912. CMPUL ELECTROSTATIC Aa cum s-a mai artat (v.1.1.1.), cmpul electromagnetic este un cmp unitar, ale crui aspecte: electric i magnetic sunt interdependente, fapt exprimat de legile induciei electromagnetice (1.81) i circuitului magnetic (1.83), i deci n principiu nu pot fi separate. Totui, n regim static (v.1.1.1.), atunci cnd mrimile de stare ale cmpului electromagnetic i mrimile de stare electric i magnetic ale corpurilor din cmp sunt invariabile n timp, iar n sistemul fizic electromagnetic nu exist nici un transfer de energie, fenomenele electrice se produc independent de cele magnetice, ceea ce permite studierea separat ale celor dou aspecte: cmp electric i cmp magnetic. Prezentul capitol are ca subiect tocmai acest fapt, mai precis studiul cmpului electric n regim static, caz n care cmpul se denumete cmp electrostatic. 2.1. Regimul electrostatic Despre un sistem electromagnetic se spune -prin definiie- c se afl n regim electrostatic atunci cnd sunt ndeplinite simultan urmtoarele condiii: 10 corpurile din sistem sunt imobile unul fa de altul; 20 mrimile de stare ale cmpului electromagnetic din sistem sunt invariabile n timp; 30 n sistem nu exist nici un fel de transformri energetice i nici transferuri energetice cu alte sisteme; 40 n sistem nu exist corpuri magnetizate permanent, adic 0 i 0 = = p p M m . Condiia 4. este redundant, ns ea permite s se afirme direct c n condiiile 10 40 n sistemul astfel definit nu exist dect aspectul electric al cmpului electromagnetic, adic numai cmp electric, numit n acest caz cmp electrostatic (ca un caz particular, n condiiile 10 40, al cmpului electromagnetic). La regimul electrostatic se ajunge printr-o perioada existent anterior (un regim tranzitoriu), prin care fore i cupluri de fore de natur electric sau / i neelectric (exercitate pe seama unor transferuri sau /i transformri de energie) realizeaz un echilibru n sistem ce ndeplinete condiiile 1.,2. i 3. Dupa aceea, atta timp ct aceste condiii sunt ndeplinite, sistemul rmne n regim electrostatic, ca regim permanent (pn la producerea unei modificri a condiiilor 10 40). n regim permanent electrostatic, cmpul electrostatic este caracterizat de mrimi de stare i de material, precum i de modele specifice care decurg din cele generale, descrise n capitolul 1, n conditiile 10 40 i care vor fi prezentate pe scurt n paragrafele urmtoare. 2.1.1. Mrimi de stare i de material n regim electrostatic Mrimile de stare a cmpului electromagnetic (v.1.2.2.) care prezint interes n regim electrostatic sunt: - intensitatea cmpului electric n vid ) (0E i n corpuri ) (E care sunt mrimi invariante n timp, pe un interval [t1, t2] ct dureaz regimul electrostatic, adic: 92 ] , [ const. ) ( i const. ) (2 10 t t t t E t E = = sau: (2.1) ], , [ 0 / i 0 /2 10 t t t t E t E = = situaie n care cmpul se numete cmp coulombian (v.subcap.2.2.) i se noteaz, generic, cu cE .Componenta solenoidal sE a cmpului electric este nul ) 0 ( =sE cci n condiiile1o 0 = w i 2o 0 / = t B , adic 0 =tH i deci: , 0 ===tHtHtHzyxastfel c, n conformitate cu ecuaiile lui Maxwell (1.105M2), i yExExy=,zEyExEzzEyz x==, ceea ce implic 0 = s E sau const =sE , ultimul caz fiind posibil n situaia n care aspectul magnetic al cmpului este nul; - inductia electric D, ce respect condiiile: (2.2.) ]; , [ 0 deci i const. ) (2 1t t ttDt D == - fluxul electric , v.(1.34), care ndeplinete condiiile (2.3.) ]; , [ 0 deci i const. ) (2 1t t ttt == - potenialul electric, n orice punct P (caracterizat de raza vectoare r ), V(P) V( r ), ce satisface condiiile: (2.4.) ]; , [ 0 deci i const. ) , (2 1t t t t V t P V = = = denumit potenial electrostatic (v.2.2.3.); - tensiunea electric, notat n regim electrostatic U, nu depinde de drum (v.2.2.3.) i atunci tensiunea electric n lungul firului (1.43) este egal cu tensiunea electric la borne (1.43), adic Uf=Ub=U; - tensiunea electromotoare, notat n regim electrostatic cu E, nu depinde dect de cmpul electric imprimat Ei, adic - conform definiiei (1.48), relaiei (1.49) i faptului c , d d ,0 0 = = = =dl E l E E Ei iwtB sns ea nu prezint interes n regim electrostatic, fiind pasiv, pentru c aa cum se va arata mai ncolo n regim electrostatic i=0 i J =0. Mrimile de stare magnetic ale cmpului electromagnetic, adic m mu F H B B , , , , ,0 etc., n regim electrostatic nu prezint interes deoarece se refer la aspectul magnetic al cmpului, care prin condiiile 10 40 a fost separat i anulat. Mrimile de stare electric a corpurilor n regim electrostatic, n orice punct P al domeniului (sau pentru orice raza vectoare r asociat punctului P) sunt caracterizate de: - mrimile strii de electrizare: (2.5) ]; , [ 0 , , deci i const. )} ( ), ( ), ( {2 1vt t ttqtqtq t q t q t qv =)`= - mrimile strii de polarizare: ]; , [ 0 , deci i const. )} ( ), ( {2 1t t ttPtpt P t p =)`= (2.6) 93- mrimile strii electrocinetice, adic intensitatea curentului electric de conducie i i densitatea curentului electric de conducie J sunt nule, n orice corp i n orice punct al sistemului electrostatic, adic: '] , [0 i 02 1 = =t t tPJ i (2.7) deoarece conform condiiei 3o, densitatea de volum a puterii transformate, p, n cmp electrostatic este nul, peste tot n i n regim electrostatic, adic: '] , [0 ) , (2 1 =t t trt r p (2.8) ceea ce - n conditiile legii transformrii de energie (1.103): 0 0 la i 0 = = = J E J E p (2.9) sau (tiind c 0 = s E ): , 0 0 dac 0 02 = = =i iE J J E J p nsemnnd i: = = = pentru , 0 d 0 A J i JD . (2.10) Prin urmare, n regim electrostatic corpurile nu se pot gsi n stare electrocinetic (ea fiind exclus prin definiie). Aceasta ar putea fi considerat - n mod explicit - o condiie suplimentar 5o a regimului electrostatic (dei aceast nou condiie rezult implicit din condiia 3o). Mrimile de stare magnetic a corpurilor, adic M m i , nu prezint interes n regim electrostatic deoarece se refer la aspectul magnetic al cmpului, care prin condiiile 10 40 a fost separat i anulat. Mrimile de material care n regim electrostatic au nsemntate sunt: permitivitatea absolut , susceptivitatea electric e i cmpul electric imprimat iE . Celelalte mrimi: magnetice (, m) i electrocinetice (, , etc.) nu prezint interes deoarece n regim electrostatic cmpul magnetic este separat i considerat nul, iar starea electrocinetic este exclus prin definiie. Cmpul electric imprimat, mrime de material caracteristic numai n cazul conductoarelor neomogene sau/i cu neuniformitai de acceleraie, temperatur, cu deformaii i iradieri etc. definit prin relaia (1.28i) din 1.2.2 care se poate localiza ntr-un ntreg domeniu spaial (cmpuri imprimate de volum) sau numai pe anumite suprafee de discontinuitate (cmpuri imprimate pe interfee sau de contact), ce va fi prezentat pe larg n subcapitolul 4.3., este o mrime vectorial iE produs de fenomene fizice de natur neelectromagnetic, care determin n conductori o repartiie a sarcinilor electrice ntre care exista cmpul imprimat cu sensul de la punctele cu sarcini negative spre cele cu sarcini pozitive. Concomitent cu aceast repartiie a sarcinilor electrice determinate de cauze (fenomene) neelectrice, ntre punctele cu sarcini electrice pozitive i cele cu sarcini electrice negative (cu sensul de la + spre , deci contrar cmpului imprimat iE ) se produce cmpul electric coulombian cE definit prin (1.28C) ce echilibreaz cmpul imprimat, moment n care ne mai variind rapartiiile de sarcini electrice (ceea ce nseamn 940dd=tqv sau 0dd=tq) se ajunge n regim electrostatic (cu 0 = J ). n acest moment, intensitile celor dou cmpuri se anuleaz: , 0 0 = = + J E Ec i ceea ce constituie condiia de echilibru electrostatic (v.2.2.3) sau, altfel: (2.11) ,0 = =Jc iE E n conductorii neomogeni sau cu neuniformiti de acceleraie etc.. n dielectrici iE nu are sens (iE =0), iar n conductorii omogeni i cu acceleraie etc.uniforme nu se produce cmp electric imprimat (deci iE =0). 2.1.2. Legile cmpului electromagnetic n regim electrostatic n regim electrostatic definit prin condiiile 10 40, legile teoriei macroscopice a cmpului electromagnetic iau forma: - legea fluxului electric: = vq A D d i (local): (2.12) = P q Dvdiv ; - legea fluxului magnetic nu prezint interes, n sistem existnd numai aspectul electric al cmpului electromagnetic, adic numai cmp electrostatic; - legea legturii dintre ; : i ,0 + = P P E D P E D p - legea legturii dintre M H B i , nu poate interveni n cazul numai al unui cmp electrostatic; - legea polarizaiei electrice temporare: ]; , [ const 2 1 0t t t E Ptet = = sau: (2.13) , D p P E + = deoarece n regim electrostatic const. ) ( = t E , ceea ce implic i o polarizaie electric temporar const. ) ( = t Pt cu , 0d =tP d tiar polarizaia electric permanent, dac exist, este dat i constant n timp; - legea magnetizaiei temporare nu prezint interes n regim electrostatic; - legea induciei electromagnetice: (2.14) = = = |.|

\| = 0 rot i 0 d rot , 0dd- e s s E l Et (pentru domeniile de continuitate), iar n condiiile ecuaiei a doua a lui Maxwell (1.105 M2) 0 = s E n regim electrostatic; - legea circuitului magnetic devine = 0 dl H i 0 rot = H , ns ea nu intervine n regim electrostatic, aspectul magnetic al cmpului electromagnetic fiind nul n condiiile 10 40; 95- legea conservrii sarcinii electrice , 0 ) (dd= = itqcci n regim electrostatic starea de electrizare nu variaz n timp, adic 0dd=tqi deci i=0, ca i 0 = J , deoarece din forma local a legii , 0ddJ div = =tqvdeoarece i , 0dd=tqvprin condiia 2o; - legea conduciei electrice: 0 0 la , = = = E J E J n conductori; (2.15) - legea transformrii de energie n conductori, n condiia 3o a cmpului electrostatic, nseamn: , 0 implica , 0 la ce, ceea , 0 d W21tt2= =||.|

\|=i R t Ri iar local: 0 ) ( = = J E p are implicaia c, la ; 0 , 0 = J E - legea electrolizei (1.104) nu are sens n electrostatic, deoarece i=0 i deci . 0 d21 = =ttt i k m 2.2. Teoremele cmpului electrostatic n cadrul acestui subcapitol vor fi prezentate principalele relaii utilizate n calculul i determinarea cmpului electrostatic, relaii deduse din legile generale ele teoriei electromagnetice n condiiile regimului electrostatic (v.2.1.2) i care n unele cazuri poart denumirea de teoreme, iar n altele ecuaii sau formule, multe dintre ele avnd restricii specifice de aplicabilitate. Teoremele fundamentale ale teoriei macroscopice a cmpului electromagnetic (prezentate n subcapitolul 1.5) au i ele un specific aparte n cazul cmpului electrostatic i vor fi analizate spre sfaritul acestui subcapitol (teoremele de unicitate i superpoziie) tocmai pentru a putea evidenia aceste particulariti, iar teorema energiei va face obiectul unui subcapitol aparte (v.subcap.2.6). 2.2.1 Teorema lui Gauss Se refer la fluxul vectorului 0 E (intensitatea cmpului electric n vid), avnd urmtorul enun: fluxul vectorului 0 E prin orice suprafa nchis dintr-un domeniu vid 0 este proporional cu sarcina electric vq a corpurilor situate n interiorul suprafeii , ce nchide un volum v , factorul de proporionalitate fiind 01 (adic inversul permitivitii vidului) i urmtorul model: ,1d000 = vq A E (2.16) relaie general valabil, dar numai n vid i cu 0 E de tip coulombian (v.2.2.3), definit prin relaia (1.25). 96Teorema (2.16) se demonstreaz simplu, utilizndu-se legea fluxului electric (1.65), scris pentru un domeniu cu mediu vid, n care se nlocuiete vectorul induciei electrice D prin legea polarizaiei electrice temporare n vid sub forma relaiei (1.77), adic 00 E D = . Astfel: ,1d d d d00 0000 = = = = v v v vq A E q A E q A E q A D adic teorema lui Gauss. Teorema lui Gauss poate fi extins i la mediile uniforme (omogene i izotrope), liniare, deci cu permitivitatea ( ) const. , = = t r n ] , [ i2 1t t t r al regimului electrostatic i far polarizaie permanent ) 0 ( = p P , caz n care legea (1.77), adic E D = , este valabil. n acest caz, i numai n acest caz, se poate scrie: (2.17) , const. ) , r (1d = = t q A Ev care poate fi scris i n forma local, adic n orice punct P din mediul uniform, liniar i far polarizaie permanent, pentru care se cunoate densitatea de volum Pvq a sarcinii electrice, adic: (2.17) ,divPvqE = care rezult din forma local a legii fluxului electric (1.66) n care se nlocuieste D prin expresia sa (1.77): , D E = astfel c: .1E divconst E div E div div, EPPP Pvrvv vqqq q D = = = = = 2.2.2. Teorema lui Coulomb Aceast teorem stabilete un model pentru calculul intensitii cmpului electric 0 E produs n vid de ctre un singur corp punctiform, cu sarcina electric q, situat ntr-un domeniu 0 considerat infinit extins (n toate direciile, n jurul corpului punctiform). Pentru calculul lui 0 E n aceast situaie, ntr-un punct P, se aplic teorema (2.16) a lui Gauss pentru o suprafa nchis sferic sf, cu raza r, avnd n centrul su C corpul punctiform cu sarcina electric q i pe suprafaa sa punctul P, n care se va calcula 0(P). Distana de la centrul C al sferei la punctul P de pe suprafaa ei este, evident egal cu raza r a sferei, care se orienteaz de la C la P: r CP = i are versorul r r r /0 = (fig 2.1). Fig. 2.1 97Din cauza simetriei sferice a sistemului din figura 2.1, toate punctele sfP sunt situate la aceeai distan r fa de centrul C, unde este corpul punctiform cu sarcina electric q i mediul fiind peste tot acela (vid), rezult c pe sfP intensitatea cmpului electric 0(P), are aceeai valoare absolut 2 2t nE E E + = , unde En este componenta normal la suprafaa sferei a intensitaii cmpului electric 0(P) cu sfP i Et este componenta tangenial la sf n punctul P al cmpului 0(P). Rezult, deci c 2 2n tE E E + = = const. (sfP n ). Deoarece, dup cum se va vedea, 0(P) va depinde de raza orientat a sferei r , este mai adecvat ca funcia de punct 0(P) s se exprime ( ) r E0 , deoarece pe baza definiiei suprafeii sferice, ca loc geometric al tuturor punctelor P din spaiu situat la aceeai distan r de un punct C numit centrul sferei, adic: { } r CP Psf = = , fiecrui punct P, ce poate aparine unei suprafee sferice de raz r , i se poate ataa raza vectoare r . n acest fel fiecare punct P va fi reprezentat (indicat) de raza vectoare r , existnd identitatea 0(P) ( ) r E0 . n aceste condiii i n cazul din figura 2.1a, aplicndu-se legea induciei electromagnetice sub forma (2.14) din regim electrostatic, dup orice contur circular sf c , rezult : , 0 2 d d d cosd cos 1 ) ( d ) ( d ) ( 0 d0= = = = == = = = r E l E l E l El r E l t r E l r E l Et t tcc c cc c c () deoarece Et=const. (cum s-a artat anterior). Integrala () fiind nul, iar raza r0, rezult c Et =0 i deci En=E ( ) 0 r E r E = , cu alte cuvinte, n condiiile de la care s-a plecat (vezi fig. 2.1a) n toate punctele ( ) r P , de pe suprafaa sferic sf , intensitatea cmpului electric produs n aceste puncte de corpul punctiform cu sarcina electric q din centrul C al sferei, este un vector cu valoare absolut ( ) = r E0 const. =E, avnd orientarea dup direcia normalei la sf , deci dup raza orientat a sferei r , adic ( ) ( ) 0 0 0 r E r E P E = = (fig. 2.1b) Rmne s se mai determine aceast valoare absolut E. Teorema lui Gauss (2.16), aplicat cazului din figura 2.1a conduce la: ( ) ,14 d d d d d1d02000 q r E A E A rrEA rrEArrE A r E q A r Esf sf sf sf sfsfsfv = = = = = = = (C) deoarece q qsfv =. Atunci din egaliatea (C) se deduce : ,41200rqE= (2.18) i ,4141300200 0 rrqrrqr E E = = = (2.18) aa ca n fig. 2.1b. 98Deoarece, conform relaiei (9.16), referitoare la derivata unei funcii scalare (aici 1/r) n raport cu o direcie dat (aici r ), grad3 20201 1 1dd 1rrrrrrrrr r rP = = = |.|

\|= |.|

\|, rezult c relaia (2.18) se poate scrie i n forma: (2.18) 004qE =grad .1|.|

\|r Toate expresiile (2,18) reprezint modele ale teoremei lui Coulomb, care exprim faptul c valoarea absolut a vectorului intensitii cmpului electric n vid, produs de un corp punctiform ncrcat cu sarcin electric q, la distana r de acest corp este, proporional cu sarcina electric q i invers proporional cu ptratul distanei r. Vectorul 0 E este pe direcia razei, cu sensul spre corp dac q este negativ i cu sensul dinspre corp spre exterior dac sarcina electric q este pozitiv (fig. 2.1c). Extinderea teoremei lui Coulomb Se refer la aplicarea teoremelor (2,18) n care mediul este altul dect vidul. Acest lucru se poate face numai atunci cnd corpul punctiform ncrcat cu sarcina electric q este situat ntr-un dielectric omogen i izotrop, fr alte sarcini electrice, fr polarizaie electric permanent, caracterizat de permitivitatea absolut ( )= r const.= i considerat (idealizat) infinit extins n toate direciile. n acest caz, intensitatea cmpului electric ( ) ( ) E r E P E = = , n orice punct al domeniului definit anterior, se calculeaz direct cu relaiile (2,18) n care se nlocuiete 0 cu : (2.19) ,41 413020 rrqrrqr E E = = = (2.19) 2 41rqE=, (2.19) 4qE =grad |.|

\|r1. Potenialul electrostatic produs de un corp punctiform electrizat Dup cum se tie (v. 1.2.2, subparagraful Potenialul electric), starea electric a unui cmp electromagnetic poate fi descris local i printr-o funcie scalar de punct ( ) ( ) V r V P V = = , definit prin relaiile (1.38) sau (1.41). n cmp electrostatic acest potenial se numete potenialul electrostatic i se determin cu aceleai relaii de definiie, aplicate cazurilor concrete avute n vedere. Astefel, n cazul unui cmp electrostatic produs ntr-un mediu omogen, izotrop, liniar i extins la infinit (cu permitivitatea absolut ) de ctre un singur corp punctiform ncrcat cu sarcina electric q, potenialul electrostatic ( ) ( ) V r V P V = = dintr-un punct ( ) r P al domeniului se calculeaz astfel: - folosindu-se definiia (1.38): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )rqP Vrr qP V r rrqP V r E P V P Vp p r p p r p p r1 4d 4d 41d0 2 002 0 00 0 0+ = = = = M M M, n care integrala curbilinie care poate fi determinat dup orice curb , a fost calculat, fiind mai comod, dup raza r (v. fig. 2.1). Dac potenialul electrostatic al punctului P0, de referin , se 99consider (se ia) 0 ) (0 = P V , atunci potenialul electrostatic n orice punct ( ) r P n condiiile artate anterior se exprim prin: rqV 41=; (2.20) - folosindu-se definiia (1.41): ( ) ( ) P V P E grad = (V) i avndu-se n vedere expresia (2.19) a lui E scris sub forma: ( ) , 4gradPkrqP E |.|

\| + = (V) unde k este o constant, identificndu-se cele dou expresii ale lui ) (P E , adic (V) cu (V), rezult : 0 4) (pkrqP V += , unde constanta 0pkreprezint valoarea potenialului de referin V(P0) care dac se consider egal cu zero relaia devine: rqV 41= , adic aceeai ca la expresia (2.20). Formula lui Coulomb Exprim forele care se exercit ntre dou corpuri punctiforme electrizate, aflate numai ele singure n vid. Se consider figura 2.2, n care se arat c n punctele P1 i P2 situate la distana orientat 12 r se afl dou corpuri punctiforme ncrcate cu sarcini electrice q1 corpul din punctul P1 i q2 corpul din P2 asupra crora se exercit forele 12 F i 21 F . n acest caz, fiecare corp punctiform se afl n cmpul electric produs n punctul n care este situat el de ctre sarcina electric a celuilalt corp; astfel, corpul din P1 se afl n cmpul 12 E i corpul din P2 n cmpul 21 E . Ca urmare, n conformitate cu expresia forei lui Lorentz (1.31), rezult urmtoarele formule de calcul a celor dou fore: , 41 4, 41 42132 1032121021121121232 103121201221221rrq qrr qq E q Frrq qrr qq E q F= = == = = (2.21) n care distana dintre cele dou corpuri este . 21 12 r r r = = Cele dou fore sunt aa cum rezult din formulele (2.21), egale i de sens opus, deoarece razele vectoare sunt n relaia 21 12 .r r = . n valoare absolut forele se calculeaz cu formula: 22 10 41rq qF = (2.21) care reprezint formula lui Coulomb. Fig. 2.2 100Formulele (2.21) se pot aplica i n cazul mediului omogen, izotop, liniar, cu =const. extins la infinit, i avnd numai cele dou corpuri punctiforme electrizate, prin nlocuirea lui 0 cu . Formulele (2.21) arat c : dac sarcinile electrice ale corpurilor au acela semn (deci q1q2>0) forele sunt de respingere a corpurilor, iar dac sarcinile sunt de semne contrarii (q1q2 VB sau UAB >0 lucrul mecanic cheltuit L = q U va proveni din energia electric a sistemului care n noul regim electrostatic n care corpul a ajuns n punctul B va fi mai srac cu energia qcp (VA VB). n caz contrar, VA < VB i deci UAB < 0, o for exterioar ce a nvins fora de natur electric E q Fcp= , va efectua un lucru mecanic pe care l va ceda cmpului electric, care n noul regim electrostatic (cu corpul fixat n punctul B) va fi mai bogat cu energia qcp (VA VB), ce va fi nmagazinat n dielectricul sistemului electrostatic. Ecuaiile lui Poisson i Laplace Plecndu-se de la teorema lui Gauss (2.17), scris sub form local, adic: div /vq E = , n care se nlocuiete E prin definiia local a potenialului electrostatic (2.26), adic: = E grad V, rezult: div (- grad V ) = qv / sau ( ) /vq V = , deci: 105(2.32 ) 2 vqV = , n care 2 este operatorul nabla la ptrat, care se noteaz cu (operatorul denumit laplacean) astfel c ecuaia (2.32 ) se poate scrie n forma: = PqVv, (2.32) sau, deoarece ntr-un sistem de coordonate cartezian 2222222z y x ++= = , n forma: 222222vqzVyVxV =++. (2.32) Ecuaiile (2.32) sunt cunoscute sub numele de ecuaiile lui Poisson. n punctele din cmpul electrostatic (din dielectric) n care densitatea de volum a sarcinii electrice qv este zero, ecuaiile (2.32) devin: 02= V sau 0 = V sau 0222222=++zVyVxV, (2.33) care se numesc ecuaiile lui Laplace. Dup cum se vede, ecuaiile lui Poisson i Laplace sunt ecuaii cu derivate pariale liniare (dac V. const = ) de ordinul al II-lea, care definesc cmpul scalar al potenialului electric n interiorul domeniului . Aceste ecuaii completate cu condiii la limit, pe suprafaa = Fr , formeaz probleme cu derivate pariale cu condiii pe frontier de tipul: - problema lui Dirichlet, atunci cnd ecuaiile (2.32) sau (2.33) definite pe sunt completate cu condiia la limit c V =, unde valoarea c a potenialului pe frontier este dat; - problema lui Neumann, atunci cnd ecuaiile (2.32) sau (2.33) definite pe sunt completate cu condiiile la limit c Vn =dd, unde c este valoarea derivatei potenialului electric pe direcia normalei la frontiera , adic este componenta normal la a cmpului electric (En ) sau a induciei electrice (Dn = En ); - problema mixt (Fourier), atunci cnd ecuaiile (2.32) sau (2.33) definite pe sunt completate cu condiia la limit c Vnf V = + dd, unde f este o funcie oarecare. Astfel de probleme, rezolvate prin procedee informatice (prin metoda numeric a diferenelor finite i cu aplicarea produsuluiprogram MATLAB v. subcap. 9.2 i 9.3), sunt prezentate n cteva aplicaii introduse la finele acestui capitol (v. 2.7.1). 2.2.4. Teorema unicitii determinrii cmpului electrostatic Din cele prezentate pn aici rezult c un cmp electrostatic poate fi produs de corpurile electrizate imobile punctiforme care au sarcinile electrice invariabile (aa cum rezult din teorema lui Coulomb), de corpurile mari imobile i electrizate care au densitatea de volum a sarcinii electrice, qv, constant n timp (aa cum rezult din teorema lui Gauss), de frontiera ce mrginete domeniul cmpului electrostatic, dac ea este imobil i potenialul ei electrostatic V sau componenta normal la ea a induciei electrice Dn (ori a intensitii cmpului electrostatic En) sunt date (aa cum rezult din ecuaiile lui Poisson i Laplace, incluse n problema mixt a lui Fourier). Aa cum se va arta mai incolo, cmpul electrostatic poate fi produs i de corpurile imobile cu polarizare electric permanent (v. cap. 3) sau de suprafeele de discontinuitate din mediile dielectrice care au o densitate de suprafa a sarcinii electrice q dat (v. subcap. 2.4). 106Teorema unicitii determinrii cmpului electrostatic stabilete condiiile (numite condiii de unicitate) n care un cmp electrostatic este determinat n mod univoc i poate fi formulat n felul urmtor: cmpul electrostatic dintr-un mediu liniar (cu permitivitatea absolut constant), aflat ntr-un domeniu mrginit de o suprafa nchis = Fr , i fr polarizaie electric permanent ( ) 0 = p P , este univoc determinat dac se cunosc: i) potenialul V sau componenta normal Dn la a induciei electrice pe frontiera (care este, de fapt, condiia la limit a problemei mixte Fourier v. 2.2.3, subpar. Ecuaiile lui Poisson i Laplace); ii) sarcina electric qcpj ale celor ncp corpuri punctiforme existente n ( j = 1, 2,, ncp ); iii) potenialul electrostatic Vck sau sarcina qck ale celor nc corpuri conductoare din (k = 1, 2, , nc ); iu) potenialul VP sau densitatea de volum a sarcinii electrice qv(P) n punctele vP n care qv(P) 0. Pentru a demonstra aceast teorem se pleac de la figura 2.5 n care au fost redate schematic cele patru condiii de unicitate ale teoremei, corpurile fiind considerate nconjurate de nite suprafee c i cp , elementar vecine suprafeei corpurilor conductoare i, respectiv, care nconjoar corpurile punctiforme. La fel ca n cazul general (v. 1.5.1), se va considera c n condiiile de unicitate identice exist, prin absurd, dou soluii diferite pentru fiecare punct P ale cmpului electrostatic 1V , 1 D i 2V , 2 D . Pentru a vedea dac ele sunt ntr-adevar diferite, se va calcula derivata, de la punct la punct, a diferenelor 1V 2V i 1 D 2 D , extins pe ntreg domeniul , cu { }cp c cpj ck vn j n k P , , 2 , 1 ; , , 2 , 1 K K = = = . Se va evalua, deci, expresia: (U1) ( ) ( ) | | ( ) ( ) v D D V V v D D V V d d 2 12 12 12 1 = . Aplicndu-se expresiei (U1) formula lui Gauss-Ostrogradski (9.20) va rezulta, n condiiile i), ii), iii) i a figurii 2.5: (U2) ( ) ( ) | | ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) , d dd d2 112 112 12 12 12 12 12 1A D D V V A D D V VA D D V V v D D V Vc cp nkck cknj + ++ = = = unde nsumarea se explic prin aplicarea teoremei superpoziiei cmpurilor electrostatice (v. 2.2.5), n condiiile n care mediul din este liniar. Fiecare termen al membrului drept din expresia (U2) se va evalua precum urmeaz: (U3) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) , 0 d d dd d d ) '2 1 2 12 12 12 12 12 12 1 = = == = A D D V V A n D A n D V VA D A D V V A D D V V in n dat fiind condiia i); Fig. 2.5 107 ( ) ( ) ( )( ) ( ) , 0d d d ) '2 112 12 112 112 12 12'1' '= ==((((((

= == =j p c j p cnjj p c j p cq qnjj p c j p cnjq q V VA D A D V V A D D V V iicpj p ccpjj p ccpjcp cpcpj43 42 1 43 42 1 (U4) n conformitate cu condiia ii); ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 d ) '2 112 112 12 1' '= = = =ck cknkck cknkck ckq q V V A D D V V iiicccc ) 5 (U ca urmare a condiiei iii). Deoarece fiecare termen din membrul drept al egalitii (U1) este egal cu zero, atunci i expresia din membrul stng (U1) este zero, adic: ( ) ( ) | | . 0 d 2 12 1 = v D D V V (U6) Pe de alt parte, membrul stng al expresiei (U1) n conformitate cu regulile de aplicare a operatorului liniar nabla ia forma: (U7) ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) ( ) v D D V V v D D V V v D D V V d d d 2 12 12 12 12 12 1 + = i deoarece: V = grad V = E , D = div D = qv i E D = (dac 0 = p P i = const. , cum s-a considerat n enunul teoremei), relaia (U7) se mai poate scrie n continuare: ( ) ( ) | | ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) == + = , d d d d d2 1 2 122 12 1 2 12 1 2 1 2 12 1v q q V V v E Ev q q V V v E E E E v D D V Vv vv v (U8) n care ultimul termen este nul n temeiul condiiei de unicitate iu) i inndu-se seama de egalitatea (U6) rezult: ( ) = . 0 d 22 1 v E E (U9) Deoarece 0 i dv este oarecare, rezult c: ( ) 2 1 2 1 2 122 1 0 0 D D E E E E E E = = = = i grad V1 = grad V2 V1 = V2 , ceea ce nseamn c presupusele soluii diferite 1V , 1 D i 2V , 2 D nu sunt posibile, existnd o singur soluie V1 = V2 = V i D D D = = 2 1 , astfel c teorema unicitii determinrii cmpului electrostatic a fost demonstrat. 2.2.5. Teorema superpoziiei cmpurilor electrostatice Aceast teorem poate fi enunat astfel: n orice mediu liniar ( = const.), unor condiii de unicitate CU, date ca reuniune a mai multor grupuri de condiii de unicitate CU1 , CU2 , , CUn adic CU = CU1 + CU2 + + CUn, le corespunde un cmp electrostatic ES egal cu suma cmpurilor electrostatice ES1 , ES2 , , ESn , determinate de fiecare grup de condiii de unicitate care ar fi acionat separat n acelai mediu. 108Aceast teorem este o consecin a faptului c n cmp electrostatic, cu mediu liniar ( const. = ), toate ecuaiile care descriu sistemul electrostatic sunt liniare (cu coeficieni constani) i ca urmare admit superpoziia, cu proprietile ei de asociativitate i distributivitate. Pentru demonstrarea acestei teoreme se va considera un sistem electrostatic (de exemplu, cel din figura 2.5) i un grup de condiii de unicitate i) iu) v. 2.2.4.: (S1) ( ) { }vk ck cpk kq V q V , , , k = 1, 2, , n , format din: potenialul pe = Fr , sarcina corpurilor punctiforme, potenialul corpurilor conductoare i respectiv densitatea de volum a sarcinii electrice pentru domeniile v care au electrizarea repartizat n interiorul domeniului. Conform teoremei unicitii determinrii cmpului electrostatic, fiecare mulime de condiii (S1) va determina acionnd singur n acelai domeniu dat un cmp electrostatic caracterizat de mulimea mrimilor de stare: (S2) ( ) ( ) ( ) { } = P n k P D P E P Vk, , , 2 , 1 , , K , domeniul fiind cel definit n paragraful precedent (v. 2.2.4). Prin urmare: ( ) { } ( ) ( ) ( ) { }( ) { } ( ) ( ) ( ) { }( ) { } ( ) ( ) ( ) { }, , , , , ,, , , , , ,, , , , , ,2 22 2 2 2 21 11 1 1 1 1P D P E P V q V q VP D P E P V q V q VP D P E P V q V q Vn nn n v n c n cp nv c cpv c cpM MK toate n acelai punct P . O reuniune a mulimilor de condiii va determina, n acelai punct P din , un cmp electrostatic ale crui mrimi de stare va fi suma valorilor din mulimea (S2): ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , ,, ,1 1 11 1 1,1)` = = = )` = = == = = == = = =nknkk knkknknknkvk q ck cnkcpk cp kP D P D P E P E P V P Vq V V q q V Vvceea ce se demonstreaz, n acest caz particular, conform demonstraiei generale referitoare la superpoziia cmpurilor electromagnetice (v. 1.5.2), tiind c operatorii (nabla) i (integral de suprafa nchis), care intervin n modelele electrostaticii sunt operatori liniari (deci asociativi), iar coeficientul este un coeficient constant n raport cu intensitatea E a cmpului electrostatic. 2.3. Cmpul electrostatic n conductori Din condiiile 1040 (v. subcap. 2.1), ce definesc n general regimul electrostatic, rezult c pentru mediile conductoare ( caracterizate de mrimea de material conductivitatea electric cu valori relativ mari, specifice conductorilor, >106 S/m) se poate scrie: - densitatea de volum a puterii disipate p [W/m3] este nul conform condiiei 30: 0 = = E J p , deoarece densitatea curentului electric de conducie J este nul (v. 2.1.1., condiia suplimentar 50). Conform legii conduciei electrice, scris sub form local (1.95), adic E J = i a structurii 109generale a intensitii cmpului electric (1.28 E), adic s i c E E E E + + = (n cazul regimului electrostatic cmpul electric solenoidal avnd intensitatea 0 = s E ), reiese: ). (.i c E E J + = Dar, n condiiile n care 0 = J i 0, rezult c, n regim electrostatic, n conductori intensitatea cmpului electric este nul, adic: , , 0ci c P E E = + (2.34) unde c este domeniul ocupat de mediul conductor. 2.3.1. Condiiile de echilibru electrostatic Se constat experimental c la atingerea strii de echilibru electrostatic, cnd 0 ) ( = P J , n Pc, intensitatea cmpului electric se anuleaz n interiorul conductorilor omogeni sau fr acceleraie i ia anumite valori independente de cmpul electric exterior n care este plasat conductorul dar determinate numai de starea fizico-chimic local i de natura materialului, n conductoarele neomogene sau accelerate. Valoarea pe care o ia intensitatea cmpului electric ntr-un punct P din interiorul unui conductor c la atingerea strii de echilibru electrostatic cnd 0 ) ( = P J constituie prin urmare o proprietate a materialului conductor n funcie i de condiiile fizico-chimice neelectrice locale: concentraie, temperatur, deformaii (tensiuni mecanice), iradieri etc. Aa cum s-a mai artat (v. 1.2.3 i 2.1.1), aceast proprietate se caracterizeaz cu ajutorul unei mrimi vectoriale de material numit intensitatea cmpului electric imprimat i notat cu i E , definit macroscopic prin relaia (2.11), adic de valoarea cu semn schimbat a intensitii cmpului electric care se stabilete n conductori la atingerea strii de echilibru electrostatic (cmp care se numete i cmp coulombian): 0 = = =Jctic electrostaechilibruui E E E . (2.34) n concluzia celor artate pn acum, n conductorii omogeni i fr acceleraie i=0, iar n conductorii neomogeni i au acceleraie i0, valoarea sa fiind determinat de natura materialului, de neomogenitatea lui fizico-chimic i de neuniformitile de acceleraie local, temperatur etc. Aici, pentru a permite o nelegere mai deplin a noiunii de cmp imprimat, ne vom abate pentru puin de la teoria macroscopic clasic pentru a prezenta un punct de vedere microscopic: n conductori exist particule libere ncrcate cu sarcin electric (electronii n metale i ionii n electrolii), notat cu qm (sarcina electric a particulelor microscopice), asupra crora se exercit o for : E q Fmel = electric, atunci cnd conductorul se afl ntr-un cmp macroscopic . n acelai timp, asupra particulelor se mai poate exercita i o for de natur neelectric ( din punctul de vedere macroscopic), neel F , datorit neomogenitilor locale (acesta fiind, de exemplu, cazul necompensrii ciocnirilor dintre particula considerat i celelalte particule) sau accelerrii corpului (fore de inerie, masice). Condiia macroscopic de echilibru electrostatic (adic atunci cnd 0 = J ) se explic macroscopic prin condiia static de lips a unei micri ordonate a particulelor, adic de anulare a valorii medii ( nsemnat cu ~ )a forei rezultate exercitate asupra unei particule: 0 q sau 0 ~ ~m~ ~ = + = + neel c neel el F E F F (2.35) i mprind cu qm: , 0 0 ~ = + = + i cmneel c E E q E E n care .~mneelDiqFE = (2.35) Ultima egalitate definete microscopic intensitatea cmpului electric imprimat, ca fiind fora neelectric medie ce se exercit asupra unei particule libere cu sarcin electric dintr-un conductor raportat la sarcina electrica qm a particulei. Prin urmare, i este o mrime ce exprim n termeni electrici aciunile neelectrice exercitate asupra particulelor elementare. (Aceast interpretare microscopic a fost preluat din cartea Timotiu,A.,Hortogon,V.,1964). 110 Meninnd, nc, interpretarea microscopic a fenomenelor electrice, procesul de conducie se explic prin faptul c ntr-un conductor o parte din particulele elementare ce sunt libere, putnd avea o micare de ansamblu ordonat relativ la restul conductorului, se deplaseaz ca efect al forelor , ~ E q Fmel = dintr-un cmp electric n care se afl conductorul determinnd starea electrocinetic a conductorului, caracterizat, global, de intensitatea curentului electric de conducie i i, local, de densitatea de curent J . Starea electrostatic este starea n care se ndeplinete condiia de anulare a micrii ordonate a particulelor i deci a forei rezultante medii exercitate asupra lor, adic se ndeplinete condiia (2.35), ceea ce nseamn i: (2.36) , 0 = + i c E E care reprezint condiia general de echilibru electrostatic, aici justificate printr-o interpretare microscopic. Relaia (2.34), care este identic cu (2.36), a fost stabilit pe baza teoriei macroscopice prin aplicarea legii condiiei electrice, n forma local (1.95), n condiiile specifice regimului electrostatic; n acest fel, condiia (2.36) este o form particular a legii conduciei electrice. n cazul conductorilor omogeni i fr neuniformiti de acceleraie, fizico-chimice etc., situaie ntlnit n numeroase aplicaii tehnice, caz n care nu exist cmp imprimat, deci , 0 = i E condiia (2.36) devine : (2.36) , 0 = i E care este condiia de echilibru electrostatic n cazul particular al conductorilor uniformi. 2.3.2 Determinarea cmpului electrostatic n conductori Dup cum se tie (v. 1.2.2), aspectul electric al cmpului electromagnetic i n particular cmpul electrostatic este caracterizat de urmtoarele mrimi de stare: (intensitatea cmpului electric, aici electrostatic), D (inducia electric), U (tensiunea electric), V (potenialul electric, aici electrostatic) i (fluxul electric). Dintre acestea, pentru un corp conductor (n conductor) prezint interes imediat: intensitatea cmpului electrostatic i potenialul electrostatic, care n regim electrostatic i ca urmare a condiiilor de echilibru electrostatic (2.36) au cteva particulariti ce vor fi evideniate n continuare. Potenialul electrostatic al conductorilor Deoarece, conform condiiilor (2.36), n orice punct dintr-un conductor omogen n regim electrostatic =c=0, rezult: (V1) , , 0 0 d:c ccB AE l E = = = unde c =Fr c este suprafaa conductorului dincolo de care este un dielectric (deci un material neconductor electric, adic un izolant). ns, conform definiiei sale, tensiunea electric dintre punctele A i B ale unui c , adic UAB este determinat de : (V2) { } cB AB AABB A V V l E U = = , d: , unde VA i VB sunt potenialele scalare din cele dou puncte. Comparnd relaiile (V1) i (V2) rezult : UAB =0 i VA =VB , (2.36) care, deoarece A i B sunt dou puncte oarecare (oricare) din interiorul lui c sau de pe suprafaa ce-l limiteaz c conduc la concluziile: 111- n regim electrostatic, orice conductor omogen are acelai potenial electrostatic n toate punctele sal; - volumul unui conductor omogen c n regim electrostatic este un volum echipotenial (electrostatic); - suprafaa unui conductor omogen c n regim electrostatic este o suprafaa echipotenial (electrostatic); - cmpul electrostatic produs de un conductor omogen electrizat n punctele de pe suprafaa sa (mai precis din punctele din mediul dielectric ce inconjur suprafaa c, infinitenzimal vecine) sunt perpendiculare pe suprafaa conductorului aflat n regim electrostatic. Acest lucru se demonstreaz prin faptul c, local (deci n fiecare punct al suprafeei conductorului c) exist relaia: (P)= grad V(P) Pc, ori prin definiie gradientul unui scalar este normal pe suprafaa echiscalar crei i aparine punctul (v. 9.1.2), prin urmare (P)= (P) n , unde n este normala la c (v. fig. 2.6 n care (P)2); - n acelai mod se explic i faptul c liniile de cmp ale unui cmp electric exterior, n care a fost plasat un corp conductor n regim electrostatic sunt perpendiculare pe suprafaa conductorului (fig. 2.7) Repartiia sarcinii electrice n cazul conductorilor aflati n regim electrostatic n regim electrostatic, sarcina electric q cu care se poate ncrca un conductor omogen izolat se repartizeaz numai pe suprafaa c care delimiteaz conductorul, cu o densitate de suprafa q= dq/dAP n Pc, n interiorul conductorului n c (v. fig. 2.7) sarcina fiind nul, adic n Pc densitatea de volum a sarcinii electrice este nul (qv =0). Acest fapt se demonstreaz prin aceea c fluxul vectorului prin orice suprafa nchis din interiorul conductorului, in c (v. fig. 2.7), este nul, deoarece n Pc =0: . n 0 0 div sau n 0 0 dc cP E E E A Ec in = = = = Ca urmare, teorema lui Gauss n formulele (2.17) i (2.17) devine: 0 / d = = inc invq A E 0 =invq , deci qv=0 peste tot n c, 0 / div = =cvq E 0 =pvq n Pc . Conform definiiei (1.5), densitatea de suprafa a sarcinii electrice de pe suprafaa unui conductor omogen, ncrcat cu sarcina electric global q, se poate determina cu relaia: Fig. 2.7 Fig. 2.6 112 (2.37) , 2 ddddc PPrqAqq = = n care d este unghiul solid elementar i r distana de la un punct de referin P0 din interiorul conductorului (P0c) la punctul P (oricare) considerat pe suprafaa c a conductorului. Rezult c, n general, repartiia sarcinii globale q pe suprafaa unui conductor omogen se face invers proporional cu ptratul razei de curbur a suprafeei. Astfel, n cazul unui conductor cu o suprafa ce are o curbur neuniform, cu r = f(P), densitatea de suprafa a sarcinii electrice este cea mai mare la vrfuri, adic n punctele de pe suprafa cu raza de curbur cea mai mic (aa numitul efect de vrf). n cazul unei sfere metalice omogene, cu raz R, densitatea de suprafa a sarcinii electrice este constant: , 4. const ) (2 cPPRqP qsfera = = iar n cazul unui elipsoid metalic omogen, cu semiaxele de revoluie a i b, densitatea de suprafa a sarcinii electrice n vrful A al elipsoidului, q(A), este mai mare dect n punctele B de pe ecuatorul elipsoidului de revoluie, q(B), relaia dintre ele fiind: q(A)/q(B) =a/b. Dac elipsoidul se lungete foarte mult, adic a>>b, q(A) devine foarte mare, intensitatea cmpului electric produs pe suprafaa conductorului electric crete (aa cum se va arta n continuare), ceea ce provoac ionizarea aerului (dac elipsoidul metalic vrful metalic este n aer), nsoit de descrcri electrice (v. Fizica). Acest fenomen are numeroase aplicaii tehnice (la protecia suporilor izolani, la paratonere/paratrsnete, eclatoare, aa-zisele descrctoare electrice .m.a). Intensitatea cmpului electrostatic pe suprafaa conductorilor Dup cum s-a mai artat (v. fig. 2.6), cmpul electrostatic al unui conductor omogen electrizat i aflat singur ntr-un dielectric (cu =const.), are intensitatea nul n interiorul conductorului (1 =0 n figura 2.6) i este normal pe suprafaa c a conductorului (2=E2 n sau 2 n = En n figura 2.6). Rmne ca n continuare s determinm valoarea En (a normalei intensitii cmpului electrostatic produs de un conductor omogen n puncte de pe suprafaa lui, aflate la limit i n dielectricul din jurul conductorului). Pentru aceasta, considerm situaia general din figura 2.8, n care s-a ales un punct oarecare P pe suprafaa conductorului i s-a nconjurat cu o suprafa cilindric format dintr-o fa A1, situat n conductor, o alt fa A2 situat n dielectric, imediat vecin suprafeei A decupat de pe c la trecerea ei din conductor n dielectric (astfel c A1= A2 =A) i cu o suprafa lateral Al perpendicular pe c. Atunci: =A1 A2 Al A1 + A2 + Al . Aceast suprafa nchide, n interiorul ei, sarcina electric q= Aq, n care q este densitatea de suprafa a sarcinii electrice a conductorului, presupus constant ( dac nu este aa, se micoreaz A pn ce q =const. pe A). n aceste condiii din figura 2.8, teorema lui Gauss (2.17) conduce la: Fig. 2.8 113 ,d2 1A qA ElA A A= + + = (TG1) sau: . d1d d d 2 2 12 1A q A E A E A EA A A Al = + + (TG2) Deoarece : 0 d11 = A EA pentru c 1=0 n PA1, 02cos d d 2 2 = = A E A El lA A pentru c cos(/2)=0 i: A E A n E A EAnA Ad d d2 2 22 2 = = pentru c , 2nE n E = atunci relaia (TG2) devine: A q A EA And1d2 = i pentru c AA2 i dA este un element de arie oarecare, rezult n final: n nE q E =1 sau ,12 n q E = (2.38) precum i: = q Dn sau , n q Dn = (2.38) adic intensitatea cmpului electrostatic pe suprafaa unui conductor omogen n regim electrostatic, precum i inducia electric pe aceeai suprafa, este normal pe conductor (nu are component tangenial), are valurea absolut egal cu q1 i respectiv q , sensul vectorilor 2 i 2 D fiind spre exterior dac q >0 (pozitiv) sau spre conductor dac q propriu ext E E i sfrete cnd se realizeaz echilibrul electrostatic ext prpriu E E = , conductorul ajungnd n regim electrostatic. Practic acest proces tranzistoriu de separare a sarcinilor electrice de semn contrar prin influena electrostatic, dureaz foarte puin (la conductoarele metalice mai puin dect 10-12 s). Despre corpul conductor electrizat superficial, prin introducerea ntr-un cmp electric exterior, se spune c este electrizat prin influen. Dac, n aceast situaie fiind, corpul este secionat n dou pri izolate una de alt, cele dou pri rmn electrizate global i dup suprimarea cmpului electric exterior, dac fiecare dintre cele dou pri avea exces de sarcin electric de un anumit semn n urma electrizrii prin influen. Cele mai spectaculoase electrizri prin influen se produc n natur, n cadrul manifestrilor electrice atmosferice (cnd norii-mai ales cei de furtun- se electrizeaz diferit, ntre ei i fa de suprafaa pmntului ajungndu-se n anumite situaii la descrcrile electrice atmosferice, prin fulgere, trsnete etc.). 2.3.4. Efectul de ecran electric Acest efect const n faptul c liniile de cmp electric din exteriorul unui conductor nu ptrund n interiorul unei caviti (un gol de conductor ) existent n interiorul conductorului (fig.2.9). Se spune c materialul conductor din jurul cavitii ( )c constituie un ecran electrostatic pentru toate puncte P din interiorul golului ( ) ( ) 0 = P E Pg. Efectul de ecran electrostatic se poate demonstra astfel: - presupunem, mai nti, c n interiorul caviti (golului g) nu exist alte corpuri cu sarcini electrice . Deci ( ) ; n 0g vP P q = - apoi presupunem c totui n interiorul golului ar exista cmp electric, ns liniile lui de cmp nu pot fi linii nchise, att n virtutea legii fluxului electric dar i al expresiei (2.22). Atunci liniile de cmp nu pot fii dect situate ntre dou punte aflate pe faa interioar a suprafeei in ce delimiteaz golul (de exemplu, n figura 2.9, punctele inB A , ); - dac se consider o curb in ntre dou astfel de puncte (v.fig.2.9), atunci tensiunea electric n lungul acestei curbe ar trebui s fie: =inl E UAB0 d ; -ns, conform concluziei (2.36), ntru-un conductor omogen n regim electrostatic, B AV V = i deci UAB=0 pentru { }inB A , deoarece in este o suprafa echipotenial . Fig. 2.9 115n consecin n regim, electrostatic, 0 = E n orice punct din interiorul conductorului c , deci i n cele din cavitate ,ding . Dac n cavitate ar exista sarcini electrice care ar putea produce -evident- un cmp electric n cavitate, atunci cmpurile electrice din domeniul exterior i interior ar fi independente unul de altul, n sensul c orice modificare a configuraiei sarcinilor dintr-un domeniu nu ar afecta cmpul electrostatic din cellalt domeniu, acesta fiind efectul de ecran. Ecranarea este eficace i atunci cnd conductorul dintre gol i exterior (deci ecranul) nu este compact (are perforaii sau este n form de plas, tres- mpletitur metalic), cu condiia ca ecranul s fie legat la pmnt . Acesta este cazul din practic (tehnic) al firelor de gard (dedeasupra liniilor de transport a energiei electrice, pentru protejarea liniei mpotriva cmpurilor electrice atmosferice ) sau a instalaiei de gard din platbandele metalice de pe zidurile laterale ale cldirilor etc., care toate- sunt conectate la o priz special de legare la pmnt (v.sub.cap.4.6 , aplicaia Prize pmnt). 2.4. Cmpul electrostatic n dielectrici n cadrul acestui subcapitol vor fi prezentate cteva din aspectele specifice cmpului electrostatic din medii dielectrice, considerndu-se aici numai cazul dielectricilor liniari (cu =const.), omogeni, izotropi i fr polarizaie electric permanent (o situaie, de altfel, frecvent n aplicaiile din tehnic). Regimul fiind electrostatic, deci cu ( ) . const = t E nu va prezenta interes n aceast situaie nici polarizaia electric temporar. Starea de polarizare electric, specific dielectricilor, va fi analizat n urmtorul capitol (v.cap.3). 2.4.1. Determinarea cmpului electrostatic n dielectrici Mrimile de stare specifice cmpului electrostatic sunt: vectorii E (intensitatea cmpului electric, care este un cmp coulombian), D (inducia electric), U (tensiunea electric), V (potenialul electrostatic) i (fluxul electric). n condiiile de mediu precizate la nceputul subcapitolului, cmpul electrostatic din dielectricii liniari, uniformi i cu 0 = p P , va fi complet determinat dac se va stabili numai una din mrimile de stare specificate, de exemplu vectorul ) (P E sau scalarul V(P) n orice punct al domeniului de existen al cmpului electrostatic, ntre care exist relaia . gradV ED = Celelalte mrimi de stare, dac sunt necesare ntr-o aplicaie practic a electrostaticii, se pot determina cu relaiile cunoscute : = = = . d i , A D V V U E DB A AB Pentru a indica felul n care se calculeaz mrimile E i V, se va considera un cmp electrostatic existent ntr-un domeniu , eventual extins la infinit (caz ideal, n care mediul dielectric ar trebui s fie acelai pn la infinit, cmp produs conform teoremei de unicitate (din 2.2.4) de n corpuri punctiforme cu sarcinile electrice qk (k=1,2,,n), de corpuri v electrizate cu sarcini electrice avnd densitatea de volum ( )v vq pe i de corpuri c , cu , Frc c = electrizate superficial cu densitatea de suprafa ( )cq pe . Mediul dintre aceste corpuri, lipsit de polarizaie permanent, are aceeai permitivitate absolut peste tot n ( ) , const ( = P n P } { ) ... unde2 1 c v nP P P = . 116Se pune problema determinrii cmpului electrostatic ntr-un punct P, oricare din domeniu , care este indicat schematic n figura 2.10. Calculul intensitii cmpului electrostatic n dielectrici n acest scop vom utiliza teorema lui Coulomb sub forma (2.19), valabil ns numai pentru corpurile electrizate punctiforme, deci numai pentru cele n corpuri cu sarcinile . ,..., ,2 1 nq q q Pentru corpurile mari, ca s se poat aplica relaia (2.19), se va proceda n virtutea teoremei superpoziiei (din 2.2.5) la divizarea sau mrunirea lor n elemente de volum (pentru corpurile v ) care vor fi ncrcate cu sarcina electric v q qvd d = sau n elemente de arie (pentru corpurile c ) care vor fii ncrcate cu sarcina electric A q q d d = . n acest fel, toate aceste elemente pot fi considerate punctiforme n raport cu punctul P n care se face calculul intensiti cmpului electric ( ) P E , astfel c prin aplicarea teoremei superpoziiei cmpurilor electrostatice (posibil aici deoarece am considerat mediul dielectric ca fiind liniar) vectorul ( ) P E va fi suma vectorial a vectorilor ( ) n E E P E ,..., , 21 produse n P de corpurile electrizate punctiforme i a vectorilor elementari ( ) P E d produse n punctul P de corpurile elementare (deci punctiforme) cu sarcinile electrice elementare dq, toi aceti vectori putnd fii calculai cu formula lui Coulomb (2.19). Astfel : - pentru corpurile electrizate punctiforme : (E1) ( ) ; ..., 2 , 1 , 43n krr qE P Ekk kkk = = = - pentru fiecare element de volum dv, din corpurile v , cu densitatea de volum qv a sarcini electrice, care este ncrcat cu sarcina electric elementar : d d v q qv= (E2) ( ) ; 4dd d3dvdv vv vrr v qE P E = = -pentru fiecare element de suprafa dA, de pe suprafaa c (a corpului c electrizat numai superficial) cu densitatea de suprafa q a sarcinii electrice, care este ncrcat cu sarcina electric elementar : d d A q q = (E3) ( ) . 4dd d3dAdAA Arr A qE P E = = Atunci, intensitatea cmpului electrostatic n orice punct P din domeniul considerat (fig2.10) se determin cu ajutorul relaiilor (E1), (E2) i (E3) prin nsumare vectorial extins la toate corpurile electrizate din , conform teoremei superpoziiei cmpurilor electrostatice (v.2.2.5). Va rezulta n final: ( ) ,d d 411 13 313 ||.|

\| + + = = = = =vvkccknknkdAdAkdvdvvkknkkkrrA qrrv qrqE P Er (2.39) Fig. 2.10 117n care nv este numrul corpurilor din care au densitatea de volum a sarcinii electrice qvk, k=1,2, , nv (fiind posibil ca qvk s fie o funcie de punct sau de vkv d ) i nc este numrul corpurilor conductoare electrizate din , care au densitatea de suprafa a sarcinii electrice kq, k=1,2, , nc, (fiind posibil ca n funcie de raza de curbur a suprafeelor k ckq s fie o funcie de punct sau de ckA d ). Calculul potenialului electrostatic n dielectrici n cazul avut n vedere aici (redat schematic n figura 2.10) potenialul electric se poate determina pe dou ci: - n condiiile n care domeniul (fig. 2.10) este extins teoretic la infinit, iar corpurile electrizate au un domeniu finit i determinat, caz n care punctul de referin P0, pentru valoarea de referin a potenialului electrostatic scalar, poate fi ales la infinit, astfel c , 000 = = = V V VP P se poate folosi pentru calculul potenialului electrostatic n P formula (2.20), valabil pentru corpurile punctiforme, precum i pentru elementele de volum i de arie ce compun un corp finit, dac sunt electrizate. Aplicndu-se acelai procedeu ca i n subparagraful precedent, bazat pe teorema superpoziiei cmpurilor electrostatice (n acest caz o nsumare de valori scalare), se obine: ( ) ; 0 cu d d 4101 1 1 =||.|

\|+ + = = = = =VrA qrv qrqV P VvvkccknknkdAkdvvknkkkP (2.40) - n condiiile n care ntr-un domeniu oarecare s-a putut calcula intensitatea cmpului electrostatic n ) ( P P E , potenialul electrostatic V(P) ntr-un punct P din , n raport cu potenialul unui punct P0 luat ca referin 00( V VP = ), se determin cu ajutorul definiiei (1.38): ( ) ( ) :0grad sau d0 = = = P V P E l E V V P VPP PP, (2.40) n care este orice curb deschis din , avnd extremitile n punctele P i P0. Formulele (2.39) i (2.40) se pot utiliza numai dac se cunoate repartiia complet q(P) n P , a sarcinilor electrice n sistemul dat. Dup cum se va arta n paragraful 2.7.2, mrimile de stare ale cmpului electrostatic se pot calcula cu o relativ uurin dac se cunoate exact geometria corpului electrizat i repartiia sarcinii electrice n punctele corpului, prin aplicarea produsului informatic de tipul program utilizator MATLAB (v. 9.3.1). n cazul unor corpuri cu geometrie regulat (sfer, disc etc.), calculul cu ajutorul expresiilor (2.39) i (2.40) se poate face i analitic direct, fr a mai fi necesar utilizarea tehnicii de calcul automat. n majoritatea aplicaiilor din tehnic se d numai o parte din repartiia local a sarcinii electrice ( ) | |3C/mvq P q = , la care se mai adaug valorile potenialului electrostatic n anumite puncte sau/i pe anumite corpuri (considerate condiii la limit). n astfel de situaii se folosesc, combinat, expresiile (2.39) i (2.40) la care se mai adaug conform cazului dat spre analiz i: - teorema lui Gauss (2.17): ;1divvq E = - ecuaia lui Poisson (2.32): ,1vq V = la care se ataeaz i condiiile la limit prin care se formeaz probleme cu derivate pariale de ordinul doi cu condiii pe frontier de tip Dirichlet, Neuman sau Fourier/mixt (v. subparagraful Ecuaiile lui Poisson i Laplace), aa cum se arat n aplicaiile din paragraful 2.7.1 (unde problemele s-au rezolvat prin metoda numeric a diferenelor finite i aplicarea produsului MATLAB). 1182.4.2. Cmpul electrostatic pe suprafee de separaie n dielectrici n cazul n care n domeniul exist o suprafa de separaie d, care mparte domeniul n dou, cu medii dielectrice diferite (caracterizate de permitivitile absolute 2 1 ), ns liniare ( . const i . const 2 1 = = ), omogene, izotrope i ambele lipsite de polarizaie electric permanent ( ) 02 1 = =p pP P cmpul electrostatic din se refract n toate punctele dP (fig. 2.11 o seciune prin sistemul de doi dielectrici n care s-a considerat c suprafaa de separaie d nu are sarcini electrice, adic | |dP q =n 0 C/m2), ceea ce este o consecin direct a ecuaiilor electrostaticii (2.12), adic vq D = . div , i (2.14), adic 0 rot = c E . Teorema refraciei liniilor de cmp electrostatic Pentru acest caz (redat n figura 2.11) se poate enuna urmtoarea teorem: n orice punct P al unei suprafee de separaie d , fr sarcin electric ( 0 =q ), dintre dou medii dielectrice diferite, omogene, izotrope, liniare i fr polarizaie electric permanent, liniile de cmp electrostatic se referact fa de normala local n la suprafaa de separaie, cu unghiurile 2 1 astfel c raportul tangentelor trigonometrice ale acestor unghiuri este egal cu raportul permitivitailor absolute 2 1 i , adic: (2.41) 2121tgtg = , care poart numele de teorema refraciei liniilor de cmp electrostatic. Aceast teorem se poate demonstra artndu-se c n cazul suprafeei de separaie d din fig. 2.11, la trecerea dintr-un mediu dielectric n altul: - componentele tangeniale la d ale intensitii cmpului electrostatic se conserv, adic: 2 1 t tE E = ; - componentele normale la d ale vectorului induciei electrice se conserv, dac n . adic , 02 1 n n dD D q P = = Conservarea componentelor tangeniale ale cmpului electrostatic Se consider figura 2.12 n care , n jurul unui punct P de pe d , oricare, se ia un contur nchis n forma unei elipse foarte mici, avnd axa l pe d i axa o normal pe d n P, care respect condiia c ; a l >> cele dou semielipse sunt situate una (1) n mediul dielectric cu 1 (lipit, la limit pe d ) i cealalt (2 ) n mediul 2 (lipit de limit, pe d ), aa ca n fig. 2.12, unde este reprezentat sistemul de doi dielectrici diferii n seciune transversal pe d . Fig. 2.11 119Pe acest mic contur, 2 1 + = , relaia (2.14) devine: 0 d d d d d2 1 2 1 2 12 2 1 1 2 2 1 1 = + = + = + = l t E l t E l E l E l E i pentru c (deci i 2 1 i ) sunt oarecare, iar dl este un element oareecare de curb, rezult: 02 2 1 1 = + t E t E . (T1) Deoarece elementele de curb orientate, , d d i d d2 2 1 1l t l l t l = = au acelai sens de referin de-a lungul lui , rezult: ,2 1t t t = = astfel c relaia (T1) devine: . sau 02 1 2 1t E t E t E t E = = (T2) ns, 1 1 tE t E = (deci componenta tangenial a cmpului electrostatic 1E la 1 prin urmare i la d ), iar 2 2 tE t E = (deci componenta tangenial la d a vectorului 2E ). Cu aceasta egalitatea (T2) devine: ,2 1 t tE E = (2.42) ceea ce exprim c, n regim electrostatic, componentele tangeniale ale intensitii cmpului electrostatic se conserv pe suprafee neelectrizate dintre dou medii dielectrice diferite, uniforme i liniare. Conservarea componentelor normale ale induciei electrice Se consider figura 2.13 (o seciune prin cei doi dielectrici, normal pe d ) n care, n jurul unui punct P de pe d , oricare, se ia o suprafa nchis n forma unui cilindru foarte mic, cu suprafaa lateral lA perpendicular pe d i cu cele dou fee frontale 1A i 2A paralele cu d , pe care decupeaz o suprafa dA , astfel c A A A = = 2 1, paralele i infinitezimal vecine (deoarece nlimea dl a cilindrului este elementar de mic, adic A l , n codiii concrete date atunci prin materialul dielectric (izolant) se produce o descrcare electric prin creterea deosebit i brusc a conductivitii electrice de-a lungul canalului de descrcare. Strpungerea dielectricilor (sinonim cu strpungerea izolanilor) este un regim neelectrostatic, mai exact un regim electrocinetic distructiv de scurt durat. La izolanii solizi, apariia strpungerii este urmat de o distrugere local a lor. La aceti izolani strpungerea, care este ireversibil, poate fi complet sau incomplet. Strpungerea incomplet a unor materiale, aa cum este spre exemplu sticla, nu influeneaz prea mult proprietile lor izolante; strpungerea incomplet a altor materiale ca, de exemplu, mica reduce mult aceste proprieti. La izolanii gazoi i lichizi, strpungerea este complet ns nu ireversibil (ea se produce n tot intervalul dintre armturi/electrozi, ns dielctricul se reface dup stingerea descrcrii). Din punctul de vedere al teoriei microscopice, pierderea proprietilor de izolant ale unui material dielectric este legat de creterea deosebit a numrului purttorilor elementari de sarcin electric, cea ce conduce la creterea corspunztoare a conductivitii. n funcie de fenomenele care conduc la apariia purttorilor de sarcin electric, exist dou strpungeri tipice: - strpungerea termic care este determinat, n principal, de transformarea energiei electromagnetice din cmp n cldur prin efect Joule (cantitatea de cldur cedat dielectricului crete cu mrirea conductivitii materialului i a inensitii cmpului electric, deoarece E J = , iar cantiatea de cldur cedat mediului nconjurtor depinde de diferena dintre temperatura acestuia i a dielectricului). Atunci cnd cldura cedat dielectricului este mai mare dect aceea cedat mediului, temperatura de-a lungul canalului de conducie crete i cnd depete valoarea temperaturii de stare stabil a materialui se produce strpungerea lui termic. Tensiunea de strpungere termic a unui dieletric depinde de temperatura mediului ambiant; 122- strpungerea electric care este determinat de creterea conuctivitii prin formarea purttorilor de sarcin sub aciunea cmpului electric (particulele, microscopice, cu sarcina electric mq , sunt supuse unor fore electrice E q Fmm = , care cresc odat cu E , putnd nvinge la un moment dat forele de legtur din interiorul materialului). n cazul izolanilor solizi, strpungerea electric nu depinde, practic,de temperatura mediului ambiant; la lichide, strpungerea electric depinde de temperatura mediului n funcie de natura i de gradul de impuritate ale izolantului, iar la gaze, dependena strpungerii electrice de temperatur nu este semnificativ. Rigiditatea dielectric a gazelor La gaze, rdE crete cu presiunea gazului, cu excepia presiunilor foarte joase (aa-zisul vid naintat). strU depinde de distana dintre electrozi i de curbura acestora (de care depinde densitatea de suprafa a sarcinilor electrice q i prin ea intensitatea cmpului electrostatic pe suprafaa electrodului = q E1). Pentru distane ntre electrozi care depesc o anumit limit (n aer, mai mare dect 1cm), rigiditatea dielectric devine independent de distana dintre electrozi. Rigiditatea dieletic a gazelor depinde ntr-un mod nsemnat de neuniformitatea cmpului electrostatic: n cmpuri uniforme i pentru distane mici ntre electrozi (armturi), rdE are valori mult mai mari dect n cazul distanelor mari, cnd obinerea unui cmp electrostatic uniform practic nu este posibil, ceea ce este utilizat n tehnic la construcia condensatoarelor (v. subcap. 2.5). n cazul distanelor foarte mici ntre electrozi (de orinul liberului parcurs mediu) rigiditatea dielectric a gazului izolant crete foarte mult, deoarece este ngreunat producerea ionilor prin oc. Rigiditatea dielectric a aerului uscat este de aproximativ 610 3 V/m (adic 30 kV/cm). Rigiditatea dielectric a lichidelor La lichide rdE depinde n mare msur de puriatea lichidului dielectric, fiind -practic- independent de distana dintre electrozi (armturi) i de temperatura lichidului (dac el este foarte pur). Rigiditatea dielectric a lichidelor se micoreaz sensibil n prezena unor impuriti conductoare, dar i a unor impuriti cu permitivitate absolut mult mai mare dect cea a dielectricului lichid, mai ales atunci cnd impuritile se pot deplasa n lichid sub aciunea cmpului electric. Astfel, n uleiul de transformator (unul dintre izolanii lichizi foarte mult utilizat n electrotehnic) urmele de umiditate, scamele de bumbac (provenite de la izolaia bobinelor aflate n ulei), particulele mici de crbune (provenite din praful carbonizat sau cocsat) etc. se orienteaz, sub aciunea forelor de natur electric, dup liniile de cmp electrostatic, formnd filamente aproape nentrerupte ntre electrozii (conductoarele) izolate prin ulei, mrind pericolul de strpungere. n plus, prezena umiditii face ca rigiditatea dielectric a oricrui lichid izolant s scad cu temperatura. La uleiul de transformator rigiditatea dielectric scade practic hiperbolic n funcie de umiditate (astfel la o umiditate de 0,07%, kV/cm 160 =rdE , la 0,02% kV/cm 80 = rdE , iar la 0,05% scade la kV/cm 40 =rdE ). Prin purificare, prin decantatre i prin uscare (realizat prin centrifugare), uleiul de transformator utilizat n industria electrotehnic are o rigiditate dielectric, la o presiune egal cu cea atmosferic, de 100kV/cm. n general, la lichidele dielectrice rdE crete aproape direct proporional cu presiunea lichidului. 123 Rigiditatea dielectric a solidelor La izolanii solizi, rdE depinde de temperatur, de viteza de cretere a tensiunii aplicate pe armturi (electrozi), de neuniformitatea cmpului electrostatic, de forma electrozilor, de capacitatea de cedare a cldurii, de durata de aplicare a tensiunii pe electrozi etc. n aceste condiii, rigiditatea dielectric dei este -n principiu- o mrime de material, ea nu este totui o constant de material (chiar n condiii de omogenitate a materialului i de mediu bine precizate). ntre electrozi plani, tensiunea de strpungere, strU , nu crete, ca la lichide i gaze, proporional cu distana dintre electrozi, ci mult mai lent. n regim nestaionar alternativ, rigiditatea dielectric a izolanilor solizi scade odat cu creterea frecvenei (mai ales dac au pierderi prin efect Joule). Rigiditatea dielectric, rdE , depinde pentru cei mai muli dielectrici solizi omogeni i izotropi aproximativ exponenial de temperatura izolantului, adic: ) / exp( T b A Erd = , n care T este temperatura absolut, iar A i b sunt constante de material. Sticla (numai la temperaturi joase) i materialele poroase (din cauza higroscopicitii lor), nu respect formula precedent. La majoritatea dielectricilor minerali cristalini, care prezint neomogeniti fizice structurale, rigiditatea dielectric nu depinde de grosimea izolantului i nici de emperatur. La astfel de materiale, neomogenitatea fizic este datorat dislocrii unora dintre ionii din reeaua cristalin (deci din poziia lor normal), printr-o agitaie termic intens, sau este datorat neomogenitii structurii sau orientrii cristalelor componente, ori unor neomogeniti de suprafa (fisuri ultramicroscopice). Aceste dislocri de ioni cresc pe msur ce intensitatea cmpului electric aplicat crete i, pentru o anumit valoare a cmpului, se declaneaz ionizarea prin ciocnire i, astfel, strpungerea izolantului. Dei, pe baz de consideraii teoretice microscopice i statistice, strpungerea dielectricilor solizi perfect omogeni i izotropi ar trebui s se produc pentru intensiti ale cmpului electrostatic aplicat mai mari dect 150MV/cm, totui toi dilectricii cunoscui sunt strpuni la valori ale cmpului mai mici dect 1MV/cm. Mai mult, pentru siguran, rigiditile dielectrice declarate de constructorii de materiale izolante sunt mult mai mici, ca de exemplu: 600kV/cm pntru mic, 350kV/cm pentru micanit, 250 kV/cm pentru porelan, 10 la 100kV/cm pentru diversele sortimente de carton izolant (prepan). Aceast diferen provine din existena unor puncte slabe n masa dielectricului, care cedeaz sub aciunea cmpului electric aplicat (adesea neuniform i el), producndu-se o separare de sarcini electrice elementare. Separarea acestora accentueaz neuniformitatea cmpului care duce la apariia a noi puncte slabe i astfel -n lan- procesul se dezvolt pn la strpungerea complet a dielectricului. 2.5. Condensatoare electrice Un sistem fizic format din dou corpuri conductoare separate printr-un dielectric poart numele generic de condensator electric. Conductoarele poart denumirea de armturile condensatorului, iar dielectricul se mai numete i izolant. Dac unui astfel de sistem, i se aplic ntre armturi (care se pot nota cu 1 i 2) o diferen de poenial 12 2 1U V V = se va constata c armturile condensatorului se vor ncrca cu sarcini elctrice de semn contrar: 1q i 2q . Este valabil i reciproca, dac armturile elctrice vor fi ncrcate cu sarcini electrice de semne contrare, 1q i 2q , atunci -n concordan cu legile 124electrostaticii ( v. 2.1.2) i cu teorema unicitii- armturile se vor situa (echipotenial, pentru c sunt conductoare) la poteniale diferite 1V i 2V , la tensiunea 2 1 12V V U U = = iar n dielectric,n regim electrostatic, se va produce un cmp electric caracterizat de mrimile: E (dat de =2 1 :12dl E U ), D (dat de p P E D + = , unde este permitivitatea local a dielectricului i p P polarizaia electric permanent local a dielectricului, dac exist) i de fluxul electric = A D d , calculat prin orice suprafa considerat n domeniul ocupat de sistemul denumit condensator electric. n condiii cu totul particulare (care, ns, sunt realizate cu o bun aproximaie n electrotehnic) i anume: k) armturi metalice cu mare i uniforme (omogene i izotrope); kk) dielectric omogen, izotrop, liniar, fr densitate de volum a sarcinii electrice i fr polarizaie electric permanent ( 0 , 0 = = pvP q i =const. n toate punctele din dielectric); kkk) n cazul ncrcri armturilor cu sarcini electrice de semn contrar, toate liniile de cmp care pornesc de pe armturi cu sarcin electric pozitiv se regsesc (n ntregime) pe cealalt armtur (cu sarcin electric negativ); kv) sistemul armturi, dielectric, cmp electric este n regim electrostatic, exist urmtoarele relaii: (2.45) q q q q = =2 1 , i 02 1 = + q q ; (2.46) = = = = = KUKqUqUqUqV Vq2121212 11const., R K Relaiile (2.45) se pot demonstra printr-o suprafa nchis care trece prin interiorul ambelor armturi, iar n exteriorul lor se nchide extinzndu-se att de mult (teoretic i la infinit) nct s nu intersecteze liniile de cmp electric, care trebuie s rmn n interiorul suprafeei nchise , aa ca n figura 2.14. (dac dielectricul condensatorului are o permitivitate absolut mult mai mare dect a mediului exterior, de exemplu aerul, atunci extinderea suprafeii nu este necesar s fac prea departe n exteriorul armturilor). Fluxul dielectric prin suprafaa nchis este nul, adic: (C1) + = = + + = ext extA D A D A D A D ext2 1 1 20 d d d d 2 1 , deoarece 0 1 = D i 0 2 = D (pentru c n interiorul conductelor n regim electrostatic cmpul elctric este nul ( 0 = E i 0 = D ), precum i 0 = ext D , deoarece extt nu intersecteaz liniile de cmp. Pe de alt parte, conform legii fluxului electric (1.65): (C2) + = = 2 1d q q q A D astfel nct, comparnd relaiile (C1) i (C2), rezult 02 1 = + q q sau 2 1q q = sau q q qq = =2, adic egalitile (2.45), care poart denumirea de teorema ariilor corespondente , sarcinile 1q i 2q fiind repartizate pe feele dinspre dielectric ale armturilor. 2.5.1.Capacitatea electrostatic Fig. 2.14 125Deoarece raportul (2.46), dintre sarcina electric de pe o armtur q i tensiunea la bornele condensatorului U, n condiiile k)...kv), este astfel un parametru specific condensatorului, el se noteaz cu C i poart denumirea de capacitatea electrostatic a condesaorului: 1 2V VqUqCD= = (2.47) i dimensional : | | | | | |1 = u q C . (2.47) n sistemul internaional (SI), unitatea de msur pentru capacitatea electrostatic este faradul, cu pluralul farazi i cu simbolul F. Unitatea fiind prea mare, n practic se utilizeaz frecvent (i dup caz) submultiplii SI: microfaradul 1 F= F 106 i picofaradul, cu 1pF= F 1012 . Mai trziu (v. subcap.8.1) se va arta c se mai utilizeaz i noiunile de capacitate : static, dinamic i diferenial. Pe schemele electrice, condensatoarele se reprezint prin simbolul grafic general artat n figura 2.15. Uneori se folosete i parametrul notat cu S i definit prin: CSD1= , (2.47) numit elastan, cu unitatea de msur SI unu pe farat | |1F. Teorema capacitii electrostatice Se exprim prin relaia, deja prezentat (2.46) i se enun astfel: valoarea capacitii electrice a unui condensator cu dielectric liniar (adic cu permitivitate absolut constant, independent de intensitatea cmpului electric din izolant) este pozitiv i nu depinde de valoarea sarcinii electrice q i nici de diferena de potenial U, ale armturilor, fiind o caracteristic a condensatorului (un parametru de material). Aceast teorem se exprim analitic prin relaia (2.46), care rezult din definiia capacitii electrostatice (2.47) i teorema superpoziiei cmpurilor electrostatice, care poate fi aplicat deoarece dielectricul condensatorului s-a considerat liniar (acesta fiind i condiia de valabilitate a teoremei). ntr-adevr, pentru o sarcin electric q pe o armtur (care se distribuie pe faa dinspre dielectric a armturii, cu densitatea de suprafa q) i o tensiune electric U ntre armturi se poate scrie: l nql E U A q qAdd i d2 1 2 1 = = = (C3) unde A este aria feii interioare (dinspre dielectric) a armturii, iar n este versorul normalei locale pe faa armturii, cu sensul de la armtura 1 la 2. n relaia anterioar (C3), s-a fcut nlocuirea , / n q E = conform expresiei (2.38) pe care o are intensitatea cmpului electrostatic pe suprafaa unui conductor ncrcat electric, considerndu-se n plus i faptul c acest cmp este constant pe drumul 12 dintre cele dou armturi. Cu aceste expresii (C3) ale lui q i U, capacitatea electrostatic a condensatorului devine: (C4) .dd2 1 = =l nqA qUqCA Dac sarcina electric a armturii devine Kq, cu repartiia superficial Kq i n virtutea teoremelor de unicitate i superpoziie a cmpurilor electrostatice tensiunea electric dintre armturi ia valoarea: Fig. 2.15 126 , d2 1l nKqKU = atunci expresia condensatorului este: (C5) Cl nKqA KqKUKqCADK = = = 2 1dd. Prin urmare, n condiiile specificate anterior, capacitatea electrostatic a condensatorului este aceeai (C=CK= const. , independent de q i U). Se va spune c o astfel de capacitate este liniar, adic C(q,U)=const., dependena q=f(U) fiind dat de o ecuaie liniar q=CU, reprezentat n planul q,U printr-o dreapt cu panta C (fig. 2.16). n condiiile k)kv), precizate la nceputul acestui capitol, la care se mai poate aduga q=const. pe A, adic repartiia superficial a sarcinii electrice s fie aceeai n toate punctele suprafeii A a armturii (caz ntlnit cu o foarte bun aproximaie n numeroase situaii din electrotehnic), relaia (C5) devine: (C6) = ===2 1 :2 1 2 1dddddnA ADlAl nqA ql nqA qUqC , expresie care arat c n cazul unui condensator linier, adic la care C(q,U)=const. i cu un cmp electric uniform n dielectricul dintre armturi, capacitatea electrostatic a condensatorului depinde numai de poziia relativ a armturilor (fapt artat de termenul 2 1dl ), de dimensiunile lor (lucru indicat de aria unei armturi A) i de natura dielectricului, prin permitivitatea lui absolut cu care este direct proporional. Expresia (C6) a capacitii electrostatice a unui condensator electric capt forme analitice diferite n funcie i de forma armturilor (plane, cilindrice, coaxiale, cilindrice, paralele, sferice, sfer-plan etc.). Calculul capacitii electrostatice Pentru un condensator electric dat (ca form, dimensiuni, dielectric etc.), capacitatea sa electrostatic se determin ntotdeauna cu expresia ei de definiie (2.47) n modul urmtor: - se presupune condensatorul ncrcat cu sarcinile q i q; - se determin intensitatea cmpului electrostatic n dielectricul dintre armturi sau a poten-ialelor electrostatice ale celor dou armturi; - se calculeaz tensiunea electric dintre armturi U12 , fie cu relaia =2 1 :12dl E U (de obicei pe drumul de-a lungul unei linii de cmp) sau cu U12 =V1-V2; - se aplic relaia (2.47) pentru determinarea capacitii electrostatice C. Fig. 2.16 127n acest sens, n paragraful 2.7.3 sunt prezentate cteva aplicaii privind calculul capacitii electrostatice a unor condensatoare tipice. Aici ne vom limita spre exemplificare la calculul capacitii electrostatice a unui condensator plan ideal. Condensatorul plan ideal (fig. 2.17a) este format din dou armturi plane paralele, cu suprafee identice (A1=A2=A), situate la distana d, ntre care se afl un dielectric omogen, izotrop, liniar, fr sarcini electrice (qv=0) i fr polarizaie electric permanent ( 0 = p P ), cu permitivitatea absolut . Se mai consider c ntre armturi, n delectric, exist un cmp electrostatic uniform, cu intensitetea =const. n orice punct din dielectric, deci i n punctele de pe suprafaa interioar a armturii 1, unde este dat de relaia (2.38), fiind deci n q E =1 , unde n este versorul normalei pe faa A1 a armturii 1. cu sensul spre armtura 2. Ctre o astfel de situaie ideal (cmp electrostatic uniform, aflat numai n dielectricul dintre armturi v. fig. 2.17a) se tinde, fiind chiar admis cu o bun aproximaie dac distana d dintre armturi este foarte mic, mai bine spus A d > transfigurarea invers (poligon ! stea) nu este posibil. n cazul lui n=3 laturi (fig. 2.22), caz frecvent ntlnit n aplicaiile practice, se vorbete despre transfigurarea stea triunghi, care este posibil n ambele sensuri. 132Pentru transfigurarea stea triunghi, sistemul (2.52) d urmtoarele valori ale capacitilor echivalente din laturile conexiunii triunghi n funcie de capacitile C1, C2, C3 ale ramificaiilor cu nodul comun 0 (v. fig. 2.22): 1 2121 2 3,C CCC C C=+ + (2.53) 2 3231 2 3C CCC C C=+ + i 3 1311 2 3.C CCC C C=+ + Pentru transfigurarea triunghi stea, atunci cnd se dau capacitile electrostatice C12, C23 i C31, ale celor trei condensatoare conectate n triunghi i trebuie calculate capacitile electrostatice echivalente ale unei conexiuni n stea de condensatoare electrice, se utilizeaz sistemul (2.53) de trei ecuaii n care C1, C2 i C3, sunt necunoscutele. Va rezulta imediat: (2.53 ) 12 311 12 3123,C CC C CC= + + 23 122 23 1231C CC C CC= + + i 31 233 31 2312.C CC C CC= + + Dac condensatoarele electrice ar fi identice i ar avea capacitile electrostatice C (n cazul conexiunii triunghi) i C (n cazul conexiunii stea), relaiile dintre aceste capaciti, aa cum rezult din (2.53) sau (2.53 ) , sunt: (2.53 ) 13C C = i 3 , C C = care arat c dac conectm nite condensatoare electrice n stea, se obine pe fiecare latur o capacitate electrostatic de trei ori mai mare, ceea ce este utilizat la numite puni de msurare. 2.5.3. Ecuaiile lui Maxwell referitoare la capacitile electrostatice Dac ntr-un mediu dielectric exist mai multe corpuri conductoare i la un moment dat, printr-o cauz oarecare unul dintre conductoare (k) se ncarc cu o sarcin electric qk, el va ajunge ca n regim electrostatic s aib un potenial electrostatic Vk, acelai n toate punctele sale (se tie v 2.3.2 c n regim electrostatic volumul i suprafaa unui conductor electric sunt echipoteniale). Datorit proximitii i capacitilor electrice care exist ntre conductori, precum i fenomenului de influen electrostatic, atunci i celelalte corpuri conductoare (iniial nencrcate electric) se vor ncrca cu sarcini electrice: 1 2 1 1, ,..., , ,...k k nq q q q q + i vor ajunge la potenialele electrostatice 1 2 1 1, ,..., , ,...,k k nV V V V V + (dac sunt n corpuri conductoare). Spre exemplu, n cazul a numai dou corpuri conductoare (n=2) separate printr.un dielectric, care formeaz un condensator electric cu capacitatea electrostatic C, cnd una dintre armturi se va ncrca cu o sarcin electric q1 i va avea un potenial electrostatic V1, cealalt armtur se va ncrca cu o sarcin electric q2 i va avea potenial electrostatic V2 relaiile dintre aceste mrimi putnd fi determinate cu ajutorul expresiei (2.46) sau (2.47) de definiie a capacitii electrostatice C. Astfel, se va putea scrie: 11 2qCV V= sau 22 1;qCV V= 1 1 2 1 2( ) q C V V CV CV = = i 2 2 1 2 1( ) ; q C V V CV CV = = Fig. 2.22 133 2 2 21 2CV q qV VC C= = i 1 1 12 1.CV q qV VC C= = Maxwell a extins aceste formule la un sistem electrostatic liniar format din n conductoare omogene, izolate printr-un dielectric omogen, izotrop, liniar (=const.), fr polarizaie electric permanent ( 0)pP = i nencrcat cu sarcini electrice ( 0mC3 =((

vq ) ca cel oarecare din figura 2.23 (n care doi conductori, cureni, au fost notai literele de indice curent, k i j). Ecuaiile de potenial electrostatic Se definesc, mai nti, aa-numiii coeficieni de potenial jk prin: 0, , 1, 2,..., ,Djkjk jkVq j k nq = = =, j k (M1) unde qk este sarcina electric cu care este ncrcat corpul k i Vjk reprezint potenialul electrostatic la care ajunge corpul j datorit influenei corpului k. Pentru corpul luat ca referin, k, coeficientul kk , numit coeficient de potenial propriu, este: 0, 1, 2,...,kkk jkVq j nq = = =, k-1, k+1,...,n (M2) Datorit reciprocitii (considerndu-se, pe rnd 0 kq i apoi 0 jq ) reiese: . cu 1,2,..., , k j n j,kkj jk = = (M3) Pentru c mediul este liniar, se poate aplica teorema superpoziiei cmpurilor electrostatice astfel c potenialul electrostatic Vj, al unui corp j = 1,2,...,n, este egal cu suma potenialelor Vjk k=1,2,,n produse pe corpul j=1,2,,n de fiecare din celelalte corpuri (dar i inclusiv j) cu sarcini electrice existente separat: 1nj jkkV V==, 1, 2,..., . j n = (M4) ns, potrivit definiiei (M1), jk jk kV q = astfel c relaia (M4) devine: 1nj jk kkV q ==, 1, 2,..., . j n = (2.54) care reprezint urmtorul sistem de ecuaii algebrice liniare: + + + + = + + + + = + + + + =n nn n n nn nn nq q q Vq q q Vq q q V.........2 2 1 12 2 22 1 21 21 2 12 1 11 1M (2.54 ) sau matriceal: (2.54 ) V=q , Fig. 2.23 134unde V este matricea coloan a potenialelor electrostatice ale celor n corpuri conductoare: 12,nVVV qV ( ( (= ( ( ( M este matricea sarcinilor electrice ale conductorilor: 12,nqqqq ( ( (= ( ( ( M iar este matricea: (M5) (((((

=nn n nnn.........2 12 22 211 12 11M M M M care este o matrice ptratic de tip simetric (deoarece kj jk = ) Ecuaiile de sarcini electrice Rezolvndu-se sistemul (2.54) n raport cu sarcinile 1, 2,..., ,nq q q se obine o alt form a ecuaiilor lui Maxwell referitoare la capaciti i anume ecuaiile pentru determinarea sarcinilor electrice ale corpurilor conductoare: (2.55) = -1V, unde -1 este matricea invers a matricei dat de (M5). Notndu-se: (M6) ((((((

= = nn n nnn....:.:.:......2 12 22 211 12 111, ecuaia (2.55) devine: (2.55 ) q = V, care este forma matriceal a ecuaiilor lui Maxwell cu privire la sarcinile electrice. Termenii kj ai matricei (M6) se calculeaz cu relaia cunoscut de la Algebr, privind inversarea matricelor i anume: (M7) ( ) = +detdet11 kj kkj, n care kj det este determinatul minorului din matricea transpus a lui (tergndu-se linia k i coloana j pe care se gsete acel element, iar det este determinantul matricei din relaia (M5). Aa cum rezult din ecuaia (2.55 ) elementele matricei au dimensiuni de capacitate: | | | || | | | C V q = = 1 de aceea elementele kj poart denumirea de coeficieni de capacitate. Ei pot fi de valoare pozitiv dac j+k este un numr par, sau negativ dac j+k este un numr impar, ceea ce rezult din formula (M7). Tot din motive de reciprocitate jk kj = iar jj (elementele de pe diagonala matricei ) sunt ntotdeauna pozitive. Matricea invers -1 = este foarte uor de programat i calculat cu ajutorul produsului MATLAB (v. 2.7.4). Ecuaia matriceal (2.55 ) se poate scrie i sub forma unui sistem de n ecuaii algebrice liniare: 135 = = =1,..., 2 , 1 ,jj kj kn k V n q (2.55) sau: + + + = + + + = + + + =n nn n n nn nn nV V V qV V V qV V V q........... .......... .......... .......... ................2 2 1 12 2 22 1 21 21 2 12 1 11 1 ) 5 5 . 2 ( ntotdeauna coeficienii de capacitate electrostatic 0 > jj, iar coeficienii j kkj < 0 conform relaiei (M7), fiind numii i coeficieni de influen electrostatic. Ecuaiile de capacitate Reprezint a treia form a ecuaiilor lui Maxwell referitoare la capacitile electrostatice i se obine din sistemul ) 5 5 . 2 ( prin adugarea lui 0 fiecrei ecuaii n forma unei sume pozitive de termeni i exact a aceleeai sume ns negative de aceeai temeni. Astfel, dac primei ecuaii a sistemului (2.55) i se adaug 0 (ceea ce nu modific, n fond, cu nimic ecuaia) sub forma: , 021 1j21 1j = = =njnjV V va rezulta: 1 1n 1 13 1 12 1 1n 1 13 1 12 1n 12 1 11 1 ... ... ... V V V V V V V V V q n 2 + + + + + + + = i distribuindu-se convenabil termenii se va obine: , ) ( ... ) ( ) ( ) ( 1 1n 1 13 1 12 1 1n ... 12 111V - V V - V V - V V q n 3 2 + + + + + + + = care, cu notaia 10 0 1 1 10 1 12 11 , ... U V V V Cn = = = + + + (unde V0 este potenialul electrostatic