Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

5/24/2018 Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

1/113

BAZELE ELECTROTEHNICII I

-Note de curs-


2/113

2

Introducere

Bazele electrotehnicii reprezint o disciplin tehnic fundamental care

studiaz fenomenele electrice i magnetice din punct de vedere al aplicaiilor tehniceinginereti: descrcrile electrice, orientarea cu busola, fenomenul de atracie ntrediferite minereuri, lumina.

Exist mai multe teorii, care studiaz fenomenele: Teoria macroscopic MAXWELL-HERTZ (1870-1890) Teoria macroscopic a lui LORENTZ Teoria relativist a lui EINSTEIN Teoria cuantic

Teoria macroscopic MAXWELL-HERTZ studiaz fenomenele

electromagnetice la nivel macroscopic fr a face apel la structura substanei. Este oteorie care rspunde suficient de bine cerinelor obinuite ale ingineriei, motiv pentrucare se studiaz in cadrul disciplinei. Ea prezint limitri la viteze comparabile cuviteza luminii, dar acest lucru nu deranjeaz din punct de vedere al inginerieielectrice.

Conceptele fundamentale cu care lucreaz teoria macroscopic MAXWELL-HERTZ sunt substana i cmpul, ce formeaz materia. Substana este reprezentatde corpurile sau obiectele materiale care au mas, iar cmpul este acea form deexisten a materiei care poate exista att in interiorul substanei ct i n interiorulunor corpuri. Exemple de cmpuri: cmp gravitaional, cmp electromagnetic.

Instrumentele de baz necesare n cadru teoriei sunt:

1. mrimi fizice2. uniti de msur3. legi4. teoreme

Mrimile fizice sunt proprieti ale materiei (fie corp, fie cmp), care permit oevaluare cantitativ a unor fenomene.

Unitile de msur sunt concepte asociate mrimilor fizice care permitcompararea mrimilor de aceeai natur.

Legile sunt afirmaii enunate pe baz de experiment care nu pot fi deduse dinalte afirmaii cu grad de generalitate mai ridicat.

Teoremele sunt afirmaii care constituie cazuri particulare ale unor legi. Elepot fi deduse din legi intuitiv sau pe baz de calcul analitic.

La baza fenomenelor electromagnetice st conceptul de sarcin electric. Celmai mic purttor de sarcin electric este Ce 19106.1 = (electronul), respectiv

Cp 19106.1 = (protonul) [1C=1Coulomb].Dei sarcina electric are un caracter discret, teoria macroscopic o consider

ca avnd caracter continuu n corpurile purttoare de sarcin electric. Prezenasarcinii electrice este numai n substan 31108.9 =em kg (masa electronului).

Sarcinile electrice pot fi n repaus sau n micare, iar n funcie de acest lucrufenomenele electromagnetice pot fi clasificate n:


3/113

3

1. Fenomene statice(regim static) 0=v ; 0;0 ==

Wt

.

Toate corpurile sunt n repaus, derivatele sunt nule i nu exist transformrienergetice. Exemple: regimul electrostatic i regimul magnetostatic.

Cmpul electric poate exista independent de cmpul magnetic i se pot studiaseparat.

2. Fenomene staionare (regim staionar) 0;0; =

= Wt

ctv .

Exemplu: curentul continuu care strbate anumite corpuri conductoare saufire. n acest regim avem cmpul magnetic staionar, care poate fi studiat separat decmpul electric.

3. Fenomene cvasistaionare (regim cvasistaionar) 0;0;0

Wt

v .

Exist variaii ale unor mrimi, ns ele sunt suficient de lente astfel nct snu permit propagarea cmpului electromagnetic.

Exemplu: funcionarea circuitelor electrice la frecvene joase.4. Fenomene variabile (regim variabil) 0;0;0

Wt

.

n acest caz variaiile unor mrimi sunt relativ mari i permit propagarea lor nspaiu. Exemplu: comunicaia n telefonia mobil, radio-TV.


4/113

4

ELECTROSTATICA

Sarcina electric punctiform (q)

Sarcina punctiform este un corp de dimensiuni neglijabile n raport cu spaiulla care e raportat, ncrcat cu o anumit sarcin electric.

Teorema lui Coulomb

Experimental s-a observat cr

r

r

qqkF

= 2

0 , unde 22

9109C

mNk

= .

mFk /1094

14

190

0 ==

; 0 - permitivitatea dielectric a vidului

rr

qqF = 30

041

(1) Teorema lui Coulomb

Se constat urmtoarele:- fora de interaciune Feste direct proporional cu produsul sarcinilor( qqF 0~ );

- fora F este invers proporional cu ptratul distanei dintre ele ( 21

~r

F );

- dac > 00qq F este o for de respingere; dac < 00qq F este o for

de atracie

Intensitatea cmpului electric produs de o sarcin punctiform

q

q0

F

r

F

Fig.1 Explicativ pentru teorema lui Coulomb

q

q0

F

r

Fig.2 Explicativ pentru calculul intensitii cmpului electric


5/113

5

Eqrr

qqF =

=

30

041

r

r

qE = 3

0

04

1

(2) - Intensitatea cmpului electric produs de o sarcin

punctiform

[ ]m

VE SI 1=

Linia de cmp electric este o linieimaginar n vecintatea corpurilor ncrcatecu sarcini electrice la care intensitateacmpurilor electrice este tangent.Totalitatea liniilor de cmp electric formeaz

spectrul electric.

Teorema superpoziiei cmpurilor electrice

Intensitatea cmpului electric corespunztor unui sistem de sarcinipunctiforme este egal cu suma vectorial a intensitii cmpului electric creat defiecare sarcin considerat n absena celorlalte sarcini.

321 EEEE ++=

==

==n

kk

k

kn

kn r

r

qEE

13

01 41

Dac pentru un sistem de dou sarcini +q i q se aplic ipotetic teoremasuperpoziiei, prin punctele din vecintate se pot trasa liniile de cmp care formeazspectrul. Spectrul construit astfel arat c liniile de cmp sunt curbe deschise care

pleac de pe sarcini pozitive i ajung pe sarcini negative sau se prelungesc pn lainfinit.

q>0

AAE

Fig.3 Linii de cmp

q1

q2

q3

1E

2E

3E

E

Fig.4 Teorema superpoziiei

q+ q

dlcmpdelinie

E


6/113

6

Punctul de la infinit este un concept care semnific punctul aflat la distanmult mai mare dect dimensiunile sistemului fizic.

0= dlE , dl - vectorul de lungime asociat curbeiAceasta este ecuaia liniilor de cmp; exprim faptul c E este tangent la

liniile de cmp.

Corpul de prob este un concept idealizat care reprezint o sarcin electricpunctiform de valoare suficient de mic, nct s nu perturbe cmpul electric n careeste amplasat; se folosete pentru investigarea cmpurilor electrice.

Teorema lui Gauss n electrostatic

Considerm o sarcin punctiform q iconstruim n jurul ei o sfer ipotetic de raz r.

204

)(r

qrE

=

Notm cu Ssuprafaa sferei.

0

22

0

4

4

)(

qr

r

qSrE ==

Produsul SrE )( reprezint fluxul intensitii cmpului electric prinsuprafaa :

24)()(),cos( rrEdsrEdsdsEEdsE ===

ds =element de suprafa asociat suprafeei sferice ; este o mrime vectorialcare are modulul egal cu aria unei poriuni foarte mici din suprafaa , direcia este

perpendicular pe aceast poriune i sensul ctre exterior; se vede din figur c ds respect condiia.

Faptul c fluxul intensitii cmpului electric prin suprafaa sferei nu depinde

de raza sferei permite extinderea acestei afirmaii la cazul general al unui sistemformat din mai multe sarcini electrice, nconjurat de o suprafa nchis care nu esteneaprat sferic.

0

=

q

dsE (3) Teorema lui Gauss

=

=n

k

kqq

1

q

1 q2q3

q

ds

E

q

ds Er


7/113

7

Enunul teoremei lui Gauss:Fluxul intensitii cmpului prin orice suprafa nchis este proporional cu

sarcina electric total delimitat de aceea suprafa. Factorul de proporionalitate

este 0

1 n sistemul de uniti internaional.

Distribuii spaiale de sarcini electrice

1)Distribuia pe corpuri filiforme

dl

dql= [C/m] densitatea lineic de sarcin electric

==B

Al

B

A dldqq - sarcina electric total pe firul AB

2)Distribuia pe suprafee

dS

dqS= [C/m

2] densitatea superficial de sarcin electric

==S

S

S

dSdqq - sarcina electric total pe suprafa

3)Distribuia volumic

dl

A

B

dldql

=

S

ds)(dq


8/113

8

dl

ME

V

S r

Cq1 q2 q3

qq

n 1qn

dVdqV = [C/m3]

==V

V

V

dVdqq

Cmpul electric rezultant creat de distribuii spaiale de sarcini electrice secalculeaz pe baza teoremei superpoziiei.

rr

dqr

r

dq

rr

dqrrqE

VS

C

k

n

k k

k

++

++=

=

30

30

301

30

44

441

dldqC l= :)( dSdqS S= :)( dVdqV V = :)(

+++=

=

dVrr

dSrr

dlrr

rr

qE

V

V

S

S

C

lk

n

k k

k333

13

041

(4)

Relaia (4) reprezint expresia teoremei superpoziiei pentru un sistemoarecare de sarcini electrice. Aceast relaie permite calculul intensitii curentuluielectric n cazul general.

dv)(dq


9/113

9

A

B

dl

m

nA

B

Tensiunea electric

dlEU

B

AAB = [V] (5)

Tensiunea electric ntre doupuncte amplasate n cmp electric esteprin definiie integrala intensitiicmpului electric de-a lungul unei curbearbitrare care unete cele dou puncte.

AB

AnBAmB

AnBAmB

BnAAmB

UdlEdlE

dlEdlE

dlEdlE

==

=

=+

)()(

)()(

)()(

0

0

Justificare:nmulind relaia (5) cu q(sarcin unitate) avem:

AB

B

A

B

A

B

A

AB LdlFdlEqdlEqqU ==== )(

LAB - lucrul mecanic al forelor de natur electric necesar pentru deplasareasarcinii qdin punctul A n punctul B.Tensiunea electric reprezint lucrul mecanic necesar forelor de natur

electric pentru a deplasa unitatea de sarcin electric ntre dou puncte.

0==+= AABAABAA WWLLL (6) ;

WA- energia cmpului electric corespunztoare poziiei iniiale

0=

dlE (7) - Teorema potenialului electrostatic

Relaia (6) permite alegerea arbitrar a punctului B; prin urmare integrala pe

orice curb nchis este zero.

dl

sd

ld

S


10/113

10

z

x

j

k

i

Consecine:- tensiunea electric ntre dou puncte nu depinde de drum;- se aplic teorema lui Stokes expresiei (7)

==

0

S

dSErotdlE 0=Erot (8) forma local a Teoremei

potenialului electrostatic

Corelarea sensurilor elementelor de linie i elementelor de suprafa se facedup regula burghiului drept: sensul lui dS este dat de sensul de naintare al unui

burghiu care se rotete n sensul indicat de dl.Cmpul electric este un cmp irotaional.- se demonstreaz n matematica superioar c orice cmp irotaional poate fi

scris ( ) EVgradErot == 0 ; V este potenialul, iar semnul - este conform uneiconvenii de semn.

VgradE = (9)

Operatorii de derivare spaial

kz

jy

ix

+

+

= - expresia n sistemul de coordonate cartezian.

VgradV ; Veste un cmp scalar

kz

Vj

y

Vi

x

VV

+

+

=

=

===

z

V

y

V

x

Vzyx

kji

gradVrotErotE )(

0222222

=

+

+

=zx

Vj

zy

Vi

yx

Vk

zx

Vj

yx

Vk

zy

Vi

Exprimm variaia potenialului ntre dou puncte apropiate n spaiu.

=

+

+

== dzz

Vdy

y

Vdx

x

VzyxdVdV ),,(

( ) dlEdVdlgradVkdzjdyidxkzV

jy

V

ix

V

==++

+

+

=


11/113

11

( )C

dl( )1

( )2

E

q1

q2

q3

qn

r1

r2

====2

1

2

1

2

112 )( dVdVdlEU

2112 )( VVVV ==

2112 VVU = (10)

Potenialul unui punct se exprim relativ la un potenial de referin. Punctulde referin poate fi ales arbitrar, ca i valoarea potenialului acestuia. Se prefervaloarea 0 pentru potenialul de referin (2). Consider punctul (2) ca referin.

dlEVUV === 2

11122 0 (11)

Potenialul ntr-un punct se calculeaz ca integral a lui Epe o curb arbitrarcare unete acel punct cu punctul de referin.

Potenialul cmpului electric creat de sarcini punctiforme

=M

M drEV 0=V - referin de potenial;

drr

qdrEdrEdrEdrE 2

04),cos(

===

a

q

r

q

drr

qdr

r

qV

aaa

M00

20

20 4

14

144

=

===

Cazul general:r

qrV

04)(

= .

Teorema superpoziiei potenialelor

=

=+++=n

j

nM jEEEEE1

21 L

gradVE =

11 gradVE =

22 gradVE = K

nn gradVE =

+q M Era


12/113

12

S

ds)(dq

r

dv)(dq

V

dl

( )dq

l

q3

qq

n 1qn

gradVVgradgradVjEEn

jj

n

jj

n

j

=

===

=== 111

=

=n

jjVV

1

(12) - Teorema superpoziiei potenialelor

Potenialul cmpului electric creat de o distribuie spaial de sarcini electriceeste egal cu suma potenialelor create de fiecare sarcin punctiform dac ar existasingur, n absena celorlalte.

=

=n

j j

j

r

qV

1041

Potenialul cmpului electric creat de distribuii oarecare de sarcini

Formulele potenialelor elementare sunt similare formulei potenialuluicorespunztor sarcinilor punctiforme, de forma:

=

dV

dS

dl

dq

V

S

l

r

dldV ll

04

= ;r

dSdV SS

04

= ;r

dVdV VV

04

=

Teorema superpoziiei ==C

l

C

ll dlrdVV

041

;

==S

S

S

SS dSrdVV

041

; ==V

V

V

VV dVrdVV

041

+++=+++=

== S V

n

j j

jVS

C

ln

jjVSlM r

qdV

rdS

rdl

rVVVVV

101 41

Ecuaiile Poisson / Laplace pentru cmpul electrostatic

Teorema lui Gauss:

0

= qdSE ;

= V

dVEdivdSE )( ; dVqV

V=


13/113

13

( ) ( ) VVgradVdiv ==

00

)(1

)(

V

V

V

V

EdivdVdVEdiv ==

n coordonate carteziene:

( )z

E

y

E

x

EkEjEiEk

zj

yi

xEEdiv zyxzyx

+

+

=++

+

+

==

gradVE = 0

)(

VgradVdiv = (Ecuaia lui Poisson)

( -operatorul Laplace) 0

VV =

Ecuaia lui Laplace este ecuaia de distribuie spaial a cmpurilor; ecuaiageneral a cmpurilor n coordonate carteziene:

( )2

2

2

2

2

2

z

V

y

V

x

Vk

z

Vj

y

Vi

x

Vk

zj

yi

xVV

+

+

=

+

+

+

+

==

ecuaia lui Poisson n coordonate carteziene:0

2

2

2

2

2

2

V

z

V

y

V

x

V=

+

+

n cele mai multe cazuri ntlnite n practica inginereasc sarcinile electricesunt dispuse pe suprafee si nu n volume.

= 0V 0=V - Ecuaia lui Laplace

022

2

2

2

2

=

+

+

z

V

y

V

x

V- Ecuaia lui Laplace n coordonate carteziene

Suprafee echipoteniale

Suprafeele echipoteniale sunt suprafee fictive care se desfoar n cmpelectrostatic, pentru care potenialul electric are aceiai valoare n orice punct alsuprafeei.

- sfer concentric cu sarcina q

Se consider dou puncte foarte aproape pe suprafaa echipotenial:

E

M/

dl

q+- suprafa echipotenial


14/113

14

dl

ld/

a

x

r

MEd

/

11

d11

Ed

Ed/

Ed xd x

/

l

dlE

dlEdlEdVVVM

M

MM

=== 0'

' - ecuaia suprafeei echipoteniale

Consecin: Relaia de mai sus arat c vectorul E- intensitatea cmpuluielectric - este perpendicular pe suprafeele echipoteniale, prin urmare liniile de cmpsunt la rndul lor perpendiculare pe suprafeele echipoteniale.

Aplicaii:Calculul intensitii cmpului electric i al potenialului electric n cazuri

particulare.

1)Se cere Ei V pentru cmpulcreat de o spir circular ncrcat cusarcin electric distribuit uniform cudensitatea l. Punctul de calcul va fi

pe o ax perpendicular pe planulspirei care cade n centrul acesteia.Raza spirei se noteaz cu a.

dldq l=

rr

dlrr

dqEd l 30

30 44

==

0=V

q+ q

suprafeeechipoteniale


15/113

15

a

x

E

Se folosete teorema superpoziiei pentru E.

==C

M EdxEE )(

||EdEdEd x+=

( )23

220

224

cosxa

xdl

xa

xdErxdEdExEd l

+

=+

===

0'|||| =+ EdEd Oricare dou elemente dli dlde pe spir creeaz componente ale intensitii

cmpului paralele ( ) cu planul spirei care se anuleaz reciproc. n concluzie cmpulrezultant va avea componente numai pe direcia pe planul spirei.

( ) ( ) ( )23

220

2

023

220

23

220 244

)(xa

xadl

xa

xdl

xa

xdExE l

a

C

ll

C

x

+=

+=

+==

2204 xa

dqdV

+=

220

2

022

022

0 244 xa

adl

xaxa

dldVVV l

al

C

l

C

xM+

=+

=+

==

n ipoteza ( ) 0=V .

Variant de calcul a potenialelor

( ) ( )

+=

+=

===

x

l

x

l

xx

M

dx

xa

xadx

xa

xa

dxEdxExVV

23

22023

220

22

0cos)(

Notm cu:22

xat += ; 22dt

xdxdxxdt ==

220

21

0

23

0 2212222

22

22 xa

atadtt

aV l

xa

l

xa

lM

+=

=

=

+

+

Calculul lui E pe alt cale!

gradVE = ;V

Ex

=


16/113

16

a

R

ds sd/

r/

r x

Ed 11 Ed/

11

Ed X

Ed X/

EdEd

/

A B

CD

adl

R

ds

d

( ) ( )

( )23

220

23

22

0

21

22

022

0

2

221

222

xa

axE

xxaa

xadx

da

xa

a

dx

dE

l

lll

+

=

+

=

+=

+=

Particularizare:

=

==

02

00

lV

Ex

00

V

Ex

2)Cazul unui disc de raz a ncrcat cu sarcini electrice dispuse uniform pesuprafaa lui cu densitatea S. Punctul de calcul este amplasat pe o dreapt pe planuldiscului care cade n centrul acestuia.

BCABdS = dRBC

dRAB= = ddRRdS

( ) ( )dRd

xR

R

xR

dS

r

dqdE SS

+=

+==

220

220

20 444

dSdq S=

==disc

xM dExEE )(

C C/m2 m


17/113

17

A

B

C

D

/A

//B

//C

//D sdE

sd

E

//A

S

S

)

( )

dRd

xR

Rx

Rx

xdEdEdE Sx

+=

+==

23

220

224

cos

( ) ( )=

+=

+=

dRd

xR

RxdRd

xR

RxE

aS

aS

M

0

2

023220

0

2

0 23220 44

( ) ( )dR

xR

RxdR

xR

Rx aSa

S +

=+

=0 2

32200 2

322

022

Se face schimbare de variabil: txR =+ 22 ; dtdRR =2 ; dtRdR21

=

+=

+

==

+

++

xaxxtx

dttx

E S

ax

x

Sxa

x

SM

112

12

32222 220

123

0

23

0

22

2

22

2

+=

220

12

)(ax

xxE S

Cazuri particulare:

a)02

)0(0

SEx ==

b) 0)(lim)( ==

xEExx

c)02

)(lim)(

Sa

xEEaxa ==>>

- n cazul unui plan de dimensiuni

infinite ncrcat cu sarcini electrice distribuite uniform cu densitatea S , cmpulelectric n vecintatea lui nu depinde dex.

Calculul intensitii cmpului electric n vecintatea unui plan infinit cuajutorul teoremei lui Gauss


18/113

18

0

=q

dSE ; SSq SABCDS ==

ESdsEdsEdSE

dSEdSEdSEdSEdSEdSE

DCBADCBABCCB

ABBADCCDADDADCBADCBA

2''''''''''''''''''

''''''''''''''''''''''''''''''

=+=+

+++++=

dSEdSEdSE == 0cos - pentru '''''''','''' DCBADCBA

02

cos == dSEdSE - pentru toate celelalte fee laterale

==

00

22

SES

qES S

02SE=

Concluzie: Teorema lui Gauss permite calculul cmpurilor electrice pentrumajoritatea cazurilor posibile n practica inginereasc unde cmpurile electrice

prezint simetrie spaial( simetrie plan, cilindric, sferic).

Cmpul electrostatic creat de dou plci plane, paralele ntre ele, dedimensiuni foarte mari n raport cu distana uneia fa de cealalt, ncrcate cusarcini de polariti opuse i amplasate n vid.

iE

iE

SA

SA

0

2

0

1

2

2

=

=

021 =+= AAA EEE

iE

iE

SB

SB

02

0

1

2

2

=

=

iEEE SBBB0

21

=+=

+S -S

2E

1E 1E

2E

A B C

x0 d


19/113

19

q+ q q+ q

d

E0E

vid

(izolant)dielectricmaterial

0EE>

cos;cos 1212 lrr

l

rr

( ) bgradaagradbabgrad +=

Cmpul electric al dipolului elementar

Se determin mrimea lqp = ce senumete moment electric.

21

12

0201021 444 rr rrqrqrqVVV ==+=

30

30

20 44

coscos4 r

rp

r

lrq

r

r

r

lqV

=

=

=

=

== 30

30

14

14 rrpgradr

rpgradgradVE

( ) pkpjpipzpypxpkz

jy

ix

rpgrad zyxzyx =++=++

+

+

= )(

kpjpipp zyx ++=

kzjyixr ++=

zpypxprp zyx ++=

222 zyxr ++=

( ) ( ) ++=++

+

+

=

ixzyxzyxkz

jy

ixr

grad 2231 12/32222/3222

3

( ) ( ) =++++ kzzyxjyzyx 223

223 12/322212/3222

( ) ( )5

2/5222 33r

rkzjyixzyx =++++=

( )

=

+

= 35

035

034 134 1 rpr rrprprrrpE


21/113

21

dv)(dq

M

r

( ) bgradaadivb +=abdiv

+= V S

SV sdrvdrV 04 1

Cmpul electric suplimentar produs de un domeniu polarizat

Polarizaia electric Preprezint momentul electric corespunztor uniti devolum; se mai numete vector polarizaie.

pd - suma momentelor electrice dinvolumul dv

v

pP

= Polarizaie electric

dvPpd =

dvr

gradPdvr

rP

r

rdvP

r

rpddV

==

=

=1

41

41

44'

03

03

03

0

=r

gradr

r 13

( ) rPdiv

r

PdivrgradPzyxkzjyix

=

=++

+

+

= 12/1222

K

dvr

Pdiv

r

PdivdV

+=

041

'

+==

VV

dvr

Pdivdv

r

PdivdVV

041

''

Gauss Ostrogradski:

==

dsr

nPsd

r

Pdv

r

Pdiv

V

; dsnsd =

+=

dsr

nPdv

r

PdivV

V041

'

Relaia lui V este formal asemntoare cu relaia potenialului creat dedistribuii spaiale dispuse n volum i pe suprafee:


22/113

22

PdivV =/

1

( )nPPnPS 1221/

1 =

1 2n12

1

2 )Vgrad// =

dielectricpolarizatcorp

V

V

ds

qV

/

qV

===VV

VV sdPvdPvdq div//

/1

V-densitatea volumic a sarcinilor de polarizaie

/

1S

-densitatea superficial a sarcinilor de polarizaie

Folosind aceste dou notaii problema calculului cmpului suplimentar sereduce la problema calculului unui cmp electric creat de sarcini adevrate distribuite

pe corpurile polarizate cu densitile S' i V' . Densitile superficiale ale sarcinilorde polarizaie apar numai la suprafaa de separaie a dou medii cu proprietidielectrice diferite.

21 ,PP - polarizaiile electrice n cele dou

medii n imediata apropiere a suprafeeide separaie.

+=

V S

SV dsr

dvr

V''

41

'0

Legea fluxului electric

Sarcina total de polarizaie dintr-un corp dielectric ce ocup volumul V este:

Expresia teoremei lui Gauss pentru un domeniu care conine att sarcinielectrice adevrate, ct i sarcini de polarizaie este:

=+=

0000

|11

)'(1

dsPqdsEqqdsE VVV

) VqdsPE =+

0

PED += 0 (1) - legea legturii ntre D , Ei P; D - inducia electric


23/113

23

n prezena corpurilor dielectrice nu este suficient o singur mrime pentru acaracteriza cmpul electric, ci sunt necesare dou mrimi, respectiv Ei D .

VqsdD =

(2) - legea fluxului electric (forma integral)

Enun: Fluxul electric prin orice suprafa nchis esteegal cu sarcina electric adevrat delimitat de

suprafaa respectiv. Legea este valabil att n vid, cti n medii dielectrice.

(

= sdD - fluxul electric)

V

V

V

V

DdivdvdvDdiv ==

(3) - forma local a fluxului electric

Legea fluxului electric reprezint o generalizare a teoremei lui Gauss.

Legea polarizaiei temporare

pt PPP +=

unde: tP - polarizaie temporarPP - polarizaie permanent

PP nu depinde de cmpul electric n care este amplasat dielectricul. n generalcorpurile dielectrice nu prezint polarizaie permanent.

0pP ; Totui exist substane cu polarizaie permanent i anume electreii.

tP depinde de E din masa corpului polarizabil.EP et 0= (4) Legea polarizaiei temporare (e -hi)

Enun: Legea polarizaiei temporare exprimproporionalitatea dintre E (intensitatea cmpului electric) ivectorul polarizaie. Aceast proporionalitate ns poate fivalabil numai pentru domenii limitate ale lui M, iar factorulde proporionalitate e poate avea diferite valori n funcie dedirecia cmpului.

n cazuri uzuale se consider corpuri dielectrice liniare n care acest factor deproporionalitate este constant.

cte

= - susceptibilitate electric

EEEEDEPPP reeept

0000

0 )1()1(

=+=+==+=

( 0=pP )

ED = (5) - consecin a relaiilor (1) i (4) i se folosete n aplicaiipractice

er += 1 - permitivitatea relativ amaterialului

10 >> re

Pentru vid: 10 == re

P

E

Material electric liniar


24/113

24

mFSI

/1=>


25/113

25

1

2

2

1 D1 D2

s1s2

S

normal

22

1 2

21

t1

t2

normal

1

2

+++=

A

D

D

C

C

B

B

A

ldEldEldEldEldE

0 0

Pentru BC : tdlld = ===

A

D

C

B

A

D

C

B dltEdltEdltEdltEldE DA: tdlld = ( )=== tEtElDAtEBCtE 1212

( ) 012 == tt EEl

BC=DA= l= 0l tt EE 21 = (6) - componena tangenial a lui E se conserv la

suprafaa de separaie dintre dou medii

- suprafaa cilindricplan;

S - aria bazei;

Legea fluxului electric :

=

VqsdD

n ipoteza 0=V

q =++= lSSS

sdDsdDsdDsdD21

00 122121121211

=+=++= SnDSnDdsnDdsnDSS

Pentru S1: dsnsd 12= nn DD 21 = (7)

Pentru S2: dsnsd 12=

Se conserv componenta normal a lui D la suprafaa de separaie a doumedii.


26/113

26

ctgrad

VE

VE=

=

=

0

===n

n

n

n

t

n

n

t

D

DD

D

E

E

E

E

tg

tg

1

1

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

2

1

2

1

2

1

=

tg

tg (8)

ED = Relaia (8) reprezint teorema refraciei cmpului electric la suprafaa de

separaie a dou medii.

Comportarea corpurilor conductoare n cmp electric

Corpurile conductoare prezint urmtoarele particulariti:1. densitatea volumic de sarcin electric este ntotdeauna zero 0=V ;

sarcinile electrice sunt dispuse pe suprafaa conductoare 0S ;

2. intensitatea cmpului electric n interiorul corpurilor conductoare estezero. 0int =E ;

3. copurile conductoare sunt echipoteniale: toate punctele lor au acelaipotenial .ctV= ;

4. intensitatea cmpului electric pe frontiera corpurilor conductoare esteperpendicular pe aceasta: extnext EE = (componenta normal) i

componenta tangenial 0=exttgE .Justificare:n electrostatic nu exist deplasare de sarcini electrice. Toate sarcinile sunt n

repaus. n corpurile conductoare exist e liberi; pentru ca ei sa fie n repaus nutrebuie sa fie supui unor fore de natur electric 00 === EEqF .

Considerm un corp conductor i construim ninteriorul su o suprafa nchis aleas arbitrar,

pentru care s aplicm teorema lui Gauss.

0

VqsdE =

; 00 == VqE - nu avem

sarcini electrice n volumulcorpului

ntruct componenta tangenial se conserv i dac n interiorul corpuluiaceasta este zero c i la exterior aceasta este zero 0=exttE .

Consecine:1)Ecranarea electric spre interior

ctV =

B

conductorcorp

cavitated

l

0ext


27/113

27

Se consider un corp conductor n care este practicat o cavitate, corpul fiindamplasat ntr-un cmp electric exterior.

00 === cavB

A

BA EldEVV

Dac se aleg pe frontiera caviti dou puncte oarecare i se exprim diferenade potenial ntre ele integrnd pe curbe arbitrare rezultatul ne conduce la concluzia cfuncia de sub integral, respectivEtrebuie s fie 0; deci En interiorul cavitii estenul o persoan aflat n interiorul cavitii este protejat total fa de aciuneacmpului electric; pe de alt parte dac atingem oricare dou puncte de pe frontieracavitii diferena de potenial va fi 0 iar pericolul de electrocutare este nul.

Acest sistem de protecie se mai numete cuca lui Faraday, iar efectul deecran se pstreaz chiar dac avem de-a face cu o plas de srm, tabl perforat, etc.

2)Ecranarea electric spre exterior

Echipamentele electrice n care exist tensiuni periculoase se nchid de reguln carcase metalice conectate galvanic la pmnt.

Carcasa metalic mpreun cu pmntul formeaz un singur corp conductorcare este echipotenial; atunci o persoan care atinge carcasa nu este supus uneidiferene de potenial fa de pmnt, neexistnd pericolul de electrocutare. n masacarcasei metalice sarcinile se distribuie conform figurii.

Sisteme conductoare n cmp electric

q+

+

+

+

++ + + +

+ +

++

+++

0=V

0=

0=V

0=V

metalic carcas

potenialul pmntului este nul

0=

V

vq 11 vq 22

vq nn

1 2

n

Un0

VU 110=

VVU 2112 =

corpuriconductoare

suprafaa pmntului


28/113

28

}{0 jiij jj ;

+++=

+++=

nnnnnn

nn

qqqV

qqqV

L

M

L

2211

12121111

(1)

Ecuaiile (1) reprezint ecuaiile lui Maxwell pentru poteniale (prima form aecuaiilor lui Maxwell).

Se rezolv sistemul (1)

+++=

+++=

nnnnnn

nn

VVVq

VVVq

L

M

L

2211

12121111

(2)

Ecuaiile (2) reprezint a doua form a ecuaiilor lui Maxwell.

=ij coeficienii de influen electrostatic (coeficieni de capacitate)0;0 ijij pentru (i j)

111111311311211212121111 VVVVVVVVVq nnnn +++++++= LL ( ) ( ) ( ) ( )nnn VVVVVVVq +++= 11311321121112111 LL

+++=

+++=

002211

11121210101

nnnnnnn

nn

UCUCUCq

UCUCUCq

L

M

L

(3)

02010 ,,, nCCC - capacitile pariale ale fiecrui corp fa de pmnt;

ijC - capacitatea parial a corpului ifa dej.

Proprieti ale capacitilor pariale1. 0,,, 02010 >nCCC K 2. ),1(,,0 njiCij > 3. CjiCij= - relaia de reciprocitate4. Valorile Cij depind numai de configuraia geometric a sistemului de

conductoare i de natura mediului n care sunt amplasate i nu depind

de sarcini sau de potenial.


29/113

29

Condensatorul electric

Definiie:Condensatorul electric este un sistem de dou conductoare separateprintr-un material dielectric care ndeplinesc condiia 021 =+ qq .

Consecin: Cmpul electric ntre cele dou conductoare este un cmpcomplet, adic toate liniile de cmp care pornesc de pe un conductor ajung pe cellalt.Cele dou conductoare se numesc armturi.

021 =+ qq (4)

Din (3)

+=

+=

202021212

121210101

UCUCq

UCUCq

(4) 02010 = CC CCC == 2112 UCq = (5)

UUU == 2112 Uq

C= (6)

qq =1 ; qq =2 C este capacitatea electric a condensatorului i reprezint factorul de

proporionalitate ntre sarcin i tensiune. Capacitatea depinde numai de geometriacondensatorului i de natura dielectricului; nu depinde de sarcin i nici de tensiune.

Simbolul grafic al condensatorului:

Calculul capacitii condensatoarelor

Capacitatea nu depinde de sarcin sau tensiune, ci numai de forma i

dimensiunile condensatorului, precum i de natura dielectricului. Pentru calcululcapacitii unui condensator dat se parcurg urmtoarele etape:1. se consider condensatorul ncrcat cu o sarcin de valoare arbitrar +q,

respectiv q;2. se calculeaz inducia electric a cmpului creat de aceste sarcini n zona

dielectricului se calculeaz E; K== EED r0 3. se calculeaz diferena de potenial ntre cele dou armturi:

ldEVVU == 2

121

4. se exprim capacitatea cu relaia (6). Sarcina qse va simplifica.Exemple:1)Condensatorul plan cu un singur dielectric

Se d: S; d; r .Se cere C.q arbitrar

Se poate aplica legea fluxuluielectric pentru calculul lui D

= qsdD

q+ q

U

q+ q

U

q+

q

A

B

Dr

S1

S2S

d


30/113

30

SSS l= 21

A

B

E

dld

Se mbrac armtura superioar cu o suprafa nchis de form

paralelipipedic. Pentru aceast suprafa se aplic legea fluxului electric. Se ineseama c avem un cmp electric complet, adic toate liniile de cmp care pornesc de

pe armtura ncrcat cu sarcini pozitive ajung pe cealalt armtur. Se consider c

n afara dielectricului cmpul electric este nul.; qq =

DSdsDdsDsdDsdDsdDsdDsdDSSSSSS l

====++= 11121

0cos

Pe suprafeele S2i Sl 0=D .

S

qDqSD == ;

S

qDE

rr 00==

dS

qdl

S

q

dlEldEVVU

r

d

r

dB

A

00 0

021 0cos

==

====

d

S

dS

qq

C r

r

0

0

==

2)Condensatorul plan cu dielectric stratificat

Se d S, 1d , nd , rnr K,1 Se cere capacitate.q arbitrar.

S

qD=

S

qDE

S

qDE

S

qDE

rnrn

n

rr

rr

00

20202

10101

==

==

==

L

d1

d2

dn

1

2

n

+q

-q

A

B


31/113

31

++++

+++

+

+++==nnq

n

dddd

ddd

dd

d

dB

A

ldEldEldEldEVV11

121

21

1

1

021

L

L

L

=+++== nn dEdEdEVVdlEldE L2211210cos

+++=

rn

n

rrdddSq L2

2

1

1

0

21 VV

qC

=

=

=n

k rk

kd

SC

1

0

3) Condensatorul sferic

Se dau: dou sfere conductoare curaze 21 ,RR i r. Se cere capacitateaC.

q - arbitrar. Cmpul electric aresimetrie sferic datorit formeiarmturilor; pentru calculul lui seaplic legea fluxului electric.

Pentru asta construim o sfer (suprafa sferic concentric cu armaturile).21 RrR


32/113

32

SSS l = 21

4)Condensatorul cilindric

Se d: rlRR ,,, 21 . Se cere C.q - arbitrarCmpul electric n dielectric are simetrie cilindric datorit formei. - suprafa cilindric de raz r, 21 RrR


33/113

33

A B

U

q

U

q

A B

U

q

Sisteme de condensatoare

Un sistem de condensatoare este un ansamblu format din mai multecondensatoare conectate care poate avea sau nu borne exterioare i care ndeplinete oanumit funcie.

Sisteme de condensatoare cu dou borne exterioare

Dou sisteme de condensatoare cu borne exterioare sunt echivalente( )dac prin aplicarea aceleiai diferene de potenial ntre borne se absorb aceleaisarcini electrice.

A) Sisteme de condensatoare conectate n paralel. Capacitate echivalent

Se d nCCC ,,, 21 conectate n paralel.Se cere capacitatea echivalent

UCq 11= ; UCq 22 = ; UCq nn = Condiia de echivalen: qqqq n =+++ L21

UCq p=

UUCUCUCUC np

121 +++= L

==+++=

n

k knpCCCCC

121 L

1q gCL

2q

nq

2CL

nCL

A BpCq+ q

U

C1

C2

Cn

-q1

-q2

-qn

A B


34/113

34

A B

1C

q+ q q+

q

q+ q q+

q

2C 3C nC

1U 2U 3U nU

U

A Bq+ q

sqC

U

1C

SC

1

3C

4C r

C

pCC

B) Sisteme de condensatoare conectate n serie. Capacitatea echivalent

Se d: nCC 1 n serie. Se cere SC .

11 C

qU = ;

22 C

qU =

nn C

qU =

+++== qC

q

C

q

C

q

C

q

U ns

1

21 L ==+++=n

k kns CCCCC 121

11111L

nUUUU +++= L21 (teorema potenialului)

=

=n

kks SS

1

(S-elastana)

C) Conexiuni mixte paralel-serie (exemplu)

32

321

32

32

321

111CC

CCC

CC

CC

CCC ss +=

+=+=

5432

325411 CCCC

CCCCCC sp +++

=++=

p

p

p CC

CCC

CCC +

=+=1

1

11

111

1C

2C 3C

4C

5C

C=?


35/113

35

15432

32

5432

321

CCCCC

CC

CCCC

CCC

C+++

+

++

+=

Sisteme de condensatoare fr borne de acces (Reele izolate de conductoare)

Conin att condensatoare ct i surse de tensiune interconectate.Se cunosc capacitile condensatoarelor reelei i tensiunile surselor i se

urmrete gsirea distribuiei sarcinilor electrice pe condensatoarele reelei. Pentru arezolva aceast categorie de probleme se utilizeaz teoremele lui Kirchhoff pentrureele de condensatoare.

T1 Sarcina total delimitat de o suprafa nchis care nu are fire deconexiune, ci se nchide numai prin armturile condensatoarelor i prin aerul sau viduldin vecintate se conserv.

ctqk= T2 Suma tensiunilor la bornele elementelor care formeaz o bucl a reelei

este zero.0= kU

Se d: 41 ., CC i 0U Se cere: 41 ,, qq i

41 ,, UU

Etape de rezolvare: se consider condensatoarele ncrcate cu sarcinile 41 ,, qq i se stabilesc

polaritile arbitrare. Recomandare! Armturile conectate la borne de o anumitpolaritate ale surselor se vor ncrca cu sarcini de aceeai polaritate;

se aplic teorema a doua a lui Kirchhoff pentru toate ochiurile reelei.Ochi = bucl care nu conine laturi diagonale.Pentru fiecare ochi se alege un sens convenional de parcurgere.Tensiunile la bornele condensatorului se consider orientate de la armturile

pozitive spre cele negative.o1: 0021 =+ UUU o2: 0243 =+ UUU

se construiesc attea suprafee nchise prin dielectricii condensatorului cteste necesar pentru a completa sistemul de ecuaii cu expresii date de T1.

nr. de necunoscute = 4

nr. de ecuaii deja construite = 2nr. de ecuaii necesare = 4-2 = 2

q+

q+q

q

q+ q

U0 o1 o2q+

qU

1

U2

U3

U4

C1

C2

C3

C4

1 1

2

2

3

3

4

4

1

2


36/113

36

dou suprafee nchise 1i 2 ( ) 0: 431 =+ qq ( ) 0: 3212 =++ qqq

se rezolv sistemul de ecuaii: )41( K== kC

qU

k

k

k

=++

=+

=++

=+

00

0

321

43

4

4

3

3

2

2

02

2

1

1

qqq

qqC

q

C

q

C

q

UC

q

C

q

=

=

=

=

????

4

3

2

1

q

q

q

q

Energie n cmp electric

1) Sistem de n sarcini punctiforme

Energia cmpului electric corespunztoare unui sistem de sarcini punctiformeeste numeric egal cu lucrul mecanic necesar a fi efectuat din exterior pentru a ncrcacorpurile respective cu sarcin electric.

01=L

( )

120

122222

22

412

1212

12

R

qqLVqldEq

ldEqldFldFL

R

RR

R

==+=

====

+==

230

2

130

13333 44 R

q

R

qqVqL

Pentru aducerea sarcinii n punctul 3M se efectueaz un lucru mecanic caretrebuie s nving forele de natur electric de interaciune att ntre 3q i 1q , ct intre 3q i 2q .

3V este potenialul cmpului electric n punctul 3M datorat prezenei lui 1q i

2q .

=

==1

1 04

n

k kn

knnnn R

qqVqL

=

==

==n

j

j

k kj

kj

n

jje R

qqLW

1

1

1 01 4

jkkj RR = Dublm numrul de termeni ai sumei,

==

==

=

===n

j

jj

n

j

n

jkk kj

kj

n

j

n

jkk kj

kje Vq

R

qq

R

qqW

11 1 01 1 0 2

1

42

1

42

1

q1

q2

M3

M1

M2

R12

R13

R23F

q3


37/113

37

V

V

S

C

l

1

q1

V1

2

n

q2

qn

V2

Vn

=

=n

jjje VqW

121

JW SIe 1=>< (Joule)

Exemplu:

321 LLLWe ++= 01=L

++=

230

2

130

13

120

122 444 R

q

R

qq

R

qqL

=

+++++=

320

23

310

13

210

12

230

32

130

31

120

21

44444421

R

qq

R

qq

R

qq

R

qq

R

qq

R

qq

= =

=3

1

3

1 0421

j k jk

kj

R

qq

2)Distribuii oarecare de sarcini electrice

Prin analogie ++= )()()( 212121 C lS SV Ve VdlVdsVdvW

3) Sisteme de n corpuri conductoare (sarcini distribuite pe suprafeeechipoteniale)


38/113

38

q+

q

E

D

S

U

d

=

=

= =

n

kSk

n

kSe

k

kkdsVdsVW

11 21

21

=

=n

kkke VqW

121

Caz particular: 2=n (condensatorul)

qq +=1 ; qq =2

( ) ( ) =+= 212211 21

21

VVqVqVqWe qUWe 21

=

= CUq 221

CUWe =

=C

qU

C

qWe

2

21

=

Densitatea volumic de energie a cmpului electrostatic

ole

e

VDEDSEdW

dEU

DSqS

qD

qUW

==

=

==

=

21

21

21

,unde Volvolumul dielectricului

0cos= EDED

olVEDW

=

21 ole VwW = EDwe = 2

1

we densitatea volumic de energie a cmpului electric; [ ] =SIew 1J/m3

Expresia energiei cmpului electrostatic poate fi generalizat pentru odistribuie de sarcini sub forma:

=)(V

ee dvwW ; EDwe = 21

,

unde (V) domeniul ocupat de cmpul electric la care ne referim.


39/113

39

Teoremele forelor generalizate n cmp electrostatic

Coordonate generalizateReprezint ansamblul de mrimi scalare (cu dimensiuni de lungime sau

unghiuri) care caracterizeaz forma i dimensiunile unui ansamblu de corpurincrcate cu sarcini electrice.,, 21 xx

Noiunea de fore generalizateForele generalizate sunt fore mecanice sau cupluri care tind s modifice

coordonatele generalizate.,, 21 XX

kkk dxXL = - lucrul mecanic elementar efectuat de fora generalizat kX

Observaie: Semnul forei generalizate se consider pozitiv dac ea acioneaz

n sensul creterii coordonatelor generalizate corespunztoare.

XF

xd

T1- Teorema nti a forelor generalizateEnun: Fora generalizat care acioneaz n sensul creterii coordonatelor

generalizate corespunztoare este egal i de semn contrar cu derivata energieicmpului electrostatic n raport cu coordonatele generalizate.

ctqk

ek x

WX

=

=

T2 - Teorema a doua a forelor generalizateEnun:Fora generalizat care acioneaz n sensul creterii coordonatelor

generalizate corespunztoare este egal cu derivata energiei cmpului electrostatic nraport cu coordonata generalizat, calculat n condiiile meninerii constante a

potenialelor.

ctVk

ek x

WX

=

+=

n cazul teoremei nti, sistemul este izolat fa de exterior aa nct nu aparetransport de sarcin, iar n cazul teoremei a doua are loc transport de sarcin ntresistem i exterior, care duce la schimbarea strii acestuia.

q+

q

Fd


40/113

40

Ud

S

R RS

Exemple de calcul a forelor generalizate

1) Calculul forei ce tinde s modifice distana dintre armturile unuicondensator plan

Caz1: q = ctSe aplic tensiunea U provenit de la o surs de tensiune. Ca urmare,

condensatorul se ncarc cu sarcina CUq= ; dup care se ndeprteaz sursa detensiune i condensatorul rmne izolat.

S

dqW

d

SC

C

qW

re

r

e

0

2

0

2

212

1

=

=

=


41/113

41

22

2

22

2

RRS

S

R

==

KKKK

KKK

SI= 1 rad

U= ct. aplicm T22

21

CUWe=

2

200 R

dd

SC rr

==

>=

=

=

===

041

221 22

202

20 UkU

d

RU

R

d

WMX rr

ctU

M(cuplul mecanic) acioneaz n sensul creterii unghiului


42/113

42

ELECTROCINETICA

Sarcinile electrice pot avea o micare ordonat:

micarea electronilor accelerai ntr-un tub catodic; deplasarea particulelor pozitive(protoni) ntr-un accelerator departicule;

deplasarea electronilor liberi n corpurile conductoare; deplasarea electronilor i golurilor n semiconductoare; deplasarea ionilor + i n soluiile electrolitice; deplasarea cu vitez, macroscopic a corpurilor ncrcate cu sarcini

electrice; deplasarea unei bile electrizate.

Electrocinetica studiaz fenomenele legate de deplasarea electronilor liberi n

corpuri conductoare.Deplasarea ordonat a purttorilor de sarcini n corpuri conductoare senumete conducie electric. Se folosete explicit:conductoare n stare de conducieelectric.

n cadrul acestui capitol se vor trata cu precdere fenomenele aferenteregimului staionar, caracterizat prin:

vitez medie constant a purttorilor de sarcini ctv= ; mrimile ce caracterizeaz fenomenele sunt invariabile n raport cu

timpul ( ) 0=t

;

fenomenele sunt nsoite de schimb de energie sub form de cldur cumediul nconjurtor 0Q .

Mrimea fizic ce caracterizeaz starea de conducie este intensitateacurentului electric. Intensitatea curentului electric este prin definiie numeric egal cusarcina e transportat prin seciunea transversal n unitatea de timp.

dt

dq

t

qi

t=

= 0

lim (1) Ai SI 1=>< sC

A11

1 =

i este o mrime primitiv, iar amperul este intensitatea curentului caretransport cantitatea de sarcin de 1C n timp de o secund prin seciunea transversala unui conductor.

Fenomenul de conducie electric nu poate fi perceput de simurile umanedect prin intermediul efectelor acestuia: efectul caloric; efect luminos; efect mecanic;efect chimic.

Definiia Amperului:1 Amper absolut este intensitatea curentului care, trecnd printr-o baie de

electroliz cu nitrat de argint (AgNO3), provoac depunerea la catod a unei cantitide argint de 1,118 mg/s.

Definiia amperului internaional1 Amper internaional este intensitatea curentului care parcurgnd dou

conductoare rectilinii, paralele i de lungime infinit, aflate la distan de un metruntre ele provoac o for de interaciune ntre cele conductoare de 7102 N/m (pe


43/113

43

{1 1

m1

m1mNF /102 7=

metru de lungime). Dac cei doi cureni au acelai sens fora este de atracie, iar dacsunt de sens opus fora este de respingere.

Explicaia microscopic a fenomenului de conducie

lSV = (volum)

Electronii liberi se deplaseaz n reeauacristalin a conductorului sub aciuneacmpului electric cu micare uniformaccelerat.Micarea este ntrerupt de ciocniri cureeaua cristalin, n urma crora electroniii pierd ntreaga energie cinetic.

Fiecare ciocnire este urmat de o nou micare accelerat.ct - durata ntre dou ciocniri succesive

ccc

tavtvtt

tatv==

=

=max)(

)(

220 max c

med

tavvv

=

+== (2)

q - sarcina electric total existent n volumul V VNqq e =

Cqe19106,1 = - sarcina elementar

N-concentraia de electroni liberi pe unitatea de volumN 2910 purttori liberi pe m3.

tvl = , v viteza medieDin definiia (1),

SjSvNqvSNqt

tvSNq

t

qi ee

e

tt===

=

=

)()(

limlim00

vvNqj e == (3)

S

ij= - densitatea de curent este proporional cu viteza medie a purttorilor

de sarcin; mrime vectorial al crei sens este opus sensului de deplasare alelectronilor. Este o convenie. 2/1 mAj>=<

S

l

v

i


44/113

44

Observaie: i este mrime scalar, dar afectat de semn. Intensitatea estepozitiv dac corespunde sensului de deplasarea al sarcinilor pozitive. Dac densitateade curent j nu este constant n seciunea transversal a unui conductor, atunciintensitatea curentului electric se calculeaz cu expresia:

sdjiS = )( (4)

Problem:Se d seciunea 21mmS= ; Ai 6,1= Se cere ?=J ; ?=v

26

26 106,1106,1

m

A

m

A

S

iJ ===

Din (3) sm

Nq

Jv

e

/10

10106,1

106,1 42919

6

=

=

=

Observaie: Dei viteza medie a purttorilor este de 310 , 410 m/s, curentulelectric se propag n conductor cu viteza luminii: sm /103 8 .

Legea conservrii sarcinii electrice

Se studiaz cazul general n care exist att curent electric de conducie, ct icurent de convecie. Curentul de convecie corespunde purttorilor de sarcini care sedeplaseaz n vid sau gaze rarefiate (tubul catodic), dar i corpurilor electrizate care sedeplaseaz cu vitez macroscopic.

==)()( S

V

S

cc sdvsdJi

(intensitatea curentului electric deconvenie)

vJ Vc = (5)(densitatea curentului electric de convecie)

V - densitatea volumic de sarcin

electric v - viteza macroscopic medie

Se consider o suprafa nchis strbtut de conductoare parcurse decureni de conducie i prin care pot exista cureni de convecie.

n interiorul suprafeei pot exista concentrri de sarcini electrice pe corpuri dediferite forme.

Legea conservrii sarcinii este n acest caz :

( )dt

dqsdvJ V

=+ (6) sau dtdq

i = (6)

(forma integral a legii conservrii sarcinii electrice)

S

j

i

S

i1

i2

q

S1 v


45/113

45

sd

sd i1

i2

j

S1

S2

curentdeliniile

Este valabil att n regim staionar ct i n regim variabil.Enun: Curentul electric total care iese dintr-o suprafa nchis ce

delimiteaz un sistem fizic neizolat este egal cu viteza de scdere a sarcini electricetotale din interiorul acelei suprafee.

Curentul electric total este format din curentul de conducie i din cel de

convecie.

Cu formula Gauss-Ostrogradski (6) devine:) )dvvJdivsdvJ

V

VV

+=+

==

V

V

V

V dvtdv

dt

d

dt

dq

( )t

vJdiv VV

=+

(7)- forma local a legii conservrii sarcinii

electriceCaz particular -pentru regim staionar:

=

=

=

)9(0

)8(00V

Jdiv

sdJ

t

v

(formele integral (8) i local (9) ale legii pentru regim staionar)

Consecine:1) = 0Jdiv liniile de curent sunt curbe nchise.

Liniile de curent sunt curbe imaginare la care Jeste tangent n orice punct.Conductoarele aflate n regim electrocinetic nu au capete libere, ci formeaz n modobligatoriu bucle.

2) Intensitatea curentului electric are aceeai valoare n orice seciune aaceluiai conductor filiform.

==+=

000 2121

iisdJsdJsdJSS

21 ii =


46/113

46

l

1

2

i

S

U

Legea conduciei electrice

Purttorii de sarcin electric se deplaseaz att sub aciunea cmpuluielectric, fore de natur electric, ct i sub aciunea unor fore de natur neelectric.

neeleltot FFF +=

EqF eel= ; iee

neel

eneel Eqq

FqF =

=

Cmpul imprimat ( Ei ) este o mrime care are aceeai dimensiune ca iintensitatea cmpului electric i descrie aciunea forelor de natur neelectric asupra

purttorilor de sarcin.( )ietot EEqF +=

)iee EEqam += , a - acceleraia

(2)ct

va

=

2

( )c

eie t

vmEEq

=+2

(3) JNq

ve

=1

( ) JNtq

mEEJ

NqtmEEq

ce

ei

eceie

=+

=+ 2

212

JEE i =+ (10); - rezistivitatea electric, mSI =>< 1 (Legea conduciei electrice n form local)

JEE i =+= )(1

(10)

- conductivitatea electric , 111 =>< mSI sau Siemens / metru

Cmpul imprimat se manifest n conductoare neomogene i poate fi de naturchimic (baterii alcaline) sau mecanic (generatoarele rotative de inducieelectromagnetic).

Corpuri omogene:JE = (11)

JE= (11)

( ) ==+2

1

2

1

2

1 S

dli

S

SldJldEE i

SJi =

=+2

1

2

1

2

1 S

dlildEldE i

iReu =+ (12)

Relaia (12) reprezint forma integral a legii conduciei electrice pentru oporiune de conductor neomogen.


47/113

47

u - tensiunea la bornele poriuni de conductor; e - fora (tensiunea) electromotoare, ce exprim forele de natur

neelectric; R - rezistena electric a poriunii de conductor.

Pentru conductoarele de seciune constant :

==

.

.ct

ctS

Sl

R =

(13)

Dac se concentreaz partea omogen, respectiv cea neomogen obinemschema echivalent din fig.:

Regim staionar: .ctu= Uu , Ee , Ii

IREU =+ (14)E- tensiunea electromotoare (nu intensitatea cmpului electric E!).

( )[ ]00 1 TT+= (15)Relaia (15) arat dependena rezistivitii n raport cu temperatura, valabil n

domeniul temperaturilor uzuale pentru aplicaiile inginereti.

- reprezint coeficientul de temperatur; 0>

n general0 - corespunde la KT

00 20273 +=

m

mmmCu

228

0 107,1107,1

=

mAl 8

0 104,2

mAg 8

0 106,1

Constantan (aliaj) m 60 1050 Exist materiale care in vecintatea temperaturii de 0 absolut prezint

fenomenul de supraconductibilitate, manifestat prin anularea rezistivitii .

I Re

u

I R E

U

i

K10

T

15exp r

0


48/113

48

l

1

2S

dv

dlV

Legea transformrii energiei n procesul de conducie (Joule-Lenz)

lEqlFL eel ==

tvl = tvEqL e =

(3) JNq

ve

= 1 tJEL = 1

Pentru unitatea de volum(N purttori elementari):tJELNL == '

JE - reprezint puterea pe unitatea de volum a unui material aflat n stare deconducie.

JEt

Lp

tj =

=

0lim (16)

Aceast putere se transform integral n cldur.Relaia (16) reprezint forma local a legii transformrii energiei n procesul

de conducie electric.Enun: Puterea transformat n cldur corespunztoare unitii de volum a

unui conductor aflat n stare de conducie este egal cu produsul scalar ntre E i J.

23 111 mA

m

V

m

Wp SI ==><

Pentru conductoarele omogene:= JE 2Jpj =

Pentru conductoarele neomogene:

ii EJEJEE ==+ ) gjii ppJEJJEJp === 2 gp - densitatea volumic a puterii corespunztoare forelor neelectrice.

dvJEdvpVV

=

dlSdvdvpPV

==

( ) uiPdlEidlSJEP ===

2

1

2

1

Regim staionar: UIP = (17)(Forma integral a legii transformrii energiei)

Din relaia (14) ERIU =

( ) = ERIIP EIRIP = 2 (18)


49/113

49

hKWJsWW === 1106,3360010100 6

Forma (18) a legii exprim faptul c puterea primit de o poriune deconductor filiform este egal cu suma dintre puterea disipat sub form cldurireversibil i puterea generat de forele de natur neelectric.

IEPg = - puterea generatorului

Convenii de semne i sensuri pentru un dipol elementar

Expresia legii conduciei se coreleaz obligatoriu cu sensurile mrimilor, celedou reprezentri fiind echivalente.

Sensurile reale n cazul unor probleme complete, pot s fie diferite de sensurileindicate pe desen, mrimile cu sens diferit rezultnd cu semnul - n urma calculelor.

0

02

=

>=

EIP

RIP

g

j

=>< 1SIR (Ohm)WP SI 1=>< (Watt)

Energia electric

Energia electric consumat de o poriune de conductor aflat n stare deconducie ntr-un interval oarecare de timp reprezint integrala puterii n acel timp.

=t

t

dtPW0

)(. 0ttPtPWctP === JW SI 1=>< (Joule) 1s1W1J =

kWhW tehnic 1=>< JWssWhkW663 106,3106,33600101 ===

Exemplu:Energia consumat de un bec cu putere nominal = W100 n 10 ore.

IREU =+ IREU =+

U

I RE

I RE

U

Sensuri asociate dup regula de lareceptoare

Sensuri asociate dup regula de lageneratoare

0>q 00 Pg


50/113

50

Circuite electrice funcionnd n regim staionar (circuite de curentcontinuu)

Un circuit electric este un ansamblu de elemente conductoare interconectate

astfel nct s asigure conductoarelor intrri n stare de conducie (s existe poriunineomogene i s existe bucle nchise). Este un obiect fizic.

Exemplu:

Schema electric este reprezentarea grafic a unui circuit electric.Fiecrui element de circuit ideal i se asociaz un simbol grafic.

Elemente ideale de circuit

Sursa ideal de tensiune

Sursa ideal de tensiune impunetensiunea ntre punctele n care esteconectat, indiferent de structuracircuitului din care face parte.

Sursa ideal de curentSursa ideal de curent impune curentul prinlatura de circuit din care face parte, indiferent destructura circuitului.

I=J(a nu se confunda cu J); AJ 1>=<

r

E

R

baterie

electricschema

neomogenparte

electriccircuit

omogenarte

+

-

U

E

( )0=R

U= -E

U=E

sau

J

R


51/113

51

IR

U

( )tu

( )ti L

( )tu

( )tiC

( )dt

duCti =

1E

3E

1

I

1R

1n 2n

3n

1U

2U2I 2

R

3R

4I

4R

5I

5J

2b

1b

Rezistorul ideal= 0E IRU =

RG

1= - conductana electric

SG SI 1=>< (Siemens), 1S = 1-1

UGI =

Bobina idealL- inductana

( )dt

diLtu =

n regim staionar:

)(00 itscurtcircuUdt

di==

Nu vom folosi bobina n acest capitol.

Condensatorul ideal

n regim staionar: 00 == Idt

du(mers n

gol) Nu vom folosi condensatorul n acestcapitol.

Elementele sunt concepte idealizate cu ajutorul crora pot fi explicatefenomene reale. Un element de circuit ideal funcioneaz pe baza unei singure

proprieti considerat dominant, neglijndu-se efectele secundare.

Elemente de topologie a circuitelor electrice


52/113

52

1n 2n

3n1b

2b

)1(

)2(

)3( )4( )5(

1n 2n

3n

)2(

)4( )5()(a

Latur de circuit este o poriune fr ramificaii; ea poate s conin unul sau

mai multe elemente; l- numrul de laturi.Nod de circuit este un punct n care converg trei sau mai multe

laturi.( 321 ,, nnn ); n - numr de noduri.

Bucl este un poligon format din laturi ale circuitului.(exemple:1-3; 1-2-4; 2-3-5)

Ochi de circuiteste bucla care nu conine laturi interioare (exemple: 1-3; 2-3-4; 4-5).

1+= nlo - numrul de ochiuri (relaia lui Euler)Circuitul electric se poate reprezenta grafic ntr-o form simplificat prin

grafurile asociate.

Graful este o reprezentare simplificat, n care laturile circuitului suntreprezentate prin arcuri crora li se asociaz sensuri n concordan cu sensurileconvenionale alese pentru cureni.

Subgraful este o parte a unui graf care nu conine toate laturile acesteia, nschimb el poate conine sau nu toate nodurile.

Exemplu:

Subgrafuri complementare sunt dou sau mai multe subgrafuri ale aceluiai

graf care mpreun conin toate laturile grafului i nu au nici o latur comun.

(a) i (b) sunt complementare

Arborele este un subgraf ce conine toate nodurile grafului, dar nu coninebucle.

)(b

n1

n3

(a)


53/113

53

1n2n

3n)1(

)2(

Arbore

)1(

)2(

)3(

)3(3 buclab

)1(

)2(

4b

)1(

)2(

5b

)5(

1 1+ 01+ 0

00 1 1 1

1+ 0 1 1+ 1+

1n

2n

3n

1l 2l 3l 4l 5l

=

1= nla (numrul de laturi

ale arborelui)

Laturile unui arbore senumesc ramuri.

Coarbore este subgraful complementar unui arbore.onllll ac =+== 1

cl - coardelePrin adugarea cte unei coarde la arbore se formeaz cte o bucl

independent al crei sens de parcurgere este impus de sensul coardei.

onllb c =+== 1 (numrul de bucle independente)

Descrierea topologiei prin matrice de conexiune

1) Matricea de inciden laturi-nodurin - linii; l-coloane; lnA Elementele matricei sunt:

egale cu zero 0=ji

a dac laturajnu este incident la nodul i;

1+=jia dac laturajeste incident la nodul ii are sensul de ieire din acesta;

1=jia dac laturaj este incident la nodul ii are sensul de intrare n acesta.

Liniile nu sunt liniarindependente, ceea ce ne

permite s pstrm numailiniile independente alematricei, fr s pierdem

din informaie (n-1 linii)


54/113

54

1= nrangA

1

1+

01+0

0 01 1

1 01 1+

3b

4b

5b

1l 2l 3l 4l 5l

=0

0

++=

1101000111

Ar - matricea rezistor

2)Matricea de conexiune laturi-bucle

lbB 0=ijb (latura ij )

1+=ijb (latura ij i areacelai sens cuaceasta)

1=ijb (latura ij , darare sens contrar)

Matricea curenilor laturilor

[ ]

=

lI

I

I

IM

2

1

, [ ] 1lI , l-numrul de laturi

Matricea (vectorul) tensiunilor laturilor

[ ]

=

lU

U

U

UM

2

1

, [ ] 1lU

Observaie: Sensurile tensiunilor coincid cu sensul curenilor. Sunt sensuri

convenionale care pot fi diferite de sensurile reale.Matricea(vectorul) potenialelor noduri

Dac potenialul unuia dintre noduri se alege ca referin i i se atribuie ovaloare arbitrar (preferabil valoarea zero), atunci acest potenial nu face parte dinvectorul potenialelor nodurilor.

[ ]

==

1

2

1

0

n

n

V

V

V

VVM

, [ ] 1)1( = nV , n= numrul de noduri al circuitului


55/113

55

Matricea tensiunilor electromotoare ale laturilor

[ ]

=

lE

E

E

E M2

1

, [ ] 1lE . Exemplu: [ ]

=

00

0

3

1

E

E

E

Matrice curenilor surselor ideale de curent

[ ]

=

lJ

J

J

JM

2

1

, [ ] 1lJ . Exemplu: [ ]

=

5

0

000

J

J

Matricea rezistenelor laturilor

[ ]

=

lR

R

R

R

K

MOMM

K

K

00

0000

2

1

, [ ] llR .

Matricea conductanelor laturilor

[ ]

=

lG

G

G

G

K

MOMM

K

K

00

0000

2

1

, [ ] llG .k

k RG

1=

Relaii matriceale utile:

1) 0== trt

r ABBA - matricea de inciden laturi-noduri (redus) Ar imatricea de inciden laturi-bucleBsunt ortogonale.

[ ] lnrA )1( , [ ] bnbltB = )1(0 rA

+

+

++

100110101100101

1l 2l 3l 4l 5l

4b3b

=B

+

++++

001011101011111 1n

2n

3n

1l 2l 3l 4l 5l

=


56/113

56

=

=

=

++=

=

=

=

IIIIII

IIIIIIIIIII

III

IIIII

III

IIIII

55

44

33

542542

15431

5

4

3

54

543

5

4

3

5

4

3

2

1

000010001110111

=

=

000000

100

010001110111

1101000111tB

2) [ ] [ ][ ]VAU t =

[ ] [ ]213 0 VVV ==

Observaie: Matricea de inciden laturi-noduri (redus) ( rA ) se obineeliminnd linia corespunztoare nodului ales cu referina de potenial din matricea deinciden laturi-noduri A.

3) [ ] [ ]Ct IBI = ,IC - vectorul (matricea coloan) curenilor cu arborele

Exemplu:

=5

4

3

II

I

IC - curenii arborelui. [ ] nbCI

Teoremele lui Kirchhoff pentru circuite liniare de curent continuu

Prima teorem a lui Kirchhoff (Teorema curenilor):

Enun: Suma algebric a intensitilor curenilor incideni ntr-un nod decircuit este zero.

+

=

=

VVV

VVV

VV

UUUUU

2

2

1

21

2

1

5

4

3

2

1

1010

0111

01 VVVU 1131 ==

VVU 212 =

VVVU 2235 ==


57/113

57

04321 =+++ iiii

0)(

= jnk

kI

0=

sdJ - Regim staionar

+=+++= 14321

0cosSsSSS

dsJsdJsdJsdJsdJsdJ

00cos0cos0cos 4321432

=++=+++ IIIIdsJdsJdsJSSS

Teorema a doua a lui Kirchhoff (Teorema tensiunilor)

Enun:Suma algebric a tensiunilor la bornele laturilor care compun o buclde circuit este zero.

04321 =+ UUUU

0)( = jbkkU (1)- forma general a teoremei a II-a a lui Kirchhoff

1i2i

4i3i

)(nj

S1

S2

S3S4

ds

ds

ds

1

I2

I3

4

3

J1 ds

1E

3E

1I1R

1U

2U

2I

2R

4I

4R

3R3I

4U

convers

sens

bj

3U

1U 2U

3U4U

1n

2n

3n

4n

dlSe

nsconvenional


58/113

58

Uk

EkIk

Demonstraie:Se aplic teorema potenialului electric pentru regim staionar.Teorema este asemntoare din punct de vedere formal cu teorema

potenialului electrostatic.0=

ldE

=+++=+++=

41342312

3

2

1

4

4

3

2

1

UUUUldEldEldEldEldEn

n

n

n

n

n

n

n

04321 =+= UUUU

Form particular a teoremei a II-a a lui Kirchhoff

kkkk IREU =+

kkkk EIRU = (2)

Se nlocuiete (2) n (1) ( ) ==k

kk

kkk

kkkk

k EIREIRU

= 0k

kk

kk EIR =k

kk

kk EIR

(forma particular a teoremei a II-a a lui Kirchhoff)Enun:Suma algebric a cderilor de tensiune la bornele rezistoarelor de pe

laturile care compun o bucl de circuit este egal cu suma algebric a tensiunilorelectromotoare de pe acele laturi.

Ex: 3144332211 EEIRIRIRIR =+

Teorema conservrii puterilor n circuite de curent continuu

Enun:Suma puterilor primite de laturile circuitului este zero.

kkk UIP = - puterea primit de latura k

01

==

l

kkkUI - forma general

[ ][ ] 0= UIt - forma matriceal

ll

l

t

l

UIUIUI

U

U

U

I

I

I

+++=

LMM

22112

1

2

1


59/113

59

Demonstraie:[ ] [ ]c

t IBI = [ ] [ ] BII tct =

[ ] [ ]VAU t = [ ] [ ] [ ] [ ] 0== VABIUI ttct

[ ]0= tAB

Forma particular:

( ) 011

2

1

=== ===

l

kkk

l

kkk

l

kkkkkkkkk IEIREIRIEIRU

==

=l

kkk

l

kkk IEIR

11

2 - forma particular (bilanul puterilor)

Enun: Suma puterilor consumate de toate rezistoarele circuitului este egalcu suma total a puterilor cedate de sursele de energie.

Expresia matriceal a teoremei nti a lui Kirchhoff pe ntreg circuitul[ ] [ ]

[ ] [ ] 1)1(1)1(

1)1(

0

0

=

=

nlln

n

I

I

Expresia matriceal a teoremei a II-a a lui Kirchhoff

[ ] [ ] 10 = bUB - forma general

[ ] [ ] 11 0 = bllb UB

[ ] [ ] [ ] [ ]EIRUEIRU kkkk == - Se nmulete cu B la stnga[ ] [ ] [ ] [ ] = EBIRBUB [ ] [ ] [ ]EBIRB =

(forma particular a teoremei a II-a a lui Kirchhoff.)

Analiza circuitelor liniare de curent continuu cu ajutorul teoremelor luiKirchhoff

Analiza unui circuit electric presupune calcularea curenilor i tensiunilorlaturilor atunci cnd se cunosc:

natura elementelor componente; modul de interconectare al lor (topologia circuitului); parametrii elementelor componente 1) pentru elementele pasive - R.

2) pentru elementele active - E, JPentru analiza unui circuit cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff se parcurg

urmtoarele etape:

1)Se identific elementele de topologie: numrul de laturi (l), numrul denoduri (n), numrul de bucle independente (b).

Laturile se indexeaz cu cifre arabe n ordine cresctoare, toate elementele

aceleiai laturi purtnd ca indice indexul laturii respective.Nodurile circuitului se indexeaz cbannn ,,sau,, 321 .


60/113

60

Se aleg sensuri convenionale pentru curenii laturilor (sensul curentului sensul tensiunii electromotoare).

Se cere: 51 IIK ; 51 UUK i bilanul puterilorl=5; n=3; b= l-n+1 =3Se identific buclele independente i se aleg sensuri convenionale de

parcurgere (sensuri arbitrare).

2) Se construiesc ( )1n ecuaii cu teorema I a lui Kirchhoff.Se construiesc becuaii cu teorema a II-a a lui Kirchhoff.

Ansamblul acestor ecuaii formeaz un sistem de ecuaii cu lnecunoscute.[ ]

[ ] [ ] [ ]EBIRBTIT

=

=

)(

0)(

2

1 [ ]

[ ] [ ]

[ ]

=

EB

IRB

n 1)1(0

(expresia matriceal a teoremelor lui Kirchhoff pentru ntregul circuit)

Pentru exemplu:

=

=

=

=

=

==

=

1

4

4

2

2

812

12

5

4

3

2

1

4

2

1

RRRREEE

V

V

V

1b

2b

3b

1

2

1

23

4

5

I1

2

I3

I4

I51n

2n

4

n3

=

++

=

= 0

00111110011

4321

521

5

4

3

2

1

IIIIIII

I

IIII

( )( )

( )( )( )

=+

+=++

+=+

=++

=

EIIbEIRIRIRb

EEIRIRbIIIIn

IIIn

444333

25533222

2122111

43212

5211

:

:

:

0:

0:

0111110011

1l 2l 5l4l3l

=

0110010111

00011=

0


61/113

61

[ ]

=

RR

RR

R

R

5

4

3

2

1

0

0

[ ]

=

=

4

2

21

4

2

1

0

00110010110

00011

E

E

EE

E

E

E

EB

3)Rezolvarea sistemului de ecuaii(De preferabil s se foloseasc forma matriceal i s se aplice o metod de

eliminare de tip Gauss) sau se poate aplica regula lui Cramer.)[ ] = NIMM 1 [ ] NMI = 1

)det(M= ;

= kkI , k =1,2,l

n urma calculelor

=

=

=

=

=

A

A

A

A

A

III

II

4

3

1

2

2

5

4

3

2

1

kkkk EIRU =

==

==

==

==

==

VIRU

VEIRU

VIRU

VEIRU

VEIRU

4

44

88

555

4444

333

2222

1111

[ ]

=

0110010110

00011

RB

RR

RR

R

5

4

3

2

1

0

0

=

00000

000

43

532

21

RRRRR

=

IB

00000

000

43

532

21

R RRR

RR

=

=+

=

=

0

0

0

4433

553322

2211

5

43

2

1

IRIR IRIRIR

IRIR

III

II


62/113

62

( ) 724134142222 22222255

2

22

2

11 =++++=+++ III

7238212212442211

=++=+++ III

ERI

U

Cele cu semnul - au sensurile reale opuse fa de sensurile convenionalealese la nceput.

4)Verificarea calculelor cu ajutorul bilanului puterilor

Puterea consumat:

Puterea cedat:

Metode operative de analiz a circuitelor liniare de curent continuu

1) Metoda curenilor de contur (metoda curenilor de bucl sau metodacurenilor ciclici)

EIRUIREU ==+ Pentru ntregul circuit:

(1) (2)

Se nlocuiete (2) n (1) dup ce s-a nmulit expresia (1) la stnga cu matriceaB.

Notaie:

Rb b

b- matricea rezistenelor buclelor

Eb b 1 -vectorul tensiunilor electromotoare ale buclelor

Relaiile ( )3 i ( )3 sunt expresiile metodei curenilor de contur, respectiv unsistem de becuaii cu bnecunoscute. Necunoscutele sunt curenii laturilor coarboreluiasociat circuitului n numr 1+= nlb .

= =5

1

5

12

k kkkkk IEIR

{{

consumatputeresursedecedatputere

EIRBUB = | [ ]IBI Ct=

[ ] EBIBRUB Ct

=

[ ]RBRB bt= EEB b=

I bCb = ( )3

0=UB [ ] EBIBRB Ct

=(Teorema a II-a a lui Kirchhoff) (3)


63/113

63

IC1

IC2 IC3

1b

2b3b

( )I CC 2122211 +=++

Aceti cureni pot fi considerai ca i cureni fictivi care parcurg bucleleformate prin adugarea laturilor coarborelui la arbore ( bucle independente). Duprezolvarea sistemului i aflarea curenilor CI se calculeaz curenii tuturor laturilor cuajutorul expresiei (2).

321

,, ccc III - cureni de bucl

21 RR + - suma rezistenelor laturilor buclei parcurse de 1CI

2R - rezistena laturii parcurs simultan de 21 , CC II

21 EE + - suma algebric a tensiunilor electromotoare de pe laturile buclei

Semnul celui de-al doilea termen ( R2 ) este + dac 21, CC II au acelai sensprin latura comun i - dac au sensuri contrare.

Observaie: Metoda nu se preteaz pentru rezolvarea circuitelor care coninlaturi de rezistene infinite.

2) Metoda potenialelor noduri(metoda nodal)Se consider laturile unui circuit de tip general care are urmtoarea

configuraie:

=+=+

=+

1/2|88412472

1/2|024

32

32C1

21

I II II

II

CC

C

CC

=+=+

=+

2212472

02

32

321

21

III

II

CC

CCC

CC

A

A

II

IIIII

CC

CCC

C

32

2

422

1246

23

231

32

=+

=

==+

=

A

A

A

A

A

IIII

IIIIII

II

C

C

CC

CC

C

4

3

1

2

2

25

34

323

212

11

==

==

==

=+=

==

( )( )

=+

++++

ERIRRIERIRIRRRI

CC

CCC

432433

233215322 |

IREU =+

EGUGI +=

U

ER

I

A

J

IB


64/113

64

JIIJII +== 0JEGUGI ++=

[ ] JEGUGI ++= ( )4

[ ] [ ]VU t= ( )5

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ] [ ][ ]

=

=

++=EGVG

IJEGVGI t

t

0( )6

[ ]

=t

n GG

IVG Snn = ( )6

03

=V

Teorema I a lui Kirchhoff n nodul A:

Se nlocuiete (5) n (4) dup ce s-a nmulit la stnga expresia (4) cu matriceat (matricea de inciden laturi-noduri redus).

- matricea conductanelor nodale

[ ] [ ]EGInS

= - vectorul curenilor de scurtcircuit nodali

Expresiile (6), respectiv (6) reprezint sistemul de ecuaii de dimensiuni 1n care are ca necunoscute potenialele a 1n dintre nodurile circuitului scrise compactsub forma vectorului V. Potenialul celui de-al n-lea nod este considerat ca referin iuzual i se atribuie valoarea zero.

( ) ( )6,6 este expresia potenialelor nodurilor. Dup aflarea potenialelor secalculeaz curenii laturilor cu ajutorul relaiilor ( ) ( )5,4 .

Se alege potenialul de referin i i se atribuie valoarea zero.

( GGGGVGGGV 22112125211 +=+++ 521 GGG ++ - suma conductanelor tuturor laturilor incidente n nodul 1n .

2V - potenialul unui nod adiacent

21 GG + - suma conductanelor laturilor care unesc cele dou noduri 1 i 2.Termenii ce se refer la potenialele nodurilor adiacente au ntotdeauna semnul

minus.

Nod adiacent -este legat de nodul pentru care se scrie ecuaia printr-o laturfr ramificaii (cel puin o latur).

111EGIS = curent de scurtcircuit a laturii 1.

Curentul de scurtcircuit al unei laturi estecurentul care apare prin aceasta atunci cnd

capetele ei se unesc cu un fir de rezistennul.

RIEIR SS 11

1111

==

IS1n1

n2


65/113

65

( )n

3R

( )1n

03 =S

E2

n1

n2

EGIS 222 =

( ) ( ) GGEGGGVGGGGV 44221121143212 +=++++

GGG 521 ++

GG 21+GG 21+

GGGG 4321 +++

G n

VV

2

1

+

+

= EGGEGEG

42211

2211

V

ISn

66221 +=VV

2| 26623

21 +=+ VV 2032 21 =+ VV

VVV 482 22 == VVVVV 44212

112

1 +=+=

+

( )

( )( )( )( )( ) A

A

A

A

A

VVGIEVVGI

VVGIEVVGIEVVGI

EUGI kkkk

4

3

1

2

2

1355

42344

2333

31222

11211

==

=+=

==

=+=

=+=

+=

rrqq

F 321

4 =

E

+

E

m

Fr

1094

19

0

=

=

Curenii de scurtcircuit se iau cu semnul + n membrul drept al ecuaieinodale dac sensul lor este ctre nod i cu semnul - invers.

Observaie: Metoda 2) nu se preteaz pentru circuite care conin laturi derezisten nul sau conductan .

Seminar:

r- distana de la sarcina 1q la 2q .

- permitivitate


66/113

66

( )2cos

1cos

04

+= l

Ex

x

V

VE

==

[ ]r

qVmVEldEV

4;/; ===

=P

P

ldEPVPV0

)()( 0

1) Se consider un fir rectiliniu finit, ncrcat uniform cu o sarcin electric

distribuit liniar, aflat n aer. S se calculeze intensitatea cmpului electric Entr-unpunct aflat la distana ade firul nostru.

CqvdqV

V1; =

=

EDq

sdE 00; ==

rq

EqEF

3

4==

r

2

1

1T

a

l r

M

dE

xEd

dE

dl

1

2

y

ldrr

rEd l 24

= sinEdEd x = cosEdEd y=

daldalal

ctgctg

=== 2sin

; 1

( )

+==

=

==

2

1

2

12cos1cos04

sin04

2sin

2

sin2sin

1

04

sinsin

ald

al

a

dalEx

ar

r

a

sinsin 2

04ld

rEdEd

l

x=


67/113

67

( )

==

=2

1

2

12sin1sin04

cos04

2sin

2

cos2sin

1

04

ald

al

a

dalEy

( )210

sinsin4

=

aEl

y

0;cos0

21 2 === EaE y

lx

0;00

21 2 ==== EaE y

lx

h

a 1n

2n

E

3nE

E

E

r1

arI< 0q

sdE =

===+++=S SS SS ll

rnEsdEsdEsdnEsdnEsdnEsdE iiiiii2 31

13212

===V V

vVV hrvdvdq2

11

01

0

2

1

1 22

r

E

hr

hrEV

i

V

i ==

0

1

2r

EV

i=

0

1

2r

EV

i=

=0

qsdEe

hrEsdEsdE SS lleee 22 ==

Cazuri:

2) Se consider un fir infinit lung cilindric cu raza a uniform ncrcat cu osarcin q cu densitatea V , materialul avnd permeabilitatea .0

S se calculeze intensitatea cmpului electric i potenialul electric ntr-unpunct aflat la distana rde axa cilindrului. ??; == VE

I.

II. arII>


68/113

68

r2

0=V

E ===V

VV

VV havdvdq2

ra

Eha

hrE VeVe

0

2

0

2

2 22 ===

( )aRrdrrdrr

EV VR

a

R

a

R

a

R

a

VVVii

22

0000 4|

222 =====

aRa

rdra

rdra

EV VR

a

R

a

R

a

VVee

ln0

2

0

2

0

2

21

22

====

1C 2C kC SCC

=q ks CC

11 =k

kp CC dA

dA

C rpl 0==

UQUCWdA

C

rk

kpl 2

121 20 ; ===

pC

FCFCFCFCFCFC 1;1;5;5,0;5,0;10654321

======

Seminar

Probleme:1) ase condensatoare sunt legate ca n figur. Sarcina condensatorului

Cq 45 10,5 = . Se mai cunosc

S se gseasc tensiunea.


69/113

69

A

B

1C

2C

3C

4C

5C

6C

N

MNU

Cqq 465

10==

2

111165

6556

65566

5 ; =+

=+==

CC

CCCCCCC

qUAB

VUAB 20010

10

6

4

21

==

CCCUCq

Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

Documents

Transcript of Bazele Electrotehnicii Vol 2 -Note de Curs

Bazele Electrotehniciielth.pub.ro/~petrescu/3.FAIMA/Curs2.pdf · BAZELE ELECTROTEHNICII ~ CURS 2 ~ Titular disciplină: Ș.l. dr. ing. CătălinaPetrescu ... ~ Examen ~ Teorie 20

Bazele electrotehnicii - Mandru

An1 Derivat.ro Bazele-electrotehnicii-1 Curs BE I

51004536 Mihai Iordache Bazele Electrotehnicii 2008

Bazele Electrotehnicii I

Bazele Electrotehnicii Probleme

BAZELE ELECTROTEHNICII - LABORATOR - LUCRAREA NR. 2 ...users.utcluj.ro/~claudiar/Bazele Electrotehnicii (BZ ETH) An I, IE... · U este tensiunea electrică (căderea de tensiune la

Bazele Electrotehnicii+masurari

BAZELE ELECTROTEHNICII I - users.utcluj.ro

BAZELE ELECTROTEHNICII Iusers.utcluj.ro/~claudiar/Bazele Electrotehnicii I (BE... · 2020-03-16 · Bazele electrotehnicii I Metoda curenţilor ciclici (de ochiuri, de buclă, fictivi)

Bazele Antreprenoriatului CURS de NOTE

BAZELE ELECTROTEHNICII - LABORATOR - users.utcluj.rousers.utcluj.ro/~claudiar/Bazele Electrotehnicii (BZ ETH) An I, IE... · Studiul unui circuit electric de curent continuu. 6 .

Bazele electrotehnicii

CAPITOLUL 2.Manual Bazele Electrotehnicii cap. 2

Note de Curs La Bazele Asigurarii.[Conspecte.md]

Curs Bazele Electrotehnicii 2

electronicaplicata.files.wordpress.com · Conf. dr. ing. Emil CAZACU Bazele electrotehnicii I şi II– Note de curs 2 CUPRINS 1. Circuite electrice liniare de curent continuu 1.1

Bazele Electrotehnicii _ Probleme II

Examen Bazele electrotehnicii _Universitatea Politehnica , Facultatea de energetica

BAZELE ELECTROTEHNICII I, II TEORIA CIRCUITELOR …cazacu/1. Suport Curs BE I-TR- TET 2015/curs... · Conf. dr. ing. Emil CAZACU Bazele electrotehnicii I şi II– Note de curs 3