Bazele Electrotehnicii I

8/15/2019 Bazele Electrotehnicii I

1/279

1. TEORII GENERALE ALE FENOMENELOR ELECTROMAGNETICE. MARIMIELECTRICE FUNDAMENTALE. TEOREME SI LEGI DE BAZA.

1.1. INTRODUCERE

Electrotehnica se ocupa de studiul fenomenelor electrice si magnetice din punctul de vedere

al aplicatiilor lor in tehnica.In linii mari, aplicatiile tehnice ale fenomenelor electrice si magnetice pot fi grupate in:a) aplicatii electroenergetice (de curenti tari) care se refera la producerea, transportul,

distributia si utilizarea energiei electromagnetice; b) aplicatii de telecomunicatii, telecomenzi, electronica (curenti slabi) care se refera la

producerea, prelucrarea, transmisia si receptia semnalelor purtatoare de informatii. Aceastaclasificare nu este exhaustiva deoarece instalatiile electroenergetice contin dispozitive din cea de-a doua categorie, dupa cum si electronica de putere presupune instalatii de curenti tari.

In principiu at t problemele de electroenergetica c t si cele de telecomunicatii si electronica pot fi studiate riguros in cadrul unor teorii ale c mpului electromagnetic.

Exista insa o clasa larga de aplicatii ale celor doua categorii de probleme, care se pot studiain ipoteze simplificatoare, acceptabile din punct de vedere tehnic, in cadrul unei teorii mai simpledenumita teoria circuitelor electrice.

In comparatie cu teoria fenomenologica (macroscopica # unde corpurile sunt presupuse a fimedii continue) a lui Maxwell si Hertz care presupune un sistem de opt legi generale, la care seadauga o serie de legi de material, descrise de ecuatii cu derivate partiale, teoria circuitelorelectrice cu parametrii concentrati se elaboreaza numai cu ajutorul celor doua teoreme ale luiKirchhoff, ecuatiile corespunzatoare fiind ecuatii diferentiale ordinare. Desi teoremele luiKirchhoff sunt consecinte ale legilor electromagnetismului, problemele si metodele de calcul dincadrul teoriei circuitelor electrice sunt oarecum diferite de cele ale teoriei c mpuluielectromagnetic.

Mai mult, se poate spune ca prelu nd concepte si metode ale stiintei sistemelor, teoriamoderna a circuitelor electrice s-a indepartat si mai mult de teoria c mpului electromagnetic. Inesenta teoria circuitelor electrice cu parametri concentrati este o teorie de retea si din punctul devedere strict al analizei (determinarea raspunsurilor la excitatii si conditii initiale date sicaracterizarea retelelor prin functii de retea c nd se cunoaste structura topologica a retelei, naturasi caracteristicile elementelor de circuit) si sintezei (realizarea unor retele la excitatii si raspunsuridate) ea se poate in principiu elabora independent de teoria c mpului electromagnetic, postul nddrept legi, relatiile celor doua teoreme ale lui Kirchhoff. In sens topologic conceptul de retea esteo structura algebrica, independenta de ecuatiile c mpului electromagnetic. Trebuie insa subliniatca exclusiv ca teorie de retea, teoria circuitelor electrice cu parametrii concentrati nu reuseste saexplice unele fenomene, cum ar fi efectele de difuzie ale c mpului electromagnetic (efect

pelicular, de proximitate, curenti turbionari) fiind necesara in aceste cazuri elaborarea unei teoriide c mp a circuitelor. In general insa, este de mai multa vreme acreditata ideea ca teoriacircuitelor electrice poate fi studiata ca o teorie de retea.

1.1.1. Scurt istoric al dezvoltarii electrotehnicii

Desi electricitatea si magnetismul erau cunoscute inca din antichitate (electrizarea prinfrecare a chihlimbarului, numit $electron % in limba greaca, a fost descrisa de Thales din Milet insec. al VI-lea i.e.n., iar magnetismul, in special cel natural, al oxidului de fier # magnetita # numitastfel ca se extragea din apropierea localitatii Magnezia din Asia Mica era cunoscut cu mult


2/279

inainte) prima lucrare care se referea la fenomenele electrice si magnetice, apare abia in 1600fiind intitulata $Despre magneti % si apartin nd medicului si fizicianului W. Gilbert.

Dezvoltarea electrotehnicii este rezultatul muncii colective a numerosi oameni de stiinta,ingineri si tehnicieni din lumea intreaga. Totusi o trecere in revista a principalelor jaloane care aumarcat ridicarea edificiului electrotehnicii actuale se impune.

In 1785, Ch. A. Coulomb prin masurari efectuate cu balanta de torsiune, stabileste primelerelatii cantitative ce caracterizeaza interactiunile dintre particulele incarcate electric, si prinanalogie dintre polii magnetilor.

In 1790 medicul L. Galvani descopera actiunea fiziologica a curentului electric care i-au permis fizicianului A. Volta construirea in anul 1800 a primei pile electrice.

In 1919 C. H. Oersted studiind actiunea mecanica pe care o exercita un conductor parcursde curent electric asupra unui ac magnetic stabilea o interactiune intre doua clase de fenomeneconsiderate p na atunci cu totul distincte: fenomenele electrice si fenomenele magnetice.

In 1820 A. M. Amp &re studiaza fortele electrodinamice dintre conductoare parcurse decurenti electrici.

In 1826 G. S. Ohm a stabilit relatia dintre U si I curentului electric pentru un circuit electricneramificat.

In 1847 G. R. Kirchhoff a formulat teoremele care ii poarta numele, pentru rezolvareadistributiei curentilor electrici in circuitele ramificate.

In 1831 M. Faraday a descoperit fenomenul de inductie electromagnetica si a introdus pentru prima data notiunea de $c mp% prin intermediul careia, se transmit in spatiu si in timpactiunile ponderomotoare, idee directoare care a permis explicarea corecta a fenomenelorelectrice si magnetice constituind un pas hotar tor in dezvoltarea fizicii. Tot el a stabilit in 1834legile cantitative ale electrolizei.

In 1833 E. H. Lenz a formulat regula pentru determinarea sensului curentului indus iar in1843 J. P. Joule a descoperit legea efectelor calorice ale curentului electric.

Aplicarea ideilor lui Faraday in domeniul electromagnetismului s-au datorat lui J. C.Maxwell care, in celebra sa lucrare $Tratat despre electricitate si magnetism % (1873) a pus bazeleteoriei macroscopice a electromagnetismului. Tot el a prevazut teoretic existenta undelorelectromagnetice (puse in evidenta din punct de vedere experimental in 1888 de catre H. Hertz) acurentului de deplasare (1862) si a elaborat teoria electromagnetica a luminii (1865).

Progresul cunostintelor despre fenomenele electrice si magnetice a fost insotit de odezvoltare prodigioasa a aplicatiilor practice la care si-au adus contributia V. V. Petrov, H. Davy,A. N. Lod ghin, T. A. Edison, M. H. Jacobi, A. Pacinoti, W. Siemens, G. Terraris, N. Tesla, S.Morse, M. O. Dolivo-Dobrovolschi, G. Bell, A. S. Popov, G. Marconi, J. A. Fleming, Lee deForest, A. Iliovici (cercetator rom n care a trait in Franta). Progresul electrotehnicii ram ne str nslegat de dezvoltarea bazelor ei teoretice la care, in afara de cei mentionati anterior, au contribuit:M. Lomonosov, B. Franklin, T. J. Seebeck, J. B. Biot, F. Savart, P. Laplace, O. Heaviside, W.Weber, P. N. Lebedev, A. Blondel, R. Becker, W. Rudenberg, E. Warburg, G. Kron (cercetatorrom n care a trait in S.U.A.), V. K. Arkadiev, P. L. Kalantarov, A. Sommerfeld.

In tara noastra au adus contributii importante la studiul teoretic si experimental alelectrotehnicii: acad. N. Vasilescu Karpen, primul in lume care a repudiat existenta si utilizareamaselor magnetice la studiul magnetismului si a propus folosirea curentilor purtatori de inaltafrecventa in telefonia la mare distanta; acad. C. Budeanu cu contributii in studiul regimuluideformant, a puterii reactive si a factorului de putere in retelele electrice; prof. dr. D.Hurmuzescu, initiatorul invatam ntului electrotehnic; acad. St. Procopiu care a calculat primul inlume (1912) momentul magnetic al electronului (impropriu numit $magnetonul lui Bohr %); acad.R. Radulet care a adus contributii deosebite la dezvoltarea teoriei c mpului electromagnetic inmedii conductoare masive, definind parametrii tranzitorii intr-o forma generala, intemeietorul


3/279

scolii rom nesti de cercetare electrotehnica bazata pe teoria c mpului, presedinte al ComisieiElectrotehnice Internationale intre anii 1964 # 1967.

1.2. BAZELE FIZICE ALE ELECTROTEHNICII

1.2.1. C mpul electromagnetic

1.2.1.1. Conceptul de c mp electromagnetic

Experienta a aratat ca, in anumite stari specifice, corpurile au proprietati a carorcaracterizare necesita introducerea unor noi marimi, numite marimi electrice si magnetice.Experienta a mai aratat ca, atunci c nd se gasesc in asemenea stari, intre corpuri se exercita uneleinteractiuni (forte si cupluri) specifice numite electromagnetice. Conform conceptiilor moderne,acestea sunt efectul interactiunii corpurilor cu un sistem fizic distinct de ele, numit c mpelectromagnetic, ce poate exista in interiorul si in afara lor si care permite transmiterea acestoractiuni din aproape in aproape in timp si spatiu. C mpul electromagnetic poate exista siindependent de corpuri. El este intotdeauna purtator de energie si impuls, pe care le transmite cuo viteza foarte mare, egala cu viteza de propagare a luminii in mediul respectiv.

In cele ce urmeaza se expune teoria fenomenologica (macroscopica) a c mpuluielectromagnetic, fundamentata prin lucrarile lui M. Faraday, J. C. Maxwell si H. Hertz. Aceastateorie, care aproximeaza corpurile prin medii continue constituie baza electrotehnicii, adica astudiului fenomenelor electrice si magnetice din punctul de vedere al aplicatiilor tehnice.

In cadrul teoriei fenomenologice a c mpului electromagnetic se disting urmatoareleregimuri de desfasurare a fenomenelor electromagnetice:

♦ Regimul static caracterizat prin faptul ca marimile nu variaza in timp si J=0 ceea ceinseamna ca nu au loc transformari energetice. Este singurul regim al c mpuluielectromagnetic, in care fenomenele electrice si magnetice se produc independent si se

pot studia separat;♦ Regimul stationar caracterizat prin aceea ca marimile nu variaza in timp, dar J ≠0 deci in

general au loc transformari energetice;♦ Regimul cvasistationar caracterizat printr-o variatie in timp a marimilor, suficient de

lenta, pentru a putea neglija fenomenul de radiatie electromagnetica;♦ Regimul nestationar (dinamic) corespunde cazului cel mai general de variatie in timp a

marimilor.

1.2.1.2. M ari mil e pri mit ive ale teori ei f enomenologice

Dupa modul in care se introduc in teorie, marimile fizice se impart in doua categorii:marimi derivate introduse pe baza unor relatii de definitie in functie de alte marimi considerate

cunoscute si marimi primitive, introduse direct pe calea unor experiente idealizate, careevidentiaza anumite procedee de masurare a acestor marimi. In cazul unei teorii date alegereamarimilor primitive este relativa, dar numarul lor este invariant. In teoria fenomenologica ac mpului electromagnetic se folosesc urmatoarele marimi primitive:

1. intensitatea c mpului electric ;2. inductia electrica ! ;3. sarcina electrica " ;

4. momentul electric # ;


4/279

5. densitatea curentului electric $;6. intensitatea c mpului magnetic % ;7. inductia magnetica & ;

8. momentul magnetic ' .Principalele relatii de natura experimentala folosite la masurarea unora din aceste marimi

primitive sunt:

"( = (1.1)) #* = (1.2)

&)+"( = (1.3)&)'* = (1.4)

unde: ( = forta exercitata de c mpul electric (fig. 1.1), respectiv magnetic (fig. 1.2);* = momentul cuplului exercitat de c mpul electric respectiv magnetic asupra unui mic

corp cu momentul electric # , respectiv magnetic ' (fig. 1.3);

+ = viteza cu care se deplaseaza corpul punctual fata de mediul inconjurator (presupusun fluid sau practic aerul).

( ( ,

&

q q

-&.

+ -'. # Fig. 1.1 Fig. 1.2 Fig. 1.3

Dupa modul in care transmit prin contact starea de electrizare, corpurile se clasifica in:♦ conductoare;♦ izolanti (dielectrici);♦ semiconductoare.

Starea electrocinetica a conductoarelor, caracterizeaza prin densitatea $ a curentuluielectric se poate recunoaste dupa efectele ce insotesc aceasta stare: mecanice, magnetice,electrice, calorice si chimice.

Caracterizarea globala a starii electrocinetice in raport cu o anumita suprafata se face cuajutorul intensitatii curentului electric de conductie definit ca integrala in raport cu acea suprafataa vectorului densitatii curentului electric.

i = /02$0∫ (1.5)


5/279

in care 2 este versorul normalei la suprafata.

$ 2

dS(S)

Fig. 1.4

1.2.1.3. M ari mi deri vate ale teori ei fenomenologice

Se definesc in functie de marimile primitive ale teoriei. Ele caracterizeaza anumite proprietati obiective ale sistemelor fizice sau fenomenelor studiate.

a) Densitatile de sarcina electrica.Daca corpurile incarcate electric au dimensiuni finite, caracterizarea starii lor de electrizare

numai prin sarcina electrica totala se dovedeste nesatisfacatoare. Pentru caracterizarea locala aacestei stari, dupa cum sarcina electrica este repartizata in volumul, pe suprafata sau de-a lungulanumitor curbe ale corpurilor se definesc:

• densitatea de volum a sarcinii electrice

ρv =/+/"

+"

34'5+

=∆∆

→∆ (1.6)

• densitatea de suprafata a sarcinii electrice

ρs =/0/"

0"

34'50

=∆∆

→∆ (1.7)

• densitatea de linie a sarcinii electrice

ρl =/3/"

3"

34'53

=∆∆

→∆ (1.8)

in care ∆q este sarcina ce revine elementului de volum ∆v, de arie ∆S sau de curba ∆l. b) Tensiunea electrica. Fluxul electric.De obicei, fenomenele electrice nu se descriu cu marimi locale, care caracterizeaza c mpul

intr-un anumit punct, ci cu marimi globale (integrale) definite in raport cu anumite domenii(volume, suprafete, curbe). Astfel tensiunea electrica se defineste ca integrala de linie aintensitatii c mpului electric de-a lungul unei curbe date C, intre doua puncte A si B (fig. 1.5).

UAB(C) = ∫ -,.6& /3 = ∫ α-,.6& *78/3 = ∫ -,.6& 9/3 (1.9)


6/279

Fig. 1.5 Fig. 1.6 Fig. 1.7

Tensiunea electrica intervine in numeroase expresii de exemplu in formula lucruluimecanic efectuat la transportarea unei sarcini electrice punctuale q pe parcursul mentionat:

LAB(C) =

∫ -,.6&/3( = q

∫ -,.6&/3 = qU AB(C) (1.10)

Daca tensiunea se calculeaza de-a lungul unei linii de c mp ea capata forma mai simpla:

UAB(C) = ∫ -,.6&

/3 (1.11)

Daca c mpul electric este omogen (fig. 1.6) relatia (1.9) devine:

UAB(C) = / = Ed cos ∝ (1.12)Daca tensiunea se calculeaza de-a lungul unei curbe inchise ea se numeste tensiune

electromotoare (t.el.m.) si se noteaza cu e (uneori cu U e) careia i se ataseaza si un indice ce precizeaza curba de integrare:

er = ∫ : /3 (1.13)Tot astfel se numeste flux electric in raport cu o anumita suprafata, integrala pe acea

suprafata a inductiei electrice:

ΨS = ∫∫ 0 /02! = ∫∫ 0 2 /0! (1.14)ΨS = DS cos ∝ (1.15)c) Fluxul magnetic. Tensiunea magnetica.Pentru caracterizarea globala a proprietatilor c mpului magnetic, prin analogie cu marimile

electrice corespunzatoare se definesc. # fluxul magnetic in raport cu o anumita suprafata, ca integrala pe suprafata respectiva a

inductiei magnetice:ΦS = ∫∫ 0 /02& = ∫∫ 0 2 /0& (1.16) # tensiunea magnetica ca integrala de linie a intensitatii c mpului magnetic de-a lungul unei

anumite curbe C, intre doua puncte oarecare A si B:

Um AB(C) = ∫ -,.6&

/3% (1.17)


7/279

Daca tensiunea magnetica se calculeaza de-a lungul unei curbe inchise, ea se numestetensiune magnetomotoare (U mm).

d) Intensitatea c mpului electric imprimatExperienta arata ca starea electrocinetica a conductoarelor este insotita de existenta in

interiorul lor a c mpului electric, dar si a unei forme deosebite a c mpului, datorat in intregimeneomogenitatilor de structura fizica si compozitiei chimice a materialului si caracterizat prinmarimea numita intensitatea c mpului electric imprimat (E

i). Aceasta este astfel o constanta de

material, marime vectoriala locala de natura neelectrica.Proprietatile globale ale c mpului electric imprimat in raport cu o anumita curba C sunt

exprimate de integrala de linie a vectorului E i intre doua puncte A si B ale curbei, numitatensiune electromotoare imprimata.

ei = ∫ -,.6&4/3 (1.18)

Tin nd cont si de eventuala existenta a unui c mp electric imprimat, tensiuneaelectromotoare in lungul unei curbe inchise se defineste in cazul general prin:

er = /3-.: 4∫ + (1.19)

1.2.1.4. Legil e de materi al ale teoriei f enomenol ogice

In structura unei teorii constituite, privitoare la un anumit domeniu al fizicii(electromagnetismul, de exemplu) se disting doua tipuri de relatii intre marimile ce descriu

procesele studiate.O prima categorie o reprezinta legile # relatii care exprima cele mai generale cunostinte

despre fenomenele domeniului cercetat si au un caracter axiomatic, neput nd fi justificate prinanaliza logica, ci numai prin abstractizarea si generalizarea unui mare numar de experiente, ca si

prin verificarea in practica a tuturor consecintelor ce decurg din teoria construita pe baza lor.A doua categorie o reprezinta teoremele # relatii ce se pot obtine deductiv din legi, prin

particularizari privind regimul sau anumite conditii particulare de desfasurare a unor fenomene.Dintre legi, unele (numite de material) au un domeniu mai restr ns de aplicabilitate, fiind

valabile pentru anumite regimuri ale c mpului electromagnetic sau pentru anumite proprietatispecifice ale corpurilor. Principalele legi de material ale teoriei fenomenologice ale c mpuluielectromagnetic sunt urmatoarele:

a) Legea legaturii dintre inductia electrica si intensitatea c mpului electricPentru marea majoritate a dielectricilor folositi in mod curent (liniari si izotropi) este

valabila urmatoarea lege de material:

! = ε (1.20)unde factorul de proportionalitate ε este o constanta pozitiva de material, numita

permitivitatea absoluta a materialului.In cazul vidului avem:

! = ε0 (1.21)unde:

ε0 = [ ]';(

<= ⋅

⋅⋅π (1.22)

este permitivitatea vidului, constanta universala a teoriei.


8/279

Raportul εr =5εε

(1.23)

se numeste permitivitate relativa a materialului fiind o constanta de material adimensionala. b) Legea legaturii dintre inductia magnetica si intensitatea c mpului magneticPentru o clasa foarte mare de materiale magnetice (liniare si izotropice) este valabila relatia

& = µ% (1.24)in care factorul de proportionalitate µ este o constanta magnetica a materialului.In vid relatia devine:

& = µ0 % (1.25)unde µ0 = 4 π⋅10 -7[H/m ] (1.26)este o constanta universala a teoriei, numita permeabilitate magnetica a vidului.

Marimea µr =5µ

µ (1.27)

se numeste permeabilitatea magnetica relativa a mediului si este o constanta de materialadimensionala.

c) Legea conductiei electriceStarea electrocinetica a conductoarelor este efectul existentei unui c mp electric in

interiorul lor. Legea conductiei electrice (legea lui Ohm) stabileste relatia de dependenta dintredensitatea curentului electric de conductie si intensitatea c mpului electric in orice punct dininteriorul unui conductor. Lu nd in consideratie si eventuala existenta a unui c mp electric

imprimat, pentru materialele liniare si izotrope, aceasta relatie devine $4 ρ=+ (1.28)in care factorul de proportionalitate ρ este o constanta de material numita rezistivitate care

depinde de anumiti factori fiziciρ = ρ0 [1 + ∝(θ - θ0)] (1.29)unde ρ si ρ0 sunt valorile rezistivitatii la temperaturile θ si θ0 iar ∝ este coeficientul de

temperatura al rezistivitatii, constanta de material pozitiva (metalele) sau negativa (carbunele).Forma cea mai simpla a legii conductiei electrice este forma locala exprimata prin (1.28).Dintre formele integrale, cea mai importanta este cea valabila pentru conductoarele filiforme. Laconductoarele filiforme, cu o foarte buna aproximatie se poate presupune ca are loc repartizareauniforma a curentului electric pe sectiunea normala a conductorului. Conform relatiei (1.5):

i = /02$0∫ rezulta i = SJ (1.30)

1.2.1.5. Legil e general e ale teoriei f enomenol ogice

In structura oricarei teorii fizice cea mai mare importanta o au legile generale, adica acelelegi ale caror valabilitate nu este restr nsa de nici un fel de considerente privitoare la regimul dedesfasurare a fenomenelor sau la natura materialului.

a) Legea inductiei electromagneticeIn forma integrala legea se enunta astfel:Tensiunea electromotoare produsa prin inductie electromagnetica in lungul unei curbe

inchise Γ este egala cu viteza de scadere in timp a fluxului magnetic prin orice suprafata S Γ ce sesprijina pe curba data (fig. 1.8).


9/279

Fig. 1.8

eΓ =/9/− ΦSΓ

sau /02&/9/

/30∫∫ ∫ Γ −=Γ

In regim electrostatic si in regim electrocinetic stationar (in curent continuu) in care

masurile sunt invariabile in timp (/9/ ≡0) relatia devine:

5/3 =∫ Γ

(1.33)

forma denumita teorema potentialului electrostatic respectiv teorema potentialuluielectrocinetic stationar.

b) Legea circuitului magneticForma integrala a legii se enunta astfel:Tensiunea magnetomotoare in lungul unei curbe

inchise este egala cu suma dintre curentul total deconductie ce strabate orice suprafata S Γ care se sprijina

pe curba Γ si viteza de crestere in timp a fluxuluielectric prin aceeasi suprafata (fig. 1.9).

Umm Γ = i SΓ +/9/ ΨSΓ (1.34)

Fig. 1.9

sau /02!/9/

/02$/3%00∫∫ ∫∫ ∫ Γ Γ

+=Γ

(1.35)

In regim magnetostatic, densitatea curentului electric de conductie fiind nula ( $ = 0) si

marimile fiind invariabile in timp (/9/

≡ 0) avem:

Umm Γ = ∫ Γ

/3% = 0 (1.36)

numita teorema potentialului magnetostatic.

Pentru/9/

≡ 0 rezulta /02$/3%0: : ∫∫ ∫ = numita teorema lui Amp ) re.

Aplicatia 1.


10/279

C mpul magnetic al unui conductor filiform rectiliniu foarte lung, parcurs de un curentelectric de conductie i (fig. 1.10).

4/02$: ?%/3% ==π= ∫∫ ∫ Γ

(1.37)

Fig. 1.10

: ?4

%π

= Aceste rezultat a fost stabilit si direct pe cale experimentala

de J. B. Biot si F. Savart.c) Legea fluxului magneticExperienta arata ca in orice moment fluxul magnetic prin

orice suprafata inchisa S i este nul.ΦSi = 0

sau /02&04∫∫ = 0Tin nd cont de faptul ca normala la suprafata inchisa este

intotdeauna indreptata spre exteriorul suprafetei iar cea de la o suprafata deschisa se asociazadupa legea burghiului drept cu sensul de parcurgere a curbei inchise ce o delimiteaza, se poatedemonstra pornind de la relatia (1.5) ca fluxul magnetic prin orice suprafata deschisa ce sesprijina pe o aceeasi curba inchisa are aceeasi valoare.

O alta consecinta a legii este aceea ca liniile c mpului de inductie magnetica sunt cunecesitate curbe inchise.

d) Legea fluxului electricIn forma integrala aceasta lege afirma ca fluxul electric printr-o suprafata inchisa oarecare

S i este egala cu sarcina totala din volumul V Si inchis de aceasta suprafataΨSi = q Vsi (1.41)sau @04

04

"/02! =∫∫ (1.42)Ca si in cazul fluxului magnetic, sensul pozitiv al fluxului electric este sensul normalei

exterioare la suprafata inchisa considerata.Din enuntul legii rezulta ca atunci c nd c mpul electric este determinat de sarcina electrica,

liniile c mpului sunt curbe deschise ce pornesc de pe corpurile incarcate pozitiv si se sf rsesc pecele incarcate negativ. Intre ele se aplica formula lui Coloumb:

?


11/279

In regim static, $ = 0 si marimile sunt invariabile in timp q Vsi = constant.Conform acestui rezultat, suma algebrica a sarcinilor electrice ale unui sistem de

conductoare fizic izolat este constanta in timp.

In regim electrocinetic stationar (curent continuu) $ ≠ 0, iar marimile ram n nd invariabilein timp relatia (1.44) devine:

iSi = /02$04∫∫ = 0 (1.45)

rezultat numit teorema continuitatii de curent. Aplic nd relatia (1.45) unei suprafete inchisece inconjoara un nod N al unui circuit electric, adica un

punct de ramificare a mai multor laturi de circuit (fig.1.11) se gaseste ca suma intensitatilor curentilor dinlaturile incidente la acest nod este nula (prima teorema alui Kirchhoff pentru circuitele de curent continuu).

Fig. 1.11

∑∈ CD

D E = 0

I1 # I2 + I 3 + I j # Ik = 0f) Legea transformarii de energie in procesul de

conductie electricaAceasta lege, a carei forma cea mai generala este

forma locala, stabileste puterea cedata de c mpul electromagnetic, conductoarelor in stareelectrocinetica.

Ea afirma ca densitatea de volum a puterii cedate de c mp conductoarelor in procesul deconductie electrica este in fiecare punct egala cu produsul scalar dintre intensitatea c mpuluielectric si densitatea curentului electric de conductie:

$ # F = (1.47)Cu ajutorul expresiei (1.28) a legii conductiei electrice relatia se mai poate scrie:

p j = ρJ2 # $4 (1.48)Se observa ca termenul:

pec = ρJ2 > 0 (1.49)corespunde efectului electrocaloric (Joule # Lenz) reprezent nd densitatea de volum a

puterii pierdute ireversibil de c mpul electromagnetic si transformata in caldura.

Termenul p g = $4 (1.50)reprezinta densitatea de volum a puterii schimbate de c mpul electromagnetic cu sursele de

c mp electric imprimat.In studiul circuitelor electrice este utila si o forma integrala a legii. Integr nd relatia (1.47),

se obtine puterea totala primita de aceasta din partea c mpului electromagnetic in procesul deconductie electrica.

P j = /34-2$0.-/3.-/320.-$./+ #-,.6&@@@

F ∫ ∫ ∫ ∫ === = U f i (1.51)

s-a luat aici dv = S /32 .Conform formei integrale (1.30) a legii conductiei pentru conductoare filiforme, se poate

insa scrie:P j = Ri 2 # ei (1.52)


12/279

unde termenul P ec = Ri 2 > 0 (1.53)este puterea dezvoltata prin efect electrocaloric iar termenulPg = ei este puterea algebrica cedata de sursa de c mp electric imprimat c mpului

electromagnetic (puterea cedata sau primita dupa cum P g > 0 sau P g < 0).In regim electrocinetic stationar (c.c.) relatia (1.52) devine:P b = U bI = RI 2 # EI (1.54)S-a inlocuit notatia P

j cu P

b # puterea algebrica primita de conductor pe la borne.

1.2.1.6. Sisteme de un itati de masur a

Orice domeniu al fizicii este caracterizat de un sistem complet de marimi, primitive siderivate.

Unitatile de masura ale unui numar minim dintre acestea, numite marimi fundamentale suntsuficiente pentru a putea determina unitatile de masura ale celorlalte marimi, numite secundare.Pentru un domeniu al fizicii, numarul marimilor fundamentale este fix, dar alegerea lor estearbitrara. In mecanica numarul lor este de trei, iar alegerea consacrata este urmatoarea: lungime # m, masa # kg si timp # s. Sistemul de masura este MKS.

Odata cu abordarea unui nou domeniu al fizicii, grupul marimilor fundamentale se largeste.O analiza arata ca numarul noilor marimi fundamentale ce trebuie introduse este egal cu numarulconstantelor universale independente ale teoriei. In electromagnetism s-au introdus douaconstante universale ε0 si µ0 dar intre ele se demonstreaza ca exista relatia:

ε0µ0 = 1/c 2 (c fiind viteza luminii)astfel ca una singura este independenta.Daca alegem ε0 ca marime fundamentala este ales coulomb iar daca alegem µ0 avem

amperul. Cel mai folosit este A deci avem sistemul MKSA care este folosit in tehnica si se mainumeste si sistem international SI.

In acest sistem, unitatile de masura ale marimilor primitive derivate (specific electrice simagnetice) introduse ca si simbolurile lor sunt urmatoarele:

•

intensitatea c mpului electric (E) + volt/metru [V/m ];• inductia electrica (D) + coulomb/m 2 [C/m 2];• sarcina electrica (q) + coulomb [C];• momentul electric (p) + coulomb # metru [Cm];• densitatea curentului electric de conductie [ ]$ + amper/m 2 [A/m 2];• intensitatea curentului electric de conductie (i) + amper [A];• intensitatea c mpului magnetic (H) + amper/metru [A/m ];• inductia magnetica (B) + tesla [T];• momentul magnetic (m) + amper # metru 2 [Am 2];• tensiunea electrica (u, e) + volt [V];

•

flux electric ( Ψ) + coulomb [C];• tensiunea magnetica (Um) + amper [A];• fluxul magnetic ( Φ) + weber [Wb];• permitivitatea ( ε) + farad/metru [F/m ];• permeabilitatea ( µ) + henry/metru [H/m ];• rezistivitatea ( ρ) + ohm # metru [Ωm];• rezistenta electrica (R) + ohm [Ω];• conductia electrica (G) + siemens [S].


13/279

Mai sunt cunoscute si folosite (mai ales in fizica teoretica) si alte sisteme de unitati demasura grefate pe sistemul mecanic CGS (cm # g # s); CGS electrostatic; CGS electromagnetic simai ales Gauss.


14/279

2. ELECTROSTATICA. MARIMI ELECTRICE, LEGI SI TEOREME

Electrostatica se ocupa cu studiul starilor si fenomenelor determinate de prezentasarcinilor electrice constante in timp, situate pe corpuri in stare de repaus in raport cu unsistem de referinta. Deci, electrostatica este partea electrotehnicii care se refera la regimul

static al c mpului electromagnetic caracterizat, pe de-o parte prin particularitatea ca toatemarimile electrice de stare sunt constante in timp, iar marimile magnetice sunt nule si, pede alta parte, prin lipsa posibilitatii de transformare a energiei electrice in alte forme deenergie.

Marimile fizice primitive sunt: sarcina electrica # q si momentul electric # .Marimile de stare locala sunt ! si " . Ca marimi derivate se folosesc: densitatea desarcina electrica, potential electric, capacitate electrica.

2.1. SARCIN A EL ECTRI CA

Sarcina electrica este o marime fizica scalara ce intervine in studiul starii deelectrizare a corpurilor. Se pune in evidenta prin experiente simple. Prin frecare, vergeauade sticla se incarca cu sarcini electrice pozitive, iar bara de ebonita cu sarcini electricenegative.

Sarcina electrica negativa elementara apartine electronului av nd valoarea: q = # 1,602 ⋅10 -19C. Protonul din nucleu contine sarcina electrica pozitiva elementara, egala cavaloare cu sarcina electronului. Unitatea de masura este C.

2.1.1. Repartitia sarcinilor electrice

Repartitia se descrie cu ajutorul unei marimi fizice derivate, denumita densitate desarcina electrica. Avem:

# densitate de volum:

ρV= [ ]#$%

&'()%)*

%*

+,& =∆∆

→∆ (2.1)

cunosc nd ρv, sarcina totala devine: q = ∫∫∫ ρ% %)% # densitatea de suprafata:

ρS = [ ]-$.

&'()/)*

/*

+,& =∆∆

→∆ sau q = )/

..∫∫ ρ (2.2)

# densitatea de linie:

llll

))**

+,&$

=∆∆=ρ

→∆ sau q = ll )0∫ ρ (2.3)

2.1.2. Dipolul electric

Prin dipol electric se intelege sistemul format din doua corpuri, incarcate cu sarcinielectrice punctiforme egale si de semne contrare +q si # q situate la o distanta ∆1.


15/279

# q ∆ l +q

Fig. 2.1

Marimea fizica vectoriala care caracterizeaza dipolul electric este momentul

electric al dipolului +* ∆= (2.4)unde ∆l este un vector orientat de la sarcina negativa spre sarcina pozitiva.

2.2. TEOREM A L UI COUL OMB

Folosind balanta electrica de torsiune si generaliz nd datele experientelor efectuate,Coulomb a stabilit forta de interactiune dintre doua sarcini electrice punctiforme q 1 si q 2 situate in vid la distanta r.

F =-

$

-1

2 3

**

πε

⋅ unde ε0 = 4

1$34

1

⋅π⋅ [F/m ] (2.5)

Forma vectoriala de exprimare a teoremei lui Coulomb:

2 -$

-1 52 3

**6

πε⋅= (2.6)

2.3. C MPUL ELECTRI C IN VI D

2.3.1. Notiunea de c mp

Prin notiunea de c mp se intelege o forma obiectiva de existenta a materiei inmiscare, deosebita de forma substanta.

C mpul electromagnetic constituie o unitate intre c mpul electric variabil in timp sic mpul magnetic variabil in timp. Experienta a dovedit, ca in cazul starilor variabile intimp, variatia in timp a c mpului magnetic determina un c mp electric variabil in timp side asemenea, variatia in timp a c mpului electric determina un c mp magnetic variabil intimp.

C mpul electrostatic este una din starile limita ale c mpului electromagnetic,determinata de sarcini electrice invariabile in timp, situate pe corpuri in repaus.

C mpul magnetoscopic constituie o alta stare limita a c mpului electromagnetic,determinata de magneti permanenti in repaus.

2.3.2. Intensitatea c mpului electric in vid

Cauzele care produc c mpul electric sunt sarcinile electrice ale corpurilor si c mpulmagnetic variabil in timp.

C mpul electric produs de sarcini electrice se mai numeste si c mp electriccoulombian.


16/279

Marimea fizica vectoriala denumita intensitatea c mpului electric in vid, notata $! se defineste cu ajutorul legii actiunii ponderomotoare adica a fortei exercitate asupra unuicorp de proba situat in c mpul electric. Corpul de proba este un mic corp electrizat care

poate fi asimilat cu o mica sfera metalica sau metalizata electrizata si suspendata de un firizolant.

Forta 6 , ce actioneaza asupra lui este direct proportionala cu sarcina q p a acestuicorp.

Modificarea pozitiei corpului de proba in timp duce la schimbarea fortei 6 at t cavaloare c t si ca orientare, ceea ce demonstreaza ca 6 depinde si de o marime vectorialace caracterizeaza starea c mpului electric in punctul respectiv numita intensitateac mpului electric in vid.

Deci 6 = q p $! (2.7)si este legea actiunii ponderomotoare unde q p este sarcina electrica pozitiva sau

negativa.

Rezulta: $! = 6 /q proba Folosind teorema lui Coulomb si legea actiunii ponderomotoare in c mpul electric

static se poate stabili relatia de calcul a intensitatii c mpului electric determinat intr-un punct din spatiu de o sarcina punctiforma q care produce c mpul si q p (Q p) sarcinacorpului de proba situat in punctul A din spatiu.

Se obtine $ 2 -$

!752 3

**6 ⋅=⋅

πε⋅

= de unde rezulta:

[ ]&'8 52 3

*! 2

-$$ ⋅

πε= (2.8)

Fig. 2.2

Vectorul de pozitie 2 52 2 ⋅= este orientat de la sarcina q p spre punctul A dinspatiu.

2.3.3. Inductia electrica in vid

$! 6

:2 * ;7 <

* =$ 2 5


17/279

Inductia electrica " este o marime fizica vectoriala, care alaturi de ! caracterizeaza starea locala a c mpului electric.

In vid avem-

$$ &'( !" ε= (2.9)

2.3.4. Liniile c mpului electric

Liniile c mpului electric sunt acele linii fictive din spatiu drepte sau curbe, la carevectorul intensitatii c mpului electric este coliniar sau tangent in orice punct (fig. 2.3.).

Tubul de c mp este constituit din totalitatea liniilor dec mp cuprins in interiorul unei suprafete ce se sprijina pe uncontur inchis si are o anumita sectiune transversala.

Ecuatia diferentiala a liniilor de c mp se obtine av nd

in vedere ca vectorii ! si )+ sunt coliniari, ceea ceinseamna ca produsul lor vectorial este nul ! x )+ = 0.

Fig. 2.3

In coordonate carteziene avem:

> !? @!A,!B! ⋅+⋅+⋅= > )? @)A,)B)+ ⋅+⋅+⋅=

)?)A)B

!?!A!B

> @,

)+B! = = (Eydz # Ezdy) , - (Exdz - Ezdx) @+(Exdy - Eydx) >

Fig. 2.4


18/279

Un vector este nul c nd toate componentele sale dupa cele trei axe sunt nule.Rezulta ecuatia diferentiala a liniilor c mpului.

!?)?

!A)A

!B)B == (2.10)

2.3.5. Fluxul intensitatii c mpului electric

Fluxul ΨO al vectorului intensitatii c mpului electric in vid se defineste prinintegrala de suprafata a acestui vector.

∫∫ =Ψ . $C )/! (2.11)2.3.6. Teorema lui Gauss

Se refera la fluxul vectorului ! calculat pentru o suprafata inchisa (forma integralaa teoremei).

Conform acestei teoreme, fluxul lui $! printr-o suprafata inchisa este proportionalcu suma algebrica a sarcinilor electrice existente pe corpuri, in interiorul acestei

suprafete, factorul de proportionalitate fiind$

1ε

adica

∑∫∫ ε= *1

)/!$

., $ (2.12)

Daca in interiorul suprafetei inchise nu exista corpuri incarcate cu sarcini electriceavem:

$)/!., $

=∫∫ (2.13)Pentru o sfera in interiorul careia am o sarcina q avem:

-$

$ 2 3*

!πε

= (2.14)

sau sub forma vectoriala:

2 -$

$ 52 3

*!

πε= (2.15)

2.3.7. Potentialul electric si tensiunea electrica

Potentialul electric, notat cu V, este o marime fizica de natura scalara cecaracterizeaza nivelul local (punctual) de electrizare, a carei valoare se modifica, at t dela un punct la altul al c mpului electric, c t si in timp. In regimul electrostatic, potentialulelectric este functie numai de spatiu, deci nu variabil in timp. Valoarea potentialului intr-


19/279

un punct din c mpul electric, se poate stabili numai in raport cu un potential electric dereferinta.

Se considera ca potential electric de referinta, potentialul pam ntului sau potentialulin punctele situate la distanta foarte mare de corpurile electrizate (la infinit). Valoareaacestuia se considera conventional egal cu zero.

Diferenta de potential V 1 #

V 2 intre punctele P 1 si P 2 din c mpul electrostatic, in vid(aer) se poate defini prin intermediul lucrului mecanic corespunzator fortei exercitateexclusiv de c mp asupra corpului de proba ce se deplaseaza lent, dupa o traiectorieoarecare din punctul P1 si P2.

Fig. 2.5

$ !76 ⋅= sidL = )+!7)+6 $ ⋅⋅=⋅

L1 # 2 = )+!7-D

1D $ ⋅⋅∫ unde )+ este elementul de traiectorie luat in sensul deplasarii.Raport nd acest lucru mecanic la sarcina Q p, care se mentine constanta tot timpul

deplasarii, se obtine diferenta de potential intre cele doua puncte.

V1 # V 2 = L 1 # 2/Q p = )+!-D

1D $∫ (2.16)Diferenta de potential nu depinde de drumul parcurs de la un punct la celalalt, ci

numai de coordonatele celor doua puncte si de sensul de parcurgere al traiectoriei.Pentru P 2 foarte apropiat de P 1 avem:

dV = )+!


20/279

unde 2 52 2 E)+)2 ⋅==

adica2 3

78

$πε= (2.20)

La ∞ avem V = 0.2.3.8. Gradientul potentialului electric

Tin nd seama ca potentialul electrostatic este o functie de spatiu, V(x, y, z), variatia

potentialului pe distanta orientata )+ se poate exprima cu ajutorul gradientului potentialului.

dV = )+8)??8

)AA8

)BB8

)+8 ⋅∇=∂∂+

∂∂+

∂∂=⋅∇

unde: > ?

@A

,B

rrr

∂∂+∂∂+∂∂=∇ (2.21)

este operatorul vectorial a lui Hamilton (nabla).

> )? @)A,)B)+ ++=

iar grad V = > ?8

@A8

,B8

8rrr

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ (2.22)

este gradientul potentialului electrostatic.

Vectorul gradient 8∇ este orientat in sensul in care potentialul are o cresteremaxima pe unitatea de lungime. Daca )+ este perpendicular pe vectorul 8∇ , se obtinedV = 0.

dV = )+8∇ = # )+! $ ⋅ avem: F2G)88! $ −=∇−= (2.23)Conform relatiei, vectorul lui ! este intotdeauna orientat in sensul in care

potentialul electrostatic, scade.


21/279

Γ !"

#

# $

# %

# &

' (

)*

2.4. RELATIILE FUNDAMENTALE ALE ELECTROSTATICEI

2.4.1. Teorema potentialului electrostatic

2.4.1.1. F orma i ntegrala a teoremei

Se considera un c mp electric de intensitate +* in vid si in elun contur inchis [Γ] de-a lungul caruia se deplaseaza incet uncorp punctiform incarcat cu sarcina electrostatica Q p>0.

Forta coulombiana ce actioneaza asupra corpului este:

+ ( *', ⋅= . Fig. 2.6

Lucrul mecanic al fortei coulombiene , atunci c ndcorpul incarcat cu Q p se deplaseaza de-a lungul conturuluiinchis P # P1 # P2 # P3 # P este egal cu zero, respectiv diferenta de potential

V p # V p = 0 = !"* +∫ Γ (2.24)Aceasta relatie exprima teorema potentialului electrostatic sub forma integrala, care afirma ca

circulatia vectorului +* pe un contur inchis este nula.In sens fizic, teorema precizeaza ca in c mpul electrostatic nu are loc o transformare de energiedintr-o forma in alta prin intermediul lucrului mecanic.

Teorema nu este valabila in cazul c mpului electric variabil.

2.4.1.2. Formele locale ale teoremei

Din expresia +* = # grad V se deduce forma locala a teoremei:

-. /-

01-

23-

456!-* ∇−=

∂∂+∂

∂+∂∂−=−=

rrr

(2.25)

iar componentele vectorului * sunt:

Ex = # 3-

∂∂

; E y = # 1-

∂∂

; E z = # /-

∂∂

La o repartitie data a potentialului, intensitatea c mpului electrostatic este univoc determinat.Teorema se mai poate exprima local si prin ecuatii cu derivate partiale, satisfacute de componentele

vectorului * si exprimate sub forma vectoriala cu ajutorul rotorului lui * .Dupa cum se stie din analiza vectoriala expresia rotorului lui * exprimat in coordonate carteziene

este:

∂∂−∂∂+ ∂∂−∂∂+

∂∂−∂∂=∂∂∂∂∂∂= 1

*33

*1. 3

*//

*3 0/

*11

*/2

*/*1*3/13

. 02

*5)7rrr

Daca se calculeaza rot. * in care * = # grad VAvem rot. * = 0 (2.26)Un c mp care deriva dintr-un potential intr-un anumit domeniu, are rot. * = 0 in orice punct al

domeniului.


22/279

2.4.2. Legea conservarii sarcinii unui sistem de corpuri izolat electric

Suma algebrica a sarcinilor unui sistem de corpuri izolat electrostatic, este invariabila in timp.

89):;7'':

&. . ==∑

= (2.27)

2.4.3. Legea polarizarii electrice temporare

Starea locala a polarizarii electrice temporare a unui dielectric este dependenta de * ce se stabilestein dielectric. Legea ne arata:

*#


23/279

moment dat depinde de starea de polarizare anterioara (ex.: titanat de bariu) adica apare fenomenul dehisterezis electric.

Pentru dielectrici liniari si anizotropi.

*#


24/279

! # $ % # &

' $ ' &

! %

%

!

2.5. CONDENSATOARE. CAPACI TAT EA EL ECTRICA A CONDENSATOAREL OR

Un ansamblu format din doua corpuri metalice (armaturi), separate intre ele printr-un mediudielectric neincarcat cu sarcini electrice libere, intre care se stabileste un c mp electric complet senumeste condensator electric.

Parametrul prin care se caracterizeaza un condensator electric este capacitatea.

2.5.1. Capacitatea electrica a condensatorului plan

Prin definitie raportul dintre sarcina electrica libera, pozitiva Q 1 cu care este incarcata una dintrearmaturi si diferenta de potential V 1 # V2 dintre cele doua armaturi se pastreaza constant si poartadenumirea de capacitatea electrica a condensatorului.

C = Q 1/(V 1 # V 2) [F]; 1F = 1C/1VPentru condensator plan

Q1 = !(∫∫ ε = εES; V 1 # V 2 = E ⋅ dC =

)(() ε=ε (2.42)

unde:- d - este distanta dintre armaturi;- S - este suprafata armaturii.

Fig. 2.8

2.5.2. Capacitatea electrica acondensatorului cilindric

Fig. 2.9

Avem:

$)*#+, &%%)!% =⋅π⋅==∫∫

Rezulta: D=Q 1/2πrh si E=D/ ε=Q 1/2πεrh.


25/279

Dar:

V1 # V 2 = ∫ ∫ πε=&-

$-$&-

$- , ,

+&#

.(

deci: V 1 # V2 =$

&$

, ,

./+&

#πε

unde (, *0 , . =

.

Deci C =

$

&&$

$

, ,

./

+&''

# πε=− (2.43)

unde:- r 2 # este raza armaturii exterioare;- r 1 # este raza armaturii interioare;- h # este lungimea armaturii.

2.5.3. Capacitatea electrica a condensatorului sferic

Calcul nd fluxul electric prin suprafata sfericade raza r avem:

$&

)*

#, 1%%)!% =π⋅==∫∫ si in toate punctele ! *0 % sunt coliniari.D=Q 1/4πr 2; E=D/ ε=Q 1/4επr 2.Diferenta de potential dintre cele doua armaturi

se exprima:

Fig. 2.10

V1 # V 2 =

−πε=πε= ∫ ∫ &$

$,

, &$-

- , $

, $

1#

,

, 1#

.( &$

&

$

unde , (*0 , . = .Capacitatea condensatorului sferic se exprima:

C =$&

&$

&$

$

, , , , 1

''#

−⋅πε=−

(2.44)

unde:- r 1 # este raza sferei interioare;- r 2 # este raza sferei exterioare.

2.5.4. Capacitatea unui condensator cu doi dielectrici

Sunt cazuri c nd spatiul dintre cele doua armaturi ale unui condensator este ocupat de doi dielectricicaracterizati de ε1 si ε2 de grosime d 1 si d 2.

Fiind doua condensatoare plane legate in serie se obtine.


26/279

C1 =$

$)ε ;

C2 =&

&)ε

Ce =$&&$

&$

&$

&$

22

22

ε+εεε

=+⋅

(2.45)

Fig. 2.11

2.5.5. Gruparea condensatoarelor

2.5.5.1. Gru parea in ser ie

Fig. 2.12Se considera condensatoarele cu capacitatile C 1, C 2,$ , C n. Capacitatea echivalenta este C e.

Deoarece 3## 43## 5&&5$$ =+=+ si, de asemenea, 3## 43## 65&&5$ =+=+ #

rezulta:

Q1 = Q 2 = $ = Q n = Q si55

/5&

5$ #### ===

Pe de alta parte U = U 1 + U 2 + $ + U n

sau/&$7 2

#8882#2#2# +++= deci: ∑==/

$* *7 2$

2$ (2.46)

Daca C 1 = C 2 = C.Se obtine C e = C/n (2.47)


27/279

2.5.5.2. Gru parea in paralel

Fig. 2.13

Q1 + Q 2+ $ + Q n = Q sau C 1U + C 2U + C nU = C eU de unde rezulta:

7

/

$** 22 =∑

= (2.48)

Daca C 1 = C 2 = C n = C rezulta C e = nC (2.49)


28/279

3. ELECTROCINETICA. MARIMI ELECTRICE,LEGI SI TEOREME

Electrocinetica se ocupa de studiul starilor si fenomenelor din interiorul conductoarelor parcurse decurent electric de conductie. Purtatorii mobili de sarcini electrice a caror miscare ordonata determinacurentul electric de conductie sunt electroni liberi la metale (conductoare de categoria I-a) si ioni pozitivisi negativi la electroliti (conductoare categoria II-a). La semiconductoare, purtatorii mobili de sarcinielectrice sunt electronii majoritari si golurile.

Starea electrocinetica a conductoarelor este insotita de degajare de caldura. La electroliti, formareaionilor si deplasarea lor este insotita de reactii chimice.

3.1. CARACTERI ZAREA STARI I E LE CTROCIN ETI CE A CORPURI LOR CONDU CTOARE

In starea electrocinetica, sarcinile electrice se misca ordonat cu o anumita viteza, iar aceasta

inseamna ca in metale si alte conductoare are valoare diferita de zero, ceea ce constituie deosebireaesentiala intre fenomenul electrostatic si fenomenul electrocinetic.

Mentinerea unui c mp electric ≠0, poate fi realizata cu ajutorul surselor. Leg nd capetele unuiconductor metalic la doua borne intre care se mentine o diferenta de potential V 1 # V2=const., in interiorulconductorului ia nastere un c mp electric constant.

Vectorul este orientat de la un potential mare V 1 spre potentailul mai mic V 2. Asupra unui

electron liber din metal actioneaza forta ! = Q orientata in sens opus fata de pentru ca Q


29/279

3.2.1.3. Cur entul electr ic de deplasare

Se considera o suprafata S imobila, situata intr-un c mp electric variabil in timp. Curentul electricde deplasare este determinat de viteza de variatie a fluxului electric prin suprafata respectiva.

Prin definitie, sensul pozitiv al curentului electric este sensul in care se misca sarcinile electrice pozitive.

3.2.1.4. I ntensitatea curentul ui electric de conducti e

Este egala cu sarcina electrica, at t pozitiva c t si negativa, ce trece printr-o sectiune aconductorului in unitatea de timp:

i =#$#%

$%

&'()$

=∆∆

→∆ (3.1)

Daca sarcinile electrice se deplaseaza in conductor cu viteza constanta curentul electric esteconstant in timp (curent continuu), adica aceeasi sectiune este strabatuta de cantitati egale de sarcinielectrice in intervale de timp egale.

I = Q/t (3.2)unde i = curent variabil in timp iar I este continuu.

Curentul electric este o marime scalara deoarece este definit ca raportul a doua marimi scalare.Din relatia (3.1) si (3.2) rezulta:

Q = ∫ $) '#$ (3.3)sau daca i = const. = I, atunci:Q = It (3.4)

3.2.2. Densitati de curent

3.2.2.1. D ensitatea cur entu lu i de conducti e

Pentru caracterizarea locala a starii electrocinetice din conductoare se foloseste marimea vectoriala* , denumita densitatea curentului de conductie, definita astfel inc t fluxul acestui vector printr-o sectiuneS a conductorului sa fie egal cu intensitatea curentului electric de conductie

i = ∫∫ + #+* (3.5)Sensul vectorului * este sensul sarcinilor electrice pozitive sub actiunea fortei F = Q , adica J

are acelasi sens cu .In cazul particular c nd suprafata S este sectiune plana, transversala a conductorului iar densitatea

* are aceeasi valoare si orientare in toate punctele acestei sectiuni, adica * si #+ sunt vectori coliniari ( α = 0 si * = const.) din (3.5) se obtine:

I = ,* sau * =,

- (3.6)

In baza ultimei relatii, * se mai poate defini prin cantitatea de sarcini electrice ce strabat unitatea desuprafata in unitatea de timp.

J =$,%

,- = (3.7)


30/279


31/279

Fig. 3.3

"* "ρ= (3.11)

3.3. C M PURI EL ECTRICE IM PRIM ATE

In afara de fortele determinate de c mpul electric ce actioneaza asupra purtatorilor mobili de sarcini

electrice asupra acestora mai pot actiona, in anumite conditii si forte care nu sunt de natura electrica. Daca! ne este forta neelectrica si Q este sarcina asupra careia actioneaza, se poate spune ca ! ne este o fortadeterminata de un c mp electric, denumit c mp electric imprimat , a carei intensitate este:

%! 45

' = (3.12)Prin definitie, integrala de linie a intensitatii c mpului electric imprimat reprezinta tensiunea

electromotoare imprimata.

56' 7#& =∫ (3.13)

a) disc metalic rotativ b) c mp imprimat termic

Fig. 3.4 C mpuri imprimate

La echilibru + ' = 0 ⇒ ' = # a) C mpuri imprimate de acceleratieSe considera un disc metalic ce se roteste cu viteza unghiulara ω foarte mare. Forta centrifuga ce

actioneaza asupra electronilor liberi din metal ii deplaseaza spre periferia discului, in centru ram n nd

sarcinile pozitive necompensate. Vectorul lui i este orientat radial de la periferia discului spre centru. b) C mpuri imprimate termiceSe ia o bara din metal care este incalzita la unul din capete. Datorita energiei termice primite de la

sursa, electronii liberi se vor deplasa catre capatul mai rece, la capatul cald, ram n nd ionii pozitivi in

surplus. i are sensul de la capatul rece spre capatul incalzit al barei.c) C mpuri imprimate de concentratieSe considera un vas separat in doua cpmpartimente printr-un perete poros. In cele doua

compartimente se pune HCl concentrat, respectiv diluat. In urma fenomenului de disociere electrolitica,rezulta ioni pozitivi de H + si ioni negativi de Cl -. Mobilitatea ionilor de hidrogen fiind mult mai maredec t a celor de clor, acestia difuzeaza mai usor, in numar mai mare, din compartimentul cu concentratiemai ridicata in compartimentul cu concentratie mai scazuta.

In compartimentul cu solutia mai diluata apare un surplus de sarcini pozitive. Deci apare un c mpelectric imprimat in sensul de la compartimentul cu HCl concentrat catre HCl diluat.


32/279

d) C mpuri imprimate de contactApar la elementele galvanice si la termoelemente. Elementele galvanice sunt surse chimice de

curent continuu la care energia chimica se transforma in energie electrica. Un element galvanic consta dindoi electrozi introdusi intr-un electrolit, la electrozi fiind legate cele doua borne plus si minus aleelementului (pile electrice, acumulatoare etc.).

Termoelementele constau din doua metale A si B care puse in contact dau nastere unei tensiunielectromotoare. Valoarea tensiunii masurate depinde de temperatura locului de contact (ex. termocuplele).

3.4. RELATI I FUNDAM ENTALE AL E ELECTROCI NETICII

3.4.1. Legea conservarii sarcinilor electrice libere

3.4.1.1. For ma in tegral a

Se considera o suprafata S i, inchisa, imobila fata de sistemul de referinta, in interiorul careia segaseste o sarcina electrica libera Q.

Daca sarcina Q scade in timp, inseamna ca prinsuprafata S i trec sarcini negative din exterior spre interiorsau sarcini electrice pozitive din interior spre exterior.

Fig. 3.5

Miscarea are loc invers daca sarcina Q creste intimp. Rezulta ca prin S i exista un curent de conductie .

C nd sarcina scade, vectorul * este orientat spreexteriorul suprafetei, iar c nd creste spre interior.

Legea conservarii sarcinilor electrice libere

precizeaza ca: fluxul densitatii de curent * (intensitatea curentului electric de conductie) prin suprafatainchisa S i este egal cu viteza de variatie in timp, luata cu semn schimbat, a sarcinii electrice libere dininteriorul suprafetei, adica:

iS ' = ∫∫∫ ∫∫ ρ== ",' ",' #"#$# 8 #$#% 8 #+* (3.14)Semnul minus se explica prin faptul ca atunci c nd Q scade, dQ < 0 dar #+* > 0, ( α < 90 0), dt este

de intotdeauna pozitiv. C nd Q creste, dQ > 0 iar #+* < 0 (α > 90 0).In regim electrocinetic stationar, marimile electrice si magnetice sunt invariabile in timp, deci Q =

const.,#$#%

= 0 si relatia (3.14) devine:

∫∫ =,' )#+* (3.15)adica curentul electric de conductie prin suprafata inchisa S i este nul.

Acelasi rezultat se obtine si in regimul electric cvasistationar pentru care marimile variaza lent in

timp, deci ≅#$#%

0.

Trebuie sa se observe ca ,'' este suma algebrica a curentilor care strabat suprafata S i spre exterior(cu semnul + cei ce ies si cu semnul # cei ce intra).


33/279

Se poate da si o alta formulare acestei legi, consider nd suprafata inchisa fixa. Variatia sarcinii dininteriorul unei suprafete fixe se datoreaza nu numai curentului de conductie ci si iesirii corpurilorincarcate din suprafata, in urma miscarii lor fata de ea, adica curentul de convectie.

iv= ∫∫ ρ,' " #," (3.16)Cu aceasta observatie rezulta pentru legea conservarii sarcinii forma integrala dezvoltata.

i =+ ",' ' ( ) #"$

8 #,"*"

"

,'"

∫∫∫ ∫∫ ∂ρ∂=ρ+ (3.17)

3.4.1.2. Forma l ocala

Aplic nd teorema Gauss-Ostrogradski se obtine:

( ) #""*#'"#,"*2 ",' " ∫∫∫ ∫∫ ρ+=ρ+ (3.18)

Intruc t fluxul referitor la o suprafata inchisa este egal cu integrala de volum a divergenteivectorului respectiv. Din relatiile (3.17) si (3.18) rezulta:

( ) )#""*#'"$2

"" =⋅ρ++

∂ρ∂∫∫∫ # oricare ar fi volumul V.

Rezulta relatia:

# "*9#'"$ "" ρ+=

∂ρ∂

) (3.19)

care reprezinta forma locala a legii conservarii sarcinii care se enunta astfel: viteza de scadere a

densitatii de sarcina intr-un punct dat este egala cu divergenta sumei dintre * (densitatea curentului de

conductie) si ""ρ (densitatea curentului de convectie).

3.4.2. Legea conductiei electrice (Legea lui Ohm)


Legea (sub forma locala) are urmatorul enunt: in orice punct din c mpul electromagnetic in careexista conductie electrica (miscare ordonata a purtatorilor de sarcina) suma dintre c mpul electric sic mpul imprimat este egala cu produsul dintre densitatea curentului electric de conductie si rezistivitateamaterialului.

E + E i = ρ * (3.20)unde cu ρ s-a notat rezistivitatea materialului care se exprima in S.I. in [ ](Ω .* = σ( + ' ) (3.21)unde cu σ s-a notat conductivitatea materialului care in S.I. se exprima in siemensi pe metru (S/m).

Daca se noteaza cu &, intensitatea c mpului electric in sens larg av nd expresia:

'+6& ++= (3.22)unde cu 6 s-a notat intensitatea c mpului electric coulombian (de natura potentiala, produs de

repartitia instantanee a sarcinii electrice), cu + intensitatea c mpului electric indus (solenoidal, produs

de fluxul magnetic variabil in timp, in acord cu legea inductiei electromagnetice) iar cu ' , intensitateac mpului electric imprimat de natura neelectrica (care se stabileste in conductoarele accelerate sau


34/279

neomogene din punct de vedere a structurii fizico-chimice) atunci marimea care apare in (3.20) si(3.21) se numeste intensitatea c mpului electric in sens restr ns av nd expresia:

+6'& +=−= (3.23)Din acest punct de vedere, portiunile de circuite electrice pot fi: circuite electrice generatoare sau

surse, daca in lungul acestora exista c mp electric solenoidal indus din exterior sau c mp electricimprimat, respectiv circuite electrice receptoare (prescurtat receptoare) daca in lungul acestora existanumai c mp electric coulombian sau numai c mp electric solenoidal indus exclusiv de curentul din

circuit. Sub forma de mai sus legea conductiei electrice se refera la conductoare liniare, izotrope sineomogene.

Pentru conductoare izotrope, liniare si omogene avem: * ρ= sau * σ= iar pentruconductoare liniare, anizotrope si omogene (fara c mpuri imprimate) *+:;* σ=ρ= unde ρ ,reprezinta tensorul rezistivitatii, respectiv σ tensorul conductivitatii.

Pentru conductoare neliniare, izotrope si omogene dependenta lui * de este de forma oarecare* = *( ).

3.4.2.2. For ma in tegral a a legii

Pentru o portiune oarecare, neramificata a unui conductor liniar si izotrop intre bornele 1, 2 av ndintercalata si o sursa electrica (deci av nd c mp imprimat) integr nd in lungul conductorului (3.20).

( ) 1

.

'=>

1

.=ρ==+ ∫ ∫ ∫

unde cu R= ∫ ∫ σ=ρ.

1

.

1= /#&

/#&

>

(3.24)

Fig. 3.6

s-a notat rezistenta electrica a portiunii conductorului intre 1 si 2 daca ρ si A nu variaza de-a lungulconductorului:

R= ∫ ρ=ρ .1 /&

#&/1

(3.25)


35/279

unde cu l s-a notat lungimea conductorului intre 1 si 2, iar cu A sectiunea conductorului. Calcul ndintegrala din (3.24) pe portiuni avem:

( ) '> '=>

.

1=>

.

1'

=>

.

157#& +=+=+ ∫ ∫ ∫

unde:

∫ = .1

> #&7 (3.26)este tensiunea electrica in sens restr ns in lungul firului, iar

#&5 '=>

.

1' ∫ = (3.27)este tensiunea electromotoare imprimata.

Deci =+ (3.28)reprezinta forma integrala a legii conductiei.In regim stationar, c nd E s =0 se obtine:

Uf = ( ) ?6@=> 9

.

1+6

@=> 9

.

1

@=> 9

.

17#& ±==+= ∫ ∫ ∫

deoarece integrala lui c nu depinde de curba de integrare si deci integrala efectuata prin axaconductorului C f este egala cu integrala efectuata pe orice alta curba si in particular ea este egala si cuintegrala pe curba C b in lungul liniei tensiunii la borne (U b).

Deci legea conductiei electrice in regim stationar se poate pune sub forma:ei ± U b = Ri (3.29)Prin conventie se adopta semnul (+) pentru U b = V 1 # V 2 c nd sensul lui U b si i nu coincid ( regula

de la receptoare), respectiv semnul ( # ) U b = V 2 # V1 atunci c nd acestea coincid ( regula de la generatoare).Daca e i = 0 avem U b = RI (3.30)care este legea lui Ohm pentru o portiune pasiva (fara surse) de circuit, valabila numai in regim

stationar.

3.4.3. Legea transformarii energiei in conductoare (Legea Joule-Lenz)

3.4.3.1. For ma in tegral a

Forma integrala precizeaza: caldura dQ j dezvoltata prin efect Joule-Lenz, intr-un timp dt, decurentul de conductie i, ce strabate un conductor cu rezistenta electrica R este proportionala cu patratulcurentului si cu timpul, factorul de proportionalitate fiind rezistenta electrica R.

dQ j = Ri2dt (3.31)

iar caldura dezvoltata intr-un timp t va fi:

Q j = ∫ $) . #$


36/279

AB < 7 .= (3.35)

unde U este tensiunea la bornele rezistorului R.


Forma locala se refera la puterea dezvoltata prin efect Joule-Lenz in unitatea de volum aconductorului strabatut de curentul cu densitatea I

p jv= EJ sau p jv = ρJ2 (3.36)unde se stie din legea lui Ohm sub forma locala ca = ρ* .Puterea corespunzatoare efectului Joule-Lenz in intregul volum al conductorului va fi:

P j = ∫∫∫ ∫∫∫ =⋅" " A #"*#" C " (3.37)3.4.4. Teorema potentialului electric stationar

Regimul electrocinetic stationar este diferit de regimul electrostatic, el fiind caracterizat de o

densitate de curent diferita de zero ( * ≠ 0) si invariabila in timp (curent continuu). In fiecare punct,interior unui conductor )' ≠+ .

Teorema potentialului electric stationar afirma ca: tensiunea electrica este nula de-a lungul oricareicurbe inchise.

∫ Γ =)#& (3.38)Tensiunea electrica intre doua puncte 1 si 2 a unui conductor este:

..

1 11.227#& −==∫

Daca potentialul unuia din cele doua puncte este potential electric de referinta, de exemplu V 2 = V 0 atunci potentialul electric in celalalt punct va fi:

V1 = V 0 + ∫ .

1 #& E deriva din acest potential:

= # grad V; rot = 0 (3.39)


37/279

4. RETELE ELECTRICE DE CURENT CONTINUU

4.1. RETELE ELECTRICE LI NI ARE DE CURENT CONTINUU. M ETODE DE CALCUL

4.1.1. Circuit electric si retea electrica, sensuri de referinta

Prin circuit electric se intelege ansamblul mediilor in care poate circula curent electric. Acestemedii pot fi conductoare, semiconductoare sau medii dielectrice. In medii conductoare si

semiconductoare exista curent electric de conductie, iar in medii dielectrice curent de deplasare.Se vor analiza, in continuare circuitele de curent continuu filiforme (adica suficient de subtiri pentru

ca intensitatea curentului sa poata fi uniform repartizata pe sectiunea lor) si liniare av nd laturi curezistente constante, independente de valorile curentilor.

Un ansamblu de circuite electrice conectate intre ele intr-un mod oarecare poarta denumirea de reteaelectrica (fig. 4.1.1).

Orice circuit (retea) electric se compune topologic din:a) noduri: locurile (punctele) in care

concura mai mult de doua conductoare (laturi) alecircuitului (retelei);

Se deosebesc:- noduri fundamentale: c nd concura

cel putin trei laturi (de exemplu nodul a);- noduri nefundamentale

(degenerate): c nd concura numai doua laturi (deexemplu nodul b).

Fig. 4.1.1 b) laturi: portiuni din circuit (retea) cuprinse intre doua noduri vecine, parcurse de curenti electrici

proprii.Putem avea: laturi active care contin generatoare de t.e.m. sau de curent, (de exemplu, laturile L k si

Li) si laturi pasive, care nu contin generatoare (de exemplu latura L j).c) ochiuri: portiuni de circuit (retea) realizate din laturi parcurse o singura data form nd un contur

inchis; se deosebesc: ochiuri fundamentale care se bucura de proprietatea ca ecuatiile corespunzatoareteoremei a II-a lui Kirchhoff nu se pot deduce din cele referitoare la alte ochiuri definite in prealabil (de

exemplu O m si O n) si ochiuri nefundamentale care rezulta din alte ochiuri definite anterior (de exempluochiul O p). Numarul de ochiuri fundamentale ale unei retele se determina cu ajutorul teoremei (relatiei) lui

Euler:O=L-N+I (4.1.1)Unde N este numarul de noduri, L este numarul de laturi iar O este numarul de ochiuri

fundamentale.


38/279

! "

#

Se numeste sens de referinta sau sens pozitiv al marimii fizice scalare, sensul vectorului element de

integrare ( $%, $&). Sensul vectorului element de integrare se stabileste fie arbitrar, fie pe baza unorreguli.

T.e.m. rezulta pozitiva, c nd sensul elementului de integrare $%, prin interiorul sursei este orientatde la borna negativa spre cea pozitiva.

Curentul electric i rezulta pozitiv c nd

vectorul elementului de suprafata$&

este in

acelasi sens cu ' sau c nd unghiul dintre cei doivectori este mai mic de 90 0. Sensul de referinta altensiunii la borne se indica in schema printr-osageata intre borne.

Fig. 4.1.2Exista doua conventii (reguli) privind

asocierea sensurilor de referinta ale tensiunii la bornele unei laturi de retea si a curentului ce trece prin ea.

Pentru laturi receptoare, sagetile care indicasensurile pozitive ale tensiunii la borne si a

curentului, pleaca respectiv intra in aceeasi borna.Pentru laturi generatoare cele doua sensuri de referinta sunt opuse in raport cu aceeasi borna (adica

unul intra in borna si altul iese din aceeasi borna).Daca nu se poate preciza de la inceput caracterul de receptor sau generator al laturii de retea,

sensurile de referinta se aleg arbitrar, fie ca la receptor sau generator. In urma efectuarii calculului rezultasensurile efective a acestor marimi, respectiv se poate preciza daca latura de retea are caracter de receptorsau generator.

4.1.2. Teoremele lui Kirchhoff

4.1.2.1. Teor ema I -a lui K ir chhoff

Se refera la curentii din laturile de retea ce concura intr-un nod.

Fig. 4.1.3

a) Teorema directa. Se considera o suprafata inchisa S i, ce contine nodul, pentru care, se aplicalegea conservarii sarcinilor electrice libere, ce se exprima prin urmatoarea relatie:


39/279

∫ &" $&' =0 (4.1.2)Integrala de suprafata a densitatii de curent este diferita de zero numai in portiunile de suprafata S 1,

S2, S 3, S 4, ce intersecteaza conductoarele unde ' ≠ 0.Tin nd seama ca $( este orientat spre exteriorul suprafetei inchise si ca ' are sensul de referinta

indicat de sageti (sensul curentului) se obtine:

)$&'$&'$&'$&'$&'*&

*+&

+,&

,-&

-&"

=+++=∫ ∫ ∫ ∫ ∫

sau

I1 + I 2 # I3 # I4 = 0

In cazul general se scrie ∑∈ ./

/ 0 = 0 (4.1.3)

unde b = 1, 2, $ , N-1Teorema I se enunta astfel: suma algebrica a curentilor din laturile ce concura intr-un nod (b) de

retea este egala cu zero. Numarul de ecuatii independente ce se obtin din teorema I-a, pentru o retea de N noduri este (N-1). b) Forma duala (dezvoltata) corespunzatoare primei teoreme se obtine pornind de la ecuatia de

functionare a laturii.Ek ±U bk =R k Ik (4.1.4)

unde semnul (+) se ia in cazul laturii receptoare iar ( # ) in cazul laturii generatoare.

Fig. 4.1.4

Din (4.1.4) rezulta:

Ik =/

./

/

/

! 1

! # ± =G k Ek ±Gk U bk =ISCK ±Gk U bk (4.1.5)

unde cuISCK =G k Ek (4.1.6)s-a notat curentul de scurtcircuit al laturii k.

Aplic nd forma directa a primei teoreme a lui Kirchhoff relatiei (4.1.5) se obtine:

)21304 ./

./ / &56 =±∑∈

(4.1.7)

sau

∑∑∈∈

±= ./

&56 ./

./ / 013 (4.1.8)


40/279

b = 1,2, $ , N-1unde semnul ( # ) corespunde laturii receptoare iar (+) generatoare. Relatia (4.1.8) reprezinta forma

duala a primei teoreme a lui Kirchhoff, folosind in loc de necunoscutele I k , noile necunoscute U bk (tensiunile la bornele laturilor) si arata ca: suma produselor dintre conductantele laturilor si tensiunile la

bornele acestora, extinsa asupra tuturor laturilor care realizeaza nodul (b) este egala cu suma curentilor descurcircuit ai laturilor ce concura in nodul (b).

c) Formele matriciale se obtin pe baza relatiilor (4.1.3) si (4.1.8) definind in prealabil matricile:- matricea (coloana) a curentilor din laturi [I];- matricea (coloana) a tensiunilor la bornele laturilor [U b];- matricea (coloana) a t.e.m. din laturi [E];- matricea (patrata LxL, diagonala) a conductantelor laturilor [G];- matricea (coloana) a curentilor de scurtcircuit a laturilor [ISC];- matricea (dreptunghiulara, LxN-1), de apartenenta (incidenta) a laturilor la noduri [A];

[ ]=

7

,

-

0

0

0

0M

; [ ]=

.7

, .

- .

.

1

1

1

1M

; [ ]=

7

,

-

#

#

#

#M

; [ ]=

7

,

-

3

)

)

888

888

888

)

3

)

)

)

3

3MMMM

;

[ ] [ ][ ]==

&57

,&5

-&5

&5

0

0

0

#30M

; [ ]=

−

−

−

−

-79

-/9

- 9,

- 9-

7.

/.

.,

.-

,7

,/

,,

-,

-7

-/

,-

--

:

:

:

:

88

88

88

88

:

:

:

:

8

8

8

8

:

:

:

:

:

:

:

:

: (4.1.9)

unde coeficientul de apartenenta (incidenta) a laturii k la nodul b (un element al matricei A) poateavea una din valorile:

+1 c nd curentul din latura k iese din nodul b,Akb= # 1 c nd curentul din latura k intra in nodul b

0 c nd latura k nu concura in nodul b.Se vede ca pentru un nod b al retelei si folosind coeficientii A kb, prima teorema a lui Kirchhoff se poate scrie:

A1bI1+A 2bI2+$ +A kbIk +$ +A LbIL=0 (4.1.10)sau

)0:7

-/ / /. =∑

= (b=1, 2, $ , N-1) (4.1.11)

Observ nd ca aceasta suma reprezinta elementul (k b) al produsului [A] t[I], sistemul de ecuatii(4.1.3) se poate scrie sub forma:

[A] t[I] = 0 (4.1.12)Similar se arata ca relatia (4.1.8) se poate scrie matricial sub forma:[A] t[G][U b] = ±[A] t[ISC] (4.1.13)[A] t este transpusa lui [A].

4.1.2.2. Teorema a doua a lui Ki rchhof f

Se refera la ochiurile unui circuit (retele) electric de curent continuu si se poate prezenta suburmatoarele forme:


41/279

Fig. 4.1.5

a) Forma directa (simpla) se enunta astfel: suma algebrica a tensiunilor la bornele laturilor carealcatuiesc un ochi este nula.

Este o consecinta a teoremei potentialului electric stationar. Astfel, pentru conturul Γ p dus pe liniiletensiunilor la bornele laturilor care realizeaza ochiul p rezulta conform fig. 4.1.5:

)$%# ;

=∫ Γ (4.1.14)sau

)1 ;/

./ =∑∈

(p = 1, 2, $ , O) (4.1.15)

In relatiile (4.1.15) tensiunile la borne se iau cu (+) c nd sensurile coincid cu sensul arbitrar ales pentru parcurgerea ochiului si cu ( # ) in caz contrar. Teorema a 2-a furnizeaza O ecuatii independente,unde O este numarul de ochiuri fundamentale ale retelei. si O = L # N+1.

b) Forma duala (dezvoltata) se obtine de la ecuatia de functionare a laturii (4.1.4) sum nd pentrutoate ochiurile O.

∑∑∈∈

=± ;/

/ / ;/

./ / 0! 21#4 (4.1.16)

Tin nd seama ca )1 ;/

./ =∑∈

avem:

∑∑∈∈

= ;/

/ ;/

/ / #0! (4.1.17)

unde p = 1, 2, $ , O.


42/279

care reprezinta forma duala (dezvoltata) a teoremei, folosind in loc de necunoscutele U bk noilenecunoscute I k . Sub forma (17) teorema a doua se poate enunta astfel: suma algebrica a caderilor ohmicede tensiune R k Ik extinsa asupra tuturor laturilor care formeaza un ochi peste egala cu suma algebrica at.e.m. din toate laturile care formeaza acel ochi.

Termenii R k Ik si E k se iau cu (+) daca sensul curentilor prin laturi, respectiv a t.e.m. din laturicoincid cu sensul de parcurs al ochiului si cu ( # ) in caz contrar.

c) Formele matriciale se obtin pe baza relatiilor (4.1.15) si (4.1.17) definind in prealabil,suplimentar fata de (4.1.9) matricile:

- matricea (patrata LxL, diagonala) a rezistentelor laturilor: [R ];- matricea (dreptunghiulara, LxO) de apartenenta a laturilor la ochiuri (matricea de conexiune aretelei): [B]

[ ] [ ]==

7<


43/279

4.1.3. GRUPAREA REZISTOARELOR SI SURSELOR DE CURENT CONTINUU

4.1.3.1. Grupar ea rezistoarelor

La legarea in serie a n! rezistoare av " nd rezistentele R 1, R 2, % , R n rezistenta echivalenta este:

R e= ∑=!"

" # (4.1.23)

La legarea in paralel a celor n! rezistoare se obtine:

∑=

=!" " $ #

!# !

(4.1.24)

Rezistenta echivalenta la legarea mixta a rezistoarelor se calculeaza tin "nd cont de relatiile de maisus.

4.1.3.2. Gru parea sur selor de curent conti nuua) serie b) paralel c) paralel echivalent

Fig. 4.1.6.Legareasurselor

a) Legarea in serie (fig.4.1.6.a) asurselor se

utilizeazaatunci

c"nd seurmaresteobtinerea

unei tensiuni mai mari pe rezistenta de sarcina R. T.e.m. totala va fi:

Ue= ∑=!"

$" % (4.1.25)

Conform legii lui Ohm aplicata la un circuit inchis, curentul prin rezistenta de sarcina va fi:

I=

∑

∑

=

=

+!"

"

!" $"

& #

% (4.1.26)

unde r k (k=1, % , n) sunt rezistentele interne ale fiecarei surse presupuse identice. b) Legarea in paralel (fig. 4.1.6.b) a surselor de curent continuu se face cu surse cu aceeasi t.e.m. si

aceeasi rezistenta interioara. Tensiunea U ce se stabileste la bornele sarcinii este aceeasi cu oricare dint.e.m. ale surselor din care se scade caderea de tensiune pe rezistentele interne, adica:

U=U e1 & r 1I1=U e2 & r 2I2= % =U en & r nIn Circuitul echivalent al schemei in paralel este conform fig. 4.1.6.c.Tensiunea U=E e reprezinta t.e.m. echivalenta a circuitului paralel iar pentru o latura k ! avem:Ee=U ek - I k r k (4.1.27)


44/279

sauIk =gk (U ek - E e) unde g k =1/r k (4.1.28)Din teorema I a lui Kirchhoff avem:

() *"

" =∑∈

(4.1.29)

b = 1, 2, % , N-1Din relatiile (4.1.28) si (4.1.29) se obtine t.e.m. echivalenta E e:

Ee=

∑

∑

=

=

!" "

!" $" "

+

%+

(4.1.30)

Observatii:1. Daca t.e.m. ale surselor legate in paralel nu sunt egale si bateria este in gol (nu exista sarcina)

sursa cu t.e.m. cea mai mare se va descarca pe sursa cu t.e.m. mai mica. Astfel apar curenti de circulatieintre surse, chiar daca bateria nu alimenteaza un receptor exterior.

Legarea mixta a surselor de curent continuu se foloseste atunci c "nd bateria trebuie sa furnizeze at " to tensiune c " t si un curent de valori mai mari dec " t posibilitatile unei surse.

4.1.4. Metode de calcul a retelelor liniare de c.c.

Prin calculul unei retele se intelege determinarea curentilor din laturile sale atunci c "nd se cunoscrezistentele rezistoarelor si t.e.m. ale surselor (sau tensiunile la borne) din reteaua respectiva.

4.1.4.1. Metoda teoremelor lu i Ki rchhof f

Se considera o retea de curent continuu care are N ! noduri si L! laturi. Pentru aceasta retea se potscrie (N & 1)+(L & N+1)=L relatii independente. Sistemul permite determinarea intensitatilor curentilor din

fiecare latura.Pentru aplicarea teoremelor este necesara precizarea sensului de parcurs pentru fiecare curent allaturilor c " t si sensul de parcurs al ochiurilor independente. Daca in urma calculelor, curentii din unelelaturi rezulta negativi, inseamna ca sensul lor efectiv este opus sensului de parcurs stabilit initial.

4.1.4.2. M etoda superpoziti ei (suprapuneri i efectelor )

Metoda duce la simplificarea calculului retelelor complexe in care exista mai multe surse de energieelectrica. Algoritmul de calcul se bazeaza pe principiul suprapunerii efectelor aplicabil la retelele liniare.

Pentru exemplificare se considera reteaua electrica din fig. 4.1.7:

a) reteaua data b) si c) reteaua cu c " te o sursa


45/279

Fig. 4.1.7

Se considera mai int " i ca in retea actioneaza numai sursa cu t.e.m. U e1, iar t.e.m. U e2 se presupunezero, retin "ndu-se numai rezistenta interna r 2 a acesteia. Apoi se considera ca in retea actioneaza numai adoua sursa, de la prima sursa retin " ndu-se numai rezistenta interna r 1.

Rezolv "nd circuitele din fig. 4.1.7 se obtin valorile lui ,!) ,,-) ,

,) respectiv ,,!) ,,,-) ,

,,) . Apoi sesuprapun efectele si se obtin curentii reali din laturi, adica:

I1 =,

!) & ,,

!) ; I2 = & ,

-) +,,

-) ; I =,

) +,,

) .

4.1.4.3. Teoremele generatoarelor echival ente

Adesea in aplicatii in care intervin circuite cu structura complexa, intereseaza aflarea numai a unuicurent dintr-o latura sau numai a tensiunii intre doua noduri. In aceste cazuri se face apel la teoremelegeneratoarelor echivalente, care arata ca un dipol liniar activ admite doua scheme echivalente numite:schema generatorului echivalent de tensiune, respectiv schema generatorului echivalent de curent.

4.1.4.3.1. Teorema generatorului echivalent de tensiune (Thevenin Helmholtz)

Curentul I AB debitat de o retea liniara intr-o rezistenta R legata la bornele A, B este egal cu raportuldintre tensiunea U ABO de mers in gol la bornele A, B si suma dintre rezistenta exterioara R si rezistentainterna, R ABO a retelei pasivizate.

IAB =./0

./0

# # %+

=./0+

+

# #

1

+ (4.1.31)

Exemplu: Sa se transforme schema din fig.4.1.8 intre bornele 1-2, intr-un generatorechivalent de tensiune.

Fig. 4.1.8.

Conform teoremei lui Thevenin-Helmholtzgeneratorul echivalent de tensiune va avea E g=U 120 si R g=R 120 , determinata cu bornele 1-2 in golconform fig. 4.1.9.

Date numerice:E2 = 16 V R 1 = 5,5 Ω R 4 = 2 Ω E4 = 24 V R 2 = 2 Ω R 5 = 4 Ω E6 = 64 V R 3 = 2 Ω R 6 = 5 Ω Aplic " nd teorema II se obtine:I14R 2-I24R 3-U120 =-E 2 U120=I14R 2-I24R 3+E 2 Curentii I 14 si I 24 se obtin prin metoda curentilor ciclici, deoarece bornele (1-2) sunt in gol.


46/279

a) b)

Fig. 4.1.9

I14=i l si I 24=i2 Sistemul de ecuatii are forma:il(R

2+R

5+R

6)+i

2R

5=E

6-E

2ilR 5+i2(R 3+R 4+R 5)=E 4 sau numericlli1+4i 2=484i1+8i 2=24Rezolv "nd sistemul se obtine i 1=4A, i 2=1A si U 120=22V.Rezistenta echivalenta a retelei pasivizate intre bornele 1-2 in gol, R 120 , se calculeaza din fig.

4.1.9.b. Triunghiul rezistentelor R 3, R 4, R 5 se transforma in stea.

Ω=++

= 23(# # #

# # #

245

4554

Ω=++= !# # # # #

# 245

2552

Ω=++

= !# # #

# # #

245

2442

Rezulta acum valoarea rezistentei echivalente a retelei cu bornele 1-2 in gol.

Ω=+=+++++

+= 23--23(# # # #

6# # 67# # 7# #

42528-

42852-54!-(

Deci generatorul echivalent de tensiune este prezentat in fig. 4.1.10.Curentul I 12 va fi de forma:

I12=23223-

--# #

%!!-(

!-(

+=

+

I12= .4

!!.


47/279

Fig. 4.1.10

Relatia 4.1.31 se foloseste pentru aflarea curentilor din laturile pasive.

4.1.4.3.2. Teorema generatorului de curent echivalent (Norton)

Tensiunea U AB produsa in sarcina de o retea liniara care alimenteaza o rezistenta exterioara R esteegala cu raportul dintre curentul de scurtcircuit I ABSC (pe care il debiteaza reteaua c "nd bornele A, B sunt

scurtcircuitate) si suma dintre conductanta exterioara G si conductanta G ABO a restului retelei, pasivizata,raportata la bornele A, B.

UAB=./0

./9:

;;)+

=+

+

;;

)

+ (4.1.32)

Exemplu: Se considera reteaua din fig. 4.1.11 si se cere sa se transforme reteaua, intre bornele 2-4,intr-un generator echivalent de curent.

a) b)Fig. 4.1.11

Date numerice E 1=30V, E 4=30V, E 6=50V, R 1=4Ω, R 2=10Ω, R 3=2,25 Ω, R 4=8Ω, R 5=10 Ω, R 6=5Ω.Curentul de scurtcircuit I 24sc , se afla aplic " nd metoda curentilor ciclici in cele trei ochiuri fig.

4.1.11.b.I24sc =i1+i2 i1(R 1+R 2) & i3R 2=E 1 i2(R 4+R 5) + i 3R 5=E 4 & i1R 2+i2R 5+i3(R 2+R 5+R 6)=E 6 Inlocuind valorile, sistemul devine:14i 1 & 10i 3=30


48/279

18i 2+10i 3=30 & 10i 1+10i 2+25i 3=50Rezolv "nd sistemul se obtin curentii ciclici:

i1=5!

!82A; i 2= -

5!-2

A si i 3=5!

!5<A.

Astfel I 24SC =

5!

!4(A.

Conductanta echivalenta a retelei pasivizate, intre bornele 2-4 in gol, se calculeaza dupa fig. 4.1.12.Se transforma triunghiul format din R 2, R 6 si R 5

intr-o stea echivalenta.

R 26=82-

8-

# # # # #

++=2Ω

R 25=82-

2-

# # # # #

++=4Ω

R 56=82-

82

# # #

# #

++=2Ω

Fig. 4.1.12

Rezulta acum valoarea rezistentei echivalente a retelei pasivizate cu bornele 2-4 in gol.

R 240=R 25+28-82!

284-8!

# # # # 6# # 67# # 7

+++++

=45!

Ω.

Fig. 4.1.13

Conductanta G 240=-4(# !

=5!4

Ω-1=5!4

S.

Generatorul echivalent de curent este conform fig. 4.1.13:

Avem deci: U 24= =<85

;;)

5-4(

>?-4 =+

. Curentul I 24= .-@

# %

5

-4 = .

Teorema prezentata se foloseste pentru aflarea tensiunilor pe laturi pasive (vezi relatia 4.1.32).


49/279

4.1.4.4. M etoda tran sfi gurar ii

O retea electrica se poate prezenta in conectare poligonala sau in conectare stelata. Pentru calcululretelei trebuie sa se faca transfigurarea poligonului in stea sau a stelei in poligon.

Metoda transfigurarii este aplicabila at " t la retele pasive c " t si la retele active.Consideram rezistoarele R 12, R 23 si R 31 conectate in triunghi.Transform " nd conexiunea in triunghi in conexiunea stea, se obtine fig. 4.1.14, in care rezistoarele

R 1, R 2 si R 3 trebuie determinate in functie de R 12, R 23 si R 31.

Fig. 4.1.14

Pentru aceasta se pune conditia ca rezistentele echivalente dintre punctele 1-2; 2-3; 3-1 sa fieaceleasi pentru cele doua conexiuni. Las " nd borna 1 in gol, pentru conexiunea triunghi se obtinerezistenta echivalenta:

6# # 7# # # #

# !

# # !

#

!

5!!--5

5!-5!-

-55!!-!$ +

++=++

=′

5!-5!-

5!!--5!$ # # #

6# # 7# #

+++

=′

Pentru conexiunea stea cu borna 1 in gol, se obtine rezistenta echivalenta:5-!$ # # # +=′′ .

Conform conditiei puse anterior !$!$ # # ′′=′ adica:

R 2+R 3=5!-5!-

5!!--5

# # # 6# # 7#

+++

(4.1.33)

Analog se fac calculele, las "nd bornele 2 si 3 in gol si se obtine:

R 3+R 1=5!-5!-

-5!-5!

# # # 6# # 7#

+++

(4.1.34)

R 1+R 2=5!-5!-

5!-5!-

# # # 6# # 7#

+++ (4.1.35)

Din sistemul format de relatiile (4.1.33), (4.1.34) si (4.1.35) rezulta valoriile rezistentelor R 1, R 2 siR 3. Adun " ndu-se relatiile se obtine:

2(R 1+R 2+R 3)=5!-5!-

5!!-5!-5-5!-

# # # 6# # # # # # 7-

++++

(4.1.36)

Compar " ndu-se pe r "nd relatia (4.1.36) cu celelalte se obtine:


50/279

R 1=5!-5!-

5!!-

# # # # #

++ (4.1.37)

R 2=5!-5!-

-5!-

# # # # #

++ (4.1.38)

R 3=5!-5!-

5!-5

# # #

# #

++ (4.1.39)

Pentru transfigurarea stea triunghi, demonstratia se face similar cu cea dinainte consider " nd pe r " nd bornele 2-3, 3-1, 1-2, in scurtcircuit si scriind rezistentele echivalente la stea si la triunghi egale. Obtinem:

R 12=5

-!

# # #

+R 1+R 2 (4.1.40)

R 23=!

5-

# # #

+R 2+R 3 (4.1.41)

R 31=-

5!

#

# # +R 1+R 3 (4.1.42)

4.1.4.5. M etoda curenti lor cicl ici (ochi ur il or in dependente)

Daca reteaua data are un numar mare de ochiuri, aplicarea celor doua teoreme ale lui Kirchhoffduce la un sistem cu un numar mare de ecuatii a carui rezolvare este dificila. Metoda curentilor ciclici

permite calculul retelei cu un numar redus de ecuatii. Aceasta retea complexa se considera ca osuprapunere de ochiuri independente, fiecare din aceste ochiuri fiind strabatut de un curent propriu(curent ciclic).

Printr-o latura care este comuna la doua ochiuri independente circula doi curenti ciclici, unulapartin "nd unuia dintre ochiuri, iar al doilea apartin "nd celuilalt ochi. In aceste conditii, curentii reali suntdati de suma algebrica a celor doi curenti ciclici din laturile respective. Curentii ciclici se obtin prinrezolvarea sistemului de ecuatii scris prin aplicarea teoremei a 2-a a lui Kirchhoff, pentru fiecare ochiindependent, dupa ce in prealabil s-a fixat c " te un sens de referinta in fiecare din aceste ochiuri (care estesi sensul curentului ciclic).

Exemplu: Se considera reteaua din fig. 4.1.15 si se cere sa se calculeze curentii din laturi folosindmetoda c

Bazele Electrotehnicii I

Documents

Transcript of Bazele Electrotehnicii I