Matematici financiare

Serban Alexandru Bogdan

Clasa a X-a BColegiul National

I.L.Caragiale

1

I. Elelemnte de calcul financiar : procente, dobanzi, TVA

I.1 Procente si aplicatii(buget personal, buget familial, profit, prêt de cost al unui produs, amortizari de investitii)

Definitie: Un raport de forma , unde p este numar rational pozitiv, se numeste procent si se noteaza p

% ( citim: “p la suta” sau “p procente”). Raportul se mai numeste si raport procentual.

Formula: ∙ a = b se foloseste pentru rezolvarea fiecareia dintre urmatoarele

probleme:

a. aflarea numarului b, care poate reprezenta p% din a; b. aflacrea numarului a, cand cunoastem ca p% din el este b; c. aflarea raportului procentual p% (cat la suta din numarul a reprezinta numarul b).

Problme de calcul a unei cresteri ( descresteri) procentuale:

1) daca o marime a creste cu p%, noua valoare este ;

2) daca o marime a descreste cu p%, noua valoare este: ;

3) daca o marime a creste succesiv cu p% si q%, noua valoare a sa este:

.

4) p% din q% din a este egal cu:

Bugetul familial= un system de evidenta prin care se inregistreaza systematic si chronologic (de obicei pe o perioada de un an) veniturile unei familii (dupa natura si provenienta lor), precum si cheltuielile acesteia(dupa destinatia acestora).

Exemplu: a) venitul annual al unei familii: 72. 000. 000 lei; b) cheltuieli ( in procent din venitul annual):- immediate : 4%;- imbrcaminte: 6%;- transport:10%- mancare: 23%- gospodaresti:37%- economii:5%;- distractie(recreere):3%;- altele:12%.

Bugetul personal = reprezinta toate sursele de venit si cheltuieli si este dezvoltat un plan pentru veniturile în exces care trebuie cheltuite sau economisite, ori constituie o sursa de finanţare în cazul unei penurii.

2

Bugetul = un plan prin care se compara veniturile cu cheltuielile.

Profitul(pierderea) =unei intreprinderi (societati, regie, contribuabil) intr-o anumita unitate de timp, de exemplu un an , este diferenta intre incasari si cheltuieli, daca aceasta este pozitiva(negative). Statul percepe impozit pe profit fixat prin lege, care in 1999 a fost de 38%, iar in anul 2000, de 20%. Legata de acestea este di notiunea de prêt de cost al unui produs care inglobeaza costul complet al producerii sale si profitul producatorului.

Exemplu: Daca profitul unei societati comerciale a fost in 1999 de 800 milioane lei, atunci impozitul pe profuit a fost de : 38% din 800.000.000 lei= 304.000.000 lei

Profitul este cunoscut si sub numele de “beneficiu” si reprezinta castigul, avantajul realizat sub forma baneasca dintr-o actiune, operatie sau executarea unei activitati.

Raportul procentual dintre profit si cheltuieli se numeste rata profitului.Se numeste investitie orice suma de bani plasata pentru crearea de mijloace fixe (constructii,

utilaje, masini, instalatii, echipamente etc.), pentru modernizare, reutililare, restructurare etc., cu scopul obtinerii de profit. Prin amortizarea capitalului fix se intelege procesul de recuperare a valorii capitalului fix ( osuma de bani ce se include in costul de productie al bunului sau serviciului respectiv).

Pentru orice investitie in valoare de V unitati monetare ( V= valoarea capitalului fix) , se defineste

amortizarea anuala sau anuitatea A ca fiind raportul unde T este termenul de amortizare ( durata

normala in ani a unei investitii).Procentul r(%) din V, reprezentat de A, se numeste rata anuala de amortizare, r% din V=A, adica

. Rezulta ca r(%) este raportul procentual dintre A si V.

Amortizarea in cote egale inseamna ca amortizarea anuala este aceeasi in fiecare an, pe toata durata termenului de amortizare.

Pentru orice produs, raportul transformat in procente, se numeste

adaos comercial.

Probleme rezolvate:1) In ultimii 2 ani, o familie a avut un venit de 12 milioane lei pe luna. In fiecare luna, familia a

cheltuit 80% si a economisit restul. Cat a economisit familia in cei 2 ani?

Solutie: In fiecare luna , familia cheltuieste . Cum in fiecare

luna economiseste 2,4 milioane lei, rezulta economia pe 24 luni, adica 57,6 milioane lei.2) Un atelier produs intr-o luna mobilier in valoare de 205 milioane lei, pentru realizarea

mobilierului s-au facut cheltuieli in valoare de 145.800.000 lei. Stiind ca impozitul pe profit este de 25%, sa se determine profitul net al atelierului.

Solutie : Diferenta 205.000.000-145.800.000=59.200.000 lei fiind pozitiva, rezulta ca atelierul a realizat un profit impozitail de 59.200.000 lei.Rezulta un profit net: 59.200.000-25% din 59.200.000=44.400.000(lei).

I.2 Dobanzi (tipuri de credite, metode de finantare)

Daca imprumutam ( de exemplu, de la o banca) o suma de bani penru o perioada de timp, trebuie sa restituim, dupa un anumit termen, suma imprumutata plus o suma suplimentara, numita dobanda.In mod similar, daca depunem o suma de bani, pe un anumit termen, la expirarea acestuia banca ne va restitui suma

3

depusa, plus o alta suma, numita dobanda.De regula, dobanzile se exprima procentual, pentru o perioada de un an.Credit= imprumutul la care apelam pentru cumpararea unui obiect mai scump.Debitor(datornic)= cel care se imprumuta.Creditor(deponent)=cel care depune bani.Rata dobanzii= raportul procentual dintre dobanda si capitalul plasat.

Dobanda simpla(necapitalizata)= dobanda calculata asupra sumei depuse (deci fixe) pe toata perioada depunerii. De obocei, dobanzile simple se utilizeaza pe credite(imprumuturi) de un an sau mai putin.S= suma depusa/imprumutataN=timpul exprimat in aniR%=rata dobanziiD=dobanda simpla generate de suma S pe o perioada de n ani, cu rata dobanzii r%.

Dobanda simpla este direct proportionala cu suma depusa(imprumutata), cu procentul de dobanda si cu durata depunerii imprumutului.

Daca impartim anul in k parti egale si este un numar de astfel de parti pentru care se calculeaza dobanda atunci:

Spunem ca un capital este plasat cu dobanda compusa (capitalizata) daca dobanzile simple produse pentru fiecare perioada de plasare sunt integrate in capital ( capitalizate) si produc la randul lor dobanda.De obicei, dobanzile compuse se utilizeaza pentru credite (imprumuturi) pe perioade de timp mai lungi de un an.

=generate de un capital initial S, plasat cu o dobanda compusa, pe o perioada de n ani cu rata anuala a dobanzii de r%.

-in primul an, suma S produce o dobanda:

-in al doilea an, suma generatoare de dobanda va fi , unde

dobanda obtinuta dupa 2 ani: care se adauga la capitalul existent

-suma devine capitalul care produce dobanda in al

treilea an

dobanda va fi:

-dupa n ani se va produce o dobanda compusa(partiala):

4

* creste in progresie geometrica.

Dobanda compusa totala:Cum

Atunci:

cu :

Probleme rezolvate:1) Valoarea unei instalatii este de 36 milioane lei, iar amortizrea anuala este de 9 milioane lei. Sa se

calculeze termenul de amortizare si rata anuaa a amortizarii.

Solutie: Avem si

2) Dupa 5 ani de functionare , valoarea ramasa de amortizat a unui utilaj este de 10 milioane lei.Stiind ca rata anuala de amortizare este de 10%, sa se calculeze valoarea utilajului si termenul de amortizare.

Solutie: In fiecare an se amortizeaza 10% din valoarea utilajului. Dupa 5 ani se amortizeaza 50% din aceasta si ramane amortizat 50% din ea. Avem 50% din V= , deci V=20 milioane lei.

.

3) O banca acorda un credit de 20 milioane lei pentru un an de zile, cu o rata a dobanzii de 5%. Care este valoarea dobanzii incasate de banca?

Solutie: Fiind vorba de un credit pe termen scurt , avem:

4) Un agent economic depune la banca 20 milioan lei pentru 3 luni. Rata dobanzii este de 5%. Cat va fi dobanda platita de banca agentului economic?

Soluti: Se aplica formula dobanzii simple:

5) O firma, ale carei incasari sunt de 400.000 u.m.(unitati monetare) si costuri(cheltuirli) de 330.000 u.m., isi completeaza sursele de finantare prin emisiunea de obligatiuni(imprumuturi) in valoare totala de 200.000 u.m., cu o dobanda anuala de 14%. Daca impozitul pe profit este de 45%, care va fi profitul net la sfarsitul anului?

Solutie: Profitul brut este 400.000-330.000=70/000(u.m). Dobanda ce trebuie platita pentru

obligatiunile emise este . Din profitul brut se plateste aceasta

dobanda. Raman 42.000 u.m. Cum impozitul pe profit este (u.m), rezulta ca

profitul net este : 42.000-18.900=23.100)u.m).6) un agent economic primeste de la banca un credit de 200 milioane lei pe termen de 2 ani, cu rata

anuala a dobanzii de 15%. Stiind ca rambursarea creditului si plata dobanzii se face la sfarsitul celor 2 ani, sa se calculeze dobanda si suma totala datorata.

Solutie: Avem: n=2

R=

5

Rezulta dobanda: si suma totala

3) se acorda un credit de 100 milioane lei pentru o perioada de 5 ani si cu o rata a dobanzii de 10%. Cat va fi dobanda incasata de banca la sfarsitul perioadei?

Solutie: Fiind vorba de o perioada de 5 ani, se va folosi formula dobanzii compuse. Avem suma totala

datorata:

Si dobanda datorata la sfarsitul perioadei:

1.3Taxa pe valoarea adaugata (TVA)

Taxa pe valoarea adaugata = un impozit indirect, stabilit si perceput de catre stat, asupra valorii adaugate, in fiecare stadiu al productiei si al distributiei bunurilor materiale, sub forma de procent din pretul acestor bunuri.TVA=(procent TVA)(pretul initial)-aceasta taxa este achitata de comparator, fiind cuprinsa in pretul de vanzare al fiecarui obiectpretul de vanzare= (pretul initial)+(procentul TVA)(pretul initial)

Probleme rezolvate:1) Pretul afisat al unui produs este de 1.250.000 lei(fara TVA). Care este pretul de vanzare, stiind ca

TVA este 19%?

Solutie: La pretul afisat trebuie adaugata TVA. Obtinem pretul de vanzare :

1.250.00+

2) Pretul unui produs este 654.500 lei( incluziv TVA). Care este pretul fara TVA (consideram ca procentul TVA este de 19%)?

Solutie: Daca notam pretul fara TVA cu p, atunci 654.500=p+ , de unde p=550.000 lei.

2) Daca TVA pentru un anumit produs scade de la 22% la 19%, cu cate procente se va ieftini acel produs?

Solutie: Presupunem ca pretul initial fara TVA al produsului este de 100 lei. Pretul de vanzare al sau va fi 122 lei cu TVA 22% si 119 lei cu TVA 19%. Rezulta ca produsul s-a ieftinit cu 3 lei. Pentru a

afla procentul p pe care il reprezinta 3 lei din 122 lei scriem =2,45%( cu

aproximatie 2 zecimale exacte). In concluzie, reducerea cotei TVA de la 22% la 19% conduce la o ieftinire a produselor cu aproximativ 2,45%.

II.Culegera, clasificare si prelucrarea datelor statistice

2.1 Date statistice:culegerea si clasificarea lor

6

Prin date statistice intelegem valori ale unor marimi fizice, economice etc, rezultate din masuratori.

Fie E un experiment si X o marime referitoare la experimental E.Orice sir finit de valori ale lui X, observate sau masurate, de forma , nu neaparat distincte, se numeste sir(series au selectie) de date statistice, de volum n.

Orice subsir al acestuia se numeste esantion. Un esantion este considerat reprezentativ in functie de context(concluziile obtinute sa poate fi generalizate).Analiza statistica asupra unui esantion se face in multe cazuri. Exemplu: Fie E=desemnarea rezulatatelor la o lucrare scrisa, obtinute de elevii unei clase si X= nota la respective lucrare scrisa. Daca notele obtinute sunt: 6, 7,3,4,9,9,3,5,5,10,7,7,8,6,6,6,4,5,9,9,6,7,4,7,7, am obtinut un sir de date statistice. Dupa ce au fost culese, aceste date trebuie clasificate(grupate), mai ales avand in vedere ca unele dintre ele sunt egale si ca numarul lor este mare.

Tipuri de grupare:

Tebelul 1Nota 3 4 5 6 7 8 9 10

Numar elevi 2 3 3 5 6 1 4 1

Tabelul 2Note Numar de eleviBune

Mediocreslabe

6145

Orice studiu statistic se efectueaza asupra unei anumite multimi = populatie statistica.Unitati statistice(indivizi)= elementele unei populatii statistice.Caracteristica(variabila statistica)= propietate a unitatilor statistice , obiecte ale analizei statistice. Poate fi cantitativa sau calitativa.Date statistice= valorile caracteristicilor.

Metode pentru culegerea de date:1) date retroactive= extrase din arhive sau anuare statistice( exemplu: cele privind nivelul de trai);2) observare directa3) experiment planificat= se urmaresc marimile care determina evolutia unor procese sau fenomene,

pentru a putea prezice ce intervale scurte de timp comportarea acestora.Numarul de unitati statistice ale populatiei statistice corespunzatoare valorii a caracteristicii

X se numeste frecventa absoluta si de multe ori, numim sirul serie statistica.

Frecventa absoluta a unei clase de valori este numarul de statistice corespunzatoare valorilor caracteristicii care apartin clasei respective.

III. Interpretarea datelor statistice prin parametrii de pozitie

3.1 Medii

Se numeste medie aritmetica a sirului de date statistice numarul:

.

7

Media aritmetica ponderata: , .

daca folosim frecventele relative

Daca datele sunt grupate pe clase de valori(intervale) si :

- = mijlocul clasei j, adica semisuma capetelor intevalului de clasa;

- = frecventa absoluta a clasei;- k = numarul de clase;

atunci media aritmetica se calculeaza dupa formula: , .

Media aritmetica nu depinde de ordinea datelor statistice. Ea este cu atat mai reprezentativa cu cat valorile individuale din care se calculeaza sunt mai omogene, mai apropiate ca marime intre ele.

Media patratica a sirului de date statistice negrupate este numarul

.

In cazul in care cansideram datelor grupate, obtinem seria statistica , unde sunt frecventele

absolute . Atunci se calculeaza ca medie patratica ponderata:

, . Alte tipuri de medii:

1. Media geometrica (armonica):

, ;

, .

2.

-se numeste modul, dominanta sau moda a unei serii statistice , valoreaza a

caracteristicii pentru care frecventa absoluta este maxina. Aceasta se noteaza cu .

-se numeste mediana a unei serii statistice , o valoare a caracteristicii cu proprietatea

ca exista tot atatia indivizi care iau valori ale caracteristicii mai mici decat si tot atatia care iau valori

ale caracteristicii mai mari decat si tot atatia care iau valori ale caracteristicii mai mari decat (in

cazul seriilor statistice cu un numar impar de valori).

-numim amplitudine a unei serii statistice cantitative, diferenta dintre cea mai mare sic ea mai mica valoare a caracteristicii.

3.2 Dispersia

8

Dispersia sau variatia selectiei, notata , este numarul real .

Daca datele sunt grupate sub forma seriei statistice discrete , atunci dispersia este:

, .

.

3.3 Abateri de la medie

Fie seria statistica: , avand valorile (datele tatistice) cu frecventele absolute,

respective , iat media ritmetica(valoarea medie) a acestei serii.

1) Numim abatere absoluta de la valoarea medie a valorii diferenta .2) Numim abatere medie liniara media aritmetica a modulelor tuturor abaterilor absolute de la

valoarea medie a valorilor ,

; .

3) Numim abatare medie patratica (a seriei ) numarul

; (astfel , media patratica este folosita la

calculul abaterii medii patratice de la valoarea medie). 4) Numim coefient de variatie V al unei serii statistice raportul, exprimat in procente, dintre abaterea

medie patratica si valoarea medie a seriei : .

Dispersia masoara gradul de “imprastiere”, de indepartare a datelor fata de medie.

Probleme rezolvate:

1) Fie selectia de date 1,5,6,8. Sa se calculeze media si dispersia .

Solutie:

2) Un elev are, la sfarsitul semestruui , la cele15 discipline , medii reprezentate in urmatoarea statistica:

Media 5 6 7 8 9 10Numar discipline 1 2 4 3 2 3

Sa se calculeze: a) media(valoarea medie); b) abaterile absolute de la medie; c) abaterea medie liniara; d) dispersia; e) abaterea medie patratica; f) coeficientul de variatie.

9

Solutie: a)

b) Abaterile absolute sunt:-pentru media 5: 5-7,8=-2,8;-pentru media 7: 7-7,8=-0,8;-pentru media 6: 6-7,8=-1,8-pentru media 9: 9-7,8=1,8;-pentru media 10: 10-7,8=2,2.

c)

d)

e)

f)

IV. Notiunea de probabilitate a unui eveniment.Probabilitati conditionate

4.1 Evenimente. Operatii cu evnimente

O experienta este denumita aleatoare daca, repetand-o in conditii idntice, rezultatele sale sunt intamplatoare.Probe = experiente aleatoare care pot conduce la rezultate cu numar finit.

= universal posibilitatlor

Eveniment = o submultime de probe .

Evenimente elementare = .

Eveniment compus = un eveniment care nu este elementar.

Spunem ca evenimentul s-a realizat daca s-a obtinut una dintre proble .

Rezultat favorabil = orice element a lui A.Multimea tuturor evenimentelor associate experientei aleatoae considerate este egala cu , multimea tuturor partilor lui .

1) Fiind date 2 evenimente A si B, evenimentul se numeste reuniunea evenimentelor A si B.2) Fiind date 2 evenimente A si B , evenimentul se numeste intersectia evenimentelor A si B.3) Fiind dat un evenimente A, evenimentul se numste eveniment contrar lui A.

Concluzii:1) Evenimentul (citit ”A sau B”) se realizeaza daca si numai daca se realizeaza cel putin unul

dintre evenimntele A si B.2) Evenimentul (citit “A si B”) se realizeaza daca si numai daca se realizeaza simultan

evenimentele A si B.3) Evenimentul (citit :non A”) se realizeaza daca si numai daca nu se realizeaza evenimentul A.4) Evenimentul se realizeaza daca si numai daca se realizeaza A si nu se realizeaza B.

Un eveniment este compus daca si numai daca exista 2 evenimente , astfel incat .

10

Deoarece avem: 1. si 2. , pentru perechea s-a impus denumirea de camp de evenimente.

=evenimente incompatibile daca ( realizarea unuia exclude realizarea celuilalt). In caz contrar se numesc compatibile.O familie de evenimente sistem complet de evenimente

.

Multimea evenimentelor elementare =system complet de evenimente.

4.2 Definitia axiomatica a probabilitatii.Evenimente aleatoare egal probabile

Dca evenimentul A asciat unei experiente s-a realizat de ori din cele n probe frecventa(relativa) a

evenimentului A : .

Cu cat numarul n este mai mare cu atat numarul m este mai mare.Definitia axiomatica: Consideram un camp finit de evenimente. AO functie P: R, care satisface axiomele:1.

2. Ø

3. ,se numeste prbabilitatea K.

pentru care Ø,

.

Fie o functie probabilitate =camp finit de probabilitate.

Fie un camp finit de probabilitate. Sunt adevarate urmatoarele proprietati:

1. 2. P(Ø)=03.

4.

5.

6.

7.

Fie un camp finit de probabilitate si evnimente. Spunem ca evenimentele

sunt egal probabile (echiprobabile) daca .

4.3 Probabilitatea unui eveniment compus din evenimente egal probabile.Definitia clasica a probabilitatii

consideram un sistem complet de evenimente egal probabile =>

11

si =>

P(A)= .

Definitia clasica:Fie un camp finit de evenimete si fie un eveniment.Presupunem ca contine n evenimente elementare, iar evenimentul A contine k evenimente elementare, evenimntele fiind

egal probabile. Atunci raportul P(A)= dintre numarul cazurilor favorabile realizarii evenimentului A si

numarul cazurilor egal posibile , se numeste probabilitatea evenimentului A.

4.4 Probabilitati conditionate. Dependenta si independenta evenimentelorFie un camp finit de probabilitate si A,B K 2 evenimente astfel incat P(B) 0.Daca A si B= incompatibile => evenimentul a nu se va realize.Daca Ø=> evenimentul A este posibil sa se realizeze

Fie un camp finit de probabilitate si A,B K 2 evenimente, astfel incat P(B) 0.Raportul:

se numeste probabilitatea evenimentului A conditionat de B.

Proprietati:1. functia =probabilitate

2. un system complet de evenimente cu atunci pentru

=

formula probabilitatilor totale.

3. P(A)>0=> formula lui Bayes(teorema ipotezelor) :

4. daca sunt n evenimente astfel incat

atunci:

.

Probleme rezolvate: 1) In cazul experientei aleatoare a aruncarii unui zar o singura data, avem:

iar A={1,3,5} este evenimentul „aparitia unei fete cu numar impar” si el se realizeaza daca se obtine una dintre probele 1, 3 sau 5. In caz contrar, adica daca am obtine 2,4 sau 6, evenimentul nu se realizeaza.

2) Sa consideram experienta aleatoare a aruncarii unei monede de 3 ori la rand. Deoarece moneda are 2 fete , notate, sa zicem cu b(ban) si s(stema), universul probabilitatilor poate fi gandit ca fiind multimea : . Putem considera evenimentul A={bbs,bsb,sbb} care arata ca banul b apare de 2 ori. El se realizeaza daca se obtine una dintre probele bbs,bsb sau sbb.

3) In cazul experientei aleatoare care consta in aruncarea unei monede de 3 ori se pot condidera evenimentele: evenimetul A={bbs,bsb,sbb} , cara arata ca banul b apare de 2 ori si venimentul B={bbb,bbs,bsb,bss}, carea arata ca banul apare primul in cele 3 aruncari

12

succesive. Cu aceste 2 evenimente, putem forma alte 3 noi evenimente:

4) Fie K= multimea tuturor evenimntelor asociate unei experiente aleatoare. Observam ca pentru un eveniment oarecare A , putem considera evenimentele .Evenimentul =evenimentul sigur si el se realizeaza cu certitudine la fiecare efectuare a experientei. Evenimentul Ø= =evenimentul imposibil , fiind evenimentul care nu se realizeaza la nici o efectuare a experientei.

5) La aruncarea unui zar, aparitia unui numar cel putin egal cu 1 pe fata superioara este un evenimnt sigur.

6) Extragerea unei bile rosii dintr-o urna care contine numai bile albe este un eveniment imposibil.

7) In cazul experientei legate de aruncarea unei monezi se constata ca, la un numar mare de

repetari ale experientei, frecventele aparitiei unei fete oscileaza in jurul valorii

8) Consideram experienta aleatoare a extragerii unei litere din cuvantul FRATE. Fie V evenimentul aparitiei unei vocale. Sa se calculeze probabilitatea evenimentului V.

Solutie: .

9) Dintr-un pachet de 52 de carti de joc, se extrage o carte la intamplare. Sa se calculeze probabilitatile de a xtrage : a) o cupa sau regele de pica;

b) o cupa sau un rege.Solutie: A= evenimentul de a extrage o cupa, B=evenimentul d a extrage regele de pica si

C=evnimentul de a extrage un rege. Avem: ; ; .

a) Intrucat =Ø

b) Deoarece Ø .

10) Sa consideram experienta aruncarii unui zar. Acesta are 6 cazuri posibile. Daca A={1,2,3}

si B={2,3,4,5,6}, atunci P(A)= si P(B)= . Sa presupunem ca acoperim fetele 2,3,4,5,6

cu un strat de vopsea rosie. Daca in urma aruncarii zarului s-a obtinut o fata rosie, atunci stim ca s-a realizat B, dar nu stim ce fata a aparut. Daca vrem sa calculam probabilitatea ca A sa se realizez stiind ca B s-a realizat, avem numai 5 cazuri posibile( cazuri favorabile lui B) si dintre aceste 5 cazuri posibi;e, 2 sunt favorabile lui A. Rezxulta

.

11) O urna contine 6 bile albe si 5 bile negre. Se extrag succesiv 3 bile ( fara intoarcerea bili extrase).Care este probabilitatea ca prima bila sa fie alba, iar celelalte 2 sa fie negre?

Solutie: Fie evenimntele: =prima bila este alba; =a2a bila este neagra; =a3a bila este neagra.. Probabilitatea ceruta este:

.

12) Alegem in mod aleatoriu o familie din multimea familiilor cu 2 copii de varste difrite.Avem de ales din 4 configuratii egal posibil,M M, M F, FM,FF, unde notatia MF, de exemplu, specifica faptul ca dintre cei 2 copii, baiatul(Masculin) este mai in varsta decat fata(Feminin). Notam cu A evenimentul ca dintre cei 2 copii, cel putin unul sa fie fata, iar

13

cu C evenimentul ca dintre cei 2 copii, copilul mai in varsta sa fie fata. Sa se determine P(A/B) si P(A/C).

Solutie: Universul posibilitatilor este . Atunci A={FF}, B={MF,FM,FF}; C={FF,FM}.

P(A)= ; P(B)= ; P(C)= . Deoarece

In concluzie:

13) Intr-o uzina, 3 masini produc piese de acelasi tip. 0,3% din piesele produse

de sunt rebuturi, 0,5% din piesele produse de sunt rebuturi si 1% din piesele

produse de sunt rebuturi. Se pun intr-o magzie 1000 de piese, dintre care 450 provin de

la , 250 de la si 300 de la . Se alege la intamplare o piesa din magazie. Sa se determine:

a) probabilitatea evenimentului ca piesa extrasa sa fie rebut;b) probabilitatea evenimentului ca piesa extrasa sa provina de la una dintre cele 3 masin,

stiind ca piesa extrasa este rebut.

Solutie: a) =evenimentul ca piesa extrasa sa fie produsa de masina 3,2,1, iM i .

Atunci :

A=evenimentul ca piesa extrasa sa fie rebut. Atunci: P(A)=

=

b)

Exercitii: 1. Cat reprezinta 50% din 1000? Dar 0,1% din 50?

14

2.Un produs costa 150.000lei. Pretul lui este crescut cu 10% si dupa o luna, constatand scaderea vanzarilor, patronul reduce toate preturile cu 10%. Cat reprezinta acum pretul produsului?Solutie: Initial , pretul produsului a crescut cu 10% din 150.000, adica cu 15.000 lei mai mult, devenind 150.000+15.000=165.000. Dupa o luna , pretul se reduce cu 10%, ceea ce reprezinta 10% din 165.000, aica 16.500. Deci, in acest moment, produsul costa 165.000-16.500=148.500.

3.O persoana trebuie sa plateasca impozitul anual e 1% din valoarea pe casa. Apartamentul pe care il detine valoreaza 250 milioane lei, Daca impozitul este platit in primul trimestru, persoana benificiza de o reducere de 5% din suma datorata. Care este valoarea acestei reduceri?Solutie: Impozitul anual este e 1% din 250 milioane, adica 2,5 milioan, Rezulta ca valaorea reducerii este de 5% din 2,5 milioane=125.000.

4.Daca adaosul este de 20% si pretul de cost al unui produs este de 400.000lei, care este pretul lui de vanzare? Solutie: pret vanzare= pret de cost( +1)Pret de vanzare=400.000(20%+1)Pret de vanzare=480.000 lei

5.O familie are un venit lunar de 8.000.000 lei. Conform bugetului familiei, ei au planificat pentru cheltuielile gospodaresti 2.000.000 lei pe luna. Ce procent din veniturile familiei si-au planificat pentru cheltuielile gospodaresti?

Solutie:

6.Valoarea unui utilaj este de 6.000.000 lei, iar amortizarea anuala este de 1.500.000 lei. Sa se calculeze termenul de amortizare si rata anuala a amortizarii.

Solutie: Termenul de amortizare este . Pentru rata anuala a amortizarii se

obtine procentul .

7.Termenul de amortizare a unui utilaj este de 25 ani. Se cere rata anuala a amortizarii.Solutie: Deoarece termenul de amortizare este de 25 de ani, rezulta ca

.

8.Banca X ofera credite pentru constructia de locuinte, in regim de dobanda simpla, cu dobanda de 40% pe un an, pe o perioada de 3 ani. O persoana imprumuta , in acesre conditii, suma de 100 milioane de lei. Ce suma va trebui sa rstituie la expirarea termenului? Dar daca dupa un an banca modifica dobanda la 35%?Solutie: Pentru fiecare an, dobanda reprezinta 40% din 100 milioan lei, adica 40 milioan lei, care, pentru perioada de 3 ani, conduc la suma de milioane. Rezulta ca, la expirarea termenului , persoana trebuie sa restituie 100+120=220(milioane).

Daca, dupa un an, banca modifica dobanda de 35%, persoana va avea de platit urmatoarele dobanzi:-pentru primul an: 40% din 100 milioane, adica 35 milioane;-pentru al 2-lea an: 35% din 100 milioane=35 milioane;-pentru al 3-lea an: 35% din 100 milioane=35 milioane;in total rezultand 40+35+35=110(milioane).

Suma care trebuie restituita va fi de 100+110=210 milioane lei.

15

9. O firma ale carei in casari sunt de 800.000 u.m. si costuri de 660.000 u.m isi completeaza sursele de finantare prin emisiunea de obligatiuni in valoare total de 300.000 u.m. cu o dobanda anuala de 20%. Daca impozitul pe profit este de 35 %, care va fi profitul net la sfarsitul anului?Solutie: Profitul brut realizt de firma este 800.000-660.000=140.000(u.m). Dobanda platita pentru

obligatiuni este . Aceasta dobanda va scade din profitul brut, ramanand

140.000-60.000=80.000. Impozitul pe profit este , rezultand un profit net de

80.000-28.000=52.000.10.O asociatie depune o suma de bani S la o banca a carei rata a dobanzii este de 30% pe un an.

Dupa 4 ani , asociatia a scos de la banca 114,244 milioane lei. Determinati suma initiala S depusa la banca si masa dobanzii.

Solutie: Rata anuala a dobanzii este r=30%, deci R=1+ . Deoarece suma totala este de 114, 244

milioane, rezulta egalitatea . Rezolvarea ecuatiei conduce la o suma initiala depusa de 40

milioane lei. Masa dobanzii este (milioane lei).

11. O firma realizeaza , in regie proprie, un mijloc fix al carui cost de productie este 83.000.000 lei. Acesta este vandut unui client la pretul de 148.000.000 lei. Calculati valoarea TVA-ului aferent vanzarii mijlocului fix.Solutie: Fie x pretul mijlocului fix fara TVA (pretul initial). Cum procentul TVA este de 19%, rezulta ca

. Rezolvand ecuatia, obtinem x=124.369.748(lei). Prin urmare, valoarea

TVA-ului va fi 148.000.000-124.369.748=23.630.252(lei).

12.Cota de TVA pentru un anumit produs este de 19%. Cu cat la suta se va scumpi respectivul produs daca TVA creste la 24%?Solutie: Fie x pretul produsului fara TVA. Rezulta ca pretul produsului cu procent TVA de 19% este

, iar pretul cu procent TVA de 24% este . Diferenta dintre ultimele 2 preturi este egala cu

, ceea ce conduce la concluzia ca produsul se va scumpi cu

.

Total 50 -11,50 1335,10

Se observa ca . Astfel, . Dar

Cum Rezulta , dar

. Folosind

.

c) h [130,140) [140,150) [150,160) [160,170) [170,180)

6 15 18 7 4

16

Cum este centrul clasei mediane, consideram o noua serie statistica definita prin

relatiile . Rezulta . Dar, .

19. O variabila cu valorile are media si abaterea de la medie patratica . Sa se

arate ca exista perechea de numere reale (a,b), cu , astfel incat variabila X cu valorile

sa aiba media m si abaterea de la medie patratica , dinainte date.Aplicatie: Un pachet de lucrari a fost notat, in puncte de la 0 la 20, de un anumit corector:Note:6,6,7,7,7,8,8,8,9,9,9,10,10,10,10,10,10,11,11,14.a) Calculati media si abaterea medie patratica a seriei de note date.b) Printr-un procedeu de tipul celui descris mai sus, transformati seria de note astfel incat noua

serie sa aiba media 12 si abaterea medie patratica 2.Solutie: Variabila aleatoare X=ax+b are media si abaterea medie patratica

. Dar, si . Prin urmare , avem m=a si . Rezulta :

Pentru a rezolva aplicatia, centralizam datele dupa frecventele absolute in tabel: 6 7 8 9 10 11 14

2 3 3 3 6 2 1

a)

6789101114

2333621

-3-2-10125

-6-6-30645

94101425

1812306825

Total 20 0 72

b)Conform cazului general: X=ax+b

a= =1,06 si b=12-

Notele date de corector in acest caz: 9,9,10,10,10,11,11,11,12,12,12,13,13,13,13,14,14,17.Aceasta noua serie statistica are media 12 si abaterea medie patratica 2.

20. Dintr-un lot de becuri se extrag la intamplare 200 bucati, care se pun la proba pentru a se afla numarul de ore de ardere, Se obtin rezultatele:

Timpul de ardere(h) Nr. de becuri Timpul de ardere (h) Nr. de becuri1000-10201020-1040

58

1100-11201120-1140

4020

17

1040-10601060-10801080-1100

303535

1140-11601160-11801180-1200

1881

Sa se gaseasca tabelul cu frecventele relative cumulate crescator si sa se reprezinte histograma seriei statistice date.

Solutie:Seria statistica este data prin clase de valori de aceeasi aplitudine, 20. Corespunzator

fiecarei clase , definim valoarea centrala si se obtine:

Timpul de ardere, Frecventa absoluta, Frecventa relativa, Frecventa relativa cumulta crescator

1010103010501070109011101130115011701190

5830353540201881

0,0250,0400,1500,1750,1750,2000,1000,0900,0400,005

0,0250,0650,2150,3900,5650,7650,8650,9550,9551,000

21. Se plaseaza suma de 80 milioane lei pe o durata de 75 de zile, cu o rata a dobanzii de 9%(in regim de dobanda simpla). Ce suma finala genereaza suma plasata?(Se considera ca anul are 360 de zile).

Solutie: D= .

22. Fie S=1500$ suma care trebuie depusa la o banca pe o perioada de 8 luni (in regim de dobanda simpla) cu o rata anuala a dobanzii de 14%. Sa se determine dobanda pe care trebuie sa o plateasca banca dupa 8 luni.

Solutie: D=

23. Daca se depune la banca o suma S=1000$, cu rata dobanzii anuale de 8%, care este suma obtinuta dupa 2 ani, in cazul dobanzii simple, respectiv in cazul dobanzii compuse?

Solutie:D=

24. O persoana a depus la o banca suma initiala S, cu rata dobanzii simple de 25%. Dupa 2 ani, suma a devenit 3 milioane lei. Care a fost suma S?

Solutie:

25. Sa se calculeze suma care trebuie platita de un debitor pentru un credit in valoare de 72 milioane lei, cu scadenta la 120 zile de la acordarea creditului si rata anuala a dobanzii de 10%(se considera ca anul are 360 de zile).

Solutie:

26.Sa se completeze tabelul urmator( in cazul dobanzii compuse):Suma S Rata anuala Perioada Suma finala900 u.m. 14% 2 ani 1026 u.m.500 u.m. 12% 3 ani 627,2 u.m.1300 u.m. 10% 4 ani 1903,33 u.m.

18

27. Dupa 3 ani, cu dobanda compusa anuala de 15%, s-a obtinut suma Care a fost depozitul initial?

Solutie:

28. Care este rata dobanzii pentru ca o suma plasata cu o dobanda compusa sa creasca de 4 ori in2 ani?

Solutie:

29. O asociatie depune o suma de bani S la o banca a carei rata a dobanzii este de 30% pe an. Dupa 4 ani, asociatia a scos de la banca 114,244 milioane lei. Determinati suma initiala S depusa la banca si masa dobanzii.

Solutie:

D=114,244-40=74,244 milioane lei.

30. Sa se determine pretul de vanzare sau pretul initial al diferitelor produse ,

din tabelul urmator, daca procentul pentru taxa pe valoarea adaugata este de 19%.Produsul

Pretul initial 1.250.000 546.220 125.000 3.235.300 7.800.000Pretul de vanzare

1.487.500 650.000 148.750 3.850.000 9.282.000

31. Diferenta dintre pretul TVA si pretul fara TVA al unei carti este de 47.500 lei. Daca procentul pentru taxa pe valoarea adaugata este 19%, sa se determine pretul de vanzare (cu TVA) al cartii.

Solutie:

32. Care este pretul de vanzare intr-un magazin al unei masini de spalat care la unitatea producatoare costa 6.850.000 lei, daca procentul pentru taxa pe valoarea adaugata este de 19%?

Solutie:

33. Patronul unui magazin alimentar a constatat ca, dintre toate sortimentele unui produs, cel mai bine se vinde cel care are pretul cuprins intre 8.000 si 10.000 lei bucata. El are obligatia ca pretul de achizitie sa perceapa si TVA-ul, care reprezinta 19%. De la care dintre firmele va trebui sa achizitioneze patronul magazinului produsul, stiind ca pretul de achizitie al unei bucati din produsul respectiv este de 6000 lei la firma , 7000lei la firma , de 7500 lei la firma si de 8500 lei

la firma ?

Solutie: Daca ar cumpara de la firma , pretul de vanzare e de 7.140 lei, de la firma pretul de

vanzare e de 8.330 lei, de la firma pretul de vanzare e de 8.925 lei , iar de la firma pretul de vanzar

e de 10.115 lei. In concluzie, patronul ar trebui sa-si achizitioneze produsele de la firmele . 34. Care este procentul cu care variaza un pret daca:

19

a) pretul se dubleaza: crestere cu 100%;b) pretul se tripleaza: crestere cu 200%;c) pretul ramane la fel: crestere cu 0%;d) pretul scade la jumatate: scadere cu 50%;e) pretul scade cu o cincime:scadere cu 20%;f) pretul creste cu un sfert: crestere cu 25%.

35. Sa se determine dobanda simpla dupa un an, obtinuta pentru un depozit de 5 milioane lei, cu o rata a dobanzii anuale de 30%. Aceeasi problema pentru un depozit de 1000$, dupa 6 luni, cu o rata anuala de 2%.

Solutie:a) D= lei

b)

36. Fie S suma initiala depusa la o banca ce ofera o dobanda compusa de 25% anual. Sa se determine S, daca dupa 4 ani suma capitalizata a fost de 20 milioane lei.

Solutie:

37. Pretul unui produs, inclusiv TVA 19%, este de 950.00 lei. Care este pretul fara TVA?

Solutie:

38. Profitul unei firme a fost , in anul 1999, de 150 milioane lei. Sa se calculeze impozitul pe profit platit statului (in 1999, impozitul pe profit fixat prin lege a fost de 38%).

Solutie: (impozitul pe profit)

39. Sa se calculeze media si media patratica pentru urmatoarea selectie de 4 date: 7,75,8,8,25,7.

Solutie:

40. Sa presupunem ca salriile platite ( in milioane lei) de o societate pe o luna celor 45 de salariati ai sai, grupati in 5 grupe de salarizare I-V, au fost urmatoarele:

Grupa Salariul Numar de salariatiIIIIIIIVV

2015943

1210293

Sa se calculeze salariul mediu pe societate.Solutie:

41. Structura emigrantilor din Romania in 1997 pe grupe de varsta a fost: Varsta(in

ani)Sub 18 18-25 26-40 41-50 51-60 Peste 61

20

Nr. emigranti

4145 2559 8091 2490 1143 1517

Sa se afle dominanta acestei serii.

Solutie: deoarece in acest interval sunt cei mai multi emigranti 8091.Valoarea

centrala a acestei serii este 33 ani, deci dominanta acestei serii este 33.

42.In tabelul urmator este data repartitia notelor la teza la matematica la o clasa de 30 de elevi. Gasiti amplitudinea si mediana seriei.Nota 3 4 5 6 7 8 9 10Frecventa absoluta

1 3 8 6 7 3 1 1

Solutie: Amplitudinea=10-3=7

43. Produsul intern brut pe locuitor, in 1998, calculat pe baza cursului de schimb in dolari USA in 10 dintre principalele tari europene, este dat in tabelul urmator:

Tara Austria Belgia Elvetia Franta Germania Italia Olanda Regatul Unit

Spania

Suedia

romania

PIB/loc.

22784 20880 33297 21834 23538 17066

20224 16208 12227 21251 1159

a) Sa se calculeze valoarea medie a produsului intern but pe cap de locuitor in cele 10 tari europene.

b) Sa se calculeze abaterile absolute de la valoarea mediea si abaterea absoluta a Romaniei de la media celor 10 tari.

c) Sa se calculeze abaterea medie liniara.Solutie: a)

b) pentru Romania: 1159-20.931=-19.772

Austria Belgia Elvetia Franta Germania Italia Olanda Regatul Unit

Spania Suedia

1.853 -51 12.366 903 2.607 -3865 -707 -4723 -8704 290

c)

21