Bazele electrotehnicii - Mandru

GHEORGHE MÎNDRU

BAZELE ELECTROTEHNICII

EDITURA U.T.PRES CLUJ-NAPOCA, 2005

Editura U.T.PRES Str. C. Daicovicu nr. 15 400020 Cluj-Napoca Tel.: 0264 – 401304; Fax: 0264 - 430408

Director: Prof.dr.ing. Traian Oneţ Consilier ştiinţific: Prof.dr.ing. Virgil Maier Consilier editorial: Ing. Călin D. Câmpean

Copyright © 2005 Editura U.T.PRES Toate drepturile asupra versiunii în limba română aparţin Editurii U.T.PRES. Reproducerea integrală sau parţială a textului sau ilustraţiilor din această carte este posibilă numai cu acordul prealabil scris al editurii U.T.PRES. Tiparul executat la Atelierul de multiplicare al UTCN.

ISBN 973-662-136-7

Descrierea CIP a Bibliotecii Na]ionale a Rom$niei M%NDRU, GHEORGHE Bazele electrotehnicii/ Gheorghe M^ndru . - Cluj-Napoca : U.T. Pres, 2005 p. : cm. Bibliografie ISBN 973-662-136-7 621.3

PREFAŢĂ

Bazele electrotehnicii (sau Electrotehnica teoretică) are ca obiect studiul fenomenelor electromagnetice din perspectiva aplicaţiilor tehnice ale acestora. Pe lângă explicarea fenomenelor şi a mărimilor caracteristice se prezintă legile şi teoremele asociate precum şi numeroşi algoritmi de calcul atât pentru mărimi de câmp, puteri, energii şi forţe electromagnetice, cât şi pentru evaluarea parametrilor de circuit.

Cartea se adresează atât studenţilor de profil electric cât şi studenţilor de la facultăţile de Fizică şi specialiştilor care doresc să aprofundeze acest domeniu al ştiinţei.

Problematica este abordată în cadrul teoriei macroscopice a fenomenelor electromagnetice şi numai parţial, pentru o mai bună înţelegere a unor aspecte, se recurge la interpretări microscopice.

Un capitol aparte îl constituie studiul regimurilor tranzitorii ale circuitelor electrice, care, spre deosebire de studiul regimurilor permanente (abordat în Teoria circuitelor electrice), utilizează metode matematice specifice.

Fiecare capitol este însoţit de numeroase aplicaţii care permit o mai bună înţelegere a problemelor şi algoritmilor expuşi; se insistă mai mult pe determinarea parametrilor funcţionali ai diverselor dispozitive electromagnetice.

Cluj Napoca, ianuarie 2005 Autorul

V

CUPRINS 1. Elemente de analiză vectorială……………………………………. 1.1. Câmpuri scalare………………………………………………….... 1.2. Câmpuri vectoriale………………………………………………... 1.3. Proprietăţile funcţiilor de punct în diverse sisteme de

coordonate……………………………………………………….... 1.3.1. Sistemul cartezian………………………………………......... 1.3.2. Sistemul cilindric…………………………………………...... 1.3.3. Sistemul sferic……………………………………………....... 1.3.4. Sistemul curbiliniu triortogonal…………………………........ 1.4. Aplicaţii……………………………………………………............

1 1 2

8 8 9

12 15 17

2. Stările electrice şi magnetice ale corpurilor şi câmpului ……….. 2.1. Starea de încărcare electrică a corpurilor………………………..... 2.1.1. Distribuţii de sarcină electrică ................................................. 2.2. Starea electrică de polarizare…………………………………....... 2.3. Starea electrocinetică a corpurilor……………………………….... 2.4. Starea de magnetizare a corpurilor……………………………....... 2.5. Stările câmpului electric şi magnetic………………………….......

21 23 24 25 29 35 37

3. Legile fenomenelor electromagnetice ……………………………. 3.1. Legea fluxului electric. Aplicaţii………………………………..... 3.2. Legea fluxului magnetic………………………………………...... 3.3. Legea circuitului magnetic. Aplicaţii…………………………....... 3.3.1. Formele integrale ale legii ....................................................... 3.3.2. Formele locale ale legii ........................................................... 3.4. Legea inducţiei electromagnetice……………………………….... 3.4.1. Fenomenul de inducţie electromagnetică ................................ 3.4.2. Formele integrale ale legii ....................................................... 3.4.3. Formele locale ale legii ........................................................... 3.5. Teoremele de refracţie a liniilor de câmp ………………………... 3.6. Legea conservării sarcinii electrice……………………………...... 3.6.1. Formele integrale ale legii ........................................................ 3.7. Legea conducţiei electrice. Metoda tuburilor şi feliilor………....... 3.8. Legea transformării energiei în conductori……………………...... 3.9. Legea polarizaţiei electrice temporare…………………………..... 3.9.1. Materiale linaire şi izotrope ......................................................... 3.9.2. Materiale liniare şi anizotrope ...................................................... 3.10. Legea magnetizaţiei temporare………………………………...... 3.11. Aplicaţii………………………………………………………......

41 42 49 52 52 55 60 60 62 68 70 72 72 75 79 82 82 83 84 88

VI

4. Ecuaţiile câmpului electromagnetic ……………………………....4.1. Legile câmpului electromagnetic – un sistem complet de ecuaţii 4.2. Teorema de unicitate a câmpului electromagnetic ……………...... 4.3. Teorema superpoziţiei câmpurilor electromagnetice……………... 4.4. Ecuaţiile lui Maxwell……………………………………………... 4.5. Unda electromagnetică plană……………………………………... 4.6. Radiaţia undelor electromagnetice………………………………... 4.6.1. Potenţiale electromagnetice întârziate……………………..... 4.6.2. Rezistenţa de radiaţie a circuitelor………………….……..... 4.7. Aplicaţie ..........................................................................................

93 93 97 98 99

102 108 108 111 112

5. Regimul electrostatic şi magnetostatic…………………………… 5.1. Teorema potenţialului electrostatic……………………………...... 5.1.1. Proprietăţile potenţialului electric V ........................................ 5.2. Capacităţi electrice. Aplicaţii……………………………………... 5.3. Relaţiile lui Maxwell privitoare la capacităţi ………………….... 5.4. Metoda imaginilor electrice……………………………………..... 5.4.1. Imagini electrice în raport cu planul conductor infinit ............. 5.4.2. Imagini electrice în raport cu cilindrul infint lung ................... 5.4.3. Imaginile electrice în raport cu sfera conductoare ................... 5.4.4. Câmpul electric între doi cilindrii paraleli. Axe electrice ........ 5.5. Capacităţi în serviciu. Aplicaţii………………………………….... 5.5.1. Capacitatea în serviciu a unei linii bifilare în prezenţa pământului .......................................................................................... 5.6. Capacitatea unei antene……………………………………......... 5.6.1. Antena verticală ....................................................................... 5.6.2. Antena orizontală ..................................................................... 5.7. Regimul magnetostatic ....................................................................

113 114 116 120 128 134 135 138 139 140 142

144 147 148 149 150

6. Regimul magnetic staţionar ……………………………………… 6.1. Potenţialul magnetic A şi ecuaţiile sale…………………………... 6.2. Potenţialul A şi câmpul B create de fire parcurse de curent …….. 6.3. Metoda imaginilor magnetice…………………………………...... 6.4. Circuite magnetice………………………………………………... 6.4.1. Teoremele lui Kirchhoff pentru circuite magnetice……........ 6.4.2. Rezolvarea circuitelor magnetice………………………........ 6.5. Inductivităţi……………………………………………………...... 6.5.1. Inductivităţi proprii şi mutuale ............................................... 6.5.2. Relaţiile lui Maxwell pentru inductivităţi………………....... 6.5.3. Legătura dintre inductivităţi şi t.e.m. induse……………....... 6.5.4. Teorema lui Neumann……………………………………..... 6.6. Aplicaţii……………………………………………………............

153 153 158 160 163 167 168 171 173 174 176 177 179

VII

7. Energii şi forţe în câmpuri electromagnetice …………………….7.1. Teorema energiei electrice……………………………………...… 7.2. Teorema energiei magnetice…………………………………….... 7.3. Teorema energiei electromagnetice……………………………..... 7.3.1. Puterea electromagnetică transmisă printr-o undă plană….... 7.3.2. Puterea electromagnetică transmisă printr-un conductor….... 7.4. Teoremele forţelor generalizate (lagrangiene) în câmp electric...... 7.5. Teoremele forţelor generalizate în câmp magnetic……………...... 7.6. Aplicaţii…………………………………………………………....

185 185 157 190 192 193 196 199 204

8. Corpuri conductoare în câmpuri variabile ……………………… 8.1. Pătrunderea câmpului electromagnetic în semispaţiul conductor infinit extins …………………………………………………………... 8.2. Efectul de refulare……………………………………………….... 8.3. Efectul de pătrundere……………………………………………... 8.4. Efectul de proximitate…………………………………………….. 8.5. Efectul de buclă…………………………………………………... 8.6. Efectul Field (direct şi invers)…………………………………...... 8.7. Efectul de ecranare………………………………………………... 8.8. Efectul de levitaţie electromagnetică……………………………...

211

211 214 216 216 218 218 219 220

9. Circuite electrice în regim tranzitoriu …………………………..9.1. Teoremele condiţiilor iniţiale pentru comutaţii naturale…….......... 9.2. Circuite simple sub excitaţii particulare……………………........... 9.2.1. Cuplarea şi decuplarea circuitului RL la o sursă continuă … 9.2.2. Cuplarea circuitelor RL la o sursă sinusoidală ……............. 9.2.3. Încărcarea şi descărcarea unui condensator………...............

9.2.4. Cuplarea circuitului RC la o sursă sinusoidală…….............. 9.2.5. Regimul tranzitoriu al circuitului RLC serie……….............

9.2.6. Aplicaţii…………………………………………….............. 9.3. Analiza operaţională a circuitelor electrice în regim tranzitoriu pe

baza transformatei Laplace ............................................................ 9.3.1. Teoremele transformatei Laplace ......................................... 9.3.2. Schemele operaţionale ale circuitelor simple în regim tranzitoriu ....................................................................................... 9.3.3. Forma operaţională a teoremelor lui Kirchhoff ................... 9.4. Comutaţii forţate ............................................................................. 9.4.1. Teoremele condiţiilor iniţiale pentru comutaţii forţate la condensatoare ................................................................................. 9.4.2. Teoremele condiţiilor iniţiale pentru comutaţii forţate la bobine ............................................................................................. 9.4.3. Aplicaţie ...............................................................................

223 225 227 227 231 232 235 236 239

243 244

248 253 258

259

259 260

VIII

9.5. Analiza operaţională a circuitelor electrice în regim tranzitoriu pe baza transformatei Fourier .............................................................. 9.6. Analiza circuitelor electrice în regim tranzitoriu în domeniul timp 9.6.1. Metoda integralei Duhamel .................................................. 9.6.2. Răspunsul unui circuit la un semnal dat în funcţie de

răspunsul circuitului la un impuls unitate ...................................... 9.6.3. Răspunsul unui circuit la un semnal dat în funcţie de răspunsul circuitului la un semnal rampă unitate ...........................

9.7. Aplicaţii ...........................................................................................

262 266 267

270

272 273

10. Linii electrice lungi (linii omogene) …………………………….. 10.1. Ecuaţiile liniilor electrice lungi………………………………..... 10.2. Regimul tranzitoriu al liniilor fără perderi……………………..... 10.3. Linii lungi în regim permanent sinusoidal…………………….....

287 288 290 292

Bibliografie ............................................................................................ 299

1. Elemente de analiză vectorială

1.2 Câmpuri scalare. Fie o funcţie scalară „f” definită într-un domeniu spaţial (plan) D

raportat la un sistem de coordonate cartezian (x, y, z), cilindric (z ,r, ϕ ), sferic (r, θ, ϕ) etc. În fiecare punct din domeniu P0 (x0, y0, z0) funcţia scalară are o valoare f0 (x0, y0, z0); unind punctele în care funcţia f are aceeaşi valoare, se obţine o suprafaţă de nivel pentru funcţia f. Prin intermediul gradientului se pot studia proprietăţile variaţionale ale funcţiei scalare f:

f f fgrad f f i j kx y z∂ ∂ ∂

= ∇ = + +∂ ∂ ∂

(1.1)

unde i j kx y z∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂

este un operator de derivare vectorial (nabla).

Funcţia „grad f” are drept componente vitezele de variaţie ale funcţiei f

după coordonate ( f f f, ,x y z∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

), respectiv „grad f”, în orice punct P (x, y, z)

arată viteza de variaţie a funcţiei la trecerea prin acel punct ; grad f este orientat în sensul crescător al funcţiei f. În regiunea din D unde grad f este mare, acolo suprafeţele de nivel (f = cst) sunt apropiate.

Variaţia funcţiei f după o direcţie de versor n este: f n fn∂

= ∇∂

(1.2)

Proprietăţile funcţiei gradient sunt:

( )( )( )

( )

grad af a grad f

f m n f m n m n

f m n f m n m n n m

grad m grad n m n cstF FF F m,n,.... grad F m n ....m n

⎧=⎪

⎪= ± →∇ =∇ ± = ∇ ±∇⎪

⎪ = ⋅ →∇ = ∇ ⋅ = ∇ + ∇⎨⎪

= → = +⎪⎪ ∂ ∂

= → = ∇ + ∇ +⎪∂ ∂⎩

(1.3)

Bazele electrotehnicii 2

Dacă r xi y j zk= + + este vectorul de poziţie într-un sistem cartezian (figura. 1.1-a) sau z rr zu ru r uϕ= + + ϕ într-un sistem cilindric (figura 1.1-

b), iar 2 2 2r r x y z= = + + este modulul vectorului de poziţie, atunci:

rgrad r rr

= ∇ = (1.4)

şi este orientat în sensul creşterii coordonatei r.

φ j

y

x

y z z

x i

k

r

r

z

r

ϕu

kuz =

ru

Fig. 1.1 1.2 Câmpuri vectoriale.

Un câmp de vectori G definit într-un domeniu D este o funcţie vectorială: ( ) x y zG G x, y, z G i G j G k= = + + (1.5)

şi în orice punct din domeniu are o valoare (modulul 2 2 2x y zG G G G= + + ),

o direcţie în spaţiu, un sens pe direcţia respectivă, deci o tripletă de valori în raport cu o funcţie scalară f care are doar valoare. Un tub de flux unitate conţine atâţia vectori (un mănunchi de vectori) cât este unitatea de măsură a fluxului respectiv. Fiecare tub unitate se înlocuieşte prin axa sa geometrică care va reprezenta o linie de câmp a lui G . Într-o regiune din spaţiu unde câmpul este intens, tuburile unitate vor fi apropiate iar acolo unde câmpul este slab, un tub unitate se adună pe o suprafaţă mai mare şi liniile de câmp vor fi mai îndepărtate. Geometria liniilor de câmp sugerează multe dintre proprietăţile câmpului G .

1. Elemente de analiză vectorială 3

a) linii divergente; b) linii convergente; c) linii echidistante; d) linii paralele

Fig.1.2 În lungul liniei de câmp valoarea câmpului scade (fig. 1.2-a), creşte (fig. 1.2-b), rămâne constantă (fig. 1.2-c) sau este un câmp uniform (fig. 1.2-d). Câmpul G rămâne tangent la linia de câmp; vectorii G şi dr fiind coliniari: G dr 0× = , respectiv dacă dr dxi dy j dzk= + + , rezultă:

x y z

dx dy dzG G G

= = (1.6)

care reprezintă ecuaţiile diferenţiale a căror soluţie sunt ecuaţiile liniilor de câmp. Divergenţa unei funcţii vectoriale x y zG G i G j G k= + + se defineşte:

yx zGG GdivG G

x y z∂∂ ∂

= ∇ = + +∂ ∂ ∂

(1.7)

şi este o funcţie scalară care indică repartiţia surselor pentru liniile câmpului G în interiorul domeniului D de definiţie a câmpului G . Dacă într-un punct P0 (x0, y0, z0) din D :

( )0P

divG 0> → în punctul P0 există surse (+) care produc linii de câmp G . Valoarea div G arată care este productivitatea surselor din acel punct; ( )

0PdivG 2= → la trecerea prin

punctul P0 se dublează numărul liniilor de câmp

( )0P

divG 0< → în punctul P0 există surse (-) numite puţuri care absorb linii de câmp.

( )0P

divG 0= → nu există surse în P0, liniile lui G trec continuu prin acel punct (numărul liniilor nici nu creşte nici nu scade).

GG GG

G

G

G


Proprietăţile „divergenţei” se pot evidenţia ţinând seama că operatorul nabla ( )∇ este un operator de derivare vectorială:

( ) ( )( ) ( )

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

G kA div G G k A k div A

G f A div f A f A f A A f f div A A grad f

f f fG grad f f div grad f f fx y z

operatorul laplaceanx y z

3 r vector spatialx y zG r div rx y z 2 r xi y j, vect

= → =∇ = ∇ =

= → =∇ = ∇ + ∇ = +

∂ ∂ ∂= = ∇ → =∇ ∇ = Δ = + +

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂Δ = ∇∇ = + + −

∂ ∂ ∂

→∂ ∂ ∂= → = + + =

∂ ∂ ∂ → = + or plan

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪ ⎧⎪⎪ ⎨⎪ ⎪⎩⎩

Rotorul unei funcţii vectoriale x y zG G i G j G k= + + se defineşte:

x y z

y yz x z x

i j k

rot G Gx y z

G G G

G GG G G Gi j ky z z y x y

∂ ∂ ∂= ∇× = =

∂ ∂ ∂

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(1.9)

deci rot G este tot o funcţie vectorială care indică proprietăţile geometrice ale liniilor de câmp G . rot G =0→ liniile lui G nu fac rotoare în domeniul D, sunt linii

deschise (cu capete, început şi sfârşit).

rot G ≠0→ liniile lui G sunt închise în domeniul D (fac rotoare în D) sau trec prin domeniul D în fascicol paralel (deci se închid pe la infinit).


Câteva dintre proprietăţile funcţiei „rotor” le amintim în continuare:

( )

2 2

0

i j k

G grad f f rot grad fx y zf f fx y z

f f i 0 j 0k (1.10)y z z y

=

∂ ∂ ∂= = ∇ → = =

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

⎛ ⎞∂ ∂= − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Deci dacă: rot G 0 G grad V V= → = − = −∇ (1.11)

funcţia scalară V se numeşte potenţialul scalar al câmpului G . Toate câmpurile G care provin dintr-un potenţial scalar V prin intermediul gradientului se numesc câmpuri potenţiale (newtoniene, irotaţionale) şi liniile lor sunt deschise, nu fac rotoare.

( ) ( ) ( )G f A rot f A f A f A f A

grad f A f rot A

= → = ∇× = ∇ × + ∇× =

= × + (1.12)

Dacă G A B= × , atunci aplicând formula lui Gibbs se obţine succesiv:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

A Brot A B A B A B A B

A B

A BA div B B div A B grad A A grad B

A B

× = ∇× × = ∇× × +∇× × = +∇ ∇

+ = − + −∇ ∇

i

i ii

i

i

(1.13) Dacă G rot A A= = ∇× , aplicând (1.13) se obţine:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 0

rot (rot A) A

A A A A grad div A A= =Δ=

= ∇× ∇× =

= ∇ ∇ − ∇ ∇ + ∇ ∇− ∇ ∇ = −Δ

(1.14)


• Operatorul nabla acţionează asupra cantităţilor din dreapta sa cu proprietăţi de derivare (pe cele din stânga le înmulţeşte) iar dacă în dreapta sa nu există nimic, termenul este zero, ca în relaţia (1.14).

•

i j k

G r rot r 0x y zx y z

∂ ∂ ∂= → = =

∂ ∂ ∂

• Dacă A şi B sunt doi vectori, atunci se definesc produsele:

x x y y z zA B A B A B A B= + +i - produs scalar

x y z

x y z

i j kA B A A A

B B B× = - produs vectorial

- produs mixt:

( ) 0,când doi d int re vectori sunt paraleliA B C

0,cei 3vectori det er min ă un paralelipiped=⎧

× = ⎨≠⎩i

- dublu produs vectorial (Gibbs):

( ) B CA B C

AB AC× × =

( ) ( )div rotA A 0= ∇ ∇× =i - produs mixt în care doi vectori coincid.

Deci dacă: divG 0 G rotA= → = (1.15)

funcţia vectorială A este potenţialul vector al câmpului G . Observaţii

• În teoria câmpului „gradientul”, „divergenţa” şi „rotorul” sunt operatori diferenţiali de ordinul întâi care exprimaţi prin operatorul

de derivare spaţială nabla: i j kx y z∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂

, se scriu pe baza

proprietăţilor de derivare şi înmulţire simultană a acestui operator: grad f f= ∇ ; divG G= ∇ ; rotG G= ∇× .


• Dacă în domeniul D, rotG 0= , înseamnă că liniile câmpului G nu se închid în acel domeniu (dar se pot închide în exteriorul său) şi în acelaşi timp dacă şi divG 0= , înseamnă că liniile lui G nu au surse (capete) în D (dar poate avea surse în exterior). Un astfel de câmp se numeşte câmp laplacean.

2 G

1 G

12 n 12 t

1 f

2 f

12 S

1

2

D

fig 1.3

Dacă în domeniul de câmp D există o suprafaţă de discontinuitate S12 care separă două regiuni cu proprietăţi materiale diferite (sau la domenii plane există o curbă de discontinuitate C12) ca în figura 1.3, atunci la trecerea prin discontinuitate, în sensul versorului normal la discontinuitate n12 orientat dinspre mediul 1 spre 2, funcţia va avea o variaţie prin salt (f2 – f1), respectiv ( )2 1G G− , care

reprezintă valorile celor două funcţii la stânga şi la dreapta discontinuităţii S12. În acest caz nu se pot defini operatorii grad, div şi rot, dar se operează cu operatorii superficiali:

- gradient superficial: ( )12 2 1sgrad f n f f= −

- divergenţa superficială: ( )12 2 1 2 1s n ndiv G n G G G G= − = −i

- rotor superficial: ( )112 2 2 1s t trot G n G G G G= × − = −

unde Gn este componenta lui G după normala la discontinuitate 12n iar Gt este componenta lui G după versorul tangent t la S12. Dacă n şi t sunt versorii normal şi tangent la o suprafaţă (curbă) atunci:

n

t

A n A

A t A

=

=

i

i t

n

A n A

A t A

× =

× =


x

y

z 1

x 1

y 1

z

k j

0

P(x 1 ,y 1 ,z 1 )

i

1.3 Proprietăţile funcţiilor de punct în diverse sisteme de coordonate.

1.3.1 Sistemul cartezian (x,y,z) de versori ( i , j , k ).

F =Fx i +Fy j +Fz k ; F G =FxGx+FyGy+FzGz;

F xG =(FyGz–FzGy) i + (FzGx–FxGz) j + (FxGy–FyGx) k ;

grad V ixV∂∂

+ jyV∂∂

+ kzV∂∂

;

∇ =x

i∂∂

+y

j∂∂

+z

k∂∂

;

div F =xFx

∂∂

+yFy

∂

∂+

zFz

∂∂

;

rot F = izF

yF yz

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

+ jxF

zF zx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+ kyF

xF

xy

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂;

2

2

2

2

2

22

zV

yV

xVVV

∂∂

+∂∂

+∂∂

=Δ=∇ ; FΔ =grad div F –rot rot F ;

F2∇ = FΔ = iFx

2∇ + jFy2∇ + kFz

2∇ = iFxΔ + jFyΔ + kFzΔ ;

grad div F = izx

Fyx

FxF z

2y

2

2x

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂+

∂∂∂

+∂∂ + j

zyF

yF

yxF z

2

2y

2x

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂+

∂∂

+∂∂

∂ +

kzF

zyF

zxF

2z

2y

2x

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂+

∂∂∂ ;

grad k F = k ×rot F +zF∂∂

; div( k × F )= – k rot F ; rot( k × F )= k div F - Fz∂∂

;

rot rot( k × F )= – k ×grad div F –rotzF∂∂

;

grad div k V=z∂∂

(grad V)=gradzV∂∂

;


rotrot F = izx

Fyx

FzF

yF z

2y

2

2x

2

2x

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂+

∂∂∂

+∂∂

−∂∂

− + jxy

Fzy

FxF

zF x

2z

2

2y

2

2y

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂+

∂∂∂

+∂∂

−∂∂

−

+ kyz

Fxz

FyF

xF y

2x

2

2z

2

2z

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂+

∂∂∂

+∂∂

−∂∂

− ;

rot k V=grad V× k ; 2∇ ( k × F )= k × 2∇ F ;

grad div k × F = – k ×rot rot F –rotzF∂∂

;

2∇ ( k V)= k 2∇ V; rot rot( k V)= – k 2∇ V+gradzV∂∂

.

1.3.2 Sistemul cilindric circular (r,φ,z) de versori ( u r, uφ, zu = k )

x

dr

ϕ r

z

y

ϕrd

ϕd k

dz

ru

ϕ u

rot.rot F = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ∂

∂+

ϕ∂∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

−ϕ∂

∂− ϕϕ F

r1

rF

r1

zrF

zFF

r1

2

2z

2

2r

2

2r

2

2 ru +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ϕ∂

∂+

ϕ∂∂

−+∂∂

−∂∂

−∂ϕ∂

∂+

∂∂

− ϕϕϕϕ

rF

r1F

r1

rF

rF

r1

rF

zF

r1

zF r

2r

222

2z

2

2

2

u φ

+ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+∂ϕ∂

∂+

∂∂∂

+ϕ∂

∂−

∂∂

− ϕ

rF

r1

zF

r1

zF

r1

zrFF

r1

rF zr

2r

2

2z

2

22z

2k .

F =Fr u r +Fφu φ +Fz zu ; u r =- i cos φ+ j sin φ;

u φ = – i sin φ+ j cos φ;


i= u r cos φ– u φ sin φ; j = u r sin φ+ u φ cos φ; dl2 = dr2+r2dφ2+dz2; dv = r dr dφ dz;

x = r cos φ; y = r sin φ; r2 = x2+y2; tg φ=xy

;

Fr= Fx cos φ+Fysin φ; Fφ= – Fx sin φ+Fycos φ;

Fx= Fr cos φ–Fφsin φ; Fy =Frsinφ+Fφcos φ;

ϕ∂∂ϕ−

∂∂ϕ=

∂∂

rsin

rcos

x ;

ϕ∂∂ϕ+

∂∂ϕ=

∂∂

rcos

rsin

y ;

r∂∂

=( ) xyx

x2

122 ∂∂

+

xy∂∂

+( ) yyx

y2

122 ∂∂

+;

ϕ∂∂

=x yy x∂ ∂−

∂ ∂

ru × u φ = k ; u φ × k = ru ; k × ru = u φ; F G =FrGr+FφGφ+FzGz;

F × G =(FφGz–FzGφ) ru +(FzGr–FrGz) u φ +(FrGφ–FφGr) k ;

grad V=rV∂∂

ru +r1

ϕ∂∂V u φ +

zV∂∂ k ; ∇ = ru

r∂∂

+ u φ r1

ϕ∂∂

+ kz∂∂

;

div F =r1

r∂∂

(rFr)+ r1

ϕ∂

∂ ϕF+

zFz

∂∂

=rFr

∂∂

+rFr +

r1

ϕ∂

∂ ϕF+

zFz

∂∂

;

∇ 2V=∆V=r1

r∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

rVr + 2r

12

2Vϕ∂

∂+ 2

2

zV

∂∂

= 2

2

rV

∂∂

+r1

rV∂∂

+ 2r1

2

2Vϕ∂

∂+ 2

2

zV

∂∂

;

∇ 2 F =∆F = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ∂

∂−−Δ ϕF

r2

rFF 22

rr ru + ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ∂

∂+−Δ ϕ

ϕr

22

Fr2

rF

F u φ + zFΔ k ;

grad div F = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ϕ∂∂

−∂∂

+ϕ∂∂

∂+

∂∂∂

+∂∂ ϕϕ

2r

2

2r

2z

2

2r

2

rFF

r1

rF

r1

rF

r1

zrF

rF

ru +


+ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ∂

∂+

ϕ∂∂∂

+ϕ∂

∂+

∂ϕ∂∂ ϕ r

2r

2

2

2

2z

2 Fr1

rF

r1F

r1

zF

r1 u φ+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂+

∂ϕ∂∂

+∂∂ ϕ

zF

r1

zrF

rF

r1

zF rr

22

2z

2k

rF∂∂

=rFr

∂∂

ru +r

F∂∂ ϕ u φ +

rFz

∂∂ k ;

ϕ∂∂F = k × F +

ϕ∂∂ rF

ru +ϕ∂

∂ ϕFu φ+

ϕ∂∂ zF k ;

zF∂∂

=zFr

∂∂

ru +zF∂∂ ϕ u φ +

zFz

∂∂ k ;

ϕ∂∂ ru

= u φ; ϕ∂

∂ ϕu= – ru ;

r

u r

∂∂

=zu r

∂∂

=r

u∂∂ ϕ =

zu∂∂ ϕ =

rk∂∂

=ϕ∂∂k

=zk∂∂

=0;

div ru =r1

; div u φ =div k =0;

rot u φ =rk

; rot ru = rot k =0;

div( ru × F )= – ru rot F ; div( u φ × F )=rFz – u φ rot F ;

div( k × F )= – k rot F ; rot( ru × F )= ru div F –rF∂∂

–rFu rr –

rFu zz ;

rot( u φ × F )= – rur

Fϕ + u φ div F –r1

ϕ∂∂F

; rot( k × F )= k div F –zF∂∂

;


1.3.3 Sistemul sferic (r,θ,φ) de versori ( ru , u θ , uφ).

F =Fr ru +Fθ θu +Fφu φ;

F G =FrGr+FθGθ+FφGφ F × G =(FθGφ–FφGθ ) ru +

(FφGr–FrGφ ) u θ +(FrGθ–FθGr ) u φ; ru = i sin θ cos φ+ j sin θ sinφ+

k cosθ; u θ = i cos θ cos φ+ j cos θ sin φ–

k sin θ; u φ = – i sin φ+ j cos φ;

i = ru sin θ cos φ+ u θ cos θ cos φ – u φ sin φ; j = ru sin θ sin φ+ u θ cos θ sin φ + u φ cos φ;

k = ru cos θ – u θ sin θ ; dl2 = dr2+r2dθ2+r2sin2 θdφ2;

dv = r2 dr sin θ dθ dφ; x = r sin θ cos φ; y = r sin θ sin φ; z = r cos θ;

r2 = x2+y2+z2; tg θ=z

yx 22 +; tg φ=

xy

;

x∂∂

= sin θ cos φr∂∂

+rcoscos ϕθ

θ∂∂

–θϕ

sinrsin

ϕ∂∂

;

y∂∂

= sin θ sin φr∂∂

+r

ϕθ sincosθ∂∂

+θϕ

sincosr ϕ∂

∂;

z∂∂

= cos θ r∂∂

–rθsin

θ∂∂

;

ru × u θ = u φ; u φ × ru = u θ; u θ × u φ = ru ;

rF∂∂

=rFr

∂∂

ru +r

F∂∂ θ u θ +

rF∂∂ ϕ u φ;

ϕ ϕ d

0 θ rd

θ

r

ϕ⋅θ⋅ dr sin

y

x

z

dr

θ u

ϕ u r u


θ∂∂F

=( u φ × F )+θ∂

∂ rFru +

θ∂∂ θF u θ +

θ∂∂ ϕF

u φ;

ϕ∂∂F

=( k × F )+ϕ∂

∂ rFru +

ϕ∂∂ θF u θ +

ϕ∂

∂ ϕFu φ;

ϕ∂∂ ru

=sin θu φ; θu r

∂∂ = u θ;

θu θ

∂∂ = ru ;

ϕ∂∂ θu =cos θu φ;

ϕ∂

∂ ϕu= – ru sin θ– u θ cos θ;

ru r

∂∂

=r

u∂∂ θ =

ru∂∂ ϕ =

θ∂∂ ϕu

=0;

div ru =r2

; div u φ =0; div u θ =r1

θtg1 ;

rot ru =0; rot u φ =r1

θtgu r –

r1 u θ; rot

θu =r1 u φ;

div( ru × F )= – ru rot F ;

div( u φ × F )=r1

θtg1 Fr–

rFθ – u φ rot F ; div(

θu × F )=r1 Fφ – u θ rot F ;

rot( ru × F )= ru div F –r1 F –

r1

rF –rF∂∂

rot( u θ × F )= u θ div F –r1

θtg1 (Fr ru +Fθu θ)–

r1 Fθ ru –

r1

θ∂∂F

;

rot( u φ × F )= u φ div F –r1 Fφ ru –

r1

θtg1 Fφu θ –

θsinr1

ϕ∂∂F

=

= –r1

θsin1

ϕ∂∂ rF

ru –r1

θsin1

ϕ∂∂ θF u θ + ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

θ∂∂

++∂∂ θF

r1

rF

rF rr u φ.

Fr= sin θ cos φ Fx +sin φ sin θ Fy+cos θ Fz; Fθ= cos θ cos φ Fx +sin φ cos θ Fy–sin θ Fz; Fφ= – sin φ Fx +cos φ Fy; Fx= sin θ cos φ Fr– sin φ Fφ+ cos θ cos φ Fθ; Fy= sin θ sin φ Fr+ cos φ Fφ+ cos θ sin φ Fθ;

Fz= cos θ Fr–sin θ Fθ;


r∂∂

=( ) 2

1222 zyx

x

++ x∂∂

+( ) 2

1222 zyx

y

++ y∂∂

+( ) 2

1222 zyx

z

++ z∂∂

;

θ∂∂

=( ) 2

122 yx

xz

+ x∂∂

+( ) 2

122 yx

yz

+ y∂∂

– ( ) 2122 yx +

z∂∂

;

ϕ∂∂

=xy∂∂

–yx∂∂

;

grad V=rV∂∂

ru +r1

θ∂∂V u θ +

r1

θsin1

ϕ∂∂V u φ;

∇ = rur∂∂

+ u θ r1

θ∂∂

+ u φ r1

θsin1

ϕ∂∂ ;

div F =r1

r∂∂

(r2Fr)+ r1

θsin1

θ∂∂

(sin θ Fθ)+ r1

θsin1

ϕ∂

∂ ϕF=

=rFr

∂∂

+2rFr +

r1

θ∂∂ θF

+r1

θtg1 Fθ+

r1

ϕ∂∂

θϕF

sin1

rot F =r1

θsin1 ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ϕ∂

∂−θ

θ∂∂ θ

ϕ

FF sin ru ++r1 ( )⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

−ϕ∂

∂θ ϕrF

rF1 r

sinu θ

+r1 ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

θ∂∂

−∂∂

θrFrF

ru φ= ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ϕ∂

∂θ

−θ

+θ∂

∂θϕϕ F1

r1

tgF

r1F

r1

sinru +

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

∂∂

−ϕ∂

∂θ

ϕϕ

rF

rFF1

r1 r

sinu θ+ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

θ∂∂

−+∂∂ θθ rF

r1

rF

rF u φ;

2∇ V=∆V= 2r1

r∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

rVr 2 + 2r

1θsin

1θ∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

θ∂∂

θVsin + 2r

1θ2

1sin 2

2Vϕ∂

∂=

= 2

2

rV

∂∂

+2r1

rV∂∂

+ 2r1

2

2Vθ∂

∂+ 2r

1θtg

1θ∂

∂V + 2r1

θ2

1sin 2

2Vϕ∂

∂;

2∇ F =∆F = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ϕ∂

∂θ

−θ∂

∂−

θ−−∇ ϕθ

θ

Fr

2Fr2F

rctg2

rF2F 2222

rr

2

sinru +


+ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ϕ∂

∂θθ

−θ

−θ∂

∂+∇ ϕθ

θ

Fr2

rFF

r2F 2222

r2

2

sincos

sinu θ +

+ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ϕ∂

∂θθ

+θ

−ϕ∂

∂θ

+∇ θϕϕ

Fr2

rFF

r2F 2222

r2

2

sincos

sinsinu φ;

rot.rot F =

−θ∂

∂θ

−θ

+∂∂

θ+

θ∂∂

−θ∂

∂+

θ∂∂∂

⎢⎣⎡ θθθθ r

22r

2

22

2 Ftg1

r1

rF

tg1

r1

rF

tg1

r1F

r1F

r1

rF

r1

⎥⎦

⎤

ϕ∂

∂

θ+

ϕ∂∂

∂

θ−

ϕ∂∂

θ− ϕϕ F

r1

rF

r1F

r1

2

2

2r

2

22 sinsinsinru +

+ +∂∂

−ϕ∂

∂θ

−ϕ∂

∂

θθ

+θ∂ϕ∂

∂⎢⎣⎡

θθθϕϕ

rF

r2F

r1F

rF

r1

2

2

2222

2

22 sinsincos

sin

⎥⎦

⎤∂∂

−θ∂∂

∂+ θ

2

2r

2

rF

rF

r1 u θ+

+θ

+θ∂

∂θ

−∂

∂−

θ∂

∂−

∂

∂−

∂ϕ∂∂

⎢⎣⎡

θϕθϕϕϕ

2222

2

2

2

2r

2

rFF

tg1

r1

rFF

r1

rF

r2

rF

r1

sinsin

⎥⎦

⎤ϕ∂

∂θ

θ−

ϕ∂θ∂∂

θ+ θθ F

rF

r1

22

2

22 sincos

sinu φ;

1.3.4 Sistemul curbiliniu triortogonal (x1,x2,x3) de versori

( 1u , 2u , 3u ) şi h1,h2,h3 coeficienţi Lamé

F =F1 1u +F2 2u +F3 3u ; F G =F1G1+F2G2+F3G3; dlj=hj dxj; j=1,2,3; dl2=h1

2 dx1

2+h22

dx22+h3

2.dx3

2; rotrot F =

x 2

2u1u

x 1 0

x 3

3u


=32hh

1

⎩⎨⎧∂∂

2x 21

3

hhh

⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

112

221

Fhx

Fhx

--

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

∂∂

331

11313

2

3Fh

xFh

xhhh

x 1u +

+13hh

1

⎩⎨⎧∂∂

3x ⎥⎥⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

⎢⎣

⎡22

333

232

1 Fhx

Fhxhh

h - ( )32 2 1 1 2

1 1 2 1 2

h h F h F ux h h x x

⎫⎤⎡ ⎞⎛∂ ∂ ∂ ⎪− ⎥⎢ ⎟ ⎬⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎥⎢ ⎝ ⎠ ⎪⎣ ⎦⎭

+21hh

1

⎩⎨⎧∂∂

1x 13

2

hhh

⎢⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

331

113

Fhx

Fhx

– ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

∂∂

223

33232

1

2Fh

xFh

xhhh

x 3u ;

grad V=11 x

Vh1∂∂

1u +22 x

Vh1∂∂

2u +33 x

Vh1∂∂

3u ;

∇ = 1u11 xh

1∂∂

+ 2u22 xh

1∂∂

+ 3u33 xh

1∂∂

;

div F =321 hhh

1 ( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

+∂∂

3213

2132

1321

Fhhx

Fhhx

Fhhx

;

rot F =

=32hh

1 ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

−∂∂

223

332

Fhx

Fhx 1u +

13hh1 ( ) ( )⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

−∂∂

331

113

Fhx

Fhx

2u +21hh

1 ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

−∂∂

112

221

Fhx

Fhx 3u ;

∇ 2V=∆V=

=321 hhh

1⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

33

21

322

13

211

32

1 xV

hhh

xxV

hhh

xxV

hhh

x

.


Observatii: -sistem de coordonate cartezian: x1=x, x2=y, x3=z, h1=h2=h3=1. -sistem de coordonate cilindric: x1=r, x2=φ, x3=z, h1=h3=1, h2=r. -sistem de coordonate sferic: x1=r, x2=θ, x3=φ, h1=1, h2=r, h3=r sinθ. -sistem de coordonate al cilindrului eliptic:

x1=ξ, x2=η, x3=z, h1= h2=a η−ξ 22 coscos , h3=1. -sistem de coordonate toroidale:

x1=ξ, x2=φ, x3=ψ, h1= h2=ϕ+ξ coscos

a, h3=

ϕ+ξξcosch

sha

x=ϕ+ξξψ

coscos

chsha , y=

ϕ+ξξψ

cossin

chsha , z= –

ϕ+ξϕcos

sinch

a .

1.4. Aplicaţii.

1. Pentru orice funcţie ce conţine vectorul de poziţie, funcţiile sale de punct se pot scrie succesiv:

( ) ( )n n n n1 1G k r r divG k r r k r r k r r= → = ∇ = ∇ + ∇ =

( ) ( ) =×∇+×∇=×∇=→=0

nnn1 rrk r) r (k r rk Grot

0rrrrn k 1n =×= −

rr

r1

r1gradV

r1V 211

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∇=→=

r r

nrr

nr1gradV

r1V 2n1nn2n2 ++

−=∇

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∇=→=

( ) nn1n r 3nk 3rk rrrn rk +=+= −


2. Se consideră funcţiile scalare f. Să se calculeze gradientul lor.

( ) r z2 2

z f 1 f ff x, y, z f u u u x y r r z

f f fsau f i j kx y z

ϕ∂ ∂ ∂

= →∇ = + ++ ∂ ∂ϕ ∂

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

( ) z2r32 ur1u

rz2f

rzz,,rf +−=∇→=ϕ

3. Se consideră funcţia vectorială: k zy x j ei xG xy2 ++= . Să se calculeze Gdiv şi valoarea sa în punctul P(-1,1,1).

( ) ( ) ( ) yx ex x2zy x

ze

yx

xGGdiv xyxy2 ++=

∂∂

∂∂

+∂∂

=∇=

( ) e131e2Gdiv 1

2,1,1−−=−−−= −

−

4. Pentru funcţia kzj zy x 2i y xG 222 ++= , să se calculeze Grot şi valoarea sa în punctual P0(1,-2,1).

( )c

2

P

x y z

i j k

rotG 2 x y i 2 y z 2 x y k ; rotG 4ix y z

G G G

∂ ∂ ∂= = − + − =∂ ∂ ∂

5. Să se calculeze circulaţia vectorului kzjyixG 222 ++= pe dreapta P1P2 sau pe curba P1P2P3P4 din figura 1.4.

Ecuaţia dreptei P1P2 este y= − x +2 , iar elementul de linie este:

k dzj dyi dxd ++= .Deci

( )

( ) ( )

1

2

P 4 22

P 1

42

1

I G d x i x 2 j

i j dx 2x 4x 18

⎡ ⎤= = + − +⎣ ⎦

− = − =

∫ ∫

Circulaţia pe conturul P1− P3− P4− P2 este: Fig. 1.4


( ) ( ) ( )18

38

363

31dy y-dx xdy y-

dy jG dx iG dy jG dlGdlGdlGI

0

2-

24

1

21

0

2

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

2

4

4

3

2

1

2

4

4

3

3

1

=++−=++=

=−++−=++=′

∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

deci valoarea integralei între punctele P1 - P2 nu depinde de drumul de integrare. Astfel de câmpuri poartă numele de câmpuri potenţiale şi derivă dintr-o funcţie scalară prin intermediul gradientului.

6. Să se verifice teorema lui Stokes cu vectorul j x - i yA = pentru curba Γ din figura 1.5.

dy xdx yd A −= , deoarece

jdy idx d += Pe porţiunea (a-b), având

0d A0dx

0x=→

⎩⎨⎧

==

Pe porţiunea (b-c):

→−= 2x1y

Fig. 1.5 2x-1

dx xydx xdy −

=−=→

22

22

x1dx

x1dx xdx x1dA

−=

−+−=→

2x1dxdA

c

b

1

0 2

π=

−=∫ ∫

Pe porţiunea (c-a): 0dA0dy

0y=→

⎩⎨⎧

==

Atunci: b c a

a b cA d A d A d A d 0 0

2 2Γ

π π= + + = + + =∫ ∫ ∫ ∫


De asemenea: ( ) k2j xi yAArot −=−×∇=×∇= şi kdy dxds −=

Rezultă: 24

2S 2dy 2 dxds Arot1x

0x

x1

0y S

2 π=

π=== Γ

=

=

−

=∫ ∫∫Γ

Deci: S

A d rotA ds2Γ

Γ

π= =∫ ∫ ,

Ceea ce înseamnă că se verifică teorema lui Stokes.

2. Stările electrice şi magnetice ale corpurilor şi câmpului

Orice sistem fizic este constituit din corpuri (substantă) şi din câmp electromagnetic care există atât în interiorul corpurilor cât şi în spaţiul dintre corpuri. Stările electrice şi magnetice ale unui sistem fizic sunt complet caracterizate prin următoarele mărimi primitive:

q – sarcina electrică, caracterizează starea de încărcare cu sarcină a corpurilor electrice [C].

i – intensitatea curentului electric, caracterizează starea electrocinetică a corpurilor [A].

p – momentul electric, caracterizează starea de polarizare a corpurilor [Cm].

m – momentul magnetic, caracterizează starea de magnetizare a corpurilor [Am2].

E – intensitatea câmpului electric, caracterizează aspectul electric al câmpului electromagnetic [V/m].

B – inducţia magnetică, caracterizează aspectul magnetic al câmpului electromagnetic [T].

Mărimile fizice (cele susceptibile de determinări cantitative) după

modul cum sunt definite sunt de două feluri: - se definesc printr-un experiment, în orice teorie numărul

lor este fix - se definesc printr-o relaţie, plecând de la mărimile

mărimi primitive

mărimi derivate

⎧⎪⎨

primitive

⎪⎩

Mărimile fizice se mai pot clasifica şi pe alte criterii:

- acele mărimi care trebuiesc cunoscute pentru a determina univoc starea unui sistem fizic. Numărul lor creşte odată cu dezvolta

mărimi de stare

rea ştiinţei - acele mărimi care definesc interacţiunea dintre un sistem

fizic şi alte sisteme (evoluţia sa în timp şi spaţiu) mărimi de proces

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩


- valorile lor se adună la reuniunea a două sisteme fizice (masă, volum, sarcină electrică);

- caracterizează local (punct cu punct) un sistem

mărimi extensive (globale)

mărimi intensive fizic. Nu se adună la reuniunea sistemelor fizice (temperatură, presiune, densitate de sarcină electrică).

(locale)

⎧⎪⎨⎪⎩

Stările neelectrice ale corpurilor (geometrice, mecanice, termice) au

un caracter intrinsec şi permanent iar stările electrice şi magnetice au un caracter extrinsec şi trecător (unei sfere metalice îi pot atribui din exterior stări electrice prin încărcarea sa cu sarcină electrică şi îi pot retrage aceste proprietăţi prin descărcarea sa).

Definirea stărilor electrice şi magnetice ale corpurilor este mai dificilă, în astfel de stări corpurile interacţionează cu alt sistem fizic - câmpul electromagnetic din jurul corpurilor.

Pentru fenomene staţionare (invariabile în timp) sau cvasistaţionare (lent variabile în timp, frecvenţe mici) forţele ce se exercită între corpurile cu proprietăţi electrice sau magnetice se transmit instantaneu de la un corp la altul (ca în mecanica clasică, unde corpurile sunt în contact).

Pentru fenomene nestaţionare (variabile în timp) forţele se transmit de la un corp la altul cu viteză finită, prin intermediul câmpului electromag-netic ce le separă, deci au nevoie de un timp de propagare (aici acţiunea nu-i egală cu reacţiunea, ele nu acţionează simultan).

Observaţie:

Noţiunea de câmp (sistem fizic, formă de existenţă a materiei) a fost introdusă în fizică de către Faraday în sec XIX prin formularea teoriei de acţiune prin contiguitate (din aproape în aproape, în spaţiu şi timp şi a reprezentat un progres enorm în înţelegerea proceselor fizice, deşi mult timp a primit o interpretare mecanicistă (câmpul era privit ca o stare de deformare a unei substanţe ipotetice numită eter, care s-ar afla pretutindeni atât în corpuri cât şi în afara lor. Orice manifestare prin câmp era o întindere, comprimare, tăiere a liniilor de câmp. Prin “câmp” vom înţelege în primul rând un sistem fizic care are propietăţi materiale (posedă energie şi impuls) dar în acelaşi timp, în sens matematic, câmp este mulţimea valorilor unei funcţii (scalare sau vectoriale). Câmp este şi regiunea din spaţiu care posedă proprietăţi speciale sau chiar ”intensitatea câmpului electric E” este numită sub forma prescurtată câmpul E .


23

2.1 Starea de încărcare electrică a corpurilor Pentru corpuri de dimensiuni mici starea de încărcare este complet caracterizată prin sarcina electrică q. Obţinerea stării de încărcare, numită şi electrizarea unui corp, se poate realiza prin mai multe procedee: frecare, încălzire, întindere, comprimare, contact cu alte corpuri electrizate, iradiere cu raze ultraviolete sau X. Sarcina q se defineşte pe baza forţei electrice ce

se exercită asupra sa atunci când este introdus corpul mic într-un câmp electric exterior Ē:

eF q E= (2.1) Sarcina q este (+) atunci când eF şi E sunt omoparaleli şi este () cand sunt antiparaleli.

La scară microscopică, sarcina electrică se distribuie pe corp în mod discontinuu (discret); sarcina electrică ca şi masa de inerţie sunt un atribut al particulelor elementare. Macroscopic, masa şi sarcina electrică se consideră mărimi fizice cu repartiţie continuă în corpuri; un volum „ dυ ” care este infinitezimal macroscopic, conţine un număr foarte mare de particule elementare, deci sarcina se distribuie continuu în interiorul său.

Sarcina q se poate defini şi printr-un alt experiment, bazat pe forţa Coulomb ce se exercită între două „sarcini punctiforme” q1 şi q2:

1 2 12

21 12 312o

q q rF = F =4πε r

−

Sensul forţei de tip Coulomb este astfel încât sarcinile de acelaşi

semn se resping iar cele de semne contrare se atrag. 9o1 Fε m4π 9 10

⎡ ⎤= ⎣ ⎦⋅ ⋅

este permitivitatea vidului (constantă universală). Expresia (2.2) este valabilă dacă:

cele două sarcini sunt punctiforme (de fapt corpuri punctiforme încărcate cu sarcină – dimensiunile corpurilor mult mai mici ca distanţa r12).

cele două corpuri să nu se mişte în spaţiu (forţa Coulomb rămâne doar o tendinţă, nu pune corpurile în mişcare).

sarcinile q1 şi q2 să nu fie variabile în timp.

Fig 2.2

(2.2)

Fig 2.1


Unitatea de măsură a sarcinii electrice este coulombul [C], care este sarcina unui mic corp care exercită o forţă de 99 10⋅ N (de tipul 2.2) asupra altui mic corp încărcat cu aceeaşi sarcină şi situat în vid la o distanţă r12=1m. Sarcina de 1 C este foarte mare, practic se lucrează cu subunităţi: μC, nC etc. 2.1.1 Distribuţii de sarcină electrică Pentru corpuri mici este suficient a cunoaşte sarcina q totală cu care este încărcat corpul. Pentru corpuri nepunctiforme (masive) sarcina se distribuie în volumul sau pe suprafaţa lor în diverse moduri şi trebuie cunoscută în acest caz distribuţia (densitatea) sarcinii. Pe elementele dυ, ds, dl, sarcina se admite ca este distribuită uniform.

a) Distribuţie volumetrică de sarcină. Este specifică corpurilor masive (nepunctiforme) din material dielectric (izolant) şi se defineşte:

3vdq Cρ = mdv

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.3)

Dacă vρ = ct – corpul este încărcat uniform cu sarcină electrică, iar dacă vρ = vρ ( r ) – aceasta este legea de distribuţie a sarcinii pe volumul corpului:

( )

v

v v

ρ =ct

ρ =ρ r

⎧⎪⎨⎪⎩

v v corp

v

corp

corp

V

V

q= ρ d = ρ V

q= ρ (r)d

υ

υ

⎯⎯→

⎯⎯→

∫∫

(2.4)

b) Distribuţia superficială de sarcină. Este specifică pentru corpuri cu două dimensiuni (o pânză foarte subţire având forma S în spaţiu) sau în cazul corpurilor conductoare care se încarcă numai superficial cu sarcină (în acest caz S este suprafaţa exterioară a conductorului). Densitatea superficială de sarcină este:

2sdq Cρ = mds

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.5)

Dacă ( )

( ) ( )

s

s s

ρ =ct - distribuţie uniformă

ρ =ρ r - distribuţie neuniformă

⎧⎪⎨⎪⎩

( )

s s S

s S

q= ρ ds ρ S

q= ρ r ds

⎯⎯→ =

⎯⎯→

∫∫

(2.6)

c) Distribuţia liniară de sarcină. Este specifică corpurilor cu o singură dimensiune (este cazul firelor subţiri, curba C este axa firului):


25

dq Cρ = md⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.7)

Dacă ( )

( ) ( )

ρ =ct - distribuţie uniformă

ρ =ρ r - distribuţie neuniformă

⎧⎪⎨⎪⎩

C C

C

q= ρ d ρ

q= ρ ( r )d

⎯⎯→ =

⎯⎯→

∫∫

(2.8)

2.2 Starea electrică de polarizare Starea de polarizare electrică a unui corp este acea stare care determină apariţia asupra corpului a unor acţiuni ponderomotoare (forţe, cupluri) atunci când este introdus într-un câmp electric exterior chiar dacă acel corp nu este încărcat cu sarcină electrică. Apariţia unor cupluri arată că starea de polarizare are un caracter vectorial (starea de încărcare cu sarcină avea un caracter scalar). Doar materialele dielectrice se polarizează. Corpurile polarizate pot fi în acelaşi timp şi încărcate cu sarcină electrică. Un corp polarizat introdus într-un câmp electric uniform este supus unor cupluri (este rotit) iar în câmp neuniform este supus la forţe şi cupluri.

Polarizarea unui corp poate să fie de deformare

1. temporarăde orientare

2. permanentă

⎧ ⎧⎪ ⎨⎨ ⎩⎪⎩

1. Polarizarea temporară apare sub influenţa unui câmp electric exterior şi este specifică tuturor materialelor dielectrice. Intensitatea sa depinde de intensitatea câmpului electric în care a fost introdus corpul şi dispare la scoaterea corpului din câmp. 2. Polarizarea permanentă nu este cauzată de un câmp electric, are alte cauze neelectrice, care dau nume fenomenului: -piezoelectrică: apare la materiale cu structură cristalină; prin deformarea unui cristal pe feţele sale apare o tensiune. Fenomenul este reversibil: aplicând o tensiune de o anumită frecvenţă între două feţe, cristalul se va deforma cu aceeaşi frecvenţă (generatoare de ultrasunete, etaloane de frecvenţă, măsurarea timpului). - piroelectrică: cristalele încălzite se polarizează electric - electreţii: unele materiale (răşinoase) încălzite până se înmoaie şi lăsate apoi să se răcească într-un câmp electric exterior, vor rămâne polarizate pe direcţia acelui câmp (sunt echivalentul electric al magneţilor permanenţi) - feroelectrică: materiale care se polarizează neliniar (după un ciclu D(E) de tip histerezis) rămân cu o polarizare remanentă.


Polarizarea de deformare este unul dintre mecanismele microscopice de producere a polarizării temporare şi este specifică materialelor cu molecule simetrice (diaelectrice). De exemplu, pentru atomul de hidrogen (fig 2.3), în stare neutră centrul acţiunii () a electronului orbital coincide în spaţiu cu centrul acţiunii (+) a nucleului şi în exteriorul învelişului, atomul este neutru.

Prin introducerea atomului în câmpul exterior E , orbita se deformează şi cele două centre (+) si () nu mai coincid, ele se vor găsi în focarele elipsei pe care are loc mişcarea electronului (figura 2.3 – b).

În exteriorul său, atomul se comportă ca un dipol electric având momentul electric:

p=q (2.9) Deplasarea celor două centre este foarte mică ( <<), practic proporţională cu intensitatea câmpului electric exterior E şi momentul p obţinut este pe direcţia câmpului E . Deformaţii analoage capătă şi atomii sau moleculele cu o constituţie mai complicată.

Polarizarea de orientare (rotaţie) este un mecanism microscopic specific substanţelor cu molecule polare, nesimetrice (paraelectrice) care posedă momente electrice p şi în lipsa câmpului

exterior E (figura 2.4-a), numai că agitaţia termică determină o aşezare stohastică (dezordonată) a dipolilor elementari, astfel încât pentru un element dv din corp momentul electric rezultant este nul. Sub acţiunea câmpului E dipolii vor fi rotiţi de către câmp, cuplul exercitat este:

C = p E× (2.10) şi determină rotirea lor pe direcţia câmpului. Când p ↑↑ E , cuplul va fi zero. Acestei acţiuni i se opune agitaţia termică: o menţinere a momentelor p pe direcţia câmpului E se obţine ori în câmpuri electrice infinit de mari, ori temperatura corpului tinde spre zero absolut, când dispare agitaţia termică. De obicei, odată cu orientarea în câmp, momentul electric creşte, deci are loc şi o polarizare de deformare.

Fig 2.4

Fig 2.3


27

Acţiunea microscopică de deformare a orbitelor şi de orientare a momentelor electrice microscopice pe direcţia câmpului E este apreciată macroscopic ca “polarizarea substanţei” corpului pe direcţia câmpului E . Dacă intensitatea câmpului E depăşeşte o anumită valoare Er (rigiditatea dielectrică a materialului respectiv), deci E >Er atunci materialul dielectric a fost străpuns, s-au desprins electronii de pe orbită, au devenit liberi şi materialul nu mai este dielectric, el a devenit material conductor. Momentul electric p este mărimea primitivă care caracterizează macroscopic starea de polarizare a unui corp dielectric mic. Introdus într-un câmp electric neuniform, asupra sa se exercită un cuplu C (care-l va orienta pe direcţia câmpului E ) şi o fortă F care-l va deplasa spre regiunea unde câmpul E este mai intens.

( )C = p E

E E EF=grad p E p grad E=p i j kx y z

↓

⎧ ×⎪

⎛ ⎞⎨ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎩

(2.11)

În câmpuri electrice uniforme nu există decât rotaţii ( F= 0). Un corp masiv polarizat poate fi considerat ca o reuniune de mici corpuri polarizate, fiecare având momentul său electric p . Starea locală de polarizare în jurul unui punct din corp este caracterizată prin densitatea momentelor electrice p în jurul acelui punct:

dpP=dv

(2.12)

Mărimea P se numeşte polarizaţie electrică şi va avea şi ea (la fel ca şi p ) o componentă temporară ( tP ) şi una permanentă ( pP ) având cauze neelectrice:

P = pP + tP (2.13)

Dacă P = ct – corp uniform polarizat, iar dacă P = P ( r ) – aceasta este legea de polarizare a corpului. Cunoscând polarizaţia în orice punct din corp, momentul electric al corpului masiv corpp va fi:

corp corpV

p = P dυ∫ (2.14)

Observaţie: Nu trebuie confundată polarizarea (fenomenul la care este supusă substanţa dielectrică) cu polarizaţia P (mărime de stare prin care apreciez punctual intensitatea fenomenului).


Un mic corp polarizat de moment electric p poate fi echivalat cu un dipol electric de moment dp = q ca în figura 2.5. Ambele produc acelaşi câmp electric în jurul lor, respectiv introduse într-un câmp extE vor fi supuse la aceleaşi acţiuni (C,F) dacă p = pd.

Dimensional: [ ] [ ][ ]p q C m= = ⋅

3 2

dp C m CP Pd m mυ

⋅⎡ ⎤= → = =⎣ ⎦ ;

Sarcinile ±q situate la extremităţile dipolului echivalent, la distanţa se numesc sarcini dipolare.

Pentru un corp masiv polarizat, un

element dυ din corp are momentul electric dp= P dυ , iar volumul său este d = ds cosαυ (figura 2.6).

Sarcina dipolară este:

ddp P ddq P ds cosα P dsυ

= = = =

Sarcina dipolară rămasă în interiorul suprafeţei închise Σ, arbitrară ca formă, numită sarcină de polarizaţie va fi:

p ddq = dq = P ds− − Sarcina totală de polarizaţie din interiorul suprafeţei Σ este:

___

p p

q = dq d = P dsυ∑ ∑

−∫ ∫ (2.16)

deci egală cu () fluxul polarizaţiei P prin suprafaţa închisă Σ. Dacă admitem că această sarcină fictivă (sarcina de polarizaţie) se distribuie în volumul delimitat de Σ cu o densitate volumetrică

pvρ , atunci se poate scrie:

p

p

p V V

V

p V V

v =arbitrarΣ

q = ρ d ρ = divP

q = P d divP d

υ

υ υ

∑

∑ ∑

⎯⎯⎯⎯⎯→ −− = −

∫∫ ∫

(2.17)

Relaţia (2.17) pune în evidenţă faptul că liniile lui P încep pe sarcinile de polarizaţie () şi se termină pe cele (+). Dacă un corp este uniform polarizat P =ct, div P =0, atunci

pvρ =0.

Fig 2.5

(2.15)Fig 2.6


29

Dacă în volumul corpului există suprafeţe S12 de discontinuitate, acestea se vor încărca cu distribuţii superficiale de sarcină:

p 2 1S s 12 2 1 n nρ = div P= n (P P )=P P− − − − (2.18)

unde 1P şi 2P sunt valorile polarizaţiei pe cele două feţe a lui S12 iar 12n este versorul normal (local) la S12 dinspre faţa 1 spre 2. Dacă nu există discontinuităţi în corp, atunci cel puţin suprafaţa exterioară a corpului este o discontinuitate între corp şi mediul exterior şi aceasta se va încărca cu sarcină de polarizaţie superficială de tipul (2.18). Observaţie:

Sarcinile de polarizaţie sunt sarcini fictive care echivalează starea reală de polarizare a substanţei corpului. Elimin substanţa corpului (rămâne vid), deci omogenizez domeniul şi în locul substanţei pun distribuţiile Vp

ρ şi pSρ .

În vid (sau aer uscat, apropiat de vid) un câmp electric este caracterizat prin intensitatea sa E iar în interiorul unui corp a cărui substanţă se poate polariza (deci modifică valoarea câmpului) el este caracterizat printr-o pereche de mărimi de stare ( E şi D ):

E – intensitatea câmpului electric în punctul M (figura 2.7), este valoarea câmpului în acel punct înainte de a plasa acolo substanţa corpului (creat de surse exterioare).

D – inducţia electrică în punctul M, este valoarea câmpului în acel punct după ce substanţa corpului a modificat câmpul existent iniţial. Dacă materialul corpului este izotrop (cu aceleaşi proprietăţi pe toate direcţiile) atunci cele două mărimi E şi D au aceeaşi direcţie, iar dacă este anizotrop (au proprietaţi diferite pe diverse direcţii) atunci E şi D au direcţii diferite (figura 2.7). Între cele două mărimi de stare a aceluiaşi sistem fizic (câmpul electric din interiorul corpului) există o legatură:

oD=ε E+P (2.19) numită legea legăturii în câmp electric ( legea legăturii dintre mărimile: D - inducţia electrică, E - intensitatea câmpului electric şi P - polarizaţia electrică). 2.3 Starea electrocinetică a corpurilor Regimul electrocinetic defineşte starea de conducţie a liniilor de curent de către materialele conductoare. Un câmp electric existent într-o piesă conductoare determină apariţia unui curent electric de conducţie

Fig 2.7


(determinând o mişcare ordonată a sarcinilor electrice libere din conductor). Un conductor parcurs de curent este însoţit de efecte speciale:

- efecte mecanice - interacţionează mecanic cu alte conductoare parcurse de curent sau cu un câmp magnetic extern.

- efecte magnetice - interacţiunea cu alte conductoare parcurse de curent, cu un magnet permanent sau cu extB se datorează câmpului magnetic care s-a produs în jurul conductorului parcurs de curent.

- efecte chimice - trecerea curentului printr-un mediu conductor poate fi însoţit sau nu de reacţii chimice. La conductoare de speţa I-a (metale, cele cu conducţie electronică) nu apar reacţii chimice dar la conductoare de speţa II-a (soluţii, cele cu conducţie ionică) fenomenul de conducţie este însoţit de reacţii chimice (electroliză).

- efecte calorice - conductoarele parcurse de curent se încălzesc (efect Joule).

- efecte luminoase - apar fie ca urmare a celor termice care duc la incandescenţă, fie ca urmare a descărcărilor în gaze (tuburi luminoase).

- efecte electrice - un conductor încărcat cu sarcină ca în figura 2.8-a, are suprafaţa sa echipotenţială şi E este perpendicular pe conductor. Când este parcurs de curent, potenţialul conductorului scade în lungul liniilor de curent şi E iese înclinat din suprafaţa conductorului , iar liniile echipotenţiale sunt ca în (figura 2.8-b).

Microscopic, starea electro-cinetică este dată de mişcarea ordonată a sarcinilor libere faţă de structura corpului conductor. Starea electrocinetică este caracterizată macroscopic printr-o singură mărime primitivă

i – intensitatea curentului electric de conducţie. Această mărime poate fi pusă în evidenţă prin diverse experimente.

a) Asupra unui element d dintr-un conductor parcurs de curent şi plasat în câmpul exterior având inducţia magnetică B se exercită o forţă magnetică (de tip Laplace).

dF i(d B)= × (2.20) Fig 2.9

d

Fig 2.8


31

Elementul d este orientat în sensul curentului i. Dacă o sarcină q se miscă cu viteza v în câmpul B , asupra sa se exercită o forţă de tip Lorentz: F=q (v B)× . Comparând această expresie a forţei cu (2.20) se constată că „ i d⋅ ” şi „ q v⋅ ” au aceeaşi dimensiune şi semnificaţie (o sarcină q în mişcare cu viteza v înseamnă un curent electric). Dimensional se obţine:

[ ] [ ][ ][ ]

mCq v Csi = = = =A (Ampere)dl m s

(2.21)

Sensul curentului (sensul lui d ) corespunde sensului de mişcare a unei particule q încărcată (+) cu viteza v . Cum la metale particulele libere sunt electronii liberi (deci sarcini ()), sensul de referintă al curentului este invers cu sensul de mişcare a electronilor liberi. Unitatea de măsură (Amperul) s-a definit pe baza forţei electrodinamice (de tip Ampère) ce se exercită între două conductoare filiforme paralele, parcurse de curenţii i1 şi i2 (figura 2.10):

1 221 1 2

oμ i idF d B i d2πd

= =

fiind forţă de atracţie când curenţii i1 şi i2 au acelaşi sens şi de respingere în caz contrar. Dacă i1=i2=1A şi

7o

Hμ 4 π 10 m= ⋅ ⋅ − este permeabilitatea vidului, atunci

asupra unui segment de lungime 1m din conductorul 2 se exercită o forţă de 72 10 ⋅ − N/m. Cum amperul absolut este bazat pe efecte mecanice (mai greu de controlat), amperul internaţional se bazează pe efectul chimic al curentului electric: dacă un curent de 1A trece printr-o soluţie de azotat de argint, depune la catod într-o secundă 1,118 mg Ag.

a) Curentul de conducţie: Intensitatea curentului de conducţie printr-o secţiune a conductorului

reprezintă sarcina ce traversează secţiunea respectivă într-o secundă. dq Ci = =Adt s

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.23)

Curentul i se distribuie pe secţiunea conductorului cu densitatea J (figura 2.11):

___

cond Si J ds= ∫ (2.24)

Fig 2.10

d

Fig 2.11

(2.22)


J – densitatea curentului de conducţie [A/m²] caracterizează local (în fiecare punct) starea electrocinetică. Fluxul său (relaţia 2.24) printr-o secţiune este chiar intensitatea curentului electric de conducţie i. Liniile vectorului J se numesc linii de curent, sensul său corespunde cu sensul curentului.

• dacă J este ⊥ pe suprafaţa S şi uniform ( J = ct) atunci: ___

cond Si J ds J S=J S= =∫ şi conductorul se numeşte filiform.

• Dimensional: [ ] [ ][ ] 2i AJ mS

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎣ ⎦

• dacă J nu se distribuie uniform pe secţiunea transversală a conductorului, acesta este nefiliform (sau masiv). Aceasta depinde şi de grosimea conductorului dar în primul rând de frecvenţa curentului. O bară groasă, în joasă frecvenţă (sau curent continuu) este filiformă, iar un fir subţire în înaltă frecvenţă este masiv (efecte peliculare).

Fig 2.12 În general, dacă printr-o suprafaţă deschisă SΓ, mărginită de curba Γ

(figura 2.13) trece un curent electric, atunci prin elementul de suprafaţă orientat ds va trece curentul:

di=J ds (2.25) iar prin toată suprafaţa SΓ va trece:

___

Γ

SS

J dsiΓ

= ∫ (2.26)

Dacă prin SΓ trec mai multe conductoare parcurse de curent (filiforme sau nu) în diferite sensuri, atunci Si Γ

este

un curent de conducţie generalizat numit solenaţia prin suprafaţa SΓ. b) Curentul de convecţie (transport) Mişcarea ordonată a particulelor libere ( q'− ) cu

viteza relativă rv determină un curent de conducţie (icond) prin piesa conductoare (figura 2.14).

Dacă conductorul este mobil în spaţiu cu viteza Fig 2.14

Fig 2.13


33

de transport tv , această mişcare a sarcinii ( q'− ) determină un curent de convecţie (transport).

Practic, un curent de convecţie apare prin mişcarea cu viteza v a unui corp încărcat în exces de sarcină (+) sau ().

Considerăm un element de volum d( )υΔ dintr-

un corp încărcat cu densitatea de sarcină vρ , care se mişcă cu viteza v şi traversează suprafaţa S (figura 2.15). Dorim să evaluăm curentul de convecţie prin suprafaţa S.

Elementul de volum având expresia: ( )d Δ = Δ ds = ds v Δtυ (2.27)

încărcat uniform cu densitatea vρ , trece prin S în timpul ∆t. Curentul de convecţie prin elementul ds, odată cu trecerea lui d( )υΔ se poate scrie succesiv sub forma:

( ) ( )V VC V c

d Δq ρ d Δ ρ ds v Δtdi = = = = ρ ds v=J dsΔt Δt Δt

υ⋅ (2.28)

Densitatea curentului de convecţie este:

C vJ =ρ v ; [ ][ ] 2C v 3

C m AJ = ρ v = = mm s⎡ ⎤⎣ ⎦ (2.29)

Ea depinde de densitatea sarcinii din corpul mobil ( Vρ ) dar şi de viteza cu care acesta se mişcă. Curentul de convecţie ( transport) prin toată suprafaţa S este:

___

C C v

TS S

i =i = J ds ρ v ds=∫ ∫ (2.30)

Dacă are loc mişcarea unei distribuţii superficiale de sarcina Sρ cu viteza v , se va defini o distribuţie superficială de curent (pânza de curent) cu densitatea:

S SAJ =ρ v m⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.31)

La fel cum şi pentru curentul de conducţie există “pânză de curent”

atunci când liniile de curent sunt conţinute pe o suprafaţa subţire (la suprafaţa conductorului sau pe o discontinuitate interioară ).

Fig 2.15


c) Curentul de deplasare

La variaţia în timp a câmpului E , variază şi polarizaţia P , care va antrena o mişcare a particulelor elementare infinitezimale şi orice mişcare de sarcini înseamnă curent electric. Dar în dielectrici sarcinile nu sunt libere, ele pot numai să se deplaseze limitat, acest curent numindu-se curent de deplasare.

O particulă (cea haşurată) aşezată pe suprafaţa S din dielectric (figura 2.16) este neutră. Ca urmare a

polarizării substanţei ea se transformă într-un dipol electric, sarcina dipolară ddq s-a deplasat prin suprafaţa ds. Conform cu (2.15) sarcina dipolară cu

expresia d

dq = P ds determină curentul: ___ ___ ___

dd d

dq d dPdi = = P ds = ds =J dsdt dt dt

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

/ (2.32)

Mărimea ddPJ =dt

/ este densitatea curentului de deplasare în substanţă.

Din legea legăturii în câmp electric (2.19): oD= E+Pε ,dacă o derivăm în raport cu timpul, vom obţine:

oD E Pt t t

∂ ∂ ∂= ε +

∂ ∂ ∂ (2.33)

Fiecare termen din (2.33) are dimensiunea unei densităţi de curent:

oo

od

d

DEJ - este densitatea curentului de deplasare în vid t t

DJ - este densitatea curentului (total) de deplasaret

⎧ ∂∂= ε =⎪⎪ ∂ ∂

⎨∂⎪ =⎪ ∂⎩

Componenta odJ , în stadiul actual al ştiinţei, nu are o interpretare

foarte explicită; acest curent de deplasare în vid nu are multe dintre atributele unui curent (fiind în vid el nu este însoţit de nici o mişcare de sarcini electrice sau de corpuri încărcate, nu produce căldură – vidul nu are o astfel de caracteristică) dar are caracteristica fundamentală a oricărui curent – aceea de a produce câmp magnetic în jurul său. De altfel, prin acest curent se

propagă unda electromagnetică prin vid, câmpul electric variabil oEt

∂ε

∂

produce câmp magnetic în jurul său.

Fig 2.16


35

Densitatea curentului de deplasare dDJt

∂=

∂ nu are direcţia

câmpului D , ci are direcţia variaţiei lui D , respectiv ( dD ) ca în figura 2.17.

Observaţie:

În afară de curenţii electrici de conducţie, convecţie şi deplasare, mai există curentul electric de tip Röntgen (vezi relaţia 3.34), creat prin mişcarea cu viteza v a corpurilor polarizate, el este creat de sarcinile fictive de polarizaţie în mişcarea lor odată cu corpul. Densitatea acestui curent este : ( )RJ rot D v= × (2.34)

Dimensional: [ ][ ][ ] 2 2R1 C m AJ = rot D v = =m m s m

⎡ ⎤⎣ ⎦ (2.35)

2.4 Starea de magnetizare a corpurilor

Starea de magnetizare a unui corp de dimensiuni mici este caracterizată printr-o mărime primitivă vectorială: m - momentul magnetic. Direcţia lui m e direcţia de magnetizare a corpului.

Corpul magnetizat de moment m introdus într-un câmp exterior de inducţie B va fi supus unor acţiuni ponderomotoare (forţe, cupluri) de către acesta:

C= m x B

F=grad(m B)↓

⎧⎪⎨⎪⎩

(2.36)

analog cu acţiunile unui câmp electric E asupra unui corp polarizat (2.11) Sub acţiunea cuplului C corpul magnetizat va fi rotit pe direcţia câmpului B , această orientare la nivel micro este interpretată la nivel macro prin magnetizarea corpului pe direcţia câmpului B . La fel ca momentul elecric p şi momentul magnetic m , poate avea o componentă temporară şi una permanentă: ptm m m= + .

Fig 2.17


Un mic corp magnetizat de moment m poate fi echivalat cu o buclă de curent (figura 2.18) dacă au acelaşi moment magnetic: bm=m . Momentul unei bucle de curent este:

bm =i A (2.37) unde i este curentul din buclă iar A este aria orientată a buclei (în raport cu sensul curentului din buclă).

Dimensional: [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ][ ]

2b

2

NA m

m = m = i A =A m

C N m[m]= = =A mB

⎧⎪⎨⎪⎩

(2.38)

Starea de magnetizare a unui corp masiv (privit ca o reuniune de mici corpuri, fiecare având momentul m ) într-un punct P din volumul său este caracterizată prin densitatea momentelor magnetice din jurul punctului P:

dmM=dυ

(2.39)

Mărimea aceasta M se numeşte magnetizaţia corpului şi ea caracterizează local starea de magnetizare din orice punct interior P.

Dimensional: [ ] [ ][ ]

2

3

dm A m AM =d m mυ

= = (2.40)

Dacă M = ct, avem un corp uniform magnetizat, iar dacă se cunoaşte M în orice punct din corp, atunci momentul magnetic al corpului va fi:

corpcorp V

m M dυ= ∫ (2.41)

Curentul i care parcurge bucla echivalentă poartă numele de curent de magnetizare sau curent amperian.

Momentul magnetic al unui mic corp cilindric de înălţime h este:

b m

m M =M A h m =i A - momentul buclei echivalente

υ=⎧⎨⎩

Deci curentul amperian are valoarea: mi M h= . Pentru un corp masiv, un element infinitezimal

cu înălţimea dh va avea echivalent curentul amperian (figura 2.20):

mdi M dh=M d = (2.43)

Fig 2.18

(2.42)

Fig 2.19

Fig 2.20

d


37

Curentul amperian, prin suprafaţa curbei Γ (figura 2.20) este dat de toate buclele elementare tăiate de curba Γ:

mi M dΓ

Γ= ∫ (2.44)

Pentru corpuri magnetizate neuniform, valoarea locală a densităţii curentului amperian este:

___ ___

m m S

mi

J ds M d J rot MΓ

Γ

Γ

= ↔ =∫ ∫ (2.45)

Pe suprafaţa corpului magnetizat (care este o discontinuitate pentru M ) se poate defini o repartiţie superficială de curent (pânză de curent):

S 12 2 1m s 2 1t tJ rot M=n x(M M ) M M= − = − (2.46)

care apare ca o bobină cu spire foarte subţiri aşezate pe suprafaţa corpului (figura 2.21). Dacă în exterior

2tM = 0 atunci intensitatea pânzei de curent este:

Sm 1tJ M= .

Observaţie: 1. Analogia unui mic corp magnetizat cu o buclă de curent (introdusă de Ampere.)

este adevarată şi azi, la nivel micro. Un electron descrie o orbită (o buclă orbitală cu momentul orbital om ) dar şi o mişcare de spin în jurul orbitei (care determină un moment

magnetic de spin sm . Suma vectorială a acestora ne dă momentul magnetic al unui atom. 2. Materialele diamagnetice (cupru, bronz, etc) n-au moment magnetic iniţial. Câmpul extB le induce un moment magnetic (de sens opus cu extB ). Ele slăbesc câmpul extB .

Materialele paramagnetice (Al) au momente spontane m pe care câmpul B ext le orientează pe direcţia sa. Aceste materiale întăresc câmpul exterior B ext. 2.5 Stările câmpului electric şi magnetic

Explorarea unui câmp electric se face cu un mic corp de probă conductor încărcat cu sarcina q. Corpul de probă trebuie să fie mic pentru a explora câmpul electric punctual (altfel fac media pe o regiune în jurul punctului) iar q să fie mic pentru ca prin câmpul său propriu, corpul de probă să nu modifice valoarea câmpului de explorat:

eF q E= (2.47) Sarcina q are unitatea de măsură stabilită experimental prin alte metode

[q]= C, iar din relaţia (2.47) rezultă:

Fig 2.21


[ ] [ ][ ]F N VE =q C m

= (2.48)

În orice punct dintr-un domeniu, câmpul electric E defineşte local starea câmpului electric din acel punct.

Explorarea unui câmp magnetic se poate face cu un corp de probă care poate fi o sarcină q în mişcare cu viteza v .

Dacă în regiune există şi câmp electric, acesta va exercita o forţă electrică eF q E= , iar câmpul magnetic B va acţiona cu o forţă magnetică tip Lorentz:

( )mF =q v x B (2.49)

În repaus măsurăm forţa electrică eF , iar în mişcare măsurăm:

( )tF =q E+q v B× (2.50)

Forţa suplimentară, forţa magnetică mF , este cea care apare la mişcarea sarcinii pe curba C cu viteza v (figura 2.22)

Mărimea explorată B definită printr-un produs vectorial (2.49) îi atribuie lui B caracterul de vector axial, spre deosebire de E care are caracter de vector polar. Explorarea mărimii B se poate face şi pe baza altor experimente:

( )dF i d B= × sau bC= m B× (2.51)

Toate aceste moduri de definire pentru B sunt echivalente între ele. Dimensional pentru inducţia magnetică rezultă unitatea de măsură din

relaţia sa de definiţie:

( ) [ ] [ ][ ][ ]

[ ] [ ][ ] 2 2

dF NdF=i d B B T(Tesla)i d A m

C N m 1WbC= m B B T=m A m m

⎧× ⎯⎯→ = = =⎪

⎪⎨⎪ × ⎯⎯→ = = =⎪⎩

(2.52)

Observaţie:

Ca orice formă de materie, câmpul electromagnetic are energie şi impuls pe care le poate transmite corpurilor cu care este în contact. Deosebirea faţă de substanţa corpurilor constă în faptul că pentru câmp nu este proprie starea de mişcare mecanică.

În vid un câmp magnetic este univoc determinat prin inducţia sa

magnetică B în orice punct. În interiorul corpurilor materiale, sub influenţa câmpului magnetic exterior substanţa corpului se magnetizează şi va

Fig 2.22


39

modifica valoarea câmpului. Într-un punct din substanţă câmpul magnetic este caracterizat printr-o pereche de mărimi B şi H : B - inducţia magnetică în punctul P este valoarea câmpului ce exista în punctul P înainte de a plasa corpul, având o substanţă de permeabilitate μ şi este creat de surse externe corpului. H - intensitatea câmpului magnetic în punctul P şi este o caracteristică a câmpului ce ţine seama de modificarea pe care substanţa corpului a adus-o câmpului iniţial.

Dacă materialul corpului este izotrop, cei doi vectori sunt coliniari iar dacă este anizotrop (figura 2.23) atunci B şi H , în orice punct P, fac un unghi între ei.

Între cele două mărimi de stare ale câmpului magnetic din interiorul corpurilor există o legătură:

( )oB=μ H+M (2.53) numită legea legăturii în câmp magnetic (sau legea legăturii dintre mărimile B -inducţia magnetică, H -intensitatea câmpului magnetic şi M -magnetizaţia corpului).

Fig 2.23

3. Legile fenomenelor electromagnetice Studiul fenomenelor electromagnetice este mai dificil decât al altor fenomene fizice (mecanică, căldură, optică, acustică) deoarece omul nu este înzestrat cu simţuri speciale pentru perceperea directă a acestor fenomene (doar undele electromagnetice cu λ=(0.4–0.6) μm sunt perceptibile sub forma undelor luminoase).Studiul fenomenelor electromagnetice se face indirect, determinând câmpul să se manifeste prin forţe, cupluri, reacţii chimice, etc pe care să le percepem şi să le putem măsura. Fenomenul electromagnetic va fi privit unitar din punct de vedere macroscopic când toate acţiunile pe care le mijloceşte câmpul electromagnetic se transmit cu viteză finită, prin contiguitate (din aproape în aproape, în timp şi spaţiu). Toate acţiunile transmise prin câmp sunt întârziate, având nevoie de timp pentru a se propaga. Această teorie despre câmpul electromagnetic a fost iniţiată de Faraday, a fost desăvarşită de Maxwell pentru corpuri imobile şi a fost completată de Hertz pentru corpuri mobile. Este o teorie fenomenologică – teoria macroscopică clasică – care consideră mediile corporale ca fiind continuie şi nu abordează sistemele fizice la scară atomică (doar anumitor aspecte le vom da o explicaţie microscopică pentru a le înţelege mai bine semnificaţia). Între mărimile fizice ale unui domeniu al ştiinţei se pot stabili relaţii de legatură de două feluri: legi – acele relaţii care exprimă cele mai generale cunoştinţe despre fenomenele unui domeniu al ştiinţei, stabilite pe cale experimentală pe baza cercetării domeniului şi care nu se pot deduce logic din alte cunoştinţe mai generale; numărul lor este fix în orice domeniu al ştiinţei. teoreme – acele relaţii care se pot deduce logic plecând de la legi. Ele vizează aspecte particulare şi servesc la soluţionarea unor probleme practice, pentru a nu fi nevoiţi să apelăm la legi de fiecare dată. Legile teoriei macroscopice a fenomenelor electromagnetice sunt: legi generale: valabile în orice sistem fizic; ele nu conţin în expresia lor decât constante universale. legi de material: în expresia lor apar constante (coeficienţi) care au valori specifice pentru fiecare material ce intră în componenţa corpurilor ce alcătuiesc sistemul. Legile au forme integrale (valabile pe un anumit domeniu) şi forme locale (valabile într-un punct din domeniu).


3.1 Legea fluxului electric

Fluxul electric este o mărime electrică derivată, asociată cu inducţia electrică D . Fluxul electric printr-o suprafaţă deschisă ΓS (care se sprijină pe curba Г) este definit prin:

__ __S

SD ds Dds cos (3.1)

ΓΓ

ψ = = α∫ ∫Orientarea lui ds (deci a suprafeţei ΓS ) depinde de orientarea elementului d al curbei Г (figura 3.1).

Fluxul printr-o suprafaţă închisă Σ (figura 3.2) pe care o considerăm întotdeauna orientată după normala sa exterioară, se poate descompune în fluxul prin emisfera superioară Σs şi fluxul prin emisfera inferioară Σi, cele doua emisfere fiind separate prin planul ecuatorial.

s i

__ __ __ __s iD ds D ds (3.2)− +

ΣΣ Σ

ψ = + = ψ +ψ∫ ∫

În emisfera superioară intră liniile lui D , ungiul dintre D şi ds este obtuz şi

0ds Ds

____s <=ψ ∫∑ iar prin emisfera inferioară ies

liniile lui D , unghiul dintre D şi ds este ascuţit şi i

__ __i D ds 0

Σψ = >∫ . Cum

fluxul ΣΨ este suma de doi termeni unul (+) şi altul (–) vom avea:

i s- +s i i s

i s

+ dacă ψ > |ψ |, ies mai multe linii a lui D decât intrăψ =ψ +ψ 0 dacă ψ = |ψ |, atâtea ies pe jos câte linii au intrat pe sus

- dacă ψ < |ψ |, ies mai puţine linii decât au intraΣ =

t

⎧⎪⎨⎪⎩

Dintr-o suprafaţă închisă Σ pot să iasă mai multe linii de câmp decât au intrat numai dacă în volumul limitat de Σ ( Σν ) există surse pozitive care generează noi linii de câmp. Ies mai puţine linii de câmp numai dacă în Σν

Σ

iΣ

sΣ

Fig 3.2

SΓd

Γ

α

Fig 3.1

3. Legile fenomenelor electromagnetice 43

există surse negative (puţuri) care absorb liniile de câmp, respectiv ies atâtea linii câte au intrat dacă în Σν nu există nici o sursă sau productivitatea surselor (+) este egală cu productivitatea surselor (–). Deci între fluxul electric printr-o suprafaţă închisă Σ şi distribuţia surselor în interiorul suprafeţei Σ există o legătură. Dar sursele unui câmp electric sunt sarcinile electrice. Legea fluxului electric face legătura dintre fluxul electric prin Σ şi sarcinile conţinute în interiorul acestei suprafeţe:

__ __D ds q (3.3)Σ

Σ=∫

Expresia (3.3) reprezintă forma integrală a legii fluxului electric şi spune că ,,fluxul electric printr-o suprafaţă închisă Σ, oarecare, este egal numeric cu sarcina electrică conţinută în interiorul lui Σ”. Expresia legii (3.3) este valabilă în orice sistem şi în orice regim de

funcţionare, deci este o lege generală. Valoarea sarcinii qΣ conţine doar sarcinile interioare iq , al căror câmp 1D produce flux prin Σ. O sarcină exterioară

eq (figura 3.3) creează câmpul 2D care nu contribuie la fluxul ΣΨ (unele linii înţeapă suprafaţa Σ de două ori, cu (–) la intrare şi cu (+) la ieşire iar altele nu o

înţeapă niciodată). Considerând sarcina qΣ repartizată în interiorul volumului Σν cu densitatea vρ , astfel încât 0v ≠ρ în regiunile unde există efectiv corpuri încărcate cu sarcină şi 0v =ρ în spaţiul dintre corpuri, atunci:

v

__ __ __

q d

D ds div D d

Σ

Σ

Σν

Σ ν

= ρ ν

= ν

∫∫ ∫

__arbitrarv div D (3.4)Σν =

⎫⎪⎪⎪⎯⎯⎯⎯⎯→ = ρ⎬⎪⎪⎪⎭

Relaţia (3.4) constituie forma locală a legii fluxului electric. Cum divergenţa unui câmp indică sursele acelui câmp, legea (3.4) arată că sursele campului D sunt distribuţiile de sarcină vρ : liniile lui D încep pe sarcinile (+) şi se termină pe sarcinile (–). Cartezian expresia (3.4) se scrie sub forma:

eq


)z,y,x(z

Dy

Dx

Dv

zyx ρ=∂∂

+∂

∂+

∂∂ (3.5)

În domeniile neîncărcate cu sarcină unde 0v =ρ , liniile lui D trec continuu, nici nu apar nici nu dispar linii ale câmpului D . Dacă suprafaţa de trecere

12S dintre mediile ① şi ② (deci

12S este o discontinuitate) este încărcată cu distribuţia superficială de sarcină sρ (discontinuitate activă), atunci aplicând (3.4) în punctele din jurul discontinuităţii vom avea:

s sdiv D = ρ_ __ __

12 2 1 s n (D D )→ ⋅ − = ρ2 1n n s D D→ − = ρ (3.6)

Cum s 0ρ > → 12 nn DD > , ca în figura 3.4.

Dacă 12S este o discontinuitate pasivă ( s 0ρ = ) atunci:

1 2n nD D (3.7)=

respectiv la trecerea printr-o joncţiune pasivă ( 0s =ρ ) liniile lui D astfel se

refractă încât se conservă componenta normală a lui D . Relaţiile (3.4), (3.6) şi (3.7) sunt formele locale ale legii în domenii de continuitate sau de discontinuitate.

Observaţii: • Liniile lui D care trec printr-o suprafaţă limitată de un contur (figura 3.5) formează un tub de flux electric. Cum în interiorul tubului nu există sarcini 0v =ρ , rezultă că

1 2ψ = ψ , deci printr-un tub de flux, fluxul este conservativ. ,,Tub unitate” este acela a

cărui suprafaţă este străbătută de unitatea de flux. Fiecare tub unitate este înlocuit cu o linie a câmpului D care coincide cu axa tubului, obţinând astfel spectrul liniilor lui D . Din acest motiv fluxul printr-o suprafaţă este

1Ψv 0ρ =

2Ψ

sρ

Fig 3.4


definit ca numărul liniilor de câmp care străbat suprafaţa respectivă, fiecare linie ţine loc de un tub unitar de flux. Când liniile nu înţeapă o suprafaţă , fluxul este zero.

• Din relaţia (3.3) __ __D ds qΣ Σ

Σψ = =∫ rezultă dimensional:

2

[ ] [q ] C (3.8)[q ] C[D]

[S] m

Σ Σ

Σ

Ψ = =⎧⎪⎨ = =⎪⎩

• Formele integrale ale unei legi (valabile pe un domeniu) se pot verifica experimental iar formele locale (valabile într-un punct din domeniu) stau la baza algoritmilor de calcul a unui câmp.

• Dacă suprafaţa Σ trece doar prin mediu continuu cu ct=ε (unde D E= ε ), atunci legea se scrie succesiv:

__ __ __ __ __ __ __ __ qD ds E ds E ds q E ds (3.9)ΣΣ

Σ Σ Σ Σ= ε = ε = ⇒ =

ε∫ ∫ ∫ ∫

Forma particulară (3.9) a legii fluxului electric, pentru domenii de continuitate este cunoscută sub numele de teorema lui Gauss. Forma locală asociată expresiei (3.9) este:

(3.10) E div vερ

=

Dacă mediul cu ε a fost înlocuit prin sarcinile de polarizaţie

echivalente (p

__v div Pρ = − ), atunci din legea legăturii (2.19) se obţine:

(3.11) PdivDdivE divo

vv

o

p

ε

ρ+ρ=

ε−

=

Deci în vid ( oε ), sursele câmpului E sunt atât sarcinile reale vρ cât şi sarcinile de polarizaţie

pvρ .

• Plecând de la formele integrale (3.3) şi (3.10) se pot stabili algoritmi de calcul pentru câmpul D (respectiv E ) dacă intuiesc apriori forma liniilor lui D (respectiv E ) şi aleg suprafaţa Σ în concordanţă cu geometria liniilor de câmp. Suprafaţa Σ se alege astfel:

a) să fie ortogonală câmpului D (respectiv E ):

__ __ __ __D ds D ds ; ( E ds E ds) (3.12)= =


b)să fie o suprafaţă de câmp constant: D | ctΣ= ; ( E | ctΣ= ) (3.13) În ipotezele (3.12) şi (3.13) calculul integralei de flux din (3.3) se simplifică astfel:

__ __

(a) (b)

q qD ds Dds D ds D A q D ; E (3.14)A AΣ Σ

Σ Σ↑ ↑ Σ ΣΣ Σ Σ

⎛ ⎞= = = ⋅ = ⇒ = =⎜ ⎟ε⎝ ⎠∫ ∫ ∫

• Pentru o piesă conductoare încărcată superficial cu distribuţia de sarcină sρ , în interiorul său nu există câmp ( 0D1 = ) iar în exterior câmpul este

2n2 DD = , normală la suprafaţa conductorului, atunci forma locală (3.6) aplicată pe suprafaţa unei piese conductoare devine:

2 1 2n 01n n s 2 n sD

D D D D (3.15)=

− = ρ ⎯⎯⎯⎯→ = = ρ

Valoarea inducţiei electrice D lângă un corp conductor este egală cu valoarea locală a lui sρ iar ca vector este ⊥ pe suprafaţa corpului conductor.

Aplicaţii: 1. O sarcină punctiformă q este situată în vid (figura 3.6). Se cere expresia câmpului electric creat în jurul său.

Câmpul electric este radial (liniile lui E în lungul vectorului de poziţie r ) cu simetrie sferică (simetria unui câmp este dată de forma suprafeţelor sale echipotenţiale). Aplicând legea fluxului electric sub forma (3.14) pe suprafaţă Σ sferă de rază r obţinem:

2. O sferă dielectrică de rază a şi permitivitate r oε = ε ε este încărcată

uniform cu sarcina q ( 3va4q3

Vq

π==ρ ) şi plasată în vid. Se cere expresia

câmpului creat.

q0( )ε

Σ

___ __ __

22 3

q q rD ds q D 4 r q D D 44 r r

ΣΣ

= ↔ ⋅ π = → = → = →ππ∫

__ ___

3o o

D q rE 4 r

→ = =ε πε


Atât în interiorul sferei ( ar < ) cât şi în exteriorul său, câmpul electric este radial cu simetrie sferică; deci vom alege suprafeţe Σ sfere atât pentru interior (Σi) cât şi pentru exterior (Σe) de forma unor sfere (ortogonale pe liniile de câmp) ca în figura 3.7

Pe domeniul interior ( ar < ) rezulttă:

ii

3__ __2

i i v4 rD ds q D 4 r

3ΣΣ

π= ↔ π = ρ∫

Pe domeniul exterior ( r a≥ )

vom avea:

ee

__ __2

e e

33v

v e 2

_ _3 3__ __

v ve e3 3o

D ds q D 4 r

a4 a 1 D 3 3 r

a ar rD E3 3r r

ΣΣ

= ↔ π =

ρπ= ρ → = →

ρ ρ= → =

ε

∫

Suprafaţa sferei de rază a este o discontinuitate (în interior este ε şi în exterior oε ) deci valoarea lui E suferă un salt. În schimb:

vi r a e r a(D ) a (D )

3= =ρ

= =

deci valorile câmpului D nu sunt afectate de discontinuitatea mediului, ca în figura 3.8. 3. Un fir rectiliniu foarte lung este încărcat uniform cu densitatea liniară [C / m]ρ . Se cere expresia câmpului electric creat.

__ _ __ _vi ii v v

1 1 D r D r E r3 3 3

ρ→ = ρ → = ρ → =

ε

eΣ

iΣ

vρ

v a3ρε

( )εo( )ε


Câmpurile D şi E sunt radiale cu simetrie cilindrică, deci şi suprafaţa Σ o alegem un cilindru de rază r şi lungime h (figura 3.9).

lat baza

__ __ __ __ __ __

0D ds D ds 2 D ds

1 D 2 rh q h D 2 r

Σ Σ Σ =

∑

= + =

ρ= ⋅ π = = ρ ⇒ = ⇒

π

∫ ∫ ∫

___

2rD

2 rρ

= ⇒π

__ ___

2o o

D rE2 rρ

= =ε πε

4. Un cilindru dielectric foarte lung şi de rază a este încărcat uniform cu sarcină având densitatea vρ . Se cere expresia câmpului creat în interiorul şi exteriorul său (figura 3.10).

Câmpurile D şi E sunt radiale cu simetrie cilindrică: Pentru interiorul cilindrului ar < :

i

i

__ __2

i i v i

__ _ __ _v v vi ii

D ds q D 2 r r

D r D r E r2 2 2

ΣΣ

= ↔ π = ρ π

ρ ρ ρ→ = → = → =

ε

∫

Pentru exteriorul cilindrului ( r a≥ ) rezultă succesiv:

ee

__ __2

e e v e

_ _2 2 2__ __

v v ve ee 2 2o

D ds q D 2 r a

a a a1 r r D D E2 r 2 2r r

ΣΣ

= ↔ π = ρ π

ρ ρ ρ→ = → = → =

ε

∫

5. O sferă conductoare de rază a este încărcată superficial cu sarcina q şi este situată jumătate într-un mediu cu 1ε iar cealaltă jumătate într-un mediu cu 2ε . Se cer expresiile câmpului electric creat şi densităţile de sarcină pe cele două emisfere.

DD

Dρ ds

ds

h

Σ

r

Fig 3.9

0εvρ

eΣ

e

r

a

ε

Fig 3.10

iΣ

i


În plan ecuatorial este discontinuitate, unde se conservă componenta tangenţială a lui E :

2

2

1

121

DD EEε

=ε

→=

1

11221

21

1

221

DE r2

1qD q1r2Dε

=→πε+ε

ε=→=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛εε

+π

2

222

21

21

1

22

DE r2

1qDDε

=→πε+ε

ε=

εε

=

Distribuţia sarcinii pe cele două emisfere conform relaţiei (3.15) va fi:

1

1 2

2

1s 1 r a 21 2 2

s s2

s 2 r a 21 2

1(D ) q2 a ( )2 a q

1(D ) q2 a

=

=

ε⎧ρ = =⎪ ε + ε π⎪ ⇒ ρ +ρ π =⎨ ε⎪ρ = =⎪ ε + ε π⎩

3.2 Legea fluxului magnetic Sub formă integrală legea spune că: ,,fluxul magnetic printr-o suprafaţă închisă Σ este nul în orice regim de funcţionare, indiferent ce formă are Σ”.

__ __ B ds 0 (3.16)Σ

ΣΦ = =∫

Forma integrală (3.16) a legii pune în evidenţă caracterul conservativ al fluxului magnetic; fluxul care intră printr-o parte a suprafeţei închise Σ este egal cu fluxul care iese prin altă parte, iar fluxul printr-o suprafaţă deschisă ΓS depinde doar de forma curbei Γ .

În domenii de continuitate a câmpului B se poate scrie, cu teorema lui Gauss:

__ __2

1 2D ds q (D D )2 r qΣΣ

= ↔ + π =∫

Fig 3.11

1sρ

2sρa1ε

2ε

1 1 1D E= ε

2 2 2D E= ε

1D

2DΣ


__ __ __ __

arbitrarvB ds div Bd 0 div B 0 (3.17)

ΣΣ

ν =Σ= ν = ⎯⎯⎯⎯⎯→ =∫ ∫

Expresia (3.17) reprezintă forma locală a legii fluxului magnetic. Cum în orice punct din spaţiu divB 0= , înseamnă că liniile inducţiei magnetice B sunt întotdeauna linii închise (sau sunt un fascicul paralel de linii de câmp). Deci câmpul B este un câmp fără surse (nu există sarcini magnetice care ar produce câmpul magnetic) şi este numit câmp solenoidal. Dacă 0B div = înseamnă că funcţia vectorială B provine prin intermediul rotorului dintr-un potenţial magnetic vector A (conform relaţiei 1.15): A rotB = (3.18) Potenţialul vector A este o mărime vectorială de calcul, nu are o semnificaţie fizică; el se foloseşte doar pentru a creea algoritmi de calcul ai câmpului magnetic mult mai simpli. Ca orice funcţie vectorială, potenţialul A este univoc determinat dacă alături de rotorul său (3.18) se cunoaşte şi divergenţa sa (numită condiţia de etalonare). În regim staţionar şi cvasistaţionar se adoptă o condiţie de etalonare de tip Coulomb:

(3.19) 0A div = Cu ajutorul potenţialului A , fluxul magnetic printr-o suprafaţă deschisă ΓS care se sprijină pe curba închisă Γ se poate exprima astfel:

__ __ __ __S

S SB ds rot A ds Ad (3.20)

ΓΓ Γ Γ

Φ = = =∫ ∫ ∫

Deci pentru a calcula un flux magnetic Γ

ΦS trebuie cunoscute fie

valorile lui B în toate punctele suprafeţei ΓS , fie valorile potenţialului A doar în punctele conturului Γ , problemă mult mai simplă; deci fluxul

ΓΦS

depinde doar de forma curbei Γ . Forma locală (3.17) este valabilă doar în domenii de continuitate ale mediului, deci ale câmpului magnetic. În jurul unei suprafeţe de discontinuitate forma (3.17) devine:

1 2

__ __ __12 2 1s n ndiv B 0 n ( B B ) 0 B B (3.21)= → ⋅ − = → =

respectiv la trecerea printr-o discontinuitate liniile câmpului B astfel se refractă încât se conservă componenta normală a inducţiei magnetice. Dimensional Wb][ =Φ (Weber) iar din expresia (3.16) rezultă:

2Wb[B] T (tesla) (3.22)

S mΦ

= = =


Totodată, din

ABr

N NB rotA [A] [B] [r] m T m (3.23)A m A∂

=∂

= ⎯⎯⎯⎯→ = ⋅ = ⋅ = = ⋅⋅

Observaţii: • Într-un câmp magnetic uniform fluxul magnetic prin suprafaţa ΓS

este: Γ⋅=ΦΓ

SBS iar într-un câmp neuniform el este __ __

SS

B dsΓ

Γ

Φ = ∫ .

• Legea legăturii în câmp magnetic (2.53) precizează legătura dintre inducţia magnetică B , intensitatea câmpului magnetic H şi magnetizaţia

M : )MH(B o +μ= , unde m/H104 7o

−⋅π=μ este permeabilitatea vidului,

iar 7

oo

1 104

ν = =μ π

şi este reluctivitatea vidului. Legea legăturii se poate

scrie sub forma: __ __

o H B M (3.25)= ν − Legea legăturii în câmp electric (2.19) este de forma:

oD E P (3.26)= ε +

Comparând cele două expresii (3.25) şi (3.26) se poate stabili o analogie între câmpul electric şi câmpul magnetic: câmp electric câmp magnetic B E ⎯⎯ →← E şi B sunt vectorii de bază în cele două câmpuri; în funcţie de ei se exprimă efectele motoare, forţe, energii, etc. H D ⎯⎯ →← D şi H sunt vectorii auxiliari ai celor două câmpuri corespondenţa factorilor de mediu

o o

o

1 ε ←⎯⎯→ ν =μ

1( ) ( )ε ←⎯⎯→μ

P -M←⎯⎯→ mmărimea P M este → = − polarizaţia magnetică


3.3 Legea circuitului magnetic(legea curentului total) 3.3.1 Formele integrale ale legii ,,Tensiunea magnetomotoare (t.m.m) mmu

Γ de-a lungul oricărei curbe

închise Γ este egală cu suma dintre solenaţia SΓθ corespunzătoare unei

suprafeţe ΓS ce se sprijină pe curba închisă Γ şi curentul hertzian ΓHi prin

suprafaţa ΓS ”. Matematic aceasta se scrie sub forma:

H

Smm S

i

d u (3.27)

dt Γ

Γ Γ

Γ

ψ= θ +

Expresia (3.27) este forma integrală a legii, unde:

• mmuΓ

=__ __H d

Γ∫ – este t.m.m. de-a lungul

curbei Γ iar 12mu =

2 __ __

1H d∫ este

tensiunea magnetică între punctele 1 şi 2 din câmpul H

• SΓθ – este solenaţia (curentul de

conducţie total) care străbate suprafaţa ΓS . Aşa cum intensitatea curentului caracterizează curentul printr-un conductor, solenaţia generalizează ,,curentul printr-un conductor” la „curentul printr-o suprafaţă oarecare ΓS ”, care poate fi străbătută de mai multe conductoare sau

de acelaşi conductor care trece de mai multe ori prin ΓS (figura 3.12). Admitem o densitate de curent J prin suprafaţa ΓS definită astfel încât să fie nulă în toate punctele suprafeţei ΓS cu excepţia suprafeţelor

k21 S,...,S,S efectiv parcurse de curent. n

kk 1

nk

k 1

0 pentru S

J (3.28)

0 pentru S S

=

Γ=

⎧≠⎪⎪= ⎨⎪= −⎪⎩

∪

∪

1i

2i

SΓ2s1s

2i1i

kski

Γ

Fig 3.12

ds

dl


În funcţie de această densitate de curent (3.28), solenaţia se scrie sub forma: _ __

S S J ds (3.29)Γ

Γ

θ = ∫

• curentul hertzian prin suprafaţa ΓS este : SH

di (3.30)

dtΓ

Γ

ψ=

unde: __ __

SS

D dsΓ

Γ

ψ = ∫ este fluxul electric prin suprafaţa ΓS . Fluxul electric

din (3.8) are dimensiune: C]q[][ ==ψ iar Hi Γva avea dimensiunea:

S SH H

d [d ] Ci [i ] Adt [dt] s

Γ ΓΓ Γ

ψ ψ= → = = = (3.31)

În expresia (3.30) avem o derivată substanţială de flux: un flux printr-o suprafaţă ΓS poate fi variabil fie din cauza variaţiei câmpului D , respectiv

)t(D şi suprafaţa este fixă în spaţiu, fie câmpul nu este variabil în timp )t(DD ≠ dar suprafaţa ΓS se mişcă în spaţiu cu viteza v dinspre un câmp

slab spre unul intens (derivata este (+)) sau invers (derivata este (–)). Matematic aceasta înseamnă:

__ __

__ __

____ __S

HS S fixa

D D(t)

__ __ __ __

S mobila cu viteza v D D(t)

d d Di D ds dsdt dt t

v div D rot D v ds

ΓΓ

Γ Γ

Γ

==

=

≠

⎡ ⎤ψ ∂⎢ ⎥= = = +⎢ ⎥∂

⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟+ ×⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

∫

Ţinând seama de (3.4) expresia (3.32) se scrie sub forma: __

__ __ __ __ __ __H v

S S S

Di ds v ds rot( D v ) ds (3.33)tΓ

Γ Γ Γ

∂= + ρ + ×

∂∫ ∫ ∫

Înlocuind în (3.27) expresiile lui mmuΓ

, SΓθ şi ΓHi se obţine:

c d T R

____ __ __ __ __ __ __ __ __ __

vS S S S

i i i i

DH d J ds ds v ds rot D v ds (3.34)t

Γ Γ Γ ΓΓ

⎛ ⎞∂= + + ρ + ×⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(3.32)


Expresia (3.34) este forma integrală dezvoltată a legii iar integralele din membrul drept reprezintă:

−ci intensitatea curentului de conducţie prin ΓS ( J este densitatea sa)

−di intensitatea curentului de deplasare prin ΓS ( tD∂∂ este densitatea sa)

−Ti intensitatea curentului de convecţie (transport) prin ΓS ( v vρ este densitatea sa)

−Ri intensitatea curentului Röentgen prin ΓS (__ __

rot(D v )× este densitatea sa) Observaţie:

__ __RJ rot(D v )= × este densitatea curentului Röentgen teoretic iar

__ __rot( P v )× este

densitatea curentului Röentgen practic, verificat experimental, diferenţă care în formulare macroscopică nu afectează calculele tehnice; deosebirea are o justificare doar în electrodinamica relativistă. În membrul stâng al legii (3.34) sunt numai mărimi magnetice iar în membrul drept sunt numai mărimi electrice. Deci legea circuitului magnetic face legătura dintre aspectul electric şi cel magnetic al câmpului electromagnetic, respectiv legea spune că ,,un câmp magnetic este creat de către curenţi electrici (indiferent de natura lor fizică: conducţie, deplasare, convecţie, Röentgen)”. Aceasta este singura proprietate comună a celor patru genuri de curenţi electrici, de unde şi numele acestei legi de,legea curentului total. Afirmaţia că: ,,orice curent electric produce un câmp magnetic în jurul său” admite şi reciproca: ,,nu pot exista linii de câmp magnetic fără ca ele să înconjoare linii de curent”. În medii fixe (fără corpuri în mişcare v 0= ) expresia (3.34) se reduce la forma:

__ __

SS

DH d ds (3.35)tΓ

ΓΓ

∂= θ +

∂∫ ∫

respectiv câmpul magnetic H este creat doar de curenţi de conducţie

(solenaţie) şi de curenţi de deplasare (câmpuri electrice variabile 0tD≠

∂∂ ).


Regimul cvasistaţionar este un regim variabil de frecvenţă mică

(medie) în care <<∂∂

tD , deci se

poate neglija curentul de deplasare, respectiv câmpul magnetic creat de el, peste tot, cu excepţia dielectricului dintre armăturile unui condensator (altfel nu se asigură continuitatea liniilor de curent prin condensator), vezi figura 3.13 . Deci în regim cvasistaţionar un câmp magnetic este produs numai de către

curenţi de conducţie (solenaţie) la fel ca şi în regim staţionar (curent

continuu): __ __

S

H d (3.36)Γ

Γ= θ∫

Această formă particulară a legii (3.36) valabilă în regim staţionar şi cvasistaţionar este cunoscută şi sub numele de teorema lui Ampère. În vid unde nu există corpuri conductoare S(deci J 0, 0)

Γ= θ = dar

nici corpuri în mişcare (v 0)= , din expresia (3.34) mai rămâne: __ __

S

DH d ds (3.37)t

ΓΓ

∂=

∂∫ ∫

care pune în evidenţă faptul că în lipsa corpurilor (în particular în vid), un câmp magnetic H este produs doar de către curenţii de deplasare, respectiv

este produs de către câmpuri electrice variabile .0tD≠

∂∂

3.3.2 Formele locale ale legii În domenii de continuitate a proprietăţilor fizice, respectiv de continuitate a câmpului magnetic, aplicând teorema lui Stokes în membrul stâng din (3.34) se obţine:

____ __ _ __ __ __ __

vS S

Drot H ds J v rot D v ds (3.38)t

Γ Γ

⎡ ⎤⎛ ⎞∂⎢ ⎥= + +ρ + ×⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

H H

H

condi condi

depli

Fig 3.13


Cum suprafaţa ΓS are o formă arbitrar aleasă, rezultă că: __ __ __ __ __

vDrot H J v rot(D v ) (3.39)t

∂= + +ρ + ×

∂

Expresia (3.39) reprezintă forma locală (valabilă în orice punct din domeniu) a legii circuitului magnetic, respectiv ,,liniile câmpului H fac rotoare drepte în jurul tuturor liniilor de curent care l-au creat; liniile lui H sunt conţinute în plane ⊥ pe liniile de curent”.

• În medii fixe, fără corpuri în mişcare (v 0)= forma locală este:

(3.40) tD J H rot∂∂

+=

Această formă locală a legii este cunoscută şi sub denumirea de prima ecuaţie a lui Maxwell şi ea face parte dintr-un sistem de ecuaţii cu derivate parţiale.

• În regim cvasistaţionar ( ; v 0)t∂<< =

∂ forma locală a legii este:

(3.41) J H rot = liniile lui H fac rotoare drepte (regula burghiului drept) în jurul curentului J din fire conductoare. Cum J H H rot =×∇= rezultă că liniile lui H şi cele ale lui J sunt conţinute în plane ortogonale; aceasta ne ajută să intuim

geometria liniilor lui H atunci când cunoaştem geometria liniilor lui J ca în figura 3.14.

• În vid forma locală a legii este:

tD H rot∂∂

=

(3.42) respectiv liniile unui câmp magnetic produs de un câmp electric variabil (figura 3.15) sunt conţinute în plane

perpendiculare pe liniile câmpului electric iar

ca sens fac rotoare drepte, dacă 0tD>

∂∂ sau

rotoare stângi, dacă 0tD<

∂∂ .

Expresiile (3.39), (3.40), (3.41), (3.42) deduse prin aplicarea teoremei lui Stokes sunt valabile doar în domeniile de continuitate.

H

H

HFig 3.14

i

i

H

D 0t

∂>

∂

D

Fig 3.15


Dacă 12S este o suprafaţă de discontinuitate

care separă domeniile ① şi ② şi presupunem că este o discontinuitate activă (conţine o pânză de curent sJ ), atunci forma (3.41) aplicată în vecinătatea lui 12S devine:

2 1

__ _ __ __ __ _2 1s ss

__ _t t s

rot H J n H H J

H H J (3.43)

⎛ ⎞= ↔ × − = ↔⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

↔ − =

unde n şi t sunt versorii normal şi tangent în orice punct al discontinuităţii 12S (vezi figura 3.16).

Dacă discontinuitatea 12S este o discontinuitate pasivă, o îmbinare între două medii cu 1μ şi 2μ fără a conţine o pânză de curent s(J 0)= atunci:

2 1 2 1

__ __ __t ts t trot H 0 H H H H (3.44)= ↔ = ↔ =

La trecerea printr-o discontinuitate pasivă liniile lui H astfel se refractă încât se conservă componenta tangenţială a lui H . Observaţie: Forma integrală (3.36) a legii poate constitui suport pentru a crea un algoritm de calcul a unui câmp magnetic creat de curenţi de conducţie:

__ __SH d (3.36)Γ

Γ= θ∫

Expresia (3.36) este adevărată pentru orice curbă închisă Γ , respectiv orice suprafaţă care se sprijină pe curba Γ . Calculul circulaţiei din membrul stâng se simplifică dacă aleg curba Γ în concordanţă cu geometria liniilor câmpului H : a–) dacă intuim apriori forma liniilor lui H , alegem drept curbă Γ o linie de

câmp, atunci __H şi d vor fi tangente la curba Γ , respectiv:

(3.37) dHdH____

⋅=⋅ b–) dacă geometria liniilor de câmp este astfel ca în lungul liniei de câmp modulul câmpului să rămână constant, atunci:

Hd =H d H (3.38)ΓΓ Γ

= ⋅∫ ∫

1H2H

n

tsJ

Fig 3.16

t1H

t2H


această ipoteză este valabilă doar dacă liniile lui H sunt echidistante (sau în particular paralele) ca în figura 3.17 şi evaluăm lungimea liniei de câmp Γ şi solenaţia SΓθ prin suprafaţa curbei Γ . Deci dacă sunt îndeplinite ipotezele (3.37) şi (3.38) atunci:

Γ

Γ

___ ___

___ ___ Γ (a ) (b)S

S

H d Hd HH d

suma algebrică a curenţilor prin suprafaţa S

↑ ↑Γ Γ

ΓΓ

⎧= =⎪

= θ ↔ ⎨⎪θ =⎩

∫ ∫∫S

SH H (3.39)Γ

ΓΓ Γ ΓΓ

θ⋅ = θ → =

Aplicaţii 1. Un fir rectiliniu parcurs de curentul i sau un mănunchi de fire parcurse de curenţii 321 i,i,i şi 4i este situat într-un mediu omogen (figura3.18). Să se determine expresia câmpului magnetic creat.

În ambele situaţii liniile lui H sunt cercuri de rază r situate în plane ⊥ pe firele parcurse de curenţi. Cercurile fac parte din categoria liniilor echidistante, deci putem aplica (3.39):

a) __ __ iH d i H 2 r i H (3.40)

2 rΓ= ↔ ⋅ π = → =

π∫

Ca vector liniile lui H sunt tangente la cerc, deci sunt dirijate după

coordonataϕ a sistemului cilindric: iH H u u2 rϕ ϕ= =π

; uϕ -versorul axei

i

1i

2i

3i4i

a) b)Γ

H H

Fig 3.18

H

H

H

Fig 3.17

.ϕ


__ __S 1 2 3 4

__ __1 2 3 4

b) H d H 2 r i -i i -i

i -i i -i H H H u (3.41)2 r

ΓΓ

ϕ

= θ ↔ ⋅ π = + →

+→ = → = ⋅

π

∫

2. O bobină cilindrică lungă (lungimea a bobinei este mult mai mare decât diametrul spirelor) numită şi solenoid are N spire parcurse de curentul i ca în figura 3.19 . Se cere expresia câmpului H creat. Liniile lui H sunt fascicul paralel şi 0H ≠ doar în interiorul solenoidului, deci putem aplica (3.39):

__ __SH d H N i Γ

Γ= θ ↔ ⋅ = ⋅ →∫

N i H (3.42)⋅→ =

Care este un câmp magnetic uniform(valoare constantă în interiorul bobinei).

3. Un fir rectiliniu de rază a (figura 3.20) este parcurs de curentul conducţie i, repartizat uniform

pe secţiunea firului cu densitatea: 2iJa

=π

. Se

cere iH şi eH şi să se arate că e eB H= μ satis face legea fluxului magnetic. Liniile lui H sunt cercuri atât în interiorul

conductorului cât şi în exteriorul său. a) pentru interior )ar( < alegem o linie de câmp iΓ – cerc de rază r şi

aplicăm (3.39):

i

i

__ __2

i S i i 21 iH d H 2 r J r H J r r2 2 aΓ

Γ= θ ↔ π = π → = =

π∫

Ca vector iH este tangent la curba iΓ , deci are versorul uϕ : __ __ __ __ _ _

i ii1 1H H u sau H J r u (J r ) (3.43)2 2ϕ ϕ= ⋅ = = ×

H

Γ

N

Fig 3.19

eΓiH

eH

aiΓ

Fig 3.20


b) pentru exteriorul conductorului )ar( ≥ alegem o linie de câmp eΓ :

ee

__ __ __e eS e e

i iH d H 2 r i H ; H u (3.44)2 r 2 rΓ ϕ

Γ= θ ↔ ⋅ π = → = =

π π∫

Inducţia magnetică în exteriorul firului

este: eiB B

2 rμ

= =π

. Componentele

acestui câmp se scriu sub forma:

x 2 2

y 2 2

y i yB Bsin Br 2 x y

x m i xB Bcos Br 2 x y

(3.44 ')

μ⎧ = ϕ = =⎪ π +⎪⎨ μ −⎪ = − ϕ = − =⎪ π +⎩

Înlocuite în forma locală (3.17) a legii fluxului magnetic ele o verifică sub forma:

yx2 2 2 2

BB i y xdivB 0x y 2 x xx y x y

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂∂ μ ∂ ∂ −= + = + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ π ∂ ∂+ +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

3.4 Legea inducţiei electromagnetice 3.4.1 Fenomenul de inducţiei electromagnetică

Experimental se constată că într-o spiră conductoare Γ există curent i dacă spira conţine o sursă cu t.e.m e (figura 3.21–a) care produce curentul i sau dacă prin suprafaţa spirei trece un câmp magnetic variabil în timp )t(B ca în figura 3.21–b care induce în spiră t.e.m indusă ie şi care la rândul său va produce un curent indus i. Deosebirea este că sursa „e” este

concentrată local pe spira Γ iar t.e.m indusă ie apare ca o sursă uniform

i iΓ

e

B(t)

Fig 3.21

ie

a) b)

( )μ

o

Fig 3.20'

r

P(x, y)

ϕ B

xB

x

y

Byi

y∂∂


distribuită de-a lungul spirei Γ , efectul însă, curentul i, este acelaşi. Situaţiile ilustrate în figura 3.22 pun în evidenţă că: a) Există curent în secundar ( 0i2 ≠ ) şi lampa h arde numai dacă fluxul magnetic din miez fΦ este variabil în timp (la închiderea şi deschiderea contactului k). În secundar se induce o t.e.m statică (t.e.m de transformare). b) la apropierea magnetului de spiră (sau de bobină) fluxul magnetic prin aceasta creşte, se induce curent i într-un anumit sens iar la îndepărtare se schimbă sensul curentului indus. Totul este invers când magnetul se apropie (sau

îndepărtează) cu polul sud. Deci sensul curentului indus depinde şi de sensul de variaţie a fluxului inductor. c) dacă o bară se mişcă (taie linii de câmp) într-un câmp B , între capetele ei (1,2) se va induce o t.e.m 21e chiar dacă circuitul este deschis (bara nu închide o suprafaţă, deci nu avem flux magnetic inductor), dar va apare o t.e.m de mişcare în bara mobilă. d) o spiră Γ dreptunghiulară se poate roti cu viteza unghiulară ω într-un câmp magnetic exterior B . – dacă 0ω = şi )t(B în spiră se va induce o t.e.m statică ,, te ”

–dacă 0≠ω şi )t(BB ≠ în spiră se induce o t.e.m de mişcare ,, me ” care de fapt se induce doar pe laturile 1-2 şi 3-4 care în mişcare lor taie liniile câmpului B . – dacă 0≠ω şi )t(BB = în spira Γ se induce atât t.e.m de mişcare cât şi de transformare: mt eee +=Γ .

e

Fig 3.22

b)

a)h

k 2ifΦ1i

1N 2N

ivi

2ω

1

B Γ

c)

4 3B

d)

1 2

ω

v v

S N


Inducţia electromagnetică este fenomenul prin care se induce o t.e.m într-un circuit (o spiră Γ , în general) datorită variaţiei în timp a fluxului magnetic

ΓΦS care străbate suprafaţa curbei Γ . Sensul t.e.m induse este

astfel încât prin toate efectele sale să se opună cauzei inductoare (regula lui Lenz). 3.4.2 Formele integrale ale legii Sub formă integrală legea spune că ,,t.e.m Γe indusă prin inducţie electromagnetică în lungul curbei Γ este egală numeric cu viteza de scădere a fluxului magnetic prin suprafaţa ΓS a curbei Γ ”.

câmpul magnetic exterior (câmpul magnetic inductor)[T]

fluxul magnetic inductor [Wb], cel care prin variaţia sa în timp induce o t.e.m;

t.e.m indusă în curba închisă Γ [V]; sec1Wb1V1 =

dacă curba Γ este din material izolant (sau este o curbă virtuală) t.e.m indusă nu are nici un efect;

dacă spira Γ este din material conductor, atunci t.e.m indusă Γe se converteşte într-un curent electric indus în curba Γ :

∫ ΓΓΓ

ΓΓ

Γ === ...)dteL1i;

dtdeCi;

Rei(

spsp

sp

curentul indus în spiră )i( Γ creează în jurul acesteia un câmp magnetic (câmpul magnetic creat de curenţii . induşi se numeşte câmp magnetic de reacţie rB )

Fluxul magnetic de reacţie este fluxul câmpului rB .

)t(B

∫Γ

Γ=Φ

S

____S dsB

dtd

e SΓΦ−=Γ

i Γ

B r

∫Γ

=ΦS

__r

__r dsB


Sde (3.45)

dtΓ

ΓΦ

= −

Relaţia (3.45) este forma integrală compactă a legii.

În general Sddt

ΓΦ

este viteza de creştere a fluxului SΓΦ iar Sddt

ΓΦ

−

este viteza de scădere în timp. Prin toate efectele sale, fluxul magnetic de reacţie se opune efectelor fluxului magnetic inductor

ΓΦS . În

particular, rΦ se opune variaţiei în timp a fluxului inductor

ΓΦS :

la creşterea lui Γ

ΦS

)0dt

d( S >Φ

Γ , rΦ are sens contrar

cu Γ

ΦS ca în figura 3.23 şi se opune creşterii, iar la scăderea lui Γ

ΦS

)0dt

d( S <Φ

Γ , fluxul de reacţie îşi schimbă sensul şi are acelaşi sens cu

ΓΦS opunându-se astfel scăderii lui. Datorită existenţei fluxului magnetic

de reacţie rΦ , se spune că circuitele prezintă inerţie faţă de variaţia fluxului magnetic inductor prin suprafaţa lor. Din acest punct de vedere fluxul magnetic de reacţie rΦ are în sistemele electrice acelaşi rol pe care îl are forţa de inerţie iF în sistemele mecanice. De altfel, între cele două clase de probleme se poate stabili o analogie:

rBrB

B(t)

e (i )Γ Γ

Γ

Fig 3.23


sisteme sisteme mecanice electromagnetice

activă inductorF ←⎯⎯→ Φ Forţa activă şi fluxul inductor variabil sunt cauza funcţionării celor două sisteme.

L m ⎯⎯ →← masa (m) şi inductivitatea (L) sunt o măsură a inerţiei celor două sisteme.

ΓΓ →Φ

−=⎯⎯ →←= idtde

mFa efectul în cele două sisteme

(mişcare accelerată, curentul indus în circuit)

dv dqa idt dt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ←⎯⎯→ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

v q←⎯⎯→ viteza v şi sarcina q sunt mărimile de stare ale sistemului (cele care nu pot varia prin salturi)

inerţ r indusF -ma L i= ←⎯⎯→ Φ = ⋅ forţa de inerţie şi fluxul de reacţie

pun în evidenţă inerţia sistemului faţă de accelerare sau faţă de inducerea curenţilor T.e.m indusă Γe se poate exprima în funcţie de câmpul electric indus E sub forma:

__ __e E d (3.46)Γ

Γ= ∫

Deci mai general, un câmp magnetic variabil )t(B induce în jurul său un câmp electric indus E care există în orice condiţii. Dacă în câmpul indus E considerăm curba Γ , vom evalua t.e.m indusă Γe cu (3.46) iar dacă Γ este o spiră conductoare atunci va apare curentul indus Γi .


Derivata fluxului magnetic inductor ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Φ− Γ

dtd S o exprimăm cu (3.32)

astfel:__ __ __ __ __S

S S 0

d B ds v div B rot B v ds (3.47)dt t

Γ

Γ Γ =

⎡ ⎤Φ ⎛ ⎞∂− = − − + ×⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫

deoarece curba Γ poate, în principiu, să treacă prin conductori, izolanţi, vid şi ea este ataşată corpurilor mobile în mişcarea lor cu viteza v . Înlocuind în expresia (3.45) se obţine:

__ __ __ __ __ __

S S

BE d ds rot B ds (3.48)t

Γ ΓΓ

⎛ ⎞∂= − − × ν⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫

care reprezintă forma integrală dezvoltată a legii inducţiei electromagnetice. În membrul stâng sunt mărimi electrice )E( iar în membrul drept sunt numai mărimi magnetice, deci şi legea inducţiei electromagnetice este o lege generală care face legătura dintre aspectul electric şi aspectul magnetic al câmpului electromagnetic. Aplicând teorema lui Stokes în ultimul termen din (3.48) se obţine:

mt

__ __ __ __

See

Be E d ds ( v B)d (3.49)t

Γ

ΓΓ Γ

∂= = − + ×

∂∫ ∫ ∫

• ∫Γ∂∂

−=S

t ds tBe – este t.e.m de transformare (statică) care se induce

în circuite fixe prin suprafaţa cărora trece un câmp magnetic variabil

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≠

∂∂ 0

tB

• __ __ __

me v B dΓ

⎛ ⎞= ×⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ – este t.e.m de mişcare (dinamică) care se

induce într-o curbă Γ care se mişcă în câmpul B cu viteza v .

Mărimea __ __ __

( v B)d× fiind un produs mixt, va fi nul când două dintre cele trei mărimi sunt paralele(şi în acest caz me 0= ): __ __v || d – conductorul se mişcă în lungul său


__ __v || B – mişcarea conductorului are loc în lungul liniilor de câmp B

____d||B – conductorul rămâne pe timpul mişcării paralel cu liniile lui B

Se induce t.e.m de mişcare me numai dacă în mişcarea sa, conductorul taie linii de câmp B (constant sau variabil în timp). Dacă __ __v , B şi

__ formează un triedru drept, t.e.m de mişcare este

me B v= ± ; semnul )(± după cum vectorul __ __

( v B)× se asociază )(± cu

sensul lui d de pe curba Γ .

T.e.m se calculează ca o circulaţie: __ __

e E dΓΓ

= ∫ iar fluxul

magnetic ca o integrală de

flux:__ __

S S

B dsΓΓ

Φ = ∫ .

Dacă sensul de integrare pe curba Γ ( d ) se asociază corect cu orientarea lui S (ds)Γ , în acest caz t.e.m Γe are expresia (3.45). Când nu

se asociază corect dscu d , atunci:dt

de SΓΦ

=Γ . Să ilustrăm acest lucru:

__ __S

S

B ds 0Γ

Γ

Φ = >∫ cu sensul ales incorect pentru ds la ΓS (figura 3.24)

presupunând 0>ΔΦ , fluxul în creştere prin valori pozitive 0t

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ΔΔΦ . În

acest caz: e 0tΓ

ΔΦ= >Δ

; o t.e.m 0e >Γ înseamnă că se induce în sensul în

care am orientat curba Γ (figura 3.24). Pentru orientarea lui ds din figura 3.25 rezultă:

0dsBS

____S <=Φ ∫

ΓΓ

; __ __

ds B↑↓

ΔΦ

t t+Δ

SΓΦ

tt

ds

Bd

ΓFig 3.24

eΓ


fluxul negativ îl presupunem în scădere

0<ΔΦ , deci 0t

<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ΔΔΦ .

Cum d şi ds se asociază corect, t.e.m indusă va fi:

e 0tΓ

ΔΦ= − >

Δ, deci eΓ se

induce în sensul lui d (când 0e <Γ , ea se induce invers cu orientarea curbei Γ ).

În ambele cazuri avem aceeaşi problemă fizică: prin ΓS trece un flux magnetic în creştere doar cu valori (+) sau (–). Numai alegerea orientării prealabile a curbei Γ a diferit, rezultatul însă nu depinde de aceasta. A rezultat acelaşi sens pentru Γe . Observaţie:

Calculul t.e.m induse Γe prin cele două modalităţi trebuie înţeleasă astfel: –) ,,dtdΦ

”

este operaţia de derivare a fluxului )t(Φ , iar ,,tΔ

ΔΦ” este operaţia de împărţire dintre

creşterea fluxului Φ (creşterea funcţiei) şi creşterea timpului (creşterea argumentului).

ˆ camp__ __ __uniformt t tSb) B (t) B S e

tΓ

±Γ +Δ Γ

ΔΦ⎯⎯⎯⎯→Φ = ⋅ → ΔΦ = Φ −Φ → = −

ΔExemplificăm cu o bară care lunecă, în contact cu un cadru, într-un câmp magnetic B . Suprafaţa S vtΓ = este variabilă în timp, deci şi fluxul magnetic va fi variabil.

Sau, în

timpul tΔ

suprafaţa creşte cu ΓΔS : S v tΓΔ = Δ (figura b) iar fluxul are o variaţie:

S B S B v tΓ ΓΔΦ = Δ = Δ .

S

S12

B S B( vt)

d e B v e

dt

Γ

Γ

Γ

Γ

Φ = ± = →

Φ→ = − = − =

ΓB

ds

ΔΦ

t t+ Δt

eΓ

t

Fig 3.25

Φ

d

B

Γ

v

eΓ

vt1

2

__ __ __ SS

S

da) B(t) B ds e (3.50)

dtΓ

Γ

Γ

±Γ

Φ→ Φ = → = −∫


T.e.m indusă are expresia:

S12

B te B v et tΓ

ΓΔΦ νΔ

= − = − = − =Δ Δ

3.4.3 Formele locale ale legii În domenii de continuitate a mediului (deci şi a câmpului B ) putem aplica teorema lui Stokes asupra membrului stâng din (3.48) şi se obţine:

____ __ __ __ __

S S

Brot E ds rot B v ds (3.51)t

Γ Γ

⎡ ⎤⎛ ⎞∂⎢ ⎥= − + ×⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

Suprafaţa ΓS fiind aleasă în mod arbitrar, rezultă că: __ __ __Brot E rot ( B v ) (3.52)

t∂

= − − ×∂

Expresia (3.52) reprezintă forma locală a legii inducţiei electromagnetice . Pentru medii fixe (fără corpuri în mişcare, v 0= ) în forma integrală nu există decât te iar sub formă locală rămâne:

(3.53) tBE rot∂∂

−=

care pune în evidenţă faptul că liniile de câmp electric indus )E( fac rotoare stângi )0E rot( < în jurul liniilor unui câmp magnetic inductor, fiind situate în plane ⊥ pe liniile lui B . Totodată forma locală (3.53) face parte din pachetul de ecuaţii ale câmpului electromagnetic, cunoscută sub numele de ecuaţia a doua a lui Maxwell. În general câmpul electric indus: EEindus = are două componente:

ttransf EE = şi mişc mE =E , care au semnificaţiile:

(3.54) EE E mt +=

B

v tΔ

1

2

Γ eΓ

t t t+ Δ

b)


t m__ __ __ __

rot E rot E rot E (3.55)B Arot E rot( v B ) rot rot( v B)

t t

⎧ = +⎪⎨ ⎛ ⎞∂ ∂

= − + × = − + ×⎜ ⎟⎪ ∂ ∂⎝ ⎠⎩

Prin identificare rezultă cele două componente ale câmpului electric indus:

t

__ __m

AE = (câmp de tip Neumann) t (3.56)

E = v ×B

⎧ ∂− −⎪⎪ ∂⎨

⎪−⎪⎩

câmp electric indus static

câmp electric indus prin mişcare

m 2

V Wb[A] [E] [t] sec Tmm mDimensional (3.57)

m Vsec V[E ] [v] [B]sec mm

⎧ = ⋅ = ⋅ = =⎪⎪⎨⎪ = ⋅ = ⋅ =⎪⎩

Observaţii:

• Curba plată Γ având SS ,deci 0,ΓΓ << Φ ≈ înconjoară o

discontinuitate 12S :

2 1

__ __ S

__ _ __ _2 1 t t

dE d

dt

E t E t 0 E E

Γ

Γ

Φ= − ↔

↔ Δ − Δ = → =

∫

La trecerea printr-o discontinuitate liniile câmpului E astfel se refractă încât se conservă componenta sa tangenţială:

(3.58) EE21 tt =

-) Tensiunea între punctele M şi N în regim variabil depinde de drumul de integrare:

MaN MbN

__ __ __ __ __ __S SMaN MbN

MaN NbMu -u

d dE d E d E d u u

dt dtΓ Γ

Γ

Φ Φ= − ↔ + = − → ≠∫ ∫ ∫

Numai în regim staţionar există noţiunea de potenţial electric şi

2E

1E

12S

i(t)B

ba

SΓ

Γ

M

N

Δ

tEEt


atunci cele două tensiuni ar fi egale cu ,,diferenţa de potenţial” dintre M şi N noţiune care în regim variabil nu există.

• Formele locale valabile în vid: D Brot H ; rot E (3.59)t t

∂ ∂= = −∂ ∂

arată că un câmp electric variabil Dt

⎛ ⎞∂⎜ ⎟∂⎝ ⎠

produce în jurul său câmp

magnetic iar un câmp magnetic variabil ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

tB induce în jurul său un câmp

electric. Unda electrică este ⊥ în spaţiu pe cea magnetică, ele se autogenerează reciproc şi în vid (în lipsa altor sisteme) şi se propagă cu viteză finită.

• Prin cele N spire ale unei bobine trece fluxul magnetic fascicular fΦ care va induce în fiecare spiră o t.e.m ,, e ' ” iar t.e.m indusă la bornele bobinei este:

(3.60) dt

ddt

dNeNe tf Φ−=

Φ−=′=

−Φf este fluxul fascicular, un flux mediu acelaşi prin toate spirele bobinei este N ft Φ=Φ fluxul magnetic total al unei bobine;

3.5 Teoremele de refracţie a liniilor de câmp I. Câmp electric Dacă 12S este o joncţiune între două medii cu proprietăţi diferite

(permitivităţi 1ε şi 2ε ) şi este o suprafaţă de discontinuitate pasivă (neîncărcată cu sarcină, 0s =ρ ), atunci la trecerea liniilor de câmp electric printr-o astfel de discontinuitate se conservă componenta normală a lui D (relaţia 3.57) şi componenta tangenţială a lui E (relaţia 3.58):

2121 nntt DD ; EE == . Unghiurile cu normala n la discontinuitate se numesc: 1α = de incidenţă; 2α = de refracţie

n1 n2D D=

12S

1ε

2ε

1 2t tE E =

1D

2D1E

2E1α

2α

t

n

Fig 3.26


(3.61) tg tg

DE

DD

tg ; D

E DD

tg2

1

2

1

n

t2

n

t2

n

t1

n

t1

2

2

2

2

1

1

1

1

εε

=αα

→ε

==αε

==α

Relaţia (3.61) este teorema de refracţie a liniilor de câmp electric. Evident că am admis că cele două regiuni sunt cu proprietăţi liniare şi sunt izotrope

(liniile lui E şi D sunt pe aceeaşi direcţie.)

II. Câmp magnetic Dacă există o suprafaţă de discontinuitate

12S pasivă (fară pânză de curent, 0Js = ) care separă două subdomenii liniare şi izotrope cu permeabilităţile

1μ şi 2μ , (figura 3.27) atunci ţinând seama de formele locale ale legilor (3.21) şi (3.44) valabile în punctele din jurul unei discontinuităţi, putem scrie:

(3.62) tg tg

BH

BB

tg

BH

BB

tg

2

1

2

1

n

t2

n

t2

n

t1

n

t1

2

2

2

2

2

1

1

1

μμ

=αα

⇒

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

μ==α

μ==α

Relaţia (3.62) este expresia teoremei de refracţie a liniilor de câmp magnetic la trecerea lor printr-o discontinuitate. Dacă subdomeniul ① este feromagnetic atunci 1 Fe r oμ = μ = μ ⋅μ ≈ ∞ şi din (3.62) rezultă:

1B 2B

n

1B

1

2

1 1

2 2

π) α = ,dar în acest caz nu mai 2

există refracţieˆ) α =0,deci liniile de camp magnetic

ies şi intră pe suprafeţele pieselor tg α μ= = tg α μ

•

•⊥

∞ ⇒ feromagnetice(Această proprietate ne ajută să construim spectrul liniilor lui B atunci când sistemul conţine piese feromagnetice )

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

1μ2μ

1α 2α

1 2n nB B=

1 2t tH H=

1H2H

2B

1B12S

Fig 3.27

n

t

B1

B2


3.6 Legea conservării sarcinii electrice 3.6.1 Formele integrale ale legii Dacă o suprafaţă Σ trece numai prin medii izolante (dielectrici) atunci suma algebrică a sarcinilor conţinute în interiorul lui Σ este constantă indiferent de fenomenele (regimul de funcţionare) care au loc în interior.

kq q ct (3.63)±Σ = =∑

Dacă suprafaţa Σ este intersectată de fire conductoare parcurse de curenţi de conducţie (figura 3.28), atunci intensitatea curenţilor de conducţie care ies din Σ (după normala exterioară) este egal numeric cu viteza de

scădere a sarcinilor conţinute în interiorul suprafeţei Σ:

dq i (3.64)dtΣ

Σ = −

În forma integrală (3.64) iΣ este suma algebrică a curenţilor care ies prin firele conductoare

1 2 k(i i i ... i ...)Σ = − + + + + . Relaţiile (3.63) şi (3.64) reprezintă formele integrale compacte ale legii. Scriind curentul iΣ în funcţie de densitatea sa J şi sarcina qΣ pe care o admitem repartizată în volumul Σν cu densitatea vρ , atunci:

_ __v

dJ ds d (3.65)dt

ΣΣ ν= − ρ ν∫ ∫

Suprafaţa Σ este, în general, mobilă cu viteza v , odată cu corpurile încărcate, deci în membrul drept din (3.65) avem o derivată substanţială de volum:

fix mobil

vv v

__ __v

v

d d d div( v) ddt t

d v ds (3.66)t

Σ Σ Σ

Σ

ν ν ν

ν Σ

∂ρρ ν = ν + ρ ν =

∂

∂ρ= ν + ρ

∂

∫ ∫ ∫

∫ ∫

Înlocuind în (3.65) se obţine: _ __ __

v vv cond conv

fixJ v ds d i i d (3.67)

t tΣ ΣΣ ΣΣ ν ν

⎛ ⎞ ∂ρ ∂ρ+ρ = − ν ↔ + = − ν⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫ ∫

Relaţia (3.67) este forma integrală dezvoltată a legii. Conform

1i

ki

ds

Σ

Fig 3.28

2i


acestei legi sarcina electrică din volumul Σν , considerat fix în raport cu sistemul de referinţă, scade datorită curentului de conducţie )J( şi datorită curentului de convecţie v( v)ρ care ies din suprafaţa Σ. Transformând cu teorema lui Gauss membrul stâng (3.67) în integrală de volum, se obţine:

_ __v

vdiv(J ) (3.68)t

∂ρ+ρ ν = −

∂

relaţie care reprezintă forma locală a legii conservării sarcinii electrice, valabilă în domenii de continuitate a mediului. Dacă nu există corpuri în mişcare, forma locală devine:

vdiv J (3.69)t

∂ρ= −

∂

iar în regim staţionar (curent continuu, când 0t=

∂∂ ) rezultă:

i 0 div J 0 (3.70)Σ = ↔ = relaţie cunoscută şi sub numele de teorema continuităţii liniilor de curent; liniile unui curent continuu sunt întotdeauna linii închise )0J div( = . În jurul suprafeţelor de discontinuitate 12S , care separă două medii cu conductivităţi diferite 1σ şi 2σ (şi eventual încărcată discontinuitatea cu

sρ , majoritatea joncţiunilor parcurse de curent, au 0s ≠ρ ) forma locală

(3.69) devine: 2 1

s ss n ndiv J J J (3.71)

t t∂ρ ∂ρ

= − ↔ − = −∂ ∂

Dacă sistemul funcţionează în curent continuu ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =∂∂ 0t

sau este o

joncţiune pasivă )0( s =ρ atunci: 1 2n nJ J (3.72)=

deci la refracţia liniilor de curent se conservă componenta normală a lui J . Observaţii:

• Prima teoremă a lui Kirchhoff este o consecinţă a acestei legi. Dacă suprafaţa Σ înconjură un nod de circuit, sarcina acumulată într-un nod fiind nulă, rezultă că i 0Σ = .

• O suprafaţă Σ poate fi traversată atât de fire parcurse de curent de conducţie, cât şi de corpuri încărcate cu sarcină – curent de convecţie – sau liniile unui câmp electric variabil în timp – curent de deplasare – . Liniile de curent se pot considera închise în orice regim de funcţionare (nu


numai în curent continuu) doar dacă se ţine seama de toate formele fizice de curenţi electrici posibili:

cond conv depl(i i i ) 0 (3.73)Σ+ + =

De exemplu, în figura 3.29 îi este curentul de încărcare a unui condensator (k – pe poziţia 1). Până la armătura condensatorului el este curent de conducţie prin fire. La încărcare sarcina din suprafaţa Σ creşte, deci va creşte şi câmpul dintre armături

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛>

∂∂ 0

tD , respectiv curentul

de deplasare care iese din Σ este egal cu curentul de conducţie care intră. La descărcare (k – pe poziţia 2), sarcina pe armături

scade dq 0dtΣ⎛ ⎞<⎜ ⎟

⎝ ⎠, scade şi câmpul ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<

∂∂ 0

tD ceea ce înseamnă că şi

curentul de deplasare din dielectric îşi va schimba sensul iar curentul de descărcare di este curent de deplasare şi în continuare este curent de conducţie.

• Ecuaţiile scrise în jurul punctelor de discontinuitate se mai numesc ecuaţii de trecere:

2 2 12 1

1 2 1 2

n n s t t s sn n

t t n n

D D H H J J J (3.74)

E E tB B

− = ρ ⎧ − =⎧ ∂ρ⎪ ⎪ − = −⎨ ⎨= ∂=⎪ ⎪⎩ ⎩

Ele pun în evidenţă că doar componenta tangenţială a lui E şi componenta normală a lui B se conservă necondiţionat la trecerea lor (refracţia) printr-o suprafaţă de discontinuitate. Celelalte componente

n tD , H şi nJ se conservă doar condiţionat, aşa cum au precizat legile câmpului.

+

− îi di

1 2

D C

k

e R

Fig 3.29

Σ


3.7 Legea conducţiei electrice • La scară microscopică asupra unei particule libere dintr-un mediu conductor

încărcată cu sarcina q′ se exercită o forţă electrică E qFel ′= de către câmpul electric E din interiorul conductorului (figura 3.30) şi o forţă neelectrică neelF datorită altor fenomene din interiorul conductorului (neomogenităţi, stare de accelerare, diferenţă de temperatură, etc). Particula q′ va fi în echilibru electrostatic doar dacă

0FF neelel =+ . Dacă E qFel ′= vom exprima şi forţele neelectrice sub forma:

strineel E qE qF ′=′= , unde i strE (E ) se numeşte intensitatea câmpului electric imprimat (străin). Câmpul imprimat iE este un câmp electric echivalent, el echivalează acţiuni

neelectrice ce se exercită asupra particulelor libere. Câmpul iE exprimă în termeni electrici efectul altor stări (chimice, termice, mecanice) şi el se consideră ,,dat” în studiul fenomenelor electrice, deducerea lui iE nu ţine de teoria fenomenelor electrice. În general,

câmpul iE există în regiunile conductoare active, în interiorul surselor de tensiune (pile, acumulatoare, celule solare, etc).

• Sub acţiunea forţei rezultante neelelrez FFF += particula q′ se mişcă cu

viteza relν faţă de structura fixă a conductorului. Mişcarea microscopică ordonată a

particulelor q′ supuse ciocnirilor dezordonate se echivalează cu mişcarea macroscopică a unui corp într-un mediu vâscos, cu frecare, când forţa activă este proporţională cu viteza medie. Mişcarea ordonată a particulelor q′ este apreciată macroscopic ca un curent de

conducţie cu densitatea J : rel1 2 el neel 2 iJ k v k (F F ) k q (E E )′= = + = +

respectiv: i iJ (E E ) ; E E J (3.75)= σ + + = ρ

σ - mediului conductorunde: 1ρ= - mediului conductor

σ

⎧⎪⎨⎪⎩

conductivitatea

rezistivitatea

Legea conducţiei electrice este o lege de material (expresia sa conţine constante de material, (sau )σ ρ care diferă de la un domeniu la altul) şi conform cu justificarea microscopică (3.75) ea spune că ,,în orice punct dintr-un mediu conductor, densitatea curentului de conducţie J este proporţională cu intensitea câmpului electric rezultant ( iEE + ) din acel punct”.

E

iE

elF

neelF

condi

Fig 3.30

'q


i iJ (E E ) ; E E J (3.76)= σ + + = ρ Relaţiile (3.76) reprezintă forma locală a legii (valabilă într-un punct din domeniu conductor). Experienţa arată că cele două constante de material σ şi ρ nu depind numai de natura materialului ci şi de temperatură. Variaţia cu temperatura a rezistivităţii ρ este mică şi că în jurul unei temperaturi de referinţă oT variaţia este aproximativ liniară, respectiv dezvoltarea în serie a lui )T(ρ se poate aproxima cu primul cu termen:

(3.77) )]TT(1)[T()T( oo −α+ρ=ρ ,,α ” este coeficientul de variaţie a rezistivităţii cu temperatura:

0>α – pentru metale, deci ρ creşte cu temperatura,conduc mai bine în stare rece

0<α – pentru cărbune, soluţii, deci ρ scade cu temperatura,conduc mai bine în stare caldă La unele metale (plumb, thaliu, etc) ρ scade la zero la temperaturi foarte mici, când materialul ajunge în stare de supraconductibilitate. Valoarea temperaturii critice la care 0=ρ depinde de metal dar şi de valoarea câmpului B în care este plasat. În această stare materialele suportă densităţi foarte mari de curent, fără a se încălzi, în ele se pot concentra câmpuri foarte intense; de astfel de fenomene se ocupă o nouă disciplină – crioelectrotehnica. În conductoare omogene i(E 0)= , forma locală a legii devine:

J E ; E J (3.78)= σ = ρ Considerăm un tronson de circuit filiform care cuprinde între punctele m şi n o regiune cu câmp imprimat (o sursă), tronson care face parte dintr-un circuit închis, deci este parcurs de curentul i. Conductor filiform înseamnă că liniile de curent J se distribuie

uniform pe secţiunea sa transversală iJA

⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

şi în acest caz putem

considera că întregul curent este concentrat în curba C (axa tronsonului) şi ___d||J .

Vom integra forma locală (3.76), membru cu membru, de-a lungul curbei C:

2 2__ __ __ _ __i

1 1E E d J d (3.79)

⎛ ⎞+ = ρ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫


Notăm:

-) 12

2 __ __f f

1u u E d = = −∫ tensiunea electrică în lungul firului

-) 2 n__ __ __ __

i ii 1 m

e E d E d= =∫ ∫ – t.e.m imprimată care este localizată pe

porţiunea m – n a curbei C. 2 2 2_ __

121 1 1

i dJ d d i R iA A

ρ = ρ = ρ = ⋅∫ ∫ ∫2

121

dR RA

= = ρ∫ – este

rezistenţa electrică a tronsonului 1–2 . Cu notaţiile făcute, relaţia 3.79 se poate scrie astfel:

f iu e R i (3.80)+ = ⋅ care este forma integrală a legii conducţiei electrice care precizează că ,,pe o porţiune neramificată de circuit, suma

dintre tensiunea electrică în lungul firului f(u ) şi t.e.m imprimată )e( i a surselor ce se găsesc pe acea porţiune de circuit, este egală cu produsul dintre rezistenţa electrică a tronsonului şi intensitatea curentului i”. În teoria circuitelor electrice, relaţia (3.80) este numită ecuaţia de tensiuni pentru o latură activă de circuit , tronsonul poate fi echivalat cu un circuit electric echivalent, ca în figura 3.31. Dacă conductorul este închis, curba C devine o curbă închisă Γ şi:

f iu + e e e Γ= = numită t.e.m de contur şi: ΓΓ ⋅= iRe . Dacă circuitul este pasiv (fără câmp imprimat, 0ei = ) rămâne: fu R i= ⋅ . În curent continuu (sau joasă frecvenţă) există noţiunea de potenţial electric V şi tensiunea între capetele 1 şi 2 ale circuitului nu depinde de

drumul de integrare: 2 __ __

f 1 2 b1

u E d V V u= = − =∫ , mărimea bu numindu-

se tensiunea la bornele laturii de circuit. În acest caz particular se poate

scrie: bb

uu R i ; i (3.81)R

= ⋅ =

Fig 3.31

(C)i

1

mn

12R

iE

1

2d

m

n f12u

J

i

ie

i

2


Această formă particulară a legii conducţiei electrice este cunoscută în literatură sub numele de legea lui Ohm. Pentru circuite liniare (când R=ct) dependenţa bu f (i)= este o funcţie liniară. Când R(u) sau R(i) avem un circuit neliniar, respectiv bu (i) are o aliură neliniară. Rezistenţa unui tronson de circuit are expresia:

2

121

d R [ ] (3.82)A

= ρ Ω∫

Dacă conductorul este omogen )ct( =ρ şi în lungul liniilor de curent secţiunea

conductorului rămâne constantă (figura 3.32) atunci:

R (3.83)A

= ρ

Dimensional se obţine:

[ ] 22

Ω mR Aρ Ω mm - dacă secţiunea A se exprimă în mm

m

⎧⎪⎡ ⎤= = ⎨⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎪⎩

Conductanţa tronsonului de circuit este: -1 -11 A AG ; 1 1S 1Mho (3.84)

R σ ⎡ ⎤= = = Ω Ω = =⎣ ⎦ρ

Pentru piese conductoare cu o formă oarecare se poate aplica metoda tuburilor şi feliilor pentru calculul lui R sau G (Tubes and Slices Method ).

Tuburile de curent sunt porţiuni de conductor cu secţiune infinitezimală ,,ds” şi sunt luate în lungul liniilor de curent J (figura 3.33). Un tub are lungimea ,, ” şi diferă de la o linie de curent la alta.

Conductanţa unui tub este:

tubds dG (3.85)σ

=

Diversele tuburi elementare sunt parcurse de curent într-o conexiune paralel, deci:

ii

A ρ

Fig 3.32

i

i

σ

1

2

J

J

ds

Fig 3.33

( )σ


condS

dsG dG (3.86)σ= =∫ ∫

– este o funcţie ce exprimă lungimea liniilor de curent J ca funcţii de geometria dispozitivului. Feliile de curent dintr-un dispozitiv se consideră de grosime ,, d ” infinitezimală şi sunt luate ⊥ pe liniile lui J (figura 3.34). Rezistenţa unei

felii este:

felied dR (3.87)S

= ρ

iar pentru întregul dispozitiv feliile sunt conectate în serie:

2

1

d R dR (3.88)S

= = ρ∫ ∫

aici ,,S” este o funcţie care indică variaţia secţiunii dispozitivului în lungul liniilor de curent.

Dacă ,, ” în (3.86) şi ,,S” în (3.88) sunt greu de apreciat, atunci întregul dispozitiv se aproximează cu câteva (n) tuburi având ( )kGΔ sau câteva felii având ( )kRΔ şi pentru tot dispozitivul vom avea:

n n n n

k k k kk k

k k1 1 1 1

SG G ; R R (3.89)S

σ Δ ρ Δ= Δ = = Δ =∑ ∑ ∑ ∑

3.8 Legea transormării energiei în conductori Experimental se constată că la trecerea curentului electric printr-un mediu conductor energia electrică se transformă în alte forme de energie (termică, chimică, etc). Un conductor parcurs de curent se încălzeşte ,,energia cedată în unitatea de timp (puterea jp ) şi în unitatea de volum a

conductorului (puterea specifică 3m/W ) de către câmpul electromagnetic în procesul de conducţie, este egală cu produsul scalar dintre E şi J ”. jp E J (3.90)= ⋅ Forma locală (3.90) a legii scrisă dimensional reprezintă:

i

( )ρJ

d

S

i 1

2

Fig 3.34


32 mW

mA

mV]J[]E[]p[ =⋅=⋅=

Sub forma (3.90) legea este valabilă în conductori omogeni sau neomogeni, izotropi sau anizotropi, liniari sau neliniari. Observaţie: Acestei legi i se poate da o justificare (interpretare) microscopică: câmpul electric rezultant cheltuie un lucru mecanic Lδ pentru a mişca o particulă elementară q′ în timpul dt pe

direcţia d : __ __ __ __

L F d q E d (3.91)′δ = = relaţie care pentru unitatea de volum devine un lucru mecanic specific:

__ __

sp v jL E d p dtδ = ρ =

Viteza medie a particulei (între două ciocniri) faţă de conductor este relv , deci: __ _ __ _ __ __

rel v rel v jd dt; J d J dt E J p (3.92)= ν ⋅ = ρ ν →ρ = → =

Ceea ce microscopic reprezintă curent de convecţie v rel( )ρ ν , macroscopic este

privit ca un curent de conducţie J . Puterea specifică jp este efectul macroscopic al lucrului mecanic specific, cheltuit

de câmp pentru a transporta particulele libere prin conductor. Ciocnirile microscopice dau un efect macroscopic de încălzire a piesei conductoare. Pentru conductori neomogeni: i iE E J E J E+ = ρ → = ρ −

2j i r gp J E J p p (3.93)= ρ − = −

unde: 2rp J 0= ρ ≥ este densitatea de volum a puterii pierdută ireversibil de

câmpul electromagnetic sub formă de căldură prin efect electrocaloric ireversibil (efect Joule).

i

g ii

i

dacă E şi J sunt omoparaleli; puterea cedată de sursă şi primită de câmp

p E J dacă E şi J sunt antiparaleli, liniile lui J au sens

contrar cu E , sursa absoarbe put

+

= =

− ere (sursa pusă la încărcat)

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

În conductoare omogene )0E( i = rezultă: 2j rp p J= = ρ (3.94)


Forma integrală a legii se obţine integrând forma locală (3.90) pe tot volumul conductorului parcurs de curent. Conductorul fiind filiform,

JAi = şi de asemenea _____E||d||J .

Puterea absorbită de întregul tronson (figura 3.35) este:

cond

2 2 2__ _ __ __j j f

1 1 1

j f

P p d E J d EJ(Ad ) Eid i E d u i

P u iν ν

⎧= ν = ν = = = = ⋅⎪⎪

⎨⎪ = ⋅⎪⎩

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Forma (3.95) reprezintă forma integrală a legii. Ţinând seama de forma integrală (3.80) a legii conducţiei electrice f i(u Ri e )= − avem:

2j i R GP R i e i P P (3.96)= ⋅ − ⋅ = −

unde:

cond cond

2 2R r) P Ri p d J d 0

ν ν− = = ν = ρ ν ≥∫ ∫ este

puterea disipată sub formă de căldură pe rezistenţa R parcursă de curentul i ( 2

R RiP = ) este ,,legea” Joule-Lenz.

Căldura produsă în timpul :este ttt 12 −=Δ 2

1

t2

tQ Ri dt [J]= ∫

–)

i

G i

i

( ) sursa produce puterea electrică (e i)

P e i

( ) sursa consuma puterea electrică (e i)

+ ⋅⎧⎪⎪= ⋅ = ⎨⎪⎪ − ⋅⎩

Dacă printr-un conductor se stabileşte un curent variabil, de exemplu sinusoidal, atunci şi densitatea de curent are o variaţie sinusoidală: max efJ J sin t 2 J sin t= ω = ω Puterile transformate în căldură au expresiile:

cond

2 2 2j ef j ef ef p J ; P J d R I (3.97)

ν= ρ = ρ ν =∫

(3.95)

iei

i

ie

i

i

d

A

EJ

dv Ad=

1

2

Fig 3.35

d


Pentru orice formă de variaţie în timp a lui J(t) , pierderile depind de 2efJ .

Sau, dacă lucrăm cu funcţiile J(t) şi )t(i atunci: T

2 2j j j j

0T

2 2 2R R ef

0

1p J (t) P (t) J (t)d P P (t)dt T

(3.98)1P (t) Ri (t) P Ri (t)dt RIT

ν

⎧′ ′ ′= ρ → = ρ υ → =⎪

⎪⎨⎪ ′ = → = =⎪⎩

∫ ∫∫

3.9 Legea polarizaţiei electrice temporare Polarizarea este un fenomen specific corpurilor dielectrice (izolanţi). Exceptând polarizare permanentă (care are cauze neelectrice), polarizarea temporară apare ca urmare a introducerii corpurilor într-un câmp electric exterior de intensitate E . Legea polarizaţiei temporare este o lege de material care exprimă local (punct cu punct) dependenţa polarizaţiei temporare tP de intensitatea câmpului electric E . Relaţia )E(PP tt = se poate stabili experimental, cu aproximaţie, în anumite limite de variaţie a lui E şi a condiţiilor neelectrice. După forma acestei relaţii, dielectricii se împart în liniari şi neliniari, respectiv izotropi şi anizotropi. 3.9.1 Materiale liniare şi izotrope

Sub acţiunea câmpului E , un material liniar şi izotrop se polarizează pe direcţia câmpului E , polarizaţia fiind proporţională cu intensitatea câmpului:

t o e P E (3.99)= ε χ unde eχ este susceptivitatea electrică relativă, mărime ce indică pentru un material cât este de susceptibil a se polariza la introducerea sa în câmpul E .

Forma (3.99) este valabilă în regim static sau lent variabil; în regim variabil tP rămâne în urma lui E (postefect, vâscozitate electrică, trenaj

o eE ε χ

EtP

Ot

Fig. 3.36


electric) şi efectul este utilizat pentru încălzirea dielectrică a corpurilor. De exemplu în figura 3.36, la aplicarea unei trepte de câmp E , polarizaţia atinge valoarea dată de E abia după un timp. Dacă tsinEE max ω= şi polarizaţia va avea o variaţie sinusoidală dar defazată din cauza postefectului: t o e maxP (t) ( ) E sin[ t ( )] = ε ⋅χ ω ⋅ ω −ϕ ω atât susceptivitatea eχ cât şi defazajul ϕ depind de frecvenţa câmpului electric. La materiale dialectrice eχ este mic şi nu variază cu temperatura iar la cele paraelectrice eχ este mare şi depinde de temperatură

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=χ Curie legea

Tc

e şi de frecvenţă.

3.9.2 Materiale liniare şi anizotrope La astfel de materiale polarizaţia tP nu mai are direcţia lui E :

t o eP E (3.100)= ε χ Fiecare direcţie din cristal are o anumită susceptivitate, deci eχ nu mai este o constantă (scalar) ci tensor. Dacă direcţia lui E coincide cu una dintre axele proprii ale cristalului, se va produce o polarizaţie foarte puternică pe direcţia respectivă. Pentru dielectrici neliniari )E(fPt = este o funcţie neliniară, în general de forma unui histerizis. Aceste materiale au susceptivităţi eχ foarte mari.Corelând legea legăturii în câmp electric:

__ __ __ __ __ __

t po oD E P E P P= ε + = ε + + cu legea polarizaţiei temporare, se obţin dependenţele:

• Materiale liniare: __ __ __ __ __ __

p po o e o e__ __ __ __

p po r

D E E P (1 ) E P

= E P E P (3.101)

= ε + ε χ + = ε + χ + =

ε ε + = ε +

unde: er 1 χ+=ε este permitivitatea relativă ( 1re −ε=χ ) orεε=ε este permitivitatea absolută a mediului Cum la toate materialele dielectrice 0 1 er ≥χ→≥ε , deci toate se polarizează pe direcţia câmpului E şi întăresc câmpul în care au fost plasate.


În lipsa polarizaţiei permanente )0P( p = rămâne: __ __D E (3.102)= ε

• Materiale anizotrope: __ __ __ __ __ __ __ __ __ __

p p p po o o e o reD E E P (1 ) E P E P E P (3.103)= ε + ε χ + = ε + χ + = ε ε + = ε +

iar în lipsa polarizării permanente: D E (3.104)= ε

• Material neliniare: __ __ __ __ __ __

p po o e o e__ __ __ __

p po r

D E (E) E P (1 (E)) E P

(E) E P (E) E P (3.105)

= ε + ε χ + = ε + χ + =

= ε ε + = ε +

iar în lipsa polarizării permanente: __ __D (E) E (3.102)= ε ⋅

3.10 Legea magnetizaţiei temporare Este o lege de material care exprimă dependenţa locală dintre magnetizaţia temporară tM şi intensitatea câmpului magnetic H ;

t tM M (H)= . Forma acestei relaţii depinde de material şi de condiţiile nemagnetice. – materiale liniare şi izotrope: HM mt χ= (3.107) mχ – susceptibilitate magnetică relativă Combinat cu legea legăturii în câmp magnetic: __ __ __ __ __ __

t po oB (H M) (H M M )= μ + = μ + + , se obţine: __ __ __ __ __ __

p po o m o o m o__ __ __ __

p p po r o o

B H H M (1 ) H M

H M H M ; M =0 B= H (3.108)

= μ +μ χ +μ = μ + χ +μ =

= μ μ +μ = μ +μ → μ

unde: mr 1 χ+=μ este permeabilitatea relativă ( 1rm −μ=χ ) orμμ=μ este permeabilitatea absolută a mediului

r

m

r

m

1 materiale diamagnetice ; 0

1 matriale paramagnetice ; 0

μ < −⎧⎪ → χ <⎪⎨μ > −⎪⎪ → χ >⎩

se magnetizează invers cu H şi slăbesc astfel câmpul H .

se magnetizează pe direcţia lui H şi-l întăresc în acest fel.


– materiale anizotrope:

( )

__ __t m

__ __ __ __ __ __ __p p po o o o om r

p

M H

B 1 H M H M M M (3.109)

M 0 B H

⎧= χ⎪

⎪⎪ = μ + χ +μ = μ μ +μ = μ +μ⎨⎪⎪ = → = μ⎪⎩

– materiale neliniare: t m

po m o p o r o

po

p

M (H) H

B (1 (H))H M (H) H M (3.110)

(H)H M

M 0 B (H) H

⎧ = χ⎪

= μ + χ +μ = μ μ +μ =⎪⎪⎨

= μ +μ⎪⎪

= → = μ⎪⎩ Dintre materialele neliniare frecvent utilizate în tehnică sunt

materialele feromagnetice şi materialele ferimagnetice (feritele). Materiale feromagnetice Materialele feromagnetice sunt fierul, cobaltul, nichelul şi aliajele lor; ele au valori mari ale permeabilităţii relative 5

r 10≈μ iar dependenţa B=f(H) este de forma unei curbe histerezis (figura 3.37). Ramura 1 este

curba de primă magnetizare, plecând din origine, cu materialul demagnetizat şi până se atinge saturaţia sBB = în punctul A. Ramurile 2,3 – variaţia lui B la creşterea sau scăderea câmpului exterior H.

sB – inducţia de saturaţie

rB – inducţia remanentă, cea care rămâne la anularea câmpului exterior H.

mH – valoarea maximă pentru care se atinge saturaţia

cH – câmp coercitiv, valoarea câmpului de sens contrar care anulează inducţia remanentă.

O H

B

sB

mH−

sB−

mHrB−

cHcH−

123

Fig 3.37

rB

A


În funcţie de valorile lui cH o curbă histerezis este mai îngustă sau mai lată. Pentru o magnetizare reversibilă până la saturaţie se cheltuie o energie; pierderile prin histerezis reprezintă puterea consumată pentru a magnetiza unitatea de volum a materialului şi ele sunt proporţionale cu aria ciclului histerezis. Materialele cu ciclu histerezis îngust ( )Oe 1H

1c = şi >>μr se numesc materiale moi. Ele se magnetizează uşor, aria ciclului histerezis (curba „a” din figura 3.38) este

mică. Din astfel de materiale se confecţionează miezurile pentru maşini electrice, transformatoare, aparate electrice şi se prezintă sub formă de tole magnetice cu grosimi de (0,1– 0,35) mm pentru a limita intensitatea curenţilor turbionari care se induc în tolă.

Materialele cu ciclu histerezis lat ( Oe 50H2c ≈ ) ca în curba b din

figura 3.38 se numesc materiale dure . Aria ciclului histerezis este mare, se magnetizează greu, cu consum mare de energie, dar se şi demagnetizează greu. Din astfel de materiale (oţeluri speciale) se realizează magneţii permanenţi.

Termenii de dur şi moale se referă la proprietăţile magnetice şi nu la cele mecanice.

Variind pe H într-un sens şi altul se pot trasa diferite cicluri histerezis intermediare. Există un ciclu histerezis limită care duce la atingerea saturaţiei

sB şi care le cuprinde în interiorul său pe toate ciclurile intermediare; numai intersecţia acestuia cu axele caracterizează materialul ( )cr H,B ca în

figura 3.39. Caracteristica ce trece prin vârful tuturor curbelor histerezis

intermediare se numeşte caracteristica de magnetizare fundamentală sau curba tehnică de magnetizare, indicată de firma producătoare şi în raport cu care se defineşte permeabilitatea magnetică a materialului (figura 3.40) .

H

B

cHcH−

sB

rB

mH

rB−

Fig 3.39

B

b

a

1cH2cH

Fig 3.38


sA

r A 1o A

B( ) k tgH

μ = = αμ

– permeabilitatea statică în punctul A

d

A 2

r A

st stst

dB( ) =k tgβ -permeabilitateadH

(μ ) = în punctul Αd(μ H) dμdB = =μ +H

dH dH dH

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

dinamică

respectiv în maximul lui stμ se intersectează cele două curbe stμ

şi dμ ca în figura 3.41. Materialele feromagnetice au o stare

solidă cristalină (există materiale anizotrope cu cristale orientate prin laminare la rece care au μr foarte mare pe acea direcţie). Ele se magnetizează uşor până la saturaţie (figura 3.42) care se atinge la Oe 100H

1m ≈ , faţă de materialele paramagnetice pentru care

Oe 10H 9m2

≈ , mult peste valorile de câmp care se pot realiza astăzi (maxim 610 Oe).

Materialele feromagnetice îşi pierd proprietăţile magnetice dacă sunt încălzite peste temperatura critică (punctul Curie) care pentru fier este 760oC, pentru nichel 360oC, când devin paramagnetice. Practic demagnetizarea unui material nu se realizează prin încălzire, ci se magnetizează până la saturaţie şi apoi este supus unor câmpuri alternative de amplitudine din ce în ce

mai mică, până se ajunge în origine. Feritele sunt materiale ceramice obţinute prin sinterizare la (1000–1400)oC a unor amestecuri de oxizi bivalenţi amestecaţi cu răşini, toate sub

B

1mHo

feromagneticr−μ >> −1 paramagneticr−μ > −

1 nemagnetic(vid)r−μ = −

1 diamagneticr−μ < −

HFig 3.42

H

B

ABA

AH

βα

Fig 3.40

d (H)μ

s (H)μB(H)

A

B

iμ

oμ

oFig 3.41


formă de pulbere. Ele au sB ≈ (0,4–0,5)T, deci mai mici ca la feromagneţi (1~1,2)T. Ele au rezistivitate mare m106Ω≈ρ

(feromagneţi: m10 6Ω≈ρ − ) fiindcă particulele metalice sunt separate prin pelicule de răşini. Ele se utilizează ca miezuri magnetice în tehnica frecvenţelor înalte (nu mai apar curenţi turbionari). Se utilizează pentru: miezuri de transformatoare şi micromotoare,

antene magnetice, memorii magnetice etc. 3.11 Aplicaţii 1. Sub acţiunea unei forţe F o bară de lungime lunecă pe un cadru conductor într-un câmp exterior B . Care trebuie să fie legea de mişcare a barei pentru ca prin cadru să treacă un curent constant (i = Io). În bara mobilă se induce o tensiune electromotoare de mişcare:

( )

2 2__ __ __ __ __ __

1 1

vBd

e v B d v B d vB d vBΓ

ΓΓ

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × = × = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫

Γ+xR =2ρ - este rezistenţa electrică a curbeiΓA

dxv= - este viteza instantaneea bareidt

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

o oo

2 I 2 Ixe vB R i 2 I v x k(x 1)A A B A BΓ Γ

ρ ρ+= = ⋅ = ρ ⋅ → = + = +

kt ktdx k(x 1) dx dx kdt x e 1 v kedt

x 1 dtt 0 x 0

⎧ = +⎪ → = → = − → = =⎨ +⎪ = → =⎩

respectiv viteza trebuie să crească exponenţial pentru a se respecta condiţia

din enunţul problemei, iar forţa care producce mişcare este:F= ma = m ddtν =

m 2 ktk e , deci tot exponenţială .

1

2

Fv

Γ

B

i

x

Fig 3.43


Φ

2. Fluxul magnetic Φ ce trece prin cele N = 100 spire ale unei bobine plate variază în timp ca în figura 3.44. Să se construiască funcţia e(t) – tensiunea electromotoare indusă la bornele bobinei.

Tensiunea electromotoare indusă este :

e = –NtΔ

ΔΦ = –10002.002.0 = –100V

când fluxul creşte ( 0>ΔΦ ), respectiv e = 100V când fluxul scade ( 0<ΔΦ ) şi e = 0 când ct=Φ ca în figura 3.44. Graficul lui e(t) se obţine prin derivarea grafică a

funcţiei ddtΦ .

3. Să se verifice continuitatea liniilor de curent printr-un condensator.

Dacă se aplică o tensiune sinusoidală la bornele sale atunci:

mm o

Uu U sin t E sin t D Ed

= ω → = ω → = ε

Curentul de deplasare prin condensator are densitatea:

md o

UDJ ( )sin( t )t d 2

∂ π= = ε ω ω +∂

, iar intensitatea curentului este:

od d m m

Ai J A U sin( t ) CU sin( t )d 2 2

ε π π= = ω ω + = ω ω +

Curentul de conducţie prin fir este: mdui C CU sin( t )dt 2

π= = ω ω +

deci dii = , curentul de conducţie din fir se continuă prin dielectric sub formă de curent de deplasare.

t

t

i iA

( )oε

E,D

d

u

Fig 3.45


4. Într-o bobină cilindrică cu N spire parcurse de curentul i(t) este plasat coaxial un tub conductor. Neglijând câmpul magnetic de reacţie, să se determine puterea electrică transformată în căldură în materialul tubului conductor (figura 3.46). Inducţia B în interiorul bobinei este un câmp

uniform cu expesia: 2

o SNiB B S B r

Γ Γ= μ →Φ = = − π

Tensiunea electromotoare indusă în curba Γ (r є (r1,r2)), respectiv câmpul electric indus de-a lungul curbei Γ este:

__ __ S 2o

2j

d B N iE d E 2 r r E r dt t 2 t

J E p J EJ

Γ

Γ

Φ ∂ ∂= − → ⋅ π = π → = μ →

∂ ∂

→ = σ → = ρ =

∫

Puterea transformată în căldură pe materialul tubului conductor este:

( )2

tub 1

2 2r 22 2 4 41

j j 1 o 2 12r

k

N i iP p d ( E )2 rdr r r k8 t tν

π ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ = ν = σ π = σμ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫

( ) ( )m

2T T2 2

j j j efi I sin t0 02 2 2

2 2 4 4 2o 1j ef 2 1 ef2

ef

1 k iP P dt dt P k IT T t

N iP k k I r r It 8

= ω

⎧ ∂⎛ ⎞′⎪ = = ⎯⎯⎯⎯⎯→ = ω⎜ ⎟∂⎝ ⎠⎪⎨⎪ μ π∂⎛ ⎞= = ω = ω σ −⎜ ⎟⎪ ∂⎝ ⎠⎩

∫ ∫

B

N,i

1

r 1 r 2rΓ

Fig 3.46


5. Prin curba Γ conţinută în planul xOy şi descrisă de ecuaţia 16yx 22 =+ , trece un câmp magnetic variabil având

expresia: tcosyx2 kB 22 ω+= Se cere expresia t.e.m induse în spira Γ din figura 3.47 Tensiunea electromotoare indusă (prin transformare) este:

__ __2 2

S S

d Be B ds ds dy 2 x y sin t dxdt t

Γ ΓΓ

∂ ⎛ ⎞= − = − = − ω + ω⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫

ds k dx dy

d r d uϕ

⎧ =⎪⎨

= ϕ⎪⎩

2 2r x yx r cosy r sin

⎧ = +⎪⎪ = ϕ⎨⎪ = ϕ⎪⎩

B 2 r sin tt

ds r dr d

∂⎧ = − ω ω⎪∂⎨

⎪ = ϕ⎩

Cu schimbarea de variabile, expresia tensiunii electromotoare devine: 2 4

2

0 0

4e 2 sin t d r dr 64 sin t [V]3

π

Γπ

= ω ω ϕ = ω ω∫ ∫

6. Printr-o tolă feromagnetică cu parametrii ( , )σ μ şi geometria din figură trece un flux magnetic variabil sinusoidal. Cum ),h(<<Δ pe grosimea tolei (figura 3.48) câmpul B îl presupunem repartizat uniform:

tsinBB m ω= . Să se determine pierderile prin curenţi turbionari în volumul tolei. Câmpul ( )B jB t= induce în jurul său

linii de câmp electric indus E situate în plane ⊥ pe B . Fie Γ o astfel de linie a câmpului electric indus E :

x

y

z

Γ

B Bds

ϕdl

Fig 3.47

r

h

Γ

Bdv

y

Fig 3.48

z

x

Δ

,σ μ

x− xdx


E, J

E

2Δ

−2Δ

−

x

o

Fig 3.49

J

( )__ __

e E d E E 2h 4x 2hEΓ ΓΓ

= = ⋅ = + ≈∫

Fluxul magnetic prin suprafaţa ΓS este : __ __ S

Sd BB S B 2xh 2xh

dt tΓ

ΓΓ

Φ ∂Φ = = → − = −

∂

Din legea inducţiei electromagnetice (3.49) tensiunea elecromotoare indusă prin transformare este:

Sm

d B Be 2hE 2xh E x xB cos tdt t t

ΓΓ

Φ ∂ ∂= − → = − → = − = −ω ω

∂ ∂

Semnul (–) indică faptul că liniile de câmp indus E nu coincid cu orientarea curbei Γ din figura 3.48, ele fac rotoare stângi în jurul câmpului inductor B . Cutenţii induşi J şi pierderile specifice au expresiile:

2 22 2m

ef ef m j efB1J E xB p J x22

ω= σ = ω → = ρ =

ρ

Integrând pierderile specifice (pj) pe volumul tolei ( dv hdx= ) se obţine :

( )Fe

2 2 2 2 22 2m m

jv2

B BP h x dx h2 3

Δ

Δ−

ω ω Δ= = Δ

ρ ρ∫

Pierderile de putere din unitatea de volum sunt:

( )2 2 2j 2 2 2m

jsp mFe

P BP f , B , ,v 3

ω Δ= = = ω Δ ρ

ρ

Încălzirea tolei creşte proporţional cu mărimile: 2ω – frecvenţa fluxului; peste o anumită frecvenţă miezurile nu se

mai fac din tole feromagnetice, s-ar încălzi prea mult. 2

mB – amplitidinea câmpului, deci cu solicitarea magnetică a miezului (tolei).

2Δ – grosimea tolei; tolele subţiri se încălzesc mai puţin

ρ1 – cu cât ρ este mai mare (tole cu adaos de siliciu, care măreşte ρ

dar le face şi mai casante) se încălzesc mai puţin .

4. Ecuaţiile câmpului electromagnetic 4.1 Legile câmpului electromagnetic- un sistem complet de ecuaţii Teoria macroscopică a fenomenelor electromagnetice utilizează pentru caracterizarea fenomenelor şi a stărilor corespunzătoare un număr de şase mărimi primitive ( )B,E,m,i,p,q şi un număr nelimitat de mărimi derivate. Determinarea univocă a unui câmp de vectori (problema Poincaré) este posibilă sub forma integrală dacă este precizată circulaţia sa în lungul oricărei curbe închise Γ şi fluxul său printr-o suprafaţă închisă Σ iar sub formă locală dacă în orice punct din domeniu este precizat rotorul şi divergenţa câmpului. Dacă expresiile legilor electrotehnice satisfac aceste condiţii se spune că expresiile lor constituie un sistem complet de ecuaţii pe baza căruia se poate determina un câmp.

La baza fenomenelor electromagnetice stau un număr de 12 legi, dintre care 9 sunt legi generale şi 3 sunt legi de material.

Legile generale(considerând medii fixe 0v = , fără mărimi neelectrice 0E,0M,0P ipp === ) scrise sub forma lor integrală şi locală sunt:

I. Legea inducţiei electromagnetice :

dt

ddlE s

ΓΦ

−=⋅∫Γ ; tBE rot∂∂

−=

II . Legea circuitului magnetic:

dt

ddlH S

S

ΓΓ

ψ+θ=⋅∫Γ ;

tDJH rot∂∂

+=

III. Legea fluxului electric:

∑=⋅∫Σ qdsD

; vD div ρ= (sau 0 în afara

corpurilor încărcate) IV. Legea fluxului magnetic:

0dsB

=⋅∫Σ ; 0B div =

V. Legea conservării sarcinii electrice:

dt

dqi ∑−=∑ ;

t-J div v∂ρ∂

=


VI. Legea legăturii în câmp electric: PED o +⋅ε=

VII. Legea legăturii în câmp magnetic: ( )MHB o +⋅μ=

VIII. Legea transformării energiei în conductori: JEp j ⋅=

IX. Legea electrolizei:

qkqFn

Amo

⋅=⋅⋅

=

In expresiile acestor legi intervin trei constante universale

mF

910 4

19o

π=ε , m

H 10 4 7o

−π=μ şi gr.echC 49696Fo ⋅= -

constanta lui Farraday. Principalele legi de material (mai sunt şi alte legi de material: legea câmpurilor voltaice, legea emisiei electronilor din metale etc) sunt:

X. Legea polarizaţiei electrice temporare: EP eot χε=

care combinată cu legea III fără ED 0Pp ε=→= XI. Legea magnetizaţiei temporare:

HM mt χ= care combinată cu legea VII pentru HB 0M p μ=→=

XII. Legea conducţiei electrice: EJ σ= In expresiile acestor legi apar constante ce ţin de proprietăţile

mediului în care se aplică legea: ( ) ( )ρ

=σμχμεχε1 ; , ; , rmre .

Examinând expresiile acestor legi se constată următoarele proprietăţi:

4. Ecuaţiile câmpului electromagnetic 95

• Legile I,III,VI stabilesc con-diţiile produ-cerii unui câmp electric

( )D,E de către câmpuri variabile tB∂∂ , de către corpuri încăr-cate

(q) şi de către corpuri polarizate ( )p . • Legile II, VII stabilesc condiţiile producerii unui câmp magnetic

( )B,H de către câmpuri electrice variabile ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

tD , de către curenţi

electrici (i) şi de către corpuri magnetizate ( )m . • Legile VIII, IX stabilesc efectul energetic, respectiv chimic al

procesului de conducţie a curentului electric.

• In regim staţionar ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =∂∂ 0t

fenomenele electrice (stările electrice)

şi cele magnetice nu se influenţează reciproc. Câmpurile E şi B pot coexista în aceeaşi regiune a spaţiului (de exemplu în jurul conductoarelor parcurse de curent continuu) fără a interacţiona între ele; proprietatea rămâne adevărată şi în regim cvasistaţionar (frecvenţe joase).

• In regim variabil repartiţia de sarcină este condiţionată de repartiţia de curent (legea V). Câmpul magnetic variabil induce câmp

Stări electrice

Stări magnetice

corpuri

ˆcampuri


electric (legea I) iar un câmp electric variabil produce în jurul său un câmp magnetic (legea II).Legăturile între câmpul electric şi cel magnetic există doar în regimuri variabile (sunt desenate cu linie punctată în figura 4.1).

In regim variabil câmpul electromagnetic poate exista şi în lipsa corpurilor sub formă de undă electromagnetică, undă care se propagă în

spaţiu cu viteza εμ

=1v .

Legile permit o corelare care arată că ansamblul lor formează, din punct de vedere matematic, un sistem complet de ecuaţii:

- legile I şi III precizează sub formă integrală circulaţia şi fluxul câmpului electric, respectiv sub formă locală precizează rotorul şi divergenţa câmpului electric

- legile II şi IV precizează integral circulaţia şi fluxul câmpului magnetic iar local rotorul şi divergenţa câmpului magnetic.

Deoarece legile sub formă locală nu precizează rotorul şi divergenţa

aceleiaşi mărimi, ci E rot şi D div , ţinând seama de expresiile celorlalte legi din sistem se pot aduce la aceeaşi specie. Similar în câmp magnetic, deşi se cunosc B div şi H rot se pot aduce la rot şi div din aceeaşi specie ca


în figura 4.2. Legătura între câmpul electric şi cel magnetic există doar în regim variabil (legăturile sunt desenate cu linie punctată).

Formele locale ale legilor sistematizează matematic proprietăţile câmpului şi permit stabilirea unor algoritmi de calcul iar formele integrale asociate sunt singurele adevăruri verificabile experimental.

4.2 Teorema de unicitate a câmpului electromagnetic

Sistemul de legi ale câmpului electromagnetic permit să determinăm univoc mărimile de stare ale câmpului electromagnetic:

( ) ( ) ( ) ( )t,rB ; t,rH ; t,rD ; t,rE în fiecare punct din domeniul de câmp v ∑ mărginit de suprafaţa închisă ∑ şi în fiecare moment “t” ulterior momentului iniţial ott ≥ ,dacă se cunosc:

1.condiţiile iniţiale: starea câmpului electromagnetic în fiecare punct din ∑v la momentul iniţial ot : ( ) ( )oo t,rH ; t,rE .

2.condiţiile la limită: distribuţia (şi evoluţia în timp) pe frontiera Σ în fiecare moment ott ≥ a componentelor tangenţiale: ( ) ( )t,rH ; t,rE tt .

3.proprietăţile mediului şi starea corpurilor din domeniul de câmp v ∑ ( ) ( ) ( ); r ; r ; r : σ=σμ=με=ε

4.condiţiile de surse: cunoaşterea funcţiilor ( )trPJ pv ,,,,, ip E M ρ , care produc câmp în jurul lor.

Sistematic, aceste condiţii se scriu sub forma (4.1):

( )( )

( )( )

( )( )⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⇒

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∑∈>∑∈ t,PH

tP,E

t,PH

tP,E

't,PH

't,PE

Po

o

tt'Pit

it

ov

(4.1)

respectiv pentru a determina câmpurile E şi H într-un punct din v ∑ la un moment t trebuie cunoscute valorile lor iniţiale în orice punct din v ∑ şi

evoluţia componentelor tangenţiale tt H,E , pe frontiera Σ a domeniului, de la originea ot până la momentul considerat t, la proprietăţi ale mediului date.

Demonstrarea teoremei se poate face plecând de la expresiile legilor şi reflectă matematic proprietatea câmpului electromagnetic de a satisface, ca orice sistem fizic, principiul cauzalităţii.

Deoarece condiţiile impuse de această teoremă sunt severe (în special condiţia (2)), în cele mai multe cazuri nu se determină direct


câmpul E şi H ci se studiază probleme asociate, mult mai simple ; se determină potenţialele lor V şi A care satisfac condiţii de unicitate mai uşor de stabilit şi în final se revine la câmpurile fizice: V gradE −= şi A rotB = , aşa cum se va vedea în capitolele ce urmează.

4.3 Teorema superpoziţiei câmpurilor electromagnetice

Un domeniu de câmp v ∑ limitat de suprafaţa Σ conţine în interior medii liniare şi izotrope aflate în repaus şi în acest domeniu sunt suprapuse “n” câmpuri electromagnetice corespunzând fiecare dintre ele la condiţii iniţiale şi la limită proprii.

Dacă kkkk B ,H ,D ,E sunt mărimile de stare ale câmpului ce corespund la:

• Condiţii iniţiale: ( ) ( )okok t,rH ; t,rE în orice punct din v ∑

• Condiţii la limită: ( ) ( )t,rH ; t,rE tktk pe suprafaţa Σ, la t> ot

• Mărimi neelectrice: ( ) ( ) ( )t,rE ; t,rH ; t,rP ikpkpk atunci câmpurile rezultante ce provin din însumarea (vectorială) a mărimilor de stare ale câmpurilor componente (k=1,2…n) sunt:

∑∑∑∑ ====n

1

k

n

1

k

n

1

k

n

1

k BB ; DD ; HH ; EE (4.2)

având în vedere liniaritatea ecuaţiilor câmpului. Acestor câmpuri rezultante le corespund condiţii iniţiale şi la limită rezultante:

• Condiţii iniţiale: ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ ==n

1oko

n

1oko t,rHt,rH ; t,rEt,rE

(4.3)

• Condiţii la limită: ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ ==n

1

tkt

n

1

tkt t,rHt,rH ; t,rEt,rE

(4.4) Teorema superpoziţiei şi în domeniul câmpului, ca în alte domenii ale

ştiinţei, pune în evidenţă faptul că la suma cauzelor le corespunde suma efectelor. Dacă cel puţin o regiune din v ∑ nu are proprietăţi liniare, teorema nu

se mai poate aplica.


4.4 Ecuaţiile lui Maxwell Studiul general şi sistematic al câmpului electromagnetic se poate face cu ajutorul formelor locale ale legilor. Ecuaţiile cu derivate parţiale ce rezultă din formele locale ale legilor pentru medii imobile ( )0v = şi în domenii de continuitate a proprietăţilor fizice se numesc ecuaţiile lui Maxwell. Pe baza acestor ecuaţii se pot studia câmpurile electromagnetice pure, fără fenomene mecanice ( 0v = - medii fixe), fără polarizaţie permanentă ( )0Pp = , fără magnetizaţie permanentă ( )0Mp = şi fără câmpuri electric imprimate ( )0Ei = . Ce mai rămâne din formele locale ale legilor sunt expresiile (4.5):

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

σ=μ=ε=

=

ρ=

∂∂

=

∂∂

+=

electrice ieiconduct a si legaturii legile - EJ ; HB ; ED

magnetic fluxului legea - 0 B div

electric fluxului legea - 0D div

neticeelectromag ieiinduct legea - tB-Erot

magnetic icircuitulu legea - tDJ H rot

v (4.5)

Vom considera că prezintă interes tehnic doar câmpul din exteriorul corpurilor încărcate cu sarcină ( )0v =ρ . Ecuaţiile câmpului se pot scrie în două variante, cunoscute sub numele de ecuaţiile lui Maxwell în E şi H şi ecuaţiile lui Maxwell în E şi B :

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=∂∂

μ−=

∂∂

ε+σ=

0H div

0E divtHE rot

tEEH rot

(4.6)


⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=∂∂

=

∂∂

εμ+σμ=

0B div

0E divtB-E rot

tE EB rot

(4.7)

Sub formele (4.6) şi (4.7) ecuatţiile lui Maxwell reprezintă, din punct de vedere matematic, un sistem de opt ecuaţii scalare simultane cu derivate parţiale, având şase funcţii necunoscute: zyxzyx E ,E ,E ,H ,H ,H care sunt

componentele vectorilor ( )t,rH şi ( )t,rE atunci când domeniul de câmp are o astfel de configuraţie încât să folosim raportarea la un sistem cartezian de axe x,y,z. Să stabilim ecuaţiile cu derivate parţiale pe care le satisfac separat câmpurile E şi respectiv H . Aplicăm rotorul primei ecuaţii a lui Maxwell din (4.6):

( ) ( ) ( )

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

Δ−=Δ−⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

∂

∂εμ−

∂∂

σμ−=∂∂

ε+σ=

HHH divgradH rotrot

t

HtHE rot

tE rotH rotrot

0

2

2

(4.8)

Deci ecuaţia satisfăcută de câmpul H este de forma:

0tH

tHH

2

2=

∂

∂εμ−

∂∂

σμ−Δ (4.9)

Similar, aplicând rotorul celei de a doua ecuaţii a lui Maxwell (4.6) şi ţinând seama de celelalte ecuaţii, obţinem o ecuaţie de tipul (4.9) şi pentru E . Reunite, în scriere matricială, cele două ecuaţii de acelaşi tip, avem:

0H

E

tt- 0

H

E

tH

EtH

E2

2

2

2=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂εμ−

∂∂

σμΔ↔=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂

∂εμ−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

σμ−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡Δ

(4.10) Ecuaţiile de tipul (4.10) sunt ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul doi, de tip hiperbolic şi au, în general, ca soluţie o undă atenuată. Soluţiile


lor ( E şi H ) nu sunt independente (deşi sunt ecuaţii distincte), ele sunt legate prin primele două ecuaţii din (4.6), deci unda electrică şi cea magnetică se intercondiţionează reciproc în unda electromagnetică.

• In cazul mediilor dielectrice (izolante) 0=σ şi din (4.10) rămâne:

0H

E

tv

1- 0H

E

t 2

2

22

2↔=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂⋅Δ↔=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂εμ−Δ ٱ 0

H

E=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

(4.11)

unde : =2

2

2 tv

1

∂

∂⋅−Δ este operatorul d’Alembertian

εμ

=1v este viteza de propagare a undei prin mediul cu ε şi μ.

Unda electromagnetică printr-un mediu dielectric (în particular şi prin vid, aer uscat) este soluţia unei ecuaţii de tip d’Alembert (4.11) numită şi ecuaţia undei, scrisă într-un mediu dielectric prin care unda se propagă. • In medii conductoare ( )ε>>σ ecuaţia (4.10) devine:

0H

Et

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

σμ−Δ (4.12)

care este o ecuaţie vectorială de tip parabolic (ecuaţie de tip Helmholz) sau

ecuaţia difuziei iar σμ

=λ1 este constanta de difuzie a mediului. Deci într-o

piesă conductoare unda electromagnetică pătrunde amortizat, are loc un fenomen de difuzie (analog cum pătrunde căldura într-un corp). In regim permanent sinusoidal, ecuaţiile lui Maxwell (4.6) se transpun în mărimi complexe sub forma:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

ωμ=

ωε+σ=

0E div

0H div

H-jErot

EjE H rot

(4.13)

unde H este reprezentarea în complex a câmpului vectorial H (t) care are o variaţie sinusoidală în timp. In loc de a sublinia mărimea complexă H


(cum era în teoria circuitelor U, I, Z…) se pune un punct deasupra barei care reprezintă caracterul vectorial al funcţiei: H , E , J . In regim tranzitoriu (cu condiţiile iniţiale date ) ecuaţiile lui Maxwell se scriu operaţional (cu transformata Laplace) sub forma:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

=

μ−μ=

ε−ε+σ=

0sE div0sH div

HsHssE rotEsEssE sH rot

o

o

(4.14)

unde ( )sH este imaginea Laplace a funcţiei vectoriale ( )tH iar oH este valoarea iniţială (din momentul comutaţiei) a aceleeaşi funcţii. Ecuaţiilor lui Maxwell (4.6) şi (4.7) valabile în domenii de continuitate li se asociază ecuaţiile de trecere (4.15) valabile în vecinătatea unor suprafeţe de discontinuitate fixe 12S ce separă două medii corporale cu proprietăţi diferite:

( )( )

( )( )

2 1

s

2 1 2 1

s

2 1 1 2

2 1

s 12 2 1 t t

J 0s s 12 2 1 s t t s t t

0; 0s s s t

s 12 2 1 n n n n

s s 12 2 1 s n n s

rot E 0 n E E 0 E E

rot H J n H H J H H J H H

div J n J J J J J Jt t t

div D n D D D D

=

∂ρ = =

∂

= → − = → =

= → − = → − = ⎯⎯⎯→ =

∂ρ ∂ρ ∂ρ= − → − =− → − =− ⎯⎯⎯⎯→ =

∂ ∂ ∂=ρ → − =ρ → − =ρ ( )

( )s

2 1

2 1

0n n

s 12 2 1 n n

D D 4.15

div B 0 n B B 0 B B

ρ =

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪ ⎯⎯⎯→ =⎪⎪ = → − = → =⎩ unde 12n este versorul normalei la suprafaţa 12S , dirijat dinspre mediul 1 spre 2. Pentru discontinuităţi mobile cu sv ecuaţiile de trecere (4.15) au o formă mai dezvoltată[10].

4.5 Unda electromagnetică plană Din analiza primelor două ecuaţii ale lui Maxwell rezultă că, în cazul câmpurilor variabile în timp, apare o dublă legătură cauzală între aspectul electric şi cel magnetic al câmpului electromagnetic desprins de corpuri, sub formă de undă electromagnetică. Vom examina un caz particular de undă într-un mediu dielectric ( )0=σ când în toate punctele situate într-un plan perpendicular pe direcţia


de propagare valoarea câmpului este constantă. Dacă Ox este direcţia de propagare a undei, atunci avem un câmp plan sau undă plană dacă mărimile de stare ale câmpului depind doar de x şi t: ( )t,xEE = ; ( )t,xHH = O astfel de undă plană există practic la distanţă suficient de mare faţă de sursă (antena de emisie) într-un mediu izotrop şi omogen. Considerăm un mediu dielectric ( )0=σ cu permitivitatea ε , permeabilitatea μ , neîncărcat cu sarcină ( )0v =ρ şi neparcurs de curenţi

( )0J = şi vom pune îm evidenţă doar câmpul electromagnetic ce apare prin interacţiunea dintre câmpul electric şi cel magnetic variabile în timp. Căutăm numai soluţiile variabile în timp ale ecuaţiilor lui Maxwell (o constantă, deci, nu face parte dintr-o undă).

In aceste condiţii ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===

∂∂

=∂∂ 0 v σρ ,0,0,0

zy ecuaţiile lui

Maxwell se scriu sub forma particulară:

⇒

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

ε+∂

∂ε+

∂∂

ε=∂∂

ε=

∂

∂+

∂∂

−=∂∂

∂∂

∂∂

=

tE

kt

Ej

tE

itEH rot

x

Hk

xH

j

HHHzyx

kji

H rot

zyx

yz

zyx

x

H

tE

; x

Ht

E ; 0

tE

yzzyx∂

∂=

∂∂

ε∂∂

−=∂

∂ε=

∂∂

⇒ (4.16)

0x

H 0

zH

y

H

xH

0H div xzyx =∂∂

⇒=∂∂

+∂

∂+

∂∂

→= (4.17)

⇒

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂

∂+

∂∂

μ−=∂∂

μ−=

∂

∂+

∂∂

−=∂∂

∂∂

∂∂

=

tH

kt

Hj

tH

itHE rot

x

Ek

xE

j

EEEzyx

kji

E rot

zyx

yz

zyx


x

E

tH

- ; x

Et

H- ; 0

tH

yzzyx∂

∂=

∂∂

μ∂∂

=∂

∂μ=

∂∂

⇒ (4.18)

0x

E 0E div x =

∂∂

→= (4.19)

Din relaţiile (4.16) şi (4.19) respectiv (4.17) şi (4.18) rezultă:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==→=∂∂

=∂

∂

==→=∂∂

=∂∂

0ctH 0x

H ; 0

tH

0ctE 0x

E ; 0

tE

xxx

xxx

(4.20)

respectiv unda plană este o undă transversală care nu are componente pe direcţia de propagare ( )0H ,0E xx == , deci vectorii E şi H sunt conţinuţi în plane perpendiculare pe direcţia de propagare. Din (4.20) rezultă că xE şi

xH nu variază în timp şi nici în spaţiu (sunt nişte constante), deci nu pot fi parte componentă a unei unde (câmp variabil) şi le considerăm nule; aceste componente xE şi xH pot fi cel mult nişte câmpuri statice, care nu afectează propagarea undei. Din relaţiile (4.16) şi (4.18) rezultă:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂

∂−=

∂∂

μ

∂∂

−=∂

∂ε

x

E

tH

xH

t

E

yz

zy

(4.21)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂

=∂

∂μ

∂

∂=

∂∂

ε

xE

t

Hx

H

tE

zy

yz

(4.22)

Relaţiile (4.21) reprezintă o undă plană având componentele ( )zy H ,E iar (4.22) o undă plană

având componentele ( )yz H ,E . Cele două unde sunt independente între ele, deci de-a lungul axei Ox se pot propaga două unde plane care nu se influenţează reciproc. Fiecare este o undă transversală de direcţie fixă (Ox) deci sunt unde polarizate liniar după două direcţii ortogonale. Una dintre ele ( )zy H ,E reprezentată în figura


4.3 se propagă după direcţiaOx cu viteza v : ( )( )t,xH kH kH

t,xE jE jE

zz

yy

==

== (4.23)

Cele două funcţii ( )t,xE y şi ( )t,yHz sunt legate între ele prin ecuaţiile (4.21) care reprezintă un sistem de ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul I. Eliminând pe rând câte una dintre funcţii, prin derivări în raport cu x şi cu t, obţinem:

0t

E

x

E ; 0

t

H

x

H2

y2

2y

2

2z

2

2z

2=

∂

∂εμ−

∂

∂=

∂

∂εμ−

∂

∂ (4.24)

Ecuaţiile (4.24) sunt de tipul (4.11) (în care 0x 2

2+

∂

∂=Δ ) deci

reprezintă ecuaţia undelor, ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul II de tip hiperbolic a căror soluţie este de forma:

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

vxtft,xE ;

vxtft,xH 2y1z (4.25)

Ele sunt funcţii numai de x şi t prin intermediul unei combinaţii

liniare şi omogene vxtt −=′ . Notăm

21

2

11

1dt

fdf ;

dtdf

f =′′=′ .

12z

2

11z

122z

2

11z

ft

H ; f

tf

tH

fv

1

x

H f

v1

xt

tf

xH

′′=∂

∂′=

∂∂

=∂∂

′′=∂

∂→′−=

∂′∂

⋅′∂

∂=

∂∂

Deci: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛εμ−′′=

∂

∂εμ−

∂

∂212

z2

2z

2

v

1ft

H

x

H (4.26)

Pentru ca soluţia (4.25) să verifice ecuaţia (4.24) trebuie ca

εμ=

1v2 , respectiv: εμ

±=1v (4.27)

Scăzând şi adunând tΔ la argumentul ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

vxt , obţinem:

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Δ−

−Δ−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

vtvxttf

vxtf 11 (4.28)


respectiv funcţia 1f , soluţie a ecuaţiei undelor (4.24), depinde de timp şi de x astfel că valoarea pe care o are 1f în punctul x, la momentul t este egală cu valoarea pe care a avut-o funcţia într-un moment anterior ( )tt Δ− , într-un punct situat mai la stânga cu ( )tvΔ . Deci soluţia 1f este o funcţie ce se

propagă în spaţiu de-a lungul axei Ox cu viteza v . Forma (repartiţia spaţială) a undei 1f se deplasează în lungul axei x cu viteza v numită viteza de fază

a undei. Relaţia (4.27) arată că viteza de fază are două valori egale şi de semn contrar. Prima corespunde undei care se propagă în sensul pozitiv al axei x (unda directă) şi are expresia:

( )xtfvxtf 11 ⋅εμ−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − (4.29)

iar a doua valoare a lui v corespunde undei care se propagă în sensul negativ al axei x (unda inversă) şi are expresia :

( )xtfvxtf 11 ⋅εμ+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + (4.30)

Fiecare dintre aceste unde există numai dacă au existat undeva la stânga (sau la dreapta pentru unda inversă) condiţii fizice pentru producerea lor (antenă de emisie pentru unda directă, suprafaţă reflectantă pentru unda inversă etc.). Unda directă se propagă cu viteza:

rr

o

oror

v11vμε

=μμεε

=εμ

= (4.31)

iar sm1031cv 8

ooo ⋅=

με== este viteza undei în vid.

Unda directă pentru componenta magnetică a undei este:

( ) ( )εμ−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= xtf

vxtft,xH 11z (4.32)

Dacă într-un punct din spaţiu zH are de exemplu o variaţie sinusoidală, atunci funcţia 1f este de forma:


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ϕ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −ω=

vxtsinHH maxzz (4.33)

Cunoscând zH se poate calcula componenta electrică a undei ( )yE :

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

′ε

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′−

ε−=

∂∂⋅

ε−=

∂

∂∂∂

μ−=∂

∂

11zy

zy

fv1f

v11

xH1

t

Et

Hx

E

(4.34)

Integrând ultima expresie se obţine:

∫ +ε

=⋅′ε

= constfv1dtf

v1E 11y (4.35)

Constanta de integrare se poate omite, interesează doar soluţiile variabile în timp (undele). Mărimea:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡Ω==

εμ

=εμ

=ε

=μ=m

Am

V

HE

Zv1vZ

z

y

r

ro (4.36)

este o caracteristică a mediului prin care se propagă unda electromagnetică şi se numeşte impedanţa de undă a mediului. Valoarea sa în vid este:

Ω=π=εμ

= 377120Zo

oo (4.37)

numită impedanţa de undă a vidului, o constantă universală.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −→⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −==

vxtf Z

vxtf

vxtf ZH ZE 121zy (4.38)

Conform cu (4.38) în fiecare punct din spaţiu unda electrică ( )yE şi

cea magnetică ( )zH sunt în fază. (figura 4.5), au forme de variaţie identice dar sunt situate în plane perpendiculare:


La fel ca unda ( )zy H,E se propagă şi unda ( )yz H,E . Deci există cel mult patru unde electromagentice elementare care compun o undă plană de direcţie de propagare Ox dată, care diferă între ele fie prin sensul de propagare (unda directă şi unda inversă), fie prin direcţia de polarizare liniară ( )zy H,E sau ( )yz H,E . In fiecare dintre ele vectorii E şi H sunt perpendiculari între ei şi perpendiculari pe direcţia de propagare. Variaţia în timp a mărimilor E şi H , deci forma funcţiilor 1f şi 2f , sunt arbitrare, ele depind de condiţiile de producere a undei şi de forma mesajului transmis.

4.6 Radiaţia undelor electromagnetice La frecvenţe înalte câmpul electromagnetic din jurul circuitelor electrice (circuite radiante) apare sub formă de unde electromagnetice,

câmpul magnetic ( )tH induce un câmp electric ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

μ−=tHE rot iar cel

electric ( )tE va produce un câmp magnetic ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

ε=tEH rot , deci se

autogenerează reciproc. Acest câmp se poate desprinde de circuitele care le-au produs şi se propagă sub formă de undă electromagnetică la distanţe mari şi transmit o parte din energia circuitelor; fenomenul este numit radiaţia circuitelor.

4.6.1 Potenţiale electrodinamice întârziate (retardate) Aceste potenţiale generalizează noţiunile de potenţial magnetic vector A şi potenţial electric scalar V care se utilizează în cazul câmpurilot staţionare şi cvasistaţionare. Astfel, din legea fluxului magnetic rezultă: eA rotB 0B div =→= ,

iar din legea inducţiei electromagnetice: t

A rotErot tBE rot e

∂∂

−=→∂∂

−=

→

eee V grad

tAE 0

tAErot −=

∂∂

+↔=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+→

Deci în regim variabil câmpul electric E se scrie sub forma:


ee V grad

tAE −∂∂

−= (4.39)

el are o componentă solenoidală ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−t

Ae şi una potenţială (-∇Ve).

Pentru a determina ecuaţiile pe care le satisfac potenţialul electrodinamic vector eA şi potenţialul electrodinamic scalar eV vom pleca de la ecuaţiile lui Maxwell:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−∂

∂−εμ+μ=Δ−⇒

∂∂

εμ+μ=t

Vgrad

t

AJAA divgrad tEJB rot e

2e

2ee

(4.40) Ecuaţia pe care o satisfac cele două potenţiale este de forma:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

εμ++μ−=∂

∂εμ−Δ

tV

A divgradJt

AA ee2e

2e (4.41)

Similar putem stabili o altă ecuaţie pentru cele două funcţii eA şi eV :

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂εμ±

ερ

=−∂∂

−⎯⎯⎯ →⎯ερ

=Δ

2e

2v

Ve

e)39.4(

v

t

V;V graddiv

tAdivE div

e

(4.42)

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

εμ+∂∂

−ερ

−=∂

∂εμ−Δ

tV

A divtt

VV eev

2e

2

e (4.43)

In regim variabil (înaltă frecvenţă) se admite o condiţie de etalonare a celor două potenţiale- etalonare Lorentz- care presupune:

0t

VA div ee =

∂∂

εμ+ (4.44)

spre deosebire de regimul staţionar(cvasistaţionar) unde se admite pentru potenţialul magnetic vector A o condiţie de etalonare Coulomb, de forma:

0A div = . Impunând condiţia (4.44), fiecare dintre ecuaţiile (4.41) şi (4.43) rămâne o ecuţie numai în variabila eA sau numai în eV de aceeaşi formă:

Jt

AA2

e2

e μ−=∂

∂εμ−Δ (4.45)

ερ

−=∂

∂εμ−Δ v

2e

2

et

VV (4.46)


Cele două ecuaţii poartă numele de ecuaţia vectorială neomogenă a undelor (4.45), respectiv ecuaţia scalară neomogenă a undelor (4.46), ambele sunt de acelaşi tip cu ecuaţia undelor (4.11), care este însă o ecuaţie omogenă.

In regim staţionar sau cvasistaţionar ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =∂∂ 0t

ecuaţiile (4.45), (4.46)

devin ecuaţii de tip Poisson (Laplace) satisfăcute de A şi V în aceste regimuri şi ale căror soluţii sunt de forma :

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞∞

′′ρ

πε=′

′πμ

=vv

v

vd

Rr

41rV ; vd

RrJ

4rA (4.47)

în care am utilizat notaţii cu semnificaţiile din figura 4.6. Soluţiile ecuaţiilor (4.45) şi (4.46) sunt similare cu soluţiile (4.47), sub forma:

( ) ( )∫∞

′εμ−′

πμ

=v

e vdR

Rt,rJ4

t,rA (4.48)

( ) ( )∫∞

′εμ−′ρ

πε=

v

ve vd

RRt,r

41t,rV (4.49)

Câmpul în punctul ( )rP , la momentul t, este determinat de valoarea densităţii de curent J (sau a densităţii de sarcină vρ ) la un moment anterior

ttvRtRtt Δ−=−=εμ−=′ , momentului t

cu RvRt εμ==Δ . Timpul tΔ este timpul

necesar ca unda electromagnetică să se propage de la circuitul radiant până în punctul ( )rP , pe distanţa rrRR ′−== înaintând cu viteza v, viteza de

propagare a undei prin mediul cu parametrii constitutivi ( )με, . Timpul tΔ este timpul de întârziere(retardare) între mărimile de stare ale circuitului radiant şi ale câmpului la distanţa R de circuit; motiv pentru care eA şi eV date de (4.48) şi (4.49) se numesc potenţiale electrodinamice întârziate(retardate).Aceste expresii ale potenţialelor(şi ale câmpului electromagnetic) descriu propagarea câmpului electromagnetic din aproape în aproape, în timp şi în spaţiu(prin

contiguitate) cu viteză mare, dar finită: εμ

=1v .


4.6.2 Rezistenţa de radiaţie a circuitelor Puterea activă absorbită de un circuit electric în regim sinusoidal este

22efj RIRIP == , unde R este rezistenţa circuitului radiant.

La frecvenţe înalte circuitul radiază unde electromagnetice, deci va transmite putere activă şi prin undele radiate, putere pe care o scriem sub forma: 2

radrad IRP = , unde radR este rezistenţa de radiaţie a circuitului. Puterea activă totală absorbită de circuit este : radj PPP += . Dacă circuitul radiant are forma curbei Γ din figura 4.7-a, câmpul magnetic B în punctele suprafeţei ΓS va fi defazat în urma curentului I din spira Γ din cauza timpului de propagare tΔ (datorită retardării dintre B şi I). Deci şi fluxul magnetic printr-o suprafaţă ΓS va fi defazat în urma curentului I cu unghiul β ca în diagrama fazorială din figura 4.7-b, defazare care creşte odată cu frecvenţa curentului: ( )ωβ=β .

Descompunem fluxul Φ în două componente, una în fază cu I şi alta în cuadratură cu curentul I, sub forma:

IjIL Λ−=Φ (4.50) Ecuaţia de tensiuni pentru circuitul radiant este de forma:

IILjIRjIRU dtdRiu Λω+ω+=Φω+=↔Φ

+=

respectiv ecuaţia de tensiuni a unui circuit radiant are expresia: ( )[ ] ILjRU ⋅ω+Λω+= (4.51)

unde: Λω+= RR e - este rezistenţa echivalentă a circuitului radiant;


radR=Λω este rezistenţa de radiaţie a circuitului iar R este rezistenţa proprie a circuitului, evaluată cu luarea în considerare a efectului pelicular din înaltă frecvenţă. LjRZ ee ω+= - este impedanţa echivalentă a circuitului, cea care introduce un defazaj ϕ între U şi I ca în figura 4.7-b.

4.7 Aplicaţie Dacă se cunoaşte una dintre componentele undei plane şi proprietăţile mediului, se poate deduce cealaltă componentă: 1. In medii dielectrice ( )0=σ cunoscând EjE = şi impedanţa de undă

εμ

=Z se poate deduce cealaltă componentă(cea magnetică):

ZEkHk

ZEiH ==

×=

2. In medii conductoare ( )0≠σ legătura între cele două componente ale undei este de forma:

( ) ΩΩωμγ

=×μω

γ= jj eEkEieH

unde ( )j12

j +ωσμ

=ωσμ=γ este constanta de propagare a mediului

( )β+α=γ j , Ωγ=α cos este constanta de atenuare iar Ωγ=β sin este

constanta de defazare a mediului ( )εμω=β−α 222 .

3. Unda plană având mA5Ho = trece printr-un mediu cu .4 ,1 rr =ε=μ

Componenta electrică a undei este:

[ ]Ωπ==εμ

= 60RHE - rezistenţa de undă a mediului

[ ]mV300120

21HHZHE

r

ro =π⋅⋅=

εμ

=εμ

=

Observaţie Vectorul HES ×= , numit vectorul Poynting indică prin direcţia sa care este direcţia de propagare a undei iar prin modulul său indică care este densitatea de putere

a undei: [ ] [ ] [ ]2m

W

m

A

m

VHES =⋅=⋅= . Fluxul lui S printr-o suprafaţă este puterea

transmisă de undă prin suprafaţa respectivă.

5. Regimul electrostatic şi magnetostatic În regim variabil în timp câmpul electric şi magnetic se intercondiţionează reciproc alcătuind un câmp electromagnetic. În regim staţionar (curent continuu), mărimile de stare sunt invariabile în timp şi studiul câmpului electric şi magnetic se poate face separat. În acest regim câmpul electric din medii conductoare generează curent electric şi este însoţit de degajare de căldură în mediul conductor. Un sistem fizic format din corpuri imobile ( )v 0= încărcate cu

sarcini invariabile în timp ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =∂∂ 0t

creează un câmp electrostatic. În regim

electrostatic mărimile magnetice de stare sunt nule iar mărimile electrice de stare (ale corpurilor şi ale câmpului) sunt invariabile în timp; într-un astfel de regim nu există schimburi de energie între componentele sistemului. Neexistând câmp electrostatic şi nici curent electric în interiorul corpurilor conductoare, nu au loc transformări energetice (dezvoltări de căldură). Practic,un câmp electrostatic este creat de corpuri imobile încărcate cu sarcini invariabile în timp. Deci condiţiile de regim electrostatic sunt:

__0; v 0; J 0; B H 0 (5.1)

t∂= = = = =

∂

În condiţiile (5.1) legile vor avea forme particulare:

-) Din legea inducţiei electromagnetice, dacă __B 0, v =0

t∂

=∂

rămâne:

__ __ __ __E d 0 ; rot E 0 E grad V (5.2)

Γ

= = ↔ = −∫

Expresia (5.2) este teorema potenţialului electrostatic sub formă integrală, respectiv locală. Mărimea ”V” este potenţialul electrostatic , câmpul electrostatic E este un câmp potenţial (care poate fi scris ca un gradient), circulaţia lui pe o curbă Γ închisă este nulă iar între două puncte 1şi 2 circulaţia nu depinde de drumul de integrare:

2 2 2__ __1 2

1 1 1E d Vd dV V V (5.3)= −∇ = − = −∫ ∫ ∫

-) Legea fluxului electric are aceeaşi formulare şi în regim electrostatic:

( ) ( )2 1

__ __ __v s n n sD ds q ; div D sau 0 ; div D D D sau 0 (5.4)Σ

Σ= = ρ = − = ρ∫


-) Legea legăturii în câmp electric : to o eD E P ; P E ; D E (5.5)⎡ ⎤= ε + = ε χ = ε⎣ ⎦

Celelalte legi nu prezintă interes în studiul regimului electrostatic . 5.1 Teorema potenţialului electrostatic

Deoarece în regim electrostatic mărimile de stare ale câmpului electric şi ale corpurilor sunt invariabile în timp, starea electrostatică a unui sistem fizic (corpuri+câmp) se poate menţine fără aport de energie din exterior. Pentru o sarcină punctiformă expresia câmpului electric creat este :

3o

q rE (5.6)4 r

=πε

Să arătăm că şi în acest caz este verificată expresia teoremei (5.2): _ __

__ __

3 3o o o

3 3 4o o o

3o o o

q r d q r dr q 1E d d 04 4 4 rr r

q r q 1 q 3 rrotE r r 0 (5.7)4 4 4 rr r r

q r dr q 1 q 1dV Edr d V C4 4 r 4 rr

Γ Γ Γ

⎧⎛ ⎞⎪ = = = =⎜ ⎟⎪ πε πε πε ⎝ ⎠⎪

⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎛ ⎞⎪ = ∇× = ∇ × = × =⎨ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟πε πε πε⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎪ − ⎛ ⎞⎪ = − = = → = +⎜ ⎟⎪ πε πε πε⎝ ⎠⎪⎩

∫ ∫ ∫ ∫

Expresia locală rotE 0= pune în evidenţă faptul că liniile lui E sunt deschise, ele încep pe sarcini (+) şi se termină pe sarcini (–). Expresia (5.7) a potenţialului arată că dacă îl calculăm la distanţă mare de sarcina punctiformă ( ∞→r ) atunci constanta de integrare este ∞= VC .

La infinit depărtare de q câmpul E este nul şi admitem că şi ( )0C0V ==∞ şi în acest caz (sarcina punctiformă) expresia potenţialului este:

sdq ds= ρvdq dv= ρ

dq d= ρ

kqFig. 5.1

5. Regimul electrostatic şi magnetostatic 115

o

q V (5.8)4 r

=πε

Alegerea punctului unde 0V = se numeşte alegerea originii de potenţial faţă de care expresia (5.8) rămâne valabilă.

Dacă avem un sistem cu distribuţiile v s, , ρ ρ ρ şi sarcini punctiforme kq ca în figura 5.1, atunci câmpul rezultant în punctul P se scrie cu teorema superpoziţiei (vectoriale) a câmpurilor create de fiecare sarcină

în parte (fiecare element dq creează câmp de forma 5.6 : 3o

dq rdE 4 r

=πε

),

deci: _ _ _ _n

kv s k3 3 3 3o V S C k1

r r r q r1 E dv ds d (5.9)4 r r r r

⎡ ⎤ρ ρ ρ⎢ ⎥= + + +⎢ ⎥πε ⎢ ⎥⎣ ⎦

∑∫ ∫ ∫

Expresia (5.9) este expresia generală a câmpului electrostatic creat de toate distribuţiile de sarcină (numit şi câmp electric coulombian , expresia (5.6) se poate stabili pe baza forţei de tip coulombian ). Punctul P în care calculăm câmpul E nu poate fi în interiorul corpurilor încărcate, integralele din (5.9) nu ar mai fi convergente când r 0→ . Fiind integrale din funcţii vectoriale ele trebuie calculate pe componente.

Dacă pentru o sarcină punctiformă potenţialul electrostatic are expresia (5.8), atunci potenţialul punctului P din figura 5.1. se obţine tot printr-o superpoziţie (scalară) a potenţialelor create de fiecare sarcină în parte:

kn

v s

o kV S C 1

qd ds d1 V (5.10)4 r r r r

⎡ ⎤ρ ν ρ ρ⎢ ⎥= + + +⎢ ⎥πε⎣ ⎦

∑∫ ∫ ∫

Expresia (5.10) este valabilă în raport cu originea de potenţial la

infinit (deci nici unul dintre corpurile din fig. 5.1 nu este infinit extins pentru a se păstra convenţia V 0∞ = ). Nici pentru calculul lui V cu (5.10) punctul P nu poate fi decât punct exterior tuturor corpurilor încărcate pentru ca integralele din (5.10) să fie convergente. Toate integralele din (5.10) sunt din funcţii scalare, deci mai uşor de calculat ca (5.9), respectiv este mai indicat a se calcula prima dată V cu (5.10) şi apoi E grad V= − .


5.1.1 Proprietăţile potenţialului electric V

1. Alegerea originii de potenţial: Dacă se cunoaşte valoarea potenţialului într-un punct )V(P

oPo , atunci potenţialul într-un punct oarecare P va fi:

oo

P __ __P P

PV V E d (5.11)= − ∫

Potenţialul PV caracterizează câmpul pE în fiecare punct şi se poate determina cu aproximaţia unei constante

oPV .Dacă se adoptă PoV 0,=

atunci punctul oP este considerat referinţă (origine de potenţial).Alegerea originii de potenţial se face în diverse moduri:

– pentru sistem restrâns de corpuri încărcate, originea de potenţial se consideră punctul de la infinit, acolo 0E =∞ şi 0V =∞ – pentru sisteme practice în care se precizează poziţia corpurilor încărcate în raport cu pământul sau cu masa (carcasa aparatului) atunci originea de potenţial se consideră pământul (masa) – pentru probleme teoretice în care apar corpuri încărcate cu dimensiuni infinite (suprafeţe încărcate infinit extinse, fire foarte lungi, etc) punctul origine de potenţial se adoptă arbitrar şi expresiile calculate pentru V trebuie precizat în raport cu care origine de potenţial sunt adevărate.

2. Valenţele energetice ale potenţialului Pentru a deplasa o sarcină

q′ într-un câmp electrostatic E din punctul origine de potenţial

oo PP (V 0)= până într-un punct curent P din câmp, trebuie cheltuit un lucru mecanic:

o o

P P__ __ __ext P

P PL F d q E d q V (5.12)′ ′= = − =∫ ∫

Deci potenţialul punctului P ( PV ) este egal numeric cu lucrul mecanic ce ar trebui efectuat de câmp pentru a deplasa unitatea de sarcină ( C1q =′ ) din P în oP , sau este egal numeric cu lucrul mecanic ce ar trebui efectuat din exterior pentru a deplasa unitatea de sarcină din oP în P.

P0

P


Potenţialul nu este lucru mecanic, se măsoară în volţi nu în jouli, numai este egal numeric cu el. În fiecare punct din câmp potenţialul V are o valenţă energetică, el caracterizează energetic câmpul electrostatic din acel punct. Potenţialul V arată care este potenţa câmpului în acel punct, respectiv capacitatea câmpului de a efectua lucru mecanic.

3. Proprietăţile geometrice ale potenţialului V

Legătura punctuală dintre câmpul E şi potenţialul său V: __ __

dV E d (5.13)= − ne permite să interpretăm geometric această legătură:

• Suprafeţele echipotenţiale (V=constant, dV=0) înseamnă

E d 0= , respectiv __ __E d⊥ , liniile câmpului E sunt perpendiculare pe

suprafeţele echipotenţiale (în care este conţinut d ).Cunoscând liniile (suprafeţele) echipotenţiale ale unui sistem, se pot trasa liniile de câmp E ca fiind normale în orice punct cu suprafeţele echipotenţiale(figura 5.3). Punctele unui corp conductor au legătură galvanică între ele, deci se află la acelaşi potenţial. Rezultă că liniile câmpului electric întotdeauna ies şi intră perpendicular pe suprafeţele corpurilor conductoare încărcate cu sarcină.

• În lungul liniilor de câmp electric )dE(____

↑↑ avem: __ __

dV E d 0 (5.14)= − < Deci în lungul liniilor lui E potenţialul V scade sau reciproc, liniile lui E sunt orientate dinspre regiunea cu potenţial mai ridicat (mai pozitiv) spre cea cu potenţial mai scăzut (figura 5.4).

• Fie două suprafeţe echipotenţiale între care diferenţa de potenţial este de dV=const.

3423412112 EdVEdV Δ⋅==Δ⋅=

Fig 5.3Fig 5.4


Cum în figura 5.5 distanţa 213412 EE >⇒Δ<Δ

Câmpul electric este mare (intens) acolo unde suprafeţele echipotenţiale sunt mai apropiate. Dacă facem o analogie între spectrul unui câmp electrostatic (liniile câmpului E

corelate cu liniile echipotenţiale V=const.) şi o problemă de cartografie în care curbele de nivel (ce unesc punctele de aceeaşi altitudine) sunt echivalentul liniilor echipotenţiale (de acelaşi V), atunci corespondenţa ar fi: linii echipotenţiale ↔ curbe de nivel intensitatea câmpului electrostatic ↔ panta terenului Acolo unde curbele de nivel sunt apropiate, panta terenului este mare, acolo unde liniile echipotenţiale sunt apropiate, intensitatea câmpului electric este mare. 4. Ecuaţiile satisfăcute de funcţia V

Dacă gradVVE −=−∇= şi ερ

= vEdiv (relaţia 3.10) atunci :

( ) vdivE E V V V (5.15)ρ= ∇ = ∇ −∇ = −Δ → Δ = −

ε

respectiv potenţialul electrostatic V este soluţia unei ecuaţii cu derivate parţiale (5.15) de tip Poisson, pentru probleme interioare, respectiv în interiorul corpurilor încărcate cu sarcină. Pe domenii exterioare, în exteriorul corpurilor încărcate ( 0v =ρ ) rămâne:

(5.16) 0V =Δ care este o ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul doi, de tip Laplace. Soluţia ecuaţiilor (5.15) şi (5.16) este univocă dacă sunt precizate condiţiile la limită pe frontiera Σ a domeniului de câmp Σν . Aceste condiţii sunt de trei feluri: • condiţii de speţa întâi (de tip Dirichlet) când se cunoaşte potenţialul V pe frontiera domeniului: DV fΣ = . Dacă V 0Σ = , avem o condiţie Dirichlet omogenă sau V constΣ = , care presupune că frontiera Σ este o suprafaţă conductoare.

Fig 5.5


• condiţii de speţa a doua (de tip Neumann) când se cunoaşte componenta

normală a inducţiei electrice pe frontiera Σ: ( )n ND fΣ = sau NV 1 fn Σ

∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂ ε⎝ ⎠,

deci derivata după normala exterioară la Σ a potenţialului V, care este componenta

normală a câmpului electric : nVEn ∂∂

= . O condiţie Neumann omogenă

nD | 0Σ= precizează că fluxul electric prin frontiera Σ este nul.

• condiţii de frontieră mixte (de tip Robin) când se cunoaşte

potenţialul pe o parte DΣ din frontieră şi componenta nV∂∂ pe cealaltă parte

NΣ a frontierei ( )D NΣ ∪Σ = Σ .

Dacă mediul nu este omogen ( const≠ε ) atunci: ( )VED ∇−ε=ε= iar: ( )v v vdivD V V gradV grad (5.17)⎡ ⎤= ρ → ∇ ε −∇ = ρ → εΔ + ⋅ ε = −ρ⎣ ⎦ Ecuaţia (5.17) pe care o satisface funcţia V în medii neomogene este o ecuaţie specială de potenţial, căreia i se asociază aceleaşi trei genuri de condiţii la limită. Dacă ε =const (grad ε=0) ecuaţia (5.17) se reduce la (5.15) pentru probleme interioare sau la (5.16) pentru probleme exterioare.

Scrise în coordonate carteziene, respectiv cilindrice, ecuaţia (5.15) devine

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2'

v2 2 2

2 2''

v2 2 2

V V V 1 sau 0 5.15x y z

1 V 1 V V 1r sau 0 5.15r r r r z

∂ ∂ ∂ −+ + = ρ

ε∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ −⎛ ⎞ + + = ρ⎜ ⎟∂ ∂ ε⎝ ⎠ ∂ϕ ∂

Funcţia V soluţie a ecuaţiilor precedente este o funcţie continuă în orice punct din spaţiu, chiar şi pentru o discontinuitate Vstânga= Vdreapta. Dacă V ar prezenta discontinuităţi (salturi), în acel punct VE −∇= ar deveni infinit; cum câmpuri electrice infinite nu există, nici potenţiale electrice discontinui nu pot exista.

Potenţialul şi câmpul unui dipol electric Două sarcini +q aflate

la distanţa şi pentru care constqpd == este momentul

dipolului, formează un dipol electric. Potenţialul punctului P din figura 5.6 este:

2 1r r cos− ≈ θFig 5.6

θ


2 1p 1 2

o 1 2 o 1 2

r rq 1 1 qV V V ( ) (5.18)4 r r 4 r r

−= + = − =

πε πε

Dacă ţinem seama că 2 11 r r cosr<< → − = θ şi 2

21 rrr =

p 2 3oo

q cos 1 p rV (5.19)44 r r

θ= =

πεπε

Se observă că planul median 2π⎛ ⎞θ =⎜ ⎟

⎝ ⎠ este un plan echipotenţial

având V 0= şi de asemenea punctele foarte îndepărtate ( r →∞ ) sunt tot de potenţial nul. Intensitatea câmpului electric în punctul P este:

Înlocuind în (5.20)

Se obţine expresia câmpului E

5 3o

1 (p r) r pE 3 (5.21)4 r r

⎡ ⎤= −⎢ ⎥πε ⎣ ⎦

Spre deosebire de câmpul unei sarcini punctiforme care scade cu 2r , câmpul unui dipol scade cu 3r , este foarte intens lângă dipol şi nu mai are o simetrie sferică, valoarea sa nu depinde numai de r ci şi de direcţia razei vectoare r . Liniile de câmp electric şi liniile echipotenţiale ale unui dipol electric au geometria din figura 5.7.

5.2 Capacităţi electrice

Un sistem format din două corpuri conductoare omogene, încărcate cu sarcini electrice egale şi de semn contrar ( 1 2q q q= − = ) şi separate printr-un dielectric omogen sau neomogen, dar pasiv (neîncărcat cu sarcină

0v =ρ şi nepolarizat permanent 0Pp = ) formează un condensator electric. Capacitatea electrică a condensatorului este mărimea pozitivă

definită ca raportul dintre sarcina unuia dintre conductoare (numit armătură) şi tensiunea dintre armături:

3o

1 p rE gradV grad( ) (5.20)4 r

= − = −πε

x y z

3 4 5

(p r) i p j p k p p

1 3 r 3 r( ) r r r r

⎧∇ = + + =⎪⎨ − −∇ = =⎪⎩

Fig 5.7

p


1 1 2

1 2 12 21

q q q q CC F (5.22)V V U U U V

⎡ ⎤= = = = =⎢ ⎥− ⎣ ⎦

Practic, cele două conductoare formează un condensator, dacă aplicând o tensiune între armături, ele creează un câmp electric complet

(toate liniile de câmp ce pleacă de pe o armătură ajung pe cealaltă).

Alegem o suprafaţă închisă Σ (figura 5.8) ce trece prin cele două armături (unde 0ED =ε= ) şi se închide în exterior astfel încât să nu intersecteze liniile de câmp. Atunci:

Deci dacă 21 qq −= condensatorul creează un câmp electric complet. Capacitatea unui condensator (5.22) este o mărime pozitivă definită ca raportul dintre q şi U dar nu depinde nici de q nici de U (dacă dielectricul este liniar (E)ε ≠ ε ) ci depinde de:

- geometria condensatorului (forma şi dimensiunea armăturilor,distanţa dintre ele, nu contează materialul şi nici grosimea lor)

- proprietăţile electrice ale dielectricului ( rε ). Calculul capacităţii se poate face prin algoritmii prezentaţi în schema din figura 5.8’.

1 2 1 2q 0 q q q 0 q q (5.23) Σ Σ ΣΨ = = → = + = → = −uFig 5.8

Fig.5.8’


1. Condensatoul plan Dacă distanţa între armături este mică şi neglijăm efectul de margine

atunci câmpul electric este uniform. Pentru o suprafaţă închisă Σ având aria cuprinsă în câmp ΔS, aplicăm legea fluxului electric:

( )ss

q q D qD E 5.24S A A

ρΔ= = ρ = → = = =Δ ε ε ε

Mergând pe algoritmul din dreapta al fig. 5.8’ calculăm succesiv:

2 __ __

1

qd q AU E d Ed C (5.25)A U d

ε= = = → = =

ε∫

Expresia (5.25) rămâne valabilă şi pentru condensatoare cu armături curbe, dacă distanţa dintre armături este mică faţă de raza de curbură a armăturilor. Dacă condensatorul plan are dielectricul format din mai multe straturi (figura 5.10), la trecerea prin suprafeţele de discontinuitate dintre straturi se conservă nD :

( )1 2 nn n n 1 2 nqD D .... D D D ... D 5.26A

= = = → = = = =

iar intensităţile câmpului sunt:

( )1 n1 n

1 1 n n

D Dq qE ; ........ E 5.27A A

= = = =ε ε ε ε

__ __D ds Dds D S qΣ

Σ Σψ = = = ⋅Δ = Δ∫ ∫

SΔ

A

q

( )ε

Fig 5.9

Σ

Fig 5.10


Σ

Fig 5.11

Tensiunea dintre armături are expresia: n 2 3 n__ __ __ __ __ __ __ __

1 2 n1 1 2 n 1

n1 2 k

1 2 k1

U E d E d E d ... E d

d d dq q ... (5.28)A A

−= = + + + =

⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟ε ε ε⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫∑

nk

k1

q AC (5.29)U d

= =

ε∑

Expresia (5.29) a capacităţii pune în evidenţă faptul că acest condensator (fig. 5.10) poate fi privit şi ca un ansamblu de n condensatoare legate în serie. 2. Condensatorul cilindric

Armăturile sunt doi cilindrii coaxiali (figura 5.11) de lungime şi raze r1 şi r2 , dielectricul are permitivitate ε . Aplicăm legea fluxului electric pentru suprafaţa cilindrică Σ având r є (r1,r2):

lat

__ __D ds D ds D 2 r q (5.30)

ΣΣ Σ

ψ = = = ⋅ π =∫ ∫

2

1

2 r__ __2

11 r

q D q D E 2 r 2 r 2 r

rq dr q U E d ln (5.31)2 r 2 r

ρ= = → = = →

π π ε πε

→ = = =πε πε∫ ∫

Capacitatea condensatorului cilindric va avea expresia:

( )2

1

q 2C 5.32rA lnr

πε= =


3. Condensatorul sferic

Armăturile sunt două sfere concentrice cu razele 1r şi 2r iar suprafaţa Σ este o sferă intermediară:

Capacitatea condensatorului sferic are expresia :

( )1 2

2 1

r rqC 4 5.34u r r

= = πε−

Capacitatea unei sfere de rază 1r izolată (capacitatea este formată în raport cu infinitul)se obţine din expresia (5.34) dacă 2r →∞ :

Csferă 1r4πε= (5.35) Dacă L este lungimea unei linii de câmp electric dintre cele două

armături iar A este aria unei suprafeţe echipotenţiale între armături, atunci

elastanţa C1S = a condensatorului se poate evalua succesiv sub forma:

__ __2 2 2

__ __1 1 1

A

u E d E d dS (5.36)q EA A

D ds= = = =

ε ε∫ ∫ ∫∫

Capacitatea va avea o expresie reciprocă cu (5.36), de forma:

(5.36) dACA∫ε

=

Expresiile (5.35) şi (5.36) permit să extindem metoda tuburilor şi feliilor (3.86, 3.88) la calculul capacităţilor şi elastanţelor.

Dacă regiunea dintre armături o împărţim în tuburi de flux electric elementare cu secţiunea ds, luate în lungul liniilor de câmp E , atunci capacitatea unui tub este:

tubtub A

dA dAdC C dC (5.37)ε ε= → = =∫ ∫

Fig 5.12

( )ε Σ

__ __2

22 1

2 1 21

D ds D ds D 4 r q

r rq D q D E= u Edl = (5.33)4 r r4 r

ΣΣ Σ

ψ = = = ⋅ π = →

−→ = → → =

ε πεπ

∫ ∫

∫


O felie din dielectric de grosime d luată ⊥ pe linia de câmp E va avea elastanţa:

2 2

felie1 1

d ddS S dS (5.38)A A

= → = =ε ε∫ ∫

Dacă funcţia „ ” din (5.37) sau A din (5.38) sunt greu de evaluat pentru un dispozitiv cu geometrie neregulată, atunci tuburile şi feliile nu se vor lua infinitezimale, tuburile vor avea secţiunile kAΔ şi lungimile k iar feliile vor avea grosimile kΔ şi secţiunile kA , respectiv:

( )n n

k k k

k k kk 1 k 1

A1S ; C 5.39C A

= =

Δ ε Δ= = =

ε∑ ∑

Aplicaţii:

1. Două bare conductoare de lungime şi secţiune pătratică cu latura ,,a’’ sunt plasate ca în figura 5.13 şi alimentate cu tensiunea continuă U. Să se determine:

a) expresia câmpului electric creat E

b) expresia densităţii de sarcină sρ pe suprafaţa barei

c) capacitatea formată de cele două bare

a) Aproximăm liniile de câmp electric prin segmente de dreaptă de lungime „d” între planele de bază formate într-o secţiune ⊥ pe bare

şi prin arce de cerc cu raze x (x є (0,a)). Tensiunea între cele două bare este U indiferent în lungul cărei linii de câmp electric este calculată:

2 2__ __

1 1

UU E d E d E d x E (5.40)2 d x

2

π⎛ ⎞= = = + → =⎜ ⎟ π⎝ ⎠ +∫ ∫

Fig. 5.13


Cel mai intens câmp electric se obţine pentru 0x = (de fapt acolo unde este cea mai scurtă linie de câmp) . b) Densitatea sarcinii pe suprafaţa barelor se obţine pe baza relaţiei (3.15) ca fiind:

( )os o

UD E 5.41d x

2

ερ = = ε =

π+

deci maximă acolo unde şi câmpul electric este maxim (x=0).

c) Capacitatea dispozitivului o putem calcula „clasic” : a

o os

0

o

U U aq ds ( dx) 2 ln 1 2dd x

2q a C 2 ln 1 (5.42)U 2d

ε ε π⎛ ⎞= ρ = = + →⎜ ⎟π π ⎝ ⎠+

ε π⎛ ⎞→ = = +⎜ ⎟π ⎝ ⎠

∫ ∫

sau, considerăm un tub de flux cu secţiunea dxds = luat în lungimea liniilor de câmp. Capacitatea tubului este :

( ) aoo o o

tub 0

dxds dx adC C 2 ln 1 (5.43)2dd x d x

2 2

εε ε ε π⎛ ⎞= = → = = +⎜ ⎟π π π ⎝ ⎠+ +∫ Capacitatea totală este formată din două capacităţi de forma (5.43) şi formate între feţele de sus şi de jos ale dispozitivului din figura 5.13.

( )ot

4 aC 2C ln 1 5.442d

ε π⎛ ⎞= = +⎜ ⎟π ⎝ ⎠

2. Un izolator cilindric este realizat din mai multe straturi concentrice separate prin foiţe conductoare. Să se determine în ce condiţii straturile de izolaţie vor fi uniform solicitate (acelaşi câmp E ), indiferent de poziţia (raza) lor. Pentru un condensator cilindric capaciatea are expresia (5.32) iar repartiţia câmpului electric între armături este:

Fig 5.14

Fig 5.15

E2


Câmpul are valoare maximă lângă armătura interioară ( 1rr = ) şi minimă lângă cea exterioară ( 2rr = ) ca în figura 5.15.

Pentru un condensator cilindric cu mai multe straturi se poate realiza solicitarea uniformă a acestor starturi (între aceleaşi limite minmax EE − ) indiferent de poziţia straturilor (figura 5.16). a) dacă toate straturile au aceeaşi lungime

constk == atunci:

kk k k

qE const (5.46)2 r

= =πε

şi vom avea solicitare uniformă

dacă k kr constε = , deci straturile de lângă armătura interioară ( kr mic= ) să aibă calităţi

izolatoare mari ( k mareε = ) astfel ca k kr constε = .

b) dacă însă toate straturile sunt realizate din acelaşi material

k constε = ε = şi sunt la fel de groase kr const rΔ = = Δ , atunci

pentru a realiza condiţia kE const= în fiecare strat (conform 5.46) trebuie

ca: k kr const= , respectiv , kk

const (5.47)r

=

deci lungimea straturilor trebuie să aibă o variaţie hiperbolică cu raza acestora ca în figura 5.17.

1ε 2ε 3ε

Fig 5.16

rΔ

Fig 5.17

k

2 2

1 1

2 q U 1q CU U E (5.45)r r2 r rln lnr r

πε= = → = = ⋅

πε


3. Pentru o reţea oarecare de capacităţi aflate într-o anumită conexiune (figura 5.18) sarcina acumulată într-un nod este nulă ( nodq 0= ) iar teorema

potenţialului electrostatic aplicată pe o curbă închisă Γ va fi:

kk ochi

e u±Γ

ε

= ∑

În nodul (a)se scrie: 2 3 4q q q 0 (5.48)− + + =

Pe ochiulΓ avem:

1 2 3 5 6 1U U U U U e (5.49)+ + + + = Relaţii de forma (5.48) se scriu în

(n–1) noduri iar de forma (5.49) pe o n 1= − + ochiuri independente. Condensatoarele în serie se încarcă cu aceeaşi sarcină ( 1 2 5 6q q , q q= = ) iar cele în paralel cu aceeaşi tensiune între armături ( 43 UU = ). 5.3 Relaţiile lui Maxwell privitoare la capacităţi

Relaţiile lui Maxwell privitoare la capacităţi (sau Mehrleitersysteme

= sisteme cu mai multe conductoare) exprimă relaţiile ce există între sarcinile corpurilor conductoare şi potenţialele acestora (când avem un sistem de n corpuri conductoare încărcate şi aflate „în prezenţă” , respectiv se influenţează reciproc) prin intermediul unor mărimi ce depind de geometria sistemului de corpuri şi de proprietăţile electrice (ε) ale mediului dielectric ce le separă.

Cu aceste relaţii se pot determina sarcinile şi potenţialele corpurilor din sistem fără a fi necesară cunoaşterea câmpului electric ce se stabileşte între corpuri. Dacă pentru un condensator avem: )VV(Cq 211 −= ;

)VV(Cq 122 −= , atunci pentru un sistem de n corpuri putem scrie :

( )1 11 1 12 2 1n n

2 21 1 22 2 2n n

n n1 1 n2 2 nn n

V q q .......... qV q q .......... q 5.50.........................................................V q q .......... q

= α + α + +α⎧⎪ = α + α + +α⎪⎨⎪⎪ = α + α + +α⎩

Termenul ( 11 1qα ) arată contribuţia propriei sarcini la potenţialul V1 şi acest

6. Regimul magnetic staţionar Câmpul magnetic staţionar este câmpul creat de magneţi permanenţi imobili şi de conductoare parcurse de curent continuu (sau de joasă frecvenţă) aflate în repaus. Studiul câmpului magnetic creat de curenţii electrici constituie partea din teoria câmpului numită electromagnetism.

Ecuaţiile câmpului magnetic staţionar (cvasistaţionar) derivă din expresiile legilor generale în care impunem restricţiile acestui regim:

medii imobile v 0= ; mărimi invariabile în timp 0t∂=

∂

( ρD B0, 0, 0t t t

∂∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂v ) sau în regim cvasistaţionar

t∂<<

∂ : ( D

t∂

<<∂

).

• legea legăturii în câmp magnetic: oB μ (H M)= +

• legea magnetizaţiei temporare: t mM χ H=

• legea fluxului magnetic:

B ds 0; divB 0 B rotAΣΣ

Φ = = = ↔ =∫

• legea circuitului magnetic: S

H d θ ; rot H JΓ

Γ

= =∫

Câmpul magnetic staţionar se studiază indirect, se determină potenţialul său magnetic vector A (etalonat cu o condiţie de etalonare de tip Coulomb: divA 0= ) şi în final se revine la câmpul fizic: B rotA= .

6.1 Potenţialul magnetic vector A şi ecuaţiile pe care le satisface

Din legea fluxului magnetic rezultă că rotA B= iar din condiţia de

etalonare a potenţialului A rezultă că: divA 0= , deci A este univoc determinat, fiind precizate atât rotorul cât şi divergenţa potenţialului magnetic vector A .

În medii neomogene ( )μ μ(r)= dar fără magnetizaţie permanentă

pM 0= , putem scrie: rotH rot( B) Jν= = ;

0rot(rotA) grad(divA ) ΔA

== −

rot( rotA) rot(rotA) grad rotA Jν ν ν= + × =

(6.2)

(6.1)

(6.3)

(6.4)


Deci: 1A ( ×rotA) μJνν

Δ − ∇ = −

Ecuaţia (6.5) este o ecuaţie cvasipoisson vectorială având asociate condiţiile de unicitate corespunzătoare:

− condiţii de material: în orice punct din domeniu se cunoaşte μ(r) sau v(r).

− condiţii la limită pe frontiera Σ a domeniului de câmp Συ : componenta tangenţială a intensităţii câmpului magnetic

ΣtH şi a

potenţialului tAΣ

.

− ecuaţii de trecere în jurul discontinuităţilor: 1 2(A) (A)= . − condiţii de surse: distribuţia curentului de conducţie J în Συ şi a

mărimilor pM , sJ pe suprafeţele de discontinuitate S12. În subdomenii de omogenitate ( ct grad 0v v= → = ) ecuaţia (6.5)

devine: A μJΔ = −

care este o ecuaţie Poisson vectorială a cărei soluţie este potenţialul __A din

domenii interioare distribuţiilor de curent __J .

Pentru domenii din exteriorul conductoarelor parcurse de curent ( J 0= ) rămâne:

A 0Δ = care este o ecuaţie Laplace vectorială. Condiţiile la limită asociate ecuaţiilor (6.6) şi (6.7) pot fi:

− condiţii Dirichlet: componenta tangenţială a lui A: Σ DtA f=

( sau 0 ); pentru zero este o condiţie la limită omogenă.

− condiţii Neumann: Σ

NA μfn

∂=

∂ (sau 0).

Ecuaţia Poisson vectorială (6.6) dacă o raportăm la un sistem cartezian de axe se poate descompune în trei ecuaţii Poisson scalare:

x xA μJΔ = − ; y yA μJΔ = − ; z zA μJΔ = − Dacă avem un câmp magnetic staţionar în domeniu plan (xOy),

atunci ecuaţiile liniilor de câmp B sunt aceleaşi cu ecuaţiile A(x,y)=ct. Soluţiile celor trei ecuaţii (6.8) pentru întregul spaţiu ∞υ se

determină din problema interioară prin extinderea la infinit a suprafeţei Σ, sursele câmpului magnetic sunt numai curenţii electrici de conducţie, iar

(6.5)

(6.6)

(6.7)

(6.8)

6. Regimul magnetic staţionar 155

densităţile au astfel de variaţii în spaţiu încât asigură convergenţa integralelor de volum:

____ __

yx zx y z

J ( r ')J ( r ') J ( r ')μ μ μA = d '; A = d '; A = d '4π R 4π R 4π R∞ ∞ ∞υ υ υ

υ υ υ∫ ∫ ∫

Expresii care pot fi reunite sub forma:

μ J(r ')A d '4π R∞υ

= υ∫

care reprezintă soluţia ecuaţiei Poisson (6.6) vectoriale. Integrala din (6.10) se poate restrânge doar la volumul conductorului parcurs de curent unde de fapt J≠0.

Dacă conductorul parcurs de curent este filiform ( J A d ' ; d ' Ad 'υ = ; J d ' JAd ' i d 'υ = = ) cu notaţiile din figura 6.1, atunci expresia potenţialului A creat de curentul i concentrat în axa Γ a firului parcurs de curentul i devine de forma:

μi d 'A4π RΓ

= ∫

Dacă firul este de dimensiuni infinite, în (6.10) nu se mai poate admite că la ∞ potenţialul şi câmpul sunt nule ( A 0= ) iar integrala din (6.10) devine improprie. În general, când sursele câmpului sunt nu numai distribuţii de volum ale curenţilor ( J ) ci şi pânze de curent ( sJ ) sau fire subţiri parcurse de curenţii ik , soluţia pentru potenţialul magnetic vector este de forma generală:

kk=1

ns

k S Γ

μ J J d 'A d ' ds ' i4π R R R∞υ

⎡ ⎤⎢ ⎥= υ + +⎢ ⎥⎣ ⎦

∑∫ ∫ ∫

Cunoscând expresia lui A pentru un conductor filiform plasat în mediu omogen (μ=ct), putem determina expresia inducţiei magnetice B :

μi d 'B rotA rot4π RΓ

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥

⎣ ⎦∫

3 3

d ' d ' 1 R d ' Rrot d ' d 'R R R R R

×⎛ ⎞= ∇× = ∇ × = − × =⎜ ⎟⎝ ⎠

fir 3

μi d ' RB4π RΓ

×= ∫

(6.11)

(6.12)

(6.13)

(6.14)

Fig 6.1

(6.9)

(6.10)d '


Expresia (6.14) este cunoscută şi sub numele de teorema lui Biot-Savart-Laplace. Dacă conductorul parcurs de curent nu este filiform, soluţia (6.14) rămâne de forma:

3cond

μ J(r ') RB d '4π Rυ

υ×= ∫

Observaţie: În medii omogene (μ=ct) şi fără densitate de curent ( J 0= ), respectiv studiem

câmpul magnetic din exteriorul conductoarelor parcurse de curenţi, ecuaţia satisfăcută de A este o ecuaţie Laplace de forma (6.7). Tot în acest caz se poate scrie:

H HH

rot H J 0 H V gradVV 0

div B div(μH) 0 divH 0

⎫= = → = −∇ = − ⎪⇒ Δ =⎬= = → = ⎪⎭

unde VH este potenţialul magnetic scalar al câmpului H . În astfel de probleme sau se integrează ecuaţia vectorială (6.7) sau cea scalară (6.16), fiecare în condiţii la limită date. În final, fie B=rotA , fie HH gradV= − . Aplicaţii:

1) Să se determine potenţialul vector A creat de un conductor rectiliniu parcurs de curentul i, respectiv de către două conductoare paralele parcurse de curentul i în sensuri opuse. Potenţialul vector A de forma (6.14) sau (6.15) nu are decât componenta Ay:

2 2

yμiA ln( x +y ) ln x2π

⎡ ⎤= + −⎣ ⎦

Dacă conductorul are lungime mare ( >> x), atunci expresia (6.18) devine:

yμi μi 2A (ln 2 ln x) ln2π 2π x

≅ − =

Pentru două fire paralele parcurse de curentul i ca în figura 6.3 vom avea:

2y

1 2 1

rμi 2 2 μiA ln ln ln2π r r 2π r

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

unde:

(6.15)

(6.16)

(6.17)

(6.18)

(6.19)

(6.20)

Fig 6.3

Fig 6.2

y 2 2 0cond

μ J μ i 2μi dyA d A dy4π r 4π r 4π x +yυ

υ−

= → = =∫ ∫ ∫-


22

1

12

1

12

1

dr x z2

dxr 2x rr zz r

⎧ ⎛ ⎞⎪ = + +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪ +∂⎨ =⎪∂⎪⎪∂

=⎪∂⎩

;

22

2

222

222

dr x z2

dxr 2x rr zz r

⎧ ⎛ ⎞⎪ = − +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪ −∂⎨ =⎪ ∂⎪⎪∂

=⎪ ∂⎩

;

Componentele inducţiei magnetice într-un punct curent P(x,z) ca în figura 6.3 sunt:

( )

( )

yx x 12 2

1 2

yy y 22 2

1 2

x y

A μi z zB rot A f x,zz 2π r r

d dx xA μi 2 2B rot A f x,zx 2π r r

B B i B j

⎧ ∂ ⎛ ⎞= = = − − =⎪ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎪

⎪ ⎡ ⎤⎪ + −∂ ⎢ ⎥⎨ = = = − =⎢ ⎥⎪ ∂ ⎢ ⎥⎪⎣ ⎦⎪

⎪ = +⎩

2) Să se determine expresia potenţialului A creat de un conductor

tubular cu raza interioară a şi exterioară b, parcurs uniform de curentul i. Conductorul orientat în lungul axei Oz va avea densitatea de curent:

z 2 2

iJπ(b - a )

= , iar potenţialul zA=A k are doar componenta Az soluţie a

ecuaţiei Poisson: z o zA μ JΔ = − , care în coordonate cilindrice devine:

zz

dA1 dA rr dr dr

⎛ ⎞Δ = →⎜ ⎟⎝ ⎠

211 2

zo z z o z

dA C1 1μ J r A μ J r C ln r Cdr 2 r 4

− −→ = + → = + +

Admitem că Az=0 pentru r=a şi în acest caz:

( )2 2 22 1 1o z z o z

1 1 rC μ J a C ln a A μ J r a C ln4 4 a

= − − → = − +

Din compunerea celor două expresii pentru potenţialul A şi câmpul B , rezultă:

(6.21)

(6.22)

(6.23)


( )( )

z 1

2 21

2 2

o z

o zo o z

dA C1B A u μ J r u1dr 2 r C μ J 2r a2μ i μ JB u π r a u

2πr 2πr

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

⎫⎛ ⎞= ∇× = − = − +⎜ ⎟ ⎪⎪⎝ ⎠ ⇒ = −⎬⎪= = − ⎪⎭

Expresia finală a potenţialului magnetic vector va fi de forma:

( )2 2 2 21z o z o z o z

1 1 r 1A μ J r μ J 2r a ln μ J a C ln a4 2 a 4

= + − − −

6.2 Potenţialul magnetic A şi câmpul B creat de fire rectilinii parcurse de curent

Considerăm un fir rectiliniu lung dirijat după axa Oz parcurs de curentul i. Faţă de un sistem cilindric de coordonate (figura 6.4) vectorul A este paralel cu J , respectiv cu firul, va avea doar componenta z zzA A u Au= = . Liniile câmpului B fiind ⊥ pe A vor fi cercuri conţinute în planul xOy (câmp plan-paralel).

1 1 21 A AA 0 r 0 r C A C ln r Cr r r r∂ ∂ ∂⎛ ⎞Δ = → = → = → = +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

( ) 1 1z

1

z z ro

o

C CB rotA Au u A u u u μ ir r Cμ i 2πB u2πr

ϕ

ϕ

⎧ = = ∇× = − ×∇ = − × = −⎪⎪ ⇒ = −⎨⎪ =⎪⎩

Considerăm originea de potenţial arbitrară: A=0 pentru or=r →

2o

oμ iC ln r2π

= , respectiv:

o oμ i rA k ln2π r

=

Se observă că liniile de câmp sunt cercuri având r=ct, ceea ce implică A=cst, ecuaţia liniilor de câmp B corespunde ecuaţiei A(r) ct= .

(6.24)

(6.25)

Fig 6.4


Observaţie: Expresia 6.25 pentru potenţialul A creat de un fir parcurs de curentul i este

asemănătoare cu cea a potenţialului electric V creat de acelaşi fir încărcat cu ρ (originea

de potenţial V este la distanţa or de fir):

o

o

rρV= ln

2πε r

Asemănarea celor două soluţii provine din faptul că cele două potenţiale satisfac ecuaţii Poisson asemănătoare şi au aceeaşi geometrie:

oA μ JΔ = − ; vρVε

Δ =

Pentru o linie bifilară potenţialul A are expresia: 2

1

oμ i rA k ln2π r

=

Locul geometric al punctelor 2

1

rA cst ln cstr

= ↔ = , respeciv o

familie de cercuri de tip Appolonius, care vor fi liniile câmpului magnetic B creat de cele două fire ale liniei. Pentru un conductor cilindric de rază a, parcurs de curentul i, soluţia este de forma (6.22) valabilă atât în interiorul cât şi în exteriorul conductorului.

( ) 2i 1 2

1 2

o

e

1pt. interior: r 0,a ; J 0 A μ Jr C ln r C4

pt. exterior: r a; J 0 A C ln r C

⎧ ∈ ≠ → = − + +⎪⎨⎪ ′ ′> = → = +⎩

În centrul conductorului ( r 0= ) potenţialul Ai este finit, deci C1=0 şi cum în centrul conductorului iB 0= admitem că şi iA 0= ; deci pentru

2r 0 C 0= → = , respectiv în interior:

2 ii i i io o

dA1 1A μ Jr B μ Jr ; B B u4 dr 2

ϕ= − → = − = =

Deci pentru un conductor de rază a, originea lui A este pe axă, spre deosebire de firul fără grosime la care originea se alege arbitrar la or=r sau

or 1= m. Pe domeniul exterior se poate scrie:

1ee edA CB rot A u udr r

ϕ ϕϕ

′= = − = −

(6.26)

(6.27)

(6.28)

(6.29)

(6.30)


Din continuitatea potenţialului şi câmpului pe suprafaţa de separaţie (r=a) se deduc constantele de integrare ( A , la fel ca V, trebuie să fie funcţie continuă, altfel B rotA= va fi infinit în punctele sale de discontinuitate).

( ) ( ) 2i 1 22

oe or=ar=a

μ i1 iA A μ a C ln a C4 πa 4π

⎛ ⎞ ′ ′= ↔ − = + = −⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( ) 1i

oe r=ar=a

μ i CB B2πa a

′= ↔ = −

1 2o o o

eμ i μ i μ i1 a 1C ; C ln a A ln2π 2π 2 2π r 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′= − = − → = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

iar dacă conductorul are oμ μ≠ atunci:

e oi a μA μ ln

2π r 2⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

Dacă în (6.25) admitem că or 1 m= , atunci: μi 1A ln2π r

=

iar ca vector potenţialul A este paralel cu firul (figura 6.6).

6.3. Metoda imaginilor magnetice

Presupunem o spiră Γ parcursă de curentul i situată într-un mediu

heterogen format din două subdomenii de permeabilităţi μ1 şi μ2 separate prin planul xOy ca în figura 6.7.

Problema „neomogenă” o descompunem în două subprobleme

omogene. Presupunem mediul cu μ1 infinit extins în care alături de spira Γ parcursă de i va mai acţiona spira ′Γ (imaginea lui Γ în raport cu planul

( )6.31

(6.32)

(6.33)

Fig 6.6

Fig 6.7


xOy) care va produce în semispaţiul superior (z>0) un potenţial iA′ asemănător cum Γ produce iA în semispaţiul inferior (z<0).

( ) ( )i iiA x,y,z A x,y,-zi′

′ =

Notăm i ai′= şi 1 i iA A A′= + potenţialul magnetic în prima

subproblemă unde acţionează i şi i′ şi ale cărui componente sunt: ( )( )( )

1x ix ix ix

1y iy iy iy

1z iz iz iz

A A aA 1 a A

A A aA 1 a A

A A aA 1 a A

⎧ = + = +⎪⎪ = + = +⎨⎪ = − = −⎪⎩

În a doua subproblemă din figura 6.7 am extins peste tot mediul cu μ2 iar prin curba Γ trece curentul imagine i′′ . Prin analogie cu cazul precedent, potenţialul magnetic vector creat de i′′ în semispaţiul inferior (z<0), este de forma:

2 22 i i

1 1

μ μiA A b Aμ i μ

′′= =

Valorile lui a şi b se determină din condiţiile de continuitate pe suprafaţa S12 (z=0):

1 2

1 2

1z 2z

1x 2x1x 2x

1 2

1y 2y1y 2y

1 2

n n

t t

B B B B

B BH Hμ μ

H HB B

H Hμ μ

= → =⎧⎪

⎧⎪ = ↔ =⎪ ⎪⎨ ⎪= → ⎨⎪⎪⎪ = ↔ =⎪⎪ ⎩⎩

Dar cum B rotA= rezultă: y yz x z x

x y z

A AA A A AB ; B ; By z z x x y

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= − = − = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Atunci din prima condiţie (6.37) rezultă:

( ) iy iyix 2 ix 2

1 1

A AA μ A μ1 a b 1 a bx y μ x y μ

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂+ − = − → + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

iar din ultimele două ecuaţii (6.37) rezultă: 1 a b− = , respectiv: 2 1 1

2 1 2 1

μ μ 2μa ; bμ μ μ μ

−= =

+ +

(6.34)

(6.35)

(6.36)

(6.37)

(6.38)

(6.39)


Cunoscând a şi b, se pot determina curenţii imagine: i ai′ = ; i bi′′ = . Un caz particular este atunci când S12 separă un mediu feromagnetic nesaturat ( 2 Feμ μ= ≈ ∞ ) faţă de aer (vid) cu 1 oμ μ= iar spira Γ este un fir paralel cu suprafaţa feromagnetului. În acest caz: a 1= ; b 0= , respectiv i i′ = (cei doi curenţi au aceeaşi valoare şi sens) iar i 0′′ = .

În prima subproblemă din figura 6.8 cei doi curenţi identici i aşezaţi în mediu omogen cu oμ creează potenţialul vector:

2o o

11 2 1 2

μ i μ ih h hA k ln ln k ln2π r r 2π r r

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

dacă am considerat originea de potenţial în punctul Po din figura 6.8. În a doua subproblemă presupunem că 2μ >> (dar mediul este liniar):

( )2

22 2 2 2 2 2 2 2 2

2 0J 0

divB 0V 0rotB rot μ H μ rotH μ H 0 B V

==

⎫=⎪⇒ Δ =⎬= = +∇ × = → = −∇⎪⎭

în mediul cu 2μ câmpul 2B este Laplacian, liniile sale sunt cercuri cu centrul în Po, ele sunt ⊥ pe suprafaţa S12 care este o suprafaţă echipotenţială. Suprapunând câmpul din cele două subprobleme rezultă câmpul aşa cum este desenat în problema iniţială din figura 6.8. Dacă interesează doar câmpul H , atunci în mediul cu 2μ >>

2H 0→ ≈ şi nu există decât prima subproblemă respectiv 1H H= ca în figura 6.9.

(6.40)

(6.41)

Fig 6.8


Fig 6.10

6.4 Circuite magnetice

Un circuit magnetic este un ansamblu de piese feromagnetice (cu

rμ >> ), eventual separate prin porţiuni de aer, care servesc la închiderea liniilor de flux magnetic. Liniile lui B sunt conduse prin corpuri feromagnetice (tangente la faţa interioară a corpului) la fel cum trec liniile lui J prin piese conductoare.

Pentru circuitul magnetic din figura 6.10 se definesc noţiunile: 1. coloană – partea din circuitul

magnetic pe care este aşezată bobina cu N spire.

2. jug magnetic – partea de circuit magnetic nebobinată, care serveşte numai pentru a uşura închiderea liniilor de flux magnetic.

3. armătură – o parte din jugul magnetic care se poate mişca.

4. întrefieruri – porţiuni cu aer care separă porţiuni cu fier. 5. poli – feţele miezului care mărginesc întrefierul: pol nord (N) acolo unde

liniile de câmp ies din miez în aer şi pol sud (S) acolo unde liniile intră în miez.

6. linia mijlocie de flux – fluxul magnetic creat de bobina cu N spire parcurse de curentul i are două componente: u dΦ Φ Φ= + ; fluxul util uΦ se închide de-alungul întregului circuit magnetic şi dacă miezul este filiform, el este uniform repartizat pe secţiunea miezului şi-l putem considera concentrat în linia mijlocie de flux (axa geometrică a miezului). Cealaltă componentă dΦ - fluxul magnetic de dispersie se închide doar în jurul bobinei şi nu se ia în considerare la studiul circuitelor magnetice.

Fig 6.9


În figura 6.11 este reprezentat un tub de flux magnetic dintr-un circuit magnetic de permeabilitate μ , parcurs de fluxul fascicular fΦ uniform repartizat pe secţiunea A şi concentrat în axa tubului (curba C) respectiv: H B d . Tensiunea magnetică între capetele 1 şi 2 ale tubului este:

2 2 2 2 2

fm f m f

1(C) 1 1 1 1

ΦB dU H d Hd d d Φ R Φμ μA μA

= = = = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Mărimea12

2

1m

dRμA

= ∫ este reluctanţa (rezistenţa magnetică) a

tubului de flux iar dacă materialul este liniar, (6.42) se scrie sub forma: m m fU R Φ=

numită legea lui Ohm pentru o porţiune de circuit magnetic, analoagă cu forma u Ri= din circuitele electrice. Dacă miezul este omogen (μ cst= ), de secţiune constantă ( A ct= ) şi de lungime atunci reluctanţa este:

[ ] [ ][ ]

2m 1

m m 1 f

Ud 1 AspR d ; R HμA μA μA Φ Wb

−= = = = = =∫ ∫

Inversul reluctanţei se numeşte permeanţă:

Fe

fm m

m m S

Φ1 μA μdsΛ ; ΛR U

= = = = ∫

Calculul reluctanţei şi permeanţei cu (6.44) şi (6.45) se poate efectua şi pentru miezuri neomogene cu o geometrie oarecare utilizând metoda tuburilor şi feliilor de miez magnetic. Tuburile de flux sunt de secţiune infinitezimală ds şi sunt luate în lungul liniilor de flux fΦ ; tub= fiind lungimea tubului (o funcţie).

tub Stub miez

m mmμds μdsdΛ Λ dΛ= → = =∫ ∫

sau:n

k km

k1

μ ΔSΛ =∑ pentru tuburi mai groase, avându-se în vedere că

tuburile sunt parcurse de flux în conexiune paralel.

(6.42)

(6.43)

(6.44)

(6.45)

(6.46)

Fig 6.11

d


Feliile de flux au grosime infinitezimală d şi sunt ⊥ pe liniile de flux, diversele felii sunt parcurse în serie de către fluxul magnetic:

m mfelie linie fluxfelie

md ddR R dR

μS μS= → = =∫ ∫

sau: n

km

k k1

ΔRμ S

=∑ pentru felii mai groase (am considerat n felii).

Bazat pe izomorfismul relaţiilor (6.43)-(6.47) cu relaţiile scrise pentru piese conductoare parcurse de curent se poate construi o analogie între circuitele electrice şi circuitele magnetice, sub forma:

Circuite electrice (fără cuplaje)

Circuite magnetice

Ve Aθ =Ni

e - t.e.m. a surselor este cauza funcţionării (producerea lui i ) în circuite electrice

θ=Ni - solenaţia bobinelor, face să existe flux magnetic prin miezuri (cauza funcţionării).

Ai WbfΦ - efectul în circuite electrice

este circulaţia de curenţi iar în circuitele magnetice circulaţia de fluxuri fasciculare prin miezuri

R mR - opoziţia circuitului

1G=R

mm

1Λ =R

e kR = R∑

circuit electric serie

e km mR = R∑

circuit magnetic serie

(6.47)


e kG = G∑

circuit electric paralel

e km mΛ = Λ∑

circuit magnetic paralel

__ ___

condcond S

i J ds= ∫ J

J - densitate de curent

liniile lui J - linii de curent

B __ ___

miezmiez

f S

Φ B ds= ∫

B -densitate de flux (inducţie magnetică) liniile lui B - linii de flux magnetic

k

k nod

T1K: i 0∈

=∑ k

k nod

fΦ 0 ; T1K∈

=∑

k k k

k ochi k ochi

T2K: R i e∈ ∈

=∑ ∑ kk kk ochi k ochi

m fR Φ θ ; T2K∈ ∈

=∑ ∑

linieJ

dRσA

= ∫ m linieB

dRμA

= ∫

ρRA σA

= = mRμA

=

1 σρ= 1μ

v=

cond S

σdsG = ∫ mmiez S

μdsΛ = ∫

nod nod ochi ochi

Pe baza acestei analogii teoremele şi metodele utilizate la studiul

circuitelor electrice rămân valabile şi pentru studiul circuitelor magnetice (mai puţin teoremele de conservare a puterilor electrice care nu au corespondent magnetic).

Analogia circuit electric↔ circuit magnetic este pur formală, cele două clase de probleme diferă esenţial între ele. Printr-o latură de circuit electric nu circulă curent dacă latura este întreruptă; printr-o latură de circuit


magnetic va circula flux chiar dacă latura are un întrefier (miezul este întrerupt). Bineînţeles că fluxul printr-o latură cu întrefier este foarte mic din cauza reluctanţei mari a porţiunii cu întrefier:

Fe oFe oo oFe Fe

Fe om m m mR ; R ; μ μ R R

μ A μ A= = >> → >>

O rezistenţă electrică R parcursă de curent este însoţită de transformarea energiei electrice în căldură însă o reluctanţă (un miez magnetic) parcurs de fluxul fΦ nu este însoţită de dezvoltări de căldură (dacă totuşi un miez se încălzeşte, asta se întâmplă din cauza altor efecte, atunci când fluxul fΦ este variabil în timp: încălziri prin histerezis sau prin curenţi turbionari induşi în miez, dar nu din cauza conducerii fluxului magnetic).

6.4.1 Teoremele lui Kirchhoff pentru circuite magnetice

Conform legii fluxului magnetic, fluxul magnetic printr-o suprafaţă închisă Σ este întotdeauna nul:

Σ Σ

Φ B ds 0= =∫

Alegând o suprafaţă Σ care înconjoară un nod b de circuit magnetic (figura 6.12) va exista flux doar prin suprafeţele S1, S2...Sn din Σ şi putem scrie că:

Σ kk b

fΦ 0∈

= Φ =∑

în suma algebrică (6.49) se consideră cu (+) fluxurile orientate după normala exterioară la Σ, deci cele care ies din nod.

Considerăm ochiul p dintr-un circuit magnetic (figura 6.13) care este format din mai multe laturi cu reluctanţele

1mR , 2mR ...

kmR ,

cele care sunt active au solenaţiile 1 1 1θ N i= ,

2 2 2θ N i= , ... k k kθ N i= iar prin laturi trec fluxurile fasciculare

1fΦ ,

2fΦ , ... kfΦ .

Legea circuitului magnetic în regim staţionar (cvasistaţionar) sau teorema lui Ampère aplicată pe o curbă Γ în lungul ochiului p se scrie astfel:

(6.48)

(6.49)Fig 6.12

Fig 6.13


Γ

Γ

k k kk

k k

k k Γ k p

S Γ

S k k

k p k p k p

m m fC

m f

H d H d u R Φ

H d θθ θ R Φ θ

∈

∈ ∈ ∈

⎧ = = =⎪⎪= ↔ ⎨⎪ = ⇒ =⎪⎩

∑ ∑ ∑∫ ∫∫ ∑ ∑ ∑

Expresia (6.50) reprezintă T2K pentru circuite magnetice analoagă cu k k kZ I E=∑ ∑ pentru circuite electrice fără cuplaje sau k k kR I E=∑ ∑ în circuite de c.c. În (6.50) se consideră că au solenaţie doar laturile active (au o bobină cu N spire parcurse de curentul i) şi sensul solenaţiei depinde de sensul curentului prin bobină şi de sensul de înfăşurare a spirelor pe miez. Dacă ţinem seama şi de dispersia magnetică, vom considera fluxul fascicular de dispersie ca fluxul unei noi laturi de circuit magnetic legată în derivaţie între punctele de început şi sfârşit ale acestui flux. Reluctanţa acestor laturi corespunzătoare fluxului de dispersie se poate evalua doar aproximativ sau se măsoară experimental. În probleme obişnuite aceste fluxuri de dispersie se neglijează în raport cu fluxurile utile, ele închizându-se doar prin aer vor avea valori foarte mici. 6.4.2 Rezolvarea circuitelor magnetice

A „rezolva” un circuit magnetic înseamnă a determina fluxul magnetic fascicular fΦ , inducţia magnetică B şi intensitatea câmpului magnetic H prin fiecare porţiune a circuitului magnetic atunci când se cunoaşte geometria miezului, permeabilitatea sa μ şi solenaţiile θ=Ni ale diverselor bobine ale circuitului . Calculul se face neglijând fluxurile magnetice de dispersie iar fluxurile utile se consideră uniform repartizate pe secţiunea miezului (miez filiform).

(6.50)

Fig 6.14

o


Presupunem circuitul magnetic cu geometria din figura 6.14-a care are două noduri (M şi N) şi trei laturi. Lungimile laturilor se evaluează de-alungul liniei mijlocii de flux de la nodul M la N iar secţiunile laturilor sunt A1, A2, A3. Reluctanţele laturilor de miez (şi a întrefierului) sunt:

o oo1 2 3f

1 2 3 o 3m m m m

2 h2 h hR ; R ; R ; RμA μA μA μ A

+ −+= = = =

iar solenaţiile sunt: 1 1 1θ N i= şi 2 2 2θ N i= . Pe baza analogiei dintre circuitele electrice şi cele magnetice s-a desenat în figura 6.14-b circuitul electric echivalent cu aceeaşi topologie ca şi cel magnetic iar mărimile care-l caracterizează au valorile calculate anterior.

→ Determinarea fluxurilor fasciculare se poate face aplicând TK pe circuitul echivalent:

( )k

kk

fk

k

1 2 3 1 1 1

1 2 2 21 21 2 2

3 332o2 3f2 3

BHμ

ΦB

A

f f f f

m mf f f

fm m mf f

Φ Φ Φ 0 Φ B HR Φ R Φ θ θ Φ B H

B HΦR Φ R R Φ θ

=

=

⎧ ⎡ ⎤+ − =⎪ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− = − → ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→⎨ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ + + = ⎣ ⎦⎩

Dacă miezul îl considerăm liniar atunci k kB μH= iar dacă îl considerăm neliniar atunci

caracteristica miezului B(H) are aspectul din

figura 6.15. La o valoare kk

k

fΦB

A= a inducţiei

magnetice îi corespunde o valoare kH a intensităţii câmpului şi dacă punctul de funcţionare este în (a),

permeabilitatea acelui punct este k

k

BμH

= respectiv 5 6r

o

μμ 10 10μ

= ≈ − este

permeabilitatea relativă în punctul (a) de funcţionare. Şi circuitul electric echivalent este tot neliniar în acest caz. Intensitatea câmpului magnetic în întrefierul de lungime o are

valoarea 3o

o

BHμ

= .

→ Cu metoda fluxurilor ciclice (1 2f fΦ ,Φ′ ′ ) pentru circuitul electric

analog avem:

(6.51)

(6.52)

Fig 6.15


( )( )

1 21 2 21 2 1

2 2o2 2 3f1 2

m m mf f f

fm m m mf f

R R Φ R Φ θ θ Φ

ΦR Φ R R R Φ θ

⎧ ′ ′ ′+ − = − ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥→ →⎨ ′⎢ ⎥′ ′− + + + =⎪ ⎣ ⎦⎩

11 1 1

222 1 2

33

3 2 o

f f

f f f

f f

HΦ Φ BH

Φ Φ Φ BH

BΦ Φ H

⎡ ⎤⎧ ′= ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎪⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥′ ′→ = − + → →⎨ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥′ ⎣ ⎦=⎪⎩ ⎣ ⎦

→ Cu metoda potenţialeleor nodurilor, luând nodul N referinţă vom scrie o singură ecuaţie pentru nodul M:

MM Mm m scΛ V Φ⋅ = , respectiv:

M M

M M M

1 2

o1 2 1 23f

1 2

1 2 3o1 2 3f

m m

m m m

m m m m m m

f f fm m m m

θ θ1 1 1 V VR R R R R R

θ V θ V VΦ ; Φ ; Φ

R R R R

⎛ ⎞⎜ ⎟+ + = + → →⎜ ⎟+⎝ ⎠

− −→ = = =

+

În exemplul considerat în figura 6.14 fluxul fascicular 3fΦ va fi mic

din cauza reluctanţei mari a întrefierului (omR >>).

Circuite magnetice cu magnet permanent

Circuitul magnetic din figura 6.16-a conţine un magnet permanent de lungime ℓo care determină flux magnetic de-alungul miezului. Curba Γ are lungi-mea ℓo prin magnet şi ℓ prin miez şi aplicând

legea circuitului magnetic pentru curba Γ, putem scrie:

o o o o o o o Γ o o

tgα

H d 0 H H 0 H H B μ H μ H= ↔ + = → = − → = = −∫

Dreapta de sarcină Δ din figura 6.16-b are panta oo

tgα μ= iar la

intersecţia sa cu curba de demagnetizare se stabileşte punctul de funcţionare

(6.53)

(6.54)

(6.55)

Fig 6.16

o


P al magnetului permanent. În magnet valorile câmpului sunt Bo şi Ho. În interiorul miezului valorile câmpului sunt:

oBB B ; H .μ

= =

Spectrul câmpului H pentru magnetul tip bară din figura 6.17 pune în evidenţă cum se închid liniile lui

extH H= şi o intH H= .

6.5 Inductivităţi

Inductivitatea (inductanţa) unei spire Γ parcursă de curentul Γi este o

mărime ce caracterizează circuitul Γ şi se defineşte ca raportul dintre fluxul magnetic ce străbate suprafaţa circuitului (

ΓSΦ ) şi valoarea curentului care a produs

acest flux:

( ) [ ]

[ ]

Γmediu

Γ

SΦ WbL f geom. circ ; μ ; L H i A

H Henry

= = = =

→

În medii liniare mediuμ μ cst= = inductivitatea depinde doar de geometria circuitului (forma curbei Γ) şi de permeabilitatea din jurul său.

Dacă avem două circuite cu N1 şi N2 spire aflate „în prezenţă” (se influenţează reciproc), atunci când circuitul 1 este parcurs

de curentul i1 el va crea un câmp magnetic; 11fΦ este fluxul magnetic

fascicular creat de i1. O parte din acest flux va trece şi prin spirele N2 ale circuitului al doilea (

21fΦ - este creat de circuitul 1 şi trece prin suprafaţa circuitului 2). Celelalte linii de câmp care nu trec şi prin circuitul 2 reprezintă fluxul de dispersie (scăpări) ale circuitului 1 faţă de 2 (

21dΦ ). Sensul de referinţă a fiecărui flux magnetic se consideră după regula burghiului drept cu sensul de referinţă al curentului care l-a produs. Deci

11fΦ >0 iar 21fΦ este (+) dacă are acelaşi sens cu fluxul propriu al circuitului

(6.56)

Fig 6.19

Fig 6.17

Fig 6.18


2 (cuplaj adiţional) şi (-) când are sens contrar cu 22fΦ (cuplaj diferenţial

între cele două circuite). În raport cu aceste fluxuri se definesc următoarele inductivităţi: a) Inductivitatea proprie a unui circuit este raportul dintre fluxul magnetic total ( fΦ NΦ= ) prin cele N spire ale circuitului şi curentul care l-a produs, mărime întotdeauna pozitivă.

11

22

1111 11

1 1

2222 22

2 2

f

f

N ΦΦL L 0i i

N ΦΦL L 0i i

⎧= = = >⎪

⎪⎨⎪ = = = >⎪⎩

Inductivitatea (inductanţa) proprie a unui circuit mai are şi alte denumiri: coeficient de inducţie proprie, coeficient de autoinducţie, coeficient de selfinducţie. Numele de inductanţă apare în cărţi mai vechi preluate din literatura franceză.

În medii liniare L=ct şi „fluxurile magnetice sunt proporţionale cu valorile curenţilor care le-au produs” (teorema inductivităţii).

b) Inductivitatea mutuală L21 dintre circuitul 1 şi 2 se defineşte ca raportul dintre fluxul total 21Φ prin cele N2 spire (

2121 2 fΦ N Φ= ) şi curentul i1 care l-a creat.

2122121

1 1

f±

± N ΦΦLi i

= =

Inductivitatea mutuală (coeficient de inducţie mutuală) într-un mediu liniar depinde de natura mediului din jurul circuitului (μ ), de dimensiunile, forma şi poziţia relativă a celor două circuite. În mod analog se defineşte:

1211212 1 2

2 2

f±

± N ΦΦL dacă i 0 şi i 0i i

= = = ≠

Vom arăta (în alt capitol) că L12=L21 – teorema reciprocităţii pentru inductivităţi. c) Inductivităţi utile şi de dispersie O parte din fluxul fascicular propriu produs de circuitul 1 ajunge să treacă şi prin suprafaţa circuitului 2, numit flux fascicular util. Cealaltă parte care se închide doar în jurul circuitului 1 care l-a produs se numeşte flux fascicular de dispersie (de scăpări) şi valoarea sa este:

(6.57)

(6.58)

(6.59)


21 11 21fd f fΦ Φ Φ 0= − >

Inductivitatea de dispersie a circuitului 1 faţă de 2 este:

2121 11

21

12

1 1 11 11 21

1 1 1 2

222 21

1

ffd fd

d

ΦN Φ N Φ NL N L L 0i i i N

NL L LN

⎧⎪ = = − = − >⎪⎨⎪ = −⎪⎩

Dar inductivitatea proprie a circuitului 1 aflat în prezenţa circuitului 2 este:

21 2121

111 21

2ud d

NL L L L LN

= + = +

unde 21

121

2u

NL LN

= este inductivitatea utilă a circuitului 1 faţă de 2 şi

analog 12

221

1u

NL LN

= .

Coeficientul de cuplaj magnetic dintre două bobine se defineşte prin: 1212 21 12

11 22 11 22 1 2

LL L MkL L L L L L

= = =

Bobine necuplate magnetic: 12L 0 k 0= → = iar cuplaj perfect (fără dispersii) înseamnă k=1 ( 2

12 1 2L L L= ). Coeficientul de dispersie magnetică a două bobine este:

22 2 1 2

1 2

L L Mσ 1 kL L−

= − =

− bobine necuplate: k=0; σ=1 – dispersie maximă − bobine cuplate perfect: k=1; σ=0 – dispersie nulă.

6.5.1 Relaţiile lui Maxwell privitoare la inductivităţi

Considerăm un sistem de n circuite aflate

în prezenţă pentru care se cunosc inductivităţile lor proprii: L11, L22 … Lnn , inductivităţile mutuale Lkj=Ljk şi curenţii care le parcurg

1 2 ni ,i ... i . Fluxul magnetic prin circuitul k, din

sistem, este superpoziţia dintre fluxul său propriu total kk kk kΦ L i= şi fluxurile mutuale

(6.60)

(6.61)

(6.62)

(6.63)

Fig 6.20


care vin prin suprafaţa circuitului k din celelalte circuite cu care este cuplat. Fluxul total al circuitului j prin suprafaţa circuitului k este:

kjkj k kj ijfΦ N Φ L i= = .

Fluxul total prin circuitul k este superpoziţia tuturor fluxurilor (proprii şi mutuale) care trec prin suprafaţa sa:

n n

k kj kj j

j 1 1

Φ Φ L i j=1,n=

= =∑ ∑

Explicit, dacă 1 2 ni ,i ... i sunt curenţii din cele n circuite (figura 6.20) atunci fluxurile magnetice totale prin suprafeţele lor se pot scrie detaliind relaţia (6.64):

1 11 1 12 2 1n n

2 21 1 22 2 2n n

n n1 1 n2 2 nn n

L i L i ... L iL i L i ... L i

...........................................L i L i ... L i

Φ = + + +⎧⎪Φ = + + +⎪⎨⎪⎪Φ = + + +⎩

Coeficienţii de pe diagonala principală sunt inductivităţile proprii ale celor n circuite iar coeficienţii nediagonali sunt inductivităţile de cuplaj dintre circuite. Cum jk kjL L= sistemul (6.65) este simetric faţă de diagonala principală. Sistemul (6.65) se poate scrie matricial sub forma:

[ ] [ ] [ ]n 1 n n n 1

L i× × ×

Φ = ⋅

care reprezintă forma matricială a relaţiilor lui Maxwell pentru inductivităţi. Dacă în matricea [ ]L un coeficient Lmn=0 înseamnă că bobina m nu este cuplată cu bobina n. Dacă rezolvăm ecuaţia matricială (6.66) şi notăm [ ] [ ] 1L ך=− matricea inductivităţilor reciproce, atunci:

[ ] [ ] [ ]i = ⋅ Φך reprezintă a doua formă a relaţiilor lui Maxwell pentru inductivităţi. Evident

că kjkj

1L

ך≠ , kjך este ceea ce rezultă din inversarea matricei [ ]L .

6.5.2 Legătura dintre inductivităţi şi t.e.m. induse Dacă circuitele din figura 6.20 sunt rigide, nu au piese (miezuri) mobile, atunci toate inductivităţile sunt constante. Fluxul total prin circuitul

(6.64)

(6.65)

(6.66)

(6.67)


k poate fi variabil în timp k (t)Φ numai atunci când curenţii sunt variabili în timp.

T.e.m. ke indusă la bornele circuitului k de către k (t)Φ este de forma:

k 1 2 k nk k1 k2 kk kn

dΦ di di di die L L ... L ... Ldt dt dt dt dt

= − = − − − − − −

Notăm: - t.e.m de inducţie proprie (t.e.m autoindusă). Ea apare în circuitul k datorită variaţiei în timp a propriului său curent

( kdi 0dt

≠ ).

- t.e.m de inducţie mutuală. Ea se induce în circuitul k datorită variaţiei în timp a curentului din circuitul j cu care circuitul k este cuplat.

Dacă un circuit nu este fix în spaţiu (se poate mişca, roti sau se

deplasează un miez magnetic în interiorul său), atunci şi inductivitatea sa va fi variabilă L=L(t) iar fluxul total al circuitului: (t) L(t) i(t)Φ = ⋅ . T.e.m indusă în circuit va fi de forma:

dΦ di dLe L idt dt dt

= − = − −

unde: - t.e.m indusă prin transformare (static), care în funcţie de

câmpul magnetic inductor avea expresia: Γ

tS

Be dst

∂= −

∂∫ .

- t.e.m indusă prin mişcare (dinamic), care în limbaj de câmp

avea expresia: m Γ

e (v B)d= ×∫ .

Dacă există mai multe bobine cuplate, parcurse de curenţi variabili şi ţinem seama de semnele cuplajelor: L12>0; L23<0; L31<0 atunci t.e.m indusă la bornele bobinei L3 va fi de forma:

3 2 13 3 23 31

di di die L L Ldt dt dt

= − −

kkk kk

die Ldt

= −

jkj kj

die L

dt= −

(6.69)

tdie Ldt

= −

mdLe idt

= −

(6.70)

(6.68)

Fig 6.21


Observaţie: Pentru fire (circuite) foarte subţiri, câmpul magnetic lângă fir este foarte mare

( H → ∞ ), deci Φ → ∞ şi L i= Φ → ∞ , inductivitatea prin definiţia clasică nu are sens. Pentru fire groase, curba Γ care defineşte suprafaţa circuitului nu mai coincide cu axa geometrică a firului, deci inductivitatea L ar depinde de modul cum aleg curba Γ, deci nu are semnificaţie. Definiţia L = Φ i este doar pentru circuite nici prea subţiri, nici prea

groase. Energia magnetică 2

m1 12 2W Φi Li= = conţine termeni ce depind de alegerea curbei

Γ (Φ şi L) dar şi termeni riguroşi: 2

condm

S

12

W μH d ; i J ds

∞υ= υ =∫ ∫

şi-n acest caz definiţia energetică a inductivităţii este cea corectă:

2 2 2int extm

int ext2W 2W2W

L L Li i i

= = + = +

6.5.3 Teorema lui Neumann

Această teoremă permite să calculăm inductivitatea mutuală între

două circuite care ocupă în spaţiu forma curbelor 1Γ şi 2Γ şi sunt aşezate într-un mediu omogen cu permeabilitateaμ .

Circuitul 1Γ , parcurs de curentul 1i , creează în jurul său câmpul 1B care va da naştere prin suprafaţa circuitului 2 la fluxul de cuplaj:

Γ Γ 22 2

1 1 1 221 S S Γ

B ds rotA ds A dΦ = = =∫ ∫ ∫

Potenţialul magnetic vector 1A creat de circuitul 1 în punctele de pe curba 2Γ este de forma (6.11) şi fluxul mutual devine:

1 2 1 2

1 2 1 21 2121 12 21

12 1 12Γ Γ Γ Γ

μi Φd d μ d dΦ L L4π R i 4π R

⋅ ⋅= → = = =∫ ∫ ∫ ∫

unde 12R (vezi figura 6.22) este distanţa dintre elementele 1d şi 2d a celor două circuite, ambele având orientarea celor doi curenţi 1i şi 2i . Dacă cele două circuite ( 1Γ şi 2Γ ) sunt formate fiecare din porţiuni mai simple (analitice), relaţia (6.72) permite să calculăm inductivitatea mutuală de calcul între două porţiuni deschise de circuit

( 1 1k 2 2jk 1 j 1

n mΓ C ; Γ C

= == =∪ ∪ ), sub forma:

(6.72)

(6.71)Fig 6.22

1d

2d


1k 2j

1k 2 j21

12k 1 j 1

n m

C C

μ d dL4π R

= =

⋅=∑∑ ∫ ∫

Dacă două porţiuni de circuit sunt dispuse ortogonal în spaţiu 1 2d d⊥ atunci 1 2d d 0⋅ = şi între porţiunile respective nu există

inductivitate mutuală. Când dorim ca două componente dintr-un aparat să nu se perturbe prin influenţă mutuală, ele se dispun perpendicular. Liniile de înaltă tensiune trec întotdeauna ⊥ peste liniile de joasă tensiune, peste liniile de telecomunicaţii sau peste şinele de cale ferată, pentru a nu induce în acestea t.e.m care ar putea deveni periculoase. Ca să putem determina 12L cu (6.72) trebuie ca cele două circuite să nu se intersecteze (atingă); dacă au un punct comun, acolo 12R 0= şi 12L nu are sens în acest caz. Aplicaţie: Să se determine inductivitatea mutuală de calcul între două segmente

de lungime a, situate la distanţa d (figura 6.23). Cu (6.73) putem scrie succesiv:

( )

a a1 2

aa 22 o o1 2

dx dxμL4π d x x

= =+ −∫ ∫

( )22 a 2 2 2 22 2

22 2 o 2 2

a x d a xμ μa d a a d a dln dx ln4π 2π d ax d x

⎡ ⎤− + + − + + + −= = −⎢ ⎥

− + + ⎢ ⎥⎣ ⎦∫

Dacă a>>d atunci:

aaμa 2aL ln 12π d

⎛ ⎞≅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

;

6.5.4 Metode de calcul a inductivităţilor

a) metode directe de calcul Dacă avem un sistem de n circuite aflate în prezenţă şi se cunoaşte

geometria circuitelor (forma, dimensiunea, poziţia reciprocă), curenţii din circuite 1 2 ni ,i ... i şi proprietăţile mediului din jur, atunci:

(6.73)

(6.74)

Fig 6.23


se presupune circuitul (bobina) k parcursă de curentul ki ; se calculează inducţia kB creată de ki (posibil pentru configuraţii

simple); se calculează fluxul prin suprafaţa circuitului k şi prin suprafaţa

circuitului j şi apoi inductivităţile:

k

k kk

jk

jk jkj

k fk k k k kk

k

jk jk j jk

k

f f S

ff f

S

N ΦΦ B ds Φ N Φ L L

iN Φ

Φ B ds Φ N Φ Li

⎧= → = → = =⎪

⎪⎨⎪ = → = → =⎪⎩

∫∫

b) calculul inductivităţilor plasate pe miezuri magnetice Dacă bobina este aşezată pe un miez magnetic (şi toate bobinele din

joasă şi medie frecvenţă sunt cu miez magnetic) atunci: se calculează reluctanţa echivalentă a miezului prin care bobina

produce flux (în raport cu capetele bobinei) mR . inductivitatea bobinei va fi de forma:

22f

mm m m

NΦ N θ N Ni NL N Λi i R i R R

= = ⋅ = ⋅ = =

c) calculul cu ajutorul energiei magnetice Energia magnetică înmagazinată în câmpul magnetic al unei bobine

este: 2 m

m 2

2W1W Li L2 i

= → =

aplicabilă mai ales pentru inductivitatea interioară a unui circuit: intint 2

2WL

i= .

d) calculul inductivităţii mutuale cu teorema lui Neumann Am văzut că se poate determina inductivitatea mutuală dintre două

circuite cu (6.72) sau cea de calcul între două porţiuni de circuite (6.73) dacă acestea sunt aşezate în mediu omogen (μ cst= ) şi nu se intersectează.

Dacă segmentul j din circuit este ⊥ pe segmentul k (figura 6.24) atunci kjL 0= . Dacă avem două circuite 1Γ şi

2Γ de forma a două spire pătrate cu latura a, situate paralel pe aceeaşi axă la distanţa d (figura

(6.76)

(6.75)

(6.77)

Fig 6.25Fig 6.24


6.25) în mediu omogen cu μ , ne propunem să determinăm inductivitatea mutuală dintre ele.

Inductivitatea de calcul între două segmente paralele aaL este de forma (6.74) şi în această categorie intră: 15 37 26 48 aaL L L L L= = = = iar

dacă în (6.74) se înlocuieşte d prin 2 2d a+ se obţine valoarea *aaL′ :

*17 28 35 46 aaL L L L L′= = = = .

Pentru segmente ⊥ inductivitatea mutuală este nulă: 16 18 25 27 36 38 45 47L L L L L L L L 0= = = = = = = = .

Sumând inductivităţile mutuale de calcul pentru cele două spire 1Γ şi 2Γ din figura 6.25, inductivitatea mutuală dintre ele este:

*1 2

4 8

Γ Γ jk aa aaj 1 k 5

L L 4L 4L= =

′= ± = − =∑∑

( )( )

2 2 2 22 2 2 2

o

2 2

d a d a a2μ a d 2a 2 d a dlnπ ad d 2a a

⎡ ⎤+ + + + − + +⎢ ⎥= +⎢ ⎥+ +⎢ ⎥⎣ ⎦

6.6 Aplicaţii

1) Să se determine inductivitatea unui solenoid (bobină cilindrică cu N spire a căror secţiune este A iar lungimea bobinei ℓ, dacă ℓ este mult mai mare decât diametrul spirei).

Pentru o bobină scurtă (figura 6.26a) fluxul magnetic este diferit prin fiecare spiră, cel mai mare este prin spirele centrale. Fluxul magnetic total este 1 2tΦ Φ Φ ...= + + .

Dacă ℓ/d>>1 bobina reală o putem privi ca un solenoid (figura 6.26b) la care există câmp magnetic doar în interiorul bobinei şi este un câmp uniform (cu liniile paralele), prin toate spirele avem acelaşi flux (valoarea medie a fluxurilor din bobina reală) numit flux fascicular fΦ .

În acest caz fluxul magnetic total este ftΦ NΦ= . Neglijând câmpul magnetic exterior, cu teorema lui Ampère determinăm H iar apoi L:

(6.78)

Fig 6.26


2f

fNΦNi N iAB μH μ Φ B A L μ

i= = → = ⋅ → = =

2) Două bobine cu N1 şi N3 spire sunt aşezate pe un miez magnetic de permeabilitate μ şi geometria din figura 6.27. Să se determine inductivităţile proprii 11 33L , L şi inductivitatea mutuală dintre ele 13 31L L= . Bobinele fiind aşezate pe miez magnetic vom determina inductivităţile cu (6.76). Inductivitatea bobinei 1 este:

1

21

1 11me

NL LR

= = ,unde 1meR este reluctanţa

echivalentă prin care stabileşte flux bobina 1 dacă ar acţiona singură: 2 3

1 12 3

m mme m

m m

R RR R

R R= +

+

Inductivitatea bobinei 3 se scrie analog: 1 2

3 33 1 2

23

3 33m m

me mme m m

R RNL L ; R RR R R

⋅= = +

+=

Bobina 1 parcursă de curentul i1 produce fluxul fascicular 1f

Φ care

în nodul 1 se ramifică în 21fΦ şi

31fΦ ; aplicând regula divizorului de flux (analog cu regula divizorului de curent) se scrie succesiv:

312 2

1 31 11 2 3 1 2 3

3 1 31 113 31

1

fm mf f f

me m m me m m

N ΦR RN NN iΦ ; Φ Φ ; L LR R R i R R R

= = ⋅ = = =+ +

3) O bobină cu N spire este aşezată pe un miez magnetic toroidal cu secţiune dreptunghiulară Fe 2 1A h ( r r ) = − şi permeabilitate μ având un întrefier cu o deschidere la centru α. Să se determine inductivitatea bobinei. a) prin metode directe de calcul (6.75) înseamnă:

liniile de câmp H sunt cercuri în

(6.79)

(6.80)

(6.81)

(6.82)

Fig 6.27

Fig 6.28


lungul miezului; fie o linie de câmp Γ (cerc de rază 1 2r (r ,r )∈ ):

Γ o o oΓ

SH d θ H H Ni H(2π α)r H αr Ni= ↔ + = ↔ − + =∫

la trecerea liniilor de câmp B din fier în aer se conservă componenta normală a lui B :

Fe aer o oB B μH μ H= ↔ = Din ecuaţiile (6.83’) şi (6.83”) rezultă:

( )1

r

kNi 1H2π α μ α r r

= ⋅ =− +

Fluxul fascicular de-alungul miezului este de forma:

( )2

Fe 1

2

f 1

r

A r r

rNihΦ B ds μH h dr μ ln(2π α) μ α r

= = =− +∫ ∫

Expresia inductivităţii rezultă din relaţia sa de definiţie:

( )2

f 2

1r

NΦ rN hL μ lni 2π α μ α r

= =− +

b) Bobina fiind aşezată pe un miez magnetic, inductivitatea o putem calcula cu (6.76), reluctanţa echivalentă este formată din porţiunea de fier în serie cu întrefierul (parcurse de acelaşi flux fΦ ):

ofm m mR R R= + . Permeanţa porţiunii de fier o determinăm prin metoda tuburilor de flux, tuburi luate de-alungul miezului:

( )( )

2

1

2f

1 Fe

2

1

r

mA r

omo

μ h dr rμ ds μhΛ ln2π α r 2π α r

μ h rAnalog: lnα r

⎫= = = ⎪

− − ⎪⎬⎪Λ = ⎪⎭

∫ ∫

Reluctanţa echivalentă este de forma:

( )2 2

2of

1f

m m mm m m ro

r1 1 N N hR R R L μ lnΛ Λ R 2π α μ α r

= + = + ⇒ = =− +

(6.88)

expresie identică cu (6.86) obţinută prin definiţia clasică a lui L. Dacă miezul este toroidal fără întrefier, atunci în expresiile precedente se consideră α 0= şi rezultă valoarea L′ :

22

01

αrμN hL L ln

2π r=′ = =

4) Să se determine inductivitatea mutuală dintre un fir rectiliniu şi o spiră Γ triunghiulară având o latură paralelă cu firul (figura 6.29).

(6.83 )′

(6.83 )′′

(6.84)

(6.85)

(6.86)

(6.87)

(6.89)


Firul creează câmpul μiB u2πr

ϕ= care

determină prin spira Γ un flux:

( )Γ

Γ

a+h

SS a

μi μi bΦ B ds ydr r a dr2πr 2πr h

= = = −∫ ∫ ∫

Γ21 Sμbi a hΦ Φ h a ln2πh a

+⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

2112 21

Φ μb a hL L h a lni 2πh a

+⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟⎝ ⎠

5) Două linii bifilare vecine sunt aşezate ca în figura 6.30. Se cere

inductivitatea mutuală dintre linii şi t.e.m indusă în linia 2Γ . Linia 1 creează câmpul magnetic 1B :

11

oμ i 1 1B2π y b y a b

⎛ ⎞= −⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

care produce un flux magnetic prin suprafaţa circuitului 2:

o 121 1

o

cc1μ i bB ( dy) ln c2π 1

a+b

+Φ = =

+∫

Inductivitatea mutuală are expresia: 2112 21

1

ΦL Li

= = iar t.e.m indusă

în linia 2Γ va fi:

o1 12 21

c1μdi dibe L ln cdt 2π dt1a+b

+= − = −

+

6) Să se determine inductivitatea de disperesie a unei crestături feromagnetice (figura 6.31).

Într-o crestătură de lungime , adâncime ( 1 2h h+ ) şi lăţime a, într-un material feromagnetic (crestătura rotorului la o maşină electrică rotativă)

(6.90)

(6.91)

(6.92)

Fig 6.29

Fig 6.30


este introdusă o bară de secţiune 1ah parcursă uniform de

curentul i. Aplicând teorema lui Ampère succesiv pe curbele

1Γ , 2Γ şi 3Γ se obţin succesiv expresiile câmpurilor H1, H2 şi H3 din cele trei porţiuni:

( )

Γ11

Γ22

Γ33

1 S 1 1Γ 1 1

2 S 2 2Γ

3 S 3 3Γ

z iH d i H a i H zh ah

iH d i H a i Ha

iH d i H a πx i Ha πx

⎧= → = → = ⋅⎪

⎪⎪⎪ = → = → =⎨⎪⎪

′⎪ = → + = → =′+⎪⎩

∫∫∫

Distribuţia câmpului H între pereţii crestăturii (câmpul de dispersie) este reprezentată în figura 6.31-b pe baza expresiilor (6.93). La fundul crestăturii câmpul este nul iar la partea de sus a barei ( 1a h= ) câmpul are valoarea maximă ( i a ). Fluxul de dispersie printr-o porţiune de înălţime dz este

zd mdΦ B dz i dΛ= = . Fluxul de dispersie total între pereţii crestăturii este:

1 2b h h 2

1

o o od

o o o

μ i μ i μ iΦ z dz dz dxah a a πx

′= ⋅ + ⋅ + ⋅ =′+∫ ∫ ∫

1 2o

ba πh h 1 2μ i ln2a a π a

⎡ ⎤+⎢ ⎥= + +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

iar inductivitatea de dispersie a crestăturii este dd

ΦL

i= .

• ) Fluxul de dispersie (cel care se închide de la un perete la altul al crestăturii feromagnetice) parcurge trei permeanţe în paralel a căror valori sunt de forma:

(6.93)

Fig 6.31←


1med 1

2 2

b 2

1

2

3

o om

o om

o om

o

μ S μ h1Λa 2 a

μ S μ hΛa a

πa bμ dx 2μ 2Λ lnπ π a2

a x

= =

= =

+= =

+∫

iar inductivitatea de dispersie se scrie astfel: 2

d 1 2 3m m m m me eL N Λ Λ Λ +Λ +Λ= = = deci aceeaşi expresie ca prin definiţia sa clasică.

Fig. 7.1

7. Energii şi forţe în câmpuri electromagnetice 7.1 Teorema energiei electrice Un sistem de n corpuri conductoare aflate la potenţialele

n21 VV,V … şi încărcate cu sarcinile n21 qq,q … creează în jurul lor un câmp electric cu un anumit spectru, câmp care înmagazinează în el o

cantitate de energie electrică eW :

∑=

=n

1kkke Vq

21W (7.1)

energie care depinde de toate sarcinile şi potenţialele corpurilor din sistem, valoare egală cu lucrul mecanic cheltuit pentru încărcarea corpurilor cu sarcină. Dimensional relaţia (7.1) înseamnă: [ ] [ ] [ ] JsecWsecAVCVVqWe ====⋅= .

Pentru un condensator ( qqq 21 =−= ) relaţia (7.1) devine:

C2qCU

21qU

21)VV(q

21Vq

21Vq

21W

22

212211e ===−=+= (7.2)

Expresia ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 2CU

21 o utilizăm pentru condensatoare cuplate la tensiunea U

iar ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

C2q2

pentru condensatoare decuplate dar care au rămas încărcate cu

sarcina q. Ţinând seama de prima formă a relaţiilor lui Maxwell:

∑=α=

n

1jjkjk qV , relaţia funcţionalei de energie (7.1) se scrie sub forma :

(7.3)

)qq,,corpurilor (geometriafqq21qq

21W n11

n

1k

n

1jjkkj

n

1jjkj

n

1kke …ε=α=α= ∑∑∑∑

= ===

21

n k

E

q ,V1 1

q ,Vk k


Dacă ţinem seama de a doua formă a relaţiilor lui Maxwell: ∑=γ=

n

1jjkjk Vq ,

funcţionala de energie (7.1) se va exprima sub forma:

∑∑= =

=γ=n

1k2

n

1jjkkje fVV

21W ( geometria corpurilor, n21 VV,V, …ε ) (7.4)

În expresia (7.3) trebuie cunoscute sarcinile de pe toate corpurile din sistem, în (7.4) trebuie cunoscute potenţialele tuturor corpurilor şi generalizând, putem afirma că energia electrică se poate evalua dacă pentru o parte dintre corpuri se cunosc sarcinile iar pentru celelalte se cunosc potenţialele:

3e fW = ( geometria corpurilor, n1kk21 VV,qq,q, …… +ε ) (7.5) Expresiile (7.3),(7.4),(7.5) exprimă însă energia electrică într-un mod impropriu. Ea este localizată în câmpul electric dintre corpuri, deci ar trebui exprimată în funcţie de parametrii câmpului electric. La un condensator plan, între armături se creează un câmp electric uniform de intensitate E=U/d şi energia electrică se va repartiza uniform în acest câmp.

( ) ( ) dielectric22222

e VE21AdE

21dE

dA

21CU

21W ⋅ε=ε=

ε== (7.6)

Densitatea de energie electrică se scrie sub forma:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ε== 3

2

dielectric

e'e m

jE21

VWw (7.7)

În câmpuri neuniforme densitatea de energie electrică se scrie succesiv sub forma:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==

ε=ε== 3

22e'

e mj

2DE

2ED

2DE

21

dVdWw (7.8)

Integrând densitatea de energie (7.8) pe volumul ∑V determinăm câtă energie electrică există în volumul delimitat de suprafaţa ∑ :

∫∫ΣΣ

∑==VV

dv2EDdvwW '

ee (7.9)

Cu expresiile (7.3),(7.4) şi (7.5) putem determina energia electrică totală a unui sistem, fără a putea aprecia cum se repartizează ea în spaţiu, unde este mai concentrată, etc. Dacă extindem volumul ΣV din (7.9) la ∞V , putem obţine energia electrică totală la fel cu formele anterioare:

7. Energii şi forţe în câmpuri electromagnetice 187

Fig. 7.2

∫∞

=V

dv2EDW

totale (7.10)

Dimensional densitatea de energie electrică se exprimă astfel:

[ ] 332

22'

e mj

mCV

mV

mFE

21w ===⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ε=

Mai mult, expresiile (7.1),(7.3),(7.4) şi (7.5) sunt valabile doar în regim electrostatic, când câmpul electric este produs de un sistem de corpuri încărcate, pe când expresiile (7.9),(7.10) sunt valabile în orice regim de funcţionare, chiar şi în câmpuri electrice variabile.

Expresia ε

=ε==2DE

21

2DEw

22'

e este valabilă doar în medii

izotrope iar expresia 2EDw'

e = este valabilă şi în medii anizotrope, dar

liniare. 7.2 Teorema energiei magnetice

Un sistem de n circuite aflate în prezenţă sunt alimentate de sursele n21 ee,e … cu curenţii

n21 ii,i … şi se creează prin suprafeţele lor fluxurile totale

n21, ΦΦΦ … . În câmpul magnetic creat în jurul acestui sistem de circuite se înmagazinează energie magnetică a cărei expresie:

∑=Φ=

n

1kkkm i

21W (7.11)

pune în evidenţă faptul că ea depinde de fluxurile şi curenţii din circuitele sistemului. Dimensional relaţia (7.11) înseamnă: [ ] [ ][ ] JsecVAAWbiWm =⋅=⋅=Φ=

i1

e 1

R 1 L 1

e n

R n L n

e k

R k

L k

i n

i k

Φ1 Φk

Φn


Exprimând fluxurile magnetice totale kΦ cu prima formă a relaţiilor

lui Maxwell: ∑=

=Φn

1jjkjk iL , funcţionala energiei magnetice devine:

1

n

1k

n

1jjkkjm fiiL

21W == ∑∑

= =(geometria circuitelor, n21 ii,i, …μ ) (7.12)

Dacă exprimăm curenţii din (7.11) cu forma a doua a relaţiilor lui

Maxwell, pentru sisteme de circuite: ∑=

ΦΓ=n

1jjkjki , se obţine expresia:

2

n

1k

n

1jjkkjm f

21W =ΦΦΓ= ∑∑

= = (geometria circuitelor, n21,, ΦΦΦμ … ) (7.13)

În (7.12) pe lângă geometria circuitelor şi mediuμ trebuie cunoscuţi toţi curenţii iar în (7.13) toate fluxurile magnetice. Generalizând, funcţionala de energie este determinată dacă pentru o parte dintre circuitele sistemului se cunosc curenţii şi pentru celelalte se cunosc fluxurile totale:

3m fW = (geometria circuitelor, n1kk21 ,ii,i, ΦΦμ + …… ) (7.14) Pentru o bobină de inductivitate L parcursă de curentul i, fluxul magnetic total este iL ⋅=Φ iar energia din câmpul propriu este:

L2Li

21i

21W

22

mΦ

==Φ= (7.15)

Pentru un sistem format din două circuite cuplate magnetic, energia magnetică cu (7.12) este:

222212212112

2111m iL

21iiL

21iiL

21iL

21W +++= (7.16)

unde: -este energia din câmpul propriu al bobinei 1 -este energia din câmpul propriu al bobinei 2 -este energia magnetică de interacţiune dintre bobinele 1L şi 2L

Energia magnetică de interacţiune dintre cele două bobine se poate scrie astfel:

122121212112m LiiiiW =Φ=Φ= (7.17)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

2112m

222m

211m

iiLW

iL21W

iL21W

12

2

1


Dacă avem un singur circuit plasat într-un câmp magnetic exterior, astfel că extΦ este fluxul acestui câmp prin suprafaţa circuitului, atunci conform (7.17) energia de interacţiune dintre circuit şi câmpul exterior este:

exterint iW Φ⋅= (7.18)

Formele (7.11)…(7.16) ale funcţionalei de energie magnetică exprimă energia în funcţie de mărimile ce caracterizează circuitele componente, deşi ea este localizată în câmpul magnetic din jurul circuitelor. Pentru un solenoid (cu câmp magnetic uniform (vezi relaţia (6.79)) energia magnetică este:

( ) v222

22

2m H

21AiN

21iAN

21Li

21W μ=

⋅μ=

μ== l

ll 2 (7.19)

şi ea se repartizează uniform în câmpul magnetic cu densitatea: 2m'

m H21Ww μ==

v (7.20)

sau generalizând si pentru medii anizotrope (şi câmpuri neuniforme) se obţine:

2HB

2BH

2BH

21

dvdWw

22m'

m ==μ

=μ== (7.21)

Dimensional, densitatea de energie magnetică înseamnă:

[ ] 33

22'

mmJ

mAWb

mA

mHH

21w =

⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ μ=

În general, în medii neliniare, densitatea de energie magnetică înseamnă:

∫=B

0

'm BdHw (7.22)

şi are semnificaţia ariei de pe caracte-ristica neliniară din figura 7.4. Pentru medii liniare: HB μ= şi se obţine din fig 7.4-b:

Fig. 7.3

Fig. 7.4 a) b)

i

ext


2H

0

B

0

'm H

21HdHBdHw μ=μ== ∫∫ (7.23)

În funcţie de potenţialul magnetic A, densitatea de energie este: ' 1m 2w J A= .

Energia magnetică parţială, conţinută în volumul ∑v , sau cea totală din volumul ∞v vor avea expresiile:

∫Σ

∑=V

dv2HBWm ; ∫

∞

∞=V

dv2HBWm (7.24)

Energia totală calculată cu (7.24) coincide cu cea calculată cu (7.11)…(7.16) care tot energiile totale exprimă, fără însă a indica cum se repartizează ea în spaţiu. De asemenea, formele (7.11)…(7.16) sunt valabile în regim staţionar sau cvasistaţionar (joasă frecvenţă) iar (7.24) sunt valabile în orice regim de funcţionare. Observaţie: Pentru un sistem de circuite cuplate energia magnetică dată de (7.12) se scrie sub forma:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=Φ

Φ=Φ==

∑

∑∑ ∑ ∑∑

=

= = = ==Φ

n

1jjkjk

n

1k

n

1j

n

1k

n

1kkk

n

1jkkjkjkjm

iL

i21i

21iiL

21W

kj (7.25)

Funcţionalele ( )kkm i,W Φ şi ( )kkjk i,LΦ au dependenţe liniare, deci:

jkk

j

j

m

kk

m

jj

kkj L

iiW

iiW

iiL =

∂

Φ∂=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=∂Φ∂

= (7.26)

Relaţia (7.26) exprimă faptul că în medii liniare inductivităţile mutuale dintre două circuite din sistem verifică teorema reciprocităţii pentru inductivităţi ( )jkkj LL = , respectiv

matricea [ ]L pentru un sistem de circuite cuplate este simetrică în raport cu diagonala principală. 7.3 Teorema energiei electromagnetice Această teoremă este o consecinţă a ecuaţiilor lui Maxwell bazată pe concepţia despre câmpul electromagnetic considerat ca un sistem fizic capabil să schimbe, să acumuleze şi să transmită energie. Într-un mediu liniar ( ct,ct =μ=ε ) considerăm o suprafaţă închisă ∑ în interiorul căreia se găsesc corpuri imobile ( 0v = , deci nu se cheltuie


energie pentru deplasarea lor) în interacţiune cu câmpul electromagnetic. În domeniul ∑V câmpul electromagnetic are înmagazinată energia:

∫ ∑⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

V 2HB

2EDW (7.27)

Bazat pe principiul de conservare a energiei, viteza de scădere a acestei energii trebuie să fie egală cu suma puterilor cedate de câmpul interior altor sisteme fizice cu care este în contact. Dar câmpul interior este în contact direct doar cu corpurile interioare, cărora le transferă energie pentru a acoperi pierderile de putere prin efect Joule ( jP ) şi cu domeniul din exteriorul suprafeţei ∑ , deci:

∑+=− PPdt

dWj (7.28)

unde: ∫∑

=v

j dvJEP sunt pierderile de putere prin efect Joule iar ∑P este

puterea cedată prin suprafaţa ∑ câmpului exterior. Ţinând seama de identitatea:

( ) ( ) ( ) ( ) ErotHHrotEEHEHEHEHdiv ⋅−⋅=×∇+×∇=×∇=× (7.29) pierderile locale de putere prin efect Joule se scriu succesiv sub forma:

( ) ( )

( ) ( )7.30 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

−×=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−×=∂∂

−⋅+×=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−==

2HB

2ED

tEHdiv

tDE

tBHEHdiv

tDEErotHEHdiv

tDHrotEJEp j

Integrând expresia (7.30) pe volumul ∑v se obţine:

( )

tWPP

j dv2HB

2ED

tdvEHdivdvp

j

∂∂

−−

∫∫∫ ∑

∑

∑∑⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

−×=VVV

(7.31)

Comparat cu ecuaţia de bilanţ al puterilor (7.28), integralele din (7.31) au semnificaţiile notate sub fiecare dintre ele. Puterea transmisă (radiată) de câmpul electromagnetic interior prin suprafaţa ∑ spre exterior are expresia:

( ) ( ) ∫∫∫∑∑

∑ =×=×=

∑

sdSsdHEdvHEdivP V

(7.32)


unde: HES ×= reprezintă vectorul Poynting sau densitatea de putere ce se transmite prin câmpul electromagnetic.Dimensional verifică semnificaţia sa:

[ ] [ ] [ ] 2mW

mA

mVHES =⋅=⋅= .

Expresia (7.32) a puterii ce iese prin ∑ se generalizează şi pentru puteri ce se transmit printr-o suprafaţă deschisă ΓS :

∫∫ΓΓ

Γ==

SS

S ds nSsdSP (7.33)

Sensul arbitrar ales pentru sd (respectiv n ) este sensul de referinţă pentru puterea ce se transmite; dacă rezultă 0PS >Γ înseamnă ca energia se

transmite efectiv în sensul lui n . 7.3.1 Puterea electromagnetică transmisă printr-o undă plană Considerăm o undă plană, ca în figura 4.3 caracterizată (relaţia 4.38) prin mărimile:

'm

'e

22yzy wwH

21E

21EkHkH ; E jE =↔μ=ε↔

με

=== (7.34)

Se constată că în cazul undei plane transmisia energiei prin câmp are două proprietăţi speciale:

• Energia electromagnetică se repartizează egal între componenta electrică şi cea magnetică a undei electromagnetice ( '

m'e ww = ).

Densitatea de energie a undei electromagnetice este:

'm

'e

2222 w2w2HEH21E

21

2HB

2EDw ==μ=ε=μ+ε=+=′ (7.35)

• Vectorul Poynting este dirijat în direcţia de propagare a undei

electromagnetice: SiSiHES x ==×= .

Fig. 7.5


wvEEEHS2

2 ′⋅=εμ

ε=

με

== (7.36)

Modulul densităţii de putere radiată (transmisă) S este egal cu produsul dintre densitatea de energie a undei ( w′ ) şi viteza de fază a undei (v). Totul se petrece ca şi cum unda ar „transporta” energia localizată în câmpul său, pe măsură ce ea înaintează pe direcţia de propagare (Ox) cu viteza sa de fază (v). Această proprietate nu este generală, energia se transmite prin câmp si în absenţa undelor (câmpuri desprinse de circuitul radiant), de exemplu în regimuri staţionare (cvasistaţionare) prin fire (linii de transmisie). În general, pentru ca un câmp să transmită energie, el trebuie să fie electromagnetic, adică E şi H să nu fie independenţi, să fie variabile în timp, nu numai ca ele să coexiste în aceeaşi regiune a spaţiului; (de exemplu: E creat de sarcini electrice şi H creat de un magnet permanent, suprapuse nu înseamnă câmp electromagnetic ). 7.3.2 Puterea electromagnetică transmisă printr-un conductor

Considerăm un conductor rectiliniu, de formă cilindrică cu raza a, lungime l, care are rezistivitateaρ şi e parcurs de curentul de conducţie i. Liniile câmpurilor E şi H create de acest fir (în interiorul şi exteriorul firului) arată ca în figura 7.6. În interiorul conductorului, liniile câmpului electric sunt paralele cu

Fig. 7.6

Er

EtHe

SiSe

E Ji= Hii

a -n

He

Ee

S

He

Ee

Ee

Sr

Sl

Sei

n

Sl

Er

Erdl1

He

dl2ds

a) b)


axa: JEint ρ= iar liniile lui iH sunt cercuri concentrice cu firul. În consecinţă în interiorul firului, vectorul Poynting: iriii SuHES −=×= . El este dirijat spre axă şi asigură fluxul de energie necesară pentru a acoperi pierderile Joule din fir. În exterior (r>a), liniile lui eH rămân tot cercuri (figura 7.6) iar liniile lui eE ies din conductor înclinate în direcţia liniilor de curent J (la suprafaţa firului se conservă componenta tangenţială a lui E :

( )tgeti EEE == . Componenta radială rE corespunde potenţialului V la care

se află firul: ∫∞

−=a

rdrEV .

Vectorul Poynting, în exterior, eS are o componentă longitudinală lS care asigură transmisia energiei în lungul conductorului şi alta radială rS care asigură fluxul de energie spre interiorul firului, pe direcţie radială.

Vom arăta că fluxul acestei componente prin suprafaţa laterală a firului (r=a) acoperă pierderile Joule din fir:

( )

2fir

2

otS

tS

tS

rr

iRia22aπ

iρJ

a2HEHdsEsdHEsdSP olatlatlat

=π

ρ=π=

=π==×== ∫∫∫

2all

l

(7.37)

Câmpul magnetic pe suprafaţa

firului este:a2

iHo π= iar câmpul

electric în interiorul firului este: JEE ti ρ== . Pentru un tronson

de lungime l avem: iRuEt ⋅==⋅ l (7.38)

unde R este rezistenţa tronsonului de conductor considerat (figura 7.7); Deci: 2

r RiuiP == . Puterea care se transmite în lungul conductorului prin suprafaţa ⊥S din figura 7.6 are expresia:

( ) ( )( ) iudHdEddHEsdHEsdSP

iu211 2

21r21SS

⋅=⋅=××=×== ∫∫∫ ∫∫∫ΓΓΓ Γ⊥⊥

l lll rrll

(7.39)

Fig. 7.7

l

u=Ri

i i


deoarece vectorii H şi de 1dl , respectiv rE şi 2dl sunt perpendiculari între ei (figura 7.6-b) şi produsele acestora s-au anulat. Puterea lP se transmite în lungul firului printr-o suprafaţă ⊥S infinit extinsă şi perpendiculară pe axa firului. În procesul de conducţie printr-un fir, energia se transmite doar prin câmpul din exteriorul conductorului, singurul care are componentă longitudinală lS a vectorului Poynting: conductorul are doar rolul de a ghida în spaţiu această transmisie(traseul) şi pentru aceasta absoarbe din energia câmpului exterior o putere rP necesară pentru a-şi acoperi pierderile interioare prin efect electrocaloric. Starea(câmpul) electromagnetică se propagă odată cu cuplarea firului

(alimentarea sa), prin câmpul din jurul său, cu viteza εμ

=1v şi acolo unde

ajunge, o parte din energia sa pătrunde în conductor, pune în mişcare ordonată sarcinile(electronii liberi se propagă prin conductor lent, cu o viteză de ordinul mm/sec). Deci nu electronii liberi, care se mişcă ordonat printr-un conductor parcurs de curent, transmit energia în lungul firului, ci câmpul electromagnetic din jurul acestuia, de aceea energia se poate propaga şi fără fire conductoare, numai prin câmp electromagnetic (undă); energia se transmite fie în lungul firului, fie în lungul direcţiei de propagare a undei. In cazul unei linii bifilare (figura 7.8) cu fir de dus şi întors, (1 şi 2)

indiferent de sensul curentului,

energia este transmisă

de ambele fire ale liniei in

acelaşi sens, spre receptor. Observaţie: Dacă puterea

transmisă printr-un fir este: iVP fir ⋅= iar printr-o linie bifilară este: uiP = atunci, aşa cum se prezintă în teoria circuitelor, puterea ce intră pe la bornele unui multipol cu n poli

SE

E

i

i

EH

S1

E1

H1

H2

S2

E2

H

H 1

2

Fig. 7.8


este: ∑=

=n

1kkk iVP iar puterea ce intră pe la bornele unui multiport cu m porţi este:

∑=

=m

1kkkiuP .

Din acest motiv studiul energetic al multor dispozitive electronice se poate reduce, punând în evidenţă doar legăturile dintre tensiuni(potenţiale) şi curenţii ce intră prin porţi(poli), fără a fi întotdeauna nevoie a se cunoaşte detaliat procesele din interior.

7.4 Teoremele forţelor generalizate (lagragiene) în câmp electric

Configuraţia geometrică a unui sistem de corpuri este caracterizată printr-un număr de parametri de poziţie; dacă un corp se poate mişca după câteva coordonate, al căror număr este numărul gradelor de libertate ale corpului respectiv, atunci aceste coordonate poartă numele generic de coordonate generalizate. Forţa care asigură deplasarea corpului după coordonata generalizată x poartă numele de forţă generalizată X. Dacă x este o deplasare liniară atunci X este componenta unei forţe în lungul acelei deplasări; dacă x este un unghi de rotaţie, atunci X este un moment(cuplu) în raport cu axul de rotaţie; dacă x este o arie, X este o tensiune superficială; dacă x este volum, X este o presiune, etc.

Considerăm un sistem de n corpuri conductoare (figura 7.9) aflate în prezenţă, încărcate cu sarcinile n21 qq,q … . Dacă unul dintre corpurile conductoare (de exemplu corpul k), Fig. 7.9

sau un bloc dielectric dintre corpuri, se poate deplasa după coordonata x sub acţiunea forţei electrice X exercitată de câmp, atunci la o deplasare a corpului k cu dx, sarcinile tuturor corpurilor din sistem se modifică cu câte

kdq (ele sunt conectate la surse de potenţiale n1 VV … ).

Energia primită în acest interval de la surse:∑=

n

1kkkdqV trebuie să acopere

atât creşterea energiei câmpului electric ( )edW cât şi lucrul mecanic efectuat de câmp pentru a schimba poziţia corpului k ( )XdxdL = , respectiv:

dielectric

1

n

X

x

dx

kqn

q1

qk


XdxdWdqV e

n

1kkk +=∑

= (7.40)

Ecuaţia (7.40) de bilanţ energetic este o ecuaţie diferenţială multivariabilă, care se poate integra doar în stări particulare. Să presupunem stările: a) pe timpul deplasării corpului k, toate corpurile sunt deconectate de la surse, deci sarcinile lor rămân constante ( )0dqctq kk =→= şi din (7.40) rămâne:

( )ctq

ectqe x

WXXdxdW=

= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=→−= (7.41)

Expresia (7.41) reprezintă prima teoremă a forţelor generalizate în câmp electric. Semnul (-) arată că pentru deplasarea corpului se cheltuie energie din energia acumulată în câmpul sistemului, deci duce la micşorarea acestei energii. b) pe timpul deplasării corpului k, toate corpurile rămân conectate la sursele de tensiune constantă (potenţialele lor 0dVctV kk =→= ). La schimbarea configuraţiei geometrice a sistemului, variază capacităţile dintre conductoare şi deoarece ctVk = , se vor modifica sarcinile lor cu kdq :

( ) ∑∑∑= ===

= +=→=n

1k 0kk

n

1kkk

n

1kctVekke dVq

21dqV

21dWqV

21W

k

( ) ( )ctV

en

1kkkctVe

kk x

WXdqV21XdxdW40.7

=== ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⇒==→ ∑ (7.42)

Expresia (7.42) reprezintă teorema a doua a forţelor generalizate în

câmp electric. Aportul de energie de la surse: ∑=

n

1kkkdqV este dublu faţă de

creşterea energiei electrice a sistemului şi se împarte egal între creşterea energiei ( )edW şi lucrul mecanic dL=Xdx efectuat de forţele electrice. Cele două expresii (7.41) şi (7.42) ale forţelor generalizate sunt echivalente şi dau acelaşi rezultat: forţa nu depinde de modul în care decurge procesul energetic la punerea corpurilor în mişcare. Descompunerea în cele două ipoteze (q=ct, V=ct) serveşte numai la calculul forţei, în general pe timpul mişcării unui corp din sistem se pot modifica şi sarcinile şi potenţialele. Energia electrică a sistemului este o funcţională care depinde de sarcinile sistemului şi de coeficienţii de potenţial( care şi ei depind de geometria sistemului, respectiv de coordonatele generalizate, al căror număr


este egal cu numărul gradelor de libertate: p21 xx,x … , dacă există p grade de libertate). Deci:

( ) ∑∑== =∂∂

+∂∂

=→=p

1kk

k

en

1k 0k

k

eep21n21ee dx

xWdq

qWdWxx,x,qq,qWW ……

Sau (7.43)

( ) ∑∑== =∂∂

+∂∂

=→=p

1kk

k

en

1k 0k

k

eep21n21ee dx

xWdV

VWdWxx,x,VV,VWW ……

(7.44) Pentru a calcula forţa generalizată cu prima teoremă (7.41) energia se scrie sub forma (7.43), punându-se în evidenţă parametrii constanţi ctqk = şi

qk

ek x

WX ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−= iar pentru a calcula cu teorema a doua (7.42), energia se va

scrie sub forma (7.44) şi-n acest caz forţa care determină o mişcare după

coordonata kx va fi: vx

WXk

ek ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

= .

Pentru un condensator la care una dintre armături (sau un strat dielectric) este deplasabil, forţa generalizată ce acţionează asupra corpului mobil este:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

∂∂

=∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=

xCu

21Cu

21

xxWX

xCu

21

xC

C2q

C1

x2q

C2q

xxWX

22

u

e

22

222

q

e

(7.45)

deci rezultatul este acelaşi, indiferent de teoremă, forţa depinde de variaţia

capacităţii C în funcţie de gradul de libertate x, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

xC . Întotdeauna se

consideră corpul mobil într-o poziţie intermediară (x) şi se calculează capacitatea sistemului C(x) şi apoi forţa cu (7.45).

• Indiferent de teorema utilizată pentru calculul forţei generalizate X, dacă a rezultat X>0 înseamnă că forţa X duce la creşterea coordonatei generalizate x iar dacă X<0 ea va duce la micşorarea coordonatei x.

• Forţele generalizate X sunt forţe rezultante ce acţionează asupra corpurilor aflate în câmp electric. Corpurile se presupun rigide (nedeformabile) pe timpul deplasării, forţa X este concentrată în


centrul de greutate al corpului. Se poate arăta că această forţa se distribuie asupra substanţei corpului pe tot volumul său ca o stare de presiune sau numai pe suprafaţa lor ca o tensiune superficială. Numai dacă se cunoaşte distribuţia forţelor electrice (magnetice) asupra unui corp se poate face un calcul de dimensionare a corpului ca să reziste solicitării. Forţele generalizate X ne permit să studiem mişcarea corpurilor şi care sunt tendinţele de mişcare a unui corp într-un câmp electric.

7.5 Teoremele forţelor generalizate în câmp magnetic

Şi în câmp magnetic, la fel ca în câmp electric, putem determina forţa rezultantă care o exercită câmpul magnetic asupra unui circuit dintr-un ansamblu de n circuite sau asupra unei armături feromagnetice. Energia magnetică a sistemului de circuite se poate exprima în funcţie de fluxurile sau curenţii din circuite şi în funcţie de geometria sistemului( gradele de libertate p21 xx,x … dacă sistemul prezintă p grade de libertate). Forţa generalizată se calculează separat pentru fiecare coordonată generalizată din cele p.

( )p21n21mm xx,x,ii,iWW ……= (7.46) ( )p21n21mm xx,x,,WW ……ΦΦΦ= (7.47)

La mişcarea circuitului j cu jdx se modifică fluxurile cu câte kdΦ . Energia suplimentară absorbită de la surse trebuie să acopere variaţia energiei magnetice a sistemului ( )mdW şi lucrul mecanic necesar pentru a mişca circuitul: XdxdL = :

∑∑==

+=Φp

1jjjm

n

1kkk dxXdWdi (7.48)

Şi ecuaţia de bilanţ energetic (7.48) este o ecuaţie diferenţială multivariabilă, pe care o integrăm în stări particulare:

a) pe timpul deplasării circuitului j cu jdx , fluxurile prin suprafeţele circuitelor rămân constante: 0dct kk =Φ→=Φ şi din ecuaţia de bilanţ (7.48) rămâne:


( )

( ) ctj

mjp

1jj

j

mn

1k 0k

k

mctm

p

1jjjctm

kk

k

xWX

dxx

WdWdW)47.7(

dxXdW

=Φ

== ==Φ

==Φ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−=⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

∂∂

+ΦΦ∂

∂=→

−=

∑∑

∑

(7.49) Expresia (7.49) este prima teoremă a forţelor generalizate în câmp magnetic. Dacă ctk =Φ , nu pot exista fenomene de inducţie electromagnetică, deci nu există schimb de energie între circuite şi câmp şi-n acest caz lucrul mecanic pentru deplasarea corpului j se efectuează pe seama rezervei de energie existentă în câmpul magnetic, deci duce la scăderea acestei energii (aşa se explică (-) din 7.49).

Identificând (7.48) cu (7.49) rezultă: k

mk

k

mk i

Wrespectiv,Wi∂∂

=ΦΦ∂

∂= .

b) considerăm că pe timpul deplasării circuitului j nu se modifică curenţii din circuite ( ctik = ):

( )

( )

( )

( ) ( ) ctij

mjp

1jj

j

mn

1k 0k

k

mim

n

1kkk

p

1jjjim

p

1jjj

n

1kkkctim

n

1k 0kk

n

1kkkctim

n

1kkkm

kk

k

k

k

xWX

dxx

Wdii

WdW46.7

di21dxXdW

dxXdidW)48.7(

di21di

21dWi

21W

=

== =

==

===

= ===

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

∂∂

+∂∂

=→

Φ==

⇒

⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

−Φ=→

Φ+Φ=→Φ=

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑∑

(7.50) Expresia (7.50) este teorema a doua a forţelor generalizate în câmp magnetic. Pentru a calcula forţa magnetică generalizată cu (7.49) funcţionala de energie magnetică trebuie scrisă sub forma (7.47) ca funcţie de parametrii constanţi ( kΦ ) şi coordonatele generalizate iar pentru a putea calcula cu (7.50) energia mW trebuie scrisă sub forma (7.46). În general, la mişcarea unui circuit pot varia simultan atât fluxurile cât şi curenţii, cele două ipostaze rămân doar ipoteze de calcul.


Pentru o bobină, energia magnetică este de forma:

L2Li

21W

22

mΦ

== , iar forţa ce se exercită asupra bobinei sau asupra unui

miez magnetic, calculată cu cele două teoreme este de forma:

)51.7(

xLi

21Li

21

xixWX:)50.7(

xLi

21

xL

L2L1

x2L2xxWX

22mm

22

222m

m

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=

∂∂

=∂∂Φ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂Φ

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Φ∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=Φ

deci rezultatul nu depinde de teorema utilizată. Trebuie evaluată expresia inductivităţii L a bobine atunci când armătura se află într-o poziţie

intermediară x, se calculează xL∂∂ şi cu (7.51) putem afla forţa ce se exercită

asupra ei.

• Forţa generalizată în câmp electric ( )x,V,qWx

X ee ∂∂

= şi cea din

câmp magnetic ( )x,,iWx

X mm Φ∂∂

= pot fi interpretate ca o viteză de

variaţie a funcţionalei de energie electrică eW sau magnetică mW ; forţele care provin din variaţia (derivata) unor funcţionale de energie, poartă numele, în mecanică, de forţe lagragiene.

• Echilibrul mecanic al sistemului de circuite se obţine acolo unde forţa 0Frez = (nu va exista deplasare) sau momentul 0Mrez = (nu va exista rotaţie), deci în general când X=0, condiţie echivalentă cu

0x

We =∂∂ respectiv 0

xWm =∂∂ . Aceasta înseamnă însă un punct de

extrem al funcţionalei de energie electrică ( eW ) sau magnetică ( mW ).

În mecanica newtoniană punctele de echilibru corespund unor minime ale funcţionalei de energie (corpurile obţin echilibru prin cădere, oprire din mişcare, etc); la fel şi în alte sisteme(termice),toate sunt sisteme disipatoare. În câmp electric şi magnetic sistemele găsesc echilibru în punctele de maxim ale funcţionalei de energie eW sau mW ; ele sunt sisteme acaparatoare dacă sunt cuplate la surse.


( )( )

( ) ⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

→=∂∂

↔=

⎩⎨⎧

→=∂∂

↔=

surselacuplatecircuiteW0x

W0X

surselacuplatesistemeWdecuplatesistemeW

0x

W0X

maxmm

m

maxe

mineee

(7.52)

Este de altfel evident că un sistem electric astfel acţionează asupra corpurilor încât să crească capacitatea electrică C a sistemului:

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=→

2maxe

2

minemax

Cu21W:cuplat

C2qW:decuplat

C

Un sistem magnetic acţionează în sensul creşterii inductivităţii L a

sistemului, ceea ce înseamnă ( ) 2maxmmax Li

21WL =→ .

Observaţii: 1. Forţele ce se exercită prin intermediul câmpului magnetic, în funcţie de mărimile care interacţionează, au următoarele denumiri:

• forţe electrodinamice: forţe ce se exercită între două circuite(sau bobine) parcurse de curenţi( forţe de tip Ampère).

• forţe electromagnetice: forţe ce le exercită un circuit parcurs de curent asupra unui corp magnetic( armătură); de exemplu forţa de atracţie a unui miez în interiorul unei bobine

• forţe magnetoelectrice( forţe de tip Laplace): forţa cu care un câmp magnetic exterior de inducţie extB acţionează asupra unui circuit parcurs de curent sau interacţiunea dintre câmpul magnetic inductor şi curentul indus.

• forţe magnetostatice: interacţiunea dintre doi magneţi permanenţi. • forţe magnetice( de tip Lorentz): forţa cu care un câmp B acţionează asupra

particulelor încărcate cu sarcină când se mişcă în interiorul câmpului magnetic.

2. Forţele pe care le exercită câmpul electric sau magnetic asupra corpurilor se distribuie cu o densitate de volum asupra substanţei corpului. Densităţile de volum ale forţei electrice, respectiv magnetice au expresiile( τ - densitatea de masă):

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

τμ

+μ−×=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

τε

+ε−ρ=

ddHgrad

21gradH

21BJf

ddEgrad

21gradE

21Ef

22vm

22vve

(7.53)

Termenii care apar în (7.53) se interpretează ca fiind diferite forme de acţiune a câmpului electromagnetic asupra corpurilor.


• ( )Ev ρ - densitatea forţei exercitată de câmpul exterior E asupra corpurilor

încărcate cu sarcină vρ .Forţa rezultantă este EqFdvEF vcorpv

v =⎯⎯ →⎯ρ= <<∫ .

O sarcină nu interacţionează cu propriul câmp electric.

• ( )BJ× - densitatea forţei exercitate de câmpul exterior B asupra corpurilor

parcurse de curent J . Forţa rezultantă este: ( ) ( )∫∫Γ

×=×= BldidvBJFcondv

-forţa

de tip Laplace. Un curent J nu interacţionează cu propriul său câmp magnetic, în mediu omogen.

• ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ε− gradE

21 2 şi ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ μ− gradH

21 2 - densităţile forţelor datorate

neomogenităţilor permitivităţii ε şi permeabilităţiiμ . Cum (-grad ε ) are sensul scăderii lui ε , aceste forţe sunt îndreptate dinspre regiunile cu ε mare spre cele cu εmic; la fel şi componenta magnetică de la μ mare, la μ mic.

• ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

τε

ddEgrad

21 2 şi ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

τμ

ddHgrad

21 2 -densităţile forţelor de

electrostricţiune şi magnetostricţiune; aceste forţe solicită local materialul creând tensiuni interne şi deformaţii mecanice interne, dar aduc o contribuţie nulă la forţa rezultantă ce se exercită asupra unui corp plasat în aer (vid).

3. Forţele electrice şi cele magnetice sunt dx

dWX;dx

dWX mm

ee == şi la aceeaşi

deplasare dx, forţele vor fi egale dacă me dWdW = . La aceleaşi dimensiuni geometrice, dispozitivul electric şi cel magnetic trebuie să aibă aceeaşi densitate de energie:

8

oo

2o

o

2'm

'e 1031

BEE

21

2Bww ⋅≈

με=→ε=

μ→=

Dacă în câmp magnetic se poate concentra până la o inducţie având T1B ≈ , în câmp electric va fi nevoie de un câmp având mV103E 8⋅≈ , câmp la care toate materialele sunt străpunse. Deci câmpul magnetic este capabil să concentreze în volum mic energii şi forţe mari, motiv pentru care majoritatea dispozitivelor electromagnetice( maşini electrice, contactoare, electromagneţi, etc) acţionează prin intermediul câmpului magnetic. Dispozitivele magnetice au volum mic dar greutate mare, din cauza miezurilor magnetice utilizate. Interacţiunea prin câmp electric necesită suprafeţe active mari ale corpurilor, chiar dacă greutăţile lor n-ar fi prea mari, dar ar trebui alimentate cu tensiuni înalte.


7.6 Aplicaţii 1. Să se determine forţa ce se exercită asupra unui bloc dielectric de permitivitate ε introdus între armăturile unui condensator plan ca în

figura 7.10. Armăturile

condensatorului au aria A=hl iar blocul dielectric îl presupunem introdus parţial pe distanţa x şi studiem ce se întâmplă cu el. În această poziţie capacitatea electrică a condensatorului este:

(7.54)

a)Admitem condensatorul încărcat cu oq± şi decuplat de la sursă:

(C2

qW2o

e = ). Cum coordonata x este o deplasare liniară, forţa generalizată

eX este o forţă F pe direcţia coordonatei x:

( )0

dhx

dxhd2

hqC2

qxx

WFX 2

o

o2o

2o

q

ee >

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ε+

−ε

ε−ε=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−==l

(7.55)

Cum F>0, ea va duce la creşterea lui x, deci atragerea blocului dielectric între armături; aceasta duce la creşterea capacităţii C iar energia

C2qW

2o

e = va scădea. Echilibrul se obţine pentru un ( )max

2o

mine C2qW = ;

blocul intră complet între armături iar dacă lungimea sa este mai mică decât l, el se va opri în zona centrală a condensatorului.

b) Admitem condensatorul cuplat la o sursă de tensiune U; energia

sistemului este 2e CU

21W = iar forţa o calculăm astfel:

( ) 0dhU

21

xCU

21CU

21

xxWFX o

222

U

ee >ε−ε=

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

== (7.56)

Expresia (7.56) este aceeaşi cu expresia (7.55).

Fig. 7.10

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ε+

−ε=

dhx

dxhC o

l

+

-

l

E(εο)

EF

x


Cum întotdeauna oε>ε forţa este (+), deci duce le creşterea coordonatei x şi va atrage blocul între armături. Creşterea lui C duce la

( ) 2maxmaxe UC

21W = şi în acest caz( sistem cuplat la sursă) echilibrul se

realizează într-un maxim al funcţionalei de energie. În ambele situaţii, sistemul duce la maxC .

2. Să se determine forţa pe care o exercită o bobină cilindrică cu N spire asupra unui miez magnetic cu permeabilitatea μ (figura 7.11).

Admitem că blocul cu permeabilitatea μ este introdus parţial pe distanţa x şi studiem ce forţă va exercita câmpul magnetic asupra sa. Privind bobina ca o bobină cu miez, scriem inductivitatea sa sub forma:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ

−−

μ=

μ+

μ−

==

r

o2

o

2

m

2

11x

AN

Ax

AxN

RNL

ll (7.57)

Aici nu putem considera că avem două bobine în serie (cum în problema precedentă erau două condensatoare în paralel), fiindcă bobina cu aer de lungime (l-x) este cuplată magnetic cu cea având lungimea x, deci

o1 LLL +≠ . Calculăm forţa generalizată asupra miezului cu ambele teoreme ale forţelor generalizate:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ

−μ

=∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

==→=

∂∂

=∂∂Φ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Φ∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−==→Φ

=Φ

ro2

222

i

mm

2m

22

22m

m

2

m

11AN2

iLxLi

21

xWFXLi

21W

xLi

21

xL

L2L2xxWFX

L2W

(7.58)

Dacă ( )1ro >μμ>μ atunci F>0 şi duce la creşterea lui x, respectiv creşterea lui L iar mW tinde spre un maxim.

Fig. 7.11

(μ)(μo)

N

Ho B HB

F

xl

i


Daca ( )cdiamagnetimaterial,1ro <μμ<μ atunci F<0, duce la scăderea lui x, blocul este respins afară de către bobină şi aceasta duce la creşterea lui L şi mW tot spre maxim tinde (maximul se atinge la x=0).

3. Forţa portantă a unui electromagnet

Un electromagnet format dintr-un miez magnetic de permeabilitate μ şi geometria din fig. 7.12 are o bobină cu N spire parcurse de curentul i. Coordonata generalizată este distanţa x dintre armătură şi polii electromagnetului. Să se determine forţa de atracţie (forţa portantă) asupra armăturii. Conform cu relaţia (7.51) forţa ce acţionează asupra armăturii este:

xLi

21FX 2

m ∂∂

== .

Bobina fiind aşezată pe un miez magnetic, inductivitatea bobinei o vom evalua în funcţie de reluctanţa miezului:

x2

AN

Ax2

A

NRR

NRNL

r

f

o2

o

f

2

mm

2

m

2

of +μ

μ=

μ+

μ

=+

== ll (7.59)

unde fl este lungimea liniei mijlocii de flux prin miez(fier) şi ol =2x este lungimea sa prin aer.

0AN

L2

x2

AN2xL

o2

2

2

r

f

o2

<μ

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

μ

μ−=

∂∂

l (7.60)

Forţa de atracţie dintre armături este:

0AAN

iLxL

2iF

o

2f

o2

222<

μΦ

−=μ

−=∂∂

= (7.61)

Forţa fiind (-), ea duce la scăderea coordonatei x, respectiv atragerea armăturii; forţa fiind proporţională cu 2i rămâne forţă de atracţie indiferent

Fig. 7.12

N

F

xNS

i

Φf

BoHo


de sensul curentului prin bobină. Dacă bobina este alimentată cu un curent sinusoidal tsinIi m ω= forţa va fi de forma:

tsinFF 2max ω= , fiind o forţă

variabilă în timp cu o valoare medie ca în figura 7.13. Forţa este variabilă ca un tsin2 ω , va produce o vibraţie a armăturii pe frecvenţa (2ω). Pentru a elimina aceste vibraţii există mai multe metode tehnice (electromagnet trifazat, ecranarea polului cu o spiră în scurtcircuit, etc ) toate variantele au în vedere eliminarea posibilităţilor ca forţa să treacă prin zero, cum era în figura 7.13. Forţa specifică, raportată la unitatea de arie a polului, este:

'm

2oo

o

2o

2

os wH

21

2B

NA21

A2F

f =μ=μ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Φ

μ== (7.62)

cu atât mai mare cu cât densitatea de energie magnetică a câmpului dintre poli şi armătură este mai mare. Inducţia magnetică pentru miezuri din tole are valori ( )5,1,1B …∈ T iar pentru miezuri din ferite ( )6,04,0B …∈ T, admitem T1B ≅ şi în acest caz forţa specifică care se poate crea sub polul unui electromagnet este:

.atm4m

N1041081

2Bf 2

57

o

2

s =⋅≈π

=μ

=−

Forţa de atracţie (7.61) nu este constantă pe timpul mişcării, ea depinde de x ca în figura 7.14. Armătura este reţinută la depărtarea maximă

Mx de un resort elastic iar când este atrasă, depărtarea minimă este 0xm ≈ . Pentru Mxx = forţa are valoarea

aF numită forţă de acţionare, care trebuie să fie suficientă pentru a pune în mişcare armătura (cu contactele mobile ale releului sau contactorului care sunt ataşate de ea) iar la sfârşit forţa este rF numită forţă de reţinere (figura 7.14), capabilă să menţină armătura lipită de poli.

Fig. 7.13

Fmed

Fmax

i

F

Fig. 7.14

F

Fr

Fa

xm xM x


- este densitatea de energie dacă ar exista doar 1E - densitatea de energie dacă ar exista doar 2E

- densitatea energiei de interacţiune dintre cele două câmpuri 1E şi 2E

4. Într-un mediu omogen cu permitivitate ε se suprapun două câmpuri electrice 1E şi 2E sub un unghi α . Să se determine densitatea de energie

'ew a câmpului electric rezultant.

Câmpurile se compun vectorial (figura 7.15):

21 EEE += α++= cosEE2EEE 21

22

21

2 Densitatea de energie electrică a lui E este:

αε+ε+ε=ε= cosEEE21E

21E

21w 21

22

21

2'e (7.63)

Densitatea 'erintw este maximă dacă 0=α sau π (câmpuri paralele sau

antiparalele) şi este nulă când câmpurile sunt ortogonale ( )21 EE ⊥ şi

2π

=α . Se observă că 'e

'e

'e 21 www +≠ , deci la compunerea câmpurilor

energiile nu sunt adiţionale.

5. Să se determine parametrii L şi C pentru o linie bifilară formată din două fire paralele de rază „a” aflate la distanţa D. Ce forţă se exercită între ele? a) Firul 1 este fir de dus iar firul 2 este fir de întors; în model electrostatic ele se consideră încărcate cu

lρ+ , respectiv lρ− . Într-un punct P(x) din figura 7.16 câmpul electric are expresia:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

περ

=+=xD

1x1

2EExE 21

l (7.64)

E1

E2

E2 E1

D

x

x

1 2a P

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

αε=

ε=

ε=

cosEEw

E21w

E21w

21'

.erint

22

'e

21

'e

2

1

Fig. 7.15

Fig. 7.16

E2

E1 E

α


Tensiunea între cele două fire, calculată de-a lungul axei x, este:

Cum D>>a, capacitatea între cele două fire este:

aDlnU

qC lπε≈= (7.65)

Energia electrică acumulată în câmpul electric dintre fire este 2

e CU21W = ; coordonata generalizată o considerăm distanţa D, deci forţa

electrică ce se exercită între fire este:

0

aDlnD2

UDC

2U

DWF

2

22e <

⋅

πε−=

∂∂

=∂∂

=l

Fiind forţă negativă, ea ar duce la micşorarea lui D deci, atracţie între fire.

b) Firul de dus 1 şi cel de întors 2 parcurse de curentul i creează în jurul lor câmpurile magnetice

1B şi 2B . Câmpul rezultant în punctul P(x)

Fig. 7.17 are expresia:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

πμ

=+=xD

1x1

2iBBxB 21 (7.66)

Fluxul exterior (prin suprafaţa cuprinsă între punctele m şi n din figura 7.17 este:

( )aDln

iLL

aaDlnidxxB ext

ext

aD

a

ext πμ

≅Φ

=≈→−

πμ

==Φ ∫−

lll (7.67)

Forţa magnetică ce se exercită între fire este:

0Di

21

DLi

21

DWF

22m >

πμ

=∂∂

=∂∂

=l

Forţa magnetică fiind (+) va duce la creşterea coordonatei D, deci firele se resping.

aaDln

qdx

xD1

x1

2q

dEUaD

a

2

1

−πε

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

πε== ∫∫

−

lll

x

Pn

1 2 x

D

ima

B1 B2

B2B1


Observaţie: Dacă sC şi sL sunt parametrii specifici ai liniei (pentru l=1m), se observă că εμ=ssCL , deci viteza de propagare a unei unde electromagnetice pe o linie bifilară este aceeaşi ca la propagarea unei unde printr-un mediu cu ( )με, , cum este cel din jurul liniei bifilare:

ssCL

11v =εμ

= (7.68)

8. Corpuri conductoare în câmpuri variabile

Câmpul electromagnetic în medii conductoare se studiază neglijând densitatea curentului de deplasare în raport cu densitatea curentului de conducţie, în valori efective:

Jcond = σE Jcond = σEef σ 6ωε << σ ω << 10E εJdepl = ε Jdepl = ωεEeft

⎫→⎪→ ←⎯→⎬∂

→ ⎪∂ ⎭

(8.1)

respectiv ipoteza rămâne valabilă dacă frecvenţa undei electromagnetice (sau a curentului) îndeplineşte condiţia (8.1), condiţie care pentru frecvenţele care se pot produce în actualele condiţii tehnice este îndeplinită; deci în medii conductoare se neglijează curentul de deplasare.

În regim staţionar (cvasistaţionar) liniile curentului se repartizează uniform pe secţiune ( iJ = = ct

S),circuitul este filiform. Ecuaţiile

satisfăcute de câmp în medii conductoare au forma (4.12) ecuaţii ale difuziei, respectiv:

HΔH = σμt

∂∂

; EΔE = σμt

∂∂

; JΔJ = σμt

∂∂

… (8.2)

Soluţia acestor ecuaţii pune în evidenţă “difuzia” câmpului electromagnetic într-o piesă conductoare,câmpul pătrunde şi se amortizează pe măsură ce înaintează în grosimea piesei conductoare.

8.1 Pătrunderea câmpului electromagnetic în semispaţiul conductor infinit extins

O undă plană având componentele E=jE şi H=kH înaintează în lungul axei Ox şi cade pe suprafaţa plană a unei piese conductoare considerată infinit extinsă si conţinută în planul yOz. Valorile câmpului la intrare sunt Eo şi Ho . Să studiem pătrunderea undei

1016


magnetice în piesa conductoare. Partea magnetică a undei are la pătrundere componentele:

H = H(x,t) = kH (x,t)zH (0,t) = H (t) = H sinωtz o om

⎧⎪⎨⎪⎩

(8.3)

În regim permanent sinusoidal ecuaţia difuziei (8.2) se transpune în complex sub forma:

2 22

22

d H d HH z zΔH = σμ = jωσμH = γ Hz zt dxdx

∂↔ ↔

∂ (8.4)

unde: 2 ωσμγ = jωσμ γ = jωσμ= (1+j) = α(1+j)πj 21+j4j=e =2

⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ (8.5)

γ = α+jα este constanta de propagare a câmpului prin spaţiul conductor; partea reală (α ) este constanta de atenuare a câmpului [Np], iar partea

imaginară (α ) este constanta de defazare [rad]( γ = α+jα = α 2 ) Soluţia ecuaţiei (8.4) este de forma:

1 2-γ γ -γ H -jαx-αxx x x omH = A e +A e = H e = e ez o 2

⋅ (8.6)

unde am admis că piesa conductoare este infinită în lungul axei Ox, deci nu va exista undă reflectată (undă inversă), deci 2A 0= , iar condiţia la limită este de tipul (8.3). În valori instantanee, expresia undei magnetice (8.6) se scrie astfel:

-αxH (x,t)=H e sin(ωt-αx)z om ⋅ (8.7) Cum:

π-j(αx- )-γ H -αxxz 4J = rot H J = J = - = γH e = αH e e y o om x∂

→ ⋅∂

(8.8)

π-αxJ (x,t) = 2αH e sin(ωt - αx+ )y om 4 (8.9)

Expresia undei electrice prin spaţiul conductor este de forma : α π-αxE (x,t) = ρJ (x,t) = 2 H e sin(ωt-αx+ )y y omσ 4

⎡ ⎤ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦ (8.10)

respectiv H (x,t)z este defazat în urma lui E (x,t)y , aşa cum I este în urma lui U la un circuit cu caracter inductiv.

8.Corpuri conductoare în câmpuri variabile 213

Impedanţa de undă a mediului conductor este :

π πj jE 2α ωμ ωμ4 4Z= = e = e = (1+j)

H σ σ 2σ (8.11)

Vectorul Poynting la intrarea în spaţiul conductor are valoarea :

21 1 α* *S = (E ×H ) = i E H = i 2 H = i So o o o o om o2 2 σ (8.12)

iar într-un punct la adâncimea x în interiorul conductorului (figura 8.1) va fi 21 1 α* * -2 xS = (E×H ) = i E H = i 2 H e = i Som2 2 σ

α⋅ (8.13)

2α π-2αxS (x,t) = 2 H e sin(ωt-αx) sin(ωt-αx+ ) =x omσ 4⋅

2Hα π π-2αxom= e cos - cos 2ωt - 2αx+σ 4 42

⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(8.14)

Valoarea medie a vectorului Poynting, la x = 0 , este : 2

2Hα αomS (0,t) = = Ho oσ 2 σ ; 2α -2αxS (x,t) = H ex oσ

(8.15)

Puterea activă care pătrunde în spaţiul conductor este : 21 αP = S (0,t) A = H Ao o lat om lat2 σ

⋅ ⋅ (8.16)

iar curenţii induşi în spaţiul conductor vor avea expresia : π-αxJ = J = 2αH e sin ωt - αx+y om 4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

; J = 2αHom om (8.17)

cu o repartiţie pe axa Ox ca în figura 8.2. Atenuarea curenţilor induşi este

ωσμα=2

, care este foarte pronunţată

la frecvenţe mari.La frecvenţe înalte, funcţia J(x) fiind puternic amortizată, se admite că am avea un curent repartizat cu aceeaşi valoare ca la suprafaţa piesei conductoare ( Jom )

pe o adâncime 1δ = α

numită adâncime de pătrundere, aria de sub graficul


real al funcţiei -αxJ = J eom şi cel al repartiţiei uniforme la suprafaţă ( J δom ⋅ ) are aceeaşi valoare. 8.2 Efectul de refulare

Un conductor cilindric cu parametrii constitutivi ( )σ,μ este parcurs de un curent variabil

mi = I sin tω . Repartiţia liniilor de curent pe secţiunea conductorului depinde în principal de frecvenţa curentului ( )ω ca în figura 8.3. Există posibilităţile:

(1) dacă curentul este continuu ( )ω = 0 sau de joasă frecvenţă, el se repartizeză uniform pe secţiunea conductorului cu densitatea:

i iJ = = o 2A πa, iar rezistenţa firului este:

R = o σAl .

(2) dacă frecvenţa este medie, repartiţia curentului are loc după legea -αxJ = J em , plecând de la suprafaţă spre interior. În centru densitatea curentului este mică iar rezistenţa firului creşte, Ra se numeşte rezistenţa în alternativ a conductorului ( R >Ra o ). (3) dacă frecvenţa este mare, atenuarea lui J este pronunţată. Practic în centrul firului nu circulă curent, la suprafaţă densitatea este foarte mare, firul se încălzeşte puternic la exterior. Curentul îl putem considera concentrat într-o peliculă de grosime δ la suprafaţa sa ca în figura

8.3. De exemplu, dacă printr-un fir de cupru(-16 Ωσ = 57 10 m⋅ ) cu raza

a = 6 mm trece un curent sinusoidal de frecvenţă f = 2500 Hz , atunci raportul dintre densitatea de curent J(r) si densitatea oJ la o repartiţie


uniformă ( o 2IJ =

πa) considerată în centrul conductorului este:

o-j68

oJ = 0,804eJ iar la periferia conductorului ( r = a ) aceasta devine:

oj37

oJ = 1,726eJ (coeficientul de atenuare este α = 750 ).

Cum 2δ = ωσμ

, la ω >> , adâncimea de pătrundere (de refulare) δ va

fi foarte mică, curentul circulă doar pe pelicula de grosime δ ( de unde numele de efect pelicular ( efect skin)).Dacă δ << a se apreciază că avem un efect pelicular pronunţat ( efect pelicular net). Contează deci şi grosimea ( raza a ) a conductorului dar în principal contează frecvenţa. O bară conductoare poate fi filiformă ( J constant pe secţiune) în curent continuu şi joasă frecvenţă iar o liţă subţire este masivă în înaltă frecvenţă. Cum în înaltă frecvenţă curentul circulă doar la suprafaţa firului conductor, conductorul poate fi ca o ţeavă prin care poate circula agentul de răcire a conductorului. Conductoarele utilizate în înaltă frecvenţă nu se realizează dintr-un

singur conductor gros la care curentul ar fi refulat la exteriorul său, ci sub forma unei împletituri din mai multe conductoare subţiri ( liţe ), ceea ce permite ca să existe curent şi în centrul conductorului ( figura 8.4-a). Funiile pentru liniile de înaltă tensiune fiind de secţiune mai mare, chiar la f = 50 Hz , se manifestă efectul de refulare. Ele se realizează dintr-o inimă de oţel care îi asigură o rezistenţă mecanică (la vânt, încărcare cu chiciură, etc ) iar în jurul acesteia există o

împletitură din fire de aluminiu (figura 8.4-b) care conduc curentul şi a cărei grosime este egală cu adâncimea de refulare δ .


8.3 Efectul de pătrundere O piesă conductoare cilindrică este

introdusă într-un câmp magnetic inductor B ale cărui linii să fie tangente la suprafaţa piesei şi este variabil în timp sub forma:

mB=B sinωt . Câmpul B(t) induce în conductor un

câmp electric indus E ale cărui linii sunt situate în plane ⊥ pe B (ca în figura 8.5). Câmpul E generează curenţii induşi J = σE ale căror linii coincid cu cele a lui E (curenţii J se mai numesc şi curenţi turbionari sau curenţi Foucault, tocmai fiindcă liniile lor fac turbioane (rotoare) în volumul piesei conductoare.

Dacă frecvenţa câmpului B este mică, curenţii induşi vor exista până aproape de centrul conductorului iar dacă ω , curenţii induşi sunt puternic amortizaţi spre interior, ei practic “pătrund” în conductor doar într-o peliculă de grosime δ la suprafaţă (de unde numele pentru δ de adâncime de pătrundere).

Fenomenul este utilizat în tehnica tratamentelor termice de suprafaţă (călire) pentru a se obţine efecte speciale (duritate mare a piesei la suprafaţă, pentru a nu se uza). Se introduce piesa în interiorul bobinei inductoare (cea care creează câmpul B ) şi în câteva secunde se înroşeşte la suprafaţă; se scoate şi se răceşte în mediul dorit (apă, cianură etc). Randamentul este foarte bun (comparat cu încalzirea în cuptoare cu gaz sau altele), se încălzeşte doar suprafaţa piesei, proprietăţile structurii interioare nu sunt afectate prin încălzire.

Totul este să se poată produce un câmp magnetic ale cărui linii să fie tangente la suprafaţa piesei iar când piesa are o formă mai complicată trebuie să avem bobine inductoare speciale.Alimentarea acestor bobine se face de la generatoare de înaltă frecvenţă (GIF).

8.4 Efectul de proximitate (vecinătate) Curentul variabil printr-un conducor se repartizează pe secţiunea acestuia în funcţie de frecvenţa sa ca urmare a efectului de refulare (spre exterior) a liniilor de curent. De fapt liniile de curent sunt refulate spre regiunea din conductor unde câmpul său magnetic este maxim; şi cum la un


conductor singur câmpul magnetic este maxim la suprafaţa sa, acolo are loc refularea liniilor de curent. Dacă în vecinătatea unui conductor se găsesc şi alte conductoare parcurse de curent variabil (fie de aducţie, fie indus în ele) câmpul magnetic al conductoarelor vecine modifică repartiţia câmpului magnetic iniţial şi

refularea va avea loc spre regiunea cu câmp maxim maxH . În zona interioară plăcilor conductoare din figura 8.6, cele două câmpuri magnetice au sensuri contrare, deci câmpul H va avea valori mari pe partea exterioară şi acolo va avea loc refularea liniilor celor doi curenţi. La frecvenţe mari ei se pot considera concentraţi pe o peliculă de grosimea δ la exteriorul plăcilor. Similar, pentru două conductoare paralele cu secţiune circulară, parcurse de curentul i de înaltă frecvenţă, efectul de refulare are loc ca în figura 8.7. În figura 8.7-a curenţii au acelaşi sens, în zona centrală câmpurile H au sensuri contrarii, câmpul maxim este la exterior iar curenţii vor fi refulaţi spre exterior, ei circulă prin secţunile haşurate. În figura 8.7-b curenţii au sensuri contrarii, câmpul magnetic este maxim în zona interioară şi curenţii vor fi refulaţi spre interior; ei vor circula doar prin secţiunea haşurată, cu atât mai îngustă cu

cât frecvenţa este

mai mare.


8.5 Efectul de buclă Fie o spiră groasă dintr-o bobină parcursă de un curent de înaltă frecvenţă. Câmpul magnetic este maxim în zona interioară, deci acolo va avea loc şi refularea liniilor de curent, prin secţiunea haşurată din figura 8.8.

Aceasta determină încălzirea spirelor pe partea interioară, acolo unde sunt condiţii grele de răcire a acestora (excepţie cazul spirelor realizate cu conductor ţeavă parcurs de un agent de răcire). Dacă bobina este un inductor care trebuie să încălzească piesele din

interiorul său, în acest caz încălzirea spirelor la interior va îmbunătăţii condiţiile de transfer a energiei spre interior. 8.6 Efectul Field (direct şi invers)

Dacă o bară conductoare este plasată într-un mediu omogen ( )μ = ct şi este parcursă de un curent variabil i(t) ca în figura 8.9-a, la frecvenţe mari va avea loc o refulare a liniilor de curent la periferia barei pe un strat de grosime δ .


Dacă bara parcursă de curentul i este plasată într-o crestătură feromagnetică (figura 8.9-b) atunci liniile de câmp magnetic au o altă distribuţie. Câmpul H este nul la fundul crestăturii şi este maxim la partea de sus a barei (pentru x=b). Deci şi refularea liniilor de curent va avea loc spre partea de sus a barei, curentul putând fi concentrat pe stratul de grosime

δ . Rezistenţa barei nu va mai fi R =ρo abl ci R =ρa aδ

l . Acest efect este

numit efectul Field direct şi reprezintă echivalentul efectului de refulare doar că este aplicat conductoarelor plasate în crestături feromagnetice. Dacă asupra barei conductoare plasată în crestătură cade un câmp magnetic inductor din exterior (figura 8.10), cum este cazul unui motor electric la care câmpul B creat de stator cade pe înfăşurarea rotorului, plasată în crestătură. Cu cât frecvenţa câmpului B este mai mare, densitatea curentului J indus în lungul barei va fi mai intens la suprafaţa de sus a acesteia, adâncimea de pătrundere δ va fi mică. Acest efect numit efectul Field invers

este analogul efectului de pătrundere, doar că este aplicat conductoarelor plasate în crestături. La pornirea unui motor electric asincron frecvenţa curenţilor induşi în rotor este mare, δ este mic şi rezistenţa barei din rotor este mare, fiind cu secţiune mică. Rezistenţa mare va limita curentul de pornire. Pe măsură ce se accelerează, scade frecvenţa curenţilor, δ creşte, scade rezistenţa şi în final curenţii induşi pătrund până la fundul crestăturii. Totul simulează introducerea unei rezistenţe suplimentare în rotor pe timpul pornirii. Ca efectul să se manifeste deplin, la micromotoare crestăturile se fac înguste şi adânci (motor cu bare înalte) pentru a avea porniri fără şocuri. 8.7 Efectul de ecranare A ecrana un dispozitv sensibil la câmpurile exterioare înseamnă a nu permite ca un câmp exterior să treacă prin ecran (ecranare dinspre exterior spre interior). A ecrana interior→exterior înseamnă a nu permite ca un câmp perturbator creat de un dispozitiv să se propage în mediul din jurul său. O ecranare electrică (figura 8.11-a) se realizează printr-un înveliş conductor ∑ care nu permite să intre câmpul Ee .Dacă învelişul conductor ∑ (o folie conductoare, plasă de sârmă etc) este legat la masă, atunci el


realizează ecranare în ambele sensuri, nici nu lasă să intre câmpul Ee dar nici să iasă câmpul Ei .

O ecranare magnetică se realizează cu folie feromagnetică care înconjoară zona protejată. Ea nu lasă să treacă (deloc sau parţial) nici Be nici Bi ca în figura 8.11-b.

Ecranare electromagnetică înseamnă a nu permite să treacă o undă electromagnetică. El se realizează dintr-o folie conductoare având grosimea g. Unda electromagnetică care cade pe suprafaţa ecranului va pătrundere în acesta pe adâncimea de pătrundere δ , care depinde de parametrii ( )σ,μ ai ecranului şi de frecvenţa undei. Dacă δ < g , vom obţine o ecranare completă, unda “s-a pierdut” în ecran iar daca δ g≥ se obţine o ecranare parţială, la ieşire amplitudinea sa este redusă de αge ori. 8.8 Efectul de levitaţie electromagnetică În câmpuri statice (electrostatice, magnetostatice ) nu se poate obţine echilibrul unui corp încărcat sau magnetizat permanent. În schimb un corp conductor poate fi adus în echilibru prin introducerea sa într-un câmp magnetic inductor, astfel ca interacţiunea dintre acest câmp şi curenţii turbionari să anuleze greutatea corpului

conductor G (figura 8.12). Considerăm un conductor cilindric masiv, foarte lung, plasat centrat în câmpul magnetic inductor creat de două fire (1 şi 2) parcurse de curentul i în sensuri opuse şi paralele cu axa cilindrului:

mi = I sinωt . Problema de proximitate dintre fire şi cilindru precizează poziţia firelor imagine


1′ şi 2′ . Compunerea forţelor de interacţiune 11 22F ,F′ ′ 12 1 2F ,F′ ′ ne dă forţa

rezultantă R ce se exercită asupra conductorului. Dacă cilindrul este centrat între cele două fire, forţa rezultantă nu va avea decât componenta Ry ; dacă nu este centrat, componenta Rx va aduce

cilindrul pe axa Oy , care este o axă de stabilitate.

Dacă forţa R = R < Gy , se obţine un efect de pernă magnetică, corpul nu se lasă cu toată greutatea, efect utilizat în tracţiunea electrică de mare viteză pentru a reduce frecarea trenului cu calea de rulare. Dacă R G≥ se obţine efectul de levitaţie( plutirea corpului conductor ) într-un câmp magnetic exterior. Fenomenul este utilizat în diverse aplicaţii tehnice: topirea metalelor în atmosferă controlată, depunerea picăturilor conductoare în tehnologia integratelor, când picătura pentru a nu se oxida superficial se depune în vid şi dirijarea ei din exterior se face prin levitaţie electromagnetică.

9. Circuite electrice în regim tranzitoriu

Un circuit electric care înainte de momentul t=0 era în regim permanent (sau în repaus) va intra în regim tranzitoriu ca urmare a unei comutaţii ce apare în momentul iniţial (t=0). Comutaţie într-un circuit electric înseamnă:

- închiderea sau deschiderea unui contact (sau aducerea în stare de conducţie a unui dispozitiv electronic – care echivalează cu închiderea unui contact sau stingerea unui dispozitiv, care echivalează cu deschiderea unui contact).

- aplicarea unui semnal (cuplarea la o sursă) sau încetarea unui semnal (decuplarea de la o sursă a circuitului).

- variaţia bruscă (în trepte) a unui parametru de circuit.

Reglarea unor dispozitive (potenţiometru, bobină variabilă, condensator variabil) chiar dacă se face relativ rapid nu declanşează un regim tranzitoriu, circuitul trece printr-o succesiune de regimuri permanente.

Comutaţiile într-un circuit pot fi: naturale (reale) când fenomenele care însoţesc regimul respectă toate legile şi teoremele acelor fenomene, şi forţate (ideale) când nu toate teoremele se verifică sub forma lor clasică. Comutaţiile forţate practic au apărut în studiu odată cu electronica de putere.

Un circuit funcţiona într-un regim permanent (1) până la momentul t=0 când a apărut o comutaţie, după care urmează un regim tranzitoriu de durată tΔ în care circuitul se adaptează la situaţia de după comutaţie şi în final urmează regimul permanent (2) ca în figura 9.1

( )tΔ


Regimul tranzitoriu a unui semnal este cuprins între două regimuri permanente. Durata sa tΔ teoretic este infinită, iar practic ea este de ordinul ( sec ~ msecμ ). Cele mai mari vârfuri de tensiune sau de curent pot apărea în timpul regimului tranzitoriu, deci circuitele trebuie protejate pe baza studiului acestor regimuri.

Soluţiile de regim tranzitoriu u(t) şi i(t) se obţin prin integrarea ecuaţiilor diferenţiale ale circuitelor în condiţii iniţiale date; pentru circuite liniare acestea sunt ecuaţii diferenţiale cu coeficienţi constanţi. Soluţia lor se poate scrie sub forma :

i(t) i if= + ; u(t) u uf= + (9.1)

unde ( )i , u reprezintă componenta liberă şi matematic ele sunt soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale omogene; în expresia lor intervin constantele de integrare al căror număr este egal cu ordinul ecuaţiei diferenţiale a circuitului, respectiv cu numărul de elemente reactive din circuit (L şi C). Circuitele de ordinul I au un L sau un C, cele de ordinul II au două elemente reactive. Circuitele care conţin numai rezistenţe nu au regim tranzitoriu, ele sunt descrise de ecuaţii algebrice şi orice comutaţie ar suferi, ele intră direct în noul regim permanent. De altfel numai elementele care înmagazinează energie (L şi C) au nevoie de un interval de timp pentru a se adapta.

Componentele ( )i , uf f se numesc componenta forţată şi matematic ele reprezintă soluţia particulară a ecuaţiei (sau a sistemului de ecuaţii) diferenţiale neomogene (în membrul drept ecuaţiile conţin t.e.m ale surselor din circuit).

Din alt punct de vedere, soluţia de regim tranzitoriu se poate scrie astfel:

i(t) i it p= + ; u(t) u ut p= + (9.2)

în care ( )i , ut t reprezintă componenta tranzitorie a soluţiei ( partea din

soluţie ce tinde la 0 când t →∞ ), iar ( )i , up p reprezintă componenta

permanentă a soluţiei, cea care rămâne în circuit la sfârşitul regimului tranzitoriu, în regimul permanent 2, respectiv nu se anulează pentru t →∞ .

Componentele ( )i , up p există numai dacă sursele din circuit au

componentă permanentă (continuă, sinusoidală, periodică nesinusoidală). În foarte multe situaţii există corespondenţele:

i i ; i i ; u u ; u ut f p t f p= = = = .

9. Circuite electrice în regim tranzitoriu 225

Cum componentele ( )i , u conţin constante de integrare, determinarea acestora se face punând condiţia iniţială în soluţia generală: i(t)= i if+ ; ( )u t u uf= + .

9.1 Teoremele condiţiilor iniţiale pentru comutaţii naturale

a) Condiţii iniţiale pentru laturi cu bobine:

Ecuaţia de tensiuni pentru o bobină este:

LL

diu Ldt

= (9.3)

Dacă intensitatea curentului prin bobină ar prezenta puncte de discontinuitate, atunci în

punctele respective Ldidt

→∞ şi Lu →∞ . Cum

tensiuni infinite nu există, nici curentul prin bobină nu poate prezenta salturi; deci iL(t) este o funcţie continuă în orice moment, inclusiv în jurul momentului comutaţiei (t=0):

0 0 0i i i− += = (9.4)

Dar fluxul magnetic al bobinei este LLiΦ = , deci nici fluxul nu poate fi discontinuu:

0 0 0− +Φ = Φ = Φ (9.5)

Cele două relaţii (9.4) şi (9.5) ne permit să stabilim condiţia iniţială a unei bobine dacă ştim starea bobinei chiar înainte de comutaţie: i ;o oΦ− − .

Cele două relaţii care reprezintă teorema condiţiei iniţiale pentru o bobină aflată în comutaţie au şi o justificare energetică. Energia magnetică a unei bobine se scrie sub forma:

21 2W Lim L2 2LΦ

= = (9.6)

Dacă iL(t) sau Φ (t) ar prezenta discontinuităţi atunci şi energia Wm ar avea discontinuităţi, ceea ce contrazice legile fenomenelor naturale: nici o energie nu apare sau dispare brusc şi nici nu variază prin salturi, energiile se adună în timp şi dispar în timp.

Φ


b) Condiţii iniţiale pentru condensatoare:

Curentul prin condensator are

expresia:

CC

dui Cdt

= (9.7)

Dacă tensiunea la bornele unui condensator uC(t) ar prezenta discontinuităţi aceasta ar

implica în acele momente: Cdudt

→∞ şi Ci →∞ . Dar curenţi infiniţi nu

există, respectiv uC(t) este funcţie continuă pentru orice t, inclusiv pentru t=0:

0 0 0u u uC C C− += = (9.8)

dar: C 0 0 0q Cu q q q− += → = = (9.9)

Relaţiile (9.8) şi (9.9) reprezintă teorema condiţiei iniţiale pentru un condensator. Energia înmagazinată în câmpul electric dintre armăturile sale este:

22

e C1 qW Cu2 2C

= = (9.10)

Dacă uC(t) şi q(t) ar putea fi discontinue, atunci şi We ar putea varia printr-un salt ceea ce contrazice legile naturii; deci (9.8) şi (9.9) au şi o justificare energetică.

Curentul printr-o bobină se scrie sub forma:

L L 11i (t) u (t)dt CL

= +∫ sau 0

t

L L L0

1i (t) u (t)dt iL

= +∫ (9.11)

iar tensiunea la bornele unui condensator se scrie sub forma:

C C 11u (t) i (t)dt AC

= +∫ sau 0

t

C C C0

1u (t) i (t)dt uC

= +∫ (9.12)


Cele două funcţii iL(t) şi uC(t) sunt univoc determinate dacă se cunosc condiţiile lor iniţiale: Loi şi Cou . Pentru a cunoaşte evoluţia unei bobine sau a unui condensator după comutaţia din momentul (t=0), trebuie să cunosc “istoria” celor două elemente, starea lor dinainte de comutaţie, fiindcă relaţiile (9.4) şi (9.8) spun că: L L C Co o o oi i , u u .

− −= =

Trebuiesc cunoscute atâtea condiţii iniţiale câte bobine şi condensatoare există în circuit, dar şi numărul constantelor de integrare din soluţie este egal tot cu ordinul circuitului (ordinul ecuaţiei sale diferenţiale) deci problema este determinată; pe baza celor două teoreme ale condiţiilor iniţiale se pot determina constantele de integrare din soluţia de regim tranzitoriu.

Observaţie: Mărimile ( )Li t şi ( )Cu t care, conform teoremei condiţiilor iniţiale, sunt mărimi cu variaţie continuă în jurul oricărui moment t, inclusiv în jurul momentului comutaţiei (t=0); astfel de mărimi cu variaţie controlată nu prezintă salturi, ele se mai numesc variabilele de stare ale unui circuit electric.

9.2 Circuite simple sub excitaţii particulare

9.2.1 Cuplarea şi decuplarea unui circuit RL serie la o sursă continuă

Observaţie: Toate ecuaţiile diferenţiale ale unui circuit pentru studiul regimului tranzitoriu se scriu în starea de după a circuitului, deci după comutaţie. În urma comutaţiei o parte de circuit e posibil să iasă din funcţiune, deci pentru porţiunea respectivă nu se mai scriu ecuaţii.

Pentru circuitul din figura 9.3 comutaţia înseamnă închiderea

contactului k la momentul t=0. Ecuaţia de tensiuni este:

diL Ri Edt+ = (9.13)

circuitul este de ordinul întâi (o singură bobină) deci şi ecuaţia (9.13) este de ordinul I.

Soluţia ecuaţiei diferenţiale omogene este soluţia liberă:

R tdi LL Ri 0 i i Aetdt

−+ = → = = (9.14)


Soluţia permanentă (forţată) se poate scrie de pe circuit; după ce a trecut regimul tranzitoriu prin circuitul din figura 9.3 se stabilizează curentul:

p fEi iR

= =

Deci:

o oo

R tLi i i i Ae i i A A i ip t p o p o p(t 0;i i )

−= + = + ⎯⎯⎯⎯⎯→ = + → = −

= =

Soluţia de regim tranzitoriu pentru circuitul RL este de forma:

( )o

R tLi i i i ep o p

−= + − (9.15’)

Mărimea [ ]L secR

τ = este constanta de timp a circuitului.

Dimensional pentru τ rezultă: di Lu Ri,u L secdt R

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = → =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦.

Soluţia

( )0

ti i i i e p 0 p

−τ= + − (9.15)

este reprezentată grafic în figura 9.4.

Cuplarea circuitului RL Înainte de închiderea lui k nu există curent în circuit (i0=0) iar în

final va circula curentul

pEiR

= , deci (9.15) devine:

tEi 1 eR

⎛ ⎞−⎜ ⎟τ= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(9.16)

Constanta de timp τ a unui circuit are mai multe interpretări:

τ

τ


• este timpul după care curentul ar atinge valoarea de regim

permanent pEiR

= dacă ar varia cu viteza iniţială (după

tangenta la grafic în origine ca în figura 9.5) • este subtangentă la curbă

în orice punct M al variaţiei i(t).

• pentru o mărime cu

variaţia t

i(t) I eo−τ= ,

constanta de timp τ reprezintă timpul după care mărimea i se reduce de e ori ca în figura 9.6. După 2 τ se reduce de e2 ori, iar după

5 τ ajunge la valoarea oo5

I 0,67%Ie

= . Deducem că orice regim tranzitoriu

durează maxim (4-5) constante de timp. Bobinele cu multe spire şi aşezate pe miez magnetic au L mare şi

LR

τ = va fi mare, pentru ele durata regimului tranzitoriu va fi mare

(~ msec), ele se adaptează mai greu. Decuplarea circuitului RL. Admitem că la momentul t=0 se deschide

contactul, şi curentul care există în circuit în acel moment va fi condiţia iniţială pentru regimul tranzitoriu

care începe: oEt 0 iR

= → = iar

în final pentru t →∞ ,

oi 0 i 0p p= → = ( oip este o

mărime de calcul, ea reprezintă valoarea lui pi luată în t=0; însă

pi nu există decât după terminarea regimului tranzitoriu, valoarea sa la t=0 nu are nici o semnificaţie fizică). Deci soluţia de regim tranzitoriu (9.15) la decuplare este de forma:

tEi eR

−τ= (9.17)

τ 2τ


ea este reprezentată în figura 9.7 ( di - curentul la decuplare). Cum contactul k s-a deschis, acest curent (9.17) nu se poate închide decât dacă între contactele fix şi mobil ale întreruptorului k apare o scânteie (la bobine mai mari chiar arc electric care se menţine până bobina s-a descărcat, toată

energia sa magnetică s-a transformat în căldură pe R şi pe scânteia electrică dintre contacte. Dacă k nu este un întreruptor mecanic (ci unul electronic, static) trebuie să

se prevadă în paralel cu k un circuit de stingere (figura 9.8) prin care să se descarce bobina. Sau în paralel cu circuitul RL se prevede o diodă de fugă prin care se va închide curentul de descărcare a bobinei ( )i td atunci când se decuplează de la sursă (se deschide k) ca în figura 9.9. Tensiunea la bornele bobinei va avea următoarea dinamică:

tdicuplare : u L E eL dt

tdiddecuplare : u L E eL dt

−τ= =

−τ= = −

(9.18)

şi ele sunt reprezentate în figura 9-10 a,b.

Vârful de tensiune (-E) din figura 9.10 – b favorizează aprinderea unei scântei între contacte la deschiderea lui k.

⎧⎪⎨⎪⎩


9.2.2 Cuplarea şi decuplarea unui circuit RL serie la o sursă sinusoidală

Circuitul RL se va

cupla la o sursă sinusoidală având t.e.m. e de forma:

( )ee 2Esin t= ω + γ (9.19)

Dacă în regim permanent eγ era o mărime arbitrară (distanţa de la

originea de timp, arbitrar aleasă, până la cea mai apropiată trecere prin zero în sens crescător a lui e), în studiul regimului tranzitoriu originea de timp nu

mai e aleasă arbitrar ci este chiar momentul comutaţiei (t=0). Faza iniţială eγ pune în evidenţă în ce poziţie a fost surprinsă sursa în momentul comutaţiei, când t.e.m. avea valoarea e0 (figura 9.12).

Soluţia de regim tranzitoriu este de forma (9.15) când la cuplarea circuitului vom avea:

0t 0 i 0;= → =

( ) ( )oE Ei 2 sin t i 2 sinp e p et 0Z Z

= ω + γ −ϕ ⎯⎯⎯→ = γ −ϕ=

2 2 2

pZ R L E; IL Ztg

R

⎧ = +ω⎪ =⎨ ωϕ =⎪

⎩

(9.20)

Înlocuind în (9.15) se obţine expresia curentului tranzitoriu la cuplare:

( ) ( )t

Ei 2 sin t sin ee eZ

⎡ ⎤−⎢ ⎥τ= ω + γ −ϕ − γ −ϕ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(9.21)

eγ

tω


Componentele: ( )

( )

i 2I sin tp p et

i 2I sin ep e

⎧ = ω + γ −ϕ⎪⎪⎨ −⎪ τ= γ −ϕ⎪⎩

sunt reprezentate în figura 9.13, iar soluţia tranzitorie este superpozitia lor:

pi i i= + . Cea mai mare valoare pe care o poate atinge curentul este:

maxEi 2 2Z

⎛ ⎞≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠

în funcţie de momentul ales pentru cuplarea la sursă ( )eγ .

Dacă dorim să alegem un moment optim al cuplării, astfel încât să nu existe regim tranzitoriu, circuitul din repaos să treacă direct în regimul permanent ip , trebuie ca în soluţia (9.21) să impunem ca

( )

opt

i 0 sin 0eLarctge R

= ↔ γ −ϕ =

ωγ = ϕ =

(9.22) Pentru o frecvenţă de doar f=50Hz,

perioada lui e este 1T 0.02secf

= = (figura

9.14) şi manual ar fi imposibil de închis circuitul pe o fază eγ dată de (9.22). Aceasta devine posibil doar electronic, în momentul dorit ( opteγ ) se

dă impulsul de cuplare a circuitului la sursă. 9.2.3 Încărcarea şi descărcarea unui condensator

Când comutatorul k din figura 9.15 se închide pe poziţia 1, circuitul RC este cuplat la sursă şi începe încărcarea condensatorului ( iî – este curentul de încărcare), iar când k trece pe poziţia 2, începe descărcarea ( id –este curentul de descărcare).

tω

eγ

ireg. tranzit.

e

T

t


Ecuaţia de tensiuni a circuitului este de forma:

1Ri idt EC

+ =∫ (9.23’)

sau cu o schimbare de variabilă: dq dq qi R Edt dt C

= → + = (9.23’’)

sau q Cuc duc RC u Edu cc dti C

dt

=⎧⎪ → + =⎨=⎪⎩

(9.23’’’)

Soluţia ecuaţiei diferenţiale (9.23’’) este q q qp= + , în care q este soluţia generală a ecuaţiei omogene:

1 ttRC RCq Ae q q Ap

− −= → = + (9.24)

Dacă în momentul cuplării comutatorului pe poziţia (1) condensatorul era încărcat cu qo (de la o funcţionare anterioară), atunci:

( )oo

tq qot 0 A q q q q q q eq q o p p o ppp t 0

=⎧ −⎪ τ= → → = − → = + −=⎨⎪ =⎩

(9.25)

În care [ ]RC secτ = este constanta de timp a circuitului RC serie. Încărcarea condensatorului

Dacă q0=CU0 era încărcarea iniţială a condensatorului iar q CEp = este încărcarea finală (după regimul tranzitoriu), atunci

oq q CEp p t 0= == .

Soluţia (9.25) devine,

pentru acest caz, de forma

( )t

q CE C U E eo−τ= + −

(9.26’)


iar curentul de încărcare este:

tE Udq oi e

dt R

−− τ= = (9.27’)

reprezentate grafic în figura 9.16. Dacă nu există încărcare iniţială ( )q CU 0o o= = atunci:

tq CE 1 e

⎛ ⎞−⎜ ⎟τ= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(9.26)

tEi eR

−τ= (9.27)

Curentul de încărcare este un impuls cu valoarea iniţială ER

care,

dacă R este mic (cum este cazul la cuplarea cablurilor de comunicaţii care sunt circuite RC cu R<<), poate deveni periculos pentru circuit.

În acest caz, în serie cu circuitul RC se introduce o rezistenţă de valoare mare Rp (rezistenţă de pornire) care va limita vârful impulsului de curent la

p

ER R+

(figura 9.17) iar

după regimul de cuplare se închide şi contactul k1 pentru a scoate rezistenţa Rp din circuit. Se poate arăta că introducerea rezistenţei Rp nu afectează cu nimic randamentul schemei. Într-adevăr, energia transformată în căldură pe rezistenţa înseriată cu

condensatorul are expresia:

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩


2t 2t2 2 2E E CE2W Ri dt R e dt ej 2 R 2 2R 00 0

∞ ∞ ∞− −−τ⎛ ⎞τ τ= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ (9.28)

Deci energia pierdută prin efect Joule nu depinde de valoarea rezistenţei din circuitul de încărcare şi este egală cu energia utilă înmagazinată în condensator (randament 50%); rezistenţa Rp a avut doar un rol benefic.

Descărcarea condensatorului La trecerea comutatorului k pe poziţia (2) în figura 9.15 începe

procesul de descărcare a condensatorului, toată energia acumulată în câmpul electric se va transforma în căldură pe rezistenţa R.

Mărimile (9.29) reprezentate grafic arată dinamica descărcării unui condensator ca în figura 9.18.

9.2.4 Cuplarea circuitului RC la o sursă sinusoidală Sursa are t.e.m.de forma:

( )ee 2Esin t= ω + γ (9.30)

unde eγ este faza iniţială a lui e faţă de

0

tq CEe

tt 0 q CEo u Eect q 0 q 0p p t

dq Ei ed dt R

⎧ −⎪ τ=⎪⎪

−= → = ⎫ ⎪⎪ τ⇒ =⎬ ⎨→∞→ = ↔ = ⎪ ⎪⎭⎪ −− τ⎪ = =⎪⎩

(9.29)


momentul comutaţiei (t=0). Curentul absorbit în regim permanent este:

( )p eEi 2 sin tZ

= ω + γ + ϕ unde 2 2cZ R X= + şi 1arctg

RCϕ =

ω sunt

impedanţa şi defazajul introduse de circuit. Sarcina de pe armături în regim permanent este de forma:

Eq i dt 2 sin tp p eZ 2π⎛ ⎞= = ω + γ + ϕ−⎜ ⎟ω ⎝ ⎠∫ (9.31)

( )oEq q 2 sinp p et 0 Z 2

π⎛ ⎞= = γ + ϕ−⎜ ⎟= ω ⎝ ⎠ (9.32)

Dacă în momentul cupălrii q0=0, atunci expresia tranzitorie (9.25) devine:

p

tE Eq 2 sin t 2 sin ee eZ 2 Z 2

q q

−π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ τ= ω + γ + ϕ− − γ +ϕ−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ω ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (9.33)

Dacă dorim, şi-n acest caz, să găsim un moment optim al cuplării

( )opteγ , astfel ca circuitul să treacă direct în regim permanent, trebuie ca

soluţia liberă să fie nulă:

optq 0 sin 0e e2 2π π⎛ ⎞= ↔ γ +ϕ− = → γ = −ϕ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (9.34)

Curentul la cuplare are expresia de forma:

( )t

dq E Ei 2 sin t 2 sin ee edt Z RCZ 2

−π⎛ ⎞ τ= = ω + γ +ϕ + γ +ϕ−⎜ ⎟ω ⎝ ⎠ (9.35)

9.2.5 Regimul tranzitoriu al circuitului RLC serie

Ecuaţiile circuitului scrise în variabilele (i, q, uC) sunt de forma:


2

2

2C C C

C2

di 1Ri L idt Edt C

dq d q dq qi L R Edt dt Cdt

du d u dui C LC RC u Edt dtdt

⎫+ + = ⎪

⎪⎪⎪= → + + = ⎬⎪⎪⎪= → + + =⎪⎭

∫

(9.36)

Ecuaţia caracteristică pentru ecuaţia omogenă în variabila Cu are rădăcinile:

22 22

1,2RC R C 4LC R R 1LCr RCr 1 0 r

2LC 2L 2L LC− ± − − ⎛ ⎞+ + = → = = ± −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (9.37)

Notăm: R2L

δ = - factorul de amortizare a circuitului

o1LC

ω = - pulsaţia proprie de rezonanţă a circuitului

Deci: 2 21,2 0r = −δ ± δ −ω = −δ ±Ω (9.37’)

a) dacă o crR 1 LR 2 R2L CLC

δ > ω → > ↔ > = (rezistenţa critică a

circuitului) atunci, având două rădăcini reale (r1,r2) soluţia liberă este de forma:

( ) ( ) ( )t tr t r t t1 2C 1 2 1 21u A e A e A e A e Ae sh t−δ+Ω −δ−Ω −δ= + = + = Ω +α (9.38)

soluţia, în acest caz, este aperiodică de forma (9.38)

b) dacă 0 cr 1 2LR R 2 r rC

δ = ω → = = → = = −δ . Soluţia liberă în acest caz

este de forma:

( ) tC 1 22

u A A t e−δ= + (9.39)

Regimul în acest caz este un regim aperiodic critic (este cel mai scurt regim aperiodic)

c) dacă 0 cr 1,2LR R 2 r jC

δ < ω ↔ < = → = −δ± Ω


Soluţia liberă are expresia:

( ) ( ) ( )j t j t tC 1 23

u A e A e Ae sin t−δ+ Ω −δ− Ω −δ= + = Ω +α (9.40)

care este un regim periodic (oscilant) amortizat. Circuitul este de ordinul II, ecuaţia diferenţială este şi ea tot de

ordinul II şi în soluţia liberă există două constante de integrare (A1, A2) sau (A,α ). Determinarea lor se face pe baza condiţiilor iniţiale.

La cuplare condensatorul putea avea o încărcare 0Cu sau nu

( )0Cu 0= iar curentul prin circuit înainte de cuplare era zero, iar bobina L

impune oi 0= . Punând condiţiile iniţiale în soluţia generală:

( ) ( )C C C C C Cp 0

1 2CC

u u u u t E u u 0 EA ,Adudui C C

dt dt

⎫= + = + ↔ = +⎪⇒⎬

⎪= =⎭

(9.41)

Soluţiile sunt reprezentate grafic în fig. 9.21 – a,b. Tensiunea ( )Cu t tinde în final spre valoarea E, dar în funcţie de valorile elementelor, dinamica cum ajunge la valoarea finală este diferită în cele trei situaţii(a,b,c). La curentul

de încărcare a condensatorului nu va mai apare vârful de curent ER

, din

cauza bobinei care se găseşte în circuitul de încărcare a condensatorului, acest maxim este redus şi întârziat în timp.


9.2.6 Aplicaţii 1. Pentru circuitul

din figura 9.22 contactul k1 se închide în momentul t=0, iar după timpul t=t1=4ms se închide şi k2.

Să se determine expresiile tranzitorii ale curenţilor i, i1 şi i2. ________________

a) La t 0; i 0o= =

Ecuaţia de tensiuni a circuitului este:

( ) ( )

0

diR R i L L E1 2 1 2 dtt

L LE 7,5 1 2i 0.5A i ;i Ae ; 2msp pR R 15 R R1 2 1 2

+ + + =

− +τ= = = = = τ = =+ +

Soluţia de regim tranzitoriu va fi de forma:

( ) ( ) ( )o

t500ti i i i e 0,5 1 e tp o p

− −τ= + − = − ⋅ γ (9.42)

b) La momentul t=t1=4ms ( ) ( )1500ti t 0,5 1 e 0,432A1−→ = − = şi

aceasta va fi condiţia iniţială pentru ambele bobine din circuit în noul regim tranzitoriu care începe în momentul t1.

• Bobina L1:

( ) ( )R1 t t1L11 1 1 1 1 1p p p o poo1

Ei 0,75A i i i i i e ;R

− −= = = → = + −

311

1

L 10 secR

−τ = =

1 2

1 1 2

E 7,5V; R 10 ; R 5t 4ms; L 10mH; L 20mH= = Ω = Ω= = =


( ) ( ) ( ) ( )1 11000 t t 1000 t t1 1i 0,75 0,432 0,75 e 0,75 0,318e t t− − − −= + − = − ⋅ γ −

(9.43) • Bobina L2:

( )21

2p p p o po o

R t t LL 2i i 0 i i i i e ; 4ms.2 2 2 2 2 2 2 R2

− −⎛ ⎞= = → = + − τ = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Deci: ( ) ( )1250 t ti 0, 432e t t2 1− −= ⋅ γ − (9.44)

Dinamica celor trei curenţi este prezentată în figura 9.23.

Faptul că expresiile

(9.43) şi (9.44) sunt înmulţite cu trepta translatată ( )1t tγ − pune în evidenţă că cele două funcţii i1(t) şi i2(t) există numai începând cu momentul t1 (t>t1).

2. Circuitul din figura 9.24

funcţionează în regim permanent, iar la momentul t=0 se închide k. Se cere expresia tranzitorie pentru uC(t). _____________________

Deşi este circuit de ordinul I, cu un singur condensator, nu se pot aplica relaţiile (9.25) care sunt valabile doar pentru circuite RC – serie.

Vom scrie ecuaţiile de funcţionare a circuitului în starea de după comutaţie(cu k închis):

τ 2τ

1τ


( )

c c23

3 31 2 3

c 1 31 1 2 2 c1 2 1 3 2 3 c

3 33 3 2 2 c

c2

' ''cc

u duRi CR R dti i i

du R RCR i R i u E R R R R R R u ER dt RR i R i u 0 dui C

dt du R C R u Edt

⎧ = +⎪= +⎧ ⎪⎪ ⎪ ++ + =⎪ + + + =⎪ ⎪⇒⎨ ⎨− − =⎪ ⎪ ↓⎪ ⎪=⎪ ⎪⎩

+ =⎪⎩

Ecuaţia diferenţială echivalentă (9.45) la care s-a redus sistemul de ecuaţii iniţial este o ecuaţie diferenţială de ordinul I pentru care constanta de timp este:

R 'C 1 5msecR '' 200

τ = = =

După regimul tranzitoriu se va stabiliza un regim nou permanent pentru care:

( )pR R3 3u E 40V;u 0 E 20VC CR R R R R1 3 1 3 4

= = = =−+ + +

Soluţia ecuaţiei (9.45) este de forma:

( )( ) ( )

200tC

C C

u t 40 Ae

u 0 u 0 20 40 A A 20

−

− +

= +

= ↔ = + → = − Soluţiile tranzitorii sunt:

( ) 200tu t 40 20ecdu 200tci C 2e2 dt

−⎧ = −⎪⎨ −= =⎪⎩

Ele sunt reprezentate grafic în figura 9.25.

3. Circuitul din fig. 9.26 – a are comutatorul k pe poziţia 1 şi funcţionează în regim permanent. Comutatorul k trece pe poziţia 2 în

momentul în care t.e.m. a sursei alternative are valoarea Emax2

şi este în

descreştere.

1

2 3

4

E 60VR 5R R 10R 15C 100 F

=⎧⎪ = Ω⎪⎪ = = Ω⎨⎪ = Ω⎪⎪ = μ⎩ ( )9.45

(9.46)


Să se determine regimul tranzitoriu al curentului i(t).

( )

1 2

e

R R 10 ;L 31,8mHE 200Ve 141sin 314t

⎧ = = Ω =⎪

=⎨⎪ = + γ⎩

Comutaţia apare în momentul (t=0): ( ) mt 0

Ee2= = şi este în

descreştere e e e141 1141sin sin 30

2 2= γ → γ = → γ = sau 150 şi dacă este

în descreştere e51506π⎛ ⎞→ γ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ca în figura 9.26 – b.

Valoarea iniţială a curentului prin bobină este:

o1 2

E 200i 10AR R 20

= = =+

. În regim sinusoidal circuitul are:

2 22 LZ R X 10 2= + = Ω ;

2

Ltg 1R 4ω π

ϕ = = →ϕ = . Deci în regimul

permanent final va rămâne curentul:

( ) ( ) [ ]

0

mp e

1p

Ei sin t 10sin 314t 105 AZ

1 Ri 10sin105 9,66 A; 314secL

−

= ω + γ −ϕ = +

= = = =τ

Soluţia tranzitorie cerută este de forma:

( ) ( ) 314ti t 10sin 314t 105 0,33e−= + + (9.47)

tω

'eγ

eγ


Curentul i(t) nu va avea regim tranzitoriu ( )i 0= dacă 0o pi i= ,

respectiv: ( ) ( )e e e310 10sin sin 1 '

2 4π π

= γ −ϕ → γ −ϕ = → γ = +ϕ = .

Cuplarea trebuie să aibă loc în momentul 0’, astfel ca faza iniţială să

fie 'e

34π

γ = şi circuitul R2L va intra direct în regim permanent. (Aşa cum se

observă pe figura 9.26 – b, la fazele 4π şi 3

4π funcţia e(t) trece prin valoarea

sa efectivă mef

EE2

= , iar în momentul 0’ t.e.m. e(t) trece prin valoarea

efectivă şi este în descreştere).

9.3 Analiza operaţională a circuitelor electrice în regim tranzitoriu pe baza transformatei Laplace

Metodele clasice (directe) de rezolvare a unui sistem de ecuaţii

diferenţiale implică trei etape: determinarea soluţiei generale a sistemului omogen; determinarea soluţiei particulare a sistemului neomogen; determinarea constantelor de integrare pe baza condiţiilor

iniţiale date. Metodele operaţionale contopesc cele trei etape şi permit calculul

direct al soluţiei corespunzătoare condiţiilor iniţiale date. Plus de aceasta, ele permit o sistematizare a calculelor (metode tip de calcul, tabele precalculate, etc.).

Metodele operaţionale se bazează pe asocierea biunivocă a unei funcţii imagine pentru o funcţie original f(t) dată şi prin aceasta ecuaţiile integro-diferenţiale între funcţiile original se transformă în ecuaţii algebrice între funcţiile imagine.

Atât în metoda operaţională cât şi în cea clasică intervine ca parte dificilă rezolvarea unor ecuaţii algebrice de grad superior (gradul polinomului în s, respectiv gradul ecuaţiei caracteristice) dacă circuitul este de ordin superior. În reprezentarea din figura. 9.27 se prezintă în paralel cei doi algoritmi clasic şi operaţional.


9.3.1 Teoremele transformatei Laplace O funcţie original f(t) admite o transformată Laplace F(s) sub forma:

( ) ( ) st

0F s f t e dt

∞−= ∫ (9.48)

Pentru a exista transformata (convergenţa integralei 9.48) funcţia original f(t) trebuie să îndeplinească condiţiile Dirichlet (semnal neted, cu număr finit de subintervale de monotonie) şi să nu crească în timp mai repede ca o exponenţială. Semnalele fizice care există într-un circuit toate admit transformată Laplace.

teorema liniarităţii: ( ) ( )k k k ka f t a F s⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑L ;

( ) ( ) ( )1 2 1 2f f F s F s± = ±L

teorema derivării: ( ) ( )df sF s f 0dt +

⎡ ⎤ = −⎢ ⎥⎣ ⎦L ;

( )n

n n 1 n 2 'o on

d f s F s s f s f ...dt

− −⎡ ⎤= − −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦L

teorema integrării: ( ) ( ) 1oF s ff t dt ;

s s

−⎡ ⎤ = −⎣ ⎦∫L

Ecuaţia diferenţială a circuitului în ( )ki t

Soluţia generală:

fi i ik k k= +

Soluţia de regim tranzitoriu: ( )ki t

Circuitul electric

Schema operaţională a circuitului

Ecuaţii algebrice în ( )kI s

Condiţiile iniţiale ale circuitului

( )kI s Fig. 9.27

L

-1L


τ

τ−τ

( ) ( )t

0

F sf d

s

⎡ ⎤⎢ ⎥τ τ =⎢ ⎥⎣ ⎦∫L .

În fig. 9.28–a funcţia ( ) ( )f t t⋅ γ există pentru t>0; în fig 9.28 – b este o

trunchiere, funcţia ( ) ( )f t t⋅ γ − τ există pentru t > τ , iar în fig. 9.28 – c avem o translaţie a funcţiei f(t), în întârziere cu τ , f1(t) sau în avans cu τ , f2(t).

teorema translaţiei în domeniul timp: ( ) ( )sf t e F s± τ⎡ ⎤± τ =⎣ ⎦L (9.49)

teorema translaţiei în planul s (teorema atenuării,

amplificării): ( ) ( )ate f t F s a±⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦∓L (9.50)

teorema asemănării (scara timpului):

( ) ( )1 s t f at F ; f aF asa a a

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦L L

teorema valorii iniţiale: ( ) ( )lim f t lim sF s

t 0 s+=

→ →∞ (9.51)

teorema valorii finale: ( ) ( )t s 0lim f t lim sF s→∞ →

= (9.52)

derivata (integrala) imaginii: ( ) ( )dF stf t ;

ds⎡ ⎤ = −⎣ ⎦L

( ) ( )s

f tF s ds

t

∞→∫ ;

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1

2

f t f t ta) f t t b) f t t c)

f t f t t

Fig. 9.28

⎧ = −τ ⋅γ −τ⎪⋅ γ ⋅ γ −τ ⎨= +τ ⋅ γ + τ⎪⎩

τ


funcţii periodice: ; ( ) ( )1sT

F sf t T

1 e−⎡ ⎤+ =⎣ ⎦ −

L ; (9.53)

Semnalul de forma ( )f t1 având transformata Laplace ( )F s1 se repetă cu perioada T .

teorema convoluţiei (teorema lui Borell):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 t t

L1 2 1 2 1 2

0 0F s F s F s f t f f t d f t f d

−

= ⋅ ⎯⎯⎯→ = τ −τ τ = −τ τ τ∫ ∫ (9.54)

teorema lui Duhamel:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

1 2 1 20

dF s s F s F s f t f f t ddt

= ⋅ → = τ − τ τ∫ (9.55)

Transformata Laplace inversă:

Cu formula lui Mellin-Fourier:

( ) ( )j

1 stf t F s e ds2 j

j

∞=

π− ∞∫

Pe baza tabelelor de corespondenţă Cu formulele lui Heaviside (bazat pe

descompunerea unui raport de polinoame în fracţii

simple) ( ) ( )( )

P sF s

Q s=

- Poli simpli: ( ) ( )( )

kn P sk s tf t e

Q ' sk1=∑

- Pol în origine: Q(s)=sQ1(s)


( ) ( )( )

( )( )

knP 0 P sk s tf t e'Q 01 s Q sk 1 k1

= +∑

Exemplu : ( )( )

( )24 20tI s i t 24t e2s 20−= → = ⋅

+

Tabela 9.1

Originalul f(t) Imaginea F(s) Originalul f(t) Imaginea F(s)

Impuls unitate ( )tδ

1 ( )1 t1 e−α−α

1 1s s⋅+ α

Impuls de arie A (de valoare A):

( )A tδ

A

sin tω 2 2s

ω

+ω

Treapta unitate ( )tγ

1s

cos tω

2 2s

s +ω

Treapta translatată

( )tγ − τ

1 ses− τ ( )sin tω +ϕ

2 2s sin + cos

sϕ ω ϕ

+ω

Rampa unitate: ( ) ( )r t t t= ⋅ γ 2

1s

( )cos tω +ϕ 2 2

s cos sinsϕ−ω ϕ

+ω

te±α 1s α∓

te sin t−α ω

( )2 2s

ω

+α +ω

tte±α ( )2

1

s α∓

te cos t−α ω ( )2 2s

ω

+α +ω

2tAeα Nu are imagine

Observaţie: Teorema valorii iniţiale o putem folosi pentru a calcula condiţia iniţială f(0+) atunci când se cunoaşte imaginea F(s), iar teorema valorii finale pentru a calcula soluţia de regim permanent care se stabileşte în circuit după regimul tranzistoriu ( )t →∞ în funcţie de soluţia operaţională F(s).

s+α


9.3.2 Schemele operaţionale ale circuitelor simple în regim tranzitoriu

Vom considera pe rând elementele simple de circuit cărora li se

aplică la momentul t=0 tensiunea la borne u(t) sau li se injectează curentul i(t) ale căror transformate Laplace sunt U(s) şi I(s). Ecuaţiilor integro-diferenţiale scrise pentru funcţii de timp pe schema reală li se asociază ecuaţii algebrice între imagini Laplace scrise pe schema operaţională.

Rezistorul: ( ) ( )( ) ( )

U s RI su Ri

i Gu I s GU s

⎧ ==⎧ ⎪→⎨ ⎨= =⎩ ⎪⎩

Impedanţa operaţională Z(s)=R şi admitanţa operaţională Y(s)=G fiind nişte constante, înseamnă că circuitele numai cu rezistenţe nu au comportare dinamică (nu au regim tranzitoriu).

Bobina:

Ecuaţia de tensiuni diu Ldt

= cu condiţia iniţială 0 0 0i i i− += =

transpusă operaţional devine: ( ) ( ) oU s sL I s Li= − (9.56) ( )Z s sL= este impedanţa operaţională a bobinei;

oE LiL o o= = Φ t.e.m. a sursei de tensiune fictivă care echivalează

condiţia iniţială a bobinei.

Ecuaţia de curenţi a bobinei t

o0

1i udt iL

= +∫ transpusă operaţional

devine :

( ) ( ) oi1I s U ssL s

= + (9.57)

unde:

( ) 1Y ssL

= este admitanţa operaţională a bobinei;

0o

LiIs

= este curentul de scurt al sursei fictive de curent care

echivalează condiţia iniţială.

⎧⎪⎨⎪⎩

⎧⎪⎨⎪⎩


Ecuaţiei 9.56 îi corespunde o schemă ooeraţională în care în serie cu impedanţa bobinei sL se introduce o sursă de tensiune

0L o oE Li= Φ = orientată în sensul lui I(s).

Ecuaţiei 9.57 îi corespunde o schemă operaţională în care în paralel

cu admitanţa bobinei 1sL

se introduce o sursă de curent 0LI orientată în

sensul de referinţă a laturii (figura 9.29).

Bobine cuplate:

Tensiunea la bornele bobinei j dintr-un sistem de bobine este:

( ) ( ) ( )m m mLk

j jk j jk k jk kk 1 k 1 k 1

diu L U s sL I s L i 0dt= = =

= ⎯⎯→ = −∑ ∑ ∑ (9.58)

unde sLjk=Zjk(s) este impedanţa operaţională de cuplaj; Ljkik(0) este valoarea

iniţială a fluxului de cuplaj dintre j şi k, iar ( ) ( )m

j jk kk 1

0 L i 0=

Φ = ∑ este

valoarea iniţială a fluxului prin bobina j, în care intră atât fluxul propriu cât şi cele de cuplaj între Lj şi celelalte m bobine din circuit.

Separând fluxul propriu se poate scrie:

i iot 0=

=

0L o oE Li= Φ =


(9.59)

În serie cu bobina se introduce în schema operaţională o sursă fictivă de tensiune având t.e.m. Ej0 egală numeric cu valoarea iniţială a fluxului său

o o oV Wb; Ej j j

⎡ ⎤Φ = Φ⎢ ⎥⎣ ⎦.

În particular vom desena schema operaţională pentru două bobine cuplate (figura 9.30) când sursele fictive au valorile:

E L i L i1o 1 1o 12 2oE L i L i2o 2 2o 12 1o

= ±⎧⎨ = ±⎩

Tensiunii 2 12 2 12

di diu L Ldt dt

= ± îi corespunde imaginea U2(s) care

cuprinde şi sursa fictivă E20 :

( ) ( ) ( )U s sL I s sL I s E2 2 2 12 1 20= ± − (9.60’)

Condensatorul:

Ecuaţia de curenţi: ( ) ( )LCo

dui C I s sCu s Cudt

= ⎯⎯→ = − (9.60)

( )Y s sC= este admitanţa operaţională pentru condensator;

c o Co oI q Cu= = este curentul de scurt al sursei de curent fictive corespunzătoare condiţiilor iniţiale:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) o o

j jo o

d ju U s s s 0j j j jdtm m mdi dij ku L L U s sL I s sL I s L i L ij j jk j j j jk k j j kjkdt dtk 1 k 1 k 1

E

Φ⎧= → = Φ −Φ⎪

⎪⎪ ⎡ ⎤±⎨ ⎢ ⎥= + → = + − +⎪ ⎢ ⎥= = =⎣ ⎦⎪⎪ Φ =⎩

∑ ∑ ∑

⎧⎪⎨⎪⎩


Ecuaţia de tensiuni: ( ) ( ) oo

t uc1 1Lu idt u U s I sc c cC sC s0

= + ⎯⎯→ = +∫ (9.61)

( ) 1Z ssC

= este impedanţa operaţională a unui condensator

Co

Cou

Es

= este t.e.m. a sursei fictive de tensiune corespunzătoare

condiţiei sale iniţiale. Ecuaţiei 9.61 îi corespunde o schemă operaţională în care, în serie cu

impedanţa 1sC

se introduce o sursă de tensiune 0CE orientată invers cu

sensul de referinţă al laturii. Ecuaţiei 9.60 îi corespunde o schemă operaţională în care în paralel

cu admitanţa sC se introduce invers cu orientarea laturii o sursă de curent

CoI ( )A C

oCoI q= .

Observaţie 1. Acestor surse fictive operaţionale 0 0 00

C L CLE , E , I , I le

corespund în domeniul timp surse “reale” corespunzătoare condiţiilor iniţiale:

0 0 00C L CLe ,e , i , i , după cum urmează:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩


( ) ( )L o o L o oo oE Li cst e t Li t= Φ = = → =Φ δ = δ

Loe - impuls de arie 0Φ

( )CoC C Co o o

uE e u t

s= → = ⋅ γ

Coe - treaptă de valoare 0Cu

( )oL L oo o

iI i i ts

= → = ⋅ γ - treaptă de curent

( )C o C C oo o oI q Cu i q t= = → = ⋅δ

Coi - impuls de valoare (arie) q0

2. Un condensator poate să aibă condiţie iniţială pozitivă CI+ sau condiţie

iniţială negativă CI− . În schema operaţională sursele fictive corespunzătoare se aşează întotdeauna corect (invers cu orientarea laturii), iar valoarea lor poate fi ( )± ca în figura 9.32.

Circuite serie în operaţional Ecuaţia de tensiuni pentru un circuit RLC serie este:

( ) ( )t

CoC oo

0

udi 1 1u Ri L idt u U s R sL I s Lidt C sC s

⎛ ⎞= + + + → = + + − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ (9.62)

Lio oΦ =


( ) 1Z s R sLsC

= + + este impedanţa operaţională a circuitului

0Co o

uE Li

s= − este t.e.m. a sursei fictive care echivalează condiţia

iniţială a circuitului (L şi C). Atunci schema operaţională a circuitului RLC serie este ca şi în

figura 9.33.

Pentru a scrie operaţional tensiunea de pe bobină sau pe condensator

va trebui separat din oE condiţia iniţială care-i revine fiecăruia:

( ) ( )

( ) ( ) 0

L o

CC

U s sLI s Liu1U s I s

sC s

⎧ = −⎪⎨

= +⎪⎩

(9.63)

9.3.3 Forma operaţională a teoremelor lui Kirchhoff

Pentru un circuit oarecare cu s – subreţele , n – noduri şi – laturi

cu T1K se scriu (n-s) ecuaţii independente în noduri, iar cu T2K se scriu o= -n+s ecuaţii independente pe ochiuri.

( )k k k

i 0; b 1, n skk b

u u u e ; p 1,oR L C kk p k p

⎧ = = −⎪ ∈⎪⎨

+ + = =⎪⎪ ∈ ∈⎩

∑

∑ ∑ (9.64)

Aplicând transformata Laplace membru cu membru asupra sistemului (9.64) se obţine:

( ) ( )k k k i t I s I• → =


( )

k k

k k o o

R k k R k k

jkL kj L k k kj j k

j 1 1

u R i U R I

did u L U s s sL Idt dt=

• = → =

Φ• = = → = Φ −Φ = −Φ∑ ∑

unde o oL ik kj j1

Φ =∑ - este valoarea iniţială a fluxului prin bobina Lk

( )t Ckok

C k C Ck k kok k0

uI1 u i dt u U sC sC s

• = + → = +∫

Sistemul (9.64) se poate scrie operaţional sub forma:

( )

( )k00

kk b

m m Ck k k kj j kj j k

kk p 1 j 1 k p

I s 0 ; b 1, n s

u1R sL I sL I L i E ssC s

∈

∈ = ∈

⎧ = = −⎪⎪⎨ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪⎪ + + + − + =⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭⎩

∑

∑ ∑ ∑ ∑

Notăm:

( ) ( ) k0k 0

Ce k k

uE s E s

s= +Φ − - t.e.m. echivalentă laturii k şi formată

din t.e.m. a sursei reale de pe latura Ek(s) şi t.e.m. ale surselor fictive ce echivalează condiţia iniţială a lui Lk:

k k k k kj jo o oE L i L i= Φ = +∑ sau a

lui Cko

k Cko

uC : E

s=

( )k k kk

1Z s R sLsC

= + + este impedanţa operaţională a laturii k

Zkj(s)=sLkj – impedanţa operaţională de cuplaj dintre Lk şi Lj

(9.65)


TK scrise în (9.65) cu notaţiile făcute devine:

kk b

mk k kj j ek

k p j 1 k p

I 0

Z I Z I E

∈

∈ = ∈

⎧ =⎪⎪⎨ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟+ =

⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

∑

∑ ∑ ∑ (9.66)

T2K se enunţă astfel: “suma algebrică a căderilor de tensiune operaţionale pe elementele ochiului p este egală cu suma algebrică a t.e.m. operaţionale din ochi”.

Algoritmul aplicării TK – operaţional la studiul regimurilor tranzitorii presupune:

Se studiază funcţionarea circuitului înainte de comutaţie pentru a

se stabili condiţiile iniţiale pentru fiecare bobină şi condensator din circuit ( )o oi , uL C .

Se alcătuieşte schema operaţională care va conţine partea din circuit care este în funcţiune după comutaţie (t>0).

Elementele schemei operaţionale au impedanţele kj1R,sL, ,sL

sC

şi în serie cu fiecare bobină şi condensator se introduce câte o sursă fictivă de tensiune corespunzătoare condiţiei iniţiale ale acelui element.

Se aplică TK scriind ecuaţiile (9.66) pe noduri şi ochiuri independente, alese cu ajutorul grafului de circuit.

Se rezolvă sistemul algebric de ecuaţii (9.66) şi se obţin

imaginile curenţilor din fiecare latură sub forma: ( ) ( )( )k

P sI s

Q s= .

Se revine în domeniul timp cu : transformata inversă (L-1), tabelele de corespondenţă, teoremele lui Heaviside şi se obţin curenţii tranzitorii din laturi ik(t).

Schemei operaţionale, odată desenată, i se poate aplica oricare dintre teoremele şi metodele de analiză utilizate de teoria circuitelor pentru studiul regimului permanent (curenţi ciclici, potenţiale la noduri, variante matriciale, generatoare echivalente etc.). Excepţie faţă de regimul permanent sinusoidal fac


teoremele de conservare a puterilor, care erau condiţionate de caracterul periodic al mărimilor, în regim tranzitoriu, unde mărimile nu sunt periodice rămâne valabilă doar teorema de conservare a puterilor instantanee, evident fără aplicabilitate deosebită.

Observaţie: În regim permanent, pentru un dipol pasiv, se poate întotdeauna

scrie UZI

= . În regim tranzitoriu nu este suficient să fie pasiv (fără surse) ci trebuie ca

toate elementele sale de tip L şi C să fie în condiţii iniţiale nule (CI=0), altfel în schema operaţională apar surse fictive corespunzătoare acestor condiţii iniţiale. Deci pentru circuite pasive şi cu condiţii iniţiale nule se poate scrie:

( ) ( )( )

U sZ s

I s=

Aplicaţie:

Circuitul din figura 9.35 – a funcţionează în regim permanent;

circulă curentul o1

Eir R

=+

, iar C1 este încărcat cu tensiunea C 1 oou R i= .

În cele două bucle nu există curent i’=0 şi i’’=0 (fluxurile fiind constante nu

1Γ 2Γ

3Γ

10CE

Fig. 9.35’


induc t.e.m.). La momentu t=0 se deschide contactul k şi latura cu sursă iese din funcţiune.

În figura 9.35 – b este desenată schema operaţională a circuitului, în serie cu fiecare bobină şi condensator este plasată câte o sursă corespunzătoare condiţiei sale iniţiale:

1o 1 o 2o 2 o 3o 13 o 3o 4o 24 o 4o

C10C C1o 3o

E L i ;E L i ;E L i ;E L i ;u

E ;E 0;s

= = = =Φ = =Φ

= − = (9.67)

Pe schema operaţională cu topologia [s=3, n=3, =3] scriem ecuaţiile de funcţionare cu TK:

( )

( )

10

30

1R s L L I sL I sL I E E E1 1 2 1 13 2 24 3 10 20 CsC11sL I sL I E E13 1 3 2 30 CsC3

sL I R sL I E24 1 4 4 3 40

⎧⎛ ⎞+ + + + − = + −⎪⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪⎪ ⎛ ⎞⎪ + + = −⎨ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪⎪− + + =⎪⎪⎩

Prin rezolvarea sistemului 9.68 rezultă I1(s), I2(s), I3(s). Aplicând transformata Laplace inversă se obţin soluţiile de regim tranzitoriu i1(t), i2(t) şi i3(t).

Tensiunea la bornele condensatorului C1 se poate deduce astfel:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 10

1 10 1 1

t

C 1 C1 0

1 1C C C C

1

1 u t i t dt uC

I ssau : U s E u t L U s .

sC−

= +

⎡ ⎤= + → = ⎣ ⎦

∫

(9.68)


9.4 Comutaţii forţate

Comutaţii forţate(ideale, impropii) într-un circuit sunt cele la care nu

se respectă condiţiile(9.4), (9.8) respectiv )t(iL şi )t(uC nu mai sunt variabile de stare, controlate, ele pot avea variaţii prin salt, discontinuităţi .O comutaţie forţată apare într-un circuit dacă:

• în urma comutaţiei două bobine L1 şi L2 cu “istorie” diferită ( −− ≠ 2010 ii )ajung în serie, deci : ++ = 2010 ii . • în urma comutaţiei o bobină ajunge în se-

rie cu o sursă ideală de curent, chiar dacă:

−− ≠ osco ii , imediat după comutaţie :

++ = osco ii .

• într-un nod b de circuit (figura 9.36) concură doar laturi cu bobine şi cu surse ideale de curent. Rămâne adevărată T1K: ∑

∈− =

b nodkko 0i

şi ∑∈

+ =b nodkko 0i , numai că diferiţii curenţi vor prezenta

discontinuităţi • două condensatoare cu “istorie” diferită ( −− ≠ o2co1c uu ) ajung în

paralel, deci: ++ = o2co1c uu .

• un condensator ajunge în paralel cu o sursă ideală de tensiune : −− ≠ ooc eu dar ++ = oc eu .

• O buclă formată numai din laturi cu condensatoare şi surse ideale de tensiune pentru care T2K înseamnă : ∑

∈

=−

ochi kk 0u o şi ∑

∈

=+

ochi kk 0u o ,

numai că diferitele tensiuni vor avea discontinuităţi de la −= 0t la

+= 0t . În astfel de comutaţii curenţii )t(iL au discontinuităţi care duc la impulsuri de t.e.m. cu valori foarte mari la bornele bobinelor iar discontinuităţile tensiunilor )t(uC duc la impulsuri foarte mari de curent prin condensatoare. De fapt egalizarea condiţiilor iniţiale la += 0t se realizează prin aceste impulsuri .

<<

Fig.9.36

b


9.4.1 Teorema condiţiilor iniţiale pentru comutaţii forţate la condensatoare Fie o sectiune 1∑ ce conţine numai laturi cu condensatoare (figura 9.37).

Curentul prin latura k estedt

dqi kk = iar sarcina de pe armătura lui Ck va fi:

( ) ∫∫ +==∞−

t

t

''kok

t'

ktk

o

dt)t(i)t(qdt)t(iq

. (9.69) momentul t’ fiind oarecare: ( )t,'t ∞−∈

iar '

'k

k'

kdt

)t(duC)t(i = . Cum pentru

toate laturile ce converg în secţiunea 1∑ este valabilă T1K, putem scrie:

∑∑∑∑∈∑∈∑∈

==⇒=111 k

kk k

k k

'k ct )t(uC )t(q 0)t(i (9.70)

Cum (9.70) este valabilă pentru orice moment “t”, ele rămân valabile şi pentru momentul iniţial (momentul comutaţiei to): ∑∑∑

∑∈+

∑∈−

∑∈

=↔=111 k

k k

k k

ok )0(q )0(q ct )t(q (9.71)

Relaţia reprezintă teorema condiţiilor iniţiale pentru condensatoare aflate în comutaţie forţată. La comutaţii naturale pentru fiecare condensator în parte era adevărat că:

+−= oo qq (relaţia 9.9) iar la comutaţii forţate doar suma

pentru toate condensatoarele ce converg într-un nod(sau într-o secţiune 1∑ )este continuă în jurul momentului 0t = (relaţia 9.71).

9.4.2 Teorema condiţiilor iniţiale pentru comutaţii forţate la bobine Considerăm o buclă Γ (un ochi p) care cuprinde cel puţin două bobine aflate în comutaţie forţată (figura 9.38).

Tensiunea la bornele bobinei Lk este:dt

du kk

Φ= iar fluxul prin bobina Lk

se poate scrie astfel:

C

2

1

k

1

2R

Fig.9.37C

C


( ) ∫∫ +Φ==Φ∞−

t

t

''kok

't

'kk

o

dt)t(utdt)t(u)t( (9.72)

momentul 't fiind oarecare ( )t,t ' ∞−= . Pentru bucla Γ din figura 9.38 sau pentru ochiul p din figura 9.36 , T2K ne dă : ( ) ( )∑ ∑∑

Γ∈ Γ∈Γ∈

==Φ→= k k

kkk

)p( k

'k cttiL t 0)t(u (9.73)

Cum (9.73) sunt adevărate pentru orice moment t, ele rămân valabile şi pentru momentul iniţial to (sau 0t = ): ( ) ( ) ( )∑ ∑∑

∈ ∈+−

∈

Φ=Φ→=ochi k ochi k

kkochi k

okk 00 cttiL (9.74)

Relaţia (9.74) reprezintă teorema condiţiilor iniţiale pentru bobine aflate în comutaţie forţată.La o comutaţie naturală fluxul magnetic Φk şi curentul

kLi ale fiecărei bobine sunt variabile

de stare: +−

Φ=Φ oo şi +−= oLoL ii .

La comutaţii forţate doar suma fluxurilor pentru toate bobinele din bucla Γ (sau din ochiul p) este continuă în jurul momentului de comutaţie 0t = . (relaţia 9.74)

9.4.3 Aplicaţie

C

L

L

L2

1

k

1

2R

Fig.9.38

L1

L2

R

R

11

22

e

e

ki

i

10

20

i

E

E

=>

Fig.9.39a)

L1

L 2

R

R

11

22

e

e i

10

20

s

s

(s)

(s)

=L 1 10

=L2 20

I(s)

b)


Pentru circuitul din figura 9.39 contactul k se deschide la momentul 0t = , condiţia iniţială a celor două bobine este:

−−≠ 2010 ii . La

momentul += 0t cele două bobine ajung în serie dar cu curenţi diferiţi prin ele şi vor avea aceeaşi condiţie iniţială +oi , unde:

−−+≠≠ 20100 iii (9.75)

Ecuaţia de tensiuni scrisă pentru schema operaţională a circuitului din figura 9.39-b este: ( ) ( ) ( )

++++=+++ 021212121 i LL)s(E)s(E)s(IRR )s(ILL s (9.76)

Conform cu relaţia (9.74): )0()0( +− ΓΓ Φ=Φ , deci:

( )21

2021010021202101 LL

iLiLi i LLiLiL

+

+=→+=+ −−

++−− (9.77)

În urma comutaţiei ( 0t = ) curenţii din cele două bobine vor avea un salt :

( )

( )

iiLL

Liii

iiLL

Liii

201021

120020

102021

210010

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+

=−=Δ

−+

=−=Δ

−−−+

−−−+

(9.78)

Fluxul magnetic total al ochiului care cuprinde cele două bobine aflate în comutaţie forţată va avea o variaţie continuă în jurul momentului 0t = :

( )

iL

iL

i LL

020100

20220

10110

0210

−−−+

−−

−−

++

Φ=Φ+Φ=Φ↔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=Φ

=Φ

+=Φ

(9.79)

T.e.m indusă în ochiul Γ ce cuprinde cele două bobine este:

0tt

e )0()0( =Δ

Φ−Φ−=

ΔΔΦ

−= −Γ+ΓΓΓ (9.80)

dar la bornele fiecărei bobine se induce câte un impuls de t.e.m, dar cele două impulsuri 10e şi 20e sunt în opoziţie : 0eee 20100 =+= .

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

δ−+

=ΔΔ

−=

δ−+

=ΔΔ

−=

−−

−−

)t(.iiLL

LLt

iLe

)t(.iiLL

LLt

iLe

102021

2120220

201021

2110110

(9.81)

Cele două impulsuri mari de t.e.m solicită însă izolaţia între spirele bobinelor .


Observaţie: Dacă sursele fictive corespunzatoare condiţiilor iniţiale pentru elementele L şi C se

calculează cu valorile la −= 0t :(−− 00 LC i,u ), atunci schemele operaţionale permit să

obţinem soluţia corectă, indiferent de tipul comutaţiei (naturală sau forţată).

9.5 Analiza operaţională a circuitelor electrice în regim tranzitoriu pe baza transformatei Fourier

Clasa funcţiilor care admit transformată Fourier este mai mică decât clasa funcţiilor care au transformată Laplace.

Transformata Fourier (imaginea Fourier) bilaterală pentru o funcţie original f(t) se defineşte prin:

∫+∞

∞−

ω=ω−=ω dte )t(f)j(F)j(F tj-* (9.82)

Pentru ca o funcţie f(t) să admită transformată Fourier trebuie : • să satisfacă condiţiile Dirichlet (discontinuităţi finite, număr finit de

intervale de monotonie). • să fie absolut integrabilă pe intervalul ( )∞∞− , , respectiv integrala

∫+∞

∞−

dt )t(f să fie convergentă; aceasta impune anularea funcţiei pentru

0)f()f(- , t =+∞=∞±∞→ respectiv funcţia f(t) să nu persiste în circuit (să fie amortizată) şi exclude posibilitatea ca funcţia f(t) să fie periodică (cu perioadă finită). Pe scurt, doar semnalele de tip impuls (şi care nu se repetă periodic) admit transformată Fourier. Pentru funcţii nule la 0t < , transformata bilaterală (9.82) devine o transformată Fourier unilaterală :

∫+∞

ω=ω

0

tj- dte )t(f)j(F (9.83)

expresie ce seamănă cu (9.48) care definea transformata Laplace; motiv pentru care se spune că transformata Fourier unilaterală se obţine din transformata Laplace a acelei funcţii pentru ω==ωω= jsF(s))(jF ; js , cu

condiţia ca f(t) să admită transformată Fourier.


Sursele corespunzătoare condiţiilor iniţiale pentru o bobină sunt de tip impuls: )t(Li)t(e ooL0 δ⋅=δ⋅Φ= , deci admit transformată Fourier iar

cele pentru condensatoare: )t(ue 00 CC γ⋅−= sunt de tip treaptă şi nu admit transformată Fourier. Din acest motiv analiza operaţională Fourier este destinată circuitelor liniare aflate în condiţii iniţiale nule. Transformata Fourier inversă (integrala Fourier) este:

∫∞

∞−

ω ωωπ

=

j

j

tj dje )j(Fj2

1)t(f (9.84)

care poate fi privită ca o descompunere a funcţiei neperiodice, de tip impuls f(t) într-o infinitate de componente sinusoidale (reprezentate în complex) cu pulsaţii ce iau toate valorile ( )∞∞− , , deci are un spectru continuu (la semnale periodice aveam dezvoltare în serie Fourier şi spectrul era discret). Modulul )j(F)(F ω=ω se mai numeşte densitatea spectrală a amplitudinilor. Din acest motiv analiza operaţională Fourier se mai numeşte analiză spectrală. Dacă o funcţie g(t) poate fi descompusă într-o componentă pară )t(gp şi alta impară )t(gi : )t(g)t(g)t(g ip += , atunci:

• transformata Fourier a unei funcţii reale şi pară de t este o funcţie reală şi pară de ω:

∫ ∫+∞

∞−

∞ω ω==ω

0

ptj-

pp dt tcos)t(g2dte )t(g)j(G (9.85)

• transformata Fourier a unei funcţii reale şi impare de t este o funcţie impară şi imaginară de ω:

∫ ∫+∞

∞−

∞ω ω−==ω

0

itj-

ii dt tsin)t(g2jdte )t(g)j(G (9.86)

respesctiv: ( )[ ] );(R)j(G jG Re p ω=ω=ω ( )[ ] );(jX)j(G jG Im i ω=ω=ω (9.87)

iar transformata inversă înseamnă:

∫∫∞∞

ωωωπ−

+ωωωπ

=

00

d tsin)(X 2 d tcos)(R2)t(g (9.88)


relaţie care reprezintă forma trigonometrică a dezvoltării în integrală Fourier, analog cu dezvoltarea în serie Fourier. Descompunerea unei funcţii f(t) în componentă pară şi impară atrage după sine descompunerea transformatei Fourier într-o componentă reală R(ω) şi una imaginară X(ω): )(jX)(R)j(F ω+ω=ω iar modulul şi faza transformatei sunt:

[ ]22 )(X)(R)(F)(F ω−+ω=ω−=ω

)()(R)(Xarctg)( ω−ϕ−=

ωω

=ωϕ (9.89)

La seria Fourier kA şi kB se măsoară în V sau A iar la transformata Fourier R(ω) şi X(ω) se măsoară în HzV sau HzA . Aplicarea metodei operaţionale Fourier la studiul unui regim tranzi-toriu presupune:

• Transformata Fourier unilaterală are proprietăţile transformatei Laplace pentru ω= js (dacă există transformata) şi prezintă interes practic dacă se cunosc impedanţele operaţionale ale elementelor

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

=ω==Cj

1 Z, Lj Z, RZ CLR prin analogie cu impedanţele operaţio-

nale Laplace ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sc1 ; sL ; R . Deosebirea faţă de regimul permanent sinu-

soidal constă în faptul că acolo ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

ωCj

1 , Lj , R erau numere complexe iar

aici sunt funcţii complexe de (jω). Aici, pentru o structură mare de circuit, impedanţa operaţională )(jX)(R)j(Z ω+ω=ω se poate determina şi pe cale experimentală (prin puncte) făcând măsurarea impedanţelor ca şi în regim sinusoidal dar pentru diverşi ( )[ ]∞∈ωω ,0 .

• Deoarece pentru ∞→t toate mărimile trebuie să tindă la zero, înseamnă că se pot studia numai acele regimuri tranzitorii care nu au componentă permanentă.

• Dezvoltarea în integrală Fourier fiind interpretată ca o descompunere în componente armonice (sinusoidale) elementare, studiul se face aplicând teorema superpoziţiei.

• Considerăm un dipol liniar, pasiv şi în repaus pentru 0)t(x( i = t < 0) căruia i se aplică la momentul 0t = mărimea de intrare )t(x i a cărei transformată Fourier este:

xx ei


ω=

∞ω−∫ ==ω js

0

itj

ii )s(X dt e )t(x)j(X (9.90)

Dacă )j(H ω este funcţia de transfer a dipolului, atunci transformata Fourier a mărimii de ieşire este: )j(X)j(H)j(X ie ω⋅ω=ω iar mărimea de ieşire se scrie sub forma:

∫∫∞

∞−

ωω∞

∞−

ωωπ

=ωω⋅ωπ

=

j

j

tje

tjie dj e )j(X

j21 d e )j(X)j(H

21)t(x (9.91)

)j(H ω poate avea caracter de: impedanţă, admitanţă sau funcţie complexă după cum ix şi ex sunt ambele tensiuni sau curenţi sau una tensiune, cealaltă curent.

• Avantajul metodei operaţionale Fourier constă în faptul că se operează cu funcţii de circuit )j(H ω formal identice cu cele din regimul permanent sinusoidal dar care pot fi determinate pe cale experimentală la diverse frecvenţe (ω) şi apoi le aproximez analitic. Funcţia )j(H ω se interpretează ca răspunsul circuitului la o excitaţie sub formă de impuls Dirac: dacă )t(x i δ= , atunci 1Xi = iar )j(HXe ω= .

Aplicaţie: Unui circuit RL aflat în condiţii iniţiale nule i se aplică la momentul

0t = un impuls dreptunghiular de tensiune. Să se determine răspunsul i(t) . Semnalul )t(u i se consideră că provine din superpoziţia a două drepte translatate (figura 9.40-c): [ ])Tt()t(U)t(u ooi −γ−γ= (9.92)

u

L

i

i

R

u i

Uo

t0 To

u i

Uo

t0

To

Uo

(1)

(2)c)a)

b)Fig.9.40


şi fiind un semnal impuls satisface condiţia de a avea transformată Fourier:

( )o

oTj

T

0

otjo

tjii e1

jU

dteUdte)t(u)j(U ω−ω−∞

∞−

ω− −ω

===ω ∫∫ (9.93)

Impedanţa operaţională a circuitului este: LjR)j(Z ω+=ω iar răspunsul circuitului este:

( )oTjoi e1)LjR(j

U)j(Z)j(U

)j(I ω−−ω+ω

=ωω

=ω (9.94)

Pentru a determina răspunsul original i(t) vom descompune pe I(jω) în fracţii simple:

( )oTjo e1

LRj

1j1

RU

)j(I ω−−⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+ω−

ω=ω

Deci curentul absorbit ( originalul lui )j(I ω ) va fi:

)t(i)t(i)Tt(e1R

U)t(e1

RU

)t(i 21o)Tt(

LR

otLR

o o+=−γ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−−γ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

−−− (9.95)

9.6 Analiza circuitelor electrice în regim tranzitoriu în domeniul timp

Metodele de analiză în domeniul timp se aplică circuitelor liniare, pasive şi aflate în condiţii iniţiale nule, atunci când la intrare se aplică un semnal )t(x i nu prea complicat ca formă sau îl pot aproxima prin suprapunerea unor semnale cu variaţie simplă.

Soluţia este reprezentată grafic în figura 9.41; curentul i(t) este superpoziţia celor doi curenţi i1 şi i2 translataţi cu To.

i(t)

iu (t)

to To

UoR

UoR (1-e )

-RL To

ii

1

2

Fig.9.41


9.6.1 Răspunsul unui circuit la o excitaţie dată în funcţie de răspunsul circuitului la o treaptă unitate (metoda integralei Duhamel) Semnalul de intrare )t(x i îl descompunem într-o succesiune de trepte retardate cu câte dτ şi de înălţimi idx (ca în figura 9.42-b,c) în care :

ττ= d)(xdx 'ii iar prima treaptă: )t()0(xi γ⋅+ este dată de valoarea

semnalului de intrare ix în momentul 0t = . Semnalul de intrare )t(x i se scrie ca o superpoziţie a acestor trepte retardate.

ττ−γ⋅τ+γ= ∫+ d)t()(x)t()0(x)t(xt

0

'iii (9.96)

Dacă se cunoaşte răspunsul circuitului dat f(t) la semnalul treaptă unitate aplicat la intrare γ(t), atunci putem determina răspunsul la orice semnal aproximabil prin trepte. Funcţia f(t) care reprezintă răspunsul la treapta unitate se numeşte răspuns tranzitoriu (funcţie indicială) şi poate fi calculată pentru un circuit dat prin orice altă metodă.

)t(f)t( →γ -răspunsul la treapta unitate )t(Af)t(A →γ -răspunsul la treapta de înălţime (valoarea) A.

)t(f )(x)t( )(x 'i

'i τ−τ→τ−γτ -răspunsul la treapta translatată cu τ şi

de valoare )(x 'i τ .

Atunci, aplicând teorema superpoziţiei, răspunsul la semnalul )t(x i aproximabil prin trepte sub forma (9.96) va fi:

ττ−τ+= ∫+ d )t(f )(x)t(f )0(x)t(xt

0

'iie (9.97)

τ

τ

τ

τ

τ

τ τ τ

ddx i

xi

+d

'( )

Fig.9.42

+

xi

t0

xi(0 )

d

xe

xi

a) b) c)


Printr-o schimbare de variabilă, produsul de convoluţie din (9.97) se scrie

sub forma: τττ−+= ∫+ d )(f )t(x)t(f )0(x)t(xt

0

'iie (9.98)

iar integrând prin părţi în (9.97) şi (9.98) se obţin formele duale:

ττ−τ+= ∫+ d )t(f )(x)0(f )t(x)t(x 't

0

iie (9.99)

τττ−+= ∫+ d )(f )t(x)0(f )t(x)t(x 't

0

iie (9.100)

Formele (9.99) şi (9.100) se pot aplica şi când semnalul )t(x i are discontinuităţi de prima speţă întrucât nu apare derivata sa.Deasemenea se preferă una dintre cele patru forme de calcul a răspunsului (9.97, 9.98, 9.99, 9.100 ) în funcţie de forma lui )t(x i şi funcţia indicială f(t), respectiv care dintre aceste relaţii duc la un volum minim de calcul. Observaţii:

Dacă F1(s) si F2(s) sunt transformatele Laplace ale funcţiilor )t(f1 şi )t(f 2 atunci imaginii )s(F)s(F)s(F 21 ⋅= îi corespunde (conform teoremei lui Borell) originalul f(t) dat de un produs de convoluţie:

∫∫ τττ−=ττ−τ=t

021

t

021 d)(f)t(fd)t(f)(f)t(f (9.101)

iar funcţiei imagine : )s(F)s(F s)s(F 21 ⋅= , conform teoremei lui Duhamel, îi corespunde

originalul: ∫ ττ−⋅τ⋅=t

021 d)t(f)(f

dtd)t(f (9.102)

Expresia (9.102) dezvoltată duce la formele (9.97)….(9.100). Dacă la intrarea unui circuit aflat în repaus se aplică la momentul

0t = o treaptă de tensiune γ(t), atunci la ieşire apare curentul f(t). În acest caz răspunsul tranzitoriu al circuitului f(t) reprezintă o admitanţă indicială. Aplicând o treaptă de curent , la ieşire apare tensiunea f1(t) , care este în acest caz o impedanţă indicială. Dacă la intrare se aplică o treaptă de tensiune şi răspunsul este tot tensiune )t(f 2 , atunci )t(f 2 este funcţie de transfer tranzitorie.

Dacă imaginea treptei unitate este s1 iar F(s) este imaginea lui f(t),


atunci când se aplică u(t) şi răspunsul este i(t), putem scrie : )s(Y)s(U)s(I = .

Răspunsul tranzitoriu scris cu Laplace este :)s(U)s(I

s1)s(Y

s1)s(F == ,

respectiv răspunsul i(t) este de forma (9.102).

∫∫ ττ−τ=ττ−τ=→=t

0

t

0

d)t(u)(fdtdd)t(f)(u

dtd)t(i)s(U)s(sF)s(I (9.103)

Dezvoltând (9.103) se obţin chiar expresiile (9.97), (9.98), (9.99) şi (9.100). Metoda integralei Duhamel este utilă mai ales atunci când se cunoaşte expresia funcţiei indiciale (răspunsul tranzitoriu ) f(t). Logica metodei s-ar prezenta sub forma :” Vrei să ştii cum răspunde circuitul la un semnal )t(x i ? Spune-mi cum răspunde circuitul la o treaptă unitate (adică cine este f(t)) , c-apoi îţi spun eu cum răspunde la orice semnal )t(x i aproximabil prin trepte translatate”. Circuitul RC: Dacă se conectează la o sursă de tensiune continuă de valoare

vE atunci )t( E)t(u γ= iar răspunsul în curent i şi în tensiune Cu este de forma: (9.26) şi (9.27):

RCt

e REi

−= )e1(Eu RC

t

C−

−= (9.104)

Când se aplică o treaptă unitate ( )V1E = atunci : )t(u γ= şi răspunsul tranzitoriu va fi de forma:

RCt

i e R1)t(f

−= ; e1)t(f RC

t

u−

−= (9.105)

Circuitul RL : Cuplarea circuitului la o tensiune continuă : )t(Eu γ⋅= , are răspunsul de forma: (9.16), (9.18):

)e-(1 REi

tLR

−= ;

t LR

L e EdtdiLu

−== (9.106)

A aplica o treaptă unitate de tensiune este echivalent cu a cupla circuitul la o sursă cuE =1V,răspunsul tranzitoriu în curent )t(fi şi în tensiune )t(fu vor fi:

)e -(1 R1)t(f

tLR

i−

= ; e)t(ft

LR

u−

= (9.107)


Dacă semnalul de intrare )t(x i prezintă discontinuităţi ca în figura 9.43 , atunci răspunsul circuitului calculat cu integrala Duhamel este de forma :

[ ]

[ ]⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ττ−τ+−γ−−+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ττ−τ+−γ−−+

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ττ−τ+=

∫

∫

∫

−+

−+

t

t

'i222i2i

t

t

'i111i1i

t

0

'iie

2

2

1

1

d)t(f )(x)tt( )tt(f )t(x)t(x

d)t(f )(x)tt()tt(f )t(x)t(x

d)t(f )(x)t(f)0(x)t(x

(9.108)

Expresia (9.108) este adevărată dacă ne interesează răspunsul la un moment 2tt > iar dacă ne interesează pentru )t,t(t 21

' ∈ atunci ultimul termen din (9.108) va lipsi iar la termenul al doilea limita superioară a integralei este t’ şi nu 2t . O discontinuitate cu salt (+) ca în momentul 1t ,este privită ca o treaptă pozitivă, de valoare egală saltul funcţiei care apare în momentul 1t iar un salt (-), ca în momentul 2t , este privită ca o treptă negativă ce apare în acel moment.( tratarea discontinuităţilor de speţă I ). 9.6.2 Răspunsul unui circuit la un semnal dat în funcţie de răspunsul circuitului la un impuls unitate Impulsul unitate δ(t) permite exprimarea oricărei funcţii y(t), în punctele ei de continuitate, prin integrala:

∫ ττ−δτ=t

0

d)t()(y)t(y (9.109)

xi

t0 t1 t2t' tFig.9.43


Aceasta se poate interpreta ca o descompunere a funcţiei y(t) într-o succesiune de componente ( ) )t(d)(y τ−δ⋅ττ reprezentând fiecare câte un impuls de arie (valoare) „ ⋅ττ d)(y ” care apare în momentul τ=t , deoarece această componentă este nulă pentru t≠τ şi egală cu y(t) pentru t=τ , deci o succesiune infinită de impulsuri aşezate alături, fiecare egal cu valoarea funcţiei în acel punct. Deci o mărime de intrare )t(x i se poate descompune într-o succesiune de impulsuri finite şi retardate sub forma:

∫ ττ−δτ=t

0

ii d)t()(x)t(x (9.110)

Dacă v(t) este răspunsul unui circuit cu condiţii iniţiale nule la un semnal impuls unitate δ(t), numit răspuns tranzitoriu la impuls unitate, atunci, ţinând seama de caracterul liniar al circuitului, considerăm că:

)t(v)t( →δ - răspunsul la impulsul unitate ce apare în momentul 0t = )t(Av)t(A τ−→τ−δ -răspunsul la impulsul de arie A ce apare translatat

cu τ )t(v )(x)t( )(x ii τ−τ→τ−δτ - răspunsul la impulsul de valoare )(xi τ ce

apare translatat cu τ. Cu teorema superpoziţiei, răspunsul la o infinitate de impulsuri translatate cu câte dτ, sub forma(9.110) se scrie astfel:

∫ τττ−=t

0

ie d)(x)t(v)t(x ; ∫ ττ−τ=t

0

ie d)t(x)(v)t(x (9.111)

Aceste relaţii (9.111) se pot aplica numai dacă în intervalul ( t0 − )funcţia de intrare (excitaţia) )t(x i este continuă. Dacă )t(x i conţine un număr finit de puncte de discontinuitate, acestea se separă şi răspunsul la acestea (privite ca trepte de tensiune) se calculează separat.

Un impuls unitate (aria 1= şi durata Δt<< )din figura 9.44 poate fi privit ca o superpoziţie de două trepte:

[ ] )t()tt()t(t

1)t(x 'i γ=Δ−γ−γ

Δ=

. (9.112) iar răspunsul v(t) la acest impuls va fi:

[ ] )t(f)tt(f)t(ft

1)t(v '=Δ−−Δ

=

(9.113)

i

t0

x

t

(t)

(t- t)D-

.

.Fig.9.44

1t

1t

1t

γ

γ


Deci răspunsul la impulsul unitate v(t) este derivata funcţiei indiciale f(t) (răspunsul la treapta unitate) : )t(f)t(v '= . 9.6.3 Răspunsul unui circuit la un semnal dat în funcţie de răspunsul la un semnal rampă unitate

Semnalul rampă unitate r(t) (de pantă: 14

tg =π ), rampă oarecare (de

pantă α= tgk )şi rampă translatată, se definesc cum se indică în figura 9.45:

)t(t)t(r γ⋅= α=

γ⋅⋅=tgk

)t(tkxi α=

τ−γ⋅τ−⋅=tgk

)t()t(kxi

Dacă se cunoaşte răspunsul unui circuit liniar, cu condiţii iniţiale nule, la semnalul rampă unitate r(t) ca fiind g(t), atunci semnalul continuu )t(x i se poate descompune într-un număr finit (n) de rampe translatate (ca o aproximare a unei funcţii prin segmente, pe porţiuni):

∑=

τ−γ⋅τ−⋅=n

0ssssi )t()t(k)t(x (9.114)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−α=

=τ

aproximare de intervale de numaruln)sa valoarea( rampei pantatgk

rampei eatranslatar

ss

s

Răspunsul circuitului la acest semnal (9.114) va fi o superpoziţie de forma:

∑=

τ−γ⋅τ−⋅=n

0sssse )t()t(gk)t(x (9.115)

soluţii care trebuie racordate între ele pe fiecare interval de aproximare. Cum între impuls, treaptă şi rampă unitate există legătura:

)t(r)t()t( ''' =γ=δ (9.116)

Fig.9.45

p4

0

r

t 0 t

xi

a0 t

xi

aτ

0t

x i

s

1 sFig.9.46

ττ


atunci între răspunsurile tranzitorii la aceste semnale va fi legătura: )t(g)t(f)t(v ''' == (9.117) deci este suficient dacă-l cunosc pe unul dintre cele trei răspunsuri tranzitorii pentru un circuit dat. Observaţii:

• Problema se poate generaliza, când pe cele n intervale aproximarea nu se face prin rampe (segmente de dreaptă )ci prin polinoame de gradul m. Dacă aproximăm prima derivată a lui )t(x i prin segmente (înseamnă a aproxima funcţia )t(x i prin arce parabolice) eroarea de aproximare se reduce de 5 ori faţă de aproximarea directă a funcţiei.

• În metode directe mărimile RC=τ şi RL

=τ reprezintă constanta de timp a

circuitului RC sau RL serie iar în metodele de analiză în domeniul timp, τ este variabila de integrare si oτ sau oT sunt utilizate ca notaţii pentru constanta de timp.

9.7 Aplicaţii 1. Pentru câteva „semnale tip” desenate (date sub formă grafică), să se scrie expresia lor u(t) şi expresia transformatei Laplace a lor U(s). (impuls unitate) (treptă unitate) (rampă unitate)

1U)t(u 11 =→δ= ; s1U)t(u 22 =→γ= ; 233

s1U)t(t)t(ru =→γ⋅==

(impuls translatat cu oT ) (treaptă translatată) (rampă translatată)

p4

0 t

u3

0t

u2

1

0tt

1t

u1

1

0tt

1

u1

1

0t

u 4

A

To 0t

u5

To

Uo

0 t

u6

aTo


(impuls translatat cu oT ) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−δ⋅=− osT

4

o4

AeU

)Tt(Au

(treptă translatată) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−γ⋅=

− osTo5

oo5

es

UU

)Tt(Uu

(rampă translatată) ⎪⎩

⎪⎨⎧

α=

−γ⋅α−=α⋅−=

− tges1U

)Tt(tg)Tt(tg)Tt(ru

osT26

ooo6

(impuls de durată) (impuls exponenţial) (impuls sinusoidal)

[ ]

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−γ−γ=

− osTo7

oo7

e1s

UU

)Tt()t(Uu

⎪⎩

⎪⎨

⎧

α+=

−γ⋅=

−

−α−

o

o

sT8

o)Tt(

8

es

AU

)Tt(Aeu

(impuls sinusoidal) [ ]

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧π

=π

=ω+ω+

ω=

−ω−γ+ωγ=

−

o

sT22o9

ooo9

T22

T2 ; e1

sUU

)Tt(sin)Tt(tsin)t(Uu

o

2. La momentul 0t = se închide k din figura 9.47. Se cere expresia tranzitorie pentru )t(u 2 .

u (t)2

RL

ML(+)

(-)

i'o

i'oUo

LR

k

U (s)2

R

ML(+)

(-)

Uo

R ss

Lss E20

E10

LsE30

0t

u7

1

2

To

Uo

0 t

u 9

To

Uo

1

20 t

u 8

To

A


⎩⎨⎧

==Ω==H1,0M ; H1L

1R ; V10Uo

. . În schema operaţională sursele fictive au valorile:

V10R

ULLiEE o'

o2010 ==== şi V1MiE 'o30 == . Curentul )s(I' şi

tensiunea )s(U2 au expresiile: s

10s5

sL

Es2

U

)s(I10

o'

+=

+=

)t(5,0)t(u s5,01

s10

s5 s1,0E)s(I M s)s(U 2230

'2 γ⋅=→=−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=−=

3.Circuitul din figura 9.4.8 funcţionează în regim permanent. La momentul 0t = se deschide contactul k. Se cer expresiile curenţilor 1i şi 2i .

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

Ω==

A 3ImH 2L2L 2R2R

o

21

21

. . În nodul (a) concură o sursă de curent şi laturi cu bobine, deci va apare o

comutaţie forţată: 0)0(i)0(i 21 =−=− ,bobinele erau şuntate de k, iar

o21 I)0(i)0(i =+++ ,deci are loc o comutaţie forţată,cei doi curenţi 1i şi

2i vor avea un salt în momentul 0t = . Aplicăm (9.74) pe curba Γ:

)0(

202101

)0(

202101 iLiLiLiL

+Γ

++

−Γ

−−

ΦΦ

−=−

( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=+=+

−=→=+

1o22

2221

111

12o21

iIi ; dt

diLiR dtdiLiR

dtdi

dtdi

Iii

(+)

(-)

Uo

R

Lss E10

I'

I"

2

Fig.9.47

I

ai i

R R

L L1

11 2

2

2

o k

Fig.9.48


Sau: ( ) ( )

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−+

=

++

=→

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++

=τ

=+++

τ−

τ−

o

o

t

21

1o2

t

21

2o1

21

21o

o21211

21

AeRR

RIi

AeRR

RIi

ms1RRLL

IRiRRdtdiLL

( )( ) 1LLRR

RLRLIA

ARR

IRL

RRIR

AL0)0()0(

2121

2112o

21

o12

21

o21

=++

−=⇒

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=→Φ=Φ +Γ−Γ

Dacă ( )⇒τ=τ= RL

RL

212

2

1

1 circuitul nu va trece prin regim tranzitoriu

( )0A = .

În cazul nostru cei doi curenţi sunt: ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

+=−

−

t10002

t10001

e2i

e1i a căror reprezentare

este în figura 9.49 4.Circuitul din figura 9.50 funcţionează în regim permanent iar la momentul 0t = se închide contactul k. Se cere expresia tranzitorie )t(ug a tensiunii la bornele sursei de curent din schemă.

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

===

=Ω==

Ω=

A10IH1ML

H2L4RR

2R

g

2

1

32

1

Fig 9.49

1

2

t

i1

t

2

1

2

A

A

i

R

* *

k

u

+

-

ML L1

2

1

1

2

2

R

R

3

i i

gI

g

Fig.9.50


Condiţiile iniţiale ale celor doi curenţi sunt:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++

=

=++

+=

A2RRR

RIi

A8RRR

RRIi

321

1g20

321

32g10

Sursele fictive care se introduc în schema operaţională au valorile:

⎩⎨⎧

=→=+=Φ==→=+=Φ=

V10EWb10i MiLEV18EWb18i MiLE

20102022020

10201011010

Schema operaţională din figura 9.51 o rezolvăm prin metoda curenţilor ciclici; alegem latura cu sursă ideală de curent drept coardă,

deci:s

10sI

I g'1 == iar ecuaţia pentru ochiul al doilea este:

( ) ( )[ ] ( )

)6s(s)10s(2I

EEsMsLRIM2LLsRRI

'2

2010l1'

12121'

2

++

=→

−=−++−+++

Tensiunea )s(Ug , scrisă pe latura din stânga are expresia:

( )

( ) )t(e164031e

632

680)t(u

)6s(s80s8)s(UEUsMIIsLR

t6t6g

g10g2111

γ⋅−=−

+=→

→++

=→=−++

−−

a cărei expresie )t(ug este reprezentată în figura 9.51.

+

-

i i10 20

R R1 2Ig

sL sL

I

* *

U (s)

+

-

sM

s

Fig 9.51

16

4038

t

u

0

E101 2

E20

R1R2g

g

I'I'

1

2

g


5. În circuitul din figura 9.52 se închide k iar după stabilizarea regimului permanent se deschide din nou k. Se cer expresiile tranzitorii ale curenţilor în cele două regimuri tranzitorii.

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

μ===

Ω==

V100EH05,0LF250C

H1,0LL100RR

2

2

31

31

. .

a)Pentru primul regim tranzitoriu, condiţiile iniţiale înainte de a închide k sunt nule:

0sCq

E ; 0LiE oCoLo o

====

Impedanţa operaţională în raport cu bornele sursei (circuit operaţional pasiv, toate elementele aveau condiţii iniţiale nule) este:

( )( )

( ) 4000s100s15,0)8000s100s2,0)(s1,0100(

sC1LLsR

sC1sLsLR

sLR)s(Z 2

2

2323

2233

11++

+++=

+++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

++=

Curentul tranzitoriu debitat de sursă (operaţional) are expresia:

100s83,0

400s83,0

1000s5,0

s5,0

)s(Zs

100

)s(Z)s(E)s(I1 +

++

++−

+===

iar originalul său este de forma: ( )t100t400t1000

1 ee83,0e5,05,0)t(i −−− ++−= În regim permanent ( )∞→t se vor stabiliza curenţii:

V50iRu ; 0i ; A5,0ii p33Cp2pp3p1 ===== b)Pentru al doilea regim tranzitoriu (se deschide k) condiţiile iniţiale sunt date de valorile de regim permanent ale regimului precedent :

Wb05,0iL ; V50u ; 0i ; A5,0i 30330C2030 -o- ==Φ===−

După deschiderea lui k, în schema operaţională rămân doar laturile 2 şi 3 ca în figura 9.53.

2

Li

R

k

E

R i

L L

Ci

Fig 9.52

1 11

2

2

3

3

3


Curentul operaţional este: ( 0iLE 20220 == − ):

( )

;4000s100s15,0

50s05,0

C1sRLLs

usE)s(I 2

2332

2

Co303

++

+=

+++

+=

624s

216,07,42s

549,0)s(I3 +−

+=

( ) )t(e216,0e549,0)t(i t624t7,42

3 γ⋅−= −−

Valoarea curentului )t(i3 la momentul −0 era:

A5,0)0(i3 =− iar la momentul

+0 este:

31333,0)s(sIlim)0(i 3

s3 ===

∞→+

deci bobina 3L va suferi o comutaţie forţată ( 2L şi 3L cu condiţie diferită la 0- au ajuns în serie, figura 9.53). Aplicăm teorema condiţiei iniţiale (9.76) pentru curba Γ :

;iLiLiLiL)0()0( 303202303202 ++−− +=+→Φ=Φ +Γ−Γ

31A333,0ii 2030 ===

++

( )0,05

05,0310,10,05 5,01,00 ⋅+=⋅+

Deci se verifică teorema condiţiilor iniţiale pentru comutaţia forţată a lui 2L şi 3L .

R3

E E3020

sL sL32

1sC

U (s)L 3

U (s)C-us

Co

I (s)3

Fig.9.53


6. Să se arate în ce condiţii un circuit de derivare (integrare) operează corect. . . Pentru circuitul de derivare din figura 9.54-a, dacă R<<, se poate scrie:

dt

duCidt i

C1u 1

1 =→≈ ∫

dt

dudt

duRCi Ru 1

o1

2 τ===

Deci tensiunea de ieşire 2u este proporţională cu derivata tensiunii de intrare. Dar 2u este de valoare foarte mică şi trebuie amplificată ca în figura 9.54-b Cu transformata Fourier putem scrie:

)(Uj1

j)(U

Cj1R

R)(U 1o

o12 ω

ωτ+ωτ

=ω

ω+

=ω

Funcţiile de transfer ale circuitului sunt:

o

orealoideal j1

jH ; jH

ωτ+ωτ

=ωτ=

În figura 9.55 se vede că circuitul de derivare real se apropie de cel ideal pentru 1o <<ωτ , respectiv dacă

C

1Rω

<< , condiţie ca să realizăm o

bună derivare.

Pentru circuitul de integrare din figura 9.56-a dacă R>>, se poate scrie:

1 10

-ideallgH

o0,1

-real

Fig.9.55

τ

C

Riu1u2

a)

C

R

u1u2

b)Fig.9.54


∫∫∫ τ===→≅ dt u1dt u

RC1dt i

C1ui Ru 1

o121

Tensiunea 2u este integrala lui )t(u1 dar este foarte mică şi trebuie amplificată ca în figura 9.56-b. Cu transformata Fourier putem scrie:

)(Uj11)(U

Cj1R

Cj1

)(U 1o

12 ωωτ+

=ω

ω+

ω=ω

Funcţia de transfer pentru circuitul de integrare este:

o

realo

ideal j11H ;

j1H

ωτ+=

ωτ=

Cele două funcţii se apropie ca în figura 9.57 dacă:

C

1R1RC1o ω>>→>>ω↔>>ωτ ,

care este ipoteza pentru a se realiza o bună integrare.

7. Unui circuit RL i se aplică un impuls triunghiular ca în figura 9.58-b. Se cere răspunsul i(t).

x =i R

Lx =u

e

i i

a)

1 10

-ideal

lgH

o0,1

realFig.9.57

τ

C

R

iu u1 2

Fig.9.56a)

C

R

u2

u1

b)

Fig.9.58

Uo

To2To

1

3

2

ui

t

b)0 0

t1t t2

f(o ) f(t) (t-t )

f(t) (t-t )

c) 1

2

δ

γ


Semnalul )t(u i de forma unui impuls triunghiular se consideră că provine din suprapunarea a trei semnale rampă, ca în figura 9.58-b, (unde

o

oTU

tg =α ):

[ ])T2t()T2t()Tot()Tt(2)t(tTU

)t(u oooo

oi −γ⋅−+−γ⋅−−γ⋅=

semnal care admite transformata Laplace: ( )2sT2

o

oi

oe1s1

TU

)s(U −−⋅=

Funcţia indicială (răspunsul tranzitoriu, răspunsul la treapta unitate) pentru circuitul RL este de forma (9.107):

oo eL1)(f ; 0f(0) ;

RL ; e1

R1)t(f '

o

tτ

τ−τ−=τ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ =τ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Atunci răspunsul calculat cu (9.100) se scrie sub forma:

;d)T2t(e)T2t(LTU

d)Tt(e)Tt(LTU2

d)t(e)t(LTU

)t(i)t(x

3

o

2

o

1

o

i

o

t

0

oo

o

i

o

t

0

oo

o

i

t

0o

oe

τ−τ−γ⋅−τ−+

+τ−τ−γ⋅−τ−−

−ττ−γ⋅τ−==

ττ−

ττ−

ττ−

∫

∫

∫

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=>=∈

==<

321o

3oo

32o

iiii:T2t0i:T2,Tt

0ii:Tt

Efectuând integralele Duhamel din expresia precedentă se obţine expresia finală a răspunsului:

;)T2t(eT2t

)Tt(etT2)t(etLT

U)t(i

oo

oT2t

ooo

oooTt

oooo

t

ooo

oo

⎥⎥⎥

⎦

⎤−γ⋅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛τ+−τ−+

⎢⎢⎢

⎣

⎡+−γ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛τ−−+τ+γ⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛τ+τ−

τ=

τ−

−

τ−

−τ−

Cu transformata Laplace calculul curentului ar fi presupus:

unde :


( ) )t(ie1sLR

1s1

TU

)s(Z)s(U)s(I

2sT2

o

oi o →−+

⋅⋅== − ca având aceeaşi expresie

ca şi prin metoda precedentă. 8. Circuitului din figura 9.59 i se aplică un impuls exponenţial de tensiune la poarta de intrare. Se cere răspunsul circuitului, tensiunea la poarta de ieşire

)t(ue , calculată prin trei metode.

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⎭⎬⎫

==

−==⎭⎬⎫

μ=Ω=

− intrare de semnalului siaexpre -eUu

V10Usec02,0T

i.circuitulu a timpde constanta este sec1,0RCTF100C

k1R

oTt

oio

o

. . a)În domeniul timp, cu integrala Duhamel, se evaluează succesiv:

→ funcţia indicială: T'Tt

RCt

eT1)(f ; 0)0(f ; e1e1)t(f

τ−−−=τ=−=−=

→ răspunsul scris cu (9.100) este:

;e e TT

TU d e e

TU

deT1eUd)(f)t(u)0(f)t(u)t(u

Tt

oTt

o

oot

0

oT1

T1

oTt

o

t

0

ToTt

o'

t

0

iie

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=τ=

=τ⋅=τττ−+⋅=

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−τ−−

τ−

τ−−

+

∫

∫∫

R

Fig.9.59

Cu i ue

0 t

u i

To

Uo


Numeric se obţine expresia: ( )t50t10

e ee5,2)t(u −− −= ; funcţie care este reprezentată în figura 9.60. Dacă oTT = atunci:

∫ −−⋅=τ=

t

0

TtoooT

to

e etT

Udee

TU

)t(u

b)Aceeaşi problemă rezolvată operaţional cu Laplace, presupune:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=+

=

RC1s

T1s

RU

s

1sRCT1s

sCU

sC1R

T1s

U

sC1R

)s(U)s(I

o

o

o

o

o

oi

Tensiunea de ieşire scrisă operaţional este:

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−

+−⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅==

T1s

1

T1s

1TT

TTT

U

T1s

T1s

1RCU

)s(IsC1)s(U

o

o

oo

o

oe ;

şi revenind în timp: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

−−T

tTt

o

ooe ee

TTTU

)t(u o

c)Se poate aplica şi transformata Fourier, semnalul de intrare admite transformată Fourier ( →=−=

∞→ 0 )0(u ; 0)t(ulim ii

ttransformata Fourier

unilaterală).

);j(ICj

1)j(U ;

Cj1R

T1j

U

Cj1R

)j(U)j(I e

o

oi ωω

=ω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ω

=

ω+

ω=ω

Deşi calculul seamană cu regimul permanent sinusoidal, revenirea însă în domeniul timp se face altfel. Putem folosi fie tabelele de corespondenţă de la transformata Laplace pentru ω= js , fie transformata Fourier inversă:

0t

u e

Uo

Uo

Uo e Tot

Uo e Tt

eu

Fig.9.60


;ee TT

TU dj e)j(U

j21)t(u T

toT

t-

o

oo

reziduri j2

j

j

tjee ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

∑

ωωπ

=−

π

∞

∞−

ω−∫

9. Circuitului din figura 9.61 i se aplică la intrare tensiunea:

)e1(100)t(u t2i

−−= . Se cer expresiile curenţilor )t(i1 şi )t(i2 .

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

==Ω==

H2LLM

H2LL2R2R

21

21

21

Fig.9.61 . .

Pentru a calcula funcţia indicială f(t) presupunem că la intrare

aplicăm în loc de )t(u i , funcţia treaptă unitate )t(γ pentru care imaginea

Laplace estes1 şi schema operaţională este cea din figura 9.61-c.

( )

( ))t(fe

41

21i

21ss4

1sI0IsLRsMIs1sMIIsLR

2t'

1'

1'

222'

1

'2

'111 =−=→

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+=⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++

=++ −

Soluţia obţinută: )t(f)t(i '1 = este răspunsul tranzitoriu al circuitului .

Atunci în domeniul timp, cu integrala Duhamel vom scrie succesiv: );e1(100)t(u)t(x t2

ii −== t2'i e200)t(x −⋅=

R

L

i1 i1

1 R2 2L* *M 2

u i

a)

u i

t0

100

0,5 sec.b)

I' (s) R

L

1 1

1 R 22L* *M

2c)

s

ss

I' (s)

1s

Fig.9.61


;d)t(f)(x)t(f)0(x)t(x)t(it

0

'iie ∫ ττ−τ+==

( ) )t(e3

100e3

500e150de41

21e2000)t(i tt2t2

t

0

)t(21

21 γ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−−=τ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⋅+= −−−τ−−τ−∫

Curentul în secundar se poate evalua operaţional:

=→+

=+

= )t(i)s(Is12s)s(I

sLRsM)s(I 211

222 [ ])s(IL 2

1−

10. Linii electrice lungi (linii omogene) Circuitele cu parametri concentraţi de tip r, L, C reprezintă o aproxi-

maţie cu atât mai bună cu cât frecvenţa de lucru este mai mică şi cu cât dielectricul din jurul circuitelor este mai bun izolant.

Regimurile staţionare (cvasistaţionare) neglijează curentul de deplasare dintre două conductoare vecine, curentul de conducţie este uniform repartizat pe secţiunea transversala şi constant în lungul unei laturi de circuit şi se ramifică doar în noduri de circuit. Izolaţia fiind perfectă se neglijează perditanţa izolaţiei (inversul rezistenţei de izolaţie dintre două conductoare). În comunicaţii pe fire transmisia semnalelor şi a energiei se realizează prin linii electrice lungi, a căror lungime fizică ℓ este mult mai mare decât lungimea de undă λ a semnalului transmis.

Fig. 10.1

Considerăm o linie bifilară omogenă în lungul său pentru care la frecvenţe înalte nu se neglijează curentul de deplasare dintre fire şi nici curentul de pierderi prin dielectricul imperfect dintre fire (fig, 10.1).

Liniile de curent se consideră închise doar dacă se ţine seama şi de

curentul de deplasare dintre fire: tEE

tDJJ iit

∂∂

ε+σ=∂∂

+= . (10.1)

Prin dielectric va exista curentul de conducţie Eiσ şi curentul de deplasare

tE

i ∂∂

ε .


Din cauza curenţilor ce se ramifică transversal între fire, în lungul firului valoarea curentului nu mai rămâne constantă ci chiar îşi poate schimba sensul (figura 10.1).

Fig. 10.2

Studiul exact al problemei, plecând de la ecuaţiile lui Maxwell arată că este vorba de o propagare a undei electromagnetice în lungul liniei, propagarea fiind ghidată în spaţiu de firele liniei, dar problema se poate transpune pentru a fi studiată ca o problemă de circuit electric. Neglijăm

componentele longitudinale ale curenţilor Eσ şi tE∂∂

ε care se ramifică

transversal de la un fir la altul, atunci câmpul magnetic H în orice secţiune transversală face rotoare în jurul firului iar valoarea sa depinde de valoarea curentului în acea secţiune.

10.1 Ecuaţiile liniilor electrice lungi

Considerăm o linie bifilară cu lungimea ℓ mult mai mare decât

lungimea de undă a semnalului transmis pe linie ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ωπ

===λ v2fvvT şi

luăm un tronson infinitezimal de lungime dx aşezat în secţiunea x a liniei, socotită în raport cu bornele de intrare 1-1’ (figura 10.2).

Dacă Rℓ/2 este rezistenţa lineică a unui fir [Ω⁄m], tensiunea în lungul firului este duf =1/2Rℓi(x)dx.

Dacă L este inductivitatea lineică [H/m] atunci fluxul magnetic prin suprafaţa tronsonului de linie (cu suprafaţa ds=Ddx) este

dx)x(iLSd =Φ Γ .

Aplicăm legea inducţiei electromagnetice pe curba infinitezimală Γ sub forma:

10. Linii electrice lungi (linii omogene) 289

tSd

indEe

∂

Φ∂−=

Γ=Γ

Γ∫)dxxiL(

txufdu)dxxu

xu(fdue∂∂

−=−+∂∂

++=Γ

dxtuCdxuG)dx

xii(i

dtdqi xxx ∂

∂−=+

∂∂

++−↔−= ΣΣ

dxtiLidxR

21dx

xuidxR

21e

∂∂

−=+∂∂

+=Γ

Respectiv: tiLiR

xu

∂∂

+=∂∂

− (10.2)

Ecuaţia (10.2) constituie prima ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul întâi a liniilor lungi şi care exprimă că: ,, scăderea tensiunii în lungul liniei este egală cu suma căderilor de tensiune rezistivă şi inductivă pe firele liniei”.

Dacă Gℓ este perditanţa lineică [Ω-1⁄m] a izolaţiei dintre fire, atunci curentul de conducţie care se scurge de la un fir la altul prin izolaţia imperfectă, pe porţiunea dx este: diG = Gℓu(x)dx, iar dacă Cℓ este capacitatea lineică [F⁄m] dintre cele două fire, atunci porţiunea dx se va încărca cu sarcina: dq = Cℓu(x)dx.

Fig. 10.3

Legea conservării sarcinii aplicată pentru suprafaţa închisă infinitezimală Σ (figura 10.3) ce înconjoară tronsonul de fir cu lungimea dx este:

Respectiv : (10.3) Ecuaţia (10.3) constituie cea de-a doua ecuaţie cu derivate parţiale

de ordinul întâi a liniilor lungi şi care spune că: ,,scăderea curentului electric în lungul firului este egală cu suma dintre curentul de pierderi prin izolaţie şi curentul de deplasare dintre fire, curenţi ce ies prin suprafaţa laterală de la un fir la altul.”

Cele două ecuaţii (10.2) şi (10.3) împreună formează un sistem de două ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi, cunoscute sub numele de ecuaţiile telegrafiştilor de ordinul I:

tuCuG

xi

∂∂

+=∂∂

−


u iR i Lx ti uG u Cx t

∂ ∂⎧− = +⎪ ∂ ∂⎪⎨ ∂ ∂⎪− = +⎪ ∂ ∂⎩

2

2

2

2

tuCL

tu)GLCR(uGR

xu

∂

∂+

∂∂

++=∂

∂

2

2

2

2

tiCL

ti)GLCR(iGR

xi

∂

∂+

∂∂

++=∂

∂

]m/H[aDlnL;]m/F[

a/DlnC

πμ

=πε

=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

∂

∂=

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂

=∂∂

−

∂∂

=∂∂

−

2

2

2

2

2

2

2

2

tiCL

xi

tuCL

xu

tuC

xi

tiL

xu

(10.4)

Dacă mai derivăm o dată prima ecuaţie în raport cu x şi ţinem seama de cea de-a doua ecuaţie, se obţine:

(10.5)

şi similar se obţine o ecuaţie pentru i(x,t):

(10.6)

Ecuaţiile cu derivate parţiale de ordinul doi (10.5) şi (10.6) se numesc ecuaţiile telegrafiştilor de ordinul II. Deşi cele două ecuaţii sunt de aceeaşi formă şi sunt independente (una în variabila u(x,t) şi alta în i(x,t)), soluţiile lor nu sunt independente, fiind legate prin ecuaţiile (10.4). În realitate se integrează doar una dintre ele (în condiţii iniţiale şi la limită (capete) precizate) şi soluţia se înlocuieşte în (10.4) pentru a determina cealaltă necunoscută. Integrarea lor în regim tranzitoriu se poate face şi operaţional : L[u(x,t)] = U(s,x). Observaţie: la frecvenţe joase parametrii lineici (Rℓ, Gℓ, Lℓ, Cℓ) se pot calcula ca şi în regim staţionar. La frecvenţe înalte repartiţia curentului pe secţiunea firului se modifică din cauza efectului pelicular (şi de vecinătate) deci Rℓ creşte; dielectricul are şi pierderi prin histerezis, deci şi Gℓ creşte. Ceilalţi doi parametri au valorile cunoscute pentru o linie bifilarã:

(10.7)

10.2 Regimul tranzitoriu al liniilor fără pierderi

Liniile se consideră fără pierderi dacă se neglijează pierderile Joule atât pe fire cât şi în dielectricul dintre fire, respectiv Gℓ=Rℓ=0. Ecuaţiile telegrafiştilor de ordinul I şi II devin de forma:

(10.8)


Aceste ecuaţii sunt de acelaşi tip (ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul II de tip hiperbolic) cu ecuaţiile (4.24) care se referă la unda electromagnetică plană ce se propagă printr-un mediu dielectric. Deci la fel se propagă unda (semnalul) pe o linie fără pierderi ca şi unda plană printr-un mediu dielectric. Soluţia ecuaţiilor (10.8) conţine o undă directă şi una

inversă care se propagă în lungul liniei cu viteza LC1vo ±= (aşa cum la

unda plană era εμ

±=1vo ; deci: u(x,t)=ud(x-vot)+ ui(x+vot). (10.9)

Fig. 10.4

Cele două componente se propagă în lungul axei x ca în figura 10.4. Funcţiile ud şi ui sunt arbitrare, forma lor depinde de alimentarea liniei (semanlul transmis) dar şi de condiţia iniţială şi la limită (x = 0; x = ℓ). Cunoscând soluţia u(x,t), unda de curent i(x,t) rezultă din ecuaţiile de ordinul întâi din (10.8):

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂⋅=

∂∂

=

∂∂⋅

−=

∂∂

=

→∂∂

=−−↔∂∂

=∂∂

−

tu

v1

xuu

tu

v1

xu

u

tiLuu

tiL

tu

i

o

i,i

d

o

d,d

,i

,d

)x(A)uu(Lv1i0)]uu(

v1iL[

t ido

ido

+−=⇒=−−∂∂ (10.10)

Dacă 0CL

Cv1LvZ

ooo >=== este impedanţa caracteristică

a liniei fără pierderi, atunci expresia curentului devine de forma:

)x(A

i

)tvx(uZ1

d

)tvx(uZ1)t,x(i

i

oio

i

odo

++−−= (10.11)


⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=ω+ω+=

=ω+ω+=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=ω+=−

=ω+=−

ItYZI)CjG)(LjR(2dx

I2d

UtYZU)CjG)(LjR(2dx

U2d

;UtYU)CjG(

dxId

IZI)LjR(dxUd

La unda plană impedanţa de undă a mediului prin care avea loc

propagarea pe o linie era: Z =εμ

=ε

=μ=v1v

rrεμ .ZO (10.12)

Făcând o analogie între propagarea undei plane prin dielectric şi propagarea pe o linie fără pierderi, se pot stabili corespondenţele:

10.3 Linii lungi în regim permanent sinusoidal În regim permanent sinusoidal undele de tensiune u(x,t) şi cele de curent i(x,t) sunt în fiecare punct de pe linie (x=cst) funcţii sinusoidale de timp, de aceeaşi frecvenţă şi se pot reprezenta în complex:

(10.13) Ecuaţiile telegrafiştilor de ordinul I şi II transpuse în complex nu mai sunt ecuaţii cu derivate parţiale ci devin ecuaţii diferenţiale ordinare, de forma:

(10.14)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ϕ−γ=

γ=⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

ϕ−γ+ω=

γ+ω=

)x()x(u)x(I)x(I

)x(u)x(U)x(U

)]x()x(utsin[2)t,x(i

)]x(utsin[2)t,x(u


Notăm: - impedanţa lineică longitudinală [ ]m/Ω - admitanţa lineică transversală [ ]m/1−Ω (10.15) - constanta de propagare a liniei, pe unitatea de lungime - constanta de atenuare a liniei - constanta de defazare a liniei - viteza de fază a undei pe linie

Ecuaţiile de ordinul doi (10.4) devin de forma:

I22dx

I2d;U22dx

U2dγ=γ= (10.16)

Soluţia ecuaţiei în variabila U este de forma: xeiUxedU

)x(U

xe2A

)x(U

xe1A)x(U00

id

γ+γ−=γ+γ−= (10.17)

Curentul complex şi el va avea două componente ce se propagă în lungul liniei (pe axa Ox) în sensuri contrarii cu aceeaşi viteză (curentul direct şi invers):

)xe2Axe1A(Zdx

UdZ

1)x(I γ−γ−γ=⋅

−= (10.18)

Notăm: ccZtY

ZCjGLjR

cZ ϕ=γ

=γ

=ω+ω+

= (10.19)

impedanţa caracteristică a liniei cu pierderi. Curentul complex (10.18) se poate scrie astfel:

)x(I)x(I)e

Z

U(e

Z

Ue

ZA

eZA

)x(I idx

c

oix

c

odx

c

2x

c

1 +=−+=+= γγ−γγ−

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−ω

ω=

βω

=

≥+−ω=γ=β

≥+ω−=γ=α

=γ

ω+=

ω+=

β+α==ω+ω+=γ

]YZGRCL[21

v

0]YZGRCL[21Im

0]YZCLGR[21Re

YZ

CjGYLjRZ

jYZ)CjG)(LjR(

t2

t2

t2

t

t

t


(10.20) Mărimile cZ şi γ se mai numesc parametri secundari ai liniilor lungi. În funcţie de aceştia, se pot scrie ecuaţiile liniilor lungi în regim sinusoidal, atunci când se cunosc tensiunea şi curentul la intrarea pe linie (x=0): 1U şi 1I sau la ieşirea de pe linie (x=ℓ): 2U , 2I .

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

+=⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−==

+==

)1IcZ1U(21

2A

)1IcZ1U(21

1A

cZ2A1A

)0(I1I

2A1A)0(U1U (10.21)

Deci ecuaţiile liniilor lungi se scriu sub formă similară cu ecuaţiile pentru lanţurile de cuadripoli:

(10.22)

Fig. 10.5

Dacă raportarea se face faţă de bornele de ieşire ale liniei (x΄=ℓ-x, figura 10.5) atunci:

(10.23) Impedanţa de sarcină sZ conectată la ieşirea liniei are expresia:

γ−

γ−=

γ−

γ−=

γ=

thiZcZthcZiZ

cZth

cZiZ

1

thcZiZch1I:2I

2UsZ (10.24)

Coeficientul de reflexie al undelor, la joncţiunea dintre linie şi sZ

este: (10.25)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

γ−γ=

γ−γ=

⎯⎯ →⎯⎪⎩

⎪⎨

⎧

γ−γ=

γ−γ==

shZU

chI)x(I

shIZchU)x(U

xshZU

xchI)x(I

xshIZxchU)x(U

c

112

1c12)x(

c

11

1c1

⎪⎩

⎪⎨

⎧

γ+γ=

γ+γ=

⎯⎯⎯ →⎯⎪⎩

⎪⎨

⎧

γ+γ=

γ+γ==

shZU

chII

shIZchUU

'xshZU

'xchII

'xshIZ'xchUU

c

221

2c21)'x(

c

22'x

2c2'x

cs

cs

2c2

2c2

d2

i2

d2

i2rf ZZ

ZZIZUIZU

II

UU

K+−

=+−

=−==


Dacă linia funcţionează adaptat ( )cZsZ( = nu va exista reflexie de semnal, 0K rf = şi dUU = ; dII = . Pentru o linie fără pierderi ( )0GR == expresiile (10.15) devin:

0=α ; CLω=β ; β=γ j ; CL

cZ = şi CL

1v =βω

= (10.26).

Cum v nu depinde de frecvenţa ω înseamnă că toate armonicile unui semnal se propagă de-a lungul liniei cu aceeaşi viteză, ele ajung simultan la capătul 2-2´ al liniei şi se reface forma semnalului de la intrare. Se spune că liniile fără pierderi nu distorsionează semnalul, ele se numesc linii fără dispersie. Pentru linia cu pierderi, viteza de fază (cea pentru care faza iniţială ( )xt β−ω rămâne constantă) a unui semnal sinusoidal este:

)(f

tYZGRCL2(21)(

)(v ω=+−ω

ω=

ωβω

=ω (10.27)

Cum viteza v depinde de frecvenţă, nu toate armonicile unui semnal se propagă cu aceeaşi viteză în lungul liniei, armonicile înalte au viteză mai mare şi ajung mai repede la capătul 2-2´ şi se suprapun peste armonicile joase ale unui semnal precedent, linia prezintă distorsiuni ale semnalelor; linia cu pierderi este o linie cu dispersie. Linia cu pierderi poate deveni linie fără distorsiuni dacă parametrii

săi îndeplinesc condiţia Heavisaide: CG

LR

= . (10.28)

În acest caz: .ctCL

1v == şi se elimină distorsiunea liniei.

Dar: 0CL

GLC

R ≠==α ; oZCL

cZ == ; 0c =ϕ . (10.29)

Satisfacerea condiţiei Heavisaide (10.28) la cablurile telefonice este mai greu de îndeplinit, datorită capacităţii lor C mari şi L mică. Deci este nevoie a se mări artificial inductivitatea lineică L . Prin procedeul Krarup se înfăşoară cablul cu o bandă feromagnetică mărind astfel L până se satisface (10.28).


Fig. 10.6 Procedeul Pupin presupune a secţiona cablul şi la intervale egale

(mai mici decât λ) se introduc bobine cu inductivitatea oL (figura 10.6) care să îndeplinească (10.28). Aceste bobine vor întârzia armonicile înalte sosite primele până se reface semnalul iniţial şi ultima refacere este la bornele de ieşire 2-2´ (pupinizarea cablului). Aplicaţie

Să se determine impedanţa de intrare iZ a unei linii omogene de lungime ℓ având parametrii cZ şi γ când este închisă pe impedanţa de sarcină sZ . Să se particularizeze expresia lui iZ în următoarele cazuri: )a1 cs ZZ = ; )a 2 0Zs = (mers în scurt); )a3 ∞→sZ (mers în gol).

b) pentru linia fără pierderi ( )0;0GR =α== .

c) pentru linia de lungime egală cu un număr par (impar) de sferturi de lungime de undă )4/(λ . d) pentru linia infinit lungă ( )∞→ . Plecând de la ecuaţiile (10.23) ale liniei lungi putem scrie:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

γ+γ=

γ+γ=

)shcZsZ

ch(2I1I

)shsZcZ

ch(2U1U (10.30)

Impedanţa de intrare se scrie succesiv sub forma:

γ−

γ−

+−

+

+−

+=

γ+γ

γ+γ==

2

cs

sc

2

cs

cs

c

c

s

s

c

s1

1i

eZZZZ

1

eZZZZ

1Z

shZZ

ch

shZZ

chZ

IU

Z

)a1 Dacă cics ZZZZ =⇒= - linia funcţionează adaptat.

)a 2 Dacă γ=+

−=⇒=

γ−

γ−thZ

e1

e1ZZ0Z c2

2

cis - linia merge în scurt.

)a3 Dacă lcthZZZ cis γ=⇒∞→ - linia merge în gol.


b) Pentru o linie fără pierderi: β=γ j ; β+

β+=→=

tgZZ

j1

tgZZ

j1ZZZZ

c

s

s

c

cicc

deci linia funcţionează ca un transformator de impedanţe.

c) Dacă lungimea liniei este 4

k λ= ; k=par (impar), atunci:

2k

4k2l π

=λ

λπ

=β ; α−π

−α−β−α−γ− −=== 2k2jk22j22 e)1(eeeee .

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )cs

kcs

csk

csc2

cscs

2cscs

ciZZ)1(ZZ

ZZ)1(ZZZ

eZZZZ

eZZZZZZ

−−−+

−−++=

−−+

−++=

γ−

γ−.

Fig. 10.7 Dacă 0=α (linie fără pierderi) atunci:

pentru k=par – linie sfert lungime de undă, adaptat pentru k=impar – linie jumătate lungime de undă şi în acest caz linia se comportă ca un girator, schimbând caracterul de sarcină sZ ca în figura 10.7.

d) Pentru linia de lungime infinită: cZiZ02elim =→=γ−

∞→, valoarea

sa este independentă de valoarea lui sZ .

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

s

2c

i

si

ZZZ

ZZ

Bibliografie

1. Andronescu, PL., Bazele electrotehnicii, vol I şi II, EDP, Bucureşti; 1972

2. Antoniu, I.S., Bazele electrotehnicii, vol I şi II, EDP, Bucureşti; 1974

3. Binns, K.J., Lawrenson, P.J., Trowbridge, C.W., The analytical and numerical solution of electric and magnetic fields, John Wilez&Sons, 1995

4. Bossavit,A., Modelásation numèrique en èlectrotechnique, Notes de cours, Bucureşti, 1995

5. De Sabata, I., Bazele electrotehnicii, vol I, II, III, Lito I.P.Timişoara, 1972

6. Edminister, J.A., Electromagnetics, Theory and Problems, McGraw-Hill, Inc., 1993

7. Ghircoiaşu., N., s.a. Matematici speciale, vol I,II, Lito I.P. Cluj-Napoca, 1981

8. Hameyer, K., Belmans, R., Numerical Modelling and Design of Electrical Machines and Devices, WIT Press, Boston, 1995

9. Mîndru, Gh., Electrotehnică, Lito I.P. Cluj-Napoca, 1976 10. Mîndru, Gh., Rădulescu, M.M., Analiza numerică a câmpului

electromagnetic, Editura Dacia, Cluj-Napoca, 1986 11. Mîndru, Gh., Teoria câmpului electromagnetic, Probleme, Editura

Mediamira, Cluj-Napoca, 2000 12. Mîndru, Gh., ş.a. Bazele electrotehnicii, Probleme, Lito I.P. Cluj-

Napoca, 1976 13. Mocanu, C.I., Teoria câmpului electromagnetic, EDP, Bucureşti,

1981 14. Moraru, A., Frăţiloiu,G., Bazele electrotehnicii, Probleme, Editura

BIC ALL, 1999 15. Nasar, S.A., Solved Problems in Electromagnetics, McGRAW-

HILL, INC, 1992 16. Neiman, L.R., Kalantarov, P.L., Bazele electrotehnicii, vol. I, II, ET,

Bucureşti, 1956 17. Nicolaide, A., Bazele fizice ale electrotehnicii, Editura Scrisul

românesc, Craiova, 1983/86 18. Preda, M., Cristea, P., Spinei F., Bazele electrotehnicii, vol.I, EDP,

Bucureşti, 1981 19. Răduleţ, R., Bazele electrotehnicii. Probleme, vol I, EDP, Bucureşti,

1981


20. Simion, E., Maghiar, T., Electrotehnică, EDP, Bucureşti, 1981 21. Simony, K., Electrotehnică teoretică, ET, Bucureşti, 1974 22. Sykulski, J.K., Computational Magnetics, Chapman&Hall, London,

1995 23. Şora, C., Bazele electrotehnicii, EDP, Bucureşti, 1982 24. Timotin, Al., ş.a., Lecţii de Bazele electrotehnicii, EDP, Bucureşti,

1970

Bazele electrotehnicii - Mandru

Documents

Transcript of Bazele electrotehnicii - Mandru