O picatura de apa invelita in coloid (ME)

Geometria sacră într-o abordare modernă.

Matei Iorgu-Dragos, MG anul VI

Introducere

• "Geometria" înseamnă "măsură a pământului". • Din Egiptul antic, datorita inundaţiilor periodice• Când apele se retrăgeau se trasau noi limite şi

marcaje datorită modificării suprafeţei terenului. • Acest fapt foarte important numit ulterior

geometrie a fost văzut ca o re-stabilirea a principiului ordinii şi legităţii pe pământ.

Introducere• Pentru Platon (în „Republica”) Realitatea consta

din idei arhetipale, iar fenomenele pe care noi le percepem ca fiind reale sunt doar reflecţii palide.

• "Idee" în limba greacă se poate traduce şi ca “Formă”, iar aceste idei nu pot fi percepute prin simţuri, ci pot fi interpretate ca o cauză sau un motiv.

• Geometria a fost limbajul recomandat de către Platon ca cel mai clar model prin care se poate descrie acest tărâm metafizic

Introducere• “Numerele sunt sursa din care răsar formele şi energia în lume.

Ele sunt active şi dinamice până şi în relaţiile dintre ele, aproape umane în capacitatea de influenţare reciprocă.” (Teon din Smirna)

• Pentru Pitagora Numărul şi Forma la nivel ideal sunt unul şi acelaşi lucru. Când Pitagora spune :”Totul este aranjat conform Numărului „ el nu se gândea la simpla proprietate de calcul, de enumerare, ci la faptul că ele posedă şi o calitate sau mai multe. Aşa se face că „doimea” , „treimea” , „pătrimea” nu sunt formate numai din 2 , 3 respectiv 4 elemente ci reprezintă ele însele unităţi sau întreguri, fiecare cu proprietăţi specifice. „Doi” de exemplu este privit ca esenţa primară prin care se manifestă puterea dualităţii

Generarea celorlalte forme geometrice, din cerc,

• Dintre elementele geometriei sacre, corpurile solide ale lui Pitagora, descrise foarte bine de către Platon, sunt printre cele mai discutate.

• Aceste corpuri sunt în număr de 5 : tetraedrul, cubul (hexaedrul), octaedrul, dodecaedrul şi icosaedrul (hedra înseamnă faţă ) şi reprezintă expresia volumetrică a triunghiului, pătratului şi pentagonului

• Sunt doar cinci pentru că numai ele respectă simultan următoarele reguli:– Toate laturile egale– Toate unghiurile interne (unghiuri diedre) egale– Se înscriu perfect într-o sferă– Au feţele exterioare poligoane regulate– Toate vârfurile sunt înconjurate de acelaşi număr

de feţe

• Se numesc „platonice” pentru că despre acestea discută Platon în opera sa „Timeus sau Timaios” scrisă pe la 350 î.Hr. În acest dialog, cu o bogată încărcătură provenind din şcoala pitagoreică, descrie o cosmologie metaforică între geometria plană şi cea solidă. El precizează dealtfel că există 5 elemente ce stau la baza univesului: pământ, apa, aer, foc şi eter iar fiecăruia îi este asociat unul din aceste solide. Tradiţia a păstrat următoarele asocieri :

– Cubul – pământ– Tetraedru – foc– Octaedru – aer– Icosaedru – apă– Dodecaedru – eter, element primar folosit de Dumnezeu la

crearea universului

• Euclid (300 î.Hr) şi alţi filosofi şi matematicieni ai Antichităţii au numit aceste corpuri geometrice atomii Universului.

• La fel cum astăzi noi credem că materia este organizată din atomi, aşa ei credeau că lumea fizică este organizată din atomi formaţi din solide Platonice.

• Similar modelului atomic actual în care nucleul este înconjurat de un nor de electroni aşezaţi pe diferite orbite, grecii credeau într-un model în care solidele perfecte se înscriu într-o sferă, care se înscrie într-un alt corp, care la rândul lui se înscrie într-o altă sferă, care la rândul ei se înscrie într-un alt corp, etc

Descoperirea lui Kepler • In lucrarea Misterium

cosmographicum de admirabili proportione orbium coelestium ( Misterul cosmografic despre uluitoarea proporţie a orbitelor cereşti) apărută la Tübingen în anul 1596, celebrul astronom şi matematician german JOHANN KEPLER ( 1571 – 1630 )

• Kepler începe prin a considera o sferă, de rază egală cu raza orbitei lui Saturn, planeta cea mai depărtată de Soare, din câte se cunoştea atunci ( la acea dată se credea că orbitele planetelor sunt circulare ). În această sferă, corespunzătoare orbitei lui Saturn, Kepler înscrie un cub. În cub se înscrie apoi o altă sferă şi constată, cu uimire, că această a doua sferă corespunde , ca rază, orbitei lui Jupiter, a doua planetă, după Saturn, în ceea ce priveşte depărtarea de Soare. Procedând mai departe în acelaşi mod Kepler constată că între sferele corespunzătoare orbitelor celor 6 planete cunoscute în acea vreme : Saturn, Jupiter, Marte, Terra, Venus, Mercur se înscriu cele 5 poliedre regulate posibile , în ordinea: cub, tetraedru, dodecaedru, octaedru, icosaedru. Această descoperire l-a făcut să afirme : Cred cu tărie că în univers există o voinţă divină.

Tetraedrul :

• Tetraedrul regulat este solidul perfect format din :– 6 muchii– 4 colţuri– 4 feţe

• Se numeşte tetraedru cazul particular de piramidă în care baza este reprezentată de un triunghi. În figurile 1,2,3 este prezentat tetraedrul regulat în care feţele sunt triunghiuri echilaterale. Totodată este poliedrul cu numărul cel mai mic de feţe la fel cum şi triunghiul este poligonul cu cel mai mic număr de laturi.

• Tetraedrul regulat este corpul în care toate vârfurile sunt echidistante între ele. Este singurul poliedru cu această proprietate, aplicabilă unui spaţiu cu 3 dimensiuni.

• O caracteristică importantă o reprezintă faptul că tetraedrul este solidul cu cea mai mare suprafaţă raportată la volum.

• Tetraedrul reprezintă structura de bază de la care toate lucrurile materiale sunt alcătuite. Un exemplu îl reprezintă ADN-ul care are structura spaţială de dublu-helix aranjată sub forma unor tetraedre etajate ca în figurile alăturate:

• „Tetraedrele sunt cele mai simple poliedre regulate, în timp ce cvasicristalele se situează printre cele mai complexe şi interesante structuri găsite în natură” (Sharon Glotzer – Universitatea Michigan). La această universitate s-a studiat acest lucru folosind simularea computerizată.

• Rezultatele au arătat că în timpul „stivuirii”, tetraedrele se pot organiza spontan în cvasicristale în momentul în care depăşesc cu puţin jumătate din spaţiul incintei imaginare utilizate. În experimentul computerizat s-au luat în calcul numai legile termodinamicii şi ale mecanicii statistice.

• Structurile apărute au fost de formă dodecagonală, inele şi dipiramide pentagonale (o astfel de structură conţine 5 tetraedre aranjate sub forma unui disc). Dipiramida pentagonală deţine cheia procesului general de stivuire.

• Acest studiu a dovedit că este permisă mărirea gradului de ocupare de la 77% la 85%, saltul fiind atribuit cvasicristalelor organizate spontan în forme geometrice regulate.

Cubul (Hexaedrul regulat):

• Este format din :– 8 colţuri– 12 muchii– 6 feţe de forma unui pătrat

• Dacă anticii considerau pătratul ca forma ce reprezintă lumea materială,

universul creat, ei au asociat cubului elementul pământ – stabilitatea, calmul, forţa regenerării şi a procreării.

• „Să conferim pământului figura cubică. Căci, dintre cele patru elemente, pământul este cel mai greu de mişcat şi , dintre corpuri, cel mai uşor de modelat.“(Timaios)

• Până în prezent au fost descrise şapte sisteme de cristalizare. Ele poartă următoarele denumiri: triclinică, monoclinică, rombică (cu simetrie joasă), trigonală, tetragonală, hexagonală (cu simetrie medie), şi cubică (cu simetrie superioară).

• Sistemul cubic are cele trei axe de simetrie egale, perpendiculare între ele. Cele mai simple corpuri ce aparţin acestui sistem sunt cubul şi octaedrul. În acest sistem cristalizează următoarele substanţe : C (diamantul) , Cu, Ag, Au, Pb, Fe, NaCl, FeS (pirita), PbS(galena), ZnS (blenda.

• Prin cristalizare cubică a dioxidului de zirconiu (ZrO 2) se obţine un cristal cu proprietăţi asemănătoare dimantului ( printre care duritate, refracţia) fiind adesea folosit ca şi înlocuitor al acestuia în diverse domenii.

Octaedrul

• Este format din :– 12 muchii– 6 vârfuri– 8 feţe triunghiulare echilaterale

• Forma predominantă adoptată de cristalele brute de diamant este cea de octaedru.

• Unind mijlocul laturilor unui tetraedru, se formează un octaedru care are latura egală cu jumătate din cea a tetraedrului din care provine.

• Octaedrul se poate construi dintr-un tetraedru ale cărui laturi sunt marcate la jumătate. Unind aceste puncte între ele se formează un octaedru cu latura egală cu jumătate din cea a tetraedrului din care provine.

• Volumul octaedrului astfel format este de patru ori cel al unui tetraedru cu aceeşi lungime a laturii.

• Se poate sintetiza o catenă de ADN, care în prezenţa unor oligodeoxinucleotide sintetice se împătureşte într-o structură de octaedru printr-un simplu proces de denaturare-renaturare. (William M. Shih1, Joel D. Quispe2 & Gerald F. Joyce1).

• La originea fenomenului de fotoluminiscenţă al oxidului de indiu stau structurile octaedrice care apar în procesul de cristalizare prin metoda evaporării în faze. (Mukesh Kumar1, V. N. Singh1, F. Singh2, K. V. Lakshmi3, B. R. Mehta1, and J. P. Singh1)

• Structuri octaedrice au fost descoperite prin microscopie electronică la interfaţa dintre un substrat siliconat şi stratul de oxid depus la suprafaţa lui (Manabu; Akiya, Hideo; Ueki, Takemi; Tomita, Masato; Yamawaki, Masataka)

• Compuşi ai unor metale tranziţionale cu diferite structuri organice (amine) formează structuri octaedrice adesea numite complexe Werner.

• Stella octangula de care am menţionat mai sus în această lucrare se formează prin stelarea unui octaedru regulat precum şi din 2 tetraedre întrepătrunse şi rotite la un unghi de 90® .

• Numele a fost pus de Kepler în 1611, obiectul în sine fiind cunoscut cu mult înainte.

Icosaedrul

• Reprezintă corpul descris de Platon ca având :– 30 de muchii– 12 vârfuri– 20 de feţe triunghiuri echilaterale (icosi= 20 în limba greacă)

• Desfăşurat în plan are forma unei flori cu 5 petale sau a unei spirale cu 5 braţe

• Este corpul după care, la nivel arhetipal, toată lumea vie este alcătuită, având la bază simetria pentagonului, adică a numărului 5.

• Microscopul electronic a arătat că viruşii au capsula glicoproteică de forma unui icosaedru formatdin 20 de subunităţi identice triunghiulare, amănunt ce reprezintă o modalitate foarte simplă de construcţie cu folosirea unei cantităţi minime de energie. (Stefano Cozzini, Marco Ronchetti)

Unul din cei mai raspinditi virusi , descoperit in apa potabila din Paris in anul 2002 (ME)

Dodecaedrul

• Este alcătuit din : – 30 de muchii– 20 de vârfuri– 12 feţe pentagonale

• Cele 12 feţe pentagonale erau asociate semnelor zodiacale, dodecaedrul fiind simbolul Universului.

• Dealtfel se leagă de o nouă teorie despre forma Universului, „Spaţiul dodecaedric Poincaré”, susţinută de o echipă de astronomi şi astrofizicieni de la observatorul astronomic din Paris, condusă de J.-P. Luminet şi care explică unele observaţii făcute asupra fondului cosmic de microunde (FCM).

Virusul HIV, in dreapta - matricea = dodecaedru stelat

Virusul hepatitei B

Virusul herpes simplex

Virusul gripal obisnuit

Capsula proteica a virusului simian, (reconstructie )

Interiorul unui reovirus , detaliu de microscopie crio-electronica (B) si

reconstructie (A)

• După cercetările întreprinse de Karyn N. Johnson, Liang Tang, John E. Johnson, şi L. Andrew Ball, genomul unor viruşi ARN cu structură icosaedrică joacă un rol important în organizarea structurii capsidei.

• În cazul nadovirusului Pariacoto (VPa) , 35% din ARN monocatenar este ordonat după simetrie icosaedrică.

• Acest lucru se poate vedea la examenul cristalografic cu raze X de înaltă rezoluţie ca un cadru dodecaedric format din 30 de regiuni duplex (24 nucleotide) , care interacţionează puternic cu 60 de subunităţi proteice din capsulă.

• O proprietate foarte importantă a celor 5 solide perfecte o reprezintă principiul dualităţii. Aceasta înseamnă un poliedru se poate construi din alt poliedru, existănd astfel cuplurile: cub-octaedru, icosaedru-dodecaedru. Centrul geometric al fiecărei feţe reprezintă un vârf pentru celălalt corp.

• Luăm ca exemplu perechea icosaedru-dodecaedru, şi se vede acest proces dinamic.

Poliedrele regulate în natură• Fiecare corp platonic se gaseşte într-o formă sau alta în natură.

Tetraedrul, cubul şi octaedrul apar în structurile de cristalizare ale diferitelor minerale şi minereuri (aur, platină, diamant, silicaţi, cuarţ, etc)

• O moleculă de carbon cunoscută cu denumirea de Fulerene (C60) este noua membră alotropă a familiei carbonului alături de grafit, diamant şi forme amorfe. A fost descoperită în anul 1985 de Richard Smalley, Robert Curl, James Heath, Sean O'Brienşi Harold Kroto de la Universitatea Rice (Texas, SUA).

• Fulerenul are forma unei sfere sau a unui cilindru, cu diverse aplicaţii în electronică şi diverse nanotehnologii.

• Ho-Mg-Zn este un cvasicristal de formă dodecaedrică, realizat prin metoda auto-generării într-un mediu saturat în Mg, şi prin răcirea lentă a acestuia de la 7000 C la 4800 C.

• El face parte din familia unor cvasicristale rare pe Pământ (R-Mg-Zn), acestea fiind folosite în studiul momentelor magnetice localizate într-un mediu cvasi-periodic.

• La începutul secolului 20 Ernst Haeckel a descris câteva specii de Radiolaria. Acestea sunt vietăţi acvatice cu pseudopode şi caracter de protozoare, având dimensiuni de 0,1-0,2mm.

• S-a descoperit că o parte din scheletele acestora au diverse forme de poligoane regulate. Exemplele: Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus and Circorrhegma dodecahedra; formele acestor animale fiind indicate de numele lor.

Fotografii ale fulgilor de zăpadă realizate de Wilson Bentley - 1902

Diverse granule de polen

• Antony Garret Lisi, un renumit om de ştiinţă în domeniul fizicii teoretice descrie în lucrarea sa „Exceptionally Simple Theory of Everything” o unificare a modelului standard al campurilor cu gravitatia folosind un tip special de algebră (algebra Lie).

• Imaginile de mai jos arată locul precis pe care fiecare particulă îl ocupă în cadrul acestui model, fiecare culoare şi formă ţinând locul unei caracteristici de genul moment de spin, forţă tare, forţă slabă, categorie (fermioni, bozon, gluon, quark).

Trifoi – detaliu de ME

Bibliografie :Robert Lawlor - Sacred Geometry - Philosophy and Practice, Thames Hudson (2002) C.N Eudoxiu Hurmuzachi, Strugariu Loredana – Poliedre regulate Antony Garrett Lisi - An Exceptionally Simple Theory of EverythingMatila C. Ghyka – Le nombre D’or, ed. Gallimard http://mathworld.wolfram.comhttp://www.britannica.com/EBchecked/topic/122615/cluster/51984/Clusters-with-icosahedral-structureshttp://www.nature.com/nature/journal/v427/n6975/full/nature02307.htmlhttp://www.microbiologybytes.com/virology/3035Structure.htmlhttp://www.sciencedaily.com/releases/2009/12/091209134633.htmhttp://www.obspm.fr/actual/nouvelle/oct03/luminet.en.shtmlhttp://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC521806/http://apl.aip.org/resource/1/applab/v92/i17/p171907_s1?isAuthorized=no