1. TEORII GENERALE ALE FENOMENELOR ELECTROMAGNETICE. MARIMI

ELECTRICE FUNDAMENTALE. TEOREME SI LEGI DE BAZA.

1.1. INTRODUCERE

Electrotehnica se ocupa de studiul fenomenelor electrice si magnetice din punctul de vedere

al aplicatiilor lor in tehnica.

In linii mari, aplicatiile tehnice ale fenomenelor electrice si magnetice pot fi grupate in:

a) aplicatii electroenergetice (de curenti tari) care se refera la producerea, transportul,

distributia si utilizarea energiei electromagnetice;

b) aplicatii de telecomunicatii, telecomenzi, electronica (curenti slabi) care se refera la

producerea, prelucrarea, transmisia si receptia semnalelor purtatoare de informatii. Aceasta

clasificare nu este exhaustiva deoarece instalatiile electroenergetice contin dispozitive din cea de-

a doua categorie, dupa cum si electronica de putere presupune instalatii de curenti tari.

In principiu att problemele de electroenergetica ct si cele de telecomunicatii si electronica

pot fi studiate riguros in cadrul unor teorii ale cmpului electromagnetic.

Exista insa o clasa larga de aplicatii ale celor doua categorii de probleme, care se pot studia

in ipoteze simplificatoare, acceptabile din punct de vedere tehnic, in cadrul unei teorii mai simple

denumita teoria circuitelor electrice.

In comparatie cu teoria fenomenologica (macroscopica unde corpurile sunt presupuse a fi

medii continue) a lui Maxwell si Hertz care presupune un sistem de opt legi generale, la care se

adauga o serie de legi de material, descrise de ecuatii cu derivate partiale, teoria circuitelor

electrice cu parametrii concentrati se elaboreaza numai cu ajutorul celor doua teoreme ale lui

Kirchhoff, ecuatiile corespunzatoare fiind ecuatii diferentiale ordinare. Desi teoremele lui

Kirchhoff sunt consecinte ale legilor electromagnetismului, problemele si metodele de calcul din

cadrul teoriei circuitelor electrice sunt oarecum diferite de cele ale teoriei cmpului

electromagnetic.

Mai mult, se poate spune ca prelund concepte si metode ale stiintei sistemelor, teoria

moderna a circuitelor electrice s-a indepartat si mai mult de teoria cmpului electromagnetic. In

esenta teoria circuitelor electrice cu parametri concentrati este o teorie de retea si din punctul de

vedere strict al analizei (determinarea raspunsurilor la excitatii si conditii initiale date si

caracterizarea retelelor prin functii de retea cnd se cunoaste structura topologica a retelei, natura

si caracteristicile elementelor de circuit) si sintezei (realizarea unor retele la excitatii si raspunsuri

date) ea se poate in principiu elabora independent de teoria cmpului electromagnetic, postulnd

drept legi, relatiile celor doua teoreme ale lui Kirchhoff. In sens topologic conceptul de retea este

o structura algebrica, independenta de ecuatiile cmpului electromagnetic. Trebuie insa subliniat

ca exclusiv ca teorie de retea, teoria circuitelor electrice cu parametrii concentrati nu reuseste sa

explice unele fenomene, cum ar fi efectele de difuzie ale cmpului electromagnetic (efect

pelicular, de proximitate, curenti turbionari) fiind necesara in aceste cazuri elaborarea unei teorii

de cmp a circuitelor. In general insa, este de mai multa vreme acreditata ideea ca teoria

circuitelor electrice poate fi studiata ca o teorie de retea.

1.1.1. Scurt istoric al dezvoltarii electrotehnicii

Desi electricitatea si magnetismul erau cunoscute inca din antichitate (electrizarea prin

frecare a chihlimbarului, numit electron in limba greaca, a fost descrisa de Thales din Milet in

sec. al VI-lea i.e.n., iar magnetismul, in special cel natural, al oxidului de fier magnetita numit

astfel ca se extragea din apropierea localitatii Magnezia din Asia Mica era cunoscut cu mult

inainte) prima lucrare care se referea la fenomenele electrice si magnetice, apare abia in 1600

fiind intitulata Despre magneti si apartinnd medicului si fizicianului W. Gilbert.

Dezvoltarea electrotehnicii este rezultatul muncii colective a numerosi oameni de stiinta,

ingineri si tehnicieni din lumea intreaga. Totusi o trecere in revista a principalelor jaloane care au

marcat ridicarea edificiului electrotehnicii actuale se impune.

In 1785, Ch. A. Coulomb prin masurari efectuate cu balanta de torsiune, stabileste primele

relatii cantitative ce caracterizeaza interactiunile dintre particulele incarcate electric, si prin

analogie dintre polii magnetilor.

In 1790 medicul L. Galvani descopera actiunea fiziologica a curentului electric care i-au

permis fizicianului A. Volta construirea in anul 1800 a primei pile electrice.

In 1919 C. H. Oersted studiind actiunea mecanica pe care o exercita un conductor parcurs

de curent electric asupra unui ac magnetic stabilea o interactiune intre doua clase de fenomene

considerate pna atunci cu totul distincte: fenomenele electrice si fenomenele magnetice.

In 1820 A. M. Ampre studiaza fortele electrodinamice dintre conductoare parcurse de

curenti electrici.

In 1826 G. S. Ohm a stabilit relatia dintre U si I curentului electric pentru un circuit electric

neramificat.

In 1847 G. R. Kirchhoff a formulat teoremele care ii poarta numele, pentru rezolvarea

distributiei curentilor electrici in circuitele ramificate.

In 1831 M. Faraday a descoperit fenomenul de inductie electromagnetica si a introdus

pentru prima data notiunea de cmp prin intermediul careia, se transmit in spatiu si in timp

actiunile ponderomotoare, idee directoare care a permis explicarea corecta a fenomenelor

electrice si magnetice constituind un pas hotartor in dezvoltarea fizicii. Tot el a stabilit in 1834

legile cantitative ale electrolizei.

In 1833 E. H. Lenz a formulat regula pentru determinarea sensului curentului indus iar in

1843 J. P. Joule a descoperit legea efectelor calorice ale curentului electric.

Aplicarea ideilor lui Faraday in domeniul electromagnetismului s-au datorat lui J. C.

Maxwell care, in celebra sa lucrare Tratat despre electricitate si magnetism (1873) a pus bazele

teoriei macroscopice a electromagnetismului. Tot el a prevazut teoretic existenta undelor

electromagnetice (puse in evidenta din punct de vedere experimental in 1888 de catre H. Hertz) a

curentului de deplasare (1862) si a elaborat teoria electromagnetica a luminii (1865).

Progresul cunostintelor despre fenomenele electrice si magnetice a fost insotit de o

dezvoltare prodigioasa a aplicatiilor practice la care si-au adus contributia V. V. Petrov, H. Davy,

A. N. Lodghin, T. A. Edison, M. H. Jacobi, A. Pacinoti, W. Siemens, G. Terraris, N. Tesla, S.

Morse, M. O. Dolivo-Dobrovolschi, G. Bell, A. S. Popov, G. Marconi, J. A. Fleming, Lee de

Forest, A. Iliovici (cercetator romn care a trait in Franta). Progresul electrotehnicii ramne strns

legat de dezvoltarea bazelor ei teoretice la care, in afara de cei mentionati anterior, au contribuit:

M. Lomonosov, B. Franklin, T. J. Seebeck, J. B. Biot, F. Savart, P. Laplace, O. Heaviside, W.

Weber, P. N. Lebedev, A. Blondel, R. Becker, W. Rudenberg, E. Warburg, G. Kron (cercetator

romn care a trait in S.U.A.), V. K. Arkadiev, P. L. Kalantarov, A. Sommerfeld.

In tara noastra au adus contributii importante la studiul teoretic si experimental al

electrotehnicii: acad. N. Vasilescu Karpen, primul in lume care a repudiat existenta si utilizarea

maselor magnetice la studiul magnetismului si a propus folosirea curentilor purtatori de inalta

frecventa in telefonia la mare distanta; acad. C. Budeanu cu contributii in studiul regimului

deformant, a puterii reactive si a factorului de putere in retelele electrice; prof. dr. D.

Hurmuzescu, initiatorul invatamntului electrotehnic; acad. St. Procopiu care a calculat primul in

lume (1912) momentul magnetic al electronului (impropriu numit magnetonul lui Bohr); acad.

R. Radulet care a adus contributii deosebite la dezvoltarea teoriei cmpului electromagnetic in

medii conductoare masive, definind parametrii tranzitorii intr-o forma generala, intemeietorul

scolii romnesti de cercetare electrotehnica bazata pe teoria cmpului, presedinte al Comisiei

Electrotehnice Internationale intre anii 1964 1967.

1.2. BAZELE FIZICE ALE ELECTROTEHNICII

1.2.1. Cmpul electromagnetic

1.2.1.1. Conceptul de cmp electromagnetic

Experienta a aratat ca, in anumite stari specifice, corpurile au proprietati a caror

caracterizare necesita introducerea unor noi marimi, numite marimi electrice si magnetice.

Experienta a mai aratat ca, atunci cnd se gasesc in asemenea stari, intre corpuri se exercita unele

interactiuni (forte si cupluri) specifice numite electromagnetice. Conform conceptiilor moderne,

acestea sunt efectul interactiunii corpurilor cu un sistem fizic distinct de ele, numit cmp

electromagnetic, ce poate exista in interiorul si in afara lor si care permite transmiterea acestor

actiuni din aproape in aproape in timp si spatiu. Cmpul electromagnetic poate exista si

independent de corpuri. El este intotdeauna purtator de energie si impuls, pe care le transmite cu

o viteza foarte mare, egala cu viteza de propagare a luminii in mediul respectiv.

In cele ce urmeaza se expune teoria fenomenologica (macroscopica) a cmpului

electromagnetic, fundamentata prin lucrarile lui M. Faraday, J. C. Maxwell si H. Hertz. Aceasta

teorie, care aproximeaza corpurile prin medii continue constituie baza electrotehnicii, adica a

studiului fenomenelor electrice si magnetice din punctul de vedere al aplicatiilor tehnice.

In cadrul teoriei fenomenologice a cmpului electromagnetic se disting urmatoarele

regimuri de desfasurare a fenomenelor electromagnetice:

Regimul static caracterizat prin faptul ca marimile nu variaza in timp si J=0 ceea ce inseamna ca nu au loc transformari energetice. Este singurul regim al cmpului

electromagnetic, in care fenomenele electrice si magnetice se produc independent si se

pot studia separat;

Regimul stationar caracterizat prin aceea ca marimile nu variaza in timp, dar J0 deci in general au loc transformari energetice;

Regimul cvasistationar caracterizat printr-o variatie in timp a marimilor, suficient de lenta, pentru a putea neglija fenomenul de radiatie electromagnetica;

Regimul nestationar (dinamic) corespunde cazului cel mai general de variatie in timp a marimilor.

1.2.1.2. Marimile primitive ale teoriei fenomenologice

Dupa modul in care se introduc in teorie, marimile fizice se impart in doua categorii:

marimi derivate introduse pe baza unor relatii de definitie in functie de alte marimi considerate

cunoscute si marimi primitive, introduse direct pe calea unor experiente idealizate, care

evidentiaza anumite procedee de masurare a acestor marimi. In cazul unei teorii date alegerea

marimilor primitive este relativa, dar numarul lor este invariant. In teoria fenomenologica a

cmpului electromagnetic se folosesc urmatoarele marimi primitive:

1. intensitatea cmpului electric E ;

2. inductia electrica D ;

3. sarcina electrica q;

4. momentul electric p ;

5. densitatea curentului electric J ;

6. intensitatea cmpului magnetic H ; 7. inductia magnetica B ;

8. momentul magnetic m . Principalele relatii de natura experimentala folosite la masurarea unora din aceste marimi

primitive sunt:

EqF = (1.1)

Expc = (1.2)

BxvqF = (1.3)

Bxmc = (1.4)

unde: F = forta exercitata de cmpul electric (fig. 1.1), respectiv magnetic (fig. 1.2);

c = momentul cuplului exercitat de cmpul electric respectiv magnetic asupra unui mic

corp cu momentul electric p , respectiv magnetic m (fig. 1.3);

v = viteza cu care se deplaseaza corpul punctual fata de mediul inconjurator (presupus un fluid sau practic aerul).

F F C

E B

q q

)B(E

v )m(p Fig. 1.1 Fig. 1.2 Fig. 1.3

Dupa modul in care transmit prin contact starea de electrizare, corpurile se clasifica in:

conductoare; izolanti (dielectrici); semiconductoare.

Starea electrocinetica a conductoarelor, caracterizeaza prin densitatea J a curentului electric se poate recunoaste dupa efectele ce insotesc aceasta stare: mecanice, magnetice,

electrice, calorice si chimice.

Caracterizarea globala a starii electrocinetice in raport cu o anumita suprafata se face cu

ajutorul intensitatii curentului electric de conductie definit ca integrala in raport cu acea suprafata

a vectorului densitatii curentului electric.

i = dS nJ

S

(1.5)

in care n este versorul normalei la suprafata.

J

n

dS

(S)

Fig. 1.4

1.2.1.3. Marimi derivate ale teoriei fenomenologice

Se definesc in functie de marimile primitive ale teoriei. Ele caracterizeaza anumite

proprietati obiective ale sistemelor fizice sau fenomenelor studiate.

a) Densitatile de sarcina electrica.

Daca corpurile incarcate electric au dimensiuni finite, caracterizarea starii lor de electrizare

numai prin sarcina electrica totala se dovedeste nesatisfacatoare. Pentru caracterizarea locala a

acestei stari, dupa cum sarcina electrica este repartizata in volumul, pe suprafata sau de-a lungul

anumitor curbe ale corpurilor se definesc:

densitatea de volum a sarcinii electrice

v = dv

dq

v

qlim

0v=

(1.6)

densitatea de suprafata a sarcinii electrice

s = dS

dq

S

qlim

0S=

(1.7)

densitatea de linie a sarcinii electrice

l = dl

dq

l

qlim

0l=

(1.8)

in care q este sarcina ce revine elementului de volum v, de arie S sau de curba l. b) Tensiunea electrica. Fluxul electric.

De obicei, fenomenele electrice nu se descriu cu marimi locale, care caracterizeaza cmpul

intr-un anumit punct, ci cu marimi globale (integrale) definite in raport cu anumite domenii

(volume, suprafete, curbe). Astfel tensiunea electrica se defineste ca integrala de linie a

intensitatii cmpului electric de-a lungul unei curbe date C, intre doua puncte A si B (fig. 1.5).

UAB(C)= )C(AB

dlE = )C(AB

cos Edl = )C(AB

Etdl (1.9)

Fig. 1.5 Fig. 1.6 Fig. 1.7

Tensiunea electrica intervine in numeroase expresii de exemplu in formula lucrului

mecanic efectuat la transportarea unei sarcini electrice punctuale q pe parcursul mentionat:

LAB(C) = )C(AB

dlF = q )C(AB

dlE = qUAB(C) (1.10)

Daca tensiunea se calculeaza de-a lungul unei linii de cmp ea capata forma mai simpla:

UAB(C) = )C(AB

Edl (1.11)

Daca cmpul electric este omogen (fig. 1.6) relatia (1.9) devine:

UAB(C) = dE = Ed cos (1.12) Daca tensiunea se calculeaza de-a lungul unei curbe inchise ea se numeste tensiune

electromotoare (t.el.m.) si se noteaza cu e (uneori cu Ue) careia i se ataseaza si un indice ce

precizeaza curba de integrare:

er = r dlE (1.13) Tot astfel se numeste flux electric in raport cu o anumita suprafata, integrala pe acea

suprafata a inductiei electrice:

S = S dSnD = S ndSD (1.14) S = DS cos (1.15) c) Fluxul magnetic. Tensiunea magnetica.

Pentru caracterizarea globala a proprietatilor cmpului magnetic, prin analogie cu marimile

electrice corespunzatoare se definesc.

fluxul magnetic in raport cu o anumita suprafata, ca integrala pe suprafata respectiva a

inductiei magnetice:

S = S dSnB = S ndSB (1.16) tensiunea magnetica ca integrala de linie a intensitatii cmpului magnetic de-a lungul unei

anumite curbe C, intre doua puncte oarecare A si B:

Um AB(C) = )C(AB

dlH (1.17)

Daca tensiunea magnetica se calculeaza de-a lungul unei curbe inchise, ea se numeste

tensiune magnetomotoare (Umm).

d) Intensitatea cmpului electric imprimat

Experienta arata ca starea electrocinetica a conductoarelor este insotita de existenta in

interiorul lor a cmpului electric, dar si a unei forme deosebite a cmpului, datorat in intregime

neomogenitatilor de structura fizica si compozitiei chimice a materialului si caracterizat prin

marimea numita intensitatea cmpului electric imprimat (Ei). Aceasta este astfel o constanta de

material, marime vectoriala locala de natura neelectrica.

Proprietatile globale ale cmpului electric imprimat in raport cu o anumita curba C sunt

exprimate de integrala de linie a vectorului Ei intre doua puncte A si B ale curbei, numita

tensiune electromotoare imprimata.

ei = )C(AB

i dlE (1.18)

Tinnd cont si de eventuala existenta a unui cmp electric imprimat, tensiunea

electromotoare in lungul unei curbe inchise se defineste in cazul general prin:

er = dl)EE(r i + (1.19)

1.2.1.4. Legile de material ale teoriei fenomenologice

In structura unei teorii constituite, privitoare la un anumit domeniu al fizicii

(electromagnetismul, de exemplu) se disting doua tipuri de relatii intre marimile ce descriu

procesele studiate.

O prima categorie o reprezinta legile relatii care exprima cele mai generale cunostinte

despre fenomenele domeniului cercetat si au un caracter axiomatic, neputnd fi justificate prin

analiza logica, ci numai prin abstractizarea si generalizarea unui mare numar de experiente, ca si

prin verificarea in practica a tuturor consecintelor ce decurg din teoria construita pe baza lor.

A doua categorie o reprezinta teoremele relatii ce se pot obtine deductiv din legi, prin

particularizari privind regimul sau anumite conditii particulare de desfasurare a unor fenomene.

Dintre legi, unele (numite de material) au un domeniu mai restrns de aplicabilitate, fiind

valabile pentru anumite regimuri ale cmpului electromagnetic sau pentru anumite proprietati

specifice ale corpurilor. Principalele legi de material ale teoriei fenomenologice ale cmpului

electromagnetic sunt urmatoarele:

a) Legea legaturii dintre inductia electrica si intensitatea cmpului electric

Pentru marea majoritate a dielectricilor folositi in mod curent (liniari si izotropi) este

valabila urmatoarea lege de material:

D = E (1.20) unde factorul de proportionalitate este o constanta pozitiva de material, numita

permitivitatea absoluta a materialului.

In cazul vidului avem:

D = 0 E (1.21) unde:

0 = [ ]m/F1094

19

pi (1.22)

este permitivitatea vidului, constanta universala a teoriei.

Raportul r = 0

(1.23)

se numeste permitivitate relativa a materialului fiind o constanta de material adimensionala.

b) Legea legaturii dintre inductia magnetica si intensitatea cmpului magnetic

Pentru o clasa foarte mare de materiale magnetice (liniare si izotropice) este valabila relatia

B = H (1.24) in care factorul de proportionalitate este o constanta magnetica a materialului. In vid relatia devine:

B = 0 H (1.25) unde 0 = 4pi10-7[H/m] (1.26) este o constanta universala a teoriei, numita permeabilitate magnetica a vidului.

Marimea r = 0

(1.27)

se numeste permeabilitatea magnetica relativa a mediului si este o constanta de material

adimensionala.

c) Legea conductiei electrice

Starea electrocinetica a conductoarelor este efectul existentei unui cmp electric in

interiorul lor. Legea conductiei electrice (legea lui Ohm) stabileste relatia de dependenta dintre

densitatea curentului electric de conductie si intensitatea cmpului electric in orice punct din

interiorul unui conductor. Lund in consideratie si eventuala existenta a unui cmp electric

imprimat, pentru materialele liniare si izotrope, aceasta relatie devine JEEi

=+ (1.28) in care factorul de proportionalitate este o constanta de material numita rezistivitate care

depinde de anumiti factori fizici

= 0 [1 + ( - 0)] (1.29) unde si 0 sunt valorile rezistivitatii la temperaturile si 0 iar este coeficientul de

temperatura al rezistivitatii, constanta de material pozitiva (metalele) sau negativa (carbunele).

Forma cea mai simpla a legii conductiei electrice este forma locala exprimata prin (1.28).

Dintre formele integrale, cea mai importanta este cea valabila pentru conductoarele filiforme. La

conductoarele filiforme, cu o foarte buna aproximatie se poate presupune ca are loc repartizarea

uniforma a curentului electric pe sectiunea normala a conductorului. Conform relatiei (1.5):

i = dSnJ

S

rezulta i = SJ (1.30)

1.2.1.5. Legile generale ale teoriei fenomenologice

In structura oricarei teorii fizice cea mai mare importanta o au legile generale, adica acele

legi ale caror valabilitate nu este restrnsa de nici un fel de considerente privitoare la regimul de

desfasurare a fenomenelor sau la natura materialului.

a) Legea inductiei electromagnetice

In forma integrala legea se enunta astfel:

Tensiunea electromotoare produsa prin inductie electromagnetica in lungul unei curbe

inchise este egala cu viteza de scadere in timp a fluxului magnetic prin orice suprafata S ce se sprijina pe curba data (fig. 1.8).

Fig. 1.8

e = dt

d S

sau dSnBdt

ddlE

S

=

In regim electrostatic si in regim electrocinetic stationar (in curent continuu) in care

masurile sunt invariabile in timp (dt

d0) relatia devine:

0dlE =

(1.33)

forma denumita teorema potentialului electrostatic respectiv teorema potentialului

electrocinetic stationar.

b) Legea circuitului magnetic

Forma integrala a legii se enunta astfel:

Tensiunea magnetomotoare in lungul unei curbe

inchise este egala cu suma dintre curentul total de

conductie ce strabate orice suprafata S care se sprijina

pe curba si viteza de crestere in timp a fluxului electric prin aceeasi suprafata (fig. 1.9).

Umm = iS +dt

dS (1.34)

Fig. 1.9

sau dSnDdt

ddSnJdlH

SS

+=

(1.35)

In regim magnetostatic, densitatea curentului electric de conductie fiind nula ( J = 0) si

marimile fiind invariabile in timp (dt

d 0) avem:

Umm =

dlH = 0 (1.36)

numita teorema potentialului magnetostatic.

Pentru dt

d 0 rezulta dSnJdlH

Srr

= numita teorema lui Ampre. Aplicatia 1.

Cmpul magnetic al unui conductor filiform rectiliniu foarte lung, parcurs de un curent

electric de conductie i (fig. 1.10).

idSnJr2HdlH ==pi=

(1.37)

Fig. 1.10

r2

iH

pi=

Aceste rezultat a fost stabilit si direct pe cale experimentala

de J. B. Biot si F. Savart.

c) Legea fluxului magnetic

Experienta arata ca in orice moment fluxul magnetic prin

orice suprafata inchisa Si este nul.

Si = 0 sau dSnB

Si

= 0 Tinnd cont de faptul ca normala la suprafata inchisa este

intotdeauna indreptata spre exteriorul suprafetei iar cea de la o suprafata deschisa se asociaza

dupa legea burghiului drept cu sensul de parcurgere a curbei inchise ce o delimiteaza, se poate

demonstra pornind de la relatia (1.5) ca fluxul magnetic prin orice suprafata deschisa ce se

sprijina pe o aceeasi curba inchisa are aceeasi valoare.

O alta consecinta a legii este aceea ca liniile cmpului de inductie magnetica sunt cu

necesitate curbe inchise.

d) Legea fluxului electric

In forma integrala aceasta lege afirma ca fluxul electric printr-o suprafata inchisa oarecare

Si este egala cu sarcina totala din volumul VSi inchis de aceasta suprafata

Si = qVsi (1.41) sau VSi

Si

qdSnD = (1.42) Ca si in cazul fluxului magnetic, sensul pozitiv al fluxului electric este sensul normalei

exterioare la suprafata inchisa considerata.

Din enuntul legii rezulta ca atunci cnd cmpul electric este determinat de sarcina electrica,

liniile cmpului sunt curbe deschise ce pornesc de pe corpurile incarcate pozitiv si se sfrsesc pe

cele incarcate negativ. Intre ele se aplica formula lui Coloumb:

2112312

2112 FR

R

qq

4

1F =

pi= (1.43)

e) Legea conservarii sarcinii electrice

In forma integrala, aceasta lege afirma ca intensitatea curentului electric de conductie ce

iese dintr-o suprafata inchisa este egala cu viteza de scadere in timp a sarcinii electrice din

interiorul suprafetei:

iSi = VSiqdt

d (1.44)

In regim static, J = 0 si marimile sunt invariabile in timp qVsi = constant. Conform acestui rezultat, suma algebrica a sarcinilor electrice ale unui sistem de

conductoare fizic izolat este constanta in timp.

In regim electrocinetic stationar (curent continuu) J 0, iar marimile ramnnd invariabile in timp relatia (1.44) devine:

iSi = dSnJ

Si

= 0 (1.45) rezultat numit teorema continuitatii de curent. Aplicnd relatia (1.45) unei suprafete inchise

ce inconjoara un nod N al unui circuit electric, adica un

punct de ramificare a mai multor laturi de circuit (fig.

1.11) se gaseste ca suma intensitatilor curentilor din

laturile incidente la acest nod este nula (prima teorema a

lui Kirchhoff pentru circuitele de curent continuu).

Fig. 1.11

Nk

kI = 0

I1 I2 + I3 + Ij Ik = 0

f) Legea transformarii de energie in procesul de

conductie electrica

Aceasta lege, a carei forma cea mai generala este

forma locala, stabileste puterea cedata de cmpul electromagnetic, conductoarelor in stare

electrocinetica.

Ea afirma ca densitatea de volum a puterii cedate de cmp conductoarelor in procesul de

conductie electrica este in fiecare punct egala cu produsul scalar dintre intensitatea cmpului

electric si densitatea curentului electric de conductie:

JEpj= (1.47)

Cu ajutorul expresiei (1.28) a legii conductiei electrice relatia se mai poate scrie:

pj = J2 JE i (1.48) Se observa ca termenul:

pec = J2 > 0 (1.49) corespunde efectului electrocaloric (Joule Lenz) reprezentnd densitatea de volum a

puterii pierdute ireversibil de cmpul electromagnetic si transformata in caldura.

Termenul pg = JE i (1.50) reprezinta densitatea de volum a puterii schimbate de cmpul electromagnetic cu sursele de

cmp electric imprimat.

In studiul circuitelor electrice este utila si o forma integrala a legii. Integrnd relatia (1.47),

se obtine puterea totala primita de aceasta din partea cmpului electromagnetic in procesul de

conductie electrica.

Pj = dlEi)nJS()dlE()dlnS()JE(dvp

)C(ABVVV

j === = Ufi (1.51) s-a luat aici dv = S dln . Conform formei integrale (1.30) a legii conductiei pentru conductoare filiforme, se poate

insa scrie:

Pj = Ri2 ei (1.52)

unde termenul Pec = Ri2 > 0 (1.53)

este puterea dezvoltata prin efect electrocaloric iar termenul

Pg = ei este puterea algebrica cedata de sursa de cmp electric imprimat cmpului

electromagnetic (puterea cedata sau primita dupa cum Pg > 0 sau Pg < 0).

In regim electrocinetic stationar (c.c.) relatia (1.52) devine:

Pb = UbI = RI2 EI (1.54)

S-a inlocuit notatia Pj cu Pb puterea algebrica primita de conductor pe la borne.

1.2.1.6. Sisteme de unitati de masura

Orice domeniu al fizicii este caracterizat de un sistem complet de marimi, primitive si

derivate.

Unitatile de masura ale unui numar minim dintre acestea, numite marimi fundamentale sunt

suficiente pentru a putea determina unitatile de masura ale celorlalte marimi, numite secundare.

Pentru un domeniu al fizicii, numarul marimilor fundamentale este fix, dar alegerea lor este

arbitrara. In mecanica numarul lor este de trei, iar alegerea consacrata este urmatoarea: lungime

m, masa kg si timp s. Sistemul de masura este MKS.

Odata cu abordarea unui nou domeniu al fizicii, grupul marimilor fundamentale se largeste.

O analiza arata ca numarul noilor marimi fundamentale ce trebuie introduse este egal cu numarul

constantelor universale independente ale teoriei. In electromagnetism s-au introdus doua

constante universale 0 si 0 dar intre ele se demonstreaza ca exista relatia: 00 = 1/c2 (c fiind viteza luminii) astfel ca una singura este independenta.

Daca alegem 0 ca marime fundamentala este ales coulomb iar daca alegem 0 avem amperul. Cel mai folosit este A deci avem sistemul MKSA care este folosit in tehnica si se mai

numeste si sistem international SI.

In acest sistem, unitatile de masura ale marimilor primitive derivate (specific electrice si

magnetice) introduse ca si simbolurile lor sunt urmatoarele:

intensitatea cmpului electric (E) volt/metru [V/m]; inductia electrica (D) coulomb/m

2 [C/m2];

sarcina electrica (q) coulomb [C]; momentul electric (p) coulomb metru [Cm]; densitatea curentului electric de conductie [ ]J amper/m2 [A/m2]; intensitatea curentului electric de conductie (i) amper [A]; intensitatea cmpului magnetic (H) amper/metru [A/m]; inductia magnetica (B) tesla [T]; momentul magnetic (m) amper metru

2 [Am2];

tensiunea electrica (u, e) volt [V]; flux electric () coulomb [C]; tensiunea magnetica (Um) amper [A]; fluxul magnetic () weber [Wb]; permitivitatea () farad/metru [F/m]; permeabilitatea () henry/metru [H/m]; rezistivitatea () ohm metru [m]; rezistenta electrica (R) ohm []; conductia electrica (G) siemens [S].

Mai sunt cunoscute si folosite (mai ales in fizica teoretica) si alte sisteme de unitati de

masura grefate pe sistemul mecanic CGS (cm g s); CGS electrostatic; CGS electromagnetic si

mai ales Gauss.

2. ELECTROSTATICA. MARIMI ELECTRICE, LEGI SI TEOREME

Electrostatica se ocupa cu studiul starilor si fenomenelor determinate de prezenta

sarcinilor electrice constante in timp, situate pe corpuri in stare de repaus in raport cu un

sistem de referinta. Deci, electrostatica este partea electrotehnicii care se refera la regimul

static al cmpului electromagnetic caracterizat, pe de-o parte prin particularitatea ca toate

marimile electrice de stare sunt constante in timp, iar marimile magnetice sunt nule si, pe

de alta parte, prin lipsa posibilitatii de transformare a energiei electrice in alte forme de

energie.

Marimile fizice primitive sunt: sarcina electrica q si momentul electric p .

Marimile de stare locala sunt E si D . Ca marimi derivate se folosesc: densitatea de sarcina electrica, potential electric, capacitate electrica.

2.1. SARCINA ELECTRICA

Sarcina electrica este o marime fizica scalara ce intervine in studiul starii de

electrizare a corpurilor. Se pune in evidenta prin experiente simple. Prin frecare, vergeaua

de sticla se incarca cu sarcini electrice pozitive, iar bara de ebonita cu sarcini electrice

negative.

Sarcina electrica negativa elementara apartine electronului avnd valoarea: q =

1,60210-19

C. Protonul din nucleu contine sarcina electrica pozitiva elementara, egala ca

valoare cu sarcina electronului. Unitatea de masura este C.

2.1.1. Repartitia sarcinilor electrice

Repartitia se descrie cu ajutorul unei marimi fizice derivate, denumita densitate de

sarcina electrica. Avem:

densitate de volum:

V= [ ]30v

m/Cdv

dq

v

qlim =

(2.1)

cunoscnd v, sarcina totala devine: q = v vdv densitatea de suprafata:

S = [ ]20S

m/Cds

dq

s

qlim =

sau q = ds

S

S (2.2) densitatea de linie:

llll ddqq

lim0

=

=

sau q = ll dL (2.3)

2.1.2. Dipolul electric

Prin dipol electric se intelege sistemul format din doua corpuri, incarcate cu sarcini

electrice punctiforme egale si de semne contrare +q si q situate la o distanta 1.

q l +q

Fig. 2.1

Marimea fizica vectoriala care caracterizeaza dipolul electric este momentul

electric al dipolului lqp = (2.4) unde l este un vector orientat de la sarcina negativa spre sarcina pozitiva.

2.2. TEOREMA LUI COULOMB

Folosind balanta electrica de torsiune si generaliznd datele experientelor efectuate,

Coulomb a stabilit forta de interactiune dintre doua sarcini electrice punctiforme q1 si q2

situate in vid la distanta r.

F = 2

0

21

r4

qq

pi

unde 0 = 91049

1

pi [F/m] (2.5)

Forma vectoriala de exprimare a teoremei lui Coulomb:

r20

21 ur4

qqF

pi

= (2.6)

2.3. CMPUL ELECTRIC IN VID

2.3.1. Notiunea de cmp

Prin notiunea de cmp se intelege o forma obiectiva de existenta a materiei in

miscare, deosebita de forma substanta.

Cmpul electromagnetic constituie o unitate intre cmpul electric variabil in timp si

cmpul magnetic variabil in timp. Experienta a dovedit, ca in cazul starilor variabile in

timp, variatia in timp a cmpului magnetic determina un cmp electric variabil in timp si

de asemenea, variatia in timp a cmpului electric determina un cmp magnetic variabil in

timp.

Cmpul electrostatic este una din starile limita ale cmpului electromagnetic,

determinata de sarcini electrice invariabile in timp, situate pe corpuri in repaus.

Cmpul magnetoscopic constituie o alta stare limita a cmpului electromagnetic,

determinata de magneti permanenti in repaus.

2.3.2. Intensitatea cmpului electric in vid

Cauzele care produc cmpul electric sunt sarcinile electrice ale corpurilor si cmpul

magnetic variabil in timp.

Cmpul electric produs de sarcini electrice se mai numeste si cmp electric

coulombian.

Marimea fizica vectoriala denumita intensitatea cmpului electric in vid, notata 0

E

se defineste cu ajutorul legii actiunii ponderomotoare adica a fortei exercitate asupra unui

corp de proba situat in cmpul electric. Corpul de proba este un mic corp electrizat care

poate fi asimilat cu o mica sfera metalica sau metalizata electrizata si suspendata de un fir

izolant.

Forta F , ce actioneaza asupra lui este direct proportionala cu sarcina qp a acestui corp.

Modificarea pozitiei corpului de proba in timp duce la schimbarea fortei F att ca

valoare ct si ca orientare, ceea ce demonstreaza ca F depinde si de o marime vectoriala ce caracterizeaza starea cmpului electric in punctul respectiv numita intensitatea

cmpului electric in vid.

Deci F = qp 0E (2.7) si este legea actiunii ponderomotoare unde qp este sarcina electrica pozitiva sau

negativa.

Rezulta: 0E = F /qproba Folosind teorema lui Coulomb si legea actiunii ponderomotoare in cmpul electric

static se poate stabili relatia de calcul a intensitatii cmpului electric determinat intr-un

punct din spatiu de o sarcina punctiforma q care produce cmpul si qp (Qp) sarcina

corpului de proba situat in punctul A din spatiu.

Se obtine 0pr20

pEQu

r4

qqF =

pi

= de unde rezulta:

[ ]m/V ur4

qE r

20

0

pi= (2.8)

Fig. 2.2

Vectorul de pozitie rurr = este orientat de la sarcina qp spre punctul A din spatiu.

2.3.3. Inductia electrica in vid

0E

F A

r qp(Qp)

qp>0 ru

Inductia electrica D este o marime fizica vectoriala, care alaturi de E caracterizeaza starea locala a cmpului electric.

In vid avem [ ]200 m/C ED = (2.9)

2.3.4. Liniile cmpului electric

Liniile cmpului electric sunt acele linii fictive din spatiu drepte sau curbe, la care

vectorul intensitatii cmpului electric este coliniar sau tangent in orice punct (fig. 2.3.).

Tubul de cmp este constituit din totalitatea liniilor de

cmp cuprins in interiorul unei suprafete ce se sprijina pe un

contur inchis si are o anumita sectiune transversala.

Ecuatia diferentiala a liniilor de cmp se obtine avnd

in vedere ca vectorii E si dl sunt coliniari, ceea ce

inseamna ca produsul lor vectorial este nul Exdl = 0.

Fig. 2.3

In coordonate carteziene avem:

kEzjEyiExE ++=

kdzjdyidxdl ++=

dzdydx

EzEyEx

kji

dlxE = = (Eydz Ezdy) i - (Exdz - Ezdx) j+(Exdy - Eydx) k

Fig. 2.4

Un vector este nul cnd toate componentele sale dupa cele trei axe sunt nule.

Rezulta ecuatia diferentiala a liniilor cmpului.

Ez

dz

Ey

dy

Ex

dx== (2.10)

2.3.5. Fluxul intensitatii cmpului electric

Fluxul O al vectorului intensitatii cmpului electric in vid se defineste prin integrala de suprafata a acestui vector.

= S 0O dsE (2.11)

2.3.6. Teorema lui Gauss

Se refera la fluxul vectorului E calculat pentru o suprafata inchisa (forma integrala a teoremei).

Conform acestei teoreme, fluxul lui 0E printr-o suprafata inchisa este proportional cu suma algebrica a sarcinilor electrice existente pe corpuri, in interiorul acestei

suprafete, factorul de proportionalitate fiind

0

1

adica

= q1

dsE0

Si 0 (2.12)

Daca in interiorul suprafetei inchise nu exista corpuri incarcate cu sarcini electrice

avem:

0dsESi 0

= (2.13) Pentru o sfera in interiorul careia am o sarcina q avem:

2

0

0r4

qE

pi= (2.14)

sau sub forma vectoriala:

r20

0 ur4

qE

pi= (2.15)

2.3.7. Potentialul electric si tensiunea electrica

Potentialul electric, notat cu V, este o marime fizica de natura scalara ce

caracterizeaza nivelul local (punctual) de electrizare, a carei valoare se modifica, att de

la un punct la altul al cmpului electric, ct si in timp. In regimul electrostatic, potentialul

electric este functie numai de spatiu, deci nu variabil in timp. Valoarea potentialului intr-

un punct din cmpul electric, se poate stabili numai in raport cu un potential electric de

referinta.

Se considera ca potential electric de referinta, potentialul pamntului sau potentialul

in punctele situate la distanta foarte mare de corpurile electrizate (la infinit). Valoarea

acestuia se considera conventional egal cu zero.

Diferenta de potential V1 V2 intre punctele P1 si P2 din cmpul electrostatic, in vid

(aer) se poate defini prin intermediul lucrului mecanic corespunzator fortei exercitate

exclusiv de cmp asupra corpului de proba ce se deplaseaza lent, dupa o traiectorie

oarecare din punctul P1 si P2.

F

ig. 2.5

0p EQF = si

dL = dlEQdlF 0p =

L1 2 = dlEQ2P

1P0p

unde dl este elementul de traiectorie luat in sensul deplasarii. Raportnd acest lucru mecanic la sarcina Qp, care se mentine constanta tot timpul

deplasarii, se obtine diferenta de potential intre cele doua puncte.

V1 V2 = L1 2/Qp = dlE2P

1P0 (2.16)

Diferenta de potential nu depinde de drumul parcurs de la un punct la celalalt, ci

numai de coordonatele celor doua puncte si de sensul de parcurgere al traiectoriei.

Pentru P2 foarte apropiat de P1 avem:

dV = dlE)VV(lim 0121P2P

=

Daca V2 este potential de referinta si egal cu V0 avem:

V1 = V0 + 2P1P 0 dlE (2.17) Daca P2 este la infinit atunci V2 = 0 si avem:

V1 = dlE1P 0 (2.18)

Potentialul intr-un punct din cmpul electrostatic este numeric egal cu lucrul

mecanic corespunzator fortei exercitate de cmp asupra corpului de proba incarcat cu

sarcina electrostatica unitara si pozitiva, cnd acest corp se deplaseaza din punctul

respectiv la infinit.

Daca cmpul electrostatic este produs in vid de un corp punctiform incarcat cu

sarcina Q, potentialul electrostatic intr-un punct P situat la distanta r de corp este:

V = pi=pi= r 20rr 20p 0 rdr

4

Qdlu

r4

QdlE (2.19)

unde rurr ;dldr ==

adica r4

QV

0pi= (2.20)

La avem V = 0.

2.3.8. Gradientul potentialului electric

Tinnd seama ca potentialul electrostatic este o functie de spatiu, V(x, y, z), variatia

potentialului pe distanta orientata dl se poate exprima cu ajutorul gradientului potentialului.

dV = dlVdzz

Vdy

y

Vdx

x

VdlV =

+

+

=

unde: kz

jy

ix

rrr

+

+

= (2.21) este operatorul vectorial a lui Hamilton (nabla).

kdzjdyidxdlrrr

++=

iar grad V = kz

Vj

y

Vi

x

VV

rrr

+

+

= (2.22) este gradientul potentialului electrostatic.

Vectorul gradient V este orientat in sensul in care potentialul are o crestere maxima pe unitatea de lungime. Daca dl este perpendicular pe vectorul V , se obtine dV = 0.

dV = dlV = dlE0 avem: gradVVE0 == (2.23) Conform relatiei, vectorul lui E este intotdeauna orientat in sensul in care

potentialul electrostatic, scade.

dl

P

P2

P3

P1

Qp

oE

2.4. RELATIILE FUNDAMENTALE ALE ELECTROSTATICEI

2.4.1. Teorema potentialului electrostatic

2.4.1.1. Forma integrala a teoremei

Se considera un cmp electric de intensitate 0E in vid si in el un contur inchis [] de-a lungul caruia se deplaseaza incet un corp punctiform incarcat cu sarcina electrostatica Qp>0.

Forta coulombiana ce actioneaza asupra corpului este:

0pEQF = . Fig. 2.6

Lucrul mecanic al fortei coulombiene F atunci cnd corpul incarcat cu Qp se deplaseaza de-a lungul conturului

inchis P P1 P2 P3 P este egal cu zero, respectiv diferenta de potential

Vp Vp = 0 = dlE0 (2.24) Aceasta relatie exprima teorema potentialului electrostatic sub forma integrala, care afirma ca

circulatia vectorului 0E pe un contur inchis este nula. In sens fizic, teorema precizeaza ca in cmpul electrostatic nu are loc o transformare de energie

dintr-o forma in alta prin intermediul lucrului mecanic.

Teorema nu este valabila in cazul cmpului electric variabil.

2.4.1.2. Formele locale ale teoremei

Din expresia 0E = grad V se deduce forma locala a teoremei:

Vkz

Vj

y

Vi

x

VgradVE =

+

+

==

rrr (2.25)

iar componentele vectorului E sunt:

Ex = x

V

; Ey = y

V

; Ez = z

V

La o repartitie data a potentialului, intensitatea cmpului electrostatic este univoc determinat.

Teorema se mai poate exprima local si prin ecuatii cu derivate partiale, satisfacute de componentele

vectorului E si exprimate sub forma vectoriala cu ajutorul rotorului lui E .

Dupa cum se stie din analiza vectoriala expresia rotorului lui E exprimat in coordonate carteziene este:

+

+

=

=

y

Ex

x

Eyk

x

Ez

z

Exj

z

Ey

y

Ezi

EzEyExzyx

kji

Erotrrr

Daca se calculeaza rot. E in care E = grad V

Avem rot. E = 0 (2.26)

Un cmp care deriva dintr-un potential intr-un anumit domeniu, are rot. E = 0 in orice punct al domeniului.

2.4.2. Legea conservarii sarcinii unui sistem de corpuri izolat electric

Suma algebrica a sarcinilor unui sistem de corpuri izolat electrostatic, este invariabila in timp.

.constQQn

1kk ==

=

(2.27)

2.4.3. Legea polarizarii electrice temporare

Starea locala a polarizarii electrice temporare a unui dielectric este dependenta de E ce se stabileste in dielectric. Legea ne arata:

EP e0t = (2.28) unde

e este susceptivitatea electrica, constanta adimensionala ce depinde de natura materialului si

de conditii neelectrice locale (temperatura, presiune etc.).

Pentru vid si aer e

= 0. 2.4.4. Legea legaturii dintre P i E ,D

In orice punct al unui mediu dielectric si in orice moment inductia electrica este egala cu suma

dintre E0 si polarizatie.

PED 0 += (2.29)

In mediile dielectrice izotrope, vectorii P i E ,D sunt coliniari, iar in mediile anizotrope nu sunt coliniari.

Un material se numeste izotrop daca are proprietati locale independente de directia la care se refera

si ca urmare sub actiunea unui cmp electric un material izotrop se polarizeaza temporar in directia

acestui cmp. Fluidele, solidele amorfe sunt izotrope. Polarizarea poate fi temporara sau permanenta. In

primul caz starea de polarizare se mentine numai in prezenta unui cmp electric exterior iar in al doilea

caz aceasta stare se mentine independent de cmpul electric exterior. Materialele care prezinta polarizare

electrica permanenta se numesc electreti.

Deci polarizarea va fi tp PPP += (2.30)

Pentru medii dielectrice izotrope fara polarizare electrica permanenta avem pP = 0 si PPt = .

EE)1(EEPED e0e000 =+=+=+= (2.31) unde: r0e0 )1( =+= unde: er 1 += ; t0 PEE += ; )(EP 0t = . Pentru vid 0= deci rezulta 0P t = . Daca mediul are si polarizare electrica permanenta legea devine:

ptp0 PEPPED +=++= (2.32) Un material se numeste anizotrop, daca proprietatile locale depind de directia la care se refera si, ca

urmare, in cazul aplicarii unui cmp electric exterior, cu o directie oarecare, polarizarea temporara are in

general alta directie. Astfel de materiale sunt cristalele. Exista dielectrici la care starea de polarizare la un

moment dat depinde de starea de polarizare anterioara (ex.: titanat de bariu) adica apare fenomenul de

histerezis electric.

Pentru dielectrici liniari si anizotropi.

EP e0t = ; [ ]m/F109941

0pi

= (2.33)

unde:

ezzezyezx

eyzeyyeyx

exzexyexx

e

= reprezinta tensorul susceptivitatii electrice.

Legea devine ED = (2.34)

unde cu )1( e0 += (2.35) s-a notat tensorul simetric al permitivitatii.

ds

Q1 D Q2

V1 V2

ds D

D

ds

d

2.5. CONDENSATOARE. CAPACITATEA ELECTRICA A CONDENSATOARELOR

Un ansamblu format din doua corpuri metalice (armaturi), separate intre ele printr-un mediu

dielectric neincarcat cu sarcini electrice libere, intre care se stabileste un cmp electric complet se

numeste condensator electric.

Parametrul prin care se caracterizeaza un condensator electric este capacitatea.

2.5.1. Capacitatea electrica a condensatorului plan

Prin definitie raportul dintre sarcina electrica libera, pozitiva Q1 cu care este incarcata una dintre

armaturi si diferenta de potential V1V2 dintre cele doua armaturi se pastreaza constant si poarta

denumirea de capacitatea electrica a condensatorului.

C = Q1/(V1 V2) [F]; 1F = 1C/1V Pentru condensator plan

Q1 = dsE = ES; V1 V2 = E d C =

d

S

Ed

ES =

(2.42)

unde:

- d - este distanta dintre armaturi;

- S - este suprafata armaturii.

Fig. 2.8

2.5.2. Capacitatea electrica a

condensatorului cilindric

Fig. 2.9

Avem:

1SiQhr2DDSdsD =pi==

Rezulta: D=Q1/2pirh si E=D/=Q1/2pirh.

Dar:

V1 V2 = pi=2M

1M

12M

1M r

dr

h2

QdlE

deci: V1 V2 =

1

21

r

rln

h2

Q

pi

unde E dr i drdl = . Deci C =

1

221

1

r

rln

h2

VV

Q pi=

(2.43)

unde:

- r2 este raza armaturii exterioare;

- r1 este raza armaturii interioare;

- h este lungimea armaturii.

2.5.3. Capacitatea electrica a condensatorului sferic

Calculnd fluxul electric prin suprafata sferica

de raza r avem:

12

Si

Qr4DDSdsD =pi== si in toate punctele ds i D sunt coliniari. D=Q1/4pir

2; E=D/=Q1/4pir

2.

Diferenta de potential dintre cele doua armaturi

se exprima:

Fig. 2.10

V1 V2 =

pi=

pi=

21

1r

r 21M

M r

1

r

1

4

Q

r

dr

4

QdlE

2

1

2

1

unde dr E i drdl = . Capacitatea condensatorului sferic se exprima:

C =

12

21

21

1

rr

rr4

VV

Q

pi=

(2.44)

unde:

- r1 este raza sferei interioare;

- r2 este raza sferei exterioare.

2.5.4. Capacitatea unui condensator cu doi dielectrici

Sunt cazuri cnd spatiul dintre cele doua armaturi ale unui condensator este ocupat de doi dielectrici

caracterizati de 1 si 2 de grosime d1 si d2. Fiind doua condensatoare plane legate in serie se obtine.

C1 =

1

1

d

S;

C2 =

2

2

d

S

Ce =

1221

21

21

21

ddCC

CC

+

=

+

(2.45)

Fig. 2.11

2.5.5. Gruparea condensatoarelor

2.5.5.1. Gruparea in serie

Fig. 2.12

Se considera condensatoarele cu capacitatile C1, C2,, Cn. Capacitatea echivalenta este Ce.

Deoarece 0QQ ,0QQ '22'11 =+=+ si, de asemenea, 0QQ ,0QQ 3

'22

'1 =+=+

rezulta:

Q1 = Q2 = = Qn = Q si ''

n'2

'1 QQQQ ===

Pe de alta parte U = U1 + U2 + + Un

sau

n21e C

Q...

C

Q

C

Q

C

Q+++= deci:

=

=

n

1i ie C

1

C

1 (2.46)

Daca C1 = C2 = C.

Se obtine Ce = C/n (2.47)

2.5.5.2. Gruparea in paralel

Fig. 2.13

Q1 + Q2+ + Qn = Q sau C1U + C2U + CnU = CeU de unde rezulta:

e

n

1ii CC =

=

(2.48)

Daca C1 = C2 = Cn = C rezulta Ce = nC (2.49)

3. ELECTROCINETICA. MARIMI ELECTRICE,

LEGI SI TEOREME

Electrocinetica se ocupa de studiul starilor si fenomenelor din interiorul conductoarelor parcurse de

curent electric de conductie. Purtatorii mobili de sarcini electrice a caror miscare ordonata determina

curentul electric de conductie sunt electroni liberi la metale (conductoare de categoria I-a) si ioni pozitivi

si negativi la electroliti (conductoare categoria II-a). La semiconductoare, purtatorii mobili de sarcini

electrice sunt electronii majoritari si golurile.

Starea electrocinetica a conductoarelor este insotita de degajare de caldura. La electroliti, formarea

ionilor si deplasarea lor este insotita de reactii chimice.

3.1. CARACTERIZAREA STARII ELECTROCINETICE A CORPURILOR CONDUCTOARE

In starea electrocinetica, sarcinile electrice se misca ordonat cu o anumita viteza, iar aceasta

inseamna ca E in metale si alte conductoare are valoare diferita de zero, ceea ce constituie deosebirea esentiala intre fenomenul electrostatic si fenomenul electrocinetic.

Mentinerea unui cmp electric E0, poate fi realizata cu ajutorul surselor. Legnd capetele unui conductor metalic la doua borne intre care se mentine o diferenta de potential V1V2=const., in interiorul

conductorului ia nastere un cmp electric constant.

Vectorul E este orientat de la un potential mare V1 spre potentailul mai mic V2. Asupra unui

electron liber din metal actioneaza forta F = Q E orientata in sens opus fata de E pentru ca Q

3.2.1.3. Curentul electric de deplasare

Se considera o suprafata S imobila, situata intr-un cmp electric variabil in timp. Curentul electric

de deplasare este determinat de viteza de variatie a fluxului electric prin suprafata respectiva.

Prin definitie, sensul pozitiv al curentului electric este sensul in care se misca sarcinile electrice

pozitive.

3.2.1.4. Intensitatea curentului electric de conductie

Este egala cu sarcina electrica, att pozitiva ct si negativa, ce trece printr-o sectiune a

conductorului in unitatea de timp:

i = dt

dQ

t

Qlim

0t=

(3.1)

Daca sarcinile electrice se deplaseaza in conductor cu viteza constanta curentul electric este

constant in timp (curent continuu), adica aceeasi sectiune este strabatuta de cantitati egale de sarcini

electrice in intervale de timp egale.

I = Q/t (3.2)

unde i = curent variabil in timp iar I este continuu.

Curentul electric este o marime scalara deoarece este definit ca raportul a doua marimi scalare.

Din relatia (3.1) si (3.2) rezulta:

Q = t0 idt (3.3) sau daca i = const. = I, atunci:

Q = It (3.4)

3.2.2. Densitati de curent

3.2.2.1. Densitatea curentului de conductie

Pentru caracterizarea locala a starii electrocinetice din conductoare se foloseste marimea vectoriala

J , denumita densitatea curentului de conductie, definita astfel inct fluxul acestui vector printr-o sectiune S a conductorului sa fie egal cu intensitatea curentului electric de conductie

i = s dsJ (3.5) Sensul vectorului J este sensul sarcinilor electrice pozitive sub actiunea fortei F = Q E , adica J

are acelasi sens cu E . In cazul particular cnd suprafata S este sectiune plana, transversala a conductorului iar densitatea

J are aceeasi valoare si orientare in toate punctele acestei sectiuni, adica J si ds sunt vectori coliniari (

= 0 si J = const.) din (3.5) se obtine:

I = SJ sau J = S

I (3.6)

In baza ultimei relatii, J se mai poate defini prin cantitatea de sarcini electrice ce strabat unitatea de suprafata in unitatea de timp.

J = tS

Q

S

I= (3.7)

Unitatea de masura pentru J este

2m

A

In cadrul proiectarii masinilor si aparatelor electrice J nu trebuie sa depaseasca anumite valori admisibile datorita efectului termic al curentului electric.

Liniile la care vectorul J este tangent se numesc linii de curent.

3.2.2.2. Densitatea curentului de deplasare

Se considera un condensator a carui stare de incarcare este variabila in timp

Se aplica legea fluxului electric printr-o suprafata

inchisa si imobila Si ce cuprinde in interiorul ei armatura cu

sarcina Q1 si se obtine:

= dsDSi = Q1 (3.8)

Fig. 3.2

D 0 numai in punctele suprafetei S din dielectric, iar in restul suprafetei Si, D = 0.

Rezulta:

= =s 1QdsD (3.9) Curentul electric de deplasare prin suprafata S este egal cu derivata in raport cu timpul fluxului

electric prin aceeasi suprafata:

iD= =

dt

dds

dt

Dd

S (3.10) iD= dsJ

SD unde DJ = dtDd este densitatea curentului electric de deplasare.

NOTA:

In conductorul metalic exista curentul de conductie cu densitatea J , iar in dielectrici exista curentul

de deplasare cu densitatea DJ , asigurndu-se in acest fel continuitatea liniilor de curent in circuitul

condensatorului. Cnd D = constant in timp (regim static) rezulta DJ =0.

3.2.3. Legatura dintre densitatea curentului de conductie si viteza de deplasare a sarcinilor

electrice

Consideram un conductor metalic in care sarcinile aflate in miscare sunt electronii. Notnd cu v densitatea de volum a sarcinilor si cu v vitezele lor, rezulta:

dQ = Vdv = VS v dt

de unde i = vSdt

dQV

=

Pentru densitatea de curent se obtine: J =

=

S

i v v sau vectorial.

Fig. 3.3

vJ v= (3.11)

3.3. CMPURI ELECTRICE IMPRIMATE

In afara de fortele determinate de cmpul electric ce actioneaza asupra purtatorilor mobili de sarcini

electrice asupra acestora mai pot actiona, in anumite conditii si forte care nu sunt de natura electrica. Daca

F ne este forta neelectrica si Q este sarcina asupra careia actioneaza, se poate spune ca F ne este o forta determinata de un cmp electric, denumit cmp electric imprimat , a carei intensitate este:

Q

FE

nei = (3.12)

Prin definitie, integrala de linie a intensitatii cmpului electric imprimat reprezinta tensiunea

electromotoare imprimata.

eci UdlE = (3.13)

a) disc metalic rotativ b) cmp imprimat termic

Fig. 3.4 Cmpuri imprimate

La echilibru E+ iE = 0 iE = E a) Cmpuri imprimate de acceleratie

Se considera un disc metalic ce se roteste cu viteza unghiulara foarte mare. Forta centrifuga ce actioneaza asupra electronilor liberi din metal ii deplaseaza spre periferia discului, in centru ramnnd

sarcinile pozitive necompensate. Vectorul lui E i este orientat radial de la periferia discului spre centru. b) Cmpuri imprimate termice

Se ia o bara din metal care este incalzita la unul din capete. Datorita energiei termice primite de la

sursa, electronii liberi se vor deplasa catre capatul mai rece, la capatul cald, ramnnd ionii pozitivi in

surplus. E i are sensul de la capatul rece spre capatul incalzit al barei. c) Cmpuri imprimate de concentratie

Se considera un vas separat in doua cpmpartimente printr-un perete poros. In cele doua

compartimente se pune HCl concentrat, respectiv diluat. In urma fenomenului de disociere electrolitica,

rezulta ioni pozitivi de H+ si ioni negativi de Cl

-. Mobilitatea ionilor de hidrogen fiind mult mai mare

dect a celor de clor, acestia difuzeaza mai usor, in numar mai mare, din compartimentul cu concentratie

mai ridicata in compartimentul cu concentratie mai scazuta.

In compartimentul cu solutia mai diluata apare un surplus de sarcini pozitive. Deci apare un cmp

electric imprimat in sensul de la compartimentul cu HCl concentrat catre HCl diluat.

d) Cmpuri imprimate de contact

Apar la elementele galvanice si la termoelemente. Elementele galvanice sunt surse chimice de

curent continuu la care energia chimica se transforma in energie electrica. Un element galvanic consta din

doi electrozi introdusi intr-un electrolit, la electrozi fiind legate cele doua borne plus si minus ale

elementului (pile electrice, acumulatoare etc.).

Termoelementele constau din doua metale A si B care puse in contact dau nastere unei tensiuni

electromotoare. Valoarea tensiunii masurate depinde de temperatura locului de contact (ex. termocuplele).

3.4. RELATII FUNDAMENTALE ALE ELECTROCINETICII

3.4.1. Legea conservarii sarcinilor electrice libere

3.4.1.1. Forma integrala

Se considera o suprafata Si, inchisa, imobila fata de sistemul de referinta, in interiorul careia se

gaseste o sarcina electrica libera Q.

Daca sarcina Q scade in timp, inseamna ca prin

suprafata Si trec sarcini negative din exterior spre interior

sau sarcini electrice pozitive din interior spre exterior.

Fig. 3.5

Miscarea are loc invers daca sarcina Q creste in

timp. Rezulta ca prin Si exista un curent de conductie .

Cnd sarcina scade, vectorul J este orientat spre exteriorul suprafetei, iar cnd creste spre interior.

Legea conservarii sarcinilor electrice libere

precizeaza ca: fluxul densitatii de curent J (intensitatea curentului electric de conductie) prin suprafata inchisa Si este egal cu viteza de variatie in timp, luata cu semn schimbat, a sarcinii electrice libere din

interiorul suprafetei, adica:

iSi= == vSi vSi dvdt

d

dt

dQdsJ (3.14)

Semnul minus se explica prin faptul ca atunci cnd Q scade, dQ < 0 dar dsJ > 0, ( < 900), dt este

de intotdeauna pozitiv. Cnd Q creste, dQ > 0 iar dsJ < 0 ( > 900). In regim electrocinetic stationar, marimile electrice si magnetice sunt invariabile in timp, deci Q =

const., dt

dQ = 0 si relatia (3.14) devine:

=Si 0dsJ (3.15) adica curentul electric de conductie prin suprafata inchisa Si este nul.

Acelasi rezultat se obtine si in regimul electric cvasistationar pentru care marimile variaza lent in

timp, deci dt

dQ0.

Trebuie sa se observe ca Sii este suma algebrica a curentilor care strabat suprafata Si spre exterior (cu semnul + cei ce ies si cu semnul cei ce intra).

Se poate da si o alta formulare acestei legi, considernd suprafata inchisa fixa. Variatia sarcinii din

interiorul unei suprafete fixe se datoreaza nu numai curentului de conductie ci si iesirii corpurilor

incarcate din suprafata, in urma miscarii lor fata de ea, adica curentul de convectie.

iv= Si v dSv (3.16) Cu aceasta observatie rezulta pentru legea conservarii sarcinii forma integrala dezvoltata.

i =+vSi

i ( ) dvt

dSvJ

v

v

Si v

=+ (3.17)

3.4.1.2. Forma locala

Aplicnd teorema Gauss-Ostrogradski se obtine: ( ) ( )dvvJdivdSvJV vSi v +=+ (3.18)

Intruct fluxul referitor la o suprafata inchisa este egal cu integrala de volum a divergentei

vectorului respectiv. Din relatiile (3.17) si (3.18) rezulta:

( ) 0dvvJdivt

V

vv

=

++

oricare ar fi volumul V.

Rezulta relatia:

vJ(divt

vv +=

) (3.19)

care reprezinta forma locala a legii conservarii sarcinii care se enunta astfel: viteza de scadere a

densitatii de sarcina intr-un punct dat este egala cu divergenta sumei dintre J (densitatea curentului de

conductie) si vv (densitatea curentului de convectie).

3.4.2. Legea conductiei electrice (Legea lui Ohm)

3.4.2.1. Forma locala

Legea (sub forma locala) are urmatorul enunt: in orice punct din cmpul electromagnetic in care

exista conductie electrica (miscare ordonata a purtatorilor de sarcina) suma dintre cmpul electric si

cmpul imprimat este egala cu produsul dintre densitatea curentului electric de conductie si rezistivitatea

materialului.

E + Ei = J (3.20) unde cu s-a notat rezistivitatea materialului care se exprima in S.I. in [ ]m . J = ( E + iE ) (3.21) unde cu s-a notat conductivitatea materialului care in S.I. se exprima in siemensi pe metru (S/m).

Daca se noteaza cu lE , intensitatea cmpului electric in sens larg avnd expresia:

iscl EEEE ++= (3.22)

unde cu cE s-a notat intensitatea cmpului electric coulombian (de natura potentiala, produs de

repartitia instantanee a sarcinii electrice), cu sE intensitatea cmpului electric indus (solenoidal, produs

de fluxul magnetic variabil in timp, in acord cu legea inductiei electromagnetice) iar cu iE , intensitatea cmpului electric imprimat de natura neelectrica (care se stabileste in conductoarele accelerate sau

neomogene din punct de vedere a structurii fizico-chimice) atunci marimea E care apare in (3.20) si (3.21) se numeste intensitatea cmpului electric in sens restrns avnd expresia:

scil EEEEE +== (3.23) Din acest punct de vedere, portiunile de circuite electrice pot fi: circuite electrice generatoare sau

surse, daca in lungul acestora exista cmp electric solenoidal indus din exterior sau cmp electric

imprimat, respectiv circuite electrice receptoare (prescurtat receptoare) daca in lungul acestora exista

numai cmp electric coulombian sau numai cmp electric solenoidal indus exclusiv de curentul din

circuit. Sub forma de mai sus legea conductiei electrice se refera la conductoare liniare, izotrope si

neomogene.

Pentru conductoare izotrope, liniare si omogene avem: JE = sau EJ = iar pentru conductoare liniare, anizotrope si omogene (fara cmpuri imprimate) EJsau JE == unde , reprezinta tensorul rezistivitatii, respectiv tensorul conductivitatii.

Pentru conductoare neliniare, izotrope si omogene dependenta lui J de E este de forma oarecare

J = J ( E ).

3.4.2.2. Forma integrala a legii

Pentru o portiune oarecare, neramificata a unui conductor liniar si izotrop intre bornele 1, 2 avnd

intercalata si o sursa electrica (deci avnd cmp imprimat) integrnd in lungul conductorului (3.20).

( ) RiA

dlidlJdlEE

1

2

Cf1

2

i

Cf1

2

===+ unde cu R= =

2

1

2

1CA

dl

A

dl

f

(3.24)

Fig. 3.6

s-a notat rezistenta electrica a portiunii conductorului intre 1 si 2 daca si A nu variaza de-a lungul conductorului:

R= = 21 Al

dlA

1 (3.25)

unde cu l s-a notat lungimea conductorului intre 1 si 2, iar cu A sectiunea conductorului. Calculnd

integrala din (3.24) pe portiuni avem: ( ) ifiCf

2

1Cf

2

1i

Cf

2

1eUdlEdlEdlEE +=+=+

unde:

= 21f dlEU (3.26) este tensiunea electrica in sens restrns in lungul firului, iar

dlEe i

Cf

2

1i = (3.27) este tensiunea electromotoare imprimata.

Deci RieU if =+ (3.28) reprezinta forma integrala a legii conductiei.

In regim stationar, cnd Es =0 se obtine:

Uf= ( ) bc)Cf(

2

1sc

)Cf(

2

1)Cf(

2

1UdlEdlEEdlE ==+=

deoarece integrala lui E c nu depinde de curba de integrare si deci integrala efectuata prin axa conductorului Cf este egala cu integrala efectuata pe orice alta curba si in particular ea este egala si cu

integrala pe curba Cb in lungul liniei tensiunii la borne (Ub).

Deci legea conductiei electrice in regim stationar se poate pune sub forma:

ei Ub = Ri (3.29) Prin conventie se adopta semnul (+) pentru Ub = V1 V2 cnd sensul lui Ub si i nu coincid ( regula

de la receptoare), respectiv semnul () Ub = V2V1 atunci cnd acestea coincid ( regula de la generatoare).

Daca ei = 0 avem Ub = RI (3.30)

care este legea lui Ohm pentru o portiune pasiva (fara surse) de circuit, valabila numai in regim

stationar.

3.4.3. Legea transformarii energiei in conductoare (Legea Joule-Lenz)

3.4.3.1. Forma integrala

Forma integrala precizeaza: caldura dQj dezvoltata prin efect Joule-Lenz, intr-un timp dt, de

curentul de conductie i, ce strabate un conductor cu rezistenta electrica R este proportionala cu patratul

curentului si cu timpul, factorul de proportionalitate fiind rezistenta electrica R.

dQj = Ri2dt (3.31)

iar caldura dezvoltata intr-un timp t va fi:

Qj = t0 2dtRi (3.32) Daca R si I sunt constante in timp (i = I)

Q j= RI2t (3.33)

Puterea corespunzatoare efectului Joule-Lenz al curentului electric va fi:

2j

jRi

dt

dQP == (3.34)

sau tinnd cont de legea lui Ohm sub forma integrala i = R

U, rezulta:

jP

R

U 2= (3.35)

unde U este tensiunea la bornele rezistorului R.

3.4.3.2. Forma locala

Forma locala se refera la puterea dezvoltata prin efect Joule-Lenz in unitatea de volum a

conductorului strabatut de curentul cu densitatea I

pjv= EJ sau pjv = J2 (3.36) unde se stie din legea lui Ohm sub forma locala ca E = J . Puterea corespunzatoare efectului Joule-Lenz in intregul volum al conductorului va fi:

Pj = =v vj dvEJdvp v (3.37)

3.4.4. Teorema potentialului electric stationar

Regimul electrocinetic stationar este diferit de regimul electrostatic, el fiind caracterizat de o

densitate de curent diferita de zero ( J 0) si invariabila in timp (curent continuu). In fiecare punct,

interior unui conductor 0EE i + . Teorema potentialului electric stationar afirma ca: tensiunea electrica este nula de-a lungul oricarei

curbe inchise.

= 0dlE (3.38) Tensiunea electrica intre doua puncte 1 si 2 a unui conductor este:

2

2

1 112VVUdlE ==

Daca potentialul unuia din cele doua puncte este potential electric de referinta, de exemplu V2 = V0

atunci potentialul electric in celalalt punct va fi:

V1 = V0 + 21 dlE E deriva din acest potential:

E = grad V; rot E = 0 (3.39)

4. RETELE ELECTRICE DE CURENT CONTINUU

4.1. RETELE ELECTRICE LINIARE DE CURENT CONTINUU. METODE DE CALCUL

4.1.1. Circuit electric si retea electrica, sensuri de referinta

Prin circuit electric se intelege ansamblul mediilor in care poate circula curent electric. Aceste

medii pot fi conductoare, semiconductoare sau medii dielectrice. In medii conductoare si

semiconductoare exista curent electric de conductie, iar in medii dielectrice curent de deplasare.

Se vor analiza, in continuare circuitele de curent continuu filiforme (adica suficient de subtiri pentru

ca intensitatea curentului sa poata fi uniform repartizata pe sectiunea lor) si liniare avnd laturi cu

rezistente constante, independente de valorile curentilor.

Un ansamblu de circuite electrice conectate intre ele intr-un mod oarecare poarta denumirea de retea

electrica (fig. 4.1.1).

Orice circuit (retea) electric se compune topologic din:

a) noduri: locurile (punctele) in care

concura mai mult de doua conductoare (laturi) ale

circuitului (retelei);

Se deosebesc:

- noduri fundamentale: cnd concura

cel putin trei laturi (de exemplu nodul a);

- noduri nefundamentale

(degenerate): cnd concura numai doua laturi (de

exemplu nodul b).

Fig. 4.1.1

b) laturi: portiuni din circuit (retea) cuprinse intre doua noduri vecine, parcurse de curenti electrici

proprii.

Putem avea: laturi active care contin generatoare de t.e.m. sau de curent, (de exemplu, laturile Lk si

Li) si laturi pasive, care nu contin generatoare (de exemplu latura Lj).

c) ochiuri: portiuni de circuit (retea) realizate din laturi parcurse o singura data formnd un contur

inchis; se deosebesc: ochiuri fundamentale care se bucura de proprietatea ca ecuatiile corespunzatoare

teoremei a II-a lui Kirchhoff nu se pot deduce din cele referitoare la alte ochiuri definite in prealabil (de

exemplu Om si On) si ochiuri nefundamentale care rezulta din alte ochiuri definite anterior (de exemplu

ochiul Op).

Numarul de ochiuri fundamentale ale unei retele se determina cu ajutorul teoremei (relatiei) lui

Euler:

O=L-N+I (4.1.1)

Unde N este numarul de noduri, L este numarul de laturi iar O este numarul de ochiuri

fundamentale.

Ri

E

Se numeste sens de referinta sau sens pozitiv al marimii fizice scalare, sensul vectorului element de

integrare (dl , dS ). Sensul vectorului element de integrare se stabileste fie arbitrar, fie pe baza unor reguli.

T.e.m. rezulta pozitiva, cnd sensul elementului de integrare dl , prin interiorul sursei este orientat de la borna negativa spre cea pozitiva.

Curentul electric i rezulta pozitiv cnd

vectorul elementului de suprafata dS este in

acelasi sens cu J sau cnd unghiul dintre cei doi vectori este mai mic de 90

0. Sensul de referinta al

tensiunii la borne se indica in schema printr-o

sageata intre borne.

Fig. 4.1.2

Exista doua conventii (reguli) privind

asocierea sensurilor de referinta ale tensiunii la

bornele unei laturi de retea si a curentului ce trece

prin ea.

Pentru laturi receptoare, sagetile care indica

sensurile pozitive ale tensiunii la borne si a

curentului, pleaca respectiv intra in aceeasi borna.

Pentru laturi generatoare cele doua sensuri de referinta sunt opuse in raport cu aceeasi borna (adica

unul intra in borna si altul iese din aceeasi borna).

Daca nu se poate preciza de la inceput caracterul de receptor sau generator al laturii de retea,

sensurile de referinta se aleg arbitrar, fie ca la receptor sau generator. In urma efectuarii calculului rezulta

sensurile efective a acestor marimi, respectiv se poate preciza daca latura de retea are caracter de receptor

sau generator.

4.1.2. Teoremele lui Kirchhoff

4.1.2.1. Teorema I-a lui Kirchhoff

Se refera la curentii din laturile de retea ce concura intr-un nod.

Fig. 4.1.3

a) Teorema directa. Se considera o suprafata inchisa Si, ce contine nodul, pentru care, se aplica

legea conservarii sarcinilor electrice libere, ce se exprima prin urmatoarea relatie:

Si dSJ =0 (4.1.2) Integrala de suprafata a densitatii de curent este diferita de zero numai in portiunile de suprafata S1,

S2, S3, S4, ce intersecteaza conductoarele unde J 0.

Tinnd seama ca ds este orientat spre exteriorul suprafetei inchise si ca J are sensul de referinta indicat de sageti (sensul curentului) se obtine:

0dSJdSJdSJdSJdSJ4S

43S

32S

21S

1Si

=+++= sau I1 + I2 I3 I4 = 0

In cazul general se scrie bk

kI = 0 (4.1.3)

unde b = 1, 2, , N-1

Teorema I se enunta astfel: suma algebrica a curentilor din laturile ce concura intr-un nod (b) de

retea este egala cu zero.

Numarul de ecuatii independente ce se obtin din teorema I-a, pentru o retea de N noduri este (N-1).

b) Forma duala (dezvoltata) corespunzatoare primei teoreme se obtine pornind de la ecuatia de

functionare a laturii.

EkUbk=RkIk (4.1.4) unde semnul (+) se ia in cazul laturii receptoare iar () in cazul laturii generatoare.

Fig. 4.1.4

Din (4.1.4) rezulta:

Ik=

k

bk

k

k

R

U

R

E =GkEkGkUbk=ISCKGkUbk (4.1.5)

unde cu

ISCK=GkEk (4.1.6)

s-a notat curentul de scurtcircuit al laturii k.

Aplicnd forma directa a primei teoreme a lui Kirchhoff relatiei (4.1.5) se obtine:

0)UGI(bk

bkkSCK =

(4.1.7)

sau

=bk

SCKbk

bkk IUG (4.1.8)

b = 1,2, , N-1

unde semnul () corespunde laturii receptoare iar (+) generatoare. Relatia (4.1.8) reprezinta forma

duala a primei teoreme a lui Kirchhoff, folosind in loc de necunoscutele Ik, noile necunoscute Ubk

(tensiunile la bornele laturilor) si arata ca: suma produselor dintre conductantele laturilor si tensiunile la

bornele acestora, extinsa asupra tuturor laturilor care realizeaza nodul (b) este egala cu suma curentilor de

scurcircuit ai laturilor ce concura in nodul (b).

c) Formele matriciale se obtin pe baza relatiilor (4.1.3) si (4.1.8) definind in prealabil matricile:

- matricea (coloana) a curentilor din laturi [I]; - matricea (coloana) a tensiunilor la bornele laturilor [Ub]; - matricea (coloana) a t.e.m. din laturi [E]; - matricea (patrata LxL, diagonala) a conductantelor laturilor [G]; - matricea (coloana) a curentilor de scurtcircuit a laturilor [ISC]; - matricea (dreptunghiulara, LxN-1), de apartenenta (incidenta) a laturilor la noduri [A];

[ ]

=

L

2

1

I

I

I

IM

; [ ]

=

bL

2b

1b

b

U

U

U

UM

; [ ]

=

L

2

1

E

E

E

EM

; [ ]

=

L

2

1

G

0

0

...

...

...

0

G

0

0

0

G

GMMMM

;

[ ] [ ][ ]

==

SCL

2SC

1SC

SC

I

I

I

EGIM

; [ ]

=

1LN

1kN

1N2

1N1

Lb

kb

b2

b1

2L

2k

22

12

1L

1k

21

11

A

A

A

A

..

..

..

..

A

A

A

A

.

.

.

.

A

A

A

A

A

A

A

A

A (4.1.9)

unde coeficientul de apartenenta (incidenta) a laturii k la nodul b (un element al matricei A) poate

avea una din valorile:

+1 cnd curentul din latura k iese din nodul b,

Akb= 1 cnd curentul din latura k intra in nodul b

0 cnd latura k nu concura in nodul b.

Se vede ca pentru un nod b al retelei si folosind coeficientii Akb, prima teorema a lui Kirchhoff se

poate scrie:

A1bI1+A2bI2++AkbIk++ALbIL=0 (4.1.10)

sau

0IAL

1kkkb =

=

(b=1, 2, , N-1) (4.1.11)

Observnd ca aceasta suma reprezinta elementul (kb) al produsului [A]t[I], sistemul de ecuatii

(4.1.3) se poate scrie sub forma:

[A]t[I] = 0 (4.1.12)

Similar se arata ca relatia (4.1.8) se poate scrie matricial sub forma:

[A]t[G][Ub] = [A]t[ISC] (4.1.13) [A]t este transpusa lui [A].

4.1.2.2. Teorema a doua a lui Kirchhoff

Se refera la ochiurile unui circuit (retele) electric de curent continuu si se poate prezenta sub

urmatoarele forme:

Fig. 4.1.5

a) Forma directa (simpla) se enunta astfel: suma algebrica a tensiunilor la bornele laturilor care

alcatuiesc un ochi este nula.

Este o consecinta a teoremei potentialului electric stationar. Astfel, pentru conturul p dus pe liniile tensiunilor la bornele laturilor care realizeaza ochiul p rezulta conform fig. 4.1.5:

0dlEp

= (4.1.14) sau

0Upk

bk =

(p = 1, 2, , O) (4.1.15)

In relatiile (4.1.15) tensiunile la borne se iau cu (+) cnd sensurile coincid cu sensul arbitrar ales

pentru parcurgerea ochiului si cu () in caz contrar. Teorema a 2-a furnizeaza O ecuatii independente,

unde O este numarul de ochiuri fundamentale ale retelei. si O = LN+1.

b) Forma duala (dezvoltata) se obtine de la ecuatia de functionare a laturii (4.1.4) sumnd pentru

toate ochiurile O.

=pk

kkpk

bkk IR)UE( (4.1.16)

Tinnd seama ca 0Upk

bk =

avem:

=

pkk

pkkk EIR (4.1.17)

unde p = 1, 2, , O.

care reprezinta forma duala (dezvoltata) a teoremei, folosind in loc de necunoscutele Ubk noile

necunoscute Ik. Sub forma (17) teorema a doua se poate enunta astfel: suma algebrica a caderilor ohmice

de tensiune RkIk extinsa asupra tuturor laturilor care formeaza un ochi peste egala cu suma algebrica a

t.e.m. din toate laturile care formeaza acel ochi.

Termenii RkIk si Ek se iau cu (+) daca sensul curentilor prin laturi, respectiv a t.e.m. din laturi

coincid cu sensul de parcurs al ochiului si cu () in caz contrar.

c) Formele matriciale se obtin pe baza relatiilor (4.1.15) si (4.1.17) definind in prealabil,

suplimentar fata de (4.1.9) matricile:

- matricea (patrata LxL, diagonala) a rezistentelor laturilor: [R]; - matricea (dreptunghiulara, LxO) de apartenenta a laturilor la ochiuri (matricea de conexiune a

retelei): [B]

[ ] [ ]

=

=

LO

O2

O1

2L

22

12

1L

21

11

L

2

1

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B ;

R

O

O

O

R

O

O

O

R

RM

KM

KK

MMMKM

KK

MM (4.1.18)

unde coeficientul de apartenenta al laturii k la ochiul p este Bkp.

Un element al matricei [B] poate avea una din valorile: +1 cnd latura k apartine ochiului p, iar sensul de referinta de pe k coincide cu sensul de parcurs a

ochiului p;

1 cnd latura k apartine lui p si sensul de referinta de pe k este opus sensului de parcurs al

ochiului p;

0 cnd latura k nu apartine ochiului p.

Deci pentru ochiul p al retelei, teorema a doua (de exemplu sub forma duala) se poate scrie cu

ajutorul coeficientilor Bkp si se obtine:

B1pR1I1+B2pR2I2++BkpRkIk++BLpRLIL =

= B1pE1+B2pE2++BkpEk++BLpEL (4.1.19)

sau

==

=

L

1kkkp

L

1kkkkp EBIRB (p = 1, 2, , O) (4.1.20)

Cu aceste considerente relatiile (4.1.15) si (4.1.17) se pot scrie matricial sub forma:

[B]t[Ub]=[0] (4.1.21) [B]t[R][I]=[B]t[E] (4.1.22) unde [B]t este transpusa lui [B].

4.1.3. GRUPAREA REZISTOARELOR SI SURSELOR DE CURENT CONTINUU

4.1.3.1. Gruparea rezistoarelor

La legarea in serie a n rezistoare avnd rezistentele R1, R2, , Rn rezistenta echivalenta este:

Re= =

n

1kkR (4.1.23)

La legarea in paralel a celor n rezistoare se obtine:

=

=

n

1k ke R

1

R

1 (4.1.24)

Rezistenta echivalenta la legarea mixta a rezistoarelor se calculeaza tinnd cont de relatiile de mai

sus.

4.1.3.2. Gruparea surselor de curent continuu a) serie b) paralel c) paralel echivalent

Fig. 4.1.6.

Legarea

surselor

a)

Legarea in

serie (fig.

4.1.6.a) a

surselor se

utilizeaza

atunci

cnd se

urmareste

obtinerea

unei tensiuni mai mari pe rezistenta de sarcina R. T.e.m. totala va fi:

Ue= =

n

1kekU (4.1.25)

Conform legii lui Ohm aplicata la un circuit inchis, curentul prin rezistenta de sarcina va fi:

I=

=

=

+n

1kk

n

1kek

rR

U

(4.1.26)

unde rk (k=1, , n) sunt rezistentele interne ale fiecarei surse presupuse identice.

b) Legarea in paralel (fig. 4.1.6.b) a surselor de curent continuu se face cu surse cu aceeasi t.e.m. si

aceeasi rezistenta interioara. Tensiunea U ce se stabileste la bornele sarcinii este aceeasi cu oricare din

t.e.m. ale surselor din care se scade caderea de tensiune pe rezistentele interne, adica:

U=Ue1 r1I1=Ue2 r2I2= =Uen rnIn

Circuitul echivalent al schemei in paralel este conform fig. 4.1.6.c.

Tensiunea U=Ee reprezinta t.e.m. echivalenta a circuitului paralel iar pentru o latura k avem:

Ee=Uek - Ikrk (4.1.27)

sau

Ik=gk(Uek - Ee) unde gk=1/rk (4.1.28)

Din teorema I a lui Kirchhoff avem:

0Ibk

k =

(4.1.29)

b = 1, 2, , N-1

Din relatiile (4.1.28) si (4.1.29) se obtine t.e.m. echivalenta Ee:

Ee=

=

=

n

1kk

n

1kekk

g

Ug

(4.1.30)

Observatii:

1. Daca t.e.m. ale surselor legate in paralel nu sunt egale si bateria este in gol (nu exista sarcina)

sursa cu t.e.m. cea mai mare se va descarca pe sursa cu t.e.m. mai mica. Astfel apar curenti de circulatie

intre surse, chiar daca bateria nu alimenteaza un receptor exterior.

Legarea mixta a surselor de curent continuu se foloseste atunci cnd bateria trebuie sa furnizeze att

o tensiune ct si un curent de valori mai mari dect posibilitatile unei surse.

4.1.4. Metode de calcul a retelelor liniare de c.c.

Prin calculul unei retele se intelege determinarea curentilor din laturile sale atunci cnd se cunosc

rezistentele rezistoarelor si t.e.m. ale surselor (sau tensiunile la borne) din reteaua respectiva.

4.1.4.1. Metoda teoremelor lui Kirchhoff

Se considera o retea de curent continuu care are N noduri si L laturi. Pentru aceasta retea se pot

scrie (N1)+(LN+1)=L relatii independente. Sistemul permite determinarea intensitatilor curentilor din

fiecare latura.

Pentru aplicarea teoremelor este necesara precizarea sensului de parcurs pentru fiecare curent al

laturilor ct si sensul de parcurs al ochiurilor independente. Daca in urma calculelor, curentii din unele

laturi rezulta negativi, inseamna ca sensul lor efectiv este opus sensului de parcurs stabilit initial.

4.1.4.2. Metoda superpozitiei (suprapunerii efectelor)

Metoda duce la simplificarea calculului retelelor complexe in care exista mai multe surse de energie

electrica. Algoritmul de calcul se bazeaza pe principiul suprapunerii efectelor aplicabil la retelele liniare.

Pentru exemplificare se considera reteaua electrica din fig. 4.1.7:

a) reteaua data b) si c) reteaua cu cte o sursa

Fig. 4.1.7

Se considera mai inti ca in retea actioneaza numai sursa cu t.e.m. Ue1, iar t.e.m. Ue2 se presupune

zero, retinndu-se numai rezistenta interna r2 a acesteia. Apoi se considera ca in retea actioneaza numai a

doua sursa, de la prima sursa retinndu-se numai rezistenta interna r1.

Rezolvnd circuitele din fig. 4.1.7 se obtin valorile lui '

1I , '

2I , 'I respectiv ''

1I , ''

2I , ''I . Apoi se

suprapun efectele si se obtin curentii reali din laturi, adica:

I1 = '

1I ''

1I ; I2 =

'

2I + ''

2I ; I = 'I + ''I .

4.1.4.3. Teoremele generatoarelor echivalente

Adesea in aplicatii in care intervin circuite cu structura complexa, intereseaza aflarea numai a unui

curent dintr-o latura sau numai a tensiunii intre doua noduri. In aceste cazuri se face apel la teoremele

generatoarelor echivalente, care arata ca un dipol liniar activ admite doua scheme echivalente numite:

schema generatorului echivalent de tensiune, respectiv schema generatorului echivalent de curent.

4.1.4.3.1. Teorema generatorului echivalent de tensiune (Thevenin Helmholtz)

Curentul IAB debitat de o retea liniara intr-o rezistenta R legata la bornele A, B este egal cu raportul

dintre tensiunea UABO de mers in gol la bornele A, B si suma dintre rezistenta exterioara R si rezistenta

interna, RABO a retelei pasivizate.

IAB =

ABO

ABO

RR

U

+ =

ABOg

g

RR

E

+ (4.1.31)

Exemplu: Sa se transforme schema din fig.

4.1.8 intre bornele 1-2, intr-un generator

echivalent de tensiune.

Fig. 4.1.8.

Conform teoremei lui Thevenin-Helmholtz

generatorul echivalent de tensiune va avea Eg=U120

si Rg=R120, determinata cu bornele 1-2 in gol

conform fig. 4.1.9.

Date numerice:

E2 = 16 V R1 = 5,5 R4 = 2 E4 = 24 V R2 = 2 R5 = 4 E6 = 64 V R3 = 2 R6 = 5 Aplicnd teorema II se obtine:

I14R2-I24R3-U120=-E2

U120=I14R2-I24R3+E2

Curentii I14 si I24 se obtin prin metoda curentilor ciclici, deoarece bornele (1-2) sunt in gol.

a) b)

Fig. 4.1.9

I14=il si I24=i2

Sistemul de ecuatii are forma:

il(R2+R5+R6)+i2R5=E6-E2 ilR5+i2(R3+R4+R5)=E4

sau numeric

lli1+4i2=48

4i1+8i2=24

Rezolvnd sistemul se obtine i1=4A, i2=1A si U120=22V.

Rezistenta echivalenta a retelei pasivizate intre bornele 1-2 in gol, R120, se calculeaza din fig.

4.1.9.b. Triunghiul rezistentelor R3, R4, R5 se transforma in stea.

=++

= 5,0RRR

RRR

543

4334

=++

= 1RRR

RRR

543

5335

=++

= 1RRR

RRR

543

5445

Rezulta acum valoarea rezistentei echivalente a retelei cu bornele 1-2 in gol.

=+=+++

+++= 5,225,0

RRRR

)RR)(RR(RR

453562

45635234120

Deci generatorul echivalent de tensiune este prezentat in fig. 4.1.10.

Curentul I12 va fi de forma:

I12=5,55,2

22

RR

U

1120

120

+=

+

I12= A4

11.

Fig. 4.1.10

Relatia 4.1.31 se foloseste pentru aflarea curentilor din laturile pasive.

4.1.4.3.2. Teorema generatorului de curent echivalent (Norton)

Tensiunea UAB produsa in sarcina de o retea liniara care alimenteaza o rezistenta exterioara R este

egala cu raportul dintre curentul de scurtcircuit IABSC (pe care il debiteaza reteaua cnd bornele A, B sunt

scurtcircuitate) si suma dintre co