3

2. FORE ELECTRODINAMICE I ELECTROMAGNETICE

n aparatele electrice parcurse de cureni mari apar pe lng solicitrile termice, studiate n capitolul anterior, i solicitri mecanice datorate forelor electrodinamice sau electromagnetice. Forele electrodinamice acioneaz asupra conductoarelor parcurse de cureni, ca rezultat al interaciunii dintre cureni i cmpurile magnetice create de ali curenii electrici. Aciunea acestor fore devine important n special n cazul curenilor de scurtcircuit, solicitnd conductoarele, barele i izolatoarele la solicitri de tipul for tietoare i momente ncovoietoare, care pot da natere la avarii grave n instalaiile electrice. De aceea, de aceste fore trebuie s se in seama la construcia aparatelor i echipamentelor electrice pentru a asigura stabilitatea lor mecanic.

Forele electromagnetice apar datorit variaiei energiei magnetice prin intereaciunea dintre curenii electrici i corpurile feromagnetice.

Principalele metode folosite la calculul forelor electrodinamice i electromagnetice sunt:

metoda bazat pe formula lui Biot-Savart-Laplace;

metoda bazat pe teoremele forelor generalizate i aprecierea variaiei energiei magnetice;

metoda bazat pe calculul tensiunilor maxwelliene n cmp magnetic (metod folosit n special n cazul contactelor electrice).

Pentru calculul forelor electrodinamice se poate folosi expresia forei Laplace:

(2.1)

a crei modul are exprresia:

dF=iBdlsin((2.2)

Semnificaia mrimilor din relaiile (2.1) i (2.2) este dat n figura 2.1.

n figura 2.1 s-a notat cu unghiul dintre inducia magnetic B i versorul al circuitului parcurs de curentul i , iar cu dF fora elementar Laplace corespunztoare poriunii de circuit dl. Fora total ce acioneaz asupra ntregului circuit de lungime l se obine prin integrarea lui dF:

[N](2.3)

Figura 2.1 Explicativ pentru calculul forei Laplace.

Pentru a putea calcula fora Laplace trebuie s calculm inducia magnetic B, ceea ce se poate realiza cu formula lui Biot-Savart-Laplace. Pentru a calcula intensitatea cmpului magnetic elementar dH n punctul M, caracterizat prin vectorul de poziie, de poriunea infinitezimal de circui filiform dl, parcurs de curentul i, folosim formula:

(2.4)

Modulul cmpului magnetic elementar va fi:

(2.5)

n figura 2.2 sunt explicate mrimile ce intervin n formula lui Biot-Savart-Laplace.

Figura 2.2. Explicativ la formula lui Biot-Savart-Laplace.

n formula (2.5) ( este unghiul format de vectorii (versorul circuitului parcurs de curentul i) i vectorul de poziie a punctului M. S-a notat cu

0=4(107[H/m] , permeabilitatea magnetic a vidului.

innd cont de Legea legturii dintre B, H i M, rezult c modulul induciei magnetice B n punctul M, va fi:

(2.6)

Pe baza formulei (2.6) se poate calcula analitic inducia magnetic B n fiecare punct al conductorului. Metoda se recomand n cazul conductoarelor de form simpl (conductoare paralele, conductoare perpendiculare, etc.).

Pentru a calcula fora exercitat de un ntreg circuit C1, de lungime l1, asupra poriunii elementare de circiut dl2 se integreaz relaia (2.6):

(2.7)

n figura 2.3 sunt prezentate mrimile ce intervin n calculul forei elementare dF.

Figura 2.3 Explicativ pentru calculul forei electrodinamice cu formula lui

Biot-Savart-Laplace.

Fora total ce acioneaz ntre circuitele C1 i C2 se obine prin integrarea forei elementare dF dea lungul conductorului filiform C2. Se obine expresia:

(2.8)

n relaia (2.8) s-a notat cu C, coeficientul de contur al circuitelor C1 i C2 care depinde doar de configuraia geometric i de poziionarea celor dou circuite.

Dac considerm medii masive sau ansambluri de circuite parcurse de cureni, pentru care cunoatem energia magnetic, putem calcula forele electrodinamice sau electromagnetice pe baza Teoremelor forelor generalizate.

Considerm un sistem de n circuite cuplate magnetic i parcurse de curenii i1in. Energia magnetic nmagazineaz n sistemul de n circuite este:

(2.9)

Fluxurile care strbat suprafeele limitate de contururile circuitelor sunt legate de cureni prin inductivitile proprii i mutuale, conform relaiilor lui Maxwell:

(k(p)(2.10)

Am fcut notaiile:

Lk inductivitatea proprie a circuitului k,

Mkp inductivitatea mutual a circuitelor k i p.

nlocuind pe (2.10) n (2.9) rezult:

(2.11)

Conform Teoremei forelor generalizate, fora generalizat F, la curent constant, este:

(2.12)

La flux constant fora generalizat va fi:

(2.13)

n Teoremele forelor generalizate Fx este o for dac coordonata generalizat x este o coordonat liniar, i este un moment dac coordonata generalizat este un unghi.

Relaiile (2.12) i (2.13) in seama de variaia inductivitilor propri i mutuale, n raport cu coordonata generalizat x. Aceste relaii se folosesc n aplicaiile n care inductivitile proprii i mutuale sunt cunoscute sub form analitic:

Astfel dac dorim s calculm fora ce acioneaz ntre dou bobine cuplate magnetic pornim de la expresia energiei magnetice (2.10) particularizat pentru dou circuite :

(2.14)

Aplicnd teorema de reciprocitate a circuitelor electrice cuplate magnetic, rezult:

M12=M21=M(2.15)

Relaia (2.14) devine:

(2.16)

Considernd curenii independeni de deformaia circuitelor (i1=i2=ct.), relaia (2.12) devine:

(2.17)

n aceast relaiei primii doi termeni reprezint forele interne din fiecare circuit, iar ultimul termen reprezint fora de interaciune dintre cele dou sisteme.

2.1. Calculul forelor electrodinamice n regim staionar.

n regim staionar curenii ce parcurg circuitele electrice sunt constani i deci forele electromagnetice sunt invariabile n timp. Pentru calcularea acestor fore putem utiliza una din metodele descrise anterior.

Cele mai reprezentative cazuri de fore electrodinamice sunt cele dintre conductoare a cror dimensiune liniar transversal este neglijabil n raport cu lungimea lor i cu distana dintre ele (conductoare filiforme). Determinarea acestor fore, ca mrime i punct de aplicaie, este posibil utiliznd o metod grafoanalitic, care face ipoteza simplificatoare c se poate izola poriunea din circuit corespunztoare celor dou conductoare.

2.1.1. Fora electrodinamoic dintre conductoare drepte i coplanare.

Considerm dou conductoare filiforme, rectilinii i coplanare prezentate n figura 2.4, parcurse de curenii i1 i i2 i care fac ntre ele un unghi oarecare. Aplicnd metoda de calcul bazat pe teorema lui BiotSavartLaplace, inducia magnetic n punctul Pk (n care se afl elementul infinitezimal dl2) determinat de elementul de curent i1dy se calculeaz conform relaiei (2.6):

(2.18)

Fora care se exercit asupra elementului de circuit dl2 sub influena elementului de curent dy parcurs de curentul i1, se determin conform (2.2), cu observaia c elementul dl2 i inducia dBk sunt perpendiculare i deci sin(=1, rezult:

(2.19)

n figura 2.4 sunt prezentate mrimile ce intervin n relaiile (2.18) i (2.19) Din figur rezult c:

; rezult

(2.20)

nlocuind relaiile (2.20) n relaia (3.19) se determin fora elementar:

(2.21)

Figura 2.4. Determinarea forelor dintre dou conductoare rectilinii i coplanare.

Fora determinat de ntreg circuitul parcurs de curentul i1, asupra elementului dl2 va fi:

(2.22)

(2.23)

Notnd fora pe unitatea de lungime (numit fora specific) cu fk, rezult:

[N/m](2.24)

Prescurtat relaia (2.24) se poate scrie:

fk=(C(2.25)

S-au fcut notaiile:

mrimea

(2.26)

se numete factorul de curent a circuitelor, i depinde doar de curenii ce interacioneaz electrodinamic i de permeabilitatea magnetic a mediului.

mrimea

(2.27)

se numete factorul de contur al circuitelor electrice, i depinde de parametrii geometrici ai circiutelor electrice.

Pe baza formulei (2.25) i al factorilor de contur dai n literatura de specialitate, se pot calcula relativ uor forele electrodinamice ce rezult din interaciunea unor conductoare coplanare, rectilinii i filiforme.

Figura 2.5. Determinarea forei electrodinamice rezultante printr-o metod grafo-analitic.

Pentru a calcula fora total ce acioneaz asupra conductorului parcurs de curentul i2 i datorate curentului i1 putem folosi o metod grafo-analitic (sau echivalentul ei numeric). Astfel n figura 2.5. sau reprezentat forele specifice corespunztoare punctelor de abscis xi, plasate pe conductorul 2 i calculate cu ajutorul relaiei (2.23).

Pentru determinarea forei rezultante F12 care acioneaz asupra conductorului 2, se unesc vrfurile segmentelor fk ce reprezint la scar forele specifice i se obine o suprafa de arie A. Fora electrodinamic rezultant F12 se calculeaz prin planimetrarea ariei A i este orientat perpendicular pe conductor, Punctul de aplicaie al forei este centrul de greutate al suprafeei de arie A.

Rezult c fora exercitat de conductorul 1 asupra conductorului 2, notat cu F12 va avea expresia:

F12=XYA(2.28)

Am notat cu X scara forelor specifice [N/m1/m] i cu Y scara lungimilor [m/m]. Aria planimetrat A [m2] este aria forelor specifice.

2.1.2. Fora electrodinamic dintre conductoare drepte i paralele.

Cel mai des ntlnit caz n aplicaiile tehnice este cazul conductoarelor drepte, plan paralele i de lungime considerat infinit. n figura 2.6 am reprezentat dou conductoare t filiforme i paralele de lungime egal cu 1, situate fa n fa i parcurse de acelai curent i.

Figura 2.6. Determinarea forelor electrodinamice dintre conductoare paralele

Conform relaiei (2.24) i considernd c x=a=ct., rezult:

(2.29)

Din figura 2.6 rezult:

(2.30)

(2.31)

nlocuind relaiile (2.30) i (2.31) n relaia (2.29) se obine expresia forei specifice sub forma:

(2.32)

Fora total care acioneaz asupra conductorului 2, se obine prin integrarea relaiei (2.32):

(2.33)

(2.34)

(2.35)

Rezult fora specific expresia:

(2.36)

Factorul de corecie este:

(2.37)

n cazul conductoarelor de lungime infinit (1>>a), fora specific se poate calcula innd cont c factorul de corecie devine:

(2.38)

Fota specific va fi:

(2.39)

n cazul n care distana dintre conductoare este comparabil cu diametrul conductoarelor (adic numai putem considera conductoarele filiforme) fora de interaciune dintre acestea se poate calcula pe baza Teoremelor forelor generalizate. Considerm dou conductoare paralele, drepte, cu seciune circular de raz r, prezentate n figura 2.7.

Fora de interaciune se determin cu ajutorul teoremei forelor generalizate, pornind.de la expresia inductivitii mutuale dintre cele dou conductoare.

Figura 2.7. Conductoare paralele, drepte, finite de seciune circular.

Pornind de la expresia inductivitii unui circuit format din dou conductoa-re paralele de lungime 1, de diametru 2r i distana dintre conductoare a:

[H](2.40)

Aplicnd relaia (2.12) rezult:

(2.41)

2.1.3. Fore electrodinamice n circuite cu configuraie complex.

Pentru cazul unor conductoare perpendiculare, filiforme i de lungime finit ca cele din figura 2.8 calcularea forelor electrodinamice se va face n ipotezele:

Figura 2.8. Cazul conductoarelor perpendiculare.

(2=(/2 i deci cos (2=0(2.42)

(2.43)

innd cont de relaia (2.24) obinem:

(2.44)

Fora specific este prezentat n figura 2.8, iar fora total se obine prin integrarea grafoanalitic sau numeric a forei specifice.

Pentru circuitele cu o configuraie complex, formate din mai multe conductoare, calcularea forelor de interaciune dintre acestea se face pe baza principiului suprapunerii efectelor (principiul superpoziiei).

Pentru exemplificare considerm cazul cilor de curent ale unui ntreruptor care sunt prezentate n figura 2.9. Precizm c aplicarea principiului suprapunerii efectelor este condiionat de liniaritatea fenomenelor studiate. n figura 2.9 sa desenat att calea de curent a ntreruptorului ct i forele specifice pentru fiecare segment al cii de curent, care se afl n cmpul magnetic al celorlalte conductoare parcurse de acelai curent i. Reprezentnd forele specifice determinate de aciunea conductoarelor paralele 1 i 2 i cele determinate de aciunea conductoarelor perpendiculare 1 i 3, respectiv 2 i 3. Conform figurii 2.9 i prin nsumare se obin forele specifice rezultante asupra celor trei conductoare f1, f2 respectiv f3. Pentru a obine forele totale F1, F2 i F3 se integrez grafoanalitic sau numeric forele specifice (eventual prin metoda de planimetrare prezentat n figura 2.5).

Figura 2.9. Aplicarea principiului suprapunerii efectelor n cazul cilor de curent ale unui ntreruptor.

Se observ c forele maxime se exercit la locurile de atingere a contactelor i n articulaii. De acest lucru trebuie s se in seama la dimensionarea resoartelor ce asigur presiunea pe contacte, la dimensionarea articulaiilor i a mbinrilor lipite i sudate.

2.1.4. Fore electromagnetice n apropierea pereilor feromagnetici.

Conductoarele aparatelor electrice se afl de multe ori n apropierea unor perei din materiale feromagnetice fiind supuse fenomenului de atracie exercitat de acetia. Acest fenomen (denumit efect de proximitate) se explic prin aceia c fluxul magnetic crete prin micorarea reluctanelor, adic prin micorarea distanei dintre conductor i perete. Acest fenomen are numeroase aplicaii tehnice, dintre care n domeniul aparatelor electrice amintim: stingerea arcului electric n camerele de stingere, construcia barelor de conexiune i a celulelor de nalt tensiune, etc.

Considerm un conductor drept plasat paralel cu un perete feromagnetic, la distana a i parcurs de curentul i. Reprezentarea grafic a conductorului este cea din figura 2.10. Valoarea i sensul forei care acioneaz asupra conductorului aflat n vecintatea peretelui feromagnetic poate fi determinat cu ajutorul metodei imaginilor electrice (imagini conforme). Conform acestei metode, peretele se echivaleaz cu un conductor imagine parcurs de acelai curent ca i conductorul real i situat la aceeai distan fa de suprafaa peretelui.

Figura 2.10. Interaciunea unui conductor cu un perete feromagnetic

Conform relaiei (2.38), n cazul n care conductoarele sunt considerate filiforme i infinite, fora specific se calculeaz cu formula:

(2.45)

Dac lum n considerare i diametrul (d=2r) al conductorului, conform (2.41) rezult:

(2.46)

Fora rezultant F ce acioneaz asupra conductorului de lungime l, este n sensul de a micora distana dintre conductor i perete. Datorit atraciei exercitate de pereii feromagnetici, conductoarele parcurse de cureni se ancoreaz puternic pentru a rezista la forele electrodinamice. n cazul ntreruptoarelor, transformatoarelor i al staiilor electrice trebuie s se in cont de forele feromagnetice ce apar n special n regim de scurtcircuit.

2.1.5. Fore electromagnetice n nie feromagnetice.

Interaciunea dintre corpurile feromagnetice i conductoarele parcurse de curent, adic forele electromagnetice, se manifest intens i n cazul nielor feromagnetice.

Astfel n cazul unui conductor plasat ntro ni feromagnetic de form dreptunghiular (figura 2.11), aproximnd permeabilitatea magnetic a materialului feromagnetic ca fiind infinit (adic liniile de flux magnetic sunt perpendiculare pe perete), rezult c fluxul magnetic ce se nchide numai prin aria A=lx, se poate calcula cu relaia:

(2.47)

Expresia reluctanei magnetice a fluxului este:

(2.48)

Figura 2.11. Conductor plasat ntro ni feromagnetic de seciune dreptunghiular.

Rezult c fluxul magnetic este:

(2.49)

Energia magnetic este:

(2.50)

Aplicnd Teorema forelor generalizante dat de relaia (2.12), rezult:

(2.51)

Fora calculat cu relaia (2.51) tinde s mping conductorul n ni i nu depinde de poziia conductorului n nia feromagnetic.

Dac nia este de seciune triunghiular, ca cea prezentatn figura 2.12 calcularea forei electromagnetice se face n mod analog. Pentru nia de form triunghiular pre-zentat n figura 2.12, cu notaiile din figur se consider o reluctan medie la distana x:

(2.52)

Rezult pentru fluxul magnetic expresia:

(2.53)

Figura 2.12. Conductor plasat ntro ni feromagnetic de seciune triunghiular.

Deoarece:

(2.54)

Rezult:

(2.55)

(2.56)

Energia magnetic se poate calcula cu expresia:

(2.57)

Aplicarea Teorema forelor generalizate:

(2.58)

Rezult:

(2.59)

Relaia (2.59) arat c fora nu mai este constant, ea crete pe msur ce x crete, adic pe msur ce conductorul se apropie de fundul niei, ceea ce este foarte avantajos n cazul stingerii arcului electric (efectul de ni).

Efectul de ni este utilizat n construcia camerelor de stingere cu efect de ni, n scopul atrageri arcului electric n ni i al deionizrii prin rcire n contact cu pereii reci ai camerei de stingere. Din cele prezentate rezult c se prefer n cazul camerelor de stingere niele triunghiulare formate din plcue feromagnetice suprapuse.

2.1.6. Forele electrodinamice n bobine.

Forele electrodinamice care apar n interiorul bobinelor sunt se exercit ntro spir, ntre spire sau ntre bobine i se determin din Teoremele forelor generalizate cnd se cunosc expresiile analitice ale inductivitilor proprii i mutuale ale acestora.

Pentru a calcula fora exercitat asupra unei spire parcurse de curent n figura 2.13 se reprezint o spir circular de raz R, executat dintrun conductor de raz r. Fora electrodinamic radial, uniform repartizat dea lungul spirei, se determin conform relaiei (2.12) astfel:

(2.60)

Figura 2.13. Calcularea forei exercitate asupra unei spire circulare.

Deoarece rr), situate la distana a i parcurse de curenii variabili n timp i1(t) i i2(t).

Fora specific va fi n acest caz:

(2.71)

n cazul curenilor variabili n timp intereseaz pe lng repartiia spaial a forelor specifice i variaia n timp a acestor fore.

n cazul cnd cele dou conductoare paralele sunt strbtute de acelai curent aperiodic i(t) de forma:

(2.72)

S-a notat cu T=L/R este constant electric de timp a circuitului.

Rezult c fora specific variabil n timp este:

(2.73)

n electroenergetic se folosete noiunea de for specific pe unitatea de lungime i curent (, cu ajutorul creia se poate exprima n mod concis fora ce acioneaz ntre conductoare.

(2.74)

Expresia forei variabile n timp are astfel expresia:

(2.75)

Deoarece curentul aperiodic descris de relaia (2.73) este amortizat i tinde spre zero (cnd t=() rezult c valoarea maxim aforei este valoarea iniial:

fmax=(I2(2.76)

2.2.1. Forele electrodinamice n curent alternativ monofazat

n conductoarele folosite la distribuia i transportul energiei electrice n regim monofazat, ntre conductoare, apar fore electromagnetice att n regim nominal ct i n regim de scurtcircuit. Forele sunt cu att mai importante cu ct amperajul este mai mare, i devin cu adevrat periculoase n cazul scurtcircuitelor violente, cnd solicitrile macanice pot provoca avarii grave. Spre deosebire de solicitrile termice care au un caracter cumulativ, solicitrile electrodinamice depind de valoarea momentan a curenilor.

Pentru dou conductoare rectilinii, paralele, de lungime infinit (l>>r), parcurse de acelai curent monofazat:

(2.77)

n relaia (2.77) I este valoarea efectiv a curentului monofazat.

Rezult c fora specific ce acioneaz ntre conductoare, conform relaiei (2.71) va fi :

f=2(I2sin2(t(2.78)

Am notat cu fora specific pe unitatea de lungime i curent, conform relaiei (2.74). Valoarea maxim a acestei fore va fi:

fm=2(I2(2.79)

Deoarece:

sin2(t=(1cos2(t)/2(2.80)

Figura 2.15. Fora specific n conductoare parcurse de curentul alternativ monofazat n regim nominal.

Rezult c fora specific se poate scrie:

(2.81)

Reprezentnd grafic fora descris de relaia (2.81) n figura 2.15, rezult c fora specific f, variaz cu o frecven dubl fa de frecvena curentului i se poate descompune ntro component constant fc=fm/2 i o component variabil

fv=fm/2cos2(t. Se constat c fora f este pulsatorie, adic variaz ntre zero i valoarea fm, cu frecven dubl fa de curent, avnd merau acelai sens.

Valoarea medie a forei se obine prin integrarea pe o perioad, a valorii momentane a forei specifice:

(2.82)

(2.83)

Rezult c valoarea medie a forei este proporional cu ptratul valorii efective a curentului monofazat i cu fora specific pe unitatea de lungime i curent.

n regim nominal forele electrodinamice nu pericliteaz stabilitatea mecanic a conductoarelor, dar n regim de scurtcircuit ele pot avea valori apreciabile. Rezult c este de cea mai mare importan calcularea forelor electrodinamice n cazul curenilor de scurtcircuit. n cazul regimului de scurtcirciut cea mai mare solicitare mecanic apare la nceputul procesului tranzitoriu, cnd se produce ocul de curent.

Lund n considerare cazul cel mai defavorabil, cnd scurtcircuitul se produce n momentul n care curentul are valoarea maxim rezult :

(2.84)

S-au fcut notaiile:

Ip=U/Zsc valoarea efectiv a componentei periodice a curentului de scurtcircuit de durat;

Ta=L/R constanta de timp a componentei aperiodice, adic inversa coeficientului de amortizare (se consider ca valoare uzual Ta= 1/22s).

Valoarea momentan maxim a curentului, numit curent de oc (de lovitur) se obine pentru (t=( i are valoarea:

(2.85)

Se definete coeficientul de oc al curentului de scurtcircuit:

(2.86)

ca fiind raportul dintre valoarea momentan maxim a curentului de scurtcircuit (datorat componentei aperiodice a acestuia) i valoarea de vrf a curentului de scurtcircuit permanent.

Coeficientul de oc depinde de puterea instalaiei i pentru Ta=1/22[s] are valoarea ks=1,8.

Fora electrodinamic specific n regim de scurtcircuit este:

(2.87)

(2.88)

Se observ c fora specific n regim de scurtcircuit are o component aperiodic amortizat (cu o constant de amortizare dubl fa de cea a curentului), o component periodic amortizat (de aceai frecven cu curentul), o component constant i o component periodic neamortizat de frecven dubl fa de frecvena curentului. i este

Figura 2.16. Fora specific i curentul n cazul curentului de scurtcircuit monofazat

Cea mai mare valoare a forei apare dup o semiperioad de la nceputul scurtcircuitului (cnd cost=1) i are valoarea:

(2.89)

Datorit ocului de curent amplitudinea forei este de 3,25 ori mai mare dect n regimul de scurtciruit de durat, adic datorit componentei aperiodice a curentului de scurtcircuit, valoarea de vrf (de oc) a forei este de 3,25 ori mai mare.

Conform reprezentrii forei din figura 2.16 se poate constata c fora electrodinamic, n cazul curentului de scurtcircuit, este o mrime pulsatorie, cu pulsaii inegale n regim tranzitoriu i cu pulsaii egale n regim permanent, de frecven dubl fa de cea a curentului alternativ.

Se poate observa c n curent alternativ monofazat forele electrodinamice sunt mai periculoase dect n curent continuu. Mai ales n regim de scurtcircuit, datorit valorilor maxime de oc, fora valabil n timp, vibraii ale sistemului asupra cruia acioneaz, i poate duce la distrugerea mecanic a suporturilor conductoarelor.

2.2.2. Forele electrodinamice n curent alternativ trifazat.

n cazul circuitelor trifazate, deoarece curenii care parcurg cele trei conductoare ale fazelor sunt defazai n timp, solicitrile mecanice ale conductoarelor vor fi, iar n regim de scurtcircuit pot fi periculoase.

Din punctul de vedere al poziionrii conductoarelor cele mai frecvent ntlnite cazuri sunt:

conductoarele paralele i coplanare;

conductoare paralele, plasate n vrfurile unui echilateral.

2.2.2.1. Forele electrodinamice ntr-un sistem trifazat, de conductoare paralele i coplanare, n regim nominal.

Cazul conductoarelor paralele i coplanare este prezentat n figura 2.17. Convenia de semne pentru forele care se exercit asupra conductoarelor, este cea din figura 2.17. Valorile momentane ale curenilor trifazai, n regim nominal sunt:

(2.90)

(2.91)

(2.92)

Forele specifice pe unitatea de lungime i curent, conform figurii 2.17, sunt:

(2.93)

(2.94)

Figura 2.17. Calculul forelor electrodinamice ntre conductoare plan paralele.

Fora care se exercit asupra conductorului A, determinat de aciunea curenilor din conductoarele B i C rezult conform relaiei (2.71):

fA=(ABiAiB((ACiAiC(2.95)

(2.96)

nlocuind n (2.96) expresia curenilor trifazai, rezult succesiv:

(2.97) (2.98)

(2.99)

Se constat c aceast for se anuleaz pentru (t=0 i (t=5(/6, iar valoarea maxim negativ se obine pentru (t=5(/12 i are valoarea:

fAmr=1,616(I2(2.100)

Valoarea maxim pozitiv se obine pentru (t= (/12 i are valoarea:

fAma=0,116(I2(2.101)

n figura 2.18 s-a reprezentat grafic variaia n timp a forei ce acioneaz asupra conductorului A.

n mod analog, pentru conductorul C, fora specific se calculeaz astfel:

fC=(ACiAiC(BCiBiC(2.102)

(2.103)

(2.104)

n figura 2.18 este prezentat grafic variaia n timp a forei specifice ce acioneaz asupra conductorului C. Rezult c aceast for se anuleaz pentru (t=(/3 i (t=(/2, i are valoarea maxim pozitiv pentru (t=(/12.

Valoarea maxim pozitiv a forei are valoarea:

fCmr=1,616(I2(2.105)

Fora maxim negativ se obine pentru (t=5(/12 i are valoarea:

fCma=0,116(I2(2.106)

Se constat c aciunea dominant a forei este de a mpinge conductoarele laterale spre exteriorul sistemului, adic avem fore preponderent de respingere.

Fora care acioneaz asupra conductorului central B este:

fB=(BCiBiC(BAiBiA=(iB(iCiA)(2.107)

Prin nlocuirea expresiei curenilor trifazai se obine:

(2.108)

Aceast for se anuleaz pentru (t=(/6 i (t=2(/3, iar valoarea maxim pozitiv se obine pentru (t=5(/12, i are expresia:

fBmp=1,73(I2(2.109)

Valoarea maxim negativ se obine pentru (t=(/12, i are expresia:

fBmn=1,73(I2(2.110)

Figura 2.18. Valoarea momentan a forelor specifice exercitate asupra conductoarelor paralele i coplanare parcurse de cureni trifazai nominali.

n figura 2.18 am reprezentat variaia forei specifice momentane care acioneaz asupra conductorului B din mijloc, rezultnd c el este solicitat simetric, n ambele sensuri cu fore mai mari dect forele ce acioneaz asupra conductoarelor laterale.

Din analiza reprezentrilor forelor electrodinamice din figura 2.18, rezult c din punct de vedere al solicitrilor medii conductoarele laterale sunt solicitate mai periculos, spre exteriorul sistemului, iar din punct de vedere al solicitrilor instantanee maxime conductorul central este solicitat la o for maxim mai mare.

Dac n regim nominal solicitrile electrodinamice nu sunt n general periculoase, n schimb n regim de scurtcircuit, componenta aperiodic va conduce la valorii foarte mari ale forelor maxime, iar variaia forei n timp va depinde de momentul producerii scurtcircuitului.

2.2.2.2. Forele electrodinamice ntr-un sistem trifazat, de conductoare paralele i coplanare, n regim de scurtcircuit.

Cazul cel mai defavorabil, din punctul de vedere al solicitrilor electrodinamice a conductoarelor trifazate, are loc n regim de scurtcircuit, n cazul cnd mcar unul din cureni are valoare maxim n momentul producerii scurtcircuitului. Pentru calculul forelor n acest regim pornim de la expresiile curenilor de scurtcircuit n cele trei conductoare, scrise sub forma:

(2.111)

(2.112)

(2.113)

Expresiile care se obin pentru forele specifice evideniaz faptul c acestea depind att de momentul producerii scurtcircuitului (defazajul iniial () ct i de timp. Calculul acestor fore este relativ laborios, dar similar regimului nominal. Cea mai mare valoare a forei este, ca i n cazul curentului de scurtcircuit monofazat de 3,25 ori mai mare dect amplitudinea forei n regimul de scurtcircuit de durat. De aceast for important trebuie s se in seama la calculul stabilitii mecanice a conductoarelor i a dispozitivelor de susinere.

Pentru conductoarele laterale valoarea maxim a forei n regim de scurtcircuit are expresia:

fmax.sc=3,251,616(Ip2=5,252(Ip2(2.114)

n cazul conductorului central valoarea maxim a forei n regim de scurtcircuit este:

fmax.sc=3,251,73(Ip2=5,625(Ip2(2.115)

Forele din relaiile (2.114) i (2.115) stau la baza proiectrii elementelor de susinere a conductoarelor i a izolatoarelor.

2.2.2.3. Forele electrodinamice ntr-un sistem trifazat, de conductoare plasate n vrfurile unui triunghi echilateral, n regim nominal.

n cazul conductoarelor trifazate aezate n vrfurile unui triunghi echilateral ca cele prezentate n figura2.19 are loc o simetrizare a impedanelor pe cele trei faze, asigurnd inductiviti proprii i mutuale egale pentru fiecare din cele trei conductoare. Aceast poziionare a conductoarelor se ntlnete frecvent n cazul cablurilor trifazate de for i a liniilor electrice aeriene. Considernd expresiile curenilor n regim nominal date de relaiile (2.90)...(2.92) i innd cont de forele specifice pe unitatea de lungime i curent rezult:

(2.116)

Forele specifice se calculeaz cu relaiile:

(2.117)

Figura 2.19. Calculul forelor electrodinamice pentru conductoare poziionate

n vrfurile unui triunghi echilateral.

Conform figurii 2.19 rezult c componentele forei ce acioneaz asupra conductorului A sunt:

(2.118)

(2.119)

fAB=(iAiB(2.120)

fAC=(iAiC(2.121)

Rezult pentru componentele forelor specifice dup direciile x i y ale sistemului cartezian de axe, expresiile:

(2.122)

(2.123)

(2.124)

(2.125)

(2.126)

(2.127)

Fora rezultat va fi:

(2.128)

(2.129)

Sensul pozitiv pentru fore este cel din figura 2.19. Variaia forei ce acioneaz asupra conductorului A (vectorul fA) este ca mrime i direcie reprezentat n figura 2.19, cu punctul de aplicaie n punctul A i a crui extremitate alunec pe cercul cu diametru egal cu i cu centrul pe axa x. Deoarece fiecare conductor din sistemul considerat se afl n condiii identice fa de aciunea celorlalte dou conductoare, n mod analog cu conductorul A vor fi solicitate i conductoarele B i C, ns cu decalate corespunztor n timp i spaiu. Astfel asupra celor trei conductoare vor aciona permanent fore de respingere variabile n timp i spaiu. Valoarea minim a forei este zero, iar valoarea maxim ( locul geometric descris de vectorul for fiind un cerc).

Valoarea maxim a forei ce acioneaz asupra conductoarelor este egal cu fora maxim care acioneaz asupra conductorului central n sistemul trifazat cu conductoare paralele i coplanare.

2.2.2.4. Forele electrodinamice ntr-un sistem trifazat, de conductoare pasate n vrful unui triunghi echilateral, n regim de scurtcircuit.

Valoarea forelor electrodinamice este important mai ales n regimul de scurtcircuit, cnd prin considerarea valorilor curenilor exprimai prin relaiile (2.111)...(2.113), se ajunge la o mrire a valorii forelor maxime datorate componentelor aperiodice. Locul geometric al vectorului for este n regim de scurtcircuit o elips.

Figura 2.20. Locul geometric al vectorului for n regim de scurtcircuit, pentru conductoare plasate n vrfurile unui triunghi echilateral

Fora maxim, la care trebuie dimensionate conductoarele i izolatoarele suport, este fora din regim de scurtcircuit, mult mai mare ca fora din regim de durat i care are expresia:

fmax.sc.=3,251,73(Ip2(2.130)

Din compararea forelor electrodinamice din curent alternativ, se constat c n cazul curentului monofazat forele electrodinamice variabile n timp solicit conductoarele numai ntr-un singur sens (for pulsatorie) iar n regim de scurtcircuit fora n regimul tranzitoriu este o for pulsatorie nesimetric care tinde s devin simetric n scurtcircuitul de durat. Valoarea de oc a forei de scurtcircuit (datorat componentei aperiodice a curentului de scurtcircuit) are valori importante i de aceea aceast for st la baza proiectrii mecanica a instalaiei electrice.

n sistemele trifazate cu conductoare drepte i coplanare solicitrile se produc numai n planul conductoarelor. Conductorul central va fi solicitat mai puternic n ambele sensuri, n mod egal, iar conductoarele marginale vor fi solicitate mai ales spre exteriorul sistemului, cu fore de amplitudine mai mic. n cazul conductoarelor trifazate aezate n vrfurile unui triunghi echilateral forele variabile n timp i spaiu solicit toate conductoarele i suporturile lor n modul cel mai defavorabil, cu fore pulsatorii dedirecie variabil, defazate temporal.

Datorit faptului c n regim de scurtcircuit solicitrile cresc foarte mult ntotdeauna dimensionarea conductoarelor i a sistemelor lor de susinere se face pentru cazul celui mai mare curent de scurtcircuit ce poate aprea n sistemul trifazat respectiv, adic pentru valoarea de oc a curentului de scurtcircuit.

2.3. Stabilitatea electrodinamic a aparatelor electrice.

Datorit forelor electrodinamice i electromagnetice ce apar n aparatele electrice calculul de rezisten mecanic a acestora se face pe baza solicitrilor n cazul cel mai defavorabil care corespunde regimului de scurtcircuit.

Capacitatea unui aparat electric de a rezista n bune condiii la solicitrile mecanice produse de curenii de scurtcircuit, se numete stabilitate electrodinamic. Ea este egal cu valoarea de oc a celui mai mare curent de scurtcircuit pe care aparatul este n msur sl suporte fr deteriorri sensibile (conform standardelor: o deformare permanent sub 0,2%). Aparatul trebuie s funcioneze n bune condiii dup ce a fost solicitat electrodinamic, fr ca nici una din caracteristicile sale tehnice s se degradeze n mod inadmisibil.

Curentul de valoare extrem, care caracterizeaz rezistena mecanic a aparatului la solicitri electrodinamice maxime, se numete curent limit dinamic ild i se exprim n [kA] valoare maxim momentan. Pentru toate aparatele montate ntrun circuit, curentul limit dinamic garantat de fabrica constructoare, trebuie s fie mai mare dect amplitudinea de oc a celui mai mare curent de scurtcircuit care se poate produce n acel punct al circuitului unde urmeaz s funcioneze aparatul. Matematic acest lucru nseamn:

ild>isc.soc(2.131)

(2.132)

[kA](2.133)

n relaiile (2.131) , (2.132) i (2.133) s-au fcut notaiile:

Ip valoarea efectiv a componentei periodice a curentului de scurtcircuit de durat,

Pr puterea de rupere,

Un_ valoarea efectiv a tensiunii nominale.

Puterea de rupere este o mrime de calcul definit astfel:

Pr=mIpUn(2.134)

n relaia (2.134) s-a notat cu m numrul de faze. Puterea de rupere permite compararea aparatelor electrice din punctul de vedere al capacitii de comutaie.

Test minimal de verificare a cunotinelor

Pe baza noiunilor tehnice prezentate n capitolul Fore electrodinamice i electromagnetice rspundei la urmtoarele ntrebri:

1. Ce este o for electrodinamic?

2. Ce este o for electromagnetic?

3. La ce solicitri dau natere forele electrodinamice i electromagnetice?

4. Ce metod de calcul a forelor elecrodinamice i electromagnetice cunoatei?

5. n ce caz folosim metoda tensiunilor maxwelliene?

6. Care este expresia forei Laplace?

7. Care este formula lui Biot-Savart-Lapalce?

8. Ct este fora dintre dou conductoare filiforme i coplanare?

9. n ce se msoar intensitatea cmpului magnetic?

10. n ce se msoar inducia magnetic?

11. n ce se msoar permeabilitatea magnetic?

12. Care este valoarea lui (0?

13. Care este valoare energiei magnetice a unui sistem de n conductoare filiforme?

14. Care este fluxul magnetic total a n conductoare filiforme parcurse de curent (formula lui Maxwell)?

15. Care este expresiei electrodinamice dintre dou conductoare filiforme, parcurse de cureni conform Teoremei forelor generalizate?

16. Care este expresia forei dintre dou conductoare filiforme drepte i coplanare?

17. Ct este factorul de curent al forei specifice?

18. Ct este factorul de contur al forei specifice?

19. Care este fora dintre dou conductoare filiforme, drepte, paralele i de lungime finit?

20. Ct este fora specific dintre dou conductoare filiforme drepte, paralele i de lungime finit?

21. Ct este factorul de contur al forei specifice dintre dou conductoare filiforme drepte, paralele i de lungime finit?

22. Ct este fora specific dintre dou conductoare filiforme drepte, paralele i de lungime infinit?

23. Ce metod de calcul a forei electrodinamice se aplic n cazul circuitelor cu configuraie complex?

24. n ce condiii se poate aplica metoda superpoziiei?

25. Ce este efectul de proximitate?

26. Ce este efectul de ni?

27. Ce metod se aplic la calculul forei electromagnetice ce acioneaz asupra unui conductor aflat n vecintatea unui perete feromagnetic?

28. Ct este fora electromagnetic ce acioneaz asupra unui conductor aflat n vecinatatea unui perete feromagnetic?

29. n ce tip de ni fora electromagnetic nu depinde de poziia conductorului?

30. n ce tip de ni fora electromagnetic depinde de poziia conductorului?

31. Unde este aplicat efectul de ni?

32. Ce fore apar ntro spir circular parcurs de curent?

33. Ce inductivitate se folosete la calcularea forei electrodinamice dintre dou spire ale unei bobine?

34. Ce este regimul cvasistaionar electric?

35. Ct este fora specific pe unitatea de lungime i curent?

36. n ce se msoar fora specific pe unitatea de lungime i curent?

37. Ce for rezult din interaiunea a dou conductoare parcurse de un curent alternativ monofazat n regim nominal?

38. Ce frecven are fora electrodinamic n regim monofazat?

39. Care este expresia curentului de scurtcircuit monofazat?

40. Care este expresia valorii efective a curentului de scurtcircuit permanent?

41. Care este expresia constantei electrice de timp a componentei aperiodice a curentului de scurt circuit monofazat?

42. Care este valoare de calcul ce se atribuie constantei electrice de timp a componentei aperiodice a curentului de scurt circuit monofazat?

43. Care este expresia atenurii componentei aperiodice a curentului de scurtcircuit monofazat?

44. Care este expresia coeficientului de oc a curentului de scurtcircuit monofazat?

45. Care este valoarea maxim a coeficientului de oc a curentului de scurtcircuit monofazat?

46. Definii coeficientul de oc a curentului de scurtcircuit monofazat?

47. Ce componente are fora electrodinamic n regim de scurtcircuit monofazat?

48. Ce tip de for apare n regimul tranzitoriu a scurtcircuitului monofazat?

49. Ce tip de for apare n regimul permanent a scurtcircuitului monofazat?

50. Ct este coeficientul de oc al forei electrodinamice n scurtcircuitul monofazat?

51. La ce fore se verific suporturile i izolatoarele conductoarelor monofazate?

52. Cum pot fi poziionate conductoarele unui sistem trifazat?

53. Ce defazaj exist ntre curenii unui sistem trifazat simetric?

54. Ct este valoarea maxim a curentului alternativ n funcie de valoarea lui efectiv?

55. Ce tip de fore acioneaz asupra conductoarelor laterale ntrun sistem coplanar, trifazat n regim nominal?

56. Ce tip de fore acioneaz asupra conductorului central ntrun sistem coplanar, trifazat n regim nominal?

57. Ct este valoarea de vrf a forei ce acioneaz asupra conductoarelor laterale ntrun sistem coplanar, trifazat n regim nominal?

58. Ct este valoarea de vrf a forei ce acioneaz asupra conductorului central ntrun sistem coplanar, trifazat n regim nominal?

59. Care este expresia unui curent de scurtcircuit trifazat?

60. Ct este coeficientul de oc al forei ce acioneaz asupra conductoarelor laterale ntrun sistem coplanar, trifazat n regim nominal?

61. Ct este coeficientul de oc al forei ce acioneaz asupra conductorului central ntrun sistem coplanar, trifazat n regim nominal?

62. Ct este ampluitudinea maxim a forei electrodinamice ce acionaz asupra conductoarelor dintrun sistem simetric, trifazat n regim nominal?

63. Care este locul geometric a forei electrodinamice ce acionaz asupra conductoarelor dintrun sistem simetric, trifazat n regim nominal?

64. Ce avantaj prezint poziionarea simetric (n vrfurile unui triunghi echilateral) a conductoarelor dintrun sistem trifazat?

65. Ct este coeficientul de oc al forei electrodinamice ce acioneaz ntrun sistem trifazat poziionat simetric n regim de scurcircuit?

66. Care este locul geometric al forei electrodinamice ce apare ntrun sistem trifazat poziionat simetric n regim de scurcircuit?

67. Definii stabilitatea electrodinamic a unui aparat electric.

68. Definii curentul limit dinamic al unui aparat electric.

69. Ce condiie trebuie s ndeplineasc curentul limit dinamic a unui aparat electric?

70. Care este expresia puterii de rupere a unui aparat electric?

PAGE 45

_1089779263.unknown

_1090046914.unknown

_1090048500.unknown

_1090056147.unknown

_1090056827.unknown

_1103836990.unknown

_1104081582.unknown

_1104143824.unknown

_1104147705.unknown

_1104144902.unknown

_1104081707.unknown

_1104082122.unknown

_1104007767.unknown

_1104047823.unknown

_1103837557.unknown

_1090057271.unknown

_1090057365.unknown

_1103658413.unknown

_1090057404.unknown

_1090057305.unknown

_1090057071.unknown

_1090057105.unknown

_1090056932.unknown

_1090057008.unknown

_1090056467.unknown

_1090056564.unknown

_1090056774.unknown

_1090056518.unknown

_1090056324.unknown

_1090056401.unknown

_1090056246.unknown

_1090055384.unknown

_1090055698.unknown

_1090055983.unknown

_1090055630.unknown

_1090049795.unknown

_1090049903.unknown

_1090049748.unknown

_1090047699.unknown

_1090048151.unknown

_1090048434.unknown

_1090048463.unknown

_1090048310.unknown

_1090047963.unknown

_1090048078.unknown

_1090047798.unknown

_1090047285.unknown

_1090047535.unknown

_1090047567.unknown

_1090047454.unknown

_1090047139.unknown

_1090047261.unknown

_1090047102.unknown

_1090044266.unknown

_1090044906.unknown

_1090045211.unknown

_1090046783.unknown

_1090046811.unknown

_1090046729.unknown

_1090045052.unknown

_1090045143.unknown

_1090044942.unknown

_1090044539.unknown

_1090044811.unknown

_1090044852.unknown

_1090044653.unknown

_1090044345.unknown

_1090044410.unknown

_1090044304.unknown

_1090043889.unknown

_1090044098.unknown

_1090044191.unknown

_1090044225.unknown

_1090044143.unknown

_1090044029.unknown

_1090044065.unknown

_1090044004.unknown

_1089779950.unknown

_1089802857.unknown

_1089802937.unknown

_1089802463.unknown

_1089802509.unknown

_1089779951.unknown

_1089779435.unknown

_1089779777.unknown

_1089779365.unknown

_1089711206.unknown

_1089711705.unknown

_1089778542.unknown

_1089778640.unknown

_1089778700.unknown

_1089778603.unknown

_1089712088.unknown

_1089712315.unknown

_1089711926.unknown

_1089711396.unknown

_1089711511.unknown

_1089711520.unknown

_1089711417.unknown

_1089711316.unknown

_1089711379.unknown

_1089711268.unknown

_1089703979.unknown

_1089710975.unknown

_1089711049.unknown

_1089711143.unknown

_1089711009.unknown

_1089704658.unknown

_1089710850.unknown

_1089704453.unknown

_1089703825.unknown

_1089703866.unknown

_1089703939.unknown

_1089703770.unknown

_1089703675.unknown