Ecuatii cu diferente

.

Ecuatii cu diferente

Notite de curs pentru studentii la Master:

Informatica aplicata ın stiinte, tehnica si economie

Stefan Balint, Mirela Darau

Cuprins

1 Ecuatii cu diferente 3

1.1 Probleme care conduc la ecuatii cu diferente de ordinul ıntai . . . . . . . . 3

1.2 Ecuatia cu diferente de ordinul ıntai liniara . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Ecuatia cu diferente de ordinul ıntai neliniara . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Metoda Newton-Raphson de rezolvare numerica a ecuatiei neliniare f(x)=0 12

1.5 Metoda simplificata a lui Newton de rezolvare numerica a ecuatiei neliniaref(x)=0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Metoda functiei Liapunov de investigare a stabilitatii unei solutii stationare 19

1.7 Domeniul de atractie al unei solutii stationare . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.8 Probleme care conduc la ecuatii cu diferenta de ordin superior . . . . . . . 23

1.9 Ecuatia cu diferente de ordinul k liniara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Sisteme de ecuatii cu diferente 31

2.1 Probleme care conduc la sisteme de ecuatii cu diferente . . . . . . . . . . . 31

2.2 Sistem de ecuatii de ordinul ıntai liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 Sistem de ecuatii cu diferente de ordinul ıntai neliniar . . . . . . . . . . . . 35

2.4 Metoda lui Newton-Raphson de rezolvare a sistemelor de ecuatii neliniareF(X)=0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.5 Metoda simplificata a lui Newton de rezolvare numerica a sistemului deecuatii neliniare F(X)=0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.6 Metoda functiei Liapunov de investigare a stabilitatii unei solutii stationare 46

2.7 Domeniul de atractie al unei solutii stationare . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1

2 CUPRINS

Capitolul 1

Ecuatii cu diferente

1.1 Probleme care conduc la ecuatii cu diferente de

ordinul ıntai

1.Peter Minuit a cumparat ın 1626 insula Manhattan cu 24 de dolari. Care ar fi fostevolutia ın timp a acestei sume de bani daca ar fi fost depusa la o banca, cu o dobandaanuala de 7%?R: x(n + 1) = 1.0175 · x(n).

2.Determinati legea de evolutie ın timp a soldului ıntr-un depozit bancar cu dobandala vedere daca rata dobanzii depinde doar de momentul de timp (nu si de valoareasoldului) si este data de p(n), iar rata de depunere sau de retragere q(n) este de asemeneaindependenta de valoarea soldului si depinde doar de momentul de timp.R: x(n + 1) = p(n)x(n) + q(n), x(0) = 24.

3.Masa unei substante radioactive descreste ın timp. Descresterea ıntr-o perioada detimp fixata este proportionala cu masa existenta la ınceputul perioadei. Care este legeade evolutie ın timp a masei substantei radioactive?R: x(n + 1) = (1− α)x(n) 0 < α < 1.

4.Populatia unei culturi de bacterii creste ın timp, iar cresterea ıntr-o perioada de timpfixata este proportionala cu populatia de la ınceputul perioadei. Presupunand ca bacteriilenu mor, determinati legea de evolutie ın timp a unei populatii de bacterii.R: x(n + 1) = (1 + α)x(n) α > 0.

5.Temperatura unui corp pus ıntr-un rezervor mare cu apa, avand temperatura constantamai mica decat cea a corpului, descreste. Diferenta dintre temperatura corpului si a apeieste, dupa o perioada de timp fixata, proportionala cu diferenta de temperatura initiala.Care este legea de evolutie a temperaturii corpului?R: x(n + 1)− Tapa = α[x(n)− Tapa], 0 < α < 1 x(n + 1) = α · x(n) + (1− α)Tapa.

6.O metoda de rezolvare numerica a ecuatiei neliniare f(x) = 0, conceputa de Newton-Raphson, consta ın alegerea unui x0 la ıntamplare, constructia sirului de iteratii definit

3

4 Ecuatii cu diferente

prin

x(n + 1) = x(n)− f(x(n))

f ′(x(n)), x(0) = x0,

si investigarea existentei limitei acestui sir.

7.Metoda lui Newton simplificata de rezolvare numerica a ecuatiei neliniare f(x) = 0consta ın alegerea unui x0 la ıntamplare, constructia sirului de iteratii definit prin

x(n + 1) = x(n)− f(x(n))

f ′(x0), x(0) = x0,

si investigarea existentei limitei acestui sir.

Observatia 1.1. Ceea ce este comun la aceste probleme este ca ele cer determinarea unuisir sau analiza convergentei si gasirea limitei.

Definitia 1.1. Fie f : N × Ω2 → R1, Ω2 ⊂ R2, o functie data. Problema determinariituturor functiilor (sirurilor) x : N→ R1 care verifica (x(n), x(n + 1)) ∈ Ω2, ∀n ∈ N si

f(n, x(n), x(n + 1)) = 0 ∀n ∈ N, (1.1.1)

se numeste ecuatie cu diferente de ordinul ıntai implicita.

Definitia 1.2. Fie g : N × Ω1 → R1, Ω1 ⊂ R1, o functie data. Problema determinariituturor functiilor (sirurilor) x : N→ Ω1 care verifica

x(n + 1) = g(n, x(n)) ∀n ∈ N, (1.1.2)

se numeste ecuatie cu diferente de ordinul ıntai explicita.

1.2 Ecuatia cu diferente de ordinul ıntai liniara

Definitia 1.3. Fie p, q : N→ R. Ecuatia cu diferente de ordinul ıntai explicita

x(n + 1) = p(n) · x(n) + q(n) (1.2.3)

se numeste ecuatie cu diferente de ordinul ıntai liniara.Daca q(n) = 0 ∀n ∈ N, atunci ecuatia (1.2.3) este omogena.Daca ∃n0 astfel ıncat q(n0) 6= 0 atunci ecuatia (1.2.3) este neomogena.

Teorema 1.1 (de existenta si unicitate a solutiei pentru ecuatia omogena).Pentru orice x0 ∈ R1 exista o singura solutie x(n; x0) a ecuatiei omogene

x(n + 1) = p(n)x(n) (1.2.4)

care verifica conditia initiala x(0) = x0, si aceasta este data de formula:

x(n + 1; x0) = [n∏

i=0

p(i)] · x0 n ≥ 0. (1.2.5)

Ecuatia cu diferente de ordinul ıntai neliniara 5

Demonstratie. Se arata prin inductie ca daca un sir x(n) verifica (1.2.4) si conditia initialax(0) = x0, atunci termenii acestui sir sunt dati de (1.2.5).

Consecinta 1.1. Multimea solutiilor ecuatiei omogene (1.2.4) este un subspatiu vectorialunidimensional al spatiului vectorial real al tuturor sirurilor de numere reale.

Consecinta 1.2. Daca exista n0 ∈ N astfel ıncat p(n0) = 0 atunci ∀x0 ∈ R1 si ∀n ≥ n0

avem x(n + 1; x0) = 0.

Consecinta 1.3. Daca ∀n ∈ N p(n) 6= 0 atunci ∀y0 ∈ R1 si ∀n ≥ 1 ∃!x0 ∈ R1 astfelıncat x(n + 1; x0) = y0.

Teorema 1.2 (de existenta a unei solutii pentru ecuatia neomogena). Sirul x(n)definit prin:

x(0) = 0

si

x(n + 1) =n∑

i=0

[n∏

j=i+1

p(j)]q(i) (1.2.6)

este o solutie pentru ecuatia neomogena (1.2.3).

Demonstratie. Prin verificare.

Teorema 1.3 (de existenta si unicitate a solutiei pentru ecuatia neomogena).Pentru orice x0 ∈ R1 exista o singura solutie x(n; x0) a ecuatiei neomogene (1.2.3) careverifica x(0; x0) = x0, si aceasta este data de formula:

x(n + 1; x0) = [n∏

i=0

p(i)]x0 +n∑

i=0

[n∏

j=i+1

p(j)]q(i). (1.2.7)

Demonstratie. Se arata ca diferenta dintre solutia cautata x(n, x0) si solutia x(n) gasitala teorema 1.2 este solutia (1.2.5) a ecuatiei omogene.

Consecinta 1.4. Daca pentru orice n ∈ N p(n) 6= 0, atunci pentru orice y0 ∈ R1 si oricen ≥ 1 exista un singur x0 astfel ıncat x(n + 1; x0) = y0.

Consecinta 1.5. Daca exista n0 ∈ N astfel ıncat p(n0) = 0 atunci pentru orice n ≥ n0

si orice x0 ∈ R are locx(n + 1; x0) = x(n + 1) = x(n0).

1.3 Ecuatia cu diferente de ordinul ıntai neliniara

O ecuatie cu diferente de ordinul ıntai explicita are forma:

x(n + 1) = g(n, x(n)) ∀n ∈ N, (1.3.8)

ın care functia g : N × Ω1 → R1, Ω1 ⊂ R1 este data, si se cere sa se determine toatesirurile x : N→ Ω1 care verifica (1.3.8).

Daca functia g are forma g(n, x) = p(n)x + q(n), atunci (1.3.8) este ecuatie cu diferentede ordinul ıntai liniara, si a fost studiata ınainte.


Definitia 1.4. Daca functia g nu depinde liniar de x, atunci ecuatia (1.3.8) este ecuatiede ordinul ıntai neliniara.

De exemplu, ecuatia x(n+1) = nx2(n) este o ecuatie cu diferente de ordinul ıntai neliniara.In acest caz g : N× R1 → R1 este data de g(n, x) = nx2.

Definitia 1.5. Daca functia g ın ecuatia (1.3.8) nu depinde de n si functia g depindeneliniar de x atunci ecuatia este ecuatie cu dferente de ordinul ıntai neliniara autonoma.

De exemplu, ecuatia x(n + 1) = x2(n) este o ecuatie cu dferente de ordinul ıntai neliniaraautonoma. In acest caz g : N× R1 → R1 este data de g(n, x) = x2.

Fie g : Ω1 → Ω1, Ω1 ⊂ R1 o functie continua si ecuatia cu diferente de ordinul ıntaineliniara autonoma

x(n + 1) = g(x(n)). (1.3.9)

Teorema 1.4 (de existenta si unicitate). Pentru orice x0 ∈ Ω1 exista o singura solutiex(n; x0) a ecuatiei neliniare (1.3.9) care verifica conditia initiala x(0, x0) = x0, si aceastasolutie este data de formula

x(n, x0) = g(n)(x0) (1.3.10)

unde g(n) reprezinta compunerea functiei g cu ea ınsasi de n ori, iar g(0) este functiaidentica.

Demonstratie. Se arata prin inductie ca daca un sir x(n) verifica (1.3.9) si conditia initialax(0) = x0, atunci termenii acestui sir sunt dati de (1.3.10) si reciproc.

Observatia 1.2. Formula de reprezentare (1.3.10) foloseste functia compusa g(n) careadesea este greu de determinat. De aceea determinarea efectiva a solutiilor pe aceasta calenu este posibila ın general, si analiza care se face este un studiu calitativ si de comportareasimptotica a solutiilor (ce se ıntampla cu o solutie daca n tinde la infinit).

Definitia 1.6. Solutia x(n, x0) = g(n)(x0) este periodica de perioada l, daca exista l ∈ N,l ≥ 2 astfel ıncat sa aiba loc egalitatea

x(n + l, x0) = x(n, x0) ∀n ∈ N, (1.3.11)

si nu exista l′ ∈ N, 1 ≤ l′ < l pentru care are loc egalitatea (1.3.11).

Observatia 1.3. Daca (1.3.11) are loc pentru l = 1, atunci solutia x(n, x0) estestationara, x(n + 1, x0) = x(n, x0) = x0 ∀n, si x0 are proprietatea

g(x0) = x0.

Aceasta din urma proprietate a lui x0 arata ca x0 este un punct fix pentru g. De exempludaca g(x) = x2−1 atunci x0

1 = 12−√

52

si x02 = 1

2+√

52

sunt puncte fixe pentru g, iar solutiilex(n; x0

1) si x(n; x02) ale ecuatiei neliniare x(n + 1) = x2(n)− 1 sunt solutii stationare.

Daca functia g este liniara g(x) = px + q atunci x0 = q1−p

este punct fix pentru g, iar

solutia x(n; x0) a ecuatiei liniare x(n + 1) = px(n) + q este stationara.

Propozitia 1.1. Solutia x(n, x0) este periodica de perioada l ≥ 2 daca si numai dacag(l)(x0) = x0 si pentru orice l′ ∈ N, 1 ≤ l′ < l, g(l′)(x0) 6= x0.


Demonstratie. Formula (1.3.11) pentru n = 0 implica x(l, x0) = x(0, x0) = x0. De aicirezulta g(l)(x0) = x0. Daca g(l)(x0) = x0 atunci x(n+ l, x0) = g(n+l)(x0) = g(n)(g(l)(x0)) =g(n)(x0) = x(n, x0) pentru orice n ∈ N.Daca prin absurd exista l′ ∈ N, 1 ≤ l′ < l, astfel ıncat g(l′)(x0) = x0, atunci pentru oricen ∈ N avem g(n+l′)(x0) = g(l′)(x0), sau altfel, x(n + l′, x0) = x(l′, x0), ceea ce arata casolutia periodica x(n, x0) are perioada mai mica decat l, sau este stationara.

De exemplu pentru ecuatia x(n+1) = x2(n)−1, solutia x(n; 0) este periodica de perioada2.

Observatia 1.4. Ecuatia liniara neomogena cu coeficienti constanti x(n+1) = px(n)+qnu are solutii periodice de perioada l ≥ 2.

Propozitia 1.2. Daca solutia x(n; x0) este periodica de perioada l ≥ 2, atunci termeniix(0; x0), x(1; x0),..., x(l − 1; x0) ai sirului x(n; x0) sunt diferiti, si orice termen x(n; x0),cu n ≥ l apartine multimii x(0; x0), x(1; x0), . . . , x(l − 1; x0).

Demonstratie. Orice n ≥ l poate fi scris sub forma n = ml + q, unde m ∈ N − 0 siq ∈ 0, 1, 2, . . . l − 1. Rezulta de aici egalitatile si apartenenta:

x(n; x0) = g(n)(x0) = g(q)(g(ml)(x0)) = g(q)(x0) ∈ x(0; x0), x(1; x0), . . . , x(l − 1; x0).

Daca dintre termenii x(0; x0), x(1; x0),...,x(l − 1; x0) doi ar fi egali, atunci ar exista:0 ≤ r < s ≤ l − 1 astfel ıncat x(r; x0) = x(s; x0). De aici rezulta ca avemx(r+k; x0) = x(s+k; x0) ∀k ∈ N. Pentru k = l−1−s avem x(r+l−1−s; x0) = x(l−1; x0)si deci x(r + l − s; x0) = x0. De aici rezulta ca x(r + l − s + k; x0) = x(k; x0) ∀k ∈ N.Acest rezultat este absurd pentru ca r + l− s < l si conform ipotezei perioada este l.

Propozitia 1.3. Daca solutia x(n; x0) este periodica de perioada l ≥ 2, atunci oricarear fi y0 ∈ x(0; x0), x(1; x0), . . . , x(l − 1; x0) solutia x(n; y0) este periodica de aceeasiperioada l si, ın plus, are loc egalitatea

x(0; y0), x(1; y0), . . . , x(l − 1; y0) = x(0; x0), x(1; x0), . . . , x(l − 1; x0)

Demonstratie. Deoarece y0 ∈ x(0; x0), x(1; x0), . . . , x(l − 1; x0) exista 0 ≤ s ≤ l − 1astfel ıncat y0 = x(s; x0). Rezulta ca pentru orice n avem

x(n; y0) = x(n; x(s, x0)) = x(n + s; x0).

Din aceasta egalitate rezulta afirmatia facuta.

Propozitia 1.4. Solutiile constante ale ecuatiei x(n+1) = g(x(n)) se obtin pentru conditiiinitiale x0 care verifica ecuatia

g(x)− x = 0 (1.3.12)

adica pentru conditii initiale ce sunt puncte fixe pentru aplicatia g.Solutiile periodice de perioada l ≥ 2 ale ecuatiei x(n+1) = g(x(n)) se obtin pentru conditiiinitiale x0 care verifica ecuatia

g(l)(x)− x = 0 (1.3.13)

adica pentru conditii initiale ce sunt puncte fixe pentru aplicatia g(l).


Demonstratie. Rezulta din cele aratate pana acum.

Observatia 1.5. Aplicatiile g si g(l), fiind continue, multimea solutiilor ecuatiei (1.3.12)precum si cea a solutiilor ecuatiei (1.3.13) este ınchisa.

Definitia 1.7. O submultime Ω1′ ⊂ Ω1 este invarianta ın raport cu ecuatia (1.3.9) daca

g(Ω1′) ⊂ Ω1

′.

Observatia 1.6. Ω1′ este o multime invarianta daca si numai daca g(n)(Ω1

′) ⊂ Ω1′ pentru

orice n ∈ N.

Propozitia 1.5. 1. Oricare ar fi x0 ∈ Ω, multimea x(0; x0), x(1; x0), . . . , x(n; x0), . . .este o multime invarianta ın raport cu ecuatia (1.3.9).

2. Reuniunea unei familii de multimi invariante este o multime invarianta ın raportcu ecuatia (1.3.9).

3. Intersectia unei familii de multimi invariante este o multime invarianta ın raportcu ecuatia (1.3.9).

Demonstratie. 1. Daca y ∈ x(0; x0), x(1; x0), . . . , x(n; x0), . . . atunci exista k ∈ N astfelıncat y = x(k; x0) = g(k)(x0). Rezulta ca g(y) = g(k+1)(x0) = x(k + 1; x0). Rezulta astfelapartenenta g(y) ∈ x(0; x0), x(1; x0), . . . , x(n; x0), . . ..2. Fie Ωjj∈J o familie de multimi invariante ın raport cu ecuatia (1.3.9), Ωj ⊂ Ω1, si fie

Ω =⋃j∈J

Ωj.

Din relatiile:

g(Ω) = g(⋃j∈J

Ωj) =⋃j∈J

g(Ωj) ⊂⋃j∈J

Ωj = Ω

rezulta ca multimea Ω este invarianta ın raport cu ecuatia (1.3.9).3. Consideram acum intersectia

Ω =⋂j∈J

Ωj.

Din relatiile:

g(Ω) = g(⋂j∈J

Ωj) ⊂⋂j∈J

g(Ωj) ⊂⋂j∈J

Ωj = Ω

rezulta ca multimea Ω este invarianta ın raport cu ecuatia (1.3.9).

Definitia 1.8. Multimea x(0; x0), x(1; x0), . . . , x(n; x0), . . . se numeste orbita punctuluix0 si va fi notata cu θ(x0):

θ(x0) = x0, g(x0), g(2)(x0), . . . , g(n)(x0), . . .

Definitia 1.9. Un punct x ∈ R se numeste punct ω-limita a orbitei θ(x0) daca exista unsir (kl) de numere naturale care tinde la ∞, pentru care g(kl)(x0) → x pentru l → ∞.Multimea punctelor ω-limita a orbitei θ(x0) se va nota cu ω(x0).

Propozitia 1.6. Daca y ∈ θ(x0) atunci ω(y) = ω(x0).


Demonstratie. Daca x ∈ ω(y) atunci exista un sir (kl) de numere naturale care tinde la∞, pentru care g(kl)(y) → x pentru l →∞. Deoarece y ∈ θ(x0), exista q ∈ N astfel ıncaty = g(q)(x0). Prin urmare sirul g(kl+q)(x0) → x pentru l → ∞. Sirul (pl) cu pl = kl + qeste un sir de numere naturale care tinde la ∞ si g(pl)(y) → x. Astfel rezulta apartenentax ∈ ω(x0) si ın final incluziunea ω(y) ⊂ ω(x0).Daca x ∈ ω(x0) atunci exista un sir de numere naturale (kl) care tinde la ∞, astefel ıncatg(kl)(y) → x pentru l → ∞. Deoarece y ∈ θ(x0), exista k′ ∈ N astfel ıncat y = g(k′)(x0).Pentru kl > k′ avem

g(kl)(x0) = g(kl−k′)(g(k′)(x0)) = g(kl−k′)(y) = g(ql)(y),

unde ql = kl−k′ este un sir de numere naturale, care tinde la∞, pentru l suficient de mare.Am obtinut astfel un sir de numere naturale ql →∞ pentru care g(ql)(y) = g(kl)(x0) → xpentru l → ∞. Aceasta demonstreaza apartenenta x ∈ ω(y) si ın final incluziuneaω(x0) ⊂ ω(y).Incluziunile obtinute demonstreaza egalitatea ω(x0) = ω(y)

Observatia 1.7. Daca A ⊂ Ω1 este o multime invarianta si ınchisa, atunci ω(a) ⊂ Apentru orice a ∈ A.

Propozitia 1.7. Oricare ar fi x0 ∈ Ω1, multimea ω(x0) este invarianta si ınchisa.

Demonstratie. Fie y ∈ ω(x0) si kl → ∞ pentru l → ∞, astfel ıncat g(kl)(x0) → y pentrul → ∞. Deoarece g este functie continua, g(g(kl))(x0) → g(y) pentru l → ∞, sau altfelg(kl+1)(x0) → g(y) pentru l →∞. Aceasta arata ca g(y) ∈ ω(x0) si prin urmare multimeaω(x0) este invarianta ın raport cu ecuatia (1.3.9). Fie acum y ∈ ¯ω(x0) si m ∈ N, m ≥ 1.Exista ym ∈ ω(x0) astfel ıncat |ym − y| < 1

2m si km astfel ıncat |g(km)(x0) − ym| < 12m .

Rezulta de aici inegalitatea:

|g(km)(x0)− y| < |g(km)(x0)− ym|+ |ym − y| < 1

2m−1

si astfel convergenta g(km)(x0) → y pentru m → ∞. Aceasta demonstreaza apartenentay ∈ ω(x0) si ın final incluziunea ¯ω(x0) ⊂ ω(x0).

Definitia 1.10. O multime A ⊂ Ω1 invarianta si ınchisa se numeste atractiva, dacaexista o multime deschisa V care contine pe A cu proprietatea

g(k)(x) −−−→k→∞

A, ∀x ∈ V.

Convergenta g(k)(x) → A, k →∞ ınseamna ca distanta dintre g(k)(x) si A tinde la 0.

Observatia 1.8. O multime A se numeste atractor pentru ecuatia (1.3.9), daca A esteo multime atractiva si contine o orbita densa.

Exemple 1.1. 1. Pentru ecuatia x(n + 1) = [x(n)]2 , x ∈ R1, urmatoarele multimi suntinvariante: (0,∞); (a,∞) cu a ≤ 0; (0, 1).2. Pentru ecuatia x(n + 1) = [x(n)]2 , x ∈ R1, avem: ω(1

2) = 0; ω(2) = ∞;

ω(−2) = ∞.3. Pentru ecuatia x(n + 1) = g(x(n)) cu g(x) = x2−2

2x−3, x > 3

2, multimea A = 2 este

atractor.4. Pentru ecuatia x(n + 1) = g(x(n)) cu g(x) = x2−2

2x−3, x < 3

2, multimea A = 1 este

atractor.5. Multimea A = 0 este atractor ın cazul ecuatiei x(n + 1) = x(n)− 1 + e−x(n), x ∈ R1.


Definitia 1.11. O solutie stationara x(n; x0) ≡ x0 a ecuatiei (1.3.9) este stabila dacapentru orice ε > 0 exista δ = δ(ε) > 0 astfel ıncat pentru orice x1 cu |x1− x0| < δ rezulta|x(n, x1)− x0| < ε, pentru orice n ∈ N.Solutia stationara x(n; x0) ≡ x0 a ecuatiei (1.3.9) este instabila daca ea nu este stabila.

Definitia 1.12. Daca solutia stationara x(n; x0) ≡ x0 a ecuatiei (1.3.9) este stabila sidaca exista r > 0 astfel ıncat pentru orice x1 ∈ Ω1 cu |x1 − x0| < r avem x(n, x1) → x0

pentru n →∞, atunci solutia stationara x(n; x0) ≡ x0 este asimptotic stabila.

Definitia 1.13. O solutie periodica de perioada l, x(n, x0), a ecuatiei (1.3.9) este stabila(asimptotic stabila) daca solutiile stationare ale ecuatiei

x(n + 1) = g(l)(x(n), ) (1.3.14)

ce pleaca din punctele orbitei θ(x0), sunt stabile (asimptotic stabile).

Exemple 1.2. 1. Ecuatia neliniara

x(n + 1) = 2x(n)[1− x(n)]

are doua solutii stationare: x(n) ≡ 0 si x(n) ≡ 12. Solutia stationara x(n) ≡ 0 este

instabila, iar solutia stationara x(n) ≡ 12

este asimptotic stabila.2. Ecuatia liniara

x(n + 1) = x(n)

are toate solutiile stationare: x(n) ≡ x(0) sau x(n; x0) = x0. Fiecare solutie stationara(deci fiecare solutie) este stabila, dar nu este asimptotic stabila.3. Ecuatia neliniara

x(n + 1) = [x(n)]2 − 1

are doua solutii stationare: x1(n; 12−

√5

2) ≡ 1

2−

√5

2si x2(n; 1

2+

√5

2) ≡ 1

2+

√5

2. Solutia

stationara x1(n; 12−√

52

) ≡ 12−√

52

este asimptotic stabila, iar solutia x2(n; 12+√

52

) ≡ 12+√

52

este instabila.Aceeasi ecuatie are doua solutii periodice de perioada 2, x2

1(n; 0) si x22(n; 1):

x21(n; 0) 0 1 0 1 . . .

x22(n; 1) 1 0 1 0 . . .

Ambele solutii periodice sunt asimptotic stabile.

Propozitia 1.8. Solutia stationara x(n; x0) a ecuatiei (1.3.9) este stabila (asimptoticstabila) daca si numai daca solutia stationara y(n; 0) a ecuatiei perturbate

y(n + 1) = h(y(n)) (1.3.15)

este stabila (asimptotic stabila), unde h : Ω1 − x0 → Ω1 − x0, h(y) = g(y + x0) − x0,∀y ∈ Ω1 − x0.

Demonstratie. Aratam ca pentru orice y ∈ Ω1 − x0 are loc egalitatea

h(k)(y) = g(k)(y + x0)− x0 ∀y ∈ Ω1 − x0 (1.3.16)


Pentru k = 0 egalitatea (1.3.16) revine la y = y + x0 − x0 ceea ce este evident adevaratpentru orice y ∈ Ω1−x0. Pentru k = 1 egalitatea (1.3.16) revine la h(y) = g(y +x0)−x0.Aceasta egalitate este adevarata ın virtutea definitiei functiei h. Pentru k = 2 egalitatea(1.3.16) ınseamna h(2)(y) = g(2)(y + x0) − x0. Ca sa aratam aceasta egalitate din urma,calculam h(2)(y) si gasim:

h(2)(y) = h(h(y)) = h(g(y+x0)−x0) = g(g(y+x0)−x0+x0)−x0 = g(g(y+x0))−x0 = g(2)(y+x0)−x0.

Presupunem egalitatea (1.3.16) adevarata pentru k si aratam ca este adevarata pentruk + 1.

h(k+1)(y) = h(h(k)(y)) = h(g(k)(y+x0)−x0) = g(g(k)(y+x0)−x0+x0)−x0 = g(k+1)(y+x0)−x0.

Astfel egalitatea (1.3.16) a fost demonstrata.Din(1.3.16) rezulta urmatoarele echivalente:

|h(k)(y)| < ε ⇔ |g(k)(y + x0)− x0| < ε ∀k ∈ N, ∀ε > 0 si ∀y ∈ Ω1 − x0

|h(k)(y)| → 0 pentru k →∞⇔ g(k)(y + x0) → x0 pentru k →∞,∀y ∈ Ω1 − x0.

De aici rezulta afirmatia din propozitie.

Observatia 1.9. Propozitia 1.8 reduce stabilitatea (stabilitatea asimptotica) unei solutiistationare x(n; x0) ≡ x0 a ecuatiei (1.3.9) la stabilitatea (stabilitatea asimptotica) solutieistationare identic nule y(n; 0) ≡ 0 a ecuatiei perturbate (1.3.15).

Propozitia 1.9. Daca functia h din ecuatia (1.3.15) este de clasa C1, h(0) = 0 si|h′(0)| < 1, atunci solutia stationara nula y(n; 0) ≡ 0 a ecuatiei (1.3.15) este asimptoticstabila.

Demonstratie. Fie α > 0 astfel ıncat |h′(0)| < α < 1. Din continuitatea functiei y 7→|h′(y)| rezulta ca exista δ > 0 astfel ıncat pentru orice y cu |y| < δ avem |h′(y)| ≤ α. Cuteorema lui Lagrange rezulta ca, pentru y′, y′′ ∈ (−δ, δ) avem |h(y′)−h(y′′)| < α|y′− y′′|.De aici rezulta egalitatea |h(y)| ≤ α|y|, pentru orice y ∈ (−δ, δ). Prin inductie rezulta ıncontinuare |h(k)(y)| ≤ αk|y|, pentru y ∈ (−δ, δ). Deoarece αk → 0 pentru k →∞, rezultaca |h(k)(y)| → 0 pentru k →∞, pentru orice y ∈ (−δ, δ).Pentru ε > 0 consideram δ′ = minε, δ apoi y cu |y| < δ′ si estimam |g(k)(y)| obtinand|g(k)(y)| ≤ αk|y| < |y| < ε.Rezultatul arata ca solutia stationara y(k; 0) ≡ 0 a ecuatiei (1.3.15) este asimptoticstabila.

Observatia 1.10. Daca functia g din ecuatia (1.3.9) este clasa C1, x(n; x0) = x0 estesolutie stationara pentru ecuatia (1.3.9) si |g′(x0)| < 1, atunci solutia stationara esteasimptotic stabila.

Exemple 1.3. 1. Verificati ca solutia stationara x(n; 2) ≡ 2 a ecuatiei

x(n + 1) =[x(n)]2 − 2

2x(n)− 3x >

3

2

este asimptotic stabila.2. Verificati ca solutia stationara x(n; 1) ≡ 1 a ecuatiei

x(n + 1) =[x(n)]2 − 2

2x(n)− 3x <

3

2



x(n + 1) =2

3x(n) x ∈ R1


x(n + 1) = x(n)− 1 + e−x(n) x ∈ R1

este asimptotic stabila.5. Arati ca daca x(n; 0) ≡ 0 este solutia stationara a ecuatiei

x(n + 1) = g(x(n)) x ∈ R1

si |g′(0)| > 1, atunci solutia stationara este instabila.

1.4 Metoda Newton-Raphson de rezolvare numerica

a ecuatiei neliniare f(x)=0

Fie functia f : Ω1 ⊂ R1 → R1 de clasa C1 pe Ω1. Rezolvarea numerica a ecuatiei

f(x) = 0 (1.4.17)

cu metoda Newton-Raphson ınseamna considerarea ecuatiei cu diferente

x(n + 1) = x(n)− f(x(n))

f ′(x(n))n ∈ N (1.4.18)

cu conditia initiala x0 ∈ Ω1, si determinarea limitei solutiei x(n; x0) daca acestea (solutiasi limita) exista.

Observatia 1.11. Ecautia (1.4.18) este definita de functia

g(x) = x− f(x)

f ′(x)(1.4.19)

care are sens doar pentru x ∈ Ω1 pentru care f ′(x) 6= 0. Presupunand ca f ′(x) 6= 0∀x ∈ Ω1, functia g este definita pe Ω1 si este continua pe Ω1. Aceasta ınsa nu estesuficient pentru ca ecuatia cu diferente (1.4.18) sa aiba solutie pentru orice x0 ∈ Ω1. Inplus, este necesar ca functia g sa invarieze Ω1, aceasta ıncrucat daca g(Ω1) * Ω1 atunciexista x0 ∈ Ω1 astfel ıncat g(x0) = x1 nu apartine multimii Ω1 si nu mai are sens g(x1).

Pentru elucidarea legaturii dintre solutiile ecuatiei (1.4.17) (atunci cand acestea exista) silimitele solutiilor ecuatiei cu diferente (1.4.18), demonstram urmatoarea propozitie.

Propozitia 1.10. Daca f ′(x) 6= 0 ∀x ∈ Ω1 si g(x) = x − f(x)f ′(x)

invariaza intervalul Ω1

(g(Ω1) ⊂ Ω1) atunci x∗ ∈ Ω1 este solutie a ecuatiei (1.4.17) daca si numai daca existax0 ∈ Ω1, astfel ıncat solutia ecuatiei (1.4.18) care verifica conditia initiala x(0) = x0 tindela x∗.

Metoda Newton-Raphson de rezolvare numerica a ecuatiei neliniare f(x)=0 13

Demonstratie. Fie x∗ ∈ Ω1 solutie a ecuatiei (1.4.17). Consideram x0 = x∗ si solutiaecuatiei (1.4.18) care verifica conditia initiala x(0) = x∗; x(n; x∗) n ∈ N. Este usorde verificat ca solutia x(n; x∗) este stationara: x(n; x∗) = x∗. Rezulta de aici calimn→∞ x(n; x∗) = x∗. Prin urmare solutia x(n; x∗) a ecuatiei (1.4.18) are proprietateax(n; x∗) → x∗ pentru n →∞.Fie acum x0 ∈ Ω1 cu proprietatea ca solutia x(n; x0) a ecuatiei (1.4.18) converge lax∗ ∈ Ω1; x(n; x∗) → x∗ pentru n →∞. Din egalitatea:

x(n + 1; x0) = x(n; x0)− f(x(n))

f ′(x(n))

prin trecere la limita pentru n →∞, rezulta:

x∗ = x∗ − f(x∗)f ′(x∗)

de unde se obtine egalitatea f(x∗) = 0. Aceasta arata ca x∗ este solutie a ecuatiei(1.4.17).

Urmeaza o propozitie care arata ca daca functia f este de clasa C2 atunci orice solutiex∗ ∈ Ω1 a ecuatiei (1.4.17) ın care f ′(x∗) 6= 0 poate fi obtinuta cu metoda Newton-Raphsonaplicata pe un interval deschis I, convenabil ales, ce contine x∗. Mai mult, pentru oricex0 ∈ I, solutia x(n; x0) a ecuatiei (1.4.18) tinde la x∗ pentru n →∞.

Propozitia 1.11. Daca functia f : Ω1 ⊂ R1 → R1 este de clasa C2, x∗ este o solutiea ecuatiei (1.4.17) si f ′(x∗) 6= 0 atunci exista un interval deschis I ⊂ Ω1 astfel ıncat saavem:i. x∗ ∈ I si f ′(x) 6= 0 ∀x ∈ I

ii. functia g(x) = x− f(x)f ′(x)

invariaza intervalul I

iii. pentru orice x0 ∈ I solutia x(n; x0) a ecuatiei (1.4.18) tinde la x∗.

Demonstratie. Functia f ′ este continua pe Ω1 si f ′(x∗) 6= 0. Rezulta ca exista un intervalJ ∈ Ω1 care contine pe x∗ astfel ıncat f ′(x) 6= 0 ∀x ∈ J. Pentru x ∈ J functia

g(x) = x− f(x)f ′(x)

este de clasa C1, si are loc:

g′(x) =f ′′(x)

[f ′(x)]2f(x).

Pentru x = x∗ avem g′(x∗) = 0 si prin urmare exista un interval I ⊂ J care contine pe x∗

(x∗ ∈ I) astfel incat |g′(x)| < 12

pentru orice x ∈ I. De aici rezulta conform Propozitiei1.9 ca solutia stationara x(n; x∗) ≡ x∗ a ecuatiei (1.4.18) este asimptotic stabila si oricarear fi x0 ∈ I, solutia x(n; x0) a ecuatiei (1.4.18) tinde la x∗ pentru n →∞.

Exemplu 1.1. In cazul ecuatiei:

x2 − 3x + 2 = 0

functia f : R1 → R1 este data prin f(x) = x2 − 3x + 2. Derivata f ′ este f ′(x) = 2x − 3care se anuleaza ın 3

2. Pe intervalul Ω1 = (−∞, 3

2) putem considera functia g1 : Ω1 → R1

definita prin

g1(x) = x− x2 − 3x + 2

2x− 3=

x2 − 2

2x− 3x ∈ Ω1


iar pe intervalul Ω1 = (32,∞) putem considera functia g1 : Ω1 → R1 definita cu aceeasi

formula

g1(x) =x2 − 2

2x− 3.

Se verifica usor ca intervalul Ω1 = (−∞, 32) este invariant fata de g1, si intervalul

Ω1 = (32,∞) este invariant fata de g1.

Pentru orice x0 ∈ Ω1, solutia x1(n; x0) a ecuatiei x1(n+ 1) = g1(x(n)) converge la solutiax1 = 1 a ecuatiei x2 − 3x + 2 = 0, si pentru orice x0 ∈ Ω1, solutia x1(n; x0) a ecuatieix1(n + 1) = g1(x(n)) converge la solutia x2 = 2 a ecuatiei x2 − 3x + 2 = 0.

Propozitia 1.12 (A. M. Ostrovski). Daca functia f din ecuatia (1.4.17) este de clasaC2 pe Ω1, si exista un punct x0 ∈ Ω1 astfel ıncat sa fie satisfacute urmatoarele conditii:

i. f ′(x0) 6= 0

ii. pentru h0 = − f(x0)f ′(x0)

> 0 (h0 = − f(x0)f ′(x0)

< 0) intervalul ınchis I0 = [x0, x0 + 2h0]

(I0 = [x0 + 2h0, x0]) este inclus ın intervalul Ω1

iii. pentru M = supx∈I0 |f ′′(x)| are loc 2|h0|M ≤ |f ′(x0)|atunci ecuatia (1.4.17) are solutie unica x∗ ∈ I0. Solutia x(n; x0) a ecuatiei (1.4.18) existasi converge la x∗. Eroarea aproximatiei este data de formula

|x∗ − x(n; x0)| ≤ 2M

|f ′(x(n− 1; x0))| |x(n; x0)− x(n− 1; x0)| (1.4.20)

Demonstratie. Incepem demonstratia ın ipoteza h0 > 0. Calculam x(1; x0) din ecuatia(1.4.18) si obtinem x1 = x(1; x0) = x0 +h0 < x0 +2h0. Deducem ca x1 ∈ (x0, x0 +2h0) ⊂I0 ⊂ Ω1 si putem considera atat f(x1) cat si f ′(x1). Din teorema cresterilor finite avem

|f ′(x1)− f ′(x0)| ≤ M|x1 − x0| = Mh0 ≤ 1

2|f ′(x0)|

si pentru ca

||f ′(x1)| − |f ′(x0)|| ≤ |f ′(x1)− f ′(x0)|,rezulta ca avem

−1

2|f ′(x0)| < |f ′(x1)| − |f ′(x0)| ≤ 1

2|f ′(x0)|.

De aici se obtine inegalitatea

|f ′(x1)| ≥ 1

2|f ′(x0)|,

care arata ca f ′(x1) 6= 0. Prin urmare are sens sa consideram x2 = x(2; x0) = x1 − f(x1)f ′(x1)

.

Daca h0 < 0 atunci x1 = x0 + h0 > x0 + 2h0 si x1 ∈ (x0 + 2h0, x0) = I0 ⊂ Ω1 si aresens sa se considere f(x1) si f ′(x1). Din teorema cresterilor finite rezulta si ın acest cazinegalitatea

|f ′(x1)− f ′(x0)| ≤ 1

2|f ′(x0)|,

care ımpreuna cu inegalitatea

||f ′(x1)| − |f ′(x0)|| ≤ |f ′(x1)− f ′(x0)|

Metoda Newton-Raphson de rezolvare numerica a ecuatiei neliniare f(x)=0 15

ne da

|f ′(x1)| ≥ 1

2|f ′(x0)|.

Rezulta ca si ın acest caz f ′(x1) 6= 0 si se poate considera x2 = x(2; x0) = x1 − f(x1)f ′(x1)

.

Consideram acum h1 = − f(x1)f ′(x1)

si vrem sa aratam ca h1 verifica inegalitatea

|h1| ≤ (h0)2M

|f ′(x0)| .

Calculam ın acest scop integrala I =∫ x1

x0 (x1 − x)f ′′(x)dx si gasim

I = (x1 − x)f ′(x)|x1

x0 +

∫ x1

x0

f ′(x)dx = −(x1 − x0)f ′(x0) + f(x1)− f(x0)

= −h0f ′(x0) + f(x1)− f(x0) = f(x0) + f(x1)− f(x0) = +f(x1).

Evaluam modulul integralei I facand schimbarea de variabila x = x(0) + h(0)t 0 ≤ t ≤ 1,si gasim

|I| ≤∫ 1

0

(h0)2(1− t)|f ′′(x(0) + h(0)t)|dt ≤ (h0)2M1

2.

Rezulta astfel inegalitatea

|f ′(x1)| ≤ (h0)2

2M,

si ın continuare inegalitatea

|h(1)| = |f(x(1))||f ′(x(1))| ≤

(h(0))2M2

12|f ′(x(0))| =

(h(0))2M

|f ′(x(0))| .

Evaluam acum raportul 2|h(1)|M|f ′(x(1))| si gasim

2|h(1)|M|f ′(x(1))| ≤ 2

(h(0))2M

|f ′(x(0))|M2

|f ′(x(0))| = [2|h(0)|M|f ′(x(0))| ]

2 ≤ 1.

De aici rezulta ca 2|h(1)|M ≤ |f ′(x(1))| ceea ce arata ca h1 satisface o relatie analoaga curelatia iii.Mai remarcam inegalitatile

|h(1)| ≤ |h(0)|2

· 2|h(0)|M|f ′(x(0))| ≤

|h(0)|2

ceea ce arata ca intervalul I(1) = [x(1), x(1) + 2h(1)] (I(1) = [x(1) + 2h(1), x(1)]) este inclus ınI(0) = [x(0), x(0) + 2h(0)] ( respectiv I(0) = [x(0) + 2h(0), x(0)]).Se arata prin inductie ca pentru orice n are loc:

f ′(x(n; x(0))) 6= 0,

|h(n)| ≤ 1

2|h(n−1)|,

2|h(n)|M ≤ |f ′(x(0))|,


I(n) ⊂ I(n−1)

unde h(n) = − f(x(n;x0))f ′(x(n;x0))

si I(n) = [x(n; x0); x(n; x0) + 2h(n)] (respectiv I(n) = [x(n; x0) +

2h(n); x(n; x0)] daca h(n) < 0). De aici rezulta ca sirul x(n; x0) este bine definit.Aratam acum ca sirul x(n; x0) este fundamental. Fie ın acest scop p ∈ N. Intrucat I(n+p) ⊂I(n) punctele x(n+p; x0), x(n; x0) apartin la I(n), de unde |x(n+p; x0)−x(n; x0)| < 2h(n).Deoarece h(n) → 0 pentru n →∞ rezulta ca x(n; x0) este fundamental.Fie x∗ = limn→∞ x(n; x0). Aratam ca x∗ este solutia ecuatiei (1.4.17). Consideram ın

acest scop M1 = supx∈I(0) |f ′(x)|. Din h(n) = − f(x(n;x0))f ′(x(n;x0))

avem |f(x(n; x0))| ≤ h(n) ·M1 si

prin trecere la limita rezulta f(x∗) = 0.Pentru a arata ca x∗ este unica solutie a ecuatiei (1.4.17) ın I(0), consideram x ∈ I(0) siremarcam inegalitatile:

|f ′(x)− f ′(x0)| ≤ |x− x0| ·M < 2|h0| ·M ≤ |f ′(x0)|

ceea ce arata ca f ′(x) 6= 0 pe I(0). Functia f este deci monotona pe I(0), si astfel x∗ esteunica solutie a ecuatiei (1.4.17).Eroarea aproximatiei se obtine din:

|h(n)| ≤ M[h(n−1)]2

|f ′(x(n− 1; x0))| ,

analoaga cu inegalitatea |h(1)| ≤ (h(0))2M|f ′(x0)| . Se tine seama de inegalitatea

|x(n + p; x0)− x(n; x0)| ≤ 2h(n),

precum si de egalitatea h(n−1) = x(n; x0)− x(n− 1; x0) si se obtine:

|x(n + p; x0)− x(n; x0)| ≤ 2M

|f ′(x(n− 1; x0))| |x(n; x0)− x(n− 1; x0)|2.

Prin trecere la limita, pentru p →∞, se obtine:

|x(n; x0)− x∗| ≤ 2M

|f ′(x(n− 1; x0))| |x(n; x0)− x(n− 1; x0)|2.

Propozitia 1.13. Daca toate conditiile din teorema lui Ostrovski sunt ındeplinite, atuncimetoda lui Newton are convergenta patratica (ordin de convergenta 2) si eroarea asimp-

totica este − f ′′(x∗)2f ′(x∗) .

Demonstratie. In conditiile din teorema lui Ostrovski f ′(x) 6= 0 pentru x ∈ (x0, x0 + 2h0)si f este inversabila pe I0 = (x0, x0 + 2h0). Notam cu ϕ functia inversa, si dacay(n) = f(x(n; x0)) pentru n = 0, 1, 2, . . . (unde x(n; x0) este sirul generat de metodalui Newton) atunci x(n; x0) = ϕ(y(n)) si ϕ′(y(n)) = 1

f ′(x(n;x0)). Scriem formula lui Taylor

de ordinul ıntai pentru ϕ:

ϕ(y) = ϕ(y(n− 1)) + [y − y(n− 1)] · ϕ′(y(n)) + R(y).

Metoda simplificata a lui Newton de rezolvare numerica a ecuatiei neliniare f(x)=0 17

Notam cu P1(y) polinomul Taylor de ordinul ıntai

P1(y) = ϕ(y(n− 1)) + [y− y(n− 1)] ·ϕ′(y(n)) = x(n− 1; x0) + [y− y(n− 1)] · 1

f ′(x(n; x0))

si restul

R(y) = ϕ(y)− P1(y) =ϕ′′(η)

2[y − y(n− 1)]2

unde η ∈ (y, y(n − 1)). Notam cu ξ = ϕ(η) si observam ca ξ ∈ (ϕ(y), ϕ(y(n − 1))). Inexpresia restului facem y = 0 si tinand seama de faptul ca ϕ(0) = x∗ si ca P1(0) = x(n; x0)precum si de relatia

ϕ′′(y) = − f ′′(x)

2[f ′(x)]3= − f ′′(ϕ(y))

2[f ′(ϕ(y))]3

obtinem

x∗ − x(n; x0) = − f ′′(ξ)2[f ′(ξ)]3

· f(x(n− 1; x0)), ξ ∈ (x∗, x(n− 1; x0)).

Din teorema cresterilor finite avem:

f(x(n−1; x0)) = f(x(n−1; x0))−f(x∗) = [x(n−1; x0)−x∗]·f ′(ξ0), ξ0 ∈ (x∗, x(n−1; x0))

si prin urmare

x∗ − x(n; x0) = −f ′′(ξ)[f ′(ξ0)]2

2[f ′(ξ)]3[x∗ − x(n− 1; x0)]2.

Daca n →∞ atunci x(n; x0) → x∗, ξ0 → x∗, si rezulta:

|x∗ − x(n; x0)||x∗ − x(n− 1; x0)|2 →

f ′′(x∗)2f ′(x∗)

,

pentru n →∞.

1.5 Metoda simplificata a lui Newton de rezolvare

numerica a ecuatiei neliniare f(x)=0

Fie functia f : Ω1 ⊂ R1 → R1 de clasa C1 pe Ω1. Rezolvarea numerica a ecuatiei

f(x) = 0 (1.5.21)

cu metoda simplificata a lui Newton ınseamna alegerea unui punct x0 ∈ Ω1 cu f ′(x0) 6= 0,considerarea ecuatiei cu diferente

x(n + 1) = x(n)− f(x(n))

f ′(x0)n ∈ N, (1.5.22)

si determinarea limitei solutiei x(n; x0) daca acestea (solutia si limita) exista.


Observatia 1.12. Ecautia (1.5.22) este definita de functia

gx0(x) = x− f(x)

f ′(x0)(1.5.23)

care are sens pentru orice x ∈ Ω1 (f ′(x0) 6= 0). Aceasta ınsa nu este suficient pentru ca

solutia x(n; x0) a ecuatiei cu diferente (1.5.22) sa existe. Este necesar ca g(n)

x0 (x0) ∈ Ω1,∀n ∈ N. Daca functia g invariaza multimea Ω1, atunci aceasta din urma conditie esteındeplinita.

Pentru elucidarea legaturii dintre solutiile ecuatiei (1.5.21) (atunci cand acestea exista) silimita solutiei x(n; x0) a ecuatiei cu diferente (1.5.22), demonstram urmatoarele propozitii.

Propozitia 1.14. Daca functia gx0(x) = x − f(x)f ′(x0)

invariaza intervalul Ω1 si solutia

x(n; x0) a ecuatiei (1.5.21) tinde la un punct x∗ ∈ Ω1, atunci x∗ este solutie pentruecuatia (1.5.21).

Demonstratie. Se considera egalitatea:

x(n + 1; x0) = x(n; x0)− f(x(n; x0))

f ′(x0)

si se trece la limita pentru n →∞, obtinandu-se

x∗ = x∗ − f(x∗)f ′(x0)

,

de unde f(x∗) = 0.

Propozitia 1.15. Daca x∗ este solutie a ecuatiei (1.5.21) si f ′(x∗) 6= 0, atunci exista uninterval deschis I ⊂ Ω1 cu urmatoarele proprietati:

i. x∗ ∈ I si f ′(x) 6= 0 ∀x ∈ I;

ii. ∀x0 ∈ I functia gx0(x) = x− f(x)f ′(x0)

invariaza intervalul I;

iii. ∀x0 ∈ I solutia x(n; x0) a ecuatiei (1.5.22) tinde la x∗.

Demonstratie. Functia f ′ este continua pe Ω1, si f ′(x∗) 6= 0. Rezulta ca exista uninterval I ⊂ Ω1 care contine pe x∗, astfel ıncat pentru orice x′, x′′ ∈ I, are loc|f ′(x′)|, |f ′(x′′)| > 1

2|f ′(x∗)| si |f ′(x′)− f ′(x′′)| < 1

4|f ′(x∗)|. Pentru x, x0 ∈ I are loc:

g′x0(x) = 1− f ′(x)

f ′(x0)

si de aici, |g′x0(x)| < 12, ∀x, x0 ∈ I. De aici rezulta, conform Propozitiei 1.9, ca solutia

stationara x(n; x∗) ≡ x∗ a ecuatiei (1.5.22) este asimptotic stabila, iar solutia x(n; x0) aecuatiei (1.5.22) tinde la x∗ pentru n →∞, oricare ar fi x0 ∈ I.

Observatia 1.13. Intervalul I se poate obtine cerand ca |g′x0(x∗)| < δ < 1 pentru δ > 0.

In cazul ecuatiei de gradul al doilea x2 − 3x + 2 = 0 pentru x∗ = 2, se obtine de exemplu|x0 − x∗| = |x0 − 2| < δ

2(1+δ).

Metoda functiei Liapunov de investigare a stabilitatii unei solutii stationare 19

1.6 Metoda functiei Liapunov de investigare a sta-

bilitatii unei solutii stationare

Fie g : Ω1 ⊂ R1 → Ω1 o functie continua si x0 ∈ Ω1 astfel ıncat g(x0) = x0.

Ecuatia cu diferente:x(n + 1) = g(x(n)) (1.6.24)

admite solutia stationara x(n; x0) ≡ x0.

Un alt instrument de investigare a stabilitatii (stabilitatii asimptotice) a solutiei stationarex(n; x0) ≡ x0 este functia Liapunov (functia Liapunov stricta).

Definitia 1.14. O functie continua V : Ω1 ⊂ R1 → R1 se numeste functie Liapunovpentru ecuatia (1.6.24) ın x0 daca V (x0) = 0, V (x) > 0 pentru orice x 6= x0, si dacaexista r > 0 astfel ıncat pentru orice x ∈ Ω1, cu |x− x0| < r sa avem

V (g(x))− V (x) ≤ 0. (1.6.25)

Daca inegalitatea (1.6.25) este stricta, atunci V se numeste functie Liapunov stricta.

Observatia 1.14. Pentru x′ ∈ Ω1 cu |x′ − x0| < r, conditia (1.6.25) exprima faptul cafunctia V nu creste pe sirul x(n; x′) = g(n)(x′), daca n creste pana ce x(n; x′) verifica|x(n; x′)− x0| < r.

Propozitia 1.16. Daca exista o functie Liapunov pentru ecuatia (1.6.24) ın x0, atuncisolutia stationara x(n; x0) ≡ x0 este stabila.

Demonstratie. Fie V : Ω1 → R1 o functie Liapunov pentru ecuatia (1.6.24) ın x0.Inegalitatea (1.6.25) are loc pe un interval simetric centrat ın x0 de lungime 2r: (x0 −r, x0 + r).Consideram ε > 0 si ε < r, intervalul simetric (x0 − ε, x0 + ε) si numarul m =minV (x)||x− x0| = ε > 0. Consideram acum multimea deschisa U = x ∈ Ω1|V (x) <m2 si apoi W cea mai mare componenta conexa a lui U care contine punctul x0. Fie

δ = δ(ε) > 0 astfel ıncat (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ W ⊂ U.Pentru orice x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) avem:

V (g(x)) ≤ V (x) <m

2.

Multimea W este inclusa ın intervalul (x0 − ε, x0 + ε). Aceasta pentru ca ın caz contrarexista x1 ∈ W astfel ıncat x1 /∈ (x0 − ε, x0 + ε). Segmentul cu capetele ın x0 si x1 esteinclus ın W . Pe acest segment exista un punct x2 astfel ıncat |x0 − x2| = ε. In x2 avemV (x2) ≥ m > m/2. Aceata concluzie este absurda deoarece x2 ∈ W si prin urmareV (x2) < m/2.Fie acum x ∈ (x0 − δ, x0 + δ). Din V (g(x)) ≤ V (x) < m

2rezulta ca g(x) ∈ U. Vom

arata ca g(x) ∈ W. Deoarece g este functie continua, multimea g((x0 − δ, x0 + δ))este un interval, si pentru orice y ∈ g((x0 − δ, x0 + δ)) avem V (y) < m

2. Prin urmare

g((x0 − δ, x0 + δ)) ⊂ W ⊂ (x0 − ε, x0 + ε). Astfel am obtinut implicatia:

∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ⇒ g(x) ∈ (x0 − ε, x0 + ε)


Analog se obtine ca, pentru orice k ∈ N, are loc

∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ⇒ g(k)(x) ∈ (x0 − ε, x0 + ε).

Iata cum se rationeaza pentru k = 2: ıntrucat g(x) ∈ (x0 − ε, x0 + ε) rezulta ca avem:

V (g(2)(x)) = V (g(g(x))) < V (g(x)) < V (x) <m

2

si prin urmare avem g(2)(x) ∈ U. Aratam ca g(2)(x) ∈ W; deoarece g(2) este continua,multimea g(2)((x0− δ, x0 + δ)) este interval. Din definitia multimii W , avem ca g(2)((x0−δ, x0 + δ) ⊂ W ⊂ (x0 − ε, x0 + ε).Apartenenta g(k)(x) ∈ (x0 − ε, x0 + ε) pentru orice k ∈ N si orice x ∈ (x0 − δ, x0 + δ),arata ca solutia stationara x(n; x0) ≡ x0 este stabila.

Exemplu 1.2. Ecuatiax(n + 1) = x(n)

are solutia stationara x(n; 0) ≡ 0. Observam ca g(x) = x si g′(x) = 1, si ca functiaV : R→ R, V (x) = x2, satisface conditiile din definitia functiei Liapunov, cu mentiuneaca V (g(x))− V (x) = 0. Prin urmare solutia stationara x(n; 0) ≡ 0 este stabila.

Propozitia 1.17. Daca pentru ecuatia (1.6.24) exista o functie Liapunov stricta ın x0,atunci solutia stationara x(n; x0) ≡ x0 este asimptotic stabila.

Demonstratie. Presupunem prin absurd ca V este o functie Liapunov stricta ın x0 sisolutia x(n; x0) ≡ x0 nu este asimptotic stabila. Tinand seama de propozitia anterioaraaceasta ınseamna ca exista un punct x′ ∈ (x0 − δ, x0 + δ) astfel ıncat, desi x(n; x′) ∈(x0 − ε, x0 + ε), sirul x(n; x′) nu tinde la x0 pentru n →∞. Sirul x(n; x′), fiind marginit,are un subsir x(nk; x

′) convergent la un punct x ∈ [x0− ε, x0 + ε] pentru nk →∞, x 6= x0.Pentru l ∈ N, l fixat, fie nk > l. Avem urmatoarele inegalitati:

V (x(l; x′)) > V (x(nk; x′)) > V (x).

Pe de alta parte V (g(x)) < V (x) si V g continua, implica existenta unui numar γ > 0astfel ca, pentru orice x ∈ (x− γ, x+ γ), sa avem V (g(x)) < V (x). Pentru nk suficient demare x(nk; x

′) ∈ (x−γ, x+γ), si astfel V (g(x(nk; x′))) < V (x); aceasta este o condradictie.

Rezulta astfel ca solutia stationara x(n; x0) ≡ x0 este asimptotic stabila.

Observatia 1.15. Daca dorim sa folosim aceasta propozitie pentru a analiza stabili-tatea sau instabilitatea unei solutii stationare, dificultatea majora de care ne lovim estegasirea unei functii Liapunov. Daca aceasta dificultate este depasita si functia Liapunoveste determinata, putem sa stabilim si proprietati suplimentare, dupa cum rezulta dinurmatoarele consecinte.

Consecinta 1.6. Daca pentru ecuatia (1.6.24) exista o functie Liapunov stricta V ın x0,atunci pentru orice x′ ∈ (x0 − r, x0 + r) pentru care x(n; x′) ∈ (x0 − r, x0 + r), ∀n, sirulx(n; x′) tinde la x0.

Consecinta 1.7. Daca pentru ecuatia (1.6.24) exista r > 0 astfel ıncat pentru oricex ∈ (x0 − r, x0 + r)− x0 sa avem

|g(x)− x0| < |x− x0|atunci pentru orice x′ ∈ (x0 − r, x0 + r) sirul x(n; x′) tinde la x0 pentru n →∞.

Domeniul de atractie al unei solutii stationare 21

Observatia 1.16. O tehnica raspandita pentru gasirea unei functii Liapunov pentruecuatia (1.6.24) ın x0 consta ın considerarea unui polinom de forma V (x) = a2(x −x0)2 + a3(x− x0)3 + . . . + an(x− x0)n si determinarea coeficientilor ai astfel ıncat aceastasa verifice conditia de pozitivitate si conditia (1.6.25).

1.7 Domeniul de atractie al unei solutii stationare

Fie g : Ω1 ⊂ R1 → Ω1 ⊂ R1 o functie continua, x0 ∈ Ω1 cu proprietatea g(x0) = x0, siecuatia cu diferente

x(n + 1) = g(x(n)). (1.7.26)

Presupunem ca solutia stationara x(n; x0) a ecuatiei (1.7.26) este asimptotic stabila.Aceasta ınseamna:

• ∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 astfel ıncat x′ ∈ (x0 − r, x0 + r) ⇒ |x(n; x′)− x0| < ε

• ∃r > 0 astfel ıncat ∀x′ ∈ (x0 − r, x0 + r) ⇒ x(n; x′) → x0 cand n →∞.

Definitia 1.15. Domeniul de atractie Da(x0) al solutiei stationare x(n; x0) este multimea

acelor stari stationare x′ ∈ Ω1 pentru care x(n; x′) → x0 cand n →∞:

Da(x0) = x′ ∈ Ω1|x(n; x′) → x0 cand n →∞. (1.7.27)

Exemple 1.4. 1.Daca Ω1 = (32,∞), g : Ω1 → Ω1, g(x) = x2−2

2x−3, x0 = 2, x(n; x0) ≡ 2 este

solutie stationara pentru x(n + 1) = g(x(n)), domeniul de atractie Da(x0) este (3

2,∞).

2.Daca Ω1 = (−∞, 32), g : Ω1 → Ω1, g(x) = x2−2

2x−3, x0 = 1, x(n; x0) ≡ 1 este solutie

stationara pentru x(n + 1) = g(x(n)), domeniul de atractie Da(x0) este (−∞, 3

2).

Propozitia 1.18. Domeniul de atractie Da(x0) al solutiei stationare x(n; x0) a ecuatiei

(1.7.26) (numita ecuatie neperturbata) si domeniul de atractie Da(0) al solutiei stationarey(n; 0) ≡ 0 a ecuatiei perturbate

y(n + 1) = g(x0 + y(n))− x0, (1.7.28)

verifica relatia

Da(x0) = Da(0) + x0. (1.7.29)


Observatia 1.17. Propozitia anterioara arata ca domeniul de atractie Da(x0) se obtine

prin translatarea domeniului de atractie Da(0).

Propozitia 1.19. Domeniul de atractie Da(0) este o multime deschisa.

Demonstratie. Fie y′ ∈ Da(0) si sirul y(n; y′). Deoarece y(n; y′) −−−→n→∞

0, exista n1 ∈ Nastfel ıncat |y(n; y′)| < r, ∀n > n1, r fiind numarul pozitiv din definitia stabilitatiiasimptotice.


Deoarece functia h(n1) : Ω1 ⊂ R1 → Ω1, unde h(y) = g(x0 + y)− x0, este continua, existar′ > 0 astfel ıncat ∀y ∈ (y′ − r′, y′ + r′) avem h(n1)(y) ∈ (−r, r). Deoarece:

y(n; y) = h(n−n1)(h(n1)(y)) = y(n− n1; h(n1)(y)),

pentru n →∞ avem y(n; y) → 0.Aceasta demonstreaza ca y ∈ Da(0) pentru orice y ∈ (y′ − r′, y′ + r′). Deci multimeaDa(0) este deschisa.

Observatia 1.18. Egalitatea (1.7.29) arata ca Da(x0) este multime deschisa. Deci

domeniul de atractie al unei solutii stationare asimptotic stabile este o multime deschisa.

Observatia 1.19. In general domeniul de atractie Da(x0) nu este o multime conexa. In

cazul ecuatiei

x(n + 1) =1

2x(n)− 1

4[x(n)]2 +

1

2[x(n)]3 − 1

4[x(n)]4

domeniul de atractie Da(0) este Da(0) = (−2.79,−2.46)∪ (−1, 1) care nu este o multimeconexa.Din acest motiv, denumirea de ”domeniu de atractie” este improprie; domeniul de atractieeste o multime deschisa si conexa.

Observatia 1.20. Cercetari teoretice si numerice arata ca multimea Da(0) si frontieraacesteia sunt multimi complicate si, ın cele mai multe cazuri, nu au o reprezentare explicitasimpla. Se folosesc diferite metode de caracterizare si aproximare a domeniului Da(0).

In continuare vom stabili o caracterizare a lui Da(0) (si estimari ale domeniului) cuajutorul unei functii Liapunov.

Fie g : Ω1 ⊂ R1 → Ω1 ⊂ R1 o functie analitica, 0 ∈ Ω1 si g(0) = 0.

Propozitia 1.20. Daca |g′(0)| < 1 atunci solutia stationara x(n; 0) ≡ 0 a ecuatiei

x(n + 1) = g(x(n)) (1.7.30)

este asimptotic stabila si domeniul de atractie Da(0) este domeniul natural de analiticitatea functiei V definita de ecuatia

V (g(x))− V (x) = −x2 (1.7.31)

si conditiaV (0) = 0. (1.7.32)

Functia V este pozitiva pe Da(0), limx→x0 V (x) = ∞ pentru x0 ∈ Fr(Da(0)) silimx→±∞ V (x) = ∞.

Demonstratie. Vom demonstra ca seria de functii∑∞

n=0[g(n)(x)]2 este convergenta pentru

orice x ∈ Da(0) si suma ei este o functie analitica ce satisface (1.7.31) si (1.7.32).Din ipoteza |g′(0)| < 1, rezulta ca exista α ∈ (0, 1) astfel ıncat |g′(0)| < α. De aici rezultaca exista δ > 0 astfel ıncat ∀x, x ∈ [−δ, δ] avem |g′(x)| < α. De aici se deduce ca pentruorice x cu |x| ≤ δ avem |g(x)| < α|x|. Prin inductie rezulta ın continuare ca pentru oricex cu |x| ≤ δ avem |g(n)(x)| < αn|x| si astfel se obtine convergenta seriei

∑∞n=0[g

(n)(x)]2

Probleme care conduc la ecuatii cu diferenta de ordin superior 23

pentru orice x ∈ [−δ, δ].Pentru x ∈ Da(0) ∃Nx ∈ N astfel ıncat |x(n; x)| ≤ δ ∀n ≥ Nx. De aici se obtineconvergenta seriei

∑∞n=0[g

(n)(x′)]2 unde x′ = x(Nx; x) = g(Nx)(x). Prin urmare seria∑n≥Nx

[g(n)(x)]2 este convergenta si astfel rezulta ca si seria∑∞

n=0[g(n)(x)]2 este conver-

genta.Fie V (x) =

∑∞n=0[g

(n)(x)]2 definita pe Da(0). Functia V (x) este pozitiva, are proprietateaV (0) = 0 si V (g(x))− V (x) = −x2. Prin urmare V este functie Liapunov.Tinand seama ca g este functie analitica, se deduce ca si functia V este analitica.Pentru a deduce ca exista o singura functie V care verifica (1.7.31) si (1.7.32), ad-mitem prin absurd ca ar exista doua functii V 1 si V 3 ce verifica proprietatile. DiferentaV 3 = V 1 − V 2 verifica V 3(g(x)) − V 3(x) = 0 si V 3(0) = 0 pentru orice x ∈ Da(0).Deoarece V 3 g(n) ≡ V 3 si V 3(g(n)(x)) −−−→

n→∞0 rezulta ca V 3(x) = 0 ∀x ∈ Da(0).

Pentru a demonstra proprietatea V (x) −−−→x→x0

∞, daca x0 ∈ FrDa(0), fie r > 0 astfel

ıncat |g(n)(x0)| > r pentru n ∈ N. Pentru M > 0, fie n1 primul numar natural careverifica n1 ≥ 2M

r2 + 1 si fie r1 > 0 astfel ıncat |g(n)(x)| > r√2

pentru n = 1, 2, . . . , n1 si

x ∈ (x0 − r1, x0 + r1). Pentru orice x ∈ (x0 − r1, x

0 + r1) ∩Da(0) avem

n1∑n=0

[g(n)(x)]2 > M.

De aici rezulta ca V (x) −−−→x→x0

∞.

Exemplu 1.3. Determinati domeniul de atractie al solutiei stationare identic nule pentruurmatoarele ecuatii cu diferente:i. x(n + 1) = 4x3(n). R: Da(0) = (−1

2, 1

2).

ii. x(n + 1) = 9x3(n). R: Da(0) = (−13, 1

3).

iii. x(n + 1) = 12x(n)− x2(n) + 2x3(n)− 4x4(n). R: Da(0) = (−0.271845, 0.653564).

1.8 Probleme care conduc la ecuatii cu diferenta de

ordin superior

1. O retea cristalina se modeleaza uneori matematic printr-o colectie infinita de obiecte(numite nodurile retelei) legate ıntre ele.

Figura 1.1: Retea cristalina

Ecuatiile diferentiale care descriu vibratiile nodurilor retelei sunt:

mnd2xn+1

dt2= kn+1(xn+2 − xn+1) + kn(xn − xn+1), (1.8.33)

unde mn este masa obiectului n, iar kn este constanta elastica a arcului n.Pentru a descrie amplitudinea an a vibratiilor nodurilor retelei, se cauta solutii de formaxn = aneiωt pentru aceste ecuatii, si se gasesc relatiile:

−mn+1ω2an+1 = kn+1(an+2 − an+1) + kn(an − an+1). (1.8.34)


In cazul unei retele cristaline ideale kn = k, mn = m pentru orice n, si relatia (1.8.34)devine

an+2 + (ω2m

k− 2)an+1 + an = 0. (1.8.35)

Determinarea amplitudinilor vibratiilor revine la determinarea sirului an care verificaecuatia (1.8.35).

2. Din motive de rationalizare a apei ıntr-o localitate A, persoanele pot iriga doar ıntreorele 21 si 09. O persoana B acumuleaza o cantitate q de apa ın acest interval ın sistemulde canale de irigatie, iar jumatate din cantitatea existenta se consuma prin infiltratie ın solsi evaporare ın urmatoarele 12 ore (09-12 cand nu este apa). Se presupune ca ın momentuldeclansarii rationalizarii, ın canale exista o cantitate de apa I si se cere sa se determineevolutia ın timp a cantitatii de apa din sistemul de irigatie. Pentru aceasta se noteaza cuy(n) cantitatea de apa ın canale la sfarsitul celei de-a n-a perioade de 12 ore. Daca n estepar, atunci y(n + 2) = 1

2y(n) + q, iar daca n este impar, atunci y(n + 2) = 1

2y(n) + q

2. In

general y(n + 2)− 12y(n) = q

4[3 + (−1)n].

Evolutia ın timp a cantitatii de apa din sistemul de irigatie este data de termenii siruluiy(n) care verifica egalitatea

y(n + 2)− 1

2y(n)− q

4[3 + (−1)n] = 0 (1.8.36)

si conditia initiala y(0) = I si y(1) = I2.

Observatia 1.21. Ceea ce este comun ın cazul acestor probleme este ca ele cer deter-minarea unui sir de numere reale ai carui termeni verifica o relatie de forma

f(y(n), y(n + 1), y(n + 2)) = 0. (1.8.37)

Definitia 1.16. Fie f : N × Ωk+1 → R1, Ωk+1 ⊂ Rk+1, o functie data. Problemadeterminarii tuturor functiilor (sirurilor) x : N→ R1 care verfica:

(x(n), x(n + 1), . . . , x(n + k)) ∈ Ωk+1, ∀n

si

f(n, x(n), x(n + 1), . . . , x(n + k)) = 0, ∀nse numeste ecuatie cu diferente de ordinul k implicita.

Definitia 1.17. Fie g : N × Ωk → R1, Ωk ⊂ Rk, o functie data. Problema determinariituturor functiilor (sirurilor) x : N→ R1 care verfica:

(x(n), x(n + 1), . . . , x(n + k − 1)) ∈ Ωk, ∀n

si

x(n + k) = g(n, x(n), x(n + 1), . . . , x(n + k − 1)), ∀nse numeste ecuatie cu diferente de ordinul k explicita.

Ecuatia cu diferente de ordinul k liniara 25

1.9 Ecuatia cu diferente de ordinul k liniara

Definitia 1.18. Se numeste ecuatie cu diferente de ordinul k liniara, o ecuatie cudiferente de ordinul k de forma:

ak(n)x(n + k) + ak−1(n)x(n + k − 1) + . . . + a1(n)x(n + 1) + a0(n)x(n) = p(n) (1.9.38)

ın care ak(n), ak−1(n) . . . , a1(n)+ a0(n), p(n) sunt siruri de numere cunoscute, si ak(n) 6=0, ∀n.

Observatia 1.22. Prin ımpartire cu ak(n), orice ecuatie cu diferente de forma (1.9.38)se reduce la o ecuatie cu diferente de forma:

x(n + k) + bk−1(n)x(n + k − 1) + . . . + b1(n)x(n + 1) + b0(n)x(n) = q(n). (1.9.39)

Daca q(n) ≡ 0, atunci ecuatia (1.9.39) este o ecuatie cu diferente de ordinul k liniara siomogena; daca exista n1 astfel ıncat q(n1) 6= 0, atunci ecuatia (1.9.39) este o ecuatie cudiferente liniara si neomogena.

Inainte de a enunta o propozitie referitoare la spatiul solutiilor unei ecuatii cu diferenteliniare si omogene, introducem matricea Casoratti:

C(n) =

x1(n) x2(n) . . . xm(n)x1(n + 1) x2(n + 1) . . . xm(n + 1)

. . . . . . . . . . . .x1(n + m− 1) x2(n + m− 1) . . . xm(n + m− 1)

.

Din algebra liniara stim ca

det C(n) = C(n), C(n) = det

x1(n) x2(n) . . . xm(n)∆x1(n) ∆x2(n) . . . ∆xm(n)

. . . . . . . . . . . .∆m−1x1(n) ∆m−1x2(n) . . . ∆m−1xm(n)

,

unde ∆ este operatorul diferenta: ∆x(n) = x(n + 1)− x(n).Avem urmatorul rezultat legat de independenta liniara a unui set de solutii:

Lema 1.1. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:i. setul de siruri (x1(n)), (x2(n)),..., (xk(n)), unde x1(n), x2(n),...,x3(n) sunt solutii aleecuatiei cu diferente de ordinul k liniare si omogene, este liniar dependent;ii. C(0) = 0;iii. C(n) = 0, ∀n.

Demonstratie. Este suficient sa arat urmatoarele implicatii: i⇔iii, iii⇔ii, ii⇔i.i⇔iii Daca solutiile de la i. sunt liniar dependente atunci exista constantele C1, C2,...,Ck, nu toate nule, astfel ıncat

C1x1(n) + . . . + Ckxk(n) = 0, ∀nC1x1(n + 1) + . . . + Ckxk(n + 1) = 0, ∀n

. . .

C1x1(n + k − 1) + . . . + Ckxk(n + k − 1) = 0, ∀n


Acest lucru implica faptul ca determinantul acestui sistem este nul. Dar acest determinanteste determinantul matricii Casoratti. Prin urmare avem iii.iii⇔ii Evident.ii⇔i Presupun C(0) = 0 si consider sistemul

C1x1(0) + . . . + Ckxk(0) = 0, ∀nC1x1(1) + . . . + Ckxk(1) = 0, ∀n

. . .

C1x1(k − 1) + . . . + Ckxk(k − 1) = 0, ∀nAcest sistem are solutie unica. Se arata prin inductie ca C1x1(n) + . . . + Ckxk(n) = 0,∀n, adica avem i.

Negand Lema de mai sus, obtinem urmatoarea teorema de independenta liniara:

Teorema 1.5. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:i. setul de siruri (x1(n)), (x2(n)),..., (xk(n)), unde x1(n), x2(n),...,x3(n) sunt solutii aleecuatiei cu diferente de ordinul k liniare si omogene, este liniar independent;ii. C(0) 6= 0;iii. C(n) 6= 0, ∀n.

Propozitia 1.21. Multimea solutiilor ecuatiei cu diferente liniare si omogene este unspatiu vectorial de dimensiune k.

Demonstratie. Se verifica imediat ca spatiul solutiilor este un subspatiu vectorial alspatiului vectorial al tuturor sirurilor. Pentru a-i stabili dimensiunea, cautam o bazaa sa. Din negatia lemei stim ca daca C(0) 6= 0 pentru un set de k solutii, atunci am unsir de solutii liniar independente ale ecuatiei omogene. Fie x(n) o alta solutie. Caut C1,C2,..., Ck astfel ıncat x(n) = C1x1(n) + C2x2(n) + . . . + Ckxk(n), ∀n ∈ N. Scriind acestarelatie ın argumentele 0,1,...,k-1, avem

x(0) = C1x1(0) + . . . + Ckxk(0), ∀nx(1) = C1x1(1) + . . . + Ckxk(1), ∀n. . .

x(k − 1) = C1x1(k − 1) + . . . + Ckxk(k − 1), ∀nDeoarece C(0) 6= 0, sistemul are solutie. Dar C(0) 6= 0 implica C(n) 6= 0, ∀n, si avem prinurmare ca exista C1, C2,..., Ck astfel ıncat x(n) = C1x1(n) + C2x2(n) + . . . + Ckxk(n),∀n.Consider acum solutile ce verifica urmatoarele conditii initiale

x1 : x1(0) = 1, x1(1) = 0, . . . , x1(k − 1) = 0

x2 : x2(0) = 0, x2(1) = 1, . . . , x2(k − 1) = 0

. . . . . . . . .

xk : xk(0) = 0, xk(1) = 0, . . . , xk(k − 1) = 1

Se observa ca pentru aceste solutii C(0) = 1 6= 0, si, conform celor de mai sus, eleformeaza o baza a spatiului solutiilor ecuatiei cu diferente de ordinul k liniare si omegene,si demonstratia este completa.


Propozitia 1.22. Fie x(n) o solutie particulara a ecuatiei cu diferente de ordinul k liniaresi neomogene. Atuncii. oricare ar fi solutia x(n) a ecuatiei cu diferente de ordinul k liniare si neomogene,exista o solutie x0(n) a ecuatiei cu diferente de ordinul k liniare si omegene (asociate)astfel ıncat x(n) = x0(n) + x(n).ii. oricare ar fi solutia x0(n) a ecuatiei cu diferente de ordinul k liniare si omegene(asociate), y(n) = x0(n) + x(n) este o solutie a ecuatiei cu diferente de ordinul k liniaresi neomogene.

Demonstratie. i. Pentru o solutie particulara a ecuatiei cu diferente de ordinul k liniaresi neomogene x(n), se observa ca x0(n) = x(n) − x(n) verifica ecuatia cu diferente deordinul k liniara si omogena.ii. Pentru o solutie a ecuatiei cu diferente de ordinul k liniare si omogene, x0(n), se observaca y(n) = x0(n)+ x(n) verifica ecuatia cu diferente de ordinul k liniara si neomogena.

Definitia 1.19. Daca sirurile bk−1(n),...,b0(n) sunt constante, ecuatia (1.9.39) este oecuatie cu coeficienti constanti.

Definitia 1.20. Polinomul Pk(λ) = λk + bk−1λk−1 + . . . + b1λ + b0 se numeste polinom

caracteristic asociat ecuatiei cu coeficienti constanti. Ecuatia Pk(λ) = 0 se numesteecuatie caracteristica.

Propozitia 1.23. Daca λ1,...,λk sunt k radacini reale distincte ale ecuatiei caracteristice,atunci sirurile x1(n) = λn

1 ,...,xk(n) = λn

k sunt k solutii liniar independente ale ecuatiei cudiferente de ordinul k liniare si omogene cu coeficienti constanti, si orice solutie a acesteiecuatii este combinatie liniara de aceste siruri.

Demonstratie. Inlocuind pe rand sirurile x1(n) = λn1 ,...,xk(n) = λn

k ın ecuatia

x(n + k) + bk−1x(n + k − 1) + . . . + b1x(n + 1) + b0x(n) = 0

si dand pe λni factor comun, obtinem de fiecare data ecuatia caracteristica ın λi,

i = 1..n. Deoarece λ1,...,λk sunt radacini ale ecuatiei caracteristice, avem ca sirurilex1(n) = λn

1 ,...,xk(n) = λnk sunt radacini ale ecuatiei cu diferente de ordinul k liniare si

omogene cu coeficienti constanti.Pentru a verifica independenta liniara a acestor siruri, se calculeaza C(0):

C(0) = det

1 1 . . . 1λ1 λ2 . . . λk

. . . . . . . . . . . .λk−1

1 λk−12 . . . λk−1

k

= (λ2−λ1) · . . . · (λk−λ1)+ . . .+(λk−λk−1) 6= 0

si deci x1(n) = λn1 ,...,xk(n) = λn

k sunt liniar independente. Din demonstratia Propozitiei1.21 avem ca din C(0) 6= 0 rezulta si partea a doua a propozitiei.

Propozitia 1.24. Daca λ1 este o radacina reala multipla a ecuatiei caracteristice, avandordinul de multiplicitate r ≥ 2, atunci sirurile x1(n) = λn

1 , x2(n) = nλn1 ,...,x

r(n) = nr−1λn1

sunt r solutii liniar independente ale ecuatiei cu diferente de ordin k liniare si omogenecu coeficienti constanti.


Demonstratie. Fie λ1 o radacina reala multipla a ecuatiei caracteristice, cu ordinul demultiplicitate r ≥ 2. Aratam acum ca sirurile x1(n) = λn

1 , x2(n) = nλn1 ,...,xr(n) = nr−1λn

1

sunt solutii pentru ecuatia cu diferente de ordin k liniara si omogena cu coeficienticonstanti.Pentru nλn

1 :

(n + k)λn+k1 + (n + k − 1)bk−1λ

n+k−11 + . . . + (n + 1)b1λ

n+11 + nb0λ

n1 =

λn1 [n(λk

1 + bk−1λk−11 + . . . + b0) + λ1(kλk−1

1 + . . . + b1)] = 0.

Am folosit ca λ1 este solutie cel putin dubla, astfel ıncat derivata polinomului caracteristicsa se anuleze ın λ1.Pentru n2λn

1 :

(n + k)2λn+k1 + (n + k − 1)2bk−1λ

n+k−11 + . . . + (n + 1)2b1λ

n+11 + n2b0λ

n1 =

λn1 [n2(λk

1 + bk−1λk−11 + . . . + b0) + 2nλ1(kλk−1

1 + . . . + b1) + λ21(k

2λk−21 + 22b2) + b1λ1] =

λn+21 [k(k − 1)λk−2

1 + . . . + 2b2] + λn+11 [kλk−1

1 + (k − 1)bk−1λk−21 + . . . + b1] = 0.

Aici am folosit ca λ1 este solutie cel putin tripla, astfel ıncat derivata a doua a polinomuluicaracteristic sa se anuleze ın λ1. Inductiv se arata ca daca λ1 are ordinul de mutiplicitatecel putin i ≤ r, atunci niλn

1 este solutie a ecuatiei cu diferente de ordin k liniare si omogenecu coeficienti constanti.Pentru a arata ca sirurile sunt liniar independente calculam C(0):

C(0) = det

1 0 . . . 0λ1 λ1 . . . λ1

λ21 2λ2

1 . . . 2r−1λ21

. . . . . . . . . . . .λr−1

1 (r − 1)λr−11 . . . (r − 1)r−1λr−1

1

=

λ1 · λ21 · . . . · λr−1

1 det

1 0 . . . 01 1 . . . 11 2 . . . 2r−1

. . . . . . . . . . . .1 (r − 1) . . . (r − 1)r−1

6= 0.

Propozitia 1.25. Daca λ = ρ(cos ϕ+i sin ϕ) este o radacina complexa multipla a ecuatieicaracteristice, avand ordinul de multiplicitate r ≥ 2, atunci sirurile:

x1(n) = ρn cos nϕ, x2(n) = nρn cos nϕ, . . . , xr(n) = nr−1ρn cos nϕ

x1(n) = ρn sin nϕ, x2(n) = nρn sin nϕ, . . . , xr(n) = nr−1ρn sin nϕ

sunt 2r solutii liniar independente ale ecuatiei cu diferente de ordinul k liniare si omogenecu coeficienti constanti.

Demonstratie. Fie λ = ρ(cos ϕ + i sin ϕ) o radacina complexa multipla a ecuatiei carac-teristice, avand ordinul de multiplicitate r ≥ 2. Verifcam daca x1(n) si x1(n) sunt solutiipentru ecuatia cu diferente de ordinul k liniara si omogena cu coeficienti constanti. Stimca λ verifica ecuatia caracteristica, si ınmultind relatia cu λn avem:

λn+k + bk−1λn+k−1 + . . . + b1λ

n+1 + b0λn = 0.


Inlocuind λ = ρ(cos ϕ + i sin ϕ) si egaland partea reala respectiv partea imaginara amembrului stang cu 0, obtinem ca x1(n) si x1(n) sunt solutii pentru ecuatia cu diferentede ordinul k liniara si omogena cu coeficienti constanti. Inductiv se arata ca xi(n) sixi(n), i = 1..r sunt solutii pentru ecuatia cu diferente de ordinul k liniara si omogena cucoeficienti constanti.

Propozitia 1.26. Daca λ1,...,λp sunt radacini reale ale ecuatiei caracteristice, cu ordinelede multiplicitate r1,..., respectiv, rp, iar ρ1(cos ϕ1+i sin ϕ1),..,ρq(cos ϕq +i sin ϕq) radacinicomplexe ale aceleasi ecuatii caracteristice cu ordinele de multiplicitate s1,..., respectiv,sq, atunci setul de siruri:

λn1 , nλn

1 , . . . , nr1−1λn

1

λn2 , nλn

2 , . . . , nr2−1λn

2

. . .

λnp , nλn

p , . . . , nrp−1λn

p

ρn1 cos nϕ1, nρn

1 cos nϕ1, . . . , ns1−1ρn

1 cos nϕ1

ρn1 sin nϕ1, nρn

1 sin nϕ1, . . . , ns1−1ρn

1 sin nϕ1

. . .

ρnq cos nϕq, nρn

q cos nϕq, . . . , nsq−1ρn

q cos nϕq

ρnq sin nϕq, nρn

q sin nϕq, . . . , nsq−1ρn

q sin nϕq

este o baza ın multimea solutiilor ecuatiei cu diferente de ordinul k liniare si omogene cucoeficienti constanti.

Demonstratie. Rezulta din propozitiile anterioare cu observatia ca valorile proprii reale sivalorile proprii complexe ne furnizeaza solutii liniar independente.

Propozitia 1.27. Fie ecuatia cu diferente de ordinul k liniara neomogena cu coeficienticonstanti:

x(n + k) + bk−1x(n + k − 1) + . . . + b1x(n + 1) + b0x(n) = q(n). (1.9.40)

Daca sirul q(n) este solutia ecuatiei cu difernte de ordinul l liniara si omogena cucoeficienti constanti

q(n + l) + cl−1q(n + l − 1) + . . . + c1q(n + 1) + c0q(n) = 0 (1.9.41)

atunci o solutie x(n) a ecuatiei cu diferente (1.9.40) este solutie a ecuatiei cu diferentede ordinul k + l liniara si omogena cu coeficienti constanti:

z(n + l + k) + bk−1z(n + l + k − 1) + . . . + b1z(n + l + 1) + b0z(n + l) +

cl−1[z(n + l − 1 + k) + . . . + b1z(n + l − 1 + 1) + b0z(n + l − 1)] + . . . +

c0[z(n + k) + bk−1z(n + k − 1) + . . . + b1z(n + 1) + b0z(n)] = 0. (1.9.42)

Demonstratie. Avem

q(n + l) + cl−1q(n + l − 1) + . . . + c1q(n + 1) + c0q(n) = 0.

Inlocuindu-l pe q din relatia (1.9.40) obtinem ecuatia (1.9.42), iar propozitia este demon-strata.


Observatia 1.23. In conditiile propozitiei anterioare, o solutie particulara a ecuatieineomogene (1.9.40) trebuie cautata printre solutiile ecuatiei (1.9.42).

Exemple 1.5. 1. Pentru ecuatia

x(n + 3)− 7x(n + 2) + 16x(n + 1)− 12x(n) = 0

avem solutiile liniar independente x1(n) = 2n, x2(n) = n2n, x3(n) = 3n.

2. Pentru ecuatiax(n + 2)− 2x(n + 1) + 4x(n) = 0

avem solutiile liniar independente x1(n) = 2n cos nπ3

si x2(n) = 2n sin nπ3

.

3. Fie ecuatiax(n + 2)− 7x(n + 1) + 6x(n) = n.

Avem q(n) = n, care verifica ecuatia

q(n + 2)− 2q(n + 1) + q(n) = 0.

Cautam solutii ale ecuatiei

z(n + 4)− 9z(n + 3) + 21z(n + 2)− 19z(n + 1) + 6z(n) = 0

si gasim ca solutia generala are forma

z(n) = c1 + c2n + c3n2 + c46

n.

Cautam coeficientii ınlocuind z(n) de mai sus ın ecuatia initiala si gasim ın finalsolutia particulara z(n) = 3

50n− 1

10n2.

Capitolul 2

Sisteme de ecuatii cu diferente

2.1 Probleme care conduc la sisteme de ecuatii cu

diferente

1. Pe o suprafata agricola populatia de bufnite si soareci este, ın general, ın echilibru de Kmii de bufnite si L milioane de soareci. Iernile grele, ınsa, au ca efect reducerea drastica anumarului de bufnite. Fie x(n) si y(n) deviatia ın anul n a numarului de bufnite, repectivde soareci, de la nivelul de echilibru: astfel K + x(n) este numarul de bufnite ın mii,respectiv L+y(n) este numarul de soareci ın milioane, ın anul n. Relatia dintre cele douapopulatii este una de pradator - prada, si o putem scrie matematic sub urmatoarea forma:

x(n + 1) = 0.9x(n) + 0.2y(n)

y(n + 1) = 0.9x(n) + 0.6y(n). (2.1.1)

2. Metoda Euler de aproximare a solutiei problemei cu date initiale

x(t) = f(t, x(t), y(t))

y(t) = g(t, x(t), y(t)) (2.1.2)

x(t0) = x0, y(t0) = y0 (2.1.3)

este

x(n + 1) = x(n) + hf(t0 + nh, x(n), y(n))

y(n + 1) = y(n) + hg(t0 + nh, x(n), y(n)). (2.1.4)

3. Metoda lui Newton-Raphson de rezolvare a sistemului de ecuatii neliniare

f1(x1, . . . , xm) = 0

f2(x1, . . . , xm) = 0 (2.1.5)

. . .

fm(x1, . . . , xm) = 0

31

32 Sisteme de ecuatii cu diferente

consta ın alegerea unui punct X0 = (x01, . . . , x

0m) la ıntamplare, constructia sirului de

iteratiiX(n + 1) = X(n)− J−1

F (X(n))F (X(n)), X(0) = X0, (2.1.6)

si investigarea limitei acestui sir, unde X = (x1, . . . , xm)T , F (X) = (f1(X), . . . , fm(X))T ,JF (X) este matricea Jacobi a lui F ın X, iar J−1

F (X) este inversa acestei matrice.

Observatia 2.1. Ceea ce este comun la aceste probleme este ca ele cer determinarea unuisir de puncte ın R2, sau ın Rm, analiza convergentei si gasirrea limitei.

Definitia 2.1. Fie F : N×Ω2m → Rm, Ω2m ⊂ R2m, o functie data. Problema determinariituturor functiilor (sirurilor) X : N→ Rm care verifica

(X(n), X(n + 1)) ∈ Ω2m ∀n ∈ Nsi

F (n,X(n), X(n + 1)) = 0 ∀n ∈ N (2.1.7)

se numeste sistem de ecuatii cu diferente de ordinul ıntai implicit.

Definitia 2.2. Fie G : N×Ωm → Rm, Ωm ⊂ Rm, o functie data. Problema determinariituturor functiilor (sirurilor) X : N→ Ωm care verifica

X(n + 1) = G(n,X(n)) ∀n ∈ N (2.1.8)

se numeste sistem de ecuatii cu diferente de ordinul ıntai explicit.

2.2 Sistem de ecuatii de ordinul ıntai liniare

Definitia 2.3. Sistemul de ecuatii cu diferente de ordinul ıntai explicit de forma

xi(n + 1) = ai1(n)x1(n) + . . . + aim(n)xm(n) + fi(n), i = ¯1,m (2.2.9)

se numeste sistem liniar.

Observatia 2.2. Sistemul (2.2.9) se poate scrie vectorial sub forma

X(n + 1) = A(n)X(n) + f(n) (2.2.10)

unde X(n) = (x1(n), . . . , xm(n))T , f(n) = (f1(n), . . . , fm(n))T si

A(n) =

a11(n) ... a1m(n)... ... ...

am1(n) ... amm(n)

. (2.2.11)

Daca f(n) ≡ 0 atunci sistemul este omogen; ın caz contrar, sistemul este neomogen.

Propozitia 2.1 (existenta si unicitate). Pentru orice X0 ∈ Rm exista o singura solutieX(n; X0) a sistemului de ecuatii omogen

X(n + 1) = A(n)X(n), (2.2.12)

care satisface conditia initiala X(n; 0) = X0, si aceasta este data de formula:

X(n + 1; X0) = [n∏

i=0

A(n− i)]X0, (2.2.13)

unde∏n

i=0 A(n− i) = A(n)A(n− 1) · . . . · A(1)A(0).

Sistem de ecuatii de ordinul ıntai liniare 33

Demonstratie. Se arata prin inductie ca daca un sir X(n) verifica (2.2.12) si conditiainitiala X(0) = X0, atunci termenii acestui sir sunt dati de (2.2.13).

Consecinta 2.1. Multimea solutiilor sistemului de ecuatii (2.2.12) este un subspatiuvectorial m-dimensional al spatiului vectorial real al tuturor sirurilor de puncte din Rm.

Consecinta 2.2. Daca exista n0 ∈ N astfel ıncat A(n0) = 0 atunci pentru orice X0 ∈ Rm

si orice n ≥ n0 avem X(n + 1; X0) = 0.

Consecinta 2.3. Daca pentru orice n, matricea A(n) este inversabila, atunci pentru oriceY 0 ∈ Rm si orice n ≤ 1 exista un singur X0 ∈ Rm astfel ıncat X(n + 1; X0) = Y 0.

Propozitia 2.2 (existenta unei solutii particulare a ecuatiei omogene). SirulX(n) definit prin X(0) = 0 si

X(n + 1) =n∑

i=0

A(n) · . . . · A(i + 1)f(i), (2.2.14)

este o solutie a ecuatiei neomogene (2.2.10).


Propozitia 2.3 (existenta si unicitatea solutiei problemei cu date initiale pentruecuatia neomogena). Pentru orice X0 ∈ Rm exista o singura solutie X(n; X0) a ecuatieineomogene (2.2.10) care satisface conditia initiala X(0; X0) = X0, si aceasta solutie estedata de formula

X(n + 1; X0) = [n∏

i=0

A(n− i)]X0 +n∑

i=0

A(n)A(n− 1) · . . . · A(i + 1)f(i). (2.2.15)

Demonstratie. Se arata ca diferenta dintre solutia cautata X(n; X0) si solutia X(n) gasitala propzitia de existenta si unicitate este solutia (2.2.13).

Consecinta 2.4. Daca pentru orice n ∈ N matricea A(n) este inversabila, atunci pentruorice Y 0 ∈ Rm si orice n ≥ 1 exista un singur X0 astfel ıncat X(n + 1; X0) = Y 0.

Consecinta 2.5. Daca exista n0 ∈ N astfel ıncat A(n0) = 0, atunci pentru orice n ≥ n0

si orice X0 ∈ Rm are loc

X(n + 1; X0) = X(n + 1) = X(n0).

Propozitia 2.4. Daca matricea A(n) este constanta, A(n) = A, si vectorul f(n) esteconstant, f(n0 = b, atunci solutia (2.2.13) are forma

X(n + 1; X0) = AnX0, (2.2.16)

solutia (2.2.14) are forma

X(n + 1) =n∑

i=0

An−i−1b, (2.2.17)

iar solutia (2.2.15) are forma

X(n + 1) = AnX0 +n∑

i=0

An−i−1b. (2.2.18)


Demonstratie. Imediata.

Propozitia 2.5. Daca matricea A are m valori proprii reale distincte λ1,...,λm, siX1,...,Xm sunt vectorii proprii corespunzatori, atunci sirurile

X1(n) = λn1X

1, X2(n) = λn2X

2, . . . , Xm(n) = λnmXm (2.2.19)

sunt liniar independente si verifica ecuatia

X(n + 1) = AX(n). (2.2.20)

Demonstratie. AXk(n) = λnkAXk = λn+1

k Xk = Xk(n + 1), k = 1..m. Independentaliniara a sirurilor rezulta din independenta liniara a vectorilor X1,...,Xm.

Propozitia 2.6. Daca λ este o valoare proprie reala a matricii A cu ordinul de multi-plicitate k ≥ 2, si ın reprezentarea Jordan a lui A celulele care contin λ au dimensiunea1, atunci exista k vectori proprii liniar independenti X1,...,Xk ce corespund valorii pro-prii λ, iar sirurile X1(n) = λn

1X1,...,Xk(n) = λn

kXk sunt liniar independente si verifica

ecuatia

X(n + 1) = AX(n). (2.2.21)

Demonstratie. Daca ın reprezentarea Jordan a lui A celulele care contin λ au dimensiunea1, ınseamna ca multiplicitatea algebrica a lui λ este egala cu multiplicitatea sa geometricasi vom avea k vectori proprii liniar independenti corespunzatori lui λ, X1,...,Xk. Daratunci si sirurile X1(n) = λnX1,...,Xk(n) = λnXk vor fi liniar independente. In plus,Xk(n + 1) = λn+1Xk = λn(λXk) = AXk(n).

Teorema 2.1 (Jordan). Oricare ar fi matricea A, exista o matrice ”diagonala” A0 =diag(A01, A02, . . . , A0k) si o matrice nesingulara S cu urmatoarele proprietati:i. A0j este matrice patrata de ordinul qj, j = ¯1, k si

∑kj=1 qj = m;

ii. A0j este matrice de forma A0j = λjIj + Nj, j = ¯1, k, unde λj este valoare propriepentru matricea A, Ij este matricea unitate de ordinul qj, Nj este matrice nilpotenta deordinul qj, Nj = (bj

kl), k, l = ¯1, qj, cu bjkk+1 = 1 si bj

kl = 0 pentru l 6= k + 1; qj este celmult egal cu ordinul de multiplicitate al valorii proprii λj;iii. A = SA0S

−1.

Propozitia 2.7. Matricea An0 are forma

An0 = diag(An

01, An02, . . . , A

n0k) (2.2.22)

si matricea An0j are forma

An0j =

λnj

n1!λn−1

jn(n−1)

2!λn−2

j ...n(n−1)...(n−qj+2)

(qj−1)!λ

n−qj+1j

0 λnj

n1!λn−1

j ...n(n−1)...(n−qj+3)

(qj−2)!λ

n−qj+2j

0 0 λnj ...

n(n−1)...(n−qj+4)

(qj−3)!λ

n−qj+3j

... ... ... ... ...0 0 0 ... λn

j

. (2.2.23)

Sistem de ecuatii cu diferente de ordinul ıntai neliniar 35

Demonstratie. Inmultirea matricilor bloc diagonale se face pe blocuri, de unde rezultarelatia (2.2.22).Deoarece Nj este matrice nilpotenta de ordinul qj, Nj = (bj

kl), avem:

N2 =

0 0 1 0 . . . 00 0 0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 0 . . . 0

, . . . , N qj−1 =

0 . . . 0 10 . . . 0 0. . . . . . . . . . . .0 . . . 0 0

, N qj = Oqj

.

(2.2.24)Deoarece A0j = λjIj + Nj, iar λjIj, Nj comuta la ınmultire, pentru a calcula An

0j putemaplica binomul lui Newton, si obtinem:

(λjIj + Nj)n = λn

j Ij + Cn−1n λn−1

j Nj + . . . + Cn−qj+1n λ

n−qj+1j N

qj−1j .

Adunand matricile si tinand cont de (2.2.24) obtinem (2.2.23).

Propozitia 2.8. Elementele aij(n) ale matricii A = SAn0S

−1 sunt de forma

aij(n) =

k1∑j=1

λnj p

rs0 .

2.3 Sistem de ecuatii cu diferente de ordinul ıntai

neliniar

Un sistem de ecuatii cu diferente de ordinul ıntai explicit are forma:

X(n + 1) = g(n,X(n)) ∀n ∈ N. (2.3.25)

In (2.3.25) functia g : N×Ωm → R1, Ωm ⊂ Rm, este data si se cere sa se determine toatesirurile X : N→ Ωm care verifica (2.3.25).Daca functia g are forma g(n,X) = A(n)X + f(n), atunci (2.3.25) este un sistem liniarsi a fost studiat ın secventa anterioara.

Definitia 2.4. Daca functia g nu depinde liniar de X atunci ecuatia (2.3.25) esteneliniara.

De exemplu, sistemul

x(n + 1) = nx(n)y(n)

y(n + 1) = n[y(n)]2 + [x(n)]2 (2.3.26)

este un sistem neliniar.

Definitia 2.5. Daca g din sistemul (2.3.25) nu depinde de n (si g depinde neliniar deX) atunci sistemul (2.3.25) este autonom.


De exemplu, sistemul

x(n + 1) = [y(n)]2 + [x(n)]2

y(n + 1) = x(n)y(n) (2.3.27)

este un sistem autonom.

Fie g : Ωm → Ωm, Ωm ⊂ Rm, o functie continua, si ecuatia cu diferente de ordinul ıntaineliniara si autonoma

X(n + 1) = g(X(n)). (2.3.28)

Teorema 2.2 (existenta si unicitate). Pentru orice X0 ∈ Rm exista o singura solutieX(n; X0) a ecuatiei (2.3.28), care satisface conditia initiala X(0; X0) = X0, si aceastasolutie este data de formula:

X(n; X0) = g(n)(X0), (2.3.29)

unde g(0) este functia identica, iar g(n) = g g . . . g de n ori.

Demonstratie. Se arata prin inductie ca daca un sir X(n) verifica (2.3.28) si conditiainitiala X(0) = X0, atunci termenii sirului sunt dati de (2.3.29).

Observatia 2.3. Determinarea explicita a solutiei X(n; X0) nu este ın general posibila,iar analiza care se face este un studiu calitativ si de comportare asimptotica a solutiilor.

Definitia 2.6. Solutia X(n; X0) = g(n)(X0) este periodica de perioada l, daca existal ∈ N, l ≥ 2 astfel ıncat sa aiba loc egalitatea

X(n + l, X0) = X(n,X0) ∀n ∈ N (2.3.30)

si nu exista l′ ∈ N, 2 ≤ l′ < l pentru care are loc egalitatea (2.3.30).

Observatia 2.4. Daca (2.3.30) are loc pentru l = 1, atunci solutia X(n,X0) estestationara, X(n + 1, X0) ≡ X(n,X0) ≡ X0 ∀n, si X0 are proprietatea

g(X0) = X0. (2.3.31)

Aceasta arata ca X0 este un punct fix pentru g.De exemplu, ın cazul sistemului

x(n + 1) = y(n)

y(n + 1) = −x(n) (2.3.32)

pentru orice punct (x0, y0) 6= (0, 0) solutia (x(n; x0, y0), y(n; x0, y0)) este periodica si areperioada 4:

x(1; x0, y0) = y0, y(1; x0, y0) = −x0

x(2; x0, y0) = −x0, y(2; x0, y0) = −y0

x(3; x0, y0) = −y0, y(3; x0, y0) = x0

x(4; x0, y0) = x0, y(4; x0, y0) = y0

In cazul aceluiasi sistem solutia (x(n; 0, 0), y(n; 0, 0)) este stationara, (x(n; 0, 0) = 0 siy(n; 0, 0) = 0, ∀n).


Observatia 2.5. Daca functia g este liniara g(X) = AX + b si matricea (A − I) estenesingulara, atunci X0 = (I − A)−1b este punct fix pentru g, iar solutia X(n; X0) aecuatiei liniare X(n + 1) = AX(n) + b este stationara.

Propozitia 2.9. Solutia X(n,X0) a sistemului de ecuatii (2.3.28) este periodica deperioada l ≥ 2 daca si numai daca g(l)(X0) = X0 si pentru orice l′ ∈ N, 2 ≤ l′ < lg(l′)(X0) 6= X0.

Demonstratie. Formula (2.3.30) pentru n = 0 implica X(l, X0) = X(0, X0) = X0. Deaici rezulta g(l)(X0) = X0. Daca g(l)(X0) = X0 atunci X(n + l, X0) = g(n+l)(X0) =g(n)(g(l)(X0)) = g(n)(X0) = X(n, X0) pentru orice n ∈ N.Daca prin absurd exista l′ ∈ N 2 ≤ l′ < l astfel ıncat g(l′)(X0) = X0, atunci pentru oricen ∈ N avem g(n+l′)(X0) = g(l′)(X0), sau altfel, X(n + l′, X0) = X(l′, x0), ceea ce arata casolutia periodica X(n,X0) are perioada mai mica decat l.

Exemplu 2.1. In Ω = (x1, x2) ∈ R2|x1 6= 0 si x2 6= 0 se considera g : Ω → Ω definitaprin g(x1, x2) = (x2,

x2

x1)T si sistemul de ecuatii cu diferente

X(n + 1) = g(X(n)). (2.3.33)

Verificati ca orice solutie a sistemului (2.3.33) este periodica de perioada cel mult sase.Sistemul are o singura solutie stationara (x(n; 1, 1), y(n; 1, 1), nici o solutie de perioadadoi si trei solutii de perioada trei (x(n;−1,−1), y(n;−1,−1), (x(n;−1, 1), y(n;−1, 1) si(x(n; 1,−1), y(n; 1,−1).

Propozitia 2.10. Daca solutia X(n; X0) a sistemului (2.3.28) este periodica de perioadal ≥ 2, atunci termenii X(0; X0), X(1; X0),...,X(l−1; X0) ai sirului X(n; X0) sunt diferiti,si orice termen X(n; X0), cu n ≥ l apartine multimii X(0; X0), X(1; X0), . . . , X(l −1; X0).

Demonstratie. Orice n ≥ l poate fi scris sub forma n = ml + q, unde m ∈ N − 0 siq ∈ 0, 1, 2, . . . l − 1. Rezulta de aici egalitatile si apartenenta:

X(n; X0) = g(n)(X0) = g(q)(g(ml)(X0)) = g(q)(X0) ∈ X(0; X0), X(1; X0), . . . , X(l−1; X0).Daca dintre termenii X(0; X0), X(1; X0),...,X(l − 1; X0) doi ar fi egali, atunci ar exista:0 ≤ r < s ≤ l−1 astfel ıncat X(r; X0) = X(s; X0). De aici rezulta ca avem X(r+k; X0) =X(s + k; X0) ∀k ∈ N. Pentru k = l − 1− s avem X(r + l − 1− s; X0) = X(l − 1; X0) sideci X(r + l − s; X0) = X0. De aici rezulta ca X(r + l − s + k; X0) = X(k; X0) ∀k ∈ N.Acest rezultat este absurd pentru ca r + l− s < l si conform ipotezei perioada este l.

Propozitia 2.11. Daca solutia X(n; X0) a sistemului (2.3.28) este periodica de perioadal ≥ 2, atunci oricare ar fi Y 0 ∈ X(0; X0), X(1; X0), . . . , X(l − 1; X0) solutia X(n; Y 0)este periodica de aceeasi perioada l si, ın plus, are loc egalitatea

X(0; Y 0), X(1; Y 0), . . . , X(l−1; Y 0) = X(0; X0), X(1; X0), . . . , X(l−1; X0) (2.3.34)

Demonstratie. Deoarece Y 0 ∈ X(0; X0), X(1; X0), . . . , X(l−1; X0) exista 0 ≤ s ≤ l−1astfel ıncat Y 0 = X(s; X0). Rezulta ca pentru orice n avem

X(n; Y 0) = X(n; X(s,X0)) = X(n + s; X0).

Din aceasta egalitate rezulta afirmatia facuta.


Propozitia 2.12. Solutiile constante ale sistemului de ecuatii (2.3.28) se obtin pentruconditii initiale X0 care verifica ecuatia

g(X)−X = 0 (2.3.35)

adica pentru conditii initiale care sunt puncte fixe pentru functia g.Solutiile periodice de perioada l ≥ 2 ale ecuatiei (2.3.28) se obtin pentru conditii initialeX0 care verifica

g(l)(X)−X = 0 (2.3.36)

adica pentru conditii initiale care sunt puncte fixe pentru aplicatia g(l).

Demonstratie. Rezulta din cele aratate pana acum.

Observatia 2.6. Sistemul de ecuatii liniare neomogen

X(n + 1) = AX(n) + b (2.3.37)

are o solutie periodica de perioada l ≥ 2 daca si numai daca b ∈ Im(I − Al).

Observatia 2.7. Daca g este functie continua, atunci multimea conditiilor initiale pentrucare solutia sistemului de ecuatii cu diferente este stationara, este ınchisa. De asemenea,multimea conditiilor initiale pentru care solutiile sistemului de ecuatii cu diferente suntperiodice de perioada l ≥ 2, este ınchisa.

Definitia 2.7. O submultime Ωm′ ⊂ Ωm este invarianta ın raport cu ecuatia (2.3.28)

daca g(Ωm′) ⊂ Ωm

′.

Observatia 2.8. Ωm′ este o multime invarianta daca si numai daca g(n)(Ωm

′) ⊂ Ωm′

pentru orice n ∈ N.

Propozitia 2.13. 1. Oricare ar fi X0 ∈ Ωm, multimea X(0; X0), X(1; X0), . . . , X(n; X0), . . .este o multime invarianta ın raport cu ecuatia (2.3.28).

2. Reuniunea unei familii de multimi invariante este o multime invarianta ın raportcu ecuatia (2.3.28).

3. Intersectia unei familii de multimi invariante este o multime invarianta ın raportcu ecuatia (2.3.28).

Demonstratie. 1. Daca Y ∈ X(0; X0), X(1; X0), . . . , X(n; X0), . . . atunci exista k ∈ Nastfel ıncat Y = X(k; X0) = g(k)(X0). Rezulta ca g(Y ) = g(k+1)(X0) = X(k + 1; X0).Rezulta astfel apartenenta g(Y ) ∈ X(0; X0), X(1; X0), . . . , X(n; X0), . . ..2. Fie Ωj

mj∈J o familie de multimi invariante ın raport cu ecuatia (2.3.28), Ωjm ⊂ Ωm,

si fie

Ωm =⋃j∈J

Ωjm

. Din relatiile:

g(Ωm) = g(⋃j∈J

Ωjm) =

⋃j∈J

g(Ωjm) ⊂

⋃j∈J

Ωjm = Ωm


rezulta ca multimea Ωm este invarianta ın raport cu ecuatia (2.3.28).3. Consideram acum intersectia

Ωm =⋂j∈J

Ωjm.

Din relatiile:

g(Ωm) = g(⋂j∈J

Ωjm) ⊂

⋂j∈J

g(Ωjm) ⊂

⋂j∈J

Ωjm = Ωm

rezulta ca multimea Ωm este invarianta ın raport cu ecuatia (2.3.28).

Definitia 2.8. Multimea X(0; X0), X(1; X0), . . . , X(n; X0), . . . se numeste orbita punc-tului X0 si va fi notata cu θ(X0):

θ(X0) = X0, g(X0), g(2)(X0), . . . , g(n)(X0), . . .

Definitia 2.9. Un punct X ∈ Rn se numeste punct ω-limita a orbitei θ(X0) daca existaun sir (kl) de numere naturale care tinde la ∞, pentru care g(kl)(X0) → X pentru l →∞.Multimea punctelor ω-limita a orbitei θ(X0) se va nota cu ω(X0).

Observatia 2.9. Daca A ⊂ Ωm este o multime invarianta si ınchisa, atunci ω(a) ⊂ Apentru orice a ∈ A.

Propozitia 2.14. Oricare ar fi X0 ∈ Ωm, multimea ω(X0) este invarianta si ınchisa.

Demonstratie. Fie Y ∈ ω(X0) si kl → ∞ pentru l → ∞, astfel ıncat g(kl)(X0) → Ypentru l →∞. Deoarece g este functie continua, g(g(kl))(X0) → g(Y ) pentru l →∞, saualtfel g(kl+1)(X0) → g(Y ) pentru l →∞. Aceasta arata ca g(Y ) ∈ ω(X0) si prin urmaremultimea ω(X0) este invarianta ın raport cu ecuatia (2.3.28). Fie acum Y ∈ ¯ω(X0) sim ∈ N, m ≥ 1. Exista Y m ∈ ω(X0) astfel ıncat ||Y m − Y || < 1

2m si km astfel ıncat||g(km)(X0)− Y m|| < 1

2m . Rezulta de aici inegalitatea:

||g(km)(X0)− Y || < ||g(km)(X0)− Y m||+ ||Y m − Y | < 1

2m−1

si astfel convergenta g(km)(X0) → Y pentru m →∞. Aceasta demonstreaza apartenentaY ∈ ω(X0) si ın final incluziunea ¯ω(X0) ⊂ ω(X0).

Definitia 2.10. O multime A ⊂ Ωm invarianta si ınchisa se numeste atractiva dacaexista o multime deschisa V care contine pe A s care are proprietatea

g(k)(X) → A, k →∞ ∀X ∈ V.

Convergenta g(k)(X) → A, k →∞ ınseamna ca distanta dintre g(k)(X) si A tinde la 0.

Definitia 2.11. O multime A se numeste atractor ın cazul ecuatiei (2.3.28), daca A esteo multime atractiva si contine o orbita densa.

Exercitiu 1. Sa se gaseasca ω(x0, y0) ın cazul sistemului:

x(n + 1) = y(n)

y(n + 1) = −x(n)


Aceeasi ıntrebare ın cazul sistemului

x(n + 1) = y(n)

y(n + 1) =y(n)

x(n)

(x, y) ∈ R2; (x, y) 6= (0, 0).

Definitia 2.12. O solutie stationara X(n+1; X0) ≡ X0 a sistemului (2.3.28) este stabila,daca pentru orice ε > 0 exista δ = δ(ε) > 0 astfel ıncat, pentru orice X ′ ∈ Ωm cu||X ′ −X0|| < δ, rezulta ||X(n; X ′)−X0|| < ε ∀n ∈ N.Solutia stationara X(n + 1; X0) ≡ X0 este instabila, daca ea nu este stabila.

Definitia 2.13. Daca solutia stationara X(n + 1; X0) ≡ X0 a sistemului (2.3.28) estestabila, si daca exista r > 0 astfel ıncat pentru orice X ′ ∈ Ωm cu ||X ′ − X0|| < r avemX(n; X ′) → X0, atunci solutia stationara X(n + 1; X0) ≡ X0 este asimptotic stabila.

Definitia 2.14. O solutie periodica de perioada l, X(n,X0), a ecuatiei (2.3.28) estestabila (asimptotic stabila) daca solutiile stationare ale ecuatiei

X(n + 1) = g(l)(X(n)) (2.3.38)

ce pleaca din punctele orbitei θ(X0) sunt stabile (asimptotic stabile).

Exemplu 2.2. Sistemul liniar

x(n + 1) = y(n)

y(n + 1) = −x(n)

are solutia stationara x(n; 0, 0) ≡ 0 si y(n; 0, 0) ≡ 0. Aceasta solutie stationara estestabila, dar nu este asimptotic stabila.Oricare ar fi (x0, y0) 6= (0, 0), solutia (x(n; x0, y0), y(n; x0, y0)) a sistemului este periodicade perioada patru si este stabila, dar nu este asimptotic stabila.

Propozitia 2.15. Solutia stationara X(n; X0) a sistemului (2.3.28) este stabila (asimp-totic stabila) daca si numai daca solutia stationara Y (n; 0) a ecuatiei perturbate

Y (n + 1) = h(Y (n)) (2.3.39)

este stabila (asimptotic stabila), unde h : Ωm−X0 → Ωm−X0, h(Y ) = g(Y + X0)−X0,∀Y ∈ Ωm −X0.

Demonstratie. Aratam ca pentru orice Y ∈ Ωm −X0 are loc egalitatea

h(k)(Y ) = g(k)(Y + X0)−X0 ∀Y ∈ Ωm −X0 (2.3.40)

Pentru k = 0 egalitatea (2.3.40) revine la Y = Y + X0 − X0 ceea ce este evidentadevarat pentru orice Y ∈ Ωm − X0. Pentru k = 1 egalitatea (2.3.40) revine lah(Y ) = g(Y + X0) − X0. Aceasta egalitate este adevarata ın virtutea definitiei functieih. Pentru k = 2 egalitatea (2.3.40) ınseamna h(2)(Y ) = g(2)(Y + X0)−X0. Ca sa aratamaceasta egalitate din urma, calculam h(2)(Y ) si gasim:

h(2)(Y ) = h(h(Y )) = h(g(Y + X0)−X0) = g(g(Y + X0)−X0 + X0)−X0 =

g(g(Y + X0))−X0 = g(2)(Y + X0)−X0.


Presupunem egalitatea (1.3.16) adevarata pentru k si aratam ca este adevarata pentruk + 1.

h(k+1)(Y ) = h(g(k)(Y +X0)−X0) = g(g(k)(Y +X0)−X0+X0)−X0 = g(k+1)(Y +X0)−X0.

Astfel egalitatea (1.3.16) a fost demonstrata.Din(1.3.16) rezulta urmatoarele echivalente:

|h(k)(Y )| < ε ⇔ |g(k)(Y + X0)−X0| < ε ∀k ∈ N,∀ε > 0si∀Y ∈ Ωm −X0

|h(k)(Y )| → 0 pentru k →∞⇔ g(k)(Y + X0) → X0pentruk →∞∀Y ∈ Ωm −X0.

De aici rezulta afirmatia din propozitie.

Observatia 2.10. Acesta propozitie reduce stabilitatea (stabilitatea asimptotica) a uneisolutii stationare X(n; X0) ≡ X0 a sistemului (2.3.28) la stabilitatea (stabilitatea asimp-totica) a solutiei stationare identic nule Y (n; 0) ≡ 0 a ecuatiei perturbate (2.3.39).

Propozitia 2.16. Daca functia h din ecuatia (2.3.39) este de clasa C1, h(0) = 0 si|| ∂h

∂Y(0)|| < 1, atunci solutia stationara nula Y (n; 0) ≡ 0 a sistemului (2.3.39) este

asimptotic stabila.

Demonstratie. Fie α > 0 astfel ıncat || ∂h∂Y

(0)|| < 1. Din continuitatea functiei Y 7→|| ∂h

∂Y(Y )|| rezulta ca exista δ > 0 astfel ıncat pentru orice Y cu ||Y || < δ avem

|| ∂h∂Y

(0)|| ≤ α. Cu teorema lui Lagrange rezulta ca, pentru y′,y′′ cu ||Y ′|| < δ, ||Y ′′|| < δ,avem ||h(Y ′)−h(Y ′′)|| < α||Y ′−Y ′′||. De aici rezulta egalitatea ||h(Y )|| ≤ α||Y ||, pentruorice ||Y || < δ. Prin inductie rezulta ın continuare ||h(k)(Y )|| ≤ αk||Y ||, pentru ||Y || < δ.Deoarece αk → 0 pentru k → ∞, rezulta ca ||h(k)(Y )|| → 0 pentru k → ∞, pentru orice||Y || < δ.Pentru ε > 0 consideram δ′ = minε, δ apoi Y cu ||Y || < δ′ si estimam ||g(k)(Y )||obtinand ||g(k)(Y )|| ≤ αk||Y || < ||Y || < ε.Rezultatul arata ca solutia stationara Y (k; 0) ≡ 0 a ecuatiei (2.3.39) este asimptoticstabila.

Observatia 2.11. Daca functia g din ecuatia (2.3.28) este clasa C1, g(X0) = X0, si|| ∂g

∂X(X0)|| < 1 atunci solutia stationara X(n; X0) = X0 a sistemului (2.3.28) asimptotic

stabila.

Observatia 2.12. Am vazut ca ın cazul unei singure ecuatii |h′(0)| > 1 sau |g′(x0)| > 1implica instabilitate. In cazul unui sistem, o asemenea implicatie nu mai este adevarata.Mai exact || ∂h

∂Y(0)|| > 1 sau || ∂g

∂X(X0)|| > 1, nu implica instabilitate. De exemplu, solutia

stationara identic nula a sistemului liniar

x(n + 1) = 2y(n)

y(n + 1) = 0

este stabila, desi || ∂h∂Y

(0)|| = 2.

Definitia 2.15. Un sir X(n) care converge la solutia X∗ a ecuatiei g(X) = X are ordinulde convergenta r, daca

limn→∞

||X∗ −X(n + 1)||||X∗ −X(n + 1)||r = ρ, ρ ∈ (0,∞).

Constanta ρ se numeste eroare asimptotica.


2.4 Metoda lui Newton-Raphson de rezolvare a sis-

temelor de ecuatii neliniare F(X)=0

Fie functia F : Ωm ⊂ Rm → Rm de clasa C1 pe Ωm. Rezolvarea numerica a sistemului deecuatii

F (X) = 0 (2.4.41)

cu metoda Newton-Raphson ınseamna considerarea sistemului de ecuatii cu diferente:

X(n + 1) = X(n)− J−1F (X(n)) · F (X(n)), n ∈ N, (2.4.42)

cu conditia initiala X0 ∈ Ωm, si determinarea limitei solutiei X(n; X0), daca acestea(solutia si limita) exista.

Observatia 2.13. Sistemul de ecuatii cu diferente (2.4.42) este definit de functia

G(X) = X − J−1F (X)F (X), (2.4.43)

care exista doar pentru X ∈ Ωm pentru care det JF (X) 6= 0. Presupunand ca det JF (X) 6=0, ∀X ∈ Ωm, functia G este definita pe Ωm si este continua pe Ωm. Aceasta ınsa nu estesuficient pentru ca ecuatia cu diferente (2.4.42) sa aibe solutie pentru orice X0 ∈ Ωm.Este necesar, ın plus, ca functia G sa invarieze Ωm.

Relatia dintre solutiile sistemului de ecuatii (2.4.41) si limitele solutiilor sistemului deecuatii (2.4.42) este data de:

Propozitia 2.17. Daca det JF (X) 6= 0, ∀X ∈ Ωm, si G(X) = X − J−1F (X) · F (X)

invariaza domeniul Ωm (G(Ωm) ⊂ Ωm), atunci X∗ este solutie a sistemului de ecuatii(2.4.41) daca si numai daca exista X0 ∈ Ωm, astfel ıncat solutia sistemului de ecuatii(2.4.42), care satisface conditiile initiale X(0) = X0, tinde la X∗.

Demonstratie. Ca si ın cazul unei singure ecuatii.

Urmatoarea propozitie arata ca daca functia F este de clasa C2, atunci orice solutieX∗ ∈ Ωm a sistemului de ecuatii (2.4.41), ın care det JF (X∗) 6= 0, poate fi obtinuta cumetoda Newton-raphson aplicata pe o sfera deschisa S(X∗; r). Mai mult, pentru oriceX0 ∈ S(X∗; r), solutia X(n; X0) a sistemului de ecuatii (2.4.42) tinde la X∗ pentrun →∞.

Propozitia 2.18. Daca functia F : Ωm ⊂ Rm → Rm este de clasa C2, X∗ este solutiea sistemului de ecuatii (2.4.41) si det JF (X∗) 6= 0, atunci exista r > 0 astfel ıncat sferadeschisa S(X∗; r) = X/||X −X∗|| < r este inclusa ın Ωm, si au loc urmatoarele:i. det JF (X) 6= 0, ∀X ∈ S(X∗; r);ii. functia G(X) = X − J−1

F (X)F (X) invariaza sfera deschisa S(X∗; r);iii. pentru orice X0 ∈ S(X∗; r) solutia X(n; X0) a sistemului de ecuatii (2.4.43) tinde laX∗ pentru n →∞.

Metoda lui Newton-Raphson de rezolvare a sistemelor de ecuatii neliniare F(X)=0 43

Demonstratie. Functia X 7→ det JF (X) este continua pe Ωm si det JF (X∗) 6= 0. Rezultaca exista r > 0 astfel ıncat S(X∗; r) ⊂ Ωm si det JF (X) 6= 0 pentru orice X ∈ S(X∗; r).Pentru orice X ∈ S(X∗; r) functia G(X) = X − J−1

F (X)F (X) este de clasa C1, si are locegalitatea:

JG(X∗) = −(n∑

k=1

∂bik

∂xj

(X∗) · fk(X∗))i=1,n;j=1,n,

unde bik(X) sunt elementele matricii det J−1F (X), iar fk sunt componentele scalare ale

functiei F .De aici rezulta ca det JG(X∗) = 0. Prin urmare exista r > 0 astfel ca S(X∗; r) ⊂ Ωm si||JG(X)|| < 1

2pentru orice X ∈ S(X∗; r). De aici rezulta ca pentru orice X0 ∈ S(X∗; r)

avem ||Gn(X) − X∗|| < 12||X0 − X∗||. Acest fapt se arata prin inductie. Pentru n = 1

avem de aratat ca are loc ||G(X0)−X∗|| < 12||X0 −X∗||. pentru aceastea se observa in

primul rand ca are loc egalitatea

||G(X0)−X∗|| = ||G(X0)−G(X∗)|| = ||h(1)− h(0)||,

unde h(t) = G(tX0 + (1 − t)X∗), t ∈ [0, 1]. Se aplica functiei h formula cresterilor finitesi se obtine

||h(1)− h(0)|| ≤ supt∈[0,1]

||h′(t)||.

Intrucat h′(t) = JG(tX0 + (1− t)X∗)(X0 −X∗), rezulta ca avem

||h′(t)|| ≤ ||JG(tX0 + (1− t)X∗)|| · ||(X0 −X∗)|| < 1

2||X0 −X∗||.

Se obtine ın acest fel inegaliatatea

||G(X0)−X∗|| < 1

2||X0 −X∗||.

In particular, rezulta de aici ca are loc

||G(X0)−X∗|| ≤ r

2< r,

care arata ca G invariaza sfera S(X∗; r).Inegalitatea pentru n = 2 ||G(2)(X0)−X∗|| < 1

22 ||X0 −X∗|| se obtine astfel:

||G(2)(X0)−X∗|| < ||G(G(X0))−X∗|| < 1

2||G(X0)−X∗|| < 1

22||X0 −X∗||.

Tot asa se arata ca daca inegalitatea este valabila pentru n, atunci este valabila si pentrun + 1.Inegalitatea ||G(n)(X0) − X∗|| < 1

2n ||X0 − X∗|| arata ca solutia X(n; X0) = G(n)(X0) asistemului de ecuatii cu diferente (2.4.43) tinde la X∗ pentru n →∞.

Exemplu 2.3. Consideram sistemul de ecuatii algebrice

x2 − x1 = 0

x21 + x2

2 − 1 = 0


ale carui solutii sunt (√

22

,√

22

)T = X∗1 si (−

√2

2,−

√2

2)T = X∗

2 .Functia G ın cazul acestui sistem este:

G(x1, x2) =(

x21+x2

2+1

2(x1+x2),

x21+x2

2+1

2(x1+x2)

)T

,

iar jacobianul JG(X) este dat de:

JG(X) =

(x21−x2

2+2x1x2−1

2(x1+x2)2x21−x2

2+2x1x2−1

2(x1+x2)2

x21−x2

2+2x1x2−1

2(x1+x2)2x21−x2

2+2x1x2−1

2(x1+x2)2

).

Se verifica usor ca au loc egalitatile:

JG(X∗1 ) =

(0 00 0

)si JG(X∗

2 ) =

(0 00 0

).

Norma matricei JG(X) se evalueza considerand (u, v)T ∈ R2 cu u2 + v2 ≤ 1, si calculandJG(X)[uv]T . Rezulta:

||JG(X)[uv]T ||2 ≤ 1

4(x1 + x2)4[(x2

1 − x22 + 2x1x2 − 1)2 + (x2

2 − x21 + 2x1x2 − 1)2].

Pentru evaluarea normei ||JG(X)|| ın jurul punctului X∗1 se considera x1 >

√2

4, x2 >

√2

4.

Pentru asemenea (x1, x2)T are loc 1

2(x1+x2)2< 1, si deci

||JG(X)|| ≤√

(x21 − x2

2 + 2x1x2 − 1)2 + (x22 − x2

1 + 2x1x2 − 1)2.

Fie acum α =√

3−√24

> 0 si |x1 −√

22| < α, |x2 −

√2

2| < α. Prin calcul rezulta ca, pentru

(x1, x2)T cu aceasta proprietate, avem ||JG(X)|| <

√2

2< 1.

Rezulta de aici ca, pentru x01 ∈ [

√2

2− α,

√2

2+ α] si x0

2 ∈ [√

22− α,

√2

2+ α], avem

X(n; X0) = G(n)(X0) −−−→n→∞

(

√2

2,

√2

2)T = X∗

1 .

Evaluarea normei ||JG(X)|| ın jurul punctului X∗2 se face ın mod asemanator.

Urmeaza acum o teorema datorata lui kantorovich, care stabileste ca, ın anumite conditii,sistemul de ecuatii F (X) = 0 are solutie (si o vom nota cu X∗), iar sirul X(n; X0),construit cu metoda Newton-Raphson, converge la X∗. Demonstratia teoremei estelaborioasa (ca si cea a lui Ostrovski) si de aceea vom da aici doar enuntul.

Propozitia 2.19 (Teorema lui Kantorovich). Fie F : Rm → Rm, o functie de clasaC1 pe un domeniu Ωm, si X0 ∈ Ωm. Daca sunt ındeplinite urmatoarele conditii:

i. det JF (X0) 6= 0 si ||J−1F (X0)|| ≤ β0;

ii. ||JF (X)− JF (Y )|| ≤ γ||X − Y ||, ∀X,Y ∈ Ωm;iii. ||J−1

F (X0)F (X0)|| ≤ η0;iv. α0 = β0 · γ · η0 < 1

2;

v. sfera S0 = S(X0; r0), cu r0 = 1−√1−2α0

α0· η0, este inclusa ın Ωm;

atunci ecuatia F (X) = 0 are o solutie unica X∗ ın S0(X0; r0), iar solutia X(n; X0) a

ecuatiei cu diferente (2.4.42) tinde la X∗.

Exemplu 2.4. Sa se ilustreze teorema lui Kantorovich pe ecuatia de gradul doi F (x) = 0,unde F (x) = x2 − x.

Metoda simplificata a lui Newton de rezolvare numerica a sistemului de ecuatii neliniare F(X)=045

2.5 Metoda simplificata a lui Newton de rezolvare

numerica a sistemului de ecuatii neliniare F(X)=0

Fie functia F : Ωm ⊂ Rm → Rm de clasa C1 pe Ωm. Rezolvarea numerica a sistemului deecuatii

F (X) = 0 (2.5.44)

cu metoda Newton simplificata, ınseamna alegerea unui punct X0 ∈ Ωm cu det JF (X0) 6=0, cosiderarea sistemului de ecuatii cu diferente

X(n + 1) = X(n)− J−1F (X0)F (X(n)), n ∈ N, (2.5.45)

si determinarea limitei solutiei X(n; X0), daca acestea (solutia si limita) exista.

Observatia 2.14. Ecuatia (2.5.45) este definita de functia

GX0(X) = X − J−1F (X0)F (X), (2.5.46)

care are sens pentru orice X ∈ Ωm (det JF (X0) 6= 0). Acest fapt, ınsa, nu este suficientpentru ca solutia X(n; X0) a sistemului cu diferente (2.5.45) sa existe. Este necesar ca

G(n)

X0(X0) ∈ Ωm, ∀n ∈ N. Daca G invariaza multimea Ωm, atunci aceasta din urmaconditie este ındeplinita.

Legatura dintre solutiile sistemului de ecuatii (2.5.44) (atunci cand exista) si limita solutieiX(n; X0) a sistemului de ecuatii cu diferente (2.5.45) este clarificata de urmatoarelepropozitii.

Propozitia 2.20. Daca functia GX0(X) = X − J−1F (X0)F (X) invariaza Ωm si solutia

X(n; X0) a ecuatiei cu diferente (2.5.45) converge la un punct X∗ ∈ Ωm, atunci X∗ estesolutie pentru sistemul de ecuatii (2.5.44).

Demonstratie. Se considera egalitatea

X(n + 1; X0) = X(n; X0)− J−1F (X0)F (X(n; X0)),

si se trece la limita pentru n →∞. Se obtine

X∗ = X∗ − J−1F (X0)F (X∗).

De aici rezulta: F (X∗) = 0.

Propozitia 2.21. Daca X∗ este solutie a sistemului de ecuatii (2.5.45) si det JF (X∗) 6= 0,atunci exista Ωm

′ ⊂ Ωm cu urmatoarele proprietati:

i. X∗ ∈ Ωm′ si det JF (X) 6= 0, ∀X ∈ Ωm

′;ii. ∀X0 ∈ Ωm

′ functia GX0(X) = X − J−1F (X0)F (X) ınvariaza Ωm

′;iii. ∀X0 ∈ Ωm

′ solutia X(n; X0) a sistemului (2.5.45) tinde la X∗.


Demonstratie. Aplicatia X 7→ JF (X) este continua pe Ωm, si det JF (X∗) 6= 0. Rezultaca exista un domeniu Γ ⊂ Ωm care contine pe X∗, astfel ıncat pentru orice X ′, X ′′ ∈ Γ,are loc ||JF (X ′)||, ||JF (X ′′)|| > 1

2|JF (X∗)| si ||JF (X ′) − JF (X ′′)|| < 1

4||JF (X∗)||. Pentru

X, X0 ∈ Γ are loc:JGX0 (X) = 1− J−1

F (X0)JF (X)

si de aici, ||JGX0 (X)|| < 12, ∀X, X0 ∈ Γ. De aici rezulta, conform Propozitiei 2.16,

ca solutia stationara X(n; X∗) ≡ X∗ a sistemului de ecuatii (2.5.45) este asimptoticstabila, iar solutia X(n; X0) a sistemului (2.5.45) tinde la X∗ pentru n → ∞, oricare arfi X0 ∈ Γ.

2.6 Metoda functiei Liapunov de investigare a sta-

bilitatii unei solutii stationare

Fie G : Ωm ⊂ Rm → Ωm o functie continua, si X0 ∈ Ωm, astfel ıncat G(X0) = X0.

Sistemul de ecuatii cu diferente

X(n + 1) = G(X(n)) (2.6.47)

admite solutia stationara X(n; X0) ≡ X0.

Un instrument de investigare a stabilitatii (stabilitatii asimptotice) a solutiei stationareX(n; X0) ≡ X0 este functia Liapunov (functia Liapunov stricta).

Definitia 2.16. O functie continua V : Ωm ⊂ Rm → R1 se numeste functie Liapunovpentru sistemul de ecuatii (2.6.47) ın X0, daca V (X0) = 0, V (X) > 0 pentru X 6= X0,si daca exista r > 0 astfel ıncat ∀X ∈ Ωm, ||X −X0|| < r avem

V (G(X))− V (X) ≤ 0. (2.6.48)

Daca inegalitatea este stricta, atunci V se numeste functie Liapunov stricta.

Observatia 2.15. Pentru X ′ ∈ Ωm cu ||X ′ − X0|| < r, conditia (2.6.48) exprimafaptul a functia V nu creste pe sirul X(n; X ′) = G(n)(X ′) pana ce X(n; X ′) verifica||X(n; X ′)−X0|| < r.

Propozitia 2.22. Daca exista o functie Liapunov V pentru sistemul de ecuatii (2.6.47)ın X0, atunci solutia stationara X(n; X0) ≡ X0 este stabila.

Demonstratie. Fie V : Ωm → R1 o functie Liapunov pentru ecuatia (2.6.47) ın X0.Inegalitatea (2.6.48) are loc pe o sfera cu centrul ın X0 si de raza r,S(X0, r).Consideram ε > 0 si ε < r, sfera S(X0, ε) si numarul m = minV (x)/||X−X0|| = ε > 0.Consideram acum multimea deschisa U = X ∈ Ωm|V (X) < m

2 si apoi W cea mai mare

componenta conexa a lui U care contine punctul X0. Fie δ = δ(ε) > 0 astfel ıncatS(X0, δ) ⊂ W ⊂ U.Pentru orice X ∈ S(X0, δ) avem:

V (G(X)) ≤ V (X) <m

2.

Metoda functiei Liapunov de investigare a stabilitatii unei solutii stationare 47

Multimea W este inclusa ın sfera S(X0, ε). Aceasta pentru ca ın caz contrar existaX1 ∈ W astfel ıncat X1 /∈ S(x0, ε). Segmentul cu capetele ın X0 si X1 este inclus ınW . Pe acest segment exista un punct X2 astfel ıncat ||X0 − X2|| = ε. In X2 avemV (X2) ≥ m > m/2. Aceata concluzie este absurda deoarece X2 ∈ W si prin urmareV (X2) < m/2.Fie acum X ∈ S(X0, δ). Din V (G(X)) ≤ V (X) < m

2rezulta ca G(X) ∈ U. Vom arata

ca G(X) ∈ W. Deoarece G este functie continua, multimea G(S(X0, δ)) este o multimedeschisa si conexa, si pentru orice Y ∈ G(S(X0, δ)) avem V (Y ) < m

2. Prin urmare

G(S(X0, δ)) ⊂ W ⊂ S(X0, ε). Astfel am obtinut implicatia:

∀X ∈ S(X0, δ) ⇒ G(X) ∈ S(X0, ε)

Analog se obtine ca, pentru orice k ∈ N, are loc

∀X ∈ S(X0, δ) ⇒ G(k)(X) ∈ S(X0, ε).

Apartenenta G(k)(X) ∈ S(X0, ε) pentru orice k ∈ N si orice X ∈ S(X0, δ), arata casolutia stationara X(n; X0) ≡ X0 este stabila.

Exemplu 2.5. Functia V (x1, x2) = x21 + x2

2 este functie Liapunov ın (0, 0)T pentrusistemul

x(n + 1) = (cos θ) · x(n) + (sin θ) · y(n)

y(n + 1) = (− sin θ) · x(n) + (cos θ) · y(n).

Propozitia 2.23. Daca pentru sistemul (2.6.47) exista o functie Liapunov stricta ın X0,atunci solutia stationara X(n; X0) ≡ X0 este asimptotic stabila.

Demonstratie. Presupunem prin absurd ca V este o functie Liapunov stricta ın X0 sisolutia X(n; X0) ≡ X0 nu este asimptotic stabila. Tinand seama de propozitia anterioaraaceasta ınseamna ca exista un punct X ′ ∈ S(X0, δ) astfel ıncat, desi X(n; X ′) ∈ S(X0, ε),sirul X(n; X ′) nu tinde la X0 pentru n →∞. Sirul X(n; X ′), fiind marginit, are un subsirX(nk; X

′) convergent la un punct X ∈ S(X0, ε) pentru nk →∞, X 6= X0.Pentru l ∈ N, l fixat, fie nk > l. Avem urmatoarele inegalitati:

V (X(l; X ′)) > V (X(nk; X′)) > V (X).

Pe de alta parte V (G(X)) < V (X) si V G continua, implica existenta unui numarγ > 0 astfel ca, pentru orice X ∈ S(X, γ), sa avem V (G(X)) < V (X). Pentru nk

suficient de mare X(nk; X′) ∈ S(X, γ), si astfel V (G(X(nk; X

′))) < V (X); aceasta este ocondradictie.Rezulta astfel ca solutia stationara X(n; X0) ≡ X0 este asimptotic stabila.

Observatia 2.16. Daca dorim sa folosim metoda functiei Liapunov pentru analizastabilitatii solutiei stationare X(n; X0) ≡ X0, dificultatea majora de care ne lovim estegasirea unei functii Liapunov sau a unei functii Liapunov stricte. Daca aceasta dificultateeste depasita si, sa zicem ca am gasit o functie Liapunov stricta V ın X0, atunci pentruorice X0

′ ∈ S(X0, r) pentru care X(n; X0′) ∈ S(X0, r), ∀n ∈ N, sirul X(n; X0

′) → X0.Mai mult:


Consecinta 2.6. Daca pentru sistemul (2.6.47) exista r > 0 astfel ıncat ∀X ∈ B(X0, r)sa avem ||G(X) − X0|| < ||X − X0||, atunci pentru orice X0

′ ∈ B(X0, r) solutiaX(n; X0

′) −−−→n→∞

X0.

Aplicatie 1. Ce se poate spune despre stabilitatea originii ın cazul sistemului

x(n + 1) = y(n)− y(n)[x2(n) + y2(n)]

y(n + 1) = x(n)− x(n)[x2(n) + y2(n)].

Propozitia 2.23 poate fi folosita pentru a demonstra un criteriu de stabilitate asimptoticamai general decat cel din Propozitia 2.16, anume:

Propozitia 2.24. Daca G este de clasa C1 si raza spectrala a matricei Jacobi JG(X0)este subunitara, atunci X(n; X0) ≡ X0 este asimptotic stabila.

Demonstratia acestei propozitii este lunga si tehnica. De aceea nu ete facuta aici.

Observatia 2.17. Precizam ca raza spectrala r(A) a unei matrici A este data de:

r(A) = sup1≤i≤n

|λi|,

unde λ1, . . . , λn sunt valorile proprii ale matricei A.

Observatia 2.18. Daca r(JG(X0)) > 1 atunci se poate demonstra ca solutia stationaraX(n; X0) ≡ X0 nu este stabila (La Salle).Daca r(JG(X0)) = 1 atunci nu putem obtine informatii relative la stabilitate folosind razaspectrala! De exemplu, ın cazul sistemului de la Aplicatia 1 raza spectrala r(JG(0, 0)) = 1,si stabilitatea nu se investigheaza prin liniarizare. Folosind ınsa o functie Liapunov, sepoate arata ca x(n; (0, 0)) ≡ 0 si y(n; (0, 0)) ≡ 0 este asimptotic stabila.

2.7 Domeniul de atractie al unei solutii stationare

Fie F : Ωm ⊂ Rm → Ωm o functie continua cu proprietatea F (X0) = X0 pentru unX0 ∈ Ωm.

Consideram sistemul de ecuatii cu diferente

X(n + 1) = F (X(n)), (2.7.49)

si presupunem ca solutia stationara X(n; X0) ≡ X0 a sistemului (2.7.49) este asimptoticstabila.

Definitia 2.17. Domeniul de atractie al solutiei stationare X(n; X0) ≡ X0 este multimeaacelor X ′ ∈ Ωm pentru care X(n; X ′) −−−→

n→∞X0.

Propozitia 2.25. Domeniul de atractie Da(X0) al solutiei stationare X(n; X0) ≡ X0 a

sistemului (2.7.49), numit sistem neperturbat, si domeniul de atractie Da(0) al solutieistationare Y (n; 0) ≡ 0 a sistemului perturbat

Y (n + 1) = F (Y (n) + X0)−X0, (2.7.50)

verifica relatia:Da(X

0) = Da(0) + X0. (2.7.51)



Propozitia 2.26. Domeniul de atractie Da(0) este o multime deschisa.

Demonstratie. Consideram G(y) = F (Y +X0)−X0 si scriem sistemul (2.7.50) sub formaY (n + 1) = G(Y (n)). Daca Y 0 ∈ Da(0) atunci Y (n; Y 0) −−−→

n→∞0 si exista k ∈ N astfel

ıncat ||Y (n; Y 0)|| < r, ∀n > k; r este numarul pozitiv din definitia stabilitatii asimptotice.Functia G(k) este continua si de aceea exista r′ > 0 astfel ıncat pentru orice Y ′ cu||Y ′ − Y 0|| < r′ avem ||G(k)(Y ′)|| < r. Intrucat pentru n > k avem Y (n; Y ′) =Y (n − k; Y (k; Y ′)), rezulta ca pentru n → ∞, Y (n; Y ′) → 0. Acesta demonstreazaca Da(0) este multime deschisa.

Comentariu: In general Da(0) nu este multime conexa. Din acest motiv numele dedomeniu de atractie nu este potrivit (domeniu ınsemnand o multime deschisa si conexa).Cu toate acestea, aceasta este denumirea folosita ın literatura.

Multimea Da(0) si frontiera sa sunt ın general complicate si nu au o reprezentare analiticasimpla. Se folosesc diferite caracterizari si metode de aproximare a domeniului de atractieDa(0). In cele ce urmeaza vom da o caracterizare si aproximari ale lui Da(0).

Propozitia 2.27. Fie Ωm ⊂ Rm, 0 ∈ Rm, F : Ωm → Ωm, F analitica si F (0) = 0. Daca||JF (0)|| < 1 atunci solutia X(n; 0) ≡ 0 a sistemului X(n+1) = F (X(n)) este asimptoticstabila si Da(0) este domeniul de analiticitate a functiei V definita de ecuatia

V (F (X))− V (X) = −||X||2 (2.7.52)

si conditiaV (0) = 0. (2.7.53)

Functia V este pozitiva pe Da(0),

limX→X0

V (X) = ∞,

unde X0 ∈ FrDa(0) silim

||X||→∞V (X) = ∞.

Demonstratie. Fie α astfel ıncat ||JF (0)|| < α < 1 si δ > 0 astfel ıncat ||JF (X)|| ≤ α ∀X,||X|| < δ Rezulta ||F (X)|| < α||X|| pentru orice X cu ||X|| < δ. Pentru ε > 0 fie δ′ =min(δ, ε) si fie X0 astfel ıncat ||X0|| < δ′. Pentru X0 avem ||X(n; X0)|| = ||F (n)(X0)|| < ε∀n ∈ N. Aceasta arata ca solutia stationara X(n; 0) ≡ 0 este stabila. Inegalitatea||F (n)(X)|| ≤ αn||X||, valabila pentru orice X cu ||X|| < δ, arata ca X(n; X0) −−−→

n→∞0.

Deci stabilitatea este asimptotica.Fie acum X ∈ Da(0) si sirul X(n; X). Exista nX astfel ıncat ||X(n; X)|| < δ pentrun > nX . De aici ||X(n + nX ; X)|| ≤ αn||X(nX ; X)|| si deci seria

∑∞n=0 ||X(n; X)||2 este

convergenta pentru X ∈ Da(0).Fie V (X) =

∑∞n=0 ||X(n; X)||2, pentru X ∈ Da(0). Aceasta functie verifica ecuatia

(2.7.52) si conditia (2.7.53), si este pozitiva.Fie X0 ∈ FrDa(0) si r > 0 astfel ıncat ||X(n; X0)|| > r, ∀n ∈ N. Pentru M > 0 fie nM ∈ Nastfel ıncat nM > 2M

r2 + 1 si r1 > 0 astfel ıncat ||X(n; X)|| ≥ r√2

pentru n = 1, 2, . . . , nM

si ||X −X0|| < r1. Daca X ∈ Da(0) si ||X −X0|| < r1, atunci∑n

n=0 ||X(n; X)||2 > M .De aici V (X) →∞ pentru X → X0.


Comentariu: Functia V poate fi gasita teoretic cu formula V (X) =∑n

n=0 ||F (n)(X)||2.Acesta serie nu este o serie de puteri. Dar V (X), fiind analitica, admite o dezvoltare ınserie de puteri ın jurul lui X = 0. Domeniul de convergenta D0 a dezvoltarii lui V este oparte a lui Da(0). Aceasta este o prima aproximare a lui Da(0).Daca D0 este strict inclus ın Da(0), atunci exista X0 ∈ FrD0 astfel ıncat V este marginitape o vecinatate deschisa a lui X0 In acest caz se poate considera dezvoltarea ın seriede puteri a lui V ın jurul lui X0. Domeniul de convergenta D1 a seriei centrate ın X0

furnizeaza o parte suplimentara a lui Da(0), obtinandu-se astfel partea D0∪D1 a lui Da(0).Daca exista un punct X1 ∈ FrD0 ∪D1 astfel ıncat V este marginita pe o vecinatate a luiX1, atunci procedeul se repeta.

Exemplu 2.6. Fie sistemul de ecuatii cu diferente:

x(n + 1) = −y(n)[1− x2(n)− y2(n)]

y(n + 1) = −x(n)[1− x2(n)− y2(n)]. (2.7.54)

Solutia nula x(n; 0, 0) ≡ 0 y(n; 0, 0) ≡ 0 a sistemului este asimptotic stabila si domeniulei de atractie este Da(0) = (x, y) ∈ R2|x2 + y2 < 3. Cu tehnica de aproximare a luiDa(0), se gaseste:

Figura 2.1: Estimarea lui Da(0) dupa doi pasi pentru sistemul (2.7.54)

Exemplu 2.7. In cazul sistemului decuplat

x(n + 1) = 4x3(n)

y(n + 1) = 9y3(n) (2.7.55)

solutia nula este asimptotic stabila si Da(0) = (−12, 1

2)×(−1

3, 1

3). Aplicand procedeul, dupa

primul pas gasim Da(0).


Figura 2.2: Estimarea lui Da(0) dupa un pas pentru sistemul (2.7.55)

Ecuatii cu diferente

Documents

Transcript of Ecuatii cu diferente