Integrale improprii cu parametru

Având drept exemplu integrala1R0

sin txx dx; t 2 R; asa cum s-au considerat

integrale proprii cu parametru, putem considera si integrale improprii cu para-metru.Fie f : [a; b)�� �! R (b poate � si +1):

De�nim F (y) =bRa

f(x; y)dx oridecâte ori integralabRa

f(x; y)dx este conver-

gent¼a.Ne intereseaz¼a conditiile în care propriet¼atile functiei f (existenta limitei,

continuitatea, derivabilitatea, integrabilitatea) se transmit la functia F:Pentru aceasta avem nevoie de urm¼atoarea notiune:

De�nitie: Spunem c¼a integralabRa

f(x; y)dx este uniform convergent¼a pe �

la F (y) dac¼a 8" > 0 exist¼a � 2 [a; b) astfel încât 8� 2 (�; b)������bZa

f(x; y)dx� F (y)

������ < "; pentru orice y 2 �:Criterii de convergent¼a uniform¼a

Criteriul lui Dirichlet

Fie f; g : [a; b)�� �! R: Dac¼ab�0Ra

f(x; y)dx are integralele partiale m¼argi-

nite uniform pe � (9K > 0 astfel încât

�����ARaf(x; y)dx����� � K; 8A 2 [a; b);8y 2 �)

iar g este descresc¼atoare în raport cu x pentru orice y 2 � si limx%b

g(x; y) = 0

uniform când y 2 �, atuncib�0Ra

f(x; y)g(x; y)dx este convergent¼a uniform în

raport cu y pe �.

Exemplu:1R0

sin(tx)x dx este uniform convergent¼a pentru t 2 [�;1) cu � > 0.

Luând f(x; t) = sin(tx) si g(x; t) = 1x observ¼am c¼a se veri�c¼a ipotezele

criteriului lui Dirichlet.

Criteriul lui Abel

1

Fie f; g : [a; b) � � �! R: Dac¼ab�0Ra

f(x; y)dx este convergent¼a uniform în

raport cu y pe � iar g este monoton¼a în raport cu x pentru orice y 2 � sieste m¼arginit¼a uniform (9M > 0 astfel încât jg(x; y)j �M; 8x 2 [a; b);8y 2 �)

atuncib�0Ra

f(x; y)g(x; y)dx este convergent¼a uniform în raport cu y pe �.

Exemplu:1R0

e�kx sin(x)x dx este uniform convergent¼a în raport cu k � 0.

În continuare sunt prezentate rezultate care asigur¼a transferul propriet¼atilorde la functia f la functia F .

Teorem¼a (trecerea la limit¼a)Fie y0 un punct de acumulare pentru �: Dac¼aa) exist¼a lim

y!y0f(x; y) = l(x) uniform în raport cu x pe orice interval compact

[c; d] inclus în [a; b);

b)b�0Ra

f(x; y)dx este convergent¼a uniform în raport cu y pe o vecin¼atate a

lui y0;

atuncib�0Ra

l(x)dx este convergent¼a si

limy!y0

b�0Za

f(x; y)dx =

b�0Za

limy!y0

f(x; y)dx:

Teorem¼a (continuitatea)Fie y0 2 [c; d]: Dac¼aa) f(�; �) este continu¼a pe [a; b)� [c; d];

b)b�0Ra

f(x; y)dx este convergent¼a uniform în raport cu y pe [c; d];

atunci F este continu¼a pe [c; d].

Teorem¼a (derivabilitatea)Fie f : [a; b]� [c; d] �! R continu¼a pe [a; b)� [c; d]: Dac¼aa) exist¼a @f

@y : [a; b]� [c; d] �! R si este continu¼a pe [a; b)� [c; d];

b)b�0Ra

@f@y (x; y)dx este convergent¼a uniform în raport cu y 2 [c; d];

atuncib�0Ra

f(x; y)dx este convergent¼a uniform pe [c; d]; F este derivabil¼a si

F 0(y) =

b�0Za

@f

@y(x; y)dx:

2

Teorem¼a (integrabilitatea)Fie f : [a; b]� [c; d] �! R. Dac¼aa) f este integrabil¼a pe [c; d] pentru orice y 2 [c; d];

b)b�0Ra

f(x; y)dx este convergent¼a uniform pe [c; d];

atunci F este integrabil¼a pe [c; d] si

dZc

0@ bZa

f(x; y)dx

1A dy = bZa

0@ dZc

f(x; y)dy

1A dx:Aplicatii

Vom studia propriet¼atile functiei F (t) =1R0

sin txx dx, t 2 R.

Vom considera functia f : [0;1)�R �! R, de�nit¼a prin f(x; t) =�

sin txx ; x 6= 0;

t; x = 0:

Se observ¼a cu usurint¼a c¼a f este continu¼a si c¼a F (t) =1R0

f(x; t)dx:

Cum F (0) = 0 iar pentru t 6= 0; din criteriul lui Dirichlet, obtinem c¼a1R0

sin txx dx este convergent¼a (

1R0

sin txdx are integralele partiale m¼arginite iar 1x &

0; pentru x!1), rezult¼a c¼a functia F este bine de�nit¼a.Pentru a continua studiul integralei

1R0

sin txx dx vom folosi o integral¼a ajut¼a-

toare.

Fie k � 0 �xat si g : [0;1)�R �! R, de�nit¼a prin g(x; t) =�e�kx sin txx ; x 6= 0;t; x = 0:

Dac¼a t 6= 0; cum1R0

sin txdx are integralele partiale m¼arginite iar e�kx

x este

descresc¼atoare si e�kx

x & 0 pentru x ! 1;1R0

g(x; t)dx este convergent¼a. Dac¼a

t = 0;1R0

g(x; t)dx este convergent¼a deoarece g(x; t) = 0: De aici se obtine c¼a este

bine de�nit¼a functia G : R �! R; dat¼a prin G(t) =1R0

g(x; t)dx:

Dac¼a �x¼am c; d 2 R astfel încât 0 < c < d; obtinem:a) exist¼a @g

@t : [0;1)�[c; d] �! R si este continu¼a.pe [0;1)�[c; d] (@g@t (x; t) =e�kx cos tx; 8(x; t) 2 [0;1)� [c; d]);b) deoarece

���@g@t (x; t)��� = ��e�kx cos tx�� � e�kx 8 t 2 [c; d] iar1R0

e�kxdx este

convergent¼a, obtinem c¼a1R0

@g@t (x; t)dx converge uniform în raport cu t pe [c; d].

Din a) si b) rezult¼a c¼a G este derivabil¼a pe [c; d] si G0(t) =1R0

@g@t (x; t)dx =

kt2+k2 ; pentru orice t 2 [c; d]: Cum c; d au fost alesi arbitrar cu proprietatea c¼a

3

0 < c < d; obtinem c¼a G este derivabil¼a pe [0;1) si G0(t) = kt2+k2 8t 2 [0;1);

adic¼a G(t) = atctg tk +C pentru orice t 2 [0;1). Deoarece G(0) = 0 obtinemc¼a G(t) = atctg tk pentru orice t 2 [0;1):

Dac¼a privim integrala1R0

e�kx sin txx dx ca o integral¼a care depinde de para-

metrul k � 0 se observ¼a c¼a putem aplica Criteriul lui Abel (e�kx monoton¼a

în raport cu x 2 [0;1) si��e�kx�� � 1 8x � 0;8k � 0 iar

1R0

sin txx dx converge

uniform în raport cu k � 0 deoarece nu depinde de k), de unde obtinem c¼a1R0

e�kx sin txx dx converge uniform în raport cu k � 0: Functia g �ind continu¼a

în raport cu variabila k si functia G va � continu¼a în raport cu variabila k; deunde se obtine c¼a

F (t) =

1Z0

sin tx

xdx =

1Z0

limk&0

e�kxsin tx

xdx

= limk&0

1Z0

e�kxsin tx

xdx = lim

k&0atctg

t

k=�

2; 8t > 0:

Pentru t < 0 se procedeaz¼a în mod analog.

Integrale improprii remarcabileI) Integralele lui EulerFunctia Gama:

�(p) =

1Z0

xp�1e�xdx; p > 0 (integral¼a de sp. I)

Functia Beta:

�(p; q) =

1Z0

xp�1(1� x)q�1dx; p > 0; q > 0 (integral¼a de sp. II)

Propriet¼ati:1) � este continu¼a pe (0;1);2) � este continu¼a pe (0;1)� (0;1);3) �(n) = (n� 1)!; 8n 2 N�;4) �(p+ 1) = p � �(p); 8p > 0;5) �(p; q) = �(p)��(q)

�(p+q) ; 8p > 0; q > 0 (Dirichlet);6) Formula argumentului complementar: �(p) � �(1� p) = �

sin(p�) ; 8p 2(0; 1);

7) � 2 C1(0;1); �00(p) > 0; 8p > 0 (�� convex¼a);

4

�(1) = �(2) = 1; 9p0 2 (1; 2) a.î. �0(p0) = 0; p0 � 1; 5; �(p0) �

0; 9:

Observatie: Dac¼a lu¼am în (6) p = 12 atunci

��( 12 )

�2= �

sin(�2 )= �; adic¼a

�( 12 ) =p�:

II) Integrala Poisson (sau Euler-Poisson)

I =

1Z0

e�x2

dx (integral¼a de sp. I)

Pentru studiul convergentei este su�cient s¼a studiem convergenta integralei1Z1

e�x2

dx

Deoarece 0 � e�x2 � e�x; 8x � 1;1Z1

e�x2

dx �1Z1

e�xdx = �ej11 = �( limx!1

e�x � e�1) = 1

e(C):

Deci

1Z1

e�xdx este convergent¼a, si, conform criteriului de comparatie cu inegal-

it¼ati, obtinem c¼a

1Z1

e�x2

dx este convergent¼a, de unde rezult¼a c¼a si

1Z0

e�x2

dx

este convergent¼a. Pentru a determina valoarea lui I se poate proceda în dou¼amoduri:

5