GHEORGHE MNDRU BAZELE ELECTROTEHNICII EDITURA U.T.PRES CLUJ-NAPOCA, 2005 Editura U.T.PRES Str. C. Daicovicu nr. 15 400020 Cluj-Napoca Tel.: 0264 401304; Fax: 0264 - 430408 Director:Prof.dr.ing. Traian One Consilier tiinific:Prof.dr.ing. Virgil Maier Consilier editorial:Ing. Clin D. Cmpean Copyright 2005 Editura U.T.PRES ToatedrepturileasupraversiuniinlimbaromnaparinEdituriiU.T.PRES. Reproducerea integral sau parial a textului sau ilustraiilor din aceast carte este posibil numai cu acordul prealabil scris al editurii U.T.PRES. Tiparul executat la Atelierul de multiplicare al UTCN. ISBN 973-662-136-7 Descrierea CIP a Bibliotecii Na]ionale a Rom$niei M%NDRU, GHEORGHE Bazele electrotehnicii/ Gheorghe M^ndru .- Cluj-Napoca : U.T. Pres, 2005 p. : cm. Bibliografie ISBN 973-662-136-7

621.3 PREFA Bazeleelectrotehnicii(sauElectrotehnicateoretic)arecaobiect studiul fenomenelor electromagnetice din perspectiva aplicaiilor tehnice ale acestora.Pelngexplicareafenomeneloriamrimilorcaracteristicese prezint legile i teoremele asociate precum i numeroi algoritmi de calcul attpentrumrimidecmp,puteri,energii iforeelectromagnetice,ct i pentru evaluarea parametrilor de circuit. Carteaseadreseazattstudenilordeprofilelectriccti studenilordelafacultiledeFizicispecialitilorcaredorescs aprofundeze acest domeniu al tiinei. Problematicaesteabordatncadrulteorieimacroscopicea fenomenelor electromagnetice i numai parial, pentru o mai bun nelegere a unor aspecte, se recurge la interpretri microscopice. Uncapitolapartelconstituiestudiulregimurilortranzitoriiale circuitelorelectrice,care,spredeosebiredestudiulregimurilorpermanente (abordatnTeoriacircuitelorelectrice),utilizeazmetodematematice specifice. Fiecare capitol este nsoit de numeroase aplicaii care permit o mai bun nelegere a problemelor i algoritmilor expui; se insist mai mult pe determinareaparametrilorfuncionaliaidiverselordispozitive electromagnetice. Cluj Napoca, ianuarie 2005Autorul V CUPRINS 1. Elemente de analiz vectorial. 1.1. Cmpuri scalare.... 1.2. Cmpuri vectoriale... 1.3. Proprietile funciilor de punct n diverse sisteme de coordonate.... 1.3.1. Sistemul cartezian......... 1.3.2. Sistemul cilindric...... 1.3.3. Sistemul sferic....... 1.3.4. Sistemul curbiliniu triortogonal........ 1.4. Aplicaii............ 1 1 2 8 8 9 12 15 17 2. Strile electrice i magnetice ale corpurilor i cmpului .. 2.1. Starea de ncrcare electric a corpurilor..... 2.1.1. Distribuii de sarcin electric ................................................. 2.2. Starea electric de polarizare....... 2.3. Starea electrocinetic a corpurilor.... 2.4. Starea de magnetizare a corpurilor....... 2.5. Strile cmpului electric i magnetic....... 21 23 24 25 29 35 37 3. Legile fenomenelor electromagnetice . 3.1. Legea fluxului electric. Aplicaii..... 3.2. Legea fluxului magnetic...... 3.3. Legea circuitului magnetic. Aplicaii....... 3.3.1. Formele integrale ale legii ....................................................... 3.3.2. Formele locale ale legii ........................................................... 3.4. Legea induciei electromagnetice.... 3.4.1. Fenomenul de inducie electromagnetic ................................ 3.4.2. Formele integrale ale legii ....................................................... 3.4.3. Formele locale ale legii ........................................................... 3.5. Teoremele de refracie a liniilor de cmp ... 3.6. Legea conservrii sarcinii electrice...... 3.6.1. Formele integrale ale legii ........................................................ 3.7. Legea conduciei electrice. Metoda tuburilor i feliilor....... 3.8. Legea transformrii energiei n conductori...... 3.9. Legea polarizaiei electrice temporare..... 3.9.1. Materiale linaire i izotrope ......................................................... 3.9.2. Materiale liniare i anizotrope ...................................................... 3.10. Legea magnetizaiei temporare...... 3.11. Aplicaii...... 41 42 49 52 52 55 60 60 62 68 70 72 72 75 79 82 82 83 84 88 VI 4. Ecuaiile cmpului electromagnetic ....4.1. Legile cmpului electromagnetic un sistem complet de ecuaii 4.2. Teorema de unicitate a cmpului electromagnetic ...... 4.3. Teorema superpoziiei cmpurilor electromagnetice... 4.4. Ecuaiile lui Maxwell... 4.5. Unda electromagnetic plan... 4.6. Radiaia undelor electromagnetice... 4.6.1. Poteniale electromagnetice ntrziate..... 4.6.2. Rezistena de radiaie a circuitelor...... 4.7. Aplicaie .......................................................................................... 93 93 97 98 99 102 108 108 111 112 5. Regimul electrostatic i magnetostatic 5.1. Teorema potenialului electrostatic...... 5.1.1. Proprietile potenialului electric V ........................................ 5.2. Capaciti electrice. Aplicaii... 5.3. Relaiile lui Maxwell privitoare la capaciti .... 5.4. Metoda imaginilor electrice..... 5.4.1. Imagini electrice n raport cu planul conductor infinit ............. 5.4.2. Imagini electrice n raport cu cilindrul infint lung ................... 5.4.3. Imaginile electrice n raport cu sfera conductoare ................... 5.4.4. Cmpul electric ntre doi cilindrii paraleli. Axe electrice ........ 5.5. Capaciti n serviciu. Aplicaii.... 5.5.1. Capacitatea n serviciu a unei linii bifilare n prezenapmntului .......................................................................................... 5.6. Capacitatea unei antene......... 5.6.1. Antena vertical ....................................................................... 5.6.2. Antena orizontal ..................................................................... 5.7. Regimul magnetostatic .................................................................... 113 114 116 120 128 134 135 138 139 140 142 144 147 148 149 150 6. Regimul magnetic staionar 6.1. Potenialul magnetic A i ecuaiile sale... 6.2. PotenialulA i cmpulB create de fire parcurse de curent .. 6.3. Metoda imaginilor magnetice...... 6.4. Circuite magnetice... 6.4.1. Teoremele lui Kirchhoff pentru circuite magnetice........ 6.4.2. Rezolvarea circuitelor magnetice........ 6.5. Inductiviti...... 6.5.1. Inductiviti proprii i mutuale ............................................... 6.5.2. Relaiile lui Maxwell pentru inductiviti....... 6.5.3. Legtura dintre inductiviti i t.e.m. induse....... 6.5.4. Teorema lui Neumann..... 6.6. Aplicaii............ 153 153 158 160 163 167 168 171 173 174 176 177 179 VII 7. Energii i fore n cmpuri electromagnetice .7.1. Teorema energiei electrice... 7.2. Teorema energiei magnetice.... 7.3. Teorema energiei electromagnetice..... 7.3.1. Puterea electromagnetic transmis printr-o und plan.... 7.3.2. Puterea electromagnetic transmis printr-un conductor.... 7.4. Teoremele forelor generalizate (lagrangiene) n cmp electric...... 7.5. Teoremele forelor generalizate n cmp magnetic...... 7.6. Aplicaii.... 185 185 157 190 192 193 196 199 204 8. Corpuri conductoare n cmpuri variabile 8.1. Ptrunderea cmpului electromagnetic n semispaiul conductor infinit extins ... 8.2. Efectul de refulare.... 8.3. Efectul de ptrundere... 8.4. Efectul de proximitate.. 8.5. Efectul debucl... 8.6. Efectul Field (direct i invers)...... 8.7. Efectul de ecranare... 8.8. Efectul de levitaie electromagnetic... 211 211 214 216 216 218 218 219 220 9. Circuite electrice n regim tranzitoriu ..9.1. Teoremele condiiilor iniiale pentru comutaii naturale.......... 9.2. Circuite simple sub excitaii particulare........... 9.2.1. Cuplarea i decuplarea circuitului RL la o surs continu 9.2.2. Cuplarea circuitelor RL la o surs sinusoidal ............. 9.2.3. ncrcarea i descrcarea unui condensator............... 9.2.4. Cuplarea circuitului RC la o surs sinusoidal.............. 9.2.5. Regimul tranzitoriu al circuitului RLC serie............. 9.2.6. Aplicaii.............. 9.3. Analiza operaional a circuitelor electrice n regim tranzitoriu pe baza transformatei Laplace ............................................................ 9.3.1. Teoremele transformatei Laplace ......................................... 9.3.2. Schemele operaionale ale circuitelor simple n regim tranzitoriu ....................................................................................... 9.3.3. Forma operaional a teoremelor lui Kirchhoff ................... 9.4. Comutaii forate ............................................................................. 9.4.1. Teoremele condiiilor iniiale pentru comutaii forate lacondensatoare ................................................................................. 9.4.2. Teoremele condiiilor iniiale pentru comutaii forate la bobine ............................................................................................. 9.4.3. Aplicaie ............................................................................... 223 225 227 227 231 232 235 236 239 243 244 248 253 258 259 259 260 VIII9.5. Analiza operaional a circuitelor electrice n regim tranzitoriu pe baza transformatei Fourier .............................................................. 9.6. Analiza circuitelor electrice n regim tranzitoriu n domeniul timp 9.6.1. Metoda integralei Duhamel .................................................. 9.6.2. Rspunsul unui circuit la un semnal dat n funcie de rspunsul circuitului la un impuls unitate ...................................... 9.6.3. Rspunsul unui circuit la un semnal dat n funcie de rspunsul circuitului la un semnal ramp unitate ........................... 9.7. Aplicaii ........................................................................................... 262 266 267 270 272 273 10. Linii electrice lungi (linii omogene) .. 10.1. Ecuaiile liniilor electrice lungi..... 10.2. Regimul tranzitoriu al liniilor fr perderi..... 10.3. Linii lungi n regim permanent sinusoidal..... 287 288 290 292 Bibliografie ............................................................................................ 299 1. Elemente de analiz vectorial 1.2 Cmpuri scalare. Fieofunciescalarfdefinitntr-undomeniuspaial(plan)D raportatlaunsistemdecoordonatecartezian(x,y,z),cilindric(z,r,), sferic (r, , ) etc. n fiecare punct din domeniu P0 (x0, y0, z0) funcia scalar areovaloaref0(x0,y0,z0);unindpunctelencarefunciafareaceeai valoare, se obine o suprafa de nivel pentru funcia f. Prinintermediulgradientuluisepotstudiaproprietilevariaionaleale funciei scalare f: f f fgrad f f i j kx y z = = + + (1.1) undei j kx y z = + + este un operator de derivare vectorial (nabla). Funcia grad f are drept componente vitezele de variaie ale funciei f dup coordonate (f f f, ,x y z ), respectiv grad f, n orice punct P (x, y, z) aratvitezadevariaieafuncieilatrecereaprinacelpunct;gradfeste orientatnsensulcresctoralfuncieif.nregiuneadin Dundegradfeste mare, acolo suprafeele de nivel (f = cst) sunt apropiate. Variaia funciei f dup o direcie de versorneste: fn fn= (1.2) Proprietile funciei gradient sunt: ( )( )( )( )grad af a grad ff m n f m n m nf m n f m n m n n mgrad m grad n m n cstF FF F m, n,.... grad F m n ....m n= = = = = = = + = = + = = + + (1.3) Bazele electrotehnicii2 Dacr xi yj zk = + +este vectorul de poziie ntr-un sistem cartezian (figura. 1.1-a) sau z rr zu ru r u= + + ntr-un sistem cilindric (figura 1.1-b), iar 2 2 2r r x y z = = + +este modulul vectorului de poziie, atunci: rgrad r rr= =(1.4) i este orientat n sensul creterii coordonatei r.

j yxyzzxi k r r z ruk uz = ruFig. 1.1 1.2 Cmpuri vectoriale. UncmpdevectoriG definitntr-undomeniuDesteofuncie vectorial: ( )x y zG G x, y, z G i G j G k = = + +(1.5) i n orice punct din domeniu are o valoare (modulul 2 2 2x y zG G G G = + + ), o direcie n spaiu, un sens pe direcia respectiv, deci o triplet de valori n raport cu o funcie scalar f care are doar valoare. Un tub de flux unitate conine atia vectori (un mnunchi de vectori) ctesteunitateademsurafluxuluirespectiv.Fiecaretubunitatese nlocuieteprinaxasageometriccarevareprezentaoliniedecmpalui G . ntr-o regiune din spaiu unde cmpul este intens, tuburile unitate vor fi apropiateiaracoloundecmpulesteslab,untubunitateseadunpeo suprafamaimareiliniiledecmpvorfimaindeprtate.Geometria liniilor de cmp sugereaz multe dintre proprietile cmpuluiG . 1. Elemente de analiz vectorial3 a) linii divergente; b) linii convergente;c) linii echidistante;d) linii paralele Fig.1.2 n lungul liniei de cmp valoarea cmpului scade (fig. 1.2-a), crete (fig.1.2-b),rmneconstant(fig.1.2-c)sauesteuncmpuniform(fig. 1.2-d). CmpulGrmne tangent la linia de cmp; vectoriiGidrfiind coliniari:G dr 0 = , respectiv dacdr dxi dyj dzk = + + , rezult: x y zdx dy dzG G G= = (1.6) care reprezint ecuaiile difereniale a cror soluie sunt ecuaiile liniilor de cmp. Divergena unei funcii vectoriale x y zG G i G j G k = + +se definete: yx zGG GdivG Gx y z = = + + (1.7) i este o funcie scalar care indic repartiia surselor pentru liniile cmpului Gn interiorul domeniului Dde definiie a cmpuluiG . Dac ntr-un punct P0 (x0, y0, z0) din D : ( )0PdivG 0 > n punctul P0 exist surse (+) care produc linii de cmp G .ValoareadivG aratcareesteproductivitatea surselordinacelpunct; ( )0PdivG 2 = latrecereaprin punctul P0 se dubleaz numrul liniilor de cmp ( )0PdivG 0 < npunctulP0existsurse(-)numitepuuricare absorb linii de cmp. ( )0PdivG 0 = nuexistsursenP0,liniileluiG treccontinuuprin acelpunct(numrulliniilornicinucretenicinu scade). GGG GGGGBazele electrotehnicii4 Proprietiledivergeneisepotevideniainndseamac operatorul nabla( ) este un operator de derivare vectorial: ( ) ( )( ) ( )2 2 22 2 22 2 22 2 2G kA div G G k A k div AG f A div f A f A f A A f f div A A grad ff f fG grad f f div grad f f fx y zoperatorul laplaceanx y z3 r vector spatialx y zG r div rx y z2 r xi yj, vect= = = == = = + = + = = = = = + + = = + + = = + + = = + or plan Rotorul unei funcii vectoriale x y zG G i G j G k = + +se definete: x y zy yz x z xi j krot G Gx y zG G GG GG G G Gi j ky z z y x y = = = = + + (1.9) deci rotGeste tot o funcie vectorial care indic proprietile geometrice ale liniilor de cmpG . rotG =0liniileluiG nufacrotoarendomeniulD,suntlinii deschise (cu capete, nceput i sfrit). rotG 0liniile luiGsunt nchise n domeniul D (fac rotoare n D) sau trec prin domeniul D n fascicol paralel (deci se nchid pe la infinit). 1. Elemente de analiz vectorial5 Cteva dintre proprietile funciei rotor le amintim n continuare: ( )2 20i j kG grad f f rot grad fx y zf f fx y zf fi 0j 0k (1.10)y z z y= = = = = = + +

Deci dac: rot G 0 G grad V V = = = (1.11) funcia scalar V se numete potenialul scalar al cmpuluiG .ToatecmpurileG careprovindintr-unpotenialscalarVprin intermediulgradientuluisenumesccmpuripoteniale(newtoniene, irotaionale) i liniile lor sunt deschise, nu fac rotoare. ( ) ( ) ( )G f A rot f A f A f A f Agrad f A f rot A= = = + == + (1.12) DacG A B = ,atunciaplicndformulaluiGibbsseobine succesiv: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )A Brot A B A B A B A BA BA BA div B B div A B grad A A grad BA B = = + = + + = + ii iiii (1.13) DacG rot A A = = , aplicnd (1.13) se obine: ( )( )( )( )( )( )00rot (rot A) A A A AA graddiv AA= === == + =

(1.14) Bazele electrotehnicii6 Operatorulnablaacioneazasupracantitilordindreaptasacu proprietidederivare(peceledinstngalenmulete)iardacn dreapta sa nu exist nimic, termenul este zero, ca n relaia (1.14). i j kG r rot r 0x y zx y z = = = DacAiB sunt doi vectori, atunci se definesc produsele: x x y y z zA B A B A B A B = + + i- produs scalar x y zx y zi j kA B A A AB B B =- produs vectorial -produs mixt: ( )0, cnd doi dint re vectori sunt paraleliA B C0, cei 3vectori det er min un paralelipiped= = i - dublu produs vectorial (Gibbs): ( )B CA B CAB AC = ( ) ( )div rotA A 0 = = i- produs mixt n care doi vectori coincid. Deci dac: divG 0 G rotA = = (1.15) funcia vectorialAeste potenialul vector al cmpuluiG . Observaii nteoriacmpuluigradientul,divergenairotorulsunt operatoridiferenialideordinulnticareexprimaiprinoperatorul dederivarespaialnabla:i j kx y z = + + ,sescriupebaza proprietilordederivareinmuliresimultanaacestuioperator: grad f f = ; divG G = ; rotG G = . 1. Elemente de analiz vectorial7 Dac n domeniul D,rotG 0 = , nseamn c liniile cmpuluiGnu se nchid n acel domeniu (dar se pot nchide n exteriorul su) i n acelai timp dac idivG 0 = , nseamn c liniile luiGnu au surse (capete) n D (dar poate avea surse n exterior). Un astfel de cmp se numete cmp laplacean.

2G

1G12 n 12t

1 f 2 f12 S

1 2D fig 1.3 DacndomeniuldecmpDexisto suprafa de discontinuitate S12 care separ douregiunicuproprietimateriale diferite(sauladomeniiplaneexisto curbdediscontinuitateC12)canfigura 1.3,atuncilatrecereaprindiscontinuitate, nsensulversoruluinormalla discontinuitaten12orientatdinspremediul 1 spre 2, funcia va avea o variaie prin salt (f2f1),respectiv ( )2 1G G ,care reprezintvalorilecelordoufunciila stngailadreaptadiscontinuitiiS12.n acestcaznusepotdefinioperatoriigrad, divirot,darseopereazcuoperatorii superficiali: - gradient superficial:( )12 2 1 sgrad f n f f = - divergena superficial: ( )12 2 1 2 1 s n ndiv G n G G G G = = i- rotor superficial:( )112 2 2 1 s t trot G n G G G G = = unde Gn este componenta luiGdup normala la discontinuitate 12niar Gt este componenta luiGdup versorul tangenttla S12. Dacn it suntversoriinormalitangentlaosuprafa(curb) atunci: ntA n AA t A==ii

tnA n AA t A = = Bazele electrotehnicii8 x y z 1 x 1 y 1 z kj 0 P(x 1 ,y 1 ,z1 ) i 1.3Proprietile funciilor de punct n diverse sisteme de coordonate. 1.3.1 Sistemul cartezian(x,y,z) deversori ( i ,j , k ). F=Fxi +Fyj +Fzk ;F G=FxGx+FyGy+FzGz; FxG=(FyGzFzGy) i + (FzGxFxGz) j + (FxGyFyGx) k ; grad V ixV +jyV +kzV; =xi+yj+zk; divF=xFx+yFy+zFz; rot F= izFyFyz+ jxFzFz x+ kyFxFxy; 2222222zVyVxVV V++= = ; F =grad divFrot rotF; F2 = F = i Fx2 + j Fy2 + k Fz2 = i Fx + j Fy + k Fz ; grad divF= iz xFy xFxFz2y22x2 + ++ jz yFyFy xFz22y2x2 ++ + kzFz yFz xF2z2y2x2+ + ; gradk F=k rot F+zF; div( k F)= k rot F;rot( k F)=k div F-Fz; rot rot( k F)= k grad divFrotzF; grad divk V=z (grad V)=gradzV; 1. Elemente de analiz vectorial9 rotrot F= iz xFy xFzFyFz2y22x22x2 + + + jx yFz yFxFzFx2z22y22y2 + ++ ky zFx zFyFxFy2x22z22z2 + + ; rot k V=grad Vk ;2 ( k F)=k 2 F; grad div k F= k rot rot FrotzF; 2 ( k V)=k2 V; rot rot( k V)= k2 V+gradzV. 1.3.2 Sistemul cilindric circular (r,,z) deversori ( ur, u, z u =k )

xdr rz y rd d k dz r u u rot.rot F= + + + Fr1rFr1z rFzF Fr122z22r22r22r u + + + + rFr1 Fr1rFrFr1rFzFr1zFr2r2 2 22z222u ++ + + rFr1zFr1zFr1z rF Fr1rFz r2r22z22 2z2k . F=Frur +Fu +Fz z u; ur =- i cos + j sin ;u = i sin + j cos ;Bazele electrotehnicii10 i=ur cos u sin ; j =ur sin +u cos ;dl2 = dr2+r2d2+dz2;dv = r dr d dz; x = r cos ; y = r sin ; r2 = x2+y2; tg =xy; Fr= Fx cos +Fysin ; F= Fx sin +Fycos ; Fx= Fr cos Fsin ; Fy =Frsin+Fcos ; =rsinrcosx; + =rcosrsiny; r =( )xy xx212 2 + xy+( )yy xy212 2+; =x yy x r u u =k ; u k = r u ;k r u =u ;F G=FrGr+FG+FzGz; FG=(FGzFzG)r u +(FzGrFrGz)u +(FrGFGr)k ; grad V=rVr u +r1 Vu +zVk ; = r ur +u r1 +kz ; div F=r1r (rFr)+ r1 F+zFz=rFr+rFr+r1 F+zFz; 2V=V=r1r rVr +2r122V +22zV=22rV+r1rV+2r122V +22zV; 2F=F= Fr2rFF2 2rrr u + + r2 2Fr2rFF u +zF k ; grad divF= + + + 2r22r2z22r2rFFr1rFr1rFr1z rFrFr u + 1. Elemente de analiz vectorial11 + + + + r2r2222z2Fr1rFr1Fr1zFr1u ++ + +zFr1z rFrFr1zFr r222z2k rF=rFrr u +rFu +rFzk ; F=k F+ rFr u + Fu + zFk ; zF=zFrr u +zFu +zFzk ; r u=u ; u= r u ; rur=zur=ru =zu =rk= k=zk=0;divr u =r1;divu =divk =0; rotu =rk;rotr u = rotk =0; div( r u F)= r u rot F; div( u F)=rFz u rot F; div( k F)= k rot F; rot( r u F)= r u divFrFrF u r rrF uz z; rot( u F)= r urF+u div Fr1 F;rot( k F)=k div FzF; Bazele electrotehnicii12 1.3.3Sistemul sferic (r,,)deversori ( r u ,u , u). F=Frru +Fu+Fu ; F G=FrGr+FG+FG FG=(FGFG )r u + (FGrFrG ) u +(FrGFGr )u ; r u =i sin cos + j sin sin+ k cos;u =icos cos + jcos sin k sin ; u = i sin + j cos ; i = r usin cos +u cos cos u sin ; j = r usin sin +u cos sin +u cos ;k = r ucos u sin ; dl2 = dr2+r2d2+r2sin2 d2; dv = r2 dr sin d d; x = r sin cos ;y = r sin sin ; z = r cos ; r2 = x2+y2+z2; tg =zy x2 2+; tg =xy; x = sin cos r +rcos cos sin rsin ; y = sin sin r +r sin cos +sincosr ;

z = cos r r sin ;r u u =u ; u r u =u ;u u = r u ;

rF=rFrr u +rFu +rFu ;

d

0rd

r

d rsin

y xzdr

uuru1. Elemente de analiz vectorial13 F=( u F)+ rFr u + Fu + Fu ;

F=( k F)+ rFr u + Fu + Fu ; r u=sin u ;ur=u ; u= r u ; u=cos u ; u= r u sin u cos ; rur=ru =ru = u=0; divr u =r2;divu =0;divu =r1 tg1;rotr u =0;rotu =r1 tgurr1u ;rot u=r1u ; div( r u F)= r u rot F; div( u F)=r1 tg1FrrFu rot F; div(uF)=r1F u rot F; rot( r u F)= r u divFr1Fr1rFrF rot( u F)=u divFr1 tg1(Fr r u +Fu )r1 F r u r1 F; rot( u F)=u div Fr1F r u r1 tg1 Fu sin r1 F= = r1 sin1 rFr u r1 sin1 Fu + + +Fr1rFrFr ru . Fr= sin cos Fx +sin sin Fy+cos Fz; F= cos cos Fx +sin cos Fysin Fz; F= sin Fx +cos Fy; Fx= sin cos Fr sin F+ cos cos F; Fy= sin sin Fr+ cos F+ cos sin F;Fz= cos Frsin F; Bazele electrotehnicii14 r =( )212 2 2z y xx+ +x +( )212 2 2z y xy+ +y +( )212 2 2z y xz+ +z ; =( )212 2y xxz+x +( )212 2y xyz+y ( )212 2y x +z ; =xy yx ; grad V=rVr u +r1 Vu +r1 sin1 Vu ; = r ur +u r1 +u r1 sin1 ; div F=r1r (r2Fr)+ r1 sin1 (sin F)+ r1 sin1 F= =rFr+2rFr+r1 F+r1 tg1 F+r1 Fsin1 rotF=r1 sin1( ) FF sin r u ++r1( ) rFrF 1rsinu +r1( ) rFrFru = + F 1r1tgFr1Fr1sinr u + rFrFF 1r1rsinu + + rFr1rFrFu ; 2 V=V=2r1r rVr2+2r1 sin1 Vsin +2r121sin22V = =22rV+2r1rV+2r122V +2r1 tg1 V+2r121sin22V ; 2 F=F= Fr2 Fr2Frctg 2rF 2F2 2 2 2rr2sinr u + 1. Elemente de analiz vectorial15 + + Fr2rF Fr2F2 2 2 2r22sincossinu + + + + Fr2rFFr2F2 2 2 2r22sincossin sinu ; rot.rot F= ++ + r2 2r22 22Ftg1r1rFtg1r1rFtg1r1 Fr1 Fr1rFr1 + Fr1rFr1 Fr1222r22 2sin sin sinr u + + + + rFr2 Fr1FrFr1222 2 2 222 2sin sincossin +22r2rFrFr1u +++ 2 2 2 22222r2rFFtg1r1rF Fr1rFr2rFr1sin sin + FrFr12 222 2sincossinu ; 1.3.4Sistemul curbiliniu triortogonal(x1,x2,x3)deversori ( 1 u , 2 u , 3 u ) i h1,h2,h3 coeficieni Lam F=F11u +F22u +F33u ; F G=F1G1+F2G2+F3G3; dlj=hj dxj; j=1,2,3; dl2=h12 dx12+h22 dx22+h32.dx32; rotrot F= x22 u1 ux10x33 uBazele electrotehnicii16 =3 2h h12x213h hh1 122 21F hxF hx--( )3 311 13 1 323F hxF hx h hhx1u + +1 3h h13x2 233 32321F hxF hx h hh- ( )32 2 1 1 21 1 2 1 2hh F h F ux h h x x +2 1h h11x132h hh3 311 13F hxF hx ( )2 233 32 3 212F hxF hx h hhx3u ; grad V=1 1xVh11u +2 2xVh12u +3 3xVh13u ; =1u1 1x h1+2u2 2x h1+3u3 3x h1; divF=3 2 1h h h1( ) ( ) ( )++3 2 132 1 321 3 21F h hxF h hxF h hx; rotF = =3 2h h1( ) ( )2 233 32F hxF hx1u +1 3h h1( ) ( )3 311 13F hxF hx2u +2 1h h1( ) ( )1 122 21F hxF hx3u ; 2V=V= =3 2 1h h h1++3 32 13 2 21 32 1 13 21xVhh hx xVhh hx xVhh hx . 1. Elemente de analiz vectorial17 Observatii: -sistem de coordonate cartezian: x1=x, x2=y, x3=z, h1=h2=h3=1. -sistem de coordonate cilindric: x1=r, x2=, x3=z, h1=h3=1, h2=r. -sistem de coordonate sferic: x1=r, x2=, x3=, h1=1, h2=r, h3=r sin. -sistem de coordonate al cilindrului eliptic: x1=, x2=, x3=z, h1= h2=a 2 2cos cos , h3=1. -sistem de coordonate toroidale: x1=, x2=, x3=,h1= h2= + cos cosa,h3= + cos chsha x= + coscoschsha , y= + cossinchsha , z= + cossincha. 1.4. Aplicaii. 1. Pentru orice funcie ce conine vectorul de poziie, funciile sale de punct se pot scrie succesiv: ( ) ( )n n n n1 1G k rr divG kr r k rr k r r = = = + = ( ) ( ) = + = = =

0n n n1 r r kr ) r ( kr r kG rot 0 rrrr nk 1 n= = rr

r1

r1gradVr1V21 1= = =rrnrrnr1gradVr1V2 n 1 n n2n2+ += = = =( )n n 1 nr 3 n k3 r k rrr nr k+ = + =Bazele electrotehnicii18 2. Se consider funciile scalare f. S se calculeze gradientul lor. ( ) r z2 2z f 1 f ff x, y, z f u u ux y r r zf f fsauf i j kx y z = = + ++ = + + ( ) z2r3 2ur1urz 2frzz , , r f + = = 3. Se consider funcia vectorial:k z yxj e i x Gxy 2+ + = . S se calculezeG divi valoarea sa n punctul P(-1,1,1). ( ) ( ) ( ) y xe xx 2 z yx zeyxxG G divxy xy 2+ + =+= =( )e13 1 e 2 G div12 , 1 , 1 = = 4. Pentru funciak z j z yx2 i y x G2 2 2+ + = , s se calculezeG rot i valoarea sa n punctual P0(1,-2,1). ( )c2Px y zi j krotG 2 x y i2 y z 2 xy k ; rotG 4ix y zG G G = = + = 5. S se calculeze circulaia vectoruluik z j y i x G2 2 2+ + =pe dreapta P1P2 sau pe curba P1P2P3P4 din figura 1.4. Ecuaia dreptei P1P2 este y= x +2 , iar elementul de linie este: k dz j dy i dx d + + =.Deci ( )( ) ( )12 P422 P1421I G d x i x 2 ji jdx 2x 4x 18 = = + + = =

Circulaia pe conturul P1 P3 P4 P2 este: Fig. 1.4 1. Elemente de analiz vectorial19 ( ) ( ) ( )183836331dy y - dx x dy y -dy j Gdx i Gdy j Gdl G dl G dl G I02 -2412102PPPPPPPPPPPP244321244331= + + = + + == + + = + + = decivaloareaintegraleintrepuncteleP1 -P2 nudepindededrumulde integrare.Astfeldecmpuripoartnumeledecmpuripotenialeideriv dintr-o funcie scalar prin intermediul gradientului. 6. S se verifice teorema lui Stokes cu vectorulj x- i y A =pentru curba din figura 1.5. dy x dx y d A =, deoarece j dyi dxd + = Pe poriunea (a-b), avnd 0 d A0 dx0 x= ==

Pe poriunea (b-c): =2x 1 yFig. 1.5 2x - 1dx xydx xdy= = 2 222x 1dxx 1dx xdx x 1 d A=+ = 2x 1dxd Acb10 2==

Pe poriunea (c-a):0 d A0 dy0 y= ==

Atunci: bca abcA d A d A d A d 0 02 2 = + + = + + =

Bazele electrotehnicii20 De asemenea:( ) k 2 j x i y A A rot = = =ik dydx ds = Rezult: 2 42 S 2 dy 2 dx ds A rot1 x0 xx 10 y S2== = ==== Deci: SA d rotA ds2 = =

, Ceea ce nseamn c se verific teorema lui Stokes. 2. Strile electrice i magnetice ale corpurilor i cmpului Oricesistemfizicesteconstituitdincorpuri(substant)idincmp electromagnetic care exist att n interiorul corpurilor ct i n spaiul dintre corpuri.Strileelectriceimagneticealeunuisistemfizicsuntcomplet caracterizate prin urmtoarele mrimi primitive: q sarcina electric, caracterizeaz starea de ncrcare cu sarcin a corpurilor electrice [C]. iintensitateacurentuluielectric,caracterizeazstarea electrocinetic a corpurilor [A]. p momentulelectric,caracterizeazstareadepolarizarea corpurilor [Cm]. mmomentulmagnetic,caracterizeazstareademagnetizarea corpurilor [Am2]. Eintensitateacmpuluielectric,caracterizeazaspectulelectric al cmpului electromagnetic [V/m]. Binduciamagnetic,caracterizeazaspectulmagnetical cmpului electromagnetic [T]. Mrimilefizice(celesusceptibilededeterminricantitative)dup modul cum sunt definite sunt de dou feluri: - se definesc printr-un experiment, n orice teorie numrullor este fix- sedefinescprintr-orelaie,plecnddelamrimile mrimi primitivemrimi derivate primitive Mrimile fizice se mai pot clasifica i pe alte criterii: - acele mrimi care trebuiesc cunoscute pentru a determina univoc starea unui sistem fizic. Numrul lor crete odat cu dezvoltamrimi de starerea tiinei - acele mrimi care definesc interaciunea dintre un sistemfizic i alte sisteme (evoluia sa n timp i spaiu) mrimi deproces Bazele electrotehnicii22 - valorile lor se adun la reuniunea a dou sisteme fizice (mas, volum, sarcin electric); - caracterizeaz local (punct cu punct) un sistemmrimi extensive (globale)mrimi intensive fizic.Nu se adun la reuniunea sistemelor fizice (temperatur, presiune, densitate de sarcin electric).(locale) Strileneelectricealecorpurilor(geometrice,mecanice,termice)au uncaracterintrinsecipermanentiarstrileelectriceimagneticeauun caracterextrinsecitrector(uneisferemetaliceipotatribuidinexterior strielectriceprinncrcareasacusarcinelectriciipotretrageaceste proprieti prin descrcarea sa). Definireastrilorelectriceimagneticealecorpurilorestemai dificil, n astfel de stri corpurile interacioneaz cu alt sistem fizic - cmpul electromagnetic din jurul corpurilor. Pentrufenomenestaionare(invariabilentimp)saucvasistaionare (lent variabile n timp, frecvene mici) forele ce se exercit ntre corpurile cu proprietielectricesaumagneticesetransmitinstantaneudelauncorpla altul (ca n mecanica clasic, unde corpurile sunt n contact). Pentrufenomenenestaionare(variabilentimp)forelesetransmit de la un corp la altul cu vitez finit, prin intermediul cmpului electromag-neticce le separ, deci au nevoie de un timp de propagare (aici aciunea nu-i egal cu reaciunea, ele nu acioneaz simultan). Observaie:Noiuneadecmp(sistemfizic,formdeexistenamateriei)afostintrodusn fizicdectreFaradaynsecXIX prin formulareateorieideaciuneprincontiguitate(din aproapenaproape,nspaiuitimpiareprezentatunprogresenormnnelegerea proceselor fizice, dei mult timp a primit o interpretare mecanicist (cmpul era privit ca o starede deformareauneisubstaneipoteticenumiteter,cares-arafla pretutindeniattn corpuri ct i n afara lor. Orice manifestare prin cmp era o ntindere, comprimare, tiere a liniilor de cmp. Princmpvomnelegenprimulrndunsistemfiziccareare propietimateriale(posedenergieiimpuls)darnacelaitimp,nsens matematic, cmp este mulimea valorilor unei funcii (scalare sau vectoriale). Cmpesteiregiuneadinspaiucareposedproprietispecialesauchiar intensitateacmpuluielectricEestenumitsubformaprescurtatcmpul E . 2. Strile electrice i magnetice ale corpurilor i cmpului 23 2.1 Starea de ncrcare electric a corpurilor Pentrucorpuridedimensiunimicistareadencrcareestecomplet caracterizat prin sarcina electric q. Obinerea strii de ncrcare, numit i electrizareaunuicorp,sepoaterealizaprinmaimulteprocedee:frecare, nclzire,ntindere,comprimare,contactcualtecorpurielectrizate,iradiere cu raze ultraviolete sau X. Sarcina q se definete pebaza forei electrice ce seexercitasuprasaatuncicndesteintroduscorpul mic ntr-un cmp electric exterior : eF q E =(2.1) Sarcina q este (+) atunci cnd eFiE sunt omoparaleli i este () cand sunt antiparaleli.La scar microscopic, sarcina electric se distribuie pe corp n mod discontinuu (discret); sarcina electric ca i masa de inerie sunt un atribut al particulelorelementare.Macroscopic,masaisarcinaelectricseconsider mrimifizicecurepartiiecontinuncorpuri;unvolum d careeste infinitezimalmacroscopic,conineunnumrfoartemaredeparticule elementare, deci sarcina se distribuie continuu n interiorul su. Sarcinaqsepoatedefiniiprintr-unaltexperiment,bazatpefora Coulomb ce se exercit ntre dou sarcini punctiforme q1 i q2: 1 21221 12 312 oq q rF = F =4 r SensulforeidetipCoulombesteastfelnctsarciniledeacelai semnserespingiarceledesemnecontrareseatrag. 9 o1Fm4 9 10 = este permitivitatea vidului (constant universal). Expresia (2.2) este valabil dac: celedousarcinisuntpunctiforme(defaptcorpuripunctiforme ncrcatecusarcindimensiunilecorpurilormultmaimicica distana r12). celedoucorpurisnusemitenspaiu(foraCoulombrmne doar o tendin, nu pune corpurile n micare). sarcinile q1 i q2 s nu fie variabile n timp. Fig 2.2(2.2)Fig 2.1Bazele electrotehnicii24 Unitateademsurasarciniielectriceestecoulombul[C],careeste sarcinaunuimiccorpcareexercitoforde 99 10 N(detipul2.2)asupra altui mic corp ncrcat cu aceeai sarcin i situat n vid la o distan r12=1m. Sarcina de 1 C este foarte mare, practic se lucreaz cu subuniti: C, nC etc. 2.1.1 Distribuii de sarcin electric Pentru corpuri mici este suficient a cunoate sarcina q total cu care estencrcatcorpul.Pentrucorpurinepunctiforme(masive)sarcinase distribuienvolumulsaupesuprafaalorndiversemoduriitrebuie cunoscut n acest caz distribuia (densitatea) sarcinii. Pe elementele d, ds, dl, sarcina se admite ca este distribuit uniform. a)Distribuievolumetricdesarcin.Estespecificcorpurilormasive(nepunctiforme) din materialdielectric (izolant) i se definete: 3 vdqC = mdv (2.3) Dac v =ctcorpulestencrcatuniformcusarcinelectric,iar dac v =v ( r )aceastaestelegeadedistribuieasarciniipevolumul corpului: ()vv v =ct = r

v v corp v corpcorpVV q= d = V q= (r)d (2.4) b)Distribuiasuperficialdesarcin.Estespecificpentrucorpuricu dou dimensiuni (o pnz foarte subire avnd forma S n spaiu) sau n cazul corpurilor conductoare care se ncarc numai superficial cu sarcin (n acest cazSestesuprafaaexterioaraconductorului).Densitateasuperficialde sarcin este: 2 sdqC = mds (2.5) Dac ( )() ( )ss s =ct - distribuie uniform = r - distribuie neuniform

()s s Ss S q= ds S q= r ds =(2.6) c)Distribuialiniardesarcin.Estespecificcorpurilorcuosingur dimensiune (este cazul firelor subiri, curba C este axa firului): 2. Strile electrice i magnetice ale corpurilor i cmpului 25 dqC =md AA (2.7) Dac( )() ( ) =ct - distribuie uniform = r - distribuie neuniform AA AC C C q= d q= ( r )d =A AAA AA (2.8) 2.2Starea electric de polarizare Stareadepolarizareelectricaunuicorpesteaceastarecare determinapariiaasupracorpuluiaunoraciuniponderomotoare(fore, cupluri)atuncicndesteintrodusntr-uncmpelectricexteriorchiardac acel corp nu este ncrcat cu sarcin electric. Apariia unor cupluri arat c stareadepolarizareareuncaractervectorial(stareadencrcarecusarcin avea un caracter scalar). Doar materialele dielectrice se polarizeaz. Corpurilepolarizatepotfinacelaitimpincrcatecusarcin electric. Un corp polarizat introdus ntr-un cmp electric uniform este supus unor cupluri (este rotit) iar n cmp neuniform este supus la fore i cupluri. Polarizarea unui corp poate s fie de deformare1. temporarde orientare2. permanent 1.Polarizareatemporaraparesubinfluenaunuicmpelectric exterioriestespecifictuturormaterialelordielectrice.Intensitateasa depindedeintensitateacmpuluielectricncareafostintroduscorpuli dispare la scoaterea corpului din cmp. 2.Polarizareapermanentnuestecauzatdeuncmpelectric,are alte cauze neelectrice, care dau nume fenomenului: -piezoelectric:aparelamaterialecustructurcristalin;prin deformareaunuicristalpefeelesaleapareotensiune.Fenomenuleste reversibil:aplicndotensiunedeoanumitfrecvenntredoufee, cristalulsevadeformacuaceeaifrecven(generatoaredeultrasunete, etaloane de frecven, msurarea timpului). - piroelectric: cristalele nclzite se polarizeaz electric -electreii:unelemateriale(rinoase)nclzitepnsenmoaiei lsate apoi s se rceasc ntr-un cmp electric exterior, vor rmne polarizate pe direcia acelui cmp (sunt echivalentul electric al magneilor permaneni) -feroelectric:materialecaresepolarizeazneliniar(dupunciclu D(E) de tip histerezis) rmn cu o polarizare remanent. Bazele electrotehnicii26 Polarizareadedeformareesteunuldintremecanismele microscopicedeproducereapolarizriitemporareiestespecific materialelor cu molecule simetrice (diaelectrice). De exemplu, pentru atomul de hidrogen (fig 2.3), n stare neutr centrul aciunii () a electronului orbital coincidenspaiucucentrulaciunii(+)anucleuluiinexteriorul nveliului, atomul este neutru. Prinintroducereaatomuluin cmpulexteriorE,orbitasedeformeaz iceledoucentre(+)si()numai coincid,elesevorgsinfocareleelipsei pecarearelocmicareaelectronului (figura 2.3 b).nexteriorulsu,atomulsecomportcaundipolelectricavnd momentul electric: p=qA (2.9) Deplasareacelordoucentreestefoartemic( A . Cum fluxul este suma de doi termeni unul (+) i altul () vom avea:is- +s i isis+dac >| |, ies mai multe linii a lui D dect intr = + 0dac =| |, attea ies pe jos cte linii au intrat pe sus- dac 1 2n nD D > , ca n figura 3.4. Dac 12Seste o discontinuitate pasiv (s0 = ) atunci: 1 2n nD D(3.7) = respectiv la trecerea printr-o jonciune pasiv ( 0s = ) liniile luiDastfel se refract nct se conserv componenta normal a luiD. Relaiile (3.4), (3.6) i (3.7) sunt formele locale ale legii n domenii de continuitate sau de discontinuitate. Observaii:Liniile luiD care trec printr-osuprafalimitatdeuncontur (figura3.5)formeazuntubdeflux electric. Cum n interiorul tubului nu existsarcini0v = ,rezultc 1 2 = ,deciprintr-untubdeflux, fluxul este conservativ. ,,Tubunitateesteacelaa cruisuprafaestestrbtutdeunitateadeflux.Fiecaretubunitateeste nlocuitcuolinieacmpuluiDcarecoincidecuaxatubului,obinnd astfelspectrulliniilorluiD.Dinacestmotivfluxulprintr-osuprafaeste 1v0 =2sFig 3.43. Legile fenomenelor electromagnetice45 definitcanumrulliniilordecmpcarestrbatsuprafaarespectiv, fiecarelinieinelocdeuntubunitardeflux.Cndliniilenuneapo suprafa , fluxul este zero. Din relaia (3.3) __ __D ds q = = rezult dimensional: 2[ ] [q ] C(3.8)[q ] C[D][S]m = = = = Formeleintegralealeuneilegi(valabilepeundomeniu)se potverificaexperimentaliarformelelocale(valabilentr-unpunctdin domeniu) stau la baza algoritmilor de calcul a unui cmp. Dacsuprafaatrecedoarprinmediucontinuucuct = (undeD E = ), atunci legea se scrie succesiv: __ __ __ __ __ __ __ __qD ds E ds E ds q E ds(3.9) = = = = Formaparticular(3.9)alegiifluxuluielectric,pentrudomeniide continuitate este cunoscut sub numele de teorema lui Gauss. Forma local asociat expresiei (3.9) este:(3.10)E divv=Dacmediulcuafostnlocuitprinsarciniledepolarizaie echivalente (p__vdiv P = ), atunci din legea legturii (2.19) se obine: (3.11)P div D divE divov vop + == Decinvid(o ),surselecmpuluiE suntattsarcinilereale v cti sarcinile de polarizaie pv . Plecnddelaformeleintegrale(3.3)i(3.10)sepotstabilialgoritmi de calcul pentru cmpulD (respectivE ) dac intuiesc apriori forma liniilor luiD (respectivE ) i aleg suprafaa n concordan cu geometria liniilor de cmp. Suprafaa se alege astfel: a) s fie ortogonal cmpuluiD (respectivE ):

__ __ __ __D ds D ds; ( E ds E ds) (3.12) = =Bazele electrotehnicii46 b)s fie o suprafa de cmp constant: D| ct= ; ( E | ct= ) (3.13) n ipotezele (3.12) i (3.13) calculul integralei de flux din (3.3) se simplific astfel: __ __ (a) (b)q qD ds Dds D ds D A q D ; E (3.14)A A = = = = = = Pentruopiesconductoarencrcatsuperficialcudistribuiadesarcin s ,ninteriorulsunuexistcmp( 0 D1 = )iarnexteriorcmpuleste 2n 2D D= ,normallasuprafaaconductorului,atunci formalocal(3.6)aplicatpesuprafaauneipiese conductoare devine: 2 1 2n 01n n s 2 n sDD D D D (3.15)= = = = Valoarea induciei electriceD lng un corp conductor este egal cu valoarea local a lui siar ca vector este pe suprafaa corpului conductor. Aplicaii: 1.O sarcin punctiform q este situat n vid (figura 3.6). Se cere expresia cmpului electric creat n jurul su.

Cmpulelectricesteradial(liniileluiE n lungulvectoruluidepoziier )cusimetriesferic (simetriaunuicmpestedatdeformasuprafeelor saleechipoteniale).Aplicndlegeafluxuluielectric subforma(3.14)pesuprafa sferderazr obinem: 2.Osferdielectricderazaipermitivitate r o = estencrcat uniformcusarcinaq(3va 4q 3Vq= = )iplasatnvid.Secereexpresia cmpului creat. q0( ) ___ __ __22 3q q rD ds qD 4 r q D D44 r r= = = = __ ___3o oD q rE4r = = 3. Legile fenomenelor electromagnetice47 Attninteriorulsferei( a r < )ctin exteriorulsu,cmpulelectricesteradialcu simetrie sferic; deci vom alege suprafee sfere att pentru interior (i) ct i pentru exterior (e) deformaunorsfere(ortogonalepeliniilede cmp) ca n figura 3.7 Pe domeniul interior ( a r < ) rezultt: ii3 __ __2ii v4 rD ds qD 4 r3= = Pe domeniul exterior ( r a ) vom avea: ee__ __2ee3 3vv e2_ _3 3 __ __v ve e3 3oD ds q D 4 ra 4 a 1D 3 3ra a r rD E3 3r r= = = = = =Suprafaa sferei de raz a este o discontinuitate (n interior estei n exterioro ) deci valoarea lui E sufer un salt. n schimb: vi r a e r a(D ) a (D )3= == = deci valorile cmpului D nu sunt afectate de discontinuitatea mediului, ca n figura 3.8. 3.Unfirrectiliniufoartelungestencrcatuniformcudensitatea liniar[C/ m] /. Se cere expresia cmpului electric creat. __ _ __ _vi ii v v1 1D rD rE r3 3 3 = = =eivva3( ) o( ) Bazele electrotehnicii48 CmpurileDiE suntradialecusimetrie cilindric,deciisuprafaaoalegemun cilindru de raz r i lungime h (figura 3.9).

lat baza__ __ __ __ __ __0D ds D ds 2 D ds1 D 2 rh q hD 2 r == + == = = =

// ___2rD2r= /__ ___2o oD rE2r= = / 4.Uncilindrudielectricfoartelungiderazaestencrcatuniform cu sarcin avnd densitatea v . Se cere expresia cmpului creat n interiorul i exteriorul su (figura 3.10).

CmpurileDiE sunt radiale cu simetrie cilindric: Pentru interiorul cilindrului a r < : ii__ __2i i v i__ _ __ _v v vi iiD ds qD 2 r r D r D rE r2 2 2= = = = =/ / Pentru exteriorul cilindrului ( r a ) rezult succesiv: ee__ __2e e v e_ _2 2 2 __ __v v ve ee2 2oD ds qD 2 r aa a a 1 r r D D E2 r 2 2r r= = = = =/ / 5.O sfer conductoare de raz a este ncrcat superficial cu sarcina q iestesituatjumtatentr-unmediucu 1 iarcealaltjumtatentr-un mediucu 2 .Secerexpresiilecmpuluielectriccreatidensitilede sarcin pe cele dou emisfere.

DDD/dsdshrFig 3.90vee/raFig 3.10ii/3. Legile fenomenelor electromagnetice49 nplanecuatorialeste discontinuitate, unde se conserv componenta tangenial a luiE : 22112 1D D E E= = 11122 12112 21DEr 21q D q 1 r 2 D= + = =+ 22222121122DEr 21q D D= + ==Distribuia sarcinii pe cele dou emisfere conform relaiei (3.15) va fi: 11 221s 1 r a21 2 2s s2s 2 r a21 21(D ) q2 a( )2 a q1(D ) q2 a== = = + + = = = + 3.2 Legea fluxului magnetic Subformintegrallegeaspunec:,,fluxulmagneticprintr-o suprafanchisestenulnoriceregimdefuncionare,indiferentce form are . __ __B ds 0(3.16) = = Formaintegral(3.16)alegiipunenevidencaracterul conservativ al fluxului magnetic; fluxul care intr printr-o parte a suprafeei nchiseesteegalcufluxulcareieseprinaltparte,iarfluxulprintr-o suprafa deschis Sdepinde doar de forma curbei. n domenii de continuitate a cmpuluiB se poate scrie, cu teorema lui Gauss: __ __21 2D ds q(D D )2 r q= + =Fig 3.111s2sa121 1 1D E = 2 2 2D E = 1 D2 DBazele electrotehnicii50 __ __ __ __arbitrarvB ds div Bd 0 div B 0(3.17) == = = Expresia(3.17)reprezintformalocalalegiifluxuluimagnetic. CumnoricepunctdinspaiudivB 0 = ,nseamncliniileinduciei magneticeBsuntntotdeaunaliniinchise(sausuntunfasciculparalelde liniidecmp).DecicmpulBesteuncmpfrsurse(nuexistsarcini magnetice care ar produce cmpul magnetic) i este numit cmp solenoidal. Dac0 B div = nseamncfunciavectorialBprovineprin intermediul rotorului dintr-un potenial magnetic vectorA (conform relaiei 1.15): A rot B =(3.18) PotenialulvectorAesteomrimevectorialdecalcul,nuareo semnificaie fizic; el se folosete doar pentru a creea algoritmi de calcul ai cmpului magnetic mult mai simpli. Ca orice funcie vectorial, potenialul Aesteunivocdeterminatdacalturiderotorulsu(3.18)secunoatei divergenasa(numitcondiiadeetalonare).nregimstaionari cvasistaionar se adopt o condiie de etalonare de tip Coulomb: (3.19)0 A div =CuajutorulpotenialuluiA,fluxulmagneticprintr-osuprafa deschis Scare se sprijin pe curba nchis se poate exprima astfel: __ __ __ __S SSB ds rot A ds Ad (3.20) = = = /

Decipentruacalculaunfluxmagnetic Strebuiecunoscutefie valorileluiBntoatepunctelesuprafeei S ,fievalorilepotenialuluiA doar n punctele conturului, problem mult mai simpl; deci fluxul S depindedoardeformacurbei.Formalocal(3.17)estevalabildoarn domeniidecontinuitatealemediului,decialecmpuluimagnetic.njurul unei suprafee de discontinuitate forma (3.17) devine: 1 2__ __ __12 2 1s n ndiv B 0 n ( B B ) 0 B B (3.21) = = = respectivlatrecereaprintr-odiscontinuitateliniilecmpuluiBastfelse refract nct se conserv componenta normal a induciei magnetice. DimensionalWb ] [ = (Weber) iar din expresia (3.16) rezult: 2Wb[B] T (tesla) (3.22)Sm= = =3. Legile fenomenelor electromagnetice51 Totodat, dinABrN NB rotA [A] [B] [r] m T m(3.23)A m A== = = = = Observaii: ntr-uncmpmagneticuniformfluxulmagneticprinsuprafaa S este: = S BS iar ntr-un cmp neuniform el este __ __SSB ds =. Legea legturii n cmp magnetic (2.53) precizeaz legtura dintre inducia magneticB, intensitatea cmpului magneticH i magnetizaia M:) M H ( Bo+ = , undem / H 10 47o = este permeabilitatea vidului, iar 7oo1 104= = i este reluctivitatea vidului. Legea legturii se poate scrie sub forma: __ __oH B M (3.25) = Legea legturii n cmp electric (2.19) este de forma:

oDE P(3.26) = +Comparndceledouexpresii(3.25)i(3.26)sepoatestabilio analogie ntre cmpul electric i cmpul magnetic: cmp electriccmp magnetic BE EiBsunt vectorii de baz n cele dou cmpuri; n funcie de ei se exprim efectele motoare, fore, energii, etc. H D D iHsunt vectorii auxiliari ai celordou cmpuri corespondena factorilor de mediu

o oo1 =

1( ) ( ) P -M mmrimea P M este = polarizaia magneticBazele electrotehnicii52 3.3 Legea circuitului magnetic(legea curentului total) 3.3.1 Formele integrale ale legii ,,Tensiuneamagnetomotoare(t.m.m) mmude-alunguloricreicurbe nchiseesteegalcusumadintresolenaia S corespunztoareunei suprafee Sce se sprijin pe curba nchis i curentul hertzian Hiprin suprafaa S. Matematic aceasta se scrie sub forma: HSmm Sid u (3.27)dt = +. Expresia (3.27) este forma integral a legii, unde: mmu=__ __H d/

este t.m.m. de-a lungul curbeiiar 12mu =2__ __1H d/ este tensiuneamagneticntrepunctele1i2 din cmpulH S estesolenaia(curentulde conducietotal)carestrbatesuprafaa S .Aa cumintensitateacurentuluicaracterizeaz curentulprintr-unconductor,solenaia generalizeaz,,curentulprintr-unconductorla curentulprintr-osuprafaoarecare S ,care poatefistrbtutdemaimulteconductoaresau deacelaiconductorcaretrecedemaimulteoriprin S (figura3.12). Admitem odensitate de curentJprin suprafaa Sdefinit astfel nct s fienulntoatepunctelesuprafeei S cuexcepiasuprafeelor k 2 1S ,..., S , Sefectiv parcurse de curent. nkk 1nkk 10 pentruSJ (3.28)0 pentru S S=== =

1i2iS2s1s2i1ikskiFig 3.12dsdl3. Legile fenomenelor electromagnetice53 n funcie de aceast densitate de curent (3.28), solenaia se scrie sub forma: _ __SSJ ds (3.29) = curentul hertzian prin suprafaa Seste :SHdi (3.30)dt =unde: __ __SSD ds = este fluxul electric prin suprafaa S . Fluxul electric din (3.8) are dimensiune: C ] q [ ] [ = = iar Hiva avea dimensiunea:S SH Hd [d ]Ci[i ] Adt [dt] s = = = =(3.31) n expresia (3.30) avem o derivat substanial de flux: un flux printr-o suprafa Spoate fi variabil fie din cauza variaiei cmpuluiD, respectiv ) t ( D isuprafaaestefixnspaiu,fiecmpulnuestevariabilntimp) t ( D D dar suprafaa Sse mic n spaiu cu vitezavdinspre un cmp slabspreunulintens(derivataeste(+))sauinvers(derivataeste()). Matematic aceasta nseamn: __ ____ ______ __SHS S fixaD D(t)__ __ __ __S mobilacu vitezavD D(t)dd Di D dsdsdt dt tv div D rot D v ds === = = = + +

innd seama de (3.4) expresia (3.32) se scrie sub forma: ____ __ __ __ __ __H vS S SDi ds v dsrot( D v ) ds (3.33)t = + + nlocuind n (3.27) expresiile lui mmu, SiHise obine: c d T R____ __ __ __ __ __ __ __ __ __vS S S Si i i iDH d J ds ds v ds rot D v ds(3.34)t = + + + /. . . .

(3.32) Bazele electrotehnicii54 Expresia(3.34)esteformaintegraldezvoltatalegiiiarintegraleledin membrul drept reprezint: ci intensitatea curentului de conducie prin S( Jeste densitatea sa) di intensitatea curentului de deplasare prin S( tDeste densitatea sa) Ti intensitateacurentuluideconvecie(transport)prin S (vv este densitatea sa) Ri intensitateacurentuluiRentgenprin S (__ __rot( D v ) estedensitatea sa) Observaie: __ __RJ rot( D v ) = estedensitateacurentuluiRentgenteoreticiar __ __rot( P v ) este densitateacurentuluiRentgenpractic,verificatexperimental,diferencarenformulare macroscopicnuafecteazcalculeletehnice;deosebireaareojustificaredoarn electrodinamica relativist. nmembrulstngallegii(3.34)suntnumaimrimimagneticeiarn membrul drept sunt numai mrimi electrice. Deci legea circuitului magnetic facelegturadintreaspectulelectricicelmagneticalcmpului electromagnetic,respectivlegeaspunec,,uncmpmagneticestecreatde ctrecurenielectrici(indiferentdenaturalorfizic:conducie,deplasare, convecie, Rentgen). Aceastaestesinguraproprietatecomunacelorpatrugenuride curenielectrici,deundeinumeleacesteilegide,legeacurentuluitotal. Afirmaia c: ,,orice curent electric produce un cmp magnetic n jurul su admiteireciproca:,,nupotexistaliniidecmpmagneticfrcaeles nconjoare linii de curent. n medii fixe (fr corpuri n micarev 0 = ) expresia (3.34) se reducela forma:

__ __SSDH dds (3.35)t= + /

respectivcmpulmagneticHestecreatdoardecurenideconducie (solenaie) i de cureni de deplasare (cmpuri electrice variabile0tD). 3. Legile fenomenelor electromagnetice55 Regimulcvasistaionaresteunregimvariabildefrecvenmic (medie)ncareDFig 3.153. Legile fenomenelor electromagnetice57 Dac 12Seste o suprafa de discontinuitate caresepardomeniileii presupunemcesteodiscontinuitateactiv (conine o pnz de curent sJ ), atunci forma (3.41) aplicat n vecintatea lui 12Sdevine: 2 1__ _ __ __ __ _2 1 s ss__ _t t srot H J n H H J H H J(3.43) = = =undenitsunt versorii normal i tangent n orice punct al discontinuitii 12S(vezi figura 3.16). Dacdiscontinuitatea 12S esteodiscontinuitatepasiv,ombinare ntre dou medii cu 1i 2fr a conine o pnz de curent s(J 0) =atunci: 2 12 1__ __ __t ts t trot H 0H H H H (3.44) = = =Latrecereaprintr-odiscontinuitatepasivliniileluiHastfelse refract nct se conserv componenta tangenial a luiH. Observaie: Formaintegral(3.36)alegiipoateconstituisuportpentruacreaun algoritm de calcul a unui cmp magnetic creat de cureni de conducie: __ __SH d (3.36)= /

Expresia(3.36)esteadevratpentruoricecurbnchis,respectiv orice suprafa care se sprijin pe curba. Calculul circulaiei din membrul stngsesimplificdacalegcurbanconcordancugeometrialiniilor cmpuluiH: a) dac intuim apriori forma liniilor luiH, alegem drept curbo linie de cmp, atunci __Hi/ dvor fi tangente la curba, respectiv: (3.37) d H d H__ __/ / = b)dacgeometrialiniilordecmpesteastfelcanlungullinieidecmp modulul cmpului s rmn constant, atunci: Hd =H d H(3.38) = / / / 1 H2 HntsJFig 3.16t1Ht2HBazele electrotehnicii58 aceast ipotez este valabil doar dac liniile luiH sunt echidistante (sau n particular paralele) ca n figura 3.17 i evalum lungimea liniei de cmp /i solenaia Sprin suprafaa curbei. Deci dac sunt ndeplinite ipotezele (3.37) i (3.38) atunci: ___ ______ ___ (a) (b)SSH d Hd HH d suma algebric a curenilor prin suprafaa S = == = / / //

SSHH (3.39) = = // Aplicaii 1.Unfirrectiliniuparcursde curentulisauunmnunchidefire parcursedecurenii 3 2 1i , i , i i 4i este situatntr-unmediuomogen (figura3.18).Ssedetermineexpresia cmpului magnetic creat.

nambelesituaiiliniileluiHsuntcercuriderazrsituatenplane pefireleparcursedecureni.Cercurilefacpartedincategorialiniilor echidistante, deci putem aplica (3.39): a) __ __iH d i H 2 r i H (3.40)2 r= = = /

Ca vector liniile luiH sunt tangente la cerc, deci sunt dirijate dupcoordonata a sistemului cilindric:iH H uu2 r = =;u-versorul axeii1i2i3i4ia) b)H HFig 3.18HHHFig 3.17. 3. Legile fenomenelor electromagnetice59 __ __S 1 2 3 4__ __1 2 3 4b) H d H 2 r i -i i -ii -i i -iH H H u (3.41)2 r= = + + = = /

2.O bobin cilindric lung (lungimea/a bobinei este mult mai mare dect diametrul spirelor) numit i solenoid are N spire parcurse de curentul i ca n figura 3.19 . Se cere expresia cmpuluiH creat.

LiniileluiHsuntfasciculparaleli0 H doarninteriorul solenoidului, deci putem aplica (3.39): __ __SH dH N i = = / /

N iH(3.42) =/ Careesteuncmpmagnetic uniform(valoareconstantninteriorul bobinei). 3.Unfirrectiliniuderaza(figura3.20)este parcursdecurentulconduciei,repartizatuniform peseciuneafiruluicudensitatea: 2iJa=.Se cere iHi eHi s se arate c e eB H = satis face legea fluxului magnetic.

LiniileluiHsuntcercuriattninteriorul conductorului ct i n exteriorul su. a) pentruinterior) a r ( < alegemoliniedecmp i cercderazri aplicm (3.39): ii__ __2iS i i21 iH d H2 r JrH J r r22 a= = = =/

Ca vector iHeste tangent la curba i , deci are versorulu: __ __ __ __ _ _i ii1 1H H usauH J r u (J r ) (3.43)2 2= = = H/NFig 3.19eiHeHa iFig 3.20Bazele electrotehnicii60 b) pentru exteriorul conductorului) a r ( alegem o linie de cmp e : ee__ __ __e eS e ei iH d H 2 r i H ; H u(3.44)2 r 2 r= = = = /

Induciamagneticnexteriorulfirului este: eiB B2 r= =.Componentele acestuicmpsescriusubforma: x2 2y2 2y i yB Bsin Br 2x yx m i xB Bcos Br 2x y(3.44') = = =+ = = =+ nlocuitenformalocal(3.17)alegii fluxuluimagneticeleoverificsub forma: yx2 2 2 2BB i y xdivB 0x y 2 x xx y x y = + = + = + + 3.4 Legea induciei electromagnetice 3.4.1 Fenomenul de induciei electromagnetic Experimentalseconstatcntr-ospir conductoareexistcurentidacspira conineosurscut.e.me(figura3.21a)care produce curentul i sau dac prin suprafaa spirei treceuncmpmagneticvariabilntimp) t ( Bcanfigura3.21bcareinducenspirt.e.m indus ie icarelarndulsuvaproduceun curent indus i. Deosebirea este c sursa e este concentratlocalpespiraiart.e.mindus ie aparecaosursuniform i ieB(t)Fig 3.21iea) b)( ) oFig 3.20'rP(x, y)BxBxyByiy 3. Legile fenomenelor electromagnetice61 distribuitde-alungul spirei,efectulns, curentuli,esteacelai. Situaiileilustratenfigura 3.22 pun n eviden c: a)Existcurentn secundar( 0 i2 )ilampa hardenumaidacfluxul magnetic din miez feste variabilntimp(la nchidereaideschiderea contactuluik).nsecundar seinduceot.e.mstatic (t.e.m de transformare). b)laapropierea magnetuluidespir(saude bobin) fluxul magnetic prin aceastacrete,seinduce curentintr-unanumitsens iar la ndeprtare se schimb sensulcurentuluiindus. Totulesteinverscnd magnetulseapropie(sau ndeprteaz) cu polul sud. Deci sensul curentului indus depinde i de sensul de variaie a fluxului inductor. c) dac o bar se mic (taie linii de cmp) ntr-un cmpB, ntre capetele ei(1,2)sevainduceot.e.m 21e chiardaccircuitulestedeschis(baranu nchideosuprafa,decinuavemfluxmagneticinductor),darvaapareo t.e.m de micare n bara mobil. d)o spir dreptunghiular se poate roti cu viteza unghiular ntr-un cmp magnetic exteriorB. dac0 =i ) t ( Bn spir se va induce o t.e.m static ,,te dac0 i) t ( B B n spir se induce o t.e.m de micare ,,me care de fapt se induce doar pe laturile 1-2 i 3-4 care n micare lor taie liniile cmpuluiB. dac0 i) t ( B B =n spira se induce att t.e.m de micare ct i de transformare: m te e e + =. eFig 3.22b)a)hk2i f1i1N2Ni vi2 1Bc)4 3Bd)1 2vvSNBazele electrotehnicii62 Induciaelectromagneticestefenomenulprincareseinduceot.e.m ntr-uncircuit(ospir,ngeneral)datoritvariaieintimpafluxului magnetic Scarestrbatesuprafaacurbei.Sensult.e.minduseeste astfel nct prin toate efectele sale s se opun cauzei inductoare (regula lui Lenz). 3.4.2 Formele integrale ale legii Subformintegrallegeaspunec,,t.e.m e indusprininducie electromagnetic n lungul curbeieste egal numeric cu viteza de scdere a fluxului magnetic prin suprafaa Sa curbei. cmpulmagneticexterior(cmpulmagnetic inductor)[T] fluxulmagneticinductor[Wb],celcareprin variaia sa n timp induce o t.e.m; t.e.m indus n curba nchis [V]; sec 1Wb 1V 1 =dac curba este din material izolant (sau este o curb virtual) t.e.m indus nu are nici un efect; dac spira este din material conductor, atunci t.e.m indus e se convertete ntr-un curent electric indus n curba: = = = ...) dt eL1i ;dtdeC i ;Rei (spspsp curentul indus n spir) i ( creeaz n jurul acesteia un cmp magnetic (cmpul magnetic creat de curenii . indui se numete cmp magnetic de reacie rB )

Fluxul magnetic de reacie este fluxul cmpului rB . ) t ( B = S__ __Sds BdtdeS = i Br = S__r__rds B3. Legile fenomenelor electromagnetice63 Sde (3.45)dt= Relaia (3.45) este forma integral compact a legii. n general Sddt estevitezadecretereafluxului S iar Sddteste viteza de scdere n timp. Printoateefectelesale, fluxulmagneticdereaciese opune efectelor fluxului magnetic inductor S.nparticular, r seopunevariaiei ntimpafluxuluiinductor S: lacreterealui S ) 0dtd(S>, rare sens contrar cu Scanfigura3.23iseopunecreterii,iarlascderealui S ) 0dtd(S cu sensul ales incorect pentrudsla S(figura 3.24) presupunnd0 > , fluxul n cretere prin valori pozitive0t>. n acest caz:e 0t= >; o t.e.m0 e > nseamn c se induce n sensul n care am orientat curba (figura 3.24). Pentru orientarea luidsdin figura 3.25 rezult: 0 ds BS__ __S< = ; __ __ ds B t t + SttdsBd/Fig 3.24e3. Legile fenomenelor electromagnetice67 fluxul negativ l presupunem n scdere 0 < , deci0t, decie se induce n sensul lui/ d(cnd0 e > se magnetizeaz invers cuH i slbesc astfel cmpulH. se magnetizeaz pe direcia lui H i-l ntresc n acest fel. 3. Legile fenomenelor electromagnetice85 materiale anizotrope:( )__ __tm__ __ __ __ __ __ __p p po o o o o m rpM HB 1 H M H M M M(3.109)M 0 BH= = + + = + = += = materiale neliniare:tmpo m o p o r opopM (H) HB (1 (H))H M (H) H M (3.110)(H)H MM 0B (H) H= = + + = + == += = Dintrematerialeleneliniarefrecventutilizatentehnicsunt materialeleferomagneticei materialeleferimagnetice (feritele). Materiale feromagnetice Materialeleferomagnetice sunt fierul, cobaltul, nichelul ialiajelelor;eleauvalori marialepermeabilitii relative 5r10 iar dependenaB=f(H)estede formauneicurbehisterezis (figura 3.37). Ramura1este curba de prim magnetizare, plecnd din origine, cu materialul demagnetizat i pn se atinge saturaia sB B=n punctul A. Ramurile 2,3 variaia lui B la creterea sau scderea cmpului exterior H. sB inducia de saturaie rB inducia remanent, cea care rmne la anularea cmpului exterior H. mHvaloarea maxim pentru care se atinge saturaia cH cmpcoercitiv,valoareacmpuluidesenscontrarcareanuleaz inducia remanent. O HBsBmH sB mHrB cHcH 12 3Fig 3.37rBABazele electrotehnicii86 nfunciedevalorilelui cH ocurb histerezisestemaingustsaumailat. Pentruomagnetizarereversibilpnla saturaie se cheltuie o energie; pierderile prin histerezisreprezintputereaconsumat pentruamagnetizaunitateadevoluma materialuluiielesuntproporionalecuaria ciclului histerezis. Materialelecucicluhisterezisngust ( ) Oe 1 H1c = i>> rsenumescmateriale moi.Elesemagnetizeazuor,ariaciclului histerezis(curbaadinfigura3.38)este mic.Dinastfeldematerialeseconfecioneazmiezurilepentrumaini electrice, transformatoare, aparate electricei se prezint sub form de tole magneticecugrosimide(0,10,35)mmpentrualimitaintensitatea curenilor turbionari care se induc n tol. Materialele cu ciclu histerezis lat ( Oe 50 H2c )ca n curba b din figura 3.38 se numesc materiale dure . Aria ciclului histerezis este mare,se magnetizeazgreu,cuconsummaredeenergie,darseidemagnetizeaz greu.Dinastfeldemateriale(oelurispeciale)serealizeazmagneii permaneni. Termeniidedurimoalese referlaproprietilemagneticeinula cele mecanice. VariindpeHntr-unsensialtul sepottrasadiferiteciclurihisterezis intermediare.Existuncicluhisterezis limitcareducelaatingereasaturaiei sB icarelecuprindeninteriorulsu petoateciclurileintermediare;numai interseciaacestuiacuaxele caracterizeazmaterialul( )c rH , B can figura 3.39. Caracteristicacetreceprinvrfultuturorcurbelorhisterezis intermediaresenumetecaracteristicademagnetizarefundamentalsau curba tehnic de magnetizare, indicat de firma productoare i n raport cu care se definete permeabilitatea magnetic a materialului (figura 3.40) .HBcHcH sBrBmHrB Fig 3.39Bba1cH2cHFig 3.383. Legile fenomenelor electromagnetice87 sAr A 1o AB( ) ktgH = = permeabilitatea static n punctul A dA 2r Ast ststdB( ) =k tg-permeabilitateadH( ) = n punctul d( H) d dB= = +HdH dH dHdinamic respectiv n maximul lui stse intersecteaz cele dou curbe st idca n figura 3.41. Materialele feromagnetice au o stare solidcristalin(existmaterialeanizotropecucristaleorientateprin laminarelarececareaurfoartemare peaceadirecie).Elesemagnetizeaz uor pn la saturaie (figura 3.42) care se atingelaOe 100 H1m ,fade materialeleparamagneticepentrucare Oe 10 H9m2 ,multpestevalorilede cmpcaresepotrealizaastzi (maxim610Oe). Materialeleferomagneticeipierdproprietilemagneticedacsunt nclzitepestetemperatura critic(punctulCurie)care pentrufiereste760oC, pentrunichel360oC,cnd devinparamagnetice. Practicdemagnetizarea unuimaterialnuse realizeazprinnclzire,ci semagnetizeazpnla saturaieiapoiestesupus unor cmpuri alternative de amplitudinedincence mai mic, pn se ajunge n origine.Feritele sunt materiale ceramiceobinute prin sinterizare la (10001400)oCa unor amestecuri de oxizi bivaleni amestecai cu rini, toate sub B1mHoferomagneticr >> 1 paramagneticr > 1 nemagnetic(vid)r = 1 diamagneticr < HFig 3.42HBABAAHFig 3.40d(H) s(H) B(H)ABiooFig 3.41Bazele electrotehnicii88 formdepulbere.Eleau sB (0,40,5)T,deci mai mici ca la feromagnei (1~1,2)T. Ele aurezistivitatemarem 106 (feromagnei: m 106 ) fiindc particulele metalice sunt separateprin pelicule de rini. Eleseutilizeazcamiezurimagneticen tehnicafrecvenelornalte(numaiapar cureniturbionari).Seutilizeazpentru: miezuridetransformatoareimicromotoare, antene magnetice, memorii magnetice etc. 3.11 Aplicaii 1.SubaciuneauneiforeFobardelungime/ lunecpeuncadru conductorntr-uncmpexteriorB.Caretrebuiesfielegeademicarea barei pentru ca prin cadrus treac un curent constant (i = Io).

n bara mobil se induce o tensiune electromotoare de micare: ( )2 2__ __ __ __ __ __1 1vBde v B d v B d vB d vB = = = = // / / /.

+xR =2 - este rezistena electric a curbei Adxv= - este viteza instantaneea bareidt/ o oo2 I 2 I xe vB R i 2 Iv x k(x 1)A A B A B += = = = + = +/// / kt ktdxk(x 1) dx dxkdtx e 1 v ke dtx 1 dtt 0 x 0= + = = = =+ = = respectiv viteza trebuie s creasc exponenial pentru a se respecta condiia din enunul problemei, iar fora care producce micare este:F= ma = mddt = m2 ktk e , deci tot exponenial . 12FvBi/xFig 3.433. Legile fenomenelor electromagnetice89 2.Fluxul magnetic ce trece prin cele N = 100 spire ale unei bobine platevariazntimpcanfigura3.44.Sseconstruiascfunciae(t) tensiunea electromotoare indus la bornele bobinei.

Tensiunea electromotoare indus este : e = Nt = 10002 . 002 . 0= 100V cndfluxulcrete( 0 > ), respectiv e = 100V cnd fluxul scade ( 0 < )ie = 0cndct = ca nfigura3.44.Graficulluie(t)se obineprinderivareagrafica funcieiddt. 3.S se verificecontinuitatea liniilor de curent printr-un condensator.

Dacseaplicotensiunesinusoidalla bornele sale atunci:mm oUu U sint E sint D Ed= = = Curentul de deplasare prin condensator are densitatea: md oU DJ ( ) sin( t )t d 2 = = +, iar intensitatea curentului este: od d m mAi J A U sin( t ) CU sin( t )d 2 2 = = + = +Curentul de conducie prin fir este: mdui C CU sin( t )dt 2= = +deci di i = ,curentuldeconduciedinfirsecontinuprindielectricsub form de curent de deplasare. tti iA( )oE,DduFig 3.45Bazele electrotehnicii90 4.ntr-obobin cilindriccuNspire parcursedecurentuli(t) esteplasatcoaxialuntub conductor.Neglijnd cmpulmagneticde reacie,ssedetermine putereaelectric transformatncldurn materialultubului conductor (figura 3.46).

InduciaBninteriorul bobineiesteuncmp uniform cu expesia:2o SNiB B S B r= = = / Tensiuneaelectromotoareindusncurba(r(r1,r2)),respectiv cmpul electric indus de-a lungul curbei este: __ __S2o2jdB NiE dE 2 r rE r dt t 2 tJ E p J EJ = = = = = =// Puterea transformat n cldur pe materialul tubului conductor este: ( )2tub 12 2 r 22 2 4 4 1j j 1 o 2 12rkNiiP pd ( E )2 rdr r r k8 t t = = = = ///.( )( )m2 T T2 2j j j efi Isin t0 02 2 222 4 4 2 o 1j ef 2 1 ef2ef1 kiP Pdt dt P k IT T tN iP k k I r rIt8= = = = = = = // /BN, i1/r 1r2rFig 3.463. Legile fenomenelor electromagnetice91 5.Princurbaconinutnplanul xOyidescrisdeecuaia16 y x2 2= + , treceuncmpmagneticvariabilavnd expresia:t cos y x 2 k B2 2 + =Secereexpresiat.e.mindusen spira din figura 3.47

Tensiuneaelectromotoareindus (prin transformare) este: __ __2 2S Sd Be B dsds dy2 x y sin t dxdt t = = = + ds k dx dyd r du== / 2 2r x yx r cosy r sin = += =

B2 r sin ttds r dr d = = Cu schimbarea de variabile, expresia tensiunii electromotoare devine: 2 420 04e 2 sin t d rdr 64sin t [V]3= = 6.Printr-otolferomagneticcu parametrii( , ) igeometriadin figurtreceunfluxmagneticvariabil sinusoidal.Cum) , h ( / t , P Ht P, E t , P Ht P, E ' t , P H' t , P EPoot t'Pititov(4.1) respectivpentruadeterminacmpurileEiHntr-unpunctdinv laun momentttrebuiecunoscutevalorileloriniialenoricepunctdinv i evoluia componentelor tangeniale t tH , E , pe frontiera a domeniului, de la originea ot pn la momentul considerat t, la proprieti ale mediului date. Demonstrarea teoremei se poate face plecnd de la expresiile legilor ireflectmatematicproprietateacmpuluielectromagneticdeasatisface, ca orice sistem fizic, principiul cauzalitii. Deoarececondiiileimpusedeaceastteoremsuntsevere (nspecialcondiia(2)),ncelemaimultecazurinusedetermindirect Bazele electrotehnicii98 cmpulEiHcisestudiazproblemeasociate,multmaisimple;se determin potenialele lor V iAcare satisfac condiii de unicitate mai uor de stabilit i n final se revine la cmpurile fizice:V grad E = iA rot B = , aa cum se va vedea n capitolele ce urmeaz. 4.3 Teorema superpoziiei cmpurilor electromagnetice Undomeniudecmpv limitatdesuprafaaconineninterior medii liniare i izotrope aflate n repaus i n acest domeniu sunt suprapuse ncmpurielectromagneticecorespunzndfiecaredintreelelacondiii iniiale i la limit proprii. Dac k k k kB , H , D , E suntmrimiledestarealecmpuluice corespund la: Condiii iniiale:( ) ( )okokt , r H ; t , r En orice punct din v Condiii la limit:( ) ( ) t , r H ; t , r Etk tk pe suprafaa , la t>otMrimi neelectrice:( ) ( ) ( ) t , r E ; t , r H ; t , r Pik pk pk atunci cmpurile rezultante ce provin din nsumarea (vectorial) a mrimilor de stare ale cmpurilor componente (k=1,2n) sunt: = = = =n1kn1kn1kn1kB B; D D; H H ; E E(4.2) avnd n vedere liniaritatea ecuaiilor cmpului. Acestor cmpuri rezultante le corespund condiii iniiale i la limit rezultante: Condiii iniiale: ( ) ( ) ( ) ( ) = =n1okon1okot , r H t , r H ; t , r E t , r E (4.3) Condiii la limit:( ) ( ) ( ) ( ) = =n1tk tn1tk tt , r H t , r H; t , r E t , r E(4.4) Teoremasuperpoziieiindomeniulcmpului,canaltedomeniiale tiinei, pune n eviden faptul c la suma cauzelor le corespunde suma efectelor. Dac cel puin o regiune din v nu are proprieti liniare, teorema nu se mai poate aplica. 4. Ecuaiile cmpului electromagnetic99 4.4 Ecuaiile lui Maxwell Studiulgeneralisistematicalcmpuluielectromagneticsepoate face cu ajutorul formelor locale ale legilor. Ecuaiile cu derivate pariale ce rezultdinformelelocalealelegilorpentrumediiimobile( ) 0 v = in domeniidecontinuitateaproprietilorfizicesenumescecuaiilelui Maxwell. Pebazaacestorecuaiisepotstudiacmpurileelectromagnetice pure,frfenomenemecanice( 0 v = -mediifixe),frpolarizaie permanent( ) 0 Pp = ,frmagnetizaiepermanent( ) 0 Mp = ifr cmpuri electric imprimate( ) 0 Ei = . Ce mai rmne din formele locale ale legilor sunt expresiile (4.5): = = === =+ =electrice iei conduct a si legaturii legile - E J ; H B ; E Dmagnetic fluxului legea - 0 B divelectric fluxului legea-0D divnetice electromag iei induct legea-tB- E rot magnetic i circuitulu legea-tDJ H rotv(4.5) Vom considera c prezint interes tehnic doar cmpul din exteriorul corpurilor ncrcate cu sarcin( ) 0v = . Ecuaiile cmpului se pot scrie n dou variante, cunoscute sub numele de ecuaiile lui Maxwell nE iH i ecuaiile lui Maxwell nE i B: == = + =0 H div0 E divtHE rottEE H rot (4.6) Bazele electrotehnicii100 === + =0 B div0 E divtB- E rottEE B rot(4.7) Sub formele (4.6) i (4.7) ecuatiile lui Maxwell reprezint, din punct de vedere matematic, un sistem de opt ecuaii scalare simultane cu derivate pariale, avnd ase funcii necunoscute: z y x z y xE , E , E , H , H , Hcare sunt componentele vectorilor( ) t , r Hi( ) t , r Eatunci cnd domeniul de cmp are o astfel de configuraie nct s folosim raportarea la un sistem cartezian de axe x,y,z. Sstabilimecuaiilecuderivateparialepecarelesatisfacseparat cmpurileE i respectivH. Aplicm rotorul primei ecuaii a lui Maxwell din (4.6): ( ) ( ) ( )( ) = = = + =H H H div grad H rot rottHtHE rottE rot H rot rot022

(4.8) Deci ecuaia satisfcut de cmpulH este de forma: 0tHtHH22= (4.9) Similar, aplicnd rotorul celei de a doua ecuaii a lui Maxwell (4.6) i innd seama de celelalte ecuaii, obinem o ecuaie de tipul (4.9) i pentruE. Reunite, n scriere matricial, cele dou ecuaii de acelai tip, avem: 0HEtt- 0HEtHEtHE2222= = (4.10) Ecuaiiledetipul(4.10)suntecuaiicuderivateparialedeordinul doi,detiphiperboliciau,ngeneral,casoluieoundatenuat.Soluiile 4. Ecuaiile cmpului electromagnetic101 lor( EiH )nusuntindependente(deisuntecuaiidistincte),elesunt legateprinprimeledouecuaiidin(4.6),deciundaelectricicea magnetic se intercondiioneaz reciproc n unda electromagnetic. In cazul mediilor dielectrice (izolante)0 = i din (4.10) rmne: 0HEt v1- 0HEt222 22 = = 0HE=

(4.11)

unde : =222t v1 este operatorul dAlembertian =1veste viteza de propagare a undei prin mediul cu i . Unda electromagnetic printr-un mediu dielectric (n particular i prin vid, aer uscat) este soluia unei ecuaii de tip dAlembert (4.11) numit i ecuaia undei, scris ntr-un mediu dielectric prin care unda se propag. In medii conductoare( ) >> ecuaia (4.10) devine: 0HEt= (4.12) care este o ecuaie vectorial de tip parabolic (ecuaie de tip Helmholz) sau ecuaia difuziei iar = 1 este constanta de difuzie a mediului. Deci ntr-o piesconductoareundaelectromagneticptrundeamortizat,arelocun fenomen de difuzie (analog cum ptrunde cldura ntr-un corp). Inregimpermanentsinusoidal,ecuaiileluiMaxwell(4.6)se transpun n mrimi complexe sub forma: == = + =0 E div0 H divH -j E rot E j E H rot

(4.13) undeH

este reprezentarea n complex a cmpului vectorialH(t) care are o variaiesinusoidalntimp.InlocdeasubliniamrimeacomplexH Bazele electrotehnicii102 (cum era n teoria circuitelor U, I, Z) se pune un punct deasupra barei care reprezint caracterul vectorial al funciei:H

,E

,J

. Inregimtranzitoriu(cucondiiileiniialedate)ecuaiilelui Maxwell se scriu operaional (cu transformata Laplace) sub forma: ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )== = + =0 s E div0 s H divH s H s s E rotE s E s s E s H rotoo (4.14) unde( ) s H esteimagineaLaplaceafuncieivectoriale( ) t H iar oH este valoarea iniial (din momentul comutaiei) a aceleeai funcii. Ecuaiilor lui Maxwell(4.6)i(4.7)valabilendomeniidecontinuitateliseasociaz ecuaiiledetrecere(4.15)valabilenvecintateaunorsuprafeede discontinuitatefixe 12S cesepardoumediicorporalecuproprieti diferite: ( )( )( )( )2 1s2 1 2 1s2 1 1 22 1s 12 2 1 t tJ 0s s 12 2 1 s t t s t t0; 0s s s ts 12 2 1 n n n ns s 12 2 1 s n n srot E 0 n E E 0 E Erot H Jn H H JH H J H Hdiv Jn J JJ JJ Jt t tdiv Dn D DD D= = == = == = = = = = = = = = = ( )( )s2 12 10n ns 12 2 1 n nD D 4.15div B 0 n B B 0 B B = == = = unde 12n esteversorulnormaleilasuprafaa 12S ,dirijatdinspremediul1 spre2.Pentrudiscontinuitimobilecu sv ecuaiiledetrecere(4.15)auo form mai dezvoltat[10]. 4.5 Unda electromagnetic plan Din analiza primelor dou ecuaii ale lui Maxwell rezult c, n cazul cmpurilorvariabilentimp,apareodubllegturcauzalntreaspectul electric i cel magnetic al cmpului electromagnetic desprins de corpuri, sub form de und electromagnetic. Vomexaminauncazparticulardeundntr-unmediudielectric ( ) 0 = cnd n toate punctele situate ntr-un plan perpendicular pe direcia4. Ecuaiile cmpului electromagnetic103 depropagarevaloareacmpuluiesteconstant.DacOxestedireciade propagare a undei, atunci avem un cmp plan sau und plan dac mrimile de stare ale cmpului depind doar de x i t: ( ) t , x E E = ;( ) t , x H H =O astfel de und plan exist practic la distan suficient de mare fa de surs (antena de emisie) ntr-un mediu izotrop i omogen. Considermunmediudielectric( ) 0 = cupermitivitatea , permeabilitatea ,nencrcatcusarcin( ) 0v = ineparcursdecureni ( ) 0 J =i vom pune m eviden doar cmpul electromagnetic ce apare prin interaciuneadintrecmpulelectricicelmagneticvariabilentimp. CutmnumaisoluiilevariabilentimpaleecuaiilorluiMaxwell(o constant, deci, nu face parte dintr-o und). Inacestecondiii = = ==0v , 0 , 0 , 0z yecuaiilelui Maxwell se scriu sub forma particular: + + = =+ == tEktEjtEitEH rotxHkxHjH H Hz y xk j iH rotzyxyzz y x xHtE; xHtE;0tE yz zyx= = =(4.16) 0xH 0zHyHxH 0 H divx zyx= =++ =(4.17) ++ = =+ ==

tHktHjtHitHE rotxEkxEjE E Ez y xk j iE rotzyxyzz y x Bazele electrotehnicii104 xEtH-;xEtH- ; 0tH

yz zyx== = (4.18) 0xE 0 E divx = =(4.19) Din relaiile (4.16) i (4.19) respectiv (4.17) i (4.18) rezult: = = === = ==0 ct H 0xH;0tH0 ct E 0xE;0tExx xxx x(4.20) respectivundaplanesteoundtransversalcarenuarecomponentepe direcia de propagare( ) 0 H , 0 Ex x= = , deci vectoriiE iH sunt coninui n plane perpendiculare pe direcia de propagare. Din (4.20) rezult c xEi xH nu variaz n timp i nici n spaiu (sunt nite constante), deci nu pot fi parte component a unei unde (cmp variabil) i le considerm nule; aceste componente xE i xH potficelmultnitecmpuristatice,carenu afecteaz propagarea undei. Din relaiile (4.16) i (4.18) rezult: = =xEtHxHtEyzzy (4.21)

==xEtHxHtEzyyz(4.22) Relaiile(4.21)reprezintoundplanavnd componentele( )z yH , E iar(4.22)oundplan avndcomponentele( )y zH , E .Celedouunde sunt independente ntre ele, deci de-a lungul axei Oxsepotpropagadouundeplanecarenuse influeneazreciproc.Fiecareesteound transversaldedireciefix(Ox)decisuntunde polarizateliniardupdoudireciiortogonale. Unadintreele( )z yH , E reprezentatnfigura 4. Ecuaiile cmpului electromagnetic105 4.3 se propag dup direciaOx cu vitezav : ( )( ) t , x H k H k Ht , x E j E j Ez zy y= == = (4.23) Celedoufuncii( ) t , x Eyi( ) t , y Hzsuntlegatentreeleprin ecuaiile(4.21)carereprezintunsistemdeecuaiicuderivateparialede ordinul I. Eliminnd pe rnd cte una dintre funcii, prin derivri n raport cu x i cu t, obinem: 0tExE;0tHxH2y22y22z22z2= = (4.24) Ecuaiile(4.24)suntdetipul(4.11)(ncare0x22+= )deci reprezintecuaiaundelor,ecuaiicuderivateparialedeordinulIIdetip hiperbolic a cror soluie este de forma: ( ) ( ) = =vxt f t , x E; vxt f t , x H2 y 1 z (4.25) Elesuntfunciinumaidexitprinintermediuluneicombinaii liniare i omogene vxt t = . Notm 212111dtf df ;dtdff = = . 12z211 z12 2z211 zftH;ftftHfv1xH fv1xttfxH = == = = = Deci: = 212z22z2v1ftHxH(4.26) Pentrucasoluia(4.25)sverificeecuaia(4.24)trebuieca =1v2, respectiv: =1v(4.27) Scznd i adunndt la argumentul vxt , obinem: ( ) = vt v xt t fvxt f1 1(4.28) Bazele electrotehnicii106 respectiv funcia 1f , soluie a ecuaiei undelor (4.24), depinde de timp i de x astfel c valoarea pe care o are 1fn punctul x, la momentul t este egal cu valoareapecareaavut-ofunciantr-unmomentanterior( ) t t ,ntr-un punctsituatmailastngacu( ) t v .Decisoluia 1f esteofunciecese propagnspaiude-alungulaxeiOxcu vitezav . Forma(repartiia spaial) a undei 1f se deplaseaznlungul axeixcuvitezav numit viteza de faz aundei.Relaia(4.27)aratcvitezadefazaredouvaloriegaleide semncontrar.Primacorespundeundeicaresepropagnsensulpozitival axei x (unda direct) i are expresia: ( ) x t fvxt f1 1 = (4.29) iar a doua valoare a lui v corespunde undei care se propag n sensul negativ al axei x (unda invers) i are expresia : ( ) x t fvxt f1 1 + = +(4.30) Fiecaredintreacesteundeexistnumaidacauexistatundevala stnga (sau la dreapta pentru unda invers) condiii fizice pentru producerea lor (anten de emisie pentru unda direct, suprafa reflectant pentru unda invers etc.). Unda direct se propag cu viteza: r roo r o rv 1 1v = ==(4.31) iar sm10 31c v8o oo = = =este viteza undei n vid. Unda direct pentru componenta magnetic a undei este: ( ) ( ) = = x t fvxt f t , x H1 1 z(4.32) Dacntr-unpunctdinspaiu zH aredeexempluovariaie sinusoidal, atunci funcia 1feste de forma: 4. Ecuaiile cmpului electromagnetic107 =vxt sin H Hmax z z (4.33) Cunoscnd zHse poate calcula componenta electric a undei( )yE : = = = =1 1zyzyfv1fv1 1xH 1tEtHxE(4.34) Integrnd ultima expresie se obine: += = const fv1dt fv1E1 1 y (4.35) Constantadeintegraresepoateomite,intereseazdoarsoluiile variabile n timp (undele). Mrimea: = ==== =mAmV

HEZv1v Zzyrro (4.36) esteocaracteristicamediuluiprincaresepropagundaelectromagnetic i se numete impedana de und a mediului. Valoarea sa n vid este: = == 377 120 Zooo(4.37) numit impedana de und a vidului, o constant universal. = = =vxt f Zvxt fvxt f Z H Z E1 2 1 z y(4.38) Conform cu (4.38) n fiecare punct din spaiu unda electric( )yEi cea magnetic( )zHsunt n faz. (figura 4.5), au forme de variaie identice dar sunt situate n plane perpendiculare: Bazele electrotehnicii108 La fel caunda( )z yH , Ese propag i unda( )y zH , E . Deci exist cel mult patruundeelectromagenticeelementarecarecompunoundplande direciedepropagareOxdat,carediferntreelefieprinsensulde propagare(undadirectiundainvers),fieprindireciadepolarizare liniar( )z yH , E sau( )y zH , E .InfiecaredintreelevectoriiEiHsunt perpendiculari ntre ei i perpendiculari pe direcia de propagare. Variaia n timp a mrimilorE iH, deci forma funciilor 1f i 2f , suntarbitrare,eledepinddecondiiiledeproducereaundeiideforma mesajului transmis. 4.6 Radiaia undelor electromagnetice Lafrecvenenaltecmpulelectromagneticdinjurulcircuitelor electrice(circuiteradiante)aparesubformdeundeelectromagnetice, cmpulmagnetic( ) t H induceuncmpelectric =tHE rot iarcel electric( ) t E vaproduceuncmpmagnetic =tEH rot ,decise autogenereazreciproc.Acestcmpsepoatedesprindedecircuitelecarele-au produsisepropagsubformdeundelectromagneticladistanemarii transmit o parte din energia circuitelor; fenomenul este numit radiaia circuitelor. 4.6.1 Poteniale electrodinamice ntrziate (retardate) Acestepotenialegeneralizeaznoiuniledepotenialmagnetic vectorA i potenial electric scalar V care se utilizeaz n cazul cmpurilot staionare i cvasistaionare. Astfel, din legea fluxului magnetic rezult: eA rot B 0 B div = = , iardinlegeainducieielectromagnetice: tArot E rot tBE rote = = ee eV gradtAE 0tAE rot =+ =+ Deci n regim variabil cmpul electricE se scrie sub forma: 4. Ecuaiile cmpului electromagnetic109 eeV gradtAE =(4.39) el are o component solenoidal tAe i una potenial (- Ve). Pentruadeterminaecuaiilepecarelesatisfacpotenialul electrodinamic vector eA i potenialul electrodinamic scalar eV vom pleca de la ecuaiile lui Maxwell: ( ) + = + =tVgradtAJ A A div gradtEJ B rote2e2e e (4.40) Ecuaia pe care o satisfac cele dou poteniale este de forma: + + = tVA div grad JtAAee2e2e (4.41) Similar putem stabili o alt ecuaie pentru cele dou funcii eA i eV : ( ) = =2e2vVee) 39 . 4 (vtV; V grad divtAdiv E dive

(4.42) + = tVA divttVVeev2e2e(4.43) In regim variabil (nalt frecven) se admite o condiie de etalonare a celor dou poteniale- etalonare Lorentz- care presupune: 0tVA divee= +(4.44) spredeosebirederegimulstaionar(cvasistaionar)undeseadmitepentru potenialulmagneticvectorAocondiiedeetalonareCoulomb,deforma: 0 A div = . Impunndcondiia(4.44),fiecaredintreecuaiile(4.41)i(4.43) rmne o ecuie numai n variabila eA sau numai n eV de aceeai form: JtAA2e2e = (4.45) = v2e2etVV (4.46) Bazele electrotehnicii110 Celedouecuaiipoartnumeledeecuaiavectorialneomogena undelor (4.45), respectiv ecuaia scalar neomogen a undelor (4.46), ambele sunt de acelai tip cu ecuaia undelor (4.11), care este ns o ecuaie omogen. In regim staionar sau cvasistaionar=0t ecuaiile (4.45), (4.46) devinecuaiidetipPoisson(Laplace)satisfcutedeAiVnaceste regimuri i ale cror soluii sunt de forma : ( )( )( )( ) = =v vv v dRr41r V ; v dRr J4r A(4.47) n care am utilizat notaii cu semnificaiile din figura 4.6. Soluiileecuaiilor(4.45)i(4.46)suntsimilarecusoluiile(4.47), sub forma: ( )( ) =vev dRR t , r J4t , r A(4.48) ( )( ) =vvev dRR t , r41t , r V(4.49) Cmpulnpunctul( ) r P ,lamomentul t,estedeterminatdevaloareadensitiide curentJ (sau a densitii de sarcin v ) la un momentanterior t tvRt R t t = = = ,momentuluit cuRvRt = = .Timpult estetimpul necesar ca unda electromagnetic s se propage de la circuitul radiant pn n punctul( ) r P ,pedistanar r R R = = naintndcuvitezav,vitezade propagare a undei prin mediul cu parametrii constitutivi( ) , . Timpult este timpul de ntrziere(retardare) ntre mrimile de stare ale circuitului radiant i ale cmpului la distana R de circuit; motiv pentru care eAieVdate de (4.48) i(4.49)senumescpotenialeelectrodinamicentrziate(retardate).Aceste expresiialepotenialelor(ialecmpuluielectromagnetic)descriupropagarea cmpuluielectromagneticdinaproapenaproape,ntimpinspaiu(prin contiguitate) cu vitez mare, dar finit: =1v . 4. Ecuaiile cmpului electromagnetic111 4.6.2 Rezistena de radiaie a circuitelor Puterea activ absorbit de un circuit electric n regim sinusoidal este 2 2efjRI RI P = = , unde R este rezistena circuitului radiant. Lafrecvenenaltecircuitulradiazundeelectromagnetice,deciva transmiteputereactiviprinundeleradiate,puterepecareoscriemsub forma: 2rad radI R P = , unde radR este rezistena de radiaie a circuitului. Puterea activ total absorbit de circuit este : rad jP P P + = . Dac circuitul radiant are forma curbei din figura 4.7-a, cmpul magnetic Bnpunctelesuprafeei S vafidefazatnurmacurentuluiIdinspira din cauza timpului de propagaret (datorit retardrii dintreB i I). Deci i fluxulmagneticprintr-osuprafa Sva fi defazat n urma curentului I cu unghiulcandiagramafazorialdinfigura4.7-b,defazarecarecrete odat cu frecvena curentului: ( ) = . Descompunemfluxulndoucomponente,unanfazcuIialtan cuadratur cu curentul I, sub forma: I j I L = (4.50) Ecuaia de tensiuni pentru circuitul radiant este de forma: I I L j I R j I R U dtdRi u + + = + = + =respectiv ecuaia de tensiuni a unui circuit radiant are expresia: ( ) [ ] I L j R U + + = (4.51) unde: + = R Re- este rezistena echivalent a circuitului radiant; Bazele electrotehnicii112 radR = esterezistenaderadiaieacircuituluiiarResterezistena proprie a circuitului, evaluat cu luarea n considerare a efectului pelicular din nalt frecven. L j R Ze e + = -esteimpedanaechivalentacircuitului,ceacareintroduce un defazaj ntre U i I ca n figura 4.7-b. 4.7 Aplicaie Dacsecunoateunadintrecomponenteleundeiplanei proprietile mediului, se poate deduce cealalt component: 1.Inmediidielectrice( ) 0 = cunoscndE j E = iimpedanadeund = Zse poate deduce cealalt component(cea magnetic): ZEk H kZE iH

= ==2.Inmediiconductoare( ) 0 legturantreceledoucomponenteale undei este de forma: ( ) = =j jeEk E i e H unde( ) j 12j += = esteconstantadepropagareamediului ( ) + = j , = cos esteconstantadeatenuareiar = sin este constanta de defazare a mediului( ) = 2 2 2. 3.Undaplanavnd mA5 Ho = treceprintr-unmediucu. 4 , 1r r= = Componenta electric a undei este: [] = == 60 RHE - rezistena de und a mediului [ ]mV300 12021H HZ H Erro= ===ObservaieVectorulH E S = ,numitvectorulPoyntingindicprindireciasacare este direcia de propagare a undei iar prin modulul su indic care este densitatea de putere aundei:[ ] [ ] [ ]2mWmAmVH E S = = = .FluxulluiS printr-osuprafaesteputerea transmis de und prin suprafaa respectiv. 5. Regimul electrostatic i magnetostatic nregimvariabilntimpcmpulelectricimagneticse intercondiioneaz reciproc alctuind un cmp electromagnetic.nregimstaionar(curentcontinuu),mrimiledestaresunt invariabilentimpistudiulcmpuluielectricimagneticsepoateface separat.nacestregimcmpulelectricdinmediiconductoaregenereaz curent electric i este nsoit de degajare de cldurn mediul conductor.Unsistemfizicformatdincorpuriimobile ( )v 0 = ncrcatecu sarcini invariabile n timp =0t creeaz un cmp electrostatic. n regim electrostatic mrimile magnetice de stare sunt nule iar mrimile electrice de stare(alecorpurilorialecmpului)suntinvariabilentimp;ntr-unastfel deregimnuexistschimburideenergientrecomponentelesistemului. Neexistndcmpelectrostaticinicicurentelectricninteriorulcorpurilor conductoare,nuauloctransformrienergetice(dezvoltridecldur). Practic,uncmpelectrostaticestecreatdecorpuriimobilencrcatecu sarcini invariabile n timp. Deci condiiile de regim electrostatic sunt: __0; v 0; J 0; B H 0 (5.1)t = = = = = n condiiile (5.1) legile vor avea forme particulare: -) Din legea induciei electromagnetice, dac __B0, v =0t= rmne: __ __ __ __E d 0 ; rot E 0 E grad V (5.2)= = = Av Expresia(5.2)esteteoremapotenialuluielectrostaticsubformintegral, respectivlocal.MrimeaVestepotenialulelectrostatic,cmpul electrostaticEesteuncmppotenial(carepoatefiscriscaungradient), circulaialuipeocurbnchisestenuliarntredoupuncte1i2 circulaia nu depinde de drumul de integrare: 2 2 2__ __1 21 1 1E d Vd dV V V(5.3) = = = A A-) Legea fluxului electric are aceeaiformulare i n regim electrostatic:( ) ( )2 1__ __ __v s n n sD ds q; div D sau 0; div D D D sau 0(5.4)= = = = Bazele electrotehnicii 114 -) Legea legturii n cmp electric :to o eD E P ; P E ; D E (5.5) = + = = Celelalte legi nu prezint interes n studiul regimului electrostatic . 5.1 Teorema potenialului electrostatic Deoarecenregimelectrostaticmrimiledestarealecmpului electric i ale corpurilor sunt invariabile n timp, starea electrostatic a unui sistemfizic(corpuri+cmp)sepoatemeninefraportdeenergiedin exterior. Pentru o sarcin punctiform expresia cmpului electric creat este : 3oq rE (5.6)4r= S artm c i n acest caz este verificat expresia teoremei(5.2): _ ____ __3 3o o o3 3 4o o o3o o oq r d q r dr q 1E d d 04 4 4 rr rq r q 1 q 3 rrotE r r 0 (5.7)4 4 4 rr r rq r dr q 1 q 1dV Edr d V C4 4 r 4 rr = = = = = = = = = = = = + AAv v v v Expresia local rotE 0 = puneneviden faptulcliniileluiEsunt deschise,elenceppe sarcini (+) i se termin pe sarcini().Expresia(5.7) apotenialuluiaratc dac l calculm la distan maredesarcina punctiform( r ) atunciconstantade integrare este = V C .Lainfinitdeprtare deqcmpulEestenuliadmitemci( ) 0 C 0 V = =inacestcaz (sarcina punctiform) expresia potenialului este: sdq ds = vdq dv = dq d = AAkqFig. 5.15. Regimul electrostatic i magnetostatic115 oqV (5.8)4 r= Alegereapunctuluiunde0 V = senumetealegereaoriginiide potenial fa de care expresia (5.8) rmne valabil. Dacavemunsistemcudistribuiile v s, , Aisarcini punctiforme kq ca n figura 5.1, atunci cmpul rezultant n punctul P se scrie cuteoremasuperpoziiei(vectoriale)acmpurilorcreatedefiecaresarcin nparte(fiecareelementdqcreeazcmpdeforma5.6: 3odq rdE4r=), deci: _ _ _ _nkv s k3 3 3 3o V S Ck1r r r q r 1 E dv ds d(5.9)4r r r r = + + + AA Expresia(5.9)esteexpresiageneralacmpuluielectrostaticcreat detoatedistribuiiledesarcin(numiticmpelectriccoulombian, expresia (5.6) se poate stabili pe baza forei de tip coulombian ). Punctul P ncarecalculmcmpulEnupoatefininteriorulcorpurilorncrcate, integraleledin(5.9)nuarmaificonvergentecndr 0 .Fiindintegrale din funcii vectoriale ele trebuie calculate pe componente.Dacpentruosarcinpunctiformpotenialulelectrostaticare expresia(5.8),atuncipotenialulpunctuluiPdinfigura5.1.seobinetot printr-osuperpoziie(scalar)apotenialelorcreatedefiecaresarcinn parte: knv so k V S C1qd ds d 1V (5.10)4 r r r r = + + + AA Expresia(5.10)estevalabilnraportcuorigineadepotenialla infinit(deciniciunuldintrecorpuriledinfig.5.1nuesteinfinitextins pentruasepstraconveniaV 0 = ).NicipentrucalcululluiVcu(5.10) punctul P nu poate fi dect punct exterior tuturor corpurilor ncrcate pentru ca integralele din (5.10) s fie convergente. Toate integralele din (5.10) sunt dinfunciiscalare,decimaiuordecalculatca(5.9),respectivestemai indicat a se calcula prima dat V cu (5.10) i apoiE grad V = . Bazele electrotehnicii 116 5.1.1 Proprietile potenialului electric V 1.Alegerea originii de potenial: Dacsecunoatevaloareapotenialuluintr-unpunct) V ( PoP o, atunci potenialul ntr-un punct oarecare P va fi: ooP__ __P PPV V E d (5.11) = APotenialul PVcaracterizeaz cmpul pEn fiecare punct i se poate determinacuaproximaiauneiconstante oPV .Dacseadopt PoV 0, =atuncipunctul oP esteconsideratreferin(originedepotenial).Alegerea originii de potenial se face n diverse moduri: pentru sistem restrns de corpuri ncrcate, originea de potenial se consider punctul de la infinit, acolo0 E = i0 V= pentrusistemepracticencareseprecizeazpoziiacorpurilor ncrcatenraportcupmntulsaucumasa(carcasaaparatului)atunci originea de potenial se consider pmntul (masa) pentruproblemeteoreticencareaparcorpurincrcatecu dimensiuni infinite (suprafee ncrcate infinit extinse, fire foarte lungi, etc) punctuloriginedepotenialseadoptarbitrariexpresiilecalculatepentru V trebuie precizat n raport cu care origine de potenial sunt adevrate. 2.Valenele energetice ale potenialului Pentruadeplasaosarcin q ntr-uncmpelectrostaticEdin punctuloriginedepotenial oo PP (V 0) = pnntr-unpunct curent P din cmp, trebuie cheltuit un lucru mecanic: o oP P__ __ __extPP PL F d q E d q V(5.12) = = = A ADecipotenialulpunctuluiP(PV )esteegalnumericculucrul mecanicceartrebuiefectuatdecmppentruadeplasaunitateadesarcin ( C 1 q = ) din P n oP , sau este egal numeric cu lucrul mecanic ce ar trebui efectuat din exterior pentru a deplasa unitatea de sarcin din oPn P.P0 P 5. Regimul electrostatic i magnetostatic117 Potenialulnuestelucrumecanic,semsoarnvolinunjouli, numai este egal numeric cu el. n fiecare punct din cmp potenialul V are o valenenergetic,elcaracterizeazenergeticcmpulelectrostaticdinacel punct. Potenialul V arat care este potena cmpului n acel punct, respectivcapacitatea cmpului de a efectua lucru mecanic. 3.Proprietile geometrice ale potenialului V Legtura punctual dintre cmpulE i potenialul su V: __ __dV E d (5.13) = Ane permite s interpretm geometric aceast legtur: Suprafeele echipoteniale (V=constant, dV=0) nseamn E d 0 = A ,respectiv __ __E d A ,liniilecmpuluiEsuntperpendicularepe suprafeeleechipoteniale(ncareesteconinutA d ).Cunoscndliniile (suprafeele) echipoteniale ale unui sistem, se pot trasa liniile de cmpE ca fiind normale n orice punct cu suprafeele echipoteniale(figura 5.3). Punctele unui corp conductor au legtur galvanicntre ele, deci se afl la acelai potenial. Rezult c liniile cmpului electric ntotdeauna ies i intr perpendicular pe suprafeele corpurilorconductoare ncrcate cu sarcin. n lungul liniilor de cmp electric) d E (__ __A avem: __ __dV E d 0 (5.14) = < ADeci n lungul liniilor luiE potenialul V scade sau reciproc, liniile luiEsuntorientatedinspreregiuneacupotenialmairidicat(maipozitiv) spre cea cu potenial mai sczut (figura 5.4). Fie dou suprafee echipoteniale ntre care diferena depotenial este de dV=const. 34 2 34 12 1 12E dV E dV = = =Fig 5.3Fig 5.4Bazele electrotehnicii 118 Cumnfigura5.5distana 2 1 34 12E E > < Cmpulelectricestemare (inte