ecuatii diferentiale(2)

8/7/2019 ecuatii diferentiale(2)

1/30

Ecuaii difereniale de ordinul nti

Definiie. Se numete ecuaie diferenialde ordinul nti o relaie de forma

( ), , 0F x y y =/ (1)

unde: Feste o funcie real dat, definit pe domeniul 3D R , avnd ca argumente: variabila

independentx R , funcia necunoscut ( )y y x= i derivata sa ( ) y y x=/ / . Funcia ( )y x= senumete soluie a ecuaiei (1) dac mpreun cu derivata verific ecuaia ( ) ( )( ), , 0F x x x = .

Dac ecuaia (1) se poate scrie

( ),y f x y=/ (2)

atunci (2) se numeteforma explicitsau normala ecuaiei difereniale (1).

Numim soluie generala ecuaiei (1) o funcie ( ), y x C = care mpreun cu derivata ei verific

ecuaia. Soluia generaleste format dintr-o familie de curbe plane. Numim soluie particulara ecuaiei (1) o soluie care se obine din soluia general pentru valori arbitrare date constante.

Problema determinrii soluiei ecuaiei (2), al crei grafic trece printr-un punct dat ( )0 0,x y se

numeteproblemCauchy.

Iar ( )0 0 0,x x y y x= = se numescs condiii iniiale sau condiii Cauchy.

Cele mai simple ecuaii difereniale de ordinul I sunt ecuaiile integrabile prin cuadraturi.

1. Fie ecuaia

( ) [ ], ,y f x f a b=/ : continu

scriinddy

ydx

=/

(2)

ecuaia devine


2/30

( )dy

f xdx

= (3)

Separm variabilele

( )dy f x dx=

(4)

i prin integrare obinem

( ) y f x dx C = + (5)

De unde obinem soluia general a ecuaiei (2)

( ) y x C = + (5)

Pentru a rezolva problema Cauchy impunem condiia ca soluia s treac printr-un punct dat

( )0 0,x y ; deci pentru

0x x= , ( )0 0 y x C = + (6)

avem

( )0

0

0 0

x

x

y f x dx C y C = + = (7)

Soluiaproblemei Cauchy este

( )0 0 y y x= + (8)

2. S se determine solutia ecuaiei de forma

( ) [ ], ,y f y f a b=/ : continu

Scriem ecuatia: ( )dy

f ydx

=

(9)

sau

( )

dydx

f y=

(10)

Integrnd obinem


3/30

( )

dyC x

f y+ =

(11)

de unde soluia general sub forma

( ) x y C = + (12)

3. S se determine soluia ecuaiei de forma

( )

( )[ ] [ ], , , ,

f xy f a b g c d

g y=

/: : continue

(13)

Separm variabilele

( ) ( )g y dy f x dx= (14)

Atunci

( ) ( )g y dy f x dx C = + (15)

Gsim soluia general n form implicit

( ) ( )G y F x C = + (16)

Ecuaii omogene

O ecuaie omogen este de forma( )

( )

,, ,

,

P x y y P Q

Q x y=

/ funcii omogene de grad mnx iy.(17)

Scriind ecuaia sub forma

1,

1,

m

m

yx P

xy

yx Q

x

/

=

(18)


4/30


5/30


6/30

Ecuaia liniar de ordinul nti

Forma general

( ) ( ) [ ]0, , ,y P x y Q x P Q a b+ + =/ : continue (31)

Metoda 1. Se rezolv ecuaia omogen

( ) 0,y P x y+ =/ (32)

avnd o soluie ( )1 y y x=

.

Facem schimbarea de funcie

( ) ( )1y y x u x= , (32)

n ecuaia (31) i gsim

( ) ( )1 1 1 0,y u y u P x y u Q x+ + + =/ / (33)

sau

( )( ) ( )1 1 1 0,u y P x y y u Q x+ + + =/ /

( )( )

( )1

10

Q x y u Q x u

y x+ = = / /

(34)

Integrnd obinem

( ) ( )u x x C = +

nlocuind ( )u x astfel obtinut in ( )32/

soluia ecuaiei (31) va fi

( )( )1 y y x C = + (35)


7/30

Metoda 2. Metoda variaiei constantelor

I. 1. Se rezolv ecuaia omogen

( ) 0,y P x y+ =/ (36)

avnd soluia ( )1 y Cy x= .

II. 2. Metoda variaiei constantelor const n a cuta pentru ecuaia (31) o soluie de forma

( ) ( )1y C x y x= .

Astfel ecuaia (31) devine

ECUAII DIFERENIALE DE ORDIN SUPERIOR

Fie , , , , o funcie real definut pe , , care are caargumente variabila real , i funcia real mpreun cu derivatele sale pn laordinul n inclusiv 2.{

Numim ecuaie diferenial de ordinul n relaia

,, , , 0 (1)dac se cere s se determine funciile care mpreun cu derivatele sale pn laordinul n inclusiv verific ecuaia (1), , .

Funciile care ndeplinesc aceste condiii se numesc soluii ale ecuaieidifereniale (1).

n cele ce urmeaz vom pune c ,, , , (2)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 0,y C x y C x P x C x y Q x+ + + =/ /

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

1 1 1

1 1

0,

cum 0

y C x C x y P x y Q x

y P x y

/ /

/

+ + + =

+ =

rezult

( ) ( )1 0,y C x Q x+ =/

de unde ( )( )

11

Q xC x dx C

y= +

(37)


8/30

este soluia general a ecuaiei (1) studiat n domeniul (x,y) dacfeste soluie a ecuaiei (1)i dac prin alegerea a constantelor , , , se transform n orice soluie aecuaiei i al crei grafic se afl n domeniulD.

Numim soluie particular a ecuaiei (1) o funcie , , , care se obine dinsoluia general dnd valori particulare constantelor

, , , .Graficul unei soluii

particulare este o curb plan, numiti curb integral.Soluia general a unei ecuaii difereniale de ordinul n poate fi dat i sub formimplicit ,,, , , 0

(3)

n unele cazuri soluia general poate fi dati parametric de forma , , , , ,, , , (4)

Exemple:

1)

Ecuaia de micare a unui punct material de mas m care descrie o dreapt luat ca axa Oxeste

, ,.2) Ecuaia diferenial a familiei conicelor din plan este

0.Condiii iniiale. Problema lui Cauchy

Fiind dat ecuaia diferential (1), a rezolva o problem de tip Cauchy pentru aceast ecuaienseamn a determina o soluie a ecuaiei care verific condiiile: pentru , , , , sia valori date , , , ,

(5)numite condiii iniiale.

Ecuaii difereniale de ordin superior integrabile prin cuadraturi

1. Fie ecuaia 0.Soluia general estey C Cx Cx Cx, x .Exemplu:S se determine soluia ecuaiei difereniale 0, care pentru 0 ia valorile


9/30

0 0 0 0 0, 0 1.Integr nd succesiv, obinem soluia general C Cx Cx Cx Cx.Pentru

0avem

0 C,

0 C,

0 2C,

0 6C 0,i

0 24C 1 C .Soluia ecuaiei date care satisface condiiile iniiale este = x.2. Ecuaia .

cufcontinu pe , .TeoremSoluia general a ecuaiei (2) este

1 1! 1!

1! .(2.1)cu , , , constante arbitrare iar un punct fix din , .DemonstraieEcuaia se scrie ,iar prin integrare obinem

.De aici, prin integrri succesive, obinem

,

2!

,

pn la

1! 1! .Vom demonstra prin inducie complet c


10/30

1 1!

.

(2.3)

Pentru 2 avem

,

unde domeniul D este cel din fig.1.

Schimbm ordinea de integrare n integrala dubli avem

.

Deci pentru 2 egalitatea (2.3) este verificat.Presupunem (2.3) adevrat pentru 1i o vom demonstra pentru n:Avem

1 2!

1n 1! x tftdt

,

deci formula este adevrat pentru n.

Exemplu

y e.

Avem succesiv , , 12 ,care este soluia general.

Formula (2.3) se extinde i la ecuaii difereniale de forma:


11/30

3. , 0.Dac putem scrie pexi sub form parametric (3.1)cu fi g continue pentru

, .

Dacfare derivat continupe , diferit de zero, n acest caz inversa funciei fnlocuit n expresia lui ne d o ecuaie de tipul (2), .ntr-adevr, din sau .Dar , deci ,de unde prin integrare rezult .

, , ,

o ecuaie de tipul (2) care conduce la soluia general a ecuaiei date, sub form

parametric , , , , .4. , 0.

Prin schimbarea de funcie ,ecuaia diferenial se reduce la o ecuaie diferenial de ordinul nti de forma

, 0, (4.1)care dac poate fi integrat ne d , , deci , ,o ecuaie diferenial de forma (2).

Exemplu

S se determine soluia general a ecuaiei 1 , .Cu schimbarea de funcie

,ecuaia devine 1 ,sau

1 .Separm variabilele


12/30

1 .Integrnd ( lum ), se obine

sin.

Din ,de unde cos sau sin ,cu cos .Soluia general a ecuaiei date este sub form parametric sin cos ,sau sub form implicit

.Dac ecuaia (4) nu se poate rezolva prin funcii elementare n raport cu atunci, dacse cunoate o reprezentare parametric ,

(4.2)Integrala general se obine prin cuadraturi, i anume:Din

rezult

.Din (4.2) avem ,deci

,de unde

.din

rezult .avem

2,


13/30

o ecuaie de tipul 2 care conduce la soluia , , , , .Soluia general a ecuaiei date va fi sub forma parametric

, , , , .

Exemplu

Fie ecuaia 1.Avem

sin cos . Din rezult

coscos . , sin,de unde cos .Din

cos ,deci

sin .

Dar ,deci sin,de unde

2 cos .Soluia general sub form parametric este:

cos ,

Sau sub form explicit cos + , , , , constantearbitrare.5. , 0.

Dac cunoatem o reprezentare parametric de forma ,


14/30

cu i funcii continue pentru , , integrala general se obine prin cuadraturiastfel:Scriem

,

i eliminnd pe , .innd cont de reprezentarea parametric, ,iar prin integrare 2 ,i problema se reduce la cea precedent.

Observaien unele cazuri se poate face schimbarea de funcie

i ecuaia se reduce la

forma , 0.Dac aici putem explicita , soluia se obine prin cuadraturi.ExempluS se determine soluia general a ecuaiei 1.Avem urmtoarea reprezentare parametric

1

, 9.

Scriem

i

,de unde

,sau

.

Integrm ,sau , ,

iar

.


15/30

ECUAII DIFERENIALE LINIARE DE ORDIN N CU COEFICIENI CONSTANI

I. Fie

y y y y 0(1)

o ecuaie diferenial liniar de ordinul n, cu , constante, 1, , sau .

(2)

Pentru ecuaii omogene cutm soluii sub forma

, unde r va fi determinat astfel nct

funcia y cu derivatele sale pn la ordinul n inclusiv s verifice ecuaia omogen.Avem ... ,care nlocuite n (1) ne dau

0 |:

0,ecuaie algebric n r numit ecuaia caracteristic.Vom distinge cazurile:1. Ecuaia caracteristic admite radcinile reale i distincte dou cte dou, , , .

n acest caz soluia general a ecuaiei (1) este

.2. Ecuaia caracteristic admite rdcinile complexe simple

,

, , , ,


16/30

,atunci

cos sin

cos sin cos sin cos sin .

Fie 2 cos

2 sin , cos , sin , 1, ,

atunci soluia ecuaiei iniiale este de forma

Ccos sin Ccos sin

Ccos

sin .

3. Ecuaia caracteristic are rdcini multiplePropoziie: Dac ecuaia caracteristic admite rdcin multipl de ordin 1 este soluie a ecuaiei (1).

4. Dac este rdcin de ordin 1 este este rdcin de ordin 1.Atunci cos sin.

II. Fie ecuaia y y y y fx.Fiind un caz particular de ecuaie liniar se poate determina o soluie particular prinmetoda variaiei constantelor.Sunt ns situaii frecvente n aplicaii cnd se poate determina o soluie particularinndcont de forma membrului doi. Aceste cazuri sunt:


17/30

1. Dac ,

unde este un polinom de grad m n x. Daca)

nu este rdcin a ecuaiei caracteristice putem determina o soluie particular de

forma ,unde este un polinom de grad m.Problema revine la a determina coeficienii polinomului din ecuaia prin identificare.

b) este rdcin multipl de ordin k a ecuaiei caracteristice vom cuta o soluieparticular de forma pentru a face identificarea.

ExempluFie ecuaia 5 4 5 3.Ecuaia omogen este 5 4 0,iar ecuaia caracteristic 5 4 0 are rdcinile 1, 4, de unde soluiageneral a ecuaiei omogene este . 0 nu este rdcin a ecuaiei caracteristice, deci pentru ecuaia neomogenvomcuta o soluie particularde forma

,

unde a,b,c vor fi determinai punnd condiia ca s verifice ecuaia neomogen. 2 , 2.nlocuind n ecuaia omogen, avem4 4 10 2 5 4 5 3.De aici rezult prin identificare

14 , 58 , 532,Deci soluia particular a ecuaiei neomogene este

14 58 532,iar soluia general a ecuaiei neomogene este

14 58 532 .


18/30

2. Dac este de forma cos sin.Folosind formulele lui Euler, acest caz se reduce la precedentul. Astfel

a)

nu este rdcin a ecuaiei caracteristice putem determina o soluie particular deforma cos sin,coeficienii polinoamelor i determinndu-se prin identificare.

b) este rdcin multipl de ordin k a ecuaiei caracteristice vom cuta o soluieparticular de forma cos sin.ExempluS se rezolve ecuaia

4 4 4 1 sin.Ecuaia omogen 4 4 0 are ecuaia caracteristic 4 4 0 cu 2 rdcin dubl. Deci soluia general a ecuaiei omogene este .Pentru ecuaia neomogen se caut o soluie particular de forma sin cos.Prin identificare gsim

1

2, 1

8, 1

2, 3

8,

deci 12 18 sin 12 38cos,iar soluia general a ecuaiei neomogene va fi

12 18 sin 12 38 cos .3. Dac este de forma

cos sin

Avem situaiile urmtoare:

-dac este rdcin multipl de ordin k cazul 1.b).- dac este rdcin multipl de ordin k cazul 2.b).


19/30

Ecuaia Euler

Este o ecuaie diferential liniar de ordinul n de forma

( ) ( ) ( )11

0 1 1...n nn n

n na x y a x y a xy a x f x

+ + + + =

cu 0 1, ,... na a a constante reale iarfo funcie continu pe [ ],a b .

Teorem

Prin schimbarea de variabila tx e= ecuaia Euler se transform ntr-o ecuaie diferenial cu

coeficieni constani.

Dem.

Fie 0x > . Atunci tx e= .

Avem

dy dy dt y

dx dt dx = = ,

dar

tdx e dt=

, deci

tdte

dx

=

si

t dyy e

dt

= ,

de undedy

xydt

= .

2

2t td y d dy d dy y e e

dx dx dt dt dx

= = =

,

sau

22

2t d y dy

y edtdt

=

,

deci

22

2

d y dyx y

dtdt = .


20/30

Continund derivarea se observ c produsele ( )kkx y se exprim cu ajutorul derivatelor

, 1,2,...p

p

d yp n

dt= , iar ecuaia se transform ntr-o ecuaie de forma

1

0 1 11 ...

n n

n nn nd y d y dyb b b b y f dtdt dt

+ + + + = .

Analog pentru 0x < , deci tx e= .

Dac vom considera ecuaia Euler omogen ea admite soluii de forma

ry x= ,

deoarece ecuaia transformat admite soluii de forma kk kt rr t r

e e x= = .

Pentru ecuaia neomogen pentru a determina o soluie particular prin metoda variaieiconstantelor.

Exemplu

Fie ecuaia

2 26 x y y x = .Ecuaia omogen

2 6 0 x y y = ,

Prin schimbarea de variabil tx e= devine

2

26 0

d y dyy

dtdt = ,

cu ecuatia caracteristic

2 6 0r r = ,


21/30

soluiile ei sunt 1 22, 3r r= = , deci

( ) 2 31 2t ty t C e C e

= + ,

sau

( ) 31 22C y x C xx

= + .

Pentru ecuaia neomogen aplicm metoda variaiei constantelor obinem

( ) ( )

( ) ( )

51 2

5 31 2

0

2 3

C x x C x

C x x C x x

+ =

=

.

de unde ( ) ( )3

1 2 2

1,

5 5

xC x C x

x = = ,

deci ( ) ( )4

1 1 2 2

1 1,20 5C x x K C x K x= + = + .

Soluia ecuaiei neomogene este

2 3122

1

4

K y x K x

x= + + .

Observaie

Dac rezolvm ecuaia neomogen transformat ( ) ( ) 26 ty t y t y e + = se obine acelasssi

rezultat.

Exemple.

2 23 2 cos 2 , cos2 sin 2x xp y y y x e x y ax bx c d x e x he + = + = + + + + + ,

4 3 2 x y y y xe + = .

Ecuatii Euler3

2 213 , 3

Cx x xy y x y C x

x + = = + +

( )23

1 2 30, ln lnx y xy y y C x C x x C x x + = = + +


22/30

SISTEME DE ECUAII DIFERENIALE DE ORDINUL NTI LINIARE

Forma general a sistemului este

, , , , , ,

(1)

, , , ,cu, 1, i , , 1, funcii continue cu derivate de ordin nti continuepe un interval , .Dac 0, 1, pe, avem sistemul omogen, , , 0, 1, .

(2)

Definiie

Un sistem de n funcii ,,, derivabile cu derivate continue pe , formeaz o soluie a sistemului omogen pe , dac verific sistemul pentru oricex , .Definiie

Soluiile

, , , , , ,

(3)


23/30

, , , sistemului (2) formeaz un sistem fundamental de soluii pe , dac determinantul

nu se anuleaz n niciun punct din , . se numete wronskianul celor n soluii.Dac (3) formeaz un sistem fundamental de soluii pe , ale sistemului omogen (2)atunci soluia general a acestui sistem este

,

cu , , , constante arbitrare.Pentru determinarea soluiei sistemului omogen inem cont de faptul c prin eliminareafunciilor , , i a derivatelor lor se obine pentru o ecuaie diferenial liniar deordin n.

Test de autoevaluare rezolvat

1. Soluia ecuaiei xy x y= / va fi

a) ( )2 x x y C = ;

b) ( )2 x y x C + = ;

c) ( )2 x y x C = ;

d) alt rspuns.

Rspuns b)


24/30

Soluie

1y

xy x y yx

= = / /

Facem schimbarea de funcie( )

( )y x

u xx

= ;

( ) ( ) ( ) y x u x xu x= +/ / . Astfel ecuaia devine

1 2 ,1 2

du dx xu u

u x= =

+

/ integrnd obinem

( )2 1 2 x u C + = , adic ( )2 x y x C + = , soluia general a ecuaiei.

2. Soluia ecuaiei 2 52 4

dy x y

dx x y

+=

+va fi

a) ( )2

21

1 12 2

1 11 1

y

x C x

y y

x x

++

+= +

+ + +

+ +

;

b) ( )2

21 1 12 2

1 11 1

yx C x

y y

x x

= +

+

;

c) ( )2

21

1 12 2

1 11 1

y

x C x

y y

x x

+= +

+

+ +

;

d) alt rspuns.

Rspuns c)

Soluie

Rezolvm sistemul


25/30

2 5 0 1

2 4 0 2

x y x

x y y

+ = =

+ = = , deci { } ( )1 2 , 1,2d d M M = , unde 1 2. 2 5 0; 2 4 0d x y d x y + = + =: : .

Facem schimbarea de variabil 1t x= + i schimbarea de funcie 2u y= , ecuaia devine

22

du t udt u t

=

, ecuaie omogen. (1)

1 2

2

u

du tudt

t

=

(2)

Facem schimbarea de funcie,

( )u v tt

= (3)

Cu ajutorul relaiei (3) ecuaia (2) se rescrie

21 2 1

2 2

v vv tv tv

v v

+ = =

/ /

2

2,

1

v dtdv

tv

=

Integrnd membru cu membru avem

2 2

1 1 1 1ln ln ,

1 11 1

v vtC tC

v vv v

= =

+ +

Astfel, gsim soluia general a ecuaiei

( )2

21

1 12 2

1 11 1

y

x C x

y y

x x

+= +

+

+ +


26/30

3. Soluia ecuaiei 1 3 31

x yy

x y

=

+ +

/ va fi

a) ( ) ( )2ln 1 x y x y x C + + = +

;

b) ( ) ( )2ln 1 x y x y x C + + + = + ;

c) ( ) ( ) 2ln 1 x y x y x C + + = + ;

d) alt rspuns.

Rspuns a)

Soluie

Observm c 1 2d d|| , unde 1 2:1-3 3 0; 1 0d x y d x y = + + =: .

Facem schimbarea de funcie,

( )

( ) ( )1 .

x y u x

u x y x

+ =

= +/ /

(1)

Ecuaia devine

( )2 11 31

1 1

uu duu

u dx u

= =

+ +

/

21 ,

1du dx

u

+ =

(2)


( )2ln 1 ,u u x C = +

Astfel, gsim soluia general a ecuaiei

( ) ( )2ln 1 x y x y x C + + = +


27/30

4. Soluia ecuaiei 0 xy y x + =/ va fi

a) ( )ln y x K x= + ;

b) ( )ln y x K x= + ;

c) ( ) 2ln y x K x= + ;

d) alt rspuns.

Rspuns b)

Soluie

1. Rezolvm ecuaia omogen

0dy dx

xy yy x

= =/ (1)


ln ln ln , y x C = +

Gsim soluia ecuaiei omogene

. y Cx= (2)

2. Aplicm Metoda variaiei constantelor, cutm soluia ecuaiei 0 xy y x + =/ , de forma

( ) .y C x x= (3)

Ecuaia 0 xy y x + =/ , cu relaia (3) devine

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )2

0

0.

x C x x C x xC x x

x C x xC x xC x x

+ + =

+ + =

/

/

(4)

Astfel


28/30

( ) ( )1

lnC x C x x K x

= = +/ (5)

Atunci ecuaia 0 xy y x + =/ are soluia ( )ln y x K x= + .

5. Soluia ecuaiei x yy x+=/ va fi

a) ln y Cx= ;

b) 2 ln y x Cx= ;

c) ln y x Cx= ;

d) alt rspuns.

Rspuns c)

Soluie

1 x y y

y yx x

+= = +

/ /

Facem schimbarea de funcie( )

( )y x

u xx

= ;

( ) ( ) ( ) y x u x xu x= +/ / . Astfel ecuaia devine

1 1

.

du xu u u x

dx

dxdu

x

+ = + =

=

/

Integrnd obinem

lnu Cx= , adic ln . y x Cx= , soluia general a ecuaiei.

6. Soluia ecuaiei2

4 14

yy

x

=

/ va fi

a) ( )21 4 14

y C x = + ;

b) ( )21

4 14

y C x = + + ;


29/30

c) ( )21

4 14

y C x = + ;

d) alt rspuns.

Rspuns a)

Soluie

2 2

4 1 4 4

4 14 4

y y dx y dy

yx x

= =

/ , integrnd obinem

( ) ( )2ln 4 1 ln 4 y C x = , gsim soluia ecuaiei

( )21

4 14

y C x = + .

7. Soluia ecuaiei4

yy

x=

+

/ va fi

a) ( )2 4 y C x= + ;

b) ( )4y C x= + ;

c) ( )22 4 y C x= + ;

d) alt rspuns.

Rspuns b)

Soluie

4 4

y dy dxy

x y x= =

+ +

/ , integrnd obinem

( )ln ln 4 y C x= + , gsim soluia ecuaiei

( )4y C x= + .


30/30

8. S se determine soluia general a ecuaiei 0.O reprezentare parametric este dat de .Avem

,

de unde . Dar 1 .Prin integrare obinem 1 2 .

Dar , deci 1 2 1,de unde

2 34

2

6 .

Soluia general a ecuaiei iniiale dat sub form parametric este

2 34 2 6 .

ecuatii diferentiale(2)

Documents

Transcript of ecuatii diferentiale(2)