Lucrare-gr3
1
10p 10p R 2 [X] X R 5p B 0 = p 1 =2+2X - X 2 ,p 2 =2 - X +2X 2 ,p 3 = -1+2X +2X 2 B 0 R 2 [X] B R 2 [X] B 0 p =1+ X + X 2 4p • S 1 = X, X 2 , 2X + X 2 R 2 [X] • S 2 = {4, sin 2 x, cos 2 x} R [0,1] • S 3 = {a 1 = (2, -3, 1),a 2 = (3, -1, 5),a 3 = (1, -4, 3)} R 3 • S 4 = v 1 = 3 3 1 0 ,v 2 = -2 3 2 1 ,v 3 = 1 0 0 0 ,v 4 = 0 1 0 0 M 2,2 (R) 4p V = ( (x 1 ,x 2 ,x 3 ) ∈ R 3 | ( 2x 1 + x 2 - x 3 =0 2x 1 + x 2 + x 3 =0 ) V R 3 V R 3 2p V 1 = L(a 1 ,a 2 ,a 3 ) a 1 = (1, -2, 3),a 2 = (2, -4, 6),a 3 =(-1, 2, -3) V 2 = L(b 1 ,b 2 ,b 3 ,b 4 ) b 1 = (1, 2, 3),b 2 =(-1, 1, 1),b 3 = (0, 3, 4),b 4 = (2, 1, 2) 3p • V 3 = {f : R → R | f - f unctie para}⊂ R R • V 4 = (x, 0) | x ∈ R 2 ⊂ R 2 • V 5 = {(x, y, 1) | x, y ∈ R}⊂ R 3
-
Upload
c-alexandru-iulian -
Category
Documents
-
view
228 -
download
6
description
dsdfss
Transcript of Lucrare-gr3
-
Lucrare semestriala - algebra liniara
I. (10p) Spatii liniare. Denitie, exemple, reguli de calcul.
II. (10p) Operatii cu subspatii liniare.
III. Fie R2[X] multimea polinoamelor in nedeterminata X, cu coecienti in campul R, de grad cel mult doi,organizata ca un spatiu liniar real.
a) (5p) Fie B ={p1 = 2 + 2X X2, p2 = 2X + 2X2, p3 = 1 + 2X + 2X2
}. Vericati ca B este bazain R2[X]. Scrieti matricea de trecere de la B, baza canonica a lui R2[X], la baza B si determinati coordonatelelui p = 1 +X +X2 in raport cu ambele baze.
b) (4p) Precizati valoarea de adevar a urmatoarelor propozitii matematice, argumentand:
S1 ={X,X2, 2X +X2
}este sistem de generatori pentru R2[X];
S2 = {4, sin2 x, cos2 x} este sistem liniar independent de vectori in R[0,1]; S3 = {a1 = (2,3, 1), a2 = (3,1, 5), a3 = (1,4, 3)} este sistem liniar independent de vectori in R3;
S4 ={v1 =
(3 31 0
), v2 =
( 2 32 1
), v3 =
(1 00 0
), v4 =
(0 10 0
)}este sistem de generatori
pentruM2,2(R).
IV. a) (4p) Fie V =
{(x1, x2, x3) R3 |
{2x1 + x2 x3 = 02x1 + x2 + x3 = 0
}. Vericati ca V este subspatiu liniar al lui R3.
Determinati o baza in V si completati-o la o baza in R3.
b) (2p) Extrageti cate o baza din subspatiile liniare urmatoare: V1 = L(a1, a2, a3), a1 = (1,2, 3), a2 =(2,4, 6), a3 = (1, 2,3), V2 = L(b1, b2, b3, b4), b1 = (1, 2, 3), b2 = (1, 1, 1), b3 = (0, 3, 4), b4 = (2, 1, 2).
c) (3p) Care dintre urmatoarele multimi formeaza subspatii liniare in spatiile corespunzatoare? Motivati!
V3 = {f : R R | f functie para} RR; V4 =
{(x, 0) | x R2} R2;
V5 = {(x, y, 1) | x, y R} R3.
Fiecare subiect are un punct din ociu. Timp de lucru: doua ore.
1
