Ornea_O Introducere in Geometria Diferentiala

LIVIU ORNEA

O INTRODUCERE

N

GEOMETRIA DIFERENIAL

Introducere

Mulumiri. Le snt ndatorat colegilor i studenilor care au citit pri din ma-nuscris, n diferite etape ale scrierii lui, au corectat greeli i mi-au fcut observaiiextrem de utile, mi-au furnizat informaii istorice sau bibliografice. i menionezaici, n ordine alfabetic; Ion Dinc, Drago Fril, Alin Glan, Cristian Gvru,Ctlin Gherghe, Adriana Nstase, Mihaela Pilca, George Popescu. Tuturor, caldemulumiri.

Cuprins

Introducere 3

Partea 1. Curbe i suprafee n R3 9

Capitolul 1. Proprieti locale ale curbelor 111. Parametrizarea canonic 112. Invariani euclidieni locali 153. Curbe plane 27

Capitolul 2. Proprieti globale ale curbelor 351. Teorema de clasificare 352. Teorema indicelui 383. Inegalitatea izoperimetric 41

Capitolul 3. Proprieti locale ale suprafeelor 451. Definiii. Exemple 452. Planul tangent. Funcii difereniabile 503. Parametrizri speciale 554. Prima form fundamental 575. A doua form fundamental. Curbur 616. Curbe pe suprafee. Geodezice 777. Derivata covariant 838. Teorema fundamental a teoriei suprafeelor 87

Capitolul 4. Proprieti globale ale suprafeelor 911. De la local la global. O caracterizare a sferei 912. Suprafee orientabile 923. Teorema Gauss-Bonnet 95

Partea a 2-a. Varieti difereniabile abstracte 105

Capitolul 5. Varieti difereniabile 1071. Definiii. Exemple 1072. Structuri difereniabile 1103. Aplicaii i funcii difereniabile 1174. Grupuri Lie 1185. Partiia unitii 1196. Construcii: aciuni de grupuri, spaii de acoperire 122

6 Cuprins

7. Orientare 126

Capitolul 6. Vectori tangeni i cotangeni 1291. Spaiul tangent 1292. Difereniala unei aplicaii ntr-un punct 1343. Spaiul cotangent 1374. Fibratul tangent i fibratul cotangent 138

Capitolul 7. Imersii. Submersii. Subvarieti 1411. Definiii. Exemple 1412. Teorema rangului 1423. Teorema valorii regulate. Noi exemple 1444. Teorema de scufundare a lui Whitney 147

Capitolul 8. Cmpuri vectoriale i tensoriale 1491. Cmpuri vectoriale. Croetul a dou cmpuri 1492. Cmpuri invariante pe grupuri Lie. Algebra Lie a unui grup Lie. 1543. Grupul local cu un parametru asociat unui cmp vectorial 1554. Subgrupuri cu un parametru ale unui grup Lie. Aplicaia exponenial 1605. Derivata Lie pe direcia unui cmp vectorial 1656. Teoreme de ndreptare a cmpurilor de vectori 1677. Distribuii. Teorema lui Frobenius 1688. Tensori i cmpuri de tensori 172

Capitolul 9. Forme difereniale. Integrare 1791. Tensori alternai 1792. Forme difereniale 1833. Derivata Lie a formelor difereniale. 1904. Integrare pe varieti. Formula lui Stokes 198

Capitolul 10. Fibrri vectoriale 2071. Definiii. Exemple 2072. Seciuni 2093. Reducerea grupului structural 2104. Operaii cu fibrri 212

Capitolul 11. Conexiuni lineare n fibrri vectoriale 2171. Definiie. Existen. Formule locale 2172. Tensorul de curbur 2203. Conexiuni induse n fibrri vectoriale 2224. Transport paralel dea lungul curbelor 2245. Conexiuni lineare n fibratul tangent 228

Capitolul 12. Spaii Riemann 2371. Definiii. Exemple. 2372. Conexiunea Levi-Civita 2433. Curbur riemannian 2484. Geodezice 259

7

Bibliografie 273

Partea 1

Curbe i suprafee n R3

CAPITOLUL 1

Proprieti locale ale curbelor

1. Parametrizarea canonic

Capitolul acesta este dedicat studiului celor mai simple obiecte ale geometrieidifereniale. Definiia pe care o vom da ,,curbei (i, mai apoi, ,,suprafeei i,,varietii) trebuie s permit utilizarea tehnicilor de analiz matematic. Neintereseaz aici, ca i n restul crii, s gsim proprieti care s identifice o curbprintre alte obiecte cu structur difereniabil (aa numii invariani difereniali)i proprieti geometrice care s disting, de exemplu, un cerc de o elips sau deo elice (aa numii invariani metrici). De fapt, ceea ce urmrim este s dm unsens precis noiunilor intuitive de ,,curbur i ,,torsiune. Ne vor preocupa attproprietile locale, ct i cele globale. Vom arta c, n unele cazuri, informaii denatur local conduc la concluzii globale.

Prin Rn (spaiul euclidian n-dimensional) vom nota spaiul afin Rn dotat cuprodusul scalar canonic notat , . Cnd spunem ,,vector din Rn nelegem de faptvector din Rn, legat n 0. n primele dou capitole ne vom mrgini la studiul unorsubmulimi ale spaiului euclidian 3-dimensional.

S precizm c, n tot ce urmeaz, n lipsa unei alte meniuni explicite, ,,dife-reniabil nseamn ,,de clas C.Definiia 1.1.1. O submulime R3 se numete curb difereniabil (pe scurt,curb) dac pentru orice punct p exist o vecintate deschis U a sa n R3 io aplicaie difereniabil : (a, b) U astfel nct:

i) e homeomorfism ntre (a, b) i U ;ii) dt 6= 0 n orice t (a, b).

p

a b

U

O pereche (U, ) ca n definiie se numete parametrizare (local) pentru .Este clar c mulimile de tipul U snt deschise n topologia relativ a lui iformeaz o acoperire a sa. Condiia i) spune c, local, o curb se poate deforma laun interval deschis. Aici cuvntul local e esenial: gndii-v la un cerc; acesta nuse poate deforma continuu la un interval. n consecina, un cerc i, mai general,

12 Proprieti locale ale curbelor

orice curb nchis care se poate deforma la un cerc vor fi descrise cu cel puindou parametrizri locale. Vom vedea c, surprinztor poate, orice curb conexse poate descrie folosind una sau dou parametrizri.

Dac notm (x1, x2, x3) coordonatele n R3, atunci o aplicaie difereniabil : (a, b) R3 se scrie explicit sub forma (t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) cu xi funciireale difereniabile de o variabil real. Condiia ii) cere ca, n orice t0 (a, b),cel puin o derivat dx

i

dt|t0 6= 0; altfel spus: (

dx1

dt|t0)2 + (

dx2

dt|t0)2 + (

dx3

dt|t0)2 6=

0. Observai c aceast condiie pare foarte restrictiv: din moment ce existenaderivatelor funciilor coordonate asigur existena unui vector tangent n fiecarepunct, se exclud din discuie curbele ,,cu coluri. De fapt, dac exist doar omulime finit de coluri, studiul nc poate fi fcut pe fiecare poriune dintre douruperi consecutive. Asemenea curbe se numesc difereniabile pe poriuni.

Pentru a simplifica expunerea, vom discuta mai nti despre curbe parametrizate,adic pur i simplu despre aplicaii difereniabile : I R3. La acestea se referstudiul local al curbelor.Exemplul 1.1.2. Cercul C := S1(r) = {(x1, x2, 0); (x1)2 + (x2)2 = r2} se poateacoperi cu dou parametrizri locale:

1 : (0, 2) R3, 1(t) = (r cos t, r sin t, 0),2 : (, 3) R3, 2(t) = (r cos t, r sin t, 0).

Se observ c punctul neacoperit de prima parametrizare se afl n imaginea celeide-a doua.Exemplul 1.1.3. Elicea circular este curba descris de parametrizarea (unic):

(t) = (a cos t, a sin t, bt), a, b > 0, t R.Imaginea ei e situat pe cilindrul circular drept (x1)2 + (x2)2 = a2, 2b (pasulelicei) fiind distana msurat pe o generatoare ntre dou intersecii consecutivecu elicea.

Elicea circular.

Ce se ntmpl cnd un punct al lui se afl n imaginea a dou parametri-zri, fie ele (t) i (s)? n primul rnd, cum i snt homeomorfisme pe cte osubmulime a lui , se poate exprima t ca funcie continu de s i reciproc (scriereaunui parametru n funcie de cellalt se numete schimbare de coordonate). Maimult ns, folosind cea de-a doua condiie din definiie putem demonstra c oriceschimbare de coordonate e un difeomorfism:

1 Parametrizarea canonic 13

Propoziia 1.1.4. Fie : (a, b) U i : (c, d) V dou parametrizrin jurul lui p W = U V . Atunci h = 1 : 1(W ) 1(W ) edifeomorfism.

Demonstraie. Trebuie s artm c schimbarea de coordonate t = t(s), s 1(W ) e difeomorfism (tiind c e homeomorfism).

UV

W

a b c d 1(W) 1(W)

p

h

Demonstraia const ntr-o aplicare aproape direct a teoremei funciei inverse.Fie s0 1(W ), t0 = h(s0), deci (s0) = (t0). Cum dt 6= 0 n orice

t (a, b), putem presupune (dup o eventual rotaie a axelor de coordonate) cdx1

dt|t0 6= 0. Fie acum F : (a, b) R2 R3 dat prin:

F (t, (, )) = (x1(t), x2(t) + , x3(t) + ).

Evident F e difereniabil i restricia sa la (a, b) {(0, 0)} coincide cu . Deter-minantul su iacobian n t0 este:

dx1

dt|t0

dx2

dt|t0

dx3

dt|t0

0 1 00 0 1

= dx

1

dt|t0 6= 0.

Conform Teoremei funciei inverse, exist o vecintate U a lui F (t0, (0, 0)) = (t0)n R3 pe care F1 exist i e difereniabil. Pe de alt parte, cum e continu,gsim o vecintate I a lui s0, I (c, d) astfel nct (I) U . n fine, vedem ch |I= F1 |I e difereniabil ca o compunere de aplicaii difereniabile, ceea cencheie demonstraia.

Sntem, astfel, ndreptii s numim reparametrizare a unei poriuni de curb : (a, b) R3 orice difeomorfism h : (c, d) (a, b). De exemplu, difeomorfismult 7 b + a t este o reparametrizare numit schimbare de orientare pentru c areca efect parcurgerea n sens invers a curbei. n general, despre o reparametrizareh care verific dh

dt> 0 (respectiv < 0) se spune c pstreaz (respectiv schimb)

orientarea. E, de asemenea, natural s ne punem problema gsirii, dac exist, aunor parametrizri simple care s uureze calculele.


Pentru o curb parametrizat , vectorul ddt

se numete vector tangent sau

vector vitez. Dac n t0 componentele lui snt (dx1

dt|t0 ,

dx2

dt|t0 ,

dx3

dt|t0), atunci

ecuaiile tangentei la Im n (t0) snt:

(1.1) x1 x1(t0)dx1

dt |t0= x

2 x2(t0)dx2

dt |t0= x

3 x3(t0)dx3

dt |t0.

Condiia ii) din definiie asigur existena vectorului tangent de-a lungul curbei.Dac imaginm curba ca traiectorie a unui mobil, atunci lungimea acestui vectorreprezint viteza instantanee de deplasare. Aceasta motiveaz (din punctul devedere al fizicii; o justificare matematic gsii n crile de analiz) calculul lungimiis(t) a unui arc de curb prin formula:

s(t) = tt0

ddd, t0 I = (a, b).

Formula de schimbare de variabil ne spune c lungimea arcului de curb e in-dependent de parametrizare. Se obine n felul acesta o funcie difereniabils : I I = s(I) numit funcia lungime de arc. Evident s e difereniabili ds

dt> 0, deci inversabil. Notm h inversa ei i t parametrul pe I. Atunci

dh

dt= d

dt1 > 0, deci h e o reparametrizare care pstreaz orientarea curbei. Fie

= h. Conform regulii de derivare a funciilor compuse avem:d

dt= ddt dhdt,

astfel cddt = d

dt | dh

dt|= 1.

Am demonstrat astfel un rezultat extrem de important din punct de vedere teoretic:Propoziia 1.1.5. Orice curb parametrizat se poate reparametriza astfel calungimea vectorului tangent s fie 1.

n aceast parametrizare, lungimea parcurs pe curb ntre t i t1 este chiar t1t, adic parametrul reprezint lungimea arcului. De aceea o numim parametrizareprin lungime de arc (se mai numete canonic sau natural). Printr-un abuz denotaie tradiional vom nota cu s parametrul canonic.

Elicea din Exemplul 1.2 nu e parametrizat canonic: ntr-adevr, d/dt =(a sin t, a cos t, b) i d/dt = a2 + b2. Acesta e, ns, un caz fericit: e uors reparametrizm canonic punnd s = t(a2 + b2)1/2. n general e foarte greus realizm practic o parametrizare canonic. Dou dificulti pot aprea. Demulte ori e foarte greu s calculm integrala care d lungimea arcului; de exemplu,lungimea arcului elipsei, o curb foarte simpl, conduce la o integral eliptic,necalculabil prin cuadraturi. Pe de alt parte, chiar dac am calculat integrala,inversarea funciei lungime de arc nu este totdeauna la ndemn. Cu toate acesteaputem considera ntotdeauna c avem de-a face cu arce de curb parametrizatecanonic, presupunerea aceasta fiind extrem de util n demonstrarea unor rezultatelocale.

2 Invariani euclidieni locali 15

Am indicat o construcie pentru parametrizarea canonic. Nu rezult defelc ar fi unica posibil. Mai precis, pornind de la orice parametrizare local sepoate ajunge la una canonic. Prin ce difer doi parametri canonici? Rspunsul econinut n:Lema 1.1.6. Dac i : Ii Ui , i = 1, 2 snt dou parametrizri canoniceastfel nct U1 U2 6= , atunci pe fiecare component conex lui U1 U2 avem s1 s2 = const.

Demonstraie. Fie h : 11 (U1 U2 ) 12 (U1 U2 ), h = 12 1.h exprim schimbarea de coordonat s2 = s2(s1). Ca s demonstrm enunul esuficient s artm c ds2

ds1= 1, apoi s integrm (nu uitai c scrierea ds2

ds1e

doar un substitut pentru dhds1

). Avem 1 = 2 h i aplicnd regula de derivare afunciilor compuse:

d1ds1

= d(2 h)ds1

= d2ds2 dhds1

.

Lund aici norma gsim:d1ds1 = d2

ds2 | dh

ds1| .

Cum ambele parametrizri snt canonice, d1ds1 = 1, d2

ds2 = 1. Atunci | dh

ds1|= 1

ceea ce ncheie demonstraia. Bineneles, semnul constantei pe fiecare componentconex e pozitiv sau negativ dup cum h pstreaz sau schimb orientarea pe curb.

Observaia 1.1.7. Se observ cu uurin c, mutatis mutandis, tot ce am fcutpn aici, n particular existena i proprietile parametrizrii canonice, are loc ipentru curbe din spaiul euclidian Rn.

2. Invariani euclidieni locali

Fie : I = (a, b) R3 un arc de curb regulat parametrizat canonic. Vomconstrui un reper triortonormat solidar cu curba (adic avnd originea mobil pecurb). Schimbrile direciilor axelor sale vor codifica proprietile geometrice alecurbei.

Fie t(s) vectorul tangent la curb. E unitar pentru c parametrizarea e cano-nic. Acesta va fi primul versor al reperului. Fie acum

k(s) = dtds = d

2

ds2

funcia curbur. Denumirea e motivat de:Observaia 1.2.1. k 0 pe [s0, s1] dac i numai dac |[s0,s1] e o poriune dedreapt.

Demonstraia e imediat (integrai dtds

= 0).

Exemplul 1.2.2. Pentru un cerc de raz r curbura este 1/r. Curbura elicei dinExemplul 1.2 (cu a2 + b2 = 1 ca s avem parametrizare canonic) este 1.


Exerciiul 1.2.3. Artai c funcia curbur e invariant la schimbri de orientare i laizometriile lui R3.

Deoarece t(s) e unitar, derivnd n t(s), t(s) = 1 obinem dtds, t(s) = 0, deci

dt

dsface parte din planul normal la t(s) n (s).

Observaia 1.2.4. Ecuaia planului normal la Im n (s0) este:

(1.2) (x1 x1(s0))dx1

ds|s0 +(x2 x2(s0))

dx2

ds|s0 +(x3 x3(s0))

dx3

ds|s0= 0.

ntr-un punct s n care k(s) 6= 0 putem punedt

ds= k(s)n(s),

unde am notat n(s) versorul unitar al lui dtds

. n(s) se numete vector normalprincipal. Acesta va fi al doilea versor al reperului. Subliniem c ntr-un punct ncare curbura se anuleaz nu avem nici un criteriu de a alege un vector anume dinplanul normal. Al treilea versor al triedrului se construiete acum n mod naturalprin produs vectorial. Punem

b(s) = t(s) n(s)i-l numim vector binormal.Definiia 1.2.5. Triedrul ortonormat {t(s),n(s), b(s)} asociat curbei ntr-unpunct n care curbura e nenul se numete triedrul (reperul) lui Frenet.

Triedrul lui Frenet n trei puncteale unei curbe spaiale.

Planul {t,n} se numete osculator1, planul {b,n} se numete normal, iar planul{t, b} se numete rectifiant2.

Ecuaia vectorial (parametric) a planului osculator este:

r(s, , ) = (s) + t(s) + n(s),

1Cuvntul vine de la latinescul osculare, a sruta. Planul osculator ntrun punct este celcare are contact de ordin maximal cu curba n acel punct, lucru care va fi mai clar dup Exerciiul1.2.16.

2Denumirea se va clarifica dup parcurgerea seciunii 6. Anticipnd, s spunem c pe su-prafaa care nfoar planele rectifiante, curba noastr devine geodezic, adic ,,dreapt, fiindastfel ,,ndreptat, sau rectifiat.


unde r(s) este vectorul de poziie al unui punct generic din planul osculator, iar , snt parametri reali independeni.Exerciiul 1.2.6. Planul osculator este independent de parametrizare. Deducei de aicic i direcia vectorului binormal i, n consecin, planul rectifiant, snt independente deparametrizare.Exerciiul 1.2.7. Scriei ecuaiile planelor normal i rectifiant n reperul canonic allui R3.Exerciiul 1.2.8. O curb regulat : I R3 este plan dac i numai dac econinut n planul osculator.

Indicaie: Dac e plan, atunci, modulo o rotaie n R3, putem presupune Im {x3 = 0}. Acum ecuaia planului osculator devine x3 = 0, deci coincide cu planul curbei.Reciproca e evident.

Pentru a studia variaia axelor reperului Frenet va trebui s calculm derivatelefunciilor t, n, b. Vom folosi urmtorul rezultat ajuttor:Lema 1.2.9. Fie ei : I R3, i = 1, 2, 3, funcii difereniabile astfel nct {ei(s)}e o baz ortonormat n orice punct din I. Atunci exist o matrice antisimetricde funcii difereniabile (aij)i,j=1,2,3 cu proprietatea c

deids

= ajiej (cu sumare dupindicele j 3).

Demonstraie. {deids} e un sistem de vectori n R3, deci exist o unic matrice

(aij) astfel nctdeids

= ajiej . Rmne de vzut antisimetria. Aceasta rezult dinderivarea relaiei ei(s), ej(s) = ij :

deids, ej(s)+ ei, dej

ds = 0,

de undeaki ek, ej+ ei, akj ek = 0,

ceea ce implic aji + aij = 0.

Aplicnd acest rezultat pentru e1 = t, e2 = n, e3 = b, gsim a21 = k, a31 = 0.n ce privete a32, o vom nota (s) i o vom numi torsiune. Putem acum formula:Propoziia 1.2.10. Versorii reperului Frenet verific urmtoarele relaii de deri-vare (numite ale lui Frenet) :

dt

ds= k(s)n(s)

dn

ds= k(s)t(s) + (s)b(s)

db

ds= (s)n(s)

(1.3)

3Am folosit aici, i o vom folosi de acum ncolo repetat, convenia de sumare a lui Einstein:indicii care se repet ntr-o formul sus i jos snt indici de sumare. Deci aji ej nseamn

3j=1 a

ji ej


Denumirea de torsiune este explicat de:Propoziia 1.2.11. Urmtoarele afirmaii snt echivalente:

i) (s) = 0 pe I;ii) reprezint o curb plan;iii) vectorul b(s) e constant.

Demonstraie. Echivalena lui i) cu iii) rezult direct din a treia formulFrenet. Pentru a dovedi c iii) implic ii) fixm s0 I i artm c (s)(s0) b.Pentru asta calculm derivata funciei f(s) = (s) (s0), b(s). Avem f (s) =t(s), b(s) = 0, ceea ce implic f(s) = const. i cum f(s0) = 0 avem f 0 pe I.Reciproc, dac e plan, imaginea ei e situat neaprat n planul osculator, veziExerciiul 1.2.8. Astfel, planul osculator e fix (coincide cu planul curbei) i vectorulsu normal e constant.

Ca i pentru curbur, propunem:Exerciiul 1.2.12. Artai c funcia torsiune e invariant la schimbri de orientarei la izometriile lui R3.

Putem acum s dm o nou interpretare a curburii. Presupunnd curba regulat i parametrizat canonic, fie (s) unghiul dintre tangentele t(s) i t(s0),cu s0 (a, b) fixat. Avem evident:

sin (s) = t(s) t(s0) = t(s) (t(s) t(s0)),deci obinem, folosind prima formul Frenet:

limss0

sin (s)| s s0 | = t(s0) limss0

t(s) t(s0)| s s0 |

= t(s0) k(s0)n(s0) = k(s0)b(s0) = k(s0).Cum, pe de alt parte, (s) 0 cnd s s0, avem:

limss0

sin (s)| s s0 | = limss0

sin (s)(s) limss0

(s)| s s0 | = limss0

(s)| s s0 | ,

astfel c am demonstrat:Propoziia 1.2.13. Curbura unui arc de curb parametrizat, regulat este datde formula:

k(s0) = limss0

(s)| s s0 | ,

(s) fiind unghiul dintre tangentele n punctele (s) i (s0).Exerciiul 1.2.14. Formulai i demonstrai o interpretare analoag a torsiunii folosindunghiul dintre dou binormale apropiate.

Formulele lui Frenet scrise n parametrizarea canonic nu permit, n general,calcule explicite. Dar furnizeaz rezultate calitative. Un exemplu este:Propoziia 1.2.15. Fie o curb parametrizat, regulat i cu torsiunea nicierinul. Urmtoarele afirmaii snt echivalente:

i) Direciile tangente fac unghi constant cu o direcie fix.ii) k/ = ct.;


iii) Direciile normale snt paralele cu un plan fix.iv) Direciile binormale fac unghi constant cu o direcie fix.

Demonstraie. Putem presupune curba parametrizat canonic. Fie a verso-rul direciei fixe din enun. Avem a, t = cos , cu un unghi constant. Derivndaici i folosind prima formul Frenet gsim a n, deci i) iii). Deci a aparineplanului rectifiant i se descompune dup t i b ca: a = t cos +b sin . Derivnd iaceast relaie, din prima i a treia formul Frenet rezult k/ = tg , deci i) ii).Celelalte implicaii se demonstreaz similar.

O curb cu proprietile de mai sus se numete elice. Elicea circular este doarun caz particular. Un alt exemplu de elice, cu curbur i torsiune neconstante, este:(t) = (2t, t2, ln t), t R.

Un exemplu: elicea sferic.

Exerciiile care urmeaz furnizeaz alte interpretri geometrice pentru planeletriedrului Frenet, pentru curbur i torsiune.Exerciiul 1.2.16. (Forma canonic local a unui arc de curb.) S se scrie ecuaiileunui arc de curb regulat ntr-o vecintate a unui punct s0, raportate la axele triedruluiFrenet n (s0).Soluie. Presupunem parametrizat canonic. Mai mult, putem presupune s0 = 0.Dezvoltm funcia n serie Taylor n jurul lui 0. Avem:

(s) = (0) + s(0) + s2

2 (0) + s

3

6 (0) +R, lim

s0R

s3= 0

Dar (0) = t, (0) = kn, (0) = kn + k(kt + b) (cu toate funciile din membruldrept calculate n 0). n consecin:

(s) (0) = (s s3

6 k2)t+ (k s

2

2 + k s

3

6 )n+ ks3

6 b+R.

Facem acum o translaie a reperului din R3 astfel nct (0) = 0. Dac notm x, y, zcoordonatele n reperul Frenet, atunci coordonatele lui (s) n reperul Frenet n punctul


(0) snt:

x(s) = s 16k2s3 +Rx,(1.4)

y(s) = 12ks2 + 16k

s3 +Ry,(1.5)

z(s) = 16ks3 +Rz.(1.6)

cu Rx, Ry, Rz de acelai ordin de mrime cu s3.

Exerciiul 1.2.17. Planul osculator n s0 e poziia limit a planului determinat de ti (s0 + h) cnd h 0. S se deduc de aici c planul osculator n s0 e poziia limit ipentru planul determinat de punctele (s0), (s0 + h1), (s0 + h2) cnd h1, h2 tind la 0.Soluie. Lund s0 = 0 i (0) = 0, un plan care trece prin t are, n reperul Frenet, ecuaiaz = ay, a R, sau y = 0. Aceasta din urm este ecuaia planului rectifiant i iese din


discuie (motivai!). Dac z = ay trece prin (h) atunci:

a = zy

=kh3

6 + kh2

2 +kh3

6 + ,

deci a 0 cnd h 0. A doua caracterizare se obine din prima observnd c, atuncicnd h1 0, coarda determinat de (s0) i (s0 + h1) tinde la tangenta n s0.

Rezult de aici c, dintre toate planele tangente la curb, planul osculator este celcare o aproximeaz cel mai bine. Astfel, curbura msoar tendina curbei de a se deprtade tangent n acest plan, de a se ndoi. Analog, torsiunea msoar tendina curbei de aiei din planul osculator.Exerciiul 1.2.18. Fie k(s0) 6= 0. S se arate c n planul osculator n punctul (s0)exist un unic cerc care are un contact de ordinul 3 cu curba (intersecteaz curba n treipuncte confundate). Cercul acesta se numete cerc osculator sau de curbur; raza sa este1/k(s0) i se numete raza de curbur.Soluie. Ca mai sus, presupunem s0 = 0 i (s0) = 0. Considerm R3 raportat la reperulFrenet n punctul (0). Cercul cutat trebuie s fie, n planul osculator, tangent curbei n(0), deci va avea centrul pe direcia normal principal la curb. Ecuaiile unui cerc dinplanul osculator n (0) snt: {

x2 + (y r)2 = r2,z = 0.

Punctele de intersecie cu curba snt soluiile ecuaiei:x(s)2 + (y(s) r)2 = r2

nlocuim aici x(s), y(s) din forma canonic local:

(s+O(2))2 + (k s2

2 r +O(2))2 = r2.

Obinem, neglnd termenii de grad mai mare sau egal cu trei:s2(1 rk) +O(2) = 0

Avem contact de ordinul trei dac i numai dac 1 rk = 0. n concluzie, cercul cerutexist i are raza egal cu inversul curburii n punctul considerat.Exerciiul 1.2.19. Cercul osculator n s0 e poziia limit a cercului determinat depunctele (s0), (s0 + h1), (s0 + h2) cnd h1, h2 tind la 0.Exerciiul 1.2.20. Formulai i demonstrai un rezultat asemntor pentru torsiunefolosind planul rectifiant.

Propoziia 1.2.10 admite o reciproc cunoscut sub numele de Teorema fun-damental a teoriei curbelor care spune, n esen, c exist un unic (pn la izo-metrii ale spaiului) arc de curb cu curbura i torsiunea prestabilite. Mai precis:Teorema 1.2.21. Fie I R i k : I R+, : I R dou funcii difereniabile.Atunci exist curbe parametrizate canonic : I R3 pentru care funciile curburi torsiune snt k, respectiv . Mai mult, imaginile a oricare dou astfel de curbedifer printr-o izometrie a lui R3.

Demonstraie. Vom mpri demonstraia n trei pai .Pasul 1. Considerm sistemul de ecuaii difereniale liniare (1.3) cu necunoscutele


t, n, b. Conform teoremei de existen i unicitate pentru sisteme de ecuaii dife-reniale (vezi, de exemplu, [Ha]) avem soluie unic de ndat ce fixm un triplet{t(s0),n(s0), b(s0)} drept condiie iniial ntr-un punct s0 I. Trebuie acum sartm c dac {t(s0),n(s0), b(s0)} e ortonormat, atunci i {t(s),n(s), b(s)} e or-tonormat (cu alte cuvinte, trebuie artat c soluia problemei de ecuaii diferenialee soluie i pentru problema de geometrie de la care am plecat). Pentru aceastarelum notaiile e1 = t, e2 = n i e3 = b. Punem eij = ei, ej. Trebuie vzut ceij(s) = ij . Avem

(1.7) deijds

= aki ekj + akj eik

Cu condiia iniial eij(s0) = ij , sistemul (1.7) are soluie unic. Deoarece eij(s) =ij verific sistemul (pentru c matricea (aki ) e antisimetric), aceasta e unica so-luie.Pasul 2. Const n integrarea ecuaiei d

ds= t(s) cu t(s) soluie gsit la Pasul 1.

Avem :(s) =

ss0

t()d + (s0),

astfel c vectorul tangent la este chiar t(s). Cum acesta e unitar, e parametri-zat canonic. Se verific imediat c i k snt, respectiv, torsiunea i curbura lui.Pasul 3. Unicitatea pn la deplasri n R3 rezult n felul urmtor. S considermi : I R3, i = 1, 2, cu k1(s) = k2(s), 1(s) = 2(s). Fie Ei0= {ti0,ni0, bi0} trie-drele Frenet corespunztoare n punctul s0. Cum acestea snt ortonormate, existo izometrie F a lui R3 care pstreaz orientarea i satisface: F (1(s0)) = 2(s0)i F (E10) = E20. Deoarece sistemul Frenet (1.3) e liniar, F (E1(s)) i E2(s) sntsoluii ale sale cu aceeai condiie iniial E20. Din unicitatea soluiei rezultE2(s) = F (E1(s)) deci 2(s) = F (1(s)).

De exemplu, folosind acest rezultat se poate demonstra:Exerciiul 1.2.22. O curb regulat plan cu curbura constant este un arc de cerc.

Un alt exemplu de aplicare a formulelor lui Frenet i a Teoremei fundamentaleavem n:Exemplul 1.2.23. Fie : I R3 o curb regulat, cu curbura i torsiuneanicieri nule. se numete curb Bertrand dac exist o curb 1 : I R3 astfelnct normalele la i 1 n fiecare t I s fie coliniare. n acest caz cele doucurbe se numesc vecine Bertrand. Atunci:

1. 1(t) = (t) + rn(t) cu r = const..2. e curb Bertrand dac i numai dac exist constantele reale A i B astfel

nct

(1.8) Ak(t) +B(t) = 1.

3. Dac are cel puin dou vecine Bertrand, atunci e elice circular i are oinfinitate de vecine Bertrand.


ntr-adevr, conform definiiei, e curb Bertrand dac i numai dac exist1 cu

(1.9) 1(t) = (t) + r(t)n(t).

Fie s (respectiv s1) parametrul canonic pe (respectiv 1). n general, s 6= s1.Derivm (1.9) n raport cu s i gsim:

(1.10) 1 = [1 r(s)k(s)]t(s) + r(s)n(s) + r(s)(s)b(s).Cum n e normal i la 1, 1,n = 0. Deci, ecuaia anterioar implic r = 0, adic1. Pentru 2., derivm n raport cu s funcia t, t1. Rezult:

kn, t1+ t, k1 ds1dsn1 = 0,

deci t, t1 = const. Cum t i t1 snt unitari, putem scrie t, t1 = cos , cu =const. Revenind n relaia (1.10) scris sub forma:

ds1dst1 = [1 rk(s)]t(s) + r(s)b(s),

vedem c t1 aparine planului rectifiant al lui . Fcnd, pe rnd, produsul scalarcu t i b obinem:

ds1ds

cos = 1 rk(s),ds1ds

sin = r(s).

De aici decurge (1.8) cu A = r i B = r ctg .Reciproc, definim 1 = +An cu A dat de (1.8). Trebuie artat c normalele

lui i 1 snt coliniare. Avem:d1ds

= (1Ak)t+Ab = (Bt+Ab),

deci un vector tangent unitar la 1 (egal cu t1 pn la semn) va fi

t1 = (A2 +B2)1/2(Bt+Ab).

Atunci:k1n1 =

dt1ds1

= dt1ds dsds1

= (A2 +B2)1/2(Bk A) dsds1

n,

ceea ce trebuia demonstrat.Pentru a demonstra 3. observm nti c o elice circular, de ecuaie (a cos s, a sin s, bs)

cu a2 + b2 = 1, a, b > 0, avnd k = a, = b este o curb Bertrand i are o infi-nitate de vecine Bertrand (scriei explicit ecuaiile lor). Pe de alt parte, conformTeoremei fundamentale, elicea circular este singura curb cu curbura i torsiu-nea constante. Dar dac admite vecinele Bertrand diferite 1 i 2, atunci putemasocia sistemul A1k(t)+B1(t) = 1, A2k(t)+B2(t) = 1. E un sistem liniar, cu co-eficieni constani al crui determinant nu poate fi nul (motivai!). Rezult curburai torsiunea lui constante, ca soluii ale sistemului. Deci e elice circular.Exerciiul 1.2.24. 1) Produsul torsiunilor a dou curbe Bertrand e constant.


2) Orice curb care nu e elice circular i are curbur constant pozitiv are o vecinBertrand, cu aceeai curbur. Fiecare dintre cele dou curbe e locul centrelor de curburale celeilalte.

Deoarece, aa cum spuneam mai sus, cele mai multe curbe care apar n aplicaiinu snt parametrizate canonic i reparametrizarea e, cel mai adesea, anevoioas, eutil s avem i expresiile curburii i torsiunii ntr-o parametrizare oarecare.Propoziia 1.2.25. ntr-o parametrizare oarecare avem:

k(t) = 3 ,(1.11)

(t) = det(, , )

2(1.12)

unde am notat = ddt

, = d2

dt2, = d

3

dt3.

Demonstraie. Notnd cu s parametrul canonic pe avem dsdt

= ddt.

Atunci t =

. Derivm n raport cu s i obinem:

kn = dtds

= dtds 2

=

2 2 t.

S presupunem k 6= 0. nmulim vectorial la stnga cu t egalitatea anterioar i(deoarece v v = 0 pentru orice vector v) gsim:

kb = 3 .

Cum b e unitar i k > 0, lund aici norma rezult prima formul din enun. nplus, vedem c b e la fel orientat cu , deci expresia sa ntr-o parametrizarearbitrar este:

(1.13) b =

.

S mai observm c dac ntr-un punct curbura se anuleaz, atunci e coliniar cu i produsul lor vectorial e nul, rezultat consistent cu formula pe care am gsit-o.

Pentru expresia torsiunii plecm cu a treia formul Frenet n care exprimmderivata lui b n raport cu s prin intermediul derivatei n raport cu t, folosindformula (1.13):

n = dbds

= dbdt dtds

= 1 d

dt

= 1[ + (

) ddt

1

].


nmulim la stnga cu b relaia gsit. Rezult:

t = 1 ( ) ( )

2 .

Acum folosim o formul binecunoscut care exprim neasociativitatea produsuluivectorial:

u (v w) = u,wv u, vw.Lund u = , v = , w = i innd seama c produsul vectorial a doivectori e perpendicular pe fiecare dintre ei, avem:

( ) ( ) = , = det(, , )

ceea ce, innd seama c t =

, ncheie demonstraia.

Exemplul 1.2.26. Fie curba(t) = (et cos t, et sin t, et), t R.

Avem:(t) = (et(cos t sin t), et(sin t+ cos t), et),

deci (t) = et3. Pentru lungimea arcului obinem:

s(t) = t

0e

3d =

3(et 1),

cu inversa h(s) = ln(s+

33

). Deci expresia curbei n parametrizarea prin lungimeaarcului este:

(s) = (s+

33

cos ln(s+

33

), s+

33

sin ln(s+

33

), s+

33

.)

Acesta este unul dintre cazurile fericite cnd putem parametriza explicit prin lungi-me de arc, dar nu vom continua calculele n aceast parametrizare ci vom reveni lacea arbitrar, n t, pentru a calcula curbura i torsiunea. Pentru derivatele a douai a treia gsim:

(t) = (2et sin t, 2et cos t, et),(t) = (2et(cos t+ sin t), 2et(cos t sin t), et).

Pentru produsul vectorial obinem: = (e2t(sin t cos t),e2t(cos t+ sin t), 2e2t).

Astfel = e2t6 i, conform cu (1.11), curbura este:

k(t) =

23 et.

n fine,

det(, , ) =

et(cos t sin t) et(sin t+ cos t) et2et sin t 2et cos t) et

2et(cos t+ sin t) 2et(cos t sin t) et

= 2e3t,


ceea ce, cu formula (1.12), conduce la:

(t) = 13et.

S observm c, dei curbura i torsiunea lui snt neconstante, raportul lor esteconstant: k

=

2. Deci este o elice (Propoziia 1.2.15). Deoarece (x1)2+(x2)2 =e2t = (x3)2, imaginea curbei st pe un con cu vrful n origine i cu nlimea Ox3,anume pe pnza corespunztoare lui x3 > 0. S gsim versorul direciei fixe, fieel a = (, , ) cu care face unghi constant. Cerem ca produsul scalar dintrea i versorul 13((cos t sin t), (sin t+ cos t), 1) al direciei tangente s fie constant.Obinem ecuaia:

(cos t sin t) + (sin t+ cos t) + = const.Deci derivata funciei

f(t) = ( + ) cos t+ ( ) sin t+ trebuie s fie identic nul. Aadar ecuaia:

( + ) sin t ( ) cos t = 0trebuie s fie identic satisfcut. Cum cos t, sin t snt liniar independente peste R,obinem + = 0 i = 0, adic = = 0. Atunci = 1 i a = (0, 0, 1).Rezult de aici i c elicea conic taie generatoarele conului sub un unghi constant.

Exerciiul 1.2.27. S se calculeze curbura i torsiunea curbei (situat pe un cilindrueliptic): (t) = (a cos t, b sin t, ct), a, b, c,> 0, t R.Observaia 1.2.28. n cazul unei curbe din Rn (vezi Observaia 1.1.7) un ,,reper

Frenet se poate ataa astfel: se presupune c vectorii {dds, . . . ,

dn1dsn1

} snt inde-pendeni (este generalizarea condiiei din R3 de neanulare a celei de-a doua derivate)i se ortonormeaz cu procedeul Gram-Schmidt. Apoi, derivnd relaiile de ortonor-malitate dintre vectorii obinui se obin analoagele formulelor Frenet i n funciik1,. . . , kn numite ,,curburi. Detalii se gsesc n [Ia1], pag.30.

3 Curbe plane 27

3. Curbe plane

S presupunem acum c = Im e situat ntr-un plan. Dup o eventualizometrie a lui R3 putem considera c acest plan este x1Ox2 identificat cu R2.Presupunem curba parametrizat canonic. tim deja c planul curbei coincide cuplanul osculator (acolo unde acesta e definit). Rezult c n punctele n care triedrulFrenet exist, el poate fi nlocuit de un reper format de doar doi vectori ortonormain R2. Pentru curbele plane e util s deosebim ntre cele convexe i cele concave.Distincia se face cu ajutorul curburii care acum capt semn (curbura fr semnnu poate distinge un arc de parabol de simetricul su fa de tangenta prin vrf; oriaceste arce snt direct izometrice n R3 dar nu n R2). Pentru aceasta vom modificanti definiia vectorului normal principal. Direcia lui n fiind cunoscut (cea a luid2/ds2) vom stabili sensul astfel ca reperul Frenet {t ,n } s fie la fel orientatcu reperul canonic {(1, 0), (0, 1)}. Cu aceast alegere definim funcia curbur prinecuaia

dt

ds= (s)n(s).

Exerciiul 1.3.1. S se arate c | | este curbura lui vzut ca o curb n spaiu.Indicaie: Folosii cercul osculator.

k0

Semnul curburii este legat de convexi-tate. Pe o curb convex, curbura aresemn constant.

E uor de artat c a doua (i ultima n acest caz) formul Frenet este:dn

ds= (s)t(s).

Forma canonic local a unei curbe plane se va reduce acum la primele dou ecuaiin care, de altfel, nu apare torsiunea. Doar c acum, noteaz curbura cu semn


(de altfel, ecuaiile care urmeaz se pot deduce i direct din formulele Frenet pentrucurbe plane).

x(s) = s 162s3 +Rx,(1.14)

y(s) = 12s2 + 16

s3 +Ry.(1.15)

Folosind aceste noi ecuaii putem da o interpretare simpl a modulului curburiicurbelor plane:Exerciiul 1.3.2. Fie T dreapta tangent n p = (s0) la . Fie L o paralel la n(s0)la distan d de p. Fie h lungimea segmentului determinat pe L de i intersecia cu T .Atunci:

| (s0) |= limh0

2hd2.

Soluie: Presupunem s0 = 0, (0) = 0. Alegem un sistem de coordonate cu originea O np i cu axele orientate, respectiv, dup t(s0),n(s0). Atunci ecuaiile canonice locale alelui vor fi, pn la termeni de ordinul al doilea inclusiv:

x(s) = s+Rx, y(s) = s2

2 +Ry

cu Rx, Ry tinznd la zero odat cu s2 i semnul lui y depinznd de orientare. Atunci:

| (0) |= lims0

2 | y(s) |s2

= lims0

2hd2.

La fel cum am gsit expresia curburii i torsiunii curbelor strmbe ntr-o parame-trizare oarecare, putem gsi expresia curburii pentru o curb plan:Propoziia 1.3.3. ntr-o parametrizare oarecare curbura unei curbe plane e datde relaia:

(t) = det(, )

3 =(x1)(x2) (x1)(x2)

((x1)2 + (x2)2) 32.

Demonstraie. Cheia demonstraiei este determinarea vectorului normal uni-tar. Fie s parametrul canonic pe . Avem ds

dt= d

dt, deci t =

=()1((x1)e1 + (x2)e2). Fie n = ae1 + be2, cu a, b funcii difereniabile det i a2 + b2 = 1. Trebuie s avem t,n = 0, de unde:

a(x1) + b(x2) = 0.

Obinem (a, b) = 1((x2), (x1)) cu = 1 determinat de condiia ca {t,n}s fie pozitiv orientat. Deci impunem condiia:

(x1) (x2)(x2) (x1)

> 0.

Rezult = 1, adic n = 1((x2)e1 + (x1)e2). Pe de alt parte, din primaformul Frenet rezult:

n = dtds

= dtdt dtds

=

2 3 t.

3 Curbe plane 29

Facem produsul scalar cu n = 1((x2)e1 + (x1)e2) i obinem:

= 2,n = 3 ((x1)(x2) + (x2)(x1)),

ceea ce trebuia demonstrat.

Exerciiul 1.3.4. S se calculeze curbura tractricei:

(t) = (sin t, cos t+ ln tg t2)

i a catenarei (sau lniorului; este poziia de echilibru a unui fir greu i omogen, flexibili inextensibil, ale crui capete snt fixate n dou puncte):

(t) = (ch t, t).

S se arate c segmentul de pe tangenta la tractrice determinat de punctul de contacti intersecia cu Ox2 are lungime constant. S se arate c tangentele catenarei sntnormalele tractricei. Ne vom rentlni cu aceste curbe n Capitolul 2 cnd vom studiasuprafeele generate de rotirea lor n jurul axei verticale.

Tractricea i evoluta sa catenara.

O curb care nfoar normalele alteia se numete evoluta celei de-a doua(nfurtoarea unei familii de drepte este o curb care, n fiecare punct al ei, etangent unei unice drepte din familie). Deci ecuaia evolutei lui este + 1n,adic evoluta unei curbe plane e locul centrelor cercurilor osculatoare. Reciproc,fa de evoluta sa, se numete involut. n exerciiul anterior am vzut c evolutaplan tractricei e catenara.Exerciiul 1.3.5. Artai c evoluta elipsei (a cos t, b sin t) e astroida de ecuaie

(a2 b2a

cos3 t, b2 a2b

sin3 t).

Artai c, n general, astroida (a cos3 t, a sin3 t) e locul unui punct fix de pe un cerc deraz a/4 care se rotete fr frecare n interiorul unui cerc de raz a. E o curb carea aprut n cercetrile legate de roi dinate, dar evoluta elipsei fusese determinat, cumloace exclusiv sintetice, nc de Apollonius.


Evoluta elipsei e o astroid.

Exerciiul 1.3.6. Artai c tangentele la elicea (cos t, sin t, t) intersecteaz planulx1Ox2 dup o involut a cercului unitate.Exerciiul 1.3.7. S se arate c locul geometric al unui punct fix de pe un cerc de raza care se rostogolete fr frecare pe o dreapt este curba de ecuaii:

x1(t) = a(t sin t), x2(t) = a(1 cos t).Curba aceasta se numete cicloid i are proprieti geometrice i mecanice foarte

interesante.Se poate arta c evoluta cicloidei e tot o cicloid. ntr-adevr: (t) = (a(1

cos t), a sin t), (t) = (a sin t, a cos t) i curbura rezult = 14a sin t2

. Cum n =

12a sin t2

(a sin t, a(1 cos t)), rezult pentru evolut ecuaia:

+ 1n = (a(t+ sin t), a(cos t 1)).

Dar aceasta e o curb congruent cu , modulo translaia la stnga cu a i n jos cu 2a,adic vectorul de translaie e (a,2a).

Cicloida ca loc geometric. Evoluta cicloidei e tot o cicloid.

Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli i Christian Huygens au artat, separat, c cicloidaeste soluia problemelor tautocronei (sau izocronei) i a brahistocronei.

Problema tautocronei cere s se gseasc acea curb care unete A i B n aa fel nct,din orice punct al ei ar porni un corp de mas fix, s ajung n B n acelai timp. Pornindde la aceast proprietate i de la faptul c evoluta cicloidei e tot o cicloid, Huygens aproiectat un pendul cicloidal: firul greu e forat s oscileze ntre dou arce de cicloidtangente ntr-un capt. Frecven acestui pendul nu va mai depinde de amplitudineaoscilaiei, astfel c un pendul de acest tip poate indica ora locului unde a fost potrivitiniial oriunde pe glob (s zicem la Greenwich), chiar pe mare, indiferent de condiiileatmosferice. Cu ajutorul lui se poate determina longitudinea n grade (fa de meridianulGreenwich) unui punct de pe glob dup formula (ora local - ora Greenwich) 15/h.

3 Curbe plane 31

Iat cum se poate arta c arcul de cicloid (A+a(tsin t), Ba(1cos t)) simetriculfa de Ox1 al celui de mai sus satisface problema tautocronei: energia cinetic e legatde energia potenial prin relaia v2 = 2g(y2 y1) (aici g e acceleraia gravitaionali,pentru simplitate, notm x = x1, y = x2). Cum timpul e distana raportat la vitez,iar distana se obine integrnd lungimea vectorului tangent, timpul se calculeaz integrndecuaia dt = ds

2g(y y0). Cum ds =

dx2 + dy2 i dx = dx

dudu = a(1 cosu)du,

dy = dydudu = a sinu, avem de calculat

T = u0

2a2(1 cosu)

2ag(cosu0 cosu)du =a

g

u0

1 cosu

cosu0 cosu

=a

g

u0

sin u2cos2 u02 cos2 u2

du = 2a

g

10

dz1 z2 dz (cu substituia z =

cos u2cos u02

)

= 2a

garcsin z

1

0= a

g,

deci timpul de parcurs nu depinde de punctul intermediar de pornire.Pentru detalii (i nu numai) se pot consulta articolele: H. Geiges, Christian Huygens

and contact geometry, arXiv:math.HO/0501255 i Jeff Brooks, Satha Push, The cycloidalpendulum, The Amer. Math. Monthly, 109 (2002), 463465.

Problema brahistocronei cere s se uneasc dou puncte A i B ntr-un plan verticalprintr-o curb n aa fel ca un corp de mas fix care alunec numai sub aciunea gravitaieis ajung n timpul cel mai scurt din A n B. De rezolvarea ei se leag naterea a ceea ceazi numim calcul variaional. Problema este mai grea pentru c presupune gsirea uneicurbe (cilcoida, n spe) cu o anume proprietate de minimalitate ntre toate curbele unescdou puncte.

Fie o curb plan i : S1 aplicaia ((s)) = t(s) (s e parametrulcanonic). Cum vectorul tangent e acelai n orice parametrizare canonic e binedefinit, continu i difereniabil. Fie (s) [0, 2) unghiul orientat (n senstrigonometric) dintre x1 i (s). (s) e unghiul dintre axa absciselor i raza vectoareprin origine paralel cu tangenta n (s). Din pcate nu e nici mcar continu(e suficient s vedei ce se ntmpl la trecerea printr-un punct n care tangenta eparalel cu Ox1: de o parte a punctului tinde la zero, de cealalt se apropie de2). Totui, putem demonstra:Lema 1.3.8. Pe orice subinterval nchis [a, b] I exist funcii continue (s) caresatisfac relaia (s) = (s) + 2m(s), cu m(s) Z. O asemenea funcie e completdeterminat de alegerea arbitrar a lui m(a). Dou asemenea funcii difer prin2h, cu h constant ntreag.

Demonstraie. Funcia t(s) e uniform continu pe [a, b]. Atunci exist > 0astfel ca | s s |< s implice c t(s) aparine semicercului deschis cu centrul nt(s) (unde am notat la fel tangenta unitar la curb i raza vectoare paralel cu ea ncercul unitate centrat n origine). Alegem acum o diviziune a < s1 < < sn < ba intervalului [a, b] de norm strict inferioar lui . Definim (a) fixnd n modarbitrar un m(a) ntreg. Exist o unic funcie (s) pe [a, s1], continu, de form(s) + 2m(s) i astfel nct | (s) (a) |< /2. Aceast din urm condiie poate


fi ndeplinit datorit felului n care a fost aleas diviziunea. Pe de alt parte, dacar mai exista o funcie cu aceleai proprieti am avea:

| (s) (s) |

3 Curbe plane 33

(1) Artai c dac e definit de ecuaia r = r(), atunci lungimea arcului ntre

1 i 2 este s = 21

r2 + r2d i = 2r

rr + r2(r2 + r2)3/2

.

(2) Calculai curbura spiralei lui Arhimede, dat n coordonate polare prin r() =a, a = const.

(3) Spirala logaritmic este curba descris n coordonate polare de ecuaiile: r(t) =et, (t) = at, a = const. Artai c lungimea ei n intervalul (, t] e pro-porional cu raza r(t), iar vectorul de poziie face unghi constant cu vectorultangent. n plus, spirala logaritmic e congruent cu evoluta i cu evolventa sa.

Spirale logaritmice aproximative apar n natur: braele unor galaxii spi-rale, seciuni ntr-un nautilus, unele plaje oceanice. Vedei imagini, de exemplula: http://scienceblogs.com/chaoticutopia/upload/2006/11/spiral.jpg

Spirala lui Arhimede Spirala logaritmic

CAPITOLUL 2

Proprieti globale ale curbelor

Scopul acestei seciuni este s arate cum se pot utiliza invarianii locali pentrua trage concluzii globale, de natur topologic. Vom prezenta doar cteva asemenearezultate care se ncadreaz n linia general crii. Cititorul interesat poate gsii alte rezultate n excelenta monografie [Ca] sau n [Ia1], [Kl], [Va], [Sp] etc.

1. Teorema de clasificare

Prezentm acum clasificarea curbelor pn la difeomorfisme. Demonstraia (da-torat lui J. Milnor, cf [Mi]) e surprinztor de elementar: n afara unor fapte stan-dard de topologie general vom folosi doar existena parametrizrii prin lungimede arc.Teorema 2.1.1. O curb difereniabil care e conex e difeomorf cu:

i) R dac e necompact;ii) cercul S1 dac e compact.n particular, orice curb necompact se acoper cu o unic parametrizare,

orice curb compact se acoper cu dou parametrizri.Demonstraia va folosi urmtoarele trei leme:

Lema 2.1.2. Fie i, i = 1, 2, dou arce ale lui parametrizate canonic. Atunci1 2 are cel mult dou componente conexe.Lema 2.1.3. Dac exist pe dou arce 1, 2 parametrizate canonic, astfel nct1 2 6= i are dou componente conexe, atunci e difeomorf cu un cerc.Lema 2.1.4. Dac exist pe dou arce 1, 2 parametrizate canonic, astfelnct 1 2 6= i are doar o component conex, atunci 1 2 e un arc care sepoate acoperi cu o singur parametrizare canonic.

Amnm, pentru moment, demonstraia lemelor i dmDemonstraia Teoremei Fie : I = (a, b) R3 o parametrizare oarecare a unuiarc din , maximal (n sensul c nu poate fi prelungit peste capetele lui I). Esuficient s artm c dac nu e difeomorf cu S1, atunci e surjectiv (adicparametrizarea acoper intreaga mulime ). Dac, prin absurd, 1 = (I) estrict inclus n , atunci exist un punct limit al lui 1 p0 1. Fie 2 ovecintate deschis n a lui p0. O parametrizm canonic i rezult c arcele 1i 2 satisfac ipoteza din Lema 2.1.4. Atunci reuniunea lor se poate acoperi cu osingur parametrizare care, pe 1 va coincide cu ; contradicie cu maximalitatealui I.

Vom demonstra acum cele trei leme.

36 Proprieti globale ale curbelor

Cele trei posibiliti pentru panta 1

Demonstraie Lema 2.1.2 Fie i(si) parametrizri canonice ale arcelor i. Pefiecare component conex C a interseciei 1 2 avem, conform Lema 1.1.6,

s2 = s1 + c.Considerm funcia liniar s2 = s2(s1) descris mai sus. Graficul su

G = {(s1, s2) I1 I2 ; 1(s1) = 2(s2)}e o reuniune de segmente de pant 1 n planul (s1, s2), existnd un singur segmentpentru fiecare component conex C. Cum orice component conex e o mulimedeschis n 1 2, fiecare segment e o mulime deschis n planul (s1, s2) (carenu-i conine capetele). Pe de alt parte, fiecare asemenea segment e nchis ntopologia relativ a lui I1 I2 pentru c e definit de egalitatea F (s1, s2) = 0 cuF (s1, s2) = 1(s1) 2(s2) funcie continu. n concluzie, capetele segmentelortrebuie s fie situate pe laturile dreptunghiului I1 I2. Deoarece schimbrile decoordonate snt becii, dou segmente nu pot atinge o aceeai latur. Astfel csnt posibile doar situaiile din primele trei diagrame de mai sus (i celelalte treicorespunztoare pantei 1):Demonstraie Lema 2.1.3 n acest caz G e format din dou segmente (ultimadiagram din 1). Fcnd, eventual, o schimbare de orientare (ca s avem panta +1)i o translaie putem admite c avem diagrama din 1.Am pus, aici, a2 = d. Fie I = I1 I2= (a1, b2) unde(2.1) a1 < c d = a2 < b1 = < b2i

c a1 = b2 .Fie s parametrul canonic pe I: s |(a1,b1)= s1 i s |(a2,b2)= s2. Definim funciap : I S1 prin

p(s) =(

cos s a1 a1 2, sin

s a1 a1 2

).

1 Teorema de clasificare 37

-s1

6s2

a1 c d b1

a2 = d

= b1

b2

Dupa translaia n urma creia a2 = d

Evident p e difereniabil. E, n plus, surjectiv: ntr-adevr, surjectivitatea eechivalent cu 0 (s a1)/( a1) 1, ceea ce e echivalent cu a1 s . Cuma1 = c b2, rezult c p((a1, ]) = p([c, b2)) = S1, adic p acoper cercul dedou ori. Cu ajutorul lui p definim h : S1 prin

h(z) ={1(z), dac exist p1(z) (a1, b1)2(z), dac exist p1(z) (a2, b2)

S artm c h e bine definit (e necesar pentru c p1(z) poate avea dou elemente,unul n (a1, ], cellalt n [c, b2)). Fie z S1 i fie p1(z) (a1, ] = {1}, p1(z) [c, b2) = {2} Atunci p(1) = p(2) implic:

2 a1 a1 2 =

1 a1 a1 2 + 2m , k Z

De aici deducem:2 = 1 +m( a1) = 1 +m(b2 c).


innd cont de inegalitile (2.1) vedem c m poate lua doar valorile 0 i 1. Atunci:(1) 1 = 2 = [c, ] sau(2) 1 (a1, c), 2 (, b2) i 2 = 1 + ( a1).Dup cum se vede, n ambele cazuri relaia dintre 1 i 2 e aceeai cu cea dintres1 i s2 (aici folosim alegerea diagramei cu a2 = d). Deci 1(1) = 2(2) i h ebine definit.

S artm acum c h e bectiv. Deoarece i snt parametrizri, h e injectiv.n plus e difereniabil. Cum S1 e compact, h aplic homeomorf S1 pe imagineah(S1) i h(S1) e o mulime nchis n (aici am folosit urmtoarele rezultate detopologie general: (a) o injecie continu unui compact ntr-un spaiu separat ehomeomorfism pe imagine i (b) un compact ntr-un spaiu separat e nchis). Pe dealt parte h(S1) = 12 e deschis n . Cum e conex, singurele ei submuliminchise i deschise snt i . Dar h(S1) 6= ceea ce arat c h e surjecie. n fine,inversa lui h e difereniabil i demonstraia e ncheiat. Demonstraie Lema 2.1.4 n acest caz G are un singur segment, grafic al funcieis2 = s1 + c. Dar aceast funcie are sens pentru orice s1 R, astfel c o putemconsidera ca o reparametrizare a ntregului arc 1. Aadar 1 2 e parametrizatcanonic de s2. Observaia 2.1.5. ntruct nu utilizeaz n demonstraie dect proprietile pa-rametrizrii canonice, teorema e adevrat i pentru curbe din Rn (vezi Observaia1.1.7.)

2. Teorema indicelui

Fie acum imaginea unei curbe nchise, conexe. n particular e compact,deci e difeomorf cu un cerc. nseamn c {punct} poate fi acoperit cu osingur parametrizare. Sntem condui la urmtoarea:Definiia 2.2.1. O curb nchis e imaginea unei funcii difereniabile periodice : R R3.

Dac o curb nchis nu are autointersecii (adic e injectiv) spunem c eae simpl.

Fie o curb plan nchis (presupus parametrizat canonic), l lungimea ei(putem admite c e definit pe [0, l]) i o funcie unghiular ca cea gsit nLema 1.3.9. Cum (l) = (0), (l) (0) e un multiplu ntreg de 2, fie el n. Cumorice dou funcii unghiulare difer printr-un multiplu ntreg al lui 2, numrul nnu depinde de alegerea funciei unghiulare. Este bine definit i se numete indicede rotaie. Intuitiv el indic numrul de rotaii (orientate) pe care le face un punctcare parcurge o dat curba n jurul unui punct fix din interiorul curbei. Este uninvariant topologic (dei acest lucru nu e evident, el fiind definit cu ajutorul unorconstrucii difereniabile. ncercai totui s-l definii doar pentru curbe continue).De exemplu indicele unui opt este 0, al unui cerc este 1.

Teorema pe care o vom demonstra n continuare i era cunoscut lui Riemann,dar demonstraia pe care o prezentm aparine lui H. Hopf (cf. [Ch]).Teorema 2.2.2. Indicele de rotaie al unei curbe plane, simple, nchise este 1(n funcie de orientarea curbei).

2 Teorema indicelui 39

Curbe cu indice 0, 1, 2

O curb de indice 1...

Demonstraie. Fie = {((s1), (s2)) mod 0 s1 s2 l} mulimeabipunctelor orientate cu capetele pe curb. se poate reprezenta ca un triunghi n planul s1Os2 cu vrfuri A(0, 0), B(0, l), C(l, l). Fie : S1 aplicaiacare asociaz fiecrui bipunct orientat din captul vectorului unitar cu originean (0, 0) paralel cu segmentul determinat de acel bipunct. Restricia lui la laturaAC este aplicaia tangent (cf. paragrafului despre curbe plane).

Pentru un p fie (p) [0, 2) unghiul dintre axa Ox1 i O(p). Ca i ncazul funciei unghiulare , nici aceasta nu e continu. Vom arta i aici c existo funcie difereniabil care difer de printr-un multiplu ntreg de 2.

S fixm un punct m n interiorul lui . E clar c putem folosi argumentele dela construcia funciei unghiulare pentru a deduce i aici existena unei funcii continue a pe fiecare raz prin m i astfel nct (p) (p) (mod 2).

Fie acum p0 . Pentru a demonstra continuitatea lui n p0, avem nevoiede nite observaii preliminare. Cum ((t1, t2)) = (t2)(t1)|(t2)(t1)| , e continu pe .n particular, e uniform continu pe segmentul [mp0] (care e compact n ). Deciexist un = (p0) > 0 astfel nct pentru q0 [mp0] i orice q cu distanad(q, q0) < , punctele (q), (q0) nu snt antipodale. Altfel spus:

(2.2) (q) (q0) 6 0 (mod )Pe de alt parte, tot din continuitatea lui , pentru orice (0, /2), exist ovecintate U0 a lui p0, U0 B(p0, ), astfel nct pentru orice p U unghiul dintre


O(p0) i O(p) e strict inferior lui , adic:(2.3) (p) (p0) = + 2r(p), | |< cu r(p) Z.

Acum, pentru a demonstra continuitatea n p0, lum q0 arbitrar pe [mp0] i q pe[mp] astfel nct dreptele q0q i p0p s fie paralele. Funcia (q) (q0) e continun q de-a lungul lui [mp] i tinde la 0 cnd q tinde la m. Conform observaiiloranterioare, din d(q, q0) < i (2.2) rezult (q) (q0) < . Folosind i (2.3)obinem r(p) = 0 ceea ce arat c e continu i chiar difereniabil deoarece (mod 2).

n notaiile descrise la nceputul demonstraiei indicele de rotaie poate fi cal-culat cu relaia:

2n =

AC

d =

AB

d+

BC

d.

Pentru calculul ultimilor dou integrale alegem un sistem de coordonate convenabil.Anume, unul n care axa Ox1 s fie tangent n origine curbei i curba s stea numain semiplanul superior. Un asemenea sistem de coordonate exist pentru c, existun punct (s0) cu ordonata minim i putem presupune s0 = 0. Atunci integralade-a lungul lui AB reprezint unghiul cu care se rotete raza OP cnd p parcurge. Deoarece OP nu mpunge dect n sus, acest unghi va fi . Similar, integralade-a lungul lui BC msoar unghiul cu care se rotete raza PO cnd p parcurge odat curba. PO mpunge doar n jos, astfel c valoarea acestei integrale este tot. Suma lor este 2 i demonstraia e ncheiat.

Vom utiliza acest rezultat, ntr-o versiune un pic mai general, pentru demon-strarea Teoremei Gauss-Bonnet pe suprafee.

Reamintim, conform (1.16), c avem = dds

pentru orice curb plan. Atuncipentru o curb nchis (nu neaprat simpl) de lungime l avem

2n = l

0d =

l0(s)ds,

i rezultCorolarul 2.2.3. Pentru o curb plan simpl, nchis

l0(s)ds = 2.

Un rezultat neateptat, recunoatei! Care nu e adevrat n cazul curbelor cuautointersecii. Mai precis, cititorul poate demonstra:Exerciiul 2.2.4. O curb plan nchis, cu curbura strict pozitiv i cu cel puin oautointersecie are indicele mai mare sau egal cu 2.Exerciiul 2.2.5.

(1) Artai c (t) = (sin t, sin 2t) e o curb regulat, nchis, cu indice 0.(2) Calculai indicele i curbura total a curbei date n coordonate polare prin

r = cos 2, 0 2.

3 Inegalitatea izoperimetric 41

3. Inegalitatea izoperimetric

Prezentm n final un rezultat cu un enun extrem de simplu i cu o demons-traie foarte ingenioas. Problema apare nc din antichitate. Se povestete cregina Didona, fugar din Tyrul natal, ar fi ajuns cu oamenii si pe rmul actualal Tunisiei. Acolo ar fi cerut ngduina zeilor s construiasc o cetate, viitoareaCartagin. Acetia i-au dat voie s foloseasc att pmnt ct poate cuprinde cupielea unui bou. Oamenii ei au tiat pielea ntr-o fie subire i foarte lung cucare au delimitat un semicerc la rmul mrii. tiau, deci, c aria maxim la unperimetru dat corespunde cercului. Asta urmeaz s demonstrm.Teorema 2.3.1. Fie o curb regulat, plan, nchis, simpl, de lungime l. FieA aria domeniului mrginit de Im . Atunci(2.4) 4A l2,cu egalitate dac i numai dac este cerc.

Demonstraie. Fie D domeniul mrginit de . nainte de a face demonstraiapropriu-zis, avem nevoie de o formul pentru calculul ariei. Vom folosi formula luiGreen. Pentru orice dou funcii f , g cu derivate pariale continue pe D, aceastane d:

D

( fx1 gx2

)dx1dx2 =

D

(f dx2

dt+ g dx

1

dt)dt.

Punem aici f = x1, g = x2, integrm prin pri i obinem:

2

D

dx1dx2 =

D

(x1 dx2

dt x2 dx

1

dt)dt =

l0

d

dt

x2

x1 (x1)2dt

= x2

x1 (x1)2 |l0 2

l0x2 dx

1

dtdt.

Cum x1(0) = x1(l) i x2(0) = x2(l), am demonstrat c aria lui D se calculeazdup formula:

(2.5) A = l

0x2dx1

dtdt =

l0x1dx2

dtdt.

Acum ncadrm Im ntre dou tangente d, d paralele, la distan 2r, care numai intersecteaz a doua oar curba; e clar c exist mai multe direcii d pentrucare acest lucru e posibil, deci r depinde de direcia lui d (intuitiv, cu ct existmai multe direcii d ca mai sus, cu att mai simetric e curba ). Considerm i uncerc de raz r tangent la d i d care nu taie Im . Alegem un reper cu originea ncentrul cercului i cu axa Ox1 perpendicular pe d, d.

Fa de reperul ales, cu presupunerea c (0) este punctul de tangen cu d,avem pentru i cerc parametrizrile:

:[0, l] R2, (s) = (x1(s), x2(s)),c :[0, l] R2, c(s) = (x1(s), y2(s)).


Aici s este parametrul canonic pe , dar nu neaprat pe cerc. Cum aria cerculuieste r2, formula (2.5) implic

r2 = l

0y2dx1

ds ds.

Adunnd aceast relaie cu a doua egalitate din (2.5) obinem:

A+ r2 = l

0(x1 dx

2

ds y2 dx

1

ds) ds

Aplicm aici inegalitatea baf b

a| f | i gsim:

A+ r2 l

0

(x1 dx

2

ds y2 dx

1

ds)2 ds.

Acum folosim inegalitatea lui Lagrange (aibi)2 (

a2i )(

b2i ) i rezult:

A+ r2 l

0

[(x1)2 + (y2)2] [(dx

1

ds)2 + (dx

2

ds)2] ds.

Dar

(2.6) (dx1

ds)2 + (dx

2

ds)2 = 1, (x1)2 + (y2)2 = r2

3 Inegalitatea izoperimetric 43

pentru c am presupus c s e parametrul canonic pe i (x1(s), y2(s)) parametri-zeaz un cerc de raz r. Deci avem:

A+ r2 l

0rds = rl.

Cum, pe de alt parte, din inegalitatea mediilor:A+ r2 2

Ar2,

obinem 2Ar2 rl care, prin ridicare la ptrat, conduce la inegalitatea de

demonstrat.Fie acum o curb nchis, simpl care satisface (2.4) cu egalitate. Atunci avem

egalitate i n ultimele inegalitile care au condus la demonstraie. n particular,avem egalitate n inegalitatea mediilor, deci A = r2 i l = 2r, adic, n acest caz,r nu depinde de alegerea direciei lui d. De asemenea, inegalitatea lui Lagrangedevine egalitate:

(x1dx2

ds y2 dx

1

ds

)2=[(x1)2 + (y2)2

] [(dx

1

ds)2 + (dx

2

ds)2].

Rezult:x1dx1

ds+ y2 dx

2

ds= 0.

Scriem aceast relaie sub form de proporie:x1

dx2

ds

= y2

dx1

ds

,

facem o proporie derivat n care inem seama de (2.6) i obinem:x1

dx2

ds

=

(x1)2 + (y2)2(dx

1

ds)2 + (dx

2

ds)2

= r.

De aici rezult x1 = r dx2

ds. Cum r nu depinde de direcia lui d, putem schimba

ntre ele axele reperului ceea ce conduce la inversarea rolurile lui x1 i x2 n ultima

ecuaie diferenial. Deci avem i x2 = r dx1

ds. Atunci (x1)2 + (x2)2 = r2 i

demonstraia e complet.

CAPITOLUL 3

Proprieti locale ale suprafeelor

Dup studiul curbelor din spaiul cu trei dimensiuni (obiecte ,,1-dimensionale,pentru c snt parametrizate cu un singur parametru), pasul imediat urmtor estestudiul suprafeelor: obiecte descrise cu ajutorul a doi parametri independeni.i aici vom fi interesai de rezolvarea acelorai probleme: gsirea de invarianidifereniabili i euclidieni, locali i globali. Dar o teorem de simplitatea celei declasificare a curbelor nu exist pentru dimensiunea doi.

1. Definiii. Exemple

Definiia 3.1.1. O submulime S R3 se numete suprafa difereniabil (sauregulat sau, pe scurt, suprafa) dac pentru orice punct p S exist o vecintatedeschis V a sa n R3, o mulime deschis U n R2 i o aplicaie difereniabilh : U V astfel nct:

i) h e homeomorfism ntre U i V S;ii) dqh : R2 R3 e injectiv (adic matricea sa iacobian are rang maxim, 2)

n orice q U .Remarcai paralelismul perfect cu definiia curbei.Vom nota cu (u1, u2) coordonatele n R2 i cu J(h) sau h/(u1, u2) matricea

iacobian a lui h. De obicei, putem presupune c U e vecintate a lui (0, 0): ntot-deauna se poate face o translaie n R2 care s duc un punct fixat peste origine. Opereche (U, h) ca n definiie se numete parametrizare; perechea corespunztoare(V S, h1) se numete hart (de coordonate). E clar c mulimea tuturor dome-niilor de hart de tipul V S formeaz o acoperire deschis a lui S (n topologiarelativ). Vom vedea curnd care e semnificaia geometric condiiilor din definiie.Deocamdat s dm cteva exemple.Exemplul 3.1.2. Orice plan e o suprafa difereniabil. ntr-adevr, fie Ax1 +Bx2+Cx3+D = 0 ecuaia implicit a planului . Cum (A,B,C) 6= (0, 0, 0), putempresupune C 6= 0 i gsim ecuaia echivalent x3 = ax1 + bx2 + c cu a = A/C etc.Atunci, pentru fiecare punct p din plan, U = R2, h(u1, u2) = (u1, u2, au1 + bu2 + c)i V = R3 satisfac definiia: h e continu (pentru c e liniar) cu inversa continu

h1(x1, x2, x3) = (x1, x2), pentru (x1, x2, x3) ; iar J(h) =(

1 0 a0 1 b

), cu

rangul 2.Exemplul 3.1.3. Sfera

S2 = {(x1, x2, x3) | (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 = 1}

46 Proprieti locale ale suprafeelor

se poate acoperi cu parametrizri geografice de forma:h(u1, u2) = (sin u1 cosu2, sin u1 sin u2, cosu1),

unde U = (0, ) (0, 2). Evident h e difereniabil. Cum u1 (0, ), ecuaiacosu1 = x3 determin u1 univoc ca u1 = arccosx3. Acum, cu u1 determinat, segsesc sin u2 i cosu2 ca funcii de x1, x2. Rezult c i u2 e bine determinat ceeace arat c h e bectiv. Formulele gsite dovedesc c e bicontinu. Condiia adoua se verific de asemenea prin calcul direct. Imaginea lui h omite un semicerc(inclusiv polii). Pentru a acoperi i acest semicerc se mai consider o parametrizarede acelai tip, cu domeniul translatat cu pe ambele direcii.

Parametrizarea geografic. u1, u2 senumesc, respectiv, zenit, i azimut.

Msurate n grade, 180 u1 repre-zint latitudinea, iar azimutul cu domeniul(180, 180) este longitudinea.

O alt parametrizare util a sferei este proiecia stereografic. Identificm R2cu planul orizontal (u1, u2, 0). Fie P (u1, u2) i N(0, 0, 1) polul nord al sferei. P =h(P )=intersecia sferei cu dreapta PN . Atunci coordonatele lui P vor fi

2u11 + (u1)2 + (u2)2 ,

2u21 + (u1)2 + (u2)2 ,

(u1)2 + (u2)2 11 + (u1)2 + (u2)2 ,

iar inversa lui h are expresiile:

u1 = x1

1 x3 , u2 = x

2

1 x3 .Cum imaginea lui h nu atinge polul nord, e necesar nc o asemenea parametrizarefolosind polul sud.

N

P

P

Proiecia stereografic din polul nord.

1 Definiii. Exemple 47

O alt parametrizare a sferei se poate realiza prin proiecii ortogonale pe planelede coordonate. Vor fi necesare 6 hri.

Nu ntmpltor exemplele de parametrizri pe sfer aveau cel puin dou hri:

Exerciiul 3.1.4. Nici o suprafa compact nu poate fi acoperit cu mai puin de douhri.

Exemplul 3.1.5. Fie U un deschis din R2 i f : U R o funcie difereniabil.Atunci graficul su S = {x3 = f(x1, x2)} e o suprafa difereniabil acoperitcu o singur parametrizare: h(u1, u2) = (u1, u2, f(u1, u2)). h e clar difereniabil,

homeomorfism pe imagine, iar J(h) =(

1 0 fu10 1 fu2

), cu rangul 2. Astfel, de exem-

plu, paraboloidul hiperbolic x3 = x1x2 e o suprafa difereniabil. Observai cjustificarea din primul exemplu se ncadreaz tot aici.

Reciproc, se poate demonstra:

Propoziia 3.1.6. Fie p un punct al unei suprafee S. Atunci exist o vecintate Va lui p n S care e graficul unei funcii difereniabile de forma: x3 = h3(x1, x2), x2 =h2(x1, x3) sau x1 = h1(x2, x3). Altfel spus: local, orice suprafa se expliciteaz.

Demonstraie. Fie h(u1, u2) = (x1(u1, u2), x2(u1, u2), x3(u1, u2)), (u1, u2) U , o parametrizare oarecare n jurul lui p. Conform definiiei, cel puin unul dintredeterminanii iacobieni (x1, x2)/(u1, u2), (x2, x3)/(u1, u2), (x3, x1)/(u1, u2)e nenul n q = h1(p). Putem presupune c (x1, x2)/(u1, u2)(q) 6= 0. Dar acestaeste chiar determinantul iacobian n q al funciei difereniabile h unde proieciaortogonal a lui R3 pe planul x1Ox2. Deci exist vecintile V1 a lui q i V2 a lui h(q) ntre care h e difeomorfism. Cum h e homeomorfism pe imagine, rezultc V = h(V1) S e vecintate a lui p n S i restricia lui la V e injectiv. Deasemenea, exist inversa difereniabil ( h)1 : V2 V1. Astfel am obinutu1, u2 ca funcii difereniabile de (x1, x2). Acum compunem ( h)1 cu funciax3(u1, u2). Atunci V e graficul funciei f(x1, x2) = x3 ( h)1(x1, x2).

Exemplul 3.1.7. Suprafee de rotaie. Fie ((u2), (u2)), cu u2 (a, b), un arcde curb regulat a crei imagine, considerat n planul x1Ox3, nu intersecteazaxa Ox3. O rotim n jurul axei Ox3; fiecare punct al curbei va descrie un cerc cucentrul pe axa Ox3 de raz (u2). Obinem suprafaa de ecuaie:

h(u1, u2) = ((u2) cosu1, (u2) sin u1, (u2)), (u1, u2) (0, 2) (a, b).

Trebuie verificat c aceasta este o parametrizare: succes! Curba iniial se numetegeneratoare. Curbele u1 = const. se numesc meridiane, curbele u2 = const. senumesc cercuri paralele. Aceast parametrizare nu acoper un meridian i e nevoiede nc o parametrizare etc.


x1

x2

x3

curbageneratoare meridiane

axa

paralele Suprafa de rotaie.

Un exemplu banal este cilindrul, generat de rotaia unei drepte. Rezult para-metrizarea:

h(u1, u2) = (r cosu1, r sin u1, u2).Sfera din primul exemplu este un caz particular. De asemenea, torul obinut

prin rotirea unui cerc de raz r n jurul unei drepte din planul su, situate ladistan a > r de centrul cercului. El poate fi acoperit cu (cte?) parametrizri deforma:

h(u1, u2) = ((r cosu2 + a) cosu1, (r cosu2 + a) sin u1, r sin u2).

a+rr u2

a+rcosu 2

Torul ca suprafa de rotaie.

S dm i un contraexemplu. Conul cu dou pnze (x3)2 = (x1)2 + (x2)2 nue o suprafa difereniabil. Punctul problem, n jurul cruia nu exist parame-trizare, este vrful O. Dac h : U R3 e o parametrizare n jurul lui O, fr arestrnge generalitatea putem presupune c U este un disc deschis centrat n originei h(0, 0) = (0, 0, 0). Cum h este continu, h(U) este o mulime conex care conineO. Pe de alt parte, U {(0, 0)} e, nc, o mulime conex n timp ce imagineasa prin h, h(U) O e neconex. Aceasta e o contradicie deoarece h e continu.Pentru a arta c, aa cum bnuii, nici conul cu o pnz x3 = +

(x1)2 + (x2)2

nu e suprafa difereniabil, aplicm Propoziia 3.1.6: dac ar fi, atunci ar existao vecintate a vrfului O pe care presupusa suprafa s-ar explicita sub una dintreformele x3 = h3(x1, x2), x2 = h2(x1, x3), x1 = h1(x2, x3). Ultimele dou variantese exclud pentru c proieciile conului pe planele x1Ox3 i x2Ox3 nu snt bective.Rmne prima form care, pe o vecintate eventual mai mic, trebuie s coincidcu explicitarea din definiie. Dar

(x1)2 + (x2)2 nu e difereniabil n (0, 0), con-

tradicie.

1 Definiii. Exemple 49

Propunem cititorului s demonstreze c, la fel ca la curbe:Propoziia 3.1.8. Fie h1 : U1 V1 S i h2 : U2 V2 S dou parametrizrin jurul lui p W = V1 V2 S. Atunci h = h11 h2 : h12 (W ) h11 (W ) edifeomorfism.

Funcia pe care o vei folosi acum pentru aplicarea teoremei funciilor impliciteeste F (u1, u2, t) = (x1(u1, u2), x2(u1, u2), x3(u1, u2) + t).

Pentru a produce noi exemple avem nevoie de:Definiia 3.1.9. Fie f : U Rn Rm o funcie difereniabil. Un punctp U se numete critic pentru f dac dpf nu are rang maxim. n caz contrar p senumete punct regulat. Imaginea unui punct critic se numete valoare critic. Unpunct a Rm care nu e valoare critic se numete valoare regulat.

E clar c dac f ia valori n R, un punct e regulat dac i numai dac cel puino derivat parial a lui f nu se anuleaz n el. De exemplu, pentru f(x1, x2, x3) =(x1)2 (x2)2 + (x3)2 1, 0 e o valoare regulat (verificai).

Urmtorul rezultat e tot o aplicaie direct a teoremei funciilor implicite:Propoziia 3.1.10. Preimaginea unei valori regulate a unei funcii f : U R3 R e o suprafa difereniabil.

Demonstraie. Fie a R o valoare regulat lui f i p = (x10, x20, x30) S =f1(a). Aa cum am observat, cel puin o derivat parial a lui f e nenul np. Renumerotnd eventual axele de coordonate, putem presupune f3(p) 6= 0 (vomnota fi = f/xi). Fie atunci F : U R3, F (x1, x2, x3) = (x1, x2, f(x1, x2, x3)).Evident determinantul iacobian lui F n p este det(J(F )(p)) = f3(p) 6= 0. Atunciexist o vecintate deschis V a lui p i o vecintate deschis W a lui F (p) pe careexist F1 : W V difereniabil. Deci notnd cu (u1, u2, t) coordonatele pe W,coordonatele lui F1 snt de forma:

x1 = u1, x2 = u2, x3 = h(u1, u2, t),

cu h difereniabil. n particular avem x3 = h(u1, u2, a) = h(u1, u2) cu h diferen-iabil pe proiecia lui V pe planul x1Ox2. Graficul lui h este f1(a) V . DinExemplul 3.1.5, un grafic de funcie difereniabil este o poriune de suprafa,adic o parametrizare n jurul lui p.

Aplicnd acest rezultat pentru f(x1, x2, x3) = (x1)2 (x2)2 +(x3)21 vedemc hiperboloidul cu dou pnze e suprafa difereniabil (neconex) corespunz-toare valorii regulate 0. La fel, hiperboloidul eliptic este preimaginea valorii regulate0 pentru funcia f(x1, x2, x3) = (x1)2 + (x2)2 (x3)2 1.Observaia 3.1.11. Nu orice suprafa e preimagine de valoare regulat pentruo funcie difereniabil. De exemplu 0 nu e valoare regulat pentru f(x1, x2, x3) =(x3)2, totui f1(0) e suprafa difereniabil (un plan). Conform, pentru detalii,paragrafului dedicat suprafeelor orientabile i exerciiilor 2.1.13, 2.1.14 din [Or].


2. Planul tangent. Funcii difereniabile

E momentul acum s interpretm ultima condiie din definiia suprafeei. Fi-xm un punct p S i o parametrizare h : U R2 S, q = h1(p). Matriceaiacobian a lui h n q este

J(h)(q) =(h

u1|q h

u2|q)

=

x1

u1|q x

1

u2|q

x2

u1|q x

2

u2|q

x3

u1|q x

3

u2|q

.

Aceast matrice are rangul maxim, adic 2, dac i numai dac vectorii h1(q) =h

u1|q, h2(q) = h

u2|q snt liniar independeni n R3, caz n care ei genereaz un

plan vectorial L(h1(q), h2(q)) 2-dimensional, notat n acest context TpS i numitplanul tangent n p la S. Cum TpS = {v1h1(q) + v2h2(q) | (v1, v2) R2} =J(h)(q) v | v = (v1, v2) R2}, rezult TpS = dqh(R2). Chiar dac ni-l imaginmlegat n punctul p i tangent suprafeei n acest punct, trebuie s-l gndim ca unplan vectorial. Dependena lui de parametrizarea cu care a fost definit e numaiaparent. Dac p se afl i n imaginea unei alte parametrizri, fie ea h, atuncinotnd schimbarea de coordonate h1 h 1 avem:

(3.1) hi =(h h1 h)

ui=

k

uihk.

u2

u1

h

1h

2

S

hTpS

Planul tangent e generat de h1 i de h2.

Cum din Propoziia 3.1.8 rezult c e difeomorfism, deci matricea (k/ui)e nedegenerat, tragem concluzia c {h1, h2} i {h1, h2} genereaz acelai subspaiuvectorial n R3.Exemplul 3.2.1. Fie p = (x1, x2, x3) un punct de pe sfera S2(r). Pentru a deter-mina planul tangent TpS2(r), s considerm o parametrizare ortogonal n jurul luip: h(u1, u2) = (u1, u2,

r2 (u1)2 (u2)2) (am presupus, implicit, c p face parte

1Aici i de-acum nainte folosim convenia de sumare a lui Einstein: indicii repetai sus ijos snt de sumare.

2 Planul tangent. Funcii difereniabile 51

din emisfera nordic; celelalte cazuri se trateaz la fel). Avem

h1 = (1, 0, u1

r2 (u1)2 (u2)2 ),

h2 = (0, 1, u2

r2 (u1)2 (u2)2 ), deci

TpS2(r) = L(h1, h2) = {(v1, v2, v

1u1 + v2u2r2 (u1)2 (u2)2 )}.

Evident c pentru orice v TpS2(r), are loc v, (u1, u2,r2 (u1)2 (u2)2) = 0,

adic planul tangent n orice punct la sfer e perpendicular pe raza n acel punct, nparticular TpS2(r) coincide cu planul tangent cunoscut din geometria elementar.

Pentru a da planului tangent la o suprafa i o expresie invariant (indepen-dent de parametrizare) introducem:Definiia 3.2.2. Un vector din R3 tangent n p la o curb cu imaginea pe S caretrece prin p se numete vector tangent n p la S.

Acum putem demonstra:Propoziia 3.2.3. TpS coincide cu mulimea vectorilor tangeni n p la S.

Demonstraie. Fie (U, h) o parametrizare n jurul lui p, v un vector tangentn p la S i : I R S astfel nct (0) = p, (0) = v o curb (nu e unica) lacare v e tangent n p. Chestiunea fiind local, putem presupune c (I) h(U).Atunci putem considera curba c = h1 din U , c(0) = h1(p) = q. Atunciv = dqh(c(0)) deci v TpS.

Reciproc, fie v = dqh(w) TpS. Considerm curba c(t) = tw+ q cu t suficientde mic pentru ca c(t) U . Dac = h c atunci e clar c v = (0).

Astfel vectorii h1, h2 snt tangeni liniilor de coordonate u2 = const., respec-

tiv u1 = const. Schimbarea parametrizrii duce la schimbarea reelei de linii decoordonate, dar pstreaz planul tangent.Exemplul 3.2.4. Fie S o suprafa descris implicit de ecuaia f(x1, x2, x3) = 0,cu f difereniabil. Pentru p S determinm TpS folosind Propoziia 3.2.3. Fie : (a, a) S astfel nct (0) = p. Dac (t) = (x1(t), x2(t), x3(t)), atunci(t) S dac i numai dac f(x1(t), x2(t), x3(t)) = 0. Derivm aceast relaie nt = 0 i obinem:

f

x1|p dx

1

dt|0 + f

x2|p dx

2

dt|0 + f

x3|p dx

3

dt|0= 0.

Dac notm grad f (gradientul lui f) vectorul din R3 care are drept componentederivatele pariale ale lui f2, ecuaia anterioar se poate scrie:

grad f(p), (0) = 0.Deci grad f(p) este un vector normal la TpS.

2Dei, formal, gradientul unei funcii cu valori reale are aceeai espresie cu matricea difereni-alei funciei, obiectele snt diferite: gradientul este un vector, difereniala este o aplicaie linear.Dar ele snt echivalente via produsul scalar canonic din Rn.


c(0)

u1u2

(0)

Tp

cI

U

hS

Sp

Planul tangent n p ca mulime a vectorilortangeni la curbe care trec prin p.

De exemplu, pentru elipsoidul dat de f(x1, x2, x3) = (x1)2a2

+(x2)2b2

+(x3)2c21 =

0, avem grad f = 2(x1

a2,x2

b2,x3

c2), astfel c ecuaia planului tangent (vectorial) ntr-

un punct arbitrar al elipsoidului este:

x1

a2X1 + x

2

b2X2 + x

3

c2X3 = 0.

n cazul sferei, a = b = c i ecuaia planului tangent devine x1X1 +x2X2 +x3X3 =0.Exerciiul 3.2.5. Artai c planul tangent (afin) n orice punct la un plan este chiarplanul respectiv.Exerciiul 3.2.6. Gsii ecuaia planului tangent ntr-un punct la o suprafa descrisca un grafic: x3 = F (x1, x2). Apoi scriei ecuaia planului tangent ntr-un punct arbitrarpentru fiecare cuadric.

Indicaie: Aplicai exemplul anterior pentru f(x1, x2, x3) = F (x1, x2) x3.Acum sntem n msur s introducem funciile difereniabile pe suprafee.

Definiia 3.2.7. Fie S o suprafa difereniabil i f : S R. f e difereniabil np dac exist o parametrizare (U, h) n jurul lui p astfel nct f h s fie difereniabiln h1(p).Observaia 3.2.8. Dac (U , h) e o alt parametrizare n jurul lui p, atunci f h= (f h) (h1 h) e difereniabil n h1(p), din Propoziia 3.1.8. Conchidemc proprietatea de difereniabilitate a unei funcii, dei definit cu ajutorul uneiparametrizri, nu depinde de parametrizare.

n particular, inversa oricrei parametrizri e difereniabil. A posteriori, pu-tem spune c o suprafa e o submulime a lui R3 local difeomorf cu R2.

2 Planul tangent. Funcii difereniabile 53

Vom defini acum difereniala unei funcii difereniabile. Pentru aceasta, sobservm c dac v TpS i , : I S, (0) = (0) = p, (0) = (0) = v,atunci (f )(0) = (f )(0). Putem da:Definiia 3.2.9. Fie f : S R difereniabil n p. Aplicaia dpf : TpS Rdat prin dpf(v) = (f )(0), unde : I S, (0) = p, (0) = v, se numetedifereniala funciei f n punctul p.

Dac h : U S e o parametrizare n jurul lui p (cu h(u10, u20) = p) i pentruv TpS, alegem o traiectorie cu imaginea n h(U) (acest lucru e ntotdeaunaposibil: ceea ce conteaz e vectorul tangent la curb n p i acesta poate definit

pentru un arc orict de mic), atunci (t) = h(u1(t), u2(t)), v = du1

dt|0 h1(u10, u20) +

du2

dt|0 h2(u10, u20) i

dpf(v) = (f )(0) = (f h)u1

|(u10,u20) du1

dt|0 +(f h)

u2|(u10,u20)

du2

dt|0 .

Deci, local, aciunea lui dpf se exprim prin aplicarea matricei derivatelor parialeale lui f asupra componentelor vectorului v n baza canonic dat de parametrizare:

dpf(v) =((f h)u1

|(u10,u20)(f h)u2

|(u10,u20))

du1

dt|0

du2

dt|0

Am demonstrat, n particular:Propoziia 3.2.10. dpf : TpS R e liniar.Exerciiul 3.2.11. Fie S o suprafa regulat i p0 6 S. S se arate c f : S R,f(q) = qp0 e difereniabil pe S i s se calculeze dqf . Studiai existena i semnificaiapunctelor critice ale lui f .

Acelai exerciiu pentru F (q) = q p02, p0 arbitrar n R3.Indicaie: Dac (U, h) e o parametrizare n jurul lui q cu q = h(u0), atunci:

(f h)ui

|u0=hi(u0), q p0q p0

care exist i snt difereniabile n orice u0 numai dac p0 6 S. Dac v = v1h1+v2h2 TqS,atunci:

dqf(v) =2i=1

(f h)ui

|u0 vi =2i=1

hi(u0), q p0q p0 v

i = v, q p0q p0 .

Analog, pentru F obinem dqF (v) = 2q, v p0. n ambele cazuri, punctele critice, dacexist, snt cele pentru care segmentul [p0q] este perpendicular pe TqS, adic acele punctede pe S a cror distan la p0 atinge un extrem local sau care snt puncte de inflexiune(pentru a distinge, e nevoie de a doua derivat).

Similar definim difereniabilitatea aplicaiilor ntre suprafee:Definiia 3.2.12. Fie S1, S2 dou suprafee i f : S1 S2. f e difereniabil np S1 dac exist parametrizrile (U1, h1) n jurul lui p, (U2, h2) n jurul lui f(p),astfel nct h12 h h1 s fie difereniabil n h11 (p).Exerciiul 3.2.13. S se arate c definiia nu depinde de alegerea parametrizrilor.


Pentru o astfel de f difereniala ntr-un punct va fi dpf : TpS1 TpS2, datprin dpf(v) = (f )(0), unde (0) = p, (0) = v (observai c acum f e ocurb pe S2).Exerciiul 3.2.14. Fie f : S S. S se arate c, dac notm f h = (f1, f2, f3), cuf i : U S, atunci local avem:

dpf(v) =

f1

u1|(u10,u20)

f1

u2|(u10,u20)

f2

u1|(u10,u20)

f2

u2|(u10,u20)

f3

u1|(u10,u20)

f3

u2|(u10,u20)

du1

dt|0

du2

dt|0

unde h(u10, u20) = p.Exemplul 3.2.15. Fie f : R3 R3, f(x1, x2, x3) = (ax1, bx2, cx3). Atunci res-tricia ei la sfera de raz 1 are imaginea n elipsoidul (x

1)2a2 +

(x2)2b2 +

(x3)2c2 = 1 i e

difereniabil.Exerciiul 3.2.16. Fie S2 sfera de raz 1 i f : S2 S2 dat prin f(x1, x2, x3) =(x1,x2,x3). S se arate c f e difereniabil i s se calculeze difereniala ei n polulnord.

O aplicaie difereniabil ntre dou suprafee, bectiv i cu inversa difereni-abil se numete difeomorfism. Dou suprafee ntre care exist un difeomorfism senumesc difeomorfe. Conform exemplului anterior, sfera i elipsoidul snt difeomorfe.E clar c o compunere de difeomorfisme e tot un difeomorfism. Se ajunge astfella mprirea suprafeelor n clase de echivalen de suprafee difeomorfe. Evident,difereniala unui difeomorfism ntr-un punct este un izomorfism liniar. Cititorul vademonstra c mulimea difeomorfismelor unei suprafee formeaz un grup.

O noiune mai puin restrictiv este cea de difeomorfism local.Definiia 3.2.17. O aplicaie f : S1 S2 e difeomorfism local n p dac exist ovecintate U a lui p n S1 i o vecintate V a lui f(p) n S2 astfel nct f|U s fiedifeomorfism ntre U i V .

Aplicnd teorema funciei inverse se obine:Propoziia 3.2.18. Dac f : S1 S2 e difereniabil pe U S1, p U i dpf eizomorfism liniar, atunci f e difeomorfism local n p.Exemplul 3.2.19. Elicoidul este suprafaa obinut n felul urmtor: prin fiecarepunct al unei elice de ecuaie (cosu1, sin u1, au1) se duce o dreapt paralel cuplanul orizontal x1Ox2 i care intersecteaz axa Ox3. Ecuaiile parametrice ale

unei asemenea drepte fiind x1

cosu1 =x2

sin u1 =x3 au1

0 = u2, o parametrizare

pentru elicoid este:

h(u1, u2) = (u2 cosu1, u2 sin u1, au1).

Pe de alt parte, catenoidul este suprafaa obinut prin rotirea lniorului; para-metrizarea lui este:

k(u1, u2) = (a ch u2 cosu1, a ch u2 sin u1, au2),

3 Parametrizri speciale 55

u1 (0, 2), u2 R. Aplicaia f(h(u1, u2)) = k(u1, u2) e un difeomorfism localntre elicoid i catenoid.

Elicoidul (stnga) i catenoidul.

3. Parametrizri speciale

Studiul curbelor a fost simplificat de utilizarea unei parametrizri speciale,cea prin lungimea arcului. Exist i pentru suprafee o parametrizare canonic?Rspunsul este nu. n schimb exist mai multe tipuri de parametrizri cu proprietiparticulare, utile n rezolvarea unor probleme specifice. Vom arta n acest paragrafc, n esen, exist parametrizri cu liniile de coordonate avnd direcia prescris.Pentru a enuna si demonstra acest rezultat avem nevoie nti de traducerea nlimbajul geometriei difereniale a unor rezultate de ecuaii difereniale.Definiia 3.3.1. Un cmp de vectori tangeni X pe un deschis V al unei suprafeeS este o asociere n fiecare punct p V a unui vector tangent X(p) TpS.

X e difereniabil n p V dac exist o parametrizare (U, h) n jurul lui p astfelnct componentele lui X n baza {h1, h2} s fie funcii difereniabile.Observaia 3.3.2. n spiritul definiiei funciilor difereniabile pe mulimi nchise,vom spune c X e un cmp de vectori definit pe mulimea nchis F dac exist ovecintate deschis V a lui F i un cmp de vectori X pe V astfel nct X |F= X. nparticular, vectorul tangent la o curb pe suprafa e un astfel de exemplu, deoareceimaginea unei curbe e nchis n S.Exemplul 3.3.3. Pe o suprafa de rotaie putem obine dou cmpuri de vectoriastfel: unul dintre ele asociaz n fiecare punct vectorul tangent la cercul paralelprin acel punct, al doilea asociaz vectorul tangent la curba generatoare (presupusn parametrizarea canonic). Pe sfer, acest al doilea cmp nu va putea fi definitcontinuu n poli. Se poate corecta construcia: Parametrizm fiecare semimeridiancu acelai parametru t (1, 1) i considerm Y (p) vectorul tangent la semime-ridian (din care eliminm polii). Fie X(t) = (1 t2)Y (p) cnd p e diferit de polii X = 0 n poli. Acum X e definit pe toat sfera, difereniabil, dar se anuleazn poli. Nu e ntmpltor: se poate demonstra cu tehnici de topologie algebricnonexistena unui cmp continuu i fr zerouri pe sfer.


Cmp vectorial pe sfer.

Noi vom presupune c toate cmpurile cu care lucrm snt difereniabile.Dat un cmp de vectori X pe V , o curb tangent n fiecare punct cmpului,

(t) = X((t)), se numete traiectorie a cmpului. Bineneles, am vrea ca prinfiecare punct al lui U s existe o traiectorie a cmpului. Dar, local, cmpul Xproduce un sistem de dou ecuaii difereniale de ordinul I. ntr-adevr, (discuiafiind local, putem admite c V e situat n imaginea unei parametrizri (U, h))dac X = X1h1 + X2h2, cu Xi funcii difereniabile pe U , existena traiectorieiprin p = h(u10, u20) se reduce la existena soluiei pentru problema Cauchy:

(3.2) dui

dt= Xi(u1, u2), ui(0) = ui0, i = 1, 2.

Aplicnd rezultatele cunoscute de ecuaii difereniale (vezi [Ha] sau [Mir]) obinempentru cazul nostru:Teorema 3.3.4. Fie X un cmp de vectori tangeni la V S. Dat p V exist otraiectorie : I R V a lui X cu (0) = p. Dac : J V e o alt traiectorieprin p, atunci (t) = (t) pe I J .

Teorema curentului local devine:Teorema 3.3.5. Fie X un cmp de vectori tangeni la V S. Pentru oricep V exist o vecintate W V , un interval I care-l conine pe 0 i o aplicaie : WI V difereniabil i astfel nct pentru fiecare q W , (q, t) e traiectorialui X prin q:

(q, 0) = q, t

(q, t) = X((q, t)).

Dup cum tim, aceste rezultate implic existena integralelor prime (funciiconstante de-a lungul traiectoriilor unui cmp ). Mai precis:Teorema 3.3.6. Fie X un cmp de vectori tangeni la V S i p V cuX(p) 6= 0. Exist o vecintate W V a lui p i o funcie difereniabil f : W Rconstant de-a lungul fiecrei traiectorii a lui X i cu dqf 6= 0 n orice q W .Observaia 3.3.7. O funcie e integral prim dac i numai dac fiecare traiec-torie a cmpului e coninut ntr-o singur mulime de nivel a func tiei. De aceea, ngeneral, nu exist integrale prime globale, ci doar locale. De exemplu, cmpul defi-nit pe treg planul prin dui/dt = ui, i = 1, 2 nu admite integrale prime neconstante(pentru c ar fi vorba despre o funcie difereniabil, deci continu, constant peorice raz prin origine).

Putem acum formula i demonstra teorema care face obiectul acestui paragraf:

4 Prima form fundamental 57

Teorema 3.3.8. Fie X1, X2 dou cmpuri tangente pe V S astfel nct X1(p),X2(p) snt independente ntr-un p V fixat. Atunci exist o parametrizare (U, h)n jurul lui p astfel nct liniile de coordonate s fie tangente cmpurilor X1, X2:hi = aiXi.

Demonstraie. Observai c nu am cerut ca Xi s fie chiar vectorii tangenila liniile de coordonate, ci doar multipli ai acestora. Ne mulumim s aib aceeaidirecie.

Fie V o vecintate pe care snt definite integralele prime fi ale lui Xi. Cu eledefinim f : V R2, f(q) = (f1(q), f2(q)). Dac dpf 6= 0, din teorema funcieiinverse, exist U R2, vecintate deschis a lui f(p) i h = f1 difeomorfism allui U pe o vecintate W = h(U), deci parametrizare. n plus, liniile de coordonateale lui h snt chiar fi = const., tangente la Xi din nsi definiia integralei prime.

S artm acum c dpf 6= 0. Fie c1 = dpf1(X2(p)), c2 = dpf2(X1(p)). Cum fisnt constante pe traiectoriile lui Xi, avem dpfi(Xi(p)) = 0. Dac c1 sau c2 ar fi 0,atunci f1 sau f2 ar fi constant i pe traiectoriile celuilalt cmp; avnd o integralprim comun cele dou cmpuri ar coincide local, n contradicie cu independenalor liniar. Rezult c ci 6= 0 i

dpf(X1(p)) = (0, c2), dpf(X2(p)) = (c1, 0)ceea ce ncheie demonstraia.

4. Prima form fundamental

Pn acum am privit suprafeele numai din punct de vedere difereniabil. Odatcu acest paragraf introducem i punctul de vedere metric. Discuia va fi local.

Fie p S i (U, h) o parametrizare n jurul su. Lungimea unui vector v =v1h1+v2h2 din TpS se calculeaz cu ajutorul produsului scalar din R3 dup formula:

v2 = v, v = (v1)2h1, h1+ v1v2h1, h2+ (v2)2h2, h2.Astfel, pentru a calcula lungimea unui vector tangent la suprafa nu folosim ,,tot"produsul scalar canonic din spaiul ambiant ci ne snt necesare doar funciile hi, hj.Aceast observaie aproape banal va conduce la ideea fundamental a spaiilor rie-manniene: pentru a nelege geometria unui spaiu trebuie doar s tim s msurm,iar modalitatea de msurare poate fi intrinsec, nu trebuie neaprat indus de peun spaiu ambiant.

Revenind, vom notagij = hi, hj, i = 1, 2.

Datorit proprietilor produsului scalar i ale parametrizrii, funciile gij snt di-fereniabile i definesc o matrice simetric pozitiv definit. Aceasta poart numelede prima form fundamental a suprafeei n parametrizarea (U, h).Exerciiul 3.4.1. Folosii formulele (3.1) pentru a dovedi c, la o schimbare de para-metrizare, funciile gij se schimb dup formula:

gij =k

uil

ujgkl,

unde = h1 h.


Astfel c prima form fundamental, dei definit cu ajutorul unei parametri-zri, determin un obiect independent de parametrizare: o form biliniar, simetrici pozitiv definit, adic un produs scalar, pe TpS. Notm gp acest produs scalar.Matricea sa n baza {h1, h2} este (gij). Se poate, de asemenea, observa c asociereap 7 gp este difereniabil, deoarece coeficienii gij snt difereniabili, dar nu vomfolosi nc acest lucru.Observaia 3.4.2. E clar c g12 = h1, h2 = cos h1 h2 msoar un-ghiul al liniilor de coordonate n parametrizarea considerat. n particular, oparametrizare pentru care g12 = 0 se numete ortogonal.Exemplul 3.4.3. Pentru o suprafa de rotaie (vezi Exemplul 3.1.7), considerndcurba generatoare parametrizat canonic, avem:

g11 = 2, g12 = 0, g22 = 1,iar pentru o suprafa descris explicit (vezi Exemplul 3.1.5):

g11 = 1 + f21 , g12 = f1f2, g22 = 1 + f22 .

Cu ajutorul primei forme fundamentale se poate calcula lungimea curbelor,,mici" de pe o suprafa. Fie : [0, 1] R3 cu Im S. Atunci: L() = 10 .Dac imaginea lui e inclus ntr-un

Ornea_O Introducere in Geometria Diferentiala

Documents

Transcript of Ornea_O Introducere in Geometria Diferentiala