Cap IV Forte Electrodinamice

7/23/2019 Cap IV Forte Electrodinamice

http://slidepdf.com/reader/full/cap-iv-forte-electrodinamice 1/28

4.

FOR ŢE ŞI SOLICITĂRI ELECTRODINAMICE ÎN

APARATE ŞI ECHIPAMENTE ELECTRICE

Experimental s-a constatat că asupra oricărui conductor parcurs de curentelectric, situat într-un câmp magnetic, acţionează o for ţă electrodinamică, caretinde să modifice configuraţia circuitului de curent, astfel încât fluxul magnetic,care înlănţuie conturul circuitului, să aibă valoare maximă. Drept urmare, întreconductoarele apar ţinând aceluiaşi circuit sau unor circuite diferite, parcurse de

curenţi electrici legaţi printr-un câmp magnetic comun, se exercită for ţe deinteracţiune care depind de:valoarea curenţilor şi a câmpului magnetic;−

−

−

−

−

−

configuraţia geometrică a conductoarelor;aşezarea reciprocă a conductoarelor;

permeabilitatea mediului în care sunt situate conductoarele.Întrucât în toate punctele din spaţiu ce înconjoar ă un conductor parcurs de

un curent oarecare există întotdeauna un câmp magnetic stabilit de acest curentşi deci şi o energie înmagazinată în acest spaţiu, pentru determinarea for ţelor

electrodinamice care acţionează între curenţi filiformi sau de secţiune finită seutilizează două metode:metoda bazată pe teorema Laplace;metoda bazată pe teorema for ţelor generalizate în câmp magnetic;

Notă: 1. Mai simplu şi mai corect vom utiliza în locul conductoarelor parcurse de

curenţi, curenţii înşişi şi, în mod corespunzător, în loc de for ţele deinteracţiune a conductoarelor parcurse de curenţi, for ţele de interacţiune alecurenţilor.

115



2. În cazul aparatelor electrice, for ţele electrodinamice se exercită între căile decurent. Aceste căi sunt parcurse de curenţii nominali sau în caz de avarie decurenţii de scurtcircuit.Indiferent de forma şi aşezarea geometrică a conductoarelor pe parcursul

acestui capitol se urmăreşte exprimarea for ţei de interacţiune printr-o relaţiesimplă (relaţia Ampere) înmulţită cu un coeficient de corecţie dependent deforma şi geometria căilor de curent.

Pe baza for ţelor se determină solicitările electrodinamice la care suntsupuse căile de curent dar şi construcţiile electrotehnice de tip tablouri dedistribuţie. Pentru determinarea acestor solicitări trebuie să se determine relaţiilede calcul ale for ţelor în funcţie de forma şi dimensiunile conductoarelor dar şifuncţie de tipul scurtcircuitului.

4.1 RELAŢII GENERALE DE CALCUL A FOR ŢELORCalculul for ţelor de interacţiune în câmp magnetic este posibil cu relaţii bazate pe teorema Laplace în care inducţia magnetică este determinată prinformula Biot-Savart sau teorema Ampere (legea circuitului magnetic) sau cuteorema Maxwell (a for ţelor generalizate în care inducţia este evaluată cuteorema Ampere ).

4.1.1 Relaţii bazate pe teorema LaplaceÎn cazul general, când un curent electric de o formă oarecare se găseşte

într-un câmp magnetic exterior neomogenr

, for ţa electrodinamică , care

acţionează asupra fiecărui element de curent de lungime

F d r

l d

r

- în lungul căruiacâmpul considerat este constant – este dată de relaţia: Bl Id F d rrr

×= (4.1)în care vectorul l d

r

este orientat în sensul pozitiv al curentului, for ţa F d r

depinzând în mare măsur ă de orientarea acestui element. Vectorul aremodulul:

F d r

α sinBdlIdF ⋅⋅⋅= şi o astfel de orientare încât formează cu cei doivectori un sistem tri-ortogonal (fig.4.1).

Fig. 4.1 For ţa dF

116



For ţa rezultantă care acţionează asupra conturului închis parcurs decurentul I (deci asupra unui conductor închis de lungime l), situat în câmpulmagnetic B

r

, este egală cu suma geometrică a for ţelor elementare : F d r

∫ ×=l

Bl d I F )( rrr

(4.2)

Inducţia magnetică Br

se poate determina prin 2 metode:a) formula Biot-Savart-Laplace

b) teorema Amperea). Pentru determinarea intensităţii câmpului magnetic a unui element de

curent în punctul de observaţie , exterior acestui element, se foloseşte

formula lui Biot –Savart –Laplace:11 l d I r

2 P

2011

12

4 r

r l d I H d

r

r

r ×⋅=

π

(4.3)

Dacă ne referim la mediile dia sau paramagnetice care sunt constituite dinmolecule neutre (gaze, lichide), avem:

201

1212 4 r

r l d I H d Bd

r

r

rr ×⋅=⋅=

π

µ µ (4.4)

unde: 12r r rr

= - vectorul de poziţie al punctului în raport cu .2 P 1 P

r

r r

r

r

=0 - versorul lui r r

Orientarea vectorului face ca, împreună cu ceilalţi doi vectori să seobţină un sistem tri-ortogonal (fig.4.2).12

Bd r

Fig. 4.2 Interacţiunea a două elemente de curent delimitateîn două circuite închise 1 şi 2

În marea majoritate a cazurilor practice, conductoarele sunt situate în aer)1( =r , mediu gazos care nu se polarizează magnetic (deci în el nu apar curenţi

suplimentari care să producă un câmp magnetic suplimentar), deci:]/[104 7

0 m H −⋅== π µ µ

117



∫ ×

=1

20110

12 4 r

r l d I B

r

r

r

π

µ (4.5)

deci se însumează câmpurile produse de fiecare element de curent din circuitul1, în punctul . Scalar se scrie:2 P

11

2110

12

sin

4dl

r

I B ∫=

β

π (4.6)

Din acţiunea reciprocă dintre acest câmp şi un element de curent 22 l d I r

,

plasat în punctul unde s-a calculat câmpul2 P 12 Bd r

, ia naştere for ţa cucare un element de curent din circuitul 1 acţionează asupra acestui element dincircuitul 2. Conform relaţiei (4.1) avem:

12 F d r

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ ==

3

1212

210122212

2

4)(

r

r xl d xl d

I I B xd l d I F d

r

r

rrrr

π

µ (4.7)

În baza ipotezelor de mai sus, analog obţinem:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ==

3212

1210

2111212

4)(

r

r xl d xl d

I I B xd l d I F d

r

r

rrrr

π

µ (4.8)

unde . Evident for ţa, ca dublu produs vectorial, va fi orientată după

linia de intersecţie a unui plan perpendicular pe1221 r r

rr

−=

1l d r

cu planul determinat de

vectorii 2l d r

şi 12r r

.

Integrând relaţia (4.8) de-a lungul circuitului 1 se determină for ţa, cu careîntreg circuitul 1 acţionează asupra unui element de curent 22 l d I

r

al circuitului2:integrând a doua oar ă această expresie după traseul curentului 2, se obţine for ţarezultantă cu care primul circuit acţionează asupra celui de al doilea circuit.Dacă curenţii prin cele două circuite sunt staţionari, rezultă:

122 1 212210

21

sinsin

4dl dl

r

I I F ⋅

⋅= ∫ ∫

β α

π

µ (4.9)

unde ;),( 1222 Bl d rr

=α ),( 1211 r l d r

r

= β .Similar se obţine .21 F

Sens fizic au numai for ţele rezultante de interacţiune între curenţi închişi,care satisfac principiul reacţiunii şi interacţiunii. Practic ambii curenţi se află într-un câmp magnetic comun – câmpul magnetic rezultant – în care seacumulează o energie magnetică (funcţie potenţială) şi cum for ţele rezultantesunt determinate de derivatele aceleiaşi energii magnetice (care este funcţienumai de aşezarea reciprocă a ambelor circuite), ele vor fi egale în modul şiopuse.

b) Inducţia magnetică Br

poate fi calculată din legea circuitului magnetic

I l d B 0µ =⋅∫Γ

rr

denumită şi teorema Ampere.

118



4.1.2 Relaţii bazate pe teorema forţelor generalizateDacă se consider ă n circuite cuplate magnetic, parcurse de curenţii, energia înmagazinată în sistemul considerat este:n I I ÷1

∑ ∑∑∑ = === +==

n

K

n

S sksk k k

n

K nn

n

K n I M I I L I W 1 1

2

11 2

1

2

1

2

1

φ (4.10)unde:

- inductivitatea proprie a circuitului kk L

- inductivitatea mutuală a circuitului k şi sks M

Pentru a determina for ţa electrodinamică care se exercită pe direcţiacoordonatei generalizate X asupra circuitului k, datorită celorlalte (n-1) circuiteale sistemului, trebuie calculată variaţia energiei magnetice la o deplasareelementar ă dx a circuitului k în direcţia X. Această deplasare produce, îngeneral, o variaţie a inductivităţilor proprii şi mutuale şi deci a energieimagnetice a sistemului. Deci:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂

∂−=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂

∂=

=Φ

=

ct

n

ct I

n

X

W F

X

W F

(4.11)

care este astfel orientată încât ea tinde, la un singur circuit, să mărească inductivitatea proprie a circuitului, iar la mai multe circuite tinde să modifice

poziţia reciprocă a circuitelor, astfel ca inductivitatea mutuală să devină cea maimare.

Practic, această metodă se utilizează avantajos în situaţiile în carecircuitele au o configuraţie mai complicată (pe când prima metodă expusă la

punctul 4.1.1, se utilizează când inductivitatea mutuală nu este cunoscută sauexpresia ei este complicată), precum şi în cazul când conductoarele 1 şi 2 sunt

por ţiuni ale aceluiaşi circuit.În continuare sunt analizate cazurile cele mai reprezentative configuraţii

de conductoare filiforme şi de secţiune finită care intervin în construcţiaaparatelor şi tablourilor de distribuţie. Întrucât for ţa electrodinamică este funcţie

de configuraţia geometrică a căilor de curent , de lungimea şi secţiuneatransversală a conductoarelor şi de valorile instantanee ale curenţilor ce le

parcurg se urmăreşte să se exprime expresia acestor for ţe printr-o formulă unică cât mai simplă de forma for ţei dedusă de Ampere, expresie dependentă de

produsul valorilor instantanee ale curenţilor, modificată funcţie de forma şidimensiunile conductoarelor prin factori de corecţie .

4.2 FOR ŢE EXERCITATE ÎNTRE CONDUCTOARE FILIFORME Se vor trata numai cazurile reprezentative de for ţe electrodinamice

exercitate între conductoare a căror dimensiune liniar ă transversală esteneglijabilă în raport cu lungimea lor şi cu distanţa între conductoare.

119



4.2.1 Caz generalCazul general este cel al conductoarelor 1 şi 2 aşezate oarecum în spaţiu

(fig.4.2). Întrucât inductivitatea mutuală a celor două circuite, pentru o astfel deconfiguraţie geometrică este dificil de calculat, pentru determinarea for ţelor

electrodinamice de interacţiune se recomandă folosirea metodei bazată peteorema Laplace în care inducţia se determină cu formula Biot –Savart.Expresia for ţei rezultante, cu care conductorul 1 acţionează asupra

conductorului 2 este data de relatia (4.9) . Aceasta for ţă nu este uniformrepartizată de-a lungul conductorului 2 motiv pentru care se foloseşte noţiuneade for ţă specifică – for ţa exercitată pe unitatea de lungime – cu care întregcircuitul 1 parcurs de curentul , acţionează asupra elementului de circuit 2

parcurs de curentul :1 I

2 I

∫=

1 12

12210

2

21 sinsin

4dl

r

I I

dl

dF β α

π (4.12)

Relaţia este general valabilă pentru conductoare curbilinii sau rectilinii cuaşezare oarecare în spaţiu.

Integrala din relaţia (4.12) nu poate fi rezolvată decât prin metode grafice;numai în cazurile particulare, se pot folosi metode grafo-analitice sau analitice.

4.2.2 Conductoare rectilinii de lungime finită Consider ăm un sistem de două conductoare paralele 1 şi 2, cu distanţa a

între ele şi fixate pe izolatoare între care există distanţa l.

Semnificaţia fizică a acestei probleme este de a calcula for ţa rezultantă exercitată asupra conductorului 2, parcurs de curentul I2 pe deschiderea l întredouă izolatoare, de către curentul I1 care parcurge conductorul 1

For ţa elementar ă ce se exercită asupra elementului de curent din

punctul P, aflat în câmpul magnetic produs de elementul de curent estedată de relaţia:

dy I 2

1dB dx I 1

12 B yd I F d r

rr

×= (4.13)

Fig 4.3 Conductoare rectilinii paralele

Pentru calculul fortei trebuie calculata inductia magnetica produsa deelementul de curent . Calculul inductiei se face cu relatia (4.6) integratadx I 1

120



intre unghiurile 1 β si 2 β in care din geometria figurii 4.3 se exprima

dependentele intre dx, β si r conform relatiilor

β dctg = , ⋅−= β

β 2sin

d d dx ,

β sin

d r =

Rezulta astfel:

d

I d

d

I B 121010

1

coscos

4

sin

4

2

1

β β

π

µ β

β

π

µ β

β

−== ∫ (4.14)

Inlocuind relatia (4.14) in modulul relatiei (4.13) rezulta forta specifica:

d

I I

dy

dF 12210 coscos

4

β β

π

µ −= (4.15)

Forta totala se obtine prin integrare relatiei (4.15) dupa dy in careunghiurile de exprima din geometria figurii 4.3 cu relatiile :

221)(

cosa yl

yl

+−

−= β ,222cos

d y

y

+= β (4.16)

Rezultă:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

−−

+= ∫∫

ii

dyd yl

yl dy

d y

y

a

I I F

022

022

210

)(4π

µ (4.17)

Cu schimbările de variabilă:

⎩⎨⎧

=− =+ u yl va y

222

(4.18)

se obţine :

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ =⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ = ∞

l

d F

l

d

d

l I I F ϕ ϕ

π 2210 (4.18)

unde:d

l I I F

π 2210=∞ (4.19)

l

d

l

d

l

d −

⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛ +=⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛ 2

1ϕ (4.20)

este un factor de corecţie, adimensional, pozitiv şi subunitar ce ţine cont delungimea finită a conductoarelor, cu reprezentarea grafica din figura 4.4

Se constată că pentru d/l<0.2, termenul ( )2/ l d devine neglijabil faţă de 1şi factorul de corecţie se poate calcula cu: ϕ(d/l)=1-d/l adică în majoritateacazurilor practice ϕ(a/l)=0.8÷1.

121



Fig.4.4 For ţa de corecţie ϕ(d/l)

Practic, dacă l >(10÷20)d (deci, cel puţin un ordin de mărime) ϕ(d/l)=1,deci conductoarele se pot considera de lungime infinită.Daca conductoarele suntde lungime infinita atunci forta este data de relatia

d l I I F

π 2210=∞ (4.21)

4.3 FOR ŢE ÎNTRE CONDUCTOARE CU SECŢIUNEATRANSVERSALĂ FINITĂ

Se vor trata numai cazurile reprezentative de for ţe electrodinamiceexercitate între conductoarele ale căror dimensiuni nu sunt neglijabile faţă dedistanţa între conductoare şi ca urmare nu se mai poate considera un curent

filiform concentrat în axa conductorului.4.3.1 Conductoare paralele, drepte cu secţiunea circulară Se va considera cazul reprezentativ al unui circuit bifilar, format din două

conductoare paralele, de lungime l, cu diametrul 2r şi distanţa între conductoarea (fig.4.5).

Fig.4.5 Conductoare paralele cu secţiune circular ă finită Fiind conductoare ce apar ţin aceluiaşi circuit, for ţa de interacţiune se

calculează uşor prin metoda bazată pe teorema for ţelor generalizate în câmp

magnetic. Energia elementar ă a câmpului magnetic este :dWm=Idϕ cu ldxd =ϕ (4.22)

122



in care inductia magnetica este calculata cu teorema Ampere :

)(22 xa

I

x

I B oo

−+=

π

µ

π

µ (4.23)

Energia magnetica inmagazinata intre conductoarele liniei bifilare este

]ln)[ln(2

])(22

[2

1 222

r r al I

xa

ldx I

x

ldx I W oo

r

r a

or a

r

m −−=−

+= ∫∫−

−

π

µ

π

µ

π

µ (4.24)

Rezultă for ţa:

r a

l I

a

W F

ct I

m

−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂

∂=

= π

µ

2

20 (4.25)

care se mai poate pune sub forma

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ =

−= ∞

a

r F

r a

a

a

l I F ϕ

π

µ

2

20 (4.26)

unde factorul de corectie este :

a

r a

r

−=⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛

1

1ϕ (4.27)

4.3.2 Conductoare îndoite sub formă de L Teoretic este cazul a două conductoare rectilinii de lungime finită aşezate perpendicular; în construcţiile practice, o asemenea configuraţie se obţine prinîndoirea unui conductor sub forma literei L. Vom considera un conductor desecţiune circular ă cu diametrul 2r, care formează un unghi de 90, ambele laturifiind parcurse de curentul I (fig.4.6).

Inducţia produsă de elementul de curent Idy în punctul în care se află elementul de curent Idx este:

dy

r

I dB

20 sin

4

β

π

µ = (4.28)

For ţa de interacţiune între elementul de curent Idx şi câmpul dB este:

dxdyr

I F d

2

202 sin

4

β

π

µ = (4.29)

Cu relaţiile evidente:

β

β

β β 2sin;;

sin

xd dy

tg

x y

xr −=== (4.30)

relaţia (4.29) devine:

β β π

µ dxd I F d sin4

2

02 = (4.31)

123



Fig.4.6 Conductorul în formă de L

Pentru determinarea for ţei totale care acţionează asupra conductoruluiorizontal l2, trebuie integrată de două ori relaţia (4.31).

∫∫−= 2

1

2 sin4

20 β

β β β

π

µ d

x

dx I F

l

r (4.32)

Ţinând cont de:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=

2/

cos

2

221

11

π β

β

xl

l

rezultă 0cos 2 = β în final:

)(

)(ln

4 22

211

22112

20

l l l r

r l l l I F

++

++−=

π

µ (4.33)

Această relaţie nu ţine cont de acţiunea câmpului din secţiuneaconductorului asupra por ţiunii din latura orizontală, cuprinsă între 0 şi r. În

ipoteza că nu se neglijează această acţiune (conductor masiv), relaţia devine [3].

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+

++

++= 25.0

)(

)(ln

4 22

211

22112

20

l l l r

r l l l I F

π

µ (4.34)

Dacă a<<l2 şi l1→∞, se obţine o relaţie simplificată:

r

l I F 2

20 ln4π

µ = (4.35)

Pentru această configuraţie de sistem de conductoare interesează, în moddeosebit, valoarea momentului în locul îndoiturii [1]:

124



⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −== ∫

11

212

0

42

l

r arcsh

l

l arcsh

l I dFx M

l

r π

µ (4.36)

iar dacă la limita l1→∞, se obţine: )(

42

20 r l I

M −=π

µ

Observa ţ ii:

• În cazul particular când segmentul conductor de lungime l2 (în calitate decuţit de separator sau de traversă pentru contactele mobile ale întrerupătorului deînaltă tensiune) face legătura între conductoarele l1 şi l3 (fig.4.7.a), epura for ţelorspecifice pentru celor trei laturi este prezentată, calitativ, în figura 4.7.b.

Fig.4.7 Epura fortelor pentru conductoare in forma de L

• În cazul conductoarelor unghiulare cu un unghi diferit de 900 (figura 4.8 )for ţa de interacţiune tinde sa intinda conductorul iar relatia de calcul este :

α

α

π

µ

sin

cos1]1[2 2

22 −++⋅= a

b

b

al b

a I F o c

Figura 4.8 Conductor unghiular

4.3.3 Conductoare paralele, drepte cu secţiune dreptunghiulară În cazul conductoarelor cu secţiune dreptunghiular ă nu se mai poate

considera un curent filiform concentrat în axa conductorului; în cazulconductoarelor cu secţiune circular ă se poate demonstra că for ţeleelectrodinamice sunt aceleaşi pentru orice secţiune a conductorului, chiar dacă consider ăm curentul concentrat în axa conductorului.

La conductoarele cu secţiune dreptunghiular ă, principiul de calcul alfor ţelor de interacţiune constă în folosirea relaţiei Laplace , în care se folosesccurenţi filiformi calculaţi , în ipoteza densităţii de curent constante în secţiunea

conductoarelor. Practic, se întâlnesc două cazuri:

125



a.conductoare a şezate pe latura mică (cant)Figura 4.9 prezintă situaţia relativă a două conductoare paralele, de

secţiune dreptunghiular ă, aşezate cu latura mică şi distanţa a între axeleconductoarelor, grosimea fiecărui conductor (latura mică) este a iar înălţimea

este b.Ambele conductoare sunt de lungime foarte mare, teoretic infinită, dar secalculează for ţa exercitată asupra por ţiunii de lungime l, din conductorul 2.Separând două straturi elementare de curent, cu secţiunile adx şi presupunând orepartiţie uniformă a curentului I1, curentul filiform pentru conductorul 1 va fi:

11 I b

dxdI = (4.38)

şi analog, pentru conductorul 2:

22 I b

dydI = (4.39)

Câmpul elementar produs în dy de elementul dI1 este:

b

dx

R

I

R

dI dB

π π 221010

1 == (4.40)

For ţa pe unitatea de lungime în direcţia R este:

dxdyb

I I

R F d

22102

2π = (4.41)

Componentele acestei for ţe pe verticală se anulează, datorită simetrieisistemului; componenta care acţionează perpendicular pe conductor este:

ϕ cos22 F d F d n = (4.42)

unde22

cos yd

d

R

d

+==ϕ

deci:

dxdy yd

d I I

b F d n 22212

02

2 +=

π (4.43)

iar for ţa totală rezultă prin dublă integrare:

∫∫ −

− += xb

x

b

a yd

dydxd a I I F 2202210

2π (4.44).

După efectuarea calculelor, rezultă:

),(2

21 d bd

l I I F o

n ϕ π

⋅⋅

= (4.45)

Cu functia de corectie

)]1ln(2

[)/(2

2

2

2

d

b

d

barctg

d

b

b

d d b +−⋅=ϕ (4.46)

126



Caracteristici Forta

a b d L C I F

mm mm mm m KA daN/m

5 80 100 1 0.91 35 224

5 80 100 1 0.91 80 1170

a) dispunere geometrică b)valorile for ţeiFig.4.9 Conductoare subţiri aşezate pe cant

Pentru valori numerice ale dimensiunilor geometrice ale conductoarelor ladoua valori ale curentului de scurtcircuit in figura 3.11 b s-a determinat valoareafortei electrodinamice

b) conductoare a şezate pe lat În acest caz se consider ă conductoarele aşezatepe lat , cu laturi mici faţă-n

faţă, cu:

⎩⎨⎧

<<

<<

d a

ba (4.47)

Valorile curenţilor elementari sunt:a

dy I dI

a

dx I dI 2211 == (4.48)

Câmpul elementar produs de elementul dx în locul ocupat de elementul deconductor dy, este:

a

dx

R

I

R

dI dB

π π 221010 == (4.49)

For ţa pe unitate de lungime, în direcţia R, este:

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

++−=

=

)( 222102

y xad R

dxdy

a

I I

R

F d

π

µ

(4.50)

iar for ţa totală rezultată prin dublă integrare:

∫∫ ++−=

bb

y xad

dydx

d

l I I F

00210

)(2π

µ (4.51)

După efectuarea calculelor [3], rezultă:

127



⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −+⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ +⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ +=

== ∞

d

a

d

a

d

a

d

a

a

d d a

d a F d ad

l I I F

1ln11ln1)/(

)/()/(2

2

2

210

ϕ

ϕ ϕ π

µ

(4.52)

Fig.4.10 Conductoare subţiri aşezate pe lat

Pentru conductoare cu secţiune dreptunghiular ă, la care secţiunea aredimensiunile laturilor comparabile, este necesar, pentru calculul for ţeielementare pe unitatea de lungime, să se secţioneze conductorul după ambelelaturi Calculul for ţei rezultante este laborios [1] şi de aceea se prefer ă carezultatul să se prezinte sub forma:

CDCD F d

l I I F ϕ ϕ

π ∞==

2210 (4.53)

în care funcţia de conducţie CDϕ este dată de diagramele lui Dwight (4.11), înfuncţie de raportul d/a şi unde se ia drept parametru raportul b/a.

Fig.4.11 Curbele Dwight

128



4.4 FOR ŢE ELECTRODINAMICE ÎN TABLOURI ELECTRICE

În toate cazurile reprezentative studiate până acum, for ţele de interacţiuneîntre conductoare se pot pune sub forma:

21)( iiC t f ⋅⋅= (4.54)

unde C – un coeficient ce depinde de proprietăţile mediului în care sesituează conductoarele, de configuraţie geometrică a conductoarelor şidispunerea geometrică a sistemului de conductoare astfel:

- pentru conductoare rectilinii, filiforme, paralele, infinit lungi:

d

l C ⋅

⋅=

π 20 (4.55)

- pentru conductoare rectilinii, paralele, finite şi cu secţiune transversal finită:

CDl

d

d

l C ϕ ϕ

π ⋅⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ⋅⋅

⋅=

20 (4.56)

cu expresiile funcţiilor de corecţie exprimate in functie de configuratiaconductoarelor

Curenţii i1 şi i2 au fost consideraţi staţionari. În acest paragraf se vorstudia for ţele electromagnetice în cazul curenţilor alternativi (deci în instalaţii decurent alternativ), când aceştia satisfac condiţiile de cvasistaţionaritate.

Intensitatea câmpului magnetic a curenţilor alternativi nu corespunde în

timp, simultan, valorii momentane a acestor curenţi, deoarece propagareacâmpului electromagnetic de la circuitul parcurs de curent până la punctul deobservaţie al circuitului magnetic se face în timp cu viteză finită. Astfel, câmpulmagnetic al curenţilor alternativi nu poate satisface condiţiile decvasistaţionaritate decât într-un domeniu restrâns al spaţiului în vecinătateaimediată a acestor curenţi şi numai în cazul frecvenţelor relativ joase (cecaracterizează curenţii tari). În cazul curenţilor alternativi ce parcurg aparateleelectrice, aceştia au frecvenţe joase şi satisfac în suficientă măsur ă condiţiile decvasistaţionaritate; practic, câmpul magnetic va urmări simultan variaţiile întimp ale curen

ţilor.

Întrucât valoarea momentană a for ţei electrodinamice se exprimă funcţiede valoarea momentană a curenţilor variabili în timp, solicitările mecanice aleaparatelor parcurse de aceşti curenţi vor fi variabile în timp, dar în cazul generalnu vor urmări aceeaşi lege de variaţie a curenţilor.

4.4.1.Forţele electrodinamice produse de scurtcircuite bipolareAceste for ţe apar atât în distribuţia şi transportul de energie monofazată cu

două conductoare cât şi în cea trifazată, (cu trei sau patru conductoare) în cazulscurtcircuitului realizat între două conductoare.

129



Evident situaţiile în regim permanent de funcţionare sunt cu totul distinctefaţă de situaţia la scurtcircuite, deoarece cele mai mari valori ale for ţelorelectrodinamice sunt datorate curenţilor de scurtcircuit, cu mult mai mari decâtîn regim nominal de funcţionare.

a. Efectul dinamic al curentului de scurtcircuit simetricVom studia, pentru început, for ţele electrodinamice în cazul regimului descurtcircuit permanent (care au aceeaşi formă de variaţie în timp ca în cazulregimului nominal de funcţionare). Considerând două conductoare rectilinii,

paralele, de lungime infinită, ambele parcurse de curentul de

scurtcircuit: ( ) t I t i ω sin2= , rezultă:

( ) )(sin)(sin2 2max

22 t F t I C t f ω ω ⋅=⋅⋅= (4.57)unde: f(t) – valoarea instantanee a for ţeiDezvoltând sin2ωt rezultă:

~

2222 )2cos(

2

ˆ

2

ˆ

2

)(cos1ˆ F F t I C I C t

I C f C

+=⋅⋅−⋅=−⋅⋅= ω ω

(4.58)

For ţa instantanee variază cu o frecvenţă dublă faţă de frecvenţa curentului şi se poate descompune în două componente:

- forta medie egala cu cea din cc :

cmed F CI I C

==⋅

= 22

2

ˆF (4.59)

- o forta alternativa cu pulsatie dubla fata de a curentului

)2cos(2

ˆ2

~ t I C F ω ⋅= (4.60)

For ţa F variază între valoarea Fmax şi 0, având în orice moment acelaşisens. Ca urmare, în cazul scurtcircuitului bipolar, asupra conductoarelor se vaexercita o for ţă pulsatorie de respingere (curenţii prin cele două conductoare ausensuri opuse şi valori instantanee egale).

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

==

02

max

2

cmed

ˆ2

2

ˆFF

F I C F F

I C

med

(4.61)

b. Efectul dinamic al curentului de scurtcircuit asimetric Conform celor expuse în capitolul 1, în regim tranzitoriu de scurtcircuit, în afaracomponentei periodice (simetrică), curentul de scurtcircuit poate avea şi ocomponentă aperiodică (asimetrică):

( )α ω α −+⋅= − t e I t i T t sinsinˆ)( (4.62)Evident, cea mai mare solicitare mecanică a aparatelor are loc la începutul

regimului tranzitoriu de scurtcircuit, când se produce şocul de curent

(componenta aperiodică cea mai mare), după care curentul se amortizează progresiv până la valoarea data de curentului de scurtcircuit simetric.

130



Simultan cu micşorarea curentului scade continuu şi solicitarea mecanică.Din punct de vedere al for ţelor electrodinamice, momentul cel mai nefavorabileste cel în care curentul de scurtcircuit atinge valoare maximă(α = π/2), deci alcurentului de scurtcircuit cu asimetrie maximă:

( )t e I t i T t ω cosˆ)( −= − (4.63)În acest caz, for ţa electrodinamică de regim tranzitoriu este:

( )22 cosˆ)( t e I C t f T t

ω −⋅⋅= − (4.64)

Valoarea maximă se obţine pentru curentul de lovitur ă la momentul : ωt = π

(4.65)22max

ˆ şoc K I C F ⋅⋅=

Pentru K şoc=1.8 (valoarea maxima întâlnită în cazurile practice):

02

max 24,3ˆ24,3 F I C F ⋅=⋅⋅= (4.66)

unde este valoarea maximă în regim stabilizat.2

0 ˆ I C F ⋅=În figura 4.12 a, s-a prezentat grafic curentul de scurtcircuit în regim

tranzitoriu iar în figura 4.12 b s-a prezentat grafic for ţa electrodinamică corespunzătoare, pentru regim cu asimetrie maximă reproduse după [1].

a) diagrama curentului ; b) diagrama for ţei

Figura 4.12 Forte electrodinamice la scurtcircuit bipolar

Din figur ă se constată că pulsaţiile for ţei sunt ilegale pe durata regimuluitranzitoriu de scurtcircuit şi devin egale în regim de scurtcircuit de durată.

Dacă se dezvoltă expresia for ţei aflăm componentele specificescurtcircuitului bipolar:

432122 2cos

2

1

2

1cos2ˆ F F F F t t ee I C f T t T t +++=⎟

⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ ++−= −− ω ω (4.67)

După amortizarea componentei aperiodice a curentului de scurtcircuit, când

131



simultan se amortizează şi componentele F1 si F2 ale for ţei, for ţa electrodinamică este dată de componentele F3 si F4.

4.4.2. Forţele electrodinamice produse de scurtcircuite tripolare

În circuitele trifazate, spre deosebire de cele monofazate, deoarececurenţii care parcurg cele trei conductoare active ale fazelor nu trec simultan prin aceleaşi valori, solicitările mecanice ale conductoarelor vor fi maicomplexe. Vom studia for ţele electrodinamice în regim de scurtcircuit stabilizat(pentru a pune mai uşor în evidenţă complexitatea solicitărilor produse asupraconductoarelor) şi în regim tranzitoriu de scurtcircuit, pentru două cazurireprezentative de dispersie a conductoarelor: conductoare dispuse în acelaşi planşi conductoare în vârfurile unui triunghi echilateral.

4.4.2.1. Conductoare dispuse în acelaşi plana. Efectul dinamic al curentului de scurtcircuit simetricÎn figura 4.13 se prezintă amplasarea conductoarelor şi pentru o uşoar ă

interpretare a rezultatelor, convenţiei de semne pentru for ţele care se exercită asupra conductorului lateral, respectiv asupra conductorului median.Conductoarele celor trei faze sunt paralele, coplanare şi parcurse de un sistemtrifazat simetric de curenţi simetrici de scurtcircuit:

t I i ω sin1

)

= , )3/2sin(2 π ω −= t I i )

, )3/4sin(3 π ω −= t I i )

(4.68)

a.1. Forţa exercitată asupra conductorului lateralFor ţa care se exercită asupra conductorului lateral 1, determinată de

interactiunea curentului conuctorului lateral cu curenţii din conductoarele 2 şi 3,are expresia:

)2

(2

32131211

iiCiii

C iCi f +=+= (4.69)

Inlocuind relatiile 4.68 in 4.69 se obtine:

)]3/4sin(

2

1)3/2[sin(sinˆ2

1 π ω π ω ω −+−= t t t I C f (4.70)

(3.92)

Fig. 4.13 Conductoare dispuse in acelaşi plan

132



După dezvoltarea sinusurilor şi regrupare, rezultă:

)6/sin(sinˆ2

3 21 π ω ω +−= t t I C f (4.71)

Reprezentând grafic for ţa exercitată asupra conductorului lateral se constată că:

♦

pe durata de 5T/12 for ţa acţionează mereu în acelaşi sens, atingândvaloarea maximă pentru ωt = 750 ,având valoarea :

020

max 808.0ˆ808.0)75( F I C F −=−= (4.72)Semnul “-”, conform convenţiei de semne din figura 4.13, având semnificaţia că for ţa este de respingere a conductorului 1 de către curenţii ce parcurgconductoarele 2 si 3.♦ pe durata egală cu T/12, for ţa acţionează in sens opus (for ţa de atracţie aconductorului lateral 1 de către ceilalţi doi conductori 2 si 3), atingând un maximmult mai mic pentru ωt = -150:

020

max 053.0ˆ058.0)15( F I C F ==− (4.73)Se constată că, spre deosebire de scurtcircuitul bipolar, în acest caz sensul

for ţei nu r ămâne acelaşi, ci se schimba în timp. Analizând reprezentarea grafică din figura 4.14 se constata că între conductorul 1 şi celelalte conductoare 2 si 3se va exercita mai ales o for ţa de respingere care atinge valoarea maximă pentru:ωt = 750 + k π (iar for ţa de atracţie se poate neglija) mai mică decât valoareamaximă atinsă în cazul scurtcircuitului bipolar (monofazat).

Procedând identic, se poate determină for ţa care acţionează asupraconductorului lateral 3, pentru care sunt valabile concluziile privitoare laconductorul 1 (au poziţii similare în spaţiu).

a.2. Forţa exercitată asupra conductorul medianProcedând identic ca în cazul se poate determina for ţa care acţionează

asupra conductorului lateral:

⎩⎨⎧

−−−=

−=−=

)]3/4sin())[sin(3/2sin(ˆ

)(2

2

23123212

π ω ω π ω t t t I C f

iiiC iCiiCi f (4.74)

După dezvoltarea sinusurilor şi regrupare, rezultă:)1502cos(ˆ

2

3 022 −−= t I C f ω (4.75)

Reprezentarea grafică din figura 4.14 indică:♦ pe durata T/2, for ţa acţionează mereu în acelaşi sens, atingând valoarea

maximă pentru ωt = 750:

020

max 866.0ˆ866.0)75( F I C F −=−= (4.76)

♦ pe durata de T/2, for ţa acţionează în sens opus ( conform convenţiei de semnedin figura 3.17, este atras de conductorul 1 şi respins de conductorul 2 şi 3 ),având un maxim identic pentru ωt = -150:

133



020

max 866.0ˆ866.0)15( F I C F ==− (4.77)Rezultă pentru conductorul median o solicitare armonică în planul

conductoarelor, amplitudinile în ambele sensuri fiind egale şi fiind mai maridecât amplitudinea for ţei pe conductorul 1 sau 3.

Fig. 4.14 For ţe produse de cureţii de scurtcircuit simetrici

For ţele electrodinamice care acţionează asupra unui sistem trifazat de

conductoare coplanare variază cu dublul frecventei curentului, iar solicitareamecanică se produce numai în planul conductoarelor; for ţa care acţionează asupra conductorului central 2 este mereu în opoziţie cu for ţele care solicită conductoarele laterale 2 şi 3, respectându-se principiul acţiunii şi reacţiuniifor ţelor.

Concluzie:

• curentul de şoc bipolar este întotdeauna mai mic decât cel tripolar

)(

2

3)( socbi soc ii = de unde rezultă clar că for ţ ele electrodinamice maxime

vor fi mai mari la scurtcircuitul tripolar . Raportul for ţelor maxime pentru conductoarele aşezate în acelaşi plan în cazul unui scurtcircuit

trifazat respectiv bifazat este 15.1866.0

2

2

max2

max2 ≈=bi

tri

bi

tri

I

I

F

F ( în verificarea

solicitărilor izolatoarelor – suport ale conductoarelor de curent se va ţineseama de solicitările maxime care se produc la scurtcircuitul tripolar).

b. Efectul dinamic al curentului de scurtcircuit asimetric

Intrucat interezeaza valoarea maxima a fortelor dezvoltate de curentul descurtcircuit asimetric cu asimetrie maxima dacă se înlocuiesc în relaţia for ţei

134



maxime curenţii de scurtcircuit permanent cu valoarea curentului de şoc (k=1,8)obţinem for ţa maximă în regim tranzitoriu

• conductor central Fmax2=0.866C*1.82I2=2.8CI2 (4.78)• conductor lateral Fmax1=0.806C*1,82I2=2,6CI2

4.4.2.2. Conductoare aşezate in vârfurile unui triunghi echilateralConductoarele celor trei faze sunt situate în vârfurile unui triunghi

echilateral – fig. 4.15 for ţa electrodinamica care acţionează asupra fiecăruiconductor variază în timp nu numai ca mărime, ci şi ca orientare în spaţiu, într-un plan perpendicular pe conductoare .

Fig. 4.15 For ţe exercitate pentru conductoare aşezate în vârfurile unui triunghi echilateral

For ţa electrodinamică ce acţionează asupra conductorului 1, sub influenţaconductoarelor 2 şi 3 se determină cu:

312211 iCiiCi f += (4.79)

Proiectând vectorul pe cele doua axe rectangulare ale sistemului dereferinţa ales, rezultă:

1 F r

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+−=

−+−=

6/sin)]3/4sin()3/2[sin(sinˆ

6/cos)]3/4sin()3/2[sin(sinˆ

21

21

π π ω π ω ω

π π ω π ω ω

t t t I C f

t t t I C f

y

x (4.80)

sau, după dezvoltarea sinusurilor şi regruparea :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−−=

t I C f

t I C f

y

x

ω

ω

2sinˆ4

3

)2cos1(ˆ4

3

21

21

(4.81)

For ţa rezultantă va fi :

t I C f f f y x ω sinˆ23 22

12

11 ±=+±= (4.82)

135



cu precizarea că semnul minus se ia pentru valori negative ale lui sin ωt.Variaţia acestei for ţe, ca mărime si direcţie, este prezentată în figura 4.15

de unde se constata ca vectorul 1 F r

are punctul de aplicaţie în conductorul 1 şiextremitatea acestuia aluneca pe un cerc cu centrul pe axa orizontală şi cu

diametrul egal cu modulul for ţei maxime Deoarece fiecare conductor estesolicitat la fel, datorita condiţiilor identice în care se află în sistemul deconductoare, dar cu decalajul corespunzător în spaţiu si timp, se constată că asupra celor trei conductoare vor acţiona permanent for ţ e de respingere

variabile în timp şi spa ţ iu. Valoarea maximă a for ţei este identică cu cea dincazul aşezării coplanare a conductoarelor care acţionează asupra conductoruluimedian.Fmax=0.866CI2 respectiv for ţa maximă produsă de curentul descurtcircuit asimetric (de lovitur ă)

02

max1 805.2ˆ805.2 F I C F ==

Concluzii:• în curent alternativ monofazat, for ţele sunt variabile în timp şi solicită

conductoarele numai într-un singur sens;• în curent alternativ trifazat, cu conductoare coplanare, solicitările se produc

numai în planul conductoarelor, conductorul central fiind solicitat mai puternic în ambele sensuri, în mod egal; conductoarele marginale suntsolicitate mai ales spre exteriorul sistemului;

• în curent alternativ trifazat, cu conductoare aşezate în vârful unui triunghi

echilateral, for ţele variabile în timp şi spaţiu solicită toate conductoarele înmodul cel mai defavorabil.

4.5 STABILITATEA ELECTRODINAMICĂ A APARATELORELECTRICE

Calculul de rezistenţă mecanică al aparatelor electrice se face în bazasolicitărilor electrodinamice maxime. In circuitele trifazate se pot producescurtcircuite monofazate, bifazate şi trifazate; evident, barele conductoare decurent ale aparatelor electrice trebuie să reziste la solicitările electrodinamice

care se produc pentru oricare din cele trei posibilităţi de scurtcircuit.Capacitatea unui aparat electric de a rezista în bune condi ţ ii la toate

solicit ările produse de curen ţ ii de scurtcircuit se nume şte stabilitate dinamică;

ea este determinat ă de amplitudinea celui mai mare curent de scurtcircuit de

regim tranzitoriu pe care aparatul este în mă sura să îl suporte f ăr ă deterior ări

sensibile, putând să func ţ ioneze şi pe mai departe.Acest curent de valoare extremă ce caracterizează rezistenţa mecanică a

aparatului la solicitările electrodinamice maxime – practic măsura stabilităţiidinamice – se numeşte curent limita dinamic şi se exprimă în valori de vârf

(kAmax).Notă:

136



Valorile curentului limită termic (exprimat în kA) şi curentului limită dinamic (exprimat în kAmax) sunt indicaţii importante privind comportareaaparatului la curenţi de scurtcircuit.

Sub acţiunea for ţelor electrodinamice variabile în timp, conductoarele

elastice parcurse de curentul alternativ vibrează. Simultan cu aceste vibraţii(oscilaţii) for ţate din exterior, iau naştere in conductoarele fixate la ambelecapete oscilaţii proprii cu un număr infinit de armonici. Dacă frecventa deacţionare a for ţei electrodinamice coincide cu frecvenţa oscilaţiilor proprii aleconductoarelor, sistemul care vibrează intr ă în rezonan ţă mecanică.Rezonanţamecanică poate fi totală sau par ţială:• rezonanţa totală este cea mai periculoasă şi apare când frecvenţa for ţei

coincide perfect cu frecvenţa oscilaţiilor proprii dar şi valorile maxime,negative şi pozitive ale for ţei electrodinamice sunt egale în valoare absolută.

Practic, într-un circuit trifazat nu se poate produce rezonanţa totală, deoarecedefazarea între curenţii care se influenţează reciproc ar trebui să fie de 900.• rezonanţa par ţială este şi ea periculoasă şi se produce dacă nu sunt îndeplinite

condiţiile rezonanţei totale.Pentru evitarea rezonanţei mecanice se recomandă ca frecven ţ a

oscila ţ iilor proprii ale conductoarelor să fie inferioar ă frecven ţ ei fundamentale

a for ţ ei (100Hz), pentru a se exclude posibilitatea rezonanţei pe una dinarmonicele superioare ale for ţei perturbatoare.

Frecvenţa proprie se modifică prin schimbarea distanţei între supor ţiiconductoarelor sau folosirea unor conductoare cu momente de iner ţie diferite.

Aceste sisteme oscilează pe frecvenţa proprie în regim tranzitoriu ori decâte ori sunt solicitări electrodinamice în care for ţa electrodinamică ce oscilează cu frecvenţa de 100Hz este egală cu frecvenţa proprie a sistemului mecanic, faptce conduce la fenomene de rezonanţă. În acest caz, efortul la care-i supusconductorul şi izolatorul este mult mai mare decât efortul produs de curentul deşoc.

Din acest motiv este impetuos necesar să se determine relaţia dintre for ţadinamică şi cea statică ce solicită sistemul. Acest raport dintre for ţe este notat Vσ şi reprezintă factorul de solicitare. For ţa tăietoare statică se calculează în

punctele de sprijin ale conductoarelor cu relaţia Fst= F(t)/2 presupunând for ţauniform distribuită pe lungimea conductorului.

Pentru definirea coeficientului de solicitare trebuie determinată for ţadinamică în aceleaşi puncte de sprijin. Solicitarea la care-i supus izolatorul cesusţine conductorul este una statică produsă de for ţa statică şi una dinamică Ambele solicitări sunt dependente de tipul consolidării (prinderii) bareiconductoare . Sunt două metode standard de prindere [1]:

♦ bar ă încastrat ă unde solicitareaW

l F

12

⋅=σ (4.83)

137



♦ bar ă rezemat ă cu solicitareaW

l F

8

⋅=σ (4.84)

Figura 4.16 Bara elastica

Forta dinamica ce solicita bara elastica poate fi considerata de format F F o ω 2sin= (4.85)

Pentru determinarea for ţei dinamice ce solicită sistemul mecanic trebuierezolvată ecuaţia diferenţială a barei elastice excitată de for ţa electrodinamică

l

F

dx

yd EJ

dt

dy

dt

yd M =++

4

4

2

2

λ (4.86)

unde M-masa conductorului pe unitatea de lungimeJ-momentul de iner ţie în secţiune perpendicular ă pe axa conductoruluiE-modulul de elasticitateλ- coeficientul de atenuarey-poziţia unui punct de pe conductor faţă de poziţia de echilibrux- distanţa dintre punct şi reazăm

Termenii ce intervin în ecuaţia barei elastice reprezintă:• Md2y/dt2-for ţa de iner ţie pe unitatea de lungime• λdy/dt- for ţa de frecare vâscoasă pe unitatea de lungime

•

EJd4y/dx4 – for ţ a elastică rezultată din deformarea barei

Ecuaţia deformării elastice rezolvată prin metoda separ ării variabilelordescompune soluţia în produsul a două funcţii; una T(t) cu dependenţa de timp,iar a doua F(x) cu dependenţă de coordonata spaţială , legate prin coeficientulvalorilor proprii sk .

Frecvenţa proprie de rezonanţă a barei este dată[2] de relaţia

M

EJ

p

sk ok 2

2

=ω (4.87)

unde p este distanta dintre suportii de prindere.

138



În cazul în care frecvenţa de rezonanţă sau pulsaţia este egală cu dublul pulsaţiei curentului se produc solicitări maxime (rezonanţă):

ωok =2ω (4.88)Relatia (4.87) poate fi pusa sub forma :

R p

M

EJ p sk ==

4 32

10ω

Funcţia p/R ce rezultă din relatia (4.89) cu impunerea coeficientul valorilor proprii sk permite determinarea factorul de solicitare astfel incat distanţa pdintre punctele de razăm să nu apar ţină zonei de rezonanţă conform figurii 4.17Coeficientul valorilor proprii este funcţie de tipul consolidării barei avândvaloarea :

•

sk =(2k+1)π /2 pentru bara încastrat ă şi• s =2k π /2 pentru bara rezemat ă , unde k este rangul rezonanteik

Fig. 4.17 Factorul de solicitare

4.6. Exemplu de calcul

Calculul forţelor in tablouri si instalaţii electrice presupune

139



• Definirea datelor problemei ce constau în

o Dimensiunile conductoarelor ,lungime ,lăţime , grosimeo Numărul de conductoare pe faza no Determinarea curentului de scurtcircuit in kAo Definirea tipului de scurtcircuit bifazat ori trifazato

Distanţa dintre faze dfph ;o Tipul prinderii barelor în tablou ;

o Solicitarea maximă admisă a barelor : Pentru aluminiu σAl=125 106 N/m2; Pentru cupru σCu=250 106 N/m2;

o

Solicitarea limită ( N/m2) a supor ţilor de prindere a barelor şi secţiunii acestora(m2)

• Calculul for ţelor la care sunt supuse conductoarele unei faze ,

o For ţa pe unitatea de lungime cu celelalte două faze este: F1/l=0,87 2 10-7 K 1(2,2Isc)21/dfph K 1-coeficientul Dwigh dependent de K 1=f ((h,d phl’)

2,2 –coeficient ce provine din k soc 2

l’-lungime echivalenta pe fază o For ţe între conductoarele aceleiaşi faze este

F2/l= Σ F2 1-I=Σ 0,87 2 10-7 K 2 (2,2Isc/n)21/dK 2- coeficientul Dwigh dependent de K 2=f ((a,b,d’),n- nr bare pe fază,d- distanţa între conductoare

• Calculul distanţei dintre supor ţi bazat pe solicitarea maximă la care este supusă bara

se face cu relaţiile:

σ= σ1+ σ2 =oW

d l F

W

d l F

8

)/(

8

)/( 2

1122

2

111 β β + =1,5σ baracu β=0,75 pentru

bar ă încastrată , β=0,5 pentru bar ă rezemată Wo modulul derezistenţă al barei respectiv W ansamblului de bare pe fază

• Calculul distanţei dintre supor ţi bazat pe solicitarea maximă la care-i supus suportul

se face cu relaţia d2= (σsSs)/(αF1/l) .

Datele problemei

Bare din cupru cu a=5mm b=100 mmrezemate 3 bare pe faza n=35mm între barele aceleiaşi fazed’=10mm

Relaţii de calcul

140



distanţa dintre faze d ph=95 mmcurent de scurtcircuit (valoare efectivă )Isc=80KArezistenţa barei σCu=250 106 N/m2

rezistenţa suportului σ s=100 106 N/m2

secţiunea suportului Ss=150 10-6 m2

Sistemul de bare

Calculul for ţelor asupra conductoruluilateral

-între fazeF1/l=0,87 2 10-7 K 1(2,2Isc)21/dfph

K 1-coeficientul Dwigh funcţie de (b/2n-1, l’, d ph/2n-1)= (100/5, 5, 95/5) = 0,873- între conductoarele aceleiaşi faze

F2/l= Σ F2 1-I=Σ 0,87 2 10-7 K 2 (2,2Isc/n)21/d’K 2- coeficientul Dwigh dependent deK 2=f ((a,b,d’)K 2-1,2=(100/5, 10/5)=0,248K 2-1-3=(100/5, 20/5)=0,419

F1/l=0,87 2 10-7 0,873(2,2 80

103 )2 1/95 10-3 =49530 N/m=4953 daN/m

F2/l=0,87 2 10-7 (2,2 80 103/3)2 (0,248/10 10-3 +0,419/2010-3) =31490 N/m =3149daN/m

Calculul distanţei dintre suporţi • bazat pe solicitarea maximă a

barei

σ= σ1+ σ2 =

oW

d l F

W

d l F

8

)/(

8

)/( 2

1122

2

111 β β + =1,5σ b

d12=1,5σ b/(

oW

l F

W

l F

8

)/(

8

)/( 12211 β β + )

cu β1=0,5 , β2=0,5 pentru bararezemată

Wo=ba2/6=4,2 10-7 m3 modulul derezistenţă al bareiWo=1,25 10-6 m3 modulul de rezistenţă alansamblului de bare pe fază

d12=1,5 250 106

/(76 102,48

)31490(5,0

1025,18

)49530(5,0−− ⋅⋅

+⋅⋅

)

=0,229m

Calculul distanţei dintre suporţi • bazat pe solicitarea maximă la

care e supus suportul d2= (σsSs)/(αF1/l) α=0,5 d2=100 106 150 10-6/(0,5

49530)=0,604 m

Distanţa reală se alege ca valoare d=229mm

141



minimă între d1 si d2

Cap IV Forte Electrodinamice

Documents

Transcript of Cap IV Forte Electrodinamice