Capitolul II FINAL

25

Capitolul 2

Numărul de aur

Pornind de la „numărul de aur” capitolul de faţă prezintă din perspectiva

construcţiilor geometrice câteva din principalele elemente ale teoriei proporţiilor.

2.1. Noţiuni introductive

Fie [ ]AB un segment de lungime c şi fie C un punct pe [ ]AB astfel încât

aAC = şi bCB = (fig.1a). Punctul C determină pe AB şase rapoarte ba ,

ca ,

ab ,

cb ,

ac ,

bc . Egalând aceste rapoarte, două câte două, se obţin 15 proporţii simple ce pot fi

grupate în 5 categorii :

Fig. 1a

1.

=

=

=

bc

cb

ac

ab

ca

ba

⇔

=

==

22 cbabacabac

⇔ cb = , corespunde cazului în care AC = (Fig. 1b)

Fig. 1b

A= C B

A G C

a b

c

26

2.

=

=

=

ac

ca

cb

ab

bc

ba

⇔

=

==

22 cabcabbcab

⇔ ca = , corespunde cazului în care BC = (Fig. 1c)

Fig. 1c

3.

=

=

cb

ac

bc

ca

⇔

==

2

2

cabcab

, situaţie imposibilă

4.

=

=

=

ab

ba

bc

ac

cb

ca

⇔

=

==

22 babcacbcac

⇔ ba = ,

Fig. 1d

5. ac

ba= ;

ca

ab= ;

cb

ba= ;

bc

ab=

Fig. 1e

Studiem categoia 5. In acest sens determinăm valoarea primului raport. Astfel,

ac

ba= ⇔

aba

ba += ⇔ 1

2

+=

ba

ba

⇔ 012

=−−

ba

ba (1)

A B C

A C = B

A B C

corespunde cazului în care C este mijlocul segmentului

AB (Fig. 1d)

27

Notăm bax = . Atunci relaţia (1) devine o ecuaţie de gradul doi, 012 =−− xx şi

admite două soluţii iraţionale:

- o soluţie pozitivă 2

511

+=x ,

- o soluţie negativă 2

512

−=x .

Observaţie. Pentru determinarea valorilor celorlalte rapoarte se procedează în

mod analog.

Definiţie. Soluţia pozitivă 2

51+ a ecuaţiei de gradul doi 012 =−− xx se

numeşte număr de aur , se notează cu Φ şi are valoarea aproximativă ...618,1 .

Definiţie. Modulul soluţiei negative 2

51− a ecuaţiei de gradul doi

012 =−− xx se numeşte inversul numărului de aur, se notează cu Φ1 şi are valoarea

aproximativă 618,0 … .

Proprietate. Numărul de aur este singurul număr pozitiv din care dacă se scade

o unitate se obţine inversul său:

Φ=−Φ

11 .

Sau, altfel spus, numărul de aur este un număr pozitiv incomensurabil care diferă de

inversul său printr-o unitate.

Observaţie. Numărul de aur a fost notat cu litera grecească Φ ca omagiu adus

lui Phidias, arhitectul Pantenonului din Atena.

2.2. Secţiunea de aur

Definiţie. Spunem că trei puncte A , B ,C (Fig.2) formează secţiunea de aur

sau determină o proporţie divină sau, punctul B împarte segmentul [ ]AC în medie şi

extremă raţie dacă are loc relaţia:

ABAC

BCAB

= sau BCACAB ⋅=2 .

28

Fig. 2

Altfel spus, punctele A , B , C formează secţiunea de aur dacă lungimea

segmentului [ ]AB este medie geometrică (sau proporţională) între lungimea întregului

segment [ ]AC şi lungimea segmentului [ ]BC .

Exemple.

Parthenonul (Atena)

CN Tower (Toronto)

A C B

29

Clopotniţă (Târgul Secuiesc)

Clopotniţă (Târgul Secuiesc)

30

Construcţia geometrică a secţiunii de aur

Metoda I. Fie [ ]AB un segment dat. Construim în B perpendiculara pe

segmentul [ ]AB şi fie C un punct pe această perpendiculară astfel încât ABBC =

(Fig.3). Fie O mijlocul segmentului [ ]BC . Dreapta AO intersectează cercul de centru

O şi diametru [ ]BC în punctele 'M şi respectiv 'N . Cercurile de centru A şi raze

'AM şi respectiv 'AN intersectează dreapta AB în punctele M şi respectiv N .

Punctul M realizează secţiunea de aur a segmentului [ ]AB , iar punctul B pe cea a

segmentului [ ]AN .

Fig. 3

Demonstraţie. Pentru simplitate, presupunem că [ ]AB este un segment de

lungime unitate. Atunci OB este de lungime 21 . Aplicând teorema lui Pitagora în

triunghiul dreptunghic ABO obţinem 25

=AO . Având în vedere faptul că

'' OMAOAM −= şi OBOM =' (ca raze în cercul de centru O şi diametru [ ]BC ),

rezultă că Φ

=−

=−=1

215

21

25'AM . Cum 'AMAM = , ca raze în cercul de centru

A şi rază 'AM , rezultă Φ

=−

=1

215AM . (2)

O

A

M'

M B

C

N

N'

31

Având în vedere că '''' NMAMAN += şi [ ]'' NM este diametru în cercul de centru O

rezultă Φ=+

=+−

=2

1512

15'AN . Cum ANAN =' , ca raze în cercul de centru A

şi rază [ ]'AN , rezultă Φ=+

=2

15AN . (3)

Având în vedere faptul că AMABMB −= rezultă 2

532

151 −=

−−=MB . (4)

Deoarece ABANBN −= rezultăΦ

=−

=−+

=1

2151

215BN . (5)

Din relaţiile (2) şi (4) şi din faptul că lungimea segmentului AB este 1 rezultă

relaţia Φ==AMAB

MBAM . Deci conform definiţiei punctele A , M , B formează

secţiunea de aur.

Din relaţiile (3) şi (5) şi din faptul că lungimea segmentului AB este 1 rezultă

relaţia Φ==ABAN

BNAB . Deci, conform definiţiei punctele A , B , N formează

secţiunea de aur.

Metoda II. Considerăm triunghiul ABD dreptunghic în B cu catetele BD şi

AB în raport 1:2 (Fig.4). Cercul de centru D şi rază BD intersectează ipotenuza AD

în punctul E . Cercul de centru A şi rază AE intersectează cateta AB în punctul C .

In aceste condiţii punctul C împarte segmentul [ ]AB în secţiune de aur.

Fig. 4

A

B D

C E

32

Demonstraţie. Fie ABD un triunghi dreptunghic în B . Dacă pentru simplitate

în triunghiul dreptunghic ABD considerăm latura [ ]BD de lungime 1 şi AB de

lungime 2 atunci conform teoremei lui Pitagora ipotenuza AD este de lungime 5 .

Arcul de cerc de centru D şi rază BD intersectează latura AD în E .

Cum 1== DEBD şi DEDAEA −= rezultă 15 −=EA .

Arcul de cerc de centru A şi rază AE intersectează latura AB înC .

Cum ACAE = rezultă 15 −=AC . Având în vedere faptul că CABABC −= şi

AB este de lungime 2 rezultă 53−=BC . Se observă că în aceste conditţii are loc

relaţia Φ==ACAB

CBAC . Conform definiţiei punctele A ,C , B formează secţiunea de

aur.

Metoda III. Fie ABC un triunghi echilateral (Fig.5). Construim linia mijlocie

DF şi o prelungim până intersectează cercul circumscris triunghiului echilateral

ABC . Fie E punctul de intersecţie al segmentului DF cu cercul. Atunci punctele

EFD ,, formează secţiunea de aur.

Fig. 5

Demonstraţie. Evaluăm segmentele DF , FE şi DE . Din construcţie DF este

linie mijlocie în triunghiul ABC , deci 2lDF = , unde l este lungimea laturii

triunghiului echilateral.

A

D E

B C

F

O

H

33

Cum triunghiul DAF este echilateral rezultă 4lHF = iar

43lAH = .

Deoarece triunghiul ABC este echilateral rezultă OA este raza cercului circumscris

triunghiului ABC şi are lungimea 33

23

32 ll

=⋅ . Atunci lungimea segmentului OH

poate fi calculată astfel: 12

343

33 lllAHOAOH =−=−= . Aplicând teorema lui

Pitagora în triunghiul dreptunghic OHE obţinem relaţia 45lHE = . Prin urmare,

putem scrie HFHEFE −= , de unde rezultă Φ⋅=

−⋅=

122

152

llFE . Cum

FEDFDE += rezultă Φ⋅=2lDE . Atunci are loc relaţia Φ==

FEDF

DFDE , ceea ce

implică faptul că punctele EFD ,, formează secţiunea de aur.

Observaţie. Intr-un triunghi echilateral putem stabili următoarele rapoarte de

aur (Fig.6):

Φ==DFDE

FEDF , Φ==

AYAC

YCAY , Φ==

DZDC

ZCDZ , Φ==

AWAD

WDAW , Φ==

WXWY

XYWX .

Fig. 6

E D

A

C B

F

Z

W

Y

X

34

Metoda IV.1. (Hofstetter). Fie d o dreaptă dată şi fie X şi Y două puncte

arbitrare pe această dreaptă (Fig.7). Construim cercurile ( )XYXC , şi ( )XYYC , .

Cercul ( )XYXC , intersectează a doua oară dreapta d în punctul P . Cercul ( )XYYC ,

intersectează a doua oară dreapa d în punctul Q . Notăm cu G şi respectiv B

Fig. 7

punctele de intersecţie ale celor două cercuri. Fie A unul din punctele de intersecţie

ale cercurilor ( )XQXC , şi ( )YPYC , . Punctele BGA ,, formează secţiune de aur.

Demonstraţie. Din construcţie rezultă faptul că triunghiul XGY este

echilateral, prin urmare lYGXYGX === . Atunci, segmentul GH este înălţime în

triunghiul echilateral XGY iar lungimea lui este 23l . Cum HBGH ≡ rezultă

3lGB = . Pe de altă parte avem relaţia GHAHAG −= . Aplicând teorema lui

Pitagora triunghiului dreptunghic XHA obţinem relaţia:

( )215

22

2222 lllXHAXAH =

−=−= .

Inlocuind valorile corespunzătoare segmentelor AH şi respectiv GH în expresia

precedentă obţinem Φ

=−

⋅=3

2153 llAG . Deci Φ=

Φ

=33

ll

AGGB . Cum

AGGBAB += , rezultă Φ=

Φ+=

Φ+= 311333 llllAB . Atunci, are loc

X Y P Q

A

B

G

d H

35

relaţia: Φ=Φ

=3

3l

lGBAB . Prin urmare, punctele BGA ,, verifică egalitatea

Φ==AGGB

GBAB , deci formează secţiunea de aur.

Metoda IV.2. (Hofstetter) Fie d o dreaptă dată şi fie A şi B două puncte

arbitrare pe d (Fig.8). Construim cercurile ( )ABAC , şi ( )ABBC , .

Fig. 8

Fie E punctul în care cercul ( )ABAC , intersectează a doua oară dreapta d şi fie C

unul din punctele de intersecţie ale cercurilor ( )ABAC , şi ( )ABBC , . Construim cercul

( )EBEC , şi notăm cu F punctul de intersecţie al acestuia cu cercul ( )ABBC , . Dacă

punctele C şi F sunt situate de o parte şi de alta a segmentului AB atunci CF

intersectează segmentul AB în tr-un punct G . Punctele BGA ,, astfel construite

formează secţiune de aur.

Demonstraţie. Pentru simplificarea calculelor presupunem segmentul AB de

lungime unitate. Fie H punctul diametral opus lui B în cercul ( )EBEC , , fie I

punctul de intersecţie al segementului CD cu segmentul AB şi fie J proiecţia

ortogonală a lui F pe AB (Fig.9).

A B d

F

C

GE

36

Fig. 9

Deoarece triunghiul HFB este înscris într-un semicerc rezultă că este triunghi

dreptunghic. Cum 1=AB rezultă că triunghiul dreptunghic HFB are ipotenuza

4=HB şi cateta 1=FB . Aplicând în acest triunghi teorema catetei obţinem

următoarea relaţie: BHBJBF ⋅=2 de unde rezultă 41=BJ . Aplicând teorema lui

Pitagora în triunghiul dreptunghic FJB obţinem 415=FJ . Din asemănarea

triunghiurilor CIG şi FJG rezultă relaţia: JFIC

GJIG

= , de unde obţinem expresia:

JFICGJIG ⋅

= . Inlocuind în această expresie valorile corespunzătoare obţinem

GJGJIG5

2

1541

321

== , dar GIIJGJ −= şi atunci 2

2525

2 −=

+= IJIG .

Inlocuind în expresia IGAIAG += valorile corespunzătoare obţinem

Φ=

−=

12

15AG şi cum 2

111Φ

=Φ

−=−= AGABGB rezultă relaţia căutată:

Φ==AGAB

GBAG .

Observaţie. Notăm cu G′ intersecţia dreptelor DF şi AH . Atunci punctele

BAG ,,′ formează secţiunea de aur.

37

Metoda IV.3. (Hofstetter) Fie d o dreaptă dată şi fie A şi B două puncte

arbitrare pe d (Fig.10). Construim cercurile ( )ABAC , şi ( )ABBC , . Fie C şi D

punctele de intersecţie ale celor două cercuri şi fie M mijlocul segmentului AB .

Cercul ( )ABMC , intersectează ( )ABBC , în punctul F . Segmentele FG şi AB se

intersectează în G . Punctele DGF ,, formează secţiunea de aur.

Fig. 10

Demonstraţia o lăsăm ca exerciţiu.

Metoda IV.4. (Hofstetter) Fie AB un segment dat. Construim cercurile

( )ABAC , şi ( )ABBC , (Fig.11). Notăm cu C şi D punctele de intersecţie ale celor

două cercuri. Cercul ( )CACC , intersectează ( )ABAC , în E şi segmentul CD în F .

Cercul ( )EFEC , intersectează segmentul AB în G . Punctele BGA ,, formează

secţiunea de aur.

(Hofstetter)

Fig. 11

A B M G

C F

D

38

Demonstraţie. Pentru simplificarea calculelor presupunem segmentul AB de

lungime unitate. Cum triunghiurile echilaterale ACB şi ADB sunt congruente rezultă

că CD are lungimea 3 . Fie H piciorul perpendicularei duse din E pe prelungirea

lui AB . Cum 2=≡ EFEG , aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic

EHG obţinem relaţia: 45

432222 =−=−= EHEGHG . Prin urmare,

25

=HG şi

cum 21

=HA rezultă Φ

=−

=1

215AG . De aici rezultă Φ==

AGAB

GBAG , deci

punctele BGA ,, formează secţiunea de aur.

Metoda IV.5. (Hofstetter) Fie dat segemntul AB . Construim cercul ( )ABAC ,

şi notăm cu C punctul diametral opus lui B (Fig.12). Construim cercul ( )BCAC , şi

notăm cu E şi D punctele în care prelungirile segmentului CB intersectează acest

cerc. Cercul ( )BCEC , intersectectează cercul ( )ABAC , în F şi G şi cercul

( )BCAC , în H şi I . Atunci are loc relaţia: Φ=HCGH .

(Hofstetter)

Fig. 12

Demonstraţie. Fără a restrânge generalitatea presupunem că AB este un

segment de lungime unitate. Atunci 2==== EHAHAEBC , ceea ce implică faptul

că triunghiul EAH este echilateral (Fig.13).

39

(Hofstetter)

Fig.13

Construim cercul ( )AHHC , . Acesta intersectează ( )ABAC , în J . Cercul

( )JAJC , intersectează ( )ABAC , în K . Construim cercul ( )JHJC , . Conform metodei

IV.1. cercurile astfel construite determină punctele GKH ,, care formează secţiunea

de aur. Prin urmare, cum 3Φ=HG este suficient să demonstrăm că KGHC = .

Cum triunghiurile AGJ şi AKJ sunt echilaterale cu laturile de lungime unitate rezultă

3=GK . Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul ACH rezultă

322 =+= CHCAHA .

Observaţie. In condiţiile enunţate mai sus are loc relaţia: 2

15 +==

CHGH

FHCH .

Din puterea punctului H faţă de cercul ( )ABAC , rezultă relaţia: HGHKCH ⋅=2 .

Cercul ( )HAHC , intersectează cercul ( )JHJC , în 1J . Considerăm cercul ( )AJJC 11, .

Punctul F aparţine acestui cerc şi are loc egalitatea KHFH = . Astfel obţinem relaţia

cerută.

40

Metoda V. Construim trei cercuri concentrice cu razele în raportul 4:2:1 . Fie

AB tangenta la cercul cu raza cea mai mică şi fie C punctul de intersecţie al acesteia

cu cercul care raza ca mai mare. Atunci punctele CBA ,, formează secţiunea de aur

(Fig.14).

Fig. 14

Demonstraţie. Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic OTB

obţinem relaţia: 222 TOOBTB −= , deci 3=TB . Aplicând teorema lui Pitagora în

triunghiul dreptunghic OTC obţinem relaţia: 222 OTOCTC −= , de unde rezultă

15=TC . Cum 322 == TBAB şi 315 +=+= ATTCAC rezultă relaţia

căutată Φ==BCAB

ABAC .

A B C

x O

T

41

Raportul de aur - discuţie după poziţia punctului care împarte un segment în raport

de aur

Fie AB un segment şi fie T un punct pe dreapta suport a segmentului AB .

Avem următoarele situaţii:

I. T se află în afara segmentului AB în stânga lui A (Fig.15). Valoarea

raportului TATB este întotdeauna mai mare ca unitatea şi descreşte pe măsură ce punctul

T se apropie de A . Valoarea raportului TATB este egală, pentru o anumită poziţie a

punctului T , cu cea a raportului ABTA .

Fig. 15

II. T se află în interiorul segmentului AB (Fig.16) - valoarea supraunitară a

raportului ATAB este egală pentru o anumită poziţie a punctului T cu cea a raportului

TBTA .

Fig. 16

Observaţie. Acestea sunt singurele poziţii ale lui T în care cele două rapoarte

sunt egale.

III. Atunci când T se află în dreapta lui B problema nu mai are sens (Fig.17).

Fig. 17

T A B

A T B

A B F

42

Proprietate. Dacă se scade segmentul cel mai mic din cel mai mare segmentele

care se obţin sunt în raport de aur. Astfel:

ABTATB =−

'ATABTA =−

BTATAB ''=−

…....

Considerăm dat segmentul TB . Fie A punctul interior care împarte segmentul TB în

raport de aur, TA fiind segmentul de lungime mai mare. Atunci are loc relaţia :

ABTAAB

ABTATATB

ABTA

TATB

−=

−−

== .

'ATABTA =− unde 'T este un punct interior segmentului AB care-l împarte în raport

de aur. Deci BT

ATATAB

ABTA

TATB

''

'=== …………..

2.3. Dreptunghiul de aur

Definiţie. Dreptunghiul pentru care valoarea raportului dintre lungimea şi

înălţimea sa este egală cu numărul de aur se numeşte dreptunghi de aur (Fig.18).

Fig. 18

43

Exemple

Notre Dame du Pont

44

Construcţia dreptunghiului de aur

Metoda I. Incepem construcţia de la împărţirea unui segment în medie şi

extremă raţie (adică în raport de aur). Paralelele prin N şi C la BC şi respectiv BN se

întâlnesc într-un punct D (Fig.19). Cum Φ=+

=−

=2

1515

2BNBC rezultă

dreptunghiul BNDC este un dreptunghi de aur.

Paralelele prin A şi C la BC şi respectiv AB se întâlnesc într-un punct E .

ABCE este un pătrat cu muchia de lungime unitate. Cercul de centru A şi rază AM

intersectează muchia AE a pătratului ABCE în punctul F . Paralela prin F la muchia

AB intersectează muchia BC în G . Având în vedere faptul că

Φ=+

=−

==2

1515

2AMAB

BGAB rezultă că patrulaterul FABG este un dreptunghi

de aur.

Mai mult, perpendiculara în M pe AB intersectează FG în P . Având în

vedere faptul că Φ=+

==2

15BMAM

BMBG rezultă că patrulaterul MPGB este un

dreptunghi de aur.

Fig. 19

C

O

M'

M B N

N'

A

G F

E

P

D

45

Metoda II. Fie [ ]AB un segment dat. Pe perpendiculara în B pe AB

considerăm punctul C astfel încât ABBC = (Fig.20). Fie M mijlocul segmentului

[ ]AB . Cercul de centru M şi rază MC intersectează dreapta suport a segmentului

[ ]AB în D . Perpendicularele în A şi D intersectează paralela prin C la [ ]AB în E şi

respectiv F .

Fie a lungimea segmentului [ ]AB şi fie b lungimea segmentului [ ]BD .

Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul MBC , dreptunghic în B obţinem

222 BCBMMC += , de unde rezultă 4

54

22

22 aaaMC =+= deci aMC

25

= .

In aceste condiţii au loc următoarele relaţii:

Φ=+

=+

=+

=+

==2

1525

2a

aa

ABMCAM

ABMDAM

ABAD

AEAD , ceea ce implică

faptul că ADFE este dreptunghi de aur. Mai mult, dacă 2=AB atunci 5=MC .

Cum MDMC = rezultă 5=MD şi 51+=AD . Având în vedere faptul că

MBMDBD −= obţinem 15 −=BD . Atunci raportul Φ=+

=−

=2

1515

2BDBC

deci patrulaterul BDFC este un dreptunghi de aur.

Observaţie. Relaţia Φ==+

ba

aba implică faptul că punctele A , B , D

realizează secţiunea de aur.

Fig. 20

C

M B D A

F E

46

Metoda III. Considerăm triunghiul OAB dreptunghic în A astfel încât 1=AO

şi 2=AB (Fig.21). Cercul de centru O şi rază OB intersectează dreapta suport a

segmentului AO în punctele C şi respectiv 'C . Paralelele prin B şi C la AC şi

respectiv AB se intersectează în D .

Fig. 21

Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic OAB obţinem relaţia 222 ABAOBO += . Cum 1=AO şi 2=AB rezultă 5=BO . Având în vedere

faptul că OCBO = , ca raze în cercul de centru O şi rază , OB rezultă 5=OC .

Cum OCAOAC += rezultă 51+=AC . Raportul Φ=+

=2

51ABAC . Prin urmare

dreptunghiul ACDB este un dreptunghi de aur.

Proprietate. Un dreptunghi de aur poate fi descompus într-un pătrat şi un

dreptunghi de aur (Fig. 22).

Fig. 22

O A C C'

B D

C

B D A

E F

47

Demonstraţie. Fie ADFE un dreptunghi de aur. Dreptunghiul ADFE se

descompune în pătratul ABCE şi dreptunghiul BCFD . Cum Φ==BDAB

BDBC rezultă

BCFD este dreptunghi de aur.

Proprietate. Un dreptunghi cu laturile 1 şi 2Φ se descompune într-un pătrat şi

un dreptunghi cu laturile 1 şi Φ .


Proprietate. Un pătrat cu latrura 2Φ se descompune în două dreptunghiuri,

unul cu latruile 1 şi Φ şi al doilea cu laturile Φ şi 2Φ .


Pentru studiul geometriei complexe din arhitectură s-au creat diverse sisteme şi

metode de punere în proporţie. Astfel simetria dinamică a lui Hambridge consideră

dreptunghiul ca unitate de bază în compoziţiile geometrice. Pornind de la

caracterizarea dreptunghiului prin raportul dintre lungime şi înălţime, Hambridge

grupează aceste figuri geometrice în două categorii:

• cu simetrie statică (au raportul un număr raţional: 13 , 23 , 14 , 34 , 35 ,

etc.)

• cu simetrie dinamică (au raportul un număr iraţional: 12 , 13 , 15 ,

25 , etc.).

Exemple : dreptunghiul de aur face parte din ultima categorie, pătratul şi

pătratul dublat fac parte din ambele categorii.

Mai mult, Hambridge realizează sudiviziuni armonice sau descompuneri

armonice ale dreptunghiurilor, metodă ce se bazează pe crearea repetată în interiorul

unei suprafeţe date a unor suprafeţe asemănătoare sau înrudite, prin trasarea unor

diagonale şi perpendiculare coborâte pe acestea din vârfurile diverselor dreptunghiuri

nou construite. Subdiviziunea armonică elementară obţinută prin coborârea unei

perpendiculare dintr-un vârf pe diagonala opusă determină mai multe dreptunghiuri de

aur. Hambridge a denumit dreptunghiul de aur dreptunghiul pătratelor turnante.

Diagrama pătratelor turnante are o directoare care reprezintă curba creşterilor

armonice: spirala logaritmică a pulsaţiei cuadrante .

Lund realizează la rândul său, pe o reţea de careuri duble, traseele radiante ce

au drept pol asimetric centrul unui pentagon sau al unei pentagrame. Lund analizează

48

importanţa celor cinci poliedre regulate şi a structurii lor precum şi schemele obţinute

prin proiectarea pe un plan a poliedrelor înscrise în aceeaşi sferă. El observă locul şi

rolul pentagonului în planul şi elevaţia construcţiilor gotice.

Moessel cu geometria cercului, sau mai precis geometria diverselor poligoane

care se înscriu în cerc şi care provin din subdiviziunile cercului, din raţiuni de ordin

practic studiază compoziţia operelor arhitecturale. Trasarea cercului pe sol, în scopul

de a determina orientarea, sugerează ideea că subdiviziunile cercului şi raportul lor cu

diametrul dat pot constitui elemente pentru dimensiunile laturilor edificiului.

In timp ce metoda lui Hambridge impune legea neamestecului părţilor,

Moessel remarcă în unele cazuri, două cercuri directoare concentice, cel mare divizat

în 8 sau 16 părţi (simetrie ortogonală cu modulul 2 ), iar celălalt divizat în 5 sau 10

părţi (simetrie pentagonală sau de aur cu modulul Φ sau 5 ).

Proporţiile ce decurg din cele trei sisteme de trasee sunt în general identice, nu

diferă decât maniera de abordare.

Exemple – Elevaţii şi faţade înscrise în dreptunghiul Φ1

Adrian Gheorghiu (Proporţii şi trasee geometrice în arhitectură)

49




50

2.4. Triunghiul de aur

Definiţie. Triunghiul isoscel pentru care raportul dintre lungimile a două laturi

este egal cu numărul de aur se numeşte triunghi de aur.

Triunghiul de aur este de două tipuri:

Primul tip - unghiul dintre laturile de lungimi egale este mai mic de o90

(Fig.23) . In acest caz raportul dintre lungimea uneia din laturile congruente şi

lungimea bazei este egal cu numărul de aur.

Fig. 23

Al doilea tip - unghiul dintre laturile de lungimi egale este mai mare de o90

(Fig.24). In acest caz raportul dintre lungimea bazei şi lungimea uneia din laturile

congruente este egal cu numărul de aur.

Fig. 24

51

Construcţia triunghiului de aur.

Problema se reduce la construirea a două segmente pentru care valoarea

raportului lungimilor este egală cu numărul de aur (Fig.25).

Fig. 25

Caz particular.

Propoziţie. Triunghiul isoscel a cărui înălţime este egală cu baza are

următoarea proprietate:

( )122

−Φ=hl ,

unde l este lungimea laturilor congruente şi h este înălţimea dusă din vârful format de

laturile congruente (Fig.26).

Fig. 26

A

B C O E

F

A

B C D

52

Demonstraţie. Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ADC

obţinem: 222 DCADAC += adică hl25

= . Dar având în vedere că Φ=+

215

rezultă ( )122

−Φ=hl .

Proprietate. Fie ABC un triunghi isoscel ale cărui unghiuri de la bază B şi C

sunt congruente şi egale cu o36 (Fig.27). Atunci Φ=ACBC .

Demonstraţie. Fie triunghiul isoscel ABC şi fie B şi C unghiurile de la bază

de măsură o36 . Notăm cu I piciorul perpendicularei dusă din A pe muchia BC .

Deoarece ABIBB == ˆcos36cos o şi

41536cos +

=o rezultă 4

15 +=

ABIB .

Dar 2

154

1522 +=

+⋅==

ABBI

ABBC . Deci, conform definiţiei, ABC ∆ este triunghi de

aur.

Fig. 27

B C

A

I

53

2.5. Spirala de aur

Definiţie. Spirala de aur este o spirală logaritmică a cărei factor de creştere

este Φ .

Construcţie. Spirala de aur poate fi aproximată fie cu ajutorul proprietăţii de

descompunere a deptunghiului de aur într-un pătrat şi un alt dreptunghi de aur (Fig.28,

29) fie cu ajutorul unui triunghi de aur (Fig.30).

Fig. 29 Spirala de aur înscrisă în dreptunghiul de aur

Fig. 30 Spirala de aur circumscrisă triunghiului de aur

Fig. 28 Spirala de aur circumscrisă dreptunghiului de aur

54

Exemple

Scară interioară

California Polytechnic Engineering Plaza

2.6. Triughiuri asociate numărului de aur

Triunghiul egiptean

Definiţie. Triunghiul dreptunghic cu laturile în raport de aur se numeşte

triunghi egiptean.

Propoziţie. Intr-un triunghi dreptunghic valoarea raportului dintre ipotenuză şi

o catetă este egală cu numărul de aur dacă şi numai dacă laturile sale sunt în progresie

geometrică.

Demonstraţie. Fie BAC un triunghi dreptunghic ale cărui laturi sunt în

progresie geometrică: cb

ba= (Fig.31). Aplicând teorema lui Pitagora obţinem

222 cba += . Impărţind cu 2c obţinem relaţia 122

+

=

cb

ca . Cum acb =2

obţinem ecuaţia 12

+=

ca

ca . De unde rezultă Φ=

ca .

55

Reciproc. Fie BAC un triunghi dreptunghic ale cărui laturi verifică relaţia:

Φ=ca . Având în vedere că Φ verifică ecuaţia 012 =−− xx obţinem 1

2

+=

ca

ca ,

de unde rezultă: 22 caca += (1)

Dar ABC este triunghi dreptunghic şi conform teoremei lui Pitagora are loc relaţia: 222 cba += (2)

Din relaţiile (1) şi (2) rezultă acb =2 .

Fig. 31

Triunghiul dreptunghic isoscel

Triunghiul dreptunghic isoscel se caracterizează prin faptul că unghiurile

ascuţite au măsura de o45 , raporul dintre catete este 1:1 iar raportul dintre ipotenuză şi

oricare dintre catete este iraţional şi are valoarea 2:1 .

In semicercul de centru O înscriem un pătrat ABCD . Construim diagonalele

AC şi respectiv BD şi notăm cu H punctul de intersecţie al acestora. Prin A ducem

o paralelă la diagonala BD şi notăm cu 'A punctul de intersecţie cu cercul. Analog

prin B ducem o paralelă la diagonala AC şi notăm cu 'B punctul de intersecţie cu

cercul. Prelungirile segmentelor DA' , CB' şi AB se intersectează în punctele FE, şi

G . Triunghiurile FEG şi AHB sunt dreptunghice isoscele. Fie I una din intersecţiile

laturii FG cu cercul, atunci are loc relaţia : Φ=BGIB (Fig.32).

A B

C

56

Fig. 32

Demonstraţie. Pentru simplificarea calculelor presupunem lungimea laturii

pătratului ABCD egală cu unitatea. Fie r raza cercului de centru O şi diametru 'II .

Atunci putem scrie 21

−=−= rOArIA . Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul

dreptunghic OBC obţinem 2522 =+= BCOBr . Inlocuind rezultatul obţinut în

relaţia precedentă obţinem Φ

=1IA . Atunci

Φ+Φ

=+Φ

=+=111ABIAIB . Cum

21 Φ=+Φ rezultă Φ=IB . Cum din construcţie 1=== FAABBG rezultă relaţia

căutată: Φ=BGIB .

Triunghiul piramidei

Definiţie. Triunghiul dreptunghic cu catetele în raport Φ:1 este numit

triunghiul piramidei sau triunghiul lui Kepler (Fig.33).

Observaţie. Cea mai cunoscută şi studiată aplicaţie se află în cadrul

ansamblului de la Gizeh (Piramida lui Kheops).

Construcţie. Fie ABCD un dreptunghi de aur cu laturile de lungime Φ şi

respectiv 1. Cu vârful compasului în punctul A se trasează un arc de cerc de rază Φ .

E

A BI O

D C

B’A’

I’F G

H

57

Notăm cu E inersecţia arcului de cerc cu latura DC a dreptungiului de aur.

Triunghiul dreptunghic ADE are laturile în progresie geometrică şi este triunghiul

căutat.

Fig.33

Triunghiul lui Pitagora

Definiţie. Triunghiul dreptunghic ale cărui laturi se exprimă în numere întregi

se numeşte triunghi pitagorician.

Definiţie. Triunghiul pitagorician ale cărui laturi se exprimă prin cele mai mici

numere întregi consecutive 5:4:3 , astfel încât laturile sale sunt în progresie

aritmetică este numit triunghiul lui Pitagora sau triunghi aritmetic.

Observaţie. 1. Formula generală a triunghiurilor dreptunghice pitagoriciene

este:

( ) ( )22222222 4 yxyxyx +=+−

2. In antichitate triunghiul lui Pitagora era cunoscut sub numele de triunghi sacru.

Definiţie. Triunghiul dreptunghic care are laturile proporţionale cu numerele 3,

4 şi respectiv 5 se numeşte triunghi egiptean perfect.

Triunghiul dreptunghic 2:1

Construcţie. Fie ABCD un pătrat de latură unitate şi fie BD una din

diagonalele acestuia. Cu vârful compasului în B şi deschiderea de rază BD trasăm un

A B

C D E

1 Φ

Φ

Φ

58

arc de cerc care intersectează prelungirea laturii BC într-un punct E . Triunghiul

dreptunghic ABE are catetele în raportul 2:1 (Fig.34).

Observaţie. In arhitectura universală acest triunghi este întâlnit frecvent în

punerea în proporţie a monumentelor Indiei vechi.

Fig. 34

Exemplu – Elevaţia înscrisă în dreptunghiul 21


Casă Jud. Vâlcea

A B

CD

E

2

1

2

59

Triunghiul dreptunghic Φ:1

Construcţie. Fie dată o dreaptă d şi fie A un punct arbitrar pe această dreaptă

(Fig.35). Construim în A perpendiculara pe d . Fie C un punct pe această

perpendiculară astfel încât lungimea segmentului AC să fie egală cu unitatea. Cu

vârful compasului în A trasăm un arc de cerc de rază AC . Notăm cu D unul din

punctele în care arcul de cerc întâlneşte dreapta d . Ducem prin D o dreaptă oarecare.

Fie E un punct arbitrar pe această dreaptă. Pe segmentul DE luăm un punct 'A astfel

încât Φ=DA

EA'

' . Se uneşte 'A cu A iar prin E ducem o paralelă la 'AA care

intersectează dreapta d în punctul B . Triunghiul dreptunghic CAB are catetele în

raportul Φ:1 .

Fig. 35

Triunghiul dreptunghic 3:1 (Triunghiul lui Timeu)

Definiţie. Triunghiul dreptunghic obţinut prin divizarea triunghiului echilateral

cu ajutorul unei bisectoare se numeşte triunghiul lui Timeu.

Observaţii. 1. Lungimea arcului delimitat de unghiul de o30 într-un cerc a cărui

rază este egală cu unitatea este 56

2Φ≈

π . 2. Acest triunghi este întâlnit frecvent în

A

C

B D

A’

E

d

60

punerea în proporţie a monumentelor Greciei vechi. 3. In hexagonul convex de rază

unitate latura hexagonului regulat stelat este egală cu 3 .


Observaţii. 1. Triunghiul cu catetele în raportul 2:1 este utilizat la construcţia

numărului de aur (Fig.4). 2. Acest triunghi este întâlnit frecvent în punerea în proporţie

a numeroase edificii.


Construcţie. Fie BAD un triunghi dreptunghic cu catetele în raportul 2:1 (Fig.36). Conform teoremei lui Pitagora lungimea ipotenuzei acestui triunghi este

egală cu 5 .

Fig. 36

Cu vârful compasului în punctul B trasăm un arc de cerc de rază BD care

intersectează perpendiculara în B pe AB în C . Triunghiul dreptunghic ABC este

triunghiul căutat.

1

2

A B

C

5

D

61

Triunghiul dreptunghic 21:1 +

Construcţie. Fie ABCD un pătrat înscris în cercul ( )rOC , (Fig.37). Fie M

mijlocul laturii AB . Ridicăm în M perpendiculara pe AB şi o prelungim până

intersectează cercul într-un punct E . Triunghiul AME are catetele în raportul

21:1 + .

Demonstraţie. Considerăm pentru simplitatea calculelor ABCD un pătrat cu

latura de lungime două unităţi. Atunci segmentul AM are lungimea egală cu unitatea

iar diagonala pătratului are lungimea 22 . Atunci BCBCrEM +−

=2

2 , altfel spus

21+=EM . Prin urmare AME este triunghiul căutat.

Fig. 37

Observaţie. Acest triunghi este frecvent întâlnit în punerea în proporţie a

edificiilor gotice.


Construcţie. Considerăm un dreptunghi ABCD ale cărui laturi sunt în raportul

2:1 (Fig.38). Descompunem dreptunghiul în două pătrate AEFD şi respectiv EFCB ,

cu laturile de lungime unitate. Construim diagonalele AF şi BF corespunzătoare

celor două pătrate.

A B

CD

M

E

62

Fig. 38

Cu vârful compasului în F construim două arce de cerc ce intersectează prelungirea

laturii DC a dreptunghiului ABCD în punctele M şi N . Construim în N

perpendiculara pe segmentul MN şi fie P un punct pe această perpendiculară astfel

încât BCNP ≡ . Triunghiul dreptunghic PNM are catetele în raportul 22:1 .

Demonstraţie. Pentru simplitatea calculelor considerăm dreptunghiul ABCD

cu lungimile laturilor 1=BC şi respectiv 2=AB . Din construcţie 2== AFMF .

Analog 2== FBFN . Prin urmare 22=MN . Din construcţie NP este

perpendicular pe NM şi cum BCNP ≡ rezultă PNM este triunghiul căutat.

Observaţie. Acest triunghi este frecvent întâlnit în punerea în proporţie a

edificiilor în Persia.

Triunghiul dreptunghic 34:1 +Φ

Definiţie. Triunghiul dreptunghic care are catetele în raportul 34:1 +Φ se

numeşte triunghi platonic sau triunghi druidic (Fig.39). Unghiurile ascuţite ale

acestui triunghi au măsurile o18 şi respectiv o72 .

A B

C D

F

N M

P

E

1

1

11

2

2

63

Fig. 39

Construcţie. Fie pentagonul regulat ABCDE . Fie M mijlocul laturii AB .

Unind D cu punctele M şi A obţinem triungiul dreptunghic AMD care are catetele în

raportul 34:1 +Φ .

Demonstraţie. Din construcţie avem 2

ABAM = . Cum ABCDE este un

pentagon regulat rezultă faptul că triunghiul isoscel AED este triunghi de aur şi prin

urmare are loc relaţia Φ==ABAD

EAAD . Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul

dreptunghic AMD obţinem 142

2 −Φ=ABDM . Cum 12 +Φ=Φ rezultă

342

+Φ=ABDM . Deci catetele triunghiului dreptunghic AMD sunt în raportul

34:1 +Φ .

Triunghiul dreptunghic 22:1 +

Construcţie. Considerăm un dreptunghi ABCD ale cărui laturi sunt în raportul

3:1 (Fig.40). Descompunem dreptunghiul în trei pătrate cu lungimile laturilor egale cu

unitatea.

A B

C

D

E

M

64

Fig. 40

Construim diagonala AF a pătratului AEFD . Cu vârful compasului în F trasăm un

arc de cerc de rază AF şi notăm cu M intersecţia acestui arc cu prelungirea laturii

DC a dreptunghiului ABCD . Construim în C perpendiculara pe MC şi fie P un

punct pe această perpendiculară astfel încât PCBC = . Triunghiul dreptunghic PCM

are catetele în raportul 22:1 + .

Demonstraţie. Pentru simplificarea calculelor considerăm dreptunghiul ABCD

cu lungimile laturilor 1=BC şi respectiv 3=AB . Din construcţie 2== AFMF .

Atunci 22 +=+= FCMFMC . Prin urmare triunghiul PCM este triunghiul căutat.

Observaţie. Triunghiul este frecvent folosit în punerea în proporţii a edificiilor

în Rusia medievală.

Triunghiul dreptunghic n:1

Triunghiul dreptunghic cu catetele în raportul n:1 , unde n este un număr

întreg, se poate deduce recursiv din triunghiul dreptunghic cu catetele în raportul

1:1 −n printr-o rabatere a unui vârf (Fig.41). Acest şir de triunghiuri se numeşte

şirul formelor dinamice. Teoretic şirul poate continua la infinit dar în practică

valoarea lui n este cel mult 5.

E A B

C D

F

N M

P

G

H

2

2

1

1

65

Fig. 41

Triunghi înscris într-un dreptunghi

Proprietate. Fie ABCD un dreptunghi dat şi fie APQ un triunghi înscris în

acest dreptunghi (Fig.42). Atunci triunghiurile ABQ ,QCP , PDA sunt echivalente dacă

şi numai dacă punctele B ,Q ,C şi C , P , D formează secţiunea de aur.

Demonstraţie. Faptul că triunghiurile ABQ , QCP , PDA au arii egale implică

relaţia ( ) ( )dcabdcba +==+ ⇒ adbc = .

Fig. 42

1

2

3

A B

C D P

Q

a b

c

d

66

Inlocuind dbca = obţinem ( )dc

dbcbd += sau simplificând prin b obţinem relaţia

dccd += 22 . Impărţind relaţia obţinută prin 2c obţinem 012

=−−

cd

cd de unde

rezultă Φ=cd şi Φ=

ab .

Reciproc. Fie ABCD un dreptunghi dat şi fie P şi Q două puncte pe laturile

DC şi respectiv BC astfel încât aDP = , bPC = , dCQ = şi cQB = şi au loc

următoarele relaţiile:

Φ=+

=b

baab (1) şi Φ=

+=

ddc

cd (2)

Relaţia (1) implică ( ) 2bbaa =+ , de unde înmulţind cu c ambii membri ai

egalităţii rezultă

( ) ⋅=Φ==+ bdbcacbbac

2

(3)

Relaţia (2) implică ( ) 2ddcc =+ , de unde înmulţind cu a ambii membri ai

egalităţii rezultă

( ) bdadc

addca =Φ==+ 2

(4)

Din relaţiile (3) şi (4) rezultă echivalenţa triunghiurilor ABQ , QCP , PDA .

Proprietate. Fie ABCD dreptunghi dat şi fie APQ un triunghi înscris în acest

dreptunghi astfel încât triunghiurile ABQ ,QCP , PDA sunt echivalente (Fig.42).

Atunci dreptunghiul ABCD este dreptunghi de aur dacă şi numai dacă triunghiul

APQ este dreptunghic isoscel ( PQAP = şi o90ˆ =P ).

Demonstraţie. Fie ABCD un dreptunghi de aur şi fie APQ un triunghi înscris

în acest dreptunghi astfel încât triunghiurile ABQ ,QCP , PDA sunt echivalente. Pentru

a demonstra faptul că triunghiul APQ este dreptunghic în P este suficient să arătăm

că PQAP = şi faptul că este verificată teorema lui Pitagora, adică relaţia 222 AQPQAP += .

67

Din faptul că triunghiurile ABQ , QCP , PDA sunt echivalente rezultă relaţia

Φ==+

==+

ab

bab

cd

dcd (1) sau altfel ( ) ( )bacbddca +==+ (2). Iar faptul că

dreptunghiul ABCD este dreptunghi de aur implică relaţia Φ=++

dcba de unde rezultă

( )dcba +Φ=+ (3).

Inlocuind relaţia (3) în (1) obţinem Φ=+

⋅Φb

dc , de unde rezultă bdc =+ (4).

Inlocuind relaţia (4) în (1) obţinem cd

db= sau echivalent 2dbc = (5). Dar din (2)

rezultă adbc = (6).

Relaţiile (5) şi (6) implică 2dad = şi cum 0≠d rezultă da = (7). Din relaţiile (4) şi

(7) precum şi din aplicarea teoremei lui Pitagora în triunghiurile dreptunghice PDA şi

QCP obţinem PQAP = .

Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiurile dreptunghice ADP şi QCP

obţinem relaţiile: ( )222 dcaAP ++= (8) şi respectiv 222 dbPQ += (9).

Adunând relaţiile (8) şi (9) obţinem:

( ) 222222 dbdcaPQAP ++++=+ = ( ) ( )abcddcba −++++ 222 2 (10)

dar având în vedere relaţiile (2) şi (7) rezultă ( ) abcdd =+ . In aceste condiţii relaţia

(10) devine =+ 22 PQAP ( ) 22 cba ++ (11). Dar cum triunghiul ABQ este

dreptunghic în B rezultă conform teoremei lui Pitagora ( ) 222 cbaAQ ++= (12). Din

relaţiile (11) şi (12) rezultă egalitatea căutată 222 AQPQAP =+ .

Reciproc. Având în vedere faptul că triunghiurile ABQ ,QCP , PDA sunt

echivalente şi ştiind că triunghiul APQ este dreptunghic isoscel ( PQAP = şi

o90ˆ =P ) trebuie să demnostrăm că dreptunghiul ABCD este de aur adică trebuie să

demonstrăm relaţia Φ=++

dcba .

Din faptul că triunghiurile ABQ , QCP , PDA sunt echivalente rezultă punctele

B ,Q ,C şi C , P , D realizează secţiunea de aur, adică au loc relaţiile:

Φ==+

cd

dcd (1) şi Φ==

+ab

bba (2).

68

Impărţind relaţia (2) prin ( )cd + obţinem egalitatea cd

bcdba

+⋅Φ=

++ (13).

Din faptul că triunghiul APQ este dreptunghic rezultă conform teoremei lui

Pitagora relaţia ( )cddab += (14). Din relaţiile (1) şi (2) obţinem ( ) dcd Φ=+ (15)

şi ab Φ= (16). Inlocuind relaţiile (15) şi (16) în (14) obţinem relaţia da = (17).

Inlocuind relaţia (17) în (14) obţinem egalitatea căutată cdb += , deci ABCD este

dreptunghi de aur.

2.7. Forme recurente

Definiţie. Se numesc forme recurente formele care rămân asemenea cu ele

însele în cazul creşterii (sau descreşterii) lor prin însumare (sau scădere) sau prin

multiplicare (sau divizare).

Exemple

Triunghiul echilateral. Poate crea un şir recurent dacă i se dublează mereu

latura. In acest caz se formează o progresie geometrică cu raţia egală cu 2, astfel pentru

un cerc iniţial cu raza egală cu unitatea laturile triunghiului echilateral iau succesiv

valorile: ,...34,32,3 .

Pătratul cu latura egală cu unitatea. In acest caz se formează o progresie

geometrică cu raţia egală cu 2 , astfel încât laturile pătratului iau succesiv valorile:

,...24,22,2,2,1

Dreptunghiul cu laturile 1 şi n , unde 2≥n , se poate împărţi în n

dreptunghiuri egale între ele şi asemenea cu el. Un caz particular este dreptunghiul de

aur.

Propoziţie. Un dreptunghi cu laturile 1 şi n se descompune:

- într-un pătrat de latură egală cu unitatea şi

- două dreptunghiuri alcătuite din câte un pătrat mai mic şi câte un dreptunghi

asemenea cu cel iniţial.


69

2.7.1. Numărul de aur şi pentagonul regulat

Construcţie. Fie AB un segment de lungime unitate. Construim în B

perpendiculara pe AB şi luăm pe această perpendiculară un segment ABBD ≡

(Fig.43). Construim cercurile ( )ABBC , şi ( )MBMC , , unde M este mijlocul lui

segmentului AB . Cercul cu centrul în D , tangent la cercul ( )MBMC , , intersectează

cercul ( )ABBC , în punctele E şi F . Segmentul EF este latura pentagonului regulat

înscris în ( )ABBC , . Mai mult, dacă notăm cu G punctul de intersecţie al segmentelor

EF şi MD atunci punctele FGE ,, formează secţiunea de aur.

Fig. 43


Proprietate. Intr-un pentagon regulat punctul de intersecţie dintre două

diagonale împarte diagonalele în raport de aur (Fig.44). Altfel spus, fiecare latură a

pentagonului stelat este împărţită în raport de aur de oricare dintre celelalte două.

Demonstraţie. Avănd în vedere că triunghiurile ''BED , CBD' , BEC sunt

isoscele şi au unghiurile din vârf B , C şi E de măsuri egale rezultă că cele trei

triunghiuri sunt asemenea. Atunci din proporţionalitatea laturilor obţinem:

CECB

CBBD

BDED

=='

'''

70

Fig. 44

Cum CEBD '' = , CDCB '= rezultă CDCE

CEED

''

'''= . Dar, deoarece ADCE '' = şi

AECD '' = relaţia precedentă devine AEAD

ADED

''

'''= .

Observaţie. Fie ABCDE un pentagon regulat înscris în cercul de centru O .

Construind diagonalele acestui pentagon obţinem un pentagon stelat (pentagramă). Se

observă că în interiorul pentagonului stelat s-a format un nou pentagon regulat. Dacă

ducem diagonalele acestui pentagon regulat obţinem un nou pentagon stelat. Acest şir

de pentagoane alternând cu pentagrame tinde către infinit. Rezultă de aici că laturile

pentagonului regulat şi a pentagonului stelat nu se pot măsura cu o unitate de lungime

comună, raportul dintre lungimile celor două laturi nu se poate exprima prin câtul a

două numere întregi, adică nu este un număr raţional.

Proprietate. Diferenţa dintre lungimea laturii pentagonului stelat şi lungimea

laturii pentagonului regulat înscris în acelaşi cerc este egală cu lungimea laturii

următorului pentagon stelat ce se formează ducând diagonalele în pentagonul regulat

interior (Fig.45).

C

B

D

A E

E'

D'

C'

B'

A'

71

Fig. 45

Demonstraţie. Fie ABCDE un pentagon regulat înscris în cercul de centru O .

Construind diagonalele acestui pentagon obţinem un pentagonul stelat. Fie

''''' EDCBA pentagon regulat format în interiorul acestui pentagon stelat.

Deoarece ( ) ( )'ˆ'ˆ DBCmBDCm = rezultă triunghiul 'BCD este isoscel. Analog se

arată că triunghiurile 'ABE , 'DEA şi CDB' sunt isoscele. Avem astfel CDBC '= şi

''' DACA = iar de aici obţinem '' ADCDACBCAC =−=− . Dar '''' DACAAD ==

căci triunghiul ''DCA este isoscel, deci ''DABCAC =−

Proprietate. Intr-un pentagon regulat raportul dintre o muchie şi o diagonală

este egal cu numărul de aur. Altfel spus, latura pentagonului stelat este împărţită în

raport de aur de latura pentagonului regulat înscris în acelaşi cerc (Fig.46).

Demonstraţie.

Metoda I. Fie ABCDE un pentagon regulat şi fie AD una din diagonale.

Deoarece în AED ∆ avem EDEA ≡ şi ( ) o108ˆ =Em rezultă ( )ADEm ˆ = ( )DAEm ˆ = o36 ,

deci conform definiţiei AED ∆ este triunghi de aur şi are loc relaţia ϕ=+=

215

AEAD .

C

B

D

A E

E'

D'

C'

B'

A'

72

Metoda II. Avănd în vedere că triunghiurile ''BED , CBD' , BEC sunt isoscele

şi au unghiurile din vârf B , C şi E egale rezultă că cele trei triunghiuri sunt asemenea.

Atunci din proporţionalitatea laturilor obţinem CB

BDCECB '

= .

Fig. 46

Deoarece CACE = şi ADBD '' = relaţia precedentă devine CB

ADCACB '

= . Dar cum

'CDCB = obţinem '

''CD

ADCACD

= .

Calculul lungimii laturilor pentagonului

• Lungimea unei laturi a pentagonului regulat este dată de formula:

rl2

5210 −= ,

unde r este raza cercului circumscris (Fig.47).

• Lungimea unei laturi a pentagonului stelat este dată de formula:

rl2

5210 += ,

unde r este raza cercului circumscris (Fig.47).

C

B D

A E

E'

D'

C'

B'

73

Fig. 47

Construcţia pentagonului

a) Presupunem muchia pentagonului dată

Fie CD muchia dată (Fig.48). Construim un punct F astfel încât C , D şi F să

realizeze secţiunea de aur. Cu vârful compasului în C şi respectiv D construim două

arce de cerc de raze CF . Notăm cu A punctul lor de intersecţie. Punctul A reprezintă

al treilea vârf al pentagonului. Construim cu ajutorul compasului punctele B şi E .

Arcul de cerc cu centrul în D şi de rază AD intersectează cercul circumscris

triunghiului ACD în B . Arcul de cerc cu centrul în C şi de rază AC intersectează

cercul circumscris triunghiului ACD în E . Punctele B şi E reprezintă celelalte două

vârfuri ale pentagonului.

Fig. 48

A B

C

D

D G

A

B

C

E

F

74

Demonstraţie. Având în vedere că Φ==CDCG

DGCD şi ADCACG == rezultă

Φ==CDAD

CDCA . Deci AC şi AD sunt diagonale în pentagonul de latură CD iar

triunghiul ACD este triunghi de aur. Cum triunghiul ACD este triunghi de aur rezultă

( ) o36ˆ =DACm . Din construcţia punctului B rezultă BDAD ≡ şi A , B sunt puncte

ce aparţin cercului circumscris triunghiului ACD , rezultă B este vârf al pentagonului

şi BD este diagonală. BD intersectează segmentul AC în F . Din puterea punctului

F faţă de cercul circumscris patrulaterului ABCD obţinem relaţia

FDBFFCAF ⋅=⋅ , de unde rezultă FCFB

FDAF

= deci asemănarea triunghiurilor BFA

şi CFD . Din asemănarea celor două triunghiuri rezultă ( ) ( ) o72ˆˆ == ABFmDCFm şi

cum DABD = rezultă faptul că triunghiul DAB este triunghi de aur. Congruenţa

triunghiurilor DAB şi CAD implică BACD = .

Având în vedere că ( ) o72ˆ =DABm şi ( ) o36ˆ =DACm rezultă

DACDABCAB ˆˆˆ −= şi deci ( ) o36ˆ =CABm (1)

Deoarece FCFD

BFAF

= rezultă faptul că triunghiurile BFC şi AFD sunt

asemenea şi deci ( ) ( ) o36ˆˆ == DACmDBCm (2)

Din relaţiile (1) şi (2) rezultă faptul că triunghiul BCD este isoscel, deci

BDBC = .

Analog se demonstrează egalităţile CDAE = şi CDDE =

Observaţie. Pentagonul regulat se descompune în trei triunghiuri de aur.

b) Presupunem dat cercul circumscris pentagonului regulat

Fie dat cercul de centru O (Fig.49). Construim două diametre perpendiculare

'AA şi 'BB . Fie 'O mijlocul segmentului OB şi construim cercul de centru 'O şi

diametru OB . Dreapta 'AO intersectează cercul astfel construit în punctele 'C şi 'D .

Cercul de centru A şi rază 'AC intersectează cercul dat în punctele 1P şi 2P . Cercul de

centru A şi rază 'AD intersectează cercul dat în punctele 3P şi 4P . Punctele

1P , 2P , 3P , 4P şi 'A sunt vârfurile pentagonului căutat.

75

Fig. 49

c) Fie dat cercul de centru O . Construim două diametre perpendiculare 'AA

şi 'BB (Fig.50). Fie M mijlocul segmentului AO . Din M ca centru şi cu raza

MB ducem arcul de cerc BC , punctul C fiind pe diametrul 'AA . Segmentul BC este

muchia pentagonului căutat. Luând în compas segmentul BC împărţim cercul în cinci

părţi egale.

Fig . 50

A A'

B

B'

O

O'

C'

D' P1

P2

P3

P4

A A'

B

B'

O M C

76

Demonstraţie. Determinăm lungimea segmentului BC . Aplicând teorema lui

Pitagora în triunghiul dreptunghic BOC obţinem 222 OCBOBC += (3), dar

2

OBMBMOMCOC −=−= (4)

Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic MOB obţinem

222

222

45

4OBOBOBOBMOMB =+=+= (5). Inlocuind relaţia (5) în (4) obţinem

OBOBOBOC2

1522

5 −=−= . (6)

Inlocuind relaţia (6) în (3) obţinem ( ) 222

22

45210

415 BOBOBOBC −

=−

+= deci

25210 −

=BC .

Observaţie. Dacă unim punctele de diviziune din două în două se obţine

pentagonul regulat stelat sau pentagrama. Mai mult, segmentul OC este latura

decagonului înscris în acelaşi cerc. Având în vedere că în triunghiul dreptunghic BOC

are loc relaţia 222 OCOBBC += rezultă că latura pentagonului este ipotenuza unui

triunghi dreptunghic în care catetele sunt laturile hexagonului şi respectiv ale

decagonului înscrise în acelaşi cerc.

Proprietăţi ale pentagonului stelat

Fie ''''' EDCBA un pentagon regulat înscris în cercul de centru O şi rază R

(Fig.51). Construind diagonalele acestui pentagon obţinem un pentagon stelat. In

interiorul pentagonului stelat s-a format un nou pentagon regulat pe care-l notăm cu

PQRST . Dacă construim diagonalele acestui pentagon regulat obţinem un nou

pentagon stelat. Notăm cu r raza cercului circumscris pentagonului PQRST .

Considerăm lungimea muchiei PT egală cu 1. Atunci au loc următoarele rezultate:

77

Fig. 51

Ipoteză : 1===== QPRQSRTSPT

Valori în pentagonul regulat

1. ϕ=RB'

Deoarece RQB' este triunghi isoscel cu ( ) o36'ˆ =RBQm rezultă triunghiul RQB' este

triunghi de aur şi deci ϕ=QR

RB' . Dar cum 1=QR rezultă ϕ=RB' .

2. 2''' ϕ== CBSB

Având în vedere raportul de aur ϕ=RBSB

'' precum şi punctul 2. rezultă

2''' ϕ== CBSB .

3. 3'' ϕ=DB

Având în vedere raportul de aur ϕ=SBDB'

'' precum şi punctul 3. rezultă 3'' ϕ=DB .

4. ϕ1

=RX

Având în vedere raportul de aur ϕ=XRPX precum şi relaţia 1=PX rezultă

ϕ1

=RX .

B'

A'

C'

E' D'

Q

P

T

S

R

A X

Z

Y

C O

78

5. 2

1ϕ

=XZ

Având în vedere raportul de aur ϕ=XZQX rezultă

ϕϕRXQXXZ == . Cum

ϕ1

=RX

rezultă 2

1ϕ

=XZ

Rapoarte în pentagonul regulat

1. 2ϕ

=r

OA

Considerăm triunghiul de aur QSP . Având în vedere că ( ) o18ˆ =PSAm precum şi

relaţia rOSOP == rezultă ( ) o18ˆ =SPOm , dar ( ) o72ˆ =APSm ceea ce implică

( ) o54ˆ =APOm . In triunghiul dreptunghic OAP are loc relaţia ( )r

AOOPAOPOA ==ˆcos ,

dar cum ( )2

36ˆcos ϕ== oPOA rezultă

2ϕ

=r

AO .

2. 2' ϕ==r

OArR

Având în vedere că r

rASr

rSAr

OA −=

−=

2'' precum şi relaţia OSAOAS +=

rezultă ( ) ( ) ( )r

rr

rrAOr

rOSAOr

OA 122' +=

−+=

−+=

ϕ , dar 21 ϕϕ =+ rezultă

2' ϕ==r

OArR

3. ϕ2'=

OAOA

Deoarece punctul 1. implică relaţia 2ϕrOA = iar din punctul 2. rezultă 2' ϕrOA =

obţinem relaţia ϕ2'=

OAOA .

79

Secţiuni de aur în pentagonul regulat

1. SXQ , PXR , XTB'

2. QPB' , ''SDB

Propoziţie. Fie ''''' EDCBHA o piramidă cu vârful H şi cu baza un pentagon

regulat. Construim cercul de rază r înscris în pentagonul ''''' EDCBA Atunci au loc

relaţiile:

1. 2=OAOH

2. ϕ=r

OH

Exemplu – Traseu pentagonal

Adrian Gheorgiu (Proporţii şi trasee geometrice în arhitectură)

80

2.7.2 Numărul de aur şi decagonul regulat

Proprietate. Raportul dintre lungimea laturii decagonului regulat convex şi

lungimea razei cercului circumscris acestuia este egal cu inversul numărului de aur

(Fig.52).

Fig. 52

Demonstraţie.

Metoda I. Fie dat cercul de centru O . Impărţim cercul în 10 părţi egale. Notăm

cu AB o muchie a decagonului regulat şi cu AD muchia decagonului stelat. Fie K

intersecţia dintre raza BO şi muchia AD . Din asemănarea triunghiurilor BAK şi

AOB rezultă egalitatea BKAB

ABAO

= .

Cum BKOKOBAO +== şi ABAKOK == obţinem AB

BKABBKAB +

= . De

aici rezultă ϕ==ABAO

BKAB

Metoda II. Decagonul regulat este format din 10 triunghiuri isoscele identice,

cu vârful principal în O , adică în centrul cercului circumscris decagonului (Fig.53,

54). Vârfurile din O au măsura egală cu oo

3610

360= . De unde rezultă că unghiurile de

la baza triunghiurilor isoscele au măsura o72 . Considerăm triunghiul AOB . Notăm cu

A

B

O

D

E

C

K

81

I piciorul înălţimii din O pe baza AB . In triunghiul dreptunghic AIO avem

AOAIA == o72coscos . Având în vedere formula 1cos22cos 2 −= aa rezultă

4151

415 2136cos272cos

2

2 −=−

+=−= oo .

Deci, 4

15 −=

ACAI sau 15

154

+=−

=AIAO . Cum punctul I este şi mijlocul

muchiei AB rezultă AIAB 2= . Atunci obţinem relaţia 2

152

+==

AIAO

ABAO .

Fig. 53

Fig. 54

A B

O

I

82

Proprietate. Valoarea raportului dintre lungimea muchiei decagonului stelat şi

lungimea razei cercului circumscris este egală cu inversul numărului de aur (Fig.55).

Fig. 55

Demonstraţie. Din asemănarea triunghiurilor AKO şi AOD rezultă

AKAO

AOAD

= . Cum KDAKAD += şi AOODKD == rezultă Φ==+

AKAO

AOAOAK

deci punctele OKA , , realizează rapotul de aur.

Calculul lungimii laturilor decagonului

• Lungimea unei laturi a decagonul regulat este dată de formula:

rrl2

151 −=

Φ= ,

unde r este raza cercului circumscris (Fig.56a).

• Lungimea unei laturi a decagonului stelat este dată de formula:

rrl2

15 +=Φ= ,

unde r este raza cercului circumscris (Fig.56b).

A

B

O

D

K

83

Fig. 56

2.8. Secţiunea de aur – elemente spaţiale

Având în vedere faptul că orice dreptunghi se descompune în două triunghiuri

dreptunghice identice, proprietăţile şi construcţiile prezentate în secţiunile precedente

cu privire la triunghiurile dreptunghice sunt valabile şi pentru dreptunghiurile

corespunzătoare.

Prin intermediul dreptunghiurilor se poate trece de la reprezentarea în plan la

reprezentarea în spaţiu prin intermediul paralelipipedelor.

Paralelipipedul are un rol esenţial în punerea în proporţii a edificiilor.

Paralelipipedele sunt definite de trei dimensiuni iar cele esenţiale au laturile egale cu

cele ale principalelor dreptunghiuri, astfel:

1 1 1

3 3 4

3 4 4

3 4 5

1 1 2

1 2 2

1 1 3

1 3 3

1 2 3

1 1 2

1 2 2

1 1 Φ

1 Φ Φ

1 Φ 2Φ

1 2Φ 2Φ

etc.

A

B

O

D

C A

O

D

C

a) b)

84

In cazul volumelor mărginite de suprafeţe curbe (sferice, cilindrice, conice,

etc.) caracteristicile geometrice sunt date de paralelipipedele cu care se grupează

compoziţional.

2.8.1. Secţiunea de aur şi corpurile platonice

Propoziţie. (fără demonstraţie) Dreptele ce unesc centrele feţelor unui dodecaedru formează trei dreptunghiuri de aur perpendiculare două câte două (Fig.57).

Fig. 57

Propoziţie. (fără demonstraţie) Dreptele ce unesc vârfurile unui icosaedru formează trei dreptunghiuri de aur perpendiculare două câte două (Fig.58).

Fig. 58

85

Propoziţie. (fără demonstraţie) Raportul dintre lungimea muchiei unui dodecaedru şi lungimiea muchiei unui cub încris în acest dodecaedru formează secţiunea de aur (Fig.59).

Fig. 59

2.9. Şirul lui Fibonacci (legea creşterilor organice) şi numărul de aur

Proprietate. Valoarea raportului dintre oricare doi termeni consecutivi ai şirului

lui Fibonacci este egală cu numărul de aur.

Demonstraţie. Considerăm un segment AB de lungime a şi determinăm un

punct C astfel încât Φ=BCAC . Pornind de la segmentul AC determinăm un punct D

astfel încât Φ=ACAD . Cum Φ= aAC lungimea segmentului AD este egală cu 2Φa .

Deoarece 12 +Φ=Φ rezultă aaa +Φ=Φ2 , adică ABACAD += .

Continuând procedeul obţinem termenul general 21 −− Φ+Φ=Φ nnn aaa .

Astfel pornind de la un segment AB de lungime a putem construi un şir de segmente

care are proprietatea că raportul lungimilor a două segmente succesive este egal cu

numărul de aur: ,....,.....,,,, 32 naaaaa ΦΦΦΦ

Proprietate. Orice termen al şirului lui Fibonacci este egal cu suma celor doi

termeni precedenţi.

86

Demonstraţie. Fie au =0 şi bu =1 atunci şirul lui Fibonacci este dat de

relaţiile:

bauuu +=+= 012

bauuu +=+= 2123

bauuu 23234 +=+=

bauuu 35345 +=+=

Şirul lui Fibonacci admite doi termeni iniţiali de valoare

1:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…

Şirul de aur

Definiţie. Şirul de aur este unicul şir care care are următoarele proprietăţi:

11 −+ += nnn uuu şi .1 ctu

u

n

n =+

Mai precis şirul este de forma:

,.....85 ,53 ,32 ,21 ,1 , ,1 Φ+Φ+Φ+Φ+Φ+Φ

sau

,... , , , , , ,1 65432 ΦΦΦΦΦΦ

Definiţie. Lanţul de aur este un lanţ infinit format numai din valorile 0 şi 1.

Construcţie. Fie 00 =s şi 11 =s . Atunci termenul general al lanţului se obţine

prin concatenarea celor doi temeni care-l preced: 1−ns , 2−ns .

Proprietate. Intr-un lanţ de aur valoarea raportului dintre numărul termenilor

egali cu 1 şi numărul celor egali cu 0 este Φ .

0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1

87

Dezvoltarea numărului de aur în fracţii continue

Considerăm formula prin care-l determinăm pe x : x

x 11+= . Inlocuind pe x

prin expresia lui obţinem

x

x 11

11+

+= . Continuând procedeul obţinem

....111

11

++

+=x , adică dezvoltarea numărului de aur în fracţii continue.

Observaţie. Numărul de aur poate fi aproximat prin fracţii care se obţin ca

raport a două şiruri Fibonacci consecutive.

Bibliografie Gheorgiu A. - Proporţii şi trasee geometrice în arhitectură, Editura Tehnică, 1991

Hofstetter K. - A Simple Construction of the Golden Section, Forum Geometricorum,

v 2 (2002), pp. 65-66

Hofstetter K. - A 5-step Division of a Segment in the Golden Section, Forum Geometricorum v 3 (2003), pp. 205-206

Hofstetter K. - Another 5-step Division of a Segment in the Golden Section Forum Geometricorum, v, 4 (2004), pp. 21-22

Hofstetter K. - Division of a Segment in the Golden Section with Ruler and Rusty Compass, Forum Geometricorum, v 5 (2005), pp. 135-136

Radian H. R. - Cartea proporţiilor, Editura Meridiane, Bucureşti, 1981

Sennott R. S. - Encyclopedia of 20th Century Architecture, v 1,2,3, Fitzroy Dearborn, NY, 2004

1 1 2 2 23 1+ 21

35 1+ ( )2111 + 58 1+ ( )( )211111 ++

813 . 1321 . 2134 .

3455 .

Capitolul II FINAL

Documents

Transcript of Capitolul II FINAL