Carte Ecuatii Diferentiale

GAVRIIL PLTINEANU PAVEL MATEI

ECUAII DIFERENIALE I

ECUAII CU DERIVATE PARIALE CU

APLICAII

Bucureti

2007

Referent tiinific: prof. univ. dr. ILEANA TOMA Universitatea Tehnic de Construcii Bucureti

PREFA

Teoria ecuaiilor difereniale i a ecuaiilor cu derivate pariale reprezint un

domeniu fundamental al matematicii cu numeroase aplicaii n diferite domenii ale tiinei i

tehnicii, precum: mecanic, astronomie, termodinamic, optic, elasticitate, chimie, biologie

etc.

Necesitatea crerii acestei teorii a nceput odat cu apariia calculului diferenial i

integral i provine din faptul c numeroase fenomene i procese din natur se modeleaz

matematic prin ecuaii difereniale sau prin ecuaii cu derivate pariale.

Iat cteva dintre aceste procese: micarea unui punct material ntr-un cmp

conservativ, vibraiile unui sistem oscilant, cderea liber a corpurilor, deplasarea unei

membrane elastice sub aciunea unei ncrcri continue, propagarea cldurii ntr-o bar,

dezintegrarea radioactiv, creterea populaiei, diverse reacii chimice etc.

Primele contribuii notabile n teoria ecuaiilor difereniale aparin creatorilor

analizei matematice Isaac Newton (1642-1727) i G. M. Leibniz (1646-1716).

Pornind de la studiul problemelor de dinamic a punctului material, Newton a

descoperit legea a doua a mecanicii: dvF m a mdt

= =

GJG G, relaie care reprezint o ecuaie

diferenial. Combinnd aceast lege cu legea gravitaiei, el a calculat orbitele planetelor i

a unor comete.

Leibniz a fost condus la studiul ecuaiilor difereniale de o problem de geometrie, aa

numita problem invers a tangentelor, care const n determinarea unei curbe plecnd de la

unele proprieti ale tangentei la curb. Leibniz este cel care a introdus termenul de ecuaie

diferenial.

Lista matematicienilor care i-au adus contribuia la dezvoltarea teoriei ecuaiilor

difereniale continu cu fraii Johann i Daniel Bernoulli, Euler, Laplace, Lagrange, Cauchy,

Fourier, Poincar, Picard, Liapunov, Voltera etc.

ECUAII DIFERENIALE I ECUAII CU DERIVATE PARIALE CU APLICAII

6

L. Euler a dat o prim definiie clar a ecuaiei difereniale, explicnd i n ce const

rezolvarea unei astfel de ecuaii. Dup L. Euler, o ecuaie diferenial este o relaie ntre x, y

i dypdx

= i rezolvarea ei const n gsirea unei relaii ntre x i y care nu-l mai conine pe p.

Dintre numeroasele rezultate obinute de Euler n domeniul ecuaiilor difereniale,

amintim metoda de rezolvare a ecuaiilor difereniale de ordinul n cu coeficieni constani, cu

numeroase aplicaii n mecanic i fizic.

Problema existenei i unicitii soluiei unei ecuaii difereniale a fost formulat i

rezolvat pentru prima oar de Cauchy i ulterior simplificat de Lipschitz. Metoda

aproximaiilor succesive aparine lui Picard,iar forma sa abstract lui Stefan Banach.

Lucrarea de fa conine un minimum de cunotine de baz din domeniul ecuaiilor

difereniale i al ecuaiilor cu derivate pariale, care nu pot s lipseasc din cultura

matematic a unui inginer constructor.

Sunt prezentate urmtoarele capitole: Ecuaii difereniale, Sisteme de ecuaii

difereniale, Ecuaii cu derivate pariale de ordinul nti, Serii Fourier, Ecuaii cu derivate

pariale de ordinul al doilea, Elemente de calcul variaional.

Am ncercat s iniiem pe cititori n procesul de modelare a proceselor de evoluie

prin ecuaii difereniale sau ecuaii cu derivate pariale, n studiul existenei i unicitii

soluiei unei asemenea ecuaii, n nsuirea algoritmilor de calcul a soluiei precum i n

interpretarea rezultatelor.

n cadrul fiecrui capitol sunt prezentate exemple rezolvate integral, care contribuie

la o bun nelegere a teoriei. Am fost preocupai tot timpul pentru a pstra un echilibru ntre

rigoare i accesibilitate.

Cartea se adreseaz n special studenilor Universitii Tehnice de Construcii

Bucureti, dar n egal msur i altor categorii de studeni din universiti tehnice, precum

i unor specialiti din cercetare i proiectare.

Mulumim referentului tiinific, doamna prof. univ. dr. Ileana Toma, pentru

observaiile i aprecierile fcute n urma citirii manuscrisului.

Autorii

CAPITOLUL 1

ECUAII DIFERENIALE

1.1. Noiuni generale. Exemple. Teorema de existen i unicitate

Prin ecuaie diferenial ordinar de ordinul n se nelege orice relaie de forma:

0),...,'',',,( )( =nyyyyxF , (1)

unde x este variabila independent, este funcia necunoscut, , , ..., sunt

derivatele funciei y i F este o funcie real continu definit pe un domeniu .

)(xyy = 'y ''y )(ny1n+ \

Dac (1)(1) ( )F C i derivata parial 0)(

nyF pe , atunci din teorema funciilor

implicite rezult c, local, ecuaia (1) se poate pune sub forma

( ) ( 1)( , , ',..., )ny f x y y y = n . (2)

Ecuaia diferenial (2) se numete forma normal a ecuaiei (1).

Prin soluie a ecuaiei (1) [respectiv (2)] pe intervalul I \ , se nelege orice funcie : I \ , de clas ( ) ( )n IC (2) , care verific ecuaia

( )( , ( ), '( ),..., ( )) 0nF x x x x = , x I

respectiv ( ) ( 1)( ) ( , '( ),..., ( ))n nx f x x x = , x I .

Evident, se presupune c pentru orice x I , punctul . ( )( , ( ), '( ),..., ( ))nx x x x

Graficul unei soluii a ecuaiei difereniale (1) se mai numete i curb integral a

acestei ecuaii difereniale.

Cea mai simpl ecuaie diferenial se ntlnete la calculul integral i const n aflarea

(1) F este de clas (1)C pe , dac F i derivatele sale pariale de ordinul nti sunt continue pe . (2) este de clas ( )nC pe I , dac i derivatele sale ' , '' ,..., ( )n sunt continue pe I.

8 ECUAII DIFERENIALE I ECUAII CU DERIVATE PARIALE CU APLICAII

primitivei unei funcii. ntr-adevr, fiind dat funcia continu , dac notm cu

y primitiva sa, atunci obinem ecuaia diferenial:

:f I \ \

' ( )y f x= , x I . (3)

Soluia ecuaiei difereniale (3) este

( ) ( )y x F x C= + , (4)

unde F este o primitiv a lui f pe I.

Constatm c soluia cutat nu este unic, ci exist o infinitate de soluii ale ecuaiei

(3). Soluia (4) a ecuaiei (3), care depinde de o constant arbitrar C, se numete soluia

general. Fiecare soluie particular se obine din soluia general dac dm constantei C o

valoare numeric concret.

Numeroase probleme din tiin i tehnic se modeleaz matematic prin ecuaii

difereniale.

Exemplul 1.1.1. S studiem cderea liber a unui punct material, sub aciunea forei

gravitaionale. Alegem ca ax Oy dreapta vertical pe care se mic (cade) punctul; originea

este la suprafaa pmntului, iar sensul pozitiv l alegem n sus. Notm cu y(t) coordonata

punctului M la momentul t. Aadar, variabila independent este timpul t, iar funcia

necunoscut este . ( )y y t=

De la mecanic tim c acceleraia este ; pe de alt parte, se tie c acceleraia

gravitaional este constant, se noteaz cu g i este aproximativ egal cu 9,81 . Cum

acceleraia gravitaional este orientat n jos, n sistemul de coordonate ales, va avea semnul

. Egalnd cele dou acceleraii ale punctului, obinem ecuaia diferenial:

''( )y t2/m s

''( )y t g= . (5)

Dup prima integrare, obinem:

1'( )y t gt= + C , (6)

iar dup a doua integrare: 2

1( ) 2t

2y t g C t C= + + . (7)

Expresia (7) reprezint soluia general a ecuaiei (5) i conine dou constante

arbitrare i . 1C 2C

Din (6), pentru , deducem: 0t =

1. Ecuaii difereniale 9

1 0'(0)C y v= = - viteza iniial a punctului.

Procednd asemntor n (7), obinem:

2 (0)C y y= = 0 - poziia iniial a punctului.

Cu aceste notaii, obinem soluia particular 2

0 0( ) 2ty t g v t= + + y . (8)

Aadar, dac cunoatem poziia iniial 0y a punctului i viteza sa iniial , din (8)

putem calcula poziia punctului material n cdere liber la fiecare moment t.

0v

Exemplul 1.1.2. Se tie c viteza de descompunere a radiului este direct proporional

cu cantitatea de radiu existent. S presupunem c n momentul , avem 0t = 0R grame de

radiu. S notm cu ( )R t cantitatea (n grame) de radiu existent (rmas) la momentul

i cu c ( ) coeficientul de proporionalitate. Suntem condui la ecuaia diferenial

0t >

0c >

'( ) ( )R t cR t= . (9)

Se verific, prin derivare, c soluia acestei ecuaii difereniale este

0( )ctR t R e= . (10)

Exemplul 1.1.3. S studiem oscilaiile mici ale unui pendul (fig. 1). Notm cu y(t)

unghiul format de pendul cu axa vertical la momentul t, cu l lungimea pendulului i cu g

acceleraia gravitaional. Asupra punctului material P

de mas m acioneaz fora gravitaional , de mrime FJG

F mg=JG

, care se descompune n componentele 1FJJG

i

2FJJG

, de mrimi 1 cosF mg =JJG

i 2 singF m =JJG

F

.

Presupunnd firul inextensibil, aciunea forei JG

2

se reduce la componenta FJJG

2FJJG

. Observm c este

orientat spre origine i este tangent la arcul de cerc

pOP . Lungimea arcului pOP este egal cu ly(t), de unde deducem c acceleraia unghiular va fi ly . Din

legea a doua a lui Newton, rezult c:

''( )t

O

M

P

y

y 1FJG

2FJJG

Fig. 1

FJG


2''( ) sin ( )ml y t F mg y t = = JJG

.

Deoarece pentru oscilaii mici (adic valori mici ale lui y), putem aproxima sin ,

mai departe obinem ecuaia

y y

''( ) ( ) 0gy t y tl

+ = . (11)

Se poate arta c, soluia general a acestei ecuaii difereniale este

( ) cos( )gy t A tl

= + , (12)

unde A i sunt nite constante arbitrare.

Exemplul 1.1.4. S analizm micarea unui punct material de mas m care se

deplaseaz pe axa Ox sub aciunea unei fore elastice FJG

orientat spre origine. Dac notm cu

x(t) distana de la punctul material la origine, la momentul , atunci, din legea a doua a lui

Newton, rezult c:

0t >

( )mx t F= . Pe de alt parte, F fiind o for elastic, este de forma . Obinem astfel

ecuaia diferenial a oscilatorului armonic:

2 ( )F x= t

=2( ) ( ) 0mx t x t+ . (13)

Soluia general este de forma

( ) cos( )x t A t = + , , 0A

unde A i sunt nite constante arbitrare.

n ipoteza suplimentar a existenei unei fore de frecare proporional cu viteza, de

forma i a unei fore exterioare f(t) aplicat punctului material, se obine o ecuaie

diferenial mai complicat i anume:

( )k x t

2( ) ( ) ( ) ( )mx t kx t x t f t+ + = . (14)

Exemplul 1.1.5. S studiem geometria unei oglinzi care are proprietatea c reflect

razele luminoase provenite de la o surs punctual O, sub forma unui fascicol paralel cu o

direcie dat.


Alegem punctul O ca origine a axelor de coordonate, axa Ox dreapta paralel cu

fascicolul i dreapta Oy perpendicular pe Ox (fig. 2). Fie , curba de intersecie

dintre corpul oglinzii i planul xOy. Fie P(x,y) un punct de pe curb, fie T punctul de

intersecie dintre tangenta n P la curb i axa Ox i fie PR perpendiculara pe tangent n

punctul P. Cum PQ este paralel cu Ox rezult c . innd seama c

unghiul de inciden este egal cu unghiul de reflexie , deducem c

deci . Aadar, panta dreptei OP este

( )y y x=

'QPT OTP = =) )

i r

0 090 90i rOPT = = = =) , 2xOP =)

2 ytgx

= . Pe de alt parte, panta dreptei PT, este . Cum '( )tg y x = 222

1tgtgtg

=

, rezult

ecuaia diferenial

2

2 '1 '

y yy

P(x,y)

T

T

O

2 R

ir

y=y(x)

M[0,y()] Q

x

Fig. 2

y x=

,

care se mai scrie sub forma:

1 ')'

2 (x y yy

= .

Derivnd aceast ecuaie n raport

cu y i innd seama c 1'

dxdy y

= ,

obinem:

2

1 1 1 ' '2 ' ( )' ' '

dy dyy yy y y dy dy

+ =

i mai departe

2

1 '' (1' '

dyy 1 )y dy y

+ = +

sau 2 2

2

1 ' ' 1 '' 'y dyy

y dy y+ +

=

y

'

.

Simplificnd cu 'y i cu 1 2y+ , rezult:

'1'

y dyy dy

= ,

deci


''

dy dyy y

= . (15)

Dup o prim integrare, obinem

1ln ' ln lny y C= + 1 0>, C ,

sau 1'yy C= respectiv 1'yy C= . Dup nc o integrare, rezult 2

12y C x C= + 2

2

, deci

212 2y C x C= + . (16)

Aadar, am obinut o familie de parabole.

Fie M punctul de intersecie al curbei cu axa Oy. Deoarece triunghiul OMT

este dreptunghic isoscel, rezult c , deci . Dac n (16) facem ,

obinem

( )y y x=045 = '(0) 1y = 0x =

2

2(0)2

yC = . (17)

Pe de alt parte, derivnd (16), rezult

1'yy C= .

Cum '( , rezult 0) 1y = 1(0)y C= i mai departe 2

12 2

CC = . Prin urmare, soluia

general a ecuaiei (15) este 2

12y C x C= +2

1 , (18)

care reprezint din punct de vedere geometric o familie de parabole simetrice fa de axa Ox.

Focarul acestor parabole coincide cu originea O a axelor de coordonate. Dac fixm

i rotim parabola n jurul axei Ox, obinem paraboloidul de rotaie 1C

2 2 112 ( )2

Cy z C x+ = + .

Aadar, oglinda are forma unui paraboloid de rotaie.

Aa cum am vzut i n exemplele prezentate, o ecuaie diferenial poate avea o

infinitate de soluii.

Fie ecuaia diferenial de ordinul nti sub form normal:

' ( ,y f x y= ) (19)

unde f este o funcie continu definit pe mulimea deschis . 2D \


Pentru a izola o anumit soluie a ecuaiei (19), se impune o condiie iniial i anume:

pentru 0x x= , soluia s ia valoarea 0y . Din punct de vedere geometric, aceasta revine la

gsirea curbei integrale care trece prin punctul 0 0 0( , )M x y D .

Definiia 1.1.1. Se numete problema Cauchy pentru ecuaia diferenial (19) i punctul ( )0 0 0,M x y D , problema care const n determinarea unei soluii ( )y x= , x I , a ecuaiei difereniale (19), care verific condiia iniial:

( )0 0x y = . (20)

Lema 1.1.1. Rezolvarea problemei Cauchy (19) - (20) este echivalent cu rezolvarea

ecuaiei integrale:

[ ]0

0( ) , ( ) dx

xy x y f t y t t= + , x I . (21)

Demonstraie. ntr-adevr, dac ( )y x= , x I , este soluie pentru problema Cauchy

(19) - (20), atunci

[ ]( ) , ( )t f t t = , t i I ( )0 0x y = . Integrnd prima identitate, obinem:

( ) [ ]0 0

0( ) ( )d , ( ) dx x

x xx x t t f t t t = = , x I

0

.

Cum ( )0x y = , rezult c [ ]0

0( ) , ( ) dx

xx y f t t = + t , x I , deci ( )y x= , x I , este

soluie pentru ecuaia integral (21).

Reciproc, dac ( )y x= , x I , este soluie pentru ecuaia integral (21), atunci

[ ]0

0( ) , ( ) dx

xx y f t t = + t , x I .

Evident ( )0 0x y = . Pe de alt parte, prin derivare obinem: [ ]( ) , ( )x f x x = , x I ,

deci ( )y x= , x I , este soluie pentru problema Cauchy (19) - (20).


Definiia 1.1.2. O funcie se numete lipschitzian n raport cu y, n domeniul D, dac exist o constant astfel nct

2:f D \ \

0L ( ) ( )1 2, ,f x y f x y 1 2L y y , oricare ar fi punctele ( )1,x y i ( )2,x y din D.

Observaia 1.1.2. Dac mulimea este deschis i convex, 2D \ (1)( )f DC i fy

este mrginit pe D, atunci f este lipschitzian n raport cu y pe D.

ntr-adevr, fie M > 0 astfel nct

( ),f x y My

0b > D , atunci exist o soluie unic

( )y x= , ( 0 0, )x I x a x a + , pentru problema Cauchy ( ),y f x y = , ( ),x y D ,

( )0 0y x y= .

Demonstraie. Pentru nceput, vom arta c exist o soluie a problemei Cauchy. Con-

form Lemei 1.1.1, aceasta revine la a arta c exist o soluie a ecuaiei integrale (21). De-

monstraia se bazeaz pe metoda aproximaiilor succesive a lui Picard, care nu numai c

stabilete existena soluiei, dar ne d i un procedeu de construcie (aproximativ) a acestei

soluii. Cum f este continu pe mulimea compact D , rezult c f este mrginit pe D . Fie


0M > astfel nct ( ),f x y M< , ( , )x y D . Dac notm cu L constanta lui Lipschitz pe D , atunci, pentru orice dou puncte ( )1,x y i ( )2,x y din D , avem:

( ) ( )1 2 1, , 2f x y f x y M y y . (22) Fixm un numr , notm cu ( )0,1

Fig. 3

min , ,b

h aM L

= i cu I intervalul [ ]0 0,x h x h + .

Evident, 0 0 )I ( ,x a x a+ .

xDefinim prima aproximaie 1 1( )y y= x , I

( )

,

astfel:

0

1 0 0( , )x

x

y x y f t y dt= + , x I1

.

Deoarece f este continu, rezult c y este

continu pe I. Pe de alt parte, pentru orice x I , avem

( )0 0

1 0 0( ) , )x x

x xy x y f t y dt M dt = 0 bM x x Mh M bM = .

Aadar, 1 0 0: [ , ]y I y b y b + , deci 1( , ( ))t y t D , . t I

Construim aproximaia a doua 2 2 ( )y y x= astfel:

0

2 0 1( ) ( , ( ))x

x

y x y f t y t dt= + , x I . Din continuitatea funciilor f i 1y , rezult continuitatea lui 2y . Observm c

( )0

2 0 1 0( ) , ( ))x

xy x y f t y t dt M x x Mh b ,

deci

2 0 0( ) [ , ]y x y b y b + , x I

sau 2( , ( ))t y t D , x I .

n general, definim aproximaia de ordinul n, astfel:

0

0 1( ) ( , ( ))x

n nx

y x y f t y t dt

= + , x I (23)


i constatm c ny este o funcie continu pe I cu valori n intervalul 0 0[ , ]y b y b + , deci

2( , ( ))t y t D , x I .

Procedeul continu nedefinit.

irul de funcii 0 0: [ , ]yn I y b y b +*n `, , definit prin formula (23), poart

numele de irul aproximaiilor succesive.

Considerm urmtoarea serie de funcii pe I:

0 1 0 1( ) ... ( ) ...n ny y y y y + + + + (24)

i observm c irul sumelor sale pariale este chiar ( )n ns ( )n ny ,

, ( ) ( )n ns x y x= x I .

Dac vom arta c seria (24) este uniform convergent pe I, va rezulta c irul ( )n ny

este uniform convergent pe I. Folosind ipoteza c funcia f este lipschitzian pe D n raport

cu y, avem:

( ) ( )0 0

2 1 1 0 1 0( ) ( ) , ( ) , ( ) ( )x x

x xy x y x f t y t f t y t dt L y t y dt =

0

20 2

0 2 2!

x

x

x x LMLM t x dt LM h

= . Aadar, avem:

22 1 0( ) ( ) 2!

LMy x y x x x , x I . (25)

Folosind din nou faptul c f este lipschitzian i innd seama de (25), rezult:

( ) ( )0 0

3 2 2 1 2 1( ) ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( )x x

x xy x y x f t y t f t y t dt L y t y t dt =

0

2 22 3

0 02! 3.2!

x

x

L M L Mt x dt x x = ,

deci: 2

33 2 0( ) ( ) 3!

L M xy x y x x x , I . (26)

n general, avem: 1 1

1 0( ) ( ) ! !

n nn n

n nL M L My x y x x x h

n n

, x I . (27)


Observm c seria numeric 1

1 !

nn

n

M L hn

=

este convergent, aa cum rezult din criteriul raportului:

11 1!lim lim lim 0 1

( 1)! 1

nnn

n nn n nn

u M L n Lhhu n M L h n

++

= =

+ += < .

Conform (27), seria de funcii (24) este majorat pe intervalul I de o serie numeric

convergent, deci seria (24) este uniform convergent pe I, conform criteriului lui

Weierstrass.

Aadar, am demonstrat c irul aproximaiilor succesive (23) este uniform convergent

pe intervalul I. Notm cu limita acestui ir. Cum un Iy i ny sunt funcii continue pe

I, rezult c este, de asemenea, continu pe I.

Pe de alt parte, avem:

( ) ( )0 0

1 1, ( ) , ( ) ( ) ( )x x

n nx x

f t y t f t t dt L y t t dt

0n nL y x x Lh y , (28)

unde am notat cu

1sup{ ( ) ( ) ; }n ny y x x = x I .

Faptul c un Iy revine la a spune c

lim 0nn y = .

Din aceast observaie i din (28) deducem c

0 0

1lim ( , ( )) ( , ( ))x x

nnx x

f t y t dt f t t dt

= , x I .

n sfrit, trecnd la limit n (23), obinem:

0

0( ) ( , ( ))x

x

x y f t t dt = + , x I , deci este soluie pentru ecuaia integral (21) i cu aceasta am dovedit existena soluiei

problemei Cauchy.

Pentru a demonstra unicitatea acestei soluii, s presupunem ar mai exista o soluie

astfel inct


0

0( ) ( , ( ))x

x

x y f t t dt = + , x I . n continuare, pentru orice x I , avem:

( ) ( )0

( ) ( ) , ( ) , ( )x

xx x f t t f t t dt

0

( ) ( )x

x

L t t dt L

h . innd seama de definiia lui h, deducem

sup{ ( ) ( ) ; }x x x I LL

= =

.

Cum (0 , aceast inegalitate nu este posibil dect dac ,1) 0

= , deci dac

i cu aceasta unicitatea este dovedit.

Exemplul 1.1.6. S se rezolve problema Cauchy

y y = , ( ) 1 1 1 3, ,2 2 2 2x y D

= , ,

(0) 1y = .

Avem ( ),f x y y= , ( ),x y D , , , 0 0x = 0 1y = 12a b= = , 32

M = i L = 1.

Dac alegem 12

= , atunci 1 1 1 1min , ,2 3 2 3

h = = , deci 1 1

,3 3

I = .

irul aproximaiilor succesive arat astfel:

1 0( ) 1 1d 1x

y x t= + = + x , ( )

2

2 0( ) 1 1 d 1

2x x

y x t t x= + + = + + ,

2 2

3 0( ) 1 1 d 1

2 2!x t x

y x t t x

= + + + = + + + 3

3!x ,

............................................

2

( ) 12! !

n

nx x

y x xn

= + + + + , x I ,

............................................


Cum 0 !

nx

n

xe

n

=

= , , convergena seriei este uniform i x \ ( )n ny este irul sumelor pariale ale seriei, rezult c un Iy , unde ( )

xx e = , . x\Observaia 1.1.2. n exemplul precedent am putut afla limita irului aproximaiilor

succesive. De regul, acest lucru nu este posibil i de aceea se aproximeaz limita acestui ir

cu aproximaia de ordinul n, adic cu funcia ny definit n (23).

Exemplul 1.1.7. S se rezolve problema Cauchy 2 2y x y = + , , ( ), ( 1,1) (x y D = 1,1)

(0) 0y = .

Avem , , 1a b= = 0 0 0x y= = 2M = . Dac alegem 12

= , atunci 1 1 1min 1, ,2 2 2

h = = , deci

1 1,

2 2I =

. irul aproximaiilor succesive arat astfel:

3

21 0( ) d

3x x

y x t t= = ,

6 32

2 0( ) d

9 3x t x

y x t t

= + = + 7

63x ,

23 7 3 7 11 15

23 0

2( ) 1 d

3 63 3 63 2079 59535x t t x x x x

y x t t = + + + = + + +

, x I ,... Putem aproxima soluia problemei Cauchy cu 3y , deci

3 7 11 152

( )3 63 2079 59535x x x x

x + + + , 1 1,2 2

x .

n continuare, vom evalua eroarea care se face n metoda aproximaiilor succesive.

Teorema 1.1.2. n condiiile i cu notaiile Teoremei 1.1.1, avem: 1

( ) ( )( 1)!

n nLh

nM L hx y x e

n

+

+

, x I ,

unde este soluia exact a problemei Cauchy, iar ny este aproximanta de ordinul n.


Demonstraie. Din (27) deducem:

( ) ( ) ( )1 1 2 1( ) ( ) ...n p n n n n n n p n py x y x y y y y y y+ + + + + = + + + +

1 1 2 1

...( 1)! ( 2)! ( )!

n n n n n p n pML h ML h ML hn n n p

+ + + + +

+ + ++ + +

=

1 2( ) ( )1 ...

( 1)! 2 ( 2)( 3) ( 2)...( )

n n pML h Lh Lh Lhn n n n n n p

+ = + + + +

+ + + + + + 1

<

1 2 1( ) ( ) ( )1 ...

( 1)! 1! 2! ( 1)! !

n n p pML h Lh Lh Lh Lhn p

+ = + + + + +

+ p.

Aadar, avem:

1 2 1( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 ...

( 1)! 1! 2! ( 1)! !

n n p p

n p nML h Lh Lh Lh Lhy x y x

n p

+

+

< + + + + +

+ p, x I .

Trecnd la limit dup p ( ) n ultima inegalitate, obinem: p 1

( ) ( )( 1)!

n nLh

nM L hx y x e

n

+

+

, x I .

Definiia 1.1.3. Fie ecuaia diferenial ' ( , )y f x y= 2( , )x y \, . (29)

Presupunem, n plus, c n domeniul sunt ndeplinite condiiile teoremei de existen

i unicitate. Prin soluie general a ecuaiei difereniale (29) n domeniul , se nelege o

familie de soluii

( , )y x C= , x I , unde este o constant arbitrar, cu proprietile: C

a) ( , ( , ))x x C , x I , ; C

b) [ , ( , )]f x x Cx =

, x I , ; C

c) Pentru orice punct , exist o constant unic astfel nct 0 0( , )x y 0C

0 0 0( , )x C y = .

Exemplul 1.1.8. Soluia general a ecuaiei difereniale , , este

, , unde C este o constant real oarecare. ntr-adevr, n acest caz,

, i este evident c sunt ndeplinite condiiile de existen i unicitate

' 1y = 2( , )x y \y x C= + x\

( , ) 1f x y = 2( , )x y \


din Teorema 1.1.1. Pe de alt parte, avem i exist o constant

unic astfel nct

( ) 'x C+ = 1

0 0

20 0( , )x y \

0 0C y x= 0 0y x C= + .

Definiia 1.1.4. Prin soluie particular a ecuaiei difereniale (29) se nelege o soluie a sa obinut din soluia general a ecuaiei (29), prin particularizarea constantei C.

n exemplul 1.1.8, pentru , , etc, obinem soluiile particulare 1 0C = 2 1C = 3 1C =

1y x= , 2 1y x= + , 3 1y x= etc.

Observaia 1.1.3. Teorema 1.1.1 are un caracter local, n sensul c, dac ntr-o vecintate a punctului 0 0( , )M x y , funcia f este continu i lipschitzian n raport cu y (n

particular, are derivata parial n raport cu y mrginit), atunci problema Cauchy admite o

singur soluie a crei curb integral trece prin punctul M.

Observaia 1.1.4. De regul, soluia general nu se obine sub form explicit din Definiia 1.1.3, ci trebuie gndit ca soluia implicit ( , )y x C= , definit de ecuaia

obinut prin integrarea ecuaiei difereniale (29). Ecuaia se

mai numete i integrala general (sau complet) a ecuaiei difereniale (29). Ecuaia

, obinut prin particularizarea constantei C, se mai numete i integral

particular.

( , , ) 0x y C =

=

( , , ) 0x y C =

0( , , ) 0x y C

Definiia 1.1.5. Se numete soluie singular a unei ecuaii difereniale, o soluie a acestei ecuaii care are proprietatea c, n orice punct al curbei sale integrale, nu sunt

satisfcute condiiile de unicitate.

Aceasta revine la a spune c pentru orice punct 0 0( , )x y al curbei integrale a acestei

soluii, exist o alt soluie a ecuaiei difereniale, a crei curb integral trece prin acest punct

i este diferit de aceasta. Din Definiia 1.1.5 deducem c soluiile singulare se caut n

punctele unde nu sunt satisfcute condiiile Teoremei 1.1.1. Dac f este continu, atunci


soluiile singulare trebuie cutate n punctele unde f nu este lipschitzian, de exemplu, n

punctele unde fy

nu este mrginit.

Exemplul 1.1.9. Fie ecuaia diferenial 233y y = , . (30) 2( , )x y \

Avem 23( , ) 3f x y y= , . Evident, f este continu pe . Cum 2( , )x y \ 2\

132f y

y

=

,

rezult c fy

nu este mrginit pe axa Ox ( ). Pe de alt parte, este evident c este

o soluie a ecuaiei (30). Aadar, este o soluie singular a ecuaiei (30).

0y = 0y =

0y =

Fie . Soluia general a ecuaiei (30) n este 2 \{( ,0); }x x = \ \ ) 3(y x C= + , cum se verific imediat. Fie un punct oarecare de pe axa Ox. ( ,0)a

O x

y

Fig. 4

Prin acest punct trece soluia singular i soluia particular 0y = 3( )y x a= , . x\Din punct de vedere geometric, curba integral a soluiei singulare este nfurtoarea

familiei de curbe integrale ale soluiei generale.

1.2. Ecuaii difereniale de ordinul nti de forme particulare


1.2.1. Ecuaii difereniale cu variabile separabile

O ecuaie diferenial cu variabile separabile este o ecuaie de forma:

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0f x g y y f x g y + = , (1)


unde sunt funcii continue, 1 2, :f f I \ \ 1f 0 pe I, iar sunt funcii

continue,

1 2, :g g J \ \

2g 0 pe J, I i J fiind intervale. mprind cu 1 2( ) ( )f x g y , se separ variabilele i

ecuaia devine:

1 2

2 1

( ) ( )

( ) ( )g y f x

dy dxg y f x

= . (2)

Integrnd n ambii membri, obinem:

1 2

2 1

( ) ( )( ) ( )

g y f xdy dx C

g y f x= + , C . \

Se obine astfel soluia general sub form implicit a ecuaiei difereniale. Explicitnd

n raport cu y (dac este posibil), se obine o expresie de forma , , care este

soluia general sub form explicit a ecuaiei difereniale (1).

( , )y h x C= C \

Exemplul 1.2.1. S se gseasc soluia ecuaiei difereniale

( ) ( )2 21 1x yy x y+ + + = 0 , care ndeplinete condiia iniial . (1) 2y =

Ecuaia se pune sub forma echivalent 21 1y x

dy dxy x

=

+ + 2. Integrnd, obinem:

2 21 1y x

dy dxy x

=

+ + , deci

( ) ( )2 21 1 12 Cln 1 ln 1 ln2 2y x+ = + + 0C >, , sau

2 21 1C

yx

+ =+

, . 0C >

Din condiia iniial , obinem i mai departe (1) 2y = 10C =2

291

xy

x

= +

. Evident,

soluia cutat este

2

291

xy

x

=

+, x (3,3).


Exemplul 1.2.2. S se gseasc soluia general a ecuaiei difereniale 'xy y= , ,

.

0x >

0y >

Se observ c ecuaia diferenial dat se poate scrie sub forma echivalent:

dy dxy x

= .

Integrnd n ambii membri, se obine:

, ln ln lny x C= + *C +\sau , . y Cx= *C +\ Observm c, dei calculele sunt fcute n domeniul , funcia

, , verific ecuaia diferenial pe . Aadar, soluia general a ecuaiei

difereniale date, este , C .

(0, ) (0, )D =

y Cx= C \ 2\y Cx= \

1.2.2. Ecuaii difereniale omogene

Sunt ecuaii difereniale de forma

yy f

x

= , (3)

unde f este o funcie continu pe un interval I, . 0 I

Dac notm cu yux

= i considerm u = u(x) noua funcie necunoscut, rezult

i . n urma acestei schimbri de funcie necunoscut, ecuaia (3)

devine o ecuaie cu variabile separabile, anume:

( ) ( )y x xu x= y u x u = +

( )u x u f u+ = .

Cazul ( )f u u= se reduce la o ecuaie cu variabile separabile i se rezolv ca mai sus.

Putem deci presupune c ( )f u u . Separnd variabilele obinem:

( )du dx

f u u x=

i mai departe

ln ln( )du

x Cf u u

= +

, . *C \


Exemplul 1.2.3. S se gseasc soluia ecuaiei difereniale 2y y

yx x

= + , x 0,

care ndeplinete condiia iniial . (2) 1y =

Notnd cu yux

= , obinem sau 2u xu u u+ = + 2'xu u= . Presupunem, n continuare,

. Ecuaia diferenial 0y 2'xu u= se scrie sub forma 2du dx

xu= . Integrnd, rezult

1ln lnx C

u = + , . *C \

i mai departe lnx C xy

= , . Din aceast relaie se obin soluiile corespunztoare

diferitelor condiii iniiale. Impunnd condiia , se obine

0x

(2) 1y = 21

2C

e= , care conduce la

2 ln 2 lnx xy

= + , . Deoarece ne intereseaz cazul , rezult c soluia care

ndeplinete condiia iniial y(2) = 1 este

0x (0, )x

2 ln2 lnx

yx

=

+ , ( )20,2x e .

1.2.3. Ecuaii difereniale liniare de ordinul nti

Ecuaiile difereniale liniare neomogene, de ordinul nti, sunt ecuaii de forma:

( ) ( )y P x y Q x+ = , (4)

unde P i Q sunt funcii continue pe un interval I.

Ecuaia liniar omogen asociat este

( ) 0y P x y+ = . (5)

Observm c ecuaia omogen (5) este o ecuaie cu variabile separabile. Separnd varia-

bilele i integrnd, obinem:

( )dy

P x dxy

= , , 0y

ln ( ) lny P x dx C= + *\, C i mai departe


( )P x dxy C e= , , *C \care este echivalent cu

( )P x dxy C e= , . *C \Dei aceast soluie s-a obinut n ipoteza , care presupune C 0, observm c

ecuaia (5) admite i soluia y = 0 care s-a pierdut la mprirea cu y. Aadar

0y

( )P x dxy C e= , , (6) C \reprezint soluia general a ecuaiei omogene (5).

Pentru a obine soluia general a ecuaiei neomogene (4) folosim metoda variaiei

constantei a lui Lagrange i anume: cutm soluia ecuaiei neomogene (4) de forma

( )( ) P x dxy x e = , (7) unde este o funcie de clas (1)C pe intervalul I. Pentru determinarea funciei punem condiia ca (7) s fie soluie pentru ecuaia (4) i obinem:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P x dx P x dx P x dxx e x P x e P x x e + Q x= . Efectund calculele, rezult

( )( ) ( ) P x dxx Q x e = i mai departe

( )( ) ( ) P x dxx Q x e dx C = + . nlocuind n (7) obinem soluia general a ecuaiei neomogene (4) i anume:

( ) ( )( )P x dx P x dxy e C Q x e dx = + (8)

Exemplul 1.2.4. S se gseasc soluia general a ecuaiei difereniale

sin sin cosy y x x x+ = .

Folosim formula (8) cu i . nlocuind n (8), obinem: ( ) sinP x x= ( ) sin cosQ x x x=

( ) (cos cos cos cos cossin cos cos )x x x xy e C x xe dx e C e x e = = x

,

deci . cos cos 1xy C e x=


1.2.4. Ecuaii difereniale de tip Bernoulli

Sunt ecuaii difereniale de forma:

( ) ( )y P x y Q x y+ = , { }\ 0,1 \ . (9) Presupunem c P i Q sunt funcii continue pe un interval I. mprind cu , pentru

, obinem:

y

0y

1( ) ( )y y P x y Q x + = .

Dac facem schimbarea de funcie , unde este noua funcie necunoscu-

t, rezult ( )

1y = z ( )z z x=

1 y y z = i mai departe

( ) ( )1

zP x z Q x

+ =

. (10)

Ecuaia diferenial (10) este o ecuaie diferenial liniar de ordinul nti i se rezolv

ca n seciunea 1.2.3.

Exemplul 1.2.5. S se gseasc soluia general a ecuaiei difereniale

41 ln3 3y

y yx

= x , x (0,).

mprind cu , pentru y 0, rezult 4y 4 31 1 ln3 3

y y yx

= x

y

. Dac notm cu ,

atunci i ecuaia devine:

3z y=

43z y =

1lnz z

x+ = x .

Aceasta este o ecuaie diferenial liniar de ordinul nti, cu 1( )P xx

= i . ( ) lnQ x x=

Folosind formula (8) obinem:

( ) ( )ln ln 1ln lnx xz e C xe dx C x xdxx= = i mai departe ln

4 2C x x

zx

= + x . Aadar avem: 3 ln4 2

C x xy x

x

= + , x > 0, y 0.

Diferite soluii particulare se obin preciznd condiiile iniiale.


1.2.5. Ecuaii difereniale de tip Riccati

Sunt ecuaii difereniale de forma

2( ) ( ) ( )y P x y Q x y R x = + + (11)

unde P, Q i R sunt funcii continue pe un interval I.

n general, o ecuaie de acest tip nu se poate integra prin cuadraturi. Astfel, nc din

1841, J. Liouville a demonstrat c exist ecuaii difereniale de tip Riccati care nu sunt inte-

grabile prin cuadraturi, adic soluiile lor nu pot fi exprimate ca primitive ale unor funcii

continue. De exemplu, ecuaia Riccati foarte simpl:

2 2'y x y= + ,

nu este integrabil prin cuadraturi.

Cel mai simplu i mai cunoscut caz de integrabilitate a ecuaiei Riccati este acela cnd

se cunoate o soluie particular a acestei ecuaii. Dac se cunoate o soluie particular a

ecuaiei difereniale (11), anume , atunci efectund schimbarea de funcie :py J I \1

py y z= + , ecuaia diferenial se reduce la o ecuaie diferenial liniar de ordinul nti.

ntr-adevr, derivnd i nlocuind n ecuaia (11) obinem:

22 2

1 1( ) 2 ( ) ( )pp p p

yzy P x y Q x y R

z zz z

= + + + + + x .

innd seama c py verific ecuaia (11), deci c

2( ) ( ) ( )p p py P x y Q x y R x = + + ,

rezult

2 ( ) ( ) (pz )y P x Q x z P x+ + = . (12) Se observ c ecuaia diferenial (12) este o ecuaie diferenial liniar de ordinul nti.

Observaia 1.2.2. Se poate arta c, orice ecuaie diferenial de tip Riccati de forma

2 2'B Cy Ay yx x

= + + ,

unde satisfac condiia , admite o soluie particular de forma , ,A B C \ 2( 1) 4B AC+ 0

( )pcy xx

= , . c\


Exemplul 1.2.6. S se integreze urmtoarea ecuaie diferenial de tip Riccati:

22

1 23 3

y yx

= , x (0,).

innd seama de observaia 1.2.2, se constat c 1yx

= este o relaie particular a ecua-

iei date. Facem schimbarea de funcie 1 1yx z

= + i obinem:

2 2 2 2 21 1 1 2 1

3 3z

xz2

x z x z

= + + x .

Rezult urmtoarea ecuaie diferenial liniar de ordinul nti:

2 13 3

z zx

= ,

a crei soluie general este 23z Cx x= + .

Soluia general a ecuaiei Riccati este:

2 31 1

yx C x x

= ++

, x (0,).

1.2.6. Ecuaii difereniale de tip Clairaut


( )y xy y= + , (13)

unde este o funcie de clas (1)C pe un interval J. Notnd ecuaia devine y p = ( )y x p p= + .

Derivnd n raport cu x obinem: ( )dp dpp p x pdx dx

= + + , deci

[ ]( ) 0dpx p dx+ = .

Dac 0dpdx

= , rezult p = C i mai departe

( )y C x C= + . (14) Familia de soluii (14) reprezint soluia general a ecuaiei (13). Din punct de vedere

geometric, curbele integrale corespunztoare acestei soluii sunt drepte.

Pe de alt parte, din ( ) 0x p+ = , obinem soluia singular (sub form parametric):


( )( ) ( )

x py p p p

=

= + . (15)

Curba integral corespunztoare soluiei singulare (15) este nfurtoarea familiei de

drepte (14).

Exemplul 1.2.7. S se integreze ecuaia diferenial de tip Clairaut 2

2y

y xy

= .

Soluia general este 2

2C

y C x= , C R.

Soluia singular sub form parametric este:

2

2

x p

py

==

.

Eliminnd pe p ntre cele dou ecuaii parametrice, obinem 2

2x

y = , adic o parabol,

care este nfurtoarea familiei de drepte 2

2C

y C x= , C R (fig. 1).

Fig. 1

2

2xy =

0=C

1=C 1=C

1.2.7. Ecuaii cu difereniale exacte. Factor integrant


( ) ( ), ,P x y Q x y y+ 0= , (16)


unde P i Q sunt funcii de clas (1)C pe dreptunghiul ( ) ( ), ,D a b c d= , Q 0 pe D i P Qy x

= pe D.

Fie ( )0 0,x y Dx y

x y

un punct oarecare fixat i fie F : D R, definit astfel:

( ) ( ) ( )0 0

0, , d , dx y P t y t Q x t t= + ( ),, y D . (17) F x

Propoziia 1.2.7. n condiiile de mai sus, orice funcie implicit ( )y x= , definit de

ecuaia ( ),F x y C= , C R, este soluie pentru ecuaia diferenial (16) i orice soluie a

ecuaiei (16) este de aceast form.

Demonstraie. Pentru nceput vom arta c F Px

= i

FQ

y

= . ntr-adevr, innd

seama de formula de derivare a integralei cu parametru i de ipoteza Px

=

Qy

, rezult

( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 0, , d , ,y y

y y

F Q PP x y x t t P x y x t t

x x t

= + = + d =,

( ) ( ) ( ) ( )0 0, , ,P x y P x y P x y P x y= + = .

De asemenea, avem ( ,F Q x yy

= ) . Aadar, funcia F definit n (17) are proprietatea c F

Px

= i

FQ

y

= . Cu alte cuvinte, forma diferenial este exact. ( ) ( ), ,P x y dx Q x y dy = +Fie ecuaia

( ),F x y C= , ( , )x y D. (18)

Deoarece F Qy

= 0 pe D, rezult c n vecintatea oricrui punct din D ecuaia (18)

definete o funcie implicit ( )y x= , x I. Deoarece [ ], ( ) 0F x x = , x I, derivnd obi-

nem [ ] [ ], ( ) , ( ) ( ) 0F Fx x x x xx y

+ = , x I.

innd seama c F Px

= i

FQ

y

= , deducem c

[ ] [ ], ( ) , ( ) ( ) 0P x x Q x x x + = , x I,


deci ( )y x= , x I este soluie pentru ecuaia (16).

Reciproc, fie ( )y x= , x I, o soluie a ecuaiei (16). Atunci, x I, avem

( ), ( )x x D i [ ] [ ], ( ) , ( ) ( ) 0P x x Q x x x + = .

Deoarece F Px

= i

FQ

y

= , rezult

[ ] [ ], ( ) , ( ) ( ) 0F Fx x x x xx y

+ = , x I,

ceea ce este echivalent cu

( )( ), ( ) 0d F x xdx = , x I. Din ultima relaie deducem c [ ], ( )F x x C = , x I, deci ( )y x= , x I, este o funcie

implicit definit de ecuaia (18).

Exemplul 1.2.8. S se afle soluiile ecuaiei difereniale

( ) ( )2 23 3 0x y y x y + = ( ) ( ), { }2 2, \ ;3 ,x y aa a \ \ . Avem , , ( ) 2, 3P x y x y= ( ) 2, 3Q x y y x= 1Q Px y

= = .

( ) ( ) ( )0 0

2 2 3 30 0, 3 d 3 d

x y

x y3 3

0 0 0F x y t y t t x t x y xy x y x y= + = + + . Aadar, orice soluie a ecuaiei date este de forma ( ),y x x I= , unde este o funcie

implicit definit de ecuaia 3 3x y xy K+ = .

Observaia 1.2.3. Dac P Qy x

, atunci se caut un factor integrant. Prin factor

integrant se nelege o funcie ( ),x y = , , (1)( )D C 0 pe D, cu proprietatea

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , , ,x y Q x y x y P x y x y Dx y

=

P x y Q x y y+ 0Q

. (19)

Aadar, s considerm ecuaia diferenial

( ) ( ), , 0= , pe D i Q Px y

. (20)


Dac reuim s gsim un factor ( , )x y = i nmulim ecuaia (20) cu acest factor integrant, obinem ecuaia echivalent , care este de tipul

(16) i a crei soluie se afl n conformitate cu Propoziia 1.2.7.

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,x y P x y x y Q x y y + 0=

Determinarea factorului integrant se face prin ncercri. S cutm pentru nceput un

factor integrant de forma ( )x = (care depinde numai de x). Din (19) rezult

( )( ) , ( ) ( )Q Px Q x y x xx y

+ =

i mai departe

( )( )

P Qx y xx Q

= . (21)

Pentru ca egalitatea (21) s fie posibil trebuie ca expresia

P Qy x

Q

s depind numai

de x.

Aadar, ecuaia (20) admite factor integrant ( )x = , dac P Qy x

Q

depinde numai de

x. S notm cu

( )

P Qy xx

Q

= .

Atunci ( ) ( )( )x

xx

= i integrnd obinem ln ( ) ( )x x dx C = + . Putem alege factorul integrant ( )( ) x dxx e = .

Exemplul 1.2.9. Determinnd un factor integrant, s se gseasc soluia ecuaiei dife-

reniale

( ) ( )2 21 0x y x y x y + = , x 0, x y.

Avem , , 21P x y= ( )2Q x y x= 2 22 3Q Pxy x xx y

= = , P Qy x

Q

2

x= . Rezult c

2

21

( )dx

xx ex

= = . Amplificnd ecuaia dat cu acest factor integrant, obinem


( )21 0y y x yx

+ = .

Fie 1 21

Px y

=

i . Observm c 1Q y x= 1 1 1P Qy x

= = . Atunci

( ) ( )0 0

2

021 1

, d d2

x y

x y

yF x y y t t x t xy K

xt

= + = + . Soluia ecuaiei va fi orice funcie implicit ( )y x= , x I , definit de ecuaia

2 1

2y

xy Cx

= .

n mod analog, se arat c ecuaia (20) cu P 0, admite un factor integrant depinznd

numai de y ( ( )y = ), dac expresia Q Px y

P

depinde numai de y.

Exemplul 1.2.10. Determinnd un factor integrant, s se gseasc soluia ecuaiei dife-

reniale

( ) ( )2 22 3 7 3 0y x y xy y + = , , 0y 2 3x y , 27 3xy . Avem succesiv

( )2 2 3P y x y= , , 27 3Q xy= 24 9P xy yy

= , 23

Qy

x

= ;

( ) 2( )

Q Py x yy P y

= = ; 2

1( )y

y = .

nmulind ecuaia dat cu 21y

, obinem ecuaia echivalent 27

2 3 3 0x y x yy

+ =

.

Fie , 1( , ) 2 3P x y x y= 1 27( , ) 3Q x y xy

= . Evident 1 1 3Q Px y

= = . Atunci

( ) ( )0 0

20 2

7 7, 2 3 d 3 d 3

x y

x yF x y t y t x t x xy C

yt

= + = + . Orice funcie implicit ( ),y x x I= , definit de ecuaia 2 73x xy K

y = este soluie

pentru ecuaia dat.


Dac ecuaia nu admite factori integrani de forma ( )x = sau ( )y = se caut

factori integrani de forme mai complicate ( )xy = , , ( )ax by = + xy

= etc.

1.3. Ecuaii difereniale liniare de ordinul n

O ecuaie diferenial liniar neomogen de ordinul n este o ecuaie de forma:

( ) ( 1)0 1 1( ) ( ) ... ( ) ' ( ) ( ),

n nn na x y a x y a x y a x y f x x I

+ + + + = , (1)

unde sunt funcii continue pe intervalul 0 1, ,..., ,na a a f I R i . 0( ) 0,a x x I Ecuaia diferenial omogen asociat ecuaiei (1) este:

( ) ( 1)0 1( ) ( ) ... ( ) 0,

n nna x y a x y a x y x I

+ + + = , (2)

Definiia 1.3.1. Spunem c o funcie : I R este de clas ( )pC pe intervalul I, dac admite derivate pn la ordinul p inclusiv i acestea sunt continue pe I.

Vom folosi notaia ( )( )p IC . De exemplu, (0)( )IC , dac este continu pe I,

(1)( )IC dac exist ' i este continu pe I etc.

Este evident c ( )( )p IC este un subspaiu vectorial al spaiului vectorial al funciilor

reale definite pe I, pe care l vom nota . ( , )I \F

Definiia 1.3.2. Se numete soluie a ecuaiei difereniale (1) orice funcie ( )( )n IC care verific ecuaia, adic:

( ) ( 1)0 1 1( ) ( ) ... ( ) ' ( ) ( ),

n nn na x a x a x a x f x x I

+ + + + = .

Dac notm cu D operatorul de derivare dD dx

= , cu operatorul de

derivare de ordinul p,

*,pD p N

...p

pp

p ori

dD D D Ddx

= =D D D ,


cu operatorul identitate ( )0D 0 (( ) , ( )n)D I = C i cu 1 0

0 1 10

( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ,n

k n nk n

knL D a x D a x D a x D a x D a x D x I

=

= = + + + + , atunci ecuaiile (1) i (2) se scriu pe scurt astfel:

( )( ) ( ),L D y f x x I= , (1)

respectiv

( )( ) 0,L D y x I= . (2)

Propoziia 1.3.1. Mulimea S a soluiilor ecuaiei omogene (2) este un subspaiu vecto-rial al spaiului de funcii ( , )I RF .

Demonstraie. Vom arta c i , rezult c . ,y z S , R y z S + Pentru nceput reamintim c operatorul de derivare D este liniar, adic are proprietatea:

( )( ) ( ) ( ), , ( ), ,nD y z D y D z y z I + = + RC . ntr-adevr,

( )( ) ( ) ' 'd 'D y z y z y z y zdx + = + = + = + =

( ) ( )dy dz D y D zdx dx= + = + .

Observm c operatorul de derivare de ordinul p este, de asemenea, liniar. ntr-adevr,

de exemplu:

[ ] ( ]2( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )D x y D D x y D D x y D D x D y + = + = + = + =D

[ ] [ ] 2 2( ) ( ) ( ) ( )D D x D D y D x D y= + = + etc. n sfrit, observm c operatorul ( )L D este liniar,

( ) ( )0 0

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n

k kk k

k kL D y z a x D y z a x D y D z

= =

+ k = + = + =

0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

n nk k

k kk k

a x D y a x D z L D y L D z= =

= + = + Dac , atunci i . n continuare, avem: ,y z S ( )( ) 0L D y = ( )( ) 0L D z =

( )( ) ( )( ) ( )( ) 0, ,L D y z L D y L D z + = + = R ,


deci . y z S +

n spaii de funcii exist un aparat specific pentru studiul liniar dependenei

(independenei). Acest aparat se bazeaz pe noiunea de wronskian.

Definiia 1.3.3. Fie , n funcii de clas 1 2, ,..., :nf f f I R ( 1)nC pe intervalul I. Se numete wronskian al acestor funcii, urmtoarea funcie:

[ ]1' '

11( 1) ( 1)

1

( ) ... ( )( ) ... ( )( ) ,..., ( ) ... ... ...

( ) ... ( )

nnn

n nn

f x f xf x f xW x W f f x

f x f x = = .

Propoziia 1.3.2. Fie ( 1)( ), 1,nif I i n =C . Dac 1,..., nf f sunt liniar dependente pe I, atunci [ ]1,..., ( ) 0,nW f f x x I= .

Demonstraie. Prin ipotez exist n numere , nu toate nule, astfel nct 1 2, ,..., n

1 1( ) ... ( ) 0,n nf x f x x + + = I . (3)

Derivnd succesiv relaia (3) de ( ori obinem: 1)n

1 1' '

1 1 1

( 1) ( 1)1 11 1

( ) ... ( ) 0( ) ... ( ) 0

............ ... ... ... ............. ... ...( ) ... ( ) 0, .

n nn

n n

f x f xf x f x

f x f x

+ + = + + = + + = x I (4)

Am obinut astfel sistemul (4), care este un sistem (algebric) liniar i omogen n

necunoscutele . Deoarece sistemul admite soluie nebanal, rezult c determinantul

coeficienilor este 0. Aadar avem:

1,..., n

1' '

1

( 1) ( 1)1

( ) ... ( )( ) ... ( )( ) 0,... ... ...

( ) ... ( )

nn

n nn

f x f xf x f xW x x I

f x f x = = .

Propoziia 1.3.3. Fie . Dac ( )1, ,..., ( )nng f f IC(i) [ ]1,..., ( ) 0,nW f f x x I ;


(ii) [ ]1, ,..., ( ) 0,nW g f f x x I= , atunci g este o combinaie liniar de 1,..., nf f , deci exist , astfel nct 1,..., nC C R

1 1( ) ( ) ... ( ),n ng x C f x C f x x I= + + .

Demonstraie. Prezentm demonstraia n cazul particular . Prin ipotez, avem: 2n =

1 2' '

1 2'' ''

1 2

( ) ( ) ( )'( ) ( ) ( ) 0,''( ) ( ) ( )

g x f x f xg x f x f x x Ig x f x f x

= . (5)

Cum coloanele 2 i 3 ale acestui determinant sunt liniar independente (deoarece, prin

ipotez, [ ]1 2, ( ) 0,W f f x x I ), rezult c prima coloan este o combinaie liniar de acestea. Aadar, x I , exist , astfel nct 1 2( ), ( )x x R

1 1 2 2'

1 1 2 2'' ''

1 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )'( ) ( ) ( ) ( ) ( )''( ) ( ) ( ) ( ) ( )

g x x f x x f xg x x f x x f xg x x f x x f x

= + = + = +

' . (6)

innd seama c (2)1 2, , ( )f f g IC i c [ ]1 2,W f f 0

' )x

=

=

pe I, din (6) deducem c i

sunt funcii derivabile pe I.

1

2

Derivnd prima relaie din (6) obinem:

' ' '1 1 2 2 1 1 2 2'( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (g x x f x x f x x f x x f= + + + .

Pe de alt parte, innd seama de a doua relaie din (6), deducem:

' '1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0x f x f x + . (7)

n mod analog, derivnd a doua relaie din (6) i innd seama de a treia relaie,

deducem:

' ' ' '1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0x f x f x + . (8)

Am obinut un sistem liniar i omogen de dou ecuaii (ecuaiile (7) i (8)) n

necunoscutele '1( )x i '2( )x . Cum, prin ipotez, determinantul coeficienilor

[ ]1 2' ' 1 21 2

( ) ( ), (

( ) ( )f x f x

W f f xf x f x

= )


este nenul, rezult c sistemul admite numai soluia banal. Aadar, '1( ) 0,x = '2( ) 0,x =

x I , de unde rezult c 1 1 2 2( ) , ( ) ,x C x C x = = I

. Conform primei relaii din (6)

avem:

1 1 2 2( ) ( ) ( ),g x C f x C f x x I= + .

Teorema 1.3.1. (Liouville) Fie 1 2, ,..., ny y y S n soluii particulare ale ecuaiei

omogene (2), fie 0x I fixat i fie . Atunci 1[ ] [ ,..., ]( )nW x W y y x=

100

( )( )

0( ) ( )

x

x

a t dta tW x W x e

= .

Demonstraie. Prezentm demonstraia n cazul particular . Fie 2n = 1y , 2y dou

soluii particulare ale ecuaiei omogene . Atunci avem: 0 1 2( ) '' ( ) ' ( ) 0a x y a x y a x y+ + =

'' '1 20 0

( ) ( ) , 1,2,( ) ( )i i ia x a xy y y ia x a x= = x I . (9)

Pe de alt parte, derivnd wronskianul 1 2' '1 2

( )y yW xy y

= , obinem:

' '1 2 1 21 2 '' '' '' ''' '1 2 1 21 2

y y y ydW y ydx y y y yy y

= + = .

innd seama de (9) i de proprietile determinanilor, rezult:

1 2 1 21' '1 2 1 2 ' '1 1 2 2 0 1 20 0 0 0

( )( )

y y y ydW a xa a a ay y y ydx a x y ya a a a= =

sau

10

( ) ( )( )dW a x W xdx a x= . (10)

Se verific imediat, prin derivare, c ecuaia diferenial (10) admite soluia

100

( )( )

( )

x

x

a t dta tW x Ce

= ,

unde C este o constant oarecare. n particular, pentru 0x x= , rezult c , deci 0( )C W x=


100

( )( )

0( ) ( )

x

x

a t dta tW x W x e

= .

Definiia 1.3.4. Se numete sistem fundamental de soluii pentru ecuaia omogen (2), orice set de n soluii particulare 1,..., ny y S , cu proprietatea c exist 0x I , astfel nct

1 0[ ,..., ]( ) 0nW y y x .

Corolarul 1.3.1. Dac 1,..., ny y S este un sistem fundamental de soluii, atunci

1,..., ny y sunt liniar independente pe I.

Demonstraie. Fie 0x I , astfel nct . Din Teorema Liouville rezult c

,

0( ) 0W x

( ) 0W x x I , iar din Propoziia 1.3.2, rezult c 1,..., ny y sunt liniar independente pe I.

Teorema 1.3.2. Orice sistem fundamental de soluii din S este o baz n spaiul

vectorial S.

Demonstraie. Fie 1,..., ny y S un sistem fundamental de soluii. Conform Corolarului

1.3.1, sunt liniar independente. Rmne s artm c 1,..., ny y este un sistem de generatori

pentru S. Deoarece 1,..., ny y sunt soluii pentru (2), rezult:

( ) ( 1) '0 1 1 1 11 1

( ) ( 1) '0 1 1

( ) ( ) ... ( ) ( ) 0............... ... .................. ........ ................ ... ............ ... ...

( ) ( ) ... ( ) ( ) 0

n nn n

n nn n n n n n

a x y a x y a x y a x y

a x y a x y a x y a x y

+ + + + + + + +

=

=

=

)

. (11)

Fie oarecare. Atunci y verific ecuaia (2), deci y S

( ) ( 1)0 1 1( ) ( ) ... ( ) ' ( ) 0

n nn na x y a x y a x y a x y

+ + + + . (12)

Am obinut un sistem liniar i omogen de ecuaii (ecuaiile (11) i (12)), n

necunoscutele Cum sistemul admite soluie nebanal ,

rezult c determinantul coeficienilor este 0. Aadar, avem:

( 1n +

0( ),..., ( ).na x a x 0( ( ) 0, )a x x I


( ) ( 1)( ) ( 1) '

1 11 1

( ) ( 1) '

... '

... 0,...... .......... ... ... ...

...

n nn n

n nn n n n

y y y yy y y y x I

y y y y

= . (13)

Egalitatea (13) este echivalent cu . Pe de alt parte, din

Propoziia 1.3.2, rezult c ,

1[ , ,..., ]( ) 0,nW y y y x x I=

1[ ,..., ]( ) 0nW y y x x I . Constatm c sunt ndeplinite

condiiile Propoziiei 1.3.3, deci exist , astfel nct 1,..., nC C R 1 1 ... n ny C y C y= + + . Mai mult, rezult . dim S n=R

Observaia 1.3.1. Din Teorema 1.3.2, rezult c dac 1,..., ny y este un sistem fundamental de soluii pentru ecuaia omogen (2), atunci orice alt soluie a ecuaiei (2) este

de forma

1 1 2 2 ... n ny C y C y C y= + + + , (14)

unde , 1,iC i n= sunt constante arbitrare.

Formula (14) reprezint soluia general a ecuaiei (2). Aadar, pentru a gsi soluia

general a ecuaiei omogene (2) este suficient s gsim un sistem fundamental de soluii

particulare ale acesteia. n general, determinarea unui sistem fundamental de soluii pentru

ecuaia omogen este dificil pentru ecuaii cu coeficieni variabili. Acest lucru este posibil

ns n cazul ecuaiilor cu coeficieni constani, de care ne vom ocupa n continuare.

Fie ecuaia

( ) ( 1)0 1 1... ' 0

n nn na y a y a y a y

+ + + + = , (15)

unde , 1,ia i n= sunt constante reale, . 0 0a

Cutm soluii ale ecuaiei (15) de forma

rxy e= , (16)

unde r este o constant real ce urmeaz s fie determinat.

Punnd condiia ca funcia dat de (16) s verifice ecuaia (15), rezult:

( )10 1 1... 0rx n n n ne a r a r a r a + + + + = . Se obine astfel ecuaia algebric (17), care se numete ecuaia caracteristic ataat

ecuaiei difereniale (2),


10 1 1... 0

n nn na r a r a r a

+ + + + =

j

. (17)

Aadar, am redus problema rezolvrii ecuaiei difereniale (15) la problema rezolvrii

ecuaiei algebrice (17). Distingem urmtoarele cazuri:

Cazul 1. Ecuaia caracteristic (17) are rdcini reale i distincte. Fie

rdcinile ecuaiei (17), , dac . Atunci vor fi

soluii particulare ale ecuaiei omogene (15). Calculnd wronskianul lor, obinem:

1 2, ,..., ,nr r r R

ir r i j 1 21 2, ,..., nr xr x r x

ny e y e y e= = =

( )1

1 1 2

1

... 111 11 1 11

... 1 ... 1......( ) ... ... ........... ... ...............

n

n n

n

r xr xr xr x r r r x nn

n nr xr xn n nn

e er rr e r eW x e

r rr e r e

+ + +

= = =

0r

0

( )1 ...1

( )nr r x i jj i n

e r+ <

= .

Rezult c aceste soluii formeaz un sistem fundamental de soluii, deci soluia

general a ecuaiei difereniale (2) este

1 21 2 ... nr xr x r x

ny C e C e C e= + + + .

Exemplul 1.3.1. S se afle soluia general a ecuaiei difereniale

''' 2 '' 5 ' 6 0y y y y + = .

Ecuaia caracteristic este i are rdcinile . 3 22 5 6r r r + = 1 2,r = 2 1,r = 3 3r =

Soluia general a ecuaiei difereniale este

2 31 2 3

x x xy C e C e C e= + + .

Cazul 2. Ecuaia caracteristic admite o rdcin multipl de ordin . Fie, de

exemplu aceast rdcin. Vom arta c n acest caz ecuaia diferenial (15) va admite

urmtoarele soluii particulare:

m n

0r

0 0 11 2, ,...,r x r x r xm

my e y xe y x e

= = =0 .

Pentru nceput, demonstrm urmtoarea lem:


Lema 1.3.1. Pentru orice avem , unde ( )( )kg C I )( ) ( )0 (( ) ( )k rx rx kD rD e g x e g x =dD dx= este operatorul de derivare i este operatorul identitate.

0D

Demonstraie. Demonstraia se face prin inducie matematic. Pentru avem: 1k =

( )( )0 ( ) ( ) '( ) ( ) '( )rx rx rx rx rxD rD e g x re g x e g x re g x e g x = + = . Presupunem afirmaia adevrat pentru orice i o demonstrm pentru . p k< 1p +

( ) ( ) ( ) ( ) (10 0 0( ) ( )p prx rxD rD e g x D rD D rD e g x+ = ) = ( )( )0 ( ) ( ) ( 1) )( ) ( ) ( ) ( )rx p rx p rx p rx pD rD e g x re g x e g x re g x+ (= = + =

n

( 1)( )rx pe g x+= .

Cu aceasta lema este demonstrat.

Fie acum o rdcin multipl de ordinul m pentru ecuaia caracteristic (17) i fie

, membrul stng al ecuaiei (17). Atunci ,

unde este o funcie polinomial de gradul . Acestei descompuneri a polinomului

caracteristic i corespunde urmtoarea descompunere a operatorului diferenial

0r

0 1( ) ...n

nF r a r a r a= + + + 1 0( ) ( ) ( )mF r F r r r=

1F n m

( )F r ( )L D :

( )01 0( ) ( ) mL D L D D r D= D . Din Lema 1.3.1., pentru avem: k m

Carte Ecuatii Diferentiale

Documents

Transcript of Carte Ecuatii Diferentiale