ACADEMIA NAVAL MIRCEA CEL BTRN CONSTANA

SINTEZE DE CURS I BATERII DE TESTE PENTRU INSTRUIRE ASISTAT DE CALCULATOR LA BAZELE ELECTROTEHNICII I MSURRI ELECTRICE

Prof. univ. dr. ing. Alexandru SOTIR As. univ. drd. ing. Ion BUCIU

CONSTANA 2005

CUPRINS Partea I BAZELE ELECTROTEHNICIIPrefa Capitolul 1. Mrimi de stare ale corpurilor i ale cmpului electromagnetic 1.1. Mrimi primitive de stare ale corpului folosite n electromagnetism 1.2. Mrimi derivate folosite n electromagnetism Capitolul 2. Legile i teoremele electromagnetismului 2.1. Legea fluxului electric 2.2. Legea polarizaiei electrice temporare 2.3. Legea legturii dintre D , E i P 2.4. Legea magnetizaiei temporare 2.5. Legea fluxului magnetic 2.6. Legea legturii dintre B , H i M 2.7. Legea conduciei electrice 2.8. Legea transformrii energiei n conductoare 2.9. Legea electrolizei 2.10. Legea conservrii sarcinii electrice 2.11. Legea induciei electromagnetice 2.12. Legea circuitului magnetic 2.13. Teoreme specifice regimului electrostatic 2.13.1. Teorema lui Coulomb 2.13.2. Teorema lui Gauss 2.13.3. Teorema potenialului electrostatic 2.13.4. Potenialul electrostatic coulombian 2.13.5. Tensiunea electric ntre dou puncte de cmp 2.13.6. Polarizarea dielectricilor 2.13.7. Conductoare electrice 2.13.8. Teoremele lui Kirchhoff pentru electrostatic Capitolul 3. Regimul circuitelor de curent continuu 3.1. Circuite electrice de curent continuu (regim staionar) 3.2. Metode i teoreme pentru rezolvarea circuitelor de curent continuu 3.2.1. Metoda teoremelor lui Kirchhoff 3.2.2. Teoremele de transfigurare stea-triunghi i triunghi-stea 3.2.3. Teorema suprapunerii efectelor

5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 8 8 8 8 8 9 9 10 10 11 11 11 11 12 12

3.2.4. Teorema generatoarelor echivalente de tensiune i curent 3.2.5. Teorema reciprocitii 3.2.6. Teorema compensaiei 3.2.7. Metoda curenilor ciclici 3.2.8. Metoda potenialelor de noduri 3.3. Elemente neliniare de circuit n c.c. Capitolul 4. Cmpul magnetic staionar i cvasistaionar 4.1. Cmpul magnetic staionar. Elemente de electrotehnic 4.2. Magnetizarea corpurilor. Feromagnetizarea 4.3. Circuite magnetice (regim staionar) 4.4. Teoremele lui Kirchhoff pentru circuitele magnetice 4.5. Inductiviti 4.6. Energie i fore magnetice 4.7. Teoremele forelor generalizate n cmp magnetic 4.8. Ecuaiile lui Maxwell (medii imobile) 4.9. Propagarea cmpului electromagnetic. Unda plan Capitolul 5. Regimul permanent sinusoidal (RPS) 5.1. Circuite electrice liniare n RPS (regim cvasistaionar) 5.2. Studiul circuitelor liniare prin metoda direct 5.3. Caracterizarea circuitelor liniare n RPS 5.4. Metode de reprezentare simbolic a mrimilor sinusoidale 5.5. Caracterizarea n complex a circuitelor liniare 5.6. Elemente ideale de circuit n complex (R, L, C) 5.7. Ecuaia laturii de circuit n curent alternativ sinusoidal 5.8. Metode i teoreme pentru rezolvarea reetelor de curent alternativ sinusoidal 5.8.1. Metoda teoremelor lui Kirchhoff 5.8.2. Teorema conservrii puterilor 5.8.3. Teorema transferului maxim de putere pe la borne 5.8.4. Metoda suprapunerii efectelor 5.8.5. Teoremele de transfigurare stea-triunghi i triunghi-stea 5.8.6. Teorema generatoarelor echivalente de tensiune i curent 5.8.7. Teorema compensaiei 5.8.8. Metoda curenilor de ochiuri 5.8.9. Metoda petenialelor de noduri Capitolul 6. Reele de curent alternativ trifazat 6.1. Sisteme electrice trifazate 6.2. Rezolvarea reelelor trifazate simetrice echivalente

12 12 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 16 16 16 17 17 18 18 19 21 22 23 24 24 25 25 25 25 26 26 26 27 28 28 30

Capitolul Capitolul

Capitolul

Capitolul Capitolul

6.3. Reele trifazate dezechivalente 6.4. Puteri n reele trifazate dezechilibrate 7. Cuadripoli i filtre electrice 7.1. Cuadripoli electrici 7.2. Filtre electrice 8. Regimul permanent nesinusoidal al circuitelor electrice liniare 8.1. Regimul permanent nesinusoidal (RPNS) 8.1.1. Elemente de circuit neliniare 8.2. Puteri n regim permanent nesinusoidal 8.3. Elemente ideale de circuit n RPNS 9. Circuite neliniare n regim permanent sinusoidal (RPS) 9.1. Elemente neliniare de circuit n RPS 9.2. Bobina cu miez de fier 9.3. Condensatorul cu pierderi (condensatorul real) 10. Circuite electrice n regim tranzistoriu (RT) 10.1. Regimul tranzitoriu al circuitelor liniare 10.2. Metode de rezolvare a circuitelor liniare n RT 11. Cmpul electromagnetic n conductoarele masive 11.1. Ipotezele analizei 11.2. Ecuaiile lui Maxwell 11.3. Ptrunderea cmpului ntr-un conductor masiv 11.4. Adncimea de ptrundere 11.5. Efectul pelicular (skin effect) 11.6. Pierderile de putere prin efect pelicular 11.7. Calculul rezistenei conductorului n curent alternativ

31 34 35 35 38 40 40 40 41 41 43 43 43 44 46 46 47 49 49 49 49 50 51 52 52

Partea a II-aBateria de teste B.E. 1 Bateria de teste 1 Bateria de teste 2 Bateria de teste 3 Bateria de teste 4 Bateria de teste 5 Bateria de teste 6 Bateria de teste 7 Bateria de teste 8 Bateria de teste 9 Bateria de teste 10 Bateria de teste 11 Bateria de teste 12 Bateria de teste 13 53 54 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77

Bateria de teste 14 Bateria de teste 15 Bateria de teste 16 Rspunsuri la bateria de teste B.E. 1 Comentarii i explicaii la unele teste din B.E. 1

79 81 83 85 86

Partea a III-aBateria de teste B.E. 2 Rspunsuri la bateria de teste B.E. 2 126 141

Partea a IV-a MSURI ELECTRICECapitolul 12. Procesul de msurare 12.1. Noiunile de aparat de msurat i de traductor 12.2. Etaloane 12.3. Metode de msurare 12.3.1. Metode directe de msurare 12.3.2. Metode indirecte de msurare 12.3.3. Categorii de msurri 12.3.4. Msurri statice 12.3.5. Msurri dinamice 12.3.6. Msurri statistice 12.3.7. Msurri analogice 12.3.8. Msurri numerice 12.3.9. Msurri de laborator 12.3.10. Msurri industriale Capitolul 13. Msurri statice 13.1. Aparate electrice indicatoare pentru msurri statice 13.1.1. Elemente componente comune ale aparatelor electrice de msurat analogice 13.1.2. Aparate magnetoelectrice 13.1.2.1. Construcia dispozitivului motor 13.1.2.2. Principiul de funcionare 13.1.2.3. Logometre magnetoelectrice 13.1.2.4. Erorile aparatelor magnetoelectrice 13.1.3. Aparate feromagnetice 13.1.3.1. Construcia aparatelor feromagnetice de repulsie 13.1.3.2. Relaii de funcionare 13.1.3.3. Aparate feromagnetice cu rezonan 13.1.3.4. Erorile aparatelor feromagnetice 13.1.4. Aparate electrodinamice 143 144 147 148 148 150 152 152 153 153 154 155 155 156 157 157 157 161 161 162 165 166 167 167 168 170 171 173

13.1.4.1. Construcia aparatelor electrodinamice 13.1.4.2. Relaii de funcionare 13.1.4.3. Aparate ferodinamice 13.1.4.4. Erorile aparatelor electrodinamice 13.1.5. Aparate cu inducie 13.1.5.1. Dispozitivul de inducie cu dou fluxuri 13.2. Msurarea curenilor i tensiunilor electrice 13.2.1. Msurarea industrial a curenilor electrici 13.2.1.1. Msurarea industrial a curentului continuu 13.2.1.2. Msurarea industrial a curentului alternativ 13.2.2. Msurarea industrial a tensiunii electrice 13.2.2.1. Msurarea industrial a tensiunii continue 13.2.2.2. Msurarea industrial a tensiunii alternative 13.3. Msurarea parametrilor R, X, Z 13.3.1. Metoda ohmmetrului 13.3.2. Msurarea i verificarea rezistenei de izolaie a instalaiilor electrice 13.4. Msurarea puterii electrice 13.4.1. Msurarea puterii electrice n circuite de curent continuu 13.4.2. Msurarea puterii electrice n circuite de curent alternativ monofazat 13.4.2.1. Msurarea puterii reactive 13.4.2.1. Metoda direct de msurare a puterii reactive 13.4.3. Msurarea puterilor active i reactive n circuitele trifazate 13.4.3.1. Teorema Blondel 13.4.3.2. Msurarea puterii active ntr-un circuit trifazat fr conductor neutru 13.4.3.3. Msurarea puterii active ntr-un circuit trifazat cu conductor neutru 13.5. Msurarea energiei electrice 13.5.1. Msurarea energiei electrice active n circuitele de curent alternativ 13.5.1.1. Contorul monofazat de inducie 13.5.1.2. Contoare trifazate Tabelul 1. Simbolurile aparatelor electrice de msurat Baterie de teste pentru msurri electrice

175 175 178 179 180 180 183 183 183 186 188 188 191 193 193 197 198 198 200 200 201 202 202 205 209 212 212 212 221 224 229

PREFA

Manualul de fa este constituit din patru pri i anume: - o sintez de curs de Bazele Electrotehnicii (B.E.), care cuprinde, ntr-o form concentrat, dar explicit, cunotinele necesare stundenilor din anii II i III de studiu pentru asigurarea fundamentelor necesare ntelegerii i nsuirii ulterioare a noiunilor de inginerie electric predate la disciplinele tehnice, cum sunt: Maini Electrice, Msurri Electrice, Aparate Electrice Navale, Acionri Electrice, Automatizri, Instalaii Electrice Navale i Portuare, Centrale Electrice Navale, Dispozitive i Circuite Electronice i altele. - o baterie de teste de B.E. numit Bateria B.E. 1, care cuprinde 160 de teste i este dedicat celor care vor s aprofundeze studiul Bazelor Electrotehnicii, urmrind o specializare n domeniul Ingineriei Electrice (incluznd Electronica i Automatizrile Electrice). Aceast baterie de teste este nsoit de o pagin de rspunsuri corecte, precum i de un fiier-anex, cuprinznd rspunsuri nsoite de explicaii, la testele considerate a avea o dificultate mai mare. - o baterie de teste B.E. numit Bateria B.E. 2, care cuprinde un numr de54 de teste i care acoper n principal subiectele date la examenele de Bazele Electrotehnicii pentru specializrile: Navigaie, Electromecanic i Exploatri Portuare. - o sintez de curs la Msurri Electrice, care cuprinde ntr-o manier concentrat, principalele cunotine necesare unui viitor specialist electromecanic sau de exploatri portuare. Manualul este depus i pe suport magnetic pentru accesarea uoar de ctre studeni i instruirea asistat de calculator. El este dedicat studenilor de la nvmntul cu frecven redus, oferindu-le acestora principalele cunotine care le sunt necesare pentru abordarea n continuare a altor discipline cu profil electric i electronic.

Capitolul 11. Mrimi primitive de stare ale corpurilor folosite n electromagnetism q - sarcina electric adevrat (starea de ncrcare electric); r p - momentul electric (starea de polarizare electric); i - starea electrocinetic; r m - momentul magnetic (starea de magnetizare). 1.1. Mrimi primitive de stare ale cmpului electromagneticr Ev - intensitatea cmpului electric n vid; r r ( E , D) - intensitatea cmpului electric i inducia electric n corpuri; r Bv - inducia magnetic n vid; r r ( B , H ) - inducia magnetic i intensitatea cmpului magnetic n corpuri.

1.2. Mrimi derivate folosite n electromagnetism v = limq ; s ; e - densiti de sarcin electric; v 0 v

r P - polarizaia electric (corpuri de dimensiuni mari); B r r u AB = Eds - tensiunea electric;

r r e = Eds - tensiunea electromotoare;r r r r S = DdA fluxul electric; = DdA ;S

A

- r densitatea curentului electric de conducie; M - magnetizaia corpurilor de dimensiuni mari; [A/m];

r r m ; M = lim v 0 v B r r r r u mm AB = Hds ; u mm = Hds ;A

S C=

r r r r = BdA ; = BdA - fluxul magnetic

S

q - capacitate electric u d di L, M - inductiviti: L = ; e = = L I dt dt 1 u R = - rezistena electric ; G = - conductana electric. i R Parametrii constitutivi ai unui mediu electromagnetic: , , sau , ,

Capitolul 2Legile i teoremele electromagnetismului 2.1. Legea fluxului electricr r r = DdA = q ; divD = v

2.2. Legea polarizaiei electrice temporarer r Pt = 0 e E ; 0 = r r r r 1 F / m ; D = E ; = 0 r ; D = 0 E n vid (aer) 9 4 9 10

2.3. Legea legturii dintre D , E i Pr r r r r r D = 0 E + P ; P = Pt + Pp

r r

r

2.4. Legea magnetizaiei temporarer r r r M t = m H ; B = H ; = 0 r

2.5. Legea fluxului magneticr r r r r = BdA = 0 ; divB = 0 ; rotB = A

2.6. Legea legturii dintre B , H i Mr r r r r r B = 0 ( H + M ) ; M = M t + M p

r r

r

2.7. Legea conduciei electricer r r r r r r r r r E + E i = J ; J = ( E + E i ) ; E = E C + E S + E i ub = Ri ; ub + e = Ri ; R = l []; [ ] = 1m ; [ ]SI = (1m )1 A

2.8. Legea transformrii energiei n conductoare

rr r r r p j = EJ = J 2 = E 2 0 ; E + Ei = J ; pR 0 r r p j = J 2 Ei J = p R pG pG 0 PR 0 Pj = p j dv = u f i ; u f + e = Ri ; Pj = Ri ei = PR PG v PG 0 2

2.9. Legea electrolizei A masa atomic t 1 A m= q = idt valena F0 0 F = 96490 C echiv. gram 0 K echivalentul electrochimic 1 A F0 1 3 2 A

echivalentul chimic

2.10. Legea conservrii sarcinii electricei = dq ; dt r r d JdA = dt

V

V dv

n materiale izolatoare: q = ct

r d divJ = V dt t

Observaie: teorema relaxaiei: V (t ) = V (t0 )e

r

; r =

Consecine: - Teorema continuitii liniilor de curent n regim staionar: - Consecinele teoremei continuitii: rr a) Jn = 0

i = 0 ( este dus numai prin conductoar e) r divJ = 0

figura 1 b) Intensitatea curentului staionar este aceeai n lungul unui tub de curent i n particular n lungul unui conductor parcurs de curent; c) J n = J n1 2

figura 2 Observaie: teorema continuitii este valabil i n regim cvasistaionar pentru orice suprafa care nu trece prin dielectricul unui condensator (viteza de variaie a sarcinii electrice este neglijabil peste tot, cu excepia dielectricului condensatorului); i consecinele a), b) i c) rmn valabile.r r r r d ; Eds = BdA dt S dt r r r r r r r r r d B r div 3 1 Bd Eds = dt t dA v424A rot ( B v )dA =0 S S S r r r r r r d B r Eds = dt t dA + (v B)ds 14S244 14 4 4 3 2 3et em

e =

d S

2.11. Legea induciei electromagnetice

r em = Blv ( pentru un conductor rectiliniu , deplasat cu viteza v pe un cadru metalic) r r B a doua ecuaie a lui Maxwell pentru medii imobile rotE = t

2.12. Legea circuitului magneticu mm = S + r r Hd s

r r Hd s

r r r r d r r Hds = JdA + DdA dt dt S S r r r r r r r r r D r dA + v divDdA + rot ( D v )dA = JdA + t S S S S 144r 44 2 3 r r = ( Dv ) ds r r r r r r r r r = JdA + JdA + v V dA + ( D v )ds S S S 1 3 1 3 1 24 14 4 2 2 4 3 2 3 iR iD = N i iV 1444442444443 ;iH

dS

u mm = S + i D r r r D rotH = J + t

pentru medii imobile prima ecuaie a lui Maxwell pentru medii imobile

2.13. Teoreme specifice regimului electrostatic 2.13.1. Teorema lui Coulomb

r r q1q2 r R u12 [N ]; u12 = R 4 0 R 2 q1 0 ; q2 0 r F12 de respingere q1 0 ; q2 0 r q2 r 1 F12 = 3 R [N ] 4 0 R r F12 = 1

2.13.2. Teorema lui Gaussr r 1 E = EV dA = q

0

2.13.3. Teorema potenialului electrostaticr r r Eds = 0 ; E = gradV

Consecine: a) n regim electrostatic, tensiunea electric ntre dou puncte nu depinde de drum: uf = ub b) UAB =VA - VB - Teorema conservrii componentelor tangeniale ale induciei electrice D1r = D2r ; D1cos1 = D2cos 2 - Teorema conservrii componentelor tangeniale ale intensitii cmpului electric E1t = E2t ; E1sin 1 = E2sin 2 - Teorema refraciei liniilor de cmp electrictg 1 1 = tg 2 2

- Teorema energiei n cmpul electrostatic

1 n 1 rr We = q K VK ; We = we dv ; we = DE J 3 m 2 K =1 2 V

( )

2.13.4. Potenialul electrostatic coulombianr r r VP = VP0 Eds ; divE = gradVP P0

Fora cu care un cmp electrostatic acioneaz asupra unei sarcini punctiformer r F Fe = qEv 0 sau 0 [N ]; q = e 0 sau 0 Ev

Densiti de sarcin electric

V = lim

q dq = C / m3 ; v dv

[

]

s [C / m 2 ]; e [C / m]

Conservarea sarcinii electrice

qK

K

= ct sistem de corpuri izolate fa de

mediul exterior; Consecine: a) dac dou corpuri electrizate vin n contact (avnd sarcini diferite), sarcina se redistribuie astfel nct sarcina total rmne constant; b) dac se freac dou corpuri izolatoare iniial nencrcate, ele se ncarc cu sarcini egale dar de semne contrare. Cmpul electric (coulombian) al unui corp punctual electrizat n vidr r Ev = u E1 4 0

q [V / m]; R2

r Ev =

1 4 0

q r R R3

cazul general:r Ev = q dA r ds r 1 V dv r 3 R + V 3 R + l 3 R + i3 R R 4 0 V R i R S l V = ct ; r r E ds = 0

r R

Suprafee echipoteniale

2.13.5. Tensiunea electric ntre dou puncte n cmp2 r 2 r u12 = Eds = ( dV ) = V1 V2 1 1

[V ]

Potenialul electric n interiorul conductoarelor (omogene), n regim electrostatic r r r r Condiia de echilibru electrostatic n conductoare omogene Influena (inducia) electrostatic ntr-un conductor introdus n cmp: Efectul de ecran (pline/goale) Rigiditatea dielectricEd = 10 sute kV / cmV = 0

V = ct ; din : E + Ei = 0; E = 0; E = gradV = 0

r r r r r r E + Ei = 0; E = Ei ; Ei = 0 E = 0

r r r Eint = Eext + Eindus = 0

r E = 0 n interiorul conductoarelor

2.13.6. Polarizarea dielectricilor

Caracterizare:

r p - momentul electric [Cm] r P - polarizaia [C/ m 2 ]

Momentul dipolului: pd = ql = ct Aciuni ponderomotoare n cmp electric exterior: rr r C p = pd Ev r r r Fp = grad p Ev

r

d

(

)R

r 1 Potenialul i cmpul corpurilor polarizate: V p = f (1 / R 2 ); E p = f 3

2.13.7. Condensatoare electriceC= q1 q q q = 1 = 2 0 ; q1 = q2 ; C = V1 V2 u12 u 21 u

- Calculul capacitii electrice: Condensator plan: C = A d

[F ]l ln b a ; b a1 1 = C es i Ci

Condensator cilindric: C = 2

- Teoremele capacitilor echivalente: Cep = Ci ;i

2.13.8. Teoremele lui Kirchhoff pentru electrostatic a) q K = 0 pentru (N-1) noduri electrostaticeK b

b) E K = K p

qK pentru O ochiuri independente K p C K

- Interpretarea permitivitii electrice relative rC0 = 0C = = r C0 0

A A dielectric aer (vid); C = dielectric oarecare; d d

(C C0 )

r E0 - cmpul n absena dielectricului (vid); r E p - cmpul de polarizare al dielectricului; r E - cmpul n prezena dielectricului (rezultant) r r r E = E0 E p r La calculul capacitii se utilizeaz cmpul E (rezultant).

figura 3

Capitolul 3Regimul circuitelor de curent continuu 3.1. Circuite electrice de curent continuu (regim staionar)r r r E + Ei = J

- Ecuaia circuitului simplu: E0 = (T + R) I ; - Topologia circuitului de c.c.: L, N, (N-1), O=L-(N-1); - Ecuaiile laturilor circuitului de c.c.. Conveniile de la generatoare i receptoare: E U b = RI ; - Cmpuri imprimate: de acceleraie, termoelectrice, galvanice (electrolitice), de contact (voltaice), fotoelectrice: - termoelectrice (efect Seebeck); - electrolitice (galvanice) - pila galvanic Cu-Zn; - voltaice (de contact) - tabelul lui L. Pauling. - Generatoare ideale de tensiune: U b = E0 ; U b = E0 rI (real ) - Generatoare ideale de curent: I = I sc ; I = I sc Ub ( real ) r

- Echivalena generatoarelor de tensiune i curent:

figura 4 figura 5 - Sensuri convenionale pentru cureni, tensiuni, tensiuni electromotoare. 3.2. Metode i teoreme pentru rezolvarea circuitelor de c.c. 3.2.1. Metoda teoremelor lui Kirchhoff a) I K = 0; b=1, 2, , (N-1) b) U b = 0; p = 1,2,..., ; = L ( N 1) Forma dual: E K = RK I K ; p = 1,2,..., K

K b

K p

K p

- Teorema conservrii puterilor: U b I K = 0;K =1K

L

PK =1

L

bK

= 0;

2 Forma de bilan: E K I K = RK I K ; PG = PC K =1 K =1

L

L

- Teorema transferului maxim de putere pe la borne: Rs = Rg ; max =Ps max Pg maxRs = Rg

= 0,5

- Teoremele rezistenelor echivalente 1) Rezistena echivalent a unui dipol pasivRe =d

Ub (la borne); Res = RK ; I K

1 1 = Rep K RK

figura 6 2) Divizoarele de tensiune i de curentUb U 1 = R1 R + R ; 1 2 U = R U b ; 2 2 R1 + R2 R2 I1 = I R + R ; 1 2 I = I R1 ; 2 R1 + R2

3.2.2. Teoremele de transfigurare Y i YR1 R2 + R2 R3 + R3 R1 R12 R31 ; R1 = R3 R12 + R23 + R31 R R + R2 R3 + R3 R1 R23 R12 R23 = 1 2 ; R2 = R1 R12 + R23 + R31 R R + R2 R3 + R3 R1 R31 R23 R31 = 1 2 ; R3 = R2 R12 + R23 + R31 R12 =

3.2.3. Teorema suprapunerii efectelorI j = I jK ;K =1 L

j = 1,2,..., L

3.2.4. Teoremele generatoarelor echivalente a) Teorema generatorului echivalent de tensiune: I AB =U AB R AB + R AB0

b) Teorema generatorului echivalent de curent: U AB =

I ABsc G AB + G AB0

3.2.5. Teorema reciprocitii(o singur surs n reea)( I jK ) E = EK = ( I Kj ) E = E j ; E j = E K = E

3.2.6. Teorema compensaiei

E=RI figura 7 figura 8 3.2.7. Metoda curenilor ciclici (de ochiuri, Maxwell)

Rq =1

o

pq q

I = E ; p

p = 1,2,..., o ;K q

(Transformare liniar: I K = I q ; q = 1,2,..., o ).

3.2.8. Metoda potenialelor de (la) noduri

G V = I c =1 bc c

N 1

sc b

; b = 1,2,..., ( N 1) ;K

(Transformare liniar: U b = Vb Vc ). Curenii de laturi se calculeaz astfel: U b = Vb Vc pentru toate laturile K;K

IK =

E K U bK RK

= GK E K GKU bK = I scK GK E K 1 3 2I sc K

3.3. Elemente neliniare de circuit n c.c. - Caracteristica tensiune-curent: U=f(I);U - Rezistena static: Rst = = ktg 0 I MU dU ktg 0 , dup cum caracteristica = dI I

- Rezistena dinamic: Rd = lim I 0

U=f(I) este ascendent sau descendent.

Capitolul 4Cmpul magnetic staionar i cvasistaionar 4.1. Cmpul magnetic staionar. Elemente de electrodinamic.r r r Fm = q (v Bv ) - fora magnetic Lorentz; r r r F = i(l Bv ) - fora magnetoelectric Laplace. r r Aciuni ponderomotoare asupra buclei de curent: mb = iA ; r r r C m = mb Bv [N m] r Fm = 0 (cmpuri omogene)

Manifestare:

Cmpul magnetic se caracterizeaz prin: r r r a) n vid ( Bv ) : Bv = 0 H v ; r r r r b) n corpuri ( B, H ) : B = H (materiale liniare). Fora electrodinamic (Ampere):r r ii F12 u12 0 1 2 l 2 R12

[N ]i1 i2

r F12 de atracie

Calculul cmpului magnetic staionar a) produs de un conductor rectiliniu, filiform, de lungime infinit:Bv = Hv =

0 i [T ]; Bv = 0 i 2 R12 2 d 0Bv =

r r 1 i [A / m] din F12 Ampere = FLaplace 2 d

b) produs de circuite nchise; formula lui Biot-Savart-Laplace:r i Hv = 4 r r d0 R R3

- cazul spirei circulare: H v = - cazul unui solenoid: H v =

ia 2 ; Hv = 2R 3

ia 2 2 a2 + z2

(

)

3 2

Ni (cos 1 cos 2 ); 2l

Hv =

Ni , pentru l . l

4.2. Magnetizarea corpurilor. Feromagnetismul Ciclul de histerezis (B=B(H)). (Fe, Co, Ni, aliaje cu Fe, Co, Ni, ferite) Clasificarea materialelor magnetice: a) moi (ciclu ngust, H c mic, Br mic, r mare);

b) dure (ciclu lat, H c mare, Br mare, r mic). Ferite: r mare, ciclu ngust, H c mic, Br mic, mare - pierderi n fier mai mici datorit curenilor turbionari. 4.3. Circuite magnetice (regim staionar)r r u mm Hds = S ; = Ni - Teorema lui Ampere (regim staionar): r r rotH = J sau: u mm H K l K = K (pe tronsoane de circuit).K K

Utilizare: calculul cimpului magnetic al circuitelor in regim stationar - Reluctanta (permeanta) magnetica:Rm = ds l Asp 1 Wb = Wb ; = R Asp A A m 1( C )

2

- Legea lui Ohm pentru o latura de circuit magnetic:U m = R m f ; R m = l A

4.4. Teoremele lui Kirchhoff pentru circuite magnetice

KbKp

fK

= 0 ; b=1,2,,(N-1)= R mK m K ; p=1,2,,o 4 3 Kp 1 24u mK

K

Se presupune absenta fluxului de dispersie! - Reluctante echivalente:R ms = R mK ;K

1 1 = R mp K R mK

4.5. InductivitatiL11 = L 21 = N1 f11 N 2 f 22 11 ; L11 = ; L 22 = 22 ; L 22 = ; I1 I1 I2 I2 N 2 f 21 N1 f12 21 ; L 21 = ; L12 = 12 ; L12 = ; I1 I1 I2 I2

L12 = L21 = M (in absenta dispersiei) - Asocierea sensurilor dintre 11, 22 , 12 , 21 si curenti 11 > 0 ; 22 > 0 ; 12 , 21 0 L11 > 0 ; L22 > 0 ; L12 = L21 0

- Relatia dintre inductivitatile proprii si mutuale: M2 = L12 L22 coeficient de cuplaj k =M 1 L11 L22

- Calculul inductivitilor: - se presupune circuitul parcurs de curent; - se calculeaz inducia produs n jurul su; - se calculeaz f ; t ; - se determin inductana circuitului. Exemple: a) pentru inelul circular cu o spir: L = pentru N spire: L = 0aN 2 b) pentru un solenoid: L = 0 AN 2l1 2t 1 = 0a I 2

[H ]

[H ]

2 R2 21 1 c) pentru dou spire concentrice: M = L21 = = 0 ; R1 R2 I1 R1 2 2 N1 N 2 R2 1 n cazul a N1 , N 2 spire: M = L21 = 0 2 R1

- Calculul inductivitii cu ajutorul reluctanei unui circuit magnetic:N f N2 L= ; din : L = ;f = Rm I Rm

(T2 K )

- Convenia referitoare la semnul inductivitilor mutuale n circuite cuplate magnetic:

figura 9 - Inductivitate de dispersie:21

figura 10 f11 = f 21 + f d ; idem f 22

L11 = Lu + Ld 21 21 Ld12 Ld 21 L22 = Lu12 + Ld12

- Exprimarea t.e.m. induse cu ajutorul inductivitii: e = - Autoinducia: R p = RL ; R p - rezisten protecie T.e.m. de autoinducie

d di = L dt dt

figura 11d d 0; e = ; dt dt

I flux inductor i flux indusd d d 0; e = = dt dt dt

4.6. Energie i fore magnetice2 dWm = iK d K Xdx; din : eK iK dt = RK iK dt + L + dWmK =1 K =1 K =1 n n n

- Calculul energiei magnetice a sistemului de circuite (imobile: dx=0):Wm = iK K 2 K =1n

[J ];

Wm = K =1 J =1

n

n

LKj i j iK 2

4.7. Teoremele forelor generalizate n cmp magneticdWm = iK d K XdxK =1 n

a) teorema nti ( K = ct ) : b) teorema a doua (i K = ct ) :

W X = m x Wm X = x i

- Calculul forei portante a unui electromagnet:n i i Li 2 W X = m ; Wm = K K = = ; L = L( x) a) 2 2 2 x K =1 2 1 L 2 X = = 2 2L 2 L x

b) X =

Wm i 2 L = x i 2 x N2 lf = N 2 0 A ; lf + 2x rf N 2 0 A L = 2 2 x lf + 2x r u u v uv ; d = v v2

L=

N2 = Rm

f Af

+

l0 0 A0

Rezult: X =ct =

2 ; N 2 0 A

X i =ct =

i 2 L2 N 2 0 A

4.8. Ecuaiile lui Maxwell (medii imobile)r r r D rotH = J + { r t H r r rotE = B Se completeaz cu relaiile de material (medii t r divrD = v { Dr divB = 0 r r D = E r r liniare): B = H . r r r E + Ei = J Soluiile sistemului sunt univoc determinate dac se dau , , , v , Ei sau J,

precum i condiiile la limit: - condiii de frontier; - condiii iniiale. 4.9. Propagarea cmpului electromagnetic. Unda plan.2H z 2H z = 0; x 2 t 2 2Ey x 2 =0 t 2 x x E y = f1 t v + f 2 t + v sau H = f t x + f t + x 1 2 z v v 2H y

E y = f1 ( x vt ) + f 2 ( x + vt ) H z = f1( x vt ) + f 2( x + vt )

- Impedana de und:Zu = Ey Hz =

0 ; Zu = 377 00

- Lungimea de und : = vT . - Numrul de und K ( sau ) : K =

2 . = v

Capitolul 5Regimul permanent sinusoidal (RPS) 5.1. Circuite electrice liniare n RPS (regim cvasistaionar) - regimul variabil permanent i periodic cel mai rspndit - Caracterizare; definiia regimului cvasistaionar: a) caracterul filiform al circuitelor; r r b) J D J c) l d) pierderile de curent de conductor prin izolaie se neglijeaz (i se conserv n lungul conductorului). 5.2. Studiul circuitelor ideale simple n RPS a) rezistorul ideal: ub = Ri; pb = ubi = R 2i 0 b) bobina ideal: ub = Ldi ; dt pb = ub i = d Li 2 0 dt 2

c) condensatorul ideal: ub = uc =i=C duc ; dt pb = ub i =

q 1 = idt C C

d Cuc2 0 dt 2

- Generatoare ideale de tensiune i curent a) generatorul ideal de tensiuneub = e g = ct ; Pb = ; rg = 0

b) generatorul ideal de curent: i = i g (= i g ); Pb = - Mrimi sinusoidale. Caracterizare - valoare medie: I med = - valoare efectiv: I =1 nT1 Tt1 + nT

It12

max

sin(t + ) = 0I max 0,707 I m 2

t1 +T

i dt =t1

- factor de form al mrimii sinusoidale: K f =2 T

IT t1 + 2

=

2 2

= 1,11

idtt1

- factor de distorsiune al mrimii sinusoidale: K d =

d - defazaj: = 0; 0; = 0; = ; = 2

I 2 I12 = 0 ( I = I1 ) I

- operaii cu mrimi sinusoidale (de aceeai frecven); - impedana circuitului: Z = 0 [] - Studiul circuitelor liniare prin metoda direct: - scrierea ecuaiei (integro-difereniale) a circuitului; - cutarea unei soluii particulare pentru curent de forma tensiunii la borne; - se introduc defazajul ( ) i impedana (Z); - se scrie expresia curentului: i(t ) = I 2 sin(t + ) = a) rezistorul ideal: I =U Z 2 sin(t + ) . U ; Z = R; = 0; ( = ) R U b) bobina ideal: I = ; Z L = L; = 0 2 L 1 c) condensatorul ideal: I = CU ; Z C = ; = 0 2 Cd

U I

5.3. Caracterizarea circuitelor liniare n RPS a) Impedana i defazajul: Z = curentul este univoc determinat; b) Rezistena i reactana se calculeazX = Z sin 0 X Z = R 2 + X 2 ; tg = 0 R R = Z cos 0;

U 0; = 0 I

[]

- triunghiul impedanelor; c) Admitana i defazajul: Y =

1 I = 0 [S ] sau 1 Z U X cos sin tg = 0 unde : R = ;X = R Y Y G = Y cos 0 [S ]; B = Y sin ; B 0

[ ]

d) Conductana i susceptana

Puteri n RPS - putere activ: P = UI cos 0 [W ]; P = RI 2 = GU 2 0 - putere reactiv: Q = UI sin 0 [VAR ]; Q = XI 2 = BU 2 0 Convenii pentru Q la generatoare i receptoare: generatoare Q 0 cedat Q0 absorbit Q 0 absorbit receptoare Q0 cedat

- putere aparent: S = UI 0 [VA]; S = ZI 2 = YU 2 0 - factor de putere: cos =P ; 0 cos 1 S

5.4. Metode de reprezentare simbolic a mrimilor sinusoidalecinematice (cu vectori rotitori) polare (cu vectori fici) nesimplificat 2. Reprezentri analitice (n complex) simplificat

1. Reprezentri geometrice

i = I 2e j (t + ) ; i (t ) = Im{i} = I 2 sin(t + ) I = Ie j ; i (t ) = Im 2e jt I = 2 I sin(t + )

{

}

Defazajul: = = arg U arg I = arg = arg ZZ = Ze j ; = arg Z

d

U I

- Corespondena operaiilor elementare: a) adunarea: i1 (t ) + i2 (t ) I 1 + I 2 b) amplificarea: i(t ) I c) derivarea: fazorul I; d) integrarea: i (t )dt fazorul I. Exemplu: circuitul serie R,L,C. a) reprezentarea polar:di j I ; dt j I este defazat cu +

2

fa de

1 I ; defazat cu fa de j 2

figura 12di 1 + idt dt C u = 2U sin(t + ) u (t ) = Ri + L 2U sin(t + ) = RI 2 sin(t + ) + LI sin(t + +

2

)+

1 I 2 sin(t + ) C 2

OAB: I =

U 1 R 2 + L C 22

1 Z = R + L C 1 L C = arctg R

2

figura 13 b) reprezentarea n complex simplificat:di 1 + idt dt C 1 U = R I + j L I + I I = jC u (t ) = Ri + L

U 1 R + j L C

=

U Z

I=

Ue j 1 R 2 + L e C 2 1 L C jarctg R

I=

U 1 R 2 + L C 2

e

1 L C j jarctg R

= Ie j

unde:I= U ; = ; = arctg Z

L R

1 C = arctg Z

i (t ) = Im 2e jt I i (t ) =

{

} = I 2 sin(t + ) b a2

1 L C sin t + arctg 2 R 1 R 2 + L C U 2

Not: C = a + jb = C (cos + j sin ) = Ce j ; = arctgC = a +b ; j =e ; j =e2 2 2 j

j

e j = cos + j sin ; j e = cos j sin

figura 14 5.5. Caracterizarea n complex a circuitelor liniare Dipol pasiv-receptor:

figura 15 a) Impedanta complexa Z ; triunghiul impedantelorU = Ze j = Z(cos + j sin ) = R + jX I U Z = 0 ; = 0 ; Z = R 2 + X 2 [] I R = Re{Z} = Z cos 0 ; X = Im{Z} = Z sin 0 Z=

b) Admitanta complexa Y ; triunghiul admitantelorI 1 I j = = e = Ye j = Y(cos j sin ) = G + jB U Z Z B G = Y cos 0 [S] ; B = Y sin 0 ; tg = G Impedanta Z si respectiv, admitanta Y sunt suficiente pentru calculul Y=

curentului:I=

U U = = e j() ; i( t ) = Im 2e jt I Z Zjt

I = Y U = YUe j()

{ } ; i( t ) = Im{ 2e I}

Putere complexa ; triunghiul puterilorS = U I [VA] ; S = UIe j() = UIe j = P + jQ S = UI ; P = UI cos ; Q = UI sin P 0 ; Q 0 la receptoare(dipoli) pasive P 0 ; Q 0 la receptoare(dipoli) active primita de receptor S > 0 cedata de generator

P = RI2 = GU2 0 [W] Q = XI2 = -BU2 0 [VAR] Conventii: Q 0 abs. de rec. Q 0 ced. de gen. Q 0 ced. de rec. Q 0 abs. de gen.

Relatii intre puteri (in triunghiul puterilor) S2 = P2 + Q2 ; P = Scos ; Q = Ssin 5.6. Elemente ideale de circuit n complex (R, L, C) - ImpedanaZ = R ; Z = jL ; Z = 1 j = jC C

- AdmitanaY= 1 1 ;Y= ; Y = j C R j L

- Puterea complexS = ZI 2 = Y U 2 j 2 S = RI 2 = GU 2 S = jLI 2 = U L P = RI 2 ; Q = 0 2 P = 0 ; Q = LI 1 2 2 S = jC I = jCU P = 0 ; Q = 1 I 2 C

5.7. Ecuatia laturii de circuit n curent alternativ sinusoidal

figura 16e( t )

d ext ( t ) di 1 + u b ( t ) = Ri + L + idt dt dt C

figura 171 E j ext U b = ZI ; Z = R + j L 144 44 2 3 C Ua

U a = ZI

Laturi necuplate magnetic: E U b = ZI Laturi necuplate pasive: U b = ZIem d mext dt + u bm = R m i m + L m di m 1 i m dt ; mext = L msi s + dt C m

e m + u bm = R m i m + L m

L di + L ms 0 di m 1 i m dt L ms s ; + dt C m dt L ms 0 s =1 sm

L 1 I m jL ms I s E m U bm = R m + jL m + jC m s =1 s 1

E m U bm = Z m I m Z ms I s (lat. gen. si receptoare)s =1 s 1

L

5.8. Metode si teoreme pentru rezolvarea retelelor de curent alternativ sinusoidal - Topologie: retea conexa: L, N, (N-S), o = L (N-S)

retea neconexa (contine retele conexe care interactioneaza prin cuplaj electromagnetic) 5.8.1. Metoda teoremelor lui Kirchhoff a)Kb Kb

I

K

= 0 ; b=1,2,,N-SKb

Observatie: I K 0 (in valori efective) dar i K ( t ) = 0 (in valori instantanee) b)

mp

U

bm

= 0 ; p=1,2,,o ; o=L N + S

L 1 Forma duala: R m I m + jL mm I m + I m jL ms I s = E m j C m mp s =1 mp s m L sau: Z mm I m Z ms I s = E m ; Z ms 0 mp s =1 mp s m

Observatie: Impedantele de cuplaj cu laturi din exteriorul ochiului p, Z ms ,respectiv tensiunile Z ms I s apar o singura data. Impedantele de cuplaj dintre laturile aceluiasi ochi p, Z mK , Z Km ,respectiv tensiunile ZmK I K , Z Km I m apar de doua ori. Conventia dubla de semne pentru termenii jL ms I s - semnul dat de sensurile curentilor Is, Im fata de bornele polarizate; - semnul dat de relatia corespondenta dintre sensul curentului Im si sensul de referinta parcurs pe ochiul care contine latura m. Note Daca un curent are indicat sensul pe latura opus sursei, exista urmatoarele situatii:

figura 18 a) sursa este pur reactiva: E m = j50 ; I m = 8 + j12 b) sursa este pur activa: E m = 50 ; I m = 4 j30 c) sens opus intre sursa si curent (in curent alternativ sinusoidal) inseamna un defazaj : = m m . 2

5.8.2. Teorema conservarii puterilor

figura 19Sb = V c I cc=1 N ext

= U bm I m retea necuplata inductiv cu exteriorul (cuplata m =1

L

galvanic)S b = U bm I m = 0 pentru o retea izolata galvanic (si inductiv)m =1 L

Demonstratia porneste de la ecuatia laturii (receptoare): ( I ; ) mm =1

L

U bm + E m = R m I m + jL mm I m jL ms I s +s =1 s m

L

1 I m = R m I m + jL ms I s j C m s =1

L

Forma dezvoltata a teoremei:

Vc Icc =1

N

ext

+ E m I m = R m I m + j[ jL mm I m 2 2 m =1 m =1 m =1L L

L

L

L

1 2 Im m =1 C m

L

2L ms I m I s cos( m s )]m =1 s =1

S b + Sg = PR + jQ X

Observatie: Pentru o singura pereche de bobine cuplate magnetic, apare o singura data termenul 2Xms. 5.8.3. Teorema transferului maxim de putere pe la borneR = R g s Zs = Zg X s = X g ; s = g Ps max max = = 0,5 Pg max

5.8.4. Metoda suprapunerii efectelor

I j = I jK ; j = 1 LK =1

L

5.8.5. Metoda de transfigurare stea-triunghi si triunghi-steaZ12 = Z 23 = Z1 Z 2 + Z 2 Z3 + Z3 Z1 Z12 Z13 ; Z1 = Z3 Z12 + Z13 + Z 23

Z1 Z 2 + Z 2 Z 3 + Z 3 Z1 Z 23 Z12 ; Z2 = Z1 Z12 + Z13 + Z 23 Z Z + Z 2 Z 3 + Z 3 Z1 Z 31 Z 32 Z 31 = 1 2 ; Z3 = Z2 Z12 + Z13 + Z 23

5.8.6. Teoremele generatoarelor echivalente de tensiune si curent a) Teorema generatorului echivalent de tensiune:I AB = U AB0 Z AB + Z AB0 I ABsc Y AB + Y AB0 ; E g = U AB0 ; Z g = Z AB0

b) Teorema generatorului echivalent de curent:U AB = ; I g = I ABsc ; Y g = Y AB0

5.8.7. Teorema compensatiei

figura 20

figura 21 5.8.8. Metoda curentilor de ochiuri

I s = I q ; q = 1,2,..., o ; o = L N + S' sq

Zq =1

o

' ' pq q

I = E p ; p = 1,2,..., o' '

'

unde : Z pp = Z mm ; E p = E mmp mp

Z

' pq

= Z ms ; Zmp sq

' pq

=Z

' qp

Nota In impedantele Z'pp intra impedantele ochiului p necuplate, precum si cele cuplate. Semnul pentru impedantele cuplate (luate perechi) este dat de relatia dintre sensul de parcurs pe ochi (sensul curentului de ochi) si bornele polarizate ale bobinelor cuplate. In impedantele Z'pq intra impedantele comune celor doua ochiuri, cu semnul dat de cei doi curenti fictivi I 'p si I 'q prin latura comuna si impedantele de cuplaj dintre laturile celor doua ochiuri p si q (luate o singura data) cu semnul dat de relatia dintre sensurile curentilor fictivi I 'p , I 'q si bornele polarizate. Verificarea valorilor curentilor se face, de regula, cu teorema bilantului de puteri. 5.8.9. Metoda potentialelor de noduri

figura 22

Yd =1

N 1

' cd

V d = I scc ; c = 1,2,..., N 1' '

'

'

U bm = V c V d

Latura este necuplata magnetic (de regula, in cazul acestei teoreme)' ' ' mc mc md mc

Y cc = Y m ; Y cd = Y m ; I scc = I scm ; I sm = Y m E m

Observatie ' I sm - curentul de scurtcircuit al laturii m are semnul + cind iese din nod si - cind intra in nod. Datorita semnului - din expresia lui I 'sc , ei isi vor schimba semnul in suma algebrica.c

Nota Determinarea expresiei instantanee a curentului comlex Exemplu:I 2 = 6(1 + j) ; I 2 = 6 2 ejarctg1

= 6 2 e

j

4

i 2 ( t ) = Im 2 e jt I 2 = 6 2 2 sin t + ; 2 = + 4 4

{

}

Verificarea curentilor se face, de regula, cu teorema bilantului puterilor in complex:Sb + Sg = PR + jQ X {=0

Teoremele impedantelor echivalente a) serie: Z e = Z KK =1 n

b) paralel:

n n 1 1 = sau Y e = Y K Z e K =1 Z K K =1

Teoremele divizorului de tensiune si curent (fara cuplaje magnetice) a) divizorul de tensiune: U1 = UZ1 Z2 ; U2 = U Z1 + Z 2 Z1 + Z 2 Z2 Z1 ; I2 = I b) divizorul de curent: I1 = I Z1 + Z 2 Z1 + Z 2

Capitolul 6Reele de curent alternativ trifazat 6.1. Sisteme electrice trifazate Sistemul trifazat simetric direct de t.e.m e = E 2 sin(t + t ) 1 2 e 2 = E 2 sin t + 3 4 e 3 = E 2 sin t + 3

Reprezentarea simbolica a sistemelor trifazate e1 ( t ) E = Ee j 2 2 j j 1 3 2 2 3 ; a =e 3 = j e 2 ( t ) a E = Ee 2 2 2 2 j + j 1 3 e 3 ( t ) a E = Ee 3 ; a = e 3 = + j 2 2

Teoremae1 ( t ) + e 2 ( t ) + e 3 ( t ) = 0 E1 + E 2 + E 3 = 0

Conexiunile sistemelor trifazate

figura 23

figura 24 Modul de producere a sistemelor de t.e.m. trifazate simetrice Principiul generatorului sincron trifazate1 ( t ) =

d 1 d = [N AB0 cos( 2nt + )] = 2nNAB0 sin( 2nt + ) dt dt e1 ( t ) = E 2 sin( 2nt + ) = E 2 sin(t + )

unde: = 2n = 2f pulsatia t.e.m. induse - faza initiala a t.e.m. induse E valoarea efectiva Producerea cmpului magnetic invirtitor Principiul motorului de curent alternativ trifazat Curentii de alimentare: i ( t ) = 2I sin(t + ) I 1 2 2 a I i 2 ( t ) = 2I sin t + 3 2 aI i 3 ( t ) = 2I sin t + + 3

Inductiile produse sint: B1 ( t ) = n1Ki1 ( t ) B2 ( t ) = n 2 Ki 2 ( t ) B ( t ) = n Ki ( t ) 3 3 3

K = f (geometria spirelor, elementele constructive, caracteristicile magnetice ale mediului) K = f(a, l, N, r) Cmpul rezultant:B( t ) = B1 ( t ) + B2 ( t ) + B3 ( t ) 0 ; B = B 2 + B 2 x y

3 B x = B cos = B m cos(t + ) 3 2 B = Bm 2 B = B sin = 3 B sin(t + ) y m 2 unde B max = KI max = ct ; I max = 2I

6.2. Rezolvarea retelelor trifazate simetrice echilibrate Receptoare trifazate echilibrate in stea cu fir neutruU10 + U 20 + U 30 = 0 ; U NO = 0 ; I N = 0 U1 N = U 2 N = U 3 N = U f ; U fg = U fr = U f U1 N U f j j I1 = Z = Z e = I l e = I1 2 2 j + U j + U I 2 = 2 N = f e 3 = I l e 3 = a 2 I1 Z Z 4 4 j + U 3 N U f j + 3 I 3 = e = = I l e 3 = a I1 Z Z U I1 = I 2 = I 3 = I f = I l = f ; I f = I l Z

Tensiunile de linie j U12 = 3U f e 6 2 U 23 = a U12 U = a U 12 31

U12 = U 23 = U 31 = U l = 3U f

Receptor trifazat in stea fara fir neutru (echilibrat) U12 = U l j j U j U 23 = a 2 U l I N = 0 U12 = 3U10 e 6 = 3U1N e 6 U1N = 12 e 6 3 U = aU 1 31 U12 j 6 e U1 N = 3 2 U 2 N = a U1 N U = a U 1N 3N

U 1N = U 2 N = U 3 N = U f =

U12 3

=

Ul U Uf = l 3 3

- Curentii:

U1 N U12 j( 6 +) = e I1 = Z 3Z U U U 2 I1 = I 2 = I 3 = I f = I l = f = l I f = I l = l I 2 = a I1 Z 3Z 3Z I = a I 3 1

Receptor trifazat simetric si echilibrat in triunghiU12 = U l 2 U 23 = a U l U f = U l U = aU l 31

- Calculul curentilorU12 U1 j I12 = Z = Z e U U 2 I12 = I 23 = I 31 = l = I f ; I f = l I 23 = a I12 Z Z I = a I 31 12

- Relatia dintre curentii de linie si faza j U j + I1 = I12 I 31 = 3 I12 e 6 = 3 l e 6 Z 3U l 2 I1 = I 2 = I 3 = I l = = 3I f ; I l = 3I f I 2 = a I1 Z I = a I 1 3

Puteri in retele trifazate echilibrateS b = 3U10 I1 = 3U f I l e j = 3U l I l e j = Pb + jQ b Pb = 3U l I l cos Q b = 3U l I l sin U U U U unde : U10 = U f = l ; I1 = 10 = f e j ; I1 = f e j = I l e j Z Z Z 3

6.3. Retele trifazate dezechilibrate

figura 25

figura 26 - Teorema lui MillmanVN = V1 Y1 + V 2 Y 2 + ... + V n Y n 0 Y1 + Y 2 + ... + Y n

- Retea trifazata dezechilibrata in stea cu fir neutru U 1N I1 = Z = Y1 ( U10 U N 0 ) ; U10 = V1 V 0 = V1 ; (V 0 = 0) 1 U 2N = Y 2 ( U 20 U N 0 ) ; U 20 = V 2 V 0 = V 2 I 2 = Z2 U 3N = Y 3 ( U 30 U N 0 ) ; U 30 = V 3 V 0 = V 3 I 3 = Z3

unde : U N 0 = V N V 0 = V NVN = U N0 = V1 Y1 + V 2 Y 2 + V 3 Y 3 + V N Y N Y1 + Y 2 + Y 3 + Y N U10 Y1 + U 20 Y 2 + U 30 Y 3 0 Y1 + Y 2 + Y 3 + Y N

Observatie: potentialul nul al neutrului (0) al retelei de alimentare simetrice poate fi calculat tot cu teorema lui Millman: V 0 = 0 . La fel potentialul neutrului receptorului unei retele echilibrate:

VN =

V1 Y + V 2 Y + V 3 Y Y ( U10 + U 20 + U 30 ) = =0 3Y + Y N 3Y + Y N

- Deplasarea nulului: Z N 0 atunci YN si U N 0 0

figura 27 Retea trifazata dezechilibrata in stea fara fir neutru

figura 28U12 = U l 2 U 23 = a U l U = aU l 31 U1N I1 = Z = Y1 ( V1 V N ) ; U10 = V1 V 0 = V1 ; ( V 0 = 0) 1 U 2N = Y 2 ( V 2 V N ) ; U 20 = V 2 I 2 = Z2 U 3N = Y 3 ( V 3 V N ) ; U 30 = V 3 I 3 = Z3 U N0 = V N V 0 = V N

unde :

VN =

V1 Y1 + V 2 Y 2 + V 3 Y 3 Y1 + Y 2 + Y 3 U10 Y1 + U 20 Y 2 + U 30 Y 3 Y1 + Y 2 + Y 3

U N0 =

U j U j U j V1 = U10 = 12 e 6 ; V 2 = U 20 = 23 e 6 ; V 3 = U 30 = 31 e 6 3 3 3 U j + U j + U l j6 e ; V 2 = l e 6 3 ; V3 = l e 6 3 3 3 3 Se calculeaza acum curentii I1 , I 2 , I3 . sau V1 = 2 4

Absenta firului neutru face ca in acest caz dezechilibrul sa se mentina. Retea trifazata dezechilibrata in triunghi

figura 29U12 = U l = U l ( l = 0) 2 U 23 = a U l U = aU l 31 U U U I12 = 12 ; I 23 = 23 ; I 31 = 31 Z12 Z 23 Z 31 I1 = I12 I 31 ; I 2 = I 23 I12 ; I 3 = I 31 I 23

6.4. Puteri in retele trifazate dezechilibrate a) Retele trifazate in stea cu fir neutruSb = U10 I1 + U 20 I 2 + U 30 I 3 = Pb + jQ b unde Pb = Re{Sb }; Q b = Im{Sb }

b) Retele trifazate fara fir neutru in stea si in triunghiS b = U10 I1 + U 20 I 2 + U 30 I 3

Neutru artificial:

V 2 = 0 ; U 20 = 0 U12 = U10 U 20 = U10 U 23 = U 20 U 30 = U 30 S b = U12 I1 U 23 I 3 = U12 I1 + U 32 I 3 (2 wattmetre)

Concluzii referitoare la retelele trifazate Rolul conductorului neutru: a) de lucru (consumatori monofazati) b) de protectie c) de stabilizare a tensiunilor la receptoare dezechilibrate Conductorul neutru este legat la pamint, asigurind o tensiune maxima intre faze si nul egala practic cu Ufg = 220 V. Legarea la nul in scop de protectie este suplimentara legarii la pamint in scop de protectie.

Capitolul 7Cuadripoli i filtre electrice 7.1. Cuadripoli electrici

figura 30 Poarta de intrare (regim receptor): S1 = U1 I1 Poarta de iesire (regim generator): S 2 = U 2 I 2 - Ecuatiile in parametrii fundamentaliU1 = A U 2 + BI 2 (1) Conditia de reciprocitate: I1 = CU 2 + DI 2 AD BC = 1

- Ecuatiile in parametrii impedantaU1 = Z11 I1 + Z12 I 2 (2) U 2 = Z 21 I1 + Z 22 I 21 A ; Z 21 = C C (A D BC) D ; Z 22 = Z12 = C C Z11 =

Z11 - impedanta de intrare la mers in gol Z12 - impedanta de transfer la mers in gol Z12 = - Z21 conditia de reciprocitate

- Ecuatiile in parametrii admitantaI1 = Y11 U1 + Y12 U 2 (3) Y12 = Y 21 I 2 = Y 21 U1 + Y 22 U 2

- Cuadripol simetricA=D Z11 = Z22 Y11 = Y 22

- Determinarea parametrilor cuadripolilor Se face analitic sau experimental. Determinarea analitica presupune cunoasterea structurii interne. a) Cuadripol in T

figura 31Z11 = Z1 + Z ; Z 21 = Z Z12 = Z ; Z 22 = ( Z 2 + Z) A = 1 + Z1 Y ; B = Z1 + Z 2 + Y Z1 Z 2 ; C = Y ; D = 1 + Z 2 Y

b) Cuadripol in

figura 32Y11 = Y1 + Y ; Y 21 = Y Y12 = Y ; Y 22 = (Y 2 + Y) A = 1 + Y 2 Z ; B = Z ; C = Y1 + Y 2 + ZY1 Y 2 ; D = 1 + Y1 Z

Determinarea experimentala a parametrilor U' U A D Z10 = 1 = = Z11 ; Z 20 = ' 2 = = Z 22 I I ' 1 I2 =0 C 2 I1 =0 C U' U B 1 B 1 Z1sc = 1 = = ; Z 2sc = ' 2 I I ' = A =Y 1 U2 =0 D Y11 22 2 U1 =0 A D BC = 1

Se determina din aceste ecuatii parametrii fundamentali:A = C Z10 ; D = C Z 20 ; B = C Z 20 Z1sc ; C = 1 Z10 ( Z 20 Z 2sc )

- Alimentarea inversa a cuadripolului

figura 33U1 = U ; I1 = I1 U 2 = U 2 ; I 2 = I 2' ' ' 1 '

Se inlocuiesc indicii 1 cu 2 in ec (1);

se inlocuieste D cu A .' ' U '2 = D U1 + BI1 ' ' ' I 2 = C U1 + A I1

- Impedantele cuadripolilor a) Impedante de intrare: primara si secundaraAZ2 + B Z e1 = = f (Z2 ) ; CZ 2 + D U D Z1 + B Ze2 = ' 2 = = f ( Z1 ) - pe alimentare inversa C Z1 + A I2'

b) Impedante caracteristice: directa si inversa

figura 34Z 2 = Z c1 ; Z e1 = Z c11 2

Z1 = Z c2 ; Z e2 = Z c2

Din relatiile Z e , Z e si AD BC = 1 (cuadripoli reciproci):Z c1 = ( A D)

(A + D )2 42C1 2

; Z c2 =

(D A)

(A + D )2 42C

Pentru cuadripoli simetrici: Zc = Z c = B C Utilitate: conservarea conditiilor de adaptare a sarcinii la un generator, cind intre acestea se introduce un cuadripol cu anumite functiuni (filtru, stabilizator etc.).

figura 35 a) Impedante imagini: primara si secundara

figura 36Z i1 = 1 2

AB DB ; Zi2 = CD CA

Cuadripoli simetrici: Zi = Zi = B C Utilitate: realizarea conditiei de adaptare a sarcinii la o sursa.

figura 37Z is = Z i1 Zi2 = Zs2

Alte relatii: Zi = Z10 Z1sc ; Zi = Z 20 Z 2sc In cazul unui cuadripol (reciproc) si simetric:1

A = D ; Z11 = Z 22 ; Y11 = Y 22 ; Z10 = Z 20 ; Z1sc = Z 2sc Z c = Zi = B C = Z10 Z1sc

- Conexiunea in cascada a CD

figura 38

[A] = [A ] [A ] 7.2. Filtre electrice Intervale (benzi): de trecere a(a = ) de oprire a>>(a = )

figura 39

Frecvente de taiere: fi ; fs Tipuri: FTJ fi = 0 ; fs 0 FTS fi 0 ; fs = FTB fi 0 ; fs 0 FOB fi 0 ; fs 0 - Filtrul nedisipativ simetric adaptat (model teoretic)

figura 40P = 0 ; A = D ; Z 2 = Z c ( = Z1 ) = B 0 C

Caracterizare:

figura 41A = 1 + Zi Y = 1 +a () = ln

fi 1 Zl = 1 2 Zt fs

U1 U [ Np] ; a () = 20 lg 1 [dB] U2 U2

U b() = arg 1 = arg U1 arg U 2 U2

a(), b() caracteristici de frecventa ale filtruluiZc = + B Zc = B C

- intervale de trecere; Z2 este o reactanta si datorita adaptarii P - intervale de atenuare; Z2 este o reactanta, P = 0; neadaptare

este maxima ( Z 2 = Z c )C

( Z 2 Zc ) Filtrul trece jos (FTJ) Exemplu (cuadripol in T)

j L 1 1 Z1 = = Z2 ; Y = = j C ; Z t = 2 Zt j C 1 Zl 1 A =1+ = 1 2 LC = 1; A = A 2 Zt 2

figura 42

A = +1 i = 0 A = 1 s = 2 0 LC 0 s

figura 43

Capitolul 8Regimul permanent nesinusoidal al circuitelor electrice liniare 8.1. Regimul permanent nesinusoidal (R P Ns) 8.1.1. Elemente de circuit neliniare - transformatoare si bobine cu miez de fier. Elemente de circuit reactive: bobine, condensatoare cu pierderi. - Efecte negative: scade cos, respectiv puterea activa; cresc pierderile de putere; apar rezonante pe diferite armonici. - Metoda descompunerii spectrale (analiza armonica a functiilor periodice nesinusoidale): f(t) = f(t + mT) - Seria trigonometrica Fourier:f (t ) = A0 + ( A n cos nt + B n sin nt ) 2 n =1

unde:An =Bn = A0 =

2 f ( t ) cos ntdt ; n = 0,1,2,... T 02 f ( t ) sin ntdt ; n = 1,2,3,... T 0 2 f (t )dt ; A 0 0 T0T T

T

f ( t ) = F0 + f n ( t ) ;n =1

f n ( t ) = 2Fn sin(nt + n ) = 2Fn sin nt cos n + 2Fn sin n cos nt A n = 2Fn sin n ; B n = 2Fn cos nf ( t ) = F0 + 2Fn sin(nt + n ) serie dinamica Fouriern =1

- Coeficientul de distorsiunekd =2 I 2 + I 3 + ... 2 2 I1 + I 2 + ... 2

=

I In =1 n=2

2 n 2 n

=

Id2 I2 I0

2 2 unde : I = I 0 + I1 + I 2 + ... + I 2 0 ; 2 n

0 kd 1

8.2. Puteri in regim permanent nesinusoidal (RPNs)P = U 0 I 0 + U n I n cos nn =1

Q = U n I n sin nn =1 2 2 2 2 S = UI , unde U = U 0 + U1 + U 2 + ... ; I = I 0 + I1 + I 2 + ... 2 2

S Sregim sin usoidal ; S P 2 + Q 2 S = P 2 + Q 2 + D 2 ; D = S2 (P 2 + Q 2 ) ; [D]SI = 1 vad

D se determina numai prin calcul. 8.3. Elemente ideale de circuit in RPNs a) Rezistorul ideal i =u r 1

u ( t ) = 2 U n sin(nt + n ) ; U 0 = 0 i( t ) = 2I n sin(nt + n ) ; I 0 = 01

n = n n ; I r =

Un U ; Zn = n = r r In

Ud Ud Id k di = = r = U U I r Ud k du = U

k di = k du

Rezistorul ideal nu modifica forma curentului fata de cea a tensiunii.2 P = U n I n cos n = r I n = rI 2 0 ; Q = 0 ; D = 0 K =1 K =1

b) Bobina ideala u = L

di 1 ; i = udt dt L

n = n n =

U U ; I n = n ; Z n = n = nL 2 nL In2

k di =

Id = I

U nnL 2 U nnL 1

2

=

U nn 2 U nn 1

2

2

k du =

Ud = U

U2

2 n

U1

k di2 n

O bobina reduce deformarea curentului fata de cea a tensiunii.P = 0 ; Q = U n I n sin n = U n I n = nLI 2 ; D 0 nn =1 n =1 n =1

c) Condensatorul ideal u =

1 du idt ; i = C dt C U 1 n = n n = ; Zn = n = ; I n = nCU n 2 In nC

I k di = d = I

(nCU n )22

(nCU )n 1

=

(nU )n 2

2

2

(nU )n 1

2

k du =

Ud = U

U2

2 n

U1

k di2 n

Condensatorul cu pierderi accentueaza deformarea curentului fata de cea a tensiunii.P = 0 ; Q = U n I n sin n = ( U n I n ) = ( nC)U 2 nn =1 n =1 n =1

d) Circuit serie R, L, C in RPNsu n = 2 U n sin( nt + n ) - armonica de ordinul n a

tensiuniiin = 2U n 1 r 2 + nL nC 144424443Zn 2

sin(nt + n n 123 4 4n

n = arctg

nL r

1 nC ;

i = inn =1

Capitolul 9Circuite neliniare in regim permanent sinusoidal (RPS) 9.1. Elemente neliniare de circuit in RPS 9.2. Bobina cu miez de fier

figura 44

figura 45 - Ecuatiile bobineid di d u di = ni + L d + = ri + L d + u u u ( t ) = ri + dt dt dt dt u = u (i) caracteristica magnetica a bobinei cu miez de fier Hl K d - Curentul: i = + 2 u N N dt

- Pierderile in bobina (puterea absorbita este o putere de pierderi)P= 1 1 2 { uidt = rICu + T id u T0 P 1024 4 3PFe T T

- Pierderile in fier

PFe = f

K d u Hl d u + f 2 d u N dt N ,i ,i 14243 144 2444 4 3

Phm

Pf

Phm = f HdB V = f (K s A B,H )V [ W ] ; K s factor de scara B ,H 2 2 Pf = K m f B max [ W ] ; K m const. de material, depinde de si

- Scheme echivalente

figura 46Z es = R Fes + jL u s

Definirea ie (curentului echivalent): a) identitatea pierderilor in fier; b) valori maxime egale pentru ie si pentru i real; c) valori efective egale pentru ie si pentru i. 9.3. Condensatorul cu pierderi (condensatorul real)

figura 47

figura 48

figura 49 - Pierderile in condensator: a) pierderi prin conductie (G0) b) pierderi prin histerezis dielectric - Ecuatia condensatoruluii = i0 + dq dq = G0u c + dt dtT T T

- Pierderile:Pd = 1 1 1 dq 2 p(t )dt = T G 0 u c dt + T u c dt dt T0 0 0

2 2 Pd = G 0 U c + f u c dq = G 0 U c + fK s A qu ; K s factor de scara 13 2 qu Pj 123 Phd

- Condensatorul plan2 Pd = G 0 U c + fVA DE

[W]

- Unghiul de pierderi in dielectric (h) uc(t) = Uc maxsint ; q(t) = Qmaxsin(t - h)

figura 50 - Capacitatea echivalenta aparentaCa max = Q max A D A ; C a max = max = max (cond. plan) U c max d E max d

- Pierderile prin histerezis in functie de hU max Q max 1 dq Ph = u c dt = sin h T0 dt 2T

- Scheme echivalente

figura51

figura 52

figura 53Z es = R es + 1 jC es

Y ep = G ep + jC ep

I = I G + I c I = I 0 + jQ

- Factorul de pierderi tg ; pierderile totale de putere Pd()

- unghiul de pierderi totale; =tg =

e ; e 0 (defazaj) 2

G ep IG = = f () ; tg = f (, , ) I c C e p

Pd = U c I G = U c I sin [ W ] ; Pd = f ()

Cunoscind tg, Pd, Uc

schemele echivalente (Gep, Cep) tg = 18 45 10 4 - conditii industriale uzuale tg = 4 8 10 4 - conditii cu pelicula sintetica

Capitolul 10Circuite electrice in regim tranzitoriu (RT) 10.1. Regimul tranzitoriu al circuitelor liniare Metoda generala de analiza pentru circuite liniare metoda suprapunerii efectelor; Marimi electrice de RT: nesinusoidale, neperiodice: impulsuri, salve de impulsuri; Metoda suprapunerii efectelor: descompunerea functiilor neperiodice si nesinusoidale in componente elementare (functii elementare) pentru care rezolvarea se face cu metodele cunoscute; se suprapun (se insumeaza algebric) rezultatele obtinute. Componente elementare: - armonici elementare sinusoidale; - functii treapta elementare; - oscilatii amortizate reprezentate in complex Conditii initiale: - nule (metoda integralei Fourier) - nenule (metode operationale) 10.2. Metode de rezolvare a circuitelor liniare in RT Metode cunoscute: 1. metoda directa, de rezolvare a ec. integro difer.; 2. metoda integralei Fourier (descompunerea spectrala); 3. metoda raspunsului tranzitoriu (integrala Duhamel); 4. metoda operationala (transformata Laplace). Metoda descompunerii spectrale (integrala Fourier)f (t ) = 1 F( j)e jt d - transformata Fourier inversa reprezinta dezvoltarea 2

in dom. t in dom. f in dom. t in dom. f

in serie Fourier complexa a lui F(t). Semnificatie matematica: transformare din domeniul functiilor de variabila reala in cel al functiilor de variabila complexa (corespunzator biunivoca). F( j) - transformata (imaginea) Fourier a lui f(t)

F( j) =

f ( t)e

jt

dt - transformata Fourier directa

F ( j ) = [ f (t )] 1 f (t ) = [F ( j )]

Semnificatie fizica: o suprapunere de componente armonice elementare (semnale sinusoidale elementare de diferite frecvente) reprezentate in complex, avind amplitudini din ce in ce mai mici.F = 1 F( j)e jt d 2 F( j) - densitatea spectrala a lui f(t)

F( j) = f () - spectrul lui f(t)

Aplicarea metodei descompunerii spectrale

figura 54 t = 0 se aplica u(t) de RT, cunoscuta Conditii initiale nule (de repaus): t = 0 Se aplica transformarea: U( j) = u ( t )e jt dt u ( t ) = 1 U( t )e jt d 2

figura 55

u (0) = 0 i(0) = 0

Curentul va fi:1 U( j) j t i( t ) = I( j) e d ; I( j) = Z( j) 2 i( t ) = 1 U ( j) jt e d 2 Z( j)

Metoda operationala (transformata Laplace) - Functii neperiodice si nesinusoidale in conditii initiale nenule - Operator liniar: operatie care asociaza biunivoc o functie f(t) de variabila reala cu imaginea sa F(p) de variabila complexa. f(t) F(p) ; p = + j - Avantajele operatorului: a) admite un operator invers; b) transforma o derivata intr-o operatie algebrica. - Transformata Laplace

F(p) =

f (t) e

pt

dt ; F(p) = L[f ( t )]

pentru t 0 si continua;

functii imagine functii original - Integrala este convergenta daca: - pentru t > 0, f(t) este marginita, monotona

- pentru t < 0, f (t ) nu creste mai repede ca o exponentiala: f (t ) < A 0e , ceea ce revine la spune ca variabila complexa p are partea reala suficient de mare: Re{p} > 0; - conditii initiale nenule; - intervalul de timp: 0 t < . - F(p) este definit in intreg planul complex, cu exceptia singularitatilor din semiplanul Re{p} 0 f(t) = L-1[F(p)] - Semnificatie fizica: in conditiile aratate, o functie nesinusoidala si neperiodica se poate reprezenta ca o suma de functii oscilatorii amortizate reprezentate in complex (amortizarea ) - Determinarea functiei original a) cu ajutorul tabelelor; b) metode de inversiune. - Metode de inversiune b1) Prima metoda Heaviside0 t

P1 ( p) n P ( p K ) pK t 1 P1 ( p ) e -1[F(p)]= -1 = ' ; f(t) = F ( p) = P2 ( p) K =1 P2 ( p K ) P2 ( p )

unde pK sint rdcinile ec. P2' ( p K ) = 0 . b2) A doua metod Heaviside

P1 (0) n1 P ( p K ) 1 P1 ( p ) + e pK t -1[F(p)]= ; f(t) = F ( p) = P3 (0) K =1 p K P3' ( p K ) pP3 ( p )

unde pK sint rdcinile ec. P3 ( p K ) = 0 . Teoremele lui Kirchhoff n mrimi instantanee pentru circuite in regim tranzitoriu T1K: im (t ) = 0mb

T2K: (em ucm + m ) = ( Rm im + im dt + Lm dtm + Lms dts ) { { Cm m p m p s =1 = u (0) = (0)cm m

1

di

L

di

s m

figura 56

uC0 i (0) sint surse electrice ideale echivalente. n form operaional:

Imb

m

(t ) = 0

m p

( Em ( p )

L U cm (0) 1 + m (0)) = ( Rm I m ( p ) + I m ( p ) + pLm I m ( p ) + pLms I s ( p )) p pC m m p s =1 sm

m(0) din [(0) (t )] = (0) [2)] = (0) = Li (0) (vezi pag. 379 din (t 13=1

Bazele electrotehnicii. Probleme, vol. II, R. Rdule) unde:Z mm ( p ) = Rm + pLm +

1 - impedana proprie pC m

operaional a laturii mZ ms ( p) = pLms ; m s - impedana mutual operaional

dintre laturile m i s

Capitolul 11Cmpul electromagnetic n conductoare masive 11.1. Ipotezele analizei a) Ipoteza regimului cvasistaionar b) Ipoteza renunrii la circuitele filiforme 11.2. Ecuaiile lui Maxwell ( v = 0 ; , , - constante; v = 0; conductor masiv omogen i continuu)r r r rotH = J = E r r rotE = H t r divD = 0 r divB = 0 r

(1) (2) (3) (4)

Problemele specifice: - curenii turbionari (Foucault) - efectul pelicular - efectul de proximitate 11.3. Ptrunderea cmpului ntr-un conductor masivH z ( x, t ) = H z (0, t ) = H 0 (t ) H 0 (t ) = H 0 max sin t ; H 0 = H 0 max 2 e j0 = H 0 max 2

Din (1) i (2) rezult ecuaia:H z 2 H z 2H z ; = j H z = 2 H z ; = = 2 2 t x x H z = A1e x + A2 ex j (ct. de prop )

Hz =

H 0 max

2 H z ( x, t ) = H 0 max e x sin(t x)

e x ; = (1 + j ) ; =

2

(ct. de )

v=

v viteza de faz a undei n conductor Densitatea de curent i t.e.m. indus

2 ; = ; v, = f ( , , )

r r r r H z r rotH = J ; rotH = j = j J y - are component dup 0y x

J y = H 0 max e

x

e

j x + 4

J y ( x, t ) = 2H 0 max e x sin(t x + Ey = J y ( x, t )

4

)

=

2 H 0 max e x sin(t x + ) 4

11.4. Adncimea de ptrundereH 0 max e x = x= 1 H 0 max e ; H 0 max e 2x

= 1

H 0 max e

; x = 1 ; x =

1

= ; =

=

[m]

Pierderile de putere n conductorul masiv r r

r r r r r r S = E H = ( j k ) E y H z = i S x ( x, t )2 S x ( x, t ) = H 0 max

r r r r r r P = E H dA ; H = k H z ( x, t ) ; E = jE y ( x, t ) ; J = j J y ( x, t )

(

)

dar : sin sin = S x ( x, t ) = H2 0 max

2e 2x sin(t x) sin(t x + ) 4 cos( ) cos( + )2

2e 2x cos cos 2t 2x + 4 4 2 2e 2x

2 H 0 max ~ S x ( x, t ) = p = 2

2 H 0 max W x = 0 : S 0 ( x, t ) = S 0 (t ) = p = m2 2

[ ]

(densitate de putere activ transmis prin suprafaa blocului) Adncimea de ptrundere

figura 57

figura 58 P = pA H 0 max 2 P = RI ; I = a 2

=

2

=

1 [m]; = 1 f

Condensatoare feromagnetice (masive):f = 50 Hz2

Fe = 1,8 2 mm

f = 50 10 Hz Fe = 0,18 0,2 mm f = 50 10 4 Hz Fe = 0,018 0,020 mm

Curenii turbionari:

r r r B r rotE = ; J = E t

Efecte negative: pierderi, nclzire Efecte pozitive: clirea i topirea prin inducie, ambreiaje electromagneticeps Fe = k2 2 f 2 Bmax W

[ m ] pentru 3

ps Fe = 1W la B = 1T ; tole max 4% Si kg

11.5. Efectul pelicular (skin effect) Urmri: - creterea pierderilor de putere prin efect Joule-Lenz - creterea rezistenei echivalente a conductorului n c.a. a) La frecvene joase: a - efect pelicular slab b) La frecvene medii: a - efect pelicular mediu ; exemplu:f = 10kHz c) Efect pelicular net frecvene nalte: a 11.6. Pierderile de putere prin efect pelicular

P=

l 2 I [W ] p

11.7. Calculul rezistenei conductorului n c.a.Ra = P l l = = = f ( ) 2 I p pka = A Ra R = a = t p R0 l At At 1,4 Ra R0 p

Factorul de curent alternativ:

Exemplu: a) f = 50 Hz ; = 1,8 mm ; k = b) f = 50 10 2 Hz ; k =10 2 14 7,2

Partea a patra Msurri electrice Capitolul 12 Procesul de msurare Comunicarea i aciunea sunt dou laturi fundamentale ale oricrei activiti omeneti. Comunicarea vehiculeaz n principal informaie, iar aciunea vehiculeaz n principal energie. Att schimburile de informaie ct i schimburile de energie se fac cel mai frecvent pe suportul mrimilor electromagnetice, a cror msurare precis condiioneaz desfurarea normal a proceselor implicate. Se poate afirma, fr exagerare, c amploarea msurilor electrice este azi comparabil cu aceea a msurrii tuturor celorlalte ,mrimi fizice la un loc. Msurrile electrice reprezint domeniul de msurri n care precizia, pragul de sensibilitate i viteza de msurare ajung cel mai aproape de limitele teoretice, consecine ale legilor fizicii. Msurarea este una din componentele eseniale ale comunicrii. Scopul msurrii este obinerea experimental a unei informaii cntitative asupa anumitor proprieti ale unui obiect sau sistem i experimarea ei sub form adecvat pentru utilizare. Ansamblul operaiilor experimentale care se execut n vederea obinerii rezultatului msurrii constituie procesul de msurare. Orice proces de msurare conine urmtoarele elemente principale: - mrimea de msurat sau msurandul; - aparatul de msurat; - metoda de msurare; - etalonul. n funcie de natura, precizia i scopul msurrii, aceste elemente au o importan relativ diferit. Oricare din cele patru elemente ale procesului de msurare poate servi ca punct de plecare ntr-o clasificare a msurilor. Proprietile unui obiect sau ale unui sistem fizic pot fi sau nu msurabile. O proprietate msurabil este denumit mrimea fizic. O prim condiie de msurabilitate este ca mrimea fizic s constituie o mulime ordonabil, adic mulime n care s se poat defini relaiile de egal (=), sau mic () ntre elementele ei. n plus este necesar s se poat stabili convenional o coresponden biunivoc ntre mulimea valorilor mrimii fizice i mulimea numerelor reale. Aceasta este convenia de scar care definete n acelai timp i unitatea de msur.

19

Rezultatul final al oricrei msurri este un numr care, mpreun cu unitatea de msur, caracterizeaz mrimea de msurat. Procesul de msurare este o operaie experimental, reproductibil, prin care se asociaz mrimii fizice o valoare matematic n raport cu o mrime fizic de referin numit unitate de msur. Msurarea unei mrimi X reprezint compararea acesteia cu o alt mrime U m de aceeai natur, considerat unitate de msur. Prin alegerea unei uniti i prin procedeul experimental de msurare, fiecrei mrimi fizice i se asociaz o valoare numeric ( X m ). Mrimea fizic X se exprim prin produsul dintre unitatea de msur adoptat U m i valoarea numeric obinut X m : (12.1) X = X m U m Rezultatul msurrii X m este un numr adimensional i variaz invers proporional cu unitatea de msur adoptat. Pentru efectuarea unei msurri este necesar ca unitatea de msur s poat fi realizat n mod corect. Realizarea material a unitii de msur constituie msura; evident, numai pentru anumite uniti este posibil concretizarea sub form de msuri. ara noastr a adoptat Sistemul Internaional de Uniti (SI) n august 1961, singurul sistem de uniti de msur legal i obligatoriu. Numeroase mrimi fizice nu sunt accesibile direct simurilor omului, de aceea este necesar s se recurg la convertire, cu ajutorul unui dispozitiv, a mrimii de msurat ntr-o mrime perceptibil. Mesajul senzorial cel mai adecvat pentru operatorul-om l reprezint deplasarea acului indicator n faa unei scri gradate sau afiarea numeric pe un panou a rezultatului msurrii. Operaia de msurare se poate realiza prin intermediul unui dispozitiv care realizeaz conversia mrimii de msurat ntr-o mrime perceptibil pentru operatorul-om sau apt de a fi preluat de o main operatoare, numit aparat de msurat. Prin asocierea unor aparate de msurat i msuri se obin instalaiile de msurare. Msurile, aparatele de msurat i instalaiile de msurare formeaz mijloacele de msurare. n funcie de rolul lor n procesul de msurare, de precizia pe care o reprezint, mijloacele de msurare se clasific n: 1. mijloace de msurat de lucru, care particip n msurrile curente, necesare n practic; 2. mijloace de msurat model (comparative sau martor), destinate etalonrii sau verificrii msurilor i aparatelor de lucru;

20

3. mijloace de msurat etalon, care reproduc sau stabilesc unitatea de msur cu precizie maxim, o pstreaz i o transmit mijloacelor de msurare cu precizie inferioar. 12.1 Noiunile de aparat de msurat i de traductor Operaia de msurare ca o comparaie direct perceptibil a mrimii de msurat cu unitatea de msur nu este posibil dect ntr-un numr restrns de cazuri, n care unitile pot fi realizate sub o form ce permite utilizarea lor ca atare. Restriciile apar pe de o parte prin faptul c exist numeroase mrimi fizice ce nu sunt accesibile simurilor umane, iar pe de alt parte chiar i n cazurile celor care posed aceast proprietate numai un domeniu limitat de valori poate fi sesizat. De cele mai multe ori ntre mrimea de msurat i organul de percepie este necesar s se intercaleze anumite dispozitive care, acionate de mrimea respectiv pe baza energiei asociate acesteia sau a unei energii auxiliare de activare, determin apariia unor efecte susceptibile de a fi percepute. De exemplu, curentul electric ca un flux de electroni nu poate fi perceput, dar trecnd acest curent print-o bobin mobil aezat ntr-un cmp magnetic, aceasta va suferi o deplasare ce poate fi observat cu ajutorul ochiului. Dac se consider cmpul magnetic constant i nu exista alte influente perturbatoare, deplasarea bobinei mobile se afla intr-o coresponden determinat cu valoarea curentului continuu. Cunoscnd prin calcul sau experimental modul cum se realizeaza aceasta corespondenta, deplasarea bobinei permite deducerea valorii curentului, ea putand constitui o masura a acestuia. Pe baza acestor considerente se poate defini noiunea de aparat de msurat: Dispozitivul care stabilete o dependen ntre mrimea de msurat i o alta ce poate fi perceput n mod nemijlocit de organele de sim umane, astfel nct permite determinarea valorii mrimii respective pe baza unei scri de msurare se numete aparat de msurat. Aceasta este o definiie general care are n vedere nelesul clasic al noiunii de aparat de msurat, ce presupune utilizarea acestuia de ctre un operator uman. n instalaiile automate (omul eliminat), aparatul de msurat este denumit traductor i el stabilete o coresponden ntre mrimea de msurat i o mrime, etalonat conform unei scri de msurare, apt de a fi prelucrat de elemente de automatizare sau de echipamente de calcul. Pornind de la definiiile precedente se poate reprezenta schema general a unei msurri. n fig. 12.1 este dat o astfel de schem pentru cazul unui aparat de msurat care se adreseaz unui operator uman, iar n fig. 12.2 schema corespunztoare utilizrii unui traductor, care realizeaz funcia de msurare ntr-un sistem de reglare automat.21

Fig. 12.1 Schema general a unei msurri efectuate de ctre un operator uman

Fig. 12.2 Schema general a unei msurri efectuat n cadrul unui sistem de reglare automat ntre cele dou scheme nu exist diferene principiale, ntruct ambele ndeplinesc funciuni similare de determinare a valorii mrimii de msurat n vederea unei anumite utilizri a acesteia. Scopul msurrii, n sistemele de reglare automat, este acela de a iniia o aciune asupra instalaiei automatizate pentru a pstra mrimea reglat la valoarea prescris. Msurarea servete pentru a putea constata abateri de la aceast valoare. Trebuie observat c nici n cazul operatorului uman, msurarea nu prezint un scop n sine ci, de regul, se efectueaz tot n vederea exercitrii unei aciuni asupra obiectului msurrii. Pentru a aduce mrimea de msurat la o form accesibil fie operatorului uman fie dispozitivului de automatizare, n cadrul unui aparat de msurat au loc o serie de transformri ale acesteia bazate pe energia pe care o are asociat sau pe energii furnizate de surse auxiliare. Privind din acest punct de vedere, orice aparat de msurat sau traductor are o structur ce cuprinde urmtoarele elemente tipice: Elementul sensibil sau detectorul este elementul esenial, specific pentru msurarea unei anumite mrimi fizice. n condiiile de efectuare a msurrii, el trebuie s aib proprietatea de a fi sensibil numai la mrimea de msurat i de a o detecta numai pe aceasta, eliminnd sau reducnd la un minim acceptabil influena22

pe care o exercit toate celelalte mrimi fizice existente n mediul n care se afl plasat. Elementul sensibil trebuie s furnizeze la ieire un semnal, care, potrivit unei dependene consecin a legilor fizice pe care se bazeaz funcionarea sa, s conin informaia necesar determinrii valorii mrimii de msurat. Acest semnal trebuie totodat s fie de asemenea natur, nct s poat s acioneze celelalte elemente ale aparatului de msurat. Pentru aceasta, semnalul trebuie s posede o anumit energie pe care o poate prelua de la mrimea de msurat sau de la o surs auxiliar. Adaptorul este al doilea element important din structura unui aparat de msurat. El primete semnalul dat de elementul sensibil i l convertete ntr-o mrime perceptibil sau ntr-un alt tip de semnal n cazul traductoarelor, de aa manier nct s existe posibilitatea sesizrii valorii mrimii msurate de ctre operatorul uman, respectiv de ctre dispozitivul de reglare sau calcul. La multe din aparatele de msurat obinuite, mrimea perceptibil se prezint sub forma unei mrimi mecanice (deplasarea unui ac indicator n faa unei scri gradate, sau la cele nregistratoare, trasarea unui grafic). n cadrul adaptorului, semnalul dat de elementul sensibil sufer la rndul su o serie de transformri pentru a-l aduce la forma unei deplasri, care s poat fi comod perceput cu ajutorul simului vizual, sau la forma semnalului unificat pe care s-l poat recepiona un regulator tipizat. Aceste transformri sunt rezultatul a diferite operaii de prelucrare, avnd drept scop obinerea ct mai corect a valorii mrimii msurate. Adaptorul este elementul n cadrul cruia se efectueaz operaia esenial a procesului de msurare: comparaia cu unitatea. Modalitile de efectuare a comparaiei pot fi variate, ele innd de principiile metodelor de msurare i determinnd diversificri structurale importante ale operaiilor de msurat i traductoarelor. Astfel, comparaia se poate face aplicnd din exterior, simultan, att mrimea de msurat ct i cea de referin. n cele mai multe cazuri ns comparaia este succesiv, n sensul c printr-o operaie de calibrare valorile referinei sunt convertite i memorate de anumite elemente constructive ale aparatului, iar la efectuarea operaiei de msurare, mrimea de msurat este singura care apare din exterior. Datorit rolului lor, adaptoarele cuprind o serie de elemente comune care nu depind de mrimea de msurat, spre deosebire de elementele sensibile, care sunt specifice i care difer de la un aparat la altul, n funcie de mrimea msurat. Elementele auxiliare. Cea mai mare parte dintre aparatele de msurat sau traductoarele uzuale, indiferent de complexitate, de destinaie sau de forma constructiv pot fi reduse la o structur funcional simpl constituit din elementul sensibil i adaptor. Uneori ns, particulariti legate de aspecte tehnologice sau economice impun prezena n plus a unor elemente auxiliare. Astfel23

sunt cazuri, de exemplu la msurarea temperaturilor ridicate, etc., cnd elementul sensibil nu poate fi plasat n aceeai unitate constructiv cu adaptorul. n asemenea situaii apare necesitatea unor elemente de legtur pentru transmiterea semnalului furnizat de E.S. ctre adaptor (A), cu o pondere i o nsemntate mai mari dect la un aparat obinuit i care necesit evidenierea lor ca elemente componente. n general, elementele de transmisie realizeaz conexiuni electrice, mecanice sau de alt natur. Dac mrimea dat de elementul sensibil este nepotrivit pentru transmisie, aparatul de msurat va cuprinde n structura sa i componente de conversie a semnalului potrivit cerinelor impuse de canalele de transmisie. Tot n aceast categorie de elemente auxiliare se ncadreaz i sursele de energie folosite n aparatele de msurat i traductoare. Transformrile care au loc att n E.S. ct i n adaptor, implic transferuri de energie. Chiar dac principial acestea s-ar putea face pe seama energiei asociate mrimii de msurat, din punct de vedere practic apar dificulti de obinere corect i sub o form convenabil a valorii, astfel nct n mod frecvent se recurge la introducerea surselor de alimentare cu energie auxiliar. De cele mai multe ori transformrile care au loc se fac prin modularea de ctre mrimea de msurat a unui semnal energetic furnizat de aceste surse.

Fig. 12.3 Structura tipic a unui aparat de msurat sau a unui traductor: X mrimea de msurat; Y mrimea perceptibil, respectiv semnalul de ieire din traductor; X0 - mrimea de referin (etalon) Structura i schema prezentat corespund aparatelor destinate msurrilor directe, cele mai frecvent utilizate. Ea are caracterul de model destinat evidenierii elementelor funcionale tipice, prin intermediul crora se realizeaz procesul de msurare. n funcie de performanele care sunt impuse, de destinaia i condiiile de utilizare (n industrie sau laborator), msurri la distan sau n zone cu grad nalt de periculozitate, de necesitatea prezentrii rezultatelor sub o form accesibil prelucrrii pe calculatoare i dispozitive de automatizare, unele aparate de msurat

24

actuale pot cpta o mare complexitate care le face s apar cu totul diferite fa de imaginea clasic a aparatelor cu ac indicator. n asemenea cazuri devine mai potrivit denumirea de instalaie (sistem, echipament, lan) de msurare.

Fig. 12.4 Schema unei instalaii de msurare: X = mrimea de msurat Y = mrimea reprezentnd rezultatul msurrii 1 - elementul sensibil (E.S.) 2 - dispozitiv de comparaie 3 amplificator 4 - formator de semnal (filtru) 5 - sursa de alimentare 6 - dispozitiv de generare a mrimii de comparaie 7 - dispozitiv pentru calibrare 8 - dispozitiv indicator 9 - dispozitiv nregistrator 10 codificator 11 - echipament pentru transmitere la distan 12.2 Etaloane Indiferent de modul n care se realizeaz procesul de msurare i oricare ar fi metoda sau aparatul utilizat, efectuarea operaiei de msurare reclam comparaia, direct sau mijlocit, cu unitatea de msur. Apare astfel necesitatea de a se dispune de realizri concrete sub form de dispozitive, aparate, instalaii, capabile s genereze mrimi reprezentnd unitile de msur, multipli sau submultipli i care sunt cunoscute sub numele generic de etaloane.

25

Etaloanele sunt menite s asigure unitatea i conformitatea msurrilor, n orice loc i n orice moment, ceea ce impune condiii severe asupra realizrii lor, att n privina valorilor absolute, ct i referitor la stabilitatea n timp i spaiu a acestora. Ele reprezint o importan deosebit pentru msurri, principalul indicator de performan (precizia) depinznd ntr-un nalt grad tocmai de existena unor etaloane de calitate. Necesitile practice au determinat elaborarea de sisteme de etaloane corespunztoare ndeplinirii urmtoarelor funciuni: - furnizarea principalelor uniti de msur n conformitate cu definiiile lor (unitile fundamentale m, kg, s, A, mol, K, cd) - conservarea acestor uniti de msur (a multiplilor sau submultiplilor) n cadrul laboratoarelor metrologice; - utilizarea lor pentru corelarea ntre ele a diverselor uniti, derivarea altora, efectuarea operaiilor denumite etalonri asupra aparaturii de msurare n faza de construcie i n exploatare. Potrivit celor 3 destinaii sus-menionate se disting trei categorii de etaloane: 1 etaloane de definiie; [Etalon primar ~ naional] 2 etaloane de conservare; [etaloane secundare de ordinul I; etaloane secundare de ordinul II] 3 etaloane de transfer; [etaloane de lucru] 12.3 Metode de msurare Metoda de msurare este ansamblul de principii i mijloace pe care se bazeaz efectuarea unei msurri cu scopul ca rezultatul obinut s reprezinte ct mai corect valoarea msurii msurate i s satisfac cerinele de utilizare. Metodele de msurare cuprind deci o problematic larg, legat de aspectele constructiv-funcionale ale aparatelor de msurat i traductoarelor, de alegerea si folosirea etaloanelor, de asigurarea condiiilor de experimentare, adecvate obinerii performanelor optime. Varietatea mrimilor de msurat, mijloacele i scopurile diverse n care sunt fcute msurrile, au condus la elaborarea unei mari diversiti de metode de msurare, ce pot fi clasificate din diferite puncte de vedere i la rndul lor constituie criterii de grupare ale diferitelor categorii de msurri. Operaia de comparaie cu unitatea fiind esenial n procesul de msurare, modalitatea de realizare a acestei operaii reprezint principalul criteriu de clasificare a metodelor de msurare. Din acest punct de vedere o prim mprire este aceea n metode directe i metode indirecte.

26

12.3.1 Metode directe de msurare Metodele directe se caracterizeaz prin aceea c valoarea mrimii msurate se exprim nemijlocit ca rezultat al comparaiei cu un etalon aparinnd aceleiai clase, fr a recurge la relaii n funcie de mrimi de alt natur fizic. Metodele directe se pot divide la rndul lor n urmtoarele categorii: - prin comparaie simultan; - prin comparaie succesiv. Metodele prin comparaie simultan se disting prin aceea c n procesul de msurare intervine n acelai timp cu mrimea de msurat i mrimea de comparaie (etalonul) aparinnd aceleiai clase. Msurandul poate fi comparat fie cu un etalon de valoare egal sau apropiat, fie cu un etalon de valoare diferit. Rezult astfel subdiviziunile denumite comparaie 1:1, respectiv comparaie 1:n. Comparaia 1:1 se poate efectua direct sau prin intermediul unui aparat de tip comparator. Comparaia 1:1 direct se realizeaz prin metoda diferenial i prin metoda de zero: - metoda difereniala const n msurarea direct, cu un aparat de msurat adecvat a diferenei dintre msurandul X i o mrime de referin X0 de valoare apropiat. Rezultatul este de forma X=X0+. Dac diferena este mic, eroarea dependent de aparat devine practic neglijabil i incertitudinea rezultatului este egal cu cea a referinei; - metoda de zero reprezint cazul particular al metodei difereniale, n care se dispune de un etalon de valoare egal cu mrimea de msurat. n acest caz, aparatul utilizat are rolul unui indicator de nul. Metoda diferenial i metoda de zero se nscriu printre cele mai precise metode de msurare, deoarece la aceste metode influena aparatelor de msurat este minim, precizia rezultatului depinznd numai de cea a etaloanelor. Ele au ns dezavantajul c necesit etaloane de valoare apropiat sau egal cu mrimea de msurat, respectiv etaloane variabile prin care s se poat obine asemenea condiii. Aceste metode se aplic n cazurile n care combinarea difereniat a celor dou mrimi X i X0 este posibil nemijlocit prin nsi natura lor, ele implicnd un aparat de msurat numai pentru indicarea (sau uneori sesizarea) diferenei, ca i cum aceasta ar reprezenta o singur mrime de sine stttoare. Date fiind valorile mici care trebuie msurate la metoda diferenial, precum i necesitatea detectrii anulrii acestor diferene n cazul metodei de nul, aparatele utilizate sunt de mare sensibilitate. Trebuie observat c o combinare diferenial n sensul menionat o permit numai mrimile care au polaritate (pot fi att pozitive ct i negative), cum sunt de exemplu: fora, presiunea, tensiunea electric etc. n schimb, nu se pot msura prin27

metoda diferenial mrimi care sunt numai pozitive, de exemplu masa, rezistena electric etc. Pentru a msura diferenial astfel de mrimi sunt necesare dispozitive suplimentare care s fac posibil (s mijloceasc) comparaia diferenial, respectiv un aparat numit comparator. Comparaia 1:n este msurarea n raport cu un etalon de valoare diferit. Se poate face prin metoda de adiionare sau prin metoda de raport. Metoda de adiionare se bazeaz pe utilizarea de etaloane care au proprietatea de concatenare aditiv astfel ca suma valorilor lor s fie egal cu aceea a mrimii de msurat. n acest mod msurarea se reduce la o comparaie 1:1. Metoda de raport implic existena unui dispozitiv de raport care permite compararea mrimii de msurat cu o fraciune din cea etalon (sau invers). Exemplele cunoscute sunt: balana cu brae neegale, divizorul de tensiune rezistiv, inductiv sau capacitiv. Relaia de baz pentru aceast metod este X=KX0, unde K este factorul de raport al dispozitivului de comparaie, care este, n acest caz diferit de unitate i poate varia n limite largi. Valorile factorului K trebuie cunoscute cu precizie egal sau apropiat de cea a etalonului, pentru a asigura precizia ridicat a metodei. Avantajul esenial al acestei metode, care const n posibilitatea efecturii de msurri ntr-un domeniu extins, utiliznd un singur etalon de valoare fix are o mare aplicabilitate. ndeplinirea condiiei de echilibru, exprimat de relaiile caracteristice, este sesizat asemntor ca la comparaia 1:1 cu un aparat detector de nul. Metodele de comparaie succesiv sunt cele specifice aparatelor de msurat uzuale (indicatoare) n care au loc una sau mai multe transformri ale mrimii de msurat, conform unor relaii de dependen explicite i complet determinate. Pe baza acestor relaii i a unitii adoptate, care mpreun definesc scara de msurare, se pot atribui numere diverselor valori ale mrimii perceptibile, care astfel reprezint direct rezultatul msurrii. Spre deosebire de metodele prin comparaie simultan, la cele prin comparaie succesiv etalonul de aceeai natur cu msurandul nu apare ca o mrime exterioar aplicat aparatului concomitent cu mrimea de msurat. Mrimea de referin a fost aplicat anterior operaiei de msurare (la construcia i gradarea scrii aparatului) i informaia cu privire la efectele ei este reinut (memorat) de ctre anumite elemente componente ale aparatului. Aceast operaie este denumit calibrare sau etalonare. Odat stocat informaia de calibrare, ea este utilizat pentru efectuarea comparaiei cu mrimea de msurat ori de cte ori aceasta este aplicat aparatului. Astfel, n metoda comparaiei succesive comparaia direct ntre msurand i mrimea de referin este nlocuit cu o comparaie simultan ntre dou mrimi de alt natur, una n relaie cu mrimea de msurat i alta cu etalonul (prin memorarea acestuia ca urmare a operaiei de calibrare).28

Metoda comparaiei succesive prezint avantaje importante n ceea ce privete simplificarea operaiei de msurare. ntruct comparaia se efectueaz automat, operatorul nu trebuie s intervin n procesul msurrii, activitatea sa rezumndu-se la citirea corect a aparatului i asigurarea condiiilor necesare de funcionare. Intervenia operatorului este ns necesar i efectiv n operaia de calibrare. Pe de alt parte, calitatea msurrilor prin metoda comparaiei succesive este condiionat de aparatul de msurat ntr-un grad mult mai ridicat dect la comparaia simultan i, n general, precizia corespunztoare acestei metode este inferioar celor anterioare. Totodat, aparatul de msurat calibrat pentru un anumit domeniu are o utilizare limitat numai la valori ale msurandului n domeniul respectiv. Datorit avantajelor de operativitate, metoda comparaiei succesive este aplicat pe scar larg i cele mai multe aparate de msurat indicatoare funcioneaz conform acestei metode. Pentru ilustrarea grafic a principiilor metodelor directe prin comparaie simultan i succesiv n figurile 12.5 a i b sunt prezentate schemele celor dou tipuri de msurri.

Fig. 12.5 Reprezentarea schematic a metodelor directe de msurare a) prin comparaie simultan; b) prin comparaie succesiv Metodele prin comparaie simultan implic un proces de msurare mai laborios, dar care conduce la rezultate mai precise dect metodele prin comparaie succesive, mai simplu de aplicat dar afectate de erori mai mari. n raport cu aceste caracteristici, metodele prin comparaie simultan sunt specifice msurrilor de laborator, iar cele din a doua categorie msurrilor din industrie. 12.3.2 Metode indirecte de msurare

29

Metodele indirecte de msurare se aplic acelor mrimi pentru care nu este posibil, sau nu este realizabil prin procedee practice avantajoase, comparaia direct cu o mrime de referin aparinnd aceleiai clase. Ca urmare, pornind de la o relaie de dependen, consecin a unor legi fizice ntre o astfel de mrime i alte mrimi direct msurabile, msurarea indirect const dintr-o serie de msurri directe, urmate de operaiile de calcul corespunztoare acestei relaii. Dac msurrile directe se efectueaz independent i dup aceea rezultatele se introduc n calcule pe care operatorul le face manual, este evident c, n fond, msurarea indirect i pierde calitatea, reducndu-se la mai multe msurri directe. Exist ns posibilitatea combinrii operaiilor de msurare direct i a celor de calcul, astfel nct s se realizeze concomitent (fr intervenia omului), de o manier similar ca la metodele directe prin comparaie succesiv. n acest mod, problema metodelor indirecte de msurare are sens i ele pot fi considerate ca o categorie distinct pentru care sunt elaborate scri de msurare corespunztoare. Caracteristicile metodelor indirecte de msurare sunt condiionate n primul rnd de forma relaiei de dependen pe care se bazeaz i care determin separarea lor n dou grupe: - metode indirecte bazate pe relaii explicite; - metode indirecte bazate pe relaii implicite. Metodele indirecte bazate pe relaii explicite sunt cele mai simple i mai uor de aplicat datorit posibilitilor realizrii de aparate dotate cu elemente sensibile la mrimile ce se msoar direct i cu elemente de calcul ce execut automat operaiile corespunztoare relaiei care expliciteaz mrimea de msurat n funcie de cele direct msurabile. Un exemplu n acest sens l constituie msurarea puterii electrice cu wattmetrul, conform relaiei P=UI. Wattmetrul este un aparat care cuprinde dou elemente sensibile, unul pentru tensiunea U, altul pentru curentul I, un dispozitiv electrodinamic care determin un cuplu activ proporional cu produsul UI i apoi adaptorul, care permite citirea direct a valorii puterii. Structura menionat are un caracter funcional, din punct de vedere constructiv elementele respective nefiind neaprat distincte. Exist ns wattmetre electronice n cadrul crora blocul de calcul are i o individualitate constructiv. Comparaia se face n cadrul adaptorului, dup ce s-a efectuat operaia de calcul, deci ntre o mrime reprezentnd rezultatul acesteia din urm i o referin memorat ca urmare a calibrrii efectuate n raport cu ambele mrimi U i I. Precizia unei msurri indirecte explicite depinde de precizia msurrilor directe pe care le include, precum i de aceea a elementului de calcul. Datorit posibilitilor de cumulare a erorilor, precizia msurrilor indirecte este uneori mai redus dect a celor directe.

30

Fig. 12.6 Schema funcional a unui aparat sau traductor pentru msurri indirecte, bazate pe relaii explicite de forma: Y=f(x1,x2,...,xn)x1,...,xn mrimi direct msurabile; Y mrimea care reprezint rezultatul msurrii Metodele indirecte bazate pe relaii implicite difer de cele precedente prin aceea c valoarea mrimii msurandului nu poate fi exprimat direct n raport de cte o singur valoare a mrimilor direct msurabile, ci de mai multe valori ale mrimilor. Un exemplu l poate constitui evaluarea coeficienilor de variaie cu temperatura unei rezistene electrice, conform relaiei:R = R 1 + ( 0 ) + ( 0 ) + ( 0 )2

[

3

]

(12.2)

Problema care se pune este aceea a determinrii coeficienilor ,, care intervin sub o form implicit n relaia rezistenei R. Etapele necesare pentru obinerea rezultatului ar putea prea similare ca la metodele indirecte bazate pe relaii explicite: msurarea direct a temperaturii i rezistenei, introducerea n relaie i deducerea coeficienilor. Diferenele constau ns, n faptul c sunt necesare mai multe valori ale mrimilor direct msurabile deci o succesiune de msurri directe ale cror rezultate sunt utilizate n operaiile de calcul care urmeaz. Efectuarea unui set de msurri, memorarea unui numr de valori i, mai ales, prelucrarea lor prin metode laborioase de calcul nu mai este posibil s se realizeze concomitent, cu aparate relativ simple, ca la metodele indirecte anterioare. Pentru determinarea coeficienilor n exemplul considerat s-ar prea c sunt necesare trei msurri ale rezistentei R la trei temperaturi diferite, cu care s se realizeze un sistem de trei ecuaii prin rezolvarea cruia rezult , i o astfel de tratare a problemei ar conduce la soluii valabile numai pentru cele trei tempe