3. Caracteristicile dinamice ale mișcării generale a rigidului

Mișcarea unui rigid este condiționată de interacțiunea lui cu corpurile din mediul înconjurător. Interacțiunile sunt caracterizate de mărimi specifice mișcării;care poartă numele generic de caracteristici dinamice.

Caracteristicile dinamice sunt de două feluri:

- Caracteristici dinamice aplicate vectorial;reprezentate prin torsorii solicitărilor aplicate rigidului;

- Caracteristici dinamice scalare,reprezentate prin noțiunile de lucru mecanic și putere mecanică.

3.1 Torsorii solicitărilor aplicate unui rigid

Așa cum s-a arătat,corpurile rigide,ale căror mișcări sunt studiate în practica inginerească,nu sunt izolate în spațiu,ci se găsesc în permanentă interacțiune,

- Fie că este vorba de interacțiune la distanță,care se produce pe baza unor legi fizice cunoscute ( de exemplu legea atracției universale),

- Fie că este vorba de interacțiune prin contact.

Celor două noduri de interacțiune dintre corpuri –la distanță și de contact- le corespund distribuții de forțe elementare de interacțiune masice ( d Fm) și respectiv superficiale ( d F s),figura 1,a,b care se reduc fiecare la câte o forță rezultantă și un moment rezultant numiți în continuare torsori de solicitare.

Torsorii celor două tipuri de interacțiuni sunt:

T O(F¿¿m)=¿¿

Clasificarea solicitărilor aplicate unui rigid

În funcție de natura interacțiunilor ,solicitărilor aplicate unui rigid se împart în următoarele categorii:

- Solicitări exterioare

- Solicitări de legătură- Solicitări interioare - Solicitări de inerție

Solicitările exterioare. În această categorie de solicitări intră forțele rezultante exercitați de corpurile din mediul înconjurător,cu care rigidul se găsește în interacțiune.

Existența lor este independentă,precum și de preexistența altor solicitări aplicate rigidului.

Forțele exterioare pot fie să accelereze mișcările maselor elementare solicitate,fie să le încetinească,în funcție de unghiurile-ascuțite(fig.2.a),sau obtuze (fig 2.b.)-pe care le fac cu vitezele maselor solicitate.

În categoria solicitărilor exterioare intră și forțele de atracție exercitate de pământ asupra corpurilor de dimensiuni obișnuite,neglijabile în raport cu cele ale pământului,situate în imediata apropiere a solului terestru.

Solicitări de legătură. Sunt formate din forțe rezultante și momente rezultante de legătură și au următoarele două caracteristici principale:

- Existența lor este condiționată fie de starea de mișcare a rigidului,fie de preexistența unui sistem de solicitări exterioare aplicate rigidului;

- Forțele de legătură pot numai să încetinească mișcările maselor elementare asupra cărora se acționează sau chiar să împiedice deplasările lor în anumite direcții,fără a le putea însă accelera,ele formând totdeauna unghiuri obtuze cu vitezele maselor elementare.

În categoria solicitărilor de legătură intră:

- Solicitările datorită legăturilor exterioare (reazem,articulație, încastrare ,fir și bară rigidă) precum și legăturile din cuplele cinematice cu și fără frecare;

- Solicitările datorită rezistenței mediului ( fluid sau lichid);- Solicitările datorită rezistențelor de amortizare ale elementelor de

legătură elastică.

Solicitări interioare. Se numesc forțe interioare forțele de interacțiune dintre masele elementare ale unui rigid ,forțe care indiferent de natura lor fizică, satisfac principiul acțiunii și reacțiunii.

Considerând o astfel de masă elementară dm în punctul B(r) ,este evident că acțiunile tuturor celorlalte mase elementare ale rigidului exercitate asupra ei vor da o rezultantă generală diferită de zero; d Fi≠0 , cu momentul elementar în raport cu polul 0 având expresia d MOi=r ×d Fi≠0

La reducere ,în polul O,a acestui sistem total de asemenea forțe interioare,corespunzătoare tuturor maselor elementare ale rigidului,se regrupează perechile de vectori direct opuși –fiecare pereche cu rezultantă și momentul rezultant-rezultând astfel condițiile:

T O={ F i=∫(M )

❑

d F I=0

MOi=∫(M )

❑

r ×d F i=0

Care scot în evidență faptul că la nivelul întregului rigid forțele interioare elementare formează un sistem echivalent cu zero.

Solicitări de inerție

În mecanică,masei elementare dm a unui rigid,cu sediul în punctul B(r) și care se deplasează cu accelerația a,i se atașează uneori un vector elementar d F I,( fig….) ,definit de relația:

d F I=−a ∙dm

și numit forță de inerție a masei elementare dm ,sau încă forță elementară de inerție.

Sistemul tuturor acestor vectori elementari va putea fi redus în polul O la un torsor al forțelor de inerție,cu componentele definite prin relațiile :

{ F I=−∫D

❑

a∙dm

MOI=−∫D

❑

r ×a∙dm

()

purtând numele de forță rezultantă de inerție,respectiv de moment rezultant în polul O al forțelor de inerție.

Acestor două componente ale torsorului forțelor de inerție li se pot stabili expresii concrete de calcul,efectuându-se în integralele ( ) înlocuirea evidentă.

a=a1O+ε ×r+ω× (ω×r )= v= ddt

(v1O+ω×r )

și ținându-se seama de semnificațiile integralelor respective,adică:

∫(D )

❑

a ∙dm=∫(D)

❑d vdt

∙ dm=∫(D )

❑ddt

(v dm)= ddt∫(D)

❑

v dm=d Hdt

=H

Respectiv

∫(D )

❑

r ×a dm=∫(D )

❑

r ×ddt

(v1O+ω×r ) ∙ dm=∫(D)

❑

r ×d v1Odt

dm+∫D

❑

r ×ddt

(ω×r )dm

Din ultimii doi termeni,rezultă:

∫(D )

❑

r ×d v1Odt

dm=∫(D )

❑

r dm×d v1Odt

=Mrc×d v1Odt

=Mr c×a1O

și

∫(D )

❑

r ×ddt

(ω×r )dm=∫(D )

❑

[r× (ω×r ) ] dm−∫(D)

❑d rdt× (ω×r )dm=¿

ddt [∫(D)

❑

r× (ω×r ) ∙ dm ]=K r

Termenul ∫(D )

❑d rdt× (ω×r )dm=0,ca urmare a coliniarității factorilor

d rdt

=ω×r cuω×r

.

Rezultă astfel următoarele expresii concrete de calcul al componentelor torsorului solicitărilor de inerție:

T O={ F i=−H

MOi=−M rc×a1O−K r

Cazuri particulare:

a) Dacă polul O coincide cu centrul de masă al rigidului C avem:

T O(F i)={F i=−M acMCI=−J ∙ ε

În legătură cu semnificație fizică a forțelor de inerție se desprind următoarele două concluzii,verificate și pe cale experimentală.

a) Pentru un observator invariabil legat de reperul fix ,la care se raportează mișcarea absolută a unui rigid ,forțele de inerție ale acestuia acționează asupra agenților din mediul înconjurător,prin intermediul cărora se transmit maselor elementare ale rigidului accelerațiile a; considerarea lor ca forțe aplicate maselor rigidului,întâlnită destul de des în mecanica tehnică ,este,pentru observatorul situat în reperul fix ,pur convențională și ea conduce,așa cum se va vedea ulterior în dinamica sistemelor de corpuri,la o metodă comodă de rezolvare a unor probleme de mecanică.

Caracterul fictiv ,pentru observatorul legat de reperul fix,al forțelor de inerție rezultă de altfel și din faptul că aceste forțe se introduc artificial în ecuația fundamentală a dinamicii,scrisă acum prin considerarea celor trei categorii de solicitări reale-exterioare (E),de legătură (L) și interioare (i)- sub forma:

a ∙dm=d FE+d FL+d F i

și transformată,prin introducerea forței de inerție,într-o ecuație de echilibru dinamic:

d FE+d FL+d F I+d F i=0

b) Pentru observatorul legat invariabil de un reper mobil,în raport cu care un rigid (s) execută o mișcare relativă,anumite componente ale forței de inerție se comportă ca forțe reale,efectiv aplicate maselor elementare:

Într-adevăr prin aplicarea legii lui Coriolis (a=aa=a t+ac+ar ¿ și prin introducerea noțiunilor de forță elementară inerțială de transport și forței elementare inerțiale Coriolis,definite prin relațiile:

d Ft=−atdm; d Fc=−acdm ;

Ecuația ( ) va lua forma

ardm=d F E+d FL+d F t+d Fc+d Fi(∎)

și va reprezenta ecuația fundamentală a dinamicii mișcării relative a rigidului,forma ei justificând afirmația de la început cu privire la caracterul real,pentru observatorul din reperul mobil-pentru care este valabilă ecuația (∎) -a forțelor inerțiale de transport și Coriolis.

Observație:-Legea fundamentală a dinamicii a fost prezentată la nivelul maselor elementare pe care îl considerăm riguros științific.

2.Lucrul mecanic și puterea mecanică a solicitărilor aplicate unui rigid

a) Lucrul mecanic elementar al unui sistem de solicitări

Extinzându-se noțiunea de lucru mecanic ,definită în cazul cursurilor elementare de fizică generală pentru cazul cu totul particular al unei forțe constante F,al cărui punct de aplicație se deplasează rectiliniu pe o distanță oarecare finită s,cu ajutorul relației:

L=F ∙ s

La cazul unei distribuții oarecare de forțe elementare aplicate maselor elementare ale unui rigid ( fig…)

Se va numi lucru mecanic elementar al unei distribuții de forțe elementare d F,mărimea definită prin relația:

dL=∫(D )

❑

d F ∙d r=∫(D )

❑

d F ∙v dt

Unde d r-este deplasarea elementară a masei dm,efectuată în timpul elementar dt ,fapt care justifică și denumirea de „elementar” dată acestui lucru mecanic.

Ținând seama și acum de expresia ( ) a vitezei punctului B(r) ,sediul masei elementare dm,se va stabili o expresie concretă de calcul al acestui lucru mecanic elementar,scriindu-se:

dL=∫(D )

❑

d F ∙v dt=∫(D )

❑

d F ∙ (v1O+ω×r )dt=∫(D)

❑

(v1Odt)d F+∫(D )

❑

ωdt (r ×d¿F ) ,¿

Sau încă scoțând in afara semnelor de integrare mărimile v1Odt=dr1O și ωdt=dθ,aceleași pentru toate masele elementare ale rigidului și luând în considerare și semnificațiile integralelor rămase,obținem:

dL=(F v1O+MOω )dt=Fd r1O+MOdθ

În funcție de unghiurile pe care le fac componentele torsorului în polul O al solicitărilor considerate cu deplasările elementare la translație și rotație d r1Oși d θ,respectiv cu parametrii cinematici de ordinul întâi v1O și ω,acest lucru mecanic va putea fi :

- Pozitiv,sau prin motor când vectorii F și v1O ,respectiv MO și ω formează unghiuri ascuțite între ele;

- Negativ,sau rezistent,când unghiurile formate de vectorii F și v1O,respectiv MO și ω sunt obtuze;

- Egal cu zero,când vectorii F șiv1O, respectiv MO și ω sunt ortogonali.

Lucrul mecanic total ,efectuat într-un interval finit de timp,[ t 0 ,t ] de distribuția considerată de forțe elementare va fi definit prin relația:

L=∫t0

t

dL=¿∫t0

t

(F vO+MOω)dt ¿

Relația de definiție a lucrului mecanic elementar permite să se stabilească și unitatea de mărime a sa în sistemul internațional de unități,aceasta fiind joule (J),reprezentând lucrul mecanic efectuat de o forță constantă de 1 newton la deplasarea cu 1 metru,în direcția forței,a punctului ei de aplicație.

Se va demonstra în continuare că lucrul mecanic elementar corespunzător unei anumite distribuții de forțe este independent de polul ales,cu condiția că

atât componentele torsorului distribuției considerate,cât și deplasările elementare de forțe elementare să corespundă aceluiași pol.

Într-adevăr ,admițând că distribuția de forțe elementare considerată în fig…. Este reductibilă într-un punct C(rc ¿ la un torsor de componente F și M c, torsorul în polul O având deci componentele F șiMO=M c+rc×F și ținîând seama că:

d rc=vcdt=(v1O+ω×rc )dt=v1Odt+ωdt×rc=d r1O+d θ×r c

Se va putea scrie

d Lc=Fd rc+M cd θ=F ¿+d θ×r c¿+¿(MO+rc×F ¿ dθ=¿

¿ Fd r1O+MOd θ+F (dθ×r c)−(r c×F )dθ=d LO

Justificându-se astfel afirmația de mai sus.

b) Puterea mecanică a unui sistem de solicitări aplicate unui rigid în mișcare generală.

Pentru a se putea caracteriza capacitatea ,în unitatea de timp,de a efectua lucru mecanic a unui sistem de solicitări reductibile în polul O,la un torsor de componente F șiMO,s-a introdus noțiunea de putere mecanică a sistemului respectiv de solicitări definită prin relația:

P=dLdt

=F v1O+MOω

In cazul când poluarea mecanică este variabilă în timp și prin raportul

P= Lt

În cazul când puterea mecanică este constantă,ultima expresie scoțând și unitatea de măsură (SI) a puterii mecanice și anume 1 joule/secundă (1J/s),unitate numele de watt (W).