Fundamente mecanice

Noiuni elementare de calcul vectorial

Noiuni elementare de calcul vectorial

`

CUPRINS

Obiectivepag.4.1 Centre de mas (centre de greutate)pag.4.2 Centrul de mas al domeniilor materiale omogene uzualepag.4.3 Momente statice4.4 Momente de inerieLucrare de verificareRspunsuri i comentarii la testele de autoevaluareBibliografie selectiv

OBIECTIVE

Principalele obiective ale temei NOIUNI DE GEOMETRIA MASELOR sunt: ~ definirea centrului de mas (greutate); ~ pozitia centrului de mas pentru diverse domenii materiale omogene utilizate frecvent; ~ definirea momentelor statice; teorema momentelor statice; ~ prezentarea unor aplicaii rezolvate, pentru corpuri geometrice simple; ~ definirea momentelor de inerie; teorema Steiner - variaia momentelor de inerie n raport cu axe paralele respectiv concurente

4.1 Centre de mas (centre de greutate)4.1.1. Greutatea. Centrul de greutate (de mas)

Aa cum se arat n Fig. 4.1, toate particulele avnd masele , i aparinnd unui sistem de puncte materiale aflat la suprafaa Pmntului, sunt supuse aciunii cmpului gravitaional terestru care se manifest prin fora de atracie

(4.1)i care este numit for de greutate.

Fig. 4.1

Se observ c aceast for depinde de masa particulei materiale, , i de vectorul care este numit acceleraie gravitaional i care, la fel cu oricare alt mrime vectorial, este definit de urmtoarele elemente: modul variabil, n funcie de poziia particulei materiale pe globul terestru, n calcule considerndu-se valoarea de 9,81 m/s2 (valoarea este valabil pentru Paralela de 450 care trece i prin ara noastr); direcie aproximativ direcia razei Pmntului; sens dirijat ctre centrul Pmntului.Greutatea sistemului de puncte materiale reprezentat n Fig. 4.1 este

(4.2)innd seama de relaia (4.1), greutatea sistemului se scrie

(4.3)

n care s-a notat , masa total a sistemului de puncte materiale considerat.Pe un domeniu restrns n raport cu suprafaa total a globului terestru, cmpul gravitaional se consider constant, deci se poate neglija variaia intensitii i direciei vectorului acceleraie gravitaional, greutile ce acioneaz asupra particulelor materiale fiind considerate fore paralele, dirijate dup o direcie vertical i avnd sensul orientat n jos.Sistemul acestor fore paralele poate fi nlocuit cu o rezultant unic, numit greutate a sistemului de puncte materiale i care este definit de urmtoarele elemente caracteristice unei mrimi vectoriale: punct de aplicaie - este punctul numit centru de greutate i care reprezint centrul forelor de greutate, , considerate paralele; modul este dat de relaia ; direcie este dat de direcia axei centrale; sens este orientat n jos.Fiind centrul forelor paralele de greutate, centrul de greutate, , al sistemului de puncte materiale considerat, este caracterizat de vectorul de poziie

(4.4)relaie care demonstreaz c centrul de greutate al unui sistem de puncte materiale este un element geometric care depinde de modul de distribuire a maselor sistemului, ceea ce justific i denumirea de centru de mas. Observaie: Evident, centrul de greutate i centrul de mas sunt puncte confundate, diferena fiind dat de faptul c noiunea de centru de mas este independent de atracia universal.

Proieciile vectorului de poziie pe axele unui sistem cartezian triortogonal , definesc coordonatele centrului de mas al sistemului de puncte materiale considerat

(4.5)

Dac n relaiile (4.4) i (4.5) , deci masele sistemului de puncte materiale sunt repartizate continuu n spaiul ocupat de sistem, acesta devine un domeniu material continuu, , iar sumele din relaiile anterioare se transform n integrale, astfel nct se poate scrie

(4.6)

respectiv (4.7)

Pentru studiul centrului de mas al diferitelor domenii materiale, este necesar s se introduc noiunea de densitate medie, , prin trecere la limit, , obinndu-se relaia .

n cazul unui domeniu material cu masa repartizat tridimensional pe un volum cazul blocurilor sau corpurilor - este valabil relaia , n care, [kg/m3] se numete densitate volumetric.

n cazul unui domeniu material cu masa repartizat pe o suprafa de arie total cazul plcilor i membranelor - este valabil relaia , n care, [kg/m2] se numete densitate superficial.

n cazul unui domeniu material cu masa repartizat pe o curb de lungime total cazul barelor i firelor - este valabil relaia , n care, [kg/m] se numete densitate liniar.

n cazul domeniilor materiale realizate din acelai material i avnd aceeai form n seciune transversal, , iar pentru celelalte situaii, este variabil.nlocuind corespunztor n relaiile (4.6) i (4.7) elementul de mas , dup simplificri se obin relaiile pentru corpuri materiale: (4.8)

respectiv (4.9) pentru suprafee materiale: (4.10)

respectiv (4.11) pentru curbe materiale: (4.12)

respectiv (4.13)

4.1.2. Proprietile centrelor de masn literatra de specialitate au fost demonstrate urmtoarele proprieti generale ale centrelor de mas:1) poziia centrului de mas al unui sistem de puncte materiale sau al unui domeniu material continuu, nu depinde de sistemul de referin ales, ci numai de modul de distribuie a maselor sistemului de puncte materiale sau ale domeniului material continuu considerat;2) dac toate masele unui sistem de puncte materiale sau al unui domeniu material continuu, se multiplic/simplific cu acelai scalar, poziia centrului de mas nu se modific ceea ce conduce la concluzia c sistemele de puncte materiale sau domeniile materiale continue, realizate din materiale diferite dar omogene i care sunt identice din punct de vedere geometric, au centre de mas omoloage (coincid atunci cnd se suprapun sistemele sau domeniile materiale considerate);3) dac toate masele unui sistem de puncte materiale sau al unui domeniu material continuu, se afl pe o dreapt sau un plan, atunci i centrul de mas este situat pe acea dreapt sau n acel plan;4) dac un sistem de puncte materiale sau un domeniu material continuu, are plan, ax sau centru de simetrie, atunci centrul de mas se va gsi n acel plan, pe acea ax sau n acel centru de simetrie;5)

centrul de mas al unui domeniu material , format din pri numite subdomenii, , care au masele i centrele de mas n punctele , caracterizate de vectorii de poziie , , se identific cu centrul de mas al unui sistem de n puncte materiale cu masele concentrate n cele n centre de mas ale subdomeniilor .

Pornind de la expresiile vectorilor de poziie ai centrelor de mas, , ,

(4.14)

se determin vectorul de poziie al centrului de mas al domeniului material considerat (4.15)

Observaie: Dac unul sau mai multe dintre subdomeniile lipsesc (sunt extrase) din domeniul material, (D), considerat, relaia (4.15) rmne valabil, dar se atribuie semnul minus maselor care lipsesc (sunt extrase).4.2 Centrul de mas al domeniilor materiale omogene uzuale4.2.1 Centrul de mas al unui domeniu material omogen cu masa repartizat pe o curb a) centrul de mas al unei bare omogene drepte Din motive de simetrie, centrul de mas, , se gsete la jumtatea lungimii barei, pe axa sa de simetrie (vezi Fig. 4.2).

Fig. 4.2

b) centrul de mas al unei bare omogene cu form de arc de cercSe consider o bar omogen n form de arc de cerc, avnd raza i unghiul la centru [rad]. Din motive de simetrie, centrul de mas, , se va gsi pe bisectoarea unghiului.

Aa cum se vede n Fig. 4.3, la distana unghiular se alege o poriune de lungime elementar , de forma unui arc de cerc avnd unghiul la centru .

Fig.4.3

Bara elementar considerat poate fi asimilat cu o bar dreapt, al crei centru de mas se gsete la jumtatea lungimii sale, ntr-un punct de abscis . Abscisa centrului de mas al barei omogene n form de arc de cerc, se determin cu relaia

(4.16)4.2.2 Centrul de mas al unui domeniu material cu masa repartizat pe o suprafa a) centrul de mas al plcilor plane omogene cu centru de simetrieDin motive de simetrie, centrul de mas, , se gsete n centrul de simetrie al plcii plane omogene considerate.b) centrul de mas al unei plci plane omogene cu form triunghiular Se consider o plac plan de form triunghiular oarecare, , ca n Fig. 4.4.

Fig.4.4Se descompune suprafaa plcii n fii elementare, paralele cu latura , de exemplu, care pot fi asimilate cu bare drepte, al cror centru de mas se gsete la jumtatea lungimii lor. Locul geometric al centrelor de mas ale acestor bare este mediana .

Repetnd operaia i n raport cu celelalte laturi ale plcii plane triunghiulare considerate, se obin medianele i . Centrul de mas al plcii se va gsi la intersecia medianelor.c) centrul de mas al unei plci plane omogene cu form de sector de cercSe consider o plac omogen n form de sector de cerc, avnd raza i unghiul la centru [rad].

Fig.4.5Din motive de simetrie, centrul de mas, , se va gsi pe bisectoarea unghiului.

Aa cum se vede n Fig. 4.5, la distana se alege o plac elementar, de forma unui sector de cerc avnd unghiul la centru . Placa elementar considerat, poate fi asimilat cu o plac triunghiular, avnd baza de lungime , aria , i al crei centru de mas se gsete ntr-un punct de abscis . Abscisa centrului de mas al plcii omogene n form de sector de cerc, se determincu relaia

(4.17)4.2.3 Centrul de mas al unui volum omogen (blocuri sau corpuri)a) centrul de mas al unui volum omogen cu form de conSe consider un con circular drept, avnd nlimea i raza bazei , ca n Fig. 4.6.

Fig.4.6

La distana se consider un volum elementar, , ce poate fi asimilat unui cilindru cu raza . Din asemnarea triunghiurilor i rezult . Cota centrului de mas al conului se determin cu relaia

(4.18)b) centrul de mas al unui volum omogen cu form de semisfer

Se consider o semisfer, de raz , ca n Fig. 4.7. La distana se consider un volum elementar, , ce poate fi asimilat unui cilindru cu raza . Din triunghiul rezult .Cota centrului de mas al conului se determin cu relaia

(4.19)

Fig.4.7

Test de autoevaluare 4.1 Scriei rspunsul n spaiul liber.

Rspunsul la test se gsete la pagina ??.

1. Determinai poziia centrului de mas al unei plci plane omogene cu form de sector de cerc

4.3 Momente statice

n raport cu un sistem de referin cartezian, , poziia punctelor materiale ale sistemului considerat este caracterizat de vectorii de poziie , respectiv de coordonatele (Fig. 4.8).

Fig.4.8Momentele statice numite planare - n raport cu planele , respectiv , sunt definite de relaiile

(4.20)Momentul static numit polar - n raport cu punctul este definit de relaia

(4.21)Dac toate punctele materiale ale sistemului sunt situate n acelai plan (de exemplu ), atunci se definesc momentele statice - numite axiale - n raport cu axele acelui plan (de exemplu, respectiv ) cu relaiile

(4.22)Observaie: Din relaiile prezentate anterior, se observ c momentele statice planare sau axiale sunt mrimi scalare, iar momentul static polar este o mrime vectorial.

Din relaiile (4.5) care dau coordonatele centrului de mas, , pentru un sistem de puncte materiale, avnd n vedere c masa total a acestui sistem este , rezult

(4.23)Relaia (4.23) reprezint teorema momentelor statice, i se enun astfel: Momentul static al unui sistem de puncte materiale calculat n raport cu un plan, o ax sau un punct, este egal cu produsul dintre masa ntregului sistem de puncte materiale i distana de la centrul de mas al sistemului la planul, axa sau punctul considerat.Observaie: Relaia (4.23) conduce la concluzia c dac momentul static al unui sistem de puncte materiale calculat n raport cu un plan, o ax sau un punct este nul, atunci centrul de mas al sistemului se gsete n acel plan, respectiv pe acea ax sau n acel punct.Aceast observaie este i reciproc valabil, servind la rezolvarea unor importante probleme practice.n cazul unui domeniu material continuu, , sumele din relaiile anterioare se transform n integrale, astfel nct se poate defini momentul static

(4.24)Momentele statice n raport cu planele , respectiv , sunt definite de relaiile

(4.25)Momentul static n raport cu punctul , este definit de relaia

(4.26)Dac toate punctele materiale ale sistemului sunt situate toate ntr-un plan (de exemplu ), atunci se definesc momentele statice n raport cu axele acelui plan (de exemplu respectiv ), cu relaiile

(4.27)Relaiile de mai sus se pot extinde, cu acelai neles, i la domeniile materiale omogene particulare, prin nlocuirea elementului de mas, , cu elementul de volum, , de suprafa, , sau de lungime, , al domeniului considerat.

Unitile de msur pentru momentele statice sunt sau 4.4 Momente de inerie4.4.1. DefiniiiDefiniie: Se numete moment de inerie al unui sistem de puncte materiale n raportcu un plan, o ax sau un punct, suma produselor dintre masele punctelor materiale care alctuiesc sistemul i ptratele distanelor de la aceste puncte la planul, axa sau punctul considerat.Definiie: Se numete moment centrifugal al unui sistem de puncte materiale, suma produselor dintre masele punctelor materiale care alctuiesc sistemul i coordonatele acestor puncte n raport cu dou plane perpendiculare.

Se consider (vezi Fig. 4.8) un sistem de puncte materiale, , avnd masele . n raport cu un sistem de referin cartezian, , poziia punctelor materiale ale sistemului considerat este caracterizat de vectorii de poziie , respectiv de coordonatele , .Se definesc:a) momentele numite planare n raport cu planele , respectiv , cu relaiile

(4.28)b) momentele numite axiale n raport cu axele , respectiv , cu relaiile

(4.29)c) momentul numit polar n raport cu originea sistemului de referin cartezian , cu relaia

(4.40)d) momentele numite centrifugale cu relaiile

(4.41)n cazul unui domeniu material continuu, , sumele din relaiile anterioare se transform n integrale, astfel nct se pot definia) momentele numite planare n raport cu planele , respectiv , cu relaiile

(4.42)b) momentele numite axiale n raport cu axele , respectiv , cu relaiile

(4.43)c) momentul numit polar n raport cu originea sistemului de referin cartezian , cu relaia

(4.44)d) momentele numite centrifugale cu relaiile

(4.45)Momentele de inerie sunt mrimi geometrice ce caracterizeaz un sistem de puncte materiale sau un domeniu material continuu, din punctul de vedere al rspndirii masei sale. Ele sunt o msur a ineriei unui sistem de puncte materiale sau a unui domeniu material continuu n micare de rotaie. Momentele de inerie planare, axiale i polare sunt mrimi scalare pozitive (n cazuri particulare pot fi i nule) iar momentele de inerie centrifugale sunt mrimi scalare pozitive, negative sau nule.

Unitile de msur pentru momentele de inerie sunt sau

4.4.2. Relaii ntre momentele de inerieDin relaiile de definiie prezentate n paragraful anterior, se deduc cu uurin relaiile de legtur dintre momentele de inerie, dup cum urmeaz

(4.46)Observaie: n relaiile (4.46), numai ase dintre mrimi se consider independente (momentele de inerie axiale, i momentele centrifugale, ) n funcie de acestea putndu-se calcula celelalte momente de inerie.Observaie: n tehnic, n afara momentelor de inerie mecanice, definite anterior, se mai utilizeaz i momentele de inerie geometrice. Ele au expresii i denumiri similare cu cele ale momentelor de inerie mecanice i se obin din acestea prin nlocuirea elementului de mas, , cu elementul de volum, , de suprafa, , sau de lungime, , al domeniului material considerat.

Dac se noteaz cu momentul de inerie geometric, atunci este evident valabil relaia , n care, reprezint densitatea materialului. Relaia este valabil pentru domenii materiale continue, omogene, pentru care este constant.Definiie: se numete raz de inerie sau raz de giraie, distana fictiv fa de un plan, o ax sau un punct la care ar trebui plasat ntreaga mas - concentrat ntr-un singur punct a unui sistem de puncte materiale sau a unui domeniu material continuu, pentru a obine aceeai valoare a momentului de inerie ca i aceea dat de ntregul sistem de punctemateriale sau domeniu material continuu, considerat.

Notnd cu raza de inerie i cu masa sistemului de puncte materiale sau a domeniului material considerat, se poate scrie , de unde se obine4.4.3. Variaia momentelor de inerien cazul unui sistem de puncte materiale sau al unui domeniu material continuu, exist o infinitate de momente de inerie. n afara relaiilor de legtur prezentate n paragraful anterior, exist dou tipuri de relaii de legtur, eseniale pentru calculul oricrui moment de inerie: relaii ntre momentele de inerie scrise fa de un sistem de referin i cele scrise fa de un sistem de referin avnd axele paralele cu primul i originea n centrul de mas al sistemului de puncte materiale sau al domeniului material considerat. Aceste relaii de legtur exprim variaia momentelor de inerie fa de axe paralele; relaii ntre momentele de inerie scrise fa de un sistem de referin i cele scrise fa de un sistem de referin , avnd, ca i primul, originea n centrul de mas al sistemului de puncte materiale sau al domeniului material considerat, dar axele rotite cu un anumit unghi. Aceste relaii de legtur exprim variaia momentelor de inerie fa de axe concurente.a) Variaia momentelor de inerie fa de axe paraleleFie dou axe paralele, i situate la distana una fa de cealalt, axa trecnd prin centrul maselor, , al unui sistem de puncte materiale (vezi Fig.4.9). Se alege un sistem de referin cartezian, , avnd axa ca ax . n raport cu acest reper, coordonatele unui punct oarecare , de mas , care aparine sistemului de puncte materiale ales, sunt .Prin punctul se construiete planul paralel cu care ntlnete axa n punctul i axa n punctul .

Fig.4.9Momentul de inerie al sistemului de puncte materiale sau al domeniului material continuu considerat fa de axa , este

(4.47)innd cont c i sunt coordonatele punctului n care axa neap planul , se obine

(4.48)n relaia (4.48) se ine seama de urmtoarele observaii: ; este masa total a sistemului de puncte materiale; , n baza relaiei de definiie; ; .Deoarece centrul maselor sistemului de puncte materiale ales se gsete pe axa a sistemului de referin, el are coordonatele .

Se obine

(4.49)Relaia (4.49) reprezint teorema lui Steiner, i se enun astfel:Momentul de inerie calculat n raport cu o ax este egal cu momentul de inerie calculat n raport cu o alt ax , paralel cu prima i care trece prin centrul maselor unui sistem de puncte materiale, adunat cu produsul dintre masa total a sistemului i ptratul distanei dintre cele dou axe.Din teorema lui Steiner decurg urmtoarele proprieti ale momentelor de inerie fa de axe paralele: dintre toate momentele de inerie n raport cu axele paralele cu o direcie, momentul de inerie n raport cu axa care trece prin centrul de mas al sistemului de puncte materiale, este minim; locul geometric al axelor paralele fa de care momentele de inerie sunt egale, este un cilindru circular a crui ax de simetrie trece prin centrul de mas al sistemului de puncte materiale considerat i este paralel cu direcia dat.b) Variaia momentelor de inerie fa de axe concurenteSe consider un sistem de referin , n raport cu care se cunosc momentele de inerie axiale, , i momentele centrifugal , ale unui punct oarecare, , de mas , aparinnd unui sistem de puncte materiale. Poziia punctului fa de sistemul de referin ales, este definit de coordonatele .

Se poate determina momentul de inerie n raport cu o ax care trece prin i are direcia dat de cosinusurile directoare .Conform Fig. 4.10, momentul de inerie al sistemului de puncte materiale n raport cu axa este

(4.50)

unde este distana de la punctul la axa .

Punctul are poziia definit de vectorul de poziia

Fig.4.10

Versorul axei este este proiecia punctului pe axa i se poate scrie

deoarece i .Dup nlocuiri i gruparea convenabil a termenilor, relaia (4.50) devine

(4.51)n final, se obine

(4.52)4.4.4. Axe principale de inerie. Momente de inerie principale

S-a vzut c momentul de inerie calculat n raport cu o ax ce trece prin originea sistemului de axe de coordonate, , depinde de orientarea axei n raport cu sistemul considerat, dat de cosinusurile directoare.

Definiie: Dintre toate axele care trec prin punctul , acelea pentru care momentul de inerie ia valori extreme maxime i minime se numesc axe principale de inerie relative la punctul , iar momentele de inerie calculate n raport cu aceste axe se numesc momente de inerie principale relative la punctul i se noteaz .

Momentele de inerie principale rezult din impunerea condiiei de extrem funciei dat de relaia (4.52). Se arat c, folosind metoda multiplicatorilor Lagrange , aceast condiie se scrie:

(4.53)

Se obine astfel o ecuaie de gradul al treilea n care are ntotdeauna rdcini reale deoarece elementele determinantului sunt simetrice fa de diagonala principal. Rdcinile ale ecuaiei (4.53) sunt chiar momentele de inerie principale relative la punctul

O, notate .

Axele corespunztoare acestor momente de inerie sunt axele principale de inerie relative la punctul , i au ca parametrii directori, determinanii

(4.54)

unde pentru axele respectiv.Se demonstreaz urmtoarele proprieti ale axelor principale de inerie: axele principale de inerie formeaz un triedru ortogonal; momentele centrifugale calculate n raport cu axele principale de inerie sunt nule.Observaie: dac centrul de mas, , al sistemului de puncte materiale coincide cu originea sistemului de axe de coordonate, momentele de inerie calculate n raport cu axele ce trec prin acest punct, se numesc momente de inerie centrale.Momentele calculate n raport cu axele principale de inerie, relative la centrul de greutate se numesc momente de inerie centrale i principale i sunt momente de inerie maxime sau minime.

Test de autoevaluare 4.2 Scriei rspunsul n spaiul liber.

Rspunsul la test se gsete la pagina ??.

1. Demonstrai variaia momentelor de inerie n raport cu axele paralele. Enunai teorema lui Steiner

Rspunsurile i comentariile la testele de autoevaluare

Rspuns 4.11. Se consider o plac omogen n form de sector de cerc, avnd raza i unghiul la centru [rad].

Din motive de simetrie, centrul de mas, , se va gsi pe bisectoarea unghiului.

Aa cum se vede n figur, la distana se alege o plac elementar, de forma unui sector de cerc avnd unghiul la centru . Placa elementar considerat, poate fi asimilat cu o plac triunghiular, avnd baza de lungime , aria , i al crei centru de mas se gsete ntr-un punct de abscis . Abscisa centrului de mas al plcii omogene n form de sector de cerc, se determincu relaia

Rspuns 4.21. Fie dou axe paralele, i situate la distana una fa de cealalt, axa trecnd prin centrul maselor, , al unui sistem de puncte materiale. Se alege un sistem de referin cartezian, , avnd axa ca ax . n raport cu acest reper, coordonatele unui punct oarecare , de mas , care aparine sistemului de puncte materiale ales, sunt .Prin punctul se construiete planul paralel cu care ntlnete axa n punctul i axa n punctul .

Momentul de inerie al sistemului de puncte materiale sau al domeniului material continuu considerat fa de axa , este

innd cont c i sunt coordonatele punctului n care axa neap planul , se obine

Se ine seama de urmtoarele observaii: ; este masa total a sistemului de puncte materiale; , n baza relaiei de definiie; ; .Deoarece centrul maselor sistemului de puncte materiale ales se gsete pe axa a sistemului de referin, el are coordonatele .

Se obine Relaia reprezint teorema lui Steiner, i se enun astfel:Momentul de inerie calculat n raport cu o ax este egal cu momentul de inerie calculat n raport cu o alt ax , paralel cu prima i care trece prin centrul maselor unui sistem de puncte materiale, adunat cu produsul dintre masa total a sistemului i ptratul distanei dintre cele dou axe.

Bibliografie selectiv:

[1] Hangan, S., Sltineanu, I., Mecanica, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1983, pag. 37-56;[2] Rdoi, M., Deciu, E., Mecanica, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1977, pag. 71-83;[3] Voinea, R., .a., Introducere n mecanica solidului cu aplicaii n inginerie, Bucureti, Editura Academiei, 1989, pag. 35-42.

8

Mecanica9

Mecanicaaxa de simetrie