iar în plan

longitudinal (în jurul axei ox) se numesc tangaj.

La diferite înclinări ale plutitorului, greutatea lui rămânând aceiaşi, forma volumului de

carenă se modifică, dar ca mărime este acelaşi (izocarene). Modificarea formei duce la o altă

poziţie a centrului de carenă. La inclinările plutitorului, centrul de carenă se deplasează pe o

suprafaţă numită suprafaţa centrelor de carena (SC). In cazul în care înclinarea plutitorului are

loc dupa o singură axa (ox sau oy), centrul de carenă se deplasează pe o curbă numită curba

centrelor de carenă.

Centrul instantaneu de rotaţie a centrului de carenă în cazul inclinării după o singură axă,

descriind curba centrelor de carenă se numeşte metacentru (M), iar distanţa de la centrul de

carenă (C ) la metacentrul (M) se notează cu R şi se numeşte rază metacentrică (CM )

Distanţa de la metacentrul M la centrul de greutate al plutitorului ( MG ) se numeşte

înălţime metacentrică ce se notează cu H.

Distanţa de la centrul de greutate al plutitorului la centrul de carenă ( CG ) se numeşte

excentricitate şi se notează cu ε.

M

G

C

RR

T

H

ε SC

x z


40

3.14.2 Teoremele plutirii

Teorema a I-a a plutirii: Axa de înclinare trece prin centrul de greutate al ariei plutirii

(teorema lui Lacroix)

Fig.3.29

Pentru a demonstra această teoremă s-a

prezentat în fig.3.29 un plutitor de formă

paralelipipedică, care are aria plutirii in

planul xOy. Planul plutirii este marcat

de dreptunghiul ABCD. Dacă se înclină

plutitorul cu unghiul α, noua arie a

plutirii va fi A’B’C’D’. Intersecţia celor

două plane de plutire se face dupa axa

Oy. Deoarece carenele au volume egale

înseamnă că şi volumele EE’C’CDD’,

pe care-l notăm cu V1 şi ABE’EEA’B’,

pe care-l notăm cu V2 sunt egale.

In acest caz putem scrie relaţiile:

CDEE

dStgxV'

1 )...( ABEE

dStgxV'

2 )...( deoarece pe suprafaţa corespunzatoare volumului

V2 , x < 0.

Din egalitatea celor două volume rezultă CDEE ABEE

dSxtgdSxtg' '

0...

sau ABCD

G SxxdS 0

de unde rezultă 0Gx

ceea ce înseamnă că axa Oy trece prin centrul de greutate al ariei plutirii.

Teorema a II-a a plutirii: Planul tangent într-un punct C la suprafaţa carenelor este paralel

cu planul de plutire corespunzător (teorema lui Dupin)

Fig.3.30

Pentru a demonstra acest lucru în figura 3.30 s-a

prezentat o secţiune transversală într-un plutitor, având

plutirea iniţială AA’ şi centrul de carenă în punctul C.

După înclinarea cu un anumit unghi, noua plutire este

BB’ şi noul centru de carenă C’.

Volumele VAOB şi VA’OB’ sunt egale, le notăm cu V2.

Centrele de greutate ale acestor volume sunt notate cu

G2 şi respectiv G’2. Se mai notează:

VBDA’O = V1

Deci vom avea V1 + V2 = VC . Forţa γ.V1 ce se aplică în

G1 şi forţa γ.V2 ce se aplică în G2, iar forţa

A

B

B’

A’

C

C’

D’

D E

E’

O

α

x

y z

A A’

B

B’

G2

G’2

C

C’ T

G1

O

D


41

γVC = γ(V1 + V2) în 21' GGC

(pentru plutirea AOA’)

astfel încât:

2

1

2

1

1

2

V

V

V

V

CG

CG în mod analog pentru plutirea BOB’ se obţine

2

1

1

'

2

'

'

V

V

GC

GC

Comparând cele două rezultate se poate deduce:

1

'

2

1

2

'

'

GC

GC

CG

CG de unde rezultă 'CC este paralelă cu

'

22GG .

Când plutirea BB’ tinde către plutirea AA’ şi G2G2’ tinde către AA’ şi CC’ secant la

planul centrelor de carenă tinde spre tangenta CT, deci tangenta în punctul care marchează

centrul de carenă este paralelă cu linia de plutire.

Teorema a III-a a plutirii: în cazul înclinărilor plutitorului raza metacentrică are expresia

C

y

V

IMCR 000 (teorema metacentrului)

unde Iy este momentul de inerţie a ariei plutirii în raport cu axa de înclinare oy, iar VC este

volumul carenei. R0 este raza metacentrică iniţială, la plutirea dreaptă.

Fig.3.31a Fig3.31b

Pentru a demonstra a III-a teoremă a plutirii s-a prezentat în figura 3.31a un plutitor

având plutirea iniţială AA’, centrul de carenă în C0 şi metacentrul iniţial în M0. După înclinarea

cu ungiul α, noua linie de plutire este BB’ având centrul de carenă în punctul C şi metacentrul în

punctul M. Volumul de carenă a scăzut cu volumul VAOB şi a crescut cu volumul VA’OB’ . In

centrele de greutate ale celor două volume acţioneză forţele F1 şi F2 egale şi de sens contrar.

Forţa arhmedică acţionează în centrul de carenă. Cuplul de forţe F1 şi F2 este echivalent cu

momentul produs de deplasarea forţei arhimedice din punctul C în C’.

'.2. 02 CCFxF dar, ţinând cont că:

CVF . AOBOBA VVFF .. ''12 şi sin' CMCC rezultă

sin

.2 0

C

AOB

V

xVCM

M

M0

C0

C G1

G2 O A A’

B

B’

F1

F2

F O A’

B’

x

l(x)

x

y

dx

dV α

α

x0


42

unde: VA’OB’.x0 este momentul static al volumului AOB în raport cu axa oy. Conform figurii

3.31b acest moment se poate exprima cu ajutorul unei integrale:

''

' '

'2

''2

1).()]()[(.

OBA

A

O

A

O

yOBA IdxxlxdxxlxxdVxV

unde: '

yI este momentul de inerţie al ariei plutirii în raport cu axa oy. In acest caz vom avea:

C

y

V

ICM

'

sin

Când α tinde către zero, raportul α/sinα tinde către 1, CM tinde către C0M0 şi obţinem

teorema metacentrului:

C

y

V

IMCR 000

3.14.3 Stabilitatea plutirii. Momentul stabilităţii

Considerând înclinări izocarene ale unul plutitor (o navă) în limita unghiurilor mici. Astfel, o

navă se poate găsi din punct de vedere al stabilităţii transversale în una din situaţiile prezentate mai

jos:

Fig.3.32

Centrul de greutate se găseşte sub centrul de

carenă. Când nava se înclină transversal, centrul de

carenă se deplasează în poziţia C’. Momentul

cuplului format de forţa de greutate, notată cu Δ şi

forţa de împingere γ.VC tinde să aducă nava în

poziţia iniţială, fiind un moment de stabilitate.

Nava se află în acest caz într-o situaţie de stabilitate

transversală excesivă întâlnită la navele unde se iau

măsuri speciale privind stabilitatea cum sunt navele

de sport şi agrement.

O navă cu stabilitate excesivă execută oscilaţii dure pe o mare dezvoltată; adică oscilaţii cu perioadă

mică şi frecvenţă mare. În timpul acestor mişcări apar forţe de inerţie mari; care pe de-o parte

încarcă structural nava, iar pe de altă parte acţionează asupra mecanismelor, instalaţiilor şi

aparatelor de conducere ale navei, putând duce la funcţionarea defectuoasă a acestora.

Fig.3.33

În poziţia iniţială centrul de greutate este situat

deasupra centrului de carenă. În poziţie

înclinată transversal, centrul de carenă se găseşte

în C’. Momentul cuplului format dat de forţa de

greutate Δ şi forţa arhimedică γ.VC tinde să

aducă nava în poziţia iniţială fiind un moment de

stabilitate. . Această poziţie relativă a celor trei

centre, metacentrul transversal M, centrul de

greutate G, centrul de carenă C, indică o situaţie

de stabilitate pozitivă şi este întâlnită la marea

majoritate a navelor.

γVC

G

Δ

C C’

α

M

M

C C’

G γVC

Δ

α


43

În poziţia iniţială centrul de greutate este situat

deasupra centrului de carenă. Când nava este

înclinată transversal, centrul de carenă se

deplasează din C în C’ astfel încât metacentrul

transversal M este poziţionat sub centrul de

greutate. Momentul cuplului format de forţa de

greutate Δ şi forţa arhimedică γ.VC este orientat

în sensul înclinării deci este un moment de

instabilitate, nava găsindu-se într-o situaţie de

stabilitate negativă.

Fig.3.34

Fig.3.35

În poziţia iniţială centrul de greutate se află

deasupra centrului de carenă. Pentru o înclinare

transversală centrul de carenă se deplasează din

C în C’, poziţie pentru care metacentrul

transversal M coincide cu centrul de greutate G.

În acest caz momentul este nul şi nava rămâne în

poziţie înclinată, situaţia fiind de asemenea de

instabilitate.

Ca o concluzie, ţinând cont de notaţiile elementelor hidraulice ale plutitorului

putem scrie că înălţimea metacentrică H = GM se poate determina în funcţie de raza

metacentrică R = CM şi excentricitatea ε = CG cu relaţia:

C

y

V

IRH Funcţie de mărimea acestei valori se poate stabili dacă plutirea este

stabilă (H>0), indiferentă (H=0) şi instabilă (H<0).

C C’

M

G

γVC

Δ

α

M G

C C’

α

Δ

γVC


44

IV. CINEMATICA FLUIDELOR


Cinematica fluidelor studiază mişcarea acestora fără a lua în considerare forţele care

determină mişcarea. Se ţine cont numai de proprietăţile geometrice ale mişcării. Acest studiu este

valabil, atât pentru fluidele ideale cât şi pentru cele reale.

Studiul cinematicii fluidelor se bazează pe ipoteza continuităţii acestuia.

4.2 Metode de studiu în mişcarea fluidelor

Studiul cinematic constă în determinarea traiectoriilor, vitezelor si acceleraţiilor

particulelor de fluid. Ştiind că masa de fluid este formată dintr-un număr foarte mare de

particule, studiul poate fi făcut pe o particulă, similară cu punctul material din mecanica clasică,

şi extins la întreaga masă de fluid. Se disting două metode de studiu: Metoda Lagrange. În metoda Lagrange fiecare particulă de fluid este urmărită în mişcarea sa,

începând de la un moment iniţial 0t .

Fig.4.1 Descrierea mişcării prin

metoda Lagrange

Prin această metodă se studiază mişcarea fiecărei particule de fluid, în raport cu un sistem de referinţă Oxyz. Poziţia particulei depinde de coordonatele iniţiale:

),( 0 trrr sau

),,,( 000 tzyxxx ),,,( 000 tzyxyy şi

),,,( 000 tzyxzz

Componentele vitezei vor fi:

t

xu ;

t

yv şi

t

zw

unde s-au notat cu u, v si w proiecţiile vitezei pe cele

trei axe Ox, Oy respectiv Oz.

Componentele acceleraţiei vor fi:

2

2

t

x

t

uax

2

2

t

y

t

va y

2

2

t

z

t

waz

Metoda Lagrange este rar utilizată şi se foloseşte numai în cazul mişcării unei particule

de fluid individualizate.

Metoda Euler. Această metodă determină elementele mişcării tuturor particulelor care

trec printr-un punct din spaţiu, funcţie de timp. Deci, metoda studiază câmpul vitezelor în

punctele din spaţiul fluid în mişcare şi variaţia acestora în timp.

Câmpul vitezelor este dat de relaţiile:

),,,( tzyxuu ),,,( tzyxvv şi ),,,( tzyxww sau ),( trVV

Unde x,y,z reprezintă coordonatele punctului din spaţiu (coordonatele particlulei de fluid).

Componentele vitezei vor fi:

x

y

z M0(t0)

M(t)


45

dt

dxu ;

dt

dyv şi

dt

dzw

Traiectoria particulei se obţine prin integrarea sistemului de mai sus, rezultând:

),,,( 000 tzyxxx ),,,( 000 tzyxyy

),,,( 000 tzyxzz

unde 000 ,, zyx sunt constante de integrare ce reprezintă coordonatele particulei la momentul

iniţial t0.

Pentru determinarea acceleraţiilor, se derivează u, v şi w, care sunt funcţii de x,y,z şi t

utilizând regula de diferenţiere totală.

dzz

udy

y

udx

x

udt

t

udu

Prin imparţire la dt se obţin componentele acceleraţiei:

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

dt

duax

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

dt

dvay

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

dt

dwaz

Inmulţind relaţiile de mai sus cu versorii axelor de coordonate kji ,, şi adunând obţinem

forma vectorială a acceleraţiei:

VVt

V

z

Vw

y

Vv

x

Vu

t

V

dt

Vda ).(

Acceleraţia reprezintă derivata totală a vitezei şi este formată din acceleraţia locală t

V

şi acceleraţia de antrenare (convectivă) z

Vw

y

Vv

x

Vu . Acceleraţia locală reprezintă

variaţia vitezei în puncte fixe din spaţiu.

Pentru a pune în evidenţă şi miscarea de rotaţie a particulei de fluid, adunăm şi scădem la

expresiile componentelor acceleraţiei urmatorii termini, astfel: pentru ax termenii: vx

v şi w

x

w

pentru ay uy

u şi w

y

w

pentru az u

z

u şi v

z

v

Pe direcţia Ox vom obţine expresia:

wx

ww

x

wu

y

uu

y

uw

z

uv

y

uu

x

u

t

uax

Făcând calculele pentru ax şi analog pentru celelalte componente, vom obţine:

y

u

x

vv

x

w

y

uw

wvu

xt

uax

2

222

z

v

y

ww

y

u

x

vu

wvu

yt

va y

2

222


46

x

w

z

uu

z

v

y

wv

wvu

zt

waz

2

222

Forma vectorială a relaţiilor de mai sus este:

VxVrotV

gradt

Va

2

2

Expresia de mai sus pune in evidenţă partea potenţială, 2

2Vgrad si partea rotaţională

VxVrot a acceleraţiei convective.

4.3 Clasificarea mişcărilor

Clasificarea din punct de vedere al variaţiei în timp a câmpului de viteze

Dacă pentru o particulă se cunoaşte în fiecare moment poziţia ei, viteza, presiunea şi

masa specific, se spune că mişcarea ei este cunoscută. Dacă o particulă din masa de fluid este

definită de coordonatele x,y şi z, de viteză , presiune şi masa specifică, care variaza în timp, se

spune că mişcarea particulei este mişcare nepermanentă sau variată. In acest caz proiecţiile

acceleraţiei pe cele trei axe se exprima prin relaţiile:

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

dt

duax

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

dt

dvay

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

dt

dwaz

Dacă mărimile caracteristice particulei de fluid nu variază în timp, se spune că mişcarea

este o mişcare permanentă sau staţionară. In acest caz vom avea:

),,( zyxuu ),,( zyxvv ),,( zyxww

iar viteza locală t

V este nulă

deci: 0t

w

t

v

t

u

Derivata totală a acestor mărimi este diferita de zero deoarece viteza, presiunea ăi masa

specifică pot varia la trecerea dintr-un punct în altul, în masa de fluid.

Mişcarea permanentă şi uniformă este un caz particular al mişcării permanente şi este

caracterizată de faptul că viteza, presiunea şi masa specifică a unui fluid sunt constante în întreg

domeniul. In acest caz vom avea:

0dt

dw

dt

dv

dt

du precum şi 0

dt

dp ; 0

dt

d

Clasificarea în funcţie de desfăşurarea în spaţiu:


47

Mişcare monodimensională Unde viteza poate fi descrisă cu o singură variabilă, exemplu

pe direcţia Ox, restul fiind nule

Mişcarea bidimensională. Unde viteza poate fi descrisă cu două variabile (mişcarea

plană)

Mişcarea tridimensională. Cazul general de mişcare, ce se dezvoltă pe toate cele trei

direcţii.

4.4 Noţiuni specifice mişcării fluidelor

Traiectoria unei particule este drumul parcurs de aceasta.

Curentul de fluid este masa de fluid în mişcare.

Linia de curent este linia curbă ce urmăreşte

direcţia de curgere. Este tangentă la vectorii

viteză ai particulei de fluid. In general, linia de

curent nu coincide cu traiectoria particulei.

In mişcarea nepermanentă linia de curent îşi

modifică forma în timp.

Fig. 4.2. Linia de curent

In mişcarea permanentă, vectorii viteză au poziţii fixe, în fiecare punct din spaţiu şi în

acest caz liniile de curent coincid cu traiectoriile, rămânând aceleaşi în orice moment.

Liniile de curent nu se intersectează. Dacă s-ar intersecta, ar fi ca şi cum o particula să

aibe două viteze diferite în punctul de intersecţie.

Ecuatiile diferenţiale ale liniilor de curent se obtin din condiţia ca vectorul rd să fie

paralel cu vectorul viteză, adică

0.. rdxv sau w

dz

v

dy

u

dx

Tubul de curent. Liniile de curent ce se

sprijină pe un contur închis formează tubul de

curent. Prin pereţii tubului de curent nu se face

schimb de masş. In mişcarea permanentă, tubul

de curent îşi păstrează forma şi dimensiunile,

în timp.

Fig.4.3 Tubul de curent

Firul de curent este fluidul din interiorul unui tub de curent elementar, care materializează o linie

de curent.

Vâna fluidă este alcatuită dintr-o infinitate de fire de fluid. In general, într-o secţiunea dreaptă a

vânei de fluid, distribuţia vitezelor este neuniformă,

Secţiunea transversală (secţiunea vie) a unui tub de curent este suprafaţa normală pe toate liniile

de curent ce strabat tubul.

Raza hidraulică este raportul dintre aria secţiunii transversale şi perimetrul udat

P

AR

In cazul mişcării fluidului printr-o conductă cu diametrul D, raza hidraulică este:

V1

V2

V3


48

4

1

4

2 D

D

DR

In cazul unui canalului dreptunghiular din

figura alăturată:

hb

bhR

2

Fig.4.4 Canal dreptunghiular

Debitul unui curent de fluid printr-o suprafaţă S

este fluxul vectorului viteză V, prin suprafaţa

respectivă. Debitul reprezintă limita raportului

dintre volumul care trece printr-o suprafaţă

S într-un interval de timp t , când aceasta tinde

către zero:

Fig.4.5 Suprafata faţă de care se calulează

debitul

S

n

St

dSVdSnVt

Q ..lim0

Deci debitul este volumul de fluid ce trece printr-o suprafaţă în unitatea de timp. Acesta

reprezinta debitul volumic. In afara acestui debit se mai defineşte debitul masic. QQm .

precum şi debitul gravimetric mg QgQQ ..

Circulatia vitezei de-alungul unei curbe oarecare este:

AB

t

AB

AB dSVdSV .

In cazul în care curba de-alungul căreia se face integrala este curba închisă C , circulaţia vitezei

poate fi exprimată printr-o integrală de suprafaţă. Dacă S este suprafaţa pe care se sprijină curba

C rezultatul este cunoscut sub numele de teorema lui Stokes.

C S

dSnVrotdSV ....

Vârtejul unei particule de fluid este vectorul definit de relaţia:

wvu

zyx

kji

Vrot2

1.

2

1

Reprezintă viteza unghiulară de rotaţie a particulei în jurul unei axe ce trece prin central ei de

greutate. Componentele sale sunt:

z

v

y

wx

2

1

x

w

z

uy

2

1

y

u

x

vz

2

1

Linia de vârtej este curba tangentă la vectorii vârtej al particulelor care la un moment dat se

găsesc în punctele de pe această curbă. Ecuaţia diferenţială a liniilor de vârtej are forma:


49

0.. drx sau zyx

dzdydx

4.5 Mişcarea unei particule fluide (Teorema lui Cauchy-Helmoholtz)

Mişcarea unui fluid este mai complicată decât mişcarea solidului. Dacă mişcarea

solidului se compune dintr-o mişcare de translaţie şi una de rotaţie, la fluide mişcarea suferă în

plus şi o schimbare de forma (deformaţie).

Pentru a demonstra acest lucru considerăm la un moment dat t o particulă de fluid care,

cuprinde două puncte: M(x,y,z) unde viteza V are componentele u, v şi w iar într-un punct

învecinat M’ (x+dx; y+dy; z+dz) unde viteza V’ cu componentele:

Fig. 4.6 Deplasarea unei particule de fluid

dzz

udy

y

udx

x

uuu '

dzz

vdy

y

vdx

x

vvv '

dzz

wdy

y

wdx

x

www '

Dacă adunăm şi scădem, la prima ecuaţie termenii dyx

v

2

1 şi dz

x

w

2

1 putem scrie:

dyy

u

x

vdz

x

w

z

udz

x

w

z

udy

x

v

y

udx

x

uuu

2

1

2

1

2

1

2

1'

In mod analog se obţin şi relaţiile pentru componentele v’ şi w’

Se cunoaşte că:

wvu

zyx

kji

Vrot2

1.

2

1 de unde:

z

v

y

wx

2

1

x

w

z

uy

2

1

y

u

x

vz

2

1 şi dacă notăm

x

v

y

uaxy

2

1 si

x

w

z

uaxz

2

1

x

uaxx primele reprezintă vitezele

specific de deformare unghiulară, iar axx viteza specifica de deformare liniară.

Astfel vom obţine:

dzadyadxadydzuu xzxyxxzy )(' Componentele v’ şi w’ se determină în mod analog.

Astfel, viteza în punctul M’ este rezultanta a trei vectori viteză:

- o vitezî a cărei proiecţii pe cele trei axe sunt u, v şi w, care corespunde translaţiei

particulei cu viteza V


50

- o viteză de rotaţie cu viteza unghiulară ω(ωx ;ωy;ωz)

- o viteză notată cu Vdef care corespunde unei deformaţii ale particulei.

Vectorial, relaţia noastră are forma:

defVMMxVV '..'

Pentru determinarea semnificaţiei lui axx se consideră un element de fluid liniar AA’,

paralel cu axa Ox, de lungime dx.

Fig.4.7 Deformarea liniară a unei particule de

fluid

Diferenţa deplasărilor relative ale capătului

liniar în intervalul de timp dt reprezintă

dilatarea sau contractarea acestuia şi esteŞ

dxdtx

udtudtdx

x

uu . deci viteza

specifică de deformaţie liniară este:

dxdtx

u

dxdtx

uaxx

1

Pentru interpretarea termenilor ayz = azy se examinează mişcarea unei particule de forma

paralelipipedică a cărei secţiune în planul yOz este dreptunghiul ABCD (fig 4.8)

Fig.4.8 Deformarea unghiulară a unei particule de fluid

Intr-un interval de timp dt , particula se deplasează ocupând poziţia A’B’C’D’. Dacă

anulăm translaţia şi rotaţia şi aducem particula în poziţia A”B”C”D”, deplasarea relativă DD” se

datorează diferenţei dintre vitezele punctelor A şi D

dzz

vvv AD şi are mărimea dzdt

z

vDD" analog şi pentru BB”

dydty

wBB"

In ipoteza unei deplasări mici, deformaţia medie a unghiului drept BAD este:

dty

w

z

v

AB

BB

AD

DD

2

1""

2

1)(

2

1 deci viteza de deformaţie unghiulară

este:

zyay

w

z

v

dt 2

1

2

1

u A

A’ dx

u+ dxx

u


51

Rezultă că axx , ayy ,azz reprezintă vitezele de deformaţie liniară iar axy ,axz , ayz sunt

vitezele de deformaţie unghiulară. Dacă revenim la expresiile lui u’, v’ si w,’ înmulţind cu kji ,.,

putem determina vectorul viteza 'V . Dacă considerăm funcţia scalară:

).2.2.2(2

1 222 dydzadxdzadxdyadzadyadxa yzxzxyzzyyxx vom avea:

...' gradrdxVV

Funcţia se numeşte funcţie de deformaţie, iar cuadrica corespunzătoare ei este un

elipsoid de deformaţie. Se poate formula următoarea teoremă:

Dacă se cunoaşte mişcarea unei particule fluide )(rM , mişcarea unei particule vecine

)( rdrM se compune dintr-o mişcare de translaţie definită de viteza V a punctului M, dintr-o

mişcare de rotaţie definită de viteza unghiulară Vrot.2

1 în jurul unei axe ce trece prin M şi

dintr-o mişcare de deformaţie a cuadricei const cu centrul în M şi care trece prin M’,

mişcare compusă dintr-o deformaţie liniară definită de mărimile axx , ayy , azz şi deformaţie

unghiulară definită de mărimile axy ,axz ,ayz Aceasta poartă numele de teorema lui Cauchy-

Helmholtz.

4.6 Ecuaţia continuităţii (Legea conservării masei fluidului)

Ecuaţia continuitatii este expresia matematica a principiului conservarii masei de fluid in

miscare.

4.6.1 Ecuatia contuităţii în cazul general

Considerăm un fluid compresibil cu ),,,( tzyx în mişcare nepermanentă cu

),,,( tzyxV . Alegem un volum de formă paralelipipedică cu muchiile dx, dy dz (fig.4.9).

Fig.4.9

Relaţia care exprimă continuitatea fluidului se obţine egalând variaţia masei de fluid din

volumul considerat cu diferenţa dintre masa care intra în acest volum şi masa care iese din el, în

acelaşi interval de timp.


52

Masa de fluid care intră în unitatea de timp, după directia Ox este dydzu.. . Masa de

fluid care iese în unitatea de timp prin peretele opus este dydzdxx

uu

).(. . Diferenţa lor

este: .).(

dxdydzx

u. Deoarece se face schimb de masă după cele trei direcţii, diferenţa dintre

masa intrată şi cea ieşită va fi:

dxdydzz

wdxdydz

y

vdxdydz

x

u ).().(),(

Această masă este compensată de variaţia, în unitatea de timp, de masa din interiorul

paralelipipedului .dxdydzt

. Rezultă forma generală a ecuaţiei continuităţii, valabilă pentru

mişcarea nepermanentă a fluidelor compresibile:

0).().().(

z

w

y

v

x

u

t

Sau vectorial: 0).( Vdivt

Ecuaţiile de mai sus pot fi particularizate pentru mişcarea permanentă:

0).( Vdiv

Pentru fluide incompresibile

0).().().(

z

w

y

v

x

u dau 0.Vdiv

4.6.2 Ecuaţia continuitatii pentru un tub de curent

Fig.4.10

In acest caz suprafaţa considerată este un tub

de curent delimitat de două secţiuni normale, la

distanţa dl (fig.4.10). Precizând că pe pereţii

laterali ai tubului nu se face schimb de masă, se

poate scrie:

-masa intrată în unitatea de timp SV .. -masa care iese în unitatea de timp

dll

SVSV

)..(.. deoarece secţiunea S

variază în lungul tubului.

Excesul masei ieşite asupra celei intrate în unitatea de timp dll

SV )..( este compensat

de variaţia în timp a masei din interior dll

S.(, iar ecuaţia de continuitate devine:

0)..().(

l

SV

l

S ecutaţie ce poate fi particularizată:

Pentru fluide incompresibile const 0).(.

l

SV

l

S


53

Pentru miscarea permanentă 0l

S rezulta QconstSV. deci debitul este constant în

lungul tubului şi este egal cu produsul dintre viteză şi secţiune.

In cazul fluidelor compresibile, ecuaţia de continuitate în mişcarea permanentă este:

constSVM .. adică, debitul masic este constant în lungul tubului de curent.

MECANICA FLUIDELOR DINAMICA FLUIDELOR IDEALE Dr.ing.Petru Aron

54

V. DINAMICA FLUIDELOR IDEALE


Dinamica studiază legătura dintre forţele exterioare şi mişcarea fluidului provocată de

acestea.

Orice fluid real este mai mult sau mai puţin vâscos. Cu toate acestea, soluţia unui mare

număr de problem, referitoare la mişcarea unor fluide, mai puţin vâscoase (apa, aerul) se studiază

în ipoteza fluidelor ideale.

5.2 Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării fluidelor ideale (Ecuaţiile Euler)

Acestea se stabilesc scriind pentru o particula elementară de fluid, legea generală a

dinamicii

amFe .

Fie o particula de formă paralelipipedică, detaşată din masa de fluid în mişcare, având

muchiile egale cu dx,dy,dz. Aceasta, se deplasează cu viteza V(u,v,w) sub acţiunea forţelor

exterioare, care sunt:

-forte proporţionale cu masa dxdydzf

-forte de presiune, normale pe cele şase fete ale paralelipipedului, proporţionale cu

suprafeţele, reprezentate în figura 5.1 pe direcţia Ox

Fig.5.1 Particula de fluid sub acţiunea forţelor de suprafaţă

Forţele de frecare tangente la suprafeţe se neglijează, fiind vorba de fluide ideale.

Componentele după cele trei direcţii ale forţelor exterioare le-am determinat în statica

fluidelor: dmfFd mm unde ),,( zyxm ffff este forţa masică initară.

Proiecţia ecuaţiei mişcării după direcţia Ox este

dxdydzdt

dudxdydz

x

pdxdydzf x

sau: dt

du

x

pf x

1

Unde du/dt este proiecţia acceleraţiei pe axa Ox. In mod similar vom avea şi proiecţiile

pe celelalte direcţii:


55

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

dt

du

x

pf x

1

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

dt

dv

y

pf y

1

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

dt

dw

z

pf z

1

Acestea sunt ecuaţiile lui Euler din hidrodinamică. Primul termen din membrul al treilea

reprezintă forţa unitară locală de inerţie, iar următorii reprezintă forţa unitară convectivă de

inerţie. Primul termen din membrul întâi reprezintă forţa unitară masică, iar al doilea forţa

unitară de presiune

Aceste trei ecutaţii, împreună cu ecuaţia de continuitate 0z

w

y

v

x

u (pentru

const ) asigură numărul necesar pentru rezolvarea sistemului cu cele patru necunoscute u, v,

w şi p.

Forma vectorială a ecuaţiilor lui Euler este:

dt

vdpgradf .

1

5.3 Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării fluidelor ideale sub forma Gromeka-Lamb

Pentru a pune în evidenţă componentele vectorului vârtej, pe cele trei axe, se fac

urmatoarele trei transformări în ecuaţiile lui Euler: pentru prima ecuatie se adaugă şi se scad

termenii x

vv şi

x

ww se obţine

wx

w

z

uv

x

v

y

uw

z

wv

x

vu

x

u

t

u

x

pf x

1

sau )(22

1 222

vwwvu

xt

u

x

pf zyx

Inlocuind suma din paranteză cu V2 se obţine

)(22

1 2

vwV

xt

u

x

pf zyx

)(22

1 2

wuV

yt

v

y

pf xzy

)(22

1 2

uvV

zt

w

z

pf yxz

Sub forma vectorială:

vxrotv

gradt

vpgradf ...

2..

1 2


56

5.4 Integrarea ecuaţiilor mişcării

Inmulţim cele trei ecuaţii de mai sus cu dx, dy şi respectiv dz, şi adunând, în ipoteza

forţelor masice derivate dintr-un potenţial (f = -grad.U) se obţine

022

2

wvu

dzdydx

dzt

wdy

t

vdx

t

uVpUd zyx

In regim de mişcare permanent, relaţia ia forma

022

2

wvu

dzdydxVp

Ud zyx

Soluţia ecuaţie pentru formele de mişcare pentru care determinantul este nul:

constVp

U2

2

In câmp gravitaţional

constVp

zg2

.2

Ecuaţia lui Lagrange

Condiţiile de anulare a determinantului sunt:

0wvu Este cazul echilibrului hidrostatic. Ecuaţia fundamentală a hidrostaticii în câmp

gravitaţional este constp

zg.

0zyx Este o mişcare irotaţională sau, fără vârtejuri

w

dz

v

dy

u

dx Acestea sunt ecuaţiile liniilor de current, deci suma

2.

2Vpzg este constantă

de-a lungul unui fir de fluid. Este ecuaţia lui Bernoulli. Diferenţa faţă de ecuaţia lui Lagrange

este că, dacă prima, este constantă în întreg domeniu de mişcare, a doua, variază de la un fir la

altul.

zyx

dzdydx sunt ecuaţiile liniilor turbionare, avem const

VpU

2

2

wvu

zyx Este vorba de o mişcare elicoidală, avem constVp

U2

2

5.5 Ecuaţia lui Bernoulli pentru fluide ideale pe o linie de curent

Obţinută din integrarea ecuaţiilor lui Euler, într-un caz particular al mişcării, după o linie

de curent, ecuaţia lui Bernoulli exprima faptul că în mişcarea permanentă şi irotaţională a

fluidelor perfecte, în câmp gravitaţional, suma 2

.2Vp

zg este constantă de-a lungul unui fir

de fluid. Ecuaţia lui Bernoulli are o larga aplicativitate în hidrodinamică, unde, în majoritatea


57

problemelor, mişcarea poate fi asimilată cu mişcarea firului sau a vânelor fluide. De aceea vom

insista asupra acestei ecuaţii.

- relaţia este stabilită pe o linie de curent, avaând ecuaţiaŞ

w

dz

v

dy

u

dx

- forţele masice derivă dirt-un potenţial

x

Uf x ,

y

Uf y

, z

Uf z

- mişcarea fluidului este permanentă, deci parametrii hidrodinamici sunt numai funcţie

de poziţie, nu şi de timp, de unde rezultă:

0t

w

t

v

t

u

- mişcarea fluidului este potenţială (irotaţională) având componentele vitezei exprimate

funcţie de potenţial x

u , y

v , z

w de unde rezultă: 0zyx

Dacă revenim la ecuaţia lui Gromeka-Lamb, ţinând cont că presiunea variază funcţie de

poziţie, vom avea:

0)..(22

2

zy vwUdpV

xt

u

0)..(22

2

xz wuUdpV

yt

v

0)..(22

2

yx uvUdpV

zt

w

Inmulţind ecuaţiile de mai sus cu dx, dz, dy şi adunând, obţinem:

022

)...(2

wvu

dzdydx

UdpV

ddzwdyvdxut

zyx

In condiţiile enunţate mai sus, ecuaţia obţinută devine:

02

2

UdpV

d şi prin integrare:

CUdpV

2

2

unde C este o valoare constantă în toată masa fluidului.

In cazul mişcărilor permanente a fluidelor incompresibile, ce au loc intr-un câmp

gravitaţional (U=g.z+ C) relaţia lui Bernoulli este:

22

2

21

1

2

1 .2

.2

zgpV

zgpV

sau prin împărţire cu g:

22

2

21

1

2

1

22z

p

g

Vz

p

g

V


58

In cazul mişcărilor permanente a fluidelor incompresibile, ce au loc ăntr-un camp de forţe

masice neglijabile, relaţia devine:

2

2

21

2

1

22

pVpV

Aceasta este ecuaţia lui Bernoulli pentru fluide uşoare la viteze şi presiuni relativ mici.

Exemplu: confuzoul unui ventilator, conducte de aerisire. Mai poate fi utilizată pentru fluide

dacă forţele de greutate pot fi neglijate faţă de forţele de inerţie şi cele de presiune. Exemplu,

mişcarea apei prin conducte orizontale de diameter mici.

Relaţia se mai poate scrie şi sub forma:

22

2

22

2

11

Vp

Vp unde p este presiunea piezometrică (statică), iar

2

2V este

presiunea dinamică, iar 2

2Vp este presiunea totală.

5.5.1 Interpretarea energetica a ecuatiei lui Bernoulli (Ecuatia energiei)

Fiecare dintre termenii ecuaţiei lui Bernoulli reprezintă o energie specifică (pe unitatea de

masă) şi anume:

g.z – reprezintă o energie potenţială de poziţie

p/ρ – reprezintă o energie potenţială de presiune

V2/2- reprezintă o energie cinetică

Suma 2

.2Vp

zg corespunde energiei totale a unităţii de masă şi se poate spune că

ecuaţia lui Bernoulli exprima legea conservarii energiei în cursul mişcării.

Ecuaţia lui Bernoulli se mai poate scrie sub forma

constg

V

g

pz

2.

2

Unde g

pz

. este energia potenţială si ultimul termen este energia cinetică.

5.5.2 Interpretarea geometrică a ecuaţiei lui Bernoulli

Forma constg

V

g

pz

2.

2

se pretează la o interpretare geometrică, întrucât fiecare din cei trei

termini are dimensiunea unei lungimi.

Fig.5.2 Reprezentarea grafică a relaţiei lui Bernoulli


59

Fie un fir fluid de secţiune descrescătoare şi două secţiuni 1 şi 2 în lungul firului, în care

vitezele sunt egale cu V1 şi V2. Faţă de un plan de referinţă ales arbitrar, cele două secţiuni sunt

situate la distanţele z1 şi respectiv z2.

p1/γ, respectiv p2/γ sunt înălţimile piezometrice, care se pot pune în evidenţă cu ajutorul

unor tuburi piezometrice montate în secţiunile 1 şi 2.

V12/2g şi V2

2/2g sunt înălţimile cinetice în cele două secţiuni. Energia specifică totală se

menţine constantă, adică:

g

Vpz

g

Vpz

22

2

222

2

111

5.6 Pierderi hidraulice (de sarcină)

In cazul fluidelor reale, ecuaţia lui Bernoulli nu se poate aplica riguros, nici chiar în

lungul unei linii de curent, deoarece energia specifică totală nu se mai conservă. Datorită

frecărilor cu pereţii solizi şi frecărilor interioare, o parte din energie se transformă ireversibil în

caldură, devenind pentru firul de fluid o energie pierdută care, raportată la greutate, poartă

numele de pierdere hidraulică (pierdere de sarcină). Energia totală scade în lungul curentului.

Dacă pierderile hidraulice sunt mici, ele se pot neglija şi în primă aproximaţie se poate utilizş

relaţia:

constg

V

g

pz

2.

2

Dacă pierderile hidraulice sunt mari, ecuaţia de mai sus se corectează, pe baza datelor

experimentale, pentru a exprima bilanţul energetic în lungul firului. Ecuaţia energiei, pentru două

secţiuni 1 şi 2 în lungul firului, se scrie:

Fig.5.3

21

2

222

2

111

22hp

g

Vpz

g

Vpz

Unde hp1-2 reprezintă pierderea hidraulică sau, lucrul mecanic consumat de greutatea

unitară de fluid când se deplasează din secţiunea 1 în secţiunea 2.


60

5.7 Aplicaţiile ecuaţiei lui Bernoulli

Pentru a aplica ecuatia lui Bernoulli într-o problemă de hidrodinamică, trebuie să se

cunoască forma liniilor de curent şi valoarea presiunii în unele secţiuni caracteristice ale

curentului.

5.7.1 Formula lui Toricelli

Fie un rezervor deschis cu lichid, care alimentează un orificiu. Nivelul din rezervor se

menţine tot timpul constant, ceea ce înseamnă că orficiul funcţionează în regim permanent.

Experienţa arată că în rezervor, curgerea este convergentă iar

la ieşirea din orificiu, datorită racordării pereţilor la intrare,

vitezele sunt paralele între ele. Aplicând ecuaţia lui Bernoulli

după o linie de curent între punctele A şi M, se poate calcula

viteza de la ieşirea din orificiu. Astfel, faţă de un plan de

referinţă, ales arbitrar. se poate scrie:

g

Vpz

g

Vpz MM

MAA

A22

22

Deoarece vâna de fluid are dimensiuni mici şi este înconjurată de aerul atmosferic, se

poate considera pM = pA =pat. Rezultă:

g

Vzz

g

V AMA

M

22

22

Unde VA este viteza de la suprafaţa liberă a rezervorului, numită viteză de apropiere.

Fiind foarte mică, se poate neglija şi în acest caz:

HgVM ..2

Care este formula lui Toricelli

5.7.2 Fenomenul Venturi

Dacă într-o conductă oarecare se produce o strangulare a secţiunii, conform ecuaţiei

continuităţii (s1V1=s2V2=s3V3=Q) unde într-o secţiune s2 viteya creşte. Aplicâand ecuaţia lui

Bernoulli, în lungul firului de fluid se obţine:

g

Vpz

g

Vpz

g

Vpz

222

2

33

3

2

222

2

111

Rezultă că energia potenţiala z + p/γ variază în acelaşi

sens cu secţiunea. Dacă conducta este orizontală z1=z2=z3

rezultă:

g

Vp

g

Vp

g

Vp

222

2

33

2

22

2

11


61

Fig. 5.5

Tubul Venturi este un ajutaj convergent–divergent utilizat la măsurarea debitului. Debitul

se va exprima uşor:

2

1

2

2

22

1

2

221 1

22 ssg

Q

g

VVpp

21

2

2

2

1

21 2pp

gss

ssQ

5.7.3 Presiunea într-un punct de impact

Fie un obstacol imobil într-un fluid aflat în mişcare permanentă. Liniile de curent ocolesc

obstacolul.

Fig. 5.6

Există o linie de curent ce se opreşte în punctul M (punct

de impact) Aplicăm ecuaţia lui Bernoulli între A şi M

g

Vpz

g

Vpz MM

MAA

A22

22

In cazul nostru zA = zM. In punctul de impact viteza se anulează VM = 0 şi toată energia

curentului apare sub formă de presiune. Presiunea din punctul de impact poartă denumirea de

presiune totală (ptot). Presiunea din punctul A este presiunea statică a curentului. Se poate scrie:

totAst p

g

Vp

2

2

2

2Vpp sttot

Creşterea de presiune poartă numele de presiune dinamică (ρV2/2)

5.7.4 Presiunea într-o conductă

Intr-o secţiune dreaptă a unei conducte, se montează două tuburi piezometrice A şi B ca

în figura de mai jos.

Fig.5.7

Nivelul lichidului este acelaşi în cele două tuburi

piezometrice deoarece aceiaşi lege de distribuţie a

presiunilor este valabilă atât în interiorul tubului de

măsură cât şi în secţiunea dreaptă a conductei

BB

AA

pz

pz


62

5.8 Teorema impulsului şi teorema momentului cinetic.

Teoremele impulsului şi a momentului cinetic se folosesc pentru rezolvarea multor

probleme din mecanica fluidelor. Acestea se obţin prin transpunerea în domeniul mediilor fluide

a celor două teoreme ale impulsului, cunoscute din mecanica solidului.

Prima teoremă

eFVmdt

d. exprimă faptul că derivata impulsului unui sistem de puncte

materiale în raport cu timpul este egală cu rezultanta forţelor exterioare aplicate sistemului de

puncte materiale. Produsul vm. este cunoscut sub denumirea de vector cantitate de mişcare sau

impuls.

A doua teoremă

)()( eFxrVxmrdt

d este teorema momentului kinetic: derivata în raport cu

timpul a momentului cinetic al unui sistem de puncte materiale este egală cu suma momentelor

forţelor exterioare care acţionează asupra sistemului de puncte materiale .

5.8.1 Teorema impulsului

Pentru a transpune această teoremă în mecanica fluidelor luăm în considerare un fir de

fluid în mişcare permanentă (fig.5.8), vitezele, presiunea şi masa specifică sunt constante în timp.

Fig.5.8

Delimitând printr-o suprafaţă de control ABCD

un segment din acest fluid, masa ocupată de

aceasta suprafaţă de control ocupă în două

momente succesive t şi t’ poziţiile ABCD şi

A’B’C’D’.

Variaţia impulsului Id în intervalul de timp dt

se poate exprima prin diferenţa impulsului

masei de fluid conţinut în suprafaţa de control

la cele două momente t şi t’. Deoarece

mişcarea este permanentă, impulsul masei de

fluid conţinut între suprafeţele A’B’ şi CD

rămâne constant în timp. Variaţia impulsului

este dată de diferenţa dintre impulsul masei

conţinute între secţiunile CD-C’D’ şi AB-A’B’. Impulsul este egal cu produsul dintre masă şi

viteză, se poate scrie:

111222 .... VdtVSVdtVSId

sau )(. 12111222 VVQVVSVVSdt

Id

Tinând cont de prima teoremă a impulsului vom avea, pentru mişcarea în regim

permanent a fluidelor:

eFVVQ )(. 12


63

Suma forţelor exterioare reprezintă ansamblul acestora aplicate la masa de fluid conţinut în

suprafaţa de control ABCD şi anume:

- forţe de greutate

- forţe de presiune normale pe secţiunea curentului şi dirijate din exterior spre fluid

- forţe de presiune exercitate de pereţii care limitează curentul, normale la pereţi.

5.8.2 Teorema momentului cinetic se stabileste in mod similar

)()(. 22 eFxrVxrQ

5.9 Aplicaţii ale teoremei impulsului

5.9.1 Fortele hidrodinamice

Sunt forţele de acţiune, pe care o vână de fluid liberă o exercită asupra corpurilor cu care

intră în contact

Forţa hidrodinamică pe un perete plan

Fig.5.9 Forţa hidrodinamică pe un perete

plan înclinat

In fig.5.9 s-a reprezentat o vână de fluid,

animată de o viteză V , care izbeşte sub un

unghi α un perete plan a-b. La contactul cu

peretele, vâna de fluid se împrăştie astfel încât

la o mică distanţă, în jurul punctului de contact,

vitezele devin paralele cu peretele.

Pentru calculul forţei hidrodinamice se aplică

unui segment din vâna de fluid teorema

impulsului. Suprafaţa de control este delimitată

de secţiunea de intrare 1-1 inainte de contact,

unde firele de curent nu au fost deviate, iar

secţiunea de ieşire 2-2, după contactul cu

peretele.

Secţiunea de intrare este o secţiune cilindrică perpendiculară pe suprafaţa a-b. In teorema

impulsului, rezultanta forţelor exterioare este reprezentată de forţa pe care peretele o exercită

asupra fluidului fpF . Forţa de acţiune pfF a fluidului spre perete este egală şi de sens contrar

cu prima.

)(. 21 VVQFF fppf

Proiectia acestei forţe pe direcţia perpendiculară la perete este:

sin.. 1VQF pf

Când peretele este perpendicular pe direcţia mişcării, forţa hidrodinamică pe care fluidul

o exercită pe perete este:

2.... VSVQF pf

Dacă peretele plan, izbit normal pe suprafaţa sa, se deplasează cu viteza u în direcţia

vânei de fluid vom avea o rezultantă a vitezei de forma uvw şi în acest caz, forţa

hidrodinamică va fi:


64

).(.)( uvQFxpf

5.9.2 Roata hidraulică cu acţiune

Fie o vână de fluid, liberă, de secţiune S, viteză V, având debitul Q = S.V, care se

angajează tangenţial pe o suprafaţă care o deviază cu unghiul α (fig.5.10)

Fig.5.10 Roata hidraulică

Acţiunea apei asupra peretelui este:

)(. 21 VVQFF fppf

Proiectând relaţia pe directia Ox vom avea:

)cos.(. 21 VVQF pf Sau, neglijând frecările V1 =V2 = V:

)cos1(..)( VQF xpf

Considerând că acest perete este paleta unei

roţi hidraulice, care se deplasează după

direcţia tangenţială cu viteza u , viteza cu

care apa ajunge pe paleta roţii este:

w = V - u

Componenta forţei hidraulice după directia

tangenţială, devine:

)cos1)(.(.)( uVQF xpf

Puterea transmisă paletei va fi:

uuVQuFP xpf ).cos1)(.(.)(

Puterea disponibilă a vânei de fluid de viteza v este:

2

.2V

QPd

Deci, randamentul, raportul dintre puterea utilă şi cea disponibilă, va fi:

22

)cos1.().(2

2

)cos1.().(

V

uuV

VQ

uuVQ

P

P

d

Discuţia care se face asupra randamentului roţii hidraulice este una calitativă, deoarece în

aplicarea teoremei impuslului s-a considerat V1 = V2 = V, neglijându-se frecările.

Randamentul roţii este influenţat de turaţia roţii (viteza tangenţială u) şi de construcţia

paletei (unghiul α). Pentru a determina valoare optimă a vitezei tangenţiale, valoare la care vom

obtine un randament maxim, se derivează expresia randamentului funcţie de u , determinandu-se

valoarea lui u care anulează derivat:

024 Vuu

de unde 2

Vuoptim

Astfel randamentul maxim al roţii hidraulice devine:

)cos1(2

1max

Se observă că în expresia randamentului maxim intervine numai unghiul constructiv.

Deci cel mai bun randament se obţine pentru α = 1800 (cosα = -1).


65

Fig.5.11 Turbina Pelton

De aceia paletele turbinelor cu acţiune

(Turbina Pelton) sunt construite în aşa fel încât

să întoarcă apa la aproximativ 1800

5.9.3 Forţe de reacţiune

Dacă vâna de fluid este obligată de frontierele solide să-şi schimbe direcţia, ea

reacţionează cu o forţă asupra peretilor inconjurători. Aceasta forţă se numeşte forţă de

reacţiune.

Reacţiunea fluidelor în coturi

Fig.5.12 Reacţiunea în coturi

Fie o vână de fluid sub presiune, care sub

acţiunea pereţilor înconjurători este obligată

să-şi schimbe direcţia. Fluidul va reacţiona

exercitând forţa pfF asupra pereţilor

(fig.5.12). Pentru calculul ei se alege un

segment din vâna de fluid, limitat de

secţiunile 1-1 şi 2-2 căruia i se aplică

teorema impulsului.

Din categoria forţelor exterioare se iau în

considerare pe lângă acţiunea pereţilor şi

forţele de presiune din secţiunile S1 şi S2 ,

normale la cele douş secţiuni şi dirijate în

sensul compresiilor:

221112 )( SpSpFVVQ fp

Reacţiunea fluidului în cot va fi:

221121 )( SpSpVVQFF fppf

Este rezultanta a doi vectori hidrodinamici 1,. VQ şi 2.. VQ şi a forţelor de presiune


66

Reacţiunea fluidului asupra pereţilor rezervoarelor

Fie un rezervor plin cu lichid până la

înălţimea h şi prevăzut cu un orificiu prin

care lichidul iese în atmosferă cu viteza

ghV 22

Teorema impulsului aplicată masei de fluid

din rezervor este:

fpFGVVQ )(. 12

G este greutatea fluidului din rezervor iar

fpF este acţiunea pereţilor:

Reacţiunea fluidului este:

GVVQFF fppf )(. 21

Componenta ei pe directia axei Ox va fi:

2

222)( ... VSVQF xpf

Inlocuind valoarea vitezei, rezultă:

hgSF xpf ..2 2)(

Această forţă imprimă recipientului o mişcare în sens contrar vitezei V2.

MECANICA FLUIDELOR MISCARI POTENTIALE PLANE Dr.ing. Petru Aron

67

VI. MISCARI POTENTIALE PLANE

6.1 Definiţii şi noţiuni generale

Se numesc mişcări potenţiale, mişcările fluidelor incompresibile in care vitezele locale

derivă dintr-o funcţie de potenţial al vitezelor

.gradv sau x

u y

v z

w

Deci, mişcarea unui fluid ideal, incompresibil, este potenţială dacă există o funcţie

),,,( tzyx ale cărei derivate parţiale reprezintă componentele vitezei în punctul respectiv. Din

ecuaţia continuitaţii :

0.z

w

y

v

x

uvdiv va rezulta:

0...2

2

2

2

2

2

zyxgraddivvdiv

Rezultă că funcţia de potenţial a vitezelor este o funcţie armonică.

Dacă se calculează componentele vârtejului, date de relaţia:

ky

u

x

vj

x

w

z

ui

z

v

y

wvrot .

2

1.

2

1.

2

1.

2

1

şi înlocuind în relaţia vârtejului x

u , y

v , z

w se constată că componentele

vârtejurilor sunt nule. Deci putem spune, reciproc, că mişcările irotaţionale sunt mişcări

potenţiale.

Dacă mişcarea potenţială este plană avem doar două componente ale vitezei (u şi v)

6.2 Legătura dintre mişcarea potenţială plană şi teoria funcţiilor de variabilă complexă

6.2.1 Construcţia unei soluţii a ecuaţiilor de mişcare ale fluidelor ideale

Mişcarea unui fluid incompresibil este descrisă de ecuaţiile lui Euler şi ecuaţia de

continuitate care, în cazul mişcării plane, ţinând cont că x

Uf x si

y

Uf y ecuaţiile lui

Euler devin:

x

p

x

U

y

uv

x

uu

1

y

p

y

U

y

vv

x

vu

1 şi ecuaţia de continuitate

0y

v

x

u


68

Inlocuind în ecuatiile de mai sus x

u , y

v , se poate rezolva sistemul de ecuaţii,

rezultând:

Uyx

constp

22

2

1.

în care ),( yx este o funcţie armonică. Constituie o soluţie a ecuaţiilor mişcării. Primele

două relaţii, de mai sus, arată că mişcarea este potenţială, iar a treia reprezintă relaţia lui

Bernoulli pentru fluidele incompresibile (ρ = const).

In cazul mişcărilor plane, ecuaţia diferenţială a liniilor de curent este:

v

dy

u

dx sau 0.. dyudxv

Ecuaţia continuităţii 0y

v

x

u

scrisă sub forma y

v

x

u )( reprezintă condiţia

necesară şi suficientă pentru ca membrul stâng al ecuaţiei 0.. dyudxv să fie diferenţială

totală exactă, a unei funcţii scalare ),( yx ,

0.. duudxvdyy

dxx

d de unde rezultă:

y

u şi x

v

Funcţia ia valori constante pe o linie de curent şi se numeşte funcţie de curent. In

mişcarea potenţială, această funcţie este armonică, deoarece într-o astfel de mişcare, vârtejul este

nul. Deci:

02

1

2

12

2

2

2

yxy

u

x

v sau 0

Se poate verifica prin înlocuire:

y

u x

v Uyx

constp

22

2

1

In care funcţia ),( yx este o funcţie armonică şi este o soluţie a sistemului de

ecuaţii ale mişcării plane. Primele doua relaţii arată că mişcarea este plană şi irotaţională, iar a

treia este relaţia lui Bernoulli.

6.3 Potenţialul complex al mişcării

Din relaţiile y

u ; x

v şi x

u si y

v prezentate anterior,

resultă: yx

si xy


69

Funcţiile θ şi ψ sunt funcţii armonice conjugate ce verifică condiţiile Cauchy-Riemann.

Deci, funcţiile θ(x,y) şi ψ(x,y) reprezintă partea reala şi partea imaginară a unei funcţii

monogene de variabilă complexă z = x + iy

),(.),()( yxiyxzf

Funcţia f(z) se numeşte poteţialul complex al mişcării.

Dacă mişcarea este nepermanentă, potenţialul complex al mişcării se scrie sub forma:

),,(.),,(),( tyxityxtzf

Dacă se folosesc coordonate polare: ierzr .,,

),,(.),,(),( tritrtzf

Partea reală a potenţialului complex f(z) este familia liniilor de potenţial. iar partea

imaginară reprezintă familia liniilor de curent.

Fig.6.1 Spectrul hidrodinamic al mişcării

Dacă se reprezintă grafic, într-un sistem de axe

xOy, familia liniilor de potenţial şi de curent

se obţine spectrul hidrodinamic al mişcării.

Liniile de curent şi de potenţial sunt curbe

ortogonale deoarece grad.ψ.gradφ=0

6.4 Determinarea unor mărimi caracteristice mişcărilor potentiale plane

Mărimile caracteristice sunt: repartiţia vitezelor, repartiţia presiunilor, circulaţia de-a

lungul unei curbe şi debitul de fluid printr-o curbă.

6.4.1 Determinarea vitezelor

In coordonate carteziene sunt relaţiile determinate anterior:

yx

u xy

v

In coordinate polare.

Potenţialul complex f(z) poate fi separata în

partea reală şi partea imaginară prin inlocuirea

lui .. ierz , în care r şi θ sunt coordonate

polare, legate de coordonatele carteziene prin

relaţiile cos.rx şi sin.ry . Rezultă:

),(.),()( rirzf

In coordonate polare viteza are componentele vr şi vθ . Expresiile lor se determină prin

derivatele:


70

rvACBCABDEABvur

y

yr

x

xrsin.cos.

vrCFrECEFr

DBEFruvrrvruy

y

x

x

..).(

).()sin.cos..(cos..)sin..(

Tinând seama de condiţiile Cauchy Riemann se poate scrie:

rr

vr

1 şi

rr

v1

6.4.2 Determinarea vitezei complexe

Mărimea complexă u - i.v se numeste viteză complexă.

Se poate determina prin derivarea potenţialului complex al mişcării f(z):

viudx

di

dx

d

dz

df.

dz

dfu Re

dz

dfv Im

Acelaşi lucru se obţine şi dacă derivăm pe direcţia iy.

6.4.3 Determinarea repartiţiei presiunilor

Repartiţia presiunilor se determină din relaţia lui Bernoulli, scrisă între un punct oarecare

şi punctul de la infinit:

pVpV

22

22

în care 222 vuV

Se calculează presiunea relativă pp

22

12 V

VVpp

Relaţia se poate scrie sub formă adimensioanală:

2

21

2

V

V

V

ppp mărime numită coeficient de presiune.

Coeficientul de presiune este o mărime utilizată pentru compararea rezultatelor experimentale.

Aceasta nu depinde de densitate. Spre exemplu, pentru studiul mişcării în jurul unui corp, în

diferite fluide (în apa sau aer).

6.4.4 Determinarea circulaţiei vitezei şi a debitului

Se consideră o mişcare potenţială pe o curba oarecare C limitată de două puncte A şi B,

trasate în curentul de fluid. Prin fiecare punct al curbei C trece o linie de curent. Viteza V a

particulei de fluid care trece prin punctul oarecare P are componentele u şi v în raport cu un


71

sistem de axe xOy şi Vn şi Vt în raport cu un sistem cu originea în P şi axele normală şi tangentă

curbei C.

Circulaţia vitezei în lungul curbei AB este, prin

definiţie:

AB

tAB dSV

Se poate deduce o altă expresie a circulaîiei

observând că:

dyvdxudSV

dSVdS

VdSdSVt

..sin..sin.

cos..cos.)sinsin

cos(cos)cos(

Deci:

AB

AB dyvdxu ..

A altă expresie a circulaţiei se obţine scriind x

u şi y

v obţinându-se:

AB AB

ABAB ddyy

dxx

Debitul de fluid care trece prin curba C între punctele A şi B este definit de relatia:

AB

nAB dSVQ

Dar:

dxvdyu

dSVdSVdSVVdSVn

..

cos.sinsin.cos)cossincos(sin)sin(

De unde rezultă:

AB

AB dxvdyuQ ..

Dacă înlocuim cu y

u şi x

v se obţine:

AB AB

ABAB ddyy

dxx

Q

In concluzie, circulaţia şi debitul depend numai de valorile funcţiilor θ şi ψ în punctele

extreme ale curbei, nu şi de forma curbei C dintre aceste puncte.

6.5 Tratarea problemelor de miscari potentiale plane

Cu ajutorul funcţiilor de o variabilă complexă se pot trata problemele de mişcări

potenţiale plane în două moduri:

Indirect, când se dă un potenţial complex f(z) şi se cere să se determine mişcarea

potenţială plană care îi corespunde.


72

Direct, când se dă domeniul în care are loc mişcarea potenţială plană, condiţiile la limită

şi viteza şi se cere potenţialul complex f(z) care corespunde acestei mişcări.

Cursul de faţă se va ocupa numai de tratarea indirectă a problemelor de mişcări potenţiale

plane.

6.5.1 Mişcarea de translaţie uniformă

a. Se dă potenţialul complex al mişcării zCzf .)( , în care C este un număr real şi pozitiv.

Se obţine:

yCixCyixCizf ...).(.)( de unde: xC. şi yC.

Liniile de potenţial xC. . 1C

x sunt drepte paralele cu axa Oy (fig.6.2) şi

liniile de curent yC. ; 1C

y paralele cu axa Ox

Fig.6.2

Componentele vitezei sunt:

Cx

u şi 0y

v

Rezultă că, în orice punct al planului de

coordonate, inclusiv în punctul de la infinit,

viteza are numai o componentă VCu

Potenţialul complex al mişcării de translaţie

este:

zVzf )(

b. Mişcarea corespunzătoare potenţialului complex zCizf ..)( are liniile de potenţial

'.yC ; '

1

'

Cy drepte paralele cu axa Ox şi liniile de curent 'Cx

Fig. 6.3

'

1

'

Cx drepte paralele cu axa Oy (fig. 6.3).

Mişcările potenţiale al căror potenţial complex diferă

prin factorul i se numesc mişcări potenţiale inverse.


73

Mişcările potenţiale date de potenţialul

complex Czzf )( în care C este o

constantă complexă iBAC are liniile de

potential ByAxyx ),( şi liniile de

curent AyBxyx ),( drepte înclinate,

respectiv perpendiculare. (fig.6.3)

Fig.6.3

6.5.2 Mişcarea produsă de o sursă punctiformă

Potentialul complex al acestei mişcări esta dat de relaţia:

zCzf ln)( 0z

în care C este o constanta reală. Folosind coordonatele polare se poate scrie

..ln.).ln(..)( . CirCerCizf i deci

rC ln. .C

Fig.6.4

Liniile de potenţial, de ecuaţii rC ln. sau 1Cer sunt cercuri concentrice,

iar liniile de curent de ecuaţii .C sau 1C

sunt drepte ce trec prin origine

(fig.6.4). Componentele vitezei sunt:

r

C

rVr 0

1

rV

Dacă C > 0, mişcarea are sensul divergent (fig.6.4a) şi sursa se numeşte sursă positivă

sau izvor.

Dacă C < 0, mişcarea este convergentă (fig.6.4b) şi sursa se numeşte sursă negativă sau

puţ.


74

Semnificaţia fizică a constantei C se obţine calculând debitul Q sursei printr-un cerc de

rază oarecare

2

0

2. Cdrr

CdSVQ r de unde

2

QC In acest caz potenţialul

complex are forma: zQ

zf ln2

)(

6.5.3 Mişcarea produsă de un vârtej

Potenţialul complex al acestei mişcări este:

zCizf ln..)( 0z

în care C este o constantă reală. Folosind coordonatele polare se poate scrie:

..ln..).ln(...)( . CrCierCiizf i deci

.C rC ln.

Fig.6.5

Liniile de potenţial, de ecuaţii .C sau 1C

sunt drepte concurente în

origine, iar liniile de curent de ecuaţii rC ln sau 1Cer sunt cercuri concentrice

(fig.6.5). Componentele vitezei sunt:

0r

Vr r

C

rV

1

Dacă C > 0, sensul de parcurgere al liniilor de curent este sensul invers trigonometric.

Dacă C < 0, sensul este cel trigonometric.

Semnificaţia fizică a constantei C se obţine calculând circulaţia vârtejului de-alungul unui

cerc de rază oarecare

2

0

.2. Cdrr

CdV deci

2C iar potenţialul

complex al vârtejului se scrie sub forma:

zi

zf ln2

.)(

6.5.4 Mişcarea produsă de un dipol

Potenţialul complex al mişcării create de sursa +Q plasată în z = - a şi sursa –Q plasată în

z = a (a numar real şi pozitiv) este:


75

az

aQ

az

azQaz

Qax

Qzf

21ln

2ln

2)ln(

2)ln(

2)(1

Potenţialul complex al dipolului f(z) se obţine luând )(lim 10

zf

Qa

astfel ca:

kMQa

Qa

..2).2(lim0

Rezultă z

kzf )( 0z

Mărimea kM ..2 se numeşte momentul dipolului. Potenţialul complex al dipolului

poate fi scris sub forma:

2222

..

.),(.),()(

yx

yki

yx

xk

yix

kyxiyxzf

Liniile de potenţial de ecuaţii 22

.),(

yx

xkyx sau 022 x

kyx sunt cercuri

cu centrele pe axa Oz care trec prin origine, iar liniile de curent 22

),(yx

kyyx sau

022 yk

yx sunt cercuri cu centrele pe axa Oy care trec prin origine (fig.6.6)

Fig.6.6


222

22

)(

)(

yx

xyk

xu

222 )(

..2

yx

xyk

yv

Dacă dipolul nu este plasat în originea axelor de coordonate ci într-un punct oarecare

000 .yixz potenţialul complex este:

0

)(zz

kzf

6.5.5 Mişcarea în jurul cercului

Mişcarea în jurul unui cerc este dată de potenţialul complex:


76

z

azVzf

2

)(

în care V este viteza la infinit iar a este raza cercului. In coordonate polare, potenţialul se scrie

sub forma:

)sin.(cos)sin.(cos.)(2

.2

. ir

airVe

r

aerVzf ii

Rezultă:

cos),(2

r

arVr si sin),(

2

r

arVr

Liniile de potenţial şi cele de curent se pot trasa prin puncte (fig.6.7)

Fig.6.7 Mişcarea în jurul cercului

Linia de curent 0),(r este alcătuită din cercul ar semiaxa, Ox pozitivă,

0 şi semiaxa Ox, negativă, .


cos12

2

r

aV

rVr si sin1

12

2

r

aV

rV

Pe cercul ar avem 0rV , sin2VV şi sin222 VVVV r

In punctele A(θ=π) si F(θ=0), viteza este nulă (puncte de stagnare): A este bord de atac; F

este bord de fugă, iar în punctele 2

C şi 2

3'C viteza are valoarea maximă:

VV 2

In punctul de la infinit cosVVr şi sinVV deci VVVV r

22

La infinit, viteza este constantă, paralelă cu axa Ox, deci liniile de curent sunt paralele cu

axa Ox.

Repartiţia presiunilor pe cerc se obţine scriind relaţia lui Bernoulli între un punct oarecare

de pe cerc şi punctul de la infinit:


77

2

22

2

sin.41sin2

11

2

1 V

V

V

V

V

pp

Dacă se măsoară unghiul θ de la bordul de atac A la bordul de fugă F trecând prin

punctele 6

B , 2

C şi 6

5D se obţine repartiţia presiunilor pe extradosul

ABCDF al cercului (fig.6.8). Analog se obţine repartiţia presiunilor pe întregul contur (fig.6.9)

Fig.6.8

Fig.6.9

Se observă că presiunea este simetric distribuită pe conturul cercului şi deci, rezultanta

forţelor de presiune este nulă. Acest lucru se poate dovedi şi analitic (fig.6.9):

dSnpFd .. şi din relaţia lui Bernoulli CpV

2

2

se obţine

2

2VCp şi deci, pe cerc )sin2( 22VCp rezultă:

2

0

22

2

0

0.cos)sin2(...cos. dVCadapFx

2

0

22

2

0

0.sin)sin2(...sin. dVCadapFy

Pe de altă parte, momentul forţelor de presiune faţă de originea sistemului de axe este

nul, deoarece forţele de presiune care se exercită pe cerc sunt radiale (trec prin origine).

6.5.6 Mişcarea în jurul cercului cu circulaţie

Mişcarea în jurul cercului cu circulaţie se obţine din compunerea mişcării în jurul

cercului cu mişcarea produsă de vârtejul de intensitate plasat în origine:


78

zi

z

azVzf ln

2

.)()(

2

Cercul se consireră fix.

Deoarece, în cele două mişcări componente cercul este linie de curent şi în mişcarea

rezultantă cercul este linie de current. Pentru a găsi punctele de stagnare (de viteza nulă) se

impune ca viteza complexă viudz

df. să fie nulă.

0..2

.1

2

2

z

i

z

aV

dz

df sau 0

..2

. 22 azV

iz

)16(.4

1 2222

2,1 VaiV

z

Se disting trei cazuri:

` Va..4 Radicalul este real 21 ReRe zz 0ImIm 21 zz si azz 21 .

Cele două puncte de stagnare sunt situate pe semicercul inferior şi sunt simetrice faţă de

diametrul vertical (fig.6.10a)

Fig.6.10 Mişcarea în jurul cercului cu circulaţie

aV..4 Radicalul este nul si aiV

izz .

..4

.21 . Cele doua puncte de

stagnare sunt confundate (fig.6.10b)

Va...4 Radicalul este imaginar si az1 si az2 . Cele doua puncte de

stagnare sunt situate pe semiaxa imaginară negativă, unul în interiorul cercului, altul în exteriorul

lui (fig.6.10c)

Componentele vitezei în coordonate polare şi viteza pe cerc sunt:

0rV a

VV2

sin2 a

VVVV r2

sin222

Rezultanta forţelor de presiune asupra cercului are componentele:

2

0

22

0

0.cos2

sin22

1...cos. d

aVCadapFx


79

2

0

22

0

..sin2

sin22

1...sin. Vd

aVCadapFy

Momentul resultant al forţelor elementare de presiune dSnpFd .. este nul, deoarece

acestea sunt radiale. Prin urmare acţiunea forţelor de presiune pe cerc este dată de o forţa de

mărime V. care trece prin centrul cercului, este perpendicular pe V în sensul opus

circulaţiei. Aceasta este teorema Kutta-Jukovski, dedusă în cazul particular al cercului.

MECANICA FLUIDELOR ELEMENTE DE TEORIA VALURILOR Dr.ing. Petru Aron

80

VII. ELEMENTE DE TEORIA VALURILOR

7.1 Ecuaţii de bază

Valurile sunt mişcări cu suprafaţă liberă produse de:

- vânt;

- atracţia Lunii;

- mişcările seismice;

- deplasarea unor corpuri la suprafaţa apei sau în imediata ei apropiere;

- mişcarea frontierelor, atunci când lichidele sunt conţinute în spatii închise.

Scriem, mai întâi, că potenţialul θ satisface ecuaţia lui Laplace:

02

2

2

2

2

2

zyx

In ipoteza: miscare potenţială nepermanentă a unui fluid ideal v

)(2

.2

tCt

Vpzg este ecuaţia lui Lagrange. Unde am presupus ca axa Oz este

verticală şi dirijată în sus, iar planul Oxy este orizontal, aproximativ pe suprafaţa liberă a

fluidului. Constanta din membrul al doilea poate fi înglobată în t

, astfel încât putem scrie

ecuaţia sub o formă mai simplă:

02

.2

t

Vpzg

O caracteristică a acestei mişcări este faptul că, pe suprafaţa liberă se exercită presiunea

atmosferică 0p , care în absenţa altor efecte fizice este continuă pe întreaga suprafaţă liberă şi

constituie condiţia la limită pe aceasta.

O altă condiţie se referă la frontierele solide. Dacă notăm nV viteza după normala la o

suprafaţă elementară, dirijată spre exterior, vom avea conditia:

n

Vn cazul frontierelor mobile

Dacă frontierele sunt fixe 0n

şi 0nV

In cazul general, problema valurilor este dificilă, de aceea vom încerca unele simplificări

raţionale şi convenabile pentru rezolvarea unor probleme.

7.2 Valuri plane călătoare de mică amplitudine

La ipotezele prezentate anterior mai considerăm că amplitudinea valului este mult mai

mică decât lungimea sa de undă. In aceasta situtaţie ecuaţia lui Laplace are o soluţie de forma:

).cos().( tkxzf

în care: zkeAzf ..)(

Deci vom avea:

).cos(. . tkxeA zk


81

Cunoscând potenţialul mişcării, putem determina componentele vitezei:

).sin(. . tkxeAx

u zk

),cos(.. . tkxekAz

w zk

Modulul vitezei va fi:

zkekAwuV .22 .. dar, în acelaşi timp se cunoaşte că:

dt

dxu şi

dt

dzw deci: dtudx . şi dtwdz .

La timpul t, particula de fluid se va afla în punctul M(x,z) iar, la timpul t1 în punctul

M1(x1,z1) şi prin integrare obţinem: t

t

dtuxx

1

.1 si

t

t

dtwzz

1

.1

Tinând cont de reaţiile lui u şi w vom avea:

)..cos( 1

.

11 txke

kAxx

zk

)..sin( 1

.

11 txke

kAzz

zk

Din relaţiile de mai sus rezultă că traiectoriile particuleleor de fluid sunt cercuri cu

centrul în punctul de coordonate x1 şi z1, având raza 1.zke

kA , decrescătoare cu adâncimea.

Amplitudinea valului la suprafaţă este dată de relaţia:

kAa

.0

Inălţimea valului se defineşte ca distanţa dintre o creastă de val şi un gol de val:

0.2 ah

Revenind la ecuaţia lui Lagrange: 02

.2

t

Vpzg , presupunem că mişcările sunt

foarte lente şi deci putem neglija termenul 2

2V din ecuaţia presiunii, iar condiţia că presiunea pe

suprafaţa libera este presiunea atmosferică p = p0 ne permite să înglobăm termenul 0pîn

tsi

va rezulta:

0.zgt

după o derivare funcţie de t obţinem componenta verticală a vitezei:

2

21

tgt

z

Mai ştim că: y

zv

x

zu

t

z

dt

dzw şi cum amplitudinea valului este mult mai

mică decât lungimea sa de undă, putem aprecia:


82

0y

z

x

z rezultă:

t

z

dt

dzw

Tinând cont de relaţia: ).cos(. . tkxeA zk

si de relaţia:

0.zgt

putem stabili ecuaţia suprafaţei valului:

).sin().sin( 0 tkxatkxg

Az unde

g

Aa0

a0 este amplitudinea valului, iar lungimea de unda este:

k

2

In figura 7.1 sunt prezentate caracteristicile valurilor plane de amplitudine mică

Fig. 7.1 Caracteristicile valurilor

Se observă descreşterea exponenţială a amplitudinii cu adâncimea.

ω reprezintă viteza unghiulară a particulei de fluid în traiectoria ei circulară. Perioada

mişcării va fi:

2T

Din ecuaţia suprafeţei valului, se observă că aceasta este invariabilă în timp. De-a lungul

axei x viteza de deplasare sau de propagare a undei de val este:

k

dc

2

. unde c se numeşte viteză aparentă. De aici provine denumirea de val

călător.

7.3 Grupuri de valuri

Se consideră două valuri călătoare de amplitudini egale şi perioade apropiate:

).sin(.1 tkxaz şi

])()sin[(.2 txkkaz

Prin suprapunerea efectelor rezultă următoarea suprafaţă de val:


83

).sin(2

..cos..2

)..(2

1).(sin2])()sin[().sin(.

tkxtkx

a

tkxtkxatxkkatkxaz

Din compunerea celor două valuri a rezultat un val călător cu ampltudine variabilă:

2

.cos..21

tkxaa

Amplitudinea variabilă poate fi considerată o undă călătoare cu viteza aparenta c:

kc1 sau la limită:

dk

dckc

dk

kdccdk

dk

ckd

dk

dc

)(1

In cazul general, în care mai multe valuri de amplitudini diferite, lungimi de undă diferite

(dar apropiate ca valoare) şi defazate, se suprapun, suprafaţa de val are forma: n

nn txkkatkxaz1

])()sin[().sin(.

unde εn reprezintă diferitele defazări.

7.4 Valul staţionar

Este un caz particular de compunere a valurilor. Valul staţionar se produce compunând

doua valuri având aceleasi caracteristici, dar mergând în sensuri contrare:

).sin(2

).sin(2

2

1

tkxa

z

tkxa

z

Valul staţionar obţinut va avea suprafaţa de ecuaţie:

).cos()sin( tkxaz

Practic, un astfel de val se obţine atunci când un val plan călător loveşte un perete

vertical, unda reflectată suprapunându-se peste unda iniţială.

Restul problemelor se rezolvă ca în paragrafele anterioare.

7.5 Valuri plane călătoare în fluid de adâncime finită

Dacă adâncimea fluidului este finită, avem, în plus, condiţia la limită pe fund hz

0z

( )hz unde h este adâncimea fluidului.

Pentru simplificare considerăm h = const. Soluţia problemei are forma

)().cos(.)().sin.sin.cos.(cos zftkxAzftkxtkxA unde pentru f(z) luăm soluţia

generala a ecuaţiei 2

22 )(

dz

fdzfk şi vom obţine:

)'')(..cos( kzkz eBeAtxk


84

Pentru a determina legătura dintre constantele A’ şi B’, avem la dispoziţie condiţiile la

limită 2

21

tgzw pe suprafaţa liberă şi 0

z pe fund şi se deduce:

0'' khkh eBeA sau

0''22

gkB

gkA

Sistemul de mai sus este un sistem omogen care admite soluţii nenule dacă :

Din care rezultă:

khthgh

.2

Soluţia se va scrie:

( )(.)..cos(. zhkchtxkA )'2( kheAA

Suprafata liberă rezultă din relaţia 0.),,,(

Zgt

tZyx sub forma:

)..sin(. txkaZ g

Aa sau ).(

2sin. tcx

kaZ unde:

)(khchg

Aa este amplitudinea valului.

Viteza c rezultă din relaţiile k

c şi khthgh

.2

sub forma:

h

thh

hgkhthk

gc

.2

.2.)(2

Dacă raportul λ/h este mic, se revine la cazul 2

.g

k

gc , care se produce când h

este mare sau lungimea de unda este mică. In celalalt caz limită, λ/h mult mai mare decât 1

(valuri sau unde de gravitaţie de lungime de undă mare, mişcări în canale cu adâncimea h mică)

rezultă:

hgc .2

Traiectoriile particulelor pot fi determinate pe calea arătată anterior:


85

dt

dxu

t

t

dtuxx

0

.0

dt

dzw

t

t

dtzzz

0

.0 de unde:

)..cos( 000 txke

kAxx

kz

)..sin( 000 txke

kAzz

kz

Traiectoriile, în cazul adâncimilor mari, vor fi circulare.

7.6 Energia valului călător

Aceasta se compune din energia cinetică a mişcării particulelor de fluid şi din energia

potenţială datorată faptului că centrul de greutate al unei coloane de lichid variază pe verticală în

timpul mişcării.

Pentru calculul energiei cinetice, se consideră un volum de lichid limitat de două plane

verticale situate la o distanţă λ şi de alte două plane la o distanţă egală cu unitatea, perpendicular

pe planul figurii:

Fig.7.2

Energia cinetică a unui volum elementar de lichid η, mărginit de o suprafaţă ζ se

calculează utilizând expresia potenţialului de viteza V , relaţia VVV )( şi

ecuaţia de continuitate: 0V obţinem:

2)( VV

Deci, energia cinetică va fi:

dn

dnVdVEC2

..2

)(2

A apărut semnul (–) deoarece n, versorul normalei la suprafaţă este orientat, de data

aceasta, spre interiorul volumului considerat.

Notând cu s conturul OABC, atunci: dSd .1 Rezultă:

S

C dSn

E2

Aplicăm această relaţie pentru volumul OABC. Integralele pe porţiunile OC şi AB se

anulează, deoarece valorile lui θ vor fi aceleaşi, în timp ce derivata normalei va avea semn opus


86

(din cauza orientării în sesuri contrare a normalei). In acelaşi timp integrala pe OA este zero

0z

, rezultă deci:

C

B

C dxz

dSn

E0

22 deoarece putem, in ipoteza perturbatiilor mici,

înlocui dS cu dx şi n

cu z

.

Inlocuind pe θ cu expresia dată de relaţia )(.)cos(. zhkchtkxA rezultă:

22

4..

4

1aagEC unde a este amplitudinea valului.

Pentru calculul energiei potenţiale, se observă că volumul elementar de lichid, care se

găseşte peste nivelul de echilibru, este Zdx şi are centrul de greutate la Z/2. Acest volum are

energia potenţială: 2/2dxZ . Astfel, energia potenţială va fi:

0

22

42adxZEP rezultat ce se obţine înlocuind pe Z cu valoarea sa calculată

anterior ).(2

sin. tcxaZ

Energia totală, pentru volumul, considerat va fi:

2

2aEEE PCT relaţie valabilă indiferent de adâncimea h.

MECANICA FLUIDELOR MISCAREA LAMINARA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron

87

VIII. MISCAREA LAMINARA A FLUIDELOR REALE

8.1 Existenţa a două regimuri diferite de mişcare. Experienţa lui Reynolds

Pentru a se putea explica fenomenele care apar în mişcarea fluidelor reale şi pentru a

rezolva corect problemele practice legate de mişcare, trebuie să se ţină cont de proprietăţile fizice

ale fluidelor.

Curgerea fluidelor reale se poate produce în două regimuri diferite, din punct de vedere al

structurii fizice a acestora:

- regim laminar;

- regimul turbulent.

Existenţa acestor două regimuri de mişcare a fost pusă în evidenţă de Reynolds. Astfel,

acesta a realizat o instalaţie experimentală cu ajutorul căreia a stabilit deosebirile calitative dintre

regimurile de mişcare laminar şi turbulent şi a pus în evidenţă fenomenul de tranziţie dintre cele

două regimuri.

Fig.8.1 Instalaţia experimentală a lui Reznolds

Instalaţia experimentală constă dintr-un rezervor A, căruia i se ataşează un tub orizontal

B din sticlă, prevăzut cu un robinet de sticlă C. Deasupra rezervorului A este instalat un recipient

D care conţine lichid colorat, de greutate specifica γc Lichidul colorat poate ajunge în tubul

orizontal B prin intermediul tubului subţire E. Rezervorul A este umplut cu apă cu greuutatea

specifică γ iar, de la robinetul F până la o cota care este menţinută constantă tot timpul

experienţei cu ajutorul descărcătorului de prea-plin H. Se deschide uşor robinetul C şi se

stabileşte o curgere a apei din rezervorul A. Lichidul colorat din rezervorul D, la deschiderea

robinetului K, pătrunde prin interiorul tubului E în interiorul tubului orizontal B. In tubul B se

observă un fir colorat, rectiliniu, după direcţia axului tubului. Se măreşte treptat deschiderea

robinetului C, obţinându-se o măarire a debitului, deci o viteză de curgere a apei în tubul B.

Debitul se determină volumetric cu vasul tarat V. Se observă că la viteze de curgere nu prea

mari, lichidul colorat curge sub forma unui fir subţire, fără să se amestece cu curentul de apă

necolorată. La creşterea vitezei de curgere, firul de lichid colorat începe să oscileze şi să ia o

formă sinuoasă. Dacă viteza de curgere se măreşte în continuare, în diferite porţiuni ale firului de


88

lichid colorat apar discontinuităţi şi la o anumita viteză, particulele lichidului colorat se amestecă

complet cu cele ale apei necolorate, răspândindu-se în toată masa apei din tubul B.

Experienţa pune în evidenţă existenţa celor două regimuri de mişcare ale fluidului.

Mişcarea laminară a fluidului este mişcarea cu aspect uniform, în care diferitele straturi

de fluid se mişcă paralel unele faţă de altele.

Mişcarea turbulentă a fluidului are un aspect neuniform, particulele se amestecă între

ele după traiectorii neregulate şi variabile in timp.

Reynolds a stabilit facorii care determină cele două tipuri de curgeri:

- viteza medie de curgere a lichidului V;

- diametrul conductei D;

- vâscozitatea cinematică ν:

Reznolds a introdus o mărime adimensională care îi poartă numele numarul lui Reylolds:

DV .

Re

Dacă mişcarea lichidului se realizează pentru o valoare a numărului lui Re < Recritic

regimul de mişcare este, întodeauna, laminar (Recr =2300 pentru conducte circulare). Dacă Re >

Recr regimul de mişcare este întotdeauna turbulent. Intre cele două regimuri de scurgere se

situează regimul de tranziţie.

Mişcarea turbulentă este cea mai răspândită în natură, de aceia se mai numeşte şi regim

hidraulic.

Aspectele diferite ale structurii curgerii, nu sunt singurele care deosebesc cele două

regimuri de mişcare. Astfel s-a stabilit experimental şi teoretic că în mişcarea laminară, lichidul

întâmpină o rezistenţă proporţională cu viteza medie. De asemenea, rezistenţa pe care o opune

un corp fix, scufundat în lichid, unui curent în regim laminar sau rezistenţa la înaintare a unui

corp mobil scufundat într-un fluid aflat în repaus, este, la viteze mici, proporţională cu viteza. La

viteze mari, în regim turbulent, rezistenţa este proporţională cu patratul vitezei relative.

Printr-o serie de experienţe făcute pe diferite lichide, cu tuburi de diametre diferite şi

variind viteza de curgere a lichidului, Reynolds a demonstrat că trecerea de la regimul de

mişcare laminar la regimul turbulent are loc când, date fiind diametrul şi lichidul (vâscozitatea

acestuia), viteza medie trece de o anumită valoare numită critică; deasemenea când, date fiind

viteza şi vâscozitatea, diametrul trece de o anumită valoare numită critică şi, în fine, când, date

fiind diametrul şi viteza, vâscozitatea trece de o anumită valoare numită critică:

D

V crcr Re V

D crcr Re cr

cr

DV

Re

.

Recr = 2300 reprezintă valoarea critică inferioară sub care nu poate exista mişcare turbulentă.

8.2 Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor reale în mişcarea laminară

8.2.1 Starea de tensiune într-un fluid în mişcare

Intr-un fluid în mişcare, starea de solicitare interioară produsă de interacţiunile dintre

particule, numită stare de tensiune, este determinată, în fiecare punct al fluidului, de către

eforturile unitare. Efortul unitar este determinat de relaţia:


89

n

ndS

Fdp în care

nndSpFd este forţa elementară de suprafaţă care reprezintă

interacţiunea dintre particulele de fluid separate prin elementul de suprafaţă dSn.

Fig.8.2 Starea de tensiune într-o particulă de fluid

Dacă se considerăm un volum elementar dV de fluid de forma unui tetraedru (fig.8.2) şi

dacă se notează cu mf forţa masică unitară, ecuaţia de mişcare a volumului elementar are forma:

zzyyxxnnm dSpdSpdSpdSpdVfdVdt

vd.

Dacă se neglijează termenii care conţin elementul de volum în raport cu termenii ce

conţin elementele de suprafaţă şi ţinând cont că ),cos( xndSdS nx ; ),cos( yndSdS ny şi

),cos( zndSdS nz se obţine relaţia:

),cos(),cos(),cos( znpynpxnpp zyxn

Relaţia vectorială, de mai sus, se exprima scalar astfel:

),cos(),(),cos(

),cos(),cos(),cos(

),cos(),cos(),cos(

znpynCospxnpp

znpynpxnpp

znpynpxnpp

zzyzxznz

zyyyxyny

zxyxxxnx

Deci, starea de tensiune într-un fluid real aflat în mişcare este dată de un tensor de ordinul

doi, numit tensorul eforturilor unitare, care poate fi exprimat cu ajutorul matricei:

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ppp

ppp

ppp

Primul indice, ai termenilor din matrice, arată axa normală a suprafeţei considerate, iar al

doilea indice precizează direcţia de acţiune a efortului unitar.

Eforturile normale pxx , pyy si pzz se notează, în mod obişnuit, zzyyxx ., . Eforturile

tangenţiale sunt două cate două egale, xyyx pp , etc. şi se notează xzyzxy ,, . Deci starea de

tensiune a unui fluid în mişcare este dată de tensorul de ordinul doi, simetric, al eforturilor

unitare exprimat cu ajutorul matricei:


90

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

Suma tensiunilor normale este un invariant cu ajutarul căruia se defineşte presiunea intr-

un punct:

)(3

1zzyyxxp

In cazurile particulare, ale unui fluid real în repaus, sau fluid ideal în mişcare,

componentele tangenţiale ale tensiunii sunt nule şi starea de tensiune este dată doar de presiune:

p

p

p

00

00

00

8.2.2 Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor reale în componente de eforturi (forma dată de

Cauchy)

Se consideră într-un fluid real, în miscare, o particulă oarecare de fluid de forma unui

paralelipiped dreptunghiular cu muchiile paralele cu axele de coordonate, de dimensiuni dx, dy şi

dz. (fig.8.3)

Fig.8.3

Asupra particulei de fluid actionează forţele masice mFd si forţele de suprafaţă SFd .

Componentele pe cele trei direcţii ale forţei masice sunt:

dxdydzfdF xmx dxdydzfdF ymy dxdydzfdF zmz

Forţele de suprafaţă actionează asupra fiecărei feţe a particulei paralelipipedice şi sunt

date de eforturile unitare. Pe fiecare faţă, forţa corespunzatoare de suprafaţă are trei cumponente,

paralele cu axele de coordonate, una normală şi două tangenţiale. Forţa rezultantă pe direcţia Ox

va fi:

dydxdzz

dxdzdyy

dzdydxx

dF zxyxxx

Sx ......

Legea a doua a lui Newton Sm FdFdadm. aplicată particulei de fuid pe direcţia axei

Ox va fi:


91

dzdydxzyx

dzdydxfdzdydxdt

du zxyxxx

x .......,

Făcând simplificările şi ţinând cont că z

uw

y

uv

x

uu

t

u

dt

du se obţine:

zyx

fz

uw

y

uv

x

uu

t

u zxyxxx

x

1

zyx

fz

vw

y

vv

x

vu

t

v zyyyyx

y

1

zyx

fz

ww

y

wv

x

wu

t

w zzyzxz

z

1

Acestea sunt ecuaţiile de mişcare ale fluidelor reale în componente de eforturi sub forma

dată de Cauchy.

Membrul stâng, al ecuaţiilor de mişcare reprezintă forţele unitare de inerţie din care,

primul termen este forţa unitară locală de inerţie şi următorii trei termini forţa unitară

convectivă de inerţie. Membrul drept, reprezintă forţele unitare exterioare, din care primul

termen este forţa unitară masică şi cel de-al doilea este forţa unitară de suprafaţă.

8.2.3 Ecuaţiile Navier-Stokes pentru mişcarea laminară a fluidelor reale

Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor reale in componente de eforturi pot fi scrise, în cazul

mişcării laminare, numai cu ajutorul componentelor de viteză u, v şi w. Pentru aceasta, este

necesar să se ţină seama de legatura dintre eforturile unitare, pe de o parte, vâscozitatea fluidului

şi vitezele de deformaţie, pe de altă parte.

Pentru fluidele reale şi incompresibile, efortul unitar normal este dat de suma dintre

presiunea p şi o componentă care depinde de vâscozitatea η şi care, pe baza generalizării

formulei lui Newton dy

du din cazul mişcării laminare unidimensionale, este proporţional cu

viteza de deformaţie liniară (componente axx, ayy sau azz din tensorul vitezelor de deformaţie

introdus prin teorema lui Helmholtz).

x

upap xxxx 2.2 şi analog pentru zzyy si

Pentru fluidele reale şi compresibile, efortul unitar normal ţine seama şi de viteza relativă

de variaţie a volumului particulei de fluid

Vdivz

w

y

v

x

u. (expresie care la fluidele compresibile nu este nulă)

x

upa

z

w

y

v

x

up vxxvxx 2.2

y

vpa

z

w

y

v

x

up vyyvyy 2.2


92

z

wpa

z

w

y

v

x

up vzzvzz 2.2

Coeficientul v este coeficientul de vâsozitate. Din teoria cinetico- moleculară a gazelor:

3

2v (relaţia lui Stokes)

Eforturile unitare tangenţiale, pe baza generalizării formulei lui Newton, dy

du sunt

proporţionale cu vitezele de deformaţie unghiulară (componentele axy , ayz şi azx din tensorul

vitezelor de deformaţie introdus prin teorema lui Helmoltz):

z

u

x

wa

z

v

y

wa

y

u

x

va

zxzx

yzyz

xyxy

2

2

2

Legătura dintre tensorul eforturilor unitare şi tensorul vitezelor de deformaţie se deduce

pe baza relaţiilor de mai sus:

z

w

z

v

y

w

z

u

x

w

y

w

z

v

y

v

y

u

x

v

x

w

z

u

x

v

y

u

x

u

p

p

p

V

V

V

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

00

00

00

Relaţiile stabilite, se numesc ecuaţiile constitutive ale fluidelor vâscoase în mişcarea

laminară, iar fluidele care verifică ecuaţiile constitutive se numesc fluide newtoniene.

Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor vâscoase în mişcarea laminară, scrise in componente de

viteze, se deduc din ecuaţiile de mişcare ale fluidelor reale în componente de eforturi , înlocuind

eforturile unitare cu expresiile de mai sus:

x

w

z

u

zy

u

x

v

yx

up

xf

dt

duVX

2

1

2

12

1

Dacă se ţine cont de relaţia lui Stokes 3

2V , de reaţia de definire a vâscozităţii

şi de operatorul Laplace, ecuaţia de mai sus se poate scrie sub forma:

x

ux

pf

z

uw

y

uv

x

uu

t

uX

3

1

y

vy

pf

z

vw

y

vv

x

vu

t

vY

3

1


93

z

wz

pf

z

ww

y

wv

x

wu

t

wZ

3

1

Expresiile din stânga reprezintă forţele unitare de inerţie, din care, prima reprezintă forţa

unitară de inerţie locală şi următoarele forţa unitară convectivă de inerţie. Expresiile din

membrul drept, reprezintă forţele unitare exterioare din care, prima este forţa unitară masică, a

doua este forţa unitară de presiune, a treia este forţa unitară de vâscozitate şi ultima este forţa

unitară de compresibilitate. La aceste ecuaţii se adaugă ecuaţia continuităţii:

0).().().(

z

w

y

v

x

u

t

Sistemul de ecuaţii de mai sus, este nelinear, din patru ecuaţii cu derivate parţiale de

ordinul doi. Variabilele independente sunt x,y,z şi t, iar variabilele dependente sunt u(x,y,z,t),

v(x,y,z,t), w(x,y,z,t) şi p(x,y,z,t). Celelalte componente sunt cunoscute.

In cazul fluidelor incompresibile, ecuaţiile Navier-Stokes şi ecuaţia de continuitate se

scriu sub forma:

ux

pf

z

uw

y

uv

x

uu

t

uX

1

vy

pf

z

vw

y

vv

x

vu

t

vY

1

wz

pf

z

ww

y

wv

x

wu

t

wZ

1

0..

z

w

y

v

x

u

Sub forma vectorială:

.3

,1

gradVpgradft

Vm este valabilă pentru fluide compresibile

Pentru fluide incompresibile:

Vpgradft

Vm ,

1

8.2.4 Ecuaţiile de mişcare a fluidelor reale în mişcarea laminară sub formele date de Helholtz

şi Gromeka-Lamb

Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor reale în mişcarea laminară, pot fi scrise şi sub alte

forme, care pun în evidenţă, în mod explicit, unele particularităţi cinematice şi energetice ale

mişcării. Dacă în ecuaţiile lui Navier-Stokes:

x

ux

pf

z

uw

y

uv

x

uu

t

uX

3

1

y

vy

pf

z

vw

y

vv

x

vu

t

vY

3

1

z

wz

pf

z

ww

y

wv

x

wu

t

wZ

3

1


94

0).().().(

z

w

y

v

x

u

t ecuaţia continuităţii

se înlocuiesc componentele acceleraţiei cu expresiile obţinute anterior. Ecuaţiile de mişcare ale

fluidelor reale în mişcarea laminară sub forma dată de Helmholtz este:

x

ux

pf

y

u

x

vv

y

w

x

uw

V

xt

uX

3

1

2

2

y

vy

pf

z

v

y

ww

y

u

x

vu

V

yt

vY

3

1

2

2

z

wz

pf

x

w

z

uu

x

v

y

wv

V

zt

wZ

3

1

2

2

Membrul din stânga egalităţii, reprezintă forţele unitare de inerţie din care, primul termen

reprezintă forţa unitară locală de inerţie, al doilea forţa unitară convectivă de inerţie datorată

variaţiei energiei cinetice, iar ultimii termini forţa unitară convectivă de inerţie datorată variaţiei

vârtejului.

Membrul din dreapta ecuaţiei reprezinta forţele unitare exterioare din care, primul termen

reprezintă forţa unitară masică, al doilea forţa unitară de presiune, al treilea forţa unitară de

vâscozitate şi ultimul forţa unitară de cmpresibilitate.

Ecuaţiile de mai sus se pot scrie si sub formă vectorială:

.3

.1

2

2

gradVpgradfVxVrotV

gradt

Vm

Expresia de mai sus reprezinta ecuaţia vectorială de mişcare a fluidelor reale în mişcarea

laminară sub forma dată de Hemholtz.

Dacă se ţine seama că forţele masice derivă dintr-un potenţial, adică:

Ugradfm . unde:

x

Uf X

y

UfY

z

Uf Z si

dp

gradpgrad.1

deci:

dp

xx

p1

dp

yy

p1

dp

zz

p1

atunci, ecuaţiile de mişcare ale fluidelor reale în mişcarea laminară sub forma data de Helmholtz

se scriu sub forma dată de Gromeka –Lamb:

x

uy

u

x

vv

y

w

x

uwU

dpV

xt

u

32

2

y

vz

v

y

ww

y

u

x

vuU

dpV

yt

v

32

2

z

wx

w

z

uu

x

v

y

wvU

dpV

zt

w

32

2

Ecuatiile se pot scrie sub formă vectorială:


95

.32

2

gradVVxVrotUdpV

gradt

V

Este ecuaţia vectorială de mişcare a fluidelor reale în mişcarea laminară sub forma

Gromeka-Lamb. In aceasta ecuaţie, expresia EUdpV

2

2

este numită funcţia lui

Bernoulli. Mărimea E reprezintă energia totală a fluidului, formată din energia cinetică, energia

potenţială de presiune şi energia potenţială a forţelor masice.

8.3 Legea conservării şi transformării energiei în cazul mişcării laminare a fluidelor reale.

Relaţia lui Bernoulli.

Se consideră mişcarea laminară permanentă a unui fluid real, compresibil. In aces caz

derivatele parţiale ale componentelor vitezei sunt nule şi ţinând cont de expresiile componentelor

vectorului vârtej vom avea:

x

uvwUdpV

xzy

3)(2

2

2

y

vwuUdpV

yxz

3)(2

2

2

z

wuvUdpV

zyx

3)(2

2

2

Se înmulţesc cele trei ecuaţii cu deplasările elementare dx, dy şi dz şi se adună. Va rezulta

expresia de mai jos:

Vzyx l

wvu

dzdydx

UdpV

d .22

2

Termenul Vl. reprezintă o variaţie elementară care, nu este diferenţială totală exactă.

Deoarece fiecare termen din ecuaţiile de mişcare reprezintă o forţă unitară, rezultă ca fiecare

termen înmulţit cu delasarea unitară reprezintă un lucru mecanic unitar elementar (energie

unitară elementară). Astfel, primul termen al ecuaţiei reprezintă variaţia elementară a energiei

fluide totale, iar al doilea reprezintă lucrul mecanic elementar al forţelor convective de inerţie

datorate variaţiei vârtejului. Termenul:

)(3

1]...[. VdivddzwdyvdxulV

reprezintă lucrul mecanic unitar al forţelor de vâscozitate corespunzatoare unei deplasări

elementare. Termenl este negativ doarece fortele de vâscozitate sunt dirijate în sens opus

sensului de mişcare.

Determinantul din ecuaţia de mişcare este nul în următoarele cazuri:

- pe o linie de curent

w

dz

v

dy

u

dx

- pe o linie de vartej


96

zyx

dzdydx

- în mişcarea elicoidală

zyx

wvu

In toate cele trei cazuri:

VlU

dpVd .

2

2

Se integrează această egalitate între două puncte, pe o linie de curent, pe o linie de vârtej

sau între doua puncte oarecare din mişcarea elicoidală şi rezultă:

12

2

1

2

.2

VludpV

Termenul din membrul doi reprezintă lucrul mecanic unitar al forţelor de vâscozitate pe

drumul dintre punctele 1 şi 2, deci o energie pierdută (disipată) deoarece nu poate fi utilizată ca

energie hidraulică. Pe baza considerării legilor termodinamicii rezultă că energia pierdută se

transformă în căldură.

8.4 Relaţia lui Bernoulli pentru o linie de curent, în mişcarea laminară a fluidelor reale

Spre deosebire de un fluid ideal, pentru care energia specifică de-a lungul unei linii de

curent este constantă, în cazul fluidului real energia acestuia scade în sensul mişcării fluidului,

datorită frecărilor de natură vâscoasă între particule. Considerăm cazul fluidelor incompresibile

(ρ = ct.) şi mişcarea în câmp gravitaţional (U = g⋅z). În acest caz, relaţia lui Bernoulli scrisă între

punctele 1 şi 2 este:

12

22

2

21

1

2

1 ..2

.2

VlzgpV

zgpV

Dacă se împarte ecuaţia la g şi se notează 12

12.1

rV hlg

Ecuaţia noastră devine:

122

2

2

21

1

2

1

22rhz

p

g

Vz

p

g

V care reprezintă relaţia lui Bernoulli pentru fluide

grele incompresibile.

Dimensiunea fiecărui termen din relaţia lui Bernoulli pe o linie de curent în cazul unui

fluid incompresibil este o lungime. Prin urmare, relaţia lui Bernoulli în mişcarea permanentă în

lungul unei linii de curent admite reprezentarea grafică


97

Fig.8.4 Reprezentarea grafică a relaţiei lui Bernoulli

8.5 Mişcarea laminară a fluidelor reale în conducte circulare drepte. Mişcarea Hagen-

Poiseuille.

Majoritatea problemelor tehnice, aplicative ale mecanicii fluidelor se referă la calculul

vitezelor, debitelor şi presiunilor în instalaţii formate din conducte, canale şi diferite dispositive

şi aparate prevăzute de-a lungul acestora. Un astfel de ansamblu poartă numele de instalaţie

hidraulică.

In mod obişnuit, mişcările fluidelor în instalaţii hidraulice sunt turbulente, dar sunt

situaţii în care mişcarea este laminară, de exemplu curgerea păcurii şi a produselor petroliere

grele, mişcarea fluidelor foarte vâscoase, mai ales la temperaturi scăzute. De obicei, mişcarea

fluidelor în instalaţiile hidraulice este permanentă, dar pot apărea şi stări nepermanente de

mişcare, de exemplu la pornirea şi oprirea instalaţiei, la schimbarea condiţiilor de funcţionare

normale (închiderea sau deschiderea unei vane) sau de avarie.

Calculul şi dimensionarea instalaţiilor hidraulice se face pentru mişcarea permanentă,

urmând ca dimensiunile şi funcţionarea instalaţiei să se verifice şi să se corecteze ţinând seama

de solicitările suplimentare care apar în mişcarea nepermanentă.

8.5.1 Legea Hagen-Poiseuille de distribuţie a vitezelor în mişcarea laminară a fluidelor reale

în conducte circulare drepte.

Legea de distribuţie a vitezelor într-o conductă circulară dreaptă şi orizontală de rază r0 în

care are loc mişcarea laminară, permanentă şi unformă, a unui fluid, pentru fluidele ideale este

prezentată in fig, 8.5 şi pentru fluidele reale în fig.8.6.

Fig.8.5 Fluide ideale Fig.8.6 Fluide reale


98

In ipoteza fluidelor ideale, repartiţia vitezelor este constantă. In ipoteza fluidelor reale, în

mişcarea laminară, viteza pe peretele conductei este zero, datorită aderenţei, şi prezinta un

maxim pe axa conductei. Se demonstrează că o astfel de mişcare poate avea loc într-o porţiune

suficient de îndepărtată de intrarea în conductă. Desfăşurarea fenomenului de formare a acestei

distribuţii de viteze într-o conductă alimentată de la un rezervor este urmatoarea: la început,

mişcarea prezintă o distribuţie, practice, constantă a vitezelor. Pe masură ce curentul se

deplasează în conduct, distribuiţia vitezelor este modificată până ce într-o secţiune oarecare

profilul de viteze rămâne stabil (fig.8.7)

Fig.8.7 Repartiţia vitezelor în mişcarea laminară

Lungimea pe care se produce procesul de stabilizare a profilului vitezei se numeşte

lungime de stabilizare lS determinată în mişcarea laminară cu formula:

Re..03,0 DlS

în care numărul lui Reynolds VD

Re este construit cu viteza medie V a fluidului şi cu

diametrul D al conductei.

Intr-o conductă circulară dreaptă, orizontală de rază r0 în care are loc o mişcare laminară,

permanentă şi uniformă a unui fluid real, se consideră un cilindru fluid de rază r şi lungime l.

Fig.8.8

Din legea a doua a dinamicii, aplicată fluidului din cilindru, rezultă:


99

0.amFe deoarece mişcarea este uniformă, deci F=const şi a = 0. Se

proiectează relaţia pe axa mişcării şi rezultă:

0..2..)( 2

21 lrrpp

în care primul termen este rezultanta presiunilor pe bazele cilindrului considerat, iar al doilea

este rezultanta forţelor de frecare vâscoasă pe suprafaţa laterală a aceluiaşi cilindru, dirijată în

sens opus mişcarii, iar dr

du este efortul tangenţial de frecare între doua straturi de fluid

(legea lui Newton). Semnul minus arată că viteza u a fluidului se micşorează odată cu mărirea

distanţei r de la axa conductei. In acest caz:

0.,2.)( 2

21 lrdr

durpp de unde:

drrl

ppdu .

.2

21 după integrare vom avea:

)(.4

22

021 rr

l

ppu

Expresia de mai sus reprezinta legea de distribuţie a vitezelor în secţiunile axiale ale

conductei (Legea Hagen-Poiseuille), iar reprezentarea grafică este o parabolă. Viteza maximă

umax are loc pentru r = 0, pe axul conductei şi are expresia:

2

021

max.4

rl

ppu deci:

2

0

max 1r

ruu sau

2

0

1r

r

u

u

mx

In consecinţă, raportul dintre viteza locală într-un punct oarecare al conductei şi viteza

maximă de pe axă, depinde numai de poziţia relativă a punctului în sectiunea conductei,

nedepinzând de dimnsiunile acesteia şi de natura fluidului.

8.5.2 Distribuţia eforturilor unitare tangenţale în mişcarea Hagen- Poiseuille

Se consideră expresia lui dr

du şi relaţia de distribuţie a vitezelor şi rezultă:

l

rpprr

l

pp

dr

d

dr

du

.2

).()(

.4

2122

021

Se constată că pentru r = 0, 0 şi pentru r = r0 , max

021

max2

rl

pp de unde

0max r

r

Repartiţia este idependentă de dimensiunile absolute ale conductei şi de natura fluidului.

Fig.8.9 Repartiţia efeorturilor tangenţiale


100

8.5.3 Determinarea debitului şi a vitezei medii în mişcarea Hagen-Poiseiulle

Debitul Q al conductei se calculează prin însumarea debitelor elementare ale inelelor de

rază r şi înălţime dr. Intr-un astfel de inel, viteza u poate fi considerată constantă, datorită

dimensiunilor infinit mici ale lui dr:

drrrrl

ppdrrrr

l

ppdrrudQ )(

.2

)(..2).(

.4..2. 32

02122

021

Se efectuează integrala şi rezultă:

4.2

)(4

021 r

l

ppQ

Pe baza acestei formule se poate determina vâscozitatea dinamică:

lQ

rpp

..8

)( 4

021

Din formula debitului se constată că pentru transportarea unui debit Q de fluid real printr-

o conductă este necesar să se creeze o diferenţă de presiune pozitivă, deci o presiune mai mare la

capătul amonte al conductei, pentru a invinge rezistenţa vâscoasă a fluidului. Formula permite

calculul vitezei:

l

rpp

rl

rpp

r

QV

..8

)(

....8

)(

.

2

021

2

0

4

021

2

0

Dacă se ţine seama de expresia vitezei maxime 2

021

max.4

rl

ppu se obţine:

max

2

1uV

Deci, viteza medie în secţiunea unui curent laminar dintr-o conductă circulară este egală

cu jumatate din viteza maximă.

8.5.4 Calculul coeficientului de rezistenţă al pierderilor de sarcină liniare (coeficinentul lui

Darcy) în mişcarea Hagen-Poiseiulle

Din relaţia lui Bernoulli rezultă expresia piederilor de sarcină:

g

Vpz

g

Vpzhr

22

2

222

2

111

In cazul curgerii printr-o conductă circulară dreaptă, pierderea de sarcină se notează hd şi

se numeşte pierdere de sarcinş liniară. In mişcarea uniformă V1 = V2 şi pentru conducta

orizontală z1 = z2 şi rezultă:

21 pphd de unde dhpp .21 şi formulele determinate anterior pentru

viteze vor fi:

)(.4

. 22

0 rrl

hu d 2

0max.4

.r

l

hu d 2

0.8

.

2r

l

huV dmx

Din ultima relaţie, rezultă:


101

2

0.

..8

r

Vlhd

şi înlocuind r0 = D/2 se obţtine:

22 .

..32

..

..32

Dg

lV

Dg

Vlhd

Din expresia numărului lui Reynolds DV .

Re rezultă Re

.DV şi vom obţine:

g

V

D

l

Dg

lVDV

Dg

lVhd

.2Re

64

.Re

32

Re

.

.

..32 22

2

Raportul dintre pierderea de sarcină liniară hd şi înălţimea cinetică (V2/2 = energia

cinetică corespunzatoare unităţii de masă) exprimată cu ajutorul vitezei medii se numeşte

coeficientul rezistenţei liniare şi se notează: d

g

V

hdd

.2

2

In cazul mişcării laminare, într-o conductă circulară, coeficientul rezistenţelor liniare are

expresia:

D

l

D

ld

Re

64 unde

Re

64 este coeficientul de rezistenţă al pierderilor de

sarcină liniare (coeficientul lui Darcy).

In acest caz g

V

D

lhd

.2

2

este valabilă pentru mişcarea turbulentă.

8.5.5 Liniile de curent şi liniile de vârtej în mişcarea Hagen-Poiseuille

Repartiţia vitezelor în mişcarea Hagen-Poiseuille este dată, conform relaţiei

)(.4

22

021 rr

l

ppu , de componentele vitezei:

)]([.4

222

021 zyr

l

ppu v = 0 si w = 0

Liniile de curent sunt paralele cu axa Ox, deci cu axa conductei. Mişcarea Hagen-

Poiseuille este o mişcare permanentă şi prin urmare, liniile de curent coincid cu traiectoriile.

Componentele vitezei de vârtej Vrot2

1 sunt:

yl

pp

y

u

x

v

zl

pp

x

w

z

u

z

v

y

w

z

y

x

.42

1

.42

1

02

1

21

21

Prin urmare ecuaţiile diferenţiale ale liniilor de vârtej sunt:


102

zyx

dzdydx devin: dx = 0 şi

y

dz

z

dy

Se integrează şi rezultă:

x = const; constzy 22

Deci, liniile de vârtej sunt cercuri concentrice cu centrele pe axa conductei şi planele

perpendiclare pe axă. Mărimea vârtejului este:

rl

ppyz

l

ppzyx

.4.4

212221222

Stiind că l

rppV

..8

)( 2

021 rezultă:

2

0

21 ..2

.4 r

rVr

l

pp

Deci mărimea vârtejului într-un punct oarecare din mişcarea Hagen-Poiseuille este direct

roporţională cu viteza medie a curentului şi cu distanţa dintre punctul respectiv şi axa conductei.

Pe axă, r = 0 şi ω = 0, iar pe pereţi r = r0 şi

0

max

.2

r

V

0

maxr

r

8.6 Soluţii exacte şi soluţii aproximative ale ecuaţiilor de mişcare Navier –Stokes, în câteva

cazuri tehnice

Ecuaţiile de mişcare Navier-Stokes şi ecuaţia continuităţii sunt suficiente pentru studiul

mişcărilor laminare ale fluidelor reale. Rezolvarea este dificilă şi a putut fi făcută numai pentru

cazuri particulare.

Pentru găsirea soluţiilor acestor ecuaţii se utilizează două metode:

Metoda directă consideră că funcţiile u, v, w şi p care, satisfac ecuaţiile de mişcare şi

ecuaţia continuităţii, constituie o soluţie exactă dacă, reprezintă soluţia unei probleme la limită,

corespunzătoare unei probleme fizice concrete. In acest caz, domeniul ocupat de fluid are o

formă dată şi este limitat de frontiere solide, în repaus sau în mişcare, pe care este satisfacută

condiţia de aderenţă a fluidului.

Metoda indirectă constă în considerarea unor funcţii cunoscute, de o anumtă formă

pentru u, v, w şi p, care satisfac ecuaţiile de mişcare şi ecuaţia continuităţii fără a se ţine seama

dacă aceasta soluţie corespunde sau nu la o problema fizică.

8.6.1 Mişcarea permanentă a unui fluid real între două plăci plane paralele

Se examinează mişcarea unui fluid de densitate ρ şi vâscozitate υ între două plăci

paralele, de suprafaţă foarte mare, situate la distanţa h. Plăcile sunt mobile, deplasându-se în

direcţia axei x cu vitezele U1 şi U2.


103

Fig.8.10 Distribuţia vitezelor

Miscarea este permanentă, dec:i

0t

w

t

v

t

u Pe de alta parte, se

constată uşor că v = 0 şi w = 0, iar 0),( zxu

Din ecuaţia continuităţii se deduce 0x

u deci

u = u(z). Componentele forţei masice

exterioare au valorile fx = 0, fy = 0 şi fz = -g.

Deci, în cazul mişcării unui fluid vâscos între

două plăci paralele, ecuaţiile Navier-Stokes se

scriu sub forma:

2

21

dz

ud

x

p

01

y

p

gz

p1

Ultimele două ecuaţii arată că în planele paralele cu planul yOz, deci planele

perpendiculare pe direcţia de curgere, repartiţia presiunii urmează legea hidrostaticii

constzp . . Se integrează prima ecuaţie în două ipoteze asupra mărimii gradientului de

presiune:

Dacă se consideră un gradient nul al presiunii în lungul curgerii 0x

p , prima ecuaţie

se integreaza succesiv astfel:

02

2

dz

ud

1Cdz

du 21 CzCu

Constantele C1 şi C2 se determină impunând condiţiile la limită corespunzatoare adeziunii

fluidului la plăcile plane:

0z ; 2Uu hz ; 1Uu

Rezultă:

22 UC h

UUC 21

1

Astfel se obţine, pentru repartiţia vitezelor, legea liniară:

221 Uz

h

UUu iar pentru repartiţia efortului unitar tangential:

h

UU

dz

duzx

21

In cazul particular U2 = 0 se obţine mişcarea lui Couette pentru care:

zh

Uu 1

h

Uzx

1


104

Dacă gradientul nu este nul ci are o anumită valoare constată constx

p atunci, prin

integrarea primei ecuaţii se obţine, pentru distribuţia vitezelor, legea parabolic:

21

2

2

1CzCz

x

pu

Unde C1 şi C2 se determină impunând condiţiile la limta. Rezulta:

hx

p

h

UUC

2

1211

şi 22 UC

Deci vom avea:

2

21)(2

1Uz

h

UUhzz

x

pu

Cu această relaţie se poate calcula debitul h

dzuQ0

. viteza medie h

Qumed

şi

efortul tangenţial dz

duzx

In cazul în care cele două plăci sunt imobile se realizează mişcarea plană Poiseuille.

Fig.8.11 Distibuţia vitezelor în mişcarea Poiseuille

In acest caz, constantele C1 şi C2 se determină ţinând cont de condiţiile la limită în

ecuatia:

21

2

2

1CzCz

x

pu

2

hz u = 0

Rezultă:

01C 42

1 2

2

h

x

pC şi deci:

22

42

1z

h

x

pu

Curgerea se realizează numai pentru un gradient de presiune negativ, deoarece u > 0. Din

ultima relaţie se obţin valoarea maximă a vitezei, debitul şi viteza medie:


105

x

phu

8

2

max 2

2

3

12.

h

h x

phdzuQ

x

ph

h

Qumed

12

2

Studiul acestei mişcări este util pentru rezolvarea unor probleme tehnice legate de teoria

hidrodinamică a lubrificaţiei.

8.7 Noţiuni de teoria hidrodinamică a librificaţiei

Pentru asigurarea unei bune lubtificaţii între două suprafeţe solide aflate în mişcare

relativă şi supuse unor forţe exterioare este necesar ca între aceste suprafeţe solide să existe o

peliculă de lubrifiant care, are grosimi de ordinul zecimilor de milimetru. De regulă, pelicula de

lubrifiant este lichidă dar, se pot utliza şi gaze sau materiale solide.

Rolul lubrifiantului este complex:

- reduce frecările dintre suprafeţele în mişcare;

- contribuie la disiparea căldurii produse prin frecare şi asigură etanşeitatea

Din cauza gosimilor mici a peliculei de lubrefiant, forţele de greutate şi de inerţie din

peliculă sunt nelijabile în raport cu forţele de presiune şi de vâscozitate.

Tratarea teoretică are la bază sistemul de ecuaţii Navier-Stokes, care se simplifică.

a) Cazul unei perechi de suprafete plane, placa superioara fixa, placa inferioara

mobile. Placa inferioară se mişca cu viteza V0 pe direcţia Ox, spaţiul dintre plăci având

grosimea z = h = Ct

Fig.8.12

Se consideră mşcarea ca fiind plană (planul xOy) , deci p = p(x,y) iar viteza variază în

mod preponderant pe directia z. Sistemul de ecuaţii de mişcare Navier-Stokes devine:

z

p

z

v

y

p

z

u

x

p

10

10

10

2

2

2

2

Se integrează prima ecuaţie şi se obţine:

1

1Cz

x

p

z

u de unde rezultă 21

2

2CzC

z

x

pu

Constantele de integrare se determină din condiţiile la limită:

Pentru z = 0 rezultă u = - V0


106

Pentru z = h rezultă u = 0

Obţinem:

02 VC şi h

Vh

x

pC 0

1 .2

1

Componenta vitezei pe direcţia Ox devine:

h

zVhzz

x

pu 1).(

2

10

2

Debitul pentru o suprafaţă de înălţime h şi de lăţime egală cu unitatea este:

dzh

zVhzz

x

pdzuQ

hh

x

0

0

2

0

1).(2

1. de unde:

212

03 hV

x

phQx

In cazul când lichidul se mişcă simultan şi după direcţia Oy, prin integrare se obţine a

doua ecuaţie din sistemul iniţial:

'

1

1Cz

y

p

z

v de unde: '

2

'

1

2

2

1CzCz

z

pv

Condiţiile la limită pentru determinarea constantelor sunt:

Pentru z = 0 rezultă v = 0

Pentru z = h rezultă v = 0

De unde:

0'

2C şi hy

pC .

2

1'

1 rezultă:

)(2

1 2 zhzy

pv şi debitul după direcţia Oy:

y

phdzhzz

y

pQ

h

y12

).(2

1 3

0

2

Putem scrie ecuaţia de continuitate pentru paralelipipedul de dimensini dx, dy. 1, parcurs

de fluid în direcţiile x şi y (fig.8.13)

Fig.8.13

dxdyy

QQdydx

x

QQdxQdyQ

y

y

x

xxx sau

0y

Q

x

Q yx şi înlocuind expresiile debitelor vom obţine:


107

x

hVh

y

p

yh

x

p

x0

33 .6

Relaţia obţinută este cunoscută sub numele de ecuaţia lui Reynolds pentru lagăre de

lungime finită. Daca funcţia h(x,y) este complet determinată, ecuaţia lui Reynolds permite

calculul presiunii p(x,y).

Lagărul va suporta sarcina exterioară, dacă presiunea din interiorul peliculei de lichid,

dezvoltă o forţă care sa o echilibreze.

Analizând relaţia care exprima variaţia presiunii pe direcţia Ox, dedusă din relaţia lui Qx

şi anume:

2

.12 0

3

hVQ

hx

px constatam că în cazul în care Qx = Const, V0 = Const,

h = Const, rezultă Constx

p adică, presiunea din pelicula de ulei nu poate depăşi valoarea

presiunii atmosferice care se gaseste la capetele lagărului de lungime finită. In consecinţă un

asemenea lagăr nu poate crea portanţă.

b) Cazul in care suprafetele care alcătuiesc lagărul sunt înclinate cu unghiul α pelicula

avand forma de pană a carei grosime se micşorează de la cota z1 la z2

Fig.8.14

Presiunea în interiorul stratului de ulei se poate calcula cu relaţia:

2

.12 0

3

hVQ

hx

px scrisă sub forma:

2

0

3.612

z

V

z

Q

x

p x sau

3

1

2

1

0

)(

..12

)(

..6

xz

Q

xz

V

x

p x după integrare se obţine:

Cxz

Q

xz

Vp x

2

11

0

).(3

..12

).(2

..6

Din condiţiile la limită x = 0 , p = p0 rezultă:


108

2

11

0

0.

.6

.

6

z

Q

z

VpC x

Condiţiile la limită pentru limita din dreapta a lagărului sunt x = l, p = p0 de unde rezultă:

2

1111

0

).(

11.6

.

11.60

xzz

Q

xzz

V x sau înlocuind pe lz .1 cu z2 se

obţine:

21

210

zz

zzVQx şi

)(.

))((6

21

2

210

0zzzl

zzxlVpp relaţie care ne dă

valoarea presiunii în interiorul peliculei de ulei la sistanţa x de origine. Reprezentarea grafică din

fig. 8.14 arată dependenţa parabolică a presiunii maxime, deplasată faţă de jumătatea plăcilor, în

sensul mişcării.

Sarcina pe care o poate suporta un astfel ed lagăr se poate calcula efectuând integala l

dxpp0

0 )( :

l l

p dxz

xxl

zzl

zzVdxppF

0 0

2

21

210

0

)(

)(

)(6)(

Tinând cont ca xzz .1 si lzz .12 rezultă:

dz

z

zzzzdx

z

xxl2

12

2 .

))(()(

Integrând obţinem:

1

12ln

)1(

622

2

2

0

c

cc

cz

lVFp unde s-a notat

2

1

z

zc

Această teorie poate fi aplicată şi în cazul lagărelor cilindrice deoarece grosimea

particulei de lubrifiant este foarte mică în raport cu axa de curbură a cilindrului.

MECANICA FLUIDELOR TEORIA STRATULUI LIMITA Dr.ing. Petru Aron

109

IX. TEORIA STRATULUI LIMITA

9.1 Noţiunea de strat limită

Posibilităţile de rezolvare ale ecuaţiilor Navier Stokes sunt limitate datorită dificultăţilor

matematice de integrare. A apărut necesitatea unor soluţionări aproximative care, au la bază

ideea neglijării anumitor termeni din ecuaţiile de mişcare, astfel:

- pentru mişcările lente ale fluidelor vâscoase se pot neglija termenii care reprezintă forţele

de inerţie. Soluţiile obţinute pe aceasta cale de rezolvare aproximativă sunt valabile

numai pentru curgeri caracterizate de numere Reynolds mici.

Cele mai multe mişcări ale fluidelor, importante din punct de vedere ale aplicaţiilor

practice, sunt caracterizate de numere Reynolds ce depăşesc valorile care permit o astfel de

aproximare.

Printre încercările de ieşire din această situaţie se numără şi teoria stratului limită a lui

Prandtl.

Pentru definirea noţiunii de strat limită, se examineazş mişcarea unui fluid văscos în jurul

unui corp de o formă oarecare (fig.9.1), In ipoteza că numărul lui Reynolds corespunde

regimului laminar.

Fig.9.1

Experienţele au dovedit că influenţa vâscozităţii se manifestă într-un strat subţire de fluid

din imediata vecinătate a suprafeţei corpului.. In interiorul acestui strat vitezele particulelor de

fluid variază după direcţia perpendiculară pe suprafaţa corpului, de la valoarea zero până la

valoarea curgerii exterioare. In acest strat de fluid creşterea rapidă a vitezei tangenţiale determină

valori mari ale gradientului de viteză şi în consecinţă, tensiunile tangenţiale ating valori

considerabile. In exteriorul acestui strat, gradientul de viteză are o valoare mică şi tensiunile

tangenţiale se pot neglija.

Se numeşte strat limită (strat de frecare) stratul de fluid în mişcare din imediata

vecinătate a unui corp în care, viteza variază de la valoarea zero la valoarea corespunzatoare

curgerii exterioare şi în care, se manifestă intens acţiunea forţelor de frecare.

Grosimea stratului limită, notată cu δ, creşte treptat, pe măsurăa ce numarul lui Reynolds

creşte.Tensiunea tangenţială de frecare dy

du, în interiorul stratului limită, atinge valori mari


110

chiar şi pentru o vâscozitate foarte mică, deoarece gradientul vitezei în direcţia perpendiculară pe

corp este foarte mare.

Pe baza acestei observaţii, în studiul teoretic al curgerii unui fluid de vâscozitate mică se

separă câmpul de curgere în două domenii:

- domeniul stratului limită în care trebuie să se ia în consideraţie forţele de vâscozitate;

- domeniul din exteriorul stratului limită în care forţele de vâscozitate pot fi neglijate şi în

care mişcarea poate fi considerată potenţială.

9.2 Grosimea stratului limită

Grosimea stratului limită nu poate fi precizată în mod riguros, deoarece trecerea de la

viteza din stratul limită la viteza curgerii exterioare se face asimptotic. Cercetările au demonstrat

că la o distanţă foarte mică de suprafaţa corpului, viteza fluidului atinge o valoare sesibil egală

cu cea corespunzătoare curgerii exterioare. Grosimea stratului limtă este distanţa δ de la

suprafaţa corpului, masurată pe normală, la care marimea vitezei diferă cu 1% de cea

corespunzătoare curgerii exterioare potenţiale.

Grosimea stratului limită depinde de regimul de mişcare a fluidului în stratul limită, care

poate fi laminar, de tranziţie sau turbulent. Regimul de mişcare depinde de numărul lui Reynolds

construit cu viteza curentului exterior U şi cu o lungime caracteristică x, măsurată de la bordul de

atac în lungul suprafeţei corpului.

xU.

Re

Regimul de mişcare în stratul limită este laminar pentru distanţe x mici, deci în

apropierea bordului de atac, trece în regim de tranziţie, la o anumită distanţă xcr1 şi apoi în regim

turbulent pentru distanţe mai mari decât o valoare critică xcr2. Numerele lui Reynolds Recr1 şi

Recr2 depind de forma conturului corpului. In cazul plăcii plane (fig.9.2) Recr1= 3,2.105 şi

Recr2=106.

Fig.9.2 Variatia grosimii startului limita

Grosimea stratului limită laminar se poate evalua aproximativ prin considerarea ordinelor

de mărime ale forţelor de inerţie şi de vâscozitate.


111

Forţa de inerţie raportată la unitatea de volum este x

uu. . Pentru placa de lungime L

palsată într-un curent de fluid cu viteza U, mărimea x

u este proporţională cu

L

U şi deci,

forţa de inerţie are ordinul de mărime L

U 2

.

Forţa de vâscozitate raportată la unitatea de volum este dată de expresia y

. In cazul în

care curgerea în stratul limită este laminară y

u şi forţa de vâscozitate se exprimă cu relaţia

2

2

y

u.

Deoarece gradientul vitezei pe direcţia normalei peretelui y

u are ordinul de mărime

U, rezultă că ordinul de mărime al forţei de vâscozitate este dat de expresia

2

U.

Spre deosebire de curgerea exterioară în care forţa de vâscozitate poate fi neglijată faţă de

forţa de inerţie, în stratul limită forţa de vâscozitate şi forţa de inerţie au acelaşi ordin de mărime

L

UU 2

2 de unde:

U

L

U

L ..

In conformitate cu rezultatele obţinte de Blasius, factorul de proporţionalitate din formula

de mai sus este egal cu 5 si rezultă:

U

L.5

Raportând grosimea stratului limită la lungimea L a plăcii se obţine grosimea

adimensională a stratului limită:

L

ULL Re

55

Unde UL

LRe este numărul lui Reynolds construit cu lungimea L a plăcii. Dacă

se înlocuieşte lungimea L a plăcii cu o lungime oarecare x, se obţine legea de variaţie a grosimii

stratului limită laminar:

x

x Re

5


112

9.3 Desprinderea stratului limită şi formarea vârtejurilor

In cazul mişcării unui fluid în jurul unui corp de o formă oarecare, se poate întâmpla ca

fluidul din stratul limită să nu poată urmări conturul corpului pe întreaga suprafaţă a acestuia,

desprinzându-se. Acest fenomen se produce atunci când, în lungul conturului corpului apare un

domeniu în care, presiunea prezintă o tendinţă de creştere. Particulele de fluid din stratul limită

care au o energie cinetică micşorată, din cauza frecării, nu mai pot pătrunde în domeniul de lângă

suprafaţa corpului în care presiunea este mai ridicată şi se depărtează de aceasta suprafaţă, fiind

împinse în masa fluidului. Depărtarea particulelor din stratul limită de suprafaţa corpului este

însoţită de o curgere de sens contrar cu cea a curentului exterior, în imediata apropiere a

suprafeţei corpului, datorită gradientului de presiune. Acest fenomen poartă numele de

desprinderea stratului limită.

Fig.9.3

Pentru explicarea fenomenului se examinează

curgerea unui fluid în jurul unui cilindru

circular. Dacă fluidul este ideal, pe jumătatea

amonte a cilindrului, între punctele A şi B,

fluidul se mişcă accelerat, iar presiunea scade

pe măsură ce se apropie de punctul B. Pe

jumătatea aval a cilindrului, intre punctele B

şi C, are loc o mişcare încetinită, în timp ce

presiunea creşte pe măsura apropierii de

punctul C.

In cazul fluidului real se împarte câmpul de

curgere în două domenii, stratul limita şi

domeniul exterior acestuia. In acest caz în

drumul de la A la B are loc o transformare a

energiei de presiune în energie cinetică, iar pe

drumul de la B la C are loc o transformare

inversă a energiei cinetice în energie de

presiune în aşa fel încât în secţiunea transversală corespunzătoare punctului C, trece cu aceiaşi

viteză pe care o avea în secţiunea transversală a punctului A. La examinarea mişcării unei

particule de fluid care, se deplasează în stratul limită, trebuie ţinut cont de forţele de vâscozitate

care frâneaza particula. Astfel, pe drumul de la A la B o parte din eneria cinetică a particulei este

disipată şi energia cinetică rămasă nu mai este suficientă pentru a învinge creşterea de presiune

pe drumul de la B la C. Rezultă că particula nu se poate deplasa prea mult în interiorul stratului

limită pe drumul de la B la C şi se opreşte într-un punct D, de unde este împinsă în afară de către

particulele din stratul limită din amonte. Apoi sub acţiunea repartiţiei presiunii din curentul

exterior, particula este împinsă înapoi, dând naştere unui vârtej.


113

Poziţia punctului de desprindere a stratului

limită poate fi definită printr-o condiţie

matematică. Pentru aceasta, se examinează

profilele de viteze longitudinal în stratul limită

în jurul unui corp oarecare, în vecinatatea

punctului de desprindere. Poziţia punctului este

stabilită de faptul că, în apropierea peretelui,

după desprindere, particulele de fluid curg în

sens contrar faţă de mişcarea exterioară,

Fig.9.4

datorită gradientului de presiune 0x

p. Punctul de desprindere reprezintă limita dintre cele

două mişcări de sens contrar şi deci, în acest punct, gradientul vitezei în direcţia perpendicular pe

perete este nul.

0

0yxx Dy

u este condiţia matematică de definire a punctului de desprindere a

stratului limită.

9.4 Ecuaţiile de mişcare în stratul limită, bidimensional, incompresibil (Ecuaţiile lui

Prandtl)

Fig.9.5

Se consideră o curgere plană a unui fluid in

jurul unui corp. Axa Ox dirijată in lungul

suprafaţei şi axa Oy în lungul normalei la

suprafaţa corpului. Dacă se face abstracţie de

efectul forţelor masice, care este neglijabil în

stratul limtă, datorită grosimii mici a acestuia,

ecuaţiile Navier-Stokes se scriu sub forma:

2

2

2

21

y

u

x

u

x

p

y

uv

x

uu

t

u (1)

2

2

2

21

y

v

x

v

y

p

y

vv

x

vu

t

v plus ecuaţia continuităţii

0y

v

x

u

Pentru simplificarea acestor ecuaţii, în vederea obţinerii ecuaţiilor stratului limită, se face

ipoteza că grosimea δ a stratului limită este foarte mică în raport cu lungimea caracteristică

oarecare L a corpului, în jurul căreia are loc curgerea:

L

Cu aceasta ipoteză se trece la evaluarea termenilor din ecuaţiile de mai sus.


114

In stratul limită, deplasarea unei particule de fluid pe direcţia axei Ox se face în lungul

corpului a cărui dimensiune este caracterizată de lungimea de referinţă L, prin urmare ordinul de

mărime al variabilei x este L

Lx

Deoarece ordonata y are la interiorul stratului limită variaţia 0 < y < δ, variabila y are

ordinăl de mărime δ

y

In interiorul stratului limită componenta u a vitezei variază de la valoarea u = 0 pe

peretele solid la u = U corespunzătoare curgerii exterioare. Prin urmare ordinul de mărime a lui u

este U

Uu

Tinând seama de ordinile de mărime stabilite putem scrie:

L

U

x

u

22

2

L

U

x

u

U

y

u

22

2 U

y

u

Din ecuaţia continuităţii rezultă că y

v are acelaşi ordin de mărime cu

x

u adică:

L

U

y

v

Deoarece

y

dyy

vv

0

rezultă că ordinul de mărime al componentei v a vitezei este:

L

Uv

Astfel, rezultă ordinele de mărime a derivatelor vitezei v:

L

U

x

v

22

2

L

U

x

v

L

U

y

v

L

U

y

v2

2

Se transcrie prima ecuaţie a lui Navier-Stokes, indicând sub fiecare termen ordinul de

mărime determinat anterior:

2

2

2

21

y

u

x

u

x

p

y

uv

x

uu

t

u

L

U 2

L

U 2

2L

Uv

2

Uv

In această ecuaţie termenul 2

2

x

u poate fi neglijat în raport cu

2

2

y

u deoarece

raportul ordinelor lor de mărime

2

22:

L

U

L

U este patratul unei marimi foarte mici. Se face

ipoteza că acceleraţia locală t

u este de acelaşi ordin de mărime cu acceleraţia convectivă

L

U

t

u 2

, deci se exclude posibilitatea unei acceleraţii instantanee mari. Se constată că şi


115

termenul x

p1 are acelaşi ordin de mărime

L

U 2

.

Deoarece în interiorul stratului limită, forţele de vâscozitate au acelaşi ordin de mărime

cu forţele de inerţie, conform ipotezei lui Prandtl, din analiza ordinelor de mărime a termenilor

ecuatiei (1) rezultă că este necesar ca raportul:

222

2

2

Re.

.:

LL

LU

L

UU

L

UL

unde LU

L

.Re reprezintă numărul lui Reynolds construit pe lungimea caracteristică L, să

fie de acelaşi ordin de mărime cu unitatea. Se deduce:

1Re

2

LL sau

U

LL

L

.

Re adică, ordinul de mărime al grosimii

stratului limită este invers proporţional cu LRe

Tinând seama de toate aceste consideraţii, prima ecuaţie a sistemului devine:

2

21

y

u

x

p

y

uv

x

uu

t

u

Se examinează în continuare cea de-a doua ecuaţie a sistemului (Navier-Stokes), punând

în evidenţă ordinele de mărime ale fiecarui termen în parte:

2

2

2

21

y

v

x

v

y

p

y

vv

x

vu

t

v

L

U 2

L

U 2

2L

Uv

L

Uv

In această ecuaţie termenul 2

2

x

v poate fi neglijat îin raport cu

2

2

y

v deoarece

raportul ordinelor lor de mărime

2

2:

LL

U

L

U este patratul unei mărimi foarte mici. Se face

ipoteza că acceleraţia locală t

v este de acelaşi ordin de mărime cu acceleraţia convectivă

L

U

t

u 2

. Dacă se ţine seama de relaţia U

LL

L

.

Re rezultă că termenul

2

2

y

v are

acelaşi ordin de mărime L

U 2

. Se deduce astfel că termenul y

p1are ordinul de mărime

L

U 2

deci, ordinul de mărime al derivatei este proporţional cu δ deci, foarte mic. Practic,

variaţia presiunii pe direcţia normalei poate fi neglijată şi în consecinţă, a doua ecuaţie a lui

Navier-Stokes se reduce la:


116

0y

p

In concluzie, presiunea în interiorul stratului limită este constantă de-a lungul normalei la

conturul corpului şi este egală cu presiunea exercitată asupra frontierei exterioare a stratului

limită, în locul considerat.

Cele trei ecuaţii ale sistemului Navier-Stokes vor fi doar două, cu două necunoscute

u(x,y,t) şi v(x,y,t)

2

21

y

u

x

p

y

uv

x

uu

t

u

0y

v

x

u

Sistemul de mai sus reprezintă ecuaţiile diferenţiale ale stratului limită, bidimensional

nepernanent (ecuaţiile lui Prandtl). Condiţiile inţiale sunt date de relaţiile:

),( yxuu ),( yxvv pentru t = 0

Condiţiile la limită sunt:

0u 0v pentru y = 0; ),( txUu pentru y

Prima condiţie la limită, se referă la aderenţa fluidului pe suprafaţa corpului, iar a doua

condiţie se referă la racordarea mişcării din stratul limită la mişcarea potenţială exterioară. Viteza

U(x,t) a curgerii potenţiale este considerată cunoscută. Pentru determinarea presiunii p (x,t) se

foloseşte ecuaţia de mişcare:

x

p

x

UU

t

U 1

Se observă că în cazul mişcării permanente, ecuaţia poate fi scrisă sub forma:

x

p

x

UU

1 care reprezintă forma diferenţială a relaţiei lui Bernoulli

ConstU

p2

2

In cazul mişcării permanente ecuaţiile lui Prandtl devin:

2

2

y

u

x

UU

y

uv

x

uu

0y

v

x

u

MECANICA FLUIDELOR MISCAREA TURBULENTA A FLUIDELOR REALE Dr.ing. Petru Aron

117

X. MISCAREA TURBULENTA A FLUIDELOR REALE

10.1 Structura mişcării turbulente

Mişcarea turbulentă este cea mai frecvent întâlnită în deplasarea fluidelor. Această

mişcare este, structural, matematic, fizic şi energetic diferită de mişcarea laminară. Se

caracterizează printr-o mişcare de agitaţie la nivel macroscopic al particuleleor şi grupurilor de

particule ale fluidului.Se evidenţiază următoarele caracteristici:

- liniile de curent nu mai sunt paralele cu direcţia de curgere, ca în cazul mişcării laminare

ci se împletesc. In masa fluidului în mişcare, apar vârtejuri dispuse dezordonat faţă de

direcţia generală de curgere;

- viteza într-un punct al fluidului în

mişcare nu este, niciodată, ca mărime şi

direcţie, constantş, componentele

vitezei având caracterul unor mărimi

care oscieaza în jurul unei valori medii;

Fig.10.1 Variaţia vitezei în mişcrea turbulentă

- pierderea de energie între două puncte ale unei conducte sau a unui canal este mult mai

mare decât în cazul curgerii laminare, ceea ce indică faptul că în mişcarea turbulentă apar

eforturi de frecare suplimentare

Structural, mişcarea turbuletă este determinată de suprapunerea unor mişcări de agitaţie a

particulelor de fluid peste o mişcare medie. Deci, mişcarea turbulentă este. Întotdeauna,

nepermanentă, vitezele prezintă tot timpul fluctuaţii. Se poate defini o mişcare medie turbulentă

nepermanentă, dacă viteza medie variază în timp.

Pentru descrierea matematică a mişcării turbulente, aceasta se descompune într-o mişcare

medie şi o mişcare de pulsaţie. Dacă se notează wvu ,, valorile medii, în timp, ale

componentelor vitezei într-un punct fix, raportat la un sistem cartezian Oxyz şi cu u’, v’ şi w’

componentele vitezei de pulsaţie, atunci valorile instantanee ale componentelor vitezei sunt:

'uuu 'vvv 'www

Analog, presiunea instatanee va fi:

'ppp

Valorile medii se calculează ca medii temporale într-un punct fix, de exemplu:

T

dtuT

u0

.1

(fig,10.1)

Intervalul de timp T trebuie să fie suficient de mare pentru ca valoarea medie calculată să

nu depindă de timp.

Cu ajutorul definiţiei de mai sus, rezultă că valorile medii în timp ale mărimilor pulsatorii

sunt nule. Intr-adevăr din uuu' rezultă:


118

T T T

uudtuT

udtT

dtuT

u0 0 0

011

'1

'

Deci: 0'u 0'v 0'w 0'p

Reynolds a stabilit o serie de reguli pentru calculul valorilor medii în timp. Astfel, dacă f

şi g sunt doua funcţii dependente pentru care se calcează valorile medii, iar s este una din

variabilele indepenente, x,y,z şi t, se deduc, ţinând cont de expresiile de mai sus, următoarele

relaţii:

ff gfgf gfgf ..

s

f

s

f dsfdsf ..

Relaţiile vor fi folosite la stabilirea ecuaţiilor de mişcare a fluidelor în mişcarea

turbulentă.

10.2 Teoria amestecului turbulent (Teoria schimbului impulsului)

Procesul amestecului este caracteristica principală a mişcării turbulente şi constitue

deosebirea esenţială dintre această mişcare şi mişcarea laminară.

Sub acţiunea pulsaţiilor vitezelor într-un curent permanent are loc un scimb neîntrerupt

între particulele din păturile de fluid învecinate, ceea ce duce la amestecul fluidului. Din cauza

acestui amestec, pe lângă eforturile unitare datorate vascozităţii, iau naştere eforturi unitare

suplimentare datorate prezentei pulsaţiilor, iar pierderile de energie sunt mai mari deoarece

schimbul de particule fluide între straturile învecinate (amestecul) are loc cu consum de energie.

In timpul procesului amestecului, între straturile învecinate au loc schimburi de impuls

(de cantitate de mişcare), de aceea teoria amestecului mai poartă numele de teoria schimbului

impusului sau a schimbului cantităţii de mişcare.

Explicaţia apariţiei eforturilor unitare suplimentare datorate pulsaţiilor turbulente poate fi

dată de analogia lui Bahmetev.

Se imagineaza doua trenuri identice A şi B care merg paralel.

Fig.10.1 Analogia lui Bahmetev

In fiecare vagon se află un număr oarecare, acelaşi în toate vagoanele, de saci cu nisip de

masă egală, în dreptul fiecărui sac fiind postat un om. Masa transportată de trenuri este aceiaşi.

Vitezele trenurilor sunt diferite, de exemplu uB > uA. In momentul în care trenurile sunt unul în


119

faţa celuilalt, oamenii postaţi pe saci aruncă sacii dintr-un tren în celalalt. Deşi poziţia sacilor se

schimbă, masa transportată de cele doua trenuri rămâne aceiaţi. Facem ipoteza că trenul nu

deraiază.

Se constată că viteza trenului A în care sunt aruncaţi sacii din B cu o viteza mai mare

decât a trenului A, se măreşte, iar viteza trenului B, în care sunt aruncaţi sacii din trenul A, se

micşorează.

Dacă se examinează mişcarea unui sac de masă m aruncat din trenul B în trenul A, se

constată că sacul parăseşte trenul B cu viteza V, care are o componentă perpendiculară pe direcţia

de deplasare, notată cu v’ (viteza de aruncare) şi o componentă în direcţia de deplasare, notată cu

uB viteza trenului B. Componenta v’ nu are efect asupra trenului (nu deraiază). Componenta uB în

direcţia de deplasare este mai mare decât viteza trenului A şi determina o accelerare a trenului A.

Intr-adevăr , sacul de masă m şi viteză uB a înlocuit un sac de aceiaşi masă m dar cu viteza mai

mică uA . Deci, în intervalul de timp t în care are loc schimbul de saci, sacul aruncat din trenul

B comunică trenului A impulsul '.)( umuum AB . Unde 'u este diferenţa de deplasare dintre

cele două trenuri. In conformitate cu legea a doua a dinamicii apare o forţă:

t

um

t

uum

t

muF AB '.)()(

care actionează asupra trenului A în sensul

deplasării. In cazul trenului B vom avea:

t

um

t

uum

t

muF BA '.)()(

In concluzie, schimbul de impuls duce la unformizarea mişcării celor două trenuri.

Se imagineaza doua straturi paralele de fluid, notate cu A şi B, care se deplasează în

sensul axei Ox cu viteze diferite uA < uB

Fig.10.2

Dacă numărul lui Reynolds depăşeste valoarea critică, mişcarea este turbulentă şi se

realizează o întrepătrundere a particulelor de fluid din cele două straturi. Datorită schimbului de

impuls dintre straturi, apar forţe tangenţiale suplimentare pe suprafaţa de separare a celor două

straturi.

Pentru a determina aceste forţe tangenţiale suplimentare, se consideră un punct M

caracterizat prin viteza medie u şi componentele vitezelor de pulsaţie 'u si 'v . Se separă în jurul

punctului ales suprafaţa dS paralelă cu u , deci pe axa Ox. Datorită componenţei de pulsaţie 'v prin suprafaţa dS în intervalul de timp dt, trece masa elementară:

dtvdSdm '.


120

Variaţia în direcţia Ox a impulsului acestei mase, sub acţiunea celeilalte componente a

pulsaţiei u’, este:

dtvudSmud ''...)'( de unde:

dSvudt

mudF ''.

)'(

Aceasta forţă este dirijată după direcţia lui u’. Se ia media produsului pulsaţiilor ''vu şi se

obţine efortul tangenţial suplimentar care ia naştere din cauza amestecului turbulent:

''.' vuyx

Semnul minus arată că la o dilatare în sens longitudinal, u’ > 0, corespunde o contractare

în sens transversal, v’ < 0, pentru că masa totală nu variază. Primul indice precizează direcţia

normalei la elementul de suprafaţă considerat, iar al doilea indice direcţia cu care efortul este

paralel.

Efortul unitar suplimentar datorat pulsaţiilor trebuie adăugat la efortul unitar stabilit de

Newton:

''. vudy

duyx

Această formulă este cunoscută sub numele de formula lui Prandtl, care are două

consecinţe importante:

- în mişcarea turbulentă eforturile tangenţiale, care se opun mişcării, sunt mai mari decât

cele din mişcarea laminară şi ca urmare, pierderile de sarcină sunt mai mari în mişcarea

turbulentă

- în mişcarea turbulentă are loc o aplatizare a curbei de distribuţie a vitezelor.

10.3 Distribuţia vitezelor în mişcarea turbulentă

Se consideră o conductă în care mişcarea este turbulentă. Faţă de repartiţia vitezelor în

mişcarea laminară (Fig.10.3) diagrama vitezelor în mişcarea turbulentă are o formă aplatizată.

(Fig.10.4)

Fig.10.3 Distribuţia vitezei în mişcarea laminară Fig.10.4 Distribuţia vitezei în mişcarea

turbulentă

In mişcarea turbulent, viteza fluidului pe perete este nulă (proprietatea de aderenţă). In

apropierea peretelui conductei, particulele au o posibilitate redusa de deplasare transversală v’,

deci cu peretele nu are loc un schimb de impuls şi vitezele nu se pot uniformiza în apropierea


121

acestuia. Intr-un strat de grosime δ, cresc rapid. Apoi, vitezele datorită amestecului, încep să se

uniformizeze şi creşterea lor, până la valoarea maximă din axul conductei, se face foarte lent.

In regim laminar, am văzut că raportul dintre viteza medie V şi viteaza maximă umax este:

5,0maxu

V pentru Re < 2300

In regim turbulent, forma diagramei depinde de valoarea lui Re

75,0maxu

V pentru Re = 2700

86,0maxu

V pentru Re = 10

6

9,0maxu

V pentru Re = 10

8

75,0maxu

V pentru

DV .Re

Când Re tinde la infinit, se tinde spre o diagramă caracteristică fluidului ideal, cazul

fluidul fără vâscozitate.

10.4 Eforturile suplimentare turbulente

Se consideră într-o mişcare turbulentă cu componentele vitezei u, v şi w, un element de

suprafaţă dS a cărui normală este paralela cu axa Ox (Fig.10.5)

Fig.10.5

Masa de fluid care trece prin acest element în

timpul dt este dată de produsul dtudS .. , iar

componenta impulsului are expresia

dtdSudI X ... 2. Celelalte componente ale

impulsului sunt dtdSvudIY .... şi

dtdSwudIZ .... . Valorile medii ale acestor

impulsuri, raportate la unitatea de timp sunt:

dSudt

dI X 2. dSvudt

dIY ... dSwudt

dIZ ...

Pentru calculul valorilor medii vom avea:

222 'uuu şi analog

''.. vuvuvu şi ''.. wuwuwu

Deci componentele impulsului raportate la unitatea de timp vor fi:

xX dSuu

dt

dI)'( 22

dS

dIx

dIy

dIz

y

x

z


122

yY dSvuvu

dt

dI)''.(

zZ dSwuwu

dt

dI)''.(

Aceste expresii, fiind derivate în raport cu timpul ale impulsului, sunt forţe ce reprezintă

acţiunea fluidului asupra elementului de suprafaţă dS. Conform principiului egalităţii acţiunii şi

reacţiunii, rezultă că pe elementul de suprafaţă se dezvoltă forţe egale şi de sens contrar. Se

deduce că pe elementul de suprafaţă dS, se exercită eforturile:

)'( 22

uu pe direcţia axei Ox

)''.( vuvu pe direcţia axei Oy

)''.( wuwu pe direcţia axei Oz

Primul este un efort normal ζ’xx iar celelalte sunt eforturi tangenţiale η’yx şi η’zx. In

concluzie, prin suprapunerea mişcării pulsatorii peste mişcarea medie apar, pe un element de

suprafaţă ortogonală axei Ox, urmatoarele eforturi suplimentare:

2' '.uxx ''.' uvyx ''.' wuzx şi analog

''..' vuxy 2' '.vyy ''.' vwzy

''.' wuxz ''.' wvyz 2' '.wzz

Aceste eforturi se numesc eforturi aparente ale mişcării turbulente. Ele se datoresc

pulsaţiilor şi sunt eforturi suplimentare ce trebuie adăugate la eforturile mişcării medii cunoscute

de la studiul mişcării laminare. Se observă că cele nouă eforturi formează un tensor simetric de

ordinul al doilea, numit tensorul tensiunilor aparente turbulente, care se exprima cu ajutorul

matricei:

2

2

2

'';

'''

''

'''''

'''''

'''''

wwvwu

vwvvu

uwuvu

zzyzxz

zyyyxy

zxyx

i

xx

Aceste eforturi sunt numite şi eforturle lui Reynolds (cel care le-a pus primul în

evidenţă).

10.5 Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor reale în mişcarea turbulentă

Ecuaţiile Navier-Stokes pentru mişcarea laminară a fluidelor reale, reprezintă ecuaţiile de

echilibru dinamic dintre forţele unitare de inerţie, pe de o parte şi forţele unitare exterioare:

masice, de presiune şi de frecare, pe de alta parte, aplicate unei particule fluide. Această ecuaţie

este valabilă şi în cazul mişcării turbulente, cu precizarea că, trebuie făcută media în timp a

fiecărui termen, astfel putem scrie:

T t

x dtux

pf

Tdt

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

T0 0

111

Grupul de termini reprezentând forţa unitară convectivă de inerţie poate fi scris sub

forma:


123

z

uw

y

uv

x

uu

z

uw

y

uv

x

uu

).().().(

Efectuând derivatele produselor din membrul al doilea apare termenul

z

w

y

v

x

uu , care este nul, asa cum rezultă din ecuaţia continuităţii. Se ţine seama de faptul

că forţele masice sunt constante şi că densitatea este deasemenea constantă (fluid incompresibil)

şi se aplică regula de mediere. Ecuaţia devine:\

ux

pf

z

uw

y

uv

x

uu

t

ux .

1).(),().(

Tinând cont că:

''.. uuuuuu ''.. vuvuvu si ''.. wuwuwu

z

uw

y

uv

x

uuu

x

pf

z

uw

y

uv

x

uu

t

ux

)''()''()''(1).().().(

Dacă în membrul stâng, al ecuaţiei, se efectuează derivata produselor şi se consideră

ecuaţia continuităţii

0z

w

y

v

x

u rezultă

)''()''()''(11

uwz

uvy

uux

ux

pf

z

uw

y

uv

x

uu

t

ux

Primul termen din membrul stâng reprezintă forţa unitară locală de inerţie, următoarele

trei reprezintă forţa unitară convectivă de inerţie. Primul termen din membrul drept reprezintă

forţa unitară masică, al doilea, forţa unitară de presiune, al treilea, forţa unitară de vâscozitate şi

ultimul, forţele unitare datorate pulsaţiilor turbulente.

Analog se obţin şi ecuaţiile pe direcţiile Oy şi Oz care, împreuna cu ecuaţia continuităţii

reprezintă ecuaţiile lui Reynolds pentru mişcarea turbulent.

Termenii ce reprezinta forţele unitare datorate pulsaţiilor se notează cu A, B şi respectiv

C pe direcţia Oz.

Interpretări:

- Dacă se fac comparaţii cu ecuaţiile Navier-Stokes, se constată că în membrul al doilea

apar termini suplmentari - forţele unitare datorate pulsaţiilor turbulente;

- Sistemul nu poate fi integrat, avand 7 necunoscute: wvupwvu ..,,,, şi numai patru

ecuatii;

- Ecuaţiile nu oglindesc întregul fenomen al mişcării turbulente. Cauzele externe legate de

rugozitatea suprafeţelor şi implicit natura pereţilor nu sunt prinse în acestea;

- Ecuatiile lui Reynolds constituie o bază teoretică pentru cercetări. Nu pot fi folosite în

practică, deoarece nu se cunoaşte dependenţa dintre mărimile fluctuate u’,v’ şi w’ şi

mărimile medii ale acestora. De aceia pentru calculul elementelor mişcării turbulente se

folosesc două căai distincte:

o Se fac ipoteze simplificatoare cu privire la dependenţa dintre diversele mărimi şi

se consideră o serie de teorii semiempirice;


124

o Se studiază mărimile fluctuante, prin măsuratori sistemice, în diferite cazuri de

curgere, care se prelucrează cu ajutorul statisticii matematice, constituindu-se în

teorii statistice ale curgerii;

- Condiţiile la limită pentru vitezele medii temporale sunt aceleaşi ca şi în cazul curgerii

laminare a fluidelor reale, iar vitezele oscilatorii nule la perete. Deci eforturile aparente se

anulează, la perete, rămânând numai cele de vâscozitate din mişcarea laminară.

- Ecuaţiile de mişcare ale fluidelor reale din mişcarea turbulentă pot fi scrise şi sub forma

dată de Gromeka-Lamb

Ax

uvwVpd

Uxt

uxy

3)(2

2

2

By

vwuVpd

Uyt

vxz

3)(2

2

2

Cz

wuvVpd

Uzt

wyz

3)(2

2

2

10.6 Legea transformării şi conservării energiei în mişcarea turbulentă a fluidelor reale

Se consideră mişcarea turbulentă permanentă a unui fluid real, compresibil. In acest caz:

t

u

t

v

t

w sunt nuli.

Se înmulţesc cele trei ecuaţii, date de Grromeka-Lamb, cu dx, dy şi dz se adună şi vom

obţine:

tVzyx ll

wvu

dzdydxpdV

Ud ..22

2

Fiecare termen din ecuaţia de mai sus, reprezintă un lucru mecanic elementar (energie

elementară). Primul termen reprezintă variaţia elementară a energiei fluide totale (potenţială a

forţelor masice, potenţială de presiune şi cinetică), iar al doilea termen reprezintă lucrul mecanic

elementar al forţelor convective de inerţie datorate variaţiei vârtejului. Termenul:

3....

ddzwdyvdxulV reprezintă lucrul mecanic al forţelor de

vâscozitate moleculară cu o componentă a forţelor de compresibilitate, în cazul fluidelor

compresibile corespunzator unei deplasari elementar. Termenul:

dzCdyBdxAlt .... reprezintă lucrul mecanic al tensiunilor aparente. Aceşti

termini sunt negativi deoarece sunt forţe dirijate invers sensului de mişcare.

Determinantul est nul dacă:

- pe o linie de curent

w

dz

v

dy

u

dx

- pe o linie de vârtej


125

zyx

dzdydx

- în mişcarea elicoidală

zyx

wvu

In toate aceste cazuri putem scrie:

rlpdV

Ud .2

2

unde tVr lll ... lucrul mecanic rezistiv.

Dacă se integrează pe o linie de vartej, sau între doua puncte în mişcările enumerate mai

sus se obtine:

12

2

1

2

.2

rlpdV

U

In cazul fluidelor incompresibile ρ = const şi în câmp gravitaţional U = g.z se poate scrie:

1222

2

21

1

2

1

22rhz

p

g

Vz

p

g

V

Unde 12

12 .1

rr lg

h este pierderea de sarcină între punctele 1 şi 2. V şi p reprezintă

viteza medie şi presiunea medie în timp.

Aceasta este ecuaţia lui Bernoulli pentru fluide grele incompresibile în mişcarea

turbulentă. Aceasta admite o reprezentare grafică asemănătoare cu cea prezentată la curgerea

laminară.

MECANICA FLUIDELOR ANALIZA DIMENSIONALA SI TEORIA SIMILITUDINII Dr.ing. Petru Aron

126

XI. ANALIZA DIMENSIONALĂ ŞI TEORIA SIMILITUDINII

Orice relaţie matematică a unui fenomen fizic este corect stabilită, dacă pe lângă

corectitudinea rezolvării setului de ecuaţii algebrice sau diferenţiale care caracterizează acest

fenomen îndeplineşte şi o altă condiţie fundamentală: toţi termenii ei trebuie să aibă aceeaşi

dimensiune.

Această condiţie necesară pentru valabilitatea unei relaţii matematice a unui fenomen

fizic se numeşte principiul omogenităţii.

Pornind de la această condiţie obligatorie, putem obţine relaţia de calcul a unei mărimi

fizice în funcţie de alte mărimi. O asemenea dependenţă se formează astfel: A =f(a1,a2,…..an)

unde structura funcţiei f nu este cunoscută.

Anumite consideraţii teoretice privind natura mărimilor a1,a2,…..an, permit unele

precizări privind forma funcţiei f. Acest fel de abordare a problemei constituie obiectul analizei

dimensionale.

11.1. Metodele analizei dimensionale

11.1.1 Metoda Rayleigh,

Se aplică pentru stabilirea unor legi fizice, dacă se cunosc mărimile care determină

fenomenul considerat.

Conform acestei metode, mărimea fizică ce caracterizează fenomenul studiat, este

proporşională cu un produs de puteri al mărimilor fizice care îl determină. Valorile exponenţilor

se obţin impunând condiţia omogenităţii dimensionale a ambilor membrii ai egalităţii obţinute.

Această metodă se aplică cu uşurinţă în cazurile în care fenomenul studiat depinde de cel

mult şase mărimi fizice.

Aplicaţii cu metoda Rayleigh

Stabilirea formulei debitului de lichid printr-un orificiu dreptunghiular

Se cunoaşte experimental că debitul este funcţie de secţiunea S a orificiului, de înălţimea

coloanei de apă h de deasupra orificiului (sarcina) şi de acceleraţia gravitaţională g. Formula

debitului se poate scrie sub forma:

zyx ghKSQ

în care K, este un coeficient adimensional. Ecuaţia dimensională în sistemul SI este:

zyx LTLLTL )()( 2213

Se impune condiţia omogenităţii dimensionale ai celor doi termini ai acestei ecuaţii şi

rezultă sistemul:

z

zyx

21

23

Se obţine 2

1z şi yx

2

52 şi dacă considerăm secţiunea orificiului

2lS unde l este

lungimea caracteristică, rezultă:


127

ghlKghlh

lKghhlKlghKlQ

yyy

yy

2

12

1

22

1

2

1

2

1

2

1

2

1

22

1

2

5

)(

ghSKQ 1

Coeficientul K1 se determină experimental şi este egal cu 2 în care este

coefiecientul de debit.

Determinarea rezistenţei la înaintare a unui corp într-un fluid

Corpul are o secţiune transversală S şi se deplasează într-un fluid de densitate ρ şi cu

vâscozitatea dinamică η cu o viteza V. Rezistenţa la inaintare este o funcţie de forma:

),,,.( gVSfR deci se poate scrie:

zyxxx

gVSKR 321

Ecuatia dimensională în SI este:

zyxxx

LTTMLLTLMLMLT )()()()()( 2111232 321

Din condiţia de omogenitate se obţine sistemul de ecuaţii:

zyx

zyxxx

yx

22

231

1

3

321

1

Rezulta:

zyx

zyx

yx

22

2

1

2

11

1

3

2

1

2

2

2

1

2

1

222

1

2

11

1 .

..

SVV

Sg

SV

KgVSKR

zy

zyzyzy

y sau

2

2..

.

..VS

V

lg

lVKR

zy

Se verifică uşor că expresiile din paranteze sunt adimensionale şi anume:

Re

1

... lVlV

FrV

lg 1.2

numărul lui Froude

2..)(Re, VSFrkR

Relaţia de mai sus reprezintă expresia rezistenţei la înaintare a unui corp, în cazul

general. Funcţia k(Re,Fr) se determină experimental.

Pentru situaţia în care rezistenţa la inaintare depinde în primul rând de forţele

gravitaţionale, exemplu: în cazul mişcării cu viteză relativă mică a navelor, se poate neglija

efectul vâscozitatii, deci y = 0 şi rezistenţa la înaintare are expresia:


128

2

2..

.VS

V

lgKR

z

In cazul în care rezistenţa la înaintare este dată în principal de influenţa vâscozităţii, se

neglijează influenţa acceleraţiei gravitaţionale z = 0 şi formula noastră va fi:

2..

..VS

lVKR

y

Din această relaţie se pot evidenţia câteva cazuri particulare, corespunzătoare diferitelor

valori pentru y. Astfel pentru y = 1 se obţine:

lVKR .. nu intervine densitatea fluidului. Corespunde mişcărilor lente pentru care

se pot neglija forţele de inerţie.

Pentru y = 0

2.. VSKR nu intervine vâscozitatea. Este formula lui Newton

Pentru y = ½ rezultă:

2

3

2

3

2

1

2

1

22

1

....

lVKVSlV

KR se obţine o formulă asemănătoare

rezistenţei la inaintare a unei plăci plane de dimensiuni l şi h, plasată într-un curent laminar

rectiliniu paralel cu planul plăcii, cu dimensiunea h dispusă perpendicular pe direcţia curentului.

Relatia este: lVhR 3..686,0

Pentru y = 1/5 rezultă:

5

9

5

9

5

1

5

4

25

1

....

lVKVSlV

KR este relaţia aproximativă pentru

determinarea rezistenţei la înaintare a unei plăci plane, în stratul limită turbulent.

11.1.2 Teorema produselor. Teorema π.

Se consideră un fenomen fizic oarecare în care marimea dimensională a este o funcţie de

mărimile dimensionale independente între ele a1, a2,…,an deci:

),...,.,...,,( 121 nkk aaaaafa

Nu se exclude cazul în care unele dintre aceste mărimi sunt constante. Se presupune că

funcţia nkk aaaaaf ,...,.,...,,( 121 ) exprima o lege fizică care, nu depinde de alegerea sistemului

de unităţi de măsura. Se consideră că primele k mărimi au dimensiuni independente şi se aleg ca

mărimi fundamentale. Dimensiunile mărimilor a, ak+1,…,an pot fi exprimate în funcţie de

mărimile a1,a2,…,ak . Dimensiunile mărimilor fundamentale se notează astfel:

11][ Aa

22 ][ Aa

..............

nn Aa ][

Dimensiunile mărimilor a, ak+1,…,an sunt date de formulele:

km

k

mmAAAa ...][ 21

21


129

kp

k

pp

k AAAa ...][ 21

211

................................

kq

k

qq

n AAAa ...][ 21

21

Dacă se schimbă unităţile de măsura ale mărimilor fundamentale a1,a2,…,ak , de exemplu

se măresc de α1, α2 ,…, αk ori, atunci valorile numerice ale acestor mărimi şi ale mărimilor a,

ak+1,…,an în noul sistem de unităţi vor fi corespunzator egale cu:

11

'

1 aa aa km

k

mm....' 21

21

22

'

2 aa 121

'

1 ....21

k

p

k

pp

k aa k

............... ..................................

kkk aa ' n

q

k

qq

n aa k....21

21

'

In acest nou sistem de unităţi de măsura vom avea:

n

q

k

qq

k

p

k

pp

kk

n

m

k

mmm

k

mm

aaaaf

aaafaa

kk

kk

,...,,...,,...,,,...,(

),...,,(.......'

2121

2121

2112111

212121

Această egalitate arată că funcţia f este omogenă în raport cu coeficienţii de scară

independentă α1, α2 ,…, αk . Alegerea acestor coeficienţi se face astfel încât să se obţină

micşorarea numărului π 1

1

1

a

2

2

1

a,….,

k

ka

1

Deci, se alege un sistem de măsură în aşa fel încât valorile primelor k argumente din

prima parte a relaţiei lui a’ să fie egale cu unitatea. Pentru acest sistem de unităţi de măsură,

valorile numerice ale parametrilor a, ak+1,…,an sunt determinate de formulele:

km

k

mmaaa

a

...21

21

,......21

21

1

1kp

k

pp

k

aaa

a

kq

k

qq

n

knaaa

a

...21

21

Mărimile π sunt adimensionale. Relaţia stabilită iniţial ),...,.,...,,( 121 nkk aaaaafa

devine:

),...,,(),....,,....,1,1( 2111 knkn ff

Astfel, relaţia cu cele n+1 mărimi dimensionale a, a1,…,an independente de alegerea

sistemului de unităţi de măsură, se poate scrie sub forma unei relaţii între n+1-k mărimi π1,

π2,…, πn-k adimensionale. Acest rezultat este cunoscut sub numele de teorema π.

Etapele de lucru cu teorema π sunt:

- Stabilirea mărimilor care participa la desfăşurarea fenomenului de studiat;

- Alegerea mărimilor care pot fi considerate ca fundamentale. Acestea pot fi ale sistemului

de măsură în care se lucrează, de obicei SI. Mărimile fundamentale alese trebuie să

îndeplinească următoarele conditii:

o Să fie independente din punct de vedere dimensional (adica dimensiunea unei

mărimi să nu poată fi obţinută printr-o relaţie a dimensiunilor celorlalte mărimi

fundamentale)

o Dimensiunile mărimilor fundamentale să permită exprimarea dimensională a

tuturor celorlalte marimi derivate.


130

Aplicaţie

Determinarea pierderilor longitudinale de sarcină în conducte circulare.

Pierderea de sarcină se poate exprima prin diferenţa de presiune p dintre secţiunile

extreme ale conductei considerate. Această pierdere depinde de diametrul D şi lungimea l a

conductei, de viteza V, densitatea ρ şi vâsozitatea η a lichidului, precum şi, de rugozitatea

absolută a pereţilor Δ. Ecuaţia funcţională va fi:

),,,,,( lVDfp

Se aleg mărimile D, V şi ρ ca mărimi fundamentale şi se formează produsele

adimensionale:

321 mmm

VD

p

3211 ppp

VD

3212 rrr

VD

l

3213 sss

VD

Se obţine relatia:

),,( 321f

Exponenţii mi , ri şi si se determină din condiţia ca produsele π, π1 , π2 şi π3 să fie

adimensionale. Astfel pentru π se obţine:

23321

321

2131

31

21

)()(][

mmmmm

mmmTML

MLLTL

TML

Prin anularea exponenţilor lui L, M şi T rezultă:

1

2

0

3

2

1

m

m

m

Se procedează similar pentru celelalte produse şi se obţine:

2V

p

Re

1

..1

VDVD

D

l2 si

D3

Relaţia ),,( 321f devine:

D

fD

l

DD

lf

V

p,

Re

1,,

Re

1112

Deoarece pierderea de sarcină este direct proporţională cu lungimea şi ţinând seama de

relaţia dhp . rezultă:

D

fD

l

g

Vhd ,

Re

11

2

Se introduce coeficientul λ al pierderilor de sarcină liniare prin notaţia:

D

fD

,Re

12Re, 1 şi se obţine în final expresia pierderilor de sarcină

longitudinal:

g

V

D

l

Dhd

2Re,

2


131

Stabilirea forţei de propulsie a unei elice.

Forţa de propulsie este funcţie de denstatea ρ, vâscozitatea η a fluidului, de viteza de

translaţie V, de turaţia n , de diametrul D al elicei şi de acceleratia gravitaţională g.

),,,,,( gDnVfF

Se aleg mărimile ρ, V şi D ca mărimi fundamentale şi se construiesc produsele

adimensionale:

321 mmm

DV

F

3211 ppp

DV

3212 rrr

DV

n

3213 sss

DV

g

Se determină exponenţii ca în exemplul anterior

3131

321

2131

13

2

)()(

mmmm

mmmTML

LLTML

MLT

De unde rezultăa, prin anularea exponenţilor: m1=1 m2=2 si m3=2. Analog se obţin şi

celelalte produse găsindu-se expresiile:

22 DV

F

Re

1

.1

DVVD

V

nD2

23V

gD deci:

21

22 ,,Re

1.

V

gD

V

nDfDVF

11.2 Bazele teoriei similitudinii

Datorită complexităţii fenomenelor hidraulice şi a dificultăţilor matematice care apar în

rezolvarea ecuaţiilor de mişcare ale fluidelor reale, se folosesc, pe scară largă, metode

experimentale de cercetare. Experienţele pot fi făcute direct pe prototip, fie pe modele. De obicei

nu se pot face experienţe la scară reală şi sunt necesare modele, la scară redusă. Teoria

similitudinii stabileşte condiţiile care trebuie să fie respectate pentru ca fenomenul model să fie

asemenea cu cel real şi din punct de vedere al condiţiilor de curgere. Teoria similtudinii face

posibilă studierea în laborator a fenomenelor complexe din natură şi precizează circumstanţele în

care rezultatele obţinute pot fi extinse la o întreaga clasă de fenomene asemenea.

11.2.1 Similitudinea geometrică, cinematică şi dinamică

Similitudinea geometrică este cea mai simplă formă de similitudine. Intre model şi

prototip există o similitudine geometrică dacă este asigurată proporţionalitatea lungimilor

omoloage şi egalitatea unghiurilor. Unui punct de pe model corespunde un punct de pe prototip.

Acestea se numesc puncte omoloage. Punctele omolage pot determina drepte omoloage,

suprafeţe omoloage şi volume omoloage.

Pentru fenomene variabile în timp, similitudinea geometrică nu este suficientă. Pentru

definirea altor forme de similitudine este necesară introducerea noţiunii de timpi omologi. Timpii

omologi sunt timpii în care se produc aceleaşi fracţiuni din fenomenul cercetat, atât pe model cât

şi pe prototip.


132

Similitudinea cinematică a două fenomene hidraulice este asigurată de asemănarea

geometrică a liniilor de curent şi de proporţionalitatea vitezelor omoloage. Doi curenţi de fluid

sunt asemenea din punct de vedere cinematic dacă particulele omoloage trec prin puncte

omloage la timpi omologi.

Similitudinea dinamică a două fenomene hidraulice impune în afara condiţiilor

corespunzătoare similitudinii cinematice şi proporţionalitatea forţelor omoloage. Rezultă că

pentru doi curenti de fluid dinamic asemenea, masele omoloage de fluid sunt supuse unor

sisteme de forţe omoloage proporţionale, de acelaşi tip şi la fel orientate. Greu de realizat dar se

va tinde spre realizarea unei similitudini dinamice parţiale.

Rapoartele dintre perechile de mărimi omoloage (scări) definesc rapoarte de similitudine

sau coeficienţi de trecere.

Scările mărimilor fundamentale: lungime , masă şi timp se numesc scări fundamentale.

Scările mărimilor derivate se numesc scări derivate.

Scările fundamentale sunt date de relaţiile:

'l

lkl

'm

mkm

't

tkt

unde l şi l’ sunt două lungimi omoloage de pe model şi prototip, etc.

Scările derivate sunt:

1'

''

''tlV kk

t

t

l

l

tl

tl

V

Vk pentru viteză

2'

''

''tla kk

t

t

V

V

tV

tV

a

ak pentru acceleraţie

2

''.

.

'tlmF kkk

am

am

F

Fk pentru forţă

13

tlQ kkk pentru debit

21

tmlp kkkk pentru presiune

22

tmlL kkkk pentru lucru mecanic

11.2.2 Stabilirea criteriilor de similitudine

In teoria similitudinii se folosesc mărimi complexe adimensionale, formate din mărimile

fizice care intervin în desfăşurarea fenomenului studiat. Aceste mărimi se numesc criteriu de

similitudine sau invariant de similitudine. Au proprietatea că păstrează aceleaşi valori numerice

pe model şi prototip, în fenomene asemenea.

Metde de abordare

a. O metodă riguroasă în stabilirea criteriilor de similitudine în mecanica fluidelor constă în

examinarea structurii ecuaţiilor de mişcare ale unui fluid.

Aplicam metoda la ecuaţia lui Navier-Stokes

..3

1.

1gradVpgradf

dt

Vdm cu


133

z

w

y

v

x

uVdiv.

Este suficientă o examinare a ecuaţiei numai pe direcţia axei Ox:

zx

w

yx

v

x

u

z

u

y

u

x

u

x

pf

z

uw

y

uv

x

uu

t

ux

22

2

2

2

2

2

2

2

2

3

11

Se presupune că, trecând de la curgerea în jurul unui model la curgerea în jurul

prototipului, fiecare mărime se multiplică de un numar de ori (scară). Considerând că fenomenul

pe model este descris de ecuaţia de mai sus, fenomenul pe prototip va fi descris de ecuaţia:

z

w

y

v

x

u

xz

u

y

u

x

u

k

kk

x

p

kk

kfk

z

uw

y

uv

x

uu

k

k

t

u

k

k

l

v

l

p

xfm

l

v

t

v

3

1)(

2

2

2

2

2

2

2

2

Aceste două ecuaţii au aceiaşi structură şi din compunerea lor rezultă condiţia de

similitudine

2

2

l

v

l

p

fm

l

v

l

v

k

kk

kk

kk

k

k

k

k

Criteriile de similitudine se stabilesc prin considerarea succesivă a egalităţii dintre cel de-

al doilea raport şi fiecare din cele patru rapoarte şi înlocuirea constantelor k prin raportul

mărimilor fizice corespunzătoare modelului şi prototipului.

b. O a doua metodă de stabilire a similitudinii se bazează pe considerarea numai a mărimilor

cu rol preponderent în desfăşurarea fenomenului hidraulic studiat. Se scriu scările

acestor mărimi fizice în funcţie de scările fundamentale, se înlocuiesc, acestea din urmă,

cu rapoartele mărimilor fundamentale omoloage de pe model, se grupează în mod

corespunzător mărimilor referitoare la model şi prototip rezultând criteriul de

similitudine.

Ca exemplu, se examinează fenomenul de curgere în care forţele de inerţie au rol

preponderent. Se va obţine criteriul de similitudine a lui Newton:

2

'tmlF kkk

F

Fk sau

2

'''' t

t

m

m

l

l

F

F şi ţinând cont că

3.. lm si t

lV obţinem

''.

'

. 2'2'22Ne

lV

F

lV

FNe criteriul de similitudine a lui Newton


134

11.3 Principalele criteria de similitudine întâlnite în mecanica fluidelor

Criteriul de similtudine Reynolds

Se obţine din egalitatea:

2

2

l

v

l

v

k

kk

k

k sau 1

k

kk lv sau înlocuind cu rapoartele caracteristice

Re''

''.Re

lVlV

Dacă pe model şi prototip curge un acelaşi fluid ' şi ' rezultă egalitatea

''.. lVlV sau VkV l' deci, în cazul similitudinii Reynolds, viteza modelului este mai mare

decât a prototipului. Creiteriul Reynods are importanţă în problemele de hidrodinamică unde

vâscozitatea intervine preponderent (curgerea în stratul limită, lubrificaţie, aerodinamica etc).

Criteriul de similitudine Froude

Egalitatea forţelor de inerţie cu forţele masice:

fm

l

v kk

k 2

sau 12

fml

v

kk

k sau înlocuind cu rapoartele caracteristice

'''.

2'2

Frlg

V

lg

VFr

Dacă modelul şi prototipul se experimentează la aceiaşi latitudine geografică g = g’,

rezultă Vk

Vl

1' , deci viteza modelului este mult mai mică decât a prototipului. Făcând o

comparaţie cu similitudinea Reynolds rezultă că este imposibilă realizarea simultană a celor două

similitudini.

Creteriul Froude se foloseşte în fenomenele hidrodinamice în care greutatea joacă un rol

preponderent (plutirea navelor, curgerea apei peste deversoare, curgerea apei în canale, etc).

Criteriul de similitudine Strouhal

Egalitatea termenilor corespunzători forţelor de inerţie:

t

v

l

v

k

k

k

k 2

sau 1l

tv

k

kk sau înlocuind cu mărimile caracteristice

''

''..Sh

l

tV

l

tVSh

Criteriul Strouhal caracterizează fenomenele variabile în timp şi periodice (desprinderea

vârtejurilor, mişcarea elicei, oscilaţiile fluidului, etc).

Criteriul de similitudine Mach

Se bazează pe influenţa forţelor de inerţie şi presiune

l

p

l

v

kk

k

k

k 2

sau 12kk

k

v

p


135

Pentru un fluid compresibil, variaţia densităţii depinde de variaţia presiunii. Aceasta este

legată de viteza sunetului c:

d

dpc2

sau putem scrie k

kk

p

c

2 şi înlocuind în relaţia criteriului se

obţine:

1c

v

k

k sau înlocuind cu mărimile caracteristice rezultă:

''

'Ma

c

V

c

VMa

Criteriul se foloseşte în fenomenele hidrodinamice unde compresibiltatea joacă rolul

preponderent (aerodinamica, sonicitate, etc)

Criteriul de similitudine Euler

Implica forţele de inerţie şi cele de presiune:

l

p

l

v

kk

k

k

k 2

sau 12kk

k

v

p înlocuind mărimile caracteristice rezultă:

''

'2'2

EuV

p

V

pEu pentru curgerea prin conducte, studiul cavitaţiei, etc.

Se numeşte similitudine completă, similitudinea în care fiecare criteriu care intervine are

aceiaşi valoare numeric pe model şi pe prototip.

Similitudinea este parţială sau incompletă dacă nu toate criteriile de similitudine

păstrează aceiaşi valoare, atât pe model căt şi pe prototip. Este cazul practic. De exemplu, în cele

mai multe probleme de aerodinamică sunt suficiente criteriile Re şi Ma, în hidrodinamică sunt

suficiente criteriile Fr şi Re.

MECANICA FLUIDELOR MECANICA FLUIDELOR APLICATA Dr.ing. Petru Aron

136

XII. MECANICA FLUIDELOR APLICATA

12.1 Calculul pierderilor de sarcină

La baza calculul pierderilor de sarcină se află noţiunile, principiile şi ecuaţiile generale

studiate în mişcarea laminară şi mişcarea turbulentă. Determinarea piederilor de sarcină, definite

ca lucru mecanic rezistiv datorat rezistenţelor vâscoase şi turbulente ale fluidulelor reale, este

complexă deoarece trebuie studiate fenomenele de mişcare în conducte, canale, etc. în toată

complexitatea lor, aşa cum sunt întâlnite în practică, pe de o parte şi pe de altă parte, pierderile

de sarcină prezintă, ca fenomen, şi alte aspecte neincluse în definiţia anterioară.

Astfel, în afara disipărilor de energie distribuite uniform în lungul curenţilor de fluid,

numite pierderi liniare, proporţionale cu lungimea curgerii, mai iau naştere pierderi locale, care

apar pe porţiuni scurte al scurgerii şi care sunt datorate variaţiei mărimii sau direcţiei vitezei,

provocate de variaţii de secţiune şi de traseu a curentului (coturi, ramificaţii, vane, etc).

Sunt numeroase cazurile în care, determinarea pierderilor de sarcină este cea mai

importantă problemă.

Pe baza a numeroase studii şi cercetăr,i s-a convenit ca piederile de sarcină să se

raporteze la energia cinetică a fluidului:

g

Vhr

2

2

unde ζ este un coeficient care depinde de tipul pierderii de sarcină. Pentru pierderi de sarcină

liniare acest coeficient are forma:

D

l

unde l este lungimea, iar D este diametrul conductei. λ este coeficientul pierderilor de sarcină

liniare şi depinde de regimul de curgere şi de natura pereţilor conductei. Pentru curgerea

laminară în conducte circulare, λ = 64/Re , este coeficientul lui Darcy.

Coeficientul rezistenţelor locale, denumit şi coeficientul pierderilor de sarcină locale este

în marea majoritate a cazurilor un coeficient determinat experimental. Acest coeficient, depinde

de tipul rezistenţei şi de regimul de curgere.

Dependenţa de numărul Re este foarte complicată; la valori mari ale numărului Re se

poate însă neglija dependenţa de Re.

Pentru un curent de fluid, pierderea de sarcină totală este suma pierderilor liniare şi

locale.

12.2 Conducte netede şi conducte rugoase; grosimea substratului laminar

Indiferent de gradul de turbulenţă al curentului de fluid, în vecinătatea pereţilor

conductelor există un strat inelar de fluid care se deplasează cu viteze mici, numit substrat

laminar, deoarece mişcarea în această zonă este laminară. Restul secţiunii conductei va forma

miezul turbulent al conductei, caracterizat prin viteze mari de curgere. (fig.12.1)


137

Fig.12.1

Deosebim două situaţii distincte privind relaţia de ordine

dintre rugozitatea absolută Δ a peretelui conductei şi

grosimea substratului laminar. În primul caz Δ < δl,

rugozitatea este acoperită de substratul laminar şi nu

influenţează pierderile de sarcină; în această situaţie conducta

se numeşte netedă în sens hidraulic.

În cazul al doilea, rugozitatea depăşeşte grosimea substratului laminar, Δ > δl, iar

extremităţile pătrund în miezul turbulent al curgerii unde se produc frecări suplimentare şi

pierderi de energie prin impactul fluidului cu vârfurile rugozităţilor. Conducta, în această situaţie

se numeşte conductă rugoasă.

Pentru a decide natura conductei, netedă sau rugoasă, va trebui să dispunem de o relaţie

de calcul a grosimii substratului laminar δl. Pentru a determina această relaţie Nikuradse a

propus o dependenţă de forma:

zyx

l K 0...

unde k este un coeficient adimensional, η vâscozitatea dinamică, ρ densitatea şi η0 este tensiunea

unitară de frecare la perete. Exponenţii x, y, z, se pot determina prin metoda Reyleigh. Se

înlocuiesc mărimile fizice prin dimensiunile lor:

zyx TLMLMTLML ).().().( 21311

Obţinem un sistem liniar în x, y şi z, prin identificare:

zx

zyx

zyx

20

0

31

care are soluţiile 1x 2

1y si

2

1z

Rezultă că relaţia de calcul a grosimii δl este:

0

2

00

2

1

02

1.

.

...

kk

kKl

Notăm *

0 şi o numim viteza tensiunii tangenţiale, grosimea substratului laminar,

devenind:

*

.kl

Se cunoaşte că efortul de frecare la perete în mişcarea laminară este:

l

rpp

.2

)( 21 unde dhpp .21 rezulta

l

rhd

2

.


138

unde în mişcarea laminară g

V

D

lhd

2

2

şi în acest caz grosimea stratului laminar va fi:

.Re

..22..22

..8

...

.

....4

2...

.

..2

..

.

22

Dk

V

k

g

Vg

k

ldg

DVl

k

l

rh

k

d

l ştiind că DV .

Re

Pentru k = 11,5 rezultă:

D

l .Re

32

12.3 Determinarea coeficientului pierderilor de sarcină liniare

Coeficientul pierderilor liniare de sarcină λ, depinde în general de gradul de turbulenţă,

prin numărul lui Re, precum şi de rugozitatea relativă a conductei dΔ. Influenţa celor doi factori

este diferită de la o conductă la alta, după cum este, netedă sau rugoasă. Pentru conducte netede

din punct de vedere hidraulic, 1l

rugozitatea influenţează în mică măsură coeficientul λ;

pentru aceste conducte au fost elaborate formule determinate experimental, dependente de

numărul lui Re.

- pentru 4000 < Re < 105, se poate utiliza formula lui Blasius:

425,0

Re.100

1

Re

3164.0

- pentru Re > 105, există mai multe formule stabilite în mod empiric:

λ = (1,82 lg Re – 1,64)-2

formula lui Filonenko

λ = (1,8 lg Re – 1,5)-2

formula lui Konakov

Pentru conducte rugoase, din punct de vedere hidraulic 1l

, λ depinde, practic,

numai de rugozitatea relativă şi poate fi calculat cu formula lui Nikuradse:

2

2

.71.3.4

172.1..2

Dgl

Dgl

Pentru conducte semirugoase, caracterizate prin )3,1(l

, λ este determinat printr-o

formulă semiempirică, care conţine pe λ sub forma implicită:

D

gl.71,3Re

51,2..2

1 cunoscută sub numele de formula lui Colebrook şi

White.


139

Pentru folosirea acestei formule se adaugă un procedeu iterativ, descris mai jos:

- Se adoptă în primă aproximaţie pentru λ o valoare λ0 rezultată din formula lui Nikuradse,

care se înlocuieşte în membrul doi al formulei implicite;

- Rezulta din membrul întâi o valoare

- λ1;

- Cu valoarea gasită se revine în mebrul doi al formulei implicite, obţinând o alta valoare

λ2. Procedeul este rapid convergent şi dacă diferenţele sunt mici, putem înlocui pe λ cu

valoarea λ0

Metoda generală de calcul al coeficientului λ cuprinde următoarele etape:

- Se calculează numărul Re. Dacă este mai mic de 2300, mişcarea este laminară şi Re

64,

iar dacă este mai mare, regimul de curgere este turbulent şi se procedeaza astfel:

o se emite, în primul rand, ipoteza unei conducte netede 1l

; Re

.32 Dl , când

λ se calculeaza dupa formula lui Blasius sau formula lui Konakov;

o se verifică ipoteza conductei netede calculând grosimea substratului laminar şi

verificând restricţia 1l

. Dacă aceasta este îndeplinită, conducta este netedă

şi λ rămâne definitiv calculat. Dacă ipoteza conductei netede nu se verifică, vom

considera conducta rugoasă şi vom folosi formula lui Nikuradse;

o se verifică imediat această ipoteza.

- Dacă restricţia pentru conducta rugoasă nu se verifică, aceasta va fi semirugoasă şi se

aplică formula implicită, prin acelaşi procedeu.

12.4 Calculul pierderilor locale de sarcină

Considerăm o conductă care prezintă o lărgire a secţiunii de la suprafaţa A1 la suprafaţa

A2

Fig.12.2 Pierderi de sarcină locale

Secţiunea vânei de fluid nu creşte brusc la intrarea în cea de-a două secţiune de conductă,

ci în mod continuu, astfel încât până la realizarea secţiunii maxime se crează o zona de vărtejuri

a căror energie cinetică provine din energia curentului de fluid.

Această parte de energie se consumă pentru întreţinerea mişcării turbionare şi reprezintă

o pierdere de sarcină datorată destinderii bruşte a secţiunii.


140

Pentru determinarea analitică a pierderii de sarcină prin destindere bruscă, scriem ecuaţia

lui Bernoulli între punctele 1 şi 2 ale conductei:

dhzp

g

Vz

p

g

V2

2

2

21

1

2

1

.2.2

Deoarece z1 = z2 rezultă:

21

2

2

2

1

.2

pp

g

VVhd

Vom elimina diferenţa de presiune aplicând teorema impulsului între cele două puncte,

proiectând pe axa conductei:

)( 22121111122 ApAApApVmVm unde

2222

1111

..

...

VAQm

VAQm

Relaţia noastră devine:

)(.. 2121122 ppAVAVA de unde:

2

1

2

12

2

2

2

11

2

2221

)(V

A

AV

A

VAVApp

Utilizând ecuaţia de continuitate se obţine:

2211 VAVA de unde 1

2

2

1

V

V

A

A şi rezultă:

21

2

221 .. VVVpp

Expresia pierderii de sarcină prin deschiderea bruscă a conductei, devine:

g

VV

g

VVVVV

g

VVV

g

VVVVV

g

VVpp

g

VVhd

.2

)(

.2

22

.2

)(

.2.2

2

2121

2

2

2

2

2

1

21

2

2

2

2

2

121

2

2

2

2

2

121

2

2

2

1

Aceasta este formula lui Borda-Carnot.

Putem exprima pierderea de sarcină în funcţie de o singură viteză, de exemplu V2:

g

V

g

V

A

A

g

VVA

A

h dd.22

1.2

2

2

2

2

2

1

2

2

12

1

2

unde

2

1

2 1A

Ad este coeficientul de rezistenţă hidraulică la deschiderea bruscă a

conductei. Acest coefficient, dedus theoretic, se determină şi experimental, suficient de exact.

Destinderea bruscă a conductei este singurul tip de rezistenţă hidraulică locală, care se poate

studia analitic.

Pentru alte tipuri de rezistenţe hidraulice, cum ar fi: îngustarea bruscă de secţiune,

trecerea prin coturi simple, duble şi altele, coeficientul de rezistenţă hidraulică se determinată

numai experimental.


141

De exemplu, în cazul inversării sensului de curgere deci îngustarea secţiunii conductei în

mod brusc, coeficientul determinat experimental este 0,5 din valoarea celui calculat teoretic.

12.5 Curgerea prin orificii şi ajutaje

Considerăm curgerea prin orificii prevăzute în pereţi subţiri, prin care se înţeleg orificii

cu muchii ascuţite, astfel încât vâna de fluid care iese prin acestea, să nu fie influenţată de

grosimea reală a peretelui rezervorului.

Deosebim următoarele categorii de orificii:

- orificii situate în pereţi; laterali sau la baza rezervorului;

- orificii care debitează liber în atmosferă;

- orificii înecate, care debitează într-un alt rezervor cu lichid; orificiile fiind sub nivelul

lichidului din cel de al doilea rezervor;

- orificii sub sarcină constantă sau sub sarcină variabilă (prin sarcina orificiului

înţelegând distanţa dintre centrul orificiului şi suprafaţa liberă a lichidului).

Indiferent de tipul orificiului, vâna de fluid care iese din orificiu, prezintă fenomenul de

contracţie, secţiunea curentului de fluid căpătând o valoare minimă numită secţiune contractată.

Calculul debitului unui orificiu mic sub sarcină constantă

Considerăm o linie de curent şi pe ea două puncte 0 şi 1, primul pe suprafaţa liberă a

lichidului, iar al doilea în secţiunea îngustată a vânei de fluid la nivelul axei orificiului, figura de

mai jos

Fig.12.3

Se neglijează pierderea de sarcină în interiorul rezervorului în raport cu pierderea de

sarcină prin orificiu.

Relaţia lui Bernoulli între cele două puncte considerate este:.

rhzp

g

Vz

p

g

V1

1

2

10

0

2

0

.2.2

unde z0 = h1 ; V0 poate fi neglijata; z1 = 0 , p0 = p1 = presiunea atmosferica, iar hr este pierderea

de sarcină în orificiul considerat care, se poate exprima cu relaţia g

Vhr

.2

2

1. Ecuatia lui

Bernoulli devine:

g

V

g

V

g

Vh

.2)1(

.2.2

2

1

2

1

2

1 de unde:


142

hgChgV ..2..21

11

Cυ este un coeficient de corectie a vitezei, care pentru orificii circulare are valoarea

aproximativa 0,98.

Debitul vânei de fluid este:

hgSChgCSS

sVsQ d ..2..2.. 1 unde:

- s este secţiunea minimă a jetului de fluid care iese din orificiu, denumită şi secţiune contractată;

- S este secţiunea orificiului;

- Cs este coeficientul de contracţie a secţiunii, 62,0S

sCs

- Cd este coeficientul de debit, Cd = Cv⋅ Cs = 0,61.

Putem face observaţia că în calculul debitului am admis că pe secţiunea S a orificiului

viteza rămâne practic constantă cu cea din centrul secţiunii. Acest lucru este permis numai pentru

orificiile mici, caracterizate prin condiţia h > 3(h2 – h1), unde h2 este cota muchiei inferioare a

orificiului, h1 este cota muchiei superioare. Altfel spus, sarcina orificiului întrece de trei ori

înălţimea orificiului.

Calculul debitului orificiului mare

Dacă condiţia h > 3(h2 – h1) nu este îndeplinită, orificiul este considerat mare din punct

de vedere hidraulic. În acest caz, viteza variază pe înălţimea orificiului, iar debitul se va obţine

prin integrare.

Considerăm un orificiu mare în peretele lateral a unui rezervor, fig.12.4 şi la distanţa y de

suprafaţa liberă a lichidului un element de suprafaţă de lăţime b(y) şi grosime dy.

Fig.12.4

Suprafaţa elementară dA = b(y).dy corespunde unui orificiu mic, iar debitul său va fi:

ghdyybCdQ d 2).(

Debitul întregului orificiu se obţine prin integrare dupa y

2

1

.2).(

h

h

d dyghybCQ

Intr-un caz particular, orificiu cu sectiune dreptunghiulară, relaţia de calcul devine:


143

)(23

2

3

22.2 2

3

12

3

22

3

2

1

2

1

2

1

hhgbCygbCdyygbCQ d

h

hd

h

h

d

Curgerea prin ajutaje

Ajutajele sunt tuburi relativ scurte având suprafaţa lateral, o suprafaţă de rotaţie de

lungime l = (2… 3)dmed. Aceste tuburi se montează în dreptul orificiilor rezervoarelor în scopul

măririi debitelor acestora.

Ajutajele pot fi de mai multe categorii:

- după forma geometrică a suprafeţei laterale pot fi:

- cilindrice; tronconice; curbilinii

- după unghiul dintre axa ajutajului şi peretele rezervorului, pot fi:

- drepte; înclinate

- după modul în care ajutajul evacuează lichidul din rezervor, pot fi:

- ajutaje libere (debitează în atmosferă)

- ajutaje înecate

- după locul de montare în raport cu peretele orificiului, pot fi:

- exterioare; interioare

Se studiază, în continuare, ajutajul cilindric drept care debitează liber în atmosferă,

fig12.5.

Problemele care apar la calculul unui ajutaj sunt următoarele:

- determinarea formulei debitului;

- determinarea sarcinii vacuumetrice hv;

- pierderea de sarcină prin ajutaj.

Fig.12.5

Ca şi-n cazul orificiilor, vâna de fluid care intră în ajutaj prezintă o secţiune minimă,

urmată de o creştere de secţiune, între punctele 1 şi 2, până la valoarea secţiunii ajutajului,

creştere care este asimilată cu o destindere bruscă de secţiune datorată distanţei mici dintre cele

două puncte.

Se aplică relaţia lui Bernoulli între punctele 0 şi 2, luând în considerare pierderile de

sarcină la intrarea în orificiul ajutajului şi pierderea de sarcină prin desprinderea bruscă pe

porţiunea dintre punctele 1 şi 2


144

drr hhzp

g

Vz

p

g

V01

1

2

10

0

2

0

2.2

unde V0 = 0; V2 = V: p2 = p0 ; z2 = 0 ; g

Vhr

211,0

2

0

g

V

g

V

g

V

Cg

V

A

Ah

s

rd .237,0

.21

62,0

1

.21

1

.21

22222

22

1

2

Relaţia lui Bernoulli devine:

g

V

g

V

g

V

g

Vh

.246,1

.237,0

.211,0

.2

2222

de unde:

ghghV 282,0248,1

1

unde 0,2 este coeficientul de debit al ajutajului

Pentru un orificiu circular coeficientul de debit este 0,61, deci debitul ajutajului este mai

mare dacât cel al orificiului, pentru aceiaşi sarcină h. De aici rezultă că scopul utilizarii ajutajului

este de creştere a debitului orificiului.

Această creştere de debit se explică, fizic, prin crearea în secţiunea îngustată a vânei de

fluid a unei puternice depresiuni care accelerează fluidul prin orificiu, mărind debitul acestuia.

Pentru calculul depresiunii în secţiunea îngustată se poate proceda atât experimental cât şi

analitic.

Experimental se procedeaz astfel:

- se montează un tub vacuumetric vertical în secţiunea mediană a ajutajului, având capătul

introdus într-un vas de lichid. In acest tub se aspiră o coloană de lichid h.

- aplicând ecuaţia fundamentală a hidrostaticii între suprafaţa liberă a lichidului din vas şi

un punct de pe suprafaţa lichidului din tub, se obţine:

vav

ppph 0

unde pa este presiunea absolută din secţiunea îngustată şi pv este presiunea vacuumetrică, hv este

sarcina vacuumetrică a ajutajului.

Pe cale analitică putem determina sarcina vacuumetrică aplicând relaţia lui Bernoulli

între punctele 0 şi 1

01

1

2

10

0

2

0

2.2rhz

p

g

Vz

p

g

V

unde V0 = 0; z0 = h; v

v hppp 10 şi rezultă:

hhg

Vh rv 0.2

2

1

Se exprimă viteza V1 în funcţie de viteza V în baza ecuaîiei de continuitate

SVsV .1 ghV

C

V

s

SVV

s

232,162,0

1


145

de unde: hhg

V.74,1.)32,1(

.2

22

1

dacă exprimăm şi 0r

h funcţie de ).07,0...04,0(0

hhh r relaţia lui Bernoulli devine:

hhhhhv .87,0.04,0.74,1

Se obeservă că depresiunea din ajutaj, hv este direct proporţională cu sarcina ajutajului h.

Pentru o funcţionare stabilă a ajutajului, presiunea din secţiunea îngustată nu trebuie să scadă

sub valoarea presiunii de vaporizare a fluidului, deoarece, în acest caz, fluidul devine bifazic

(gaz + fluid), iar curgerea normală prin ajutaj incetează.

Se impune restricţia p1 > pvap şi deci:

vap

v

pph

pp 010 sau

vappp

h0

.78,0 de unde .78,0

0 vappph

Rezultă că sarcina unui ajutaj nu trebuie să depăşească valoarea limită de mai sus care,

pentru lichide uzuale este de 6…7 m

Pentru calculul pierderii de sarcină prin ajutaj, se scrie ecuaţia lui Bernoulli între punctele

0 şi 2, considerând pierderile de sarcină prin orificiu şi prin destinderea bruscă:

dr

hzp

g

Vz

p

g

V2

2

2

10

0

2

0

2.2

unde V0 = 0; z0 = h; V2 = V; p2 = p0 ; z2 = 0 ; dr

h este pierderea de sarcină prin ajutaj. Rezultă:

dr

hg

Vh

.2

2

Din formula vitezei prin ajutaj ghV 282,0 rezultă hg

V 22

82,0.2

şi deci:

dr

hhh 282,0 de unde rezultă:

hhdr

.33,0

Comparativ cu pierderea de sarcină prin orificii, 0,04.h, se observă o creştere de circa 8

ori, ceea ce implică o scădere a presiunii fluidului şi implicit o creştere a vitezei şi debitului

acestuia.

12.6 Mişcări permanente în conducte sub presiune

Considerăm o conductă circulară alimentată de un rezervor suficient de mare, ca să

puntem considera sarcina constantă. Conducta evacuează lichidul, fie liber în atmosferă, fie intr-

un rezervor situat sub nivelul primului rezervor.


146

Fig.12.6 Evacuare în atmosferă Fig.12.7 Evacuare într-un rezervor

Ne propunem să determinăm o relaţie generală de calcul a vitezelor fluidului prin

conductă, luaâd în considerare pierderile de sarcină prin frecare, pierderi ce se produc de-a

lungul conductei.

Se neglijează frecările în interiorul rezervoarelor, datorită vitezelor reduse din interiorul

acestora, în comparaţie cu viteza din conductă.

In cazul a, aplicând relaţia lui Bernoulli între punctele 0 şi 1 se obţine:

rhzp

g

Vz

p

g

V1

1

2

10

0

2

0

.2.2

unde 00V ; 01 pp ; VV1 viteza din conductă

Relaţia lui Bernoulli devine:

rhg

Vzz

.2

2

10 sau rhg

Vh

.2

2

unde h este sarcina conductei

In cazul b, în ecuaţia lui Bernoulli se fac înlocuirile 00V ; 101 .hpp ; VV1 şi

se obţine:

rhg

Vhzz

.2)(

2

110 sau rhg

Vh

.2

2

De unde, se poate concluziona că sarcina conductei care debitează lichidul liber sau

înecat este analoagă sarcinii orificiului liber sau înecat.

Pentru a putea utiliza relaţia în scopul determinarii vitezei, va trebui definită semnificaţia

termenului rh , prin care înţelegem pierderile de sarcină care se produc în conductă. Acestea sunt

de trei categorii:

- pierderi de sarcină h’, la intrarea în conduct pe o distanţă de câteva diametre, unde

conducta se comporta ca un ajutaj. Deci:

g

V

g

V

g

V

g

Vhhh

drr.2

5,0.2

48,0.2

37,0.2

11,0'2222

0

- pierderile de sarcină liniare pe întreaga lungime a conductei h’’ , care se calulează cu

relaţia:

g

V

D

lh

.2''

2


147

- pierderile de sarcină locale care se înregistrează la fiecare tip de rezistenţă hidraulică,

cum ar fi: schimbări de direcţie, modificări bruşte de secţiune, coturi simple sau duble,

trecerea prin ventile. Acestea sunt de forma:

g

Vh

n

i.2

'''2

1

unde i este coeficientul de pierdere locală.

Putem scrie: '''''' hhhhr şi obţinem:

n

i

i

n

i

iD

l

g

V

g

V

g

V

D

l

g

V

g

Vh

1

22

1

222

5,1.2.2.22

5,0.2

şi de aici, formula de calcul a vitezei:

n

i

iD

l

hgV

1

5,1

.2 de unde V

DQ

4

2

Relaţia de mai sus ţine seama de categoriile de pierderi de sarcină şi se numeşte formula

exactă de determinare a vitezei.

Dacă conducta este lungă, astfel încât pierderile de sarcină liniare să aiba o pondere mare n

i

iD

l

1

5,1 (cazul conductelor de alimentare cu apă), formula vitezei se simplifică:

l

DhgV

.

...2 se numeşte formula vitezei pentru conducte lungi.

S-a determinat, practic, că o conductă poate fi considerată lungă dacă îndeplineşte

condiţia Dl .500 . In caz contrar se va numi conductă scurtă, iar viteza se determină cu formula

exactă.

In cazul conductelor lungi, sarcina conductei este:

''.2

2

hg

V

D

lh

Se numeşte pantă hidraulică raportul kIl

h

l

h '' şi dacă o introducem în formula vitezei

pentru conducte lungi, obţinem:

kIDg

l

hDgV

..2..2

iar debitul va fi:

kk IDKIDgD

VD

Q ),(..2

44

22

unde factoul K are o dimensiune de debit şi se numeşte modul de debit. Acest factor depinde de

diametrul conductei şi de coeficientul pierderilor liniare de sarcină. Deoarece conductele lungi

sunt de regulă conducte rugoase, în sens hydraulic, λ este funcţie de rugozitatea relativă D

, deci

modulul de debit depinde de diametrul conductei şi de rugozitatea relativă a pereţilor acestora.


148

12.7 Calculul conductelor compuse în serie

Considerăm o conductă formată prin sudarea cap la cap a mai multor conducte de lungimi

şi diametre diferite.

Fig.12.8

Conducta debitează lichidul între un rezervor superior A şi un rezervor inferior B.

Trebuie să se determine debitul conductei rezultante Q şi vitezele pe fiecare porţiune de conductă

),...,3,2,1( niVi

Trebuie să ţinem cont de pierderile de sarcină:

o pierderile locale de sarcină la intrarea în conduct;

o piederile liniare de sarcină pe fiecare porţiune de conduct;

o piederile locale de sarcină de la trecerea de la un tronson la altul.

Se aplică relaţia lui Bernoulli între punctele 0 şi 1

g

V

D

l

g

V

g

V

D

l

g

V

g

V

D

l

g

Vz

p

g

Vz

p

g

V

n

n

n2

...222.2.2

5,0.2.2

2

1

2

123

2

1

2

22

2

112

2

1

1

11

2

11

1

2

10

0

2

0

unde vom admite ca cunoscute: 1,;;;; iiiii hDl iar:

110 . php si 00V

Relaţia lui Bernoulli devine: n

i

n

i

i

ii

i

i

i

i

n

g

V

g

V

D

l

g

Vz

hp

g

Vz

p

1 1

2

1

1,

22

11

10

2

0

0

2225,0

.

2 de unde:

n

i

i

ii

n

i

i

i

i

i

n

g

V

g

V

D

l

g

V

g

Vh

1

2

1

1,

1

22

1

2

2225,0

2

Pentru determinarea debitului care este acelaşi, în baza ecuaţiei de continuitate, se

foloseşte relaţia:

QD

VQ i

ii4

2

de unde i

iD

QV

4

2

122

22

2

16

2

1Q

gD

QV

gi

i Relatia lui Bernoulli devine:

2

1

11,

2

1

2

1

2 .5,0 QQD

lQQh

n

i

iii

n

i

i

i

i

in de unde

n

i

iii

n

i

i

i

i

inD

l

hQ

1

11,

1

1.5,0


149

12.8 Calculul conductelor compuse in paralel

Consideram n conducte având extremităţile A şi B comune:

Fig.12.9

Se admite că sunt cunoscute elementele iiii Dl ;;; . Unde prin i am însumat

coeficienţii tuturor rezistenţelor hidraulice de pe conducta i. Iniţial, se va demonstra că pierderea

de sarcină liniară datorată frecărilor de-a lungul oricărei conducte este aceiaşi. Pentru aceasta,

scriem relaţia lui Bernoulli între punctele A şi B, de-a lungul unei linii de curent care, este

conţinută în conducta i.

irB

BBA

AA hzp

g

Vz

p

g

V

22

22

de unde:

Ctzzpp

g

VVh BA

BABAri 2

22

Pierderea de sarcină, de mai sus, se poate determina cunoscând debitul Q, îainte şi după

ramificare şi măsurând presiunea în punctele A şi B. Notând această pierdere cu hr se poate scrie

relaţia:

g

V

g

V

D

lh i

i

i

i

i

ir22

22

Viteza Vi poate fi exprimată în funcţie de debitul prin conducta respectivă, ca în exemplul

precedent:

2

iii QV şi vom obţine:

i

i

i

iiirD

lQh 2 de unde

i

i

iii

r

D

l

hQ

Folosind ecuaţia de continuitate n

i

iQQ1

se obţine:

n

i

i

i

i

ii

r

n

i

i

i

i

ii

r

D

lh

D

l

hQ

11

1

Exprimând pe hr şi apoi pe Qi obţinem:


150

n

i

i

i

iii

r

D

l

Qh

1

1 şi

i

i

i

ii

n

i

i

i

iii

D

l

D

l

Q

Q

1

1

Curs + Proiect Mecanica Fluidelor

Documents

Transcript of Curs + Proiect Mecanica Fluidelor