5/26/2018 Ecuatii Si Inecuatii Cu Parametru
1/27
Am intrat deja activ n mileniul III, n care facem alegeri i trim consecinele lor. Schimbrile cotidiene devin o realitate aproapeinevitabil, iar lucrul cel mai permanent n viaa uman este continuitatea aproape nentrerupt a schimbrii. Trebuie s fim contieni de
5/26/2018 Ecuatii Si Inecuatii Cu Parametru
2/27
faptul c totul se schimb permanent i s percepem rupturile aprute ca normale sau mai puin dureroase. Totul n activitateauman evoluea!. Aceast evoluie se face prin schimbri repetate sau prin salturi. "outatea este o regul, o pre!en constant n felulde a percepe lumea. #r inovare nimic nu ar e$ista, deoarece nsi procesul viaaeste ba!at pe inovare. Anume viaa ne ofer celmai bun serviciu atunci cnd ne pune piedici n cale. Anume datorit acestor obstacole de de!voltm permanent, acumulm noie$periene i ne transformm permanent n ceea ce dorim s fim.
%uternic stabilit n realitile contemporane i cu implicaii n toate domeniile, matematica !ilelor noastre devine tot mai mult
modelul spre care privesc cu ncredere i interes celelalte tiine. &atematica a ptruns treptat din ce n ce mai mult n sferaconceptului de cultur general i de cultur de specialitate, lsnd puine sectoare lipsite de pre!ena ei. Trecerea sistematic de la nvmntul informativ la cel formativ va fi posibil numai prin re!olvarea unui numr optimal de
probleme i situaii probleme, utili!nd diverse strategii n re!olvarea lor, prin nsuirea unor metode spicifice anumitor clase deprobleme.
%entru nsuirea mai profund a materiei de 'urriculum la matematic sunt propuse probleme i e$erciii ce pre!int un gradsporit de dificultate. (le constituie subiecte pentru e$amenele de )A', la olimpiade i alte concursuri.
*n cursul contemporan de matematic din liceu un loc aparte l ocup parametrul. %arametrul este un puternic instrument dede!voltare a gndirii logice, lrgete cu mult clasa problemelor i e$erciiilor re!olvabile n liceu. %entru elevii claselor de liceu nupre!int dificulti de a re!olva ecuaii de tipul ax = b, 02 =++ cbxax n mulimea numerelor ntregi. %roblema se complic, atunci cndcoeficienii a,b,c depind de careva parametru. *n cadrul re!olvrii problemelor cu parametru nu se cere pur i simplu de a re!olvaecuaia propus, ci i s se discute dup parametrul dat. +eci, la re!olvarea problemelor cu parametru, elevii trebuie s manifesteintuiie matematic, ingenio!itate, spirit inventativ, caliti care trebuie noi profesorii s le de!voltm pe parcursul anilor de coal.
oi ncepe cu re!olvarea ecuaiilor liniare care conin parametri. "u pre!int nici o problem re!olvarea n mulimea numerelorreale a ecuaiilor de forma ax = b, unde a, bdepind de un parametru.
+ac a = - ib = - atunci ecuaia ia forma -x = - Atunci S = R,adic ecuaia admite o infinitate de soluii. +ac a = - i 0b atunci ecuaia ia forma -x = b. Atunci S=
+ac 0a i b oricare, atunci ecuaia admite o singur soluie = abS
Exemplul 1.
5/26/2018 Ecuatii Si Inecuatii Cu Parametru
3/27
S se re!olve ecuatia i s se discute dup parametrul real m.
221
1
1
1
1 xmmxmx
m
=
+
+
Rezolvare:
221
1
1
1
1 xmmxmx
m
=
+
+ ( ) ( ) ( ) ( )
=+
=++=
++=
++=
+++
01
2
01
020
1
20
1
20
1
111
22
2
22
2
22
2
22
2
22
xm
mxmm
xm
mxmm
xm
mxmm
xm
mxmxm
xm
mxmxm
/e!olvm ecuatia
liniar obtinut0 ( ( ) 2122
=+=+ mmmmxmm +ac m = -, ecuatia ia forma -x = 12 +eci, S= +ac m = 13, ecuatia ia forma -x 4 15 +eci, S=
+ac { }0;1Rm atunci ecuatia va admite o soluie( )1
2
+
=mm
mx
Soluia obtinut trebuie s satisfac conditia 0122 xm . S verificm aceast conditie. %entru aceasta re!olvm ecuatia 0
( )
( )
( )
( ) 2
1
2
1
30
12
12
11
2
11
2
11
21
1
201
1
2 2
2
2
22
2
2 =
=
=
+==
=+
=+
=
+
=+
=+
m
m
m
mm
mm
m
m
m
m
m
m
m
m
mm
mm
+eci, pentru2
1=m numitorul fractiei devine !ero, ceea ce contravine conditiei de egalitate a unei fractii cu !ero.
Rspuns : +ac
2
1;0;1m S=
5/26/2018 Ecuatii Si Inecuatii Cu Parametru
4/27
+ac( )
+
=
1
2
2
1;0;1
mm
mSRm
Rezolvati independent ecuatia:
( ) ( ) ( )( ) 35
32
12
92
532 +
+
+=+
xxm
m
xm
mx
Rspuns: +ac
3
21;5,1;2;
3
23m S=
+ac
5,1;
3
21;2;
3
23Rm atunci
+
+=
96
2138
m
mS
S re!olvm o ecuaie cu parametru care se reduce la ecuaie liniar.
Exemplul 2
+eterminai toate valorile reale ale parametrului m, pentru care ecuaia 135 + x ( )xmm 3210 = nu are soluii.
Rezolvare:( )xx mm 321035 1 = + ( ) mmmmmm xxxxx +=++=+= 20310152031031531020315
Aceasta este o ecuaie liniar n raport cu 5$.+eci vom cerceta ca!ul cnd ecuaia liniar nu are soluii. 6i deoarece este oecuaie e$ponenial, nu va avea soluii atunci cnd
[ ) [ ]5,1;20
5,1;20
5,1
01015
20
01015
=
+
+
=+m
m
m
m
m
m
Rspuns: [ ]5,1;20 m
Rezolvai independent:
5/26/2018 Ecuatii Si Inecuatii Cu Parametru
5/27
+eterminai valorile reale ale parametrului m, pentru care ecuaia xxmm 248234 1 = + admite o singur soluie real. +eterminaiaceast soluie.
xxxxmmmm 248264248234 1 == + ( ) ( ) 4222348246 =+= mmmm xx
(cuaia dat va admite o singur soluie atunci cnd
( )( )+
+
>+
+m
m
m
m
m
m
;23
2;
;23
2;
3
2
023
42
023
Rspuns : %e intervalul dat soluia ecuaiei va fi 23 42log2 += mmx
Exemplul 3.
%entru ce valori ale parametrului reala ecuaia 22 4643 =+ xx aa va admite o soluie negativ 7
Rezolvare :( ) 6434643 222 ==+ aaaa xxx
5/26/2018 Ecuatii Si Inecuatii Cu Parametru
6/27
Aceasta este o ecuaie e$ponenial n raport cu 8$92 , care se reduce la o ecuaie liniar i va avea o soluie atunci cnd
()()6;3
3
6;3
3
03
6
>
a
a
a
a
a
a
*n acest interval ecuaia va admite soluiaa
ax
=3
64
2
a
ax
a
ax
a
ax
=
+=
=
3
9616log
3
6log2
3
6log2
444
5/26/2018 Ecuatii Si Inecuatii Cu Parametru
7/27
S determinm valorile parametrului real a pentru care soluia obinut este negativ. /e!olvm sistemul0
() (
6;
17
99
;17
993;
6;3
03
99176;3
03
396166;3
13
96166;3
03
9616log
6;3
4
a
a
a
a
a
a
a
aa
a
a
a
a
a
a
a
Rspuns : pentru
6;17
99a ecuaia va avea o soluie negativ.
*n cadrul ecuaiilor cu parametru un loc aparte l ocup ecuaiile de gradul doi cu parametru. /e!olvnd mai multe ecuaii de graduldoi cu parametru am dedus unele condiii sau relaii dintre coeficienii ecuaiei i solu:iile ei. #ie ecuaia de gradul doi ax2+ bx + c =0, unde a, b, csunt coeficieni care depind de parametri reali.
5/26/2018 Ecuatii Si Inecuatii Cu Parametru
8/27
3. (cuaia ptrat admite dou soluii reale distincteatunci cnd
>
0
0a
2. (cuaia ptrat admite o soluie real atunci cnd
=
=
0
0
0
0
b
a
a
5. (cuaia ptrat admite dou soluii reale de acelai semnatunci cnd
>
>
0
0
0
a
c
a
8. (cuaia ptrat admite dou soluii reale pozitive atunci cnd
>
0
0
0
0
a
ba
c
a
5/26/2018 Ecuatii Si Inecuatii Cu Parametru
9/27
;. (cuaia ptrat admite dou soluiii reale negativeatunci cnd
>
>
>
0
0
0
0
ab
a
c
a
0
0
0
ac
a
=.(cuaia ptrat admite dou soluii realede semne opuse i soluia pozitiv mai mare dect soluia negativ dup modulatunci cnd
5/26/2018 Ecuatii Si Inecuatii Cu Parametru
10/27
. (cuaia ptrat admite dou soluii reale de semne opuse i soluia negativ dup modul este mai mareatunci cnd 0
>
0
0
0
0
a
b
a
c
a
?. (cuaia ptrat admite dou soluii dintre care una este zero, iar cealalt este negativatunci cnd 0
>
=
0
0
0
a
b
c
a
3-. (cuaia ptrat admite dou soluii dintre care una este zero, iar a doua este pozitiv atunci cnd
0
0
0
0
ab
a
c
a
adic
( )( )()
( ) ()
( ) ()
( ) ( )
( )+
+
+
>
>+
>+
>
+
>+
;1
;13;
;12;
511
1
013
012
511
1
01
32
01
2
0115
1
m
m
m
m
m
mm
mm
m
m
m
m
m
m
m
m
+eci, dac ( )+ ;1m ecuaia are dou soluii reale po!itive.
5/26/2018 Ecuatii Si Inecuatii Cu Parametru
13/27
>
>
0
0
0
0
ab
a
c
a
adic
( )
( ) ( )
( ) ()
( )()
()
+
+
+
+
>+
>+
+
2;5
11
1;3
;12;
;5
11
1
013
012
;5
11
1
01
32
01
2
;5
11
1
m
m
m
m
m
mm
mm
m
m
m
m
m
m
m
m
5/26/2018 Ecuatii Si Inecuatii Cu Parametru
14/27
+eci, pentru
2;
5
11m ecuaia are dou soluii reale negative.
=. S calculm valorile parametrului m din intervalul
+ ;
5
11pentru care ecuaia admite soluii reale de semne opuse
0
0
0
a
c
a
adic
( )( )1;2
1;2
;5
11
1
01
2
;5
11
1
+
+
5/26/2018 Ecuatii Si Inecuatii Cu Parametru
17/27
+ac ( )1;2m ecuaia nu are soluii reale+ac [ )2;1m ecuaia are dou soluii
reale po!itive+ac m = 2, ecuaia are soluiilex1 = -, x2 =8+ac ( )+ ;2m ecuaia are dou soluii de semne diferite
. S calculm valorile parametrului m pentru care se satisface condiia31
2
2
2
1
2
2
2
1
+
xx
xx
(fectum careva transformri cu e$presia( )
( )221
21
2
21
2
2
2
1
2
2
2
1 2
xx
xxxx
xx
xx
+=
+ *n re!ultat avem
( )
( )
( )
( )
( )
( )
+
+
+
12
32
32
1
2
21
21
2
21
2
21
21
2
21
2
21
21
2
21
xx
xxxx
xx
xxxx
xx
xxxx
. 'onform
relaiilor lui iete
=
=+
mxx
mxx
2
2
21
21 obinem 0
5/26/2018 Ecuatii Si Inecuatii Cu Parametru
18/27
( )
( )( )
( )
[ ]
++
+ +
+
+
+
657;3
333
3
333;657
2
;3
333
3
333;
657;657
2
0863
01614
1
2
224
32
224
2
2
2
2
2
2
m
m
m
m
m
mm
mm
m
mm
m
mm
Rspuns : %entru
+
+
657;
3
333
3
333;657m este satisfcut condiia.
Exemplul 5.
S se determine toate valorile reale ale parametrului kpentru care ecuaia 01222 =++ kxx are soluii reale i diferite. 'te
soluii a acestei ecuaii sunt situate n intervalul 2;0 n dependen de parametrul k7
Rezolvare :%entru ca soluiile ecuaiei s fie reale i distincte e necesar ca ( ) 104401480 >+> kkk+eci, pentru 1
5/26/2018 Ecuatii Si Inecuatii Cu Parametru
19/27
'onform relaiilor lui iete avem 0
+=
=+
+=
=+
1
22
1
22
21
21
21
21
kxx
xx
kxx
xx
+eoarece semisuma soluiilor ecuaiei este 2 nseamn, c una din soluii este mai mare dect 2 , iar cealalt mai mic ca 2 ,adic 21 2 xx >x , atuncire!ult , c ambele soluii sunt po!itive, adic 101 >>+ kk . +eci, pentru ( )1;1k n intervalul ( )2;0 este situat numai o
soluie, cea mai mic kk
x =
= 122
44221
Rspuns : %entru ( )1;1k n intervalul ( )2;0 este situat o singur soluie kx = 121
Exemplul 6.
#ie dat ecuaia 0 ( ) =+ mmmm xx ,022124 R. %entru ce valori reale ale lui m ecuaia are o soluie unic7
Rezolvare :%entru ca ecuaia ptrat e$ponenial s admit o soluie unic e necesar s fie satisfcute urmtoarele condiii0
5/26/2018 Ecuatii Si Inecuatii Cu Parametru
20/27
(
(
2;04
1
2;04
1
1
;2
10;
0
4
1
084144
012
0
084144
02412
012
0
02412
012
0
0
22
22
2
2
m
m
m
m
m
m
mmmm
mm
m
mmmm
mmm
mm
m
mmm
m
m
m
5/26/2018 Ecuatii Si Inecuatii Cu Parametru
21/27
Rspuns: %entru ( )2;04
1
m ecuaia va admite o soluie unic.
necuaii cu o singur necunoscut cu parametru
#ie date dou funcii numerice fBx@ i gBx@ i fie D mulimea ce repre!int intersecia domeniilor de definiie a acestor funcii,adic ( ) ( )gDfDD = . +ac se cere de aflat toate numerele x0 din D pentru care este just inegalitatea numeric ( ) ( )00 xgxf < ,atunci se spune c este dat o inecuaie cu o singur necunoscut ( ) ( )xgxf < . &ulimea + este numit domeniul valoriloradmisibile al necunoscutei,B +A @, iarx0este soluie a inecuaiei.
*n mod analog trebuie formulate i nelese problemele 0 s se re!olve inecuaiile f(x) > g(x), f(x) g(x), f(x) ! g (x). &ulimea
soluiilor unei inecuaii repre!int , de regul, o mulime infinit de numere i de aceea verificarea ei este dificil. Cnica metod, caregarantea! justeea rspunsului const n faptul, c la re!olvarea inecuaiilor trebuie efectuate astfel de transformri, nct s sepstre!e echivalena inecuaiilor.
!ou inecuaii sunt ec"ivalente dac mulimile soluiilor lor coincid.Aducem afirmaiile de ba! cu privire la echivalena inecuaiilor , care se formulea! i se demonstrea! pe ba!a proprietilor
inegalitilor numerice.
5/26/2018 Ecuatii Si Inecuatii Cu Parametru
22/27
3. Inecuaiile fBx@ D gBx@ i fBx@ E gBx@ D - sunt echivalente
2. Inecuaiile fBx@ > gBx@ i fBx@+ a > gBx@+ a sunt echivalente pentru orice a real.
5. Inecuaiile fBx@> gBx@ i afBx@> agBx@ sunt echivalente pentru orice a po!itiv.
8. Inecuaiile fBx@ > gBx@ i afBx@ " agBx@ sunt echivelente pentru orice anegativ.
;. Inecuaiile ( ) ( )xgxf aa > i fBx@> gBx@ sunt echivalente pentru orice numr fi$at a > 3
i fBx )" gBx@ sunt echivalente pentru orice numr fi$at -" a F 3
=. #ie #un numr natural i pe mulimea$funciile % = fBx@ i % = gBx@ sunt nenegative. Atunci pe aceast mulime inecuaiilefBx@> gBx) i ( )[ ] ( )[ ] nn xgxf > sunt echivalente.
>. #ie aun numr fi$at din domeniul( )+;1
i pe mulimea$funciile % = fBx@ i % = gBx@ sunt po!itive. Atunci pe aceastmulime sunt echivalente inecuaiile ( ) ( )xgxf aa loglog > i fBx @> g Bx@.
?. #ie aun numr fi$at din domeniul B-3@ i pe mulimea$ funciile % = fBx@ i % = gBx@ sunt po!itive. Atunci pe aceastmulime sunt echivalente inecuaiile ( ) ( )xgxf aa loglog > i fBx@ " gBx@ .
3-.#ie c pe mulimea & , care se conine n +A al inecuaiei fBx@> gBx@, funcia ( )xy = este po!itiv . Atunci pe aceastmulime snt echivalente inecuaiile ( ) ( )xgxf > i ( ) ( ) ( ) ( )xxgxxf >
#iecare dintre inecuaiile de $orma ax % &, ax ' &, ax ( &, ax ) & , unde a i & sunt numere reale sau $uncii de parametri,iar x este o necunoscut se numete inecuaie liniar cu o necunoscut cu parametru.
'onsiderm inecuaia ax % & , la re!olvarea creia vom deosebi urmtoarele ca!uri 0 3@. +ac a > - atuncia
bx>
2@. +ac a " 0 atuncia
bx<
5/26/2018 Ecuatii Si Inecuatii Cu Parametru
23/27
5@. +ac a = - i b F -, obinem inecuaia -x > b,careeste verificat de orice valoare real a necunoscutei
x.8@. +ac a = - i b > -, obinem inecuaia 0x > b,
care nu are soluii.Exemplul 1.
S se re!olve inecuaia 0 ( )xaa 12 ++ ( ) axaa 523 ++> .
Rezolvare:(fectund unele transformri , inecuaia dat ia forma ( ) axa 812 >
+ac 1>a , atunci1
82
>a
ax
+ac 1 >, care nu are soluii
+ac a = 1 3, atunci inecuaia devine -x > 1>, care este verificat de oricexreal.
Exemplul 2.
%entru care valori ale parametrului k inecuaia ( ) 0121 >++ kxk este verificat de valorile necunoscutei 3x 7
Rezolvare:om considera funcia ( ) ( ) 121 ++= kxkxf graficul creia repre!int o linie dreapt pentru orice valoare a parametrului k.
Se observ c ( ) ( ) 0121 >++= kxkxf pe segmentul [ ]3;3 , atunci i numai atunci, cnd ( )( )
>
>03
03
ff
5/26/2018 Ecuatii Si Inecuatii Cu Parametru
24/27
(fectund careva transformri necesare , obinem
(
(
>
>
>=>=
4;5
2
5
2
4
025
04
0253
043
kk
k
k
k
kf
kf
+eci, pentru
4;5
2k inecuaia este verificat de valorile necunoscutei 3x
Rspuns: 4;52
k
#iecare dintre inecuaiile de forma ax2+ bx + c > -, ax2+ bx + c " - , ax2+ bxG c H - , ax2G bx + c - ,unde a ' 0 se numeteinecuaie de gradul doi sau inecuaie ptrat cu o necunoscut, iar a, b, csunt numere reale sau depind de parametru. /e!olvarea inecuaiilor ptrate cu parametri necesit cunoaterea profund a proprietilor trinomului ptrat
Exemplul3.
Derezolvat inecuaia ( ) ( ) 017221 2 mxmxm
Rezolvare:+ac m = 3 atunci inecuaia ia forma ( ]4;40820172 xxxx
+ac m R \ { }1 atunci soluiile inecuaiei vor depinde de valorile discriminantului i de valorile lui m E 3 .'alculm discriminantul 0 ( ) ( )( ) ( )31084124032171424 222 +=+== mmmmmmm+eterminm semnul discriminantului.
5/26/2018 Ecuatii Si Inecuatii Cu Parametru
25/27
=
==+
4
3
2
1
03108 2
x
x
mm . +eterminm semnul e$presiei m 3.
+epunem toate valorile obinute pe o dreapt0
J G G G G G G G G G G 9 9 9 9 9 9 9 G G G G G G G G G G G G G G
m 3 9 9 9 9 9 9 9 92
19 9 9 9 9 9 9
4
3 9 9 9 9 9 9 9 3 G G G G G G G G
'alculm rdcinile trinomului asociat inecuaiei01
31082 2
1 ++
=m
mmmx i
1
31082 2
2 +
=m
mmmx
Rspuns : +ac
1;
4
3
2
1;m
+
++
+
= ;1
31082
1
31082;
22
m
mmm
m
mmmS
+ac
4
3;
2
1m S=R
+ac m = 3 ( ]4;=S
+ac ( )+ ;1m
++
+=
1
31082;
1
31082 22
m
mmm
m
mmmS
5/26/2018 Ecuatii Si Inecuatii Cu Parametru
26/27
Exemplul4
+eterminai valorile reale ale parametrului a, pentru care funcia ( ) ( ) ( ) 12113
1,: 232 +++= xxaxaxfRRf este cresctoare
pe .Rezolvare :
K funcie este cresctoare pe R atunci cnd f LBx@ H -. fL Bx @ = ( ) ( ) 2121 22 ++ xaxaS determinm valorile reale ale lui a pentru care are loc inecuaia ( ) ( ) 2121
22 ++ xaxa H -.Kbservm, c este o inecuaie
ptrat cu parametru. erificm pentru nceput
=
===
1
1101
22
a
a
aa
+ac a=3 avem c f *Bx@=2> 0.+eci, este reali!at condiia problemei.+ac a = 13 avem c f *Bx@= 18x G 2, care nu este nenegativ pentru orice xreal. %rin urmare, nu este reali!at condiia
problemei.
+ac a R\{ }1,1 obinem c f *Bx@! 0
(
( )
]
++ +
+
;13;
;13;
;11;
032
1
021414
1
0
01
222
22
a
a
a
aa
a
aa
aa
Am obinut, c fL(x) ! - pentru ( ] ( ) ( ] [ )+
+=
;13;;13;
1a
a
a
Rspuns : %entru ( ] [ )+ ;13;a f * Bx@ ! - pentru orice valoarea real a luix, adic fBx@este cresctoare.
5/26/2018 Ecuatii Si Inecuatii Cu Parametru
27/27
*entru lucrul independent:
3. +eterminai valoarea ma$im a parametrului real a , pentru care funcia ( ) 1133
1,: 23 += axaxxxfRRf este monoton
descresctoare pe /.2. %entru care valori reale ale parametrului real a, funcia ( ) ( ) 353,: axxaxfRRf = admite puncte critice 75. #ie funcia ( ) ( ) .,1ln,: 2 RmxmxxfRRf += +eterminai valorile lui mpentru care funcia f este descresctoare pe /.8. #ie funcia ( ) ( ) .,21222ln,: 2 RDmxmmxxfRDf ++= determinai parametrul real m pentru care D = .;. %entru care valori ale parametrului real a ecuaia ( ) 0325125 =++ aa xx are o unic soluie7
'iuga &aria, profesor de matematic,Mrad didactic ntiNiceul Teoretic O &. (minescuP
or. +rochia
e9mail maria.ciugaQgmail.comtel.mob. -
Top Related