Analiza
Click here to load reader
-
Upload
cocosatul-craiova -
Category
Documents
-
view
75 -
download
0
Transcript of Analiza
SIRURI ,SERII
๏ฟฝ2๐
5๐
โ
๐=0
a. este divergenta c. are suma 5/3 b.are suma 5/2 D. alt raspuns ๏ฟฝ(โ๐)๐
๐โ๐ + ๐ + ๐
โ
๐=๐
este divergenta pt. ca termenul general nu tinde la 0 ๏ฟฝ
๐๐+1
(2๐ + 1)๐
โ
๐=1
este convergenta , din criteriul radicalului
๏ฟฝ(โ1)๐
4๐
โ
๐=0
a. este divergent a c. are suma 3/5 b.are suma 5/3 D. alt raspuns ๏ฟฝ(โ๐)๐ ๐ญ๐
๐๐
โ
๐=๐
este divergenta, din criteriul raportului ๏ฟฝ(๐๐๐๐ก๐ ๐)โ๐
โ
๐=1
este convergenta , din criteriul radacinii
๏ฟฝ3๐
(โ1)๐
โ
๐=1
este divergenta ๏ฟฝ2๐
๐!
โ
๐=0
este convergenta , din criteriul raportului ๏ฟฝ
(ln๐)โ๐
๐
โ
๐=2
este convergenta , din criteriul radacinii
๏ฟฝ2๐ + 3๐
5๐
โ
๐=1
este alternanta ๏ฟฝ๐
2๐
โ
๐=1
este convergenta , din criteriul raportului
๏ฟฝ๐ ยท ๐ถ๐โ
๐=๐
unde ๐ถ โ ๐น
seria este convergenta pentru I๐ถI<1 si divergenta pentru I๐ถIโฅ1
๏ฟฝ1
9๐2 โ 1
โ
๐=1
are suma =0 este convergenta spre 0 ๏ฟฝ
2๐(๐ + 1)๐!
โ
๐=1
este convergenta , din criteriul raportului
๏ฟฝ2๐2
9๐2 โ 1
โ
๐=1
este divergenta deoarece este serie cu termeni strict pozitivi ๏ฟฝ
1๐ ยท 3๐
โ
๐=1
este convergenta , din criteriul raportului ๏ฟฝ
sin๐๐2
โ
๐=1
este divergenta
๏ฟฝ๐2๐๐๐ sin๐
2๐
โ
๐=1
are termenul general an=n2arcsin ๐
๐๐,
este convergenta ptr. ca ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐+๐๐๐
<1 ๏ฟฝ
(๐!)2
(2๐)!
โ
๐=1
este convergenta , din criteriul raportului
Suma seriei
๏ฟฝ1
๐(๐ + 1)
โ
๐=1
este 1
๏ฟฝ๐2
2๐
โ
๐=1
este convergenta ptr. ca ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐๐+๐๐๐
<1 ๏ฟฝ1
(ln๐)๐
โ
๐=2
este convergenta , din criteriul radicalului
Fie a un nr. real. Se considera seria
๏ฟฝ(โ1)๐
๐๐
โ
๐=1
Atunci:
seria este convergenta daca si numai daca a>1
๏ฟฝ๐๐๐๐ ๐๐๐1๐
โ
๐=1
este divergenta ๏ฟฝ๏ฟฝ1 +1๐๏ฟฝ๐2โ
๐=1
este divergenta , din criteriul radicalului
LIMITE 1
lim๐โโ
1๐
=0 Aplicand criteriul clestelui calculeaza
limita sirului an= 1๐2+1
+ 1๐2+2
+ โฏ+ 1๐2+๐
=0 lim๐โโ
1๐!
=0
lim๐โโ
2๐2 + ๐ + 1๐2 + 7
=2 lim๐โโ
2๐ + 33๐ + 6
=๐๐ lim
๐โโ
1๐๐
=0
lim๐โโ
๐ + 23๐8 + 7๐3 โ 11
=0 lim๐โโ
5๐ + 711๐ + 3
= ๐๐๐
lim๐โโ ๐ผ๐, cand 0< ๐ผ < 1 =0
lim๐โโ
(๏ฟฝ4๐2 + ๐ โ 1 โ ๐) =+โ lim๐โโ
๐2 โ ๐ + 1๐2 + ๐ + 1
=1 lim๐โโ1๐๐ผ
daca ๐ผ > 1 =0
lim๐โโ
(๏ฟฝ4๐2 + 4๐ โ 1โ 2๐)
=1 lim๐โโ
56 ๏ฟฝ
1 +(โ1)๐
2๐โ1 ๏ฟฝ =๐
๐ lim๐โโ
๐๐ผ๐
daca ๐ผ > 1 =0
lim๐โโ
(๏ฟฝ64๐3 โ 3๐2 + 33
โ 5๐) =-โ lim
๐โโ
(โ1)๐
๐ =0 lim๐โโ
๐2
๐ผ๐ daca ๐ผ > 1
=0
lim๐โโ
7 ยท 4๐ โ 11 ยท 3๐
2 ยท 5๐ + 13 ยท 2๐ =0 lim
๐โโ
sin๐๐
=0 lim๐โโ
3๐
๐! =0
lim๐โโ
๐ก๐1๐
=0 lim๐โโ
๐ sin๐(โ๐ + 1 + โ๐ โ 1)3
=0 lim๐โโ๐ผ๐
๐! daca ๐ผ > 1 =0
lim๐โโ
๐ ยท ๐ก๐1๐
=1 lim๐โโ
sin 1 + sin 2+. . + sin๐๐2
=0 lim๐โโ
1๐3 + 4๐ โ 5
=0
lim๐โโ
โ๐๐ =1 lim๐โโ
13๐
=0 lim๐โโ
4๐ =+โ
LIMITE 2
lim๐โโ ๐ผ๐ daca daca ๐ผ > 1 =+โ Determina limita sirului an=๏ฟฝ1 + 1
๐๏ฟฝ๐
=+โ lim๐โโ
๏ฟฝ๏ฟฝ๐ฅ2 + 5 โ๏ฟฝ4๐ฅ2 + 6๏ฟฝ =โ
lim๐โโ
๐! =+โ Determina limita sirului an=๏ฟฝ1 + 1๐2๏ฟฝ๐
=e lim๐โโ
๐๐ฅ โ ๐โ๐ฅ
๐๐ฅ + ๐โ๐ฅ =โ
lim๐โโ
๐๐ =+โ Determina limita sirului an=๏ฟฝ1 + 1๐๏ฟฝ2๐+1
=๐๐ lim๐โโ
ln (1 + ๐๐ฅ)๐ฅ
=1
lim๐โโ
๐!3๐
=+โ Determina limita sirului an=๏ฟฝ1 + 1โ๐๏ฟฝ3โ๐+2
=๐๐ lim๐โโ
(๐ฅ โ ๐๐๐ฅ) =+โ
lim๐โโ
(๐2 โ 5๐ + 144) =+โ Determina limita sirului an=๏ฟฝ1 + ๐ผ๐๐2+1
๏ฟฝ๐ผ๐๐ฝ =๐ถ
๐
๐ท lim
๐โโ
๐3๐ฅ โ 12๐ฅ
=+โ Determina limita sirului an=1
๐+(0.75)๐ =0 lim
๐ฅโ0
๐ ๐๐2๐ฅ๐ฅ
=2 lim๐ฅโ๐๐๐๐ฅโ๐๐๐๐ฅโ๐
, daca a>0 =๐๐
Determina limita sirului
an=5๏ฟฝ๏ฟฝ58๏ฟฝ๐
+ 8๏ฟฝ =40 lim
๐ฅโ0
4๐ฅ โ 1๐ฅ
=ln4 lim๐ฅโ0
๐๐๐ฅ โ ๐๐๐ฅ
๐ฅ =a-b
Determina limita sirului an= 3
๏ฟฝ1+2๐๏ฟฝ๐,nโฅ1 = ๐
โ๐ lim
๐ฅโ2
๐ฅ2 โ 5๐ฅ + 6๐ฅ2 โ 3๐ฅ + 2
=-1 lim๐ฅโ0
๏ฟฝ๐ฅ2 โ 2๐ฅ + 3๐ฅ2 โ 3๐ฅ + 2
๏ฟฝ
๐ ๐๐๐ฅ๐ฅ
=๐๐
Determina limita sirului
an=๏ฟฝ1 + 1๐๏ฟฝ๐+1
=e lim
๐ฅโ1
๐ฅ๐ โ 1๐ฅ๐ โ 1
=๐๐
lim๐ฅโ0
(1 + ๐ ๐๐๐ฅ)1๐ฅ =e
Determina limita sirului
an=๏ฟฝ1 โ 1๐๏ฟฝ๐
, nโฅ3 =๐๐ lim
๐โโ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ฅ6 + 1 โ โ๐ฅ + 23 ๏ฟฝ =โ =
Continuitate derivabilitate
Fie a si b numere reale.Se defineste functiaf:๐ โR prin f(x)=๏ฟฝ๐๐ฅ + ๐ ๐๐๐๐ ๐ฅ < 0๐ฅ 2 ๐๐๐๐ ๐ฅ โฅ 0 .Sa se determine a si b
astfel incat f sa fie derivabila pe R
=functia f este derivabila daca si numai daca a=b=0
Fie f:[0,โ)โR, f(x)=(โ๐ฅ3+1)x. Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul lui f in origine. =y=x
Fie f:RโR, f(x)=(๐ฅ2 + ๐ฅ + 2)32. Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul lui f in punctul de abcisa x=1. =y-9=x-1
Fie f:๐ โR, definita prin f(x)=IxI.Sa se stabileasca domeniul unde f este continua, respectiv unde f este derivabila. = functia f este derivabila
Fie functia f(x)=๏ฟฝ๐ฅ + 3, ๐ฅ โค 0๐๐๐ฅ ๐ฅ > 0.Sa se determine a astfel incat f sa fie continua =3
Fie functia f:(0,โ) โR, f(x)= 1๐ฅ2
si fie n un numar natural nenul.Sa se calculeze, in caz ca exista ๐(๐)(๐ฅ). ๐(๐)(๐) = (โ๐)n(n+1)!x-n-2 pentru orice x โ R;
Sa se determine mโ ๐ astfel incat f:๐ โR sa fie continua,unde f(x)=๏ฟฝ๐๐ฅ2 + 1 ๐๐๐๐ ๐ฅ < 1
๐ฅ + 2, ๐๐๐๐ ๐ฅ โฅ 1 =2
Sa se determine mโ ๐ astfel incat f:๐ โR sa fie continua,unde f(x)=๏ฟฝ๐ฅ + 7 ๐๐๐๐ ๐ฅ < 7๐๐ฅ, ๐๐๐๐ ๐ฅ โฅ 7 =2
Sa se determine mโ ๐ astfel incat f:๐ โR sa fie continua,unde f(x)=๏ฟฝ ๐๐ฅ ๐๐๐๐ ๐ฅ < 0๐ฅ + ๐, ๐๐๐๐ ๐ฅ โฅ 0 =1
Sa se determine mโ ๐ astfel incat f:๐ โR sa fie continua,unde f(x)=๏ฟฝ๐ฅ + ๐, ๐๐๐๐ ๐ฅ < 0ln (1 + ๐ฅ),๐๐๐๐ ๐ฅ โฅ 0 =0
Sa se determine mโ ๐ astfel incat f:๐ โR sa fie continua,unde f(x)=๏ฟฝsin๐ฅ๐ฅ
,๐๐๐๐ ๐ฅ โ 0๐, ๐๐๐๐ ๐ฅ = 0
=1
Sa se determine mโ ๐ astfel incat f:๐ โR sa fie continua,unde f(x)=๏ฟฝ5 ๐๐ฅโ1๐ฅ
๐๐๐๐ ๐ฅ โ 0๐, ๐๐๐๐ ๐ฅ = 0
=5
Sa se determine mโ ๐ astfel incat f:๐ โR sa fie continua,unde f(x)=๏ฟฝ๐, ๐๐๐๐ ๐ฅ โค 0ln (1+๐ฅ)
x,๐๐๐๐ ๐ฅ > 0 =1
Sa se determine mโ ๐ astfel incat f:๐ โR sa fie continua,unde f(x)=๏ฟฝ๐, ๐๐๐๐ ๐ฅ โค 0
(1+๐ฅ)๐โ1x
,๐๐๐๐ ๐ฅ > 0 si aโ ๐ =a
Serii de functii
Calculati domeniul de convergenta al seriei โ 11+๐ฅ2
โ๐=1 =(โโ,-1)โช(1,+โ)
Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii โ ๏ฟฝ๐+๐๐๏ฟฝ๐๏ฟฝ ๐โ๐๐+๐๐
๏ฟฝ๐
โ๐=๐ =(โโ,-1)โช(1,+โ)
Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii โ (โ๐)๐
๐ฅ๐ง (๐)ยท ๏ฟฝ๐โ๐
๐
๐+๐๐๏ฟฝ๐
โ๐=๐ =R
Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii โ (๐ โ ๐)(๐ โ ๐๐๐)โ
๐=๐ (๐ โ ๐๐๐)โฆ ๏ฟฝ๐ โ ๐
๐๐๏ฟฝ ,๐ > 0 =(e,โ)โช{2}
Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii โ (๐+๐)๐
๐๐+๐โ๐=๐ ={xโ ๐น/๐ > 1}
Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii โ (๐๐)๐
๐๐+๐๐โ๐=๐ ,a>0,x>0
=๐ โ(0,1)daca aโฅ1 ๐ โ(0,โ)daca aโ(0,1)
Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii โ ๐๐๐+๐๐๐ง๐+๐๐ง+๐
ยท ๏ฟฝ ๐๐๐+๐
๏ฟฝ๐
โ๐=๐ =(โโ,-1)โช(-๐
๐,+โ)
Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii โ ๐๐๐๐๐ ๏ฟฝ ๐๐๐๏ฟฝโ
๐=๐ =R
Sa se studieze natura convergentei seriei de functii โ ๏ฟฝ ๐๐
๐+๐+๐โ (๐โ๐)๐
๐+๐๏ฟฝโ
๐=๐ , xโ[0,1] =este uniform convergenta
Sa se studieze natura convergentei seriei de functii โ ๏ฟฝ ๐๐๐+๐+๐
โ (๐โ๐)๐๐+(๐โ๐)๐
๏ฟฝโ๐=๐ , xโ[0,1] =converge neuniform
INTEGRALE DEFINITE
โซ ๐๐ฅโ1โ๐ฅ2
โ32
12
=๐ ๐
๏ฟฝmax ( ๐ฅ, ๐ฅ2)๐๐ฅ2
0
= ๐๐๐
๏ฟฝ1
๐ฅ3 + 1
1
0
๐๐ฅ = ๐๐๐๐
+ ๐ ๐โ๐
๏ฟฝ x๐๐ฅ10
0
=40 ๏ฟฝ๏ฟฝ๐ฅ5
7โ๐ฅ6
6๏ฟฝ๐๐ฅ
1
0
=0
๏ฟฝ arc sin๐๐ฅ1
0
= ๐ ๐โ ๐ ๏ฟฝ
๐๐ฅ๐ฅ2 + ๐ฅ
2
1
=ln ๐๐
๏ฟฝ x๐๐ฅ๐+2
๐โ2
=4a ๏ฟฝ๐๐ฅ๐ฅ2
4
1
= ๐๐
๏ฟฝ cosxln1 + x1 โ x
๐๐ฅ
12
โ12
=0 ๏ฟฝ๐๐ฅ
๐ฅ2 + ๐ฅ + 1
1
0
= ๐ ๐โ๐
๏ฟฝ x2๐๐ฅ๐
๐2
= ๐๐๐
๐๐ ๏ฟฝ 3โ๐ฅ๐๐ฅ
9
1
=52
๏ฟฝ1
๐ฅ2 + 1
โ
0
๐๐ฅ = ๐ ๐
๏ฟฝ excosx๐๐ฅ
๐2
0
= ๐๐๏ฟฝ๐
๐2 โ ๐๏ฟฝ ๏ฟฝ
b2x2
a2๐๐ฅ
2๐
๐
= ๐๐๐๐๐ ๏ฟฝ
๐๐ฅโ2ax
2๐
๐
=2-โ๐
๏ฟฝ xex๐๐ฅ1
0
=1 ๏ฟฝ๐๐ฅ๐ฅ๐๐๐ฅ
๐2
๐
=ln2 ๏ฟฝ๐ฅ2 + ๐2
๐2
๐
0
๐๐ฅ = ๐๐๐ โซ ๐๐ฅ
โx43๐๐ a,b>0 =3๏ฟฝ ๐
โ๐๐ โ ๐
โ๐๐ ๏ฟฝ
๏ฟฝ1โx
๐๐ฅ1
0+0
=2 ๏ฟฝ x2cosx๐๐ฅ
๐2
0
= ๐ ๐
๐โ ๐ ๏ฟฝ (2๐ฅ + 1)2๐๐ฅ
2,5
1
=31,5 ๏ฟฝ ex๐๐ฅ3
0
=e3-1
๏ฟฝmin ( ๐ฅ, ๐ฅ2)๐๐ฅ2
0
= ๐๐๐๐
๏ฟฝ eโx๐๐ฅโ
0
=1 ๏ฟฝ(๐ + ๐ฅ)2
๐
0
โ๐
๐๐ฅ = ๐๐
๐ ๏ฟฝ sec2x๐๐ฅ
๐4
0
=1
๏ฟฝ1๏ฟฝโxn ๐๐ฅ
1
0
,๐ > 1 = ๐๐โ๐
๏ฟฝ ex๐๐ฅ1
0
=e-1 ๏ฟฝ๐ฅ3๐๐ฅ2
0
=4 ๏ฟฝ๐๐ฅ
1 + ๐ฅ2
1
0
= ๐ ๐
Serii de puteri
Studiati convergenta seriei de puteri x+ ๐๐x2+๐
๐x3+.. domeniul de convergenta al seriei este [-1,1)
Sa se studieze convergenta seriei โ ๐๐ง๐
โ๐ง=๐ (๐ฑ โ ๐)๐ง
Converge pentru xโ (๐,๐) si diverge pentru xโ (โโ,๐)๐ผ(๐,โ)
Sa se determine multimea de convergenta si suma urmatoarei serii de puteri โ (โ๐)๐ง+๐ ๐ฑ๐ง
๐งโ๐ง=๐
ptr. x=1 suma este ln(2), domeniul de convergenta al seriei este (-1,1]
Sa se determine multimea de convergenta si suma urmatoarei serii de puteri โ (โ๐)๐ง+๐ ๐ฑ๐๐ง+๐
๐๐ง+๐โ๐ง=๐
ptr. x=1 suma este ๐ ๐
domeniul de convergenta al seriei este [-1,1]
Sa se dezvolte in serie de puteri functia f(x)=๐๐ฑ, precizandu-se si domeniul pe care este valabila dezvoltarea. ๐๐ฑ = โ ๐๐ง(๐)
๐ง!๐ฑ๐งโ
๐ง=๐ =โ ๐๐!๐๐โ
๐=๐ ; (โโ,โ)
Sa se dezvolte in serie de puteri functia f(x)=sin(x), precizandu-se si domeniul pe care este valabila dezvoltarea.
Sa se dezvolte in serie de puteri functia f(x)=(๐ + ๐),๐ถ ๐ถ โ ๐น precizandu-se si domeniul pe care este valabila dezvoltarea.
Sa se arate ca functia f:(-1,1)โR,f(x)=ln ๏ฟฝ๐+๐๐โ๐
este dezvoltabila in serie de puteri si sa se gaseasca
aceasta dezvoltare , stabilindu-se si intervalul pe care este valabila dezvoltarea.
Sa se arate ca functia f:RI{-2,-3}โR,f(x)= ๐๐๐๐+๐๐+๐
este dezvoltabila in serie de puteri si sa se gaseasca aceasta dezvoltare , stabilindu-se si intervalul pe care este valabila dezvoltarea.
Sa se dezvolte in serie de puteri functia f(x)=๐๐ฑ.
Sa se dezvolte in serie de puteri functia f(x)=๐โ๐ฑ๐.
PRIMITIVE
Utilizand integrala definita sa se calculeze limita ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ๐๐+๐๐+โฏ+๐๐
๐๐+๐ pentru pโN* =1
Utilizand integrala definita sa se calculeze limita ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ ๏ฟฝ๐
๐๐+๐+ ๐
๐๐+๐๐+ โฏ+ ๐
๐๐+๐๐๏ฟฝ = ๐
๐
Utilizand integrala definita sa se calculeze limita ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโโ๐+โ๐+โฏ+โ๐
๐โ๐ = ๐
๐
โซโ๐ฅdx = ๐๐โ๐๐ + ๐ช ๏ฟฝ(๐๐๐๐ ๐๐๐ฅ + ๐๐๐๐๐๐ ๐ฅ)๐๐ฅ = ๐
๐๐ + ๐ช โซ (๐๐๐๐๐๐)๐
๐+๐๐ dx = (๐๐๐๐๐๐)๐
๐+ ๐ช
โซ โ๐ฅ๐๐ dx = ๐๐๐๐+๐
๐+๐+ ๐ช ๏ฟฝ๐ ๐๐๐ฅ๐๐๐ ๐ฅ๐๐ฅ = ๐๐๐
๐๐๐
+C โซ ๐๐ฅ(๐ ๐๐๐๐ฅ)dx =- cos๐๐+C
๏ฟฝdx๐ฅ2
=C- ๐๐
โซ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐
dx = ๐๐๐๐๐
+ ๐ช โซ ๐๐
๐๐+๐ dx = ๐
๐ ln I1+๐๐I+C
โซ 10๐ฅdx = ๐๐๐
๐๐๐๐ +C ๏ฟฝ
xdxโ๐ฅ2 + 1
= โ๐ฅ2 + 1+C โซ ๐๐
๐๐+๐ dx =ln(๐๐ + ๐)+C
โซ๐๐ฅ ๐๐ฅdx = (๐๐)๐
๐+๐๐๐ +C ๏ฟฝ
x4dxโ4 + ๐ฅ5
= ๐๐โ4 + ๐ฅ5 + ๐ช ๏ฟฝ
dx๐ฅ๐๐๐ฅ
= ๐๐๐๐ + ๐ช
๏ฟฝdx
2โ๐ฅ =โ๐+C ๏ฟฝ๐ ๐๐3๐ฅ๐๐๐ ๐ฅ๐๐ฅ = ๐
๐๐๐๐๐x+C โซ (๐๐๐)๐
๐ dx mโ ๐ = ๐๐
๐+๐๐๐+๐
+C
โซ(1 โ 2๐ฅ)dx =x-๐๐+C โซ ๐ฌ๐ข๐ง๐๐๐๐๐๐
dx = ๐๐๐๐๐
+ ๐ช ๏ฟฝ๐๐๐ ๐ฅ๐๐ ๐๐๐ฅ๐๐ฅ =๐๐ ๐๐๐ฅ+C
๏ฟฝ๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ =C-ctgx+tgx ๏ฟฝ๐๐๐ 3๐ฅ๐ ๐๐2๐ฅ๐๐ฅ =C - ๐
๐๐๐๐๐๐