Miscarea in Camp central de Forte

download Miscarea in Camp central de Forte

of 19

  • date post

    01-Feb-2017
  • Category

    Documents

  • view

    243
  • download

    5

Embed Size (px)

Transcript of Miscarea in Camp central de Forte

  • Miacarea in Camp Central de ForteProblema celor doua corpuriNe propunem determinarea ecuatiilor demiscare pentru doua corpuri de mase m1si m2 care interactioneaza unul cu altulprin intermediul unui camp central de forta.Camp centralDorim deci , exprimarea vectorilor si ca functii de si Informatii mai bune putem obtine exprimandpozitia centrului de masa (CM)

  • Functia Lagrange pentru sistem devine:notandmasa redusa a sistemuluiAceleasi rezultatele obtinem alegand CM ca noua origine a sistemului

  • Teorema lui Knignotanda)

  • Impulsul total se conservab)Observam ca a) si b) nu sunt cuplate si deci miscarea CM R(t) este decuplatade miscarea relativa r(t)Miscarea a doua puncte materiale care interactioneaza intre ele , se reduce la problema miscarii unui punct de masa intr-un camp exteriorPutem ignora miscarea CM (R(t))

  • Sistemul campului central de forta are simetrie sfericaSe poare roti in jurul oricarei axe ce trece prin origineSimetrie rotationalaLagrangianul nu depinde

    de directieMomentul unghiular se conservaTraiectoria r(t) este continuta in intregime intr-un plan ortogonal cu L

    Putem parametriza traiectoria r(t)In termenii coord. polare

  • Lagrangianul in coordonate polare va fi:Observam ca este coordonata ciclica, momentul sau conjugat p se conservaMarimea momentului unghiularIntroducem notiunea de viteza areolaraLegea a II a a lui Kepler:Vectorul de pozitie al unei planete matura arii egale in intervale de timp egaleMiscarea planetei estemai rapida cand orbita estemai apropiata de origineviteza areolara

  • Stabilim ecuatia LagrangeForta centrifugaForta centralainsaE= constanta de integrare

  • Conservarea energieiDin ecuatia LagrangeInmultind cu deoareceAstfeldeoarece

  • Ecuatia Lagrange devine: Energia:Miscarea unei particule intr-un potential efectivPentru valori date ale E si l (marimi care se conserva) cautam r() :Ecuatia traiectoriei

  • Conditia deinchidere a traiectoriei(raza vectoare a punctului, dupa ce a efectuat m rotaii complete, isi varegasi valoarea initiala) are semnificatie fizica dacavalorile lui r pentru care

    definesc limitele intervalului de valori permise in timpul miscariipunctul in care

    =punct de intoarceredaca rmin este o radacina pozitiva a ec.

    si sunt permise pentru r toate radacinile cuprinse intre (rmin,) si daca r0>rmin misc. particulei este nelimitatadaca ecuatia

    are radacini distincte si pozitive,rmin< rmax si daca in intervaluleste verificata inegalitatea atunci miscarea estelimitataIntreaga traiectorie este continuta

    intr-o coroana circulara

  • Ecuatia diferentiala a orbiteiAm gasit forma generala pentru r=r() sau r r(t) si cateva constante E, l etc.si cautam r=r() eliminand parametrul timp, ceea ce inseamna ecuatia orbitei.Inlocuind in ecuatia LagrangeInsasi introducand rezultadeoarecerezultaEc.diferentiala a orbitei (ecuatia Binet) daca se cunosc f sau U

  • Pentru un potential oarecareEcuatie ce da ca functie de r si constantele E, l, r0Facand schimbarea de variabilaEcuatia formala a orbitei

  • Problema lui KeplerFacem schimbarea de variabilaC, =const. de integrarenotam

  • insa

  • deoareceEcuatia generala a conicei ( fiind excentricitatea)

  • Energie si excentricitateE=0 separa orbitele nemarginite de cele marginiteHiperbola ParabolaElipsaCerc

    Orbite nemarginiteOrbite marginiteE>0E=0E

  • Orbite nemarginitehiperbolaparabolalimiteaza valoarea lui

  • Orbite marginite2b2aLungimea axei mariLungimea axei miciAria orbiteipericentruapocentruapside

  • Viteza areolaraPerioada de rotatieLegea a treia a lui Keplerdacaeste acelasi pentrutoate planetele daca M>>mOrbita eliptica a unei cometeplanetaSoareperihelionaphelion

    2

    1

    2

    1

    r

    r

    R

    m

    m

    m

    m

    +

    +

    =

    2

    1

    1

    r

    2

    r

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    r

    -

    r

    r

    r

    -

    r

    r

    -

    r

    r

    ;

    r

    r

    r

    F

    =

    =

    =

    -

    =

    =

    ;

    )

    (

    r

    r

    r

    U

    f

    r

    R

    +

    +

    +

    =

    2

    2

    1

    2

    1

    2

    )

    (

    m

    m

    m

    m

    m

    m

    R

    r

    r

    1

    r

    )

    (

    )

    (

    2

    1

    2

    2

    1

    +

    +

    =

    +

    =

    2

    1

    2

    1

    r

    r

    R

    r

    -

    r

    r

    m

    m

    m

    m

    m

    r

    R

    r

    2

    1

    2

    m

    m

    m

    +

    +

    =

    1

    r

    R

    r

    2

    1

    1

    m

    m

    m

    +

    -

    =

    2

    0

    R

    =

    &

    &

    M

    2

    1

    2

    1

    2

    2

    2

    1

    2

    1

    );

    (

    2

    2

    )

    (

    2

    1

    2

    1

    m

    m

    M

    r

    U

    M

    m

    m

    M

    m

    m

    r

    U

    m

    m

    L

    +

    =

    -

    -

    +

    +

    =

    =

    -

    +

    =

    r

    R

    r

    R

    r

    r

    2

    2

    2

    1

    &

    &

    &

    &

    &

    &

    2

    1

    2

    1

    m

    m

    m

    m

    +

    =

    m

    0

    '

    2

    2

    '

    1

    1

    =

    +

    r

    r

    m

    m

    r

    r

    2

    '

    1

    M

    m

    =

    '

    2

    '

    1

    2

    1

    r

    r

    r

    r

    r

    2

    1

    -

    =

    -

    =

    +

    =

    m

    m

    M

    r

    r

    1

    '

    2

    M

    m

    -

    =

    )

    (

    2

    1

    2

    1

    r

    U

    M

    L

    -

    +

    =

    2

    2

    r

    R

    &

    &

    m

    0

    =

    -

    R

    R

    L

    L

    dt

    d

    &

    )

    (

    2

    1

    2

    1

    r

    U

    M

    L

    -

    +

    =

    2

    2

    CM

    r

    V

    &

    m

    2

    1

    Total

    p

    p

    p

    +

    =

    const.

    M

    =

    R

    &

    0

    =

    =

    R

    R

    R

    L

    M

    L

    &

    &

    R

    r

    r

    R

    r

    r

    -

    =

    -

    =

    2

    '

    2

    1

    '

    1

    =

    +

    =

    +

    =

    +

    +

    =

    Total

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    p

    R

    p

    p

    r

    r

    r

    r

    R

    &

    &

    &

    &

    &

    &

    M

    m

    m

    m

    m

    m

    m

    M

    M

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    0

    =

    -

    r

    r

    L

    L

    dt

    d

    &

    r

    r

    r

    r

    r

    r

    U

    r

    r

    U

    L

    L

    -

    =

    -

    =

    =

    &

    &

    m

    0

    r

    r

    =

    +

    r

    U

    &

    &

    m

    r

    &

    )

    (

    )

    (

    r

    U

    T

    L

    -

    =

    2

    r

    &

    0

    )

    (

    =

    =

    r

    p

    r

    r

    L

    L

    r

    ^

    .

    p

    r

    L

    const

    =

    =

    0

    0

    2

    =

    +

    -

    =

    -

    r

    U

    r

    r

    r

    L

    r

    L

    dt

    d

    j

    m

    m

    &

    &

    &

    &

    (

    )

    )

    (

    2

    r

    U

    E

    dt

    dr

    r

    ef

    -

    =

    =

    m

    &

    (

    )

    ef

    U

    E

    r

    l

    d

    dr

    d

    dr

    r

    -

    =

    =

    =

    m

    m

    j

    j

    j

    2

    2

    &

    &

    q

    j

    e

    e

    r

    &

    &

    r

    r

    r

    +

    =

    .

    2

    1

    2

    1

    2

    const

    l

    r

    dt

    dA

    =

    =

    =

    m

    j

    &

    l

    r

    L

    p

    =

    =

    j

    m

    j

    j

    &

    &

    2

    0

    3

    2

    =

    +

    -

    r

    U

    r

    l

    r

    m

    m

    &

    &

    j

    j

    d

    r

    rd

    r

    dA

    2

    2

    1

    )

    (

    2

    1

    =

    =

    2

    r

    l

    m

    j

    =

    &

    r

    U

    r

    l

    r

    dr

    r

    d

    -

    =

    3

    2

    m

    m

    &

    &

    r

    r

    U

    r

    ef

    -

    =

    )

    (

    &

    &

    m

    r

    dr

    r

    d

    dt

    dr

    dr

    r

    d

    dt

    r

    d

    r

    &

    &

    &

    &

    &

    &

    =

    =

    =

    )

    (

    2

    )

    (

    2

    2

    r

    U

    r

    l

    r

    U

    ef

    +

    =

    m

    E

    r

    U

    r

    l

    r

    dr

    r

    U

    r

    l

    r

    d

    r

    +

    -

    -

    =

    -

    =

    )

    (

    2

    1

    2

    1

    2

    2

    2

    3

    2

    m

    m