BAZELE ELECTROTEHNICII I, II TEORIA CIRCUITELOR …cazacu/1. Suport Curs BE I-TR- TET...

Conf. dr. ing. Emil CAZACU

Departamentul de Electrotehnic Facultatea de Inginerie Electric

Universitatea Politehnica Bucureti

BAZELE ELECTROTEHNICII I, II

TEORIA CIRCUITELOR ELECTRICE LINIARE

NOTE DE CURS PENTRU UZUL STUDENILOR FACULTII DE TRANSPORTURI

Specializarea: Telecomenzi si Electronic n Transporturi (T.E.T.)

2012

Conf. dr. ing. Emil CAZACU Bazele electrotehnicii I i II Note de curs

2

CUPRINS

1. Circuite electrice liniare de curent continuu

1.1 Reele electrice liniare generaliti

1.2 Teoreme de echivalen pentru circuite de curent continuu

1.2.1 Teorema de echivalen dintre sursa real de tensiune i sursa real de curent

1.2.2 Conexiunea rezistenelor electrice

1.2.3 Transfigurarea stea-triunghi

1.2.4 Teorema superpoziiei Teoremele lui Vashy

1.2.5 Teoremele surselor echivalente

1.2.6 Teorema transferului maxim de putere

1.3 Metode sistematice de rezolvare a circuitelor de curent continuu

1.4 Surse comandate

2. Regimul permanent sinusoidal al circuitelor electrice

2.1 Mrimi sinusoidale Caracterizare, Reprezentare simbolic

2.2 Reprezentarea complex a mrimilor sinusoidale

2.3 Elemente de circuit

2.4. Imitane complexe

2.5. Puteri definite n circuite de curent alternativ sinusoidal

2.6. Comportarea elementelor pasive de circuit n regim periodic sinusoidal


3

2.7. Metode de rezolvare a circuitelor electrice monofazate de curent alternativ.

2.8. Asupra metodelor sistematice de rezolvare a circuitelor de curent alternativ ce conin bobine cuplate magnetic

3. Circuite electrice trifazate

3.1 Sisteme de mrimi trifazate Proprieti

3.2 Receptoare trifazate tipuri de conexiuni

3.3 Ameliorarea factorului de putere pentru circuitele trifazate n regim simetric

3.4 Calculul circuitelor trifazate echilibrate n regimuri simetrice

3.5 Metoda componentelor simetrice

3.6 Calculul regimurilor de avarie nesimetrice ale unor reele trifazate echilibrate

3.7 Calculul puterii in circuite trifazate cu ajutorul componentelor simetrice

4. Circuite electrice liniare n regim periodic nesinusoidal

4.1 Generaliti

4.2 Funcii periodice

4.3 Mrimi caracteristice

4.4 Puteri n regim nesinusoidal

4.5 Elemente ideale de circuit n regim periodic nesinusoidal

4.6 Rezolvarea circuitelor electrice monofazate n regim periodic nesinusoidal

5. Circuite electrice liniare n regim tranzitoriu

5.1 Teoremele lui Kirchhoff n regim variabil

5.2 Elementele ideale de circuit n regim variabil

5.3 Ecuaiile circuitelor electrice. Problema condiiilor iniiale. Regimuri de funcionare


4

5.4 Metoda elementar de analiz a regimului tranzitoriu

5.5 Rezolvarea regimului tranzitoriu pe baza transformrii Laplace

5.6 Analiza regimului tranzitoriu prin metoda variabilelor de stare

5.7 Studiul regimului tranzitoriu prin separarea componentei de regim permanent

6. Circuite electrice n regim permanent cu surse comandate

6.1 Surse comandate Breviar

7. Cuadripoli i filtre electrice

7.1 Cuadripoli electrici Breviar teoretic


5

1. CIRCUITE ELECTRICE LINIARE DE

CURENT CONTINUU

Circuitele de curent continuu sunt acele circuite n care sursele de

tensiune i de curent furnizeaz la bornele lor mrimi invariabile n

timp. n aceste condiii, dup stingerea regimurilor tranzitorii, datorate

unor eventuale procese de comutaie, toate mrimile de circuit

(cureni, tensiuni, poteniale) sunt de asemenea invariabile n timp.

Aceste mrimi vor fi notate cu majuscule.

1.1 REELE ELECTRICE LINIARE GENERALITI

Vom nelege prin reea electric o mulime de elemente de circuite

interconectate la borne.

Un element de circuit este un domeniu ce are legtur electric cu

exteriorul doar printr-un numr finit de puncte numite borne. Un

element se numete dipolar doar dac are dou borne.

Mrimile electrice ce caracterizeaz reelele electrice sunt:

Intensitatea curentului electric mrime fizic scalar

(pozitiv sau negativ) asociat unei seciuni orientate printr-

un conductor.

Tensiunea electric mrime fizic scalar (pozitiv sau

negativ) asociat unei perechi orientate de borne.


6

Pentru a marca faptul c aceste mrimi sunt orientate se utilizeaz

sgei att pentru intensitate, ct i pentru tensiune (numite sensuri

de referin).

Vom utiliza noiunea de nod al circuitului pentru punctul n

care se ntlnesc cel puin trei conductoare.

Latura va fi poriunea de circuit cuprins ntre dou noduri,

iar ochiul de circuit este o succesiune continu de laturi care

formeaz un contur poligonal nchis.

Relaiile fundamentale ale teoriei circuitelor n general i a teoriei

circuitelor electrice n particular sunt date de teoremele (relaiile) lui

Kirchhoff.

Relaia (teorema) nti a lui Kirchhoff:

Suma algebric a intensitilor curenilor ce concur la un nod al

unui circuit electric este nul.

=k

kI 0 (1.1)

Caracterul algebric al sumei este impus de atribuirea semnului

plus pentru curenii care ies din nodul (n) i, respectiv, semnul minus

pentru curenii care intr n acel nod.

Relaia (teorema) a doua a lui Kirchhoff:

Suma tensiunilor electrice orientate n acelai sens pe un ochi este

nul.

=k

kU 0 (1.2)

n cazul particular al unei bucle [b], cea de-a doua teorem a lui

Kirchhoff ia forma:

[ ] [ ] [ ]

=+bk

kbk

Sbk

kk EUIR k AAA (1.2)


7

Relaie care arat ca suma algebric a tensiunilor la bornele

rezistoarelor i surselor ideale de curent este egal cu suma algebric

a tensiunilor electromotoare ale surselor ideale de tensiune.

Caracterul algebric al celor trei sume din relaia (1.2) este impus

de necesitatea parcurgerii buclei [b] ntr-un anumit sens (arbitrar) i

atribuirea semnului plus tensiunilor RkIk la bornele tuturor

rezistoarelor de rezistene Rk strbatute de curenii Ik n sensul de

parcurgere, tensiunilor kS

U (la bornele tuturor surselor de curent) al

cror sens coincide cu sensul de parcurgere i tensiunilor

electromotoare Ek (ale tuturor surselor de tensiune) ale cror sgei

sunt orientate n sensul de parcurgere (respectiv minus n caz contrar).

Pentru rezolvarea reelelor electrice (determinarea tensiunilor i

intensitilor), la ecuaiile lui Kirchhoff sub forma general se adaug

i relaiile impuse tensiunii i intensitii de ctre fiecare element de

circuit n parte.

Aceste relaii (numite i ecuaii de funcionare) sunt specifice

fiecrui element real.

Pentru a uura studiul reelelor electrice se introduc un numr de

elemente cu proprieti idealizate numite elemente ideale.

1. Rezistorul simbolul acestui element i ecuaia sa de

funcionare sunt date n Fig.1.1.

2. Generatorul ideal de tensiune simbolul acestui element i

ecuaia sa de funcionare sunt date n Fig.1. 2.

3. Generatorul ideal de tensiune simbolul acestui element i

ecuaia sa de funcionare sunt date n Fig.1. 3.


8

RIU = 2RIP = EU = EIP = JI = UJP =

Fig.1.1 Rezistorul ideal. Fig.1.2 Generatorul

ideal de tensiune.

Fig.1. 3 Generatorul

ideal de curent.

Sursa ideal de tensiune (vezi figura 1.5-a) are ecuaia de

funcionare

EU = (1.3)

oricare ar fi valoarea i sensul curentului I care o strbate. Cele dou

situaii posibile pentru sensul real al curentului care strbate sursa (i, corespunztor, pentru sensul real al puterii transferate pe la

borne, sens evideniat cu ajutorul sgeilor haurate) sunt prezentate n fig. 1.1.4,b i 1.1.4,c

Fig. 1.4 Sursa ideal de tensiune sau generatorul ideal de tensiune.

Sursa ideal de curent (vezi figura 1.5,a) are ecuaia de

funcionare:

sII = (1.4)

oricare ar fi valoarea i sensul tensiunii SU la bornele sale. Cele dou

situaii posibile pentru sensul real al tensiunii la bornele sursei (i, corespunztor, pentru sensul real al puterii transferate pe la borne,

sens evideniat i de aceast dat cu ajutorul sgeilor haurate) sunt

prezentate n figurile 1.5,b i 1.5,c.


9

Fig. 1.5 Sursa ideal de curent sau generatorul ideal de curent.

n cazul generatoarelor reale de tensiune i curent, descrise n

Fig.1.6, ecuaiile de funcionare ale acestora se vor modifica n acord

cu teoremele lui Kirchhoff:

ERIU = UGJI +=

Fig.1. 6 Generatoarele reale de tensiune i curent.

Din punct de vedere energetic, elementele de circuit sunt

caracterizate cu ajutorul puterii transferate pe la borne, mrime ce se

calculeaz la elementele dipolare cu ajutorul relaiei:

UIP = (1.5)

i aceast mrime este orientat (poate fi absorbit sau cedat),

interpretarea sensului efectundu-se cu ajutorul a dou reguli:

a) Regula de la receptoare (la care tensiunea la borne i curentul prin element au acelai sens).


10

Dac 0>P puterea P este absorbit.

Dac 0

P , puterea P este cedat.

Dac 0


11

1.2 TEOREME DE ECHIVALEN PENTRU CIRCUITE DE CURENT CONTINUU

Vom spune c dou elemente de circuit sunt echivalente dac,

avnd aceleai tensiuni (arbitrare) la borne, curenii absorbii pe la

borne sunt aceiai.

Remarcm c ntr-o reea putem substitui o parte de reea

(subreea) cu un circuit echivalent, iar curenii i tensiunile n restul

reelei rmn nemodificai.

Aceast observaie permite rezolvarea reelelor reducndu-le

printr-o succesiune de echivalri la reele mai simple.

1.2.1 TEOREMA DE ECHIVALEN DINTRE SURSA REAL DE TENSIUNE I SURSA REAL DE CURENT

Aceast teorem precizeaz c o surs real de tensiune poate fi

substituit de o surs real de curent i reciproc, dac avem

urmtoarele relaii ntre parametrii surselor de energie:

REJ =

RG 1=

Fig.1. 7 .Echivalena dintre sursa real de tensiune i sursa real de

curent.

1.2.2 CONEXIUNEA SURSELOR REALE DE TENSIUNE

Conexiunea serie


12

Spunem c mai multe surse de tensiune sunt conectate n serie

dac acestea sunt parcurse de aceeai valoare a intensitii curentului

electric.

n acest caz, relaiile de echivalen sunt urmtoarele:

=

=n

kkEE

1

=

=n

kkRR

1

Fig.1.8 Surse de tensiune reale conectate n serie.

n Fig.1.8 nu s-a mai reprezentat i simbolul de rezisten pentru

fiecare surs n parte i nici pentru sursa echivalent.

Conexiunea paralel

Vom spune c mai multe surse reale sunt n paralel dac la

bornele acestora vom avea aceeai tensiune.

n aceast situaie este mult mai comod de lucrat cu conductane

(inversul rezistenelor), iar relaiile de echivalen vor deveni:

=

=

=

= == n

k k

n

k k

k

n

kk

n

kkk

R

RE

G

EGE

1

1

1

1

1

==

==n

k k

n

kk RR

GG11

11;

Fig. 1.9 Conexiunea paralel a surselor de tensiune.


13

1.2.2 CONEXIUNEA REZISTENELOR ELECTRICE

1. Conexiunea serie Divizorul de tensiune.

Ca i n cazul surselor de tensiune vom spune c un numr de

rezistoare electrice sunt conectate n serie dac acestea sunt parcurse

de aceeai intensitate a curentului electric.

Relaiile de echivalen rezult imediat din teorema a doua a lui

Kirchhoff.

=

=n

kkRR

1

Fig.1. 10 Conectarea serie a rezistoarelor.

Divizorul de tensiune este compus din dou rezistente electrice

conectate n serie.

El prezint o importan practic n calcului direct al tensiunilor

pentru cele dou rezistene dac se cunoate tensiunea ce se aplic

ansamblului format de cele dou rezistoare.

21

22

21

11

RRR

UU

RRR

UU

+=

+=

Fig.1.11 Divizorul de tensiune.


14

1. Conexiunea paralel Divizorul de curent.

Rezistenele vor fi conectate n paralel dac acestea vor fi supuse la

aceeai valoare a tensiunii. n acest caz relaiile de echivalen pot fi

scrise din nou mult mai uor folosind conductanele.

=

=

=

=

n

k kk

n

kk

RR

GG

1

1

11

Fig.1.12 Conectarea n paralel a rezistenelor.

Divizorul de curent este compus din dou rezistente conectate n

paralel.

Din aceast configuraie se poate determina, (folosind teoremele lui

Kircchoff) n mod direct, curentul prin fiecare rezistor 21 , II , n funcie

de curentul de la intrarea n divizor I .

21

12

21

21

RRR

II

RRR

II

+=

+=

Fig.1.13 Divizorul de curent.


15

1.2.3 TRANSFIGURAREA STEA-TRIUNGHI

Deseori, pentru o simplificare a rezolvrii circuitelor este util s se

modifice schema de conexiune a unor rezistene din conexiunea

triunghi n conexiunea stea, sau invers.

Fig1.14 .Transfigurarea stea - triunghi.

Relaiile de transfigurare, uor de demonstrat n baza relaiilor lui

Kircchhof, sunt:

Transfigurarea triunghi stea Transfigurarea stea - triunghi

312312

23313

312312

12232

312312

31121

RRRRR

R

RRRRR

R

RRRRR

R

++=

++=

++=

2

131331

`1

323223

3

212112

RRRRRR

RRRRRR

RRRRRR

++=

++=

++=

(1.8)

1.2.4 TEOREMA SUPERPOZIIEI TEOREMELE LUI VASHY

Intensitatea curentului electric prin orice latur a unei reele

liniare i active (reea coninnd rezistoare liniare i surse ideale de

tensiune i de curent) este suma algebric a intensitilor curenilor pe

care i-ar stabili n acea latur fiecare dintre surse dac s-ar gsi doar

ea n circuit, celelalte surse fiind pasivizate.

Operaiunea de pasivizare a unei surse const n substituirea

acesteia cu un rezistor avnd rezistena egal cu rezistena


16

intern a sursei. ntruct rezistena intern a unei surse ideale de

tensiune este zero, iar rezistena intern a unei surse ideale de curent

este infinit, operaiunea de pasivizare a unei surse ideale de tensiune const n substituirea acesteia cu un scurtcircuit, n

timp ce operaiunea de pasivizare a unei surse ideale de curent const n substituirea acesteia cu un gol.

Prin pasivizarea surselor de energie vom nelege suprimarea

aciunii acestora n funcie de caracteristicile acestora, aa cum sunt

prezentate n Fig.1.15.

Fig.1.15 Pasivizarea elementelor de circuit.

Teorema lui Vashy pentru surse de tensiune (prima teorem a

lui Vashy): Distribuia de cureni si de tensiuni pentru toate

elementele dipolare ale unui circuit nu se modific dac se introduc n

serie cu toate elementele conectate la un nod, oricare, al circuitului,

surse ideale de tensiune avnd tensiuni electromotoare egale i la fel

orientate fa de nodul respectiv.

Teorema lui Vashy pentru surse de curent (a doua teorem a

lui Vashy) : Distribuia de cureni si de tensiuni pentru toate elementele dipolare ale unui circuit nu se modific dac se introduc n


17

paralel cu toate toate laturile ce alctuiesc un ochi, oricare, al

circuitului, surse ideale de curent injectnd cureni egali i la fel

orientai n raport cu un sens arbitrar de parcurgere al ochiului

respectiv.

Subliniem ns faptul c prin utilizarea primei teoreme a lui Vashy

se modific tensiunile laturilor afectate de sursele ideale de tensiune nou introduse, iar prin utilizarea celei de-a doua teoreme a lui Vashy

se modific curenii laturilor afectate de sursele ideale de curent nou

introduse.

1.2.5 TEOREMELE SURSELOR ECHIVALENTE

Teorema lui Thevenin

Un dipol liniar activ poate fi echivalat n raport cu bornele sale cu

o surs real de tensiune avnd o tensiune electromotoare egal cu

tensiunea la bornele dipolului de mers n gol i o rezisten egal cu

rezistena echivalent a dipolului pasivizat n raport cu aceleai borne.

RREE

I+

=0

0

dac 0=E

RRE

I+

=0

0

Fig.1.16 Teorema lui Thevenin.

O teorem asemntoare ce are acelai scop este teorema lui

Norton.

Teorema lui Norton.


18

Un dipol liniar activ poate fi echivalat n raport cu bornele sale cu

o surs real de curent, de intensitate egal cu cea a curentului de

scurt-circuit la bornele dipolului i o conductan egal cu

conductana echivalent a dipolului pasivizat n raport cu bornele sale.

GGJJ

U+

=0

0

dac 0=J

GGJ

U+

=0

0

Fig.1.17. Teorema lui Norton.

Teoremele lui Thevenin i Norton se aplic atunci cnd se

urmrete determinarea intensitii curentului sau a tensiunii la

bornele unei singure laturi a unui circuit electric, eventual variaia

acestor mrimi odat cu parametrii laturii considerate, restul

circuitului rmnnd neschimbat.

1.2.6 TEOREMA TRANSFERULUI MAXIM DE PUTERE

Pentru un dipol activ, transferul maxim de putere de la acesta la o

rezisten de sarcin R , se realizeaz n momentul n care valoarea

rezistenei de sarcin este egal cu rezistena intern a dipolului 0R .

Spunem c sarcina exterioar este adaptat dipolului.


19

Fig.1.18 Teorema tranferului maxim de putere.

n acest caz, randamentul transferului de putere de la dipol la

sarcin este :

5.02 0

0

0

max ==+

==R

RRR

RP

P

g

(1.9)

Se observ c n acest caz randamentul transmisiei de putere este

inadmisibil de mic.

Cu toate acestea, sunt aplicaii n care se dorete o sarcin

adaptat sursei; acesta este cazul demarorului de pornire a

autovehiculelor alimentate de la bateria de acumulatoare.

Este necesar transferarea unei puteri maxime pentru un timp

relativ scurt, randamentul putnd avea valori destul de mici.

1.3. METODE SISTEMATICE DE REZOLVARE A CIRCUITELOR DE

CURENT CONTINUU

Metodele de rezolvare utilizate n paragraful anterior, bazate pe

teoremele de echivalen (generatoare i rezistene echivalente) pot fi

aplicate unor clase reduse de probleme (ce pot fi reduse prin grupri

serie sau paralel la un singur ochi).

Metodele sistematice vor fi metode ce se pot aplica la orice tip de

reea i permit calculul tuturor curenilor i tensiunilor din reea.

Prin problema direct vom nelege problema n care datele

problemei sunt: structura topologica a reelei, parametrii elementelor de

circuit din reea, kkk RJE ,, , iar necunoscutele vor fi tensiunile la bornele

elementelor i curenii prin acestea.

Pentru rezolvarea problemei directe se pot utiliza teoremele

generale ale lui Kirchhoff, completate cu relaiile de funcionare

(relaiile dintre tensiune i curent) pentru fiecare element.


20

Metoda ecuaiilor lui Kirchhoff presupune scrierea a N-1 ecuaii

din teorema ntia (N fiind numrul de noduri), iar a L-N+1 ecuaii date

de a doua teorem (L fiind numrul de

laturi).

Rezult astfel un sistem compatibil determinat ce are ca

necunoscute curenii prin

laturile circuitului.

Metoda ecuaiilor Kirchhoff Aceasta metod prezint urmtorul algoritm:

1. Se aleg sensurile de referin i se aleg cei L cureni din reea. Se

aleg sensurile de referin i se noteaz tensiunile la bornele

generatoarelor ideale de curent.

2. Se scrie prima teorem a lui Kirchhoff de N-1 ori pentru N-1 noduri.

=k

kI 0 (1.10)

n relaia (1.10), suma este considerat algebric (se trec cu plus

curenii care ies i cu minus curenii care intr n nod).

3. Se scrie teorema a doua a lui Kirchhoff pe L-N+1 ochiuri

independente pentru care s-au marcat n prealabil sensurile de

parcurs:

=+k

kk k

kkk EUIR (1.11)

n relaia (1.11) toate cele trei sume sunt algebrice (termenii se trec

cu minus dac sensul de parcurs este opus sensului lui kk UI , sau kE ).

Pentru a scrie o ecuaie pe un ochi trebuie s-l parcurgem de dou

ori prima dat, s urmrim rezistoarele, generatoarele ideale de curent


21

i tensiunile la borne, iar a doua oar numai generatoarele ideale de

tensiune.

Ochiurile pe care scriem aceste ecuaii sunt de preferabil alese

astfel nct s aib un numr minim de rezistoare.

4. Se rezolv sistemul format din L ecuaii cu L necunoscute (curenii

prin laturi i tensiunile la bornele generatoarelor ideale de curent)

cu una din metodele matematice cunoscute de rezolvare a

sistemelor de ecuaii liniare (substituie, reducere, determinani

sau prin inversare de matrici).

5. Se verific rezultatele obinute prin verificarea teoremelor lui

Kirchhoff n nodul n care nu a fost utilizat sau pe alte ochiuri

neutilizate.

6. Se verific bilanul puterilor pe reea cu relaia:

= = =

+=1

1

2

1

3

1

2n

k

n

k

n

kkkkkkk JUIEIR (1.12)

n relaia (1.12), suma din stnga este aritmetic ( 1n -numrul de

rezistoare), sumele din dreapta sunt algebrice ( kk IE se trec cu minus

doar dac kE i kI au semne opuse, iar kk JU se trece cu semnul minus

doar dac kU i kJ au sensuri de referin similare)

Metoda curenilor ciclici

O alta metod sistematic de rezolvare a circuitelor de curent

continuu este metoda curenilor ciclici.

Pentru rezolvarea unei probleme directe cu ajutorul acestei metode

se parcurg urmtoarele etape:

1. Se numr nodurile (dou noduri unite printr-un conductor le vom

numi pseudo-noduri i le vom considera ca alctuind un singur


22

nod). Se numr laturile. Se calculeaz numrul de ochiuri

fundamentale cu relaia 1+= NLO .

2. Se aleg O ochiuri independente care se consider parcurse de

cureni ciclici marcndu-se pe figur sensurile de referin i

valorile acestor cureni. Dac problema conine generatoare ideale

de curent se aleg ochiurile astfel nct fiecare curent ciclic s nu

parcurg dect maxim un singur generator de curent.

3. Se scriu O ecuaii liniare sub forma standard:

=++

=++

=++

'0

'000

'2102

'101

'2

'020

'2122

'121

'1

'010

'2112

'111

EIRIRIR

EIRIRIR

EIRIRIR

L

M

L

L

(1.13)

4. Se calculeaz iiR (elementele de pe diagonala sistemului) ca suma

aritmetic a rezistenelor de pe ochiul i . Dac pe ochiul i se afla un

generator ideal de curent atunci =iiR , deci ecuaia i nu are sens i

ea se elimin din sistem. Se calculeaz apoi jiij RR = , ca fiind

rezistena laturilor comune i cu ochiul j ; ea se trece cu plus dac

cei doi cureni ciclici au acelai sens i cu minus dac au sensuri

opuse prin latura comun.

5. Se calculeaz tensiunile 'iE ca suma algebric a tensiunilor

electromotoare ale generatoarelor ideale de tensiune pe ochiul i (la

fel ca membrul drept din metoda ecuaiilor lui Kirchhoff).

6. Se completeaz sistemul obinut cu valorile curenilor ciclici ce trec

prin generatoarele ideale de curent (care sunt tocmai curenii de

scurt-circuit ai generatoarelor).

7. Sistemul astfel obinut se rezolv cu una din metodele cunoscute n

matematic.


23

8. Se aleg sensurile de referin ale curenilor din laturi i se

calculeaz aceti cureni ca sume algebrice de cureni ciclici.

9. Se calculeaz tensiunea la bornele elementelor aplicnd ecuaiile de

funcionare sau teorema a doua a lui Kirchhoff.

10. Verificrile ce se pot face se bazeaz pe teorema a doua a lui

Kirchhoff, sau bilanul puterilor.

Metoda potenialelor la noduri

Aceast metod presupune urmtoarele etape:

1. Se urmresc laturile reelei ce conin numai generatoare ideale de

tensiune (laturi de rezisten nul). Unul din nodurile reelei (de

preferin cel n care converg cele mai multe laturi de rezisten

nul), se alege ca nod de referin (de potenial nul). Laturile de

rezisten nul care nu converg n nodul de referin se pasivizeaz

cu ajutorul teoremei lui Vaschy, pentru generatoarele de tensiune

obinndu-se o reea echivalent din punct de vedere al curenilor

cu reeaua iniial.

2. Se numr nodurile i se numeroteaz potenialele lor (pseudo-

nodurile se vor considera ca un singur nod): 110 , nVVV L .

3. Se scriu 1n ecuaii liniare sub forma standard:

=++

=++=++

1111212111

21121222112

1111212111

scnnnnnn

scnn

scnn

IVGVGVG

IVGVGVGIVGVGVG

L

M

L

L

(1.14)

4. Se calculeaz iiG (elementele de pe diagonala sistemului) ca suma

aritmetic a conductanelor laturilor ce concur la nodul i . Dac

ntre aceste laturi este una de rezisten nul =iiG , ecuaia


24

respectiv se elimin din sistem ca fiind lipsit de sens. Se

calculeaz apoi jiij GG = ca fiind suma aritmetic a conductanelor

laturilor ce leag nodul i cu nodul j luat cu sens schimbat.

5. Se calculeaz injeciile de curent n noduri sciI , ca suma algebric

a curenilor de scurt-circuit ai laturilor ce concur n nodul i .

Curenii de scurt-circuit ai laturilor se calculeaz eliminnd latura

respectiv din circuit i unind bornele ei extreme. Aceti cureni se

trec cu plus dac sgeata generatorului neap (injecteaz) nodul i

cu minus dac pleac din nod.

6. Se completeaz sistemul obinut cu valorile potenialelor de la

extremitile laturilor de rezisten nul (ele sunt tensiunile

electromotoare ale generatoarelor ideale de tensiune de pe acele

laturi).

7. Sistemul obinut se rezolv cu una din metodele cunoscute din

matematic.

8. Se aleg sensurile de referin ale curenilor din laturi i ale

tensiunilor la bornele laturilor, fcndu-se notaiile

corespunztoare.

9. Se calculeaz tensiunile la bornele laturilor ca diferene de

potenial.

10. Se calculeaz intensitile curenilor prin laturi aplicnd teorema

a doua a lui Kirchhoff pe ochiul format de latur i sensul de

referin al tensiunii.

11. Se calculeaz tensiunile din reeaua iniial utiliznd teorema a

doua a lui Kirchhoff.

12. Se verific rezultatele obinute cu ajutorul teoremei nti a lui

Kirchhoff i prin bilanul puterilor.

Rezolvarea circuitelor prin teorema lui Thevenin i Norton

Teorema lui Thevenin permite calculul intensitii curentului ntr-o

singur latur din circuit.


25

Pentru aplicarea acesteia trebuie parcurse urmtoarele etape:

1. Se aleg bornele A i B de pe latura n care ne intereseaz curentul

astfel nct ntre ele s nu se afle nici un generator (la extremitile

unui rezistor ABR sau de-a lungul unui conductor 0=ABR ).

2. Se pasivizeaz reeaua nlocuindu-se generatoarele cu rezistenele

lor interne (generatoarele ideale de tensiune cu 0=R , i

generatoarele ideale de curent cu =R ). Se elimin rezistena dintre

bornele A i B . Pentru reeaua astfel obinut se calculeaz

rezistena 0ABR , rezistena echivalent ntre bornele A i B .

3. n reeaua nepasivizat se elimin rezistena dintre bornele A i B i

se calculeaz tensiunea ntre aceste puncte (tensiunea de mers n

gol 0ABU ). Aceast tensiune se calculeaz cu una din metodele

prezentate anterior (avantajul metodei Thevenin este c reeaua ce

trebuie rezolvat la acest punct este mai simpl dect cea iniial

avnd o latur mai puin).

4. Se calculeaz intensitatea ABAB

ABAB RR

UI

+=

0

0 i tensiunea ABABAB IRU = .

O alt metod de calcul a unei singure mrimi (tensiune de ast

data) este teorema lui Norton. Pentru aplicarea acestei metode trebuie

parcurse urmtoarele etape:

1. Se aleg bornele A i B astfel nct ntre ele s se afle doar un

rezistor (chiar de conductan nul).

2. Se calculeaz conductana echivalent a reelei pasivizate

(pasivizarea se face ca i la metoda Thevenin):

00

1

ABAB R

G =


26

3. n reeaua iniial se scurt-circuiteaz punctele AB i se calculeaz

intensitatea curentului ce parcurge conductorul de scurt-

circuit scABI . Calculul acestui curent se face cu una din metodele

prezentate anterior. (Este remarcabil c reeaua de rezolvat la

acest punct are o latur mai puin dect reeaua iniial, lucru ce

simplific n unele cazuri foarte mult reeaua).

4. Se calculeaz tensiunea ntre bornele A i B cu ajutorul reelei

ABAB

scABAB GG

IU

+=

0

i intensitatea ABABAB GUI = .

Metoda superpoziiei

Este o metod de rezolvare a circuitelor electrice valabil pentru

circuitele liniare i se poate sublima n urmtoarea afirmaie:

Intensitatea curentului electric din orice latur a unei reele electrice

liniare este suma algebric a intensitilor curenilor pe care i-ar stabili

n acea latur fiecare dintre sursele independente dac s-ar gsi

singur n reea.

Trebuie spus c suprimarea aciunii celorlalte surse de energie din

circuit se face prin pasivizare (Fig.13).

Mai trebuie menionat c trebuie inut seama de semnul fiecrui

curent ales prin latura n care dorim s determinm intensitatea

curentului.

1.4 SURSE COMANDATE

Sursele comandate sunt acele surse la care mrimile furnizate de

acestea depind (sunt comandate) de alte mrimi cureni sau

tensiuni din circuit.


27

Din acest motiv o surs

comandat admite ca model un

multipol cu patru borne de acces,

numit cuadripol diport (notat CD n figura 1.19). Cele patru borne

sunt grupate n dou pori: poarta de intrare, la care mrimile la borne U1 i I1 sunt asociate ca sensuri de referin conform conveniei

de la receptoare, i poarta de ieire, la care mrimile la borne U2 i I2

sunt asociate ca sensuri de referin conform conveniei de la

generatoare.

Dup cum poarta de intrare este un scurtcircuit (U1 = 0) sau un

gol (I1 = 0), iar poarta de ieire este un generator ideal de tensiune sau

un generator ideal de curent, sursele comandate se clasific n

urmtoarele patru categorii (vezi figura 1.20):

1t UE =

1tg II =

1t IrE =

1tg UgI =

Fig. 1.20

(a) Sursa de tensiune comandat n tensiune, care are ecuaiile

de funcionare

Fig. 1.19


28

12 UEU t == ; 01 =I (1.15)

(b) Sursa de tensiune comandat n curent, care are ecuaiile de

funcionare

12 IrEU t == ; 01 =U (1.16)

(c) Sursa de curent comandat n curent, care are ecuaiile de

funcionare

12 III s == ; 01 =U (1.17)

(d) Sursa de curent comandat n tensiune, care are ecuaiile de

funcionare

12 UgII ts == ; 01 =I (1.18)

Constantele t , tr , t i tg sunt mrimi de transfer ntre poarta

de intrare i poarta de ieire i au urmtoarele semnificaii:

01

2

1=

=I

t UU

se numete factor (adimensional) de transfer n

tensiune

01

2

1=

=U

t IUr se numete rezisten de transfer

01

2

1=

=U

t II

se numete factor (adimensional) de transfer n curent

01

2

1=

=I

t UIg se numete conductan de transfer.


29

Sunt de reinut urmtoarele chestiuni n legtur cu sursele

comandate:

Sursele comandate sunt surse ideale;

Sursele comandate modeleaz existena unor fenomene de cuplaj

electromagnetic ntre mrimile ce caracterizeaz poarta de intrare i

mrimile ce caracterizeaz poarta de ieire, care pot conduce la

scheme echivalente rezistive neconexe;

Rezolvarea circuitelor cu surse comandate cu ajutorul teoremelor

lui Kirchhoff, metodei curenilor ciclici i metodei potenialelor

nodurilor se face la fel ca n cazul n care nu exist surse comandate.

Ecuaiilor corespunztoare fiecrei metode li se adaug relaiile care

exprim mrimile care comand n funcie de necunoscutele metodei,

iar apoi aceste relaii se nlocuiesc n expresiile surselor comandate.

n acest fel, n cazul rezolvrii circuitelor cu surse comandate cu

ajutorul metodei curenilor ciclici sau a metodei potenialelor

nodurilor, matricile coeficienilor necunoscutelor nu vor mai fi

simetrice dup rescrierea ecuaiilor.

Generatoarele comandate se comport diferit fa de generatoarele

independente referitor la teoremele Thvenin, Norton i superpoziiei,

n sensul c sursele comandate nu se pasivizeaz ntruct ele nu pot exista n absena unei mrimi (curent sau tensiune) de comand.

Calculul parametrilor 0 ABR i 0 ABG (necesari n teoremele

generatoarelor echivalente) se poate face prin una din urmtoarele

metode:


30

Se determin mai nti mrimile gol ABU i sc ABI , iar apoi se

calculeaz 0 ABR i, respectiv, 0 ABG cu relaiile

sc

gol

0 AB

ABAB I

UR = ;

gol

sc

0

0

1

AB

AB

ABAB U

IR

G == (1.19)

Se utilizeaz metoda de determinare a rezistenei (conductanei)

de intrare a unui circuit electric fr a pasiviza sursele comandate.

Atragem atenia c, pentru circuitele care conin generatoare

comandate, mrimile 0 ABR i 0 ABG pot rezulta i negative.

n cazul reelelor cu generatoare comandate, teorema superpoziiei

afirm c un curent printr-o latur, oricare, a unui circuit liniar este

suma algebric a curenilor pe care i stabilete n acea latur fiecare

dintre sursele independente, dar de fiecare dat n prezena surselor comandate (care nu se pasivizeaz).


31

2. REGIMUL PERMANENT SINUSOIDAL AL

CIRCUITELOR ELECTRICE

2.1 MRIMI SINUSOIDALE CARACTERIZARE, REPREZENTARE SIMBOLIC

Prin definiie, o mrime sinusoidal este marimea a crei variaie

n timp este descris de o expresie de forma:

( ) ( ) ( )+=+= tXtXtx sin2sinmax (2.1)

n relaia (2.1) mrimile care apar au urmtoarea semnificaie:

Xmax este amplitudinea sau valoarea de vrf a mrimii

sinusoidale i reprezint valoarea maxim pozitiv a variaiei x(t)

n decursul unei perioade.

X este valoarea efectiv sau eficace a mrimii sinusoidale.

ntre amplitudine i aceasta exist, aa cum se observ din


32

relaia (2.1), dependena: 2max XX = . Valoarea efectiv X este

valoarea indicat de aparatele de msur.

este pulsaia sau frecvena unghiular. ntre pulsaie i

frecvena (sau perioada) mrimii exist relaia:

Tf == 22 (2.2)

=t + reprezint faza la un moment dat (t oarecare). Pentru

t=0 se obine faza iniial a mrimii sinusoidale.

Pentru a ilustra mai bine semnificaia fizic a acestor mrimi vom

reprezenta grafic variaia n timp pentru o mrime sinusoidal:

Fig.2.1 Mrimi i valori caracteristice unei variaii sinusoidale.

Prin definiie, valoarea medie a unei mrimi periodice este

valoarea expresiei dat de relaia (2.2).

( ) 0d10

0

== +Tt

t

ttxT

x (2.3)

Aa cum se poate observa din relaia (2.3) pentru o mrime

sinusoidal valoarea sa medie este nul.

O mrime periodic de valoare medie nul se numete mrime

alternativ.

Definim valoarea efectiv sau eficace a mrimii - rdcina ptrat

a valorii medii a ptratului variaiei respective.


33

2d)(1 max22

0

0

Xttx

TxX

Tt

t

=== +

(2.4)

Pentru dou mrimi sinusoidale de aceeai pulsaie se definete

defazajul ca diferena dintre fazele celor dou mrimi sinusoidale

de fapt diferena dintre fazele lor iniiale.

)sin(2)(

)sin(2)(

222

111

+=

+=

tXtx

tXtx 2121 )()( =++= tt

(2.5)

n Fig. 2.2 se vizualizeaz defazajul pentru dou mrimi de

amplitudini i faze iniiale diferite:

Fig. 2.2 Defazajul dintre dou mrimi sinusoidale.

2.2 REPREZENTAREA COMPLEX A MRIMILOR SINUSOIDALE

Pentru orice mrime sinusoidal x(t) de pulsaie i se poate asocia

n mod biunivoc un numr complex X numit i complexul sau

imaginea complex a lui x(t), de modul egal cu valoarea efectiv i de

argument egal cu faza iniial a mrimii sinusoidale:

)sinj(cose)sin(2)( j +==+= XXXtXtx (2.6)

n relaia (2.6) s-a notat 1j = fiind numrul complex de modul

unitate i faza 2 . Acest mod de reprezentare analitic a mrimilor

sinusoidale se numete reprezentare complex. Acest tip de


34

reprezentare permite i o reprezentare n planul complex a mrimilor

sinusoidale:

Fig.2.3 Reprezentarea complex a mrimilor sinusoidale.

Aceast reprezentare este foarte util deoarece permite rezolvarea

circuitelor electrice de curent alternativ sinusoidal mult mai uor i

permite totodat o mai bun interpretare a rezultatelor obinute.

Prin urmare, n prima faz, mrimile sinusoidale vor fi exprimate

cu ajutorul numerelor complexe, apoi, dup rezolvarea acestora,

folosind n principal aceleai teoreme de echivalen i metode de

rezolvare ca i n curent continuu, se va reveni n domeniul timp

folosind biunivocitatea transformrii n complex.

2.3 ELEMENTE DE CIRCUIT

Elemente pasive de circuit

n principal, aceste elemente de circuit sunt reprezentate de

rezistorul, bobina, condensatorul i bobinele cuplate mutual ntre ele,

fiecare dintre acestea fiind caracterizate doar de un singur parametru

constant, rezistena R, inductivitatea L, capacitatea C, respectiv

inductivitatea mutuala de cuplaj M, care apare n plus faa de

parametrii celor dou bobine cuplate ntre ele.


35

)()( tRitu RR = tti

Ltu LL d)(d

)( = = ttiCtu Cc d)(1)(

ti

Lti

Ltu

ti

Lti

Ltu

L

L

dd

dd

)(

dd

dd

)(

11

22

22

11

1

1

=

=

Fig.2.4 Elementele pasive de circuit

n Fig.2.4 s-au prezentat pentru fiecare element n parte

ecuaiile analitice ce le caracterizeaz.

n cazul bobinelor cuplate magnetic semnul dintre cei doi termeni

este + dac i1 i i2 au acelai sens faa de bornele polarizate, iar

semnul este dac i1 intr n borna polarizat, iar i2 iese din borna

polarizat sau invers.

Aa cum este sensul curenilor i poziia bornelor marcate n

figur semnul este pozitiv.

Elementele active de circuit

Aceste elemente sunt generatorul ideal de tensiune i generatorul

ideal de curent.

Generatorul ideal de tensiune se caracterizeaz prin faptul c

indiferent de valoarea intensitii curentului care-l parcurge i(t),

acesta furnizeaz la bornele sale o tensiune constant u(t) egal cu

valoarea tensiunii generatorului e(t).


36

Generatorul ideal de curent se caracterizeaz prin faptul c

indiferent de valoarea tensiunii de la bornele sale u(t) acesta injecteaz

n circuit un curent a crui intensitate constant i(t) este egal cu

valoarea curentului generatorului j(t).

n Fig 2.5 sunt ilustrate simbolurile i ecuaiile de funcionare ale

generatoarelor ideale de tensiune i curent.

u(t)=e(t) i(t)=j(t)

Fig.2.5 Generatoarele ideale de tensiune i curent.

n cazul generatoarelor reale de tensiune i curent n componenta

acestora mai avem o rezistena interioar n serie cu generatorul de

tensiune i n paralel cu generatorul de curent.

n Fig.2.6 sunt reprezentate schemele echivalente ale acestor

generatoare precum i ecuaiile lor de funcionare.

u(t)=e(t)-ri(t) i(t)=j(t)-gu(t)

Fig. 2.6 Generatoarele reale de tensiune i curent.

n circuitele electrice este de multe ori util s lucrm un un singur

tip de generator.


37

De aceea, este util s putem trece de la un tip de generator la

cellalt.

Ecuaiile de transformare se pot obine uor prin compararea

expresiei tensiunii u(t) pentru cele dou tipuri de generatoare:

rg

rtetj

trite

tritrjtutritetu 1

)()(

)()(

)()()()()()(

=

=

=

==

(2.7)

Prima din relaiile rezultate se folosete la trecerea de la

generatorul de curent la cel de tensiune, cu legarea rezistenei

interioare n serie, iar a doua relaie permite trecerea de la generatorul

de tensiune la cel de curent cu legarea rezistenei interioare n paralel

cu generatorul.

2.4. IMITANE COMPLEXE

Rezolvarea circuitelor electrice de curent alternativ periodic

sinusoidal se poate face sistematizat apelnd la noiunile de impedan

respectiv admitan complex denumite n termenul comun de imitane

complexe.

Pentru aceasta vom considera un dipol liniar i pasiv ale crui

elmente inductive componente nu au cuplaje magnetice cu exteriorul.

Tensiunea i curentul la bornele sale au o variaie sinusoidal

Fig.2.7.

Fig.2.7 Dipol liniar pasiv necuplat magnetic cu exteriorul.

Variaia n timp a tensiunii i a curentului la bornele dipolului:


38

)sin(2)(

)sin(2)(

I

U

tIti

tUtu

+=

+=

)sin(cose

)sinj(cosej

j

II

UU

jIII

UUUI

U

+==

+==

(2.8)

Prin definiie se numete impedana complex a dipolului raportul

dintre imaginile complexe ale tensiunii aplicate la bornele sale i

intensitatea curentului absorbit:

XRZZI

UI

UZ IU j)sinj(cosee j)j( +=+==== (2.9)

Modulul Z [] se numete impedana real a dipolului i

argumentul su IU = se numete faza dipolului iar:

{ } [ ]{ } [ ]==

== dipolului a aechivalent interna reactanta dipolului a aechivalent interna rezistenta

sinZZmXcosZZeR

(2.10)

n mod evident se pot determina relaiile:

22 XRI

UZ +== RXarctg= (2.11)

Prin definiie Y [S] se numeste admitana complex a dipolului

raportul dintre imaginile complexe ale intensitii curentului i ale

tensiunii la bornele sale:

BGYYUI

UIY IU j)sinj(cosee j)j( ===== (2.12)

n relaia (2.12) se identific G conductana echivalent i B

susceptana echivalent ca parte real respectiv, coeficient schimbat

de semn al prtii imaginare din Y .

{ } [ ]{ } [ ]S dipolului a aechivalent interna asusceptantsin

S dipolului a aechivalent interna aconductantcos====

YYmBYYeG

(2.13)

Ca i n cazul impedanei pentru admitan avem relaiile:

22 BGUIY +==

GBarctg= (2.14)


39

Observm c admitana (real sau complex) constituie inversul

impedanei (reale sau complexe).

Prin urmare ntre parametrii artai mai sus se pot determina o

serie de relaii:

ZY

ZY

1

1

=

=

22

22

RYZRG

GZYGR

==

==

22

22

XYZXB

BZYBX

==

== (2.15)

Avnd n vedere relaiile (2.11) i (2.14) observm c este posibil

construirea a dou triunghiuri dreptunghice numite generic al

impedanelor respectiv, al admitanelor (Fig.2.8).

22 XRZ +=

22 BGY +=

ZY 1=

Fig.2.8 Triunghiurile imitanelor

Mai trebuie precizat c dipolul liniar i pasiv necuplat cu exteriorul

trebuie n mod obligatoriu s satisfac condiia:

2,

2 (2.16)

Condiia (2.15) este echivalent cu { } 0= RZe .

Dac { } 0> Zm sau 0> vom spune c avem un regim

preponderent inductiv.

n acest caz putem echivala ntreg dipolul fie serie fie paralel (dup

cum lucrm n impedan sau admitan) cu un rezistor n conexiune

cu o inductivitate.

La legarea serie La legarea paralel (2.17)


40

{ }

{ }

==

=

LL

XLZmX

ZeR

{ }

{ }L

L BLYmB

YeG

==

=1

Dac { } 0


41

]W[cos)cos(d)(10

0

==== +

UIUIttpT

pP IUTt

t

(2.20)

Avnd n vedere relaia (2.16), puterea activ este ntotdeauna

pozitiv i este deci primit de dipolul liniar i pasiv.

Lund n considerare relaiile precizate n cazul dipolului liniar,

puterea activ consumat de acesta poate fi exprimat i n funcie de

rezistena, respectiv conductana acestuia :

22 GURIP == (2.21)

Puterea activ este consumat de elementele active dintr-un

circuit (rezistenele) unitatea de masur a acesteia fiind watt-ul (W).

Puterea reactiv Q primit de dipol se definete prin analogie

cu puterea activ:

VAR][sin=UIQ (2.22)

Aceast putere i schimb semnul odat cu defajajul dintre

tensiune i curent, astfel nct poate fi att pozitiv ct i negativ,

deci att primit ct i cedat de dipol.

Ca i n cazul puterii active, puterea reactiv poate fi exprimat n

funcie de reactane sau susceptane:

22 BUXIQ == (2.23)

Puterea reactiv este consumat de elementele reactive din

circuit (bobinele, condensatoarele i cuplajele magnetice ntre bobine),

unitatea de masur fiind volt-amperul reactiv (VAR).

Puterea aparent S este prin definiie produsul dintre valorile

efective ale tensiunii i intensitii curentului:

]VA[UIS = (2.24)

Ca i n cazurile precedente putem exprima puterea aparent n

funcie de imitanele dipolului liniar i pasiv:

22 YUZIS == (2.25)


42

Puterea aparent este un indicator asupra funcionrii circuitului

fiind maximul puterii active la 0= , respectiv al puterii reactive la

2= . Unitatea de masur pentru puterea aparent este volt-amperul

(VA).

Avnd n vedere modul de definiie al acestor puteri se poate vorbi,

ca i n cazul imitanelor, de un triunghi al celor trei puteri: activ,

reactiv i aparent.

n Fig.2.9 este reprezentat triunghiul puterilor precum i relaiile

de calcul ale puterilor active i reactive, n funcie de puterea aparent.

22 QPS +=

= cosSP

= sinSQ

Fig.2.9 Triunghiul puterilor

O mrime foarte important din punct de vedere energetic este

factorul de putere Pk definit ca raportul dintre puterea activ

consumat de dipol i puterea aparent:

[ ]10cos ==SPk P (2.26)

O sintez a puterilor definite mai sus este puterea complex S

definit ca produs ntre imaginea complex a tensiunii aplicat

dipolului i imaginea complex conjugat a intensitii curentului

absorbit:

QPSSIUS j)sinj(cose j +=+=== (2.27)

Aa cum se poate observa modulul puterii complexe reprezint

puterea aparent, partea sa real se identific cu puterea activ iar

coeficientul prii imaginare cu puterea reactiv definite la dipol.


43

Relatia (2.28) precizeaz aceste observaii.

SS = { }SeP = { }SmQ = (2.28)

Din aceste motive n calculul de puteri se procedeaz direct la

calculul puterii complexe dup care se identific puterile active i

reactive separnd componentele sale.

Elementele active de circuit sursele de energie (sursele de tensiune

respectiv, sursele de curent) sunt furnizoarele de putere complex n

circuit.

n cazul sursei de tensiune, puterea aparent complex este dat

de produsul dintre imaginea n complex a tensiunii la bornele sale i

imaginea n complex conjugat a curentului debitat ce parcurge sursa.

Pentru sursa de curent, puterea aparent complex este dat de

produsul dintre imaginea n complex a tensiunii la bornele sale i

imaginea n complex conjugat a curentului debitat de surs.

Pentru ambele surse relaiile sunt luate cu semnul plus dac

sensurile alese de tensiune i curent respect regula de tip generator,

altfel puterile complexe prezint semnul minus n faa expresiilor sus

menionate.

= IES = JUS (2.29)

Trebuie menionat c sensul tensiunii la bornele sursei de curent

trebuie ales de la extremitatea indicat de sgeat la baz.

Puterea complex total n cazul unui circuit este alctuit din

suma tuturor puterilor complexe date de toate sursele de energie (

tensiune i curent) din circuit; partea sa real trebuie s fie egal cu

puterea activ, iar partea imaginar este egal cu puterea reactiv a

circuitului.


44

QPJUIESn

lkk

n

kkk j

11+=+=

=

=

{ }= =

===

==n

k

m

llkk

n

kk

k

n

kkk

n

kkk IIeMIC

ILQIRP1 11

2

1

2

1

2 21

(2.30)

Dac se calculeaz separat puterea activ respectiv, puterea

reactiv trebuie s avem identitile { }SeP = , respectiv { }SmQ = .

Acest verificare constituie o verificare a bilanului de puteri n

circuitele de curent alternativ.

2.6. COMPORTAREA ELEMENTELOR PASIVE DE CIRCUIT N

REGIM PERIODIC SINUSOIDAL

Rezistorul ideal descrierea n regim periodic sinusoidal este dat

n principal de ecuaia sa de funcionare transpus n complex.

{ } { } 0==

===

ZmRZe

RI

UZIRU

1cos002

2

====

==

QRIPRIIUS

Prin urmare, n cazul rezistorului ideal, curentul ce l parcurge

este n faz cu tensiunea, iar acesta consum numai putere activ.

Bobina ideal ecuaia de funcionare a bobinei ideale ne conduce

la urmtoarea descrierea n complex.

{ } { } LXZmZe

LI

UZILU

L

L

===

===

0

jj

0cos2

00j

2

2

=

=

>==

==

LIQPLIIUS

n cazul bobinei ideale tensiunea este defazat nainte fa de

curent cu 2 , iar aceasta consum numai putere reactiv.


45

Termenul 0>= LX L se numete reactan inductiv a bobinei i

este o caracteristic a bobinei pentru o anumit frecven.

Condensatorul ideal ecuaia de funcionare a condensatorului

ideal ne conduce la urmtoarea descriere n complex.

{ } { }

CXZmZe

CIUZI

CU

C

L

===

==

=

10

jj

0cos2

010

j

2

2

=

=

> Zi > Zh, cel mai mare rezult curentul de

scurtcircuit monofazat, iar apoi urmeaz cel de scurtcircuit bifazat, iar

cel mai mic este curentul de scurtcircuit trifazat. Dac se neglijeaz

valorile impedanelor invers i homopolar n raport cu cea direct,

atunci la generatoarele sincrone n regim permanent cei trei cureni de

scurtcircuit au valori n proporia:

Isc1 : Isc2 : Isc3 = 3 : 3 : 1.

n regim tranzitoriu i/sau n reele electrice aceste proporii se

modific.

3.7 CALCULUL PUTERII IN CIRCUITE TRIFAZATE CU AJUTORUL

COMPONENTELOR SIMETRICE

Puterea aparent complex intr-un sistem trifazat nesimetric este

data de relaia:

S = P + j Q = U1 I1* + U2 I2* + U3 I3*,

Introducnd componentele simetrice ale tensiunilor de faz:

U1 = Uh + Ud + Ui, U2 = Uh + a2 Ud + a Ui, U3 = Uh + a Ud + a2 Ui.

i componentele simetrice ale curenilor conjugai [ ]2**2 ;)( aaaa ==

I1* = Ih* + Id* + Ii*; I2* = Ih* +a Id* + a2 Ii*; I3* = Ih* + a2 Id* + a Ii*


93

i innd cont de relaiile: 01;;1 243 =++== aaaaa relaia de

calcul a puterii aparente devine:

S = 3 Uh Ih* + 3 Ud Id* + 3 Ui Ii*,

Puterile active si reactive vor fi deci:

P = 3 Uh Ih cosh + 3 Ud Id cosd + 3 Ui Ii cosi,

Q = 3 Uh Ih sinh + 3 Ud Id sind + 3 Ui Ii sini.

Relaiile anterioare arat c puterea activ, respectiv reactiv, a

unui circuit trifazat e egal cu suma puterilor corespunztoare

sistemelor simetrice de aceleai nume ale curenilor i tensiunilor.


94

4. CIRCUITE ELECTRICE LINIARE N REGIM

PERIODIC NESINUSOIDAL

4.1 GENERALITI

n acest capitol se urmrete analizarea circuitelor electrice liniare

n care semnalele de excitaie aplicate au o variaie n timp periodic

oarecare.

Utilitatea unei astfel de analize const n faptul c n marea

majoritate a cazurilor practice circuitele electrice funcioneaz tocmai

ntr-un asemenea regim, fie datorit unor semnale de excitaie a cror

form de variaie n timp se ndeprteaz (mai mult sau mai puin) de

la o sinusoid, fie datorit caracterului neliniar al elementelor de

circuit componente (bobina cu miez de fier saturat, redresoare etc.).

Ca urmare, curenii i tensiunile din circuit au la rndul lor o

variaie n timp nesinusoidal, lucru care duce de obicei la nrutirea

funcionrii echipamentelor i instalaiilor (pierderi suplimentare de

energie, supratensiuni sau supracureni). Trebuie menionat c sunt i

situaii n care un asemenea regim este produs n mod voit este cazul

unor instalaii de telecomunicaii i automatizri.


95

Trebuie precizat faptul c, dac semnalele de excitaie aplicate nu

au component continu, regimul permanent de funcionare al

circuitului se numete curent alternativ nesiunusoidal.

4.2 FUNCII PERIODICE

Calculul circuitelor electrice liniare sau aproximate prin elemente

liniare se face de obicei pe baza descompunerii n serii Fourier a

tensiunii electromotoare surselor de tensiune, a intensitii curenilor

surselor de curent, a tensiunii aplicate periodice i a aplicrii

superpoziiei.

Orice funcie periodic )()( kTtftf += care satisface condiiile

Dirichlet (este mrginit i are un numr finit de discontinuiti i

extreme pe durata T a unei perioade) poate fi descompus ntr-o serie

Fourier, adic ntr-o sum infinit de sinusoide avnd frecvenele

multiplii ntregi ai frecvenei de baz Tf 1= a funciei.

Descompunerea respectiv conine i un termen constant care

reprezint componenta continu a funciei.

Seria Fourier echivalent a funciei periodice )(tf se scrie:

)cossin()(1

0 tkCtkBAtf kmk

km ++=

=

(4.1)

n relaia de mai sus coeficienii dezvoltrii se calculeaz cu

relaiile:

+

=Tt

t

ttfT

A0

0

d)(10 +

=Tt

tkm ttktfT

B0

0

dsin)(2 +

=Tt

tkm ttktfT

C0

0

dcos)(2 (4.2)

Aceeai dezvoltare poate fi rearanjat sub forma:

)cos()(1

0

=

++=k

kkm tkAAtf (4.3)

n care:


96

22kmkmkm CBA +=

km

kmk C

B=tg (4.4)

De menionat c, majoritatea funciilor ntlnite n tehnica

dezvoltrii n serie Fourier, se pot aproxima prin primii 3, 5 cel mult 10

termeni.

Fig.4.1 Descompunerea unei funcii periodice n serie Fourier cu trei

termeni.

Pentru funciile periodice care se bucur de anumite proprieti

particulare de simetrie, seria Fourier corespunztoare are unii

coeficieni nuli.

Astfel:

1) Funcia alternativ , adic funcia care are valoare medie nul:

0)( =xf , nu are component continu: 00 =A ;

2) Funcia impar, )()( tftf = , nu are dect termeni n sinus n

dezvoltarea de baz (3.1) : 0;00 == kmCA ;

3) Funcia par, )()( tftf = , nu are termeni n sinus n dezvoltarea

de baz dat de relaia (3.1) : 0=kmB ;

4) Funcia alternativ-simetric,

+=

2)( Ttftf nu are dect

armonici impare: 0;0 ,2,20 === mkmk CBA

4.3 MRIMI CARACTERISTICE


97

Considerm o mrime periodic x(t) dezvoltat n serie Fourier de

forma:

)sin(2)(1

0 kk

tkXtx ++=

=

(4.5)

1) valoarea medie se definete:

0

0

d)(1 XttxT

XT

Tt

== +

(4.6)

2) valoarea efectiv:

=

=

=+=0

2

1

220

kk

kk XXXX (4.7)

3) componenta alternativ a mrimii este definit ca valoarea

efectiv a tuturor armonicilor dezvoltrii:

=

==1

220

2

kka XXXX (4.8)

4) reziduul deformant este definit ca valoare efectiv a tuturor armonicilor superioare ale dezvoltrii:

=

==2

221

20

2

kkd XXXXX (4.9)

5) coeficientul de distorsiune, definit ca raportul dintre reziduul

deformant dX i valoarea efectiv a componentei alternative a

mrimii aX :

=

==

==

1

2

2

2

20

2

21

20

2

kk

kk

a

dd

X

X

XXXXX

XX

k (4.10)

6) factorul de vrf, definit ca raportul dintre valoarea de vrf a

mrimii (valoarea maxim atins n decursul unei perioade) x

i valoarea sa efectiv:


98

Xxkv

= (4.11)

7) factorul de form, definit ca raportul dintre valoarea efectiv a

mrimii i valoarea sa medie redresat:

+

= Tt

t

f

ttxT

Xk0

0

d)(1 (4.12)

Ultimii doi factori sunt proprii funciilor periodice alternative i

simetrice.

Toate mrimile mai sus definite realizeaz o apreciere cantitativ

asupra calitii semnalelor electrice.

Astfel, spre exemplu, n electro-energetic, o mrime sinusoidal

este considerat alternativ dac coeficientul de distorsiune %5dk .

4.4 PUTERI N REGIM NESINUSOIDAL

Puterile prezentate n acest regim dezvolt puterile introduse la

circuitele dipolare funcionnd n regim periodic nesinusoidal.

Pentru aceasta vom considera un dipol receptor liniar, necuplat

magnetic cu exteriorul ale crui mrimi de intrare sunt:

)sin(2)(

)sin(2)(

10

10

k

k

Ik

k

Uk

k

tkIIti

tkUUtu

++=

++=

=

=

Fig.4.2 Dipol electric liniar n regim periodic nesinusoidal.

Se va nota cu kk IUk

= , defazajul armonicii de ordin k a

curentului fa de armonica corespunztoare tensiunii.

Se definesc urmtoarele puteri:


99

1) Puterea instantanee indiferent de variaia n timp a tensiunii

i a curentului, exprimat prin relaia :

)()()( titutp = (4.13)

2) Puterea activ ca i n cazul regimului de curent alternativ se definete cu relaia:

]W[cosd11

000

=

+===k

kkK

T

IUIUtuiT

uiP (4.14)

Prin urmare, n regim periodic nesinusoidal puterea activ este

egal cu suma puterilor active corespunztoare tuturor armonicilor,

inclusiv a celei de ordin zero (puterea de curent continuu).

3) Puterea reactiv n regim periodic nesinusoidal se definete,

prin analogie, ca suma puterilor reactive corespunztoare

tuturor armonicilor:

]VAR[sin1

=

=k

kkK IUQ (4.15)

4) Puterea aparent n regim periodic nesinusoidal se definete

ca produsul dintre valorile efective ale curentului absorbit i ale

tensiunii aplicate dipolului:

VA][0

2

0

2

==

=

= kk

kk IUUIS

(4.16)

Din relaiile (4.14)-(4.16) se poate observa c, spre deosebire de

regimul periodic sinusoidal n care era valabil egalitatea: 22 QPS += ,

de aceast dat cele trei puteri anterior definite satisfac inegalitatea: 22 QPS +> .

Acest fapt sugereaz introducerea unei noi puteri specifice

regimului periodic nesinusoidal puterea deformant.

5) Puterea deformant se definete ca un complement al puterilor activ i reactiv n raport cu puterea aparent:


100

]VAD[222 QPSD = (4.17)

Unitatea de msur pentru puterea deformant este vad (volt-

amper deformant).

Se definete i n acest regim factorul de putere definit ca i n

cazul regimului periodic sinusoidal ca raportul dintre puterea activ i

puterea aparent, fiind ntotdeauna subunitar.

1


101

n care valorile efective kI i defazajele k trebuie determinate pentru

fiecare armonic n parte.

1) Rezistorul ideal. Ecuaia general a rezistorului este : Riu =

0

1

=

=

k

kk URI

RUU

RII

kk

kk ===

=

= 1

2

1

2 1

Prin urmare udid kk ,, = , ceea ce arat c intensitatea curentului i

tensiunea aplicat au aceeai form de variaie n timp.

Puterile consumate de rezistor vor fi:

2

1

2

1

cos RIIRIUPk

kkk

kk ===

=

=

0=Q ; 2RIUIS == ; 0=D (4.21)

Rezultatele mai sus precizate rmn valabile i pentru cazul n

care tensiunea aplicat la intrare are component continu.

2) Bobina ideal. Ecuaia de funcionare a acesteia:

+

==

= 2sin2d1

1k

k

k tkLk

Utu

Ci

2

1

=

=

k

kk ULkI

L

UULk

UL

IIk

kk

k

kk

=

==

=

=

= 1

2

1

2

1

2

Prin urmare udid kk ,, > ceea ce arat c armonicile de ordin superior

ale curentului sunt mai mari dect cele ale tensiunii, astfel nct

condensatorul distorsioneaz mai puternic curba de variaie a

curentului n comparaie cu cea a tensiunii.

Puterile vor fi:

0=P ;

=

=

==1

2

1 kk

kkk kUCIUQ ; ( )

=

=

==1

2

1

2

kk

kk kUUCUIS

( ) 0221 1

2222 ==

=

=kj

j k

UUkjCQPSD

(4.23)

4) Sursa de tensiune.

)sin(2)(

)sin(2)(

10

10

k

k

Ik

k

Ek

k

tkIIti

tkEEte

++=

++=

=

=

Puterile debitate de sursa de curent vor fi:

222

1100 sincos eeeeek

kkkek

kkke QPSDEISIEQIEIEP ===+=

=

=

=

=

===0

2

0

2

kk

kkIEk IIEEkk

(4.24)

5) Sursa de curent.


103

)sin(2)(

)sin(2)(

10

10

k

k

Uk

k

Jk

k

tkUUtu

tkJJtj

++=

++=

=

=

Puterile debitate de sursa de curent vor fi:

222

1100 sincos jjjjjk

kkkjk

kkkj QPSDUJSJUQJUJUP ===+=

=

=

=

=

===0

2

0

2

kk

kkJUk JJUUkk

(4.24)

4.6 REZOLVAREA CIRCUITELOR ELECTRICE MONOFAZATE N REGIM PERIODIC NESINUSOIDAL

Metoda cea mai frecvent folosit pentru rezolvarea circuitelor

electrice liniare n regim periodic nesinusoidal este metoda

descompunerii spectrale. Ea se bazeaz pe valabilitatea teoremei de

superpoziie, evident la circuitele liniare n studiu.

Aplicarea metodei presupune parcurgerea urmtoarelor etape

obligatorii:

1) Descompunerea n serie Fourier a mrimilor periodice ce

caracterizeaz sursele de excitaie ale circuitului.

2) Rezolvarea regimului permanent corespunztor fiecrei

armonici obinute prin descompunere.

3) Pentru calculul componentei continue i, respectiv, a

armonicelor mrimilor de rspuns, se folosesc metodele de

rezolvare proprii circuitelor de curent continuu (v. cap.1) i,

respectiv, a celor de curent alternativ sinusoidal (v. cap. 2).

4) Exprimarea mrimilor cutate sub forma unor dezvoltri n

serie Fourier, ce se obin prin sumarea componentelor lor (n

expresie instantanee) - rezultatele din rezolvrile precedente.


104

De menionat c, n curent continuu, elementele de circuit au

urmtorul comportament:

Fig.4.3 Elementele de circuit n curent continuu


105

5. Circuite electrice liniare n regim tranzitoriu

Comportarea oricrui circuit electric, adic modul de variaie n

timp a intensitii curenilor i a tensiunilor la bornele diferitelor

elemente componente sau laturi ale circuitelor, este complet descris

cu ajutorul unui sistem de ecuaii ce se obine prin aplicarea celor

dou teoreme ale lui Kirchhoff.

ntr-un circuit cu n noduri i l laturi cu ajutorul celor dou

teoreme ale lui Kirchhoff se pot scrie (n 1) respectiv, b = l n + 1

ecuaii liniar independente, adic n total n 1 + b = l ecuaii, n

numr egal cu numrul de laturi al circuitului. n acest fel,

comportarea n timp a circuitului poate fi perfect determinat prin

integrarea sistemului de ecuaii stabilite:

bptetiCt

iL

ti

LiR

nji

pkk

pk khk

k

hkh

kkkk

jkk

,,2,1)(d1dd

dd

1,,2,10

)()( )(

)(

K

K

==

+++

==

(5.1)

n aceast form de scriere a sistemului, necunoscutele sunt

intensitile curenilor din cele l laturi ale circuitului, iar variabila

independent este timpul. Circuitul fiind liniar, parametrii elementelor

componente au valori constante, astfel nct sistemul descris de

ecuaiile (5.1) este un sistem de ecuaii integro-difereniale liniar i


106

neomogen cu coeficieni constani. Observnd c numai bobinele i

condensatoarele introduc cte un element diferenial n ecuaiile

circuitului, conform relaiilor acestora de funcionare, ordinul N al

sistemului de ecuaii este egal cu suma dintre numrul NL de bobine i

respectiv NC de condensatoare coninute de circuit, adic cu numrul

total al elementelor reactive.

Regimul tranzitoriu poate fi definit ca fiind regimul variabil al

circuitelor electrice de trecere de la o stare iniial (un regim

permanent) la un alt regim permanent. Acest regim poate fi determinat

de situaii de manevr sau de accident ce intervin n funcionarea

circuitelor electrice.

Regimul tranzitoriu mai poate fi definit ca fiind acel regim de

funcionare a circuitelor electrice n care soluia liber (natural fr

excitaii) are valori importante, comparabile cu cele ale soluiei forate

(cu excitaii). Pe durata sa se simte influena condiiilor iniiale de

funcionare.

n practic, regimul tranzitoriu are o importan destul de mare. n

reelele electrice de transport i distribuie, toate comutaiile

(deschideri sau nchideri ale ntreruptoarelor) sau avariile

(scurtcircuite, ntreruperi de conductoare) determin regimuri

tranzitorii. Regimurile tranzitorii, dei dureaz puin, datorit

constantelor de timp foarte mici pot periclita securitatea instalaiilor

(prin supraintensiti i supratensiuni) sau stabilitatea funcionrii

acestora. n electrocomunicaii i n informatic, numeroase clase de

semnale (precum succesiunile de impulsuri) au variaii importante n

intervale de timp, variaii de acelai ordin de mrime cu constantele de

timp ale circuitelor; ele nu pot fi studiate dect n regim tranzitoriu. De

asemenea, prelucrarea semnalelor (detecie, modulaie, limitare, etc.)

utilizeaz procese tranzitorii care nu pot fi ignorate.

Pentru rezolvarea regimului tranzitoriu sunt cunoscute mai multe

metode de rezolvare dintre care cele mai importante sunt:


107

Metoda elementar a integrrii directe a sistemului de ecuaii

integro-difereniale. Datorit faptului c este o metod relativ

laborioas, aceasta metod nu este recomandat dect n cazul unor

circuite relativ simple, cu un numr redus de elemente reactive (de

cele mai multe ori dou).

Metodele simbolice (operaionale), care, pe baza unor transformri

operaionale (transformata Laplace, transformata Fourier,

transformata Z) simplific apreciabil integrarea sistemului de ecuaii

integro-difereniale ale circuitului.

Metoda variabilelor de stare permite scrierea de ecuaii ale

circuitului astfel nct s apar numai variabilele legate direct de

comportarea elementelor reactive de circuit. Aceast metod prezint

avantajele unei remarcabile sistematizri n modul de scriere a

ecuaiilor dar, fiind o metoda matricial, prezint toate inconvenientele

proprii acestui mod de calcul.

n cele ce urmeaz vom prezenta metoda operaional folosind

transformata Laplace i metoda variabilelor de stare.

5.1. TEOREMELE LUI KIRCHHOFF N REGIM VARIABIL

Ipotezele de baz acceptate n studiul circuitelor electrice permit

deducerea celor dou relaii fundamentale n studiul acestor circuite:

teoremele lui Kirchhoff. n form lor primar aceste teoreme ilustreaz

proprieti topologice generale ale circuitului.

Prima teorem a lui Kirchhoff afirm c suma algebric a

intensitilor curenilor ki , ai laturilor lk legate la un nod nj al unui

circuit este nul.

0)(

= jk

ki (5.2)

Se vor lua cu semnul plus curenii al cror sens de referin iese

din nod. Ecuaia de mai sus rezult din legea conservrii sarcinii


108

electrice aplicat pentru o suprafa nchis ce nconjoar nodul nj

(Fig. 5.1) i din ipoteza c sarcina acumulat pe nod este nul (q =0),

ceea ce conduce la condiia c intensitatea i a curentului de conducie

total ce iese din suprafa s fie nul.

tq

id

d =

Fig. 5.1 Prima teorem a lui Kirchhoff. Legea conservrii sarcinii

electrice.

Ca i n cazul circuitelor electrice de curent continuu aceasta

teorem conduce la un sistem de ecuaii liniar independente numai

dac se aplic la (n-1) din nodurile circuitului.

A doua teorem a lui Kirchhoff pentru circuitele n regim variabil afirm c suma algebric a tensiunilor uk la bornele laturilor lk ce

aparin unei bucle (p) a unui circuit este nul.

=)(

0pk

ku (5.3)

Se vor considera cu plus laturile al cror sens de referin coincide

cu sensul de referin ales de bucl. Ecuaia de mai sus rezult din

aplicarea legii induciei electromagnetice pe o curb nchis ce

parcurge pe la borne toate laturile buclei (p) (Fig.5.2) i din ipoteza c

fluxul magnetic prin orice suprafa exterioar eventualelor bobine de

pe laturi este nul 0=S

, ceea ce conduce la condiia c tensiunea

electric u, pe curba nchis s fie nul.

n ceea ce privete aplicarea acestei teoreme se observ c se

prefer, pentru o mai bun sistematizare n modul de scriere a

ecuaiilor circuitului, ca tensiunea uk de la bornele laturii s fie


109

asociat dup convenia de tip receptor cu sensul curentului din

latura respectiv.

ntr-un circuit cu n noduri i l laturi, teorema a doua a lui

Kirchhoff se poate aplica pentru b= ln+1 bucle independente (Teorema

lui Euler).

te S

dd

=

Fig. 5.2 A doua teorem a lui

Kirchhoff.

Legea induciei electromagnetice

5.2 ELEMENTELE IDEALE DE CIRCUIT N REGIM VARIABIL

Vom preciza n cele ce urmeaz caracteristicile fiecrui element de

circuit i comportamentul acestora n regim variabil. Intereseaz

dependenele ntre intensitile curenilor i tensiunile la bornele

laturilor.

Rezistorul ideal : caracteristica acestui element este dat de legea

lui Ohm:

)()(sau

)()(

tGuti

tRitu

RR

RR

=

=

Bobina ideal fr cuplaj magnetic: tensiunea la bornele bobinei

este dat de legea induciei electromagnetice:


110

+==

=+=

=

d)(1)0()(d

)(d)(

)(d)()0()(dd)(

0

0t

LLLL

L

L

t

LL

uL

ititti

Ltu

tLiutt

tu

Bobina ideal cu cuplaje magnetice: ca i n cazul precedent, relaia

dintre tensiune i curent este furnizat tot de legea induciei

electromagnetice:

+=

+=

=

)(

)(

d)(d

d)(d

)()(d

d

kh

hkh

kkkL

khhkhkkk

kkL

tti

Ltti

Lu

tiLtiLt

u

Relaiile de mai sus arat c fluxurile magnetice totale ale

bobinelor trebuie s fie funcii de timp cu proprieti de continuitate

)0()0( + = pentru ca tensiunile la borne s rmn finite. De

asemenea, se observ c, n cazul bobinei necuplate magnetic,

curentul prin bobin trebuie s aib proprieti de continuitate

)0()0( + = LL ii . Aceste proprieti vor fi utile n studiul regimului

tranzitoriu.

Condensatorul ideal: caracteristica acestui element este dat de

legea conservrii sarcinii:

+==

=+==

t

CCC

C

c

t

C

iC

utut

tuCti

tCuiqtqtqti

0

0

d)(1)0()(d

)(d)(

)(d)()0()(dd)(

Ca i n cazul bobinelor, relaiile ce exprim funcionarea

condensatorului arat c sarcina electric a condensatorului trebuie

s fie o funcie de timp cu proprieti de continuitate )0()0( + = CC qq

curentul rmnnd astfel finit. Se poate spune c datorit ecuaiei sale


111

de funcionare i tensiunea la bornele condensatorului trebuie s aib

proprietatea de continuitate )0()0( + = CC uu .

Avnd n vedere cele expuse anterior, a doua teorem a lui

Kirchhoff se poate exprima i sub o alt form, mai util n aplicaii

curente, form ce ia explicit n considerare structura fizic real a

laturilor circuitului.

Presupunem pentru aceasta c (n cazul cel mai general posibil),

fiecare latura k este alctuit din urmtoarele elemente ideale: un

rezistor de rezistena kR , o bobin cu inductivitate kL , eventual cuplat

magnetic cu alte bobine ( khL ), un condensator de capacitate kC i o

surs de tensiune electromotoare )(tek Fig.5.3.

Fig.5.3. Latura de circuit cu structur complet.

nlocuind expresia tensiunii ku n expresia (5.3) se ajunge la

urmtoarea form echivalent a celei de-a doua teoreme a lui

Kirchhoff:

=

+++

)()( )()(d1

dd

dd

pkk

pk khk

k

hkh

kkkk tetiCt

iL

ti

LiR (5.4)

Prin urmare suma algebric a cderilor de tensiune pe elementele

componente ale laturilor unor bucle ale circuitului este n orice

moment suma algebric a tensiunilor electromotoare ale surselor din

acele laturi, toate semnele fiind stabilite prin raportarea sensurilor


112

curenilor i tensiunilor la un sens oarecare de parcurgere a buclei

ales arbitrar.

5.3 ECUAIILE CIRCUITELOR ELECTRICE. PROBLEMA

CONDIIILOR INIIALE. REGIMURI DE FUNCIONARE

Comportarea oricrui circuit electric, adic modul de variaie n

timp a intensitii curenilor i a tensiunilor la bornele diferitelor

elemente componente sau laturi ale circuitelor, este complet descris

cu ajutorul unui sistem de ecuaii ce se obine prin aplicarea celor

dou teoreme ale lui Kirchhoff. Aa cum am precizat n subcapitolele

anterioare, cu ajutorul celor dou teoreme se pot scrie (n 1) respectiv,

b ecuaii liniar independente, adic n total n1+b=l ecuaii, n numr

egal cu numrul de laturi al circuitului. n acest fel, comportarea n

timp a circuitului poate fi perfect determinat prin integrarea

sistemului de ecuaii stabilite (vezi subcapitolul anterior).

bptetiCt

iL

ti

LiR

nji

pkk

pk khk

k

hkh

kkkk

jkk

,,2,1)(d1dd

dd

1,,2,10

)()( )(

)(

K

K

==

+++

==

(5.5)

n aceast form de scriere a sistemului, necunoscutele sunt

intensitile curenilor din cele l laturi ale circuitului, iar variabila

independent este timpul. Circuitul fiind liniar, parametrii elementelor

componente au valori constante, astfel nct sistemul descris de

ecuaiile (5.5) este un sistem de ecuaii integro-difereniale liniar i

neomogen cu coeficieni constani. Observnd c numai bobinele i

condensatoarele introduc cte un element diferenial n ecuaiile

circuitului, conform relaiilor acestora de funcionare, ordinul N al

sistemului de ecuaii este egal cu suma dintre numrul NL de bobine i


113

respectiv NC de condensatoare coninute de circuit, adic cu numrul

total al elementelor reactive.

n cazul reelelor liniare, prin eliminri succesive, sistemul de

ecuaii (5.5) se poate reduce n raport cu o funcie necunoscut )(tx la

o ecuaie diferenial liniar neomogen, cu coeficieni constani, de

forma:

)(dd

dd

dd

011

1

1 tyxatxa

txa

txa n

n

nn

n

n =++++

L (5.6)

Coeficienii naaa ,,, 10 K depind numai de structura reelei i au

aceleai valori (pn la un factor multiplicativ) pentru orice funcie

necunoscut x(t), a sistemului iniial, iar membrul drept y(t) depinde

de structura circuitului, de mrimile caracteristice ale surselor

presupuse variabile n timp i de funcia necunoscut x(t) n raport cu

care s-a fcut eliminarea.

Conform teoriei matematice a sistemelor de ecuaii difereniale, de

forma (5.6), expresia n timp a intensitii fiecruia dintre cureni x(t)

se scrie ca suma dintre dou componente:

)()()( txtxtx pl += . (5.7)

Prima dintre aceste componente, )(txl , este soluia sistemului

de ecuaii omogenizate, adic pentru care s-a presupus c toate

sursele existente n circuit se pasivizeaz y(t)=0 (ek (t)=0). Mrimile

caracteristice ale circuitului, intensitile curenilor din laturi i

tensiunile la bornele diferitelor elemente, vor fi n acest caz

determinate de valorile iniiale ale unora dintre ele. Aceasta soluie se

numete soluie de regim liber i ea are forma:

==

==n

kkk

n

k

tkl ttAtAtx k

11)exp()(e)()( . (5.8)

n relaia (2.7) nktAk ,,2,1),( K= sunt termeni de integrare, iar

nk ,2,1, K sunt rdcinile ecuaiei caracteristice, care se obine din


114

ecuaia diferenial omogen nlocuind formal derivata de ordin k a

funciei necunoscute cu puterea k a unei necunoscute :

0011

1 =+++

aaaan

nn

n L (5.9)

n ecuaia (5.9) k este o rdcin multipl de ordinul mk .

Polinoamele )(tAk sunt de ordinul (mk 1) n variabila t, cu coeficieni

reali sau compleci. Deoarece fizic se constat c n absena surselor,

mrimile ce definesc comportarea oricrui circuit real tind s se

anuleze dup scurgerea unui anumit timp, rezult c rdcinile

ecuaiei caracteristice ndeplinesc n mod obligatoriu condiia:

{ } 0


115

unora dintre mrimile sale caracteristice. Deoarece elementele reactive

sunt cele care au determinat natura integro-diferenial a ecuaiilor

circuitelor, condiiile cerute se vor referi la mrimile ce definesc

comportarea lor.

Pentru bobin i pentru condensatorul ideal se pot scrie ecuaiile:

)0(d)(1d)(1)(

)0(d)(1d)(1)(

0

0

C

t

CCC

L

t

LLL

uiC

ttiL

tu

iuL

ttuL

ti

+==

+==

(5.12)

Din ecuaiile (5.12) rezult c, o dat cu specificarea exact a

originii timpului, pentru cunoaterea la un moment t >0 a intensitii

curentului prin bobin iL i respectiv, a tensiunii la bornele

condensatorului uC, trebuie cunoscute valorile acestor mrimi la

momentul t=0. Ele fiind n numr de NL, respectiv NC, se dispune

astfel exact numrul de condiii necesare determinrii celor N

constante de integrare.

Studiul circuitelor electrice n regim variabil n timp prezint o

importan deosebit mai ales pentru faptul c permite anticiparea

comportrii lor n cazul n care, fie prin manevre voite (comutri,

conectri sau deconectri), fie accidental (scurtcircuite, puneri la

pmnt, ntreruperi etc.), se produc modificri brute n structura sau

n condiiile de excitare a circuitului. n aceste cazuri, ca moment

origine de timp (t=0) se ia de obicei chiar momentul efecturii manevrei

sau producerii accidentului, iar condiiile iniiale se determin

impunnd ca pe durata (infinit de scurt) de punere a circuitului n

noile situaii de funcionare, intensitatea curentului din orice bobin i

tensiunea la bornele oricrui condensator s varieze n mod continuu:

)0()0();0()0(

+

+

==

CC

LL

uuii

(5.13)

n ecuaia (5.13) 0 , respectiv +0 , sunt momentele imediat

anterior i ulterior conectrii considerate.


116

Se numete regim permanent acel regim de funcionare al

circuitelor electrice n care componenta liber a soluiei (soluia liber)

este neglijabil n raport cu cea forat. n fapt, regimul permanent

poate fi definit c fiind acea soluie asimptotic, pentru t tinznd ctre

infinit, a soluiei generale dat de ecuaia (5.6). Dac termenul liber

y(t) este o constant sau este o funcie periodic de timp, iar regimul

liber este amortizat (se anuleaz cnd t ), soluia de regim forat i

pstreaz forma la valori orict de mari ale timpului i se confund cu

soluia de regim permanent:

ttxtx p cand)()( (5.14)

Aceasta este situaia cea mai ntlnit n practic la circuite

liniare alimentate cu tensiuni cons

BAZELE ELECTROTEHNICII I, II TEORIA CIRCUITELOR …cazacu/1. Suport Curs BE I-TR- TET...

Documents

Transcript of BAZELE ELECTROTEHNICII I, II TEORIA CIRCUITELOR …cazacu/1. Suport Curs BE I-TR- TET...

Marian Cazacu

CAPITOLUL 2.Manual Bazele Electrotehnicii cap. 2

Bazele Electrotehnicii

Curriculumul modular azele electrotehnicii și electronicii ... Bazele electrotehnicii si... · Curriculumul este structurat în treisprezece unități de învăţare: Semnale şi

Bazele Electrotehnicii Curs 1

BAZELE ELECTROTEHNICII I - users.utcluj.ro

Laboratorul 1 Bazele Electrotehnicii

EE218 BE Bazele Electrotehnicii

Bazele electrotehnicii - Mandru

Bazele Electrotehnicii I

Gabriela CAZACU.

electronicaplicata.files.wordpress.com · Conf. dr. ing. Emil CAZACU Bazele electrotehnicii I şi II– Note de curs 2 CUPRINS 1. Circuite electrice liniare de curent continuu 1.1

Bazele electrotehnicii 2

BAZELE ELECTROTEHNICII Iusers.utcluj.ro/~claudiar/Bazele Electrotehnicii I (BE... · 2020-03-16 · Bazele electrotehnicii I Metoda curenţilor ciclici (de ochiuri, de buclă, fictivi)

BAZELE ELECTROTEHNICII - LABORATOR - users.utcluj.rousers.utcluj.ro/~claudiar/Bazele Electrotehnicii (BZ ETH) An I, IE... · Studiul unui circuit electric de curent continuu. 6 .

An1 Derivat.ro Bazele-electrotehnicii-1 Curs BE I

SURSE REGENERABILE DE ENERGIE - feie.utm.md · electrotehnicii I; F.03.O.009 Bazele teoretice ale electrotehnicii II; S.03.O.027 Dispozitive şi circuite electronice. Conform competențelor

ELTH - Bazele electrotehnicii

Bazele Electrotehnicii Vol.1

Probleme Bazele Electrotehnicii