Lucrare semestriala - algebra liniara

I. (10p) Spatii liniare. Denitie, exemple, reguli de calcul.

II. (10p) Operatii cu subspatii liniare.

III. Fie R2[X] multimea polinoamelor in nedeterminata X, cu coecienti in campul R, de grad cel mult doi,organizata ca un spatiu liniar real.

a) (5p) Fie B ={p1 = 2 + 2X X2, p2 = 2X + 2X2, p3 = 1 + 2X + 2X2

}. Vericati ca B este bazain R2[X]. Scrieti matricea de trecere de la B, baza canonica a lui R2[X], la baza B si determinati coordonatelelui p = 1 +X +X2 in raport cu ambele baze.

b) (4p) Precizati valoarea de adevar a urmatoarelor propozitii matematice, argumentand:

S1 ={X,X2, 2X +X2

}este sistem de generatori pentru R2[X];

S2 = {4, sin2 x, cos2 x} este sistem liniar independent de vectori in R[0,1]; S3 = {a1 = (2,3, 1), a2 = (3,1, 5), a3 = (1,4, 3)} este sistem liniar independent de vectori in R3;

S4 ={v1 =

(3 31 0

), v2 =

( 2 32 1

), v3 =

(1 00 0

), v4 =

(0 10 0

)}este sistem de generatori

pentruM2,2(R).

IV. a) (4p) Fie V =

{(x1, x2, x3) R3 |

{2x1 + x2 x3 = 02x1 + x2 + x3 = 0

}. Vericati ca V este subspatiu liniar al lui R3.

Determinati o baza in V si completati-o la o baza in R3.

b) (2p) Extrageti cate o baza din subspatiile liniare urmatoare: V1 = L(a1, a2, a3), a1 = (1,2, 3), a2 =(2,4, 6), a3 = (1, 2,3), V2 = L(b1, b2, b3, b4), b1 = (1, 2, 3), b2 = (1, 1, 1), b3 = (0, 3, 4), b4 = (2, 1, 2).

c) (3p) Care dintre urmatoarele multimi formeaza subspatii liniare in spatiile corespunzatoare? Motivati!

V3 = {f : R R | f functie para} RR; V4 =

{(x, 0) | x R2} R2;

V5 = {(x, y, 1) | x, y R} R3.

Fiecare subiect are un punct din ociu. Timp de lucru: doua ore.

1