MECANICA FLUIDELOR

Generalit i

Orice substan care curge se nume te fluid. În aceast categorie se încadreaz atât lichidele cât i gazele.

Deoarece cu gazele se produc de obicei transform ri termice, studiul gazelor se face pe larg la termodinamic . Ca urmare, se face referire în continuare în mod preponderent la lichide.

În cadrul acestui curs se vor studia fluidele omogene i izotrope. Un fluid este omogen dac densitatea sa are aceea i valoare în orice punct din volumul ocupat de fluid. Un fluid este izotrop dac î i p streaz acelea i propriet i dup orice direc ie care str bate mediul fluid. Mecanica fluidelor se mai nume te i mecanica mediilor continue, deoarece un fluid umple complet spa iul în care este pus. Studiul fluidelor se face la nivel macroscopic, în sensul c o particul fluid con ine un num r considerabil de molecule. Particula fluid reprezint o por iune de fluid de form oarecare i dimensiuni arbitrar de mici, dar care p streaz propriet ile de mediu continuu ale fluidului. De obicei forma particulei este paralelipipedic , fiind adecvat efectu rii unor demonstra ii viitoare. Se deosebesc urm toarele modele de fluid:

fluid u or (practic f r greutate): aerul, gazele; fluid greu (lichidele, eventual gazele foarte dense); fluid ideal � nu are proprietatea de vâscozitate; fluid real � fluid vâscos (modelul Newton); fluid incompresibil (modelul Pascal).

For ele care ac ioneaz asupra fluidelor sunt de urm toarele tipuri:

for e masice exterioare ce ac ioneaz asupra întregii mase de fluid i sunt datorate unui câmp de for e exterioare; de exemplu:

câmpul gravita ional, câmpuri electrice sau magnetice (dac fluidul are particule ionizate � aplica ie la generatoarele magneto-hidro-dinamice); for e masice interioare � sunt de tipul ac iune-reac iune, se exercit între dou particule învecinate din fluid i se anihileaz reciproc; for e de presiune exterioare � se exercit pe suprafa a exterioar a fluidului i sunt, în general, for e de compresiune.

Sunt de tipul for elor de leg tur din mecanica clasic . for e de presiune interioare � se exercit de o parte i de cealalt a unei suprafe e oarecare ce str bate fluidul (sunt orientate dup aceea i direc ie i de sensuri opuse i deci se anihileaz reciproc).

Condi ia de echilibru a unui volum de fluid este:

0pm FF ,

condi ie ce se men ine i în cazul în cazul în care fluidul se deplaseaz cu vitez constant (mi carea uniform ).

Ecua ia de mi care pentru fluidul ideal este:

amFF pm , valabil în cazul unei mi c ri uniform variate.

Corespunde principiului al doilea al mecanicii.

Presiunea într-un punct din mediul fluid este o m rime scalar . Cu alte cuvinte, din orice direc ie ne apropiem de punctul respectiv,

vom reg si în locul respectiv aceea i valoare a presiunii.

Propriet ile generale ale fluidelor

1.Densitatea Pentru un fluid neomogen, densitatea este limita raportului dintre masa

de fluid din jurul punctului considerat i volumul de fluid corespunz tor atunci când acest volum tinde c tre 0, adic :

dvdm

vm

v 0lim

Pentru un lichid omogen:

vm

3mkg

Inversul densit ii este volumul specific:

1v

utilizat de obicei în procesele termodinamice ale aburului.

Densitatea unui fluid variaz cu temperatura dup formula:

t10

unde: densitatea la 0 C densitatea la temperatura t coeficientul de dilatare în volum al fluidului.

Daca cre te 0 sau,urmând un alt ra ionament,daca cre te volumul V cre te, m=ct. scade.

Densitatea lichidelor este, practic, constant la varia ia de presiune. Cu alte cuvinte, lichidele pot fi considerate incompresibile. Densitatea gazelor este foarte variabil la modificarea presiunii i deci

gazele sunt foarte compresibile.

Pentru calculele la care este suficient o precizie de dou zecimale, se poate considera c valoarea densit ii apei în intervalul de temperaturi uzual

0-20 C este: 310002 m

kgOH

2.Greutatea specific Pentru un fluid neomogen, greutatea specific este limita raportului

dintre greutatea de fluid din jurul punctului considerat i volumul corespunz tor, atunci când volumul tinde c tre 0.

dvdG

vG

v 0lim

Pentru un fluid omogen:

vG

3mN

, unde reprezint greutatea unit ii de volum.

Considerând vgm

i vm rezult g .

Considerând g = 9,81 m/s2 , rezult 398102 m

NOH .

3.Compresibilitatea izoterm

Este caracterizat de formula: pvv

Dac se produce o cre tere de presiune în exteriorul volumului de fluid considerat, p>0 atunci se constat o mic orare a volumului de fluid, V<0, i invers, dac p<0 V>0.

Formula anterioar arat c varia ia relativ a volumului de fluid este direct propor ional cu varia ia de presiune, prin intermediul coeficientului de compresibilitate izoterm .

La o cre tere a presiunii din jurul fluidului de exemplu, loc o comprimare rapid a acestuia, fapt ce se realizeaz la o temperatur constant i de aceea compresibilitatea este izoterm .

Se poate deduce expresia coeficientului :

pv

v1

Pentru un volum infinitezimal se scrie expresia coeficientului func ie de diferen ialele volumului i presiunii:

dpdv

v1

Coeficientul de elasticitate al fluidului este dat de:

dvdpv1

Se exprim sub alt form , pentru a demonstra c în cazul transmiterii de unde în interiorul unui lichid, acesta nu mai poate fi considerat incompresibil, lucru ce se face în mod uzual.

Pentru a demonstra acest lucru se porne te de la considerentul c masa de fluid luat în discu ie este constant .

ctm 0dm 0Vd 0VddV VddV

ddVV

ddp

Viteza sunetului într-un mediu fluid este:

dpdd

dpc 1

Rezult c pentru fenomenul de transmitere de unde sonore în lichid, acesta nu mai poate fi considerat incompresibil.

Se demonstreaz prin reducere la absurd:

Dac ct 0dpd

c , ceea ce este practic imposibil.

Se deduce deci c pentru fenomenul transmiterii de unde sonore într-un lichid, acesta trebuie considerat compresibil. În aceast situa ie viteza sunetului ce se transmite prin lichid va avea o valoare finit .

Se define te num rul lui Mach:

cvMa ,

unde: - viteza fluidului sau a corpului care evolueaz în mediul fluid, v - viteza sunetului în mediul respectiv c

Se ob ine: - pentru curgerea subsonic 1Ma cv

- pentru curgerea supersonic 1Ma cv , deci de exemplu, corpul se deplaseaz prin mediul fluid cu o vitez mai mare decât viteza sunetului.

4.Dilatarea termic Varia ia relativ a volumului de fluid este direct propor ional cu

varia ia de temperatur : T

VV

t0

,

unde V0 reprezint volumul ini ial de fluid. Se observ , de exemplu, c la o cre tere a temperaturii, are loc o cre tere a volumului de fluid considerat. Rela ia se poate prelucra sub forma:

TV

VVt

0

01 ; TVV tt101

unde Vf reprezint volumul final de fluid.

5.Adeziunea la suprafe e solide Se constat experimental c un strat de fluid din imediata apropiere a

unei suprafe e solide r mâne în repaus împreun cu suprafa a, eventual execut acela i tip de mi care o dat cu suprafa a. Se spune c stratul de fluid ader la suprafa a solid .

Grosimea acestui strat de fluid este 1001 dintr-un milimetru.

Se observ din figura precedent c straturile de fluid superioare

stratului aderent încep s se mi te, viteza acestora crescând treptat, pe m sura dep rt rii de corpul solid.

6.Vâscozitatea

Se deosebesc vâscozitatea cinematic s

m2

i vâscozitatea dinamic

2msN ;

smkg .

M rimea vâscozit ii semnific intensitatea frec rii ce se produce la curgerea fluidului. Odata cu sc derea temperaturii, vâscozitatea lichidelor cre te, iar a gazelor scade.

Între cele do

u vâscozit i exist rela ia:

Se disting dou tipuri de fluide : -fluide ideale (f r vâscozitate). Nu exist frec ri i nici pierderi de

energie în cazul curgerii acestora. -fluide reale (au proprietatea de vâscozitate). Cu ajutorul vâscozit ii se pot determina eforturile tangentiale, fortele de frecare i pierderile de energie.

Calculul efortului tangen ial Formula efortului tangen ial a fost dedus cu ajutorul experien ei lui

Newton. În cadrul experien ei se consider dou pl ci plane, solide: cea de jos în

repaus iar cea de sus în mi care rectilinie uniform , conform figurii:

Placa superioar ce se g se te în mi care rectilinie i uniform cu viteza

U antreneaz în mi care uniform cu aceea i vitez primul strat de fluid, datorit propriet ii de adeziune.

Acesta, prin intermediul eforturilor tangen iale , antreneaz succesiv la rândul lui urm toarele straturi, a c ror vitez descre te îns liniar , pe m sura apropierii de placa de baz fix .

Stratul inferior de fluid ader la placa fix i r mâne deci în repaus. S-a constatat c efortul tangen ial este o func ie de varia ia de viteze

dintre straturi estimat cu ajutorul derivatei i este propor ional cu vâscozitatea dinamic a fluidului, :

yu

dydu

Aproximarea diferen ialelor cu ajutorul diferen elor se face în cazul în care distan a h se poate considera suficient de mic .

La contac

tul dintre dou straturi învecinate, efortul se poate exprima cu:

dydu

În cazul e

xperien ei, considerând h mic, rezult :

hU

,

unde U este viteza p r ii mobile. Se poate determina în continuare for a de frecare ce apare la curgerea fluiduluicu rela ia:

AF f A fiind suprafa a unei pl ci aflat în contact cu fluidul.

7.Conductibilitatea termic Este proprietatea fluidului de a transmite c ldur . Intereseaz de obicei determinarea temperaturii unui anumit strat din

interiorul unui mediu fluid prin care se transmite c ldur . Transmiterea de c ldur poate fi caracterizat de fluxul termic q a

c rui sens, de la placa mai cald spre placa mai rece este precizat în figura urm toare:

Pentru determinarea temperaturii , corespunz toare unui strat situat la distan a y de placa de baz , ce are temperatura cea mai mic , � , se face asem narea triunghiurilor dreptunghice din figur :

Se ob ine:

hy

|||

|

y

Fluxul termic de la placa superioar la cea inferioar este dat de formula lui Fourier :

hkqq .

Semnul minus arat c fluxul termic se transmite în sens invers axei Oy. reprezint coeficientul de conductibilitate termic . qk

8.Difuzia masic

Difuzia masic este proprietatea unui fluid de a se r spândi în interiorul uni alt fluid, proces datorat agitatiei termice moleculare

Se pune problema determin rii concentra iei fluidului F1 ce difuzeaz într-o anumit zon ocupat de fluidul F2.

În cazul unui vas umplut par ial cu alcool de exemplu, deasupra c ruia se g se te aer, se poate determina concentra ia alcoolului difuzat în aer, la o anumit distan de suprafa a liber a alcoolului.

În vecin tatea suprafe ei libere a alcoolului din vas vaporii de alcool au o concentra ie de satura ie, ce reprezint de fapt concentra ia maxim a vaporilor de alcool.

La distan a maxim de suprafa a liber a lichidului concentra ia are valoarea minim . C

Se dore te determinarea concentra iei vaporilor de alcool în aer într-un

strat oarecare, orizontal, figurat pe desen cu linie întrerupt .

F când asem narea triunghiurilor dreptunghice din figur , rezult :

hyh

CCCC

S yCC

Fluxul masic m este dat de legea lui Fick:

hCkmm

i se produce în sensul pozitiv al axei Oy, adic din zona cu concentra ie de alcool mai mare spre zona cu concentra ie minim . km reprezint coeficientul de difuzie masic .

Propriet ile fizice specifice lichidelor

1.Tensiunea superficial Se constat experimental c suprafa a liber a unui fluid se g se te într-

o stare de tensiune asem n toare cu a unei membrane elastice întinse. For a care se exercit pe unitatea de l ime la suprafa a exterioar a

fluidului este coeficientul de tensiune superficial . Ca urmare a ac iunii tensiunii superficiale, la suprafa a liber r mâne un

num r minim de particule, cât sunt absolut necesare pentru a forma aceast suprafa .

Din acest motiv, volume mici de lichid iau forma sferic , (eventual elipsoidal ), tiut fiind faptul c sfera este corpul geometric cu volum maxim la suprafa exterioar minim . (O pic tur de ap aflat în c dere, pic turi de ap pe fundul unui vas cu ulei)

O suprafa exterioar a unui volum mic de lichid corespunde unei energii superficiale minime:

AW

Se poate deduce diferen a de presiune dintre zona interioar a fluidului i cea exterioar cu ajutorul formulei lui Laplace:

2121

11RR

pp � pentru elipsoidul din figur .

Dac elipsoidul devine sfer i se ob ine: RRR 21

R

pp 221

2.Capilaritatea Eeste o consecin a propriet ilor de adeziune i tensiune superficial . Se constat c lichidele cu densitate mic urc în tuburile capilare ce au

diametrul interior de ordinul zecimilor de milimetri, cu o cot h fa de suprafa a liber a lichidului, conform figurii a.

figura a figura b

Lichidele cu densitate mare coboar în tuburile capilare cu o cot h, conform figurii b.

Citirea în l imilor coloanei de lichid denivelate, h, se face plecând de la planul suprafe ei libere a lichidului pân la planul orizontal tangent la suprafa a liber a lichidului din tub.

Pentru determinarea cotei h se egaleaz rezultanta for elor de tensiune superficial calculat pe circumferin a suprafe ei libere, cu greutatea volumului de lichid ce a urcat în tubul din figura a:

gvgmr cos2 ghrr 2cos2

formula lui Jourin : gr

h cos2

3.Absob ia gazelor Fenomenul de absorb ie a gazelor într-un lichid se produce odat cu

cre terea presiunii sau sc derea temperaturii. Apa, în condi ii normale de presiune i temperatur , con ine aer. %2

4.Degajarea gazelor i cavita ia

Degajarea gazelor se produce odat cu sc derea presiunii sau cre terea temperaturii din jurul mediului lichid. (de exemplu fierberea apei)

Cavita ia este fenomenul ce se produce la sc derea presiunii pân la nivelul presiunii de vaporizare al lichidului. În aceste condi ii, se formeaz cavit i în interiorul lichidului aflat în curgere, care sunt umplute cu gaze con inute anterior în lichid, cavit i ce se reabsorb cu cre terea ulterioar a presiunii.

Fenomenul este înso it de procese mecanice (presiuni foarte mari), chimice (se dagaj oxigen activ), termice (temperaturi locale de mii de grade), electrice (fulgere în miniatur ), ce conduc împreun la distrugerea materialului metalic.

Distrugerea palelor rotoarelor de pomp cuplate la motoare asincrone conduce la asimetrii în masa acestora, ce conduc la b t i în lag re i obligativitatea opririi instala iei i înlocuirea rotorului, cu costuri ridicate pentru pies i manoper .

În mod similar se poate produce distrugerea palelor rotoarelor de turbin , în special la turbinele de abur, la ie irea din ultima treapt , cea de joas presiune, turbine cuplate la generatoare sincrone, cu pagube similare.

Pentru evitarea fenomenului de cavita ie, se asigur de regul în amonte de zona periclitat , o presiune suficient de mare, pentru a nu sc dea presiunea în zona critic pân la valoarea presiunii de vaporizare.

Statica fluidelor

Se consider c asupra fluidului în repaus ac ioneaz for ele masice exterioare i for ele exterioare de presiune.

Pentru o mas infinitezimal de fluid în repaus, ecua ia vectorial de hilibru este : ec

d mF + d pF = 0

Ecua iile de repaus ale fluidelor

Se consider o particul infinitezimal , paralelipipedic , de dimensiuni dx, dz i dy i se figureaz toate for ele exterioare ce ac ioneaz asupra particulei:

Particula este de dimensiuni infinitezimale deoarece în acest mod se

poate considera c presiunea p din origine se reg se te cu aceea i valoare pe toate cele trei fe e ce con in originea. În acest mod se poate aplica formula cea mai simpl de calcul a for ei, ca produsul dintre presiune i suprafa a aferent .

Pe fe ele opuse presiunea sufer modific ri (de exemplu, pe direc ia

avem varia ia de presiune

Ox

dxxp

).

For a masic infinitezimal este dat de:

dmfFd mm unde mf este for a masic unitar (pentru care masa m = 1):

kZjYiXfm X, Y i Z sunt componentele for ei masice unitare (masa este considerat egal cu unitatea i atunci fm devine o for ) dup cele trei direc ii asociate cu versorii i,j i k. Diferen iala masei fluidului din particul este dat de: dVdm dxdydz Se ob ine for a masic infinitezimal , respectiv componentele ei dup cele trei axe: dxdydzXdF mx dxdydzkZjYiXFd m dxdydzYdF my dxdydzZdF mz Componenta for ei de presiune dup axa OX se deduce f când bilan ul for elor orientate dup axa respectiv din figur :

dxdydzxpdydzdx

xpppdydzdFpx

Componentele dup axele OY i OZ se deduc în mod analog. Se scrie ecua ia vectorial ini ial dup cele trei direc ii f când înlocuirile componentelor de for i rezult :

Ecua iile de repaus :

:Ox 0dxdydzxpdxdydzX 01

xpX X

xp1

i

:Oy 0dxdydzypdxdydzY 01

ypY Y

yp1

j

:Oz 0dxdydzzpdxdydzZ 01

zpZ Z

zp1

k

Prin înmul irea ecua iilor cu versorii axelor i adunarea celor trei ecua ii membru cu membru rezult :

kXjYiXkzpj

ypi

xp1

i utilizând gradientul presiunii se ob ine în final ecua ia vectorial a fluidului:

mfgradp1

Aceasta semnific echilibrul în spa iul tridimensional al for elor unitare de presiune cu for ele masice unitare ce ac ioneaz asupra fluidului din particula considerat ini ial. Utilizând propriet ile de omogenitate i izotropie ale mediului fluid, se deduce faptul c ecua iile anterioare deduse pentru o particul de fluid sunt de fapt valabile pentru întregul fluid aflat în repaus.

Rela ia fundamental a staticii fluidelor

Se porne te de la ecua ia vectorial de echilibru dedus anterior:

mfgradp1

Pentru a putea integra ecua ia vectorial este necesar s se exprime for ele masice unitare tot cu ajutorul unui gradient:

gradUf m unde poten ialul for elor masice unitare. U Se ob ine prin înlocuire în ecua ia vectorial :

01 gradUgradp 01 drgradUgradp

Se calculeaz ca exemplu:

dpdzzpdy

ypdx

xpkdzjdyidxk

zpj

ypi

xpdrgradp dpdrgradp

i se ob ine:

01 dUdp - rela ia fundamental a staticii sub form diferen ial

iar prin integrare se ob ine:

ctUdp - rela ia fundamental a staticii sub form integral .

Se deduc în continuare diversele forme ale rela iei fundamentale a staticii.

1.Rela ia fundamental a staticii pentru fluide incompresibile Pentru fluidele incompresibile = ct. i efectuând integrala rezult :

ctUp ctUp

2.Transformarea izoterm a gazelor Rela ia fundamental în cazul repausului izoterm al fluidelor u oare se

deduce în condi ia pentru care ctT ctpV i considerând c masa de gaz nu se schimb în cursul transform rii, ctm , se ob ine:

ctmp ctp

Ecua ia de transformare a st rii gazului fa de starea ini ial , a c rui parametri termodinamici sunt nota i cu indicele 0, este:

0

0pp

0

0pp d

pdp

0

0 ctUdp

0

0 ctUp ln

0

0

i în final:

ctUp ln0

0

3.Transformarea adiabatic a gazelor ctpV k

ctmp k

k

, ctm ctpk

ctpK dk

pdp k

k1

0

0

ctUdkp kk

1

0

0

ctUdkp kk

2

0

0

ctUk

kp KK

1

0

0

1

4.Transformarea politrop a gazelor

ctpV n , cu exponentul politropic. Se ob ine în mod analog: n

ctUn

np nn

1

0

0

1

Calculul poten ialului for elor masice unitare

gradUf m mfgradU drfdrgradU m ZdzYdyXdxkdzjdyidxkZjYiXdU

i se ob ine expresia poten ialului for elor masice unitare: )( ZdzYdyXdxU

Consecin ele rela iei fundamentale ale repausului fluidelor

1.Suprafe ele echipoten iale ctU sunt i suprafe e izobare :

ctUp ct

2.Suprafe ele echipoten iale ctU sunt i suprafe e izodense: ct

3.Suprafe ele echipoten iale sunt i suprafe e izoterme:

ctT

4.Dou suprafe e echipoten iale nu se intersecteaz .

Prin reducere la absurd, în cazul în care suprafe ele s-ar intersecta, se deduce c în zona intersec iei am avea dou presiuni, ceea ce este imposibil . Deci suprafe ele echipoten iale nu se intersecteaz .

5.For a masic unitar este orientat perpendicular pe suprafa a echipoten ial în sensul cre terii presiunii i scaderii poten ialului.

6.Dou lichide nemiscibile au suprafa a de separa ie echipoten ial .

- pentru primul lichid ob inem: Udp 1 012 dU 0dU ctU

- pentru al doilea lichid: Udp 2

7.Într-un fluid în repaus, în care for ele masice sunt neglijabile în raport cu cele de presiune, se consider c presiunea r mâne constant în întreg volumul de fluid considerat.

0mf , din gradUfm 0gradU ctU ctp ctUp principiul lui Pascal

Aplica ii ale principiului lui Pascal 1.Presa hidraulic

Deoarece for ele de presiune sunt foarte mari fa de for ele masice se poate

considera c presiunea ctp în toat masa de lichid. Atunci se ob ine:

1

1

2

2

SF

SF

1

212 S

SFF

Se aplic conservarea momentului for elor fa de articula ia 0:

bFbaF 1 bbaFF1 F

SS

bbaFF

1

22

2.Amplificatorul hidraulic de presiune Se consider c for a transmis prin bara rigid , orizontal , ce leag pistoanele din cei doi cilindri de diametre interioare diferite este constant :

ctF 1122 SpSp 12

112 p

SS

pp

S-a ob inut astfel o presiune mult mai mare p2 fa de presiunea p1.

Repausul fluidelor în câmpul gravita ional

ctUp kgkZjYiXf m U = )( ZdzYdyXdx = - gdz = gz + ct S-a considerat c X = Y = 0 deoarece nu exist atrac ie pe orizontal în câmpul gravita ional. ctUp ctgzp

ctgzU Deoarece g

ctzp sau ctzp

Interpretarea energetic a rela iei fundamentale:

ctzp ctz

gp

ctmgzmggp

ctmgzVggp

g Vm

ctmgzpV

Suma dintre energia de presiune si cea poten ial r mâne constant .

Principiul vaselor comunicante: ctzp ctz

ctpp at Se constat deci c în cazul în care pe suprafe ele libere ale lichidului din cele dou vase comunicante ac ioneaz aceea i presiune, lichidul se ridic la acela i nivel în fiecare vas.

Calculul presiunii în interiorul unui lichid în repaus :

ctzp NNNM zpzp hpzzpp NMNNM hpp atM ghpp atM

Reparti ia de presiuni pe pere ii solizi ai unui rezervor Deoarece presiunea cre te liniar cu adâncimea conform ultimei rela ii, se ob ine o reparti ie triunghiular de presiuni cu unghiul la vârf dat de:

hhtg

Reparti ia de presiuni pentru trei lichide nemiscibile (ce nu se amestec ) se ob ine inând cont c lichidul cu greutate specific mai mare se las la fundul vasului iar cel cu greutate specific mai mic se ridic la suprafa . Unghiul la vârf cre te cu adâncimea, deci odat cu cre terea greut ii specifice a lichidului respectiv. Presiunea la baza rezervorului se ob ine ca sum a presiunilor data de cele trei coloane de lichid suprapuse (suma segmentelor de la baz din dreapta desenului).

Repausul relativ al fluidelor în câmpul gravita ional

Un fluid se g se te în repaus relativ, dac se afl în repaus fa de un sistem de referin mobil, aflat în mi care uniform variat fa de un alt sistem de referin fix.

Exemple: - lichidul dintr-un camion aflat în mi care uniform accelerat . - lichidul dintr-un vas aflat în mi care circular uniform .

Pentru a analiza situa ia ne putem situa pe sistemul de referin fix (p mânt) pentru care se aplic principiul al II-lea al dinamicii (lichidul se mi c o dat cu vehiculul respectiv) sau ne situ m pe observatorul mobil

apare for a de iner ie si pentru care: unde

0F : 0ipm FFF amFi amFF pm

Consider m c observatorul se g se te pe sistemul mobil, deci se ia în re for a de iner ie, pentru care ecua ia vectorial de echilibru este : considera

im ffgradp1

Se ob ine în mod analog cu repaosul absolut rela ia fundamental a repausului relativ:

ctUp T

unde UT este poten ialul total al for elor masice unitare i al for elor unitare de iner ie i este dat de:

iT UUU Pentru a efectua calculele într-o situa ie practic concret se determin ini ial expresia poten ialului total i apoi prin înlocuirea acestuia în rela ia fundamental a repaosului relativ se poate ob ine reparti ia de presiuni pe pere ii solizi cu care fluidul se afl în contact, respectiv zona solicitat la presiune maxim , deci cea care poate ceda prima la solicit ri.

Analiza mi c rii de transla ie a unui rezervor umplut par ial cu lichid Problema se rezolv în dou etape:

1.Determinarea ecua iei suprafe ei libere: Se porne te de la rela ia fundamental a repaosului relativ:

ctUp T i se determin expresia poten ialului total cunoscând componentele for ei

masice unitare i ale for ei unitare de iner ie:

dzZZdyYYdxXXU iiiT )(

0X aX i

mf 0Y if 0iY gZ 0iZ Prin înlocuire rezult :

ctgzaxgdzadxU T )( Deoarece pe suprafa a liber a lichidului presiunea este constant i

egal cu cea atmosferic : ctpp at

se deduce prin înlocuire în rela ia fundamental a repaosului relativ c : ctU T

Cu alte cuvinte, suprafa a liber a lichidului este o suprafa de poten ial total constant.

Se deduce ca urmare ecua ia suprafe ei libere a lichidului utilizând faptul c punctul A se g se te pe aceast suprafa :

Cgzax Cghba 02

Pentru 0,2

hbA 02ghbagzax 02

hg

abxgaz

Aceasta este de fapt ecua ia unei drepte cu pant negativ ce corespunde suprafe ei libere a lichidului din desenul prezentat anterior.

2.Reparti ia de presiuni în interiorul lichidului i pe pere ii solizi Prin înlocuirea formei finale a poten ialului total în formula presiunii se ob ine:

2Cgzaxp Punând din nou condi ia ca punctual A s se g seasc pe suprafa a liber , la presiunea atmosferic , se ob ine:

202Cghabpat gzaxghabpp at 02

adic presiunea în interiorul lichidului i pe pere ii solizi interiori este o func ie liniar de dou variabile spa iale, zxpp , .

Punând condi iile necesare pentru fiecare parte a suprafe ei solide cu care lichidul vine în contact, se ob ine în final reparti ia de presiuni pe pere ii rezervorului: Se observ c zonele cele mai solicitate sunt cele corespunz toare muchiilor ce trec prin origine i extremitatea jos dreapta. Se vor lua m surile adecvate pentru a spori rezisten a rezervorului în zonele respective.

Ac iunea fluidelor în repaus asupra suprafe elor solide

Prin analogie cu mecanica clasic se poate considera c ac iunea fluidului poate fi caracterizat de o for rezultant i un moment rezultant ce formeaz împreun un torsor. Se consider ini ial for a cu care ac ioneaz fluidul asupra unui element de suprafa infinitezimal:

dSnpFd p deci pe acea suprafa infinitezimal pe care presiunea se poate considera constant . For a total pe întreaga suprafa este atunci:

p

S

p dSnpF

iar momentul corespunz tor tuturor for elor de presiune este:

S

dSnprM S

pdSrnM

1.Ac tiunea fluidelor în repaus asupra suprafe elor plane

Pe o suprafa plan , normala are aceea i orientare constant : n

Sp pdSnF

iar momentul tuturor for elor devine:

S

pdSrnM

Pentru determinarea vectorului de pozi ie corespunz tor punctului de aplica ie al rezultantei Cr , C centrul de presiune se aplic :

Teorema lui Varignon: Momentul rezultantei este egal cu suma momentelor tuturor for elor

ce ac ioneaz asupra fluidului considerat.

pC FrM S

CS

C pdSrnpdSnrM

Se egaleaz cele dou expresii ale momentului i

S

SC

pdS

pdSrr

1.1.Ac iunea fluidelor u oare în repaus asupra suprafe elor plane

În cazul fluidelor u oare se poate considera c presiunea în întreg mediu fluid este constant i ca urmare i presiunea poate ie i în fa a integralei:

ctp S

p pdSnF SpnFp pSFp

For a cu care ac ioneaz un fluid u or asupra unei suprafe e solide plane este deci egal cu produsul dintre presiunea fluidului u or i aria suprafe ei solide pe care ac ioneaz acesta.

Pentru determinarea vectorului de pozi ie al centrului de presiune, punctul de aplica ie al for ei rezultante:

-din S

SC

pdS

pdSrr i cu ctp

S

SC

dSp

dSrpr S

SrdS

dSrr G

S

SC

GC rr GC

Centrul de presiune coincide deci cu centrul de greutate al suprafe ei pe care ac ioneaz fluidul u or.

Deoarece s-au dedus atât modulul for ei de presiune cât i punctul de aplica ie al acesteia, problema se consider rezolvat .

1.2.Ac iunea fluidelor grele în repaus asupra suprafe elor plane Deoarece ac ioneaz totodat sub suprafa a solid , se ia în

considerare numai efectul presiunii date de lichid (suprapresiunea). atp

hpp atabs , suprapresiunea este hp

SSp dSynhdSnF sin

Sp ydSnF sin

S

ydS -este momentul static al suprafe ei fa de axa . S Ox

SYydS GS

Sp ydSnF sin SYnF Gp sin ShnF Gp

Modulul for ei de presiune este deci Fp = hGS , unde: Gh este distan a de la planul suprafe ei libere a lichidului pân la

centrul de greutate al suprafe ei udate de lichid (sau adâncimea centrului de greutate al suprafe ei udate). este aria suprefe ei udate de lichid. S

S

S

S

S

S

SC

dSy

dSyr

dSy

dSyr

hdS

hdSrr

sin

sin

SY

dSyrr

G

SC

Se determin separat coordonatele carteziene ale centrului de presiune . C

SYIxy

SY

xydSX

GG

SG

unde este momentul de iner ie centrifugal al suprafe ei fa de sistemul de axe.

Ixy S

SY

dSyY

G

SG

2

unde Ix este momentul de iner ie centrifugal al suprafe ei fa de axa .

SOxPentru a putea exprima momentul de inertie cu formule cunoscute, se

trece de la sistemul de axe la sistemul aplicând teoremele lui Steiner.

xOy ''Gyx

'' yIxSYXIxy GG '2 IxSYIx G

sunt coordonatele centrului de presiune , unde se aplic for a rezultant

C

pF . SYyIxXX

GGC

''

SYIxYYG

GC'

Aplica ie: Ac iunea apei asupra suprafe ei solide plane verticale i

dreptunghiulare a unei stavile. For a de presiune se poate calcula cu ajutorul presiunii medii cu care

lichidul ac ioneaz asupra stavilei:

bhhSpF mp 20

, 2

2bhFp

Coordonata vertical a centrului de presiune se determin cu ajutorul diagramei triunghiulare de suprapresiuni din desenul anterior ce are rezultanta situat la dou treimi din adâncime fa de suprafa a liber a lichidului i evident la o treime de baz :

32hYC

Metoda a II-a: Se aplic formule deduse în curs i rezult :

ShF Gp , 2

2bhFp

, 0CX 32

622

122

'

3

hhh

bhh

bhh

SYIxYY

GGC

2.Ac iunea fluidelor în repaus asupra suprafe elor curbe deschise

2.1.Ac iunea fluidelor u oare în repaus asupra suprafe elor curbe deschise

Deoarece curbura unei suprafe e poate sa fie oarecare în spa iu, este de preferat s se determine separat componentele dupa cele 3 axe ale for ei de presiune i s se determine ulterior rezultanta .

Componentele for ei elementare sunt: dSinpidFdF ppx

cos11in cospdSdFpx yOzpx pSdF Rezult for ele:

yOzS

yOzpx pdSF

xOzS

xOzpy pdSF

xOySxOypz pdSF

Vectorii de pozi ie se calculeaz în mod similar cu cazul suprafe ei plane, cu precizarea c integralele se efectueaz pe proiec iile suprafe ei curbe deschise în cele 3 plane de coordonate x, y i z.

ctp yOzpx pSF

yOzSyOzpx pdSF

xOzpy pSF

xOypz pSF este de exemplu aria proiec iei suprafe ei curbe udate în planul yOzSyOz.

2.2.Ac iunea fluidelor grele în repaus asupra suprafe elor curbe deschise În mod similar cu procedeul aplicat în cazul ac iunii lichidelor asupra suprafe elor plane se deduc expresiile componentelor de for dup cele trei direc ii ale sistemului triortogonal:

yOzGx SZF

xOzGy SZF VFz , GC rr

unde este adâncimea centrului de greutate a suprafe ei curbe udate în planul

GZyOz iar estevolumul cuprins între suprafa a curb udat i

proiec ia ei în planul suprafe ei libere a lichidului (planul xoy). V

Componentele orizontale de for ac ioneaz în proiec iile centrului de greutate al suprafe ei udate în planele verticale. Componenta vertical de for orientat dup axa Oz ac ioneaz în centrul de greutate al volumului de lichid V.

3.Ac iunea fluidelor în repaus asupra suprafe elor curbe închise

3.1.Ac iunea fluidelor u oare în repaus asupra suprafe elor curbe închise

Rezultanta for elor de presiune dat de fluidul u or este nul . (exemplu: o minge aflat pe o suprafata plan în interiorul unui gaz se men ine în repaus).

Aceasta este totu i o aproxima ie inginereasc deoarece pe vertical asupra mingii ac ioneaz o for vertical extrem de mic , datorit faptului c mingea dislocuie te un anumit volum de gaz.

3.2.Ac iunea fluidelor grele în repaus asupra suprafe elor curbe închise

Principiul lui Arhimede For ele ce ac ioneaz asupra corpului sferic cufundat în lichid sunt:

11 VFz 122 VVVFz

iar rezultanta lor este: VFFF zzz 21

VFz din care rezult principiul lui Arhimede:

�Un corp cufundat într-un lichid este împins de jos în sus cu o for egal cu greutatea volumului de lichid dislocuit.�

Se poate face demonstra ia matematic i în urm torul mod, plecând

de la formula general a for ei de presiune:

Sp pdSnF zpp at

Vp dVgradpF

kkzpj

ypi

xpgradp

Sp dVkF

Sp dVkF VkFp

i deci modulul for ei de presiune ce ac ioneaz asupra corpului cufundat în lichid este:

VFp Semnul minus semnific faptul c for a ac ioneaz în sens invers axei

verticale, deci are tendin a de a scoate corpul din lichid.

Cinematica fluidelor Se ocup cu studiul mi c rii fluidelor f r a ine seama de for ele i transform rile energetice care apar. Se inten ioneaz determinarea componentelor vitezei vectoriale i ale accelera iei vectoriale precum i traiectoriile parcurse de particulele fluide. Mi carea se caracterizeaz sintetic prin spectrul hidrodinamic sau aerodinamic. Se consider c m rimile sunt func ii continue i derivabile în timp i spa iu i se aplic elemente de teoria câmpului. Formulele sunt valabile atât pentru fluidele ideale cât i pentru fluidele reale.

Metode de studiu în cinematic 1.Metoda Lagrange

În metoda Lagrange se urm re te fiecare particul pe traseul str b tut de aceasta, iar mi carea întregului fluid este caracterizat prin ansamblul traiectoriilor parcurse de particulele fluide.

Pentru o particul , traiectoria este caracterizat de:

tZYXXX ,,, 000

, în care , si sunt coordonatele ini iale tZYXYY ,,, 000 0X 0Y 0Z ale particulei la momentul ttZYXZZ ,,, 000 0 iar t este

variabila temporal .

Consider m c fluidul este format din N particule deci un ansamblu de N ecua ii de acest tip caracterizeaz mi carea fluidului.

Din ecua iile traiectoriilor se deduc componentele vitezei vectoriale wvu ,,

Componentele de vitez dup cele trei direc ii ale sistemului de axe triortogonal sunt:

tXu , t

Yv , tZw

Componentele accelera iei vectoriale zyx aaaaa ,, sunt:

2

2

tX

tuax

2

2

tY

tvay

2

2

tZ

twaz

2.Metoda Euler

În cadrul acestei metode se determin componentele de vitez în puncte fixe din spa iu în care se pot plasa aparate de m sur .

wvu ,, sunt func ii de 4 variabile, trei spa iale i una temporal :

tZYXuu ,,, tZYXvv ,,, tZYXww ,.,

Din componentele de vitez se deduc traiectoriile din urm toarele ecua ii:

dtdXu , dt

dYv , dtdZw

Componentele accelera iei se deduc derivând componentele de vitez :

dtduax , dt

dvay , dtdwaz

Pentru a efectua derivatele totale ale componentelor de vitez de calculeaz mai întâi diferen ialele acestora:

dZZudY

YudX

Xudt

tudu

dtdZ

Zu

dtdY

Yu

dtdX

Xu

tu

dtduax

dtuw

tuv

tuu

tu

dtduax

tvw

tvv

tvu

tv

dtdvay

tww

twv

twu

tw

dtdwaz

Calculul accelera iei vectoriale Se înmul esc componentele cu versorii zyx aaa ,, kji ,, i se adun :

kajaiaa zyx

k

Zwj

Zvi

Zuw

kYwj

Yvi

Yuvk

Xwj

Xvi

Xuui

tui

tui

tu

Zw

Yv

Xu

ta

dtd

dtdZ

ZdtdY

YdtdX

Xta tZYX ,,,

Primul termen din accelera ia vectorial , t , apare în cazul unei

mi c ri nepermanente i reprezint varia ia vitezei vectoriale în timp în anumite puncte fixe din spa iu iar urm torii 3 termeni reprezint varia ia vitezei vectoriale la deplasarea în spa iu.

Primul termen reprezint accelera ia instantanee, iar ultimii 3 reprezint accelera ia convectiv .

Accelera ia ob inut anterior corespunde unei mi c ri nepermanente i neuniforme.

Dac mi carea este permanent , atunci 0dtd

Dac mi carea este uniform , atunci derivatele par iale în raport cu una sau mai multe variabile spa iale sunt nule.

Mi carea cea mai simpl , permanent i uniform corespunde la a=0. No iuni generale de cinematic Curentul de fluid reprezint o mas de fluid aflat în mi care. Linia de curent reprezint înf ur toarea vectorilor vitez care se

g sesc la un moment dat cu originea pe curba respectiv . Altfel spus, linia de curent este curba la care vectorii vitez

corespunz tori particulelor fluide sunt tangen i la curb în punctele în care se g sesc particulele respective.

Ecua ia liniilor de curent Considerând c vectorul de viteza este paralel cu diferen iala

vectorului de pozi ie se ob in : dr|| wvu ,,

dZdYdXdr ,,

wdZ

vdY

udX

- ecua iile linilor de curent.

Doua linii de curent nu se intersecteaz niciodat . Daca s-ar intersecta, în punctul respectiv particula fluid ar avea dou viteze, fiecare vitez tangent la linia de curent corespunz toare, ceea ce este fals.

Liniile de curent umplu complet spa iul în care evolueaz fluidul. Traiectoria reprezint drumul parcurs de particula fluid în mi care. Ecua iile traiectoriei se deduc plecând de la:

dttrdr ,

dtdr

În mi carea permanent traiectoria coincide cu linia de curent. Sec iunea vie reprezint sec iunea str b tut de particulele de fluid în

mi care, perpendicular pe liniile de curent corespunz toare.

2RA bhA Perimetrul udat reprezint lungimea conturului solid cu care fluidul

se g se te în contact în cadrul sec iunii vii. RP 2 hbP 2

Raza hidraulic este raportul dintre sec iunea vie i perimetrul udat.

22

2 RR

RPARh

bhbhRh 2

Debitul volumic reprezint fluxul vectorului vitez printr-o suprafa curb deschis .

Q

dSnQ

, unde S

ndSQ

nnn cos Dac viteza este constant în orice punct al suprafe ei , atunci: S

SQ n SQ

În cazul unui circuit deschis debitul volumic se poate determina ca raportul dintre volumul de lichid scurs i timpul corespunz tor.

tVQ

sm3

, sl

tmQm

skg

debitul masic

tGQG

sN

debitul de greutate

Circula ia vitezei de-a lungul unei curbe deschise AB este:

B

At

B

A

dsds

Vârtejul este dat de:

wvuZYX

kji

rot21

21

În leg tur cu vârtejul se poate enun a teorema lui Helmholtz: Fluxul vectorului vârtej printr-o suprafa curb închis este constant.

S

ctndS

pentru o suprafa foarte mic ctdS

Un vârtej nu se poate închide în interiorul fluidului. Daca s-ar închide în interiorul fluidului 0dS

, ceea ce este practic imposibil.

Un vârtej se închide pe o suprafa solid cu care se învecineaz un fluid sau se închide în el însu i (vârtejuri toroidale).

Din punct de vedere practic este bine ca în situa ia în care te prinde un vârtej dintr-un râu, s încerci s ie i cât mai repede din el.

În caz contrar vârtejul te învârte te din ce în ce mai repede i te trage la o adâncime din ce în ce mai mare.

În cazul tornadelor produse în atmosfer viteza maxim a vârtejului apare din p cate tocmai la nivelul solului, deoarece pe sol se închide vârtejul respectiv i din aceast cauz tocmai la acest nivel for a distrug toare este maxim .

Cinematica fluidelor Ecua ia de continuitate

Ecua ia de continuitate reprezint principiul conserv rii cantit ii de fluid aflat în curgere. Prin cantitate se poate în elege volum, mas , greutate.

Ecua ia de continuitate se ob ine f când un bilan al maselor. Diferen a dintre masa de fluid intrat i cea ie it dintr-un volum de

fluid este egal cu varia ia de mas din interior datorat varia iei de densitate în timp.

Ecua ia de continuitate în cazul tridimensional:

Aceast particul , de dimensiuni dx,dy i dz este infinitezimal , astfel încât si v pot fi considerate constante în raport cu dy de exemplu. Se face bilan ul maselor:

Varia ia de mas dup direc ia axei Ox este:

dydzdtdxx

dxdydtdm uuux Se deduc:

dxdydzdtx

dm ux

dxdydzdty

dm vy

dxdydzdtz

dm wz

Se deduce varia ia total de mas :

dxdydzdtzyx

dmdmdmdm wvuzyx

Masa ini ial din particul este: dxdydzdmi

iar masa final :

dxdydzdtt

dm f

Se deduce a doua expresie a varia iei de mas :

dxdydzdxdydzdtt

dmdmdm if

dxdydzdtt

dm

Prin egalarea celor dou forme ale varia iei de mas i simplificare se ob ine ecua ia de continuitate sub forma:

0zw

yv

xu

t sau:

0divt

În cazul unei mi c ri permanente 0t

0div Pentru un fluid incompresibil ct 0div sau:

0zw

yv

xu

ce reprezint forma extins a ecua iei ce con ine varia iile de vitez .

Aceste rezultat se extinde la nivelul întregului volum de fluid, având în vedere propriet ile de omogenitate i de izotropie ale fluidului.

Ecua ia de continuitate în cazul tubului de curent:

Diferen a dintre masa intrat i cea ie it în tub este:

dtdSVdSVdtdSndSnS

nS

nS S 211 2

222111222111

Se determin ini ial varia ia de mas din interiorul particulei de fluid. În interior avem masa ini ial din volumul V:

Vi dVm ,

iar masa final este:

V

f dVdtt

m

Diferen a dintre masa final i cea ini ial este:

VVif dVdt

tdVmm dtdV

tV

F când bilan ul maselor, cu alte cuvinte egalând cele dou forme ale varia iei de mas , rezult :

dtdSVdSVdtdVt S

nS

nV 21

222111

i prin simplificare rezult :

21

222111S

nS

nV

dSVdSVdVt

Dac mi carea este permanent :

0t ctdSVdSVQ

Sn

Snm

21

222111

Dac fluidul este incompresibil: ct21 ctdSVdSVQ

Sn

Snv

21

2211

Ecua ia de continuitate pentru tubul de curent elementar Diferen a dintre masa intrat i cea ie it este:

dsdtsVSdtds

sVSVSVSdt

Masa ini ial i cea final din tubul respectiv sunt: Sdsmi

dsdttSSm f dsdt

tSm

Din bilan ul maselor, rezult :

dsdtsVSdsdt

tS

0sVS

tS

-forma general

Dac tubul este nedeformabil:

0tS

0sVS

tS

Dac mi carea este permanent : 0t

0tVS

ctVS

ctSVSVQm 222111

Dac fluidul este incompresibil: ct

ctSVSVQ 2211

Aceast form final a ecua iei de continuitate reprezint o formul foarte des utilizat de ingineri la calculul debitului volumic Q, în special în situa ia când fluidul circul printr-un circuit închis. Se poate face observa ia c , de exemplu, când sec iunea de curgere se mic oreaz , viteza fluidului trebuie s creasc astfel încât s se transporte acela i debit.

Dinamica fluidelor

Se ocup cu studiul mi c rii fluidelor, inând cont de for ele i

transform rile energetice care apar. Se analizeaz ini ial mi carea fluidelor ideale la care exist frec ri i

pierderi de energie.

Deducerea ecua iei de mi care a fluidelor ideale

Se consider un volum oarecare de fluid aflat în mi care uniform variat . Se figureaz toate for ele ce apar asupra unui volum delimitat de fluid, de dimensiuni infinitezimale i se aplic principiul al II-lea al dinamicii. Ecua ia vectorial de mi care (principiul al II-lea) este:

admFdFd pm

În mod analog cu calculul efectuat la deducerea ecua iilor staticii fluidelor se determin expresiile for ei masice elementare i ale for ei elementare de presiune i apoi ale componentelor lor.

dVfdmfFd mmm dxdydzkZjYiX

dxdydzXdFmx

dxdydzYdFmy

dxdydzZdFmz

dydzdxxpppdydzdFpx dxdydz

xp

dxdydzdVdm

Din calculul efectuat la cinematic se utilizeaz expresiei componentei de accelera ie dup axa Ox:

dtdua x

F când înlocuirile în ecua ia vectorial de mi care se ob ine ecua ia corespunz toare axei Ox:

dtdudxdydzdxdydz

xpdxdydzX

xp

dtduX prin împ r ire la :

Xxp

dtdu 1

- ecua ia corespunz toare axei Ox

Yyp

dtdv 1

- ecua ia corespunz toare axei Oy

Zzp

dtdw 1

- ecua ia corespunz toare axei Oz

Primul termen reprezint for a unitar instantanee de iner ie, al doilea

for a unitar de presiune, iar membrul drept for a masic unitar . Aplicând formulele de la cinematic pentru derivatele totale ale

componentelor de vitez rezult sistemul de ecua ii de mi care sub form extins :

Xxp

zuw

yuv

xuu

tu 1

Yyp

zvw

yvv

xvu

tv 1

Zzp

zww

ywv

xwu

tw 1

Sistemul are 4 necunoscute: u, v, w i t se completeaz sistemul cu ecua ia de continuitate.

0zw

yv

xu

t

Dac i densitatea este o necunoscut , atunci se completeaz sistemul cu ecua ia de stare a gazelor: Tp, 5 ecua ii cu 5 necunoscute.

Sistemul se rezolv exact în cazuri particulare de mi care formule analitice.

În general, sistemul se rezolv cu metode numerice, alegând o re ea în care se precizeaz valorile ini iale i/sau la limit .

Valorile ini iale , , si se precizeaz în cazul unei mi c ri nepermanente.

0u 0v 0w 0p

O condi ie la limit pentru fluidele ideale este c viteza tangen ial a fluidului la suprafa a solid este diferit de zero, datorit absen ei frec rilor.

Componenta normal a vitezei la suprafa a solid este îns nul . Ecua ia vectorial se ob ine înmul ind fiecare ecua ie cu versorul

corespunz tor axei respective i adunând membru cu membru se ob ine:

kZjYiXkzpj

ypi

xpk

dtdwj

dtdvi

dtdu 1

mfgradpdtd 1

ecua ia vectorial de mi care.

Dinamica fluidelor

Rela ia lui Bernoulli

Aceast rela ie se ob ine efectuând integrarea ecua iilor de mi care a fluidelor ideale pe o linie de curent. Se porne te de la sistemul de ecua ii de mi care ala fluidelor ideale:

Xxp

zuw

yuv

xuu

tu 1

Yyp

zvw

yvv

xvu

tv 1

Zzp

zww

ywv

xwu

tw 1

Se pun urm toarele trei condi ii:

1.Mi carea este permanent :

0tw

tv

tu

2.Mi carea se efectueaz pe o linie de curent:

wdz

vdy

udx

3.Pentru a exprima membrul drept al fiec rei ecua ii sub forma unei derivate, în scopul integr rii sistemului de ecua ii, se pune condi ia ca for ele masice s derive dintr-un poten ial.

gradUfm

gradUfm kzUj

yUi

xUkZjYiX

xUX x

Uxp

zuw

yuv

xuu 1

yUY y

Uyp

zvw

yvv

xvu 1

zUZ z

Uzp

zww

ywv

xwu 1

Prin înmul irea ecua iilor cu dx,dz i dy se ob ine sistemul:

dxxUdx

xpdx

zuwdx

yuvdx

xuu 1

dyyUdy

ypdy

zvwdy

yvvdy

xvu 1

dzzUdz

zpdz

zwwdz

ywvdz

xwu 1

Prin prelucrarea celei de-a doua condi ii se ob ine sistemul:

dxvdyu

dzwdzu dywdzv

i prin înlocuire în prima ecua ie:

dxxUdx

xpdz

zuudy

yuudx

xuu 1

dxxUdx

xpdz

zudy

yudx

xuu 1

Se înlocuie te expresia din parantez cu diferen iala componentei

vitezei vectoriale dup axa Ox, u. Se procedeaz în mod analog cu celelalte ecua ii i rezult în final

sistemul:

dxxUdx

xpduu 1

dyyUdy

ypdvv 1

dzzUdz

zpdww 1

Prin adunarea celor trei ecua ii membru cu membru se ob ine:

dzzUdy

yUdx

xUdz

zpdy

ypdx

xpdwwdvvduu 1

duuduuud 221

2

2

dudpwvud 12

222

Se înlocuie te expresia din parantez func ie de modulul vitezei vectoriale (vezi figura, în care viteza vectorial reprezint de fapt diagonala paralelipipedului dreptunghic i deci valoarea ei se ob ine cu formula corespunz toare de la geometria în spa iu). Ca urmare se ob ine rela ia în diferen iale care ulterior se integreaz :

wvu ,,

012

2

dUdpvd

- pentru fluide incompresibile ct - pentru fluide care se afl în câmp gravita ional , gzU g

ctgzdpv 12

2

ctgzpv2

2

ctg

gzg

pg

v 1112

2

ctzgp

gv2

2

- rela ia lui Bernoulli

Între punctele (1) i(2) situate pe o linie de curent, se ob ine:

g , 221

22

11

21

22z

pg

vz

pg

v

Interpretare energetic i reprezentarea grafic a rela iei:

ctzpg

v2

2

Prin înmul ire cu produsul mg se ob ine rela ia energetic :

ctmgzVggpmg

gv2

2

ctmgzpVmv2

2

Concluzie: suma dintre energia cinetic , energia de presiune i energia poten ial a fluidului r mâne constant (pentru un fluid ideal).

-linia energetic

-linia piezometric

-linia de curent

În cazul fluidelor u oare, energia poten ial este neglijabil , deci

termenul ce con ine cota z nu se mai ia în considerare.

ctgp

gv2

2

ctpv2

2

2

221

21

22pvpv

Aceasta reprezint deci rela ia lui Bernoulli pentru fluide u oare cum sunt aerul sau diverse gaze.

Teorema impulsului i teorema momentului cinetic

Impulsul unui corp cu masa m i viteza vectorial v este vm , iar momentul cinetic corespunz tor este vmr .

Impulsul total al unui sistem de corpuri este: vmH

iar momentul cinetic total: vmrK

Teorema impulsului se scrie sub forma:

eFdtdH

; eFvmdtd

Derivata în raport cu timpul a impulsului total este egal cu suma for elor exterioare care ac ioneaz asupra sistemului de corpuri.

Teorema momentului cinetic se scrie sub forma:

eMdtdK

; eMvmrdtd

Derivata în raport cu timpul a momentului cinetic total este egal cu suma momentelor for elor exterioare care ac ioneaz asupra sistemului de corpuri.

Pentru a ob ine expresiile acestor teoreme în cazul curgerii fluidelor se

procedeaz în mod analog pentru un volum de fluid format din particule de mas elementar dm.

Impulsul unei particule fluide este vdm . - pentru ct impulsul este: dVvvdV

Momentul cinetic al unei particule fluide este: dVvrvdmr

Prin analogie cu formulele din mecanica clasic prezentate anterior i valabile pentru sisteme de corpuri solide se deduc formulele valabile pentru fluide.

Impulsul total al întregului volum de fluid este:

VdVv

Teorema impulsului devine:

V eFdVvdtd

Teorema momentului cinetic devine:

V eMdVvrdtd

Pentru a efectua integralele de volum se va considera curgerea unui fluid cu densitatea constant i se va apela la no iunea de tub de curent elementar pentru care i viteza iese în fa a integralei deoarece în cazul tubului de curent elementar devine o m rime constant în orice punct din sec iunea transversal pe direc ia de curgere.

Teorema impulsului i teorema momentului cinetic pentru tubul de curent elementar egpp FFFFvvQ 2112

Varia ia for elor de impuls este egal cu suma for elor exterioare ce ac ioneaz asupra volumului de fluid V. 2v i 1v - reprezint viteza de ie ire, respectiv intrare în volumul V de fluid de control. 1pF i 2pF - for ele cu care fluidul îndep rtat ac ioneaz asupra fluidului din volumul V. gF - for a de greutate a fluidului considerat.

eF - for a cu care pere ii solizi ac ioneaz asupra fluidului din volumul V. Se poate face înlocuirea:

RFe (R este for a cu care fluidul ac ioneaz asupra pere ilor) Teorema momentului cinetic se ob ine prin înmul irea cu vectorul de

pozi ie corespunz tor a fiec rui termen din teorema impulsului: eeggpppp FrFrFrFrvrvrQ 22111122

Din teorema impulsului se deduce modulul for ei sau a lui i din

teorema momentului cinetic se determin vectorul de pozi ie .

eF `R

erCunoscând modulul for ei i punctul s u de aplica ie, problema se

consider rezolvat . EXEMPLE PRACTICE: Ac iunea apei asupra unui cot de conduct

Se consider un cot de conduct de unghi situat în plan orizontal prin care trece debitul de ap Q, la presiunea constant p (fluid ideal).

- greutatea gF se neglijeaz

(este perpendicular pe tabl )

Dac sensul vectorilor coincide cu sensul axelor, atunci vectorii î i

men in acela i semn în teorema impulsului. �Se proiecteaz � teorema impulsului pe axe i rezult :

xpp RFFvvQ coscos 2112 :Ox

yp RFvQ sinsin 22 :Oy

Deoarece cotul este în plan orizontal i are sec iunea transversal

constant , atunci ctSQV ; dac ctz p=ct vvv 12

v=ct ppp 21

SvQ ; SpFp

cos1cos1cos1 ppx FQvFQvR

cos12 pSSv 0 sinsinsin 2 pSSvFQvR py 0 For a de impuls cu care apa ac ioneaz asupra cotului de conduct este:

22yx RRR

În cazul unor valori mari ale parametrilor de curgere, debit i presiune, aceast for poate atinge valori foarte mari, de ordinul tonelor for i ca urmare trebuie luate m suri practice pentru stabilitatea instala iei, de exemplu ancorarea corespunz toare a cotului de conduct .

Influen a formai suprafe ei corpurilor fa de recep ionarea for ei de impuls

For a de impuls ini ial a curentului de ap este: QvF

1.For ta de impuls recep ionat este maxim (aproape dubl ) în cazul cupei de turbin Pelton, când avem interesul de a capta cât mai mult energie: RvvQ 12

21 vvQR

cos2

2 vQ

QvRx

cos1Qv

Situa ia ideal ar corespunde cazului 0 , 1cos QvRx 2

2.For a de impuls recep ionat este constant în cazul pl cii plane verticale:

RvvQ 12

QvQvRx 0

Suprafa a plan capteaz doar for a de impuls ini ial a unui jetului.

3.For a de impuls recep ionat este minim în cazul corpurilor cu forma frontal ascu it (vârful avioanelor de vân toare, al avionului supersonic Concorde, al vapoarelor, al ma inilor de curse):

cos2

2 vQ

QvRx

cos1Qv

0 1cos 0xR

Dinamica fluidelor reale

Fluidele reale au proprietatea de vîscozitate, care produce frec ri i pierderi de energie.

Experien a lui Reynolds

În cadrul acestei experien e, se vizualizeaz modul în care curge un anumit fluid i în final se clasific curgerea fluidelor în urm toarele regimuri de curgere: laminar, tranzitoriu, turbulent. Instala ia cuprinde:

(1)- rezervor de nivel constant (men ine adâncimea apei constant , astfel încât viteza cu care intr apa în tubul de sticl este aproximativ gh2 i se ob ine în final un debit i un regim de curgere constant.

(2)- dispozitiv de alimentare cu orificii multiple (3)- dispozitiv de preaplin. (evacueaz surplusul de debit) (4)- vas cu colorant (5)- tub injector (permite accesul coloran ilor în tubul de sticl ) (6)- tub de sticl pentru vizualizarea curgerii (7)- robinet pentru reglarea debitului (8)- mensur gradat pentru colectarea volumului de ap scurs din

tubul de sticl într-un anumit timp. Se procedeaz dup cum urmeaz .

Se deschide robinetul (6) i se introduce colorant prin acul injector. La viteze i debite mici, colorantul are aspectul din prima figur i

corespunde unui regim laminar. Particulele de fluid au o singur

component de vitez Fluidul curge în straturi, nu exist schimburi de particule i de impuls între straturile de fluid. Se deschide în continuare robinetul (6) pân se observ oscila ii aleatorii ale firului de colorant ca în a doua figur ce corespunde unui regim tranzitoriu.

Apar pulsa ii de vitez dup alte direc ii decât direc ia curgerii ce determin schimb de particule i impuls între straturi.

La o deschidere i mai

pronun at a robinetului (6) se ob in debite de curgere mari i colorantul are aspectul din figura a treia-.

În cadrul acestui regim turbulent, pulsa iile de vitez aleatorii au valori mari, schimbul de impuls este accentuat i regimul corespunde unor pierderi energetice mari.

Acest regim se întâlne te de obicei în cazul transportului fluidelor în conducte deoarece sunt solicitate de regul debite mari de fluid

. În cazul experien ei, s-a constatat c viteza medie de curgere prin tubul

de sticl , diametrul interior al tubului, precum i vâscozitatea cinematic a lichidului influen eaz evolu ia colorantului. S-a dedus num rul Reynolds:

DvRe

Pentru prima figur : 2300Re Pentru a doua figur : 2300Re Pentru a treia figur : sute de mii 2300ReÎn cadrul fiec rui regim de curgere se m soar volumul de ap scurs

într-un anumit timp i rezult debitul volumic:

tv

Qdebit

tiuneSvQ

sec 22

4

4DQ

DQ

SQv

D

DQ

2

4Re

DQ4Re

ce reprezint a doua form a num rului Reynolds.

Regimurile de curgere difer din punct de vedere optic, cinematic i energetic.

- din punct de vedere cinematic (regimul turbulent)

'vvv

Pulsa iile de vitez sunt variabile în timp, alternând valuri pozitive sau

negative fa de valoarea vitezei medii, ca în figura precedent .

- din punct de vedere energetic :pierderea de energie se poate estima cu ajutorul pantei hidraulice; Figura din stânga corespunde regimului laminar, cu pierderi de energie mai mici, ce corespund unei denivel ri mai mici între tuburile piezometrice. Figura din dreapta corespunde regimului turbulent, cu pierderi de energie mai mari, ce corespund unei denivel ri mai mari între tuburile piezometrice. La fel, pantele hidraulice au valori similare:

lh

J ll l

tt J

lh

tgJ

Ultima inegalitate se datoreaz efectelor de turbulen care conduc la pierderi suplimentare de energie fa de regimul laminar.

Ecua iile de mi care ale fluidelor reale

Spre deosebire de fluidul ideal, se consider c fluidul are proprietatea de vâscozitate i calculul urm tor se efectueaz pentru întregul volumul de fluid aflat în mi care.

Consider m c observatorul se situeaz pe sistemul de referin mobil pentru care se ia în considerare i for a de iner ie, pentru care ecua ia vectorial este:

0FFFF pim

unde F este for a datorat eforturilor tangen iale ce apar la curgerea unui fluid real. Se observ c dac se înlocuie te for a de iner ie în func ie de masa fluidului aflat în mi care i de accelera ia acestuia i produsul respectiv se trece în membrul drept, se ob ine principiul al doilea al dinamicii. Se determin în continuare expresiile for elor masice, de iner ie, de presiune i de viscozitate ce ac ioneaz asupra întregului fluid:

dVfdmfFd mmm V

mm dVfF

dVdtvddmaFd i

Vi dV

dtvdF

S V

p gradpdVpdSnF

S

dVtF

Pentru a exprima i for a total de viscozitate sub forma unei integrale de volum, se determin ini ial,separat, componentele for ei de vâscozitate dup cele 3 direc ii:

Sxx dSF dn

dux

S

x dSdnduF

V VS S

dVudVdivgradudSgradundSdndu

S

x dVuF

V

y dVvF

Vz dVwF

Prin înmul irea ecua iilor cu versorii celor trei axe i adunarea rela iilor membru cu membru se ob ine expresia for ei de viscozitate:

V V

zyx dVdVkwjviukFjFiFF

Introducând cele patru for e în ecua ia de mi care, rezult :

V

m dVgradpdtvdf 0

Vm dVgradp

dtvdf 01

mfgradpdtvd 1

ce reprezint ecua ia vectorial de mi care a fluidului.

uXxp

dtdu 1

vYyp

dtdv 1

Sistemul de ecua ii de mi care

wZzp

dtdw 1

Ultimul termen din fiecare ecua ie reprezint for a unitar de viscozitate Din acest sistem rezult rela ia lui Bernoulli pentru un fluid real:

hzp

gv

zp

gv

22

22

11

21

22

ce se calculeaz în mod similar cu cazul curgerii fluidului ideal.

Integrarea exact a sistemului de ecua ii la curgerea unui fluid între dou pl ci plane i orizontale

Se consider mi carea permanent i prin explicitarea celor trei laplaciani din sistemul precedent se ob ine sistemul extins:

2

2

2

2

2

21zu

yu

xuX

xp

zuw

yuv

xuu

2

2

2

2

2

21zv

yv

xvY

yp

zvw

yvv

xvu

2

2

2

2

2

21zw

yw

xwZ

zp

zww

ywv

xwu

pentru care au disp rut derivatele în raport cu timpul din membrul stâng.. Observând mi carea pl cilor, se constat c lichidul se deplaseaz dup

direc ia axei Ox , deci: 0u 0wv

Din ecua ia de continuitate 0zw

yv

xu

se ob ine: 0xu

Deoarece la deplasarea în direc ia axei Oy particulele situate identic au

aceea i component u a vitezei rezult c : 0yu

La deplasarea particulei dup direc ia axei Oz, u se modific de la 1u

pe placa solid superioar la pe placa solid inferioar 2u 02

2

zu

.

Deoarece curgerea are loc în câmpul gravita ional : i 0yx gz , se ob ine sistemul simplificat :

2

21xu

xp

01yp

gzp1

Din ultima ecua ie, prin integrare, se ob ine reparti ia de presiuni:

ctgzp - formula pentru presiune

Considerând situa ia cea mai simpl , 0xp

,din prima ecua ie

02

2

zu

Prin integrare în raport cu z se ob ine:

1Czu

21 CzCu

Se aplic condi iile la limit i se înlocuiesc în expresia componentei de vitez dup direc ia axei Ox, u:

0z ; 2Uu 22 CU

hUUC 21

1 ; hz 1Uu 211 ChCU

i se ob ine în final distribu ia de viteze în interiorul fluidului în mi care:

221 Uz

hUU

u - formula pentru vitez

Cu ajutorul celor dou formule se poate caracteriza comportarea fluidului în mi care în orice punct din domeniul de curgere aflat între cele dou pl ci solide.

Mi carea laminar a fluidelor reale

Se prezint aspecte legate de calculul vitezei i al debitului de fluid.

În figura din stânga se prezint distribu ia de viteze a fluidului dintr-o conduct circular dreapt în cazul mi c rii fluidului ideal.

Nu exist frec ri i ca urmare distribu ia de viteze este constant . În figura din dreapta se prezint distribu ia de viteze a fluidului dintr-o

conduct circular dreapt în cazul mi c rii laminare a fluidului real. Particulele de fluid curg în straturi paralele cu axa conductei. Distribu ia de viteze este parabolic , având un maxim în axul conductei. Scriind condi ia referitoare la for ele ce ac ioneaz asupra unui fluid în

mi care (for e de presiune si for e de frecare ) se deduce valoarea vitezei din axul conductei :

pF fF

maxu

20

21max 4

rlpp

u

în care este diferen a de presiune între punctul 1 situat în amonte i punctul 2 situat în aval iar

21 pp este vâscozitatea dinamic ce produce frec rile.

Dac creste scade. maxu

Pentru o raz r oarecare viteza stratului de fluid este: 221

4r

lpp

u

Se observ c varia ia de vitez pe vertical depinde numai de raz si nu depinde de tipul de fluid.

Viteza medie în sec iunea transversal este: 2

021max

82r

lppu

v

valoare ce se utilizeaz în rela ia lui Bernoulli. Calculul efortului tangen ial se efectueaz pornind de la formula lui

Newton:

rlpp

rlpp

drdu

242 2121

Când raza curent r devine egal cu raza interioar a conductei r0 frec rile devin maxime la contactul cu suprafa a solid i ca urmare:

021

max 2r

lpp

Pentru calculul debitului corespunz tor unei mi c ri permanente se folose te ecua ia de continuitate:

20

20

21

8rr

lpp

vSQ

i efectuând simplific rile necesare se ob ine formula final a debitului volumic:

4

021

8r

lpp

Q

În cazul unei curgeri cu suprafa liber se ob ine o distribu ie parabolic cu un maxim al vitezei pe suprafa a liber , deoarece frecarea cu stratul de aer superior frâneaz cel mai pu in lichidul.

Teoria stratului limit

Stratul limit este stratul de fluid din imediata vecin tate a unui corp solid în care se manifest foarte intens efectul eforturilor tangen iale i în care se produce o varia ie accentuat a vitezei fluidului.

1-zona curentului exterior 2-zona stratului limit

Grosimea stratului limit este dat de distan a m surat la suprafa a exterioar a corpului solid, perpendicular pe acesta, pân la care viteza difer cu 1% fa de viteza curentului exterior.

Evolu ia distribu iei de viteze în stratul limit produs de o suprafa deasupra unei pl ci plane se produce ca în figura:

Desprinderea stratului limit i formarea vârtejurilor (cazul unui cilindru circular drept orizontal). figura b

figura a

Figura a corespunde curgerii fluidului ideal. Fluidul care vine ini ial cu o energie cinetic spre punctul A, pe m sura

apropierii de acest punct î i transform energia cinetic în energie de presiune. Apoi fluidul alunec f r frec ri pe conturul solid pân în B, unde are din nou o energie cinetic maxim i energie de presiune nul . Lucrurile se petrec în continuare simetric iar la dep rtarea de corp energia de presiune se transform din nou în energie cinetic . Fluidul evolueaz f r frec ri pe contur astfel încât energia î i men ine valoarea maxim ini ial .

Figura b corespunde curgerii fluidului real. Energia cinetic se transform în energie de presiune c tre punctul A; se

deplaseaz fluidul cu frec ri pân în B, în care viteza scade i apoi c tre D, astfel încât în D nu mai are vitez suficient pentru a urma conturul solid al corpului. Fluidul întâlne te o zon de presiune ridicat i ca urmare se produce desprinderea fluidului de corpul solid.

Ca urmare particula fluid este împins c tre curentul de fluid exterior. Acesta reintroduce particula fluid în stratul limit i se formeaz astfel un vârtej care evolueaz c tre aval, formându-se a a numitele dâre hidrodinamice sau aerodinamice (care se mai numesc i dâre turbionare).

În mod practic, pentru a ob ine corpuri cu coeficien i de rezisten la înaintare mici, se determin experimental reparti ia de presiuni pe suprafa a exterioar a corpului, se calculeaz integrala presiunii pe întreaga suprafa i se determin în final coeficientul de rezisten la înaintare.

Se modeleaz suprafa a exterioar , experimental sau prin simulare numeric cu calculatorul, pân la ob inerea coeficientului de rezisten la înaintare minim.

Condi ia de desprindere a stratului limit

Conform figurii anterioare, desprinderea se produce în punctul D, pentru care distribu ia de viteze devine tangent la axa vertical Oy, perpendicular pe suprafa a solid a corpului. Acest lucru se poate exprima matematic sub forma:

yu |D = 0

Mi c rile efluente ale fluidelor

Se produc în cazul curgerii unui fluid dintr-un anumit recipient printr-un dispozitiv, într-un alt spa iu ocupat de un alt fluid.

Se deosebesc: curgeri prin orificii, prin ajutaje, prin injectoare i peste deversoare.

Ajutajele sunt dispozitive care se monteaz în zona de evacuare a fluidelor pentru cre terea debitului.

Injectoarele realizeaz jeturi de fluid cu energie cinetic mare. Deversoarele evacueaz fluidul prin partea superioar a unei incinte.

Problemele care se pun la curgerea prin orificii sunt de obicei determinarea vitezei i al debitului evacuat.

Se va calcula separat, în final, considerând mi carea nepermanent , timpul de golire unui rezervor.

1.Curgrea fluidelor prin orficii mici, în pere i sub iri, sub sarcin

constant .

Se aplic rela ia lui Bernoulli între punctele (1) i (2) pentru un fluid real. Se consider c fluidul este real i deci apar pierderi de energie. Se calculeaz pierderile locale de sarcin hidraulic la ie irea prin orificiu în func ie de coeficientul de pierdere local de sarcin cu formula:

gv

he 2

22

Prin înlocuire în rela ia lui Bernoulli se ob ine:

ehzp

gv

zp

gv

22

22

11

21

22

hz1

este mare 1S

11SvctQ1

1 SQ

v este mic 021v

gvp

gv

hp atm

22

22

221

hpp

gv atm1

22

21

ghpp

v atm 21

1 12 h

ppgv atm1

2 2

în care este coeficientul de vitez .

- pentru fluidul ideal 1 hpp

gv atm12 2

- pentru rezervor deschis atmpp1 ghv 22

- în cazul unui gaz 0h gpp

gv atm12 2

atmppv 1

2 2

Debitul volumic se ob ine utilizând ecua ia de continuitate:

AA

AvAvSvQ cc 2222

Se face nota ia: AAc

numit coeficientul de strangulare al sec iunii.

Se face nota ia , coeficientul de debit al orificiului i rezult :

hpp

gAQ atm12

Cu cât presiunea gazului din rezervor situat deasupra lichidului p1 este mai mare, eventual adâncimea lichidului din rezervor h este mai mare, cu atât se evacueaz din rezervor un debit mai mare de lichid. În func ie de modul de prelucrare al orificiului, coeficientul de debit se poate m ri i ca urmare debitul evacuat cre te.

2.Curgerea fluidelor prin orificii mari, în pere i sub iri, sub sarcin constant Deoarece viteza unui strat de fluid oarecare orizontal evacuat prin orificiul mare este func ie de variabila z, se calculeaz ini ial debitul infinitezimal evacuat i apoi debitul total prin integrare, dup cum urmeaz :

dzzbdS

dSvdQ

dzzbgzdQ 2

2

1

2

1

22H

H

H

HdzzbgzdzzbgzQ

- pentru un orificiu dreptunghiular: ctBzb

i integrala se poate calcula: 2

1

21

2H

HdzzgBQ 2

3

12232 HHgBQ

Calculul timpului de golire al unui rezervor (în mi care nepermanent )

Fiind un caz de mi care nepermanent , m rimile se schimb în timp.

Se egaleaz volumul infinitezimal scurs din rezervor în intervalul de timp dt cu volumul ce dispare din rezervor prin coborârea suprafe ei libere cu dz:

dzzAQdtdV

dzzAdtgzA 20

dzzzA

gAdt

21

0

o

H

T

odz

zzA

gAdt

21

0

Hdz

zzA

gAT

00 21

- pentru un rezervor cilindric : ctDzA4

2

4

20

0dA

HdzzD

dgT

0212

20 4

42

1

HdD

gT

2

0

21

Deci timpul total de golire a rezervorului cilindric, plin ini ial pân la

în l imea H, este:

gH

dDT 21

2

00

Mi carea turbulent a fluidelor reale

Se deosebe te optic, cinematic i energetic de celelalte tipuri de mi care Din punct de vedere cinematic, apar pulsa iile turbulente care sunt

componente de vitez dup alte direc ii fa de direc ia principal a curgerii. Ele determin transferul de particule i de impuls între straturile de

fluid. Componentele de vitez i presiune se scriu sub forma: 'uuu

'vvv

'www

'ppp Se demonstreaz c valoarea medie a unei pulsa ii este nul într-o

perioad T. Se utilizeaz formula de medie i rezult :

Tt

t

dtuT

u0

0

1 uuu '

;

Tt

t

uuuudtT

u0

0

01,

Din punct de vedre energetic, pierderile de energie sunt mai mari în regimul turbulent deoarece apar efecte suplimentare datorit turbulen elor.

Calculul efortului tangen ial turbulent i al efortului tangen ial total

Masa transferat din stratul cu vitez mai mare în cel cu vitez mai

mic produce accelerarea acestuia ca urmare a unui transfer de impuls. Au

BuMasa transferat este: dtvSVm '

Varia ia de impuls a stratului mai lent este dtvSuumuum BA ''' For a care accelereaz stratul mai lent este:

''''

vSudt

vSuF

iar efortul tangen ial turbulent corespunz tor: ''vuSF

t

O exprimare mai adecvat a efortului tangen ial turbulent, luând în considerare un interval mare de timp, este:

''vut în care semnificativ este media produsului pulsa iilor de vitez . Semnul minus apare deoarece cele dou pulsa ii de vitez au semne contrare, iar efortul trebuie s fie pozitiv.

Luând în considerare efortul tangen ial dat de legea lui Newton ce

apare în orice tip de mi care : dydu

,

se deduce efortul total:

ttot ''vudydu

tot

Cu cât regimul turbulent e mai avansat, cu atât u’ i v’ iau valori mai mari i rezult pierderi de energie mai mari.

Ecua iile de mi care ale fluidelor în regim turbulent

Ecua iile se ob in completând sistemul de ecua ii de mi care a fluidelor reale în regim laminar cu termeni func ii de pulsa iile turbulente:

',','1 wvuAuXxp

dtdu

',','1 wvuBvYyp

dtdv

',','1 wvuCwZzp

dtdw

Se completeaz sistemul cu ecua ia de continuitate sub forma general i cu formule de natur statistic pentru pulsa iile u’,v’,w’:

0zw

yv

xu

t

Sistemul are apte necunoscute, u, v, w, p precum i pulsa iile u’,v’,w’,dar con ine i apte ecua ii i deci se poate rezolva. Ultimii termeni din fiecare ecua ie, A, B, i C reprezint for ele unitare turbulente.

Distribu ia de viteze într-o conduct circular dreapt în regim turbulent este de forma unei parabole turtite la vârf:

Zona de curgere turbulent are o form aplatizat deoarece straturile cu

vitez mare situate spre axul conductei tind s le accelereze pe cele mai lente, situate spre zona laminar i invers.

Pierderile de sarcin hidraulic

Reprezint pierderi de energie ale fluidului produse pe traseul de curgere i sunt datorate frec rilor vâscoase, efectelor de turbulen precum i diverselor elemente hidraulice intercalate pe traseul de curgere.

Se deosebesc pierderi liniare sau distribuite produse pe o anumit lungime de traseu de curgere, i pierderi locale care se datoreaz diverselor elemente hidraulice ce formeaz circuitul (robine i, vane, coturi, etc.)

Formulele pierderilor de sarcin sunt semiempirice.

Ecua iile de mi care ale fluidelor nu con in influen a suprafe elor solide cu care fluidul intr în contact.

Acele neuniformit i ale suprafe elor solide produc efecte ce sunt luate în considerare prin intermediul unor coeficien i; ace tia sunt determina i experimental i dau caracterul semiempiric al formulelor respective.

Formula general a pierderilor de sarcin hidraulic este:

gvh rr 2

2

- pentru pierderi liniare:

DL

r

- pentru pierderi locale: lr

Ca urmare, pierderile liniare în cazul unei conducte circulare drepte de lungime L i diametru interior D devine:

gv

DLhd 2

2

Cu aceasta se poate determina: dghp c derea de presiune pe o conduct de lungime L.

Pierderile locale devin:

gvh ll 2

2

Pierderea de presiune total pentru un circuit cu m elemente hidraulice este:

m

i

ilt g

vg

vDLgp

1

22

22

Pierderile de sarcin se pot exprima i în func ie de debitul de fluid Q. Utilizând ecua ia de continuitate:

22

4

4DQ

DQ

SQv

pierderea distribuit devine:

5

2

24

8421

DLQ

gDQ

gDLhd

50826.0DLhd Q2 , iar depinde de num rul Reynolds , eventual

de rugozitatea conductei.

Re64

pentru regim laminar

In cadrul regimului turbulent neted stratul laminar acoper complet asperit ile. Este ca si cum peretele este neted. 25.0Re

3164.0

Coeficientul pierderilor distribuite

este dat de o expresie de forma:

DRe,

unde D este rugozitatea relativa.

Influen a asperit ilor în regim turbulent conduce la cre terea lui i al

pierderilor distribuite i implicit a pierderilor de presiune. dhPierderea local în func ie de debit se exprim cu:

42

22 1621

2 DQ

ggvh llil sau 4

2

0826.0DQh ll

în care coeficientul de pierdere local l se poate lua din fi a produsului sau din cataloage. APLICA IE

Calculul în l imii de aspira ie a unei pompe centrifuge

AH - în l imea de aspira ie a pompei centrifuge Se cunosc: Q, D, L, V,, CS presiunea de vaporizare a apei vpSe pune condi ia p1>pv i se determin în l imea de aspira ie maxima HA,max.

Mi carea permanent în conducte sub presiune

Conductele sunt sisteme hidraulice ce asigur transportul sub presiune al fluidului între dou puncte cu sarcini energetice diferite.

Se deosebesc: 1.Conducte scurte la care pierderile de sarcin hidraulic sunt date de

suma dintre pierderile distribuite i cele locale de pe parcurs. 2.Conducte lungi la care pierderile de sarcin hidraulic sunt date doar

de pierderile distribuite, corectate prin adaos cu un procent de pân la 5% dac au mai multe elemente hidraulice montate pe traseu.

Exemple: magistralele de petrol i gaze, conductele de alimentare cu ap ale localit ilor.

Problemele care se pun la calculul conductelor sunt: 1.determinarea diametrului interior � problem de dimensionare - când

se cunosc pierderile de sarcin hidraulic , natura pere ilor conductei, lungimea ei, precum i debitul necesar la consumator.

2.determinarea debitului - problem de alimentare - când se cunosc celelalte m rimi.

3.determinarea pierderii de sarcin � problem energetic � când se cunosc celelalte m rimi.

Calculul conductelor scurte:

În cazul mi c rii permanente pierderea de sarcin total este:

ieidistribuittot hhh sau

ilitot D

QQDlh 4

22

5 0826.00826.0 ,

ilitot D

lDQh 4

2

0826.0 m

1.determinarea diametrului (D) - se dau diverse valori diametrului interior al conductei i rezult

valorile pierderii de sarcin cu care se traseaz graficul urm tor:

- pentru pierderea de sarcin din cazul concret considerat se alege în final din grafic idards DD tan

2.determinarea debitului (Q) Pentru o curgere în regim laminar valoarea coeficientului pierderii de

sarcin liniar sau distribuit este:

Re64

i rezult valoarea num rului Reynolds DvRe

- se alege valoarea lui Q la itera ia 0, 0Q i rezult :

20 4

DQ

SQv

Dv 00Re Re

640 1Q ,

adic debitul la itera ia 1, i se urmeaz acela i procedeu pân când diferen a dintre dou valori succesive ale debitului volumic Q este mai mic în modul decât o valoare aleas în func ie de precizia dorit :

1nn QQ nQQ ,

adic se alege ca debit final debitul de la itera ia n.

3.determinarea pierderilor de sarcin total : Cu ajutorul lui Q Rev toth

APLICA IE

Conducta tip sifon: Se aplic rela ia lui Bernoulli între A i B:

totBBB

AAA hz

pg

vz

pg

v22

22

Parametrii hidrodinamici sunt da i de:

atmBA ppp A

A SQv ,

Deoarece este mare este mic AS Av gvA

2

2

este neglijabil.

totA hz tothH Se înlocuie te pierderea de sarcin total cu suma dintre pierderea liniar i cele locale i rezult :

gv

gv

gv

Dl

gvH eci 2222

2222

HDl

gv

eci2

2

de unde se deduce expresia vitezei de curgere pe traseu:

eciD

lgHv 2

i deci debitul sifonat din rezervorul A în rezervorul B este:

SvQ 4

2DvQ

Calculul conductelor lungi

Analogia electro-hidraulic Calculul efectuat cu ajutorul unor m rimi electrice i hidraulice prezint o anumit similaritate. - circuitul serie circuitul serie electric hidraulic - circuitul paralel circuitul paralel electric hidraulic

ctI ctQ

iidd hh

iiUU

iiII

iiQQ

cthdctU

Conducte lungi montate în serie: Aplicând rela ia lui Bernoulli între punctele A i B se ob ine:

i

diBBB

AAA hz

pg

vz

pg

v22

22

Termenii cinetici sunt neglijabili pe suprafa a liber a rezervoarelor, presiunile în A i B sunt egale cu presiunea atmosferic , din suma pierderilor de sarcin din membrul drept r mân doar pierderile distribuite i efectuând reducerile necesare rezult : dhHadic energia poten ial a lichidului din rezervorul A fa de rezervorul B se consum pe pierderile distribuite produse pe re eaua de conducte în serie.

Explicitând pierderile pe fiecare tronson se ob ine:

gv

Dl

gv

Dl

gv

Dl

H n

n

nn 222

222

2

22

21

1

11

H este dat i atunci se poate ob ine în final debitul de fluid :

ii S

Qv

i i

ii D

lQH 5

20826.0 Q

Conducte lungi montate în paralel:

Se aplic rela ia lui Bernoulli între A i B:

dBBB

AAA hz

pg

vz

pg

v22

22

- în A i B ctQ ctS ctvv BA ctD

dhH 550826.0 ii

ii Q

Dl

H iQ

Debitul total prin conducta din afara ramifica iei este : n

iiQQ

1

Ma ini hidraulice Se deosebesc: 1.Ma ini generatoare la care energia mecanic la arbore este

transformat în energie hidraulic (exemple: pompe sau ventilatoare antrenate de motoare asincrone).

2.Ma ini motoare la care energia hidraulic se transform în energie electric (exemple: turbine de ap , abur i de gaze conectate la generatoare sincrone).

3.Transformatoare hidraulice ce transform energia mecanic în energie hidraulic i apoi din nou în energie mecanic (exemplu: transmisiile hidraulice).

Ma inile hidraulice se mai clasific în:

- turboma ini la care exist o circula ie continu de fluid între aspira ie i refulare (ventilatoare i pompe axiale, diagonale, centrifugale, suflante) i care dau debite mari dar realizeaz diferen e de presiune între refulare i aspira ie mici. - ma ini volumice: - pompe cu piston, cu ro i din ate, cu pistona e, cu palete culisante; acestea realizeaz diferen e de presiune mari, dar dau debite mici.

Parametrii energetici ce caracterizeaz func ionarea unei ma ini sunt în cazul ma inii generatoare ( de exemplu o pomp sau un ventilator ):

1.debitul volumic , Q sm3

sau sl

, (1 m3 = 103 litri )

2. sarcina pompei: aaa

rrr

p zp

gv

zp

gv

H22

22

, [ m ]

3. puterea util : pu gQHP , [ W ] sau [ kW ] 4. puterea consumat : , [ W ] sau [ kW ] cP

5. randamentul pompei: c

u

PP

, [ % ] , < 1