MATEMATICI FINANCIARE

I.Elemente de calcul financiarII. Elemente de statică matematică

III. Elemente de probabilitățiIV.Autori

I.ELEMENTE DE CALCUL FINANCIAR

1.Procente2.Dobânzi3.TVA4.Amortizări5.Costul de productie

II.ELEMENTE DE STATISTICĂ MATEMATICĂ

0.Elemente de statistică matematică1.Culegere, înregistrarea si gruparea datelor statistice2.Frecvențe absolute.Frecvențe relative.Frecvențe cumulate

III.ELEMENTE DE PROBABILITĂȚI

1.Evenimente2.Probabilități3.Proprietăți ale probabilităților4.Probabilități condiționate5.Evenimente independente6.Variabile aleatoare

1.Procente

Un raport de forma cu 0 se numește raport procentual.

Pentru a determina % dintr-un număr se înmulțește cu , adica .

Pentru a afla un număr a când se cunoaște ca % din este un număr vom înmulți cu , adica .

Pentru a determina cât la sută din este numărul se află din egalitatea .

Ex:

Ex:

Ex:

𝑝100

⋅𝑎

Un MP4 costă lei. Cu ocazia sărbătorilor de Crăciun se acorda o reducere de %.  Cât va trebui plătit pentru MP4?

Cumpărătorul plătește cu lei mai puțin. Deci, pentru un MP4 se plătește suma lei.

𝑎=100𝑝

⋅𝑏

Un elev citește . de pagini dintr-o carte, ceea ce reprezintă% din numărul total de pagini ale cărtii. Câte pagini are cartea?

 Daca notăm cu  numarul de pagini ale cartii, atunci din enunt . De aici x = . Deci cartea are de pagini.

Un obiect costă lei. Obiectul s-a ieftinit cu % apoi cu % din noul preț. Cu cât la sută s-a ieftinit obiectul față de prețul inițial?

După prima ieftinire obiectul costă lei, iar după a doua ieftinire lei.Valoarea ieftinirii este lei. Avem , deci obiectul s-a ieftinit cu 20,8%.

2.Dobânzi

Dobânda este diferența dintre capitolul final și capitolul inițial .Dobânda simplă.Dacă rata dobânzi este % într-o unitate de timp, atunci dobânda simplă după unitați de timp este .Dobânda compusă.Dacă la o sumă depusă banca adaugă la sfârșitul unei unități de timp dobânda corespunzătoare și calculează dobânda pe următoarea unitate de timp la suma cumulată spunem ca sumei inițiale i s-a aplicat dobânda compusă. Daca rata dobânzii compuse este % intr-o unitate de timp, atunci dobânda compusă dupa unități de timp este .

Ex:

Ex:

𝐷=𝐶0 ⋅𝑝100

⋅𝑛

Aflaţi capitalul iniţial care formează o dobândă de 400 lei la o rată a dobânzii simple de 5% pe an pe o perioadă de 4 ani.

În formula avem .

𝐷=𝐶0(1+ 𝑝100 )

𝑛

−𝐶0

O sumă de 10000 lei este depusă la bancă pe timp de 5 ani cu o dobândă compusă de 20% pe an. Care este dobânda obţinută la sfârşitul perioadei? Care este capitalul final?

În formulă lei. Capitalul final este lei .

3.TVA(Taxa pe valoarea adăugată)

Pentru calculul TVA folosim formula , unde este numărul de procente al TVA şi este preţul produsului. Preţul de vânzare () al unui produs este dat de formula .

Ex:

Ştiind că preţul unui frigider este 624 lei şi cota de TVA este de 19% calculaţi preţul de vânzare al frigiderului şi valoarea TVA.

În formulă lei.

4. Amortizări

Auzim adesea spunandu-se ca masina X si-a amortizat investitia , aceasta insemnand ca dupa un timp de functionare masina a realizat produse a caror valoare acopera costul masinii.

Timpul in care s-a realizat recuperarea integrala a valorii investitiei se numeste termen de amortizare. Daca aceasta perioada se refera la un an o numim amortizare anuala.

Daca V este valoarea investitiei , T termenul de amortizare , atunci A amortizarea anuala este egala cu A=. Rata anuala de amortizare are formula

r=. Ex:

Exemplu

Valoarea unui televizor este de 6.000.000 lei , iar amortizarea anuala de 1.500.000 lei. Determinati termenul de amortizare si rata anuala a amortizarii.

R. Avem T===4 ani si rata anuala a amortizarii:

R=25%

5.Costul de productie

Prin costul de productie se inteleg toate cheltuielile realizate de un agent economic (societate comerciala etc. ) pentru producerea si comercializarea de bunuri si servicii.

Cheltuielile pot fii fixe (materiale-amortizare ,chirie etc. – si salariale ) si variabile (materiale-combustibil ,materie prima etc. – si salariale) .

Cheltuielile pot fi raportate la unitatea de produs , cand il numim cost unitar ( sau cost total medu – CTM ) si se exprima in relatia CTM (unde CT saunt cheltuielile totale ( fixe+variabile) iar Q este productia ( numarul de produse ) ;

De aici putem defini: 1) costul fix mediu ( CFM) care se calculeaza dupa formula

CFM ,unde CF sunt costurile fixe , iar Q este productia ; 2)costul variabil mediu (CVM) dat de formula CVM,unde

CV sunt costurile variabile .

Ex:

Exemplu

Pentru producerea a 500 de jucarii o intreprindere face urmatoarele cheltuieli : materii prime si materiale 3000 ,combultibil si energie 500 ,chiria 200 ,salarii directe 6000 ,amortizarea capitalului fix 1000 ,iluminat 500 ,iar incalzire 400 ,desfacerea produselor 1000 , Sa se determine CF,CV,CT,CFM,CVM ,CTM

Avem: CF=chirie + amortizare +iluminat+incalzire

=200+1000+500+400=2100 CV=materii prime si materiale +combustibil si energie +salarii = 3000+500+6000=9500 CT= CF+CV+ costuri desfacere produse

=2100+9500+1000=12500 CFM==4,2

CVM=29

CTM =25

0.Elemente de statistică matematică

Statistica matematică se ocupă cu culegerea, înregistrarea, gruparea, analiza şi interpretarea datelor referitoare la un anumit fenomen precum şi cu formularea unor previziunui privind producerea viitoare a fenomenului.

Mulţimea care formează obiectul unei analize statistice se numeşte populaţie statistică.Elementele unei populaţii statistice se numesc unităţi statistice. O submulţime a unei populaţii statistice aleasă special pentru a fi studiată se numeşte eşanton.

Trăsătura comună tuturor unităţilor statistice se numeşte caracteristică. Caracteristica poate fi cantitativă(dacă se poate măsura) sau calitativă(dacă nu se poate măsura). Catacteristica poate fi discretă(dacă se poate măsura) sau continuă(dacă poate lua orice valoare dintr-un interval) .Ex:

Exemplu:

Pentru fenomenele următoare sudiate statistic precizaţi populaţia statistică, unităţile statistice, caracteristica şi tipul ei : Înălţimea elevilor unei clase a unei şcoli

Mulţimea elevilor clasei formează populaţia statistică. Fiecare elev este o unitate statistică. Înălţimea este caracteristică de tip cantitativ şi discret.

Culoarea ochilor elevilor şcolii Mulţimea elevilor şcolii formează populaţia

statistică. Fiecare elev este o unitate statistică. Culoarea ochilor este caracteristica de tip calitativ.

1.Culegere, înregistrarea si gruparea datelor statistice

Datele statistice privind o anumită caracteristică a unei populaţii statistice sunt culese într-o ordine întâmplătoare fără nici o semnificaţie. Pentru a putea fi prelucrate, datele statistice sunt grupate pe clase de valori.

Ex:

Exemplu:Cei 24 de elevi ai unei clase au obţinut la teză de fizică din semestrul I următoarele note : 8, 3, 7, 10, 8, 4, 9, 9, 5, 7, 5, 8, 6, 7, 8, 8, 9, 8, 6, 5, 8, 7, 10, 7.Grupaţi datele într-un tabel

Nota Numărul elevilor

10 2

9 3

8 7

7 5

6

5 3

4 1

3 1

2.Frecvențe absolute.Frecvențe relative.Frecvențe cumulate

Frecvenţa absolută a unei valori x a caracteristicii este numarul de unităţi statistice corespunzătoare valorii x.

Frecvenţa relativă a unei valori x a caracteristicii este raportul dintre frecvenţa absolută a valorii x şi a caracteristicii este raportul dintre frecvenţa absolută a valorii x şi numărul total de unităţi statistice. Notăm f(x)=.

Frecvenţa absolută cumulată crescătoare a unei valori x a caracteristicii este suma frecvenţelor absolute ale valorilor mai mici sau egale cu X.

Frecvenţa absolută cumulată descrescătoare a unei valori x a caracteristicii este suma frecvenţelor absolute ale valorilor mai mari sau egali cu x.

Frecvenţa relativă cumulată crescătoare a unei valori x a caracteristicii este suma frecvenţelor relative corespunzătoare valorilor mai mici sau egale cu x.

Frecvenţa relativă cumulativă descrescătoare a unei valori x a caracteristicii este suma frecvenţelor relative corespunzătoare valorilor mai mari sau egale cu x.

1.EvenimenteO experienţă al cărei rezultat depinde de factor iîntâmplători se numeşte experienţă aleatoare. Rezultatul efectuări iune iexperienţe aleatoare se numeşte probă. Orice situaţie legată de o experienţă aleatoare despre care se poate spune cu certitudine dacă s-a realizat sau nu, după efectuarea experienţei se numeşte eveniment. Evenimentele se reprezintă ca mulţimi formate din probele care le realizează.Evenimentul care poate fi realizat de o singură probă se numeşte eveniment elementar. Evenimentele care pot fi realizate de cel puţin două probe se numesc evenimente compuse.Evenimentul sigur este evenimentul care se realizează la fiecare efectuare a experienţei. Evenimentul imposibil este evenimentul care nu se realizează la nicio efectuare a experienţei. Evenimentul sigur se notează E şi evenimentul imposibil se notează .Două evenimente sunt compatibile dacă există probe care le realizează simultan. Două evenimente sunt incompatibile dacă nicio probă nu le realizează simultan.Evenimentul A implică evenimentul B dacă orice probă care îl realizează pe A îl va realiza şi pe B. Scriem A B.Reuniunea a două evenimente este evenimentul care se realizează atunci când se realizează cel puţin unul dintre cele două evenimente. Scriem A B.Evenimentele A şi B sunt contrare dacă A B=E şi A B=. Evenimentul contrar lui A îl notăm.Intersecţia a două evenimente este evenimentul care este realizat de probele ce realizează simultan ambele evenimente. Scriem A B.Mulţimea tuturor evenimentelor legate de o experienţă aleatoare formează un câmp de evenimente.

Ex:

Ex:

Ex:

Ex:

Ex:

Exemplu:

Să considerăm activitatea aruncării unui zar cu feţele numerotate de la 1 la 6.Avem următoarele elemente probabilistice legate de acest fenomen:

Experimentul aleatoriu E: activitatea aruncării zarului; Proba: o aruncare a zarului; Domeniul de posibilităţi sau mulţimea totală: E={1,2,3,4,5,6}; Evenimentele de aleatoare: unul sau mai multe rezultate ieşite la

aruncarea zarului,cum ar fi:

A1 : apariţia feţei cu numărul 1 ;A2 : apariţia unui număr par ;A3 : apariţia feţei cu numărul 3 sau 4 ;A4 : apariţia uneia dintre feţele numerotate cu 1,2,3,4,5

sau 6 ;A5 : apariţia feţei numerotate cu 7 ;A6 : apariţia feţei numerotate cu 1,3 sau 5.

Exemplu:

a) {1},{2},{5} sunt evenimente elementare în experimentul aruncării zarului;b) Evenimentele A2,A3,A4,A6 sunt evenimente compuse.c) Evenimentul A4 corespunde evenimentului sigur;d) Evenimentul A5 este eveniment imposibil

Exemplu:

a) Evenimentul sigur şi evenimentul imposibil sunt incompatibile.b) Evenimentele A2 şi A3, respectiv A1 şi non A2 sunt evenimente compatibile.

Exemplu:

Problemă:O urnă conţine bile albe şi roşii. Se extrag succesiv două bile. Cu ajutorul evenimentelor A: “prima bilă este albă” , B: “a doua bilă este albă” să se scrie evenimentele:

A1: ambele bile sunt albe ;A2: cel puţin o bilă este albă ;A3: prima bilă nu este albă ;A4: ambele bile sunt roşii ;A5: prima bilă este roşie, a doua este albă ;A6: numai o bilă este roşie.

Soluţie:a) A1 este echivalent cu: “prima bilă este albă” şi „a doua bilă este albă”. Rezultă că A1= A n B.b) A2 este echivalent cu:„prima bilă este albă” sau „a doua bilă este albă”. Rezultă că A2= A U B.c) A3 este evenimentul contrar evenimentului A. Aşadar, A3= non A.d) A4 este echivalentul cu:”prima bilă este roşie” şi „a doua bilă este roşie” , adică A4= non A n non B.e) A5= non A n B.f) A6 este echivalentul cu:”prima bilă este albă şi doua este roşie” sau „prima bilă este roşie şi a doua este albă”. Aşadar, A6= ( A n non B) U ( non A n B).

2.Probabilități

Două evenimente referitoare la aceeaşi experienţă aleatoare sunt egal posibile dacă au aceeaşi şansă de realizare. Evenimentele elementare egal posibile se numesc cazuri egal posibile sau cazuri favorabile. DEFINIŢIE: Probabilitatea unui eveniment este egală cu raportul dintre numărul cazurilor favorabile şi numărul total de cazuri egal posibile.P(A)=.

3.Proprietăți ale probabilităților

0 P(A) 1; P()= 0, P(E)= 1, P(A)= 1-P()  P(A B)= P(A) + P(B) - P(A B) P(A B C)= P(A)+ P(B) + P(C) – P(A B) –

P(A C) – P(B C) + P(A B C)

Ex:

Exemplu:

Problemă: Într-o cutie sunt 10 pixuri şi 6 creioane. Care este probabilitatea ca scoţând 4 obiecte la întâmplare să se scoată şi creioane? Soluţie: Fie A evenimentul apariţiei a cel puţin un creion. Evenimentul se realizează dacă se obţin 1,2,3 sau 4 creioane. Va fi mai uşor să determinăm care este probabilitatea de a nu extrage nici un creion, adică de a obţine numai pixuri. Este vorba de a calcula probabilitatea evenimentului contrar P(non A)= n la non A / n. Numărul de cazuri posibile este n= C 16 luate câte 4 ) vezi metode de numărare), iar numărul de cazuri favorabile este n de non A= C 10 luate câte 4. Se obţine P(A)= 1 – P(non A)= 1 - C 10 luate câte 4 / C 16 luate câte 4.

4.Probabilități condiționate

Probabilitatea evenimentului A condiţionată de evenimentul B (ştiind că s-a realizat B) este: , de unde P(A B)=.

5.Evenimente independente

Evenimentele A și B sunt independente dacă probabilitatea intersecției lor este egală cu produsul probilității lor : .

Evenimentele A, B și C sunt independente dacă , , P. Dacă o experiență aleatoare se poate decompune în două experiențe care nu se influențiază una pe alta, atunci orice eveniment legat de prima experiență este independent de orice eveniment legat de a doua experiență.

Ex:

Exemplu:

Urna U conține 5 bile albe și 10 bile negre și urna V conține 5 bile negre și 10 bile albe. Din fiecare urnă se extrage câte o bilă.Aflați probabilitatea obținerii a două bile: A)albe B)negre

Considerăm două experiențe care nu se influențiază reciproc. Cotăm cu A și B evenimentele obținerii unei bile albe din U,respectiv V. A)P() B) =

6.Variabile aleatoare Numim variabilă aleatoare o mărime care ia valori sub influenţa unor

factori întâmplători. Distribuţia unei variabile aleatoare X este: X, unde sunt valorile variabile şi

care variabila X ia aceste valori. Avem P(X=)=(probabilitatea ca variabila X să ia valoarea este). OBS.

Operaţii cu variabile aleatoare.Fie numărul real a şi variabelele aleatoare X şi Y cu distribuţiile X Y.

Adunarea variabilei X cu numărul . Produsul variabilei X cu numărul Suma variabilelor independente X şi Y: X+Y Produsul variabilelor independente X şi Y: XY Puterea cu exponent k a variabilei X: Valoarea medie a variabilei aleatoare X este numărul . Proprietăţile valorilor medii:M(a+X)=a+M(X),M(aX)=aM(X),M(X+Y)’M(X)

+M(Y), M(XY)=M(X)M(Y), dacă variabilele aleatoare sunt independente. Dispersiavariabilei aleatoare Xeste numărul +...+, unde m=M(X).Avem, de

asemena, D2(X)=M(X2)-(M(X)2). Proprietăţile dispersiei:,, . Abatarea medie pătratică este D(X)=.

IV.Autori

ROSU CRISTIAN COMAN VLAD