Bazele Electrotehnicii Curs 1

of 113/113
BAZELE ELECTROTEHNICII I -Note de curs-
  • date post

    02-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    386
  • download

    9

Embed Size (px)

Transcript of Bazele Electrotehnicii Curs 1

BAZELE ELECTROTEHNICII I -Note de curs- 2 Introducere Bazeleelectrotehniciireprezintodisciplintehnicfundamentalcare studiaz fenomenele electrice i magnetice din punct de vedereal aplicaiilor tehnice inginereti:descrcrileelectrice,orientareacubusola,fenomenuldeatracientre diferite minereuri, lumina. Exist mai multe teorii, care studiaz fenomenele: Teoria macroscopic MAXWELL-HERTZ (1870-1890) Teoria macroscopic a lui LORENTZ Teoria relativist a lui EINSTEIN Teoria cuantic TeoriamacroscopicMAXWELL-HERTZstudiazfenomenele electromagneticelanivelmacroscopicfrafaceapellastructurasubstanei.Esteo teorie care rspunde suficient de bine cerinelor obinuite ale ingineriei, motiv pentru caresestudiazincadruldisciplinei.Eaprezintlimitrilavitezecomparabilecu vitezaluminii,daracestlucrunuderanjeazdinpunctdevederealingineriei electrice. Conceptele fundamentale cu care lucreaz teoria macroscopic MAXWELL-HERTZsuntsubstanaicmpul,ceformeazmateria.Substanaestereprezentat decorpurilesauobiectelematerialecareaumas,iarcmpulesteaceaformde existenamaterieicarepoateexistaattininteriorulsubstaneictininteriorul unor corpuri. Exemple de cmpuri: cmp gravitaional, cmp electromagnetic. Instrumentele de baz necesare n cadru teoriei sunt: 1.mrimi fizice 2.uniti de msur 3.legi4.teoreme Mrimile fizice sunt proprieti ale materiei (fie corp, fie cmp), care permit o evaluare cantitativ a unor fenomene. Unitiledemsursuntconcepteasociatemrimilorfizicecarepermit compararea mrimilor de aceeai natur. Legile sunt afirmaii enunate pe baz de experiment care nu pot fi deduse din alte afirmaii cu grad de generalitate mai ridicat. Teoremelesuntafirmaiicareconstituiecazuriparticularealeunorlegi.Ele pot fi deduse din legi intuitiv sau pe baz de calcul analitic. Labazafenomenelorelectromagneticestconceptuldesarcinelectric.Cel maimicpurttordesarcinelectricesteC e1910 6 . 1 = (electronul),respectiv C p1910 6 . 1 = (protonul)[1C=1Coulomb]. Dei sarcinaelectric are un caracter discret, teoria macroscopic o consider caavndcaractercontinuuncorpurilepurttoaredesarcinelectric.Prezena sarciniielectriceestenumainsubstan 3110 8 . 9 =em kg(masaelectronului). Sarcinileelectricepotfinrepaussaunmicare,iarnfunciedeacestlucru fenomenele electromagnetice pot fi clasificate n: 3 1.Fenomene statice (regim static)0 = v ;0 ; 0 = =Wt. Toatecorpurilesuntnrepaus,derivatelesuntnuleinuexisttransformri energetice. Exemple: regimul electrostatic i regimul magnetostatic. Cmpul electric poate exista independent de cmpul magnetic i se pot studia separat. 2.Fenomene staionare (regim staionar)0 ; 0 ; == Wtct v . Exemplu:curentulcontinuucarestrbateanumitecorpuriconductoaresau fire.nacestregimavemcmpulmagneticstaionar,carepoatefistudiatseparatde cmpul electric. 3.Fenomene cvasistaionare (regim cvasistaionar) 0 ; 0 ; 0 Wtv . Existvariaiialeunormrimi,nselesuntsuficientdelenteastfelncts nu permit propagarea cmpului electromagnetic. Exemplu: funcionarea circuitelor electrice la frecvene joase. 4.Fenomene variabile (regim variabil)0 ; 0 ; 0 Wt . n acest caz variaiile unor mrimi sunt relativ mari i permit propagarea lor n spaiu. Exemplu: comunicaia n telefonia mobil, radio-TV. 4 ELECTROSTATICA Sarcina electric punctiform (q) Sarcina punctiform este un corp de dimensiuni neglijabile n raport cu spaiul la care e raportat, ncrcat cu o anumit sarcin electric. Teorema lui Coulomb Experimental s-a observat c rrrq qk F =20, unde 22910 9Cm Nk = . m F k /10 9 4141900 = =; 0 - permitivitatea dielectric a vidului rrq qF =30041(1) Teorema lui Coulomb Se constat urmtoarele: -foradeinteraciuneF estedirectproporionalcuprodusulsarcinilor ( q q F0~ ); - fora F este invers proporional cu ptratul distanei dintre ele (21~rF ); - dac > 00q q F este o for de respingere; dac < 00q q F este o for de atracie Intensitatea cmpului electric produs de o sarcin punctiform q q0 FrF Fig.1 Explicativ pentru teorema lui Coulomb q q0 FrFig.2 Explicativ pentru calculul intensitii cmpului electric 5 E q rrqq F =|||

\| =30041 rrqE =30041 (2) - Intensitatea cmpului electric produs de o sarcin punctiform | |mVESI1 = Liniadecmpelectricesteolinie imaginar n vecintatea corpurilor ncrcate cusarcinielectricelacareintensitatea cmpurilorelectriceestetangent. Totalitatea liniilor de cmp electric formeaz spectrul electric. Teorema superpoziiei cmpurilor electrice Intensitateacmpuluielectriccorespunztorunuisistemdesarcini punctiformeesteegalcusumavectorialaintensitiicmpuluielectriccreatde fiecare sarcin considerat n absena celorlalte sarcini. 3 2 1 E E E E + + = = = = =nkkkknknrrqE E130 141 Dacpentruunsistemdedousarcini+qiqseaplicipoteticteorema superpoziiei,prinpuncteledinvecintatesepottrasaliniiledecmpcareformeaz spectrul.Spectrulconstruitastfelaratcliniiledecmpsuntcurbedeschisecare pleacdepesarcinipozitiveiajungpesarcininegativesauseprelungescpnla infinit. q>0 A A EFig.3 Linii de cmp q1 q2 q3 1E2E3EEFig.4 Teorema superpoziiei q+qdlcmp de linieE6 Punctuldelainfinitesteunconceptcaresemnificpunctulaflatladistan mult mai mare dect dimensiunile sistemului fizic. 0 = dl E ,dl - vectorul de lungime asociat curbei Aceastaesteecuaialiniilordecmp;exprimfaptulcE estetangentla liniile de cmp. Corpuldeprobesteunconceptidealizatcarereprezintosarcinelectric punctiform de valoare suficient de mic, nct s nu perturbe cmpul electric n care este amplasat; se folosete pentru investigarea cmpurilor electrice. Teorema lui Gauss n electrostatic Considermosarcinpunctiformqi construim n jurul ei o sfer ipotetic de raz r. 204) (rqr E=Notm cu S suprafaa sferei. 022044) (qrrqS r E = =

Produsul S r E ) ( reprezintfluxulintensitiicmpuluielectricprin suprafaa : 24 ) ( ) ( ) , cos( r r E ds r E ds ds E E ds E = = = ds =element de suprafa asociat suprafeei sferice ; este o mrime vectorial carearemodululegalcuariauneiporiunifoartemicidinsuprafaa,direciaeste perpendicularpeaceastporiuneisensulctreexterior;sevededinfigurcdsrespect condiia. Faptulcfluxulintensitiicmpuluielectricprinsuprafaasfereinudepinde derazasfereipermiteextindereaacesteiafirmaiilacazulgeneralalunuisistem formatdinmaimultesarcinielectrice,nconjuratdeosuprafanchiscarenueste neaprat sferic. 0= qds E (3)Teorema lui Gauss = =nkkq q1 q1q2q3qdsEqdsEr7 Enunul teoremei lui Gauss: Fluxulintensitiicmpuluiprinoricesuprafanchisesteproporionalcu sarcinaelectrictotaldelimitatdeaceeasuprafa.Factoruldeproporionalitate este 01 n sistemul de uniti internaional. Distribuii spaiale de sarcini electrice 1) Distribuia pe corpuri filiforme dldql = [C/m] densitatea lineic de sarcin electric = =BAlBAdl dq q - sarcina electric total pe firul AB 2) Distribuia pe suprafee dSdqS = [C/m2] densitatea superficial de sarcin electric = =SSSdS dq q - sarcina electric total pe suprafa 3) Distribuia volumic dlABdl dql=Sds) (dq8 dl MEVSrCq1q2q3qqn 1 qn dVdqV = [C/m3] = =VVVdV dq q Cmpulelectricrezultantcreatdedistribuiispaialedesarcinielectricese calculeaz pe baza teoremei superpoziiei. rrdqrrdqrrdqrrqEV SCknkkk + ++ + = =3030301304 44 41 dl dq Cl = : ) (dS dq SS = : ) (dV dq VV = : ) ( |||

\| + + + = =dV rrdS rrdl rrrrqEVVSSClknkkk3 3 313041 (4) Relaia(4)reprezintexpresiateoremeisuperpoziieipentruunsistem oarecaredesarcinielectrice.Aceastrelaiepermitecalcululintensitiicurentului electric n cazul general. dv) (dq9 ABdlEmnAB Tensiunea electric dl E UBAAB = [V] (5) Tensiuneaelectricntredou puncteamplasatencmpelectriceste prindefiniieintegralaintensitii cmpuluielectricde-alunguluneicurbe arbitrare care unete cele dou puncte. ABAnB AmBAnB AmBBnA AmBU dl E dl Edl E dl Edl E dl E= = = = + ) ( ) () ( ) () ( ) (00 Justificare: nmulind relaia (5) cu q (sarcin unitate) avem: ABBABABAABL dl F dl E q dl E q qU = = = = ) (

LAB-lucrulmecanicalforelordenaturelectricnecesarpentrudeplasarea sarcinii q din punctul A n punctul B. Tensiuneaelectricreprezintlucrulmecanicnecesarforelordenatur electric pentru a deplasa unitatea de sarcin electric ntre dou puncte. 0 = = + =A A BA AB AAW W L L L (6) ; WA - energia cmpului electric corespunztoare poziiei iniiale 0 = dl E (7) -Teorema potenialului electrostatic Relaia(6)permitealegereaarbitrarapunctuluiB;prinurmareintegralape orice curb nchis este zero. AdlEsd ld S 10 yzxjkiConsecine: -tensiunea electric ntre dou puncte nu depinde de drum; -se aplic teorema lui Stokes expresiei (7) = = 0SdS E rot dl E 0 = E rot (8) forma local a Teoremei potenialului electrostatic Corelareasensurilorelementelordelinieielementelordesuprafaseface dupregulaburghiuluidrept:sensulluidS estedatdesensuldenaintarealunui burghiu care se rotete n sensul indicat dedl . Cmpul electric este un cmp irotaional. - se demonstreaz n matematica superioar c orice cmp irotaional poate fi scris( ) E V grad E rot = = 0 ; V este potenialul, iar semnul - este conform unei convenii de semn.V grad E =(9) Operatorii de derivare spaial kzjyix ++= -expresia n sistemul de coordonate cartezian. V grad V ;V este un cmp scalar kzVjyVixVV++= = = = = zVyVxVz y xk j igradV rot E rot E ) (02 2 2 2 2 2= + + =z xVjz yViy xVkz xVjy xVkz yVi Exprimm variaia potenialului ntre dou puncte apropiate n spaiu. =++= = dzzVdyyVdxxVz y x dV dV ) , , (( ) dl E dV dl gradV k dz j dy i dx kzVjyVixV = = + + |||

\|++= 11 () Cdl( ) 1( ) 2Eq1q2q3qnMr1r2 = = = =21212112) ( dV dV dl E U2 1 1 2) ( V V V V = = 2 1 12V V U =(10) Potenialulunuipunctseexprimrelativlaunpotenialdereferin.Punctul dereferinpoatefialesarbitrar,caivaloareapotenialuluiacestuia.Seprefer valoarea 0 pentru potenialul de referin (2). Consider punctul (2) ca referin.dl E V U V = = =211 12 20 (11) Potenialul ntr-un punct se calculeaz ca integral a luiEpe o curb arbitrar care unete acel punct cu punctul de referin. Potenialul cmpului electric creat de sarcini punctiforme =MMdr E V 0 =V- referin de potenial; drrqdr E dr E dr E dr E204) , cos(= = = aqrqdrrqdrrqVa a aM0 0202041414 4 = ||

\| = = = Cazul general: rqr V04) (= . Teorema superpoziiei potenialelor == + + + =njn M j E E E E E12 1 LgradV E =11 gradV E =22 gradV E =K nn gradV E = +qME ra 12 Sds) (dqrMdv) (dqVdl( ) dql q3qqn 1 qngradV V grad gradV j E Enjjnjjnj =|||

\| = = = = = = 1 1 1 == njjV V1(12) - Teorema superpoziiei potenialelor Potenialul cmpului electric creat de o distribuie spaial de sarcini electrice esteegalcusumapotenialelorcreatedefiecaresarcinpunctiformdacarexista singur, n absena celorlalte. ==nj jjrqV1 041 Potenialul cmpului electric creat de distribuii oarecare de sarcini Formulelepotenialelorelementaresuntsimilareformuleipotenialului corespunztor sarcinilor punctiforme, de forma: =dVdSdldqVSl rdldVll04= ;rdSdVSS04= ;rdVdVVV04= Teorema superpoziiei = = ClCl ldlrdV V041; = =SSSS SdSrdV V041; = =VVVV VdVrdV V041 |||

\|+ + + = + + + = = =S Vnj jjV SClnjj V S l MrqdVrdSrdlrV V V V V1 0 141 Ecuaiile Poisson / Laplace pentru cmpul electrostatic Teorema lui Gauss: 0= qdS E ; = VdV E div dS E ) ( ;dV qVV=13 ( ) ( ) V V gradV div = = 0 0) (1) (VVVVE div dV dV E div = = n coordonate carteziene: ( )zEyExEk E j E i E kzjyixE E divzyxz y x++= + +|||

\|++= =gradV E =0) (VgradV div = (Ecuaia lui Poisson) ( -operatorul Laplace)0VV = EcuaialuiLaplaceesteecuaiadedistribuiespaialacmpurilor;ecuaia general a cmpurilor n coordonate carteziene: ( )222222zVyVxVkzVjyVixVkzjyixV V++=|||

\|++|||

\|++= = ecuaia lui Poisson n coordonate carteziene: 0222222VzVyVxV =++ ncelemaimultecazurintlnitenpracticainginereascsarcinileelectrice sunt dispuse pe suprafee sinu n volume. = 0V 0 = V - Ecuaia lui Laplace 0222222=++zVyVxV - Ecuaia lui Laplace n coordonate carteziene Suprafee echipoteniale Suprafeeleechipotenialesuntsuprafeefictivecaresedesfoarncmp electrostatic,pentrucarepotenialulelectricareaceiaivaloarenoricepunctal suprafeei. - sfer concentric cu sarcina q Se consider dou puncte foarte aproape pe suprafaa echipotenial: EMM/dlq+- suprafa echipotenial 14 dll d/axrMEd/11Ed11EdEd/EdxEdx/l dl Edl E dl E dV V VMMM M= = = 0''- ecuaia suprafeei echipoteniale Consecin:RelaiademaisusaratcvectorulE -intensitateacmpului electric - este perpendicular pe suprafeele echipoteniale, prin urmare liniile de cmp sunt la rndul lor perpendiculare pe suprafeele echipoteniale.

Aplicaii:Calcululintensitiicmpuluielectricialpotenialuluielectricncazuri particulare. 1) Se cereEiVpentru cmpul creatdeospircircularncrcatcu sarcin electric distribuit uniform cu densitateal.Punctuldecalculvafi peoaxperpendicularpeplanul spireicarecadencentrulacesteia. Raza spirei se noteaz cu a. dl dql = rrdlrrdqE dl30304 4 = =0 = Vq + q suprafee echipoteniale 15 aMxESe folosete teorema superpoziiei pentruE . = = CM E d x E E ) (|| E d E d E d x + =( )232 202 24cosx ax dlx axdErxdE dE x E dl+=+= = =0 '|||| = + E d E dOricare dou elemente dl i dl de pe spir creeaz componente ale intensitii cmpului paralele ( ) cu planul spirei care se anuleaz reciproc. n concluzie cmpul rezultant va avea componente numai pe direcia pe planul spirei. ( ) ( ) ( )232 2020232 20232 202 4 4) (x axadlx axdlx axdE x ElaCl lCx+=+=+= = 2 204 x adqdV+= 2 20202 202 202 4 4 x aadlx a x adldV V VlalClCx M+=+=+= = n ipoteza() 0 = V . Variant de calcul a potenialelor ( ) ( ) +=+== = = xlxlx xMdxx ax adxx axadx E dx E x V V232 20232 20220 cos ) ( Notm cu: 2 2x a t + = ;22dtxdx dx x dt = = 2 20210230 2212 2 2 22 22 2x aa t adt taVlx alx alM+=|||||

\|==++ Calculul lui E pe alt cale! gradV E = ; xVEx =16 aRdss d/r/rxEd11Ed/11EdXEdX/EdEd/A BCDadlRds d( ) ( )( )232 20232 20212 202 2022212 22x aaxEx x aax adxd ax aadxdEll l l+= + ||

\| =|||

\|+ =|||

\|+ = Particularizare: == =0200lVEx 00VEx 2)Cazulunuidiscderazancrcatcusarcinielectricedispuseuniformpe suprafaa lui cu densitatea S. Punctul de calcul este amplasat pe o dreapt pe planul discului care cade n centrul acestuia. BC AB dS = d R BCdR AB = = d dR R dS ( ) ( )dR dx RRx RdSrdqdES S+=+= =2 202 20204 4 4 dS dqS = = =discx MdE x E E ) (C C/m2m2 17 ABCD/A//B//C//Ds dEs dE//ASS( ) ( )dR dx RRxR xxdE dE dESx+=+= =232 202 24cos ( ) ( )=

+=

+= dR dx RRxdR dx RRxEaSaSM020232 20020232 204 4 ( ) ( )dRx RR xdRx RRxaSaS +=+=0 232 20 0 232 2022 Se face schimbare de variabil:t x R = +2 2;dt dR R = 2 ;dt RdR21= |||

\|+ =|||||

\|+ = = ++ +xa xx t xdt txESa xxSx axSM1 121232 2 2 22 2012302302 222 22 |||

\|+ = 2 2012) (a xxx ES Cazuri particulare: a)02) 0 ( 0SE x = =b)0 ) ( lim ) ( = = x E E xx c) 02) ( lim ) (Sax E E a x a = = >> -ncazulunuiplandedimensiuni infinitencrcatcusarcinielectricedistribuiteuniformcudensitatea S ,cmpul electric n vecintatea lui nu depinde de x. Calcululintensitii cmpului electric n vecintatea unui plan infinit cu ajutorul teoremei lui Gauss 18 0= qdS E ; S S qS ABCD S = = ES ds E ds E dS EdS E dS E dS E dS E dS E dS ED C B A D C B A B C C BA B B A D C C D A D D A D C B A D C B A2' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '= + = ++ + + + + = dS E dS E dS E = = 0 cos - pentru' ' ' ' ' ' ' ' , ' ' ' ' D C B A D C B A 02cos = = dS E dS E - pentru toate celelalte fee laterale = =0 02 2SESqESS02SE =Concluzie:TeoremaluiGausspermitecalcululcmpurilorelectricepentru majoritateacazurilorposibilenpracticainginereascundecmpurileelectrice prezint simetrie spaial( simetrie plan, cilindric, sferic). Cmpulelectrostaticcreatdedouplciplane,paralelentreele,de dimensiuni foarte mari n raport cu distana uneia fa de cealalt, ncrcate cu sarcini de polariti opuse i amplasate n vid. i Ei ESASA020122 = = 0 2 1 = + = A A A E E Ei Ei ESBSB020122==i E E ESB B B02 1= + = +S-S 2 E1 E 1 E2 EAB C x 0d 19 q + q q + q dE0Evid(izolant) dielectric material0E E ) 0 ) ( = =dxCdx E x V Cmpul electrostatic n prezena cmpurilor polarizate Seconstatexperimentalcprinintroducereaunormaterialedielectricen cmp electric intensitatea cmpului electric se modific att ca direcie i sens, ct i camodul.ncazuladouplciparaleleseconstatscdereaintensitiicurentului electric ntre ele. Explicaie: Oexplicaielanivelmicroscopicainflueneicorpurilordielectriceasupra cmpuluielectricconstnapariiadipolilorelementari,nmasamaterialului dielectric.Acetiaaparcaurmareadeformrilororbitelorelectronicesubaciunea cmpuluielectricexterior,astfelnctsarcinilepozitiveinegativealeatomuluinu mai sunt concentrice, ci se decaleaz aa cum se vede n figur. Aceste sarcini creeaz un cmp electric pe care-lvom calcula. 20 e e e +++ 0 0elementar dipolelectroni e traiectoriM1 2r r 1rq q +l 2r22 1r r r l r >> cos ; cos1 21 2l r rlr r( ) bgrada agradb ab grad + = Cmpul electric al dipolului elementar Sedeterminmrimeal q p = cese numete moment electric. 2 11 20 2 0 1 02 14 4 4 r rr r qrqrqV V V = = + = 3030204 4cos cos4 rr prlr qrrrl qV = = =||

\| =|||

\| = =30301414 rr p gradrr pgrad gradV E ( ) p k p j p i p z p y p x p kzjyixr p gradz y x z y x= + + = + +|||

\|++= ) (k p j p i p pz y x+ + =k z j y i x r + + =z p y p x p r pz y x+ + = 2 2 2z y x r + + = ( ) ( ) + + = + +|||

\|++= i x z y x z y x kzjyix rgrad 223 1 1 2 / 32 2 22 / 32 2 23 ( ) ( ) = + + + + k z z y x j y z y x 223223 1 2 / 32 2 21 2 / 32 2 2 ( ) ( )52 / 52 2 233rrk z j y i x z y x = + + + + = ( )

=

+|||

\| =3 503 50341 341rprr r prprrr p E 21 dv) (dqMr( ) bgrada adivb + = ab div||||

\|+ = V SS Vs drv drV 0 41 Cmpul electric suplimentar produs de un domeniu polarizat PolarizaiaelectricP reprezintmomentulelectriccorespunztorunitide volum; se mai numete vector polarizaie. p d - suma momentelor electrice din volumuldv vpP= Polarizaie electric dv P p d = dvrgrad P dvrrPrr dv Prr p ddV ||

\|= ===141414 4'0303030 ||

\|=rgradrr 13 ( )rP divrPdivrgrad P z y x kzjyix|||

\|= ||

\|= + +|||

\|++= 1 2 / 12 2 2K dvrPdivrP divdV

|||

\|+ =041'

|||

\|+ = = V VdvrPdiv dvrP divdV V041' ' Gauss Ostrogradski: = =|||

\|dsrn Ps drPdvrPdivV;ds n s d =

+ = dsrn PdvrP divVV 041' RelaialuiVesteformalasemntoarecurelaiapotenialuluicreatde distribuii spaiale dispuse n volum i pe suprafee: 22 PdivV =/1( )n P P n PS12 2 1/1 =12n12P1P2( )V Egrad/ / =dielectric polarizatcorpVVdsqV/qV = = =V VV Vs dPv d P v dqdiv/ / /1V-densitatea volumic a sarcinilor de polarizaie /1S-densitatea superficial a sarcinilor de polarizaie Folosindacestedounotaiiproblemacalcululuicmpuluisuplimentarse reduce la problema calculului unui cmp electric creat de sarcini adevrate distribuite pe corpurile polarizate cu densitile S' i V' . Densitile superficiale ale sarcinilor depolarizaieaparnumailasuprafaadeseparaieadoumediicuproprieti dielectrice diferite. 2 1, P P - polarizaiile electrice n cele dou mediinimediataapropiereasuprafeei de separaie.|||

\|+ = V SS VdsrdvrV' '41'0 Legea fluxului electric Sarcina total de polarizaie dintr-un corp dielectric ce ocup volumul V este: ExpresiateoremeiluiGausspentruundomeniucareconineattsarcini electrice adevrate, ct i sarcini de polarizaie este: = + = 00 0 0|1 1) ' (1 ds P q ds E q q ds EV V V ( )Vq ds P E = +0P E D + =0 (1) - legea legturii ntreD,EiP ;D- inducia electric 23 n prezena corpurilor dielectrice nu este suficient o singur mrime pentru a caracteriza cmpul electric, ci sunt necesare dou mrimi, respectivEiD. Vq s d D = (2)- legea fluxului electric (forma integral) Enun: Fluxul electric prin orice suprafa nchis este egalcusarcinaelectricadevratdelimitatde suprafaa respectiv. Legea este valabil att n vid, ct i n medii dielectrice. ( = s d D- fluxul electric) VVVVD div dv dv D div = = (3) - forma locala fluxului electric Legea fluxului electric reprezint o generalizare a teoremei lui Gauss. Legea polarizaiei temporare p t P P P + =unde:t P - polarizaie temporar P P - polarizaie permanent P Pnu depinde de cmpul electric n care este amplasat dielectricul. n general corpurile dielectrice nu prezint polarizaie permanent. 0 p P ; Totui exist substane cu polarizaie permanent i anume electreii. t P depinde de E din masa corpului polarizabil. E Pet 0= (4) Legea polarizaiei temporare(e -hi) Enun:Legeapolarizaieitemporareexprim proporionalitatea dintre E (intensitatea cmpului electric) i vectorulpolarizaie.Aceastproporionalitatenspoatefi valabil numai pentru domenii limitate ale lui M, iar factorul de proporionalitate epoate avea diferite valori n funcie de direcia cmpului. n cazuri uzuale se consider corpuri dielectrice liniare n care acest factor de proporionalitate este constant. cte =- susceptibilitate electric E E E E DE P P Pr e eep t 0 0 0 00) 1 () 1 (= + = + = = + = ( 0 = p P ) E D =(5) - consecin a relaiilor (1) i (4) i se folosete n aplicaii practice e r + =1- permitivitatea relativ a materialului 1 0 > >r e Pentru vid:1 0 = =r e PEMaterial electric liniar 24 m FSI/ 1 => nC C C K2.) , 1 ( , , 0 n j i Cij >3. CjiCij = - relaia de reciprocitate 4.Valorile Cij depind numai de configuraia geometric a sistemului de conductoareidenaturamediuluincaresuntamplasateinudepind de sarcini sau de potenial. 29 Condensatorul electric Definiie: Condensatorul electric este un sistem de dou conductoare separate printr-un material dielectric care ndeplinesc condiia02 1= + q q . Consecin:Cmpulelectricntreceledouconductoareesteuncmp complet, adic toate liniile de cmp care pornesc de pe un conductor ajung pe cellalt. Cele dou conductoare se numesc armturi. 02 1= + q q (4) Din (3)+ =+ =20 20 21 21 212 12 10 10 1U C U C qU C U C q (4) 020 10= C CC C C = =21 12 U C q =(5) U U U = =21 12 UqC =(6) q q =1;q q =2 Cestecapacitateaelectricacondensatoruluiireprezintfactorulde proporionalitatentresarcinitensiune.Capacitateadepindenumaidegeometria condensatorului i de natura dielectricului; nu depinde de sarcin i nici de tensiune. Simbolul grafic al condensatorului: Calculul capacitii condensatoarelor Capacitateanudepindedesarcinsautensiune,cinumaideformai dimensiunilecondensatorului,precumidenaturadielectricului.Pentrucalculul capacitii unui condensator dat se parcurg urmtoarele etape: 1.seconsidercondensatorulncrcatcuosarcindevaloarearbitrar+q, respectiv q; 2.secalculeazinduciaelectricacmpuluicreatdeacestesarcininzona dielectriculuise calculeaz E;K = = E E Dr 0 3. se calculeaz diferena de potenial ntre cele dou armturi:l d E V V U = =212 1 4.se exprim capacitatea cu relaia (6). Sarcina q se va simplifica. Exemple: 1) Condensatorul plan cu un singur dielectric Se d: S; d; r . Se cere C. q arbitrar Se poate aplica legea fluxului electric pentru calculul luiD = q s d Dq +q U q + q U q +q ABDrS1S2Sd 30 S S S l = 2 1ABEdld Sembracarmturasuperioarcuosuprafanchisdeform paralelipipedic.Pentruaceastsuprafaseapliclegeafluxuluielectric.Seine seama c avem un cmp electric complet, adic toate liniile de cmp care pornesc de pearmturancrcatcusarcinipozitiveajungpecealaltarmtur.Seconsiderc n afara dielectricului cmpul electric este nul. ; q q= DS ds D ds D s d D s d D s d D s d D s d DS S S S S Sl= = = = + + = 1 1 1 2 10 cos Pe suprafeele S2 i Sl0 = D . SqD q S D = = ; Sq DEr r 0 0= = dSqdlSqdl E l d E V V Urdrd BA 0 0 002 10 cos = == = = = dSdSqqCrr 00= = 2) Condensatorul plan cu dielectric stratificat Se dS ,1d ,nd , rn r K ,1 Se cere capacitate. q arbitrar. SqD = Sq DESq DESq DErn rnnr rr r 0 02 0 2 021 0 1 01= == == =L d1 d2 dn 1 2 n +q -q A B 31 + + + ++ + ++ + + + = = n n qnd d d dd d dd ddd BAl d E l d E l d E l d E V V1 11 2 12 11102 1LLL= + + + = = n nd E d E d E V V dl E l d E L2 2 1 1 2 10 cos|||

\|+ + + =rnnr rd d dSq L22110 2 1V VqC= ==nk rkkdSC10 3) Condensatorul sferic Sedau:dousfereconductoarecu raze 2 1, R R ir.Secerecapacitatea C. q-arbitrar.Cmpulelectricare simetriesfericdatoritformei armturilor;pentrucalcululluise aplic legea fluxului electric. Pentru asta construim o sfer(suprafa sferic concentric cu armaturile). 2 1R r R < < . q s d D = ds D ds D s d D = = 0 cos 24 r D ds D s d D = = 2244rqD q r D = = 20 04 rq DEr r = = = = = = =21212120202 114 40 cosRR rRRRR rBAdrrqdrrqdr E r d E V V U |||

\| = 2 1 01 14 R RqUr |||

\|= =2 1 01 14 R RqqUqCr 1 22 1 04R RR RCr= rR1R2ABrs d D32 S S S l =2 14) Condensatorul cilindric Se d: rl R R , , ,2 1. Se cere C. q - arbitrar Cmpul electric n dielectric are simetrie cilindric datorit formei. - suprafa cilindric de raz r, 2 1R r R < < rl D ds D ds D s d D s d D s d D s d D s d Dl l l lS S S S S S 2 0 cos2 1 = = = = + + = Pe suprafeele S1 i S20 = D . rlqD q rl D22 = = rlq DEr r 0 02= == = = = = = drr lqdrrlqdr E r d E V V URR rRR rRRBA21212112 20 cos0 02 1 ( )1201 20ln2ln ln2 RRlqR Rlqr r = = =120ln2 RRlqqCr 120ln2RRlCr = CS1= - elastan| | F CSI1 = (Farad) rAB1R2Rs dDhq q +s dD1S2SSl 33 A BUq Uq ABUq Sisteme de condensatoare Unsistemdecondensatoareesteunansambluformatdinmaimulte condensatoare conectate care poate avea sau nu borne exterioare i care ndeplinete o anumit funcie. Sisteme de condensatoare cu dou borne exterioare Dousistemedecondensatoarecuborneexterioaresuntechivalente( ) dacprinaplicareaaceleiaidiferenedepotenialntreborneseabsorbaceleai sarcini electrice. A) Sisteme de condensatoare conectate n paralel. Capacitate echivalent Se d nC C C , , ,2 1 conectate n paralel. Se cere capacitatea echivalent U C q1 1 = ;U C q2 2 = ;U C qn n =Condiia de echivalen:q q q qn = + + + L2 1 U C qp= UU C U C U C U Cn p12 1 + + + = L == + + + =nkk n pC C C C C12 1L 1qgCL2qnq2CLnCLABpCq +q U C1 C2 Cn -q1 -q2 -qn A B 34 A B1Cq + q q +q q + q q +q 2C3CnC1U2U3UnUUA Bq +q sqCU1CSC13C4CrCpCC B) Sisteme de condensatoare conectate n serie. Capacitatea echivalent Se d: nC C 1 n serie. Se cere SC . 11CqU = ; 22CqU= nnCqU= + + + = =q CqCqCqCqUn s12 1L== + + + =nk k n sC C C C C1 2 11 1 1 1 1L nU U U U + + + = L2 1 (teorema potenialului) ==nkk sS S1 (S-elastana) C) Conexiuni mixte paralel-serie (exemplu) 3 23 213 23 23 2 11 1 1C CC CCC CC CC C Css+= += + = 5 43 23 25 4 1 1C CC CC CC C C Cs p+ ++= + + = pppC CC CCC C C += + =111 11 1 1 1C2C3C4C5CC=? 35 1 5 43 23 25 43 23 21C C CC CC CC CC CC CCC+ + ++|||

\|+ ++= Sisteme de condensatoare fr borne de acces (Reele izolate de conductoare) Conin att condensatoare ct i surse de tensiune interconectate. Secunosccapacitilecondensatoarelorreeleiitensiunilesurselorise urmretegsireadistribuieisarcinilorelectricepecondensatoarelereelei.Pentrua rezolvaaceastcategoriedeproblemeseutilizeazteoremeleluiKirchhoffpentru reele de condensatoare. T1Sarcinatotaldelimitatdeosuprafanchiscarenuarefirede conexiune, ci se nchide numai prin armturile condensatoarelor i prin aerul sau vidul din vecintate se conserv.ct qk = T2Sumatensiunilorlaborneleelementelorcareformeazobuclareelei este zero. 0 = kU Se d: 4 1. , C C i 0USe cere: 4 1, , q q i 4 1, , U U Etape de rezolvare: seconsidercondensatoarelencrcatecusarcinile 4 1, , q q isestabilesc polaritilearbitrare.Recomandare!Armturileconectatelabornedeoanumit polaritate ale surselor se vor ncrca cu sarcini de aceeai polaritate; se aplic teorema a doua a lui Kirchhoff pentru toate ochiurile reelei. Ochi = bucl care nu conine laturi diagonale. Pentru fiecare ochi se alege un sens convenional de parcurgere. Tensiunilelabornelecondensatoruluiseconsiderorientatedelaarmturile pozitive spre cele negative. o1 :00 2 1= + U U Uo2 :02 4 3= + U U Useconstruiescatteasuprafeenchiseprindielectriciicondensatoruluict este necesar pentru a completa sistemul de ecuaii cu expresii date de T1. nr. de necunoscute = 4 nr. de ecuaii deja construite = 2 nr. de ecuaii necesare = 4-2 = 2 q +q +q q q + q U0o1 o2q +q U1U2U3U4C1C2C3C4+1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 36 dou suprafee nchise 1i 2 ( ) 0 :4 3 1= + q q( ) 0 :3 2 1 2= + + q q qse rezolv sistemul de ecuaii:) 4 1 ( K = = kCqUkkk = + + = + = + + = +0003 2 14 344332202211q q qq qCqCqCqUCqCq ====????4321qqqq Energie n cmp electric 1) Sistem de n sarcini punctiforme Energia cmpului electric corespunztoare unui sistem de sarcini punctiforme este numeric egal cu lucrul mecanic necesar a fi efectuat din exterior pentru a ncrca corpurile respective cu sarcin electric. 01 = L( )12 012 2 2 2 22 241212 1212Rqq L V q l d E ql d E q l d F l d F LRR RR= = + == = = = |||

\|+ = =23 0213 013 3 3 34 4 RqRqq V q L Pentruaducereasarciniinpunctul 3M seefectueazunlucrumecaniccare trebuie s nving forele de natur electric de interaciune att ntre 3qi 1q , ct i ntre 3q i 2q .3Veste potenialul cmpului electric n punctul 3Mdatorat prezenei lui 1qi 2q . == =11 04nk knkn n n nRqq V q L == == =njjk kjkjnjj eRqq L W111 0 14 jk kjR R =Dublm numrul de termeni ai sumei, = == === = = njj jnjnj kk kjkjnjnj kk kjk jeV qRqqRq qW1 1 1 0 1 1 0214 214 21 q1 q2 M3 M1 M2 R12 R13 R23 Fq3 37 VV SSCl 1q1V12nq2qnV2Vn ==njj j eV q W121J WSI e1 = > < (Joule) Exemplu: 3 2 1L L L We+ + = 01 = L |||

\|+ + =23 0213 01312 012 24 4 4 RqRqqRqq L =|||

\|+ + + + + =32 02 331 01 321 01 223 03 213 03 112 02 14 4 4 4 4 4 21Rq qRq qRq qRq qRq qRq q = ==3131 04 21j k jkk jRq q 2)Distribuii oarecare de sarcini electrice Prin analogie + + =) ( ) ( ) (212121ClSSVV eVdl Vds Vdv W 3) Sisteme de n corpuri conductoare (sarcini distribuite pe suprafee echipoteniale) 38 q +q EDSUd|||

\| =|||

\| ===nkS knkS ekk kds V ds V W1 12121 = =nkk k eV q W121 Caz particular:2 = n (condensatorul) q q + =1;q q =2 ( ) ( ) = + =2 1 2 2 1 12121V V q V q V q WeqU We21= = CU q221CU We = =CqUCqWe221= Densitatea volumic de energie a cmpuluielectrostatic

ol eeV DE DSEd Wd E UDS qSqDqU W = = )` == ==212121,unde Vol volumul dielectricului 0 cos = E D E D olV E D W ||

\| =21 ol eV w W = E D we =21 we densitatea volumic de energie a cmpului electric;| | =SI ew 1J/m3 Expresiaenergieicmpuluielectrostaticpoatefigeneralizatpentruo distribuie de sarcini sub forma: =) (Ve edv w W ; E D we =21,unde (V) domeniul ocupat de cmpul electric la care ne referim. 39 Teoremele forelor generalizate n cmp electrostatic Coordonate generalizate Reprezintansambluldemrimiscalare(cudimensiunidelungimesau unghiuri)carecaracterizeazformaidimensiunileunuiansambludecorpuri ncrcate cu sarcini electrice. , ,2 1x xNoiunea de fore generalizate Forelegeneralizatesuntforemecanicesaucupluricaretindsmodifice coordonatele generalizate. , ,2 1X Xk k kdx X L = - lucrul mecanic elementar efectuat de fora generalizat kX Observaie: Semnul forei generalizate se consider pozitiv dac ea acioneaz n sensul creterii coordonatelor generalizate corespunztoare. X F x d T1- Teorema nti a forelor generalizate Enun:Forageneralizatcareacioneaznsensulcreteriicoordonatelor generalizatecorespunztoareesteegalidesemncontrarcuderivataenergiei cmpului electrostatic n raport cu coordonatele generalizate. ct qkekxWX= = T2 - Teorema a doua a forelor generalizateEnun:Forageneralizatcareacioneaznsensulcreteriicoordonatelor generalizate corespunztoare este egal cu derivata energiei cmpului electrostatic n raportcucoordonatageneralizat,calculatncondiiilemenineriiconstantea potenialelor. ct VkekxWX=+ =n cazul teoremei nti, sistemul este izolat fa de exterior aa nct nu apare transportdesarcin,iarncazulteoremeiadouaareloctransportdesarcinntre sistem i exterior, care duce la schimbarea strii acestuia. q +q Fd 40 U dSRRSExemple de calcul a forelor generalizate 1)Calcululforeicetindesmodificedistanadintrearmturileunui condensator plan Caz1: q = ct SeaplictensiuneaUprovenitdelaosursdetensiune.Caurmare, condensatorulsencarccusarcinaCU q = ;dupcaresendeprteazsursade tensiune icondensatorul rmne izolat. Sd qWdSCCqWrere 02022121 = = = < =|||

\| = ==021210202SqSd qt dWFr r ct qe Fora acioneaz n sensul scderii lui d Caz2: V=ct. Se aplic tensiunea provenit de la o surs care rmne conectat permanent la borne. 2 0 22121UdSCU Wre = = < = ||

\| =+ ==021 121220 20dSUd dSUdWFrrct Ve Fora acioneaz n sensul scderii lui d 2) Voltmetrul electrostatic q +q FSd 41 2 222 22R RSSR = =K K K KK K K

SI = 1 rad U = ct. aplicm T2 221CU We = 220 0Rd dSCr r = =

> = |||

\|=|||

\| == ==0412 212 220 220U k UdRURdWM Xr rct U M (cuplul mecanic) acioneaz n sensul creterii unghiului 42 ELECTROCINETICA Sarcinile electrice pot avea o micare ordonat: micarea electronilor accelerai ntr-un tub catodic; deplasarea particulelor pozitive(protoni) ntr-un accelerator de particule; deplasarea electronilor liberi n corpurile conductoare; deplasarea electronilor i golurilor n semiconductoare; deplasarea ionilor + i n soluiile electrolitice; deplasareacuvitez,macroscopicacorpurilorncrcatecusarcini electrice; deplasarea unei bile electrizate. Electrocinetica studiaz fenomenele legate de deplasarea electronilor liberi n corpuri conductoare. Deplasareaordonatapurttorilordesarcinincorpuriconductoarese numeteconducieelectric.Sefoloseteexplicit:conductoarenstaredeconducie electric. ncadrulacestuicapitolsevortratacuprecderefenomeneleaferente regimului staionar, caracterizat prin: vitez medie constant a purttorilor de sarcinict v = ; mrimilececaracterizeazfenomenelesuntinvariabilenraportcu timpul( ) 0 = t; fenomenele sunt nsoite de schimb de energie sub form de cldur cu mediul nconjurtor0 Q . Mrimeafiziccecaracterizeazstareadeconducieesteintensitatea curentului electric. Intensitatea curentului electric este prin definiie numeric egal cu sarcinaetransportat prin seciunea transversal n unitatea de timp. dtdqtqit== 0lim(1) A iSI1 = > = < 1 (Legea conduciei electrice n form local) J E E i= + = ) (1(10) - conductivitatea electric , 1 11 = > < mSI sau Siemens / metru Cmpul imprimat se manifest n conductoare neomogene i poate fi de natur chimic(bateriialcaline)saumecanic(generatoarelerotativedeinducie electromagnetic). Corpuri omogene: J E = (11) J E = (11) ( ) = = +212121SdliSSl d J l d E E i S J i = = + 212121Sdli l d E l d E i i R e u = + (12) Relaia(12)reprezintformaintegralalegiiconducieielectricepentruo poriune de conductor neomogen. 47 u - tensiunea la bornele poriuni de conductor; e - fora (tensiunea) electromotoare, ce exprim forele de natur neelectric; R - rezistena electric a poriunii de conductor. Pentru conductoarele de seciune constant : ==..ctct S SlR= (13) Dacseconcentreazparteaomogen,respectivceaneomogenobinem schema echivalent din fig.: Regim staionar:. ct u = U u ,E e , I i I R E U = +(14) E - tensiunea electromotoare (nu intensitatea cmpului electricE !). ( ) | |0 01 T T + = (15) Relaia (15) arat dependena rezistivitii n raport cu temperatura, valabil n domeniul temperaturilor uzuale pentru aplicaiile inginereti. - reprezint coeficientul de temperatur;0 > n general 0 - corespunde laK T0020 273 + =mmmmCu22 8010 7 , 1 10 7 , 1 = mAl 8010 4 , 2 mAg 8010 6 , 1 Constantan (aliaj) m 6010 50 Existmaterialecareinvecintateatemperaturiide0absolutprezint fenomenul de supraconductibilitate, manifestat prin anularea rezistivitii . IReuI REUi K 10 T15 exp r0 48 l12SdvdlVLegea transformrii energiei n procesul de conducie (Joule-Lenz) l E q l F Leel = = t v l = t v E q Le = (3) JN qve = 1t J ENL = 1Pentru unitatea de volum(N purttori elementari): t J E L N L = = 'J E - reprezint puterea pe unitatea de volum a unui material aflat n stare de conducie. J EtLptj == 0lim (16) Aceast putere se transform integral n cldur. Relaia(16)reprezintformalocalalegiitransformriienergieinprocesul de conducie electric. Enun:Putereatransformatncldurcorespunztoareunitiidevoluma unui conductor aflat n stare de conducie este egal cu produsul scalar ntre E i J. 2 31 1 1mAmVmWpSI = = > =EI PRI Pgj

= > < 1SIR (Ohm) W PSI1 = > < (Watt) Energia electric Energiaelectricconsumatdeoporiunedeconductoraflatnstarede conducie ntr-un interval oarecare de timp reprezint integrala puterii n acel timp. =ttdt P W0 ) ( .0t t P t P W ct P = = = J WSI1 = > < (Joule)1s 1W 1J = kWh Wtehnic1 = > Pq0 0 Pg = < rERbaterieelectric schemaneomogen parteelectric circuit omogen parte+ - UE( ) 0 = RU = -E U = E sau JR 51 IRU( ) t u( ) t iL( ) t u( ) t iC( )dtduC t i =1E3E1I1R1n2n3n1U2U2I 2R3R4I4R5I5J2b1bRezistorul ideal = 0 E I R U =RG1=- conductana electric S GSI1 = > < (Siemens),1S = 1 -1 U G I = Bobina ideal L - inductana ( )dtdiL t u =n regim staionar:) ( 0 0 it scurtcircu Udtdi= = Nu vom folosi bobina n acest capitol. Condensatorul ideal n regim staionar:0 0 = = Idtdu(mers n gol) Nuvomfolosicondensatorulnacest capitol. Elementelesuntconcepteidealizatecuajutorulcrorapotfiexplicate fenomenereale.Unelementdecircuitidealfuncioneazpebazauneisingure proprieti considerat dominant, neglijndu-se efectele secundare. Elemente de topologie a circuitelor electrice 52 1n2n3n1b2b) 1 () 2 () 3 () 4 () 5 (1n2n3n) 2 () 4 () 5 () (a Latur de circuit este oporiune frramificaii; ea poate s conin unul sau mai multe elemente; l - numrul de laturi. Noddecircuitesteunpunctncareconvergtreisaumaimulte laturi.(3 2 1, , n n n ); n - numr de noduri. Bucl este un poligon format din laturi ale circuitului.(exemple:1-3; 1-2-4; 2-3-5) Ochi de circuit este bucla care nu conine laturi interioare (exemple: 1-3; 2-3-4; 4-5). 1 + = n l o - numrul de ochiuri (relaia lui Euler) Circuitulelectricsepoatereprezentagraficntr-oformsimplificatprin grafurile asociate. Grafulesteoreprezentaresimplificat,ncarelaturilecircuituluisunt reprezentateprinarcuricroraliseasociazsensurinconcordancusensurile convenionale alese pentru cureni. Subgrafulesteoparteaunuigrafcarenuconinetoatelaturileacesteia,n schimb el poate conine sau nu toate nodurile. Exemplu: Subgrafuricomplementaresuntdousaumaimultesubgrafurialeaceluiai graf care mpreun conin toate laturile grafului i nu au nici o latur comun. (a) i (b) sunt complementare Arboreleesteunsubgrafceconinetoatenodurilegrafului,darnuconine bucle. ) (bn1 n3 (a) 53 1n2n3n) 1 () 2 (Arbore) 1 () 2 () 3 () 3 (3bucla b) 1 () 2 (4b) 1 () 2 (5b) 5 (1 1 + 0 1 + 00 0 1 1 1 1 + 0 1 1 + 1 +1n2n3n1l2l3l4l5l= A 1 = n la(numrul de laturi ale arborelui) Laturile unui arbore se numesc ramuri. Coarbore este subgraful complementar unui arbore. o n l l l la c= + = = 1cl - coardele Prinadugareacteuneicoardelaarboreseformeazcteobucl independent al crei sens de parcurgere este impus de sensul coardei. o n l l bc= + = = 1(numrul de bucle independente) Descrierea topologiei prin matrice de conexiune 1) Matricea de inciden laturi-noduri n - linii; l-coloane; l nA Elementele matricei sunt: egale cu zero0 =j ia dac latura j nu este incident la nodul i; 1 + =j iadac latura j este incident la nodul i i are sensul de ieire din acesta; 1 =j iadac latura j este incident la nodul i i are sensul de intrare n acesta. Liniilenusuntliniar independente,ceeacene permitespstrmnumai liniileindependenteale matricei,frspierdem din informaie (n-1 linii) 54 1 = n rangA1 1 +0 1 + 0001 1 1 0 1 1 +3b4b5b1l2l3l4l5l= B00

+ + =1 1 0 1 00 0 1 1 1Ar- matricea rezistor 2)Matricea de conexiune laturi-bucle l bB 0 =ijb (laturai j ) 1 + =ijb (laturai j iare acelaisenscu aceasta) 1 =ijb (laturai j ,dar are sens contrar) Matricea curenilor laturilor | |

=lIIIIM21 ,| |1 lI,l-numrul de laturi Matricea (vectorul) tensiunilor laturilor ||

=lUUUUM21 ,||1 lU Observaie:Sensuriletensiunilorcoincidcusensulcurenilor.Suntsensuri convenionale care pot fi diferite de sensurile reale. Matricea(vectorul) potenialelor noduri Dacpotenialulunuiadintrenodurisealegecareferiniiseatribuieo valoarearbitrar(preferabilvaloareazero),atunciacestpotenialnufacepartedin vectorul potenialelor nodurilor. | |

= =1210nnVVVV VM, | | 1 ) 1 ( = n V, n = numrul de noduri al circuitului 55 Matricea tensiunilor electromotoare ale laturilor | |

=lEEEEM21,| |1 lE .Exemplu:| |

=00031EEE Matrice curenilor surselor ideale de curent | |

=lJJJJM21,| |1 lJ .Exemplu:| |

=50000JJ Matricea rezistenelor laturilor | |

=lRRRRKM O M MKK0 00 00 021,| |l lR. Matricea conductanelor laturilor ||

=lGGGGKM O M MKK0 00 00 021,||l lG. kkRG1= Relaii matriceale utile: 1) 0 = = trtrA B B A -matriceadeincidenlaturi-noduri(redus)Ari matricea de inciden laturi-bucle B sunt ortogonale. | |l n rA ) 1 (, | | | |b n b ltB =) 1 (0 rA

+ + + +1 0 0 1 10 1 0 1 10 0 1 0 11l2l3l4l5l4b3b=B

+ + + + + 0 0 1 0 11 1 0 1 01 1 1 1 11n2n3n1l2l3l4l5l=56 ===+ + = =

=

=

I II II II I I I I II I I I IIIII II I IIIIIIIII5 54 43 35 4 2 5 4 21 5 4 3 15435 45 4 3543543210 0 00 1 00 0 11 1 01 1 1

=

= 0 0 00 0 01 0 00 1 00 0 11 1 01 1 11 1 0 1 00 0 1 1 1tB2)|| | | | | V A Ut = | | | |2 1 30 V V V = = Observaie:Matriceadeincidenlaturi-noduri(redus) (rA )seobine eliminnd linia corespunztoare nodului ales cu referina de potenial din matricea de inciden laturi-noduri A. 3)| | | |CtI B I =, IC - vectorul (matricea coloan) curenilor cu arborele Exemplu:

=543IIIIC- curenii arborelui.| |n b CI Teoremele lui Kirchhoff pentru circuite liniare de curent continuu Prima teorem a lui Kirchhoff (Teorema curenilor): Enun:Sumaalgebricaintensitilorcurenilorincidenintr-unnodde circuit este zero.

+=

=

VVVV VVVVUUUUU2212 121543211 01 00 11 10 1V V V U 1 1 3 1 = =V V U 2 1 2 =V V V U 2 2 3 5 = = 57 04 3 2 1= + + + i i i i 0) (=jn kkI 0 = s d J- Regim staionar + = + + + = 1 4 3 2 10 cosS s S S Sds J s d J s d J s d J s d J s d J0 0 cos 0 cos 0 cos4 3 2 14 3 2= + + = + + + I I I I ds J ds J ds JS S S Teorema a doua a lui Kirchhoff (Teorema tensiunilor) Enun: Suma algebric a tensiunilor la bornele laturilor care compun o bucl de circuit este zero. 04 3 2 1= + U U U U0) (=jb kkU (1)- forma general a teoremei a II-a a lui Kirchhoff 1i2i4i3i) (njS1S2S3S4dsdsdsI1I 2I3I 4J3J1ds 1E3E1I1R1U2U2I2R4I4R3R3I4Uconverssensbj3U1U2U3U4U1n2n3n4ndlSens convenional 58 U kEk I kDemonstraie:Se aplic teorema potenialului electric pentru regim staionar. Teoremaesteasemntoaredinpunctdevedereformalcuteorema potenialului electrostatic. 0 = l d E= + + + = + + + = 41 34 23 1232144321U U U U l d E l d E l d E l d E l d Ennnnnnnn 04 3 2 1= + = U U U U Form particular a teoremei a II-a a lui Kirchhoff k k k kI R E U = +k k k kE I R U = (2) Se nlocuiete (2) n (1)( ) = = kkkk kkk k kkkE I R E I R U = 0kkkk kE I R =kkkk kE I R (forma particular a teoremei a II-a a lui Kirchhoff) Enun: Suma algebrica cderilor de tensiune la bornele rezistoarelor de pe laturilecarecompunobucldecircuitesteegalcusumaalgebricatensiunilor electromotoare de pe acele laturi. Ex: 3 1 4 4 3 3 2 2 1 1E E I R I R I R I R = + Teorema conservrii puterilor n circuite de curent continuu Enun: Suma puterilor primite de laturile circuitului este zero. k k kU I P = - puterea primit de latura k 01==lkk kU I- forma general | | || 0 = U It - forma matriceal l lltlU I U I U IUUUIII+ + + =

LM M2 2 1 12121 59 Demonstraie: | | | |ctI B I = | | | | B I Itct =|| | | V A Ut = | | || | | | | 0 = = V A B I U It tct | | 0 = tA BForma particular: ( ) 01 121= = = = = =lkk klkk klkk k k k k k k kI E I R E I R I E I R U = ==lkk klkk kI E I R1 12 - forma particular (bilanul puterilor) Enun:Sumaputerilorconsumatedetoaterezistoarelecircuituluiesteegal cu suma total a puterilor cedate de sursele de energie. Expresia matriceal a teoremei nti a lui Kirchhoff pe ntreg circuitul | | | || | | |1 ) 1 ( 1 ) 1 (1 ) 1 (00 = = n l l nnII Expresia matriceal a teoremei a II-a a lui Kirchhoff || | |10= bU B - forma general || | |1 10 = b l l bU B|| | | | | | | E I R U E I R Uk k k k = =- Se nmulete cu B la stnga || | | | | | | = E B I R B U B | | | | | | E B I R B = (forma particular a teoremei a II-a a lui Kirchhoff.) Analiza circuitelor liniare de curent continuu cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff Analizaunuicircuitelectricpresupunecalculareacureniloritensiunilor laturilor atunci cnd se cunosc: natura elementelor componente; modul de interconectare al lor (topologia circuitului); parametrii elementelor componente 1) pentru elementele pasive - R. 2) pentru elementele active - E, J PentruanalizaunuicircuitcuajutorulteoremelorluiKirchhoffseparcurg urmtoarele etape: 1)Seidentificelementeledetopologie:numruldelaturi(l),numrulde noduri (n), numrul de bucle independente (b). Laturileseindexeazcucifrearabenordinecresctoare,toateelementeleaceleiai laturi purtnd ca indice indexul laturii respective. Nodurile circuitului se indexeazc b a n n n , , sau , ,3 2 1. 60 Sealegsensuriconvenionalepentrucureniilaturilor(sensulcurentului sensul tensiunii electromotoare). Se cere:5 1I I K ; 5 1U UK i bilanul puterilor l =5; n =3; b = l-n+1 =3 Seidentificbucleleindependenteisealegsensuriconvenionalede parcurgere (sensuri arbitrare). 2) Se construiesc( ) 1 necuaii cu teorema I a lui Kirchhoff. Se construiesc b ecuaii cu teorema a II-a a lui Kirchhoff. Ansamblul acestor ecuaii formeaz un sistem de ecuaii cu l necunoscute. | || | | | | | E B I R B TI T= = ) (0 ) (21| || || || |

=

E BIR Bn 1 ) 1 (0 (expresia matriceal a teoremelor lui Kirchhoff pentru ntregul circuit) Pentru exemplu: = = = = ====144228121254321421RRRRREEEVVV1b2b3bE1E2R1R2R3R4R5I1I 2I3I 4I51n2nE4n3

=

+ + =

=000 1 1 1 11 0 0 1 14 3 2 15 2 154321I I I II I IIIIII( )( )( )( )( ) = ++ = + + + = += + + = E I R I R bE I R I R I R bE E I R I R bI I I I nI I I n4 4 4 3 3 32 5 5 3 3 2 2 22 1 2 2 1 1 14 3 2 1 25 2 1 1:::0 :0 :|||

\| 0 1 1 1 11 0 0 1 11l2l5l4l3l=

0 1 1 0 01 0 1 1 10 0 0 1 1=B0 61 | |

=RRRRRR5432100 | |

=

=422 1421000 1 1 0 01 0 1 1 00 0 0 1 1EEE EEEEE B 3)Rezolvarea sistemului de ecuaii (Depreferabilssefoloseascformamatricealisseapliceometodde eliminare de tip Gauss) sau se poate aplica regula lui Cramer.) | | = N I M M1| | N M I =1 ) det(M = ;=kkI ,k =1,2,l n urma calculelor =====AAAAAIIIII4312254321 k k k kE I R U = = == == = = = = =V I R UV E I R UV I R UV E I R UV E I R U444885 5 54 4 4 43 3 32 2 2 21 1 1 1 | |

=0 1 1 0 01 0 1 1 00 0 0 1 1R B

RRRRR5432100

=0 0 00 00 0 04 35 3 22 1R RR R RR R| || |=I R B

0 0 00 00 0 04 35 3 22 1R RR R RR R

= = += =

0004 4 3 35 5 3 3 2 22 2 1 154321I R I RI R I R I RI R I RIIIII62 ( ) 72 4 1 3 4 1 4 2 2 2 22 2 2 2 225 522 221 1= + + + + = + + +I R I R I R72 3 8 2 12 2 124 4 2 2 1 1= + + = + + +I E I E I EERIUCelecusemnul-ausensurilerealeopusefadesensurileconvenionale alese la nceput. 4)Verificarea calculelor cu ajutorul bilanului puterilor Puterea consumat: Puterea cedat: Metode operative de analiz a circuitelor liniare de curent continuu 1)Metodacurenilordecontur(metodacurenilordebuclsaumetoda curenilor ciclici) E I R U I R E U = = +Pentru ntregul circuit: (1)(2) Se nlocuiete (2) n (1) dup ce s-a nmulit expresia (1) la stnga cu matricea B. Notaie: | |Rb b b- matricea rezistenelor buclelor | |Eb b 1 -vectorul tensiunilor electromotoare ale buclelor Relaiile( ) 3 i() 3 suntexpresiilemetodeicurenilordecontur,respectivun sistem de b ecuaii cu b necunoscute. Necunoscutele sunt curenii laturilor coarborelui asociat circuitului n numr1 + = n l b . = =51512k kk k k k I E I R{{consumat puteresurse de cedat putere| | | || || |E I R B U B = | | | | |I B I Ct=| | | | | | | |E B I B R U B Ct =| | | |R B R B bt= | | | |E E B b=| |E I R b C b= ( ) 3| | 0 =U B| | | | | |E B I B R B Ct= (Teorema a II-a a lui Kirchhoff)(3) 63 IC1IC2 IC31b2b3b( )E E R I R R I C C 2 1 2 2 2 1 1+ = + +Aceticurenipotficonsideraicaicurenifictivicareparcurgbuclele formateprinadugarealaturilorcoarboreluilaarbore(bucleindependente).Dup rezolvarea sistemului i aflarea curenilor CIse calculeaz curenii tuturor laturilor cu ajutorul expresiei (2). 3 2 1, ,c c cI I I - cureni de bucl 2 1R R + - suma rezistenelor laturilor buclei parcurse de 1 CI2R - rezistena laturii parcurs simultan de 2 1,C CI I2 1E E + - suma algebric a tensiunilor electromotoare de pe laturile buclei Semnul celui de-al doilea termen( R2 ) este +dac 2 1,C CI Iau acelai sens prin latura comun i - dac au sensuri contrare. Observaie:Metodanusepreteazpentrurezolvareacircuitelorcareconin laturi de rezistene infinite. 2) Metoda potenialelor noduri(metoda nodal) Seconsiderlaturileunuicircuitdetipgeneralcareareurmtoarea configuraie: = + = + = +1/2 | 8 8 412 4 7 21/2 |0 2 43 23 2 C12 1II II II IC CCC C= + = += +2 212 4 7 20 23 23 2 12 1I II I II IC CC C CC CAAIII I II ICCC C CC3224 2 212 4 6232 3 13 2=+== = + = AAAAAI II II I II I II ICCC CC CC431222 53 43 2 32 1 21 1 = == == == + == =( )( )= ++ + + +E R I R R IE R I R I R RRIC CC C C4 3 2 4 3 32 3 3 2 1 5 322|I R E U = +E G U G I+ =UERIAJI B 64 J I I J I I+ = = 0J E G U G I+ + = | | | | | || || || |JEG U G I+ + =( ) 4| | | |V Ut= ( ) 5| | | | | | | | | | | || || | | | | | | | = =+ + =E G V GIJ E G V G I tt0( ) 6| | | | =tn G G| | | |I V GS nn= () 603=V Teorema I a lui Kirchhoff n nodul A: Se nlocuiete (5) n (4) dup ce s-a nmulit la stnga expresia (4)cu matricea t (matricea de inciden laturi-noduri redus). - matricea conductanelor nodale | | ||| | E G InS = - vectorul curenilor de scurtcircuit nodali Expresiile (6), respectiv (6) reprezint sistemul de ecuaii de dimensiuni1 ncare are ca necunoscute potenialele a1 ndintre nodurile circuitului scrise compact sub forma vectorului V. Potenialul celui de-al n-lea nod este considerat ca referin i uzual i se atribuie valoarea zero. ( ) () 6 , 6 esteexpresiapotenialelornodurilor.Dupaflareapotenialelorse calculeaz curenii laturilor cu ajutorul relaiilor( ) ( ) 5 , 4 . Se alege potenialul de referin i i se atribuie valoarea zero. ( ) ( )E G E G G G V G G G V 2 2 1 1 2 1 2 5 2 1 1+ = + + +5 2 1G G G + + - suma conductanelor tuturor laturilor incidente n nodul 1n . 2V - potenialul unui nod adiacent 2 1G G + - suma conductanelor laturilor care unesc cele dou noduri 1 i 2. Termenii ce se refer la potenialele nodurilor adiacente au ntotdeauna semnul minus. Nodadiacent-estelegatdenodulpentrucaresescrieecuaiaprintr-olatur fr ramificaii (cel puin o latur). 1 11E G IS =curent de scurtcircuit a laturii 1. Curentuldescurtcircuitaluneilaturieste curentulcareapareprinaceastaatuncicnd capeteleeiseunesccuunfirderezisten nul. REI E I RS S111 11 1= =IS1n1n265 ( ) n3R( )1n03 =ISE2n1n2E G IS2 22 =( ) ( )E G E G E G G G V G G G G V 4 4 2 2 1 1 2 1 1 4 3 2 1 2+ = + + + +G G G 5 2 1+ +G G 2 1 + G G 2 1 + G G G G 4 3 2 1+ + +| |Gn

VV21

+ +=E E G E GE G E G4 2 2 1 12 2 1 1| | V

ISn6 6 22 1+ = V V2 | 2 6 6232 1+ = + V V20 3 22 1 = + V VVV V4 8 22 2 = = VV VVV4 42121 121+ = + =+( )( )( )( )( )( ) AAAAAV V G IE V V G IV V G IE V V G IE V V G IE U G I k k k k431221 3 5 54 2 3 4 42 3 3 33 1 2 2 21 1 2 1 1 = == + == == + == + =+ =rrq qF32 14 =E+EmFr10 9 4190 = = Cureniidescurtcircuitseiaucusemnul+nmembruldreptalecuaiei nodale dac sensul lor este ctre nod i cu semnul - invers.

Observaie:Metoda2)nusepreteazpentrucircuitecareconinlaturide rezisten nul sau conductan. Seminar: r - distana de la sarcina 1qla 2q . - permitivitate 66 ( )2cos1cos04 + =lEx xVV E = =| |rqV m V E l d E V 4; / ; = = = =PPl d E P V P V0) ( ) (0 1)Seconsiderunfirrectiliniufinit,ncrcatuniformcuosarcinelectric distribuit liniar, aflat n aer. S se calculeze intensitatea cmpului electricEntr-un punct aflat la distana a de firul nostru.

Cqv dqVV1 ; =

=E DqsdE00; = =rqEqE F 34= = r 211 TalrMdExE ddEdl 1 2 y l drrrEdl24 = sinEdEdx = cosE d E d y = d a l d a lalctg ctg|||

\| = = =2sin;1( )+ = =|||

\|= = =21212cos1cos04sin042sin2sin2sin104sinsin aldalad alExarra sin sin20 4l drEdEdlx =67 ( ) = =|||

\|=21212sin1sin04cos042sin2cos2sin104 aldalad alEy( )2 10sin sin4 =aEly0 ; cos02 12= = = EaE ylx 0 ; 002 12= = = =EaE ylx ha 1n2nE3nEEEr1a rI 68 r20 = VE = = =VVVV Vh a v d v dq2 raEh ah r EVeVe0202222= = =( )a R r d r r d rrE VVRaRaRaRaV V Vi i2 20 0 0 0 4|2 2 2 = = = = = aR ar drar draE VVRaRaRaV Ve eln020202212 2 = = = = 1C2CkCSCC=qk s C C1 1=kk p C CdAdACrpl 0= =UQU C WdACrkkpl2121 2 0; = = = pCF C F C F C F C F C F C u u u u u u 1 ; 1 ; 5 ; 5 , 0 ; 5 , 0 ; 106 5 4 3 2 1= = = = = = Seminar Probleme:1)asecondensatoaresuntlegatecanfigur.Sarcinacondensatorului C q4510 , 5= . Se mai cunosc S se gseasc tensiunea. 69 AB1C2C3C4C5C6CMNMNUCq q46 510= =21 1 1 16 56 5566 5 56 65; =+= + = =C CC CCC C C CqUABVUAB20010106421= =C C CU CqAB4 3 3434341 1 1; + = =Cq4 6 23410 102110 2 = =AB1C2C34C56CMN1C2CABCFCC C C C CqU eAB e eMNu31101031;1 1 1 12 1= = + + = =VU U MN MN6201010 31 210311010 2264= = = FC CC CCu5 021,4 34 334=+= F CC C Cq q qABABu 1 ; 10 2212134 56456 34= + = + = = + = 2) ntre armturile unui condensator plan ce are 0se introduc succesiv: a)o lam dielectric cu grosimeacm d 46 , 0 = i3 , 2 = r ; b)oplacmetaliccugrosimea; 46 , 0 cm d = lamelefiindparaleleide aceeai dimensiune cu armturile. 70 d1d2ddxyd ++++++++1C2C1h2Ssecalculezecapacitateacondensatoarelornstareiniial 0C ncazula)i b) b aC C , tiind c 22512cm . 22512 ; 8 , 0 ; 46 , 0 ' ' ; 3 , 2 ' ; 46 , 0 ' cm A cm d cm d cm dr= = = = = R: F C8010361= F Ca8103 , 241=F Cb8103 , 151=a) FdAC8249001036110 8 , 010 251210 9 41 === Fdd dAdd dAd d dACr r r r ra8'0'2 10' '2' ' '10103 , 241''' ' =+ =+ +=+ += b) 2 11 1 1C C Cb+ =2 12 1C CC CCb+= xAC01= yAC02= Fd dAy xAyAxAyAxACb8 0 00 00 0103 , 151' ' ==+=+= 3) Determinarea capacitii unui condensator cilindric 71 ?0 = C ? =r1d2ddkiRkiE = ===== == 212 2 2121212121 12 2 1rrrhdrrh Edl Erh Edl Es d El d Es d Dl d EQUQV VC 12ln212121rrh rdrhrr = = 12ln2rrhCcil= 4)Seconsideruncondensatorplandecapacitate 0C alecruiarmturisunt dou discuri cu razacm R 6 =separate de un strat de aer cu grosimeacm d 1 = . ntre armturilecondensatoruluiesteintrodusoplacizolantdegrosimemm 3 = ; paralel cu condensatorul. Capacitatea condensatorului devine 025 , 1 C C = . Se cere: 1)capacitatea iniial a condensatorului 2)permitivitatea relativ a materialului dielectric introdus Se cunosc: 025 , 1 ; 3 ; 1 ; 6 C C mm cm d cm R = = = = FdAC1124900101010 3610 9 41== =

|||

\| =+ =+ +=+ +=rr r r r rdAdAd dAd dAC 11'0 02 1022110 310 25 , 1 10 310 3610 9 4131011'1111 3490= + =+ = CA dr Seminar =k SR R ; =k pR R1 1 TK: = 0kI ; =kk k kE I R72 IC1IC2MCC: =k kkjk C j kE I R ; MPN: = j j j j kj kj kjj kkRERVRV1 1 Problem: E1=E2=10V R1= 2 R2= 3 R= 1 E =8V I1 , I2 , I = ? (I): n -1=2-1=1 (II): o = l - n+1=2 Metoda I + = ++ = += E E RI I RE E RI I RI I I2 2 21 1 12 10 + = ++ = += 8 10 1 38 10 1 20212 1I II II I I318;2182 1IIII== II I=+318218 A I1190= ;A I11541 = ;A I11362 = Metoda II o = l - n+1=2 = += +) 2 (22 2 21 1) 1 (12 2 11 1E R I R IE R I R IC CC C R R R + =1 11;R R R + =2 22 R R R = =21 12 E E E + =1) 1 (;E E E + =2) 2 ( ( )( )+ = + ++ = + +E E R R I RIE E RI R R IC CC C2 2 2 11 2 1 1 ( )( )+ = + ++ = + +8 10 1 38 10 1 22 12 1C CC CI II I = += +18 418 32 12 1C CC CI II I2 14 18C CI I = ( ) 18 4 18 32 2= + C CI IA IC11362 = ;A IC11541 =1I2I1R1E2R2EI1212RI1I2 E 73 V pI pV1V2V3VkI1I2I3IkmultipolV1I1V2I2V3 I3VkIkV pI pmultipol = + == == =A I I IA I IA I IC CCC1190113611542 12 21 1 Metoda III 02 = V22112 111 1 1RERERER R RV + =|||

\|+ + 310182103111211+ = ||

\|+ + VV V1121 = ( )( )( )= +== +== +=ARV V EIARV V EIARV V EI1190113611542 121 2 2211 2 11 Circuite echivalente Multipol Este un circuit electric cu mai multe borne de acces. Multipolii particulari sunt:dipol, cu dou borne tripol, cu trei borne cuadripol, cu patru borne Doi multipoli sunt echivaleni dac au acelai numr de borne de acces i dac impunnd acelai potenial bornelor corespondente prin ele circul aceiai cureni. Procedeuldegsireaunuimultipolechivalentcuunmultipoldat(cu configuraia cunoscut) se numete transfigurare. n general se urmrete gsirea unui 74 U1U2UA B1R2R1E2EesResEUIE I R UE I R U2 2 21 1 1 = =( ) ( ) ( ) ( )E E I R R U E E I R R U U 2 1 2 2 1 2 1 2 1+ + = + + = +E I R U es es =R R Res 2 1+ =E E Ees 2 1+ =( ) 9multipol echivalent cu structur mai simpl dect multipolul dat, care uureaz studiul circuitului din care face parte. Cazuri particulare de circuite echivalente 1) Transfigurarea unei surse reale de tensiune intr-o surs real de curent Este vorba de un multipol cu dou borne care conine i o surs. + = + =+ = = +S S SSS SS SG U J I J IERURI I R E U'1 1SSSSSRGERJ11==(7) 2) Transfigurarea unei surse reale de curent ntr-o surs reale de tensiune ) 7 (SSSSSGRGJE1==(8) 3) Conexiunea serie a dipolilor elementari s eR - rezistena echivalent serie ====nkk s enkk s eE ER R11(9) SJGS USRIII ES U I 75 1RUI2R1U2U1I2I1R2R1E2EABA BepRepEIepRR RR RRR RR RR R Repep 2 12 12 12 12 11 1 1+= += + =R RI RIRIR RR RRI RII R UURU G I epep2 1211 2 12 1111 11+= += = == =Pentru dipoli pasivi( fr surse): UR RRRUR I R Us e 2 111 1 1+= = =UR RRU2 111+=UR RRU2 122+= (10) Conformacesteiregulisepoateexprimacuuurinfiecaredintreceledou tensiuni n funcie de tensiunea total. 4) Conexiunea paralel a dipolilor elementari p ep eGE G E GE2 2 1 1+= Pentru laturi pasive: ( )G G GE G U G IE G E G G G U Iepep ep2 12 2 1 1 2 1+ = + =+ + + =E G E R E G e ep 2 2 1 1+ ======nkknkk kepnkk epGE GEG G111( ) 11( )( )I I IE U G I E I R UE U G I E I R U2 12 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1+ = + = =+ = ==> 76 1V1I3V 2V2I3I31I23I12I12R23R31R1I2I3I1R2R3R( )R R RR R RRe31 23 1231 23 1212+ ++=( )R R RR R RRe31 23 1212 31 2323+ ++=( )R R RR R RRe31 3 . 2 1223 12 3131+ ++=( )( )2122/31 23 1212 31 31 23 23 123 2 11 3 313 2 232 1 12R R RR R R R R RR R RR R RR R RR R Reee+ ++ += + + + =+ =+ =( ) 13R R RR RR31 23 1231 233+ +=R R RR RR31 23 1223 122+ +=R R RR RR31 23 1212 311+ += 5) Transfigurarea triunghi-stea ( Y ) Se cunosc: 31 23 12, , R R R . Se cere 3 2 1, , R R R . Pentru: Pentru Y: Din (13) se scade relaia lui 12 eR i rezult: Analog, se obine (14) Dac = = =R R R R31 23 123Y=RRIR RRIIR RRI2 1122 121+=+=( ) 12- Regula divizorului de curent serieesR12R23R31R12ResRparalel121212R RR RResese+=77 13 2 1R2R3Rparalel1GepGserie( )( )G G GG G GG G GR R R epe3 2 13 2 13 2 11 3 21 11++ +=++ = + =( )( )G G GG G GGe3 2 121 3 21 32+ ++= ( )( )G G GG G GGe3 2 12 1 31 23+ ++= 6) Transfigurarea Y Se cunosc) , , ( , ,3 2 1 3 2 1G G G R R RSe cere31 23 12, , R R R . ( ) Ge3 21 Seexprimcondiiadeechivalenntreborna1ibornele(2-3) scurtcircuitatentreele;apointreborna2i(1-3)scurtcircuitatentreeleiapoiborna 3 i (1-2) scurtcircuitate ntre ele. Pentru Y: Pentru: Seadunceletreirelaii,dupcaresenmuleterezultatulcu1/2nambii membri i se scade pe rnd expresia corespunztoare fiecrei condiii de echivalen, rezultnd: ( ) G G Ge 31 12 3 21+ =( ) G G Ge12 23 1 32+ =( ) G G Ge23 31 2 13+ =31R13RR12 78 G G GG GG3 2 12 112+ +=G G GG GG3 2 13 223+ +=G G GG GG3 2 11 331+ +=( ) 15 Dac = = =YG G G G3 2 13YGG= =31 1 1YR RYR R 3 = Teoreme utile n studiul circuitelor electrice de c.c. 1) Teorema superpoziiei Enun:Intensitilecurenilorlaturilorunuicircuitizolatreprezintsuma algebric a intensitilor curenilor stabilii prin acele laturi sub aciunea cte uneia dintresurseledeenergie(sursedetensiuneidecurent)cndtoatecelelaltesurse sunt pasivizate.Apasivizaosursdeenergienseamnaonlocuicurezistenaeiintern. Surseleidealedetensiunesenlocuiesccurezistenenule(scurtcircuite),iarsursele ideale de curent se pasivizeaz nlocuindu-le cu rezistene infinite (ntreruperi). Exemplu: 1 1 1" ' I I I + = , 2 2 2" ' I I I + = , 3 3 3" ' I I I + = Teoremasuperpoziieiesteoconsecinafaptuluicecuaiilecaredescriu funcionareacircuituluisuntliniarenraportcuparametriiaferenisurselor independente.CureniicarerezultprinrezolvareaecuaiilorluiKirchhoff,prin regula lui Cramer, au forma =kkI (pentru latura k). l kl k k kE E E + + + = L2 2 1 1 l kl k k lkl k kkE G E G E G E E E I + + + =+ ++= L L2 2 1 1 2211 Ik combinaie liniar de E1El ; I1 I2 I3 R1R2R3 E1E3 = I1 R1R2R3 E1 I2 I3 I1 R1R2R3 E3 I2 I3 + 79 activCircuitURIU E =IactivCircuitactivCircuitI J =IUUGkjconductanadetransferntrelaturilekij. jk kjG G= (relaiede reciprocitate). Existsituaiipracticecndteoremasuperpoziieipermitecalcululcurenilor fr a fi necesar construirea unui sistem de ecuaii, ci printr-o succesiune de calcule simple. 2) Teorema reciprocitii Enun:Teoremareciprocitiisereferlauncircuitpasivncareprezint interes dou dintre laturile sale j i k. O surs ideal de tensiune inserat n latura k provoacuncurentnlaturajegalcucurentulpecareaceeaisursinseratn laturajlprovoacnlaturak.Aceastteoremesteoconsecinarelaieide reciprocitate. k jI I =kj jkG G = ,E G Ikj k =,E G Ijk j = k jI I = 3) Teorema compensaiei Conform teoremei compensaiei, orice rezisten parcurs de curentul I i care arelabornetensiuneaRI U = dintr-uncircuitizolatpoatefinlocuitfiecuosurs ideal de tensiune a crei tensiune electromotoare ndeplinete condiiaU E = , fie cu Circuit pasiv Rj Rk Rj Rk E Ik Rj Rk E Ij 80 EEEb( )= +n kk J J I0o surs de curent care ndeplinete condiiaI J = , circuitul obinut fiind echivalent cu cel iniial. 4) Teorema surselor cu aciune nul (Teorema lui Vaschy) Teorema are dou componente: a)Dacntoatelaturileincidententr-un nodalcircuituluiseinsereazsurse idealedetensiuneidenticeiorientatela felfadenodulcomun,seobineun circuit echivalent cu cel iniial. Th. II a lui Kirchhoff pentru bucla (b). Membrul stng = membrul dreptE E + b) Dac n paralel cu fiecare latur a unei bucle de circuit se adaug surse ideale de curent identice i orientate n acelai sens, seobineuncircuitechivalentcucel iniial. Th. I a lui Kirchhoff pentru nodul (n). 5) Teorema transferului maxim de putere I U P = - puterea consumat de R R consumator (receptor) Th. II a lui Kirchhoff:( )sss sR REI E I R R+= = + ( )222ssR RRERI P+= = . Valoarea maxim a lui P =? ( ) ( )( ) ( )3 4222ssss ssR RR RR RR R R R REdRdP+=++ +=( ) n( ) bsRsEabRUI Circuit dipolar activ cu rol de surs 81 abRabactivliniarcircuitiab = = 0 0 R RdRdPs sR R =valoarea care corespunde puterii maxime sR RR RdRP ds= = >corp 97 Explicaie microscopic a fenomenului magnetizrii Micarea electronilor n jurul nucleelor atomilor poate fi asimilat cu un curent electric ce parcurge o spir circular; aceasta creeaz un cmp magnetic perpendicular pe planul micrii (a se vedea aplicaia la formula Biot-Savart-Laplace). nmodobinuitmicrileelectronilorsuntrelativhaoticeastfelnctcmpul magneticrezultantestenul.Dactoateorbiteleelectronilorsuntorientatenacelai plan, atunci cmpurile magnetice create au aceeai direcie i sens i cmpul magnetic rezultantestediferitdezero.nnaturexistmaterialecareprezintaceastcalitate; este forma de magneii permaneni.Altecategoriidematerialeprezintfenomenulmagnetizriinumaila introducerea lor ntr-un cmp magnetic exterior. Acest tip de magnetizare se numete magnetizare temporar; cealalt se numete magnetizare permanent. Mrimeafiziccedescriefenomenullanivelmacroscopicsenumete magnetizaie ( M - magnetizaie). Asupraunuicorpmagnetizatcumagnetizaiamaflatntr-uncmpmagnetic exterior de inducieBse manifest un cuplu mecanic B m C = | | Nm =Vdv M m m- moment magnetic, V-volumul corpului magnetizat ntre inducia magnetic i magnetizaie exist o relaie care depinde de natura corpului magnetizat. ( ) M H B + =0u(8)- legea legturii ntreH B, iMH - intensitatea cmpului magnetic, mAHSI1 = > < MrimileH iMnu sunt independente, ci ntre ele exist o relaie de forma: H Mm = (9) - legea magnetizaiei temporare m - constant de material, numit susceptibilitate magnetic 0 m - pentru materialele paramagnetice 0 >>m - pentru materialele feromagnetice Din (9) i (8) rezult c: ( ) ( ) H H H H H Br m mu u u u u = = + = + =0 0 01 m r u + =1 -permeabilitateamagneticrelativamaterialului.Este adimensional. H B u = (10)-exprimgloballegeamagnetizaieitemporareilegea legturii dintreM H B , , . 1 0 < ru - materiale paramagnetice 1 >>ru - materiale feromagnetice 98 m HSI/ 1 => >1,practic) 10 10 (4 3 ru ,astfelnctsepoateface aproximarea u202S NL = . |||

\|+= =rFemlSI NLI Wuu2 2212022 109 1N2N1I2I**NISmobilaarmaturarulFeF 2)Se d: r FeS L N N u ; ; ; ; ;2 1 Se cere: a)21 12L L =b) marcarea bornelor Consider 1Iarbitrar. += = = = ====rFelS NNNLNNI NI L NLNI LINILINILu u2021121121 11 1 22111 1111 111111 212121 rFelS N NLuu+= 20 2 121 Bornelemarcatesuntborneledeintrarealecurenilornceledoubobine, cureni ce determin fluxuri proprii de acelai sens n circuitul magnetic comun. 3) Sedunelectromagnetpentru care se cunosc:r Fel S I N u ; ; ; ; ;Se cere:? = F(fora portant) ct ImWF=+ = F - fora generalizat - coordonata generalizat ( ) L I LI Fct I = ||

\|==2 22121 202 2202 20222 222221|||

\|+ =|||

\|+ =|||||

\|+=rFerFerFelS N IlS N IlS NI Fuuuuu u < 0 F fora acioneaz n sensul scderii lui . Deci sensul real este la fel ca pe figur. 110 SdldsBvOMrBLegile generale ale electrodinamicii (regim variabil) (Legile de evoluie a cmpului electromagnetic) Fenomenelenaturaleauoevoluientimpcaresecaracterizeazngeneral prin viteze nenule i prin mrimi de stare variabile n timp. Regimurilestaticeistaionarestudiatepnnprezentconstituie particularizrialeregimuluivariabilireprezintunsuportteoreticdeosebitde important pentru studiul fenomenelor reale. (1) Legea induciei electromagnetice a) Forma general = Ss d Bdtdl d E (1) = e l d E -tensiuneaelectromotoare corespunztoare curbei . = SSs d B - fluxul magnetic dtdeS =(1) Enun:Tensiuneaelectromotoare(t.e.m.)corespunztoareoricreicurbenchise esteegalcuvitezadescdereafluxuluimagneticprinsuprafaadelimitatde aceastcurb.Legeainducieielectromagneticexplicfenomenuldeapariiea cmpului electric in prezena unui cmp magnetic. b) Forma integral dezvoltat ( ) + = = l d v B s dtBs d Bdtdr t B BS S) , ( ) 1 ( ( ) + = l d B v s dtBl d ES(2) tre s dtBS= - tensiune electromotoare indus transformatoric ( )ve l d B v= -tensiune electromotoare indus de micare tre-se datoreaz variaiei cmpului magnetic n raport cu timpul ve- se datoreaz deplasrii curbei sau a unor pri ale curbein raport cu o referin v - viteza elementului de lungime dl. c) Forma local Teorema lui Stokes n relaia (2) 111 SdldsBi( ) + = S S Ss d B v rot s dtBl d E rot( ) B v rottBE rot + =-(3) Forma local a legii Este valabil in medii continue ; deci nu pe suprafee de discontinuitate. n cazul particular al mediilor imobiletBE rot v = = 0(4) - ecuaia a doua a lui Maxwell Particularizare pentru regim staionar: 0 0 ; 0 = ==l d EtBv(5) (teorema potenialului electrostatic) (2) Legea circuitului magnetic (a) Forma general + = S Ss d Ddtds d J l d H (6) = mmu l d H -tensiune magnetic = SSi s d J -curent de conducie total prin S (solenaie) '= SSi s d Ddtd-curent hertzian prin S ' + = S S mmi i u (6) Enun: Tensiunea magnetic corespunztoare oricrei curbe nchise este egal cu sumadintrecurentuldeconducieicurentulHertzianprinsuprafaadelimitatde aceast curb. (b) Forma integral dezvoltat a legii ) , ( r t D D = ( ) l d v D s d D div v s dtDs d DdtdS S S + + = ( ) l d v D s d D div v s dtDs d J l d HS S S + + + = (7) Ss dtD - curent de deplasare 112 DS( ) t i+r condensato armaturaSDi Ss d D div v- curent de convecie = SVSs d v s d D div v -sedatoreazdeplasriisarcinilorelectrice macroscopice prin suprafaa S( ) l d v D -curentRoentgen(arenumaivaloareateoreticnaplicaiile practiceingineretilafrecvenejoaseimediiel fiind neglijabil). (c) Forma local Aplicnd Stokes n (7) rezult: ( ) v D rot D div vtDJ H rot + ++ = (8) Caz particular pentru medii n repaus:tDJ H rot v+ = = 0 (9) - principala ecuaie a lui Maxwell Particularizare pentru regim staionar: s d J l d HS = (10) teorema lui Ampre Curentuldedeplasareexplictrecereacurentuluivariabilntimpprin dielectricul condensatoarelor. Aplicaie:1) + = S Ss d Ddtds d J l d H ;0 s d JS;0 = Ss d Ddtd + = ' ' S Ss d Ddtds d J l d H0'= s d JS; 0' Ss d Ddtd 113 r( ) t BMNMNUtBmaxB( ) t UMNt = = ' ' S S Ss dtDs d Ddtds d J ) 0 (= v 2)Sedospirdeschisdeformaunuicercde raz r amplasat ntr-un cmp magnetic uniform nspaiudarvariabilntimpdeforma ( ) tBtB sinmax= ; ct = Se cere: ? =MNU = Ss dtBl d E ) 0 (= v MNMNMNMfirNNaerMU l d J U l d E l d E l d E = + = + = ) ( ) ( J E = -legea conduciei electrice valabil ntre conductoare J=0-pentru c spira este deschis t BtB cosmax= 2maxcos r t B s dtBS = t r B UMN cos2max = Ecuaiile lui Maxwell 1)tDJ H rot+ =-legea circuitului magnetic 2)tBE rot = -legea induciei electromagnetice 3)VD div =-legea fluxului electric 4) 0 = B div-legea fluxului magnetic