Curs MFL Mecanica Fluidelor

89
MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON 1 Curs Nr,1 NOTIUNI INTRODUCTIVE 1.1.Generalităţi Mecanica teoretică defineşte două categorii de corpuri: solide (rigide şi deformabile) şi fluide (lichide şi gaze). Mecanica fluidelor studiază legile de echilibru şi mişcarea acestora, precum şi interacţiunea lor când intra în contact cu corpurile solide. Mecanica fluidelor se împarte în trei părţi: -Statica fluidelor, care studiază legile şi condiţiile de echilibru ale fluidelor şi acţiunea lor asupra solidelor cu care intră în contact. -Cinematica fluidelor, care studiază mişcarea acestora fără a ţine cont de forţele care ar putea interveni să modifice starea de mişcare. -Dinamica fluidelor, care studiază legile de mişcare ale fluidelor şi interacţiunea lor cu corpurile solide. O particularitate distinctivă a fluidelor în raport cu corpurile solide este fluiditatea lor, cu alte cuvinte au o rezistenţă nesemnificativă la forfecare iar la cea mai mică deformaţie, forţele de rezistenţă ale fluidelor, la acea deformaţie, tind către zero. Deci sub acţiunea unor forţe exterioare relativ mici, pot căpăta deformaţii mari, luând forma recipientului solid în care se găsesc. Lichidele sunt acele fluide care pot fi considerate, practic, incompresibile, cu alte cuvinte dependenţa dintre densitate şi presiune poate fi neglijată. Nu acelaşi lucru se întâmpla cu gazele. Fluidele sunt studiate în Mecanica fluidelor ca medii continue, omogene şi izotrope. Un mediu este continuu şi omogen, dacă are aceiaşi densitate în orice punct şi este izotrop dacă prezintă aceleaşi proprietăţi în toate direcţiile. Există puncte, linii sau suprafeţe de discontinuitate în fluide, care prezintă condiţii specifice la limită. 1.2.Particula fluidă Mecanica fluidelor face abstracţie de structura acestora, considerând fluidul un mediu continuu. Teoretic acesta poate fi împărţit în elemente oricât de mici. Astfel se obţine particula de fluid, de formă oarecare şi de dimensiuni arbitrar de mici, care păstrează caracteristica de mediu continuu în raport cu care se studiază repausul şi mişcarea acstuia. Mărimile fizice (viteză, presiune, densitate, etc.) la un moment dat t sunt cele măsurate în centrul de masa al particulei. Omogenitate şi izotropia permit ca relaţiile stabilite pentru particula de fluid să fie extinse la întreaga masa a fluidului. 1.3.Modele de fluid In Mecanica fluidelor sunt acceptate urmatoarele modele de fluid: - Fluid uşor (fără greutate); - Fluid ideal (lipsit de vâscozitate, modelul Euler) - Fluid vâscos (modelul Newton); - Fluid incompresibil (fără variaţii de volum la variaţii de presiune, modelul Pascal) 1.4.Proprietăţile fizice comune fluidelor Proprietatile fizice inflentează în mod semnificativ comportarea fluidelor în starea de repaus şi în mişcare. Ele sunt influenţate de forţele masice şi forţele de contact (presiune şi tensiune). Cele care influenţează în mod semnificativ comportarea fluidelor sunt:

description

Curs pentru facultate la Mecanica Fluidelor

Transcript of Curs MFL Mecanica Fluidelor

Page 1: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

1

Curs Nr,1

NOTIUNI INTRODUCTIVE

1.1.Generalităţi Mecanica teoretică defineşte două categorii de corpuri: solide (rigide şi deformabile) şi fluide (lichide şi gaze). Mecanica fluidelor studiază legile de echilibru şi mişcarea acestora, precum şi interacţiunea lor când intra în contact cu corpurile solide. Mecanica fluidelor se împarte în trei părţi:

-Statica fluidelor, care studiază legile şi condiţiile de echilibru ale fluidelor şi acţiunea lor asupra solidelor cu care intră în contact. -Cinematica fluidelor, care studiază mişcarea acestora fără a ţine cont de forţele care ar putea interveni să modifice starea de mişcare. -Dinamica fluidelor, care studiază legile de mişcare ale fluidelor şi interacţiunea lor cu corpurile solide. O particularitate distinctivă a fluidelor în raport cu corpurile solide este fluiditatea lor, cu alte cuvinte au o rezistenţă nesemnificativă la forfecare iar la cea mai mică deformaţie, forţele de rezistenţă ale fluidelor, la acea deformaţie, tind către zero. Deci sub acţiunea unor forţe exterioare relativ mici, pot căpăta deformaţii mari, luând forma recipientului solid în care se găsesc. Lichidele sunt acele fluide care pot fi considerate, practic, incompresibile, cu alte cuvinte dependenţa dintre densitate şi presiune poate fi neglijată. Nu acelaşi lucru se întâmpla cu gazele. Fluidele sunt studiate în Mecanica fluidelor ca medii continue, omogene şi izotrope. Un mediu este continuu şi omogen, dacă are aceiaşi densitate în orice punct şi este izotrop dacă prezintă aceleaşi proprietăţi în toate direcţiile. Există puncte, linii sau suprafeţe de discontinuitate în fluide, care prezintă condiţii specifice la limită. 1.2.Particula fluidă

Mecanica fluidelor face abstracţie de structura acestora, considerând fluidul un mediu continuu. Teoretic acesta poate fi împărţit în elemente oricât de mici. Astfel se obţine particula de fluid, de formă oarecare şi de dimensiuni arbitrar de mici, care păstrează caracteristica de mediu continuu în raport cu care se studiază repausul şi mişcarea acstuia. Mărimile fizice (viteză, presiune, densitate, etc.) la un moment dat t sunt cele măsurate în centrul de masa al particulei. Omogenitate şi izotropia permit ca relaţiile stabilite pentru particula de fluid să fie extinse la întreaga masa a fluidului. 1.3.Modele de fluid

In Mecanica fluidelor sunt acceptate urmatoarele modele de fluid: - Fluid uşor (fără greutate); - Fluid ideal (lipsit de vâscozitate, modelul Euler) - Fluid vâscos (modelul Newton); - Fluid incompresibil (fără variaţii de volum la variaţii de presiune, modelul Pascal)

1.4.Proprietăţile fizice comune fluidelor

Proprietatile fizice inflentează în mod semnificativ comportarea fluidelor în starea de repaus şi în mişcare.

Ele sunt influenţate de forţele masice şi forţele de contact (presiune şi tensiune). Cele care influenţează în mod semnificativ comportarea fluidelor sunt:

Page 2: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

2

Densitatea Densitatea într-un punct oarecare al fluidului se defineşte ca fiind masa unitatii de volum:

Vdmd

Vm

V ..

.

.lim0

unde: m. este masa unitatii de volum V.

In cazul unui fluid omogen, densitatea va fi Vm

, care în Sistemul International (SI) se măsoară în [kg/m3]

Greutatea specifică

Greutatea specifică este proprietatea fluidelor de care depinde mărimea forţelor masice sau volumice şi se defineşte ca greutate a unităţii de volum:

VdGd

VG

V ..

.

.lim0

In cazul unui fluid omogen, greutatea specifică va fi VG

, care în SI se măsoară în [N/m3].

Se poate exprima şi în sistemul MKfS in [kgf/m3] Greutatea specifică a apei distilate la 40C şi la presiunea atmosferică este

33 10009810mkgf

mN

Greutatea specifică este legată de densitatea prin relaţia g. Pentru lichide, densitatea şi greutatea specifică sunt practic constante la variaţii de presiune şi scad nesemnificativ la creşterea temperaturii. Compresibilitatea izotermică

Compresibilitatea izotermică este proprietatea fluidelor de a-şi modifica volumul sub acţiunea variaţiei de presiune, la temperatură constantă. Compresibilitatea se manifestă sub acţiunea forţelor de suprafaţă (presiuni). Presiunea care determină modificarea de volum este normală la suprafaţa care limitează volumul lichidului.

In cazul unei variaţii de presiune p. aplicată unui fluid de volum V aflat la presiunea p se va produce o

variaţie de volum VV /. proporţională cu variaţia de presiune, după relaţia:

pVV

.. sau dacă variaţiile sunt infinitezimale dp

VdV .

Unde este coeficientul sau modulul de compresibilitate [m2/N], iar semnul minus arată că la o creştere de presiune îi corespunde o scădere de volum.

Există fenomene în Mecanica fluidelor care se studiază ţinand cont de compresibiliitatea lor. Este vorba despre lovitura de berbec sau sonicitatea fondată de Gogu Constantinescu în 1916.

Se mai poate defini şi modulul de elasticitate care este inversul modulului de compresibilitate:

dVdpV

1

[N/m2]

Relaţia poate fi exprimată şi funcţie de densitatea cunoscând că masa fluidului este Vm . = const.,

deci rezultă 0dm sau 0.. dVdV . De unde:

d

VdV

Page 3: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

3

In acest caz valorile modulelor de compresibilitate şi de elasticitate se calculează cu relaţiile:

dpd

1 si

ddp

Fluidul al cărei variaţie a densităţii funcţie de variaţia de presiune este aproximativ egală cu zero este fluid incompresibil.

Stiind că viteza de propagare a sunetului, după Newton, este

c , se poate deduce:

dpdd

dpc

1

Analizând expresia de mai sus, rezultă că, dacă 0dpd , viteza sunetului tinde către infinit, adică avem de+a face cu o propagare instantanee a sunetului, ceea ce contrazice realitatea fizică. Iată de ce studiul fenomenelor de propagare a sunetului necesită luarea în considerare a compresibilităţii fluidelor. Dilataţia termică

Odată cu creşterea temperaturii unui fluid are loc şi o creştere de volum, care poate fi exprimată cu relaţia:

1VV

Unde: 1 este coeficientul de dilataţie termică şi are dimensiunea inversă temperaturi [θ-1] deci se măsoară în [grd-1] Adeziunea la suprafeţe solide

Adeziunea la suprafeţele solide cu care fluidul intră în contact este un fenomen asemănător cu coeziunea (atracţia dintre particulele vecine). Forţa de adeziune depinde de mai mulţi facori: natura suprafeţei, natura fluidului, temperatură. Stratul de fluid aderent la corpurile solide este de ordinul unei sutimi de milimetru şi acesta nu participă la mişcarea fluidului. Vâscozitatea

Vâscozitatea este proprietatea fluidelor de a se opune deformărilor ce nu constituie reduceri ale volumului lor, prin dezvoltarea unor eforturi unitare, dintre care cele mai specifice sunt eforturile tangenţiale ce se dezvoltă între straturile de fluid aflate în mişcare. Putem spune că dacă fluidul se află în mişcare, în diferite straturi ale sale (plane de separare) apar forţe tangenţiale, care se opun variaţiei formei volumului considerat, frânează mişcarea şi modifică repartiţia vitezelor.

Vâscozitatea a fost pusă în evidenţă, experimental, de către Newton.

Fig. 2,3 Experienţa lui Newton

y

x

h

U(y)

Page 4: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

4

Intre două plăci de secţiune S dintre care, placa inferioară este fixă, iar placa superioară se deplasează cu viteza u Distanţa dintre cele două plăci este h. Intre cele două plăci se află lichid, care se presupune că este alcătuit din mai multe straturi. Stratul adeziv la placă superioară are aceiaşi vitezş cu placa. Atracţia dintre acest strat şi următorul face ca şi acesta să fie antrenat cu o viteză mai mică şi aşa mai departe, până la stratul aderent la placa fixă, care nu se mişcă. Experimentul a arătat o repartiţie liniară a vitezei, care este proporţională cu distanţa y de la placa inferioară

u(y)=y/h.U . Vâscozitatea se manifestă prin eforturi tangenţiale care dau o rezultantă .F ߬ = ி

ௌ care este proportională cu ௨

deci ߬ = ߟ ௨

Cum distanţa dintre două straturi este infinit mică dy , care alunecă unul faţă de altul cu viteza relativă du se poate scrie:

dydu

Această relaţie este cunoscută sub numele de ipoteza lui Newton. Mărimea ߟ se numeşte vâscozitate dinamică, caracterizează vâscozitatea fluidului şi depinde de natura acestuia. In Sistemul International se măsoară în [kg/m.s = N.s/m2] Raportul vâscozitatea dinamică şi densitatea fluidului se notează cu ν şi se numeşte vâscozitate cinematică.

Unitatea de măsură, în Sistemul International, pentru vâscozitatea cinematică este [m2/s], iar în sistemul CGS este stokes [cm2/s] Vâscozitatea cinematică, la lichide, scade cu creşterea temperaturii, în timp ce la gaze, creşte.

1.5 Proprietăţile fizice specific lichidelor Tensiunea superficială

Între moleculele unui lichid se exercită forţe de interacţie numite forţe de coeziune. Fiecare moleculă a lichidului este supusă forţelor determinate de moleculele înconjurătoare. Pentru moleculele din interiorul lichidului rezultanta acestor forţe va fi nulă deoarece distribuţia acestor forţe este uniformă în toate direcţiile. Pentru moleculele de la suprafaţa lichidului rezultanta acestor forţe nu va fi nulă deoarece distribuţia acestor forţe nu mai este aceeaşi în toate direcţiile. Rezultanta acestor forţe va fi perpendiculară pe suprafaţa lichidului şi îndreptată spre interiorul acestuia. Stratul de lichid de la suprafaţă numit strat superficial va exercita deci o anumită presiune asupra lichidului. Grosimea acestui strat precum si presiunea pe care o exercită sunt foarte mici.Această presiune explică compresibilitatea redusă a lichidelor.

Suprafaţa liberă este modelată printr-o membrană perfect elastică, solicitată în mod uniform de un efort unitar cu intensitate constantă, independent de punctual de aplicaţie şi de direcţie.

Datorită interacţiei dintre moleculele stratului superficial cu moleculele lichidului şi cu moleculele mediului extern, stratul superficial va avea o energie potenţială superficială proporţională cu suprafaţa liberă a lichidului. La echilibru, această energie trebuie să fie minimă, deci şi suprafaţa liberă trebuie să fie minimă. De aici rezultă că suprafaţa de separare lichid-mediu extern se curbează, tinzând să devină sferică, la echilibru. Dar o suprafaţă se menţine curbă dacă asupra ei acţionează în fiecare punct forţe tangente la ea şi perpendiculare pe conturul său. Acestea se numesc forţe superficiale sau forţe de tensiune superficială. Ele sunt deci:

- tangente la suprafaţa liberă a lichidului - uniform distribuite pe lungimea conturului - perpendiculare pe contur.

Page 5: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

5

Se poate afirma că forţa de tensiune superficială este o forţă de tensiune periferică, prin care un volum dat de fluid tinde să capete o pătură periferică minimă. Ea există atât la lichide cât şi la gaze.

Coeficientul de tensiunea superficială, σ, este prin definiţie forţa de tensiune superficială exercitată pe unitatea de lungime de pe suprafaţă, deci:

lF

unde l este lungimea unui contur din stratul superficial pe care se exercită forţa F. Coeficientul de tensiune superficial se măsoară în [N/m].

Coeficientul de tensiune superficială depinde de natura lichidului şi scade cu creşterea temperaturii. Capilaritatea

Capilaritatea este o consecinţă a proprietăţilor de aderare la suprafeţele solidelor cu care fluidele intră în contact precum şi a tensiunii superficiale. Denivelarea h care apare în tuburile capilare este dată, în primă aproximaţie de legea lui Jurin

Fig.2.5 Denivelarea suprafetei libere in tuburi capilare

gr

h..

.2

Pentru lichide neaderente (mercurul faţă de sticlă), meniscul este convex iar în tubul capilar se formează o denivelare h < 0.

Studiul fenomenelor capilare prezintă importanţă în studiul fenomenelor de infiltraţii, în măsurători efectuate cu aparate ce cuprind tuburi capilare. Absorbţia gazelor

Fenomenul în care gazele pătrund prin difuzie în masa unui fluid defineşte absorbţia. Acest lucru se produce în cazurile în care concentraţia componentelor gazelor care acţionează asupra fluidului este mai mare decât cea corespunzatoare gazelor aflate deja dizolvate în fluid. Absorbţia creşte odată cu creşterea presiunii şi este caracterizată, în timp, de perioada de semisaturaţie şi de coeficientul de solubilitate al gazului respectiv. Perioada de semisaturaţie este timpul în care jumatate din cantitatea de gaz a fost absorbită de fluid, iar coeficientul de solubilitate reprezinta raportul dintre volumul de gaz dizolvat şi volumul de lichid care-l conţine. Degajarea gazelor. Cavitaţia

Trecerea gazelor dizolvate în lichide în fază gazoasă defineşte degajarea gazelor (desorbţia), fenomenul invers absorbţiei. Această degajare se produce când concentratia gazelor aflate în soluţia lichidă este mai mare decât concentraţia gazelor din afara acesteia. Există tendinţa de echilibrare a concentraţiilor de gaze.

Cavitaţia este fenomenul ce se produce la scăderea presiunii până la nivelul presiunii de vaporizare a lichidului. In aceste condiţii, se formează cavităţi (bule) în interiorul lichidului aflat în curgere, care sunt umplute cu gaze continute anterior în lichid, cavităţi ce implodează (surpă) când lichidul ajunge din nou în zone cu presiuni mai mari decât presiunea de vaporizare din interiorul bulelor.

r

h r

h

Page 6: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

6

Acest fenomen de implozie a cavităţilor gazoase este însoţit de procese mecanice (presiuni foarte mari, microjeturi), chimice (se degajă oxigen activ), termice (temperaturi locale de mii de grade), electrice (fulgere în miniatură) ce au ca efect distrugerea pereţilor solizi ce mărginesc lichidul în zona respectivă.

Page 7: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

1

Curs Nr.2

STATICA FLUIDELOR

2.1 Definiţie Statica fluidelor studiază repausul acestora şi acţiunea lor asupra corpurilor solide cu care intră în contact. Problemele ce se studiază în acest capitol au o largă aplicativitate în practica inginerească. Sunt foarte importante problemele legate de acţiunea fluidului asupra corpurilor solide precum şi problemele legate de determinarea presiunii în interiorul unui fluid. 2.2 Forţele ce acţionează în interiorul fluidelor Asupra oricărui sistem de mase izolat acţionează două sisteme de forţe: forţe interioare şi forţe exterioare. Pentru ca sistemul de mase să fie în echilibru trebuie ca suma acestor forţe să fie egală cu zero. Intrucât forţele interioare sunt egale şi de sens opus, înseamnă că echilibrul este asigurat când suma forţelor exterioare este zero. In fluidele aflate în repaus nu apar forţe de vâscozitate (tangenţiale), acestea fiind condiţionate de mişcare. Prin urmare, relaţiile din statica fluidelor sunt valabile atât pentru fluidele ideale cât şi pentru cele reale. Intr-un fluid aflat în repaus acţionează două forţe, care îl echilibrează: forţele masice şi forţele de presiune. Forţele masice se datorează prezenţei câmpurilor exterioare şi sunt analoage celor din mecanica clasică. Forţele masice sunt forţele de greutate datorate câmpului gravitaţional exterior masei de fluid considerate. Forţele de suprafaţă au acelaşi rol ca forţele de legătură din mecanica rigidului. Forţele de suprafaţă sunt forţe de presiune. Pentru a cunoaşte natura forţelor, acestea se pot transforma în forţe exterioare şi putem demonstra acest lucru astfel: secţionăm masa unui fluid în două părţi ca în figura 3.1

Fig.2.1

Dacă îndepărtăm masa m2 , pentru ca masa m1 să rămână în echilibru, masa m2 trebuie înlocuită cu o forţă exterioară, care reprezintă acţiunea asupra masei m1. Această forţă raportată la unitatea de suprafaţă reprezintă tensiunea sau efortul interior, care acţionează perpendicular pe suprafaţă. Dacă forţa nu ar fi perpendiculară pe suprafaţa elementară ar admite şi o componentă tangenţială, ceea ce înseamnă o scoatere din echilibru al masei m1,

m2 m1

ΔF

ΔS

Page 8: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

2

In cazul fluidelor, eforturile interioare sunt presiuni, ele definind presiunea hidrostatică. Intr-un punct oarecare al suprafeţei de separare din interiorul unui fluid în repaus se poate scrie relaţia:

dSdF

SFp

S

0

lim

Dacă ΔS tinde către zero (un punct al secţiunii de separare), presiunea este funcţie de coordonatele punctului, iar forţa elementară de suprafaţă dF se numeşte forţă elementară de presiune. Intr-un fluid în repaus presiunea este o mărime scalară, ceea ce înseamnă că valoarea presiunii nu depinde de orientarea arbitrară a suprafeţei S şi pentru a demonstra acest lucru se detaşează din masa de fluid în repaus un tetraedru elementar, ca în figura 2.2.

Fig.2.2

Normala la suprafaţa ABC de arie ΔS este dirijată spre exteriorul volumului de fluid şi face cu axele de coordonate unghiurile 푛. 푥, 푛,푦 si 푛, 푧 . Forţele de presiune pe suprafeţele tetraedrului sunt reprezentate în fig.3.2. Asupra tetraedrului vor acţiona forţele de presiune px,py,pz şi pn precum şi forţa masică unitară de componente fx , fy şi fz, care trebuie să se echilibreze. Ecuaţiile de echilibru pe direcţia celor trei axe sunt:

06

.),cos(2

dxdydzfxndSpdydzp xnX

06

.),cos(2

dxdydzfyndSpdxdzp ynY

06

.),cos(2

dxdydzfzndSpdxdyp znZ

Deoarece 2

),cos( dydzxndS 2

),cos( dxdzyndS 2

),cos( dxdyzndS

reprezentând proiecţiile suprafeţei ABC pe planurile oxy, oxz şi oyz vom obţine relaţiile

3

. dxfpp xnX 3

. dyfpp ynY 3

. dzfpp znZ

Trecând la limită, tetraedul tinzând către punctual O, rezultă relaţiile: px = py =pz =pn =p(O) =p(x,y.z)

x y

z

dx dy

dz px 풅풚풅풛ퟐ

py

Pz

Pn dS O

B A

C

Page 9: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

3

In concluzie, presiunea nu depinde de înclinarea suprafeţei ABC, deci presiunea într-un fluid în repaus formează un câmp scalar. 2.3 Ecuaţiile fundamentale ale hidrostaticii Ecuaţiile fundamentale ale staticii fluidelor se obţin din condiţia echilibrării forţelor care acţionează asupra unei mase oarecare de fluid aflată în repaus. Pentru a demonstra acest lucru, desprindem dintr-o masă de fluid o particulă infinit mică de forma unui paralelogram a cărui muchii sunt egale cu dx, dy, dz.

Fig.2.3 Particula se găseşte în echilibru sub acţiunea forţelor superficiale de contact şi a forţelor masice. Considerând că în centrul volumului elementar avem presiunea p variaţia ei pe feţele

paralele pe directia unei axe sunt cu ∓ , ∓ si respectiv ∓ , mai mici sau mai

mari. Forţele superficiale rezultă din înmulţirea presiunii cu elementul de suprafaţă. Tinând cont

că asupra elementului de volum acţionează şi forţele masice, a caror acceleraţie o notăm cu 푓⃗ , ecuaţiile echilibrului hidrostatic, proiectate pe cele trei direcţii sunt:

0.22

dxdydzfdydzdxxppdydzdx

xpp x

0.22

dxdydzfdxdzdyyppdxdzdy

ypp y

0.

22

dxdydzfdxdydzzppdxdydz

zpp z

x

y

z

(풑 + 흏풑흏풙

풅풛ퟐ

)dxdy

(풑 + 흏풑흏풙

풅풙ퟐ

)dydz

(풑 + 흏풑흏풚

풅풚ퟐ

)dxdz

(풑 − 흏풑흏풛

풅풛ퟐ

)dxdy

(풑 − 흏풑흏풚

풅풚ퟐ

)dxdz

(풑 − 흏풑흏풙

풅풙ퟐ

)dydz M

dx dy

dz

Page 10: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

4

După efectuarea calculelor rezultă:

01

xpf x

01

ypf y

01

zpf z

Acest sistem de ecuaţii sunt cunoscute sub denumirea ecuaţiile lui Euler din hidrostatică. Forma vectorială a sistemului este: 푓 ⃗ − 푔푟푎푑. 푝 = 0

Relaţia de mai sus este valabilă pentru fluide incompresibile (ρ = const). In cazul în care densitatea fluidului depinde de presiune [ρ = ρ(p)] ecuaţia se scrie sub forma:

0. dpgradfm

Rezultă că în cazul fluidului aflat în repaus, câmpul forţelor masice se scrie sub forma

unui gradient al unei funcţii scalare, deci este un câmp potenţial sau irotaţional ).0.( mfrot

Pentru ca ecuaţia: 푓 ⃗ − 푔푟푎푑. 푝 = 0 să poată fi integrată este suficient ca forţele

masice unitare să constituie un câmp potenţial sau irotaţional. Se notează cu U(x,y,z) potenţialul forţelor masice exterioare ţi vom avea: 푓⃗ = −푔푟푎푑.푈 sau în coordonate carteziene

푓 = − 푓 = − 푓 = − Ecuaţia fundamentală a hidrostaticii se poate scrie sub forma: 푔푟푎푑푝 + 푔푟푎푑푈 = 0

Dacă relaţia de mai sus se înmulţeşte cu 푑푟⃗ va rezulta forma diferenţială a ecuaţiei hidrostaticii: 푑푝 + 푑푈 = 0

Prin integrare se obţine

∫ + 푈 = 푐표푛푠푡 iar pentru ρ = const + 푈 = 푐표푛푠푡

Ceea ce reprezintă ecuaţia fundamentală a hidrostaticii. 2.4 Expresia potenţialului forţelor masice Aşa cum s-a arătat mai sus, condiţia ca un câmp de forţe masice să menţină un fluid în repaus este ca acesta să fie câmp potenţial, deci 푓⃗ = - grad U . Inmulţim expresia cu 푑푟⃗ şi vom obţine: 푑푈 = 푔푟푎푑푈푑푟⃗ =−푓⃗ 푑푟⃗ = −(푓 푑푥 + 푓 푑푦 + 푓 푑푧) 푈(푥, 푦, 푧) = −∫푓 푑푥 + 푓 푑푦 + 푓 푑푧 Cu fx ,fy si fz s-au notat componentele forţelor câmpului potenţial pe cele trei direcţii.

Page 11: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

5

2.5 Ecuaţia fundamentală a hidrostaticii în câmp gravitaţional Acţiunea forţelor masice în câmp gravitaţional este un caz particular al potenţialului

forţelor masice. Considerând acceleraţia gravitaţională constantă şi dirijată pe verticală (paralel cu axa oz) componentele forţelor masice sunt:

푓 = 0 푓 = 0 si 푓 = −푔 = − Potenţialul forţelor masice devine

푑푈 = 푑푧 = 푔.푑푧 de unde 푈 = 푔. 푧 + 푐표푛푠푡 Ecuaţia fundamentală a hidrostaticii în câmp gravitaţional devine: + 푈 = + 푔푧 = 푐표푛푠푡 în care termenii sunt potenţiale de presiune şi respectiv de

poziţie, iar dacă se împarte ecuaţia la g se obţine: + 푧 = 푐표푛푠푡 în care termenii ecuaţiei reprezinta înălţimi (au dimensiuni de lungime).

In câmp gravitaţional suprafeţele de presiune constantă sunt orizontale. Planele de presiune constantă se mai numesc si plane de nivel. Pentru a afla constanta din relaţia de mai sus se consideră un vas cu lichid aflat în repaus (fig.2.4)

Fig.2.4 Distribuţia presiunii într-un lichid aflat în repaus

Se scrie ecuaţia hidrostaticii pentru cele două puncte A şi B din fluid + 푧 = + 푧 Stiind că pA = pa putem calcula presiunea în punctul B

푝 = 푝 = 푝 + 훾(푧 − 푧 ) = 푝 + 훾. ℎ In concluzie, presiunea într-un punct oarecare din lichid este egală cu presiunea de deasupra lichidului la care se adaugă produsul γ.h unde h este adâncimea la care se măsoară presiunea. Pentru lichidele cu suprafaţă liberă, asupra cărora acţionează presiunea atmosferică, mărimea presiunii din interior la o anumită adâncime calculată cu relaţia 푝 = 푝 + 훾.ℎ reprezintă presiunea absolută. In cazul în care se calculează presiunea numai până la nivelul suprafeţei libere, cu relaţia 푝 = 훾.ℎ , presiunea astfel măsurată se numeşte presiune relativă. In cazul în care într-un vas se găsesc mai multe lichide imiscibile, aflate în repaus, distribuţia presiunilor este aratată în fig.2.5

H zA

zB

A

B h

pa

pa+γ.h

pa+γ.H

pa

Planul de referinţă

Page 12: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

6

Fig.3.5 Distribuţia presiunilor în cazul a trei fluide imiscibile

2.6 Interpretarea ecuaţiei fundamentale şi consecinţele ei Relaţia fundamentală a hidrostaticii cu reprezentare geometrică este data de ecuaţia: + 푧 = 푐표푛푠푡 = 퐻

unde: p /γ este înalţimea piezometrică, corespunzătoare presiunii absolute p; z este cota geometrică (cota faţă de un plan de referinţă ales arbitrar); Habs este sarcina hidrostatică corespunzătoare presiunii absolute. In fig.3.6 s-a reprezentat un rezervor închis ce conţine un lichid a cărui suprafaţă liberă este supusă la o presiune p0 mai mare decât presiunea atmosferică pa.

Fig.2.6 Reprezentarea geometrică şi verificarea experimentală a relaţiei fundamentale a hidrostaticii

H este sarcina hidrostatică corespunzătoare presiunii relative p – pa. Dacă p – pa>0, ceea ce corespunde unei presiuni relative pozitive se numeşte presiune manometrică, iar sarcina

h1

h2

h3

γ1

γ2

γ3

pa

pa+γ1h1

pa+γ1h1+γ2h2

pa+γ1h1+γ2h2+γ3h3

z

O(y) x

Habs

풑ퟏ휸

풑ퟐ휸

풑풂휸

Z1

Z2 Z3 Z4

p3-pa p4-pa

pa

H 1

2

3 4

p0

Page 13: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

7

hidrostatică poartă numele de sarcină manometrică. Dacă p – pa < 0, presiunea relativă se numeşte presiune vacuumetrică, iar sarcina hidrostatică se numeşte sarcinâ vacuumetrică. Dacă aplicăm ecuaţia hidrostaticii pentru punctele 3 şi 4 (fig.3.6), unde sunt plasate două tuburi piezometrice deschise la partea superioară (tuburi manometrice) vom avea:

Hzpp

zpp aa

4

43

3

- Dacă în ecuaţia + 푈 = 0 , în cazul fluidelor incompresibile p = const, atrage după

sine şi U=const, deci suprafeţele de presiune constantă sunt suprafeţe echipotenţiale (suprafeţe care au potenţialul forţelor masice constant). In repausul fluidelor suprafeţele echipotenţiale sunt şi suprafeţe izobare. - Forţa masică ce acţionează asupra unei particule de fluid este normală la suprafaţa echipotenţială (izobară) ce trece prin punctul de aplicaţie al forţei şi este îndreptată în sensul scăderii potenţialului (sensul creşterii presiunii). - Suprafeţele echipotenţiale nu se intersectează deoarece presiunea fiind o mărime scalară este unică fiecărui punct din mediul fluid. Dacă s-ar intersecta ar însemna ca într-un punct din mediul fluid să avem presiuni diferite. - Dacă suprafaţa este izobară (p = const) şi echipotenţială (U = const) rezultă că şi densitatea pe suprafaţa respectivă este constantă. In concluzie suprafaţa izobară este echipotenţială şi izodensă. - Din ecuaţia lui Clapeyron-Mendeleev a temperaturii 푇 =

. rezultă că, dacă p şi ρ

sunt constante, temperatura este constantă, cu alte cuvinte o suprafaţa izobară este echipotenţială, izodensă şi izotermă. - Suprafaţa de separare dintre două lichide imiscibile (휌 ≠ 휌 ) este echipotenţială. Acelaşi lucru se poate spune şi despre suprafaţa de separare dintre un lichid şi un gaz. Considerând că între două puncte infinit vecine ale aceleiaşi suprafeţe avem relaţia: 푑푝 = −휌 푑푈 = −휌 푑푈 rezultă (휌 − 휌 )푑푈 = 0 de unde dU =0 , deci U = const.

-Dacă forţele masice sunt neglijabile în raport cu cele de presiune, presiunea în fluid este constantă. Dacă 푓 ⃗=0 rezultă U = const, deci conform relatiei + 푈 = 푐표푛푠푡, p = const.

Această consecinţă poartă numele de principiul lui Pascal (dacă într-o zona a fluidului are loc o creştere de presiune, aceasta se transmite în toată masa fluidului). Pe acest principiu funcţionează maşinile hidraulice simple: presa hidraulică, acumulatorul hidraulic, cricul hidraulic, etc.

Page 14: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

1

Curs Nr.3 3.1 Presiunea relativă şi absolută. Unităţi de măsură La baza instrumentelor pentru măsurarea presiunilor stă ecuaţia presiunii din hidrostatică.

Fig.3.1

Diferenţa de presiune dintre aerul conţinut intr-un rezervor şi aerul atmosferic se masoară cu un tub în forma de U. (fig.3.1) Revenind la ecuaţia fundamentală a hidrostaticii scrisă sub forma:

H.constzg

p

şi analizând dimensiunile,

se observă că fiecare din termenii relaţiei sunt înălţimi. In acest caz, pentru determinarea presiunilor este suficient să se măsoare înălţimea coloanei de lichid care produce aceeaşi presiune.

In figura 3.1 s-a reprezentat un rezervor pneumohidraulic, în care se găseşte un lichid având densitatea , iar la partea superioară o pungă cu gaz având presiunea 01 pp (presiunea atmosferică). Pentru determinarea presiunii în punctul M se utilizează două tuburi: unul închis şi vidat şi celălalt deschis la presiunea atmosferică. Dacă punctul M ar fi mobil şi odată cu el şi partea inferioară a celor tuburi, nivelul lichidului în cele două tuburi şi-ar păstra poziţia astfel:

în tubul vidat nivelul lichidului se va găsi în acelaşi plan, denumit plan barometric; în tubul deschis la presiunea atmosferică nivelul lichidului se va găsi în acelaşi plan,

denumit plan manometric. Dacă notăm cu p presiunea în punctul M, se pot scrie următoarele relaţii:

m0b1 ghpghghpp

Rezultă: gph b

- înălţimea barometrică

gpph 0

m

- înălţimea manometrică

zg

pHb

- sarcină barometrică

zgppH 0

m

- sarcină manometrică.

Atunci când 0hm sarcina se numeşte vacuumetrică.

Page 15: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

2

3.2 Unităţi de măsură Pentru presiune, unitatea de măsura în SI este newton pe metru patrat [N/m2], ce poartă denumirea de Pascal In CGS, unitatea de măsură este dyna pe centimetru patrat [dyn/cm2] 1 dyn/cm2 = 0,1 N/m2 Se mai utilizează bar-ul. 1 bar = 106 dyn/cm2 = 1 daN/cm2 = 105 N/m2 La fel de răspândită este şi atmosfera tehnica [at] 1 at = 1 kgf/cm2 = 9,81.104 N/m2 O altă măsură, la fel de răspândită este atmosfera fizică, care reprezintă presiunea ce ridică într-un tub barometric o coloana de 760 mm mercur la temperatura de 0oC într-o zona unde acceleraţia gravitaţională este 9,80665 m/s2. In practică, datorita utilizării unor instrumente de măsurare a presiunii cu lichide, se mai întâlnesc următoarele unităţi de măsurare:

- milimetri coloana de apă 1 mm col apa = 9,81 N/m2 - milimetri coloana de mercur 1mm col. Hg = 133,322 N/m2 se mai numeşte şi torr.

3.3 Instrumente pentru măsurarea presiunilor Măsurarea presiunii presupune uneori fie determinarea înălţimii barometrice bh fie a înălţimii manometrice mh . Acest lucru se realizează cu aparate speciale denumite manometre cu lichid, despre care ne vom ocupa in acest curs. In practică manometrele cele mai des utilizate sunt cele cu element elastic (membrană, burduf), cu piston sau electrice prevăzute cu traductoare piezoelectrice ce se bazează pe proprietatea unor materiale dielectrice cristaline, care supuse unor acţiuni mecanice se încarcă cu sarcină electrică. Instrumente cu lichid La acest tip de instrumente, presiunea se determină prin coloana de lichid. Acestea constau din tuburi de sticlă cu diametre mai mari de 6-7 mm în care se găseşte un lichid manometric. Pentru măsurarea presiunii relative într-un punct se folosesc tuburi manometrice numite piezometre simple. Pentru măsurarea diferenţei de presiune dintre două puncte se folosesc piezeometre diferenţiale. Tubul piezometric

Este un tub vertical închis şi vidat sau deschis la presiunea atmosferică. Deoarece originea de măsură a presiunii poate să fie vidul absolut sau o presiune de referinţă (ex. presiunea atmosferică) se utilizează două moduri de măsurare a presiunii.

m0b ghpghp

Page 16: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

3

Fig. 3.2 Tubul piezometric

Piezometrul cu mercur

Fig.3.3 Piezometrul cu mercur

Referitor la fig.3.3 se pot scrie următoarele relaţii:

21 pp ghpp1

1Hg02 ghpp ghghpp 1Hg0

În consecinţă, măsurând înălţimile 1hh şi cunoscând tipul lichidului se poate calcula presiunea în punctul M. Densitatea mercurului este 3

Hg m/Kg13560 .

Piezoametrul diferential Referitor la fig. 3.4 s-au făcut

următoarele notaţii: 1–robinet de egalizare; 2,3 – robinete ce închid cele două ramuri ale tubului cu mercur; 4,5 – robinete de purjare.

Notând cu E şi F două puncte de pe suprafaţa de separaţie situate în cele două ramuri ale tubului cu mercur putem scrie:

gxpp EA hxgpp GB

Fig.3.4 Piezometrul diferential

Cum: hgppp HgGFE înlocuind în prima relaţie şi scăzând membru cu membru

primele două relaţii va rezulta: HgBA hgpp

Page 17: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

4

Micromanometrul diferenţial

Fig. 3.5 Micromanometru diferenţial

Referitor la fig.3.5, notăm cu densitatea lichidului din micromanometru, celelalte

mărimi utilizate fiind figurate pe desen. Pentru a calcula presiunea fluidului din recipientul A utilizăm următorul algoritm: singlphgpp r00

0

2

0r

2

4dsin

4D

Din a doua relaţie rezultă:

sinDd1 2

2

0r

şi înlocuind în prima relaţie găsim:

2

2

00 Ddsingpp .

În consecinţă, cunoscând configuraţia geometrică a micromanometrului sin,D,d , tipul lichidului de măsură şi măsurând deplasarea acestuia în braţul înclinat 0 se determină presiunea p a fluidului din recipientul A.

Page 18: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

5

3.4 Repausul relativ al lichidelor în câmp gravitaţional, în mişcare de translaţie uniformă

Considerăm un rezervor prismatic care se deplasează uniform accelerat, cu o acceleraţie constantă a ca în figura 3.6.pe un plan orizontal. Se constată o înclinare a suprafeţei libere.

Fig. 3.6 Repausul relativ al lichidului într-un rezervor prismatic care se deplasează, pe orizontală, uniform accelerat

Se spune că un lichid ce se află într-un rezervor este în repaus relativ, dacă particulele din compunerea sa sunt în repaus în raport cu sistemul de referenţă mobil (x,y,z) ataşat rezervorului. In raport cu un sistem de referinţă fix, o particula din fluid va avea o viteză absolută va =vr +vt unde vr este viteza relativă a particulei faţă de sistemul mobil, iar vt este viteza de transport. Acceleraţia absolută a particulei va fi:

ctra aaaa Inmulţind relaţia de mai sus cu masa fluidului, relaţia echilibrului dinamic va fi:

ctra amamamam .... Deci acceleraţia absolută va fie egală cu acceleraţia relativă plus acceleraţia de transport şi acceleraţia Coriollis. Pentru ca fluidul să fie în repaus relativ, viteza relativă a particulelor

fluidului trebuie să fie nulă (vr = 0) şi deci 0ra şi 0ca , deci vom avea egalitatea:

ta amam .. Ecuatiile generale ale repausului relativ în mişcarea de translaţie Aşa cum s-a arătat mai sus, condiţia ca un fluid să fie în repaus relativ este:

ta amam .. sau 0.. ta amam sau 0 ia FF

Unde: aa amF . este forţa absolută formată din rezultanta forţelor masice şi a celor de presiune

ti amF . este forţa de inerţie. In aceste condiţii ecuaţia vectorială a repausului relativ se scrie sub forma:

im ffpgrad .1

a a

g

x

z

O(y)

h0

b

A

Page 19: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

6

Unde if este forţa de inerţie unitară cu 0. ifrot , deci se poate introduce o funcţie de potenţial

al forţelor de inertie unitare ii Ugradf . . In acest caz relaţia fundamentală a repausului relativ a lichidelor este : constUp T unde iT UUU Consecinţele ecuaţiei fundamentale a repausului relativ sunt analoage cu cele ale repausului absolut. Expresia potenţialului total se determină din relaţia:

Tiiim UgradUUgradUgradUgradff .)(..

sau x

Uff TiXX

;

yU

ff TiYY

;

zUff T

iZZ

deci: dzffdyffdxffU iZZiYYiXXT

Revenim la figura 3.17 şi scriem componentele forţelor masice şi de inerţie: 0Xf ; 0Yf ; gfZ af iX ; 0iYf ; 0iZf In acest caz: CgzaxgdzadxUT

Relatia fundamentală a repausului relativ al fluidelor se poate scrie sub forma: 1)( Cgzaxp unde constanta C1 se determină scriind relatia între un punct oarecare din masa fluidului şi punctul A a cărui poziţie este cunoscută A(b/2;h0) şi în care presiunea este p = p0. ).2/.()( 00 hgbapgzaxp Relaţia permite determinarea presiunii în orice punct al fluidului. Pe verticală, repartiţia presiunilor este identica cu cea de la repausul absolut.

Page 20: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

7

3.5 Repausul relativ al unui fluid dintr-un rezervor în mişcare de rotaţie uniformă Un alt exemplu de repaus relativ cazul unui rezervor cu lichid, care se roteşte în jurul axei sale cu o viteză unghiulară constantă ω (fig.3.7). La începutul mişcării nivelul lichidului este h0, iar componentele forţei unitare de masă sunt: 0Xf ; 0Yf ; gfZ Forţele de inerţie au componentele:

2.xf iX ; 2.yf iY ; 0iZf

Fig.3.7 Repausul relativ şi distribuţia presiunilor într-un cilindru circular ce se află în mişcare de rotaţie uniformă

Relaţia potenţialului total va fi:

CyxzggdzdyydxxUT )(2

... 222

22

Suprafaţa liberă a fluidului este un paraboloid de rotaţie. Ecuaţia de mai sus poate fi scrisă sub forma:

1

2222

2

2.)(

2. Crzgyxzg

sau 2

22

2C

grz

care reprezintă ecuaţia suprafeţei libere a lichidului

Se scrie ecuaţia de repaus între două puncte cunoscute A unde z = h, r = 0 şi B unde z=H şi r =R.

2

22

2C

gRHh

Cum volumul de fluid nu se schimbă în interiorul recipientului putem spune că volumul iniţial este egal cu cel după ce fluidul în mişcarea de rotaţie, s-a stabilizat:

hHRHRhR 220

2

21

H h0

h

r.ω2

g

A

γH

z

O y

B

ω

Page 21: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

8

sau 02hhH Inlocuind datele de mai sus în relaţia lui C2 se obţine:

2

22

0 4C

gRhh

sau

gRhH

4

22

0

In acest caz ecuaţia suprafeţei libere a lichidului, prin înlocuirea lui C2, va avea forma:

0

22

2

22hRr

gz

Ecuaţia fundamentală a repausului relativ în mişcarea de rotaţie (p + ρUT = C) ţinând seamă de expresia lui UT devine:

Crzgp

2.

22

Relaţia este valabilă pentru orice punct din masa de fluid. Repartiţia presiunilor pe pereţii recipientului este prezentată în fig.3.7, liniară pe pereţii laterali şi parabolică pe fundul acestuia. Repartiţia pe verticală este aceiaşi ca în cazul repausului absolut.

Page 22: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

1

Curs Nr.4 4.1 Acţiunea fluidelor în repaus pe pereţii solizi

Acţiunea unui fluid în repaus pe un perete solid se calculează însumând forţele elementare de presiune.

Considerăm o suprafaţă solidă de arie S asupra căreia se manifestă acţiunea apei aflată în repaus absolut. Pe elementul de suprafaţă de arie dA fluidul exercită forţă de presiune elementară: dSnpFd unde: n este versorul normalei orientat spre interiorul fluidului (fig. 4.1).

ndA

Fd

r

0

p

A

Fig.4.1

Fie r raza vectoare corespunzătoare suprafeţei elementare faţă de originea O a axelor de

coordonate. Momentul în raportul cu O al forţei elementare Fd este:

dSnpxrFdxrMd 0 În acest caz presiunea este constantă şi rezultă:

S

p SpndSpnF .... SpFp .

G

S

SC r

dS

dSrr

.

Actiunea fluidelor în repaus pe pereţii plani Acţiunea unui fluid uşor în repaus pe o suprafaţă plană este o forţă normală la suprafaţă, de mărime pS, care se aplică în centrul de greutate al suprafeţei. Considerăm un vas cu un perete înclinat şi alegem un sistem de axe convenabile conform figurii de

mai jos. În cazul fluidului greu presiunea este p = γ⋅h

dS

Page 23: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

2

Acţiunea unui lichid pe un perete plan înclinat

S S S

p dSyndSyndShnF .sin...sin....

unde: S

dSy. este momentul static al ariei S în raport cu axa x şi putem scrie:

S

G SydSy.

Deci: ShnSynF GGp ...).sin.(.

Rezultanta foţelor de presiune este normală la suprafaţă şi are valoarea egală cu greutatea unui cilindru de lichid având aria secţiunii egală cu S şi înălţimea egală cu adâncimea centrului de greutate al suprafeţei S. Poziţia centrului de presiune se determină în modul următor:

Sy

dSyr

dSy

dSyr

dSy

dSyr

dSh

dShrr

G

S

S

S

S

S

S

SC

..

.

..

.sin.

.sin..

.

..

Rezultă coordonatele centrului de presiune C, punctul de aplicaţie a forţei Fp:

Sy

dSyxx

G

SC

..

Sy

dSyy

G

SC

2

Unde s

xyJdSyx .. este momentul de inerţie centrifugal al ariei S şi S

xJdSy 2 momentul de

inerţie al ariei S faţă de axa x.

Rezulta: Sy

Jx

G

xyC si

SyJyG

xC

Dacă alegem convenabil sistemul de axe (axe de simetrie), 0xyJ deci şi 0Cx

Putem aplica teorema lui Steiner: SyJJ Gxx

2'

Page 24: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

3

De unde: Sy

Jyy

G

xGC

'

În cazul în care pe suprafaţa liberă a lichidului se exercită o presiune relativă 1P formulele stabilite sunt valabile dacă sistemul de referinţă se alege cu Ox la nivelul presiunii atmosferice, deci la înălţimea

11

ph

Dacă peretele de suprafaţă S este orizontal C coincide cu G şi presiunea este constantă pe toată suprafaţa.

În cazul fundului unui rezervor presiunea are mărimea γSH, unde S este aria secţiunii, H este

înălţimea lichidului şi nu depinde de forma vasului, figura de mai jos

Este un paradox hidrostatic deoarece forţa de presiune în mod aparent ar trebui să fie egală cu greutatea lichidului din fiecare vas. Se explica modul de aplicare al teoremei actiunii unui fluid greu in repaus pe o suprafata plana, calculandu-se actiunea apei pe stavila plana dretptunghiulara de inaltime H si latime b.

2..

21.

2HbHbHFp

HbH

HbHy

x

HC

C

3212

.

2

0

2

3

Page 25: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

4

Calculul se poate face si grafic, observand ca forta este egala cu aria diagramei presiunii relative inmultita cu latimea b

2..21..

21 HbbHHFp

Aceasta forta este normala la suprafata stavilei, are sensul de la fluid catre suprafata si punctul de aplicatie pe axa de simetrie verticala, la nivelul centrului de greutate al triunghiului presiunilor,

deci la o adancime egala cu H32 de la suprafata libera.

In figura de mai jos se dau valorile fortei de presiune si coordonatele centrului de presiune pentru cativa pereti de diferite suprafete geometrice intalniti in practica in mod curent Pe un perete dreptunghiular se poate face un calcul grafo-analitic (fig.4.4)

Fig.4.4

In cazul suprafeţei dreptunghiulare forţa elementară este: dF = ρ.gzb.dz1 Rezultanta forţelor elementare este:

1. zdzgzdFF Sub semnul integral, expresia reprezintă aria elementară dA. Suma lor reprezintă aria presiunilor A(AA’BB’), deci:

AghF .. Coordonata centrului de de presiune zC va fi:

A

dAzzC

1

Rezultă că forţa hidrostatică trece prin central ariei presiunilor. In particular, când suprafaţa dreptunghiulară S începe de la nivelul apei, aria presiunilor va fi un triunghi. In acest caz

sin2

..21hghF şi 11 3

2 hz

Acţiunea fluidelor în repaus pe pereţi curbi deschişi

În cazul unei suprafeţe curbe forţele de presiune elementare au direcţii diferite. Sistemul acestora va constitui un câmp spaţial vectorial care se reduce în orice punct la un torsor format dintr-o rezultantă şi un moment. Acest torsor este echivalent cu un sistem de trei forţe, în general neconcurente paralele cu axele sistemului de coordonate.

Forţa de presiune după o direcţie se defineşte ca fiind rezultanta proiecţiilor tuturor forţelor de presiune elementare pe acea direcţie.

h1

Page 26: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

5

Cu referire la fig. 4.5, am considerat o suprafaţă generată de o dreaptă perpendiculară pe planul figurii care conturează curba, având capetele A şi B. Forţa elementară de presiune Fd are componentele pe cele două direcţii dFx şi dFz care se calculează cu formulele:

zz

xx

dShgdShgdFdShgdShgdF

sincos

unde dSx şi dSz sunt proiecţiile suprafeţei curbe elementare dS după direcţiile axelor Ox şi Oz. Proiecţiile forţei rezultante de presiune după cele două direcţii se calculează cu relaţiile:

0''A

'A A

dv

zdFdF

xdFdA

'B B

xdA

h

x

''BzdA

Fig.4.5

xA xx hdSgF

zA zz hdSgF

Se observă că hdSz este volumul elementar coloanei de lichid ce se sprijină pe suprafaţa elementară dS. În consecinţă,

zA zhdS reprezintă volumul

coloanei de lichid care se sprijină pe conturul suprafeţei curbe şi relaţia (2.40) se poate rescrie:

zF gV Punctul de aplicaţie al forţei Fx este centrul de presiune a proiecţiei acestei suprafeţe pe planul yoz.

Punctul de aplicaţie al forţei Fz se determină scriind că momentul rezultantei faţă de Oy, respectiv Ox este egal cu suma momentelor forţelor elementare: zCz dFxxF .. si zCz dFyyF ..

vom avea relaţiile:

V

dVxxC

.

si V

dVyyC

.

de unde, rezultă că forţa Fz trece prin centrul de greutate al volumului V. Dacă cele doua forţe Fx şi Fz sunt coplanare, rezultanta lor va fi:

22zx FFF

Actiunea fluidelor in repaus pe suprafete curbe deschise In cazul suprafetelor curbe deschise, presiunea fluidului la inaltimea z este p = γ.z si notanad cu α. β si γ unghiurile facute de normal exterioara la suprafata elementara dS cu sensul pozitiv al axelor ox, oy si oz, fortele de presiune pe proiectiile suprafetelor pe cele trei planuri vor fi (fig.4.6):

z

dSz

dSx

Page 27: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

6

cos.. dSgzdFx

cos.. dSgzdFy

cos.. dSgzdFz Prin integrare se obtine:

xGxxxx SzdSzgdFF ,..

yGyyyy SzdSzgdFF ,..

Fig.4.6

VgdVgdSzgdFF xzz ..... V fiind volumul delimitat de suprafaţa S şi suprafaţa apei. Forţele Fx şi Fy se aplică în centrul de presiune al suprafeţelor Sx şi Sy, iar forţa Fz trece prin centrul de greutate al volumului V. Dacă cele trei componente sunt concurente, se compun după relaţia:

222zyx FFFF

In caz contrar ele se pot reduce la o forţă rezultantă şi un cuplu resultant.

Acţiunea fluidelor în repaus pe suprafeţe curbe închise Fie o suprafaţă închisă aflată într-un fluid şi un sistem de referinţă cu planul xoy situat pe suprafaţa liberă a fluidului (fig.4.7).

V

c

1F

2F

x0po

Fig.4.7

Proiecţia suprafeţelor DAC şi DBC pe planul yoz sunt egale. Forţele de presiune sunt şi ele egale şi de sens contrar, deci rezultanta forţelor de presiune pe directia ox este Fx = 0. Acelaşi lucru se întâmplă şi cu proiecţia pe planul xoz, deci şi Fy = 0. Pentru determinarea lui Fz se proiectează suprafeţele ABC şi ADB pe planul suprafeţei libere a lichidului, care coincide cu planul xoy. Notăm cu V1 volumul de lichid format de cilindrul cuprins între suprafaţa ADB şi proiecţia ei pe planul xoy şi cu V2 volumul de

de lichid cuprins între suprafaţa ABC şi proiecţia ei pe planul xoy. In acest caz pe suprafaţa ADB va acţiona forţa F1 = ρ.g.V1 , iar pe suprafaţa ABC forţa F2 = ρ.g V2

Forţa rezultantă va fi: F = ρ.g.V2 – ρ.g.V1 = ρ.g (V2 – V1) = ρ.g.V unde V este volumul corpului scufundat.

Fy

Fx

Fz

F

A B

C

D

y

z

Page 28: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

7

Relaţia de mai sus exprimă legea lui Arhimede. Asupra unui corp scufundat într-un fluid se exercită o forţă ascensională egală cu greutatea volumului de fluid dislocuit.

Page 29: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

1

Curs Nr.5

5.1 Plutirea corpurilor Asupra unui corp scufundat într-un lichid acţionează două forţe:

- Greutatea proprie FG = γmV , unde γm este greutatea specifică medie, şi - Forţa arhimedică FA = γ.VC , unde VC este volumul dislocuit de corpul scufundat. Dacă FA < FG corpul se scufundp. Dacă FA = FG corpul rămâne în echilbru şi avem de-a

face cu o plutire cunoscută ca plutirea submarină. Dacă FA > FG corpul pluteşte la suprafaţa lichidului creinduşi un volum, numit volum de carenă (VC). Astfel, condiţia de plutire a unui corp este:

FG = γmV = γ VC = FA Elementele hidraulice ale unui plutitor Plutitorul este un corp solid, care lăsat liber se scufundă parţial într-un lichid. Elementele hidraulice ale plutitorului sunt prezentate în figura 5.1.

Fig.5.1

Un corp aflat în plutire are două părţi, o parte sub apă numită parte imersă sau carenă şi o parte deasupra apei numită parte emersă. Centrul de greutate al plutitorului se notează cu G. Volumul lichidului dislocuit de plutitor se numeşte volum de carenă (VC) Centrul de greutate al volumului de lichid dislocuit de plutitor se numeşte centru de carenă şi se notează cu C. Adâncimea maximă la care se află carena se numeşte pescaj (T).

Planul suprafeţei libere a lichidului se numeşte planul plutirii. Intersecţia dintre planul plutirii şi corpul plutitorului defineşte linia de plutire. Aria suprafeţei marginită de linia de plutire se numeşte aria de plutire. Oscilaţiile plutitorului în plan transversal (în jurul axei oy) se numesc ruliu, iar în plan longitudinal (în jurul axei ox) se numesc tangaj. La diferite înclinări ale plutitorului, greutatea lui rămânând aceiaşi, forma volumului de carenă se modifică, dar ca mărime este acelaşi (izocarene). Modificarea formei duce la o altă poziţie a centrului de carenă. La inclinările plutitorului, centrul de carenă se deplasează pe o suprafaţă numită suprafaţa centrelor de carena (SC). In cazul în care înclinarea plutitorului are

M

G

C

R

T

H

ε SC

x

z

Page 30: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

2

loc dupa o singură axa (ox sau oy), centrul de carenă se deplasează pe o curbă numită curba centrelor de carenă.

Centrul instantaneu de rotaţie a centrului de carenă în cazul inclinării după o singură axă, descriind curba centrelor de carenă se numeşte metacentru (M), iar distanţa de la centrul de carenă (C ) la metacentrul (M) se notează cu R şi se numeşte rază metacentrică ( CM )

Distanţa de la metacentrul M la centrul de greutate al plutitorului ( MG ) se numeşte înălţime metacentrică ce se notează cu H.

Distanţa de la centrul de greutate al plutitorului la centrul de carenă ( CG ) se numeşte excentricitate şi se notează cu ε. 5.2 Teoremele plutirii Teorema a I-a a plutirii: Axa de înclinare trece prin centrul de greutate al ariei plutirii (teorema lui Lacroix)

Fig.5.2

Pentru a demonstra această teoremă s-a prezentat în fig.5.2 un plutitor de formă paralelipipedică, care are aria plutirii in planul xOy. Planul plutirii este marcat de dreptunghiul ABCD. Dacă se înclină plutitorul cu unghiul α, noua arie a plutirii va fi A’B’C’D’. Intersecţia celor două plane de plutire se face dupa axa Oy. Deoarece carenele au volume egale înseamnă că şi volumele EE’C’CDD’, pe care-l notăm cu V1 şi ABE’EEA’B’, pe care-l notăm cu V2 sunt egale. In acest caz putem scrie relaţiile:

CDEE

dStgxV'

1 )...( ABEE

dStgxV'

2 )...( deoarece pe suprafaţa corespunzatoare volumului

V2 , x < 0. Din egalitatea celor două volume rezultă

CDEE ABEE

dSxtgdSxtg' '

0...

sau ABCD

G SxxdS 0

de unde rezultă 0Gx ceea ce înseamnă că axa Oy trece prin centrul de greutate al ariei plutirii.

A

B

B’

A’

C

C’

D’

D E

E’

O

α x

y z

Page 31: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

3

Teorema a II-a a plutirii: Planul tangent într-un punct C la suprafaţa carenelor este paralel cu planul de plutire corespunzător (teorema lui Dupin)

Fig.5.3

Pentru a demonstra acest lucru în figura 5.3 s-a prezentat o secţiune transversală într-un plutitor, având plutirea iniţială AA’ şi centrul de carenă în punctul C. După înclinarea cu un anumit unghi, noua plutire este BB’ şi noul centru de carenă C’. Volumele VAOB şi VA’OB’ sunt egale, le notăm cu V2. Centrele de greutate ale acestor volume sunt notate cu G2 şi respectiv G’2. Se mai notează: VBDA’O = V1 Deci vom avea V1 + V2 = VC . Forţa γ.V1 ce se aplică în G1 şi forţa γ.V2 ce se aplică în G2, iar forţa

γVC = γ(V1 + V2) în 21' GGC (pentru plutirea AOA’)

astfel încât:

2

1

2

1

1

2

VV

VV

CGCG

în mod analog pentru plutirea BOB’ se obţine 2

1

1

'2

''

VV

GCGC

Comparând cele două rezultate se poate deduce:

1

'2

1

2

''GCGC

CGCG

de unde rezultă 'CC este paralelă cu '22GG .

Când plutirea BB’ tinde către plutirea AA’ şi G2G2’ tinde către AA’ şi CC’ secant la planul centrelor de carenă tinde spre tangenta CT, deci tangenta în punctul care marchează centrul de carenă este paralelă cu linia de plutire.

Teorema a III-a a plutirii: în cazul înclinărilor plutitorului raza metacentrică are

expresia C

y

VI

MCR 000 (teorema metacentrului)

unde Iy este momentul de inerţie a ariei plutirii în raport cu axa de înclinare oy, iar VC este volumul carenei. R0 este raza metacentrică iniţială, la plutirea dreaptă.

Fig.5.4a Fig.5.4b

A A’

B

B’

G2

G’2

C C’

T G1

O

D

M

M0

C0

C G1

G2 O A A’

B

B’

F1

F2

F O A’

B’

x

l(x)

x

y

dx

dV α

α

x0

Page 32: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

4

Pentru a demonstra a III-a teoremă a plutirii s-a prezentat în figura 5.4a 1a un plutitor având plutirea iniţială AA’, centrul de carenă în C0 şi metacentrul iniţial în M0. După înclinarea cu ungiul α, noua linie de plutire este BB’ având centrul de carenă în punctul C şi metacentrul în punctul M. Volumul de carenă a scăzut cu volumul VAOB şi a crescut cu volumul VA’OB’ . In centrele de greutate ale celor două volume acţioneză forţele F1 şi F2 egale şi de sens contrar. Forţa arhmedică acţionează în centrul de carenă. Cuplul de forţe F1 şi F2 este echivalent cu momentul produs de deplasarea forţei arhimedice din punctul C în C’.

'.2. 02 CCFxF dar, ţinând cont că:

CVF . AOBOBA VVFF .. ''12 şi sin' CMCC rezultă

sin.2 0

C

AOB

VxVCM

unde: VA’OB’.x0 este momentul static al volumului AOB în raport cu axa oy. Conform figurii 5.4b acest moment se poate exprima cu ajutorul unei integrale:

''

' ''2

'' 21).()().(.

OBA

A

O

A

OyOBA IdxxlxdxxlxxdVxV

unde: 'yI este momentul de inerţie al ariei plutirii în raport cu axa oy. In acest caz vom avea:

C

y

VI

CM'

sin

Când α tinde către zero, raportul α/sinα tinde către 1, CM tinde către C0M0 şi obţinem teorema metacentrului:

C

y

VI

MCR 000

5.3 Stabilitatea plutirii. Momentul stabilităţii Considerând înclinări izocarene ale unul plutitor (o navă) în limita unghiurilor mici. Astfel, o navă se poate găsi din punct de vedere al stabilităţii transversale în una din situaţiile prezentate mai jos:

Fig.5.5

Centrul de greutate se găseşte sub centrul de carenă. Când nava se înclină transversal, centrul de carenă se deplasează în poziţia C’. Momentul cuplului format de forţa de greutate, notată cu Δ şi forţa de împingere γ.VC tinde să aducă nava în poziţia iniţială, fiind un moment de stabilitate. Nava se află în acest caz într-o situaţie de stabilitate transversală excesivă întâlnită la navele unde se iau măsuri speciale privind stabilitatea cum sunt navele de sport şi agrement.

γVC

G

Δ

C C’

α

M

Page 33: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

5

O navă cu stabilitate excesivă execută oscilaţii dure pe o mare dezvoltată; adică oscilaţii cu perioadă mică şi frecvenţă mare. În timpul acestor mişcări apar forţe de inerţie mari; care pe de-o parte încarcă structural nava, iar pe de altă parte acţionează asupra mecanismelor, instalaţiilor şi aparatelor de conducere ale navei, putând duce la funcţionarea defectuoasă a acestora.

Fig.5.6

În poziţia iniţială centrul de greutate este situat deasupra centrului de carenă. În poziţie înclinată transversal, centrul de carenă se găseşte în C’. Momentul cuplului format dat de forţa de greutate Δ şi forţa arhimedică γ.VC tinde să aducă nava în poziţia iniţială fiind un moment de stabilitate. . Această poziţie relativă a celor trei centre, metacentrul transversal M, centrul de greutate G, centrul de carenă C, indică o situaţie de stabilitate pozitivă şi este întâlnită la marea majoritate a navelor.

În poziţia iniţială centrul de greutate este situat deasupra centrului de carenă. Când nava este înclinată transversal, centrul de carenă se deplasează din C în C’ astfel încât metacentrul transversal M este poziţionat sub centrul de greutate. Momentul cuplului format de forţa de greutate Δ şi forţa arhimedică γ.VC este orientat în sensul înclinării deci este un moment de instabilitate, nava găsindu-se într-o situaţie de stabilitate negativă.

Fig.5.7

Fig.5.8

În poziţia iniţială centrul de greutate se află deasupra centrului de carenă. Pentru o înclinare transversală centrul de carenă se deplasează din C în C’, poziţie pentru care metacentrul transversal M coincide cu centrul de greutate G. În acest caz momentul este nul şi nava rămâne în poziţie înclinată, situaţia fiind de asemenea de instabilitate.

Ca o concluzie, ţinând cont de notaţiile elementelor hidraulice ale plutitorului

putem scrie că înălţimea metacentrică H = GM se poate determina în funcţie de raza metacentrică R = CM şi excentricitatea ε = CG cu relaţia:

C

y

VI

RH Funcţie de mărimea acestei valori se poate stabili dacă plutirea este

stabilă (H>0), indiferentă (H=0) şi instabilă (H<0).

M

C C’

G γVC

Δ

α

C C’

M

G

γVC

Δ α

M G

C C’

α

Δ

γVC

Page 34: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing PETRU ARON

1

Curs Nr.6

CINEMATICA FLUIDELOR

6.1 Definitie si obiect Cinematica fluidelor studiaza miscarea acestora fara a lua in considerare fortele care determina miscarea, luand in considerare numai proprietatile geometrice ale miscarii. Acest studio este valabil atat pentru fluidele ideale cat si pentru cele reale. Studiul cinematicii fluidelor se bazeaza pe ipoteza continuitatii acestuia. 6.2 Metode de studiu in miscarea fluidelor Studiul cinematic consta in determinarea traiectoriilor, vitezelor si acceleratiilor particulelor de fluid. Daca consideram ca masa de fluid este formata dintr-un numar foarte mare de particule, studiul poate fi facut pe o particular, similara cu punctual material din mecanica clasica, si extins la intreaga masa de fluid. Se disting doua metode de studiu:

Metoda Lagrange. În metoda Lagrange fiecare particulă de fluid este urmărită în mişcarea sa, începând cu un moment iniţial 0t .

Fig.6.1 Descrierea miscarii rpin

metoda Lagrange

Prin aceasta metoda se studiaza miscarea feicarei particule de fluid in raport cu un sistem de referinat oxyz. Pozitia particulei depinde de coordonatele initiale: ),( 0 trrr sau

),,,( 000 tzyxxx ),,,( 000 tzyxyy si ),,,( 000 tzyxzz

Componentele vitezei vor fi:

txu

; tyv

si tzw

unde s-a notat cu u, v si w proiectiile vitezei pe cele trei axe ox, oy respective oz.

Componentele acceleratiei vor fi:

2

2

tx

tuax

2

2

ty

tva y

2

2

tz

twaz

Metoda Lagrange este rar utilizata si se foloseste numai in cazul miscarii unei particule de fluid individualizate.

x

y

z M0(t0)

M(t)

풓⃗ퟎ

풓⃗

Page 35: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing PETRU ARON

2

Metoda Euler. Aceasta metoda determina elementele miscarii tuturor particulelor care trec printrul punct din spatiu, functie de timp. Deci metoda studiaza campul vitezelor in punctele din spatiul fluid in miscare si variatia acestora in timp. Campul vitezelor este dat de relatiile:

),,,( tzyxuu ),,,( tzyxvv si ),,,( tzyxww sau ),( trVV Unde x,y,z reprezinta coordonatele punctului din spatiu (coordonatele particlulei de fluid). Componentele vitezei vor fi:

dtdxu ;

dtdyv si

dtdzw

Traiectoria particulei se obtine prin integrarea sistemului de mai sus si rezulta ),,,( 000 tzyxxx ),,,( 000 tzyxyy ),,,( 000 tzyxzz

unde 000 ,, zyx sunt constante de integrare ce reprezinta coordonatele particulei la momentul initial t0. Pentru determinarea acceleratiilor se deriveaza u, v si w care sunt functii de x,y,z si t utilizand regula de diferentiere totala.

dzzudy

yudx

xudt

tudu

In aces caz, componentele acceleratiei vor fi:

zuw

yuv

xuu

tu

dtduax

zvw

yvv

xvu

tv

dtdva y

zww

ywv

xwu

tw

dtdwaz

Inmultind relatiile de mmai sus cu versorii axelor de coordonate kji ,, si adunand obtinem:

VVtV

zVw

yVv

xVu

tV

dtVda

.

Acceleratia reprezinta derivate totala a vitezei si este formata din acceleratia locala tV

si acceleratia de antrenare (convective) zVw

yVv

xVu

. Acceleratia locala reprezinta

variatia vitezei in puncte fixe in spatiu.

Page 36: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing PETRU ARON

3

Pentru a pune in evident si miscarea de rotatie a particulei de fluid adunam si

scade la componentele acceleratie, urmatorii termini, astfel: pentru ax vxv

si wxw

pentru ay

uyu si w

yw

pentru az uzu

si vzv

astfel vom obtine pe directia ox expresia:

wxww

xwv

xvv

xvw

zuv

yuu

xu

tuax

Facand calculele vom obtine pentr ax si analog pentru celelalte component:

yu

xvv

xw

yuwwvu

xtuax 2

222

zv

yww

yu

xvuwvu

ytva y 2

222

xw

zuu

zv

ywvwvu

ztwaz 2

222

Forma vectoriala a relatiei de mai sus este:

VxVrotVgradtVa .

2

2

6.3 Clasificarea miscarilor Daca pentru o particular se cunoaste in fiecare moment pozitia ei, viteza, presiunea si masa specifica se spune ca miscarea ei este cunoscuta. Daca o particula din masa de fluid este definita de coordonatele x,y si z, de viteza , presiune si masa specifica care variaza in timp, se spune ca miscarea particulei este miscare nepermanenta sau variata. In acest caz proiectiile acceleratiei pe cele trei axe se exprima prin relatiile:

zuw

yuv

xuu

tu

dtduax

zvw

yvv

xvu

tv

dtdva y

zww

ywv

xwu

tw

dtdwaz

a) din punct de vedere al variaţiei în timp a câmpului de viteze: Daca marimile caracteristice particulei de fluid nu variaza in timp, se spune ca miscarea este o miscare permanenta sau stationara. In acest caz vom avea: ),,( zyxuu ),,( zyxvv ),,( zyxww

In acest caz viteza locala este nula tV

Page 37: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing PETRU ARON

4

deci: 0

tw

tv

tu

Derivata totala a acestor marimi este difertita de zero deoarece viteza, presiunea si masa specifica pot varia la trecerea printr-un punct la altul in masa de fluid.

Miscarea permanenta si uniforma este un caz particular al miscarii permanente si este caracterizata de faptul ca viteza, presiunea si masa specifica a unui fluid sunt constant in intreg domeniul. In acest caz vom avea:

0dtdw

dtdv

dtdu

precum si 0dtdp

; 0dtd

In functie de desfasurarea in spatiu, miscarea unui fluid se clasifica astfel: Miscare monodimensionala Unde viteza poate fi descrisa cu o singura variabila, exemplu pe directia ox, restul sunt nule Miscarea bidimensionala. Unde viteza poate fi descrisa cu doua variabile (miscarea plana) Miscarea tridimensionala. Cazul general de miscare, care se dezvolta pe toate cele trei directii. 6.4 Notiuni de baza in cinematica fluidelor Traiectoria unei particule este drumul parcurs de aceasta. Curentul de fluid este masa de fluid in miscare. Linia de current este linia curba ce urmareste directia de curgere. Este tangenta la vectorii viteza ai particulei de fluid. In general, linia de curent nu coincide cu traiectoria particulei. In miscarea nepermanenta linia de current isi modifica forma in timp.

Fig. 6.2 In miscarea permanenta, vectorii viteza au pozitii fixe in fiecare punct din spatiu si in

acest caz liniile de curent coincid cu traiectoriile, ramanand aceleasi in orice moment. Liniile de current nu se intersecteaza ar fi ca si cum o particular sa aibe doua viteze diferite in punctual de intersectie.

Ecuatiile diferentiale ale liniilor de current se obtin din conditia ca vectorul rd sa fie paralele cu vectorul viteza, adica

0.. rdxv sau wdz

vdy

udx

V1

V2

V3

Page 38: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing PETRU ARON

5

Tubul de curent. Liniile de current ce se sprijina pe un contur inchis formeaza tubul de curent. Prin peretii tubului de curent nu se face schimb de masa. In miscarea permanenta, tubul de current isi pastreaza forma si dimensiunile in timp.

Fig.6.3

Firul de curent este fluidul din dininetriorul unui tub de current elementar, care materializeaza o linie de curent. Vana fluida este alcatuita dintr-o infinitate de fire de fluid. In general, intr-o sectiunea dreapta a vinei de fluid, distributia vitezelor este neuniforma, Sectiunea transversala (sectiunea vie) a unui tub de curent este suprafata normmala pe toate liniile de curent ce strabat tubul. Raza hidraulica este raportul dintre aria sectiunii transversal si perimetrul udat

PAR

In cazul miscarii fluidului printr-o conducta cu diametrul D, raza hidraulica este:

4

14

2 DD

DR

In cazul unui canalului dreptunghiular din figura alaturata:

hbbhR

2

Fig.6.4

Debitul unui curent de fluid printr-o suprafata S este fluxul vectorului viteza v, prin suprafata respective. Debitul reprezinta limita raportului dintre volumul V care trece printr-o suprafata S intr-un interval de timp t , cand aceasta tinde catre zero:

Fig.6.5

Sn

St

dSvdSnvtVQ ..lim

0

Deci debitul este volumul de fluid ce trece pritr-o suprafata in unitatea de timp. Acesta reprezinta debitul volumic. In afara acestui debit se mai defineste debitul masic. QQm . precum si

debitul gravimetric mg QgQQ ..

Circulatia vitezei de-alungul unei curbe oarecare este:

AB

tAB

AB dSvdSv.

Page 39: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing PETRU ARON

6

In cazul in care curba de-alungul careia se face integral este curba inchisa C , circulatia vitezei poate fi esprimata printr-o integral de suprafata. Daca S este suprafata pe care se sprijina curba C rezultatul este cunoscut sub numele de teorema lui Stokes.

C S

dSnvrotdSv ....

Vartejul unei particule de fluid este vectorul definit de relatia:

wvuzyx

kji

vrot

21.

21

Reprezinta viteza unghiulara de rotatie a particulei in jurul unei axe ce trece prin central ei de greutate. Componentele sale sunt:

zv

yw

x 21

xw

zu

y 21

yu

xv

z 21

Linia de vartej este curba tangent la vectorii vartej al particulelor care la un moment dat se gasesc in punctele de pe aceasta curba. Ecuatia diferentiala a liniilor de vartej are forma

0.. drx sau zyx

dzdydx

Page 40: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

1

Curs Nr.7

7.1 Miscarea unei particule fluide (Teorema lui Cauchy-Helmoholtz)

Miscarea unui fluid este mai complicate decat miscarea solidului. Daca miscarea solidului se compune dintr-o miscarea de translatie si una de rotatie, la fluide miscarea sufera in plus si o schimbare de forma (deformatie). Pentru a demonstra acest lucru consideram la un moment dat t o particula de fluid care cuprinde doua puncte M(x,y,z) are viteza V componentele vitezei u, v si w iar intr-un punct invecinat M’ (x+dx; y+dy; z+dz) viteza V’ cu componentele:

Fig. 7.1

dzzudy

yudx

xuuu

'

dzzvdy

yvdx

xvvv

'

dzzwdy

ywdx

xwww

'

Daca adunam si scadem la prima ecuatie termenii dyxv

21

si dzxw

21

putem scrie:

dyyu

xvdz

xw

zudz

xw

zudy

xv

yudx

xuuu

21

21

21

21'

In mod analog se obtin si pentru componentele v’ si w’ Se cunoaste ca:

wvuzyx

kji

vrot

21.

21 de unde:

zv

yw

x 21

xw

zu

y 21

yu

xv

z 21 si daca notam

xv

yuaxy 2

1 si

xw

zuaxz 2

1

xuaxx

primele reprezinta vitezele

specific de deformare unghiulara εxx viteza specifica de deformare liniara. Astfel vom obtine: dzadyadxadydzuu xzxyxxzy ' Componentele v’ si w’ se determina in mod analog Astfel viteza in punctual M’ este rezultanta a trei vectori viteza:

Page 41: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

2

- o viteza a carei proiectii pe cele trei axe sunt u, v si w care corespunde translatiei particulei cu viteza V

- o viteza de rotatie cu viteza unghiulara ω(ωx ;ωy;ωz) - o viteza notata cu a care corespunde unei deformatii ale particulei.

Vectorial relatia noastra are forma: DMMxVV '..'

Pentru determinarea semnificatiei lui axx se considera un element de fluid liniar AA’, paralel cu axa Ox, de lungime dx

Fig.7.2

Diferenta deplasarilor relative ale capatului liniar in intervalul de timp dt reprezinta dilatarea sau contractarea acestuia si este

dxdtxudtudtdx

xuu

. deci viteza

specifica de deformatie liniara este:

dxdtxu

dxdtxuaxx

1

Pentru interpretarea termenilor ayz = azy se examineaza miscarea unei particule de forma paralelipipedica a carei sectiune cu planul yOz este dreptunghiul ABCD (fig 7.3)

Fig.7.3

Intr-un interval de timp dt , particular se deplaseaza ocupand pozitia A’B’C’D’. Daca anulam translatia si rotatia si aducem particula in pozitia A”B”C”D”, deplasarea relative DD” se datoreaza diferentei dintre vitezele punctelor A si D

dzzvvv AD

si are marimea dzdtzvDD

" analog si pentru BB”

dydtywBB

"

In ipoteza unei deplasari mici, deformatia medie a unghiului drept BAD este:

dtyw

zv

ABBB

ADDD

21""

21)(

21 deci viteza de deformatie unghiulara

este:

Page 42: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

3

zyayw

zv

dt

21

21

Rezulta ca axx , ayy ,azz reprezinta vitezele de deformatie liniara iar axy ,axz , ayz sunt vitezele de

deformatie unghiulara. Daca revenim la expresiile lui u’, v’ si w’ inmultind cu kji ,., putem

determina vectorul viteza 'V . Daca consideram functia scalar:

dydzadxdzadxdyadzadyadxa yzxzxyzzyyxx 22221 222 vom avea:

...' gradrdxVV Functia se numeste functie de deformatie, iar cuadrica corespunzatoare ei este un ellipsoid de deformatie. Se poate formula urmatoarea teorema:

Daca se cunoaste miscarea unei particule fluide )(rM miscarea unei particule vecine

)( rdrM se compune dintr-o miscare de translatie definita de viteza V a punctului M, dintr-o

miscare de rotatie definita de viteza unghiulara Vrot.21

in jurul unei axe ce trece prin M si

dintr-o miscare de deformatie a cuadricei const cu central in M si care trece prin M’, miscare compusa dintr-o deformatie liniara definite de marimile axx , ayy , azz si deformatie unghiulara definite de marimile axy ,axz ,ayz Aceasta poarta numele de teorema lui Cauchy-Helmholtz. 7.2 Ecuatia continuitatii (Legea conservarii masei fluidului) Ecuatia continuitatii este expresia matematica a principiului conservarii masei de fluid in miscare. Ecuatia contuitatii in cazul general

Fig.7.4

Consideram un fluid compresibil cu ),,,( tzyx in miscare nepermanenta cu

),,,( tzyxV . Alegem un volum de forma paralelipipedica cu muchiile dx, dy dz (fig.7.4). Rellatia care exprima continuitatea fluidului se obtine egaland variatia masei de fluid din volumul considerat cu diferenta dintre masa care intra in acest volum si masa care iese din el, in acelasi interval de timp:

Masa de fluid care intra in unitatea de timp dupa directia Ox este dydzu.. . Masa de fluid care

ρudydz dydzdx

xuu

).(.

Page 43: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

4

iese in uniitatea de timp prin peretele opus este dydzdxxuu

).(.

Diferenta lor este:

.).( dxdydzxu

. Deoarece se face schimb de masa dupa cele trei directii, diferenta dintre masa

intrata sic ea iesita va fi:

dxdydzzwdxdydz

yvdxdydz

xu

).().(),(

Aceasta masa este compensate de variatia in unitatea de timp din interiorul paralelipipedului

.dxdydzt

. Rezulta forma generala a ecuatiei continuitatii, valabila pentru miscarea

nepermanenta a fluidelor compresibile:

0).().().(

zw

yv

xu

t

Sau vectorial: 0).( Vdiv

t

Ecuatiile de mai sus pot fi particularizate pentru miscarea permanenta:

0).( Vdiv Pentru fluide incompresibile

0).().().(

zw

yv

xu

dau 0. Vdiv

Ecuatii continuitatii pentru un tub de curent

Fig.7.5

In acest caz suprafata considerate este un tub de current delimitat de doua sectiuni normale la distant dl (fig.7.5). Precizand ca pe peretii laterali ai tubului nu se face schimb de masa se poate scrie: -masa intrata in unitatea de timp Sv.. -masa care iese in unitatea de timp

dll

SvSv

)..(.. deoarece sectiunea S

variaza in lungul tubului.

Excesul mmasei iesite asupra celei intrate in unitatea de timp dll

Sv

)..( este compensat de

variatia in timp a masei din interior dll

S

.(, iar ecuatia de continuitate devine:

0)..().(

l

SvlS

ecutatie ce poate fi particularizata:

Pentru fluide incompresibile const

Page 44: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

5

0).(.

lSv

lS

Pentru miscarea permanenta 0

lS

rezulta QconstSv . deci debitul este constant in

lungul tubului si este egal cu produsul dintre viteza si sectiune. In cazul fluidelor compresibile, ecuatia de continuitate in miscarea permanenta este: constSvM .. adica debitul masic este constant in lungul tubului de curent.

Page 45: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

1

Curs Nr 8

8. DINAMICA FLUIDELOR Dinamica studiaza legatura dintre fortele exterioare si miscarea fluidului provocata de acestea. Orice fluid real este mai mult sau mai putin vascos. Cu toate acestea solutia unui mare numar de probleme referitoare la miscarea unor fluide mai putin vascoase (apa, aerul) se studiaza in ipoteza fluidelor ideale. 8.1 Ecuatiile diferentiale ale miscarii fluidelor ideale (Ecuatiile Euler) Acestea se stabilesc scriind pentru o particular elementara de fluid, legea generala a dinamicii amFe .

Fie o particular de forma paralelipipedica detasata din masa de fluid in miscare, avand muchiile egale cu dx,dy,dz. Aceasta se deplaseaza cu viteza v(u,v,w) sub actiunea fortelor exterioare, care sunt:

-forte proportionale cu masa dxdydzf -forte de presiune, normale pe cele sase fete ale paralelipipedului, proportionale cu suprafetele, reprezentate in figura pe directia ox

Fortele de frecare tangente la suprafete se neglijeaza, fiind vorba de fluide ideale. Componentele dupa cele trei directii ale fortelor exterioare le-am determinnta in cursul trecut Proiectia ecuatiei miscarii dupa directia ox este

dxdydzdtdudxdydz

xpdxdydzf x

Sau: dtdu

xpf x

1

Unde du/dt este proiectia acceleratiei dupa axa ox. In mod similar vom avea si dupa celelalte directii

zuw

yuv

xuu

tu

dtdu

xpf x

1

Page 46: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

2

zvw

yvv

xvu

tv

dtdv

ypf y

1

zww

ywv

xwu

tw

dtdw

zpf z

1

Acestea sunt ecuatiile lui Euler din hidrodinamica. Forma vecoriala este

dtvdpgradf .1

Cele trei ecuatii impreuna cu ecuatia de continuitate 0. vdiv sunt in numar necesar si sufficient pentru rezolvarea oricarei problem de miscare a unui fluid ideal incompresibil. 8.2 Ecuatiile diferentiale ale miscarii fluidelor ideale sub forma Gromeko-Lamb Pentru a pune in evidenta componentele vectorului vartej pe cele trei axe, se fac urmatoare trei

transformari in ecuatiile lui Euler: pentru prima ecuatie se adauga si se scad termenii xvv si

xww se obtine

wxw

zuv

xv

yuw

zwv

xvu

xu

tu

xpf x

1

Sau vwwvuxt

uxpf zyx

22

1 222

Inlocuind suma din paranteza cu v2 se obtine

vwvxt

uxpf zyx

22

1 2

wuvyt

vypf xzy

22

1 2

uvvzt

wzpf yxz

22

1 2

Sub forma vectoriala

vxrotvgradtvpgradf ...

2..1 2

8.3 Integrarea ecuatiilor miscarii Inmultim cele trei ecuatii de mai sus cu dx, dy si respective dz, si adunand, in ipoteza fortelor masice conservative (f = -grad.π) se obtine

Page 47: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

3

022

2

wvu

dzdydxdz

twdy

tvdx

tuvpd zyx

In regim de miscare permanent, relatia ia forma

022

2

wvu

dzdydxvpd zyx

Solutia ecuatie pentru formele de miscare pentru care determinantul este nul:

constvp

2

2

In camp gravitational

constvpzg 2

.2

Ecuatia lui Lagrange

Conditiile de anulare a determinantului sunt: 1. 0 wvu Este cazul echilibrului hidrostatic. Ecuatia fundamental a hidrostaticii in camp

gravitational este constpzg

.

2. 0 zyx Este o miscare irotationala sau fara vartejuri

3. wdz

vdy

udx

Acestea sunt ecuatiile liniilor de curent deci suma 2

.2vpzg

este constanta

de-a lungul unui fir de fluid. Ecuatia lui Bernoulli. Diferenta fata de ecuatia lui Lagrange este ca daca prima este constanta in intreg domeniu de miscare, a doua variaza de la un fir la altul.

4. zyx

dzdydx

sunt ecuatiile liniilor turbionare, avem constvp

2

2

5. wvu

zyx Este vorba de o miscare elicoidala, avem constvp

2

2

8.4 Ecuatia lui Bernoulli Obtinuta din integrarea ecuatiilor lui Euler intr-un caz particular al miscarii, dupa o linie de current, ecuatia lui Bernoulli exprima faptul ca in miscarea permanenta si rotationala a fluidelor

perfecte, in campul gravitational, suma 2

.2vpzg

este constanta de-a lungul unui fir de fluid.

Ecuatia lui Bernoulli are o larga aplicativitate in hidrodinamica, unde in majoritatea problemelor miscarea poate fi asimilata cu miscarea firului sau a vanelor fluide. De aceea vom insista asupra acestei ecuatii.

Page 48: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

4

Interpretarea energetica a ecuatiei lui Bernoulli (Ecuatia energiei) Fiecare din termenii ecuatiei lui Bernoulli reprezinta o energie specifica (pe unitatea de masa) si anume: g.z – reprezinta o energie potential de pozitie p/ρ – reprezinta o energie potential de presiune v2/2—reprezinta o energie cinetica

Suma 2

.2vpzg

corespunde energiei totale a unitatii de masa si se poate spune ca ecuatia lui

Bernoulli exprima legea conservarii energiei in cursul miscarii. Ecuatia lui Bernoulli se mai poate scrie sub forma

constg

vg

pz 2.

2

Unde g

pz.

este energia potential si ultimul termen este energia cinetica.

Interpretarea geometrica a ecuatiei lui Bernoulli

Forma constg

vg

pz 2.

2

se preteaza la o interpretare geometrica, intrucat fiecare din cei trei

termini are dimensiunea unei lungimi.

Fie un fir fluid de sectiune descrescatoare si doua sectiuni 1 si 2 in lungul firului, in care vitezele sunt egale cu v1 si v2. Fata de un plan de referinta alles arbitrar, cele doua sectiuni sunt situate la distantele z1 si respective z2. p1/γ, respectiv p2/γ sunt inaltimile piezometrice, care se pot pune in evident cu ajutorul unor tuburi piezometrice montate in sectiunile 1 si 2. v1

2/2g si v22/2g sunt inaltimile cinetice in cele doua sectiuni. Energia specifica totala se mentine

constanta, adica

Page 49: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

5

g

vpzg

vpz22

222

2

211

1

Pierderi hidraulice (de sarcina) In cazul fluidelor reale, ecuatia lui Bernoulli nu se poate aplica riguros nici chia in lungul unei linii de current, deoarece energia specifica totala nu se mai conserva. Datorita frecarilor cu peretii solizi si frecarilor interioare, o parte din energie se transforma ireversibil in caldura devenind pentru firul de fluid o energie pierduta care, raportata la greutate, poarta numele de pierdere hidraulica (pierdere de sarcina). Energia totala scade in lungul curentului. Daca pierderile hidraulice sunt mici, ele se pot neglija si in prima aproximatie se poate utilize relatia

const

gv

gpz

2.

2

Daca pierderile hidraulice sunt mari, ecuatia de mai sus se corecteaza pe baza datelor experimentale, pentru a exprima bilantul energetic in lungul firului. Ecuatia energiei, pentru doua sectiuni 1 si 2 in lungul firului, se scrie

21

222

2

211

1 22 hpg

vpzg

vpz

Unde hp1-2 reprezinta pierderea hidraulica sau lucrul mechanic consumat de greutatea unitara de fluid cand se deplaseaza din sectiunea 1 in sectiunea 2. Aplicatii ale ecuatiei lui Bernoulli Pentru a aplica ecuatia lui Bernoulli intr-o problema de hidrodinamica, trebuie sa se cunoasca forma liniilor de current si valoarea presiunii in unele sectiuni caracteristice ale curentului. Formula lui Toricelli Fie un rezervor deschis cu lichid, care alimenteaza un orificiu. Nivelul din rezervor se mentine tot timpul constant, ceea ce inseamna ca orficiulfunctioneaza in regim permanent.

Page 50: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

6

Experienta arata ca in rezervor curgerea este convergenta iar la iesirea din orificiu, datorita racordarii peretilor la intrare, vitezele sunt paralele intre ele. Aplicand ecuatia lui Bernoulli dupa o linie de current intre punctele A si M, se poate calcula viteza de la iesirea din orificiu. Astfel fata de un plan de referinta ales arbitrar se poate scrie:

gvpz

gvpz MM

MAA

A 22

22

Deoarece vana de fluid are dimensiuni mici si este inconjurata de aerul atmmosferic, se poate considera pM = pA =pat. Rezulta

gvzz

gv A

MAM

22

22

vA este viteza de la suprafata libera a rezervorului, numita viteze de apropiere. Fiind foarte mica se poate neglija si in acest caz

HgvM ..2

Care este formula lui Toricelli Fenomenul Venturi Daca intr-o conducta oarecare se produce o strangulare a sectiunii, conform ecuatiei continuitatii (s1v1 = s2v2 = s3v3 = Q), acolo unde sectiunea scade, viteza creste, si invers. Aplicand ecuatia lui Bernoulli, in lungul firului de fluid se obtine:

gvpz

gvpz

gvpz

222

233

3

222

2

211

1

Rezulta ca energia potential z + p/γ variaza in acelasi sens cu sectiunea. Daca conducta este orizontala z1=z2=z3 rezulta

gvp

gvp

gvp

222

233

222

211

Tubul Venturi este un ajutaj convergen – divergent utilizat la masurarea debitului. Debitul se va exprima usor

21

22

221

2221 1

22 ssgQ

gvvpp

Rezulta 21

22

21

21 2 ppgss

ssQ

Page 51: Curs MFL Mecanica Fluidelor

MECANICA FLUIDELOR Dr.ing. PETRU ARON

7

Presiunea intr-un punct de impact Fie un obstacol imobil intr-un fluid in miscarea permanenta. Liniile de current ocolesc obstacolul.

Exista o linie de current ce se opreste in punctual M (punct de impact) Aplicam ecuatia lui Bernoulli intre A si M

gvpz

gvpz MM

MAA

A 22

22

In cazul nostrum zA = zM. In punctual de impact viteza se anuleaza vM = 0 si toata energia curentului apare sub forma de presiune. Presiunea din punctual de impact poarta denumirea de presiune totala (ptot). Presiunea din punctual A este presiunea sttatica a curentului. Se poate scrie

totAst p

gvp

2

2

sau

2

2vpp sttot

Cresterea de presiune poarta numele de presiune dinamica (ρv2/2) Presiunea intr-o conducta Intr-o sectiune dreapta a unei conducte se monteaza doua tuburi piezometrice A si B ca in figura de mai jos.

Nivelul lichidului este acelasi in cele dou tuburi piezometrice deoarece aceiasi lege de distributie a presiunilor este valabila atat in interiorul tubului de masura cat si in sectiunea dreapta a conductei

B

BA

Ap

zp

z

Page 52: Curs MFL Mecanica Fluidelor

Capitolul 1 PROPRIETĂŢILE FLUIDELOR

Aplicaţia 1.1 Se consideră un lichid compresibil a cărui ecuaţie este de forma (fluid barotrop):

bpa +=ρ (1.191)

Se cunoaşte că lichidul are densitatea ρ1 la presiunea atmosferică p0, iar coeficientul de compresibilitate volumică izotermă β1 pentru o creştere a presiunii de la p0 la 2⋅p0, sau mai general, coeficientul de compresibilitate are valoarea βn pentru o creştere a presiunii de la n⋅p0 la (n+1)⋅p0. Să se determine valorile constantelor a şi b. Soluţie. Pentru cazul particular al presiunii egală cu presiunea atmosferică, ecuaţia fizică este de forma:

0bpa+=ρ . (1.192)

Pe de altă parte, relaţia (1.195) se poate scrie în forma:

( )00

0 pp −⋅−=− βV

VV. (1.193)

Prin definiţia dată coeficientului β, şi considerând pentru presiune ca unitate de măsură, chiar presiunea atmosferică, pentru o creştere de presiune de la n⋅p la (n+1)⋅p0 volumele lichidului se modifică de la Vn la Vn+1, adică relaţia (1.196) devine:

nn

1nn β−=− +

VVV

, (1.194)

sau ţinând seama de legea conservării masei, se obţine relaţia dintre densităţi:

n1n

n1n β=ρ

ρ−ρ

+

+ , (1.195)

sau:

n

n1n 1 β−

ρ=ρ + (1.196)

Pentru presiunile n⋅p0 şi (n+1)⋅p0 ecuaţia fizică (1.196) permite scrierea relaţiilor:

( ) 01n

0n

p1nba

bnpa

++=ρ+=ρ

+

. (1.197)

Cu aceste valori, relaţia (1.199) devine:

( )n

00 1

pbnap1nba

β−⋅+

=++ . (1.198)

Relaţia (1.198), împreună cu relaţia (1.192) formează un sistem de ecuaţii ale cărui soluţii sunt:

( )

.1

1

;1

11

01

1

pb

n

na

n

n

n

n

⋅−

=

⋅−+−

=

ββρ

ββρ

. (1.199)

Particularizând, dacă β0 este coeficientul de compresibilitate pentru creşterea presiunii, de la starea de vid la presiune atmosferică (n=0), se obţine:

( )

.1

;1

001

01

pb

a

βρ

βρ

⋅=

−= (1.200)

Dacă β1 este coeficientul de compresibilitate pentru creşterea presiunii de la presiunea atmosferică p0 la 2⋅p0 (n=1) se obţine:

Page 53: Curs MFL Mecanica Fluidelor

.1

1

;1

21

01

11

1

11

pb

a

⋅−

=

−⋅−=

ββρ

ββρ

(1.201)

Se observă că legea formulată conduce la coeficienţii, care depind de condiţiile particulare (presiunea) în care s-a determinat coeficientul β. Invers, rezultă că pentru anumite valori adoptate pentru a şi b, coeficientulo de compresibilitate, β este funcţie de presiune. Într-adevăr din relaţia (1.198) rezultă:

( ) 0

0n p1nba

pb

++⋅

=β . (1.202)

Din relaţia (1.202) rezultă clar, că valoarea coeficientului β, se micşorează cu creşterea presiunii. Problema poate fi însă abordată şi dacă se cunoaşte valoarea densitaţii lichidului măsurată şi starea de vid (ρ0=0). În acest caz ecuaţiile (1.198) şi (1.192) formează un sistem care conduce la soluţii mai simple:

( ) .1

11

;

00

0

pnb

a

n

n ⋅⋅+−

=

=

ββρ

ρ. (1.203)

care pentru czul particular n=0, devin:

.1

1

;

00

00

0

pb

a

⋅−

=

=

ββρ

ρ. (1.204)

În fine, oricare ar fi n pentru care s-a măsurat coeficientul de compresibilitate volumică izotermă βn, care este foarte mic în comparaţie cu unitatea, se poate neglija termenul (n+1)⋅βn, ceea ce conduce pentru soluţiile (1.203) la forma simplă:

.1

;

00

0

pb

a

nβρ

ρ

⋅=

= (1.205)

Cu aceste valori ecuaţia fizică (1.191) ia forma:

00

n00m mpp

1 ⋅βρ+ρ=ρ , (1.206)

sau ( )n0m m1 β+ρ=ρ , (1.207)

unde m reprezintă numărul de unitaţi de măsură a presiunii (în cazul de faţă presiunea atmosferică) la care se cere determinarea densitaţii. De altfel, oricare ar fi natura dependenţei ρ=f(p), pentru ca relaţia (1.207) să rămână o lege de variaţie liniară, trebuie ca m şi n să nu difere mult între ele. Aplicaţia 1.2 Lagărul de susţinere al unui hidroagregat vertical are o peliculă de ulei de grosime δ=0,1 mm între gulerul arborelui de diametru D=300 mm şi bază (Figura 1.31). Diametrul arborelui fiind d=150 mm, se cere puterea consumată pentru învingerea rezistenţei vâscoase a uleiului din peliculă. Vâscozitatea dinamică a uleiului este

23

m

skgf10566,0

⋅⋅=µ − . Turaţia arborelui, n=500 rot/min.

D

d

δ

dr

r

Figura 1.31

Page 54: Curs MFL Mecanica Fluidelor

Soluţie

Tensiunea tangenţială, dn

dvµ=τ , se poate scrie δ

ωµ=δ

µ=τ rv, deoarece grosimea peliculei

de ulei este foarte mică. Forţa elementară de vâscozitate capătă expresia:

drr2r

drr2dF πδ

ωµ=πτ= , (1.208)

iar momentul total faţă de axa de rotaţie al forţelor de vâscozitate:

drr2

dFrM2D

2d

32D

2d ∫∫ δπωµ== (1.209)

( )44 dD32

M −δ

πωµ= . (1.210)

Puterea disipată are expresia:

( ) ( )δ

πµδ

πωµω9003275327575

442344

2

××−=−

×== dDn

dDM

P .

( ).W115CP1532,0

109003275

15,03,050010566,0P

4

44233 ==

⋅××−×π⋅= −

Aplicaţia 1.3 Într-o conductă de oţel cu diametrul interior D=100 mm, grosime δ=2 mm, lungime L=100 m, în care se găseşte apă, un piston rexecută o mişcare de oscilaţie (Figura 1.32). În ipoteza peretelui condiuctei perfect rigid, să se determine, cunoscând coeficientul de compresibilitate izotermă al apei, β=5,30⋅10-10 Pa-1, viteza de propagare a undelor elastice longitudinale din fluid (viteza sunetului) provocate de mişcarea pistonului şi frecvenţa de oscilaţie a acestuia, astfel încât conducta să fie străbătută de o singură undă incidentă. Ce valoare va avea viteza sunetului, dacă conducta se consideră deformabilă, modulul de elasticitate al oţelului fiind E=2,1⋅1011 Pa? Soluţie

Datorită mişcării pistonului în conductă, apare o perturbaţie sub forma unei unde de presiune, care produce o zonă de compresiune în fluid.

Fie cv

viteza de propagare a acestei unde când elementul de fluid întră în zona de compresiune, el este comprimat şi decelerat, variaţia vitezei c

v∆ fiind negativă. Aplicând legea a doua a dinamicii fluidului care intră în zona de compresiune, rezultă:

∑=∆∆−= eF

z

cmF

vv

v, (1.211)

unde: m este masa fluidului definită de relaţia:

Atcm ⋅∆ρ= , (1.212) unde A, este aria secţiunii transversale a conductei - ρ densitatea fluidului înainte de zona de compresiune.

Proiectând relaţia vectorială pe axa conductei, se obţine:

c cp p

zona de compresiune

p+∆p piston

ν

Lc∆t(c+∆c)∆t

Figura 1.32

Page 55: Curs MFL Mecanica Fluidelor

d

h

L

Figura 1.33

( )

∆∆−∆ρ==∆+

t

ctAcpAApp (1.213)

sau

cc

pc2

∆∆−=ρ . (1.214)

Evaluarea cantitativă a compresibilitaţii izoterme a unui fluid se face cu ajutorul coeficientului de compresibilitate volumică β sau a modulului de elasticitate dat de expresiile:

β=ε

∆ρ∆⋅

ρ=

∆∆⋅−=β 1

;p

1

p

1 VV

, (1.215)

unde ∆V este variaţia de volum în zona comprimată. Având în vedere că în ipoteza făcută secţiunea conductei se păstrează constantă, rezultă:

c

c∆=∆VV

(1.216)

Din expresia modulului de elasticitate (1.215) şi relaţia (1.216), rezultă relaţia de calcul a vitezei de propagare a undelor de presiune (de exemplu, propagarea sunetului prin mediul fluid care se explică prin considerarea proprietăţii de compresibilitate) cunoscută sub numele de formula lui Newton:

ρρε

d

dpc == (1.217)

Cu 29 mN1088,11 ⋅=β

=ε şi 3mkg1000=ρ , rezultă:

smc 137110

1088,13

9

=⋅=

Timpul în care unda parcurge lungimea conductei este s073,0c

Lt == , deci frecvenţa de

oscilaţie a pistonului este:

Hz13t

1 ==ν

În realitate, conducta se deformează datorită undei de presiune, iar formula de calcul a celeităţii devine:

sm140,1

002,0

100,0

101,2

1088,11

1371

d

D

E1

c

11

9=

⋅⋅⋅+

=⋅ε+

ρε

=

Rezultă deci că viteza de propagare a undei de presiune este cu atât mai mică, cu cât materialul conductei este mai puţin rigid. (de exemplu în cazul conductelor din cauciuc celeritatea are valoarea de 20 m/s). Aplicaţia 1.4 Arborele unei turbine verticale de diametru d=150 mm (Figura 1.33) are un lagăr de ghidaj cu un joc h=0,1 mm şi lungimea l=30 cm. Uleiul care umple jocul dintre arbore şi lagăr are la temperatura de funcţionare egală cu 50°C coeficientul cinematic de vâscozitate ν=62⋅10-6 m2/s şi greutate specifică γ=895 kgf/m3. Să se afle puterea consumată pentru învingerea forţelor de vâscozitate în lagăr la turaţia sincronă a arborelui de 500 rot/min.

Page 56: Curs MFL Mecanica Fluidelor

Soluţie. Arborele are viteza unghiulară, ω si viteza periferică u, egale cu:

,30

nπ=ω .60

nd

2

du

π=ω= (1.218)

Efortul tangenţial de vâscozitate pe mantaua arborelui este

h

uµ=τ . (1.219)

Forţa totală de vâscozitate este dlh

udlF πµ=π⋅τ= .

Rezultă puterea disipată pentru învingerea rezistenţei vâscoase:

)CP(h36075

lnd

360

dn

h75

dldl

h

u

75

u

75

FuP

233

222

⋅×µπ=

=π⋅µπ=πµ==

iar în sistemul MKfS:

23

6

m

skgf10566,0

81,9

102,6895

g

⋅⋅=⋅×=νγ=µ −−

W1150CP565,1

101,036075

30,050015,010566,0p

3

2333

==

=⋅××

×××π×⋅= −

Aplicaţia 1.5 Să se determine presiunea la care apare cavitaţia în rotorul unei pompe centrifuge, dacă temperatura apei este de 40°C. Soluţie.

Fenomenul de cavitaţie apare atunci când în rotor presiunea minimă scade până la valoarea presiunii de vaporizare a apei, corespunzătoare temperaturii de lucru. Pentru temperatura de 40°C,

presiunea de vaporizare a apei este m752,0py =γ

. Pentru evitarea cavitaţiei se impune

vpp ≥

rezultă la limită, at0752,0Hgmm27,55OHm752,0p 2 ≈≈= . Aplicaţia 1.6 Pentru studiul mişcării de filtraţie a apei către un dren se realizează un model analogic Hele-Shaw (Figura 1.34a) prevăzut cu două plăci din sticlă, paralele, situate la distanţa de a=1 mm (Figura 1.34b). Cunoscând unghiul de racordare dintre suprafaţa liberă a apei şi placa de sticlă α=10°,

Nivelul natural al apei subterane

Curba de depresie

∆h

Strat impermeabil

R

∆h

a

a bFigura 1.34

Page 57: Curs MFL Mecanica Fluidelor

tensiunea superficială σ=0,0755 N/m şi greutatea specifică a apei γ=9810 N/m3, să se determine înălţimea ∆h cu care se ridică suprafaţa liberă a apei între cele două plăci. Soluţie.

Suprafaţa liberă a apei dintre cele două plăci poate fi aproximată printr-o porţiune din suprafaţa unui cilindru circular drept (figura …b) deci razele de curbură principale ale suprafeţei au

valorile R1= ∞ şi α

==cos2

aRR2 . Diferenţa de presiune ∆p dintre cele două părţi ale suprafeţei

libere este dată de formula lui Laplace,

a

cos2

R

1

R

1

R

1p

21

ασ=σ=

+σ=∆ (1.220)

Pe de altă parte, dacă se notează cu ∆h înălţimea medie a coloanei de lichid, se poate exprima ∆p cu ajutorul legii hidrostaticii

hp ∆γ=∆ (1.221) Din compararea relaţiilor (1.220) şi (1.221), rezultă:

m015,01019810

10cos0755,02

a

cos2h

3=

⋅⋅°⋅⋅=

γασ=∆ − .

Aplicaţia 1.7 Un amestec cu compoziţia masică de 30% hidrogen şi 70% azot cântăreşte G=15 N şi are presiunea p=1,5 at. Să se determine masele gazelor componente şi presiunile lor parţiale. Să se determine masele gazelor componente şi presiunile lor parţiale. Soluţie.

Legile lui Dalton pentru un amestec de două gaze au expresiile:

ppp,TM

mp,T

M

mp 21

2

22

1

11 =+ℜ=ℜ= VV (1.222)

unde p1 şi p2 sunt presiunile parţiale ale componentelor, de mase m1 şi m2 la temperatura T. Din datele problemei se obţin relaţiile de calcul pentru mase,

kg53,181,9

15

g

Gmm 21 ===+ şi

7

3

m

m

2

1 = ,

iar din formulele (1) cele pentru presiuni,

67

3

2

28

m

m

M

M

p

p

2

1

1

2

2

1 =⋅=⋅= şi .mN1081,95,1pp 2421 ⋅⋅=+

Rezultă masele gazelor componente:

.kg070,1459,081,9

15m

g

Gm

,kg459,053,110

3

g

G

10

3m

12

1

=−=−=

=⋅=⋅=

şi presiunile corespunzătoare

.at215,0m

N10105,210261,11081,95,1ppp

at286,1m

N10261,11081,95,1

7

6p

7

6p

2454

12

254

1

=⋅=⋅−⋅⋅=−=

=⋅=⋅⋅⋅==

Aplicaţia 1.8 O navă de transport mărfuri se deplasează din portul A în portul B. Distanţa dintre porturi

este de 7500 Mm. Volumul uleiului necesar ungerii motoarelor principale, pentru aceasta distanţă, este de 2015 m3.

Page 58: Curs MFL Mecanica Fluidelor

Se dau datele: viteza navei 10 Nd; consumul specific de ulei 78 g/CP.h; puterea motoarelor principale 30 000 CP. Se neglijează pierderile de ulei.

Se cere: a. densitatea uleiului b. greutatea specifică a uleiului

Rezolvare: Se calculează timpul necesar pentru parcurgerea distanţei de 7500 Mm:

75010

7500

V

St === ore

Se calculează masa uleiului consumat: g175500075030000078,0mu =⋅⋅=

a. Densitatea uleiului este: 3u

u m/kg8712015

1755000m ≈=ν

b. Greutatea specifică a uleiului consumat este: N1721655081,91755000gmG uu =⋅==

3u m/N85442015

17216550G ≈=ν

Aplicaţia 1.9. Dintr-o manevră greşită, în tancul de apă dulce al unei nave s-a introdus apă sărată. Date fiind: volumul apei dulci 3m20 cu densitatea 3

ad m/kg1000=ρ , masa de apă de mare

introdusă în tanc kg5175 cu densitatea 3m/kg1035=ρ . Se cere: greutatea specifică a amestecului format.

Rezolvare: Volumul de apă de mare introdus în tancul de apă dulce este:

3m51035

5175m ==ρ

3am m/N67,9878

520

81,91035581,9100020 =+

⋅⋅+⋅⋅=γ

Aplicaţia 1.10. Apa de mare are la suprafaţă o densitate 3

0 m/kg1020=ρ şi un coeficient de compresibilitate

N/m1088,4 210−⋅=β . Se cere: greutatea specifică a apei de mare la m8000 adâncime.

Rezolvare: Legătura dintre coeficientul de compresibilitate, masa specifică şi presiune este exprimată

prin ecuaţia de stare: ( )0pp

0e−βρ=ρ

prin diferenţiere:

gdzdzdd βρ=βγ=ρβ=ρρ

sau gdzd

2β=

ρρ

Punând condiţiile la limita şi integrând se obţine:

( )0101

hhg11 −β=

ρ−

ρ− sau hg

11

0

∆β=ρ

−ρ

împărţind la g:

hg11

0

∆β=γ

−γ

înlocuind datele problemei se obţine:

Page 59: Curs MFL Mecanica Fluidelor

310

0

0 m/N1040800081,910201088,41

81,91020

h1=

⋅⋅⋅⋅−⋅=

∆βγ−γ=γ −

Aplicaţia 1.11. Într-un tanc de motorină care conţine un volum 3

1 m3,25v = cu o greutate specifică 3

1 m/kgf850=γ este ambarcat un volum 32 m2,13v = de motorină Şeful mecanic uită să ceară

buletinul de analiză şi i se cere: greutatea specifică a motorinei ambarcate peste cea aflată în tanc. Cântărind 1 dm3 de amestec a găsit 3

am m/kgf885=γ .

Rezolvare: ( ) ( )

333

2

1121am2

m/N1034,9m/kgf952

2,13

3,258502,133,25885

v

vvv

⋅==

=⋅−+⋅=γ−+γ=γ

Aplicaţia 1.12. Un cilindru cu raza cm2,12r1 = cum se roteşte centrifugal în interiorul unui cilindru menţinut

fix cu raza cm8,12r2 = . Amândoi cilindri au o înălţime de cm30h = . Spaţiul dintre cei doi cilindri este umplut cu un lichid (vâscozimetrul Coutte).

Se cere: să se determine vâscozitatea lichidului dacă este necesar un moment de torsiune Nm5,0M = pentru a menţine cilindrul exterior fix, când cilindrul interior se roteşte turaţia

min/rot60n = . Rezolvare:

Se consideră că mişcarea fluidului între cei doi cilindri este laminară. Datorită faptului că spaţial dintre cilindri este foarte mic, calculul poate fi făcut fără integrare.

Momentul de torsiune este transmis prin intermediul straturilor de fluid de la cilindrul care se roteşte la celălalt. Efortul tangenţial este:

r

0 dy

duµ=τ

Viteza tangenţială pe inelul cilindrului interior este: ω= ru

unde: s/m60

n2π=ω

s/m77,0s/cm62,7660

6022,12u ≈=π=

Momentul de torsiune aplicat trebuie să fie egal cu momentul de rezistenţă: M = efortul tangenţial x suprafaţa x braţul

22hrr2M πτ= de unde: 22hr2

M

π=τ

22

m/N2,16128,03,02

5,0 ≈⋅⋅π

Datorită spaţiului foarte mic dintre cilindri gradientul de viteză poate fi considerat ca o distribuţie liniară folosindu-se în calcule raza acestuia:

1s3,128122,0128,0

77,0

dy

du −=−

=

Deci:

Page 60: Curs MFL Mecanica Fluidelor

2m/s.N126,03,128

2,16

dy

du==τ=µ

Un calcul matematic mai exact este următorul. Conform calculului anterior, expresia efortului tangenţial este:

22hr2

M

π=τ

adică:

22 r

265,0

r3,02

5,0 =⋅π

În această situaţie avem:

2r

265,0

dy

du

µ=

µτ=

unde variabilele sunt u şi r. Viteza tangenţială este de 0,77 m/s la raza interioară şi 0 la raza exterioară.

Rearanjând expresia de mai sus şi substituind –dr pentru dy (semnul minus indică faptul că la micşorarea razei creşte viteza) se obţine:

∫∫ −µτ= int

ext

int

ext

r

r 2

u

u r

drdu

Înlocuind, se obţine: 122,0

128,0extint r

1265,0uu

µ=−

de unde:

( )

−µ

=−128,0

1

122,0

1265,0077,0

rezultă: 2m/s.N131,0=µ Comparând cele două rezultate se constată o diferenţă mai mică de 5%. Aplicaţia 1.13. Un fluid a cărui viscozitate absolută este 2m/s.N42,0=µ şi greutatea specifică

3m/kg913,0=γ curge cu viteza s/m5,4V0 = (fig. 2.1), având adâncimea m3,0h = .

Se cer: a. gradienţii de viteză şi eforturile tangenţiale la nivelele 0,1; 0,2 şi 0,3 m pentru o distribuţie liniară a vitezei;

b. gradienţii de viteză şi eforturile tangenţiale la nivelele 0,1; 0,2 şi 0,3 m pentru o distribuţie parabolică a vitezei. Ecuaţia parabolei fiind:

( )2y3,0505,4u −−=

Fig. 2.1 Rezolvare:

a. pentru distribu ţia liniar ă, relaţia dintre viteza şi distanţa y pentru y = 0 şi V = 0 la nivelul –0,3 m este:

Page 61: Curs MFL Mecanica Fluidelor

1

0

0 s153,0

5,4

hh

VV

dy

du −==−−

=

Dat fiind că distribuţia vitezelor este liniară printr-un simplu calcul matematic se constată că gradientul de viteză este acelaşi pe toate cele trei nivele cerute. Deci efortul tangenţial este:

2m/N3,61542,0dy

du =⋅=µ=τ

b. în cazul distribu ţiei parabolice, ecuaţia trebuie să satisfacă condiţia la limită, adică u = 0 în punctul B. Derivând în funcţie de y se obţine:

( )y3,0100dy

du −⋅=

Rezultatele sunt prezentate în tabelul de mai jos:

y u du/dy dy/du42,0 ⋅=τ 0 0 30 12,6

0,1 2,5 20 8,4 0,2 4,0 10 4,2 0,3 4,5 0 0

Aplicaţia 1.14. Vâscozitatea cinematică a apei de mare este s/m1011,1v 26−⋅=

Se cere: care este vâscozitatea dinamică dacă greutatea specifică este 3m/kg1020=γ . Rezolvare:

23266 m/s.N10132,1m/s.kgf103,115

81,9

10201011,1

gvv −−− ⋅=⋅=⋅=γ=ρ=µ

Aplicaţia 1.15. Pentru măsurarea adâncimii mării se foloseşte dispozitivul din fig. 2.2 Dispozitivul constă

dintr-un vas de oţel împărţit în două compartimente care comunică între ele printr-o supapă. În compartimentul inferior se află mercur. Compartimentul cu mercur comunică cu apa de mare printr-o supapă de unic sens. Dacă volumul de apă din compartimentul superior este de 1 dm3, iar apa de mare are greutatea specifică presupusă constant apa adâncime şi egală cu 1025 kgf/m3 şi un coeficient de compresibilitate N/m1088,4 210−⋅=β .

Fig. 2.2 Se cere: să se determine adâncimea mării dacă în compartimentul superior au pătruns 0,6 kgf

mercur. Rezolvare:

Coeficientul de compresibilitate are relaţia:

p

2

v

v

∆∆−=β

de unde:

Page 62: Curs MFL Mecanica Fluidelor

27310

mercur

mercur

m/N109101088,4

13600

600,0

v

G

v

vp ⋅=

⋅⋅=

βγ

=β∆−=∆ −−

Rezultă adâncimea mării de:

m895081,91025

109pH

7

am

=⋅

⋅=γ∆=

Aplicaţia 1.16. Dispozitivul de verificat injectoare (fig. 2.3) este format dintr-un rezervor în care se află

motorină având 3m m/kgf900=γ la presiunea atmosferică, din care cu ajutorul unui plonjor se

presează, pentru verificare, injectorul unui motor. Dacă presiunea la care injectorul pulverizează motorina este de 250 bar (sc.man.), iar coeficientul de compresibilitate al motorinei este de

N/m1068,8 210m

−⋅=β şi dispozitivul are următoarele date: cm10D1 = ; cm1d = ; cursa pistonului cm3s = ; cm30H = ; cm5a = şi cm20b = .

Fig. 2.3 Se cere: a. să se determine numărul de pompări necesare dacă volumul ce urmează a fi

umplut şi presat (conductă şi injector) este 12 cm3; b. greutatea motorinei rămasă în rezervor; c. forţa maximă necesară pentru realizarea injecţiei.

Rezolvare: a. numărul de pompări necesare: La fiecare cursă a plonjonului în sistemul de verificare şi injector se introduce un volum de

motorină:

s4

dw

2⋅π=

deci după n curse vom avea nw. Conform legii compresibilităţii: ( ) ( )p1nwvv ∆⋅β−⋅+=

Ţinând cont de faptul că la montarea injectorului în dispozitiv volumul de motorină din sistem este egal cu zero, rezultă:

( )p1wnv ∆⋅β−⋅= de unde:

( ) ( ) 2,5102501068,8103,04

01,0

1012

p1s4

d

vn

5102

6

2

=⋅⋅⋅−⋅π⋅=

∆⋅β−⋅π=

b. greutatea motorinei rămasă în rezervor: Greutatea motorinei din rezervor este:

kgf7G

03,04

01,0

4

1,0900s

4

dH

4

DvG

2222

⋅π−⋅π=

⋅π−⋅π⋅γ=⋅γ=

c. forţa maximă necesară pentru realizarea injecţiei:

Page 63: Curs MFL Mecanica Fluidelor

Forţa Fr

cu care trebuie apăsată pârghia pentru ca pistonul să realizeze presiunea maximă se deduce din ecuaţia de momente în raport cu articulaţia:

( ) aFbaF 1=+ unde: F1 este reacţiunea care apare în tija pistonului:

N5,392102504

01,0

02,005,0

05,0p

4

d

ba

a

ba

aFF 5

221 =⋅⋅π⋅

+=∆⋅π⋅

+=

+⋅=

Aplicaţia 1.17. Fie un volum de 1 m3 de apă la temperatura de 20°C şi presiunea atmosferică. Se cere: a. variaţia volumului dacă presiunea creşte la 20 bar; b. să se determine modulul de elasticitate al apei dacă volumul de 1 m3 aflat la 35 bar are la

235 bar volumul 0,9908 m3. Rezolvare:

a. variaţia volumului: Din tabelul 4.6 (anexa 4) coeficientul de compresibilitate al apei la 20°C este

]N/m[1068,4 210−⋅=β . Variaţia volumului de apă se determină cu relaţia:

pvv ∆⋅⋅β−=∆ înlocuind, se obţine:

36410 m00092,0102,9181081,92011068,4v −≅⋅−=⋅⋅⋅⋅⋅−=∆ −− b. modulul de elasticitate: Modulul de elasticitate se determină cu relaţia:

v

pv

∆∆⋅−=ε

înlocuind, se obţine:

( )210

4

m/N10213,019908,0

1081,92001 ⋅=−

⋅⋅⋅−=ε

Aplicaţia 1.18. Fie un tub capilar cu diametrul d = 20 mm introdus parţial într-un vas cu apă la presiunea

atmosferică (fig. 2.5). Apa se ridică în tubul capilar formând un menisc la înălţimea mm5,1hapa = .

Fig. 2.5 Se cere: a. să se determine coeficientul tensiunii superficiale a apei în contactul cu aerul

atmosferic, unghiul format de marginea meniscului cu verticala se neglijează; b. să se specifice temperatura apei; c. să se determine înălţimea la care coboară nivelul mercurului în cazul în care acelaşi tub

este introdus parţial într-un vas cu mercur; d. să se determine şi să se verifice constanta lui Borelli şi Jurin pentru apă şi mercur.

Rezolvare:

Page 64: Curs MFL Mecanica Fluidelor

a. coeficientul tensiunii superficiale a apei: Presiunea capilară din tub se calculează cu relaţia:

r

2pc

σ=−

Diferenţa de presiune dintre nivelul apei din vas şi nivelul meniscului este:

capaapa0A phgpp +⋅⋅ρ=−

Din condiţia de echilibru: 0A pp = , rezultă:

r

2hgp apaapac

σ−=⋅⋅ρ−=

de unde:

m/N106,732

105,181,910001010

2

hgr3

33apaapa −

−−

⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅ρ⋅

Se verifică datele din tabelul 4.5 (anexa 4). b. temperatura apei: Consultând tabelul 4.5 (anexa 4) se aproximează temperatura apei la 15°C. c. nivelul mercurului: Coeficientul tensiunii superficiale a mercurului la 15°C este:

m/N10467 3Hg

−⋅=σ

Nivelul mercurului se calculează cu relaţia:

mm7,0m0007,081,9136001010

104672

gr

2h

3

3

Hg ==⋅⋅⋅

⋅⋅=⋅ρ⋅

σ= −

d. constanta lui Borelli şi Jurin (produsul .constdh =⋅ ): - pentru apă:

Pentru diametrul şi înălţimea meniscului date în problemă avem: 2

apa mm30205,1dh =⋅=⋅

Se alege un nou diametru d = 10 mm şi se calculează noul hapa:

mm3m10381,91000105

106,732

gr

2h 3

3

3

apa =⋅=⋅⋅⋅

⋅⋅=⋅ρ⋅

σ= −−

Produsul 2apa mm30103dh =⋅=⋅ şi aşa mai departe. Deci, constanta lui Borelli şi Jurin

pentru apă este 2apa mm30dh =⋅ şi este verificată.

- pentru mercur: Pentru diametrul şi înălţimea meniscului date în problemă avem:

2Hg mm14207,0dh =⋅=⋅

Se alege un nou diametru d = 10 mm şi se calculează noul hHg:

mm4,1m0014,081,913600105

104672

gr

2h

3

3

apa ==⋅⋅⋅

⋅⋅=⋅ρ⋅

σ= −

Produsul 2apa mm14104,1dh =⋅=⋅ şi aşa mai departe. Deci, constanta lui Borelli şi Jurin

pentru apă este 2apa mm14dh =⋅ şi este verificată.

Probleme propuse pentru rezolvare

Aplicaţia 1.19. O cantitate de apă ocupă la presiunea atmosferică şi la temperatură de 20°C un volum de 1 m3.

Se cere: să se determine volumul şi densitatea aceleaşi cantităţi de apă la presiunea de 40 daN/cm2 (scara manometrică). Răspuns: 0,9981 m3; 1001,9 kg/m3.

Page 65: Curs MFL Mecanica Fluidelor

Aplicaţia 1.20. Se cere: să se determine greutatea specifică a motorinei la temperatura de 50°C, dacă la temperatura de 15°C are greutatea specifică 850 kg/m3. Răspuns: 8150 N/cm3.

Aplicaţia 1.21. Printr-o conductă circulară rectilinie cu diametrul interior D = 200 mm şi o lungime L = 500 m curge ulei mineral. Presupunând că mişcarea este laminară şi

cunoscând că distribuţia vitezelor într-o secţiune transversală este dată de relaţia:

−=

20

2

max r

r1uu

precum şi: s/m5,2umax = ; 2m/s.N54,0=µ şi 3m/kg900=ρ .

Se cere: să se calculeze forţa totală de frecare la peretele conductei datorată vâscozităţii. Răspuns: N105,8F 3⋅−=

Aplicaţia 1.22. Dacă vâscozitatea cinematică a apei la temperatura de 0°C este

s/m1079,1v 260 ⋅= , greutatea specifică 3

0 m/kg1000=γ şi coeficientul de dilatare termică este 4

0 108,1 −⋅=α .

Se cere: să se determine vâscozitatea cinematică şi dinamică la temperatura de 37°C. Răspuns: m/Ns1015,7 4−⋅=µ

Aplicaţia 1.23. Presa de etalonare a manometrelor (fig. 2.4) funcţionează cu ulei comprimat prin intermediul unui piston cu şurub. La presiunea atmosferică în cilindrul presei se află un volum de 300 cm3. Dacă diametrul pistonului este cm1d = , pasul filetului este mm2t = şi coeficientul de compresibilitate al uleiului este N/m107,4 210−⋅=β .

Fig. 2.4 Se cere: să se determine numărul de rotaţii al manivelei pentru ca presiunea să ajungă la 250 at.

Răspuns: 22,4 rotaţii. Aplicaţia 1.24. Proba de presiune la un recipient cu apă de volum 3m5,1v = s-a făcut cu apă

la presiunea de 50 at. Dacă pe timpul probei presiunea scade la 30 at., coeficientul de compresibilitate al apei este de N/m1068,4 210−⋅−=β şi se neglijează deformarea pereţilor.

Se cere: să se determine cantitatea de apă pierdută prin neetanşeităţi. Răspuns: 33m104,1 −⋅ .

Aplicaţia 1.25. Se cere: să se determine mărimea forţei capilare Fr

şi înălţimea de ridicare a apei datorite capilarităţii într-un tub cu diametrul d = 20 mm, dacă tensiunea superficială este

m/N1077 3−⋅=σ .

Răspuns: mm5,1h

N1073,4F 3

=⋅= −

Aplicaţia 1.26. Se cere: să se determine diametrul minim al unui tub piezometric din sticlă

astfel că eroarea de măsurare a presiunii apei dintr-un rezervor să fie sub 410− bar. Răspuns: 29,4 mm.

Page 66: Curs MFL Mecanica Fluidelor

h1

h2

e

y

a

y

CG

hC

G

O, x

θ

N

F

y

Figura 3.32

Capitolul 1 STATICA FLUIDELOR

Aplicaţia 3.1 Să se traseze diagrama de presiuni,

să se determine mărimea forţei de presiune

pFv

pe stăvilarul dreptunghiular MN, din

figura 3.32 şi să se precizeze poziţia centrului de presiune C.

Se cunosc: h1 = 5 m; h2= 1 m; a = 2 m; θ = 60°; ρ = 1000 kg/m3.

Soluţie. În sistemul de axe de coordonate

Oxyh, reprezentat în figura 3.32, mărimea forţei pF

v, se obţine aplicând relaţia (3.124):

AghAsingyF GGp ⋅ρ=⋅αρ= (3.124)

.sin2

hhag

sin

hha

2

hhhgAhgF

22

212121

2gp θ⋅−⋅⋅⋅ρ=

θ−⋅⋅

−+⋅⋅ρ=⋅⋅⋅ρ=v

(3.163)

Cu ajutorul relaţiei (3.130), se determină poziţia centrului de presiune C, prin coordonata:

Ay

Ixx

G

yxGC

''+= ; (3.129)

Ay

Iyy

G

xGC

'+= , (3.130)

( ),

hh

hh

sin3

2

sin

hha

sin2

hhsin12

hha

sin2

hh

Ay

Iyy

21

21

22121

3

321

21

G

xGC

++⋅

θ⋅=

θ−⋅⋅

θ⋅+

θ⋅−⋅

+θ⋅

+=⋅

+= ′ (3.164)

sau prin poziţia sa faţă de centrul de greutate al clapetei:

( )( ) .

sinhh6

hhyye

21

221

GC θ⋅+⋅−=−= (3.165)

Diagrama de presiuni este trasată în figura 3.32. Valorile numerice conduc la următoarele rezultate:

;N10719,260sin2

15281,91000F 5

22

p ⋅=⋅

−⋅⋅⋅=o

;m977,315

51

60sin3

2y

2

C =

+=

⋅=

o

( )( ) .m513,0

60sin156

15e

2

=⋅+⋅

−=o

Page 67: Curs MFL Mecanica Fluidelor

Aplicaţia 3.2 Să se calculeze forţa de presiune şi poziţia punctului său de aplicaţie, care acţionează pe

stavila înclinată, de lăţime b = 1 m, din figura 3.34.a. Să se traseze diagrama de presiuni pe stavilă. Se cunosc: densitatea apei, ρ = 1000 kg/m3; h1 = 4 m; h2 = 2 m; θ = 60°.

Soluţie. Se calculează separat rezultantele forţelor de presiune 1F

v şi 2F

v pe cele două feţe ale stavilei,

după care se determină rezultanta lor. Suprafeţele pe care se calculează forţele de presiune fiind dreptunghiulare, se alege axa Oy,

drept cea care trece prin centrele lor de greutate, astfel încât rezultă:

0xxx C2C1C === (3.166)

AghAsingyF GGp ⋅ρ=⋅αρ= , (3.124)

Ay

Iyy

G

xGC

'+= , (3.130)

Pentru calculul forţelor de presiune şi al punctelor lor de aplicaţie se utilizează relatiile (3.124) şi (3.130), pentru sistemele de coordonate O1x1y1, respectiv O2x2y2 (figura 2. b, c):

;sin2

hg

sin

hb

2

hgF

2111

1 θ⋅⋅⋅ρ=

θ⋅⋅⋅ρ= (3.167)

;sin

h

3

2

sin

hb

sin2

hsin

hb

12

1

sin2

hy 1

11

2

1

11 θ

⋅=

θ⋅⋅

θ⋅

θ⋅⋅

+θ⋅

= (3.168)

;sin2

hbg

sin

hb

2

hgF

2222

2 θ⋅⋅⋅⋅ρ=

θ⋅⋅⋅⋅ρ= (3.169)

.sin

h

3

2

sin

hb

sin2

hsin

hb

12

1

sin2

hy 2

22

2

2

22 θ

⋅=

θ⋅⋅

θ⋅

θ⋅⋅

+θ⋅

= (3.170)

Forţa rezultantă se obţine prin însumarea vectorială a forţelor de pe cele două feţe ale stavilei:

21p FFFvvv

+= . (3.171)

Ţinând seamă de sensul de acţiune al celor două forţe, modulul forţei pFv

are valoarea:

h1

y

C

O, x

ρ

θ

F

h2

yc y

h

y

θ

1

ρ

F

C1

1

1

1 1

11

G1

h2

O x

O x

2y

θ

2

2CG

2 2

h

F1

y2

h2

2

a b cFigura 3.34

Page 68: Curs MFL Mecanica Fluidelor

FgA

aAF

gBF

FaB

AG BGh B

hA

y

y

A

B

A

B

= =

O

ρA

d'

Figura 3.36

.sin2

hhbgFFF

22

21

21p θ⋅−⋅⋅⋅ρ=−= (3.172)

Poziţia centrului de presiune C, se obţine printr-o ecuaţie de moment scrisă în raport cu punctul O (vezi figura 3.34.a):

,sin

hhyFyFyF 21

2211Cp

θ−+⋅−⋅=⋅ (3.173)

de unde rezultă coordonata yC, în sistemul de axe Oxy:

.hh

hh2

sin3

1

Fsin

hhyFyF

y21

22

1

212211

C

+−⋅

θ⋅=

θ−+⋅−⋅

= (3.174)

Diagrama de presiuni, utilizându-se scara manometrică este reprezentată în figura 3.34.a. Valorile numerice conduc la următoarele rezultate:

;N9062060sin2

4181,91000F

2

1 =⋅

⋅⋅⋅=o

;N2266060sin2

2181,91000F

2

2 =⋅

⋅⋅⋅=o

;m540,160sin

2

3

2y2 =⋅=

o

;N679602266090620FFF 21p =−=−=

.m832,224

242

60sin3

1y

2

C =

+−⋅⋅

⋅=

o

Aplicaţia 3. 3 Două blocuri

prismatice din lemn, A şi B sunt legate la o bară articulată în punctul O. Cunoscând înălţimea blocurilor hA = 2,1 m şi hB = 1,2 m, ariile secţiunilor acestora AA = 0,045 m2 şi AB = 0,108 m2, densitatea apei ρa = 1000 kg/m3 şi a lemnului ρl = 600 kg/m3, să se determine distanţa cu care se ridică sau coboară blocul B faţă de poziţia indicată în figura 3.36, pentru a se atinge echilibrul hidrostatic.

Soluţie. Fie yA şi yB

adâncimele cu care sunt imersate corpurile A şi B în apă. Forţele care acţionează asupra corpurilor sunt:

- forţele de greutate, ,hAgF AAlgA ⋅⋅⋅ρ= respectiv BBlgB hAgF ⋅⋅⋅ρ= ;

-forţele arhimedice, ,yAgF AAaaA ⋅⋅⋅ρ= respectiv .hAgF BBaaB ⋅⋅⋅ρ=

Page 69: Curs MFL Mecanica Fluidelor

h

d

F F

hG

AC

DO

B ρ

R

1

1 0 2

2

21ρ

aR Figura 3.37

Ecuaţia de echilibru, este ecuaţia de momente scrisă faţă de articulaţie, care se reduce datorită simetriei, la relaţia:

,yAghAgyAghAg BBaBBlAAaAAl ⋅⋅⋅ρ−⋅⋅⋅ρ=⋅⋅⋅ρ−⋅⋅⋅ρ (3.175)

sau:

.hAhA

yAyA

BBAA

BBAA

a

l

⋅−⋅⋅−⋅=

ρρ

(3.176)

O a doua relaţie între yA şi yB rezultă din figură: .4,29,05,1 myy BA =+=+

Prin rezolvarea sistemului de ecuaţii, se obţine: .m884,0y;m556,1y BA ==

Rezultă deci că blocul B se va ridica cu distanţa : .m056,0844,09,0d =−=

Aplicaţia 3.4 Două rezervoare, unul cu apă

celălalt cu ulei, sunt separate de un cilindru cu diametrul d = 2,5 m, lungimea l = 1 m şi articulat în B (figura 3.37) Să se determine reacţiunea în articulaţia B şi forţele de presiune orizontale şi verticale care acţionează asupra cilindrului. Se cunosc: densitatea apei ρ1 = 1000 kg/m3; densitatea uleiului ρ2 = 750 kg/m3; înălţimile celor două lichide din rezervoare, h1 = 0,6 m şi h2 = 1,25 m; Forţa de greutate a cilindrului Fg = 5000 N. Dacă cilindrul este articulat în punctul O, în care sens va avea acesta, tendinţă de rotire ?

Soluţie. Forţele de presiune orizontale sunt:

AghAsingyF GGp ⋅ρ=⋅αρ= , (3.124)

Ay

Iyy

G

xGC

'+= , (3.130)

,N17662

6,06,0181,91000

2

hhlgF 1

1101 =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ρ=

.N57482

25,125,1181,9750

2

hhlgF 2

2202 =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ρ=

Forţele verticale (arhimedice) au următoarele valori:

,N58006,05,22

3

3

6,0

2

181,91000

hd2

3

3

h

2

1ggF

2

1

21

1ABC11A

=

−⋅⋅⋅π⋅⋅⋅=

=

−⋅⋅⋅π⋅⋅⋅ρ=⋅⋅ρ= V

.N750038

5,24

2

181,9750

38

d4

2

1ggF

22

2BOD22A =⋅⋅π⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅π⋅⋅⋅⋅ρ=⋅⋅ρ= V

Page 70: Curs MFL Mecanica Fluidelor

Reacţiunea în articulaţia B, are proiecţile orizontală şi verticală: ,N398257481766FFF 02010 −=−=−=

.N8300750058005000FFFF 2A1AgA −=−−=−−=

Forţele de presiune sunt normale pe suprafeţele solide cu care vin în contact. Înseamnă că rezultantele forţelor de presiune trec prin centrul O, al cilindrului. Momentul fiind nul faţă de acest punct, cilindrul nu se va roti (cilindrul fiind un corp simetric şi omogen forţa de greutate trece prin axa sa de simetrie).

Aplicaţia 3. 5 În figura 3.38 a, se prezintă o supapă sferică comandată hidraulic. Să se determine presiunea

de comandă pc, de deschidere a supapei, cunoscând: raza sferei R= 25mm; d1 = 20 mm; d = 5mm; D = 40 mm; presiunile relative p1 =100 bar, p2 =95 bar; forţele din arcuri F1 = 45 daN, F2 = 30 daN; fluidul de lucru este ulei cu densitatea ρu =800 kg/m3; H0 = 200 mm.

Soluţie. Din echilibrul forţelor care acţionează asupra sferei rezultă:

( ) .p4

dFp

4

Dp

4

dFpHg

4

d1

2

2c

2

1

21

120

21 ⋅⋅π−−⋅⋅π+⋅⋅π=++⋅⋅ρ⋅⋅π

(3.177)

(s-a considerat contactul pactiform dintre bilă şi tija pistonului de comandă). Rezultă:

( );

4

D

p4

dFFppHg

4

d

p2

1

2

21120

21

c ⋅π

⋅⋅π+++−+⋅⋅ρ⋅⋅π

= (3.178)

.bar31,61025,1

34,19630045058,156p

3c =⋅

+++−= −

Rezultatul obţinut este aproximativ, deoarece sfera a fost redusă la o suprafaţă plană orizontală în contact cu tija pistonului.

Valoarea forţei de presiune după direcţia verticală (axa z),este:

M

HR

α

21 22

22

1F

A

N

B

E

D

D

C

C1

M

1

H

h

1F 1A EB1 1

z = z1

x1

x2

y1

y2

2

d1

pa

p2

p1

pa

1p d

d1

R0

T

pC

pa

a b Figura 3.38

Page 71: Curs MFL Mecanica Fluidelor

( ) .N58,156ppHg4

dF 120

21

z =−+⋅⋅ρ⋅⋅π=′

Pentru un calcul exact al presiunii de comandă pc, se consideră schiţa din figura 5.b. Aplicând relaţiile de calcul care vizează acţiunea fluidelor în stare de repaus asupra suprafeţelor curbe, în cazul sferei rezultă următoarele forţe verticale, după direcţia Oz (după direcţiile Ox şi Oy, forţele de presiune sunt nule), rezultă:

;gF 2122pz V⋅⋅ρ=

;gF 2222Az V⋅⋅ρ=

,gF 111Az V⋅⋅ρ= unde:

,m4,04

hdctg

2

dR

4

d3

6

ctg2

dR

321

2

121

1

BNACAD1 11=⋅⋅π+

α⋅−+⋅⋅

α⋅−⋅π== VV

,m37,26

R4ctg

2

dHR 3

212

EMFEFF21 11=⋅π⋅−

α⋅−⋅⋅π== VV

.m99,1ctg2

dR

4

d3

ctg2

dR

64

Hdctg

2

dHR

6

R4

32

121

12112

3

22

=

α⋅−+⋅⋅

α⋅−⋅π−⋅⋅π−

α⋅−⋅⋅π+⋅π⋅=V

S-au calculat următoarele mărimi care intervin în relaţiile de mai sus:

;m6,1210g

pHH 2

0 =⋅ρ

+=

;m2,1274g

ph 1 =

⋅ρ=

;5,23R2

darcsin;

R2

dsin 11 o==α=α

.m/kg800 321 =ρ=ρ=ρ

Rezultă în acest caz, componenta verticală a forţei de presiune: ( ) .N96,156gFFFF 122211Az2Az2pzz −=−−⋅⋅ρ=++= VVV

Comparând valorile obţinute pentru 'zF şi zF , se observă că diferenţa este nesimnificativă şi

nu justifică, în acest caz, calculul foarte riguros. Diferenţa devine importantă în momentul în care raza sferei, R, este de acelaşi ordin de mărime cu înălţimile H şi h.

Page 72: Curs MFL Mecanica Fluidelor

h1

O

ρ

F

h2

p1

p2F

MF

xC1

C2

α=60°

B

A

Figura 3.39

Aplicaţia 3. 6 Clapeta plană

dreptunghiulară din figura 3.39, trebuie să se răstoarne automat când nivelul apei în stânga atinge cota h1 = 9 m, rotindu-se în jurul axului O, de diametru d = 0,3 m si având un coeficient de frecare µ = 0,15. Lăţimea clapetei este b = 8 m, iar nivelul apei în dreapta acesteia este h2 = 3,5 m. Să se determine poziţia axului O.

Soluţie. Forţele de presiune care apar feţele stavilei sunt:

N106,360sin2

891081,9b

sin

h

2

hghgF 6

2311

11G1p ⋅=⋅

⋅⋅⋅=⋅α

⋅⋅⋅ρ=⋅⋅⋅ρ=o

A ,

N1055,5sin2

85,31081,9b

sin

h

2

hghgF 5

2322

22G2p ⋅=α⋅

⋅⋅⋅=⋅α

⋅⋅⋅ρ=⋅⋅⋅ρ= A.

Poziţiile yC1 şi yC2 ale centrelor de presiune, pe cele două feţe ale stavilei, în conformitate cu relaţia (3.130) sunt precizate prin distanţele:

,m928,6sin

h

3

2

bsin

h

sin2

hsin12

hb

sin2

h

y

IyACy 1

11

3

31

1

11G

x1G11C

, =α

⋅=⋅

α⋅

α

α⋅⋅

=⋅

+==A

.m694,2sin

h

3

2

bsin

h

sin2

hsin12

hb

sin2

h

y

IyABy 2

22

3

31

2

22G

x2G11C

, =α

⋅=⋅

α⋅

α

α⋅⋅

=⋅

+==A

Momentul de frecare din articulaţie este:

,R2

dM f ⋅⋅µ= (3.179)

unde R, ester reacţiunea din articulaţia O. În momentul răsturnării, reacţiunea de contact în D este nulă, astfel încât reacţiunea din articulaţia O, este:

.N10115,31055,51067,3FFR 6562p1p ⋅=⋅−⋅=−=

Rezultă momentul de frecare:

.Nm10009,710115,32

3,015,0M 46

f ⋅=⋅⋅⋅=

În poziţia critică, momentul în raport cu articulaţia O, trebuie să fie nul, adică:

,0MOCFyFM f22p1p0 =−⋅−⋅=

relaţie în care s-a considerat poziţia y, a axului faţă de centrul de presiune C1 iar distanţa

OC2 , se determină geometric:

( ) .11,2y2

694,2928,6y

2

BCACyDCDCyOC 21

212 −=−−=−−=−−=

Page 73: Curs MFL Mecanica Fluidelor

Înlocuind rezultatul obţinut în relaţia de momente, aceasta se scrie numeric sub forma: ( ) 010009,7117,2y1055,5y1067,3 456 =⋅−−⋅⋅−⋅⋅

şi rezultă: .m355,0y −=

Rezultă deci că articulaţia O, trebuie amplasată deasupra centrului de presiune C1, la distanţa

,m355,0OC1 = sau raportat la baza clapetei, la distanţa m819,3355,0464,3OCDCDO 11 =+=+= . Aplicaţia 3.7. Fie o prismă triunghiulară de dimensiuni foarte mici aflată în repaus într-un lichid (fig. 3.6).

Fig. 3.6 Se cere: să se demonstreze că în orice punct al fluidului mărimea presiunii este aceeaşi pe

toate cele trei direcţii ale sistemului de axe rectangular. Rezolvare:

Deoarece prisma noastră se află în repaus, suma forţelor pe cele trei direcţii este egală cu zero.

Suma forţelor de presiune pe direcţia y sunt egale şi de semne contrare, anulându-se reciproc: Deci:

0Fy =∑r

Suma forţelor pe direcţia x este:

0sinFFF 32x =θ−=∑rrr

sau: ( ) 0sindsdzpdydzp 32 =θ−

dar: dysinds =θ Înlocuind, rezultă:

0dydzpdydzp 32 =−

sau: 32 pp =

Suma forţelor pe direcţia z este:

0GcosFFF 31z =+θ+−=∑rrrr

sau: ( ) 02

dxdydzcosdsdypdxdyp 31 =γ+θ+−

dar: dxcosds =θ Înlocuind, rezultă:

0dxdydz2

1dxdypdxdyp 31 =λ++−

sau: 0dz2

1pp 31 =γ++−

Page 74: Curs MFL Mecanica Fluidelor

La limită, când 0dz → , adică un punct în masa de lichid, rezultă:

31 pp =

si, deci: 321 ppp ==

Aplicaţia 3.8. Se cere: să se demonstreze că într-un lichid avem expresia:

( )1212 hhpp −γ=− Rezolvare:

Se consideră o porţiune AB într-un lichid (fig. 3.7) ca un „corp” de lungime l, având secţiunea transversală dA şi aflat în echilibru faţă de greutatea sa şi efectul fluidului asupra lui.

Fig. 3.7 În punctele A şi B forţele sunt:

dApF

dApF

2B

1A

=

=r

r

Greutatea „corpului” este:

dAlG ⋅⋅λ=r

Celelalte forţe ce acţionează asupra „corpului” se anulează reciproc. La echilibru:

0Fx =∑r

sau: 0sindAldApdAp 12 =θ⋅⋅γ−−

dar: 12 hhsinl −=θ⋅ Prin înlocuire rezultă:

( )1212 hhpp −γ=− Aplicaţia 3.9 Un submarin se află la adâncimea de m300h = Se cere: să se determine presiunea în scara manometrică (presiunea relativă, pr) şi în scară

absolută, pa, în [mH2O], [mmHg], [atm], [bar], [kgf/cm2] şi [N/m2], la care se află submarinul, dacă densitatea apei de mare este: 3m/kg1020=ρ , iar temperatura se presupune a fi constantă. Rezolvare:

Relaţia dintre presiunea relativă şi cea absolută este:

atmra ppp +=

unde: patm este presiunea atmosferică. A se consulta tabelul1.8 (Anexa 1)

Page 75: Curs MFL Mecanica Fluidelor

Presiunea în [mH2O] Presiunea în [mmHg] 1 mH2O = 76 mmHg, deci:

OmH3063001000

1020hp 2

a

amr ==

ρρ

= mmHg2325676306pr =⋅=

OmH31610pp 2ra =+= mmHg24016760pp ra =+=

Presiunea în [atm] Presiunea în [bar]

OmH10atm1 2≅ , deci: atm9869,0bar1 = , deci:

atm6,30pr = bar302,309869,06,30pr ≅=⋅=

atm6,31pa = bar31130pa =+=

Presiunea în [kgf/cm2] Presiunea în [N/m2]

bar9807,0cm/kgf1 2 = , deci: 242 m/N1081,9cm/kgf1 ⋅=

2r cm/kgf6,30

9807,0

30p ==

254r m/N10301081,96,30p ⋅≅⋅⋅=

2a cm/kgf6,31

9807,0

16,30p ≅+=

Aplicaţia 3.10. Tancul de consum ulei de la o navă are sticla de nivel defectă. Şeful mecanic montează la

baza tancului un manometru cu burduf gradat în kgf/cm2. Dacă pe manometru se citeşte presiunea de 0,2 kgf/cm2, iar greutatea specifică a uleiului este 3

u cm/kgf850=γ .

Se cere: să se determine nivelul uleiului din tancul de consum. Rezolvare:

hhgp uu ⋅γ=⋅⋅ρ=

de unde:

u

ph

γ=

înlocuind:

m4,2850

102,0h

4

=⋅=

Aplicaţia 3.11. Se cere: diferenţa dintre adâncimea uleiului şi a apei dacă presiunea măsurată la adâncimea

maximă este de 5 kgf/cm2 la o temperatură constantă de 20°C. Se cunosc pentru temperatura de 20°C: 3

u cm/kgf871=ρ şi 3apa m/kg23,998=ρ .

Rezolvare:

m7,581,9871

1081,95

g

ph

4

uu =

⋅⋅⋅=

⋅ρ=

m581,923,998

1081,95

g

ph

4

apaapa =

⋅⋅⋅=

⋅ρ=

m7,057,5hh apau =−=−

Page 76: Curs MFL Mecanica Fluidelor

Aplicaţia 3.12. În fig. 3.8 este prezentat un dispozitiv hidraulic (presa) compus dintr-un plonjor A, având un

diametru d = 70 mm, cu greutate neglijabilă şi un cilindru B cu diametrul D = 700 mm şi o greutate de GB = 4000 kgf. Plonjorul şi cilindrul sunt conectaţi cu o conductă cu ulei, având greutatea specifică 3

u m/kgf750=γ .

Fig. 3.8 Se cere: forţa necesară pe plonjorul A pentru ca dispozitivul să fie în echilibru.

Rezolvare: Se determină presiunea care acţionează pe plonjorul A. Deoarece nivelurile yA şi yB sunt

aceleaşi, înseamnă că pA = pB sau:

4

D

Gp

2B

A π=

Înlocuind: 24

2A m/N102,10

4

7,0

81,94000p ⋅=

⋅π⋅=

Forţa necesară a fi aplicată pe plonjor este:

( )N104,0

4

1070102,10

4

dpF 5

234

2

⋅=⋅⋅π⋅=⋅π⋅=−

Aplicaţia 3.13. Rezervorul din fig. 3.9 conţine două lichide nemiscibile şi cu densităţi diferite. Dacă se

cunosc: h1 = 1 m; h2 = 2 m; 31 m/kg850=ρ şi 3

2 m/kg1000=ρ .

Fig. 3.9 Se cere: să se traseze diagrama presiunilor relative pe pereţii rezervorului.

Rezolvare: Presiunea în scara manometrică la suprafaţa liberă a lichidului (1 – 1) este egală cu zero.

Presiunea la suprafaţă izobară (2 – 2) este: ( ).man.scbar08,0m/N1008,0181,9850ghp 25

1122 =⋅≅⋅⋅=ρ=−

Page 77: Curs MFL Mecanica Fluidelor

25221133 m/N1028,0281,91000181,9850ghghp ⋅≅⋅⋅+⋅⋅=ρ+ρ=−

sau: ( ).man.scbar28,0p 33 =−

Aplicaţia 3.14. Se cere: să se determine presiunea apei din ocean la adâncimea de 1500 m prin două metode: a. considerând apa de mare incompresibilă; b. considerând apa de mare compresibilă, având greutatea specifică 1035 kgf/m3 la suprafaţă şi modulul de elasticitate: 25 cm/kgf102 ⋅=ε .

Rezolvare: a. Apa de mare incompresibilă Valoarea presiunii este dată de relaţia:

272 m/N1052,1m/kgf155250015001035hp ⋅==⋅=⋅γ= b. Apa de mare compresibilă Cum masa de apă de mare nu suferă modificări şi variaţia greutăţii ei este nulă, adică: dG = 0. Expresia greutăţii apei de mare poate fi scrisă sub forma:

( ) 0dvdvvddG =γ⋅+⋅γ=⋅γ= de unde:

γγ= d

v

dv

Cunoscând că pentru fluidele compresibile: dhdp ⋅γ=

şi: dv

dpv−=ε

care, folosit în relaţia de mai sus, se obţine:

γγε= d

dp

Integrând rezultă: Clnp +γ⋅ε=

şi punând condiţiile la limita de la suprafaţa apei, adică:

0pp = şi 0γ=γ

deci: 00 lnpC γε−=

de unde:

00 lnpp

γγε=−

Înlocuind dp din relaţia modulului de elasticitate în relaţia: dhdp ⋅γ−=

se obţine:

γγ=

ε⋅γ ddh

sau 2

ddh

γγ⋅ε=

Integrând:

1C1

h +γ

⋅ε=

şi punând condiţiile la limita de la suprafaţa apei, adică: 0h = şi 0γ=γ , se determină constanta:

01C

γε−= iar:

0

hγε−

γε= .

De unde se poate determina greutatea specifică a apei de mare la adâncime:

Page 78: Curs MFL Mecanica Fluidelor

( )3

9

9

0

0 m/kgf8,103510215001035

1035102

h=

⋅+−⋅⋅⋅=

ε+γγ⋅ε

Ţinând cont de faptul că presiunea este măsurată în scara manometrică: 27455

0

m/N1052,110726,71021035

8,1035ln102lnp ⋅=⋅⋅⋅=⋅=

γγε= −

Aplicaţia 3.15. Folosind relaţia: dhdp ⋅γ−= , se cere să se determine expresia diferenţei 0hh − pentru

condiţii izotermice. Rezolvare:

În condiţiile izotermice ecuaţia: 00

0

T

p

T

p

⋅γ=

⋅γ devine:

0

0pp

γ=

γ

Înlocuind în relaţia dată prin enunţul problemei se obţine:

p

dppdpdh

0

0 ⋅γ

−=γ

−=

Prin integrare se obţine:

∫ ∫γ−=

h

h

p

p0

0

0 0 p

dppdh

şi prin rezolvare rezultă:

( )p

pln

pplnpln

phh 0

0

00

0

00 γ

=−γ

−=−

Aplicaţia 3.16. Fie un rezervor cu apă la temperatura de 20°C, căruia i se ataşează un manometru tip U cu

mercur (fig. 3.11). Se cunosc datele: 3a m/kgf2,998=γ şi 3

Hg m/kgf7,13545=γ (v. tabelele 4.1 şi

4.3, Anexa 4).

Fig. 3.11 Se cere: să se determine presiunea apei (sc. manometrică) din rezervor, dacă denivelările

citite pe manometru sunt: mm800hHg = şi mm600ha = .

Rezolvare: Presiunile din punctele 1 şi 2 sunt egale, fiind puncte în acelaşi lichid. Deci se poate scrie:

HgHgDaaA ghphgp ρ+=⋅ρ+

de unde: ( )aaHgHg3A hhgpp ρ−ρ+=

sau: aaHgHg3A hhpp γ−γ+=

Page 79: Curs MFL Mecanica Fluidelor

Cerându-se presiunea în scara manometrică, rezultă: p3 = 0. Prin înlocuire se obţine:

25233A m/N10m/kgf10237106002,998108007,135450p ≅=⋅⋅−⋅⋅+= −−

Aplicaţia 3.17. Ulei cu greutatea specifică 3

u m/kgf750=γ trece printr-o diuză (fig. 3.12). La intrarea în

diuză se montează un manometru cu mercur tip U. Se cunosc diferenţa dintre axa conductei de ulei şi nivelul maxim al mercurului din manometru mm70h1 = şi greutatea specifică a mercurului

3Hg m/kgf13550=γ .

Fig. 3.12 Se cere: să se determine denivelarea citită pe manometru, dacă presiunea uleiului la intrarea

în diuză este 2A cm/kgf5,1p = .

Rezolvare: ghghp Hg1uA ρ=ρ+

sau: hhp Hg1uA γ=γ+

de unde: Hg

1uA hph

γγ+

=

Prin înlocuire se obţine:

m11,113550

1070750105,1h

34

=⋅⋅+⋅=−

Aplicaţia 3.18. Fie rezervorul A în care se află un gaz la presiunea (sc. man.) de 2

A cm/khf05,0p −= (fig.

3.13). Se cunoaşte greutatea specifică a gazului: 31,6 /g kgf mγ = .

Fig. 3.13

Page 80: Curs MFL Mecanica Fluidelor

Se cere: să se determine greutatea specifică a lichidului lγ din manometrul tip U ataşat

rezervorului, pentru măsurarea presiunii, dacă denivelările citite sunt mm450hg = şi mm400h1 =

Rezolvare: Din fig. 3.13 se observă că: 321 ppp == , dar:

3ggA php =γ+

de unde: 232343 m/N109,4m/kgf500104506,11005,0p ⋅−≅−≅⋅⋅+⋅−= −

Se mai poate vedea că:

1l43 hpp γ−=

şi 0pp 54 == , deoarece se citeşte presiunea în scara manometrică. Rezultă că:

33

1

3l m/kgf1250

10400

500

h

p=

⋅=−=γ −

(greutatea specifică indică glicerina) Aplicaţia 3.19. Rezervorul din fig. 3.14 are glicerina de la m5,1z1 = la m14z2 = , ulei până la nivelul

m5,7z3 = şi aer până la nivelul m10z4 = . Dacă greutatea specifică a glicerinei este 3

g m/kgf1260=γ şi a uleiului 3u m/kgf780=γ la temperatura constantă de 20°C.

Se cere: să se determine cât indică manometrul montat la nivelul aerului.

Fig. 3.14

Rezolvare: Din fig. 3.14 se observă că: BA pp = , dar:

( ) ( ) ( )12g23u34aerB zzzzzzp −γ+−γ+−γ=

Densitatea aerului la 20°C este: 3

aer m/kg205,1=ρ

Prin înlocuire se obţine: ( ) ( ) ( )

24A

BA

m/N108,5p

5,1481,9126045,781,97805,71081,9205,1pp

⋅=

−⋅+−⋅+−⋅==

Page 81: Curs MFL Mecanica Fluidelor

Aplicaţia 3.20. Fie un rezervor umplut cu diferite fluide care se află la cotele şi cu greutăţile specifice

prezentate în fig. 3.15. rezervorul este prevăzut la partea superioară cu un manovaccummetru pe care se citeşte presiunea 2

A cm/kgf2,0p −= .

Fig. 3.15 Se cere: a. cotele nivelurilor lichidelor în tuburile piezometrice B, C şi D; b. denivelarea mercurului din manometrul tip U.

Rezolvare: Ţinând cont că greutatea aerului este foarte mică, comparativ cu a lichidelor, presiunea la

cota 15 m poate fi considerată egală cu presiunea citită pe manovaccummetru fără a se introduce erori semnificative în calcul. Pentru coloana B:

La nivelul 3 vom avea: 0h700102,0hp 4

3A =+⋅−=γ+

de unde:

m86,2700

102,0h

4

=⋅=

Cota nivelului lichidului din piezometrul B este: m14,1286,215z3 =−=

Pentru coloana C: Presiunea la cota 12 m este:

( )1215pp 3A12 −γ+=

sau: 452412

2412

ghpp

cm/kgf01,03700102,0p

−ρ===⋅+⋅−=

de unde: m1,01000

1001,0ph

4

2

1245 =⋅=

γ=−

Cota nivelului lichidului din piezometrul C este: m1,121,012hhz 45122 =+=+= −

Pentru coloana D: Presiunea la cota 8 m este:

( ) 25242128 m/N1038,0cm/kgf41,0410001001,0812pp ⋅==⋅+⋅=−γ+=

Dar: 67168 ghpp −ρ==

Page 82: Curs MFL Mecanica Fluidelor

de unde: m25,31260

1041,0ph

4

1

867 =⋅=

γ=−

Cota nivelului lichidului din piezometrul D este: m25,1125,38hhz 6781 =+=+= −

Pentru manometrul cu mercur:

81Hg ph =γ

de unde: Hg

81

ph

γ=

Înlocuind datele se obţine:

m3,013600

1041,0h

4

1 =⋅=

Aplicaţia 3.21. Unei conducte orizontale prin care circulă apa i se ataşează între secţiunile A şi B un

manometru diferenţial cu mercur (fig. 3.16). Denivelarea citită la manometru este mm60hHg = ,

greutatea specifică a mercurului 3Hg m/kgf13600=γ .

Fig. 3.16 Se cere: să se calculeze diferenţa de presiune dintre secţiunile A şi B.

Rezolvare: Din fig. 3.14 se observă că: 31 pp = . Ţinând cont de cotele geodezice faţă de planul de

referinţă înseamnă: zzz 21 == , dar:

zpp aA1 γ−=

sau:

( ) HgHgHgaB3

A

A

a

1

hhzpp

zpp

γ++γ−=

−γ

sau: Hga

HgHg

a

B

a

3 hhzpp

γγ

+−−γ

Din egalitatea celor două presiuni rezultă:

γγ

−γ

1hpp

a

HgHg

a

B

a

A

sau: ( )aHgHgBA hpp γ−γ=−

Prin înlocuirea datelor problemei se obţine: ( ) 23

BA m/kgf7561000136001060pp =−⋅=− −

sau: 23 m/N104,7p ⋅=∆ Problema se mai poate rezolva şi cu următoarea metodă:

Page 83: Curs MFL Mecanica Fluidelor

( ) zpzzpp a1A1a1A γ+=−γ+=

deoarece: 0zA = şi zz1 =

( ) HgHg212Hg21 hpzzpp γ+=−γ+=

( ) ( )HgaB2BaB2 hzpzzpp +γ−=−γ+=

deoarece: 0zB = şi Hg2 hzz +=

Cele trei relaţii se adună şi rezultă: ( )aHgHgBA hpp γ−γ=−

Continuitatea calcului este cea prezentată mai sus. Aplicaţia 3.22. Două rezervoare A şi B aflate la o diferenţă de nivel de 2 m sunt conectate la un manometru

diferenţial cu mercur (fig. 3.17). dacă presiunea din primul rezervor este de 2,943·105 N/m2, iar în al doilea este 1,47·105 N/m2.

Se cere: să se determine mărimea denivelării h a mercurului din manometrul diferenţial.

Fig. 3.17 Rezolvare:

În această situaţie se pot scrie relaţiile:

( )A1a1A

21

zzpp

pp

−γ+==

dar: 0z1 = şi xhzA +=

deci, se poate scrie:

hypp

xhpp

HgaB2

a

A

a

1

γ+γ−=

++γ

sau: hypp

a

Hg

a

B

a

2

γγ

+−γ

Egalând relaţiile se obţine:

hya

pxh

p

a

HgB

a

A

γγ

+−γ

=++γ

de unde se poate deduce h: mm160m16,01

1000

13600

21000

1

1081,9

10943,2

1

yxpp

h4

5

a

Hg

a

B

a

A

==

⋅⋅

=

γγ

++γ

−γ

=m

Page 84: Curs MFL Mecanica Fluidelor

O altă metodă de rezolvare este prezentată mai jos: ( ) ( )[ ]xhzzpzzpp 11a1A1a1A ++−γ+=−γ+=

( ) ( )[ ]11Hg212Hg21 zzhpzzpp −+γ+=−γ+=

( ) ( ) [ ][ ]11aB2BaB2 zhyhzpzzpp +−−+γ−=−γ+=

Adunând cele trei relaţii se obţine: ( ) yhxhpp aHgaBA γ−γ++γ−=−

continuând calculele se obţine relaţia de la prima metodă. Aplicaţia 3.23. Tancul de ulei etanş din fig. 3.18 iniţial plin este golit parţial. La partea superioară este

prevăzut cu un manometru tip U cu mercur, care după golirea parţială indică denivelarea mm200h = . Nivelul uleiului de la suprafaţă după golirea parţială la un manometru este de m5H = .

Dacă greutatea specifică a uleiului este 3u m/kg850=ρ .

Se cere: să se determine presiunea indicată de manometrul A.

Fig. 3.18

Rezolvare:

hpp

Hpp

Hg32

u21

γ−=γ+=

dar: 0p3 = , măsurându-se presiunea relative. Prin înlocuire în prima relaţie obţinem: 223

Hgu1 cm/kgf53,1m/N156091020081,913600581,9850hHp ==⋅⋅⋅−⋅⋅=γ−γ= −

Aplicaţia 3.24. În rezervor rectangular cu dimensiunile L = 6 m, B = 2 m şi H = 2 m, conţine apă până la

nivelul h = 1 m. Dacă rezervorul este transportat pe orizontală cu acceleraţia constantă 2s/m5,2a = (fig. 3.19).

Se cere: să se determine forţa de presiune a apei pe pereţii laterali ai rezervorului.

Fig. 3.19

Page 85: Curs MFL Mecanica Fluidelor

Rezolvare: În fig. 3.19 se observă:

255,081,9

5,2

g

atg ===α

Urmărind în continuare figura, se observă că:

α−=−= tg2

Lhyhd

de unde: m235,0255,02

61d =−=

Se pot calcula forţele pe pereţii laterali:

( )( )Bdh2dh22

1gApF ABGAB −−ρ==

Înlocuind datele problemei se obţine:

( ) N1006,32235,022

181,91000F 42

AB ⋅=⋅−⋅=

Pentru peretele CD:

N1054,022

235,081,91000dB

2

dgApF 4

2

CDGCD ⋅≅⋅=⋅⋅ρ==

Aplicaţia 3.25. În rezervor rectangular cu dimensiunile m2B,m6L == şi m2H = este plin cu apă

rezervorul şi transportat pe orizontală cu acceleraţie constantă (fig. 3.20).

Fig. 3.20 Se cere: să se determine acceleraţia de transport a rezervorului astfel încât pierderea de apă

din rezervor să nu depăşească 50%. Rezolvare:

Volumul de apă al rezervorului este: 3m24226LBHv =⋅⋅==

Pierderea maximă de 50% înseamnă: 3p m12v = .

Cei 12 m3 înseamnă volumul triunghiului format, datorită translaţiei pe orizontală (v. fig. 3.20). De aici se deduce:

m226

24

LB

24h;12

2

hLBvp =

⋅====

În aceste condiţii:

g

a

L

htg ==α

de unde: L

gha =

Înlocuind datele problemei:

Page 86: Curs MFL Mecanica Fluidelor

2s/m27,36

281,9a =⋅=

Aplicaţia 3.26. Un vas umplut parţial cu lichid se roteşte cu o viteză unghiulară constantă în jurul axei sale

verticale (fig. 3.21).

Fig. 3.21 Se cere: să se determine ecuaţia suprafeţei libere a lichidului după ce acesta a atins aceeaşi

viteză unghiulară ca a vasului. Rezolvare:

În fig. 3.21 a. este reprezentată o secţiune transversală şi o particulă de lichid A la distanţa x

de axa de rotaţie. Forţele ce acţionează în punctul A sunt forţa de greutate Gr

şi o forţă Fr

normală la suprafaţa lichidului. Forţa de fricţiune se neglijează. Acceleraţia în punctul A este 2x ω⋅ . Direcţia

rezultantei forţelor Gr

şi Fr

este în direcţia acceleraţiei aşa cum este prezentat în fig. 3.21.b Conform legii a doua a lui Newton:

xx amFR ⋅==

sau: 2xg

GsinF ω=θ

Pe direcţia Oy avem:

∑ = 0Fy şi θ= cosFG

Conform fig. 3.21.b avem:

g

x

G

xg

G

F

Ftg

22

y

x ω=ω

==θ

Dar unghiul θ este acelaşi cu unghiul dintre axa de rotaţie şi tangenta în punctul A. În acest caz se poate scrie şi egalitatea:

dx

dytg =θ

rezultând ecuaţia:

g

x

dx

dy ω=

Prin integrare se obţine:

Cxg2

y 22

+ω=

unde C se determină din condiţiile la limită: Pentru 0y;0x == şi 0C = . Deci ecuaţia suprafeţei libere a lichidului este:

22

xg2

yω=

Page 87: Curs MFL Mecanica Fluidelor

Aplicaţia 3.27. Un vas cilindric cu înălţimea de m2H = şi diametrul m1D = conţine apă până la nivelul m2,1h = (fig. 3.22). Dacă cilindrul se roteşte în jurul axei sale verticale, se cere: a. să se determine viteza unghiulară constantă care nu produce pierderi de apă din vasul

cilindric; b. să se determine presiunea la fundul vasului central dacă viteza unghiulară a vasului este:

s/rad6=ω .

Fig. 3.22

Rezolvare: a. viteza unghiulară În mişcarea de rotaţie a fluidului se formează un paraboloid de rotaţie a cărui volum este

jumătate din volumul cilindric circumscris, adică:

( )

+−π= 1

2

p yhH4

D

2

1v

Dacă nu trebuie să se piardă apa, atunci volumul rezultat, ca urmare a rotaţiei, trebuie să fie egal cu volumul de deasupra nivelului iniţial, adică:

( ) ( )hH4

DyhH

4

D

2

1 2

1

2

−π=

+−π

de unde: m8,02,12hHy1 =−=−= Se cunoaşte din problema anterioară că ecuaţia suprafeţei libere a lichidului este de forma:

22

xg2

yω=

de unde rezultă: x

gy2=ω

şi ţinând cont de faptul că coordonatele punctul A sunt:

m5,02

1

2

Dx ===

şi: m6,18,02,12yhHy 1 =+−=+−= şi prin înlocuire cu datele problemei se obţine.

s/m2,115,0

6,181,92=

⋅⋅=ω

b. presiunea la fundul vasului

Page 88: Curs MFL Mecanica Fluidelor

Pentru viteza unghiulară: s/rad6=ω noua coordonată a punctul A este obţinută din ecuaţia suprafeţei libere:

46,05,081,92

6x

g2y 2

22

2

=⋅⋅

=ω=

Deci, minima paraboloidului se află la:

m23,046,02

1y

2

1 =⋅=

faţă de planul de sarcină iniţial al apei din vasul în stare de repaus. Deci, în centrul vasului vom avea un nivel de apă egal cu:

m97,023,02,123,0hh1 =−=−= iar pe peretele vasului vom avea nivelul de apă:

m43,146,097,0yhh 12 =+=+= În aceste condiţii presiunea pe fundul vasului la centru este:

231C m/N105,997,081,91000ghp ⋅=⋅⋅=ρ=

iar în dreptul pereţilor laterali este: 24

2p m/N104,143,181,91000ghp ⋅=⋅⋅=ρ=

Probleme propuse pentru rezolvare

Aplicaţia 3.28. Se cere: să se determine presiunea barometrică în kgf/cm2 la altitudinea de 1200 m, dacă la nivelul mării presiunea este 760 mmHg. Se consideră temperatura constantă şi egală cu 20°C. Răspuns: 2cm/kgf86,0≅ .

Aplicaţia 3.29. Presiunea atmosferică la nivelul mării şi la temperatura de 0°C este

20 cm/kgf033,1p = .

Se cere: a. să se determine presiunea atmosferică la 300 m şi 3000 m altitudine, presupunând temperatura constantă egală cu 10°C;

b. presiunea la aceleaşi altitudini, presupunând că temperatura atmosferei scade cu 0,5°C la fiecare 100 m şi este egală cu 9°C la nivelul mării.

Răspuns: a. 23

300 m/N1097p ⋅= , 233000 m/N1070p ⋅= ;

b. 23300 m/N102,97p ⋅= , 23

3000 m/N102,69p ⋅=

Aplicaţia 3.30. Să se traseze diagrama presiunilor pentru rezervorul din fig. 3.10, unde se

cunosc: ;m1h1 = ;m2h2 = ;m3h3 = ;m/kg12600 31 =ρ ;m/kg1000 3

2 =ρ ;m/kg850 33 =ρ

Fig. 3.10

Page 89: Curs MFL Mecanica Fluidelor

Aplicaţia 3.31. Un tanc închis conţine 0,6 m coloana de mercur 1,5 m coloana de apă 2,5 m coloana de ulei şi un spaţiu cu aer deasupra. Dacă presiunea (sc. man.) la fundul tancului este de 3·10-5 N/m2 şi temperatura tancului este constantă la 20°C.

Se cere: să se determine presiunea la partea superioară a tancului. Răspuns: 2cm/kgf6,1≈

Aplicaţia 3.32. Fie un rezervor sferic parţial umplut cu glicerină (fig. 3.17).Partea superioară

este cuplată la un manometru cu mercur cu denivelarea mm340hHg = . Dacă din centrul sferei până

la nivelul glicerinei înălţimea coloanei este de m5,0h = , greutatea specifică a glicerinei este de 1260 kgf/m3 şi a mercurului 13340kgf/m3.

Se cere: să se determine presiunea din centrul rezervorului sferic. Răspuns: 2cm/kgf4,0−≈

Aplicaţia 3.33. Presa hidraulică cu ulei din fig. 3.18 se află în echilibru. Dacă greutatea

specifică a uleiului este 902 kgf/m3, presiunea indicată de manometru este 2,2 kgf/cm2 şi D = h = 1,8 m.

Se cere: să se determine greutatea pistonului. Răspuns: kg300≈

Aplicaţia 3.34. Un vas tronconic cu diametrul mare m200D = , diametrul mic m1,0d = şi înălţimea 50H = este plin cu apă.

Se cere: să se determine viteza de rotaţie în jurul axului vertical al vasului astfel încât să aibă loc golirea lui completă. Răspuns: ( )s/rad14min/rot136

Aplicaţia 3.35. Un vas cilindric cu dimensiunile m2,0HD == , plin cu apă, este rotit în

jurul axei sale cu viteza de 800 rot/min. Se cere: să se determine volumul de apă rămas în cilindru.

Răspuns: 180cm3 Aplicaţia 3.36. Întru-un vas cilindric cu dimensiunile m3,0D = şi m5,0H = se află apă

până la nivelul m3,0h = . Se cere: să se determine turaţia vasului în jurul axei sale verticale până când suprafaţa liberă

atinge partea superioară a vasului. Răspuns: ( )s/rad6,18min/rot178 .