Incertitudine comp

Incertitudine compusă: legea propagării incertitudinilor

4.1 Incertitudine compusă: legea propagării incertitudinilor

Compunerea sau combinarea incertitudinilor datorate unor surse diferite este necesară în următoarele situaţii:

la măsurările directe, când trebuie evaluată incertitudinea totală datorată unor surse de erori ale căror

contribuţii sunt apreciate în prealabil separat (ex. de tip A şi de tip B sau mai multe componente de tip B);

în cazul măsurărilor indirecte, când rezultatul se calculează în funcţie de mai multe mărimi măsurate

direct (mărimi de intrare) afectate de incertitudini evaluate separat.

In scopul compunerii incertitudinilor parţiale se trateazã, în acelaşi fel, atât componentele incertitudinii care provin din efecte aleatorii, cât şi cele care provin din corecţii estimate pentru efecte sistematice.

OBSERVAŢIE

Este important să nu fie luate în considerare de două ori aceleaşi componente ale incertitudinii. Dacă o

componentă a incertitudinii care provine dintr-un anumit efect este determinată printr-o evaluare de tip B, atunci

aceasta nu trebuie inclusă ca o componentă independentă în calculul incertitudinii standard compuse a

rezultatului măsurării decât dacă efectul său nu contribuie la variabilitatea constatată a observaţiilor. Acest lucru

este urmare a faptului că incertitudinea datorată acelei părţi a efectului care contribuie la variabilitatea constatată

este deja inclusă în componenta incertitudinii obţinută prin analiza statistică a observaţiilor.

4.1.1 Propagarea erorilor

4.1.1.1 Erori maxime

Intr-o primă analiză s-a abordat problema propagării erorilor maxime. S-a văzut că orice rezultat de măsurare poate fi exprimat printr-o variabilă aleatoare Xi de forma:

Xi = A + 'i, (4.147)

în care A este valoarea adevărată a măsurandului (teoretică, inaccesibilă), iar 'i este eroarea (provocată de diverse cauze, de tip sistematic sau aleatoriu).

Fie = M['i] speranţa matematică a lui 'i. Aceasta este egală şi de semn contrar corecţiei care trebuie aplicată rezultatului pentru eliminarea efectelor sistematice. Cum nu se cunoaşte, persistă o incertitudine asupra determinării corecţiei, cu valoarea maximă egală cu corecţia însăşi. Se consideră astfel că valoarea medie a erorii rămase este nulă, dar nu şi incertitudinea. Variabila aleatoare i = 'i - este centrată, având aceeaşi dispersie ca şi 'i şi reuneşte eroarea asupra corecţiei şi datorită altor efecte.

In consecinţă i este de medie nulă şi dispersie 2, iar valoarea măsurată a lui X i urmează o distribuţie de medie μ = A + . şi dispersie 2.

4.1.1.2 Propagarea erorilor maxime

Fie mărimea y care se poate cunoaşte în urma măsurării mărimilor X1, X2, …Xn şi aplicând relaţia:y = f(X1, X2, …Xn). (4.148)Funcţia de modelare (modelul matematic al măsurării) f(X1,…Xn) reprezintă procedura măsurării şi metoda de evaluare deoarece descrie cum se obţin valorile cantităţii de ieşire y pe baza cantităţilor de intrare xi. In cele mai multe cazuri, f este o expresie analitică, dar poate fi şi un grup de astfel de expresii care include corecţii şi factori de corecţie pentru efectele sistematice, conducând la relaţii mai complicate care nu se scriu ca funcţii explicite. Mai mult, f poate fi determinată experimental sau există numai ca un algoritm de computer care trebuie evaluat numeric sau poate fi o combinaţie de toate acestea.

Fiecare Xi este o variabilă aleatoare, fiind un rezultat parţial, în consecinţă şi y va fi o variabilă aleatoare, caracterizată prin parametri statistici.

1

Erori şi incertitudini de măsurare

Aici interesează media - care este luată drept rezultat al măsurării (ca fiind cel mai bun estimator al valorii măsurandului) şi dispersia (varianţa), respectiv abaterea standard - care exprimă incertitudinea globală de măsurare a lui y (incertitudinea compusă).

Proprietăţile statistice ale lui y se determină pe baza celor ale variabilelor Xi, care se caracterizează prin: M[Xi] = μi şi varianţele (dispersiile) u2(Xi) = ui

2.

Admiţând că erorile sunt mici, rezultatul final se poate exprima prin dezvoltare în serie Taylor în jurul valorilor Xi = μi, din care se păstrează doar termenii de ordinul 1:

. (4.149)

Din această relaţie se deduce legea de propagare a erorilor limită absolute:

, (4.150)

în care:

(4.151)

reprezintă sensibilitatea mărimii y la variaţia fiecărei mărimi Xi.

Eroarea relativă rezultă imediat: (cu i = Xi)

(4.152)

OBSERVAŢIE

Această relaţie se poate obţine şi prin diferenţierea logaritmului funcţiei f.

Aplicând relaţiei (4.149) operaţia de mediere şi ţinând cont că i are o medie nulă, rezultă că:

M[y] = f(μ1, μ2,…,μn) = μy,, (4.153)

deci media teoretică a lui y este funcţie de mediile variabilelor X. Aceasta se estimează cu:

. (4.154)

4.1.2 Propagarea incertitudinilor

O eventuală dependenţă între variabilele Xi şi Xj este descrisă de covarianţă, definită ca:

, (4.155)

cu: coeficientul (factorul) de corelaţie (-1 ij 1). Covarianţa poate fi estimată prin s(XiXj)

obţinută din n perechi independente de observaţii simultane ale lui Xi şi Xj:

. (4.156)

Factorul de corelaţie este estimat cu rij. Pentru variabilele Xi, Xj independente, rij = 0; când variabilele sunt corelate (ceea ce înseamnă că o variaţie a uneia antrenează o modificare a celeilalte), r ij 0.

Dispersia (varianţa) lui y se calculează conform relaţiei:

(4.157)

2


cu condiţia cunoaşterii tuturor distribuţiilor mărimilor de intrare şi a incertitudinilor lor standard, evaluate prin metode de tip A; relaţia se poate pune şi sub forma:

(4.158)

Relaţia (4.158) nu implicã nici o ipotezã în legãturã cu normalitatea distribuţiilor de probabilitate ale mãrimilor Xi.

Cum, în cazul general întâlnit în măsurări, incertitudinile de intrare pot fi şi de tip B, exprimate prin estimaţiile ui ale abaterilor standard, uij ale covarianţei, respectiv rij ale coeficienţilor de corelaţie, prin extindere, se obţine relaţia de calcul a incertitudinii compuse sau relaţia de propagare a incertitudinilor:

.

(4.159)

Relaţia (4.159) cere ca, indiferent de modul în care este obţinută, incertitudinea estimaţiei unei mãrimi de intrare să fie evaluatã ca o incertitudine standard, deci ca o abatere standard estimatã. Dacã, în schimb, se evalueazã o alternativã oarecare consideratã mai “sigurã”, aceasta nu poate fi folositã în relaţia (4.159). În particular, dacã “limita maximã a erorii” (cea mai mare abatere în raport cu cea mai bunã estimaţie presupusã) este folositã, atunci incertitudinea care rezultã va avea o semnificaţie greşit definitã şi nu va putea fi utilizatã de oricine ar dori sã o includã în calculele ulterioare ale incertitudinilor pentru alte mãrimi.

OBSERVAŢII

1. Pentru unele tratãri tradiţionale ale incertitudinii de mãsurare, ecuaţia (4.159) este contestabilã, deoarece nu

este fãcutã nici o distincţie între incertitudinile care provin din efecte sistematice şi incertitudinile care provin

din efecte aleatorii. În particular, compunerea varianţelor obţinute din distribuţii de probabilitate a priori cu

varianţele obţinute din distribuţii de frecvenţã nu este recomandatã, întrucât conceptul “probabilitate” este

considerat a fi aplicabil numai evenimentelor care pot fi repetate de un numãr mare de ori în aceleaşi condiţii,

probabilitatea p a unui eveniment ( indicând frecvenţa cu care se produce evenimentul.

In contrast cu acest punct de vedere al probabilităţii bazată pe frecvenţã, un alt punct de vedere, de asemenea

valabil, este acela conform căruia probabilitatea reprezintă o mãsurã a nivelului de încredere cu care se poate

produce un eveniment. Recomandările metodologice internaţionale adoptã implicit o asemenea abordare a

probabilităţii întrucât considera expresiile de genul ecuaţiei (4.159) ca fiind un mod adecvat de a calcula

incertitudinea standard compusã a rezultatului unei mãsurãri.

In aplicaţiile practice, diferenţa dintre cele douã puncte de vedere nu conduce la o diferenţă reflectată în

valoarea numerică a rezultatului mãsurãrii sau în incertitudinea asociată cu acest rezultat.

2. In relaţia (4.159) derivatele parţiale ale funcţiei f faţă de variabilele de intrare, care înmulţesc incertitudinile,

poartă denumirea de coeficienţi de sensibilitate ci asociaţi cu estimatorul mărimii de intrare xi. Aceşti coeficienţi

descriu gradul în care mărimea estimată y este influenţată de variaţiile mărimii de intrare xi.

4.1.2.1 Mărimi necorelate

Când mărimile de intrare nu sunt corelate ( ) relaţia (4.158) se reduce la:

. (4.160)

3


EXEMPLE

1. In exemplul anterior, privind voltmetrul numeric (§ 4.6), estimaţia valorii măsurandului era , unde

= 0,928 571 şi =12 μV, corecţia aditivă , iar . Întrucât

, varianţa compusă asociată cu V este:

(4.161)

şi incertitudinea compusă standard este uC(V) = 15 μV, ceea ce corespunde unei incertitudini relative uC(V)/V =

1610-6.

2. Fie z care depinde doar de o mãrime de intrare w, adicã:

z = f(w), unde w este estimatã prin media a n valori ale w; aceste n valori sunt obţinute din n observaţii

repetate independente qk ale unei variabile aleatorii q, iar wk şi qk sunt legate prin relaţia

(4.162)

În aceastã ecuaţie α este o variaţie “sistematicã” constantã sau o deplasare comunã fiecãrei observaţii, iar este

un factor de scarã comun. Deplasarea şi factorul de scarã, deşi constanţi în decursul observaţiilor, sunt

presupuşi a fi caracterizaţi prin distribuţii de probabilitate a priori, α şi fiind cele mai bune estimaţii ale

mediilor statistice ale acestor distribuţii (de exemplu la măsurarea temperaturii cu un termocuplu TC, α poate fi

deplasarea răspunsului datorată temperaturii joncţiunii reci, iar sensibilitatea TC).

Cea mai bunã estimaţie a lui w este media aritmeticã obţinută cu ecuaţia:

. (4.163)

Mãrimea z este atunci estimatã prin , iar estimaţia u2(z) a propriei

varianţe este obţinută cu ecuaţia (4.158). Dacã, pentru simplificare, se presupune cã z = w, astfel încât

cea mai bunã estimaţie a lui z sã fie , atunci estimaţia u2(z) poate fi dedusã uşor. In baza ecuaţiei

(4.162), ţinând seama cã

, (4.164)

şi notând dispersiile estimate ale lui α şi prin , respectiv, şi presupunând cã observaţiile

individuale nu sunt corelate, în baza relaţiei (4.160) se poate deduce că:

, (4.165)

unde s2(qk) este varianţa experimentalã a observaţiilor qk calculatã conform metodei A, descrise anterior, iar

s2(qk)/n = este varianţa experimentalã a mediei .

OBSERVAŢIE

Deşi aparent complicată, relaţia (4.160) capătă forme simple în cele mai multe din cazurile practice întâlnite.

Spre exemplu:

▪ când funcţia f este suma sau diferenţa mărimilor de intrare Xi:

, (4.166)

atunci relaţia (4.160) devine:

; (4.167)

▪ când funcţia f este un produs sau raport între mărimile de intrare:

4


, (4.168)

atunci relaţia de compunere a incertitudinilor capătă forma asemănătoare cu (4.167) în care intervin

incertitudinile standard relative şi :

. (4.169)

4.1.2.2 Mărimi de intrare corelate

Când mărimile de intrare sunt corelate, pentru calculul incertitudinii compuse se utilizează expresia (4.159), în care:

. (4.170)

In cazul special în care toate estimaţiile de intrare sunt corelate, cu coeficienţii de corelaţie r(x i, xj)=1, expresia (4.159) reprezintă un pătrat perfect:

(4.171)

Incertitudinea standard compusă uC(y) este în acest caz chiar suma liniară a termenilor reprezentând variaţia estimaţiei de ieşire y generată a incertitudinii standard a fiecărei estimaţii de intrare x i.

Fie două medii aritmetice şi care estimează mediile statistice μq şi μr a două mărimi variabile aleatorii

q şi r; se presupune că şi se calculează din n perechi de observaţii simultane ale lui q şi r, făcute în

aceleaşi condiţii de măsurare. In acest caz, covarianţa lui şi este estimată de:

, (4.172)

unde qk şi rk sunt observaţiile individuale ale mărimilor q şi r, iar şi sunt mediile aritmetice sau

experimentale calculate din observaţii. Dacă în realitate observaţiile nu sunt corelate, covarianţa calculată va fi aproape zero.

EXEMPLU. Dacă frecvenţa unui oscilator necompensat sau slab compensat în funcţie de temperatură este o mărime de intrare, dacă temperatura ambiantă este, de asemenea, o mărime de intrare şi dacă aceste mărimi sunt observate simultan, atunci poate exista o corelaţie semnificativă pusă în evidenţă prin covarianţa calculată a frecvenţei oscilatorului şi a temperaturii ambiante.

OBSERVAŢIE

Experimente diferite nu pot fi independente dacă, de exemplu, acelaşi mijloc de măsurare este folosit în cadrul

fiecăruia din ele.

Faptul că două mărimi de intrare, observate în mod repetat şi simultan, sunt sau nu corelate se poate determina cu ecuaţia (4.172).

OBSERVAŢII

Dacã ipoteza privind modul de tratare a probabilităţii ca nivel de încredere asupra producerii unui eveniment

nu ar fi fãcutã, atunci analiza din acest subcapitol nu s-ar aplica decât dacã toate estimaţiile mãrimilor de intrare

şi incertitudinile acestor estimaţii ar fi obţinute prin analiza statisticã a observaţiilor repetate, adicã prin evaluãri

de tip A.

Cu toate că abordarea bazatã pe valoarea “adevãratã” şi eroare conduce la aceleaşi rezultate numerice ca şi

abordarea conform ipotezei din acest capitol, conceptul “incertitudine” dezvoltat astfel eliminã confuzia dintre

eroare şi incertitudine. Într-adevãr, abordarea operaţională, în care se pune accentul pe valoarea observatã (sau

5


estimatã) a unei mãrimi şi pe variabilitatea observatã (sau estimatã) a acestei valori, face sã fie total inutilã orice

recurgere la conceptul de “eroare”.

In practică mărimile de intrare sunt adesea corelate pentru că la evaluarea valorilor lor s-au utilizat aceleaşi referinţe (etaloane) aparat de măsurare, date de referinţă sau chiar aceeaşi metodă de măsurare cu incertitudine semnificativă.

Fie două mărimi de intrare X1 şi X2 estimate prin x1 şi x2 care depind de un set de variabile independente Qm:

X1 = g(Q1, Q2,…,Qm); X2 = h(Q1,…,Qm), (4.173)

chiar dacă unele din variabile pot să nu apară în ambele funcţii. Estimaţiile x1 şi x2 vor fi corelate, chiar dacă estimaţiile qm sunt independente. In acest caz, covarianţa u(x1, x2) asociată cu estimaţiile x1 şi x2 este dată de:

, (4.174)

în care c1k şi c2k sunt coeficienţii de sensibilitate deduşi din funcţiile g şi h. Se observă că dacă funcţiile g şi h nu au mărimi de intrare comune, covarianţa devine zero.

EXEMPLU

Acest exemplu arată corelaţia care există între valorile atribuite la două etaloane care au fost etalonate prin

comparaţie cu acelaşi etalon de referinţă.

▪ Două etaloane X1 şi X2 sunt comparate cu etalonul Qs cu ajutorul unui sistem de măsurare care măsoară

diferenţa z dintre valorile lor, cu o incertitudine asociată u(z). Valoarea q(s) a etalonului referinţă este cunoscută

cu o incertitudine standard u(qs).

▪ Modelul matematic. Măsurarea este descrisă de relaţiile:

x1 = qs - z1 şi x2 = qs - z2 . (4.175)

▪ Incertitudini standard şi covarianţe. Estimaţiile z1, z2 şi qs sunt presupuse necorelate deoarece au fost determinate

din măsurări diferite. Presupunând că u(z1) = u(z2) = u(z), rezultă:

(4.176)

Factorul de corelaţie rezultă a fi:

, (4.177)

a cărui valoare este între 0 şi 1, depinzând de valorile incertitudinilor etalonului de referinţă şi a comparatorului.

Utilizarea ecuaţiilor (4.173) permite ca prin alegerea judicioasă a unui model de măsurare să se evite necesitatea evaluării corelaţiei între unele mărimi de intrare. Variabilele corelate X1 şi X2 sunt înlocuite cu variabilele independente Qm, prin schimbarea modelului matematic f al măsurării.

Sunt însă cazuri când corelaţia dintre două mărimi de intrare nu poate fi evitată întrucât transformarea ecuaţiei pentru noi variabile independente nu este posibilă. Dacă gradele de corelaţie nu sunt cunoscute cu exactitate, trebuie să se ia în consideraţie influenţa maximă posibilă pe care corelaţia o poate avea (de exemplu r(x1, x2) = 1 ), ceea ce duce la sumarea lor liniară ca în relaţia:

(4.178)

cu ur(y) – contribuţia la incertitudinea standard a tuturor celorlalte incertitudini considerate necorelate.

4.1.2.3 Indicaţii practice

Analiza incertitudinilor care afectează o măsurare, numită uneori "bugetul incertitudinilor", ar trebui să ducă la o listă a tuturor surselor de incertitudine şi a incertitudinilor standard asociate precum şi a metodelor de evaluare a acestora. In cazul măsurărilor repetate, trebuie specificat şi numărul n de observaţii.

6


Pentru claritate, se recomandă să se sintetizeze datele reprezentative ale acestei analize sub formă de tabel, în care toate mărimile trebuie repertoriate cu notaţii simple.

Pentru fiecare din mărimi trebuie să se prezinte cel puţin valoarea estimată xi, incertitudinea standard asociată măsurării u(xi), coeficientul de sensibilitate ci şi contribuţiile ciu(xi). Pentru mărimi necorelate, se dă mai jos un exemplu de astfel de tabel.

Tabelul 4.4. Bugetul incertitudinilor

Mărime

Xi

Valoare

estimată

xi

Distribuţie de

probabilitate

Incertitudine

standard

u(xi)

Coeficient de

sensibilitate

Contribuţie la

incertitudinea

standard

ciu(xi)

X1

…

XN

Y y - - - u(y)

7

Incertitudine comp

Documents

Transcript of Incertitudine comp