Ecuatii Si Inecuatii Cu Parametru

5/26/2018 Ecuatii Si Inecuatii Cu Parametru

1/27

Am intrat deja activ n mileniul III, n care facem alegeri i trim consecinele lor. Schimbrile cotidiene devin o realitate aproapeinevitabil, iar lucrul cel mai permanent n viaa uman este continuitatea aproape nentrerupt a schimbrii. Trebuie s fim contieni de


2/27

faptul c totul se schimb permanent i s percepem rupturile aprute ca normale sau mai puin dureroase. Totul n activitateauman evoluea!. Aceast evoluie se face prin schimbri repetate sau prin salturi. "outatea este o regul, o pre!en constant n felulde a percepe lumea. #r inovare nimic nu ar e$ista, deoarece nsi procesul viaaeste ba!at pe inovare. Anume viaa ne ofer celmai bun serviciu atunci cnd ne pune piedici n cale. Anume datorit acestor obstacole de de!voltm permanent, acumulm noie$periene i ne transformm permanent n ceea ce dorim s fim.

%uternic stabilit n realitile contemporane i cu implicaii n toate domeniile, matematica !ilelor noastre devine tot mai mult

modelul spre care privesc cu ncredere i interes celelalte tiine. &atematica a ptruns treptat din ce n ce mai mult n sferaconceptului de cultur general i de cultur de specialitate, lsnd puine sectoare lipsite de pre!ena ei. Trecerea sistematic de la nvmntul informativ la cel formativ va fi posibil numai prin re!olvarea unui numr optimal de

probleme i situaii probleme, utili!nd diverse strategii n re!olvarea lor, prin nsuirea unor metode spicifice anumitor clase deprobleme.

%entru nsuirea mai profund a materiei de 'urriculum la matematic sunt propuse probleme i e$erciii ce pre!int un gradsporit de dificultate. (le constituie subiecte pentru e$amenele de )A', la olimpiade i alte concursuri.

*n cursul contemporan de matematic din liceu un loc aparte l ocup parametrul. %arametrul este un puternic instrument dede!voltare a gndirii logice, lrgete cu mult clasa problemelor i e$erciiilor re!olvabile n liceu. %entru elevii claselor de liceu nupre!int dificulti de a re!olva ecuaii de tipul ax = b, 02 =++ cbxax n mulimea numerelor ntregi. %roblema se complic, atunci cndcoeficienii a,b,c depind de careva parametru. *n cadrul re!olvrii problemelor cu parametru nu se cere pur i simplu de a re!olvaecuaia propus, ci i s se discute dup parametrul dat. +eci, la re!olvarea problemelor cu parametru, elevii trebuie s manifesteintuiie matematic, ingenio!itate, spirit inventativ, caliti care trebuie noi profesorii s le de!voltm pe parcursul anilor de coal.

oi ncepe cu re!olvarea ecuaiilor liniare care conin parametri. "u pre!int nici o problem re!olvarea n mulimea numerelorreale a ecuaiilor de forma ax = b, unde a, bdepind de un parametru.

+ac a = - ib = - atunci ecuaia ia forma -x = - Atunci S = R,adic ecuaia admite o infinitate de soluii. +ac a = - i 0b atunci ecuaia ia forma -x = b. Atunci S=

+ac 0a i b oricare, atunci ecuaia admite o singur soluie = abS

Exemplul 1.


3/27

S se re!olve ecuatia i s se discute dup parametrul real m.

221

1

1

1

1 xmmxmx

m

=

+

+

Rezolvare:

221

1

1

1

1 xmmxmx

m

=

+

+ ( ) ( ) ( ) ( )

=+

=++=

++=

++=

+++

01

2

01

020

1

20

1

20

1

111

22

2

22

2

22

2

22

2

22

xm

mxmm

xm

mxmm

xm

mxmm

xm

mxmxm

xm

mxmxm

/e!olvm ecuatia

liniar obtinut0 ( ( ) 2122

=+=+ mmmmxmm +ac m = -, ecuatia ia forma -x = 12 +eci, S= +ac m = 13, ecuatia ia forma -x 4 15 +eci, S=

+ac { }0;1Rm atunci ecuatia va admite o soluie( )1

2

+

=mm

mx

Soluia obtinut trebuie s satisfac conditia 0122 xm . S verificm aceast conditie. %entru aceasta re!olvm ecuatia 0

( )

( )

( )

( ) 2

1

2

1

30

12

12

11

2

11

2

11

21

1

201

1

2 2

2

2

22

2

2 =

=

=

+==

=+

=+

=

+

=+

=+

m

m

m

mm

mm

m

m

m

m

m

m

m

m

mm

mm

+eci, pentru2

1=m numitorul fractiei devine !ero, ceea ce contravine conditiei de egalitate a unei fractii cu !ero.

Rspuns : +ac

2

1;0;1m S=


4/27

+ac( )

+

=

1

2

2

1;0;1

mm

mSRm

Rezolvati independent ecuatia:

( ) ( ) ( )( ) 35

32

12

92

532 +

+

+=+

xxm

m

xm

mx

Rspuns: +ac

3

21;5,1;2;

3

23m S=

+ac

5,1;

3

21;2;

3

23Rm atunci

+

+=

96

2138

m

mS

S re!olvm o ecuaie cu parametru care se reduce la ecuaie liniar.

Exemplul 2

+eterminai toate valorile reale ale parametrului m, pentru care ecuaia 135 + x ( )xmm 3210 = nu are soluii.

Rezolvare:( )xx mm 321035 1 = + ( ) mmmmmm xxxxx +=++=+= 20310152031031531020315

Aceasta este o ecuaie liniar n raport cu 5$.+eci vom cerceta ca!ul cnd ecuaia liniar nu are soluii. 6i deoarece este oecuaie e$ponenial, nu va avea soluii atunci cnd

[ ) [ ]5,1;20

5,1;20

5,1

01015

20

01015

=

+

+

=+m

m

m

m

m

m

Rspuns: [ ]5,1;20 m

Rezolvai independent:


5/27

+eterminai valorile reale ale parametrului m, pentru care ecuaia xxmm 248234 1 = + admite o singur soluie real. +eterminaiaceast soluie.

xxxxmmmm 248264248234 1 == + ( ) ( ) 4222348246 =+= mmmm xx

(cuaia dat va admite o singur soluie atunci cnd

( )( )+

+

>+

+m

m

m

m

m

m

;23

2;

;23

2;

3

2

023

42

023

Rspuns : %e intervalul dat soluia ecuaiei va fi 23 42log2 += mmx

Exemplul 3.

%entru ce valori ale parametrului reala ecuaia 22 4643 =+ xx aa va admite o soluie negativ 7

Rezolvare :( ) 6434643 222 ==+ aaaa xxx


6/27

Aceasta este o ecuaie e$ponenial n raport cu 8$92 , care se reduce la o ecuaie liniar i va avea o soluie atunci cnd

()()6;3

3

6;3

3

03

6

>

a

a

a

a

a

a

*n acest interval ecuaia va admite soluiaa

ax

=3

64

2

a

ax

a

ax

a

ax

=

+=

=

3

9616log

3

6log2

3

6log2

444


7/27

S determinm valorile parametrului real a pentru care soluia obinut este negativ. /e!olvm sistemul0

() (

6;

17

99

;17

993;

6;3

03

99176;3

03

396166;3

13

96166;3

03

9616log

6;3

4

a

a

a

a

a

a

a

aa

a

a

a

a

a

a

a

Rspuns : pentru

6;17

99a ecuaia va avea o soluie negativ.

*n cadrul ecuaiilor cu parametru un loc aparte l ocup ecuaiile de gradul doi cu parametru. /e!olvnd mai multe ecuaii de graduldoi cu parametru am dedus unele condiii sau relaii dintre coeficienii ecuaiei i solu:iile ei. #ie ecuaia de gradul doi ax2+ bx + c =0, unde a, b, csunt coeficieni care depind de parametri reali.


8/27

3. (cuaia ptrat admite dou soluii reale distincteatunci cnd

>

0

0a

2. (cuaia ptrat admite o soluie real atunci cnd

=

=

0

0

0

0

b

a

a

5. (cuaia ptrat admite dou soluii reale de acelai semnatunci cnd

>

>

0

0

0

a

c

a

8. (cuaia ptrat admite dou soluii reale pozitive atunci cnd

>

0

0

0

0

a

ba

c

a


9/27

;. (cuaia ptrat admite dou soluiii reale negativeatunci cnd

>

>

>

0

0

0

0

ab

a

c

a

0

0

0

ac

a

=.(cuaia ptrat admite dou soluii realede semne opuse i soluia pozitiv mai mare dect soluia negativ dup modulatunci cnd


10/27

. (cuaia ptrat admite dou soluii reale de semne opuse i soluia negativ dup modul este mai mareatunci cnd 0

>

0

0

0

0

a

b

a

c

a

?. (cuaia ptrat admite dou soluii dintre care una este zero, iar cealalt este negativatunci cnd 0

>

=

0

0

0

a

b

c

a

3-. (cuaia ptrat admite dou soluii dintre care una este zero, iar a doua este pozitiv atunci cnd

0

0

0

0

ab

a

c

a

adic

( )( )()

( ) ()

( ) ()

( ) ( )

( )+

+

+

>

>+

>+

>

+

>+

;1

;13;

;12;

511

1

013

012

511

1

01

32

01

2

0115

1

m

m

m

m

m

mm

mm

m

m

m

m

m

m

m

m

+eci, dac ( )+ ;1m ecuaia are dou soluii reale po!itive.


13/27

>

>

0

0

0

0

ab

a

c

a

adic

( )

( ) ( )

( ) ()

( )()

()

+

+

+

+

>+

>+

+

2;5

11

1;3

;12;

;5

11

1

013

012

;5

11

1

01

32

01

2

;5

11

1

m

m

m

m

m

mm

mm

m

m

m

m

m

m

m

m


14/27

+eci, pentru

2;

5

11m ecuaia are dou soluii reale negative.

=. S calculm valorile parametrului m din intervalul

+ ;

5

11pentru care ecuaia admite soluii reale de semne opuse

0

0

0

a

c

a

adic

( )( )1;2

1;2

;5

11

1

01

2

;5

11

1

+

+


17/27

+ac ( )1;2m ecuaia nu are soluii reale+ac [ )2;1m ecuaia are dou soluii

reale po!itive+ac m = 2, ecuaia are soluiilex1 = -, x2 =8+ac ( )+ ;2m ecuaia are dou soluii de semne diferite

. S calculm valorile parametrului m pentru care se satisface condiia31

2

2

2

1

2

2

2

1

+

xx

xx

(fectum careva transformri cu e$presia( )

( )221

21

2

21

2

2

2

1

2

2

2

1 2

xx

xxxx

xx

xx

+=

+ *n re!ultat avem

( )

( )

( )

( )

( )

( )

+

+

+

12

32

32

1

2

21

21

2

21

2

21

21

2

21

2

21

21

2

21

xx

xxxx

xx

xxxx

xx

xxxx

. 'onform

relaiilor lui iete

=

=+

mxx

mxx

2

2

21

21 obinem 0


18/27

( )

( )( )

( )

[ ]

++

+ +

+

+

+

657;3

333

3

333;657

2

;3

333

3

333;

657;657

2

0863

01614

1

2

224

32

224

2

2

2

2

2

2

m

m

m

m

m

mm

mm

m

mm

m

mm

Rspuns : %entru

+

+

657;

3

333

3

333;657m este satisfcut condiia.

Exemplul 5.

S se determine toate valorile reale ale parametrului kpentru care ecuaia 01222 =++ kxx are soluii reale i diferite. 'te

soluii a acestei ecuaii sunt situate n intervalul 2;0 n dependen de parametrul k7

Rezolvare :%entru ca soluiile ecuaiei s fie reale i distincte e necesar ca ( ) 104401480 >+> kkk+eci, pentru 1


19/27

'onform relaiilor lui iete avem 0

+=

=+

+=

=+

1

22

1

22

21

21

21

21

kxx

xx

kxx

xx

+eoarece semisuma soluiilor ecuaiei este 2 nseamn, c una din soluii este mai mare dect 2 , iar cealalt mai mic ca 2 ,adic 21 2 xx >x , atuncire!ult , c ambele soluii sunt po!itive, adic 101 >>+ kk . +eci, pentru ( )1;1k n intervalul ( )2;0 este situat numai o

soluie, cea mai mic kk

x =

= 122

44221

Rspuns : %entru ( )1;1k n intervalul ( )2;0 este situat o singur soluie kx = 121

Exemplul 6.

#ie dat ecuaia 0 ( ) =+ mmmm xx ,022124 R. %entru ce valori reale ale lui m ecuaia are o soluie unic7

Rezolvare :%entru ca ecuaia ptrat e$ponenial s admit o soluie unic e necesar s fie satisfcute urmtoarele condiii0


20/27

(

(

2;04

1

2;04

1

1

;2

10;

0

4

1

084144

012

0

084144

02412

012

0

02412

012

0

0

22

22

2

2

m

m

m

m

m

m

mmmm

mm

m

mmmm

mmm

mm

m

mmm

m

m

m


21/27

Rspuns: %entru ( )2;04

1

m ecuaia va admite o soluie unic.

necuaii cu o singur necunoscut cu parametru

#ie date dou funcii numerice fBx@ i gBx@ i fie D mulimea ce repre!int intersecia domeniilor de definiie a acestor funcii,adic ( ) ( )gDfDD = . +ac se cere de aflat toate numerele x0 din D pentru care este just inegalitatea numeric ( ) ( )00 xgxf < ,atunci se spune c este dat o inecuaie cu o singur necunoscut ( ) ( )xgxf < . &ulimea + este numit domeniul valoriloradmisibile al necunoscutei,B +A @, iarx0este soluie a inecuaiei.

*n mod analog trebuie formulate i nelese problemele 0 s se re!olve inecuaiile f(x) > g(x), f(x) g(x), f(x) ! g (x). &ulimea

soluiilor unei inecuaii repre!int , de regul, o mulime infinit de numere i de aceea verificarea ei este dificil. Cnica metod, caregarantea! justeea rspunsului const n faptul, c la re!olvarea inecuaiilor trebuie efectuate astfel de transformri, nct s sepstre!e echivalena inecuaiilor.

!ou inecuaii sunt ec"ivalente dac mulimile soluiilor lor coincid.Aducem afirmaiile de ba! cu privire la echivalena inecuaiilor , care se formulea! i se demonstrea! pe ba!a proprietilor

inegalitilor numerice.


22/27

3. Inecuaiile fBx@ D gBx@ i fBx@ E gBx@ D - sunt echivalente

2. Inecuaiile fBx@ > gBx@ i fBx@+ a > gBx@+ a sunt echivalente pentru orice a real.

5. Inecuaiile fBx@> gBx@ i afBx@> agBx@ sunt echivalente pentru orice a po!itiv.

8. Inecuaiile fBx@ > gBx@ i afBx@ " agBx@ sunt echivelente pentru orice anegativ.

;. Inecuaiile ( ) ( )xgxf aa > i fBx@> gBx@ sunt echivalente pentru orice numr fi$at a > 3

i fBx )" gBx@ sunt echivalente pentru orice numr fi$at -" a F 3

=. #ie #un numr natural i pe mulimea$funciile % = fBx@ i % = gBx@ sunt nenegative. Atunci pe aceast mulime inecuaiilefBx@> gBx) i ( )[ ] ( )[ ] nn xgxf > sunt echivalente.

>. #ie aun numr fi$at din domeniul( )+;1

i pe mulimea$funciile % = fBx@ i % = gBx@ sunt po!itive. Atunci pe aceastmulime sunt echivalente inecuaiile ( ) ( )xgxf aa loglog > i fBx @> g Bx@.

?. #ie aun numr fi$at din domeniul B-3@ i pe mulimea$ funciile % = fBx@ i % = gBx@ sunt po!itive. Atunci pe aceastmulime sunt echivalente inecuaiile ( ) ( )xgxf aa loglog > i fBx@ " gBx@ .

3-.#ie c pe mulimea & , care se conine n +A al inecuaiei fBx@> gBx@, funcia ( )xy = este po!itiv . Atunci pe aceastmulime snt echivalente inecuaiile ( ) ( )xgxf > i ( ) ( ) ( ) ( )xxgxxf >

#iecare dintre inecuaiile de $orma ax % &, ax ' &, ax ( &, ax ) & , unde a i & sunt numere reale sau $uncii de parametri,iar x este o necunoscut se numete inecuaie liniar cu o necunoscut cu parametru.

'onsiderm inecuaia ax % & , la re!olvarea creia vom deosebi urmtoarele ca!uri 0 3@. +ac a > - atuncia

bx>

2@. +ac a " 0 atuncia

bx<


23/27

5@. +ac a = - i b F -, obinem inecuaia -x > b,careeste verificat de orice valoare real a necunoscutei

x.8@. +ac a = - i b > -, obinem inecuaia 0x > b,

care nu are soluii.Exemplul 1.

S se re!olve inecuaia 0 ( )xaa 12 ++ ( ) axaa 523 ++> .

Rezolvare:(fectund unele transformri , inecuaia dat ia forma ( ) axa 812 >

+ac 1>a , atunci1

82

>a

ax

+ac 1 >, care nu are soluii

+ac a = 1 3, atunci inecuaia devine -x > 1>, care este verificat de oricexreal.

Exemplul 2.

%entru care valori ale parametrului k inecuaia ( ) 0121 >++ kxk este verificat de valorile necunoscutei 3x 7

Rezolvare:om considera funcia ( ) ( ) 121 ++= kxkxf graficul creia repre!int o linie dreapt pentru orice valoare a parametrului k.

Se observ c ( ) ( ) 0121 >++= kxkxf pe segmentul [ ]3;3 , atunci i numai atunci, cnd ( )( )

>

>03

03

ff


24/27

(fectund careva transformri necesare , obinem

(

(

>

>

>=>=

4;5

2

5

2

4

025

04

0253

043

kk

k

k

k

kf

kf

+eci, pentru

4;5

2k inecuaia este verificat de valorile necunoscutei 3x

Rspuns: 4;52

k

#iecare dintre inecuaiile de forma ax2+ bx + c > -, ax2+ bx + c " - , ax2+ bxG c H - , ax2G bx + c - ,unde a ' 0 se numeteinecuaie de gradul doi sau inecuaie ptrat cu o necunoscut, iar a, b, csunt numere reale sau depind de parametru. /e!olvarea inecuaiilor ptrate cu parametri necesit cunoaterea profund a proprietilor trinomului ptrat

Exemplul3.

Derezolvat inecuaia ( ) ( ) 017221 2 mxmxm

Rezolvare:+ac m = 3 atunci inecuaia ia forma ( ]4;40820172 xxxx

+ac m R \ { }1 atunci soluiile inecuaiei vor depinde de valorile discriminantului i de valorile lui m E 3 .'alculm discriminantul 0 ( ) ( )( ) ( )31084124032171424 222 +=+== mmmmmmm+eterminm semnul discriminantului.


25/27

=

==+

4

3

2

1

03108 2

x

x

mm . +eterminm semnul e$presiei m 3.

+epunem toate valorile obinute pe o dreapt0

J G G G G G G G G G G 9 9 9 9 9 9 9 G G G G G G G G G G G G G G

m 3 9 9 9 9 9 9 9 92

19 9 9 9 9 9 9

4

3 9 9 9 9 9 9 9 3 G G G G G G G G

'alculm rdcinile trinomului asociat inecuaiei01

31082 2

1 ++

=m

mmmx i

1

31082 2

2 +

=m

mmmx

Rspuns : +ac

1;

4

3

2

1;m

+

++

+

= ;1

31082

1

31082;

22

m

mmm

m

mmmS

+ac

4

3;

2

1m S=R

+ac m = 3 ( ]4;=S

+ac ( )+ ;1m

++

+=

1

31082;

1

31082 22

m

mmm

m

mmmS


26/27

Exemplul4

+eterminai valorile reale ale parametrului a, pentru care funcia ( ) ( ) ( ) 12113

1,: 232 +++= xxaxaxfRRf este cresctoare

pe .Rezolvare :

K funcie este cresctoare pe R atunci cnd f LBx@ H -. fL Bx @ = ( ) ( ) 2121 22 ++ xaxaS determinm valorile reale ale lui a pentru care are loc inecuaia ( ) ( ) 2121

22 ++ xaxa H -.Kbservm, c este o inecuaie

ptrat cu parametru. erificm pentru nceput

=

===

1

1101

22

a

a

aa

+ac a=3 avem c f *Bx@=2> 0.+eci, este reali!at condiia problemei.+ac a = 13 avem c f *Bx@= 18x G 2, care nu este nenegativ pentru orice xreal. %rin urmare, nu este reali!at condiia

problemei.

+ac a R\{ }1,1 obinem c f *Bx@! 0

(

( )

]

++ +

+

;13;

;13;

;11;

032

1

021414

1

0

01

222

22

a

a

a

aa

a

aa

aa

Am obinut, c fL(x) ! - pentru ( ] ( ) ( ] [ )+

+=

;13;;13;

1a

a

a

Rspuns : %entru ( ] [ )+ ;13;a f * Bx@ ! - pentru orice valoarea real a luix, adic fBx@este cresctoare.


27/27

*entru lucrul independent:

3. +eterminai valoarea ma$im a parametrului real a , pentru care funcia ( ) 1133

1,: 23 += axaxxxfRRf este monoton

descresctoare pe /.2. %entru care valori reale ale parametrului real a, funcia ( ) ( ) 353,: axxaxfRRf = admite puncte critice 75. #ie funcia ( ) ( ) .,1ln,: 2 RmxmxxfRRf += +eterminai valorile lui mpentru care funcia f este descresctoare pe /.8. #ie funcia ( ) ( ) .,21222ln,: 2 RDmxmmxxfRDf ++= determinai parametrul real m pentru care D = .;. %entru care valori ale parametrului real a ecuaia ( ) 0325125 =++ aa xx are o unic soluie7

'iuga &aria, profesor de matematic,Mrad didactic ntiNiceul Teoretic O &. (minescuP

or. +rochia

e9mail maria.ciugaQgmail.comtel.mob. -

Ecuatii Si Inecuatii Cu Parametru

Documents

Transcript of Ecuatii Si Inecuatii Cu Parametru