An1 Derivat.ro Bazele-electrotehnicii-1 Curs BE I

download An1 Derivat.ro Bazele-electrotehnicii-1 Curs BE I

of 113

Embed Size (px)

Transcript of An1 Derivat.ro Bazele-electrotehnicii-1 Curs BE I

  • BAZELE ELECTROTEHNICII I

    -Note de curs-

  • 2

    Introducere Bazele electrotehnicii reprezint o disciplin tehnic fundamental care

    studiaz fenomenele electrice i magnetice din punct de vedere al aplicaiilor tehnice inginereti: descrcrile electrice, orientarea cu busola, fenomenul de atracie ntre diferite minereuri, lumina.

    Exist mai multe teorii, care studiaz fenomenele: Teoria macroscopic MAXWELL-HERTZ (1870-1890) Teoria macroscopic a lui LORENTZ Teoria relativist a lui EINSTEIN Teoria cuantic

    Teoria macroscopic MAXWELL-HERTZ studiaz fenomenele electromagnetice la nivel macroscopic fr a face apel la structura substanei. Este o teorie care rspunde suficient de bine cerinelor obinuite ale ingineriei, motiv pentru care se studiaz in cadrul disciplinei. Ea prezint limitri la viteze comparabile cu viteza luminii, dar acest lucru nu deranjeaz din punct de vedere al ingineriei electrice.

    Conceptele fundamentale cu care lucreaz teoria macroscopic MAXWELL-HERTZ sunt substana i cmpul, ce formeaz materia. Substana este reprezentat de corpurile sau obiectele materiale care au mas, iar cmpul este acea form de existen a materiei care poate exista att in interiorul substanei ct i n interiorul unor corpuri. Exemple de cmpuri: cmp gravitaional, cmp electromagnetic.

    Instrumentele de baz necesare n cadru teoriei sunt: 1. mrimi fizice 2. uniti de msur 3. legi 4. teoreme

    Mrimile fizice sunt proprieti ale materiei (fie corp, fie cmp), care permit o evaluare cantitativ a unor fenomene.

    Unitile de msur sunt concepte asociate mrimilor fizice care permit compararea mrimilor de aceeai natur.

    Legile sunt afirmaii enunate pe baz de experiment care nu pot fi deduse din alte afirmaii cu grad de generalitate mai ridicat.

    Teoremele sunt afirmaii care constituie cazuri particulare ale unor legi. Ele pot fi deduse din legi intuitiv sau pe baz de calcul analitic.

    La baza fenomenelor electromagnetice st conceptul de sarcin electric. Cel

    mai mic purttor de sarcin electric este Ce 19106.1 = (electronul), respectiv Cp 19106.1 = (protonul) [1C=1Coulomb].

    Dei sarcina electric are un caracter discret, teoria macroscopic o consider ca avnd caracter continuu n corpurile purttoare de sarcin electric. Prezena sarcinii electrice este numai n substan 31108.9 =em kg (masa electronului). Sarcinile electrice pot fi n repaus sau n micare, iar n funcie de acest lucru fenomenele electromagnetice pot fi clasificate n:

  • 3

    1. Fenomene statice (regim static) 0=v ; 0;0 ==

    Wt

    .

    Toate corpurile sunt n repaus, derivatele sunt nule i nu exist transformri energetice. Exemple: regimul electrostatic i regimul magnetostatic.

    Cmpul electric poate exista independent de cmpul magnetic i se pot studia separat.

    2. Fenomene staionare (regim staionar) 0;0; =

    = Wt

    ctv .

    Exemplu: curentul continuu care strbate anumite corpuri conductoare sau fire. n acest regim avem cmpul magnetic staionar, care poate fi studiat separat de cmpul electric.

    3. Fenomene cvasistaionare (regim cvasistaionar) 0;0;0

    Wt

    v .

    Exist variaii ale unor mrimi, ns ele sunt suficient de lente astfel nct s nu permit propagarea cmpului electromagnetic.

    Exemplu: funcionarea circuitelor electrice la frecvene joase.

    4. Fenomene variabile (regim variabil) 0;0;0

    Wt

    .

    n acest caz variaiile unor mrimi sunt relativ mari i permit propagarea lor n spaiu. Exemplu: comunicaia n telefonia mobil, radio-TV.

  • 4

    ELECTROSTATICA

    Sarcina electric punctiform (q) Sarcina punctiform este un corp de dimensiuni neglijabile n raport cu spaiul

    la care e raportat, ncrcat cu o anumit sarcin electric. Teorema lui Coulomb

    Experimental s-a observat c r

    r

    r

    qqkF

    = 2

    0 , unde 22

    9109C

    mNk

    = .

    mFk /1094

    141

    900

    ==

    ; 0 - permitivitatea dielectric a vidului

    rr

    qqF = 3

    0

    041

    (1) Teorema lui Coulomb

    Se constat urmtoarele: - fora de interaciune F este direct proporional cu produsul sarcinilor ( qqF 0~ );

    - fora F este invers proporional cu ptratul distanei dintre ele ( 21

    ~r

    F );

    - dac > 00qq F este o for de respingere; dac < 00qq F este o for de atracie

    Intensitatea cmpului electric produs de o sarcin punctiform

    q

    q0

    F

    r

    F

    Fig.1 Explicativ pentru teorema lui Coulomb

    q

    q0

    F

    r

    Fig.2 Explicativ pentru calculul intensitii cmpului electric

  • 5

    Eqrr

    qqF =

    = 3

    0

    041

    rr

    qE = 3

    0

    041

    (2) - Intensitatea cmpului electric produs de o sarcin

    punctiform

    [ ]m

    VE SI 1=

    Linia de cmp electric este o linie

    imaginar n vecintatea corpurilor ncrcate cu sarcini electrice la care intensitatea cmpurilor electrice este tangent. Totalitatea liniilor de cmp electric formeaz spectrul electric.

    Teorema superpoziiei cmpurilor electrice Intensitatea cmpului electric corespunztor unui sistem de sarcini

    punctiforme este egal cu suma vectorial a intensitii cmpului electric creat de fiecare sarcin considerat n absena celorlalte sarcini.

    321 EEEE ++=

    ==

    ==n

    kk

    k

    kn

    kn r

    r

    qEE

    13

    01 41

    Dac pentru un sistem de dou sarcini +q i q se aplic ipotetic teorema

    superpoziiei, prin punctele din vecintate se pot trasa liniile de cmp care formeaz spectrul. Spectrul construit astfel arat c liniile de cmp sunt curbe deschise care pleac de pe sarcini pozitive i ajung pe sarcini negative sau se prelungesc pn la infinit.

    q>0

    A AE

    Fig.3 Linii de cmp

    q1

    q2

    q3

    1E

    2E

    3E

    E

    Fig.4 Teorema superpoziiei

    q+ q

    dlcmp de linie

    E

  • 6

    Punctul de la infinit este un concept care semnific punctul aflat la distan

    mult mai mare dect dimensiunile sistemului fizic.

    0= dlE , dl - vectorul de lungime asociat curbei Aceasta este ecuaia liniilor de cmp; exprim faptul c E este tangent la liniile de cmp.

    Corpul de prob este un concept idealizat care reprezint o sarcin electric punctiform de valoare suficient de mic, nct s nu perturbe cmpul electric n care este amplasat; se folosete pentru investigarea cmpurilor electrice.

    Teorema lui Gauss n electrostatic

    Considerm o sarcin punctiform q i construim n jurul ei o sfer ipotetic de raz r.

    204

    )(r

    qrE

    =

    Notm cu S suprafaa sferei.

    0

    22

    0

    44

    )(

    qr

    r

    qSrE ==

    Produsul SrE )( reprezint fluxul intensitii cmpului electric prin suprafaa :

    24)()(),cos( rrEdsrEdsdsEEdsE ===

    ds =element de suprafa asociat suprafeei sferice ; este o mrime vectorial care are modulul egal cu aria unei poriuni foarte mici din suprafaa , direcia este perpendicular pe aceast poriune i sensul ctre exterior; se vede din figur c ds respect condiia.

    Faptul c fluxul intensitii cmpului electric prin suprafaa sferei nu depinde de raza sferei permite extinderea acestei afirmaii la cazul general al unui sistem format din mai multe sarcini electrice, nconjurat de o suprafa nchis care nu este neaprat sferic.

    0

    =q

    dsE (3) Teorema lui Gauss

    =

    =n

    kkqq

    1

    q

    1 q2q3

    q

    ds

    E

    q

    ds Er

  • 7

    Enunul teoremei lui Gauss: Fluxul intensitii cmpului prin orice suprafa nchis este proporional cu

    sarcina electric total delimitat de aceea suprafa. Factorul de proporionalitate

    este 0

    1

    n sistemul de uniti internaional.

    Distribuii spaiale de sarcini electrice

    1) Distribuia pe corpuri filiforme

    dl

    dql = [C/m] densitatea lineic de sarcin electric

    ==B

    A

    l

    B

    A

    dldqq - sarcina electric total pe firul AB

    2) Distribuia pe suprafee

    dS

    dqS = [C/m

    2] densitatea superficial de sarcin electric

    ==S

    S

    S

    dSdqq - sarcina electric total pe suprafa

    3) Distribuia volumic

    dl

    A

    B

    dldql

    =

    S

    ds)(dq

  • 8

    dl

    ME

    V

    S r

    Cq1 q2 q3

    qq

    n 1qn

    dV

    dqV = [C/m

    3]

    ==V

    V

    V

    dVdqq

    Cmpul electric rezultant creat de distribuii spaiale de sarcini electrice se calculeaz pe baza teoremei superpoziiei.

    r

    r

    dqr

    r

    dq

    rr

    dqr

    r

    qE

    VS

    C

    k

    n

    k k

    k

    ++

    ++=

    =

    30

    30

    301

    30

    44

    441

    dldqC l = :)( dSdqS S = :)( dVdqV V = :)(

    +++=

    =

    dVrr

    dSrr

    dlrr

    rr

    qE

    V

    V

    S

    S

    C

    lk

    n

    k k

    k333

    13

    041

    (4) Relaia (4) reprezint expresia teoremei superpoziiei pentru un sistem

    oarecare de sarcini electrice. Aceast relaie permite calculul intensitii curentului electric n cazul general.

    dv)(dq

  • 9

    A

    B

    dl

    E

    m

    nA

    B

    Tensiunea electric

    dlEUB

    A

    AB = [V] (5)

    Tensiunea electric ntre dou

    puncte amplasate n cmp electric este prin definiie integrala intensitii cmpului electric de-a lungul unei curbe arbitrare care unete cele dou puncte.

    AB

    AnBAmB

    AnBAmB

    BnAAmB

    UdlEdlE

    dlEdlE

    dlEdlE

    ==

    =

    =+

    )()(

    )()(

    )()(

    0

    0

    Justificare: nmulind relaia (5) cu q (sarcin unitate) avem:

    AB

    B

    A

    B

    A

    B

    A

    AB LdlFdlEqdlEqqU ==== )( LAB - lucrul mecanic al forelor de natur electric necesar pentru deplasarea

    sarcinii q din punctul A n punctul B. Tensiunea electric reprezint lucrul mecanic necesar forelor de natur

    electric pentru a deplasa unitatea de sarcin electric ntre dou puncte.

    0==+= AABAABAA WWLLL (6) ;

    WA - energia cmpului electric corespunztoare poziiei iniiale

    0=

    dlE (7) - Teorema potenialului electrostatic

    Relaia (6) permite alegerea arbitrar a punctului B; prin urmare integrala pe orice curb nchis este zero.

    A

    dl

    Es d

    l d

    S

  • 10

    y

    z

    x

    j

    k

    i

    Consecine: - tensiunea electric ntre dou puncte nu depinde de drum; - se aplic teorema lui Stokes expresiei (7)

    ==

    0S

    dSErotdlE 0=Erot (8) forma local a Teoremei

    potenialului electrostatic

    Corelarea sensurilor elementelor de linie i elementelor de suprafa se face dup regula burghiului drept: sensul lui dS este dat de sensul de naintare al unui burghiu care se rotete n sensul indicat de dl .

    Cmpul electric este un cmp irotaional. - se demonstreaz n matematica superioar c orice cmp irotaional poate fi

    scris ( ) EVgradErot == 0 ; V este potenialul, iar semnul - este conform unei convenii de semn.

    VgradE = (9)

    Operatorii de derivare spaial

    kz

    jy

    ix

    +

    +

    = - expresia n sistemul de coordonate cartezian.

    VgradV ; V este un cmp scalar

    kz

    Vj

    y

    Vi

    x

    VV

    +

    +

    =

    =

    ===

    z

    V

    y

    V

    x

    Vzyx

    kji

    gradVrotErotE )(

    0222222

    =

    +

    +

    =zx

    Vj

    zy

    Vi

    yx

    Vk

    zx

    Vj

    yx

    Vk

    zy

    Vi

    Exprimm variaia potenialului ntre dou puncte apropiate n spaiu.

    =

    +

    +

    == dzz

    Vdy

    y

    Vdx

    x

    VzyxdVdV ),,(

    ( ) dlEdVdlgradVkdzjdyidxkz

    Vj

    y

    Vi

    x

    V==++

    +

    +

    =

  • 11

    ( )C

    dl( )1

    ( )2E

    q1

    q2

    q3

    qn

    M

    r1

    r2

    ====2

    1

    2

    1

    2

    112 )( dVdVdlEU

    2112 )( VVVV ==

    2112 VVU = (10)

    Potenialul unui punct se exprim relativ la un potenial de referin. Punctul de referin poate fi ales arbitrar, ca i valoarea potenialului acestuia. Se prefer valoarea 0 pentru potenialul de referin (2). Consider punctul (2) ca referin.

    dlEVUV === 2

    11122 0 (11)

    Potenialul ntr-un punct se calculeaz ca integral a lui E pe o curb arbitrar care unete acel punct cu punctul de referin.

    Potenialul cmpului electric creat de sarcini punctiforme

    =M

    M drEV 0=V - referin de potenial;

    drr

    qdrEdrEdrEdrE 2

    04),cos(

    ===

    a

    q

    r

    qdr

    r

    qdr

    r

    qV

    aaa

    M00

    20

    20 4

    14

    144

    =

    ===

    Cazul general: r

    qrV

    04)(

    = .

    Teorema superpoziiei potenialelor

    =

    =+++=n

    j

    nM jEEEEE1

    21 L

    gradVE =

    11 gradVE =

    22 gradVE = K

    nn gradVE =

    +q M E r a

  • 12

    S

    ds)(dq

    r

    M

    dv)(dq

    V

    dl

    ( )dq

    l

    q3

    qq

    n 1qn

    gradVVgradgradVjEEn

    jj

    n

    jj

    n

    j

    =

    ===

    === 111

    =

    =n

    jjVV

    1

    (12) - Teorema superpoziiei potenialelor

    Potenialul cmpului electric creat de o distribuie spaial de sarcini electrice este egal cu suma potenialelor create de fiecare sarcin punctiform dac ar exista singur, n absena celorlalte.

    =

    =n

    j j

    j

    r

    qV

    1041

    Potenialul cmpului electric creat de distribuii oarecare de sarcini

    Formulele potenialelor elementare sunt similare formulei potenialului

    corespunztor sarcinilor punctiforme, de forma:

    =

    dV

    dS

    dl

    dq

    V

    S

    l

    r

    dldV ll

    04

    = ; r

    dSdV SS

    04

    = ; r

    dVdV VV

    04

    =

    Teorema superpoziiei ==C

    l

    C

    ll dlrdVV

    041

    ;

    ==S

    S

    S

    SS dSrdVV

    041

    ; ==V

    V

    V

    VV dVrdVV

    041

    +++=+++=

    == S V

    n

    j j

    jVS

    C

    ln

    jjVSlM

    r

    qdV

    rdS

    rdl

    rVVVVV

    101 41

    Ecuaiile Poisson / Laplace pentru cmpul electrostatic Teorema lui Gauss:

    0

    =q

    dSE ;

    = V

    dVEdivdSE )( ; dVqV

    V=

  • 13

    ( ) ( ) VVgradVdiv ==

    00

    )(1

    )(

    V

    V

    V

    V

    EdivdVdVEdiv ==

    n coordonate carteziene:

    ( )z

    E

    y

    E

    x

    EkEjEiEk

    zj

    yi

    xEEdiv zyxzyx

    +

    +

    =++

    +

    +

    ==

    gradVE = 0

    )(VgradVdiv = (Ecuaia lui Poisson)

    ( -operatorul Laplace) 0

    VV =

    Ecuaia lui Laplace este ecuaia de distribuie spaial a cmpurilor; ecuaia general a cmpurilor n coordonate carteziene:

    ( ) 22

    2

    2

    2

    2

    z

    V

    y

    V

    x

    Vk

    z

    Vj

    y

    Vi

    x

    Vk

    zj

    yi

    xVV

    +

    +

    =

    +

    +

    +

    +

    ==

    ecuaia lui Poisson n coordonate carteziene: 0

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    V

    z

    V

    y

    V

    x

    V=

    +

    +

    n cele mai multe cazuri ntlnite n practica inginereasc sarcinile electrice sunt dispuse pe suprafee si nu n volume.

    = 0V 0=V - Ecuaia lui Laplace

    022

    2

    2

    2

    2

    =

    +

    +

    z

    V

    y

    V

    x

    V - Ecuaia lui Laplace n coordonate carteziene

    Suprafee echipoteniale Suprafeele echipoteniale sunt suprafee fictive care se desfoar n cmp

    electrostatic, pentru care potenialul electric are aceiai valoare n orice punct al suprafeei.

    - sfer concentric cu sarcina q

    Se consider dou puncte foarte aproape pe suprafaa echipotenial:

    EM

    M/

    dl

    q+- suprafa echipotenial

  • 14

    dl

    ld/

    a

    x

    r

    MEd

    /

    11

    Ed 11

    Ed

    Ed/

    Ed xEd x

    /

    l

    dlE

    dlEdlEdVVVM

    M

    MM

    === 0'

    ' - ecuaia suprafeei echipoteniale

    Consecin: Relaia de mai sus arat c vectorul E - intensitatea cmpului electric - este perpendicular pe suprafeele echipoteniale, prin urmare liniile de cmp sunt la rndul lor perpendiculare pe suprafeele echipoteniale.

    Aplicaii: Calculul intensitii cmpului electric i al potenialului electric n cazuri

    particulare. 1) Se cere E i V pentru cmpul

    creat de o spir circular ncrcat cu sarcin electric distribuit uniform cu densitatea l. Punctul de calcul va fi pe o ax perpendicular pe planul spirei care cade n centrul acesteia. Raza spirei se noteaz cu a.

    dldq l=

    rr

    dlr

    r

    dqEd l 3

    03

    0 44

    ==

    0=V

    q+ q

    suprafee echipoteniale

  • 15

    a

    Mx

    E

    Se folosete teorema superpoziiei pentru E .

    ==C

    M EdxEE )(

    ||EdEdEd x +=

    ( )23

    220

    224

    cosxa

    xdl

    xa

    xdE

    r

    xdEdExEd l

    +

    =

    +===

    0'|||| =+ EdEd Oricare dou elemente dl i dl de pe spir creeaz componente ale intensitii

    cmpului paralele ( ) cu planul spirei care se anuleaz reciproc. n concluzie cmpul rezultant va avea componente numai pe direcia pe planul spirei.

    ( ) ( ) ( )23

    220

    2

    023

    220

    23

    220 244

    )(xa

    xadl

    xa

    xdl

    xa

    xdExE l

    a

    C

    ll

    C

    x

    +=

    +=

    +==

    2204 xa

    dqdV

    +=

    220

    2

    022

    022

    0 244 xa

    adl

    xaxa

    dldVVV l

    al

    C

    l

    C

    xM+

    =+

    =+

    ==

    n ipoteza ( ) 0=V . Variant de calcul a potenialelor

    ( ) ( )

    +=

    +=

    ===

    x

    l

    x

    l

    xx

    M

    dx

    xa

    xadx

    xa

    xa

    dxEdxExVV

    23

    22023

    220

    22

    0cos)(

    Notm cu: 22 xat += ; 2

    2dt

    xdxdxxdt ==

    22

    0

    21

    0

    23

    0 2212222

    22

    22 xa

    atadtt

    aV l

    xa

    l

    xa

    lM

    +=

    =

    =

    +

    +

    Calculul lui E pe alt cale!

    gradVE = ; x

    VEx

    =

  • 16

    a

    R

    ds sd/

    r/

    r x

    Ed 11 Ed/

    11

    Ed X

    Ed X/

    EdEd

    /

    A B

    CD

    adl

    R

    ds

    d

    ( ) ( )

    ( )23

    220

    23

    22

    0

    21

    22

    022

    0

    2

    221

    222

    xa

    axE

    xxaa

    xadx

    da

    xa

    a

    dx

    dE

    l

    lll

    +=

    +

    =

    +=

    +=

    Particularizare:

    =

    ==

    02

    00

    lV

    Ex

    00

    V

    Ex

    2) Cazul unui disc de raz a ncrcat cu sarcini electrice dispuse uniform pe

    suprafaa lui cu densitatea S. Punctul de calcul este amplasat pe o dreapt pe planul discului care cade n centrul acestuia.

    BCABdS = dRBC dRAB = = ddRRdS

    ( ) ( ) dRdxRR

    xR

    dS

    r

    dqdE SS

    +=

    +== 22

    022

    02

    0 444

    dSdq S=

    ==disc

    xM dExEE )(

    C C/m2 m2

  • 17

    A

    B

    C

    D

    /A

    //B

    //C

    //D sdE

    sd

    E

    //A

    S

    S

    ( )

    ( )

    dRd

    xR

    Rx

    Rx

    xdEdEdE Sx

    +=

    +==

    23

    220

    224

    cos

    ( ) ( )

    =

    +=

    += dRd

    xR

    RxdRd

    xR

    RxE

    aS

    aS

    M

    0

    2

    023

    220

    0

    2

    0 23

    220 44

    ( ) ( )

    dRxR

    RxdR

    xR

    Rx aSa

    S +

    =+

    =0 2

    32200 2

    322

    022

    Se face schimbare de variabil: txR =+ 22 ; dtdRR =2 ; dtRdR21

    =

    +=

    +==

    +

    ++

    xaxxtx

    dttx

    E S

    ax

    x

    Sxa

    x

    SM

    1121

    232222 220

    123

    0

    23

    0

    22

    2

    22

    2

    +=

    220

    12

    )(ax

    xxE S

    Cazuri particulare:

    a) 02

    )0(0 SEx ==

    b) 0)(lim)( ==

    xEExx

    c) 02

    )(lim)( S

    axEEaxa ==>>

    - n cazul unui plan de dimensiuni

    infinite ncrcat cu sarcini electrice distribuite uniform cu densitatea S , cmpul electric n vecintatea lui nu depinde de x.

    Calculul intensitii cmpului electric n vecintatea unui plan infinit cu ajutorul teoremei lui Gauss

  • 18

    0

    =q

    dSE ; SSq SABCDS ==

    ESdsEdsEdSE

    dSEdSEdSEdSEdSEdSE

    DCBADCBABCCB

    ABBADCCDADDADCBADCBA

    2''''''''''''''''''

    ''''''''''''''''''''''''''''''

    =+=+

    +++++=

    dSEdSEdSE == 0cos - pentru '''''''','''' DCBADCBA

    02

    cos ==

    dSEdSE - pentru toate celelalte fee laterale

    == 00

    22

    S

    ESq

    ES S

    02 SE =

    Concluzie: Teorema lui Gauss permite calculul cmpurilor electrice pentru majoritatea cazurilor posibile n practica inginereasc unde cmpurile electrice prezint simetrie spaial( simetrie plan, cilindric, sferic).

    Cmpul electrostatic creat de dou plci plane, paralele ntre ele, de

    dimensiuni foarte mari n raport cu distana uneia fa de cealalt, ncrcate cu sarcini de polariti opuse i amplasate n vid.

    iE

    iE

    SA

    SA

    0

    2

    0

    1

    2

    2

    =

    =

    021 =+= AAA EEE

    iE

    iE

    SB

    SB

    0

    2

    0

    1

    2

    2

    =

    =

    iEEE SBBB0

    21

    =+=

    +S -S

    2E

    1E 1E

    2E

    A B C

    x 0 d

  • 19

    q+ q q+ q

    d

    E0E

    vid

    (izolant)dielectric material

    0EE >

    cos;cos 1212 lrr

    l

    rr

    ( ) bgradaagradbabgrad +=

    Cmpul electric al dipolului elementar

    Se determin mrimea lqp = ce se numete moment electric.

    21

    12

    0201021 444 rr

    rrq

    r

    q

    r

    qVVV

    ==+=

    30

    30

    20 44

    coscos4 r

    rp

    r

    lrq

    r

    r

    r

    lqV

    =

    =

    =

    =

    == 3

    03

    0

    141

    4 rrpgrad

    r

    rpgradgradVE

    ( ) pkpjpipzpypxpkz

    jy

    ix

    rpgrad zyxzyx =++=++

    +

    +

    = )(

    kpjpipp zyx ++=

    kzjyixr ++=

    zpypxprp zyx ++=

    222 zyxr ++=

    ( ) ( ) ++=++

    +

    +

    =

    ixzyxzyxkz

    jy

    ixr

    grad 2231 12/32222/3222

    3

    ( ) ( ) =++++ kzzyxjyzyx 223

    223 12/322212/3222

    ( ) ( ) 52/5222 33

    r

    rkzjyixzyx =++++=

    ( )

    =

    +

    = 35

    035

    0

    3413

    41

    r

    p

    r

    rrp

    r

    p

    r

    rrpE

  • 21

    dv)(dq

    M

    r

    ( ) bgradaadivb +=abdiv

    += V S

    SV sdrvdrV

    041

    Cmpul electric suplimentar produs de un domeniu polarizat Polarizaia electric P reprezint momentul electric corespunztor uniti de

    volum; se mai numete vector polarizaie. pd - suma momentelor electrice din

    volumul dv

    v

    pP

    = Polarizaie electric

    dvPpd =

    dvr

    gradPdvr

    rP

    r

    rdvP

    r

    rpddV

    ==

    =

    =1

    41

    41

    44'

    03

    03

    03

    0

    =r

    gradr

    r 13

    ( )r

    Pdiv

    r

    Pdiv

    rgradPzyxk

    zj

    yi

    x

    =

    =++

    +

    +

    = 12/1222 K

    dvr

    Pdiv

    r

    PdivdV

    +=

    041

    '

    +==

    VV

    dvr

    Pdivdv

    r

    PdivdVV

    041

    ''

    Gauss Ostrogradski:

    ==

    dsr

    nPsd

    r

    Pdv

    r

    Pdiv

    V

    ; dsnsd =

    +=

    dsr

    nPdv

    r

    PdivV

    V041

    '

    Relaia lui V este formal asemntoare cu relaia potenialului creat de distribuii spaiale dispuse n volum i pe suprafee:

  • 22

    PdivV =/

    1

    ( )nPPnPS 1221/

    1 =

    1 2n12

    P1

    P2 ( )VE grad // =

    dielectricpolarizat corp

    V

    V

    ds

    qV

    /

    qV

    ===VV

    VV sdPvdPvdq div//

    / 1V

    -densitatea volumic a sarcinilor de polarizaie

    / 1S-densitatea superficial a sarcinilor de polarizaie

    Folosind aceste dou notaii problema calculului cmpului suplimentar se reduce la problema calculului unui cmp electric creat de sarcini adevrate distribuite pe corpurile polarizate cu densitile S' i V' . Densitile superficiale ale sarcinilor de polarizaie apar numai la suprafaa de separaie a dou medii cu proprieti dielectrice diferite.

    21 ,PP - polarizaiile electrice n cele dou medii n imediata apropiere a suprafeei de separaie.

    +=

    V S

    SV dsr

    dvr

    V''

    41

    '0

    Legea fluxului electric Sarcina total de polarizaie dintr-un corp dielectric ce ocup volumul V este:

    Expresia teoremei lui Gauss pentru un domeniu care conine att sarcini electrice adevrate, ct i sarcini de polarizaie este:

    =+=

    0000

    |11

    )'(1

    dsPqdsEqqdsE VVV

    ( ) VqdsPE =+

    0

    PED += 0 (1) - legea legturii ntre D , E i P ; D - inducia electric

  • 23

    n prezena corpurilor dielectrice nu este suficient o singur mrime pentru a caracteriza cmpul electric, ci sunt necesare dou mrimi, respectiv E i D .

    VqsdD =

    (2) - legea fluxului electric (forma integral)

    Enun: Fluxul electric prin orice suprafa nchis este egal cu sarcina electric adevrat delimitat de suprafaa respectiv. Legea este valabil att n vid, ct i n medii dielectrice.

    (

    = sdD - fluxul electric)

    VV

    V

    V

    DdivdvdvDdiv ==

    (3) - forma local a fluxului electric

    Legea fluxului electric reprezint o generalizare a teoremei lui Gauss.

    Legea polarizaiei temporare

    pt PPP +=

    unde: tP - polarizaie temporar PP - polarizaie permanent

    PP nu depinde de cmpul electric n care este amplasat dielectricul. n general corpurile dielectrice nu prezint polarizaie permanent.

    0pP ; Totui exist substane cu polarizaie permanent i anume electreii.

    tP depinde de E din masa corpului polarizabil. EP et 0= (4) Legea polarizaiei temporare (e -hi)

    Enun: Legea polarizaiei temporare exprim proporionalitatea dintre E (intensitatea cmpului electric) i vectorul polarizaie. Aceast proporionalitate ns poate fi valabil numai pentru domenii limitate ale lui M, iar factorul de proporionalitate e poate avea diferite valori n funcie de direcia cmpului.

    n cazuri uzuale se consider corpuri dielectrice liniare n care acest factor de proporionalitate este constant.

    cte= - susceptibilitate electric

    EEEEDEPPP

    reeept

    0000

    0 )1()1(

    =+=+==+=

    ( 0=pP )

    ED = (5) - consecin a relaiilor (1) i (4) i se folosete n aplicaii practice

    er += 1 - permitivitatea relativ a materialului

    10 >> re Pentru vid: 10 == re

    P

    E

    Material electric liniar

  • 24

    mFSI

    /1=>

  • 25

    12

    2 1

    D1 D2

    s1s2

    S

    normal

    22

    1 2

    2 1

    E t1E t2

    normal

    E1

    E2

    +++=

    A

    D

    D

    C

    C

    B

    B

    A

    ldEldEldEldEldE

    0 0

    Pentru BC : tdlld = ===

    A

    D

    C

    B

    A

    D

    C

    B

    dltEdltEdltEdltEldE

    DA: tdlld = ( )=== tEtElDAtEBCtE 1212 ( ) 012 == tt EEl

    BC =DA = l = 0l tt EE 21 = (6) - componena tangenial a lui E se conserv la

    suprafaa de separaie dintre dou medii

    - suprafaa cilindric plan; S - aria bazei;

    Legea fluxului electric :

    =

    VqsdD

    n ipoteza 0=V

    q =++= lSSS

    sdDsdDsdDsdD21

    00 122121121211

    =+=++= SnDSnDdsnDdsnDSS

    Pentru S1: dsnsd 12= nn DD 21 = (7)

    Pentru S2: dsnsd 12= Se conserv componenta normal a lui D la suprafaa de separaie a dou

    medii.

  • 26

    ct

    grad

    VE

    VE=

    =

    =

    0

    ===n

    n

    n

    n

    t

    n

    n

    t

    D

    DD

    D

    E

    E

    E

    E

    tg

    tg

    1

    1

    2

    2

    1

    1

    2

    2

    2

    2

    1

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    =tg

    tg (8)

    ED = Relaia (8) reprezint teorema refraciei cmpului electric la suprafaa de separaie a dou medii.

    Comportarea corpurilor conductoare n cmp electric Corpurile conductoare prezint urmtoarele particulariti:

    1. densitatea volumic de sarcin electric este ntotdeauna zero 0=V ; sarcinile electrice sunt dispuse pe suprafaa conductoare 0S ;

    2. intensitatea cmpului electric n interiorul corpurilor conductoare este zero. 0int =E ;

    3. copurile conductoare sunt echipoteniale: toate punctele lor au acelai potenial .ctV = ;

    4. intensitatea cmpului electric pe frontiera corpurilor conductoare este perpendicular pe aceasta: extnext EE = (componenta normal) i

    componenta tangenial 0=exttgE . Justificare: n electrostatic nu exist deplasare de sarcini electrice. Toate sarcinile sunt n

    repaus. n corpurile conductoare exist e liberi; pentru ca ei sa fie n repaus nu trebuie sa fie supui unor fore de natur electric 00 === EEqF .

    Considerm un corp conductor i construim n interiorul su o suprafa nchis aleas arbitrar, pentru care s aplicm teorema lui Gauss.

    0VqsdE =

    ; 00 == VqE - nu avem

    sarcini electrice n volumul corpului

    ntruct componenta tangenial se conserv i dac n interiorul corpului

    aceasta este zero c i la exterior aceasta este zero 0=exttE .

    Consecine: 1)Ecranarea electric spre interior

    ctV =AB

    conductor corp

    cavitatedl

    0E ext

  • 27

    Se consider un corp conductor n care este practicat o cavitate, corpul fiind amplasat ntr-un cmp electric exterior.

    00 === cavB

    A

    BA EldEVV

    Dac se aleg pe frontiera caviti dou puncte oarecare i se exprim diferena de potenial ntre ele integrnd pe curbe arbitrare rezultatul ne conduce la concluzia c funcia de sub integral, respectiv E trebuie s fie 0; deci E n interiorul cavitii este nul o persoan aflat n interiorul cavitii este protejat total fa de aciunea cmpului electric; pe de alt parte dac atingem oricare dou puncte de pe frontiera cavitii diferena de potenial va fi 0 iar pericolul de electrocutare este nul.

    Acest sistem de protecie se mai numete cuca lui Faraday, iar efectul de ecran se pstreaz chiar dac avem de-a face cu o plas de srm, tabl perforat, etc.

    2)Ecranarea electric spre exterior Echipamentele electrice n care exist tensiuni periculoase se nchid de regul

    n carcase metalice conectate galvanic la pmnt.

    Carcasa metalic mpreun cu pmntul formeaz un singur corp conductor care este echipotenial; atunci o persoan care atinge carcasa nu este supus unei diferene de potenial fa de pmnt, neexistnd pericolul de electrocutare. n masa carcasei metalice sarcinile se distribuie conform figurii.

    Sisteme conductoare n cmp electric

    q+

    ++

    +

    ++ + + +

    ++

    ++

    +++

    0=V

    0=

    0=V

    0=V

    metalic carcas

    potenialul pmntului este nul

    0=V

    vq 11 vq 22

    vq nn

    1 2

    n

    U n0

    VU 110 =

    VVU 2112 =

    corpuri conductoare

    suprafaa pmntului

  • 28

    }{0 jiij jj ;

    +++=

    +++=

    nnnnnn

    nn

    qqqV

    qqqV

    L

    M

    L

    2211

    12121111

    (1)

    Ecuaiile (1) reprezint ecuaiile lui Maxwell pentru poteniale (prima form a ecuaiilor lui Maxwell).

    Se rezolv sistemul (1)

    +++=

    +++=

    nnnnnn

    nn

    VVVq

    VVVq

    L

    M

    L

    2211

    12121111

    (2)

    Ecuaiile (2) reprezint a doua form a ecuaiilor lui Maxwell.

    =ij coeficienii de influen electrostatic (coeficieni de capacitate)

    0;0 ijij pentru (i j)

    111111311311211212121111 VVVVVVVVVq nnnn +++++++= LL ( ) ( ) ( ) ( )nnn VVVVVVVq +++= 11311321121112111 LL

    +++=

    +++=

    002211

    11121210101

    nnnnnnn

    nn

    UCUCUCq

    UCUCUCq

    L

    M

    L

    (3)

    02010 ,,, nCCC - capacitile pariale ale fiecrui corp fa de pmnt;

    ijC - capacitatea parial a corpului i fa de j. Proprieti ale capacitilor pariale

    1. 0,,, 02010 >nCCC K 2. ),1(,,0 njiCij > 3. C jiCij = - relaia de reciprocitate

    4. Valorile Cij depind numai de configuraia geometric a sistemului de

    conductoare i de natura mediului n care sunt amplasate i nu depind de sarcini sau de potenial.

  • 29

    Condensatorul electric Definiie: Condensatorul electric este un sistem de dou conductoare separate

    printr-un material dielectric care ndeplinesc condiia 021 =+ qq . Consecin: Cmpul electric ntre cele dou conductoare este un cmp

    complet, adic toate liniile de cmp care pornesc de pe un conductor ajung pe cellalt. Cele dou conductoare se numesc armturi.

    021 =+ qq (4)

    Din (3)

    +=

    +=

    202021212

    121210101

    UCUCq

    UCUCq

    (4) 02010 = CC CCC == 2112 UCq = (5)

    UUU == 2112 Uq

    C = (6)

    qq =1 ; qq =2 C este capacitatea electric a condensatorului i reprezint factorul de

    proporionalitate ntre sarcin i tensiune. Capacitatea depinde numai de geometria condensatorului i de natura dielectricului; nu depinde de sarcin i nici de tensiune.

    Simbolul grafic al condensatorului:

    Calculul capacitii condensatoarelor Capacitatea nu depinde de sarcin sau tensiune, ci numai de forma i

    dimensiunile condensatorului, precum i de natura dielectricului. Pentru calculul capacitii unui condensator dat se parcurg urmtoarele etape:

    1. se consider condensatorul ncrcat cu o sarcin de valoare arbitrar +q, respectiv q;

    2. se calculeaz inducia electric a cmpului creat de aceste sarcini n zona dielectricului se calculeaz E; K== EED r 0

    3. se calculeaz diferena de potenial ntre cele dou armturi:

    ldEVVU == 2

    121

    4. se exprim capacitatea cu relaia (6). Sarcina q se va simplifica.

    Exemple: 1) Condensatorul plan cu un singur dielectric

    Se d: S; d; r . Se cere C. q arbitrar

    Se poate aplica legea fluxului electric pentru calculul lui D

    = qsdD

    q+ q

    U

    q+ q

    U

    q+

    q

    A

    B

    D r

    S1

    S 2S

    d

  • 30

    SSS l= 21

    A

    B

    E

    dld

    Se mbrac armtura superioar cu o suprafa nchis de form

    paralelipipedic. Pentru aceast suprafa se aplic legea fluxului electric. Se ine seama c avem un cmp electric complet, adic toate liniile de cmp care pornesc de pe armtura ncrcat cu sarcini pozitive ajung pe cealalt armtur. Se consider c n afara dielectricului cmpul electric este nul.

    ; qq =

    DSdsDdsDsdDsdDsdDsdDsdDSSSSSS l

    ====++= 11121

    0cos

    Pe suprafeele S2 i Sl 0=D .

    S

    qDqSD == ;

    S

    qDE

    rr 00==

    dS

    qdl

    S

    q

    dlEldEVVU

    r

    d

    r

    dB

    A

    00 0

    021 0cos

    ==

    ====

    d

    S

    dS

    qq

    C r

    r

    0

    0

    ==

    2) Condensatorul plan cu dielectric stratificat

    Se d S , 1d , nd , rnr K,1 Se cere capacitate. q arbitrar.

    S

    qD =

    S

    qDE

    S

    qDE

    S

    qDE

    rnrnn

    rr

    rr

    00

    20202

    10101

    ==

    ==

    ==

    L

    d1

    d2

    dn

    1 2

    n

    +q

    -q

    A

    B

  • 31

    ++++

    +++

    +

    +++==nnq

    n

    dddd

    ddd

    dd

    d

    dB

    A

    ldEldEldEldEVV11

    121

    21

    1

    1

    021

    L

    L

    L

    =+++== nndEdEdEVVdlEldE L2211210cos

    +++=

    rn

    n

    rr

    ddd

    S

    q

    L

    2

    2

    1

    1

    0

    21 VV

    qC

    =

    =

    =n

    k rk

    kd

    SC

    1

    0

    3) Condensatorul sferic Se dau: dou sfere conductoare cu raze 21 ,RR i r. Se cere capacitatea C. q - arbitrar. Cmpul electric are simetrie sferic datorit formei armturilor; pentru calculul lui se aplic legea fluxului electric.

    Pentru asta construim o sfer (suprafa sferic concentric cu armaturile). 21 RrR

  • 32

    SSS l = 21

    4) Condensatorul cilindric

    Se d: rlRR ,,, 21 . Se cere C. q - arbitrar Cmpul electric n dielectric are simetrie cilindric datorit formei. - suprafa cilindric de raz r, 21 RrR

  • 33

    A B

    U

    q

    U

    q

    A B

    U

    q

    Sisteme de condensatoare Un sistem de condensatoare este un ansamblu format din mai multe

    condensatoare conectate care poate avea sau nu borne exterioare i care ndeplinete o anumit funcie.

    Sisteme de condensatoare cu dou borne exterioare

    Dou sisteme de condensatoare cu borne exterioare sunt echivalente() dac prin aplicarea aceleiai diferene de potenial ntre borne se absorb aceleai sarcini electrice.

    A) Sisteme de condensatoare conectate n paralel. Capacitate echivalent

    Se d nCCC ,,, 21 conectate n paralel. Se cere capacitatea echivalent

    UCq 11 = ; UCq 22 = ; UCq nn = Condiia de echivalen: qqqq n =+++ L21

    UCq p=

    U

    UCUCUCUC np1

    21 +++= L

    =

    =+++=n

    kknp CCCCC

    121 L

    1q gCL

    2q

    nq

    2CL

    nCL

    A BpCq+ q

    U

    C1

    C2

    Cn

    -q1

    -q2

    -qn

    A B

  • 34

    A B

    1C

    q+ q q+ q q+ q q+ q2C 3C nC

    1U 2U 3U nU

    U

    A Bq+ qsqC

    U

    1C

    SC

    1

    3C

    4CrC

    pCC

    B) Sisteme de condensatoare conectate n serie. Capacitatea echivalent

    Se d: nCC 1 n serie. Se cere SC .

    11 C

    qU = ;

    22 C

    qU =

    nn C

    qU =

    +++==qC

    q

    C

    q

    C

    q

    C

    qU

    ns

    1

    21

    L =

    =+++=n

    k kns CCCCC 121

    11111L

    nUUUU +++= L21 (teorema potenialului)

    =

    =n

    kks SS

    1

    (S-elastana)

    C) Conexiuni mixte paralel-serie (exemplu)

    32

    321

    32

    32

    321

    111CC

    CCC

    CC

    CC

    CCC ss +=

    +=+=

    5432

    325411 CCCC

    CCCCCC sp +++

    =++=

    p

    p

    p CC

    CCC

    CCC +=+=

    1

    1

    11

    111

    1C

    2C 3C

    4C

    5C

    C=?

  • 35

    15432

    32

    5432

    321

    CCCCC

    CC

    CCCC

    CCC

    C+++

    +

    ++

    +=

    Sisteme de condensatoare fr borne de acces (Reele izolate de conductoare) Conin att condensatoare ct i surse de tensiune interconectate. Se cunosc capacitile condensatoarelor reelei i tensiunile surselor i se

    urmrete gsirea distribuiei sarcinilor electrice pe condensatoarele reelei. Pentru a rezolva aceast categorie de probleme se utilizeaz teoremele lui Kirchhoff pentru reele de condensatoare.

    T1 Sarcina total delimitat de o suprafa nchis care nu are fire de conexiune, ci se nchide numai prin armturile condensatoarelor i prin aerul sau vidul din vecintate se conserv.

    ctqk = T2 Suma tensiunilor la bornele elementelor care formeaz o bucl a reelei

    este zero. 0= kU

    Se d: 41 ., CC i 0U Se cere: 41 ,, qq i

    41 ,, UU

    Etape de rezolvare: se consider condensatoarele ncrcate cu sarcinile 41 ,, qq i se stabilesc

    polaritile arbitrare. Recomandare! Armturile conectate la borne de o anumit polaritate ale surselor se vor ncrca cu sarcini de aceeai polaritate;

    se aplic teorema a doua a lui Kirchhoff pentru toate ochiurile reelei. Ochi = bucl care nu conine laturi diagonale. Pentru fiecare ochi se alege un sens convenional de parcurgere. Tensiunile la bornele condensatorului se consider orientate de la armturile

    pozitive spre cele negative. o1 : 0021 =+ UUU o2 : 0243 =+ UUU se construiesc attea suprafee nchise prin dielectricii condensatorului ct

    este necesar pentru a completa sistemul de ecuaii cu expresii date de T1. nr. de necunoscute = 4 nr. de ecuaii deja construite = 2 nr. de ecuaii necesare = 4-2 = 2

    q+

    q+

    q

    q

    q+ q

    U 0 o1 o2q+

    q

    U1

    U 2

    U 3

    U 4

    C1

    C2

    C3

    C 4

    +

    1 1

    2

    2

    3

    3

    4

    4

    1

    2

  • 36

    dou suprafee nchise 1i 2 ( ) 0: 431 =+ qq

    ( ) 0: 3212 =++ qqq

    se rezolv sistemul de ecuaii: )41( K== kC

    qU

    k

    kk

    =++

    =+

    =++

    =+

    00

    0

    321

    43

    4

    4

    3

    3

    2

    2

    02

    2

    1

    1

    qqq

    qqC

    q

    C

    q

    C

    q

    UC

    q

    C

    q

    =

    =

    =

    =

    ????

    4

    3

    2

    1

    q

    q

    q

    q

    Energie n cmp electric 1) Sistem de n sarcini punctiforme Energia cmpului electric corespunztoare unui sistem de sarcini punctiforme

    este numeric egal cu lucrul mecanic necesar a fi efectuat din exterior pentru a ncrca corpurile respective cu sarcin electric.

    01 =L

    ( )

    120

    122222

    22

    412

    1212

    12

    R

    qqLVqldEq

    ldEqldFldFL

    R

    RR

    R

    ==+=

    ====

    +==

    230

    2

    130

    13333 44 R

    q

    R

    qqVqL

    Pentru aducerea sarcinii n punctul 3M se efectueaz un lucru mecanic care trebuie s nving forele de natur electric de interaciune att ntre 3q i 1q , ct i ntre 3q i 2q .

    3V este potenialul cmpului electric n punctul 3M datorat prezenei lui 1q i

    2q .

    =

    ==1

    1 04

    n

    k kn

    knnnn R

    qqVqL

    =

    ==

    ==n

    j

    j

    k kj

    kj

    n

    jje R

    qqLW

    1

    1

    1 01 4

    jkkj RR = Dublm numrul de termeni ai sumei,

    ==

    ==

    =

    ===n

    jjj

    n

    j

    n

    jkk kj

    kj

    n

    j

    n

    jkk kj

    kje VqR

    qq

    R

    qqW

    11 1 01 1 0 21

    421

    421

    q1

    q2

    M3

    M1

    M2

    R12

    R13

    R23 F

    q3

  • 37

    V

    V S

    S

    C

    l

    1

    q1

    V 1

    2

    n

    q2

    qn

    V 2

    V n

    =

    =n

    jjje VqW

    121

    JW SIe 1=>< (Joule)

    Exemplu:

    321 LLLWe ++= 01 =L

    ++=

    230

    2

    130

    13

    120

    122 444 R

    q

    R

    qq

    R

    qqL

    =

    +++++=

    320

    23

    310

    13

    210

    12

    230

    32

    130

    31

    120

    21

    44444421

    R

    qq

    R

    qq

    R

    qq

    R

    qq

    R

    qq

    R

    qq

    = =

    =3

    1

    3

    1 0421

    j k jk

    kj

    R

    qq

    2)Distribuii oarecare de sarcini electrice

    Prin analogie ++=)()()( 2

    121

    21

    C

    l

    S

    S

    V

    Ve VdlVdsVdvW

    3) Sisteme de n corpuri conductoare (sarcini distribuite pe suprafee echipoteniale)

  • 38

    q+

    q

    E

    D

    S

    U

    d

    =

    =

    = =

    n

    kSk

    n

    kSe

    k

    kkdsVdsVW

    11 21

    21

    =

    =n

    kkke VqW

    121

    Caz particular: 2=n (condensatorul)

    qq +=1 ; qq =2

    ( ) ( )=+= 212211 21

    21

    VVqVqVqWe qUWe 21

    =

    = CUq 221CUWe =

    =C

    qU

    C

    qWe

    2

    21

    =

    Densitatea volumic de energie a cmpului electrostatic

    ole

    e

    VDEDSEdW

    dEU

    DSqS

    qD

    qUW

    ==

    =

    ==

    =

    21

    21

    21

    ,unde Vol volumul dielectricului

    0cos= EDED

    olVEDW

    =21

    ole VwW = EDwe = 21

    we densitatea volumic de energie a cmpului electric; [ ] =SIew 1J/m3 Expresia energiei cmpului electrostatic poate fi generalizat pentru o

    distribuie de sarcini sub forma:

    =)(V

    ee dvwW ; EDwe = 21

    ,

    unde (V) domeniul ocupat de cmpul electric la care ne referim.

  • 39

    Teoremele forelor generalizate n cmp electrostatic Coordonate generalizate Reprezint ansamblul de mrimi scalare (cu dimensiuni de lungime sau

    unghiuri) care caracterizeaz forma i dimensiunile unui ansamblu de corpuri ncrcate cu sarcini electrice.

    ,, 21 xx Noiunea de fore generalizate Forele generalizate sunt fore mecanice sau cupluri care tind s modifice

    coordonatele generalizate. ,, 21 XX

    kkk dxXL = - lucrul mecanic elementar efectuat de fora generalizat kX

    Observaie: Semnul forei generalizate se consider pozitiv dac ea acioneaz n sensul creterii coordonatelor generalizate corespunztoare.

    XF

    xd

    T1- Teorema nti a forelor generalizate Enun: Fora generalizat care acioneaz n sensul creterii coordonatelor

    generalizate corespunztoare este egal i de semn contrar cu derivata energiei cmpului electrostatic n raport cu coordonatele generalizate.

    ctqk

    ek x

    WX

    =

    =

    T2 - Teorema a doua a forelor generalizate Enun: Fora generalizat care acioneaz n sensul creterii coordonatelor

    generalizate corespunztoare este egal cu derivata energiei cmpului electrostatic n raport cu coordonata generalizat, calculat n condiiile meninerii constante a potenialelor.

    ctVk

    ek x

    WX

    =

    +=

    n cazul teoremei nti, sistemul este izolat fa de exterior aa nct nu apare transport de sarcin, iar n cazul teoremei a doua are loc transport de sarcin ntre sistem i exterior, care duce la schimbarea strii acestuia.

    q+

    q

    Fd

  • 40

    Ud

    S

    R R

    S

    Exemple de calcul a forelor generalizate 1) Calculul forei ce tinde s modifice distana dintre armturile unui

    condensator plan

    Caz1: q = ct Se aplic tensiunea U provenit de la o surs de tensiune. Ca urmare,

    condensatorul se ncarc cu sarcina CUq = ; dup care se ndeprteaz sursa de tensiune i condensatorul rmne izolat.

    S

    dqW

    d

    SC

    C

    qW

    re

    r

    e

    0

    2

    0

    2

    212

    1

    =

    =

    =

  • 41

    22

    2

    22

    2

    RRS

    S

    R

    ==

    KKKK

    KKK

    SI = 1 rad

    U = ct. aplicm T2

    221CUWe =

    2

    200 R

    dd

    SC rr

    ==

    >=

    =

    =

    ===

    041

    221 22

    202

    20 UkU

    d

    RU

    R

    d

    WMX rr

    ctU

    M (cuplul mecanic) acioneaz n sensul creterii unghiului

  • 42

    ELECTROCINETICA

    Sarcinile electrice pot avea o micare ordonat:

    micarea electronilor accelerai ntr-un tub catodic; deplasarea particulelor pozitive(protoni) ntr-un accelerator de

    particule; deplasarea electronilor liberi n corpurile conductoare; deplasarea electronilor i golurilor n semiconductoare; deplasarea ionilor + i n soluiile electrolitice; deplasarea cu vitez, macroscopic a corpurilor ncrcate cu sarcini

    electrice; deplasarea unei bile electrizate.

    Electrocinetica studiaz fenomenele legate de deplasarea electronilor liberi n corpuri conductoare.

    Deplasarea ordonat a purttorilor de sarcini n corpuri conductoare se numete conducie electric. Se folosete explicit:conductoare n stare de conducie electric.

    n cadrul acestui capitol se vor trata cu precdere fenomenele aferente regimului staionar, caracterizat prin:

    vitez medie constant a purttorilor de sarcini ctv = ; mrimile ce caracterizeaz fenomenele sunt invariabile n raport cu

    timpul ( ) 0=t

    ;

    fenomenele sunt nsoite de schimb de energie sub form de cldur cu mediul nconjurtor 0Q .

    Mrimea fizic ce caracterizeaz starea de conducie este intensitatea curentului electric. Intensitatea curentului electric este prin definiie numeric egal cu sarcina e transportat prin seciunea transversal n unitatea de timp.

    dt

    dq

    t

    qi

    t=

    = 0

    lim (1) Ai SI 1=>< sC

    A11

    1 =

    i este o mrime primitiv, iar amperul este intensitatea curentului care transport cantitatea de sarcin de 1C n timp de o secund prin seciunea transversal a unui conductor.

    Fenomenul de conducie electric nu poate fi perceput de simurile umane dect prin intermediul efectelor acestuia: efectul caloric; efect luminos; efect mecanic; efect chimic.

    Definiia Amperului: 1 Amper absolut este intensitatea curentului care, trecnd printr-o baie de

    electroliz cu nitrat de argint (AgNO3), provoac depunerea la catod a unei cantiti de argint de 1,118 mg/s.

    Definiia amperului internaional 1 Amper internaional este intensitatea curentului care parcurgnd dou

    conductoare rectilinii, paralele i de lungime infinit, aflate la distan de un metru ntre ele provoac o for de interaciune ntre cele conductoare de 7102 N/m (pe

  • 43

    {A1 A1

    m1

    m1mNF /102 7=

    metru de lungime). Dac cei doi cureni au acelai sens fora este de atracie, iar dac sunt de sens opus fora este de respingere.

    Explicaia microscopic a fenomenului de conducie lSV = (volum)

    Electronii liberi se deplaseaz n reeaua cristalin a conductorului sub aciunea cmpului electric cu micare uniform accelerat. Micarea este ntrerupt de ciocniri cu reeaua cristalin, n urma crora electronii i pierd ntreaga energie cinetic.

    Fiecare ciocnire este urmat de o nou micare accelerat. ct - durata ntre dou ciocniri succesive

    ccc

    tavtvtt

    tatv==

    =

    =max)(

    )(

    220 max c

    med

    tavvv

    =

    +== (2)

    q - sarcina electric total existent n volumul V VNqq e =

    Cqe19106,1 = - sarcina elementar

    N-concentraia de electroni liberi pe unitatea de volum N 2910 purttori liberi pe m3.

    tvl = , v viteza medie Din definiia (1),

    SjSvNqvSNqt

    tvSNq

    t

    qi ee

    e

    tt===

    =

    =

    )()(

    limlim00

    vvNqj e == (3)

    S

    ij = - densitatea de curent este proporional cu viteza medie a purttorilor

    de sarcin; mrime vectorial al crei sens este opus sensului de deplasare al electronilor. Este o convenie. 2/1 mAj >=<

    S

    l

    v

    i

  • 44

    Observaie: i este mrime scalar, dar afectat de semn. Intensitatea este

    pozitiv dac corespunde sensului de deplasarea al sarcinilor pozitive. Dac densitatea de curent j nu este constant n seciunea transversal a unui conductor, atunci intensitatea curentului electric se calculeaz cu expresia:

    sdjiS =)(

    (4)

    Problem: Se d seciunea 21mmS = ; Ai 6,1= Se cere ?=J ; ?=v

    26

    26 106,1106,1

    m

    A

    m

    A

    S

    iJ ===

    Din (3) smNq

    Jv

    e

    /1010106,1

    106,1 42919

    6

    =

    =

    =

    Observaie: Dei viteza medie a purttorilor este de 310 , 410 m/s, curentul electric se propag n conductor cu viteza luminii: sm /103 8 .

    Legea conservrii sarcinii electrice Se studiaz cazul general n care exist att curent electric de conducie, ct i

    curent de convecie. Curentul de convecie corespunde purttorilor de sarcini care se deplaseaz n vid sau gaze rarefiate (tubul catodic), dar i corpurilor electrizate care se deplaseaz cu vitez macroscopic.

    ==)()( S

    V

    S

    cc sdvsdJi

    (intensitatea curentului electric de convenie)

    vJ Vc = (5)

    (densitatea curentului electric de convecie) V - densitatea volumic de sarcin

    electric v - viteza macroscopic medie

    Se consider o suprafa nchis strbtut de conductoare parcurse de

    cureni de conducie i prin care pot exista cureni de convecie. n interiorul suprafeei pot exista concentrri de sarcini electrice pe corpuri de

    diferite forme. Legea conservrii sarcinii este n acest caz :

    ( )dt

    dqsdvJ V

    =+ (6) sau dtdq

    i = (6)

    (forma integral a legii conservrii sarcinii electrice)

    S

    j

    i

    S

    i1

    i2

    q

    S1 v

  • 45

    sd

    sd i1

    i2

    j

    S1

    S 2

    curent de liniile

    Este valabil att n regim staionar ct i n regim variabil. Enun: Curentul electric total care iese dintr-o suprafa nchis ce

    delimiteaz un sistem fizic neizolat este egal cu viteza de scdere a sarcini electrice totale din interiorul acelei suprafee.

    Curentul electric total este format din curentul de conducie i din cel de convecie.

    Cu formula Gauss-Ostrogradski (6) devine:

    ( ) ( )dvvJdivsdvJV

    VV

    +=+

    ==

    V

    V

    V

    V dvt

    dvdt

    d

    dt

    dq

    ( )t

    vJdiv VV

    =+

    (7)- forma local a legii conservrii sarcinii

    electrice Caz particular - pentru regim staionar:

    =

    =

    =

    )9(0

    )8(00V

    Jdiv

    sdJ

    t

    v

    (formele integral (8) i local (9) ale legii pentru regim staionar) Consecine: 1) = 0Jdiv liniile de curent sunt curbe nchise. Liniile de curent sunt curbe imaginare la care J este tangent n orice punct.

    Conductoarele aflate n regim electrocinetic nu au capete libere, ci formeaz n mod obligatoriu bucle.

    2) Intensitatea curentului electric are aceeai valoare n orice seciune a aceluiai conductor filiform.

    ==+=

    000 2121

    iisdJsdJsdJSS

    21 ii =

  • 46

    l

    1

    2i

    S

    U

    Legea conduciei electrice Purttorii de sarcin electric se deplaseaz att sub aciunea cmpului

    electric, fore de natur electric, ct i sub aciunea unor fore de natur neelectric. neeleltot FFF +=

    EqF eel = ; iee

    neel

    eneel Eqq

    FqF =

    =

    Cmpul imprimat ( Ei ) este o mrime care are aceeai dimensiune ca i intensitatea cmpului electric i descrie aciunea forelor de natur neelectric asupra purttorilor de sarcin.

    ( )ietot EEqF += ( )iee EEqam += , a - acceleraia

    (2) ct

    va

    =2

    ( )c

    eie t

    vmEEq

    =+2

    (3) JNq

    ve

    =1

    ( ) JNtq

    mEEJ

    NqtmEEq

    ce

    ei

    eceie

    =+

    =+ 2

    212

    JEE i =+ (10); - rezistivitatea electric, mSI =>< 1 (Legea conduciei electrice n form local)

    JEE i =+= )(1

    (10)

    - conductivitatea electric , 111 =>< mSI sau Siemens / metru

    Cmpul imprimat se manifest n conductoare neomogene i poate fi de natur chimic (baterii alcaline) sau mecanic (generatoarele rotative de inducie electromagnetic).

    Corpuri omogene:

    JE = (11)

    JE = (11)

    ( ) ==+2

    1

    2

    1

    2

    1 S

    dli

    S

    SldJldEE i

    SJi =

    =+2

    1

    2

    1

    2

    1 S

    dlildEldE i

    iReu =+ (12) Relaia (12) reprezint forma integral a legii conduciei electrice pentru o

    poriune de conductor neomogen.

  • 47

    u - tensiunea la bornele poriuni de conductor; e - fora (tensiunea) electromotoare, ce exprim forele de natur

    neelectric; R - rezistena electric a poriunii de conductor.

    Pentru conductoarele de seciune constant :

    =

    =

    .

    .ct

    ctS

    Sl

    R

    =

    (13)

    Dac se concentreaz partea omogen, respectiv cea neomogen obinem

    schema echivalent din fig.:

    Regim staionar: .ctu = Uu , Ee , Ii

    IREU =+ (14) E - tensiunea electromotoare (nu intensitatea cmpului electric E !).

    ( )[ ]00 1 TT += (15) Relaia (15) arat dependena rezistivitii n raport cu temperatura, valabil n

    domeniul temperaturilor uzuale pentru aplicaiile inginereti. - reprezint coeficientul de temperatur; 0> n general

    0 - corespunde la KT0

    0 20273+=

    m

    mmmCu

    228

    0 107,1107,1

    =

    mAl 8

    0 104,2

    mAg 8

    0 106,1

    Constantan (aliaj) m 60 1050 Exist materiale care in vecintatea temperaturii de 0 absolut prezint

    fenomenul de supraconductibilitate, manifestat prin anularea rezistivitii .

    I Re

    u

    I R E

    U

    i

    K10

    T

    15exp r

    0

  • 48

    l

    1

    2S

    dv

    dl V

    Legea transformrii energiei n procesul de conducie (Joule-Lenz)

    lEqlFL eel ==

    tvl = tvEqL e =

    (3) JNq

    ve

    =1

    tJEN

    L =1

    Pentru unitatea de volum(N purttori elementari): tJELNL == '

    JE - reprezint puterea pe unitatea de volum a unui material aflat n stare de conducie.

    JEt

    Lp

    tj ==

    0

    lim (16)

    Aceast putere se transform integral n cldur. Relaia (16) reprezint forma local a legii transformrii energiei n procesul

    de conducie electric. Enun: Puterea transformat n cldur corespunztoare unitii de volum a

    unui conductor aflat n stare de conducie este egal cu produsul scalar ntre E i J.

    23 111 mA

    m

    V

    m

    Wp SI ==><

    Pentru conductoarele omogene: = JE 2Jp j =

    Pentru conductoarele neomogene: ii EJEJEE ==+

    ( ) gjii ppJEJJEJp === 2 gp - densitatea volumic a puterii corespunztoare forelor neelectrice.

    dvJEdvp

    VV

    =

    dlSdvdvpPV

    ==

    ( ) uiPdlEidlSJEP === 2

    1

    2

    1

    Regim staionar: UIP = (17) (Forma integral a legii transformrii energiei)

    Din relaia (14) ERIU =

    ( )= ERIIP EIRIP = 2 (18)

  • 49

    hKWJsWW === 1106,3360010100 6

    Forma (18) a legii exprim faptul c puterea primit de o poriune de conductor filiform este egal cu suma dintre puterea disipat sub form cldur ireversibil i puterea generat de forele de natur neelectric.

    IEPg = - puterea generatorului Convenii de semne i sensuri pentru un dipol elementar

    Expresia legii conduciei se coreleaz obligatoriu cu sensurile mrimilor, cele

    dou reprezentri fiind echivalente. Sensurile reale n cazul unor probleme complete, pot s fie diferite de sensurile

    indicate pe desen, mrimile cu sens diferit rezultnd cu semnul - n urma calculelor.

    0

    02

    =

    >=

    EIP

    RIP

    g

    j

    =>< 1SIR (Ohm)

    WP SI 1=>< (Watt)

    Energia electric Energia electric consumat de o poriune de conductor aflat n stare de

    conducie ntr-un interval oarecare de timp reprezint integrala puterii n acel timp.

    =t

    t

    dtPW0

    )(. 0ttPtPWctP === JW SI 1=>< (Joule) 1s1W1J =

    kWhW tehnic 1=>< JWssWhkW663 106,3106,33600101 ===

    Exemplu: Energia consumat de un bec cu putere nominal = W100 n 10 ore.

    IREU =+ IREU =+

    U

    I RE

    I RE

    U

    Sensuri asociate dup regula de la receptoare

    Sensuri asociate dup regula de la generatoare

    0>Pq 00 Pg

  • 50

    Circuite electrice funcionnd n regim staionar (circuite de curent continuu) Un circuit electric este un ansamblu de elemente conductoare interconectate

    astfel nct s asigure conductoarelor intrri n stare de conducie (s existe poriuni neomogene i s existe bucle nchise). Este un obiect fizic.

    Exemplu:

    Schema electric este reprezentarea grafic a unui circuit electric. Fiecrui element de circuit ideal i se asociaz un simbol grafic. Elemente ideale de circuit

    Sursa ideal de tensiune

    Sursa ideal de tensiune impune tensiunea ntre punctele n care este conectat, indiferent de structura circuitului din care face parte.

    Sursa ideal de curent

    Sursa ideal de curent impune curentul prin latura de circuit din care face parte, indiferent de structura circuitului. I = J (a nu se confunda cu J ); AJ 1>=<

    r

    E

    R

    baterie

    electric schema

    neomogen parte

    electriccircuit

    omogen parte

    +

    -

    U

    E

    ( )0=R

    U = -E

    U = E

    sau

    J

    R

  • 51

    IR

    U

    ( )tu

    ( )ti L

    ( )tu

    ( )ti C ( )dt

    duCti =

    1E

    3E

    1I

    1R

    1n 2n

    3n

    1U

    2U

    2I 2R

    3R

    4I

    4R

    5I

    5J

    2b

    1b

    Rezistorul ideal = 0E IRU =

    RG

    1= - conductana electric

    SG SI 1=>< (Siemens), 1S = 1 -1

    UGI =

    Bobina ideal L - inductana

    ( )dt

    diLtu =

    n regim staionar:

    )(00 itscurtcircuUdt

    di==

    Nu vom folosi bobina n acest capitol.

    Condensatorul ideal

    n regim staionar: 00 == Idt

    du(mers n

    gol) Nu vom folosi condensatorul n acest

    capitol.

    Elementele sunt concepte idealizate cu ajutorul crora pot fi explicate fenomene reale. Un element de circuit ideal funcioneaz pe baza unei singure proprieti considerat dominant, neglijndu-se efectele secundare.

    Elemente de topologie a circuitelor electrice

  • 52

    1n 2n

    3n1b

    2b

    )1(

    )2(

    )3()4( )5(

    1n 2n

    3n

    )2(

    )4( )5()(a

    Latur de circuit este o poriune fr ramificaii; ea poate s conin unul sau mai multe elemente; l - numrul de laturi.

    Nod de circuit este un punct n care converg trei sau mai multe laturi.( 321 ,, nnn ); n - numr de noduri.

    Bucl este un poligon format din laturi ale circuitului.(exemple:1-3; 1-2-4; 2-3-5)

    Ochi de circuit este bucla care nu conine laturi interioare (exemple: 1-3; 2-3-4; 4-5).

    1+= nlo - numrul de ochiuri (relaia lui Euler) Circuitul electric se poate reprezenta grafic ntr-o form simplificat prin

    grafurile asociate.

    Graful este o reprezentare simplificat, n care laturile circuitului sunt reprezentate prin arcuri crora li se asociaz sensuri n concordan cu sensurile convenionale alese pentru cureni.

    Subgraful este o parte a unui graf care nu conine toate laturile acesteia, n schimb el poate conine sau nu toate nodurile.

    Exemplu:

    Subgrafuri complementare sunt dou sau mai multe subgrafuri ale aceluiai graf care mpreun conin toate laturile grafului i nu au nici o latur comun.

    (a) i (b) sunt complementare

    Arborele este un subgraf ce conine toate nodurile grafului, dar nu conine bucle.

    )(b

    n1

    n3

    (a)

  • 53

    1n2n

    3n)1(

    )2(

    Arbore

    )1(

    )2(

    )3(

    )3( 3 buclab

    )1(

    )2(

    4b

    )1(

    )2(

    5b

    )5(

    1 1+ 01+ 0

    00 1 1 1

    1+ 0 1 1+ 1+

    1n

    2n

    3n

    1l 2l 3l 4l 5l

    =A

    1= nla (numrul de laturi

    ale arborelui)

    Laturile unui arbore se numesc ramuri.

    Coarbore este subgraful complementar unui arbore. onllll ac =+== 1

    cl - coardele Prin adugarea cte unei coarde la arbore se formeaz cte o bucl

    independent al crei sens de parcurgere este impus de sensul coardei.

    onllb c =+== 1 (numrul de bucle independente) Descrierea topologiei prin matrice de conexiune 1) Matricea de inciden laturi-noduri n - linii; l-coloane; lnA Elementele matricei sunt:

    egale cu zero 0=jia dac latura j nu este incident la nodul i;

    1+=jia dac latura j este incident la nodul i i are sensul de ieire din acesta;

    1=jia dac latura j este incident la nodul i i are sensul de intrare n acesta.

    Liniile nu sunt liniar independente, ceea ce ne permite s pstrm numai liniile independente ale matricei, fr s pierdem din informaie (n-1 linii)

  • 54

    1= nrangA

    1

    1+

    01+0

    0 01 1

    1 01 1+

    3b

    4b

    5b

    1l 2l 3l 4l 5l

    =B0

    0

    ++=

    1101000111

    Ar - matricea rezistor

    2)Matricea de conexiune laturi-bucle

    lbB 0=ijb (latura ij )

    1+=ijb (latura ij i are acelai sens cu aceasta)

    1=ijb (latura ij , dar are sens contrar)

    Matricea curenilor laturilor

    [ ]

    =

    lI

    I

    I

    IM

    2

    1

    , [ ] 1lI , l-numrul de laturi

    Matricea (vectorul) tensiunilor laturilor

    [ ]

    =

    lU

    U

    U

    UM

    2

    1

    , [ ] 1lU

    Observaie: Sensurile tensiunilor coincid cu sensul curenilor. Sunt sensuri

    convenionale care pot fi diferite de sensurile reale. Matricea(vectorul) potenialelor noduri Dac potenialul unuia dintre noduri se alege ca referin i i se atribuie o

    valoare arbitrar (preferabil valoarea zero), atunci acest potenial nu face parte din vectorul potenialelor nodurilor.

    [ ]

    ==

    1

    2

    1

    0

    n

    n

    V

    V

    V

    VVM

    , [ ] 1)1( = nV , n = numrul de noduri al circuitului

  • 55

    Matricea tensiunilor electromotoare ale laturilor

    [ ]

    =

    lE

    E

    E

    EM

    2

    1

    , [ ] 1lE . Exemplu: [ ]

    =

    00

    0

    3

    1

    E

    E

    E

    Matrice curenilor surselor ideale de curent

    [ ]

    =

    lJ

    J

    J

    JM

    2

    1

    , [ ] 1lJ . Exemplu: [ ]

    =

    5

    0000

    J

    J

    Matricea rezistenelor laturilor

    [ ]

    =

    lR

    R

    R

    R

    K

    MOMM

    K

    K

    00

    0000

    2

    1

    , [ ] llR .

    Matricea conductanelor laturilor

    [ ]

    =

    lG

    G

    G

    G

    K

    MOMM

    K

    K

    00

    0000

    2

    1

    , [ ] llG . k

    k RG

    1=

    Relaii matriceale utile: 1) 0== tr

    tr ABBA - matricea de inciden laturi-noduri (redus) Ar i

    matricea de inciden laturi-bucle B sunt ortogonale. [ ] lnrA )1( , [ ] [ ] bnbltB = )1(0 rA

    +

    +

    ++

    100110101100101

    1l 2l 3l 4l 5l

    4b3b

    =B

    +

    ++++

    001011101011111 1n

    2n

    3n

    1l 2l 3l 4l 5l

    =

  • 56

    =

    =

    =

    ++=

    =

    =

    =

    IIIIII

    IIIIIIIIIII

    IIIIIIII

    III

    IIIII

    55

    44

    33

    542542

    15431

    5

    4

    3

    54

    543

    5

    4

    3

    5

    4

    3

    2

    1

    000010001110111

    =

    =

    000000

    100010001110111

    1101000111tB

    2) [ ] [ ] [ ]VAU t =

    [ ] [ ]213 0 VVV ==

    Observaie: Matricea de inciden laturi-noduri (redus) ( rA ) se obine eliminnd linia corespunztoare nodului ales cu referina de potenial din matricea de inciden laturi-noduri A.

    3) [ ] [ ]Ct IBI = , IC - vectorul (matricea coloan) curenilor cu arborele

    Exemplu:

    =

    5

    4

    3

    I

    I

    I

    IC - curenii arborelui. [ ] nbCI

    Teoremele lui Kirchhoff pentru circuite liniare de curent continuu Prima teorem a lui Kirchhoff (Teorema curenilor): Enun: Suma algebric a intensitilor curenilor incideni ntr-un nod de

    circuit este zero.

    +

    =

    =

    VVVVVV

    VV

    UUUUU

    2

    2

    1

    21

    2

    1

    5

    4

    3

    2

    1

    1010011101 VVVU 1131 ==

    VVU 212 =

    VVVU 2235 ==

  • 57

    04321 =+++ iiii

    0)(

    = jnk

    kI

    0=

    sdJ - Regim staionar

    +=+++= 14321

    0cosSsSSS

    dsJsdJsdJsdJsdJsdJ

    00cos0cos0cos 4321432

    =++=+++ IIIIdsJdsJdsJSSS

    Teorema a doua a lui Kirchhoff (Teorema tensiunilor) Enun: Suma algebric a tensiunilor la bornele laturilor care compun o bucl

    de circuit este zero.

    04321 =+ UUUU

    0)(

    = jbk

    kU (1)- forma general a teoremei a II-a a lui Kirchhoff

    1i2i

    4i3i

    )(nj

    S1

    S 2

    S 3S 4

    ds

    ds

    ds

    I 1

    I 2

    I 3

    I 4

    J 3

    J 1 ds

    1E

    3E

    1I1R

    1U

    2U

    2I

    2R

    4I

    4R

    3R3I

    4U

    convers

    sens

    bj

    3U

    1U 2U

    3U4U

    1n

    2n

    3n

    4n

    dlSens

    convenional

  • 58

    U k

    E kI k

    Demonstraie: Se aplic teorema potenialului electric pentru regim staionar. Teorema este asemntoare din punct de vedere formal cu teorema

    potenialului electrostatic. 0=

    ldE

    =+++=+++=

    41342312

    3

    2

    1

    4

    4

    3

    2

    1

    UUUUldEldEldEldEldEn

    n

    n

    n

    n

    n

    n

    n

    04321 =+= UUUU

    Form particular a teoremei a II-a a lui Kirchhoff

    kkkk IREU =+

    kkkk EIRU = (2)

    Se nlocuiete (2) n (1) ( ) ==k

    kk

    kkk

    kkkk

    k EIREIRU

    = 0k

    kk

    kk EIR =k

    kk

    kk EIR

    (forma particular a teoremei a II-a a lui Kirchhoff)

    Enun: Suma algebric a cderilor de tensiune la bornele rezistoarelor de pe laturile care compun o bucl de circuit este egal cu suma algebric a tensiunilor electromotoare de pe acele laturi.

    Ex: 3144332211 EEIRIRIRIR =+

    Teorema conservrii puterilor n circuite de curent continuu Enun: Suma puterilor primite de laturile circuitului este zero.

    kkk UIP = - puterea primit de latura k

    01

    ==

    l

    kkkUI - forma general

    [ ] [ ] 0= UI t - forma matriceal

    ll

    l

    t

    l

    UIUIUI

    U

    U

    U

    I

    I

    I

    +++=

    LMM

    22112

    1

    2

    1

  • 59

    Demonstraie: [ ] [ ]ct IBI = [ ] [ ] BII tct = [ ] [ ]VAU t = [ ] [ ] [ ] [ ] 0== VABIUI ttct

    [ ]0= tAB Forma particular:

    ( ) 011

    2

    1

    === ===

    l

    kkk

    l

    kkk

    l

    kkkkkkkkk IEIREIRIEIRU

    ==

    =l

    kkk

    l

    kkk IEIR

    11

    2 - forma particular (bilanul puterilor)

    Enun: Suma puterilor consumate de toate rezistoarele circuitului este egal

    cu suma total a puterilor cedate de sursele de energie. Expresia matriceal a teoremei nti a lui Kirchhoff pe ntreg circuitul

    [ ] [ ]

    [ ] [ ] 1)1(1)1(1)1(

    0

    0

    =

    =

    nlln

    n

    I

    I

    Expresia matriceal a teoremei a II-a a lui Kirchhoff

    [ ] [ ] 10 = bUB - forma general

    [ ] [ ] 11 0 = bllb UB [ ] [ ] [ ] [ ]EIRUEIRU kkkk == - Se nmulete cu B la stnga

    [ ] [ ] [ ] [ ]= EBIRBUB [ ] [ ] [ ]EBIRB = (forma particular a teoremei a II-a a lui Kirchhoff.)

    Analiza circuitelor liniare de curent continuu cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff Analiza unui circuit electric presupune calcularea curenilor i tensiunilor

    laturilor atunci cnd se cunosc: natura elementelor componente; modul de interconectare al lor (topologia circuitului); parametrii elementelor componente 1) pentru elementele pasive - R. 2) pentru elementele active - E, J

    Pentru analiza unui circuit cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff se parcurg urmtoarele etape:

    1)Se identific elementele de topologie: numrul de laturi (l), numrul de

    noduri (n), numrul de bucle independente (b). Laturile se indexeaz cu cifre arabe n ordine cresctoare, toate elementele

    aceleiai laturi purtnd ca indice indexul laturii respective. Nodurile circuitului se indexeaz cbannn ,,sau ,, 321 .

  • 60

    Se aleg sensuri convenionale pentru curenii laturilor (sensul curentului sensul tensiunii electromotoare).

    Se cere: 51 II K ; 51 UU K i bilanul puterilor l =5; n =3; b = l-n+1 =3 Se identific buclele independente i se aleg sensuri convenionale de

    parcurgere (sensuri arbitrare). 2) Se construiesc ( )1n ecuaii cu teorema I a lui Kirchhoff. Se construiesc b ecuaii cu teorema a II-a a lui Kirchhoff. Ansamblul acestor ecuaii formeaz un sistem de ecuaii cu l necunoscute.

    [ ][ ] [ ] [ ]EBIRBTIT

    =

    =

    )(

    0)(

    2

    1 [ ] [ ][ ]

    [ ]

    =

    EB

    IRB

    n 1)1(0

    (expresia matriceal a teoremelor lui Kirchhoff pentru ntregul circuit) Pentru exemplu:

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    1

    4

    4

    2

    2

    8

    12

    12

    5

    4

    3

    2

    1

    4

    2

    1

    RRRRREEE

    V

    V

    V

    1b

    2b

    3b

    E1

    E2

    R1R2 R3

    R4

    R5

    I 1

    I 2

    I 3

    I 4

    I 51n

    2n

    E4

    n3

    =

    ++

    =

    = 0

    00111110011

    4321

    521

    5

    4

    3

    2

    1

    IIIIIII

    IIIII

    ( )( )( )( )( )

    =+

    +=++

    +=+

    =++

    =

    EIRIRbEIRIRIRb

    EEIRIRbIIIIn

    IIIn

    444333

    25533222

    2122111

    43212

    5211

    :

    :

    :

    0:

    0:

    0111110011

    1l 2l 5l4l3l

    =

    011001011100011

    =B 0

  • 61

    [ ]

    =

    RR

    RR

    R

    R

    5

    4

    3

    2

    1

    0

    0

    [ ]

    =

    =

    4

    2

    21

    4

    2

    1

    0

    0011001011000011

    E

    E

    EE

    E

    E

    E

    EB

    3)Rezolvarea sistemului de ecuaii (De preferabil s se foloseasc forma matriceal i s se aplice o metod de

    eliminare de tip Gauss) sau se poate aplica regula lui Cramer.) [ ] = NIMM 1 [ ] NMI = 1

    )det(M= ;

    = kkI , k =1,2,l

    n urma calculelor

    =

    =

    =

    =

    =

    A

    A

    A

    A

    A

    IIIII

    4

    3

    1

    2

    2

    5

    4

    3

    2

    1

    kkkk EIRU =

    ==

    ==

    ==

    ==

    ==

    VIRU

    VEIRU

    VIRU

    VEIRU

    VEIRU

    44

    488

    555

    4444

    333

    2222

    1111

    [ ]

    =

    011001011000011

    RB

    RR

    RR

    R

    5

    4

    3

    2

    1

    0

    0

    =

    00000

    000

    43

    532

    21

    RRRRR

    RR

    [ ][ ]=IRB

    00000

    000

    43

    532

    21

    RRRRR

    RR

    =

    =+

    =

    =

    0

    0

    0

    4433

    553322

    2211

    5

    4

    3

    2

    1

    IRIRIRIRIR

    IRIR

    IIIII

  • 62

    ( ) 724134142222 22222255

    2

    22

    2

    11=++++=+++ IRIRIR

    7238212212442211

    =++=+++ IEIEIE

    ERI

    U

    Cele cu semnul - au sensurile reale opuse fa de sensurile convenionale alese la nceput.

    4)Verificarea calculelor cu ajutorul bilanului puterilor

    Puterea consumat:

    Puterea cedat:

    Metode operative de analiz a circuitelor liniare de curent continuu 1) Metoda curenilor de contur (metoda curenilor de bucl sau metoda

    curenilor ciclici)

    EIRUIREU ==+ Pentru ntregul circuit:

    (1) (2) Se nlocuiete (2) n (1) dup ce s-a nmulit expresia (1) la stnga cu matricea

    B.

    Notaie:

    [ ]Rb bb - matricea rezistenelor buclelor [ ]Eb b 1 -vectorul tensiunilor electromotoare ale buclelor Relaiile ( )3 i ( )3 sunt expresiile metodei curenilor de contur, respectiv un

    sistem de b ecuaii cu b necunoscute. Necunoscutele sunt curenii laturilor coarborelui asociat circuitului n numr 1+= nlb .

    = =

    5

    1

    5

    1

    2

    k kkkkk IEIR

    { {consumat putere

    surse de cedat putere

    [ ] [ ][ ] [ ]EIRBUB = | [ ] [ ]IBI Ct=

    [ ] [ ] [ ] [ ]EBIBRUB Ct =

    [ ] [ ]RBRB bt = [ ] [ ]EEB b=[ ]EIR bCb = ( )3

    [ ] 0=UB [ ] [ ] [ ]EBIBRB Ct =(Teorema a II-a a lui Kirchhoff) (3)

  • 63

    I C1

    I C2 I C3

    1b

    2b3b

    ( ) EERIRRI CC 2122211 +=++

    Aceti cureni pot fi considerai ca i cureni fictivi care parcurg buclele formate prin adugarea laturilor coarborelui la arbore ( bucle independente). Dup rezolvarea sistemului i aflarea curenilor CI se calculeaz curenii tuturor laturilor cu ajutorul expresiei (2).

    321 ,, ccc III - cureni de bucl

    21 RR + - suma rezistenelor laturilor buclei parcurse de 1CI

    2R - rezistena laturii parcurs simultan de 21 , CC II

    21 EE + - suma algebric a tensiunilor electromotoare de pe laturile buclei

    Semnul celui de-al doilea termen ( R2 ) este + dac 21 , CC II au acelai sens prin latura comun i - dac au sensuri contrare.

    Observaie: Metoda nu se preteaz pentru rezolvarea circuitelor care conin laturi de rezistene infinite.

    2) Metoda potenialelor noduri(metoda nodal) Se consider laturile unui circuit de tip general care are urmtoarea

    configuraie:

    =+

    =+

    =+

    1/2| 884

    12472

    1/2| 024

    32

    32C1

    21

    III

    IIII

    CC

    C

    CC

    =+

    =+

    =+

    22

    12472

    02

    32

    321

    21

    IIIII

    II

    CC

    CCC

    CC

    A

    A

    II

    IIIII

    CC

    CCC

    C

    32

    2

    422

    1246

    23

    231

    32

    =+

    =

    ==+

    =

    A

    A

    A

    A

    A

    IIII

    IIIIII

    II

    C

    C

    CC

    CC

    C

    4

    3

    1

    2

    2

    25

    34

    323

    212

    11

    ==

    ==

    ==

    =+=

    ==

    ( )( )

    =+

    ++++

    ERIRRIERIRIRRRI

    CC

    CCC

    432433

    233215322 |

    IREU =+

    EGUGI +=

    U

    ER

    I

    A

    J

    I B

  • 64

    JIIJII +== 0JEGUGI ++=

    [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]JEGUGI ++= ( )4[ ] [ ]VU t= ( )5

    [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

    =

    =

    ++=EGVG

    IJEGVGI t

    t

    0( )6

    [ ] [ ]= tn GG

    [ ] [ ] IVG S nn = ( )6

    03=V

    Teorema I a lui Kirchhoff n nodul A:

    Se nlocuiete (5) n (4) dup ce s-a nmulit la stnga expresia (4) cu matricea

    t (matricea de inciden laturi-noduri redus).

    - matricea conductanelor nodale

    [ ] [ ][ ]EGI

    nS= - vectorul curenilor de scurtcircuit nodali

    Expresiile (6), respectiv (6) reprezint sistemul de ecuaii de dimensiuni 1n care are ca necunoscute potenialele a 1n dintre nodurile circuitului scrise compact sub forma vectorului V. Potenialul celui de-al n-lea nod este considerat ca referin i uzual i se atribuie valoarea zero.

    ( ) ( )6,6 este expresia potenialelor nodurilor. Dup aflarea potenialelor se calculeaz curenii laturilor cu ajutorul relaiilor ( ) ( )5,4 .

    Se alege potenialul de referin i i se atribuie valoarea zero.

    ( ) ( ) EGEGGGVGGGV 22112125211 +=+++

    521 GGG ++ - suma conductanelor tuturor laturilor incidente n nodul 1n .

    2V - potenialul unui nod adiacent

    21 GG + - suma conductanelor laturilor care unesc cele dou noduri 1 i 2. Termenii ce se refer la potenialele nodurilor adiacente au ntotdeauna semnul

    minus. Nod adiacent -este legat de nodul pentru care se scrie ecuaia printr-o latur

    fr ramificaii (cel puin o latur).

    111EGI S = curent de scurtcircuit a laturii 1.

    Curentul de scurtcircuit al unei laturi este curentul care apare prin aceasta atunci cnd capetele ei se unesc cu un fir de rezisten nul.

    REIEIR SS

    1

    111

    11

    ==

    I S1n1

    n2

  • 65

    ( )n

    3R

    ( )1n

    03

    =I SE2

    n1

    n2

    EGI S 222 =

    ( ) ( ) EGEGEGGGVGGGGV 44221121143212 +=++++

    GGG 521 ++

    GG 21 +GG 21 +

    GGGG 4321 +++

    [ ]G n

    VV

    2

    1

    +

    +=

    EEGEGEGEG

    42211

    2211

    [ ]V I S n662

    21+=VV

    2| 26623

    21+=+ VV 2032 21 =+ VVVVV 482 22 == VVVVV 442

    1211

    21

    +=+=+

    ( )( )( )( )( )( ) A

    A

    A

    A

    A

    VVGIEVVGI

    VVGIEVVGIEVVGI

    EUGI kkkk

    4

    3

    1

    2

    2

    1355

    42344

    2333

    31222

    11211

    ==

    =+=

    ==

    =+=

    =+=

    +=

    rrqq

    F 321

    4 =

    E

    +

    E

    mF

    r

    10941

    9

    0

    =

    =

    Curenii de scurtcircuit se iau cu semnul + n membrul drept al ecuaiei nodale dac sensul lor este ctre nod i cu semnul - invers.

    Observaie: Metoda 2) nu se preteaz pentru circuite care conin laturi de rezisten nul sau conductan .

    Seminar:

    r - distana de la sarcina 1q la 2q .

    - permitivitate

  • 66

    ( )2cos1cos04

    += lE x

    x

    VVE

    ==

    [ ]r

    qVmVEldEV

    4;/; ===

    =P

    P

    ldEPVPV0

    )()( 0

    1) Se consider un fir rectiliniu finit, ncrcat uniform cu o sarcin electric distribuit liniar, aflat n aer. S se calculeze intensitatea cmpului electric E ntr-un punct aflat la distana a de firul nostru.

    CqvdqV

    V1; =

    =

    EDq

    sdE 00; ==

    rq

    EqEF 34==

    r

    2

    1

    1T

    a

    l r

    M

    dE

    xEd

    dE

    dl

    1

    2

    y

    ldrr

    rEd l 24

    = sinEdEd x = cosEdEd y =

    daldalal

    ctgctg

    === 2sin

    ; 1

    ( )

    +==

    =

    ==

    2

    1

    2

    12cos1cos04

    sin04

    2sin

    2

    sin2sin

    1

    04

    sinsin

    ald

    al

    a

    dalEx

    ar

    r

    a

    sinsin 204

    ldrE

    dEdl

    x=

  • 67

    ( )

    ==

    =2

    1

    2

    12sin1sin04

    cos04

    2sin

    2

    cos2sin

    1

    04

    ald

    al

    a

    dalE y

    ( )210

    sinsin4

    =aE

    ly

    0;cos0

    21 2=== EaE y

    lx

    0;00

    21 2==== EaE y

    lx

    h

    a 1n

    2n

    E

    3nE

    E

    E

    r1

    ar I < 0q

    sdE =

    ===+++=S SS SS ll

    rnEsdEsdEsdnEsdnEsdnEsdE iiiiii2 31

    13212

    ===V V

    vVV hrvdvdq2

    11

    0

    1

    0

    2

    1

    1 22 rE

    hrhrE ViVi ==

    0

    1

    2r

    E Vi =

    0

    1

    2r

    EV

    i=

    = 0q

    sdE e

    hrEsdEsdESS ll

    eee 22 ==

    Cazuri:

    2) Se consider un fir infinit lung cilindric cu raza a uniform ncrcat cu o sarcin q cu densitatea V , materialul avnd permeabilitatea .0

    S se calculeze intensitatea cmpului electric i potenialul electric ntr-un punct aflat la distana r de axa cilindrului. ??; == VE

    I.

    II. ar II >

  • 68

    r2

    0=V

    E ===V

    VV

    VV havdvdq2

    ra

    Eha

    hrE VeVe

    0

    2

    0

    2

    2 22===

    ( )aRrdrrdrrEVV

    R

    a

    R

    a

    R

    a

    R

    a

    VVVii

    22

    0000 4|

    222=====

    aRa

    rdra

    rdra

    EV VR

    a

    R

    a

    R

    a

    VVee

    ln0

    2

    0

    2

    0

    2

    21

    22

    ====

    1C 2C kC SCC

    =q ks CC11 =

    kkp CC d

    AdA

    Cr

    pl

    0==

    UQUCWdA

    C

    rk

    kpl 2

    121 20 ; ===

    pC

    FCFCFCFCFCFC 1;1;5;5,0;5,0;10 654321 ======

    Seminar

    Probleme: 1) ase condensatoare sunt legate ca n figur. Sarcina condensatorului

    Cq 45 10,5= . Se mai cunosc

    S se gseasc tensiunea.

  • 69

    A

    B

    1C

    2C

    3C

    4C

    5C

    6C

    M

    N

    MNU

    Cqq 465

    10==

    21111

    65

    6556

    65566

    5 ; =+

    =+==CCCCCCCCC

    qU AB

    VU AB 20010

    10

    6

    4

    21

    ==

    CCCUCq AB

    43343434

    111; +==

    Cq 46234

    101021

    102 ==

    A

    B

    1C

    2C

    34C56

    C

    M

    N

    1C

    2C

    ABC

    FCCCCCCq

    U eABee

    MN

    3110

    1031

    ; 111121

    ==++==

    VUU MNMN 6201010312

    103110

    102 2

    6

    4

    =

    =

    =

    FCCCCC 502

    1 ,43

    4334

    =+

    =

    FC CCCqqq ABAB 1;102 21

    21

    34564

    5634=+=+==+=

    2) ntre armturile unui condensator plan ce are 0 se introduc succesiv: a)o lam dielectric cu grosimea cmd 46,0= i 3,2=r ; b)o plac metalic cu grosimea ;46,0 cmd = lamele fiind paralele i de

    aceeai dimensiune cu armturile.

  • 70

    d

    1d2d

    d

    x

    y

    d

    +++++

    ++

    +

    1C 2C

    1

    h

    2

    S se calculeze capacitatea condensatoarelor n stare iniial 0C n cazul a) i

    b) ba CC , tiind c 22512cm .

    22512;8,0;46,0'';3,2';46,0' cmAcmdcmdcmd r =====

    R: FC 80 10361 = FCa

    8103,24

    1 = FCb810

    3,151 =

    a)

    Fd

    AC 82

    4

    90

    0 10361

    108,0102512

    10941

    =

    =

    =

    Fd

    dd

    Ad

    dd

    Addd

    AC

    rrrrr

    a8

    '

    0

    '21

    0

    ''2

    '''1

    0 103,24

    1'

    '''

    =+

    =++

    =++

    =

    b)

    21

    111CCCb

    += 21

    21

    CC

    CCCb +

    = x

    AC 01

    =

    y

    AC 02

    =

    Fdd

    A

    yx

    A

    y

    A

    x

    Ay

    A

    x

    A

    Cb800

    00

    00

    103,15

    1''

    =

    =+

    =+

    =

    3) Determinarea capacitii unui condensator cilindric

  • 71

    ?0 =C ?=r

    1d2d

    d

    kiR kiE

    ==

    =

    =

    =

    ==

    =

    2

    1222

    1 2

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    11221r

    r rh

    dr

    rhE

    dlE

    rhE

    dlE

    sdE

    ldE

    sdD

    ldE

    Q

    U

    Q

    VV

    C

    1

    2ln21

    21 2

    1r

    r

    hr

    dr

    h

    r

    r ==

    1

    2ln

    2

    r

    rh

    Ccil

    =

    4) Se consider un condensator plan de capacitate 0C ale crui armturi sunt

    dou discuri cu raza cmR 6= separate de un strat de aer cu grosimea cmd 1= . ntre armturile condensatorului este introdus o plac izolant de grosime mm3= ; paralel cu condensatorul. Capacitatea condensatorului devine 025,1 CC = .

    Se cere: 1)capacitatea iniial a condensatorului 2)permitivitatea relativ a materialului dielectri