SIRURI ,SERII
�2𝑛
5𝑛
∞
𝑛=0
a. este divergenta c. are suma 5/3 b.are suma 5/2 D. alt raspuns �(−𝟏)𝒏
𝟐√𝒏 + 𝟓 + 𝟐
∞
𝒏=𝟏
este divergenta pt. ca termenul general nu tinde la 0 �
𝑛𝑛+1
(2𝑛 + 1)𝑛
∞
𝑛=1
este convergenta , din criteriul radicalului
�(−1)𝑛
4𝑛
∞
𝑛=0
a. este divergent a c. are suma 3/5 b.are suma 5/3 D. alt raspuns �(−𝟏)𝒏 𝐭𝐠
𝟐𝒏
∞
𝒏=𝟏
este divergenta, din criteriul raportului �(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑛)−𝑛
∞
𝑛=1
este convergenta , din criteriul radacinii
�3𝑛
(−1)𝑛
∞
𝑛=1
este divergenta �2𝑛
𝑛!
∞
𝑛=0
este convergenta , din criteriul raportului �
(ln𝑛)−𝑛
𝑛
∞
𝑛=2
este convergenta , din criteriul radacinii
�2𝑛 + 3𝑛
5𝑛
∞
𝑛=1
este alternanta �𝑛
2𝑛
∞
𝑛=1
este convergenta , din criteriul raportului
�𝒏 · 𝜶𝒏∞
𝒏=𝟏
unde 𝜶 ∈ 𝑹
seria este convergenta pentru I𝜶I<1 si divergenta pentru I𝜶I≥1
�1
9𝑛2 − 1
∞
𝑛=1
are suma =0 este convergenta spre 0 �
2𝑛(𝑛 + 1)𝑛!
∞
𝑛=1
este convergenta , din criteriul raportului
�2𝑛2
9𝑛2 − 1
∞
𝑛=1
este divergenta deoarece este serie cu termeni strict pozitivi �
1𝑛 · 3𝑛
∞
𝑛=1
este convergenta , din criteriul raportului �
sin𝑛𝑛2
∞
𝑛=1
este divergenta
�𝑛2𝑎𝑟𝑐 sin𝜋
2𝑛
∞
𝑛=1
are termenul general an=n2arcsin 𝝅
𝟐𝒏,
este convergenta ptr. ca 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞
𝒂𝒏+𝟏𝒂𝒏
<1 �
(𝑛!)2
(2𝑛)!
∞
𝑛=1
este convergenta , din criteriul raportului
Suma seriei
�1
𝑛(𝑛 + 1)
∞
𝑛=1
este 1
�𝑛2
2𝑛
∞
𝑛=1
este convergenta ptr. ca 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞
𝒂𝒏+𝟏𝒂𝒏
<1 �1
(ln𝑛)𝑛
∞
𝑛=2
este convergenta , din criteriul radicalului
Fie a un nr. real. Se considera seria
�(−1)𝑛
𝑛𝑎
∞
𝑛=1
Atunci:
seria este convergenta daca si numai daca a>1
�𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑛1𝑛
∞
𝑛=1
este divergenta ��1 +1𝑛�𝑛2∞
𝑛=1
este divergenta , din criteriul radicalului
LIMITE 1
lim𝑛→∞
1𝑛
=0 Aplicand criteriul clestelui calculeaza
limita sirului an= 1𝑛2+1
+ 1𝑛2+2
+ ⋯+ 1𝑛2+𝑛
=0 lim𝑛→∞
1𝑛!
=0
lim𝑛→∞
2𝑛2 + 𝑛 + 1𝑛2 + 7
=2 lim𝑛→∞
2𝑛 + 33𝑛 + 6
=𝟏𝟐 lim
𝑛→∞
1𝑛𝑛
=0
lim𝑛→∞
𝑛 + 23𝑛8 + 7𝑛3 − 11
=0 lim𝑛→∞
5𝑛 + 711𝑛 + 3
= 𝟓𝟏𝟏
lim𝑛→∞ 𝛼𝑛, cand 0< 𝛼 < 1 =0
lim𝑛→∞
(�4𝑛2 + 𝑛 − 1 − 𝑛) =+∞ lim𝑛→∞
𝑛2 − 𝑛 + 1𝑛2 + 𝑛 + 1
=1 lim𝑛→∞1𝑛𝛼
daca 𝛼 > 1 =0
lim𝑛→∞
(�4𝑛2 + 4𝑛 − 1− 2𝑛)
=1 lim𝑛→∞
56 �
1 +(−1)𝑛
2𝑛−1 � =𝟓
𝟔 lim𝑛→∞
𝑛𝛼𝑛
daca 𝛼 > 1 =0
lim𝑛→∞
(�64𝑛3 − 3𝑛2 + 33
− 5𝑛) =-∞ lim
𝑛→∞
(−1)𝑛
𝑛 =0 lim𝑛→∞
𝑛2
𝛼𝑛 daca 𝛼 > 1
=0
lim𝑛→∞
7 · 4𝑛 − 11 · 3𝑛
2 · 5𝑛 + 13 · 2𝑛 =0 lim
𝑛→∞
sin𝑛𝑛
=0 lim𝑛→∞
3𝑛
𝑛! =0
lim𝑛→∞
𝑡𝑔1𝑛
=0 lim𝑛→∞
𝑛 sin𝑛(√𝑛 + 1 + √𝑛 − 1)3
=0 lim𝑛→∞𝛼𝑛
𝑛! daca 𝛼 > 1 =0
lim𝑛→∞
𝑛 · 𝑡𝑔1𝑛
=1 lim𝑛→∞
sin 1 + sin 2+. . + sin𝑛𝑛2
=0 lim𝑛→∞
1𝑛3 + 4𝑛 − 5
=0
lim𝑛→∞
√𝑛𝑛 =1 lim𝑛→∞
13𝑛
=0 lim𝑛→∞
4𝑛 =+∞
LIMITE 2
lim𝑛→∞ 𝛼𝑛 daca daca 𝛼 > 1 =+∞ Determina limita sirului an=�1 + 1
𝑛�𝑛
=+∞ lim𝑛→∞
��𝑥2 + 5 −�4𝑥2 + 6� =∞
lim𝑛→∞
𝑛! =+∞ Determina limita sirului an=�1 + 1𝑛2�𝑛
=e lim𝑛→∞
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 =∞
lim𝑛→∞
𝑛𝑛 =+∞ Determina limita sirului an=�1 + 1𝑛�2𝑛+1
=𝒆𝟐 lim𝑛→∞
ln (1 + 𝑒𝑥)𝑥
=1
lim𝑛→∞
𝑛!3𝑛
=+∞ Determina limita sirului an=�1 + 1√𝑛�3√𝑛+2
=𝒆𝟑 lim𝑛→∞
(𝑥 − 𝑙𝑛𝑥) =+∞
lim𝑛→∞
(𝑛2 − 5𝑛 + 144) =+∞ Determina limita sirului an=�1 + 𝛼𝑛𝑛2+1
�𝛼𝑛𝛽 =𝜶
𝟐
𝜷 lim
𝑛→∞
𝑒3𝑥 − 12𝑥
=+∞ Determina limita sirului an=1
𝑛+(0.75)𝑛 =0 lim
𝑥→0
𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑥
=2 lim𝑥→𝑎𝑙𝑛𝑥−𝑙𝑛𝑎𝑥−𝑎
, daca a>0 =𝟏𝒂
Determina limita sirului
an=5��58�𝑛
+ 8� =40 lim
𝑥→0
4𝑥 − 1𝑥
=ln4 lim𝑥→0
𝑒𝑎𝑥 − 𝑒𝑏𝑥
𝑥 =a-b
Determina limita sirului an= 3
�1+2𝑛�𝑛,n≥1 = 𝟑
√𝒆 lim
𝑥→2
𝑥2 − 5𝑥 + 6𝑥2 − 3𝑥 + 2
=-1 lim𝑥→0
�𝑥2 − 2𝑥 + 3𝑥2 − 3𝑥 + 2
�
𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥
=𝟑𝟐
Determina limita sirului
an=�1 + 1𝑛�𝑛+1
=e lim
𝑥→1
𝑥𝑛 − 1𝑥𝑚 − 1
=𝒏𝒎
lim𝑥→0
(1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥)1𝑥 =e
Determina limita sirului
an=�1 − 1𝑛�𝑛
, n≥3 =𝟏𝒆 lim
𝑛→∞��𝑥6 + 1 − √𝑥 + 23 � =∞ =
Continuitate derivabilitate
Fie a si b numere reale.Se defineste functiaf:𝑅 →R prin f(x)=�𝑎𝑥 + 𝑏 𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 < 0𝑥 2 𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 ≥ 0 .Sa se determine a si b
astfel incat f sa fie derivabila pe R
=functia f este derivabila daca si numai daca a=b=0
Fie f:[0,∞)→R, f(x)=(√𝑥3+1)x. Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul lui f in origine. =y=x
Fie f:R→R, f(x)=(𝑥2 + 𝑥 + 2)32. Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul lui f in punctul de abcisa x=1. =y-9=x-1
Fie f:𝑅 →R, definita prin f(x)=IxI.Sa se stabileasca domeniul unde f este continua, respectiv unde f este derivabila. = functia f este derivabila
Fie functia f(x)=�𝑥 + 3, 𝑥 ≤ 0𝑎𝑒𝑥 𝑥 > 0.Sa se determine a astfel incat f sa fie continua =3
Fie functia f:(0,∞) →R, f(x)= 1𝑥2
si fie n un numar natural nenul.Sa se calculeze, in caz ca exista 𝑓(𝑛)(𝑥). 𝒇(𝒏)(𝒙) = (−𝟏)n(n+1)!x-n-2 pentru orice x ∈ R;
Sa se determine m∈ 𝑅 astfel incat f:𝑅 →R sa fie continua,unde f(x)=�𝑚𝑥2 + 1 𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 < 1
𝑥 + 2, 𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 ≥ 1 =2
Sa se determine m∈ 𝑅 astfel incat f:𝑅 →R sa fie continua,unde f(x)=�𝑥 + 7 𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 < 7𝑚𝑥, 𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 ≥ 7 =2
Sa se determine m∈ 𝑅 astfel incat f:𝑅 →R sa fie continua,unde f(x)=� 𝑒𝑥 𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 < 0𝑥 + 𝑚, 𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 ≥ 0 =1
Sa se determine m∈ 𝑅 astfel incat f:𝑅 →R sa fie continua,unde f(x)=�𝑥 + 𝑚, 𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 < 0ln (1 + 𝑥),𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 ≥ 0 =0
Sa se determine m∈ 𝑅 astfel incat f:𝑅 →R sa fie continua,unde f(x)=�sin𝑥𝑥
,𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 ≠ 0𝑚, 𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 = 0
=1
Sa se determine m∈ 𝑅 astfel incat f:𝑅 →R sa fie continua,unde f(x)=�5 𝑒𝑥−1𝑥
𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 ≠ 0𝑚, 𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 = 0
=5
Sa se determine m∈ 𝑅 astfel incat f:𝑅 →R sa fie continua,unde f(x)=�𝑚, 𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 ≤ 0ln (1+𝑥)
x,𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 > 0 =1
Sa se determine m∈ 𝑅 astfel incat f:𝑅 →R sa fie continua,unde f(x)=�𝑚, 𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 ≤ 0
(1+𝑥)𝑎−1x
,𝑑𝑎𝑐𝑎 𝑥 > 0 si a∈ 𝑅 =a
Serii de functii
Calculati domeniul de convergenta al seriei ∑ 11+𝑥2
∞𝑛=1 =(−∞,-1)∪(1,+∞)
Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii ∑ �𝒏+𝟏𝒏�𝒏� 𝟏−𝒙𝟏+𝟐𝒙
�𝒏
∞𝒏=𝟏 =(−∞,-1)∪(1,+∞)
Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii ∑ (−𝟏)𝒏
𝐥𝐧 (𝒏)· �𝟏−𝒙
𝟐
𝟏+𝒙𝟐�𝒏
∞𝒏=𝟏 =R
Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii ∑ (𝟐 − 𝒙)(𝟐 − 𝒙𝟏𝟐)∞
𝒏=𝟏 (𝟐 − 𝒙𝟏𝟑)… �𝟐 − 𝒙
𝟏𝒏� ,𝒙 > 0 =(e,∞)∪{2}
Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii ∑ (𝒏+𝟏)𝒏
𝒏𝒏+𝒙∞𝒏=𝟏 ={x∈ 𝑹/𝒙 > 1}
Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii ∑ (𝒂𝒙)𝒏
𝒏𝒏+𝒙𝒏∞𝒏=𝟏 ,a>0,x>0
=𝒙 ∈(0,1)daca a≥1 𝒙 ∈(0,∞)daca a∈(0,1)
Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii ∑ 𝟐𝒏𝟐+𝟓𝟕𝐧𝟐+𝟑𝐧+𝟐
· � 𝒙𝟐𝒙+𝟏
�𝒏
∞𝒏=𝟏 =(−∞,-1)∪(-𝟏
𝟑,+∞)
Sa se determine multimea de convergenta pentru seria de functii ∑ 𝟐𝒏𝒔𝒊𝒏 � 𝒙𝟑𝒏�∞
𝒏=𝟏 =R
Sa se studieze natura convergentei seriei de functii ∑ � 𝒏𝒙
𝟏+𝒙+𝒏− (𝒏−𝟏)𝒙
𝒏+𝟏�∞
𝒏=𝟏 , x∈[0,1] =este uniform convergenta
Sa se studieze natura convergentei seriei de functii ∑ � 𝒏𝒙𝟏+𝒏+𝒙
− (𝒏−𝟒)𝒙𝟏+(𝒏−𝟏)𝒙
�∞𝒏=𝟏 , x∈[0,1] =converge neuniform
INTEGRALE DEFINITE
∫ 𝑑𝑥√1−𝑥2
√32
12
=𝝅𝟔
�max ( 𝑥, 𝑥2)𝑑𝑥2
0
= 𝟏𝟕𝟔
�1
𝑥3 + 1
1
0
𝑑𝑥 = 𝒍𝒏𝟐𝟑
+ 𝝅𝟑√𝟑
� x𝑑𝑥10
0
=40 ��𝑥5
7−𝑥6
6�𝑑𝑥
1
0
=0
� arc sin𝑑𝑥1
0
= 𝝅𝟐− 𝟏 �
𝑑𝑥𝑥2 + 𝑥
2
1
=ln 𝟒𝟑
� x𝑑𝑥𝑎+2
𝑎−2
=4a �𝑑𝑥𝑥2
4
1
= 𝟑𝟒
� cosxln1 + x1 − x
𝑑𝑥
12
−12
=0 �𝑑𝑥
𝑥2 + 𝑥 + 1
1
0
= 𝝅𝟑√𝟑
� x2𝑑𝑥𝑎
𝑎2
= 𝟕𝒂𝟑
𝟐𝟒 � 3√𝑥𝑑𝑥
9
1
=52
�1
𝑥2 + 1
∞
0
𝑑𝑥 = 𝝅𝟐
� excosx𝑑𝑥
𝜋2
0
= 𝟏𝟐�𝒆
𝜋2 − 𝟏� �
b2x2
a2𝑑𝑥
2𝑎
𝑎
= 𝟕𝟑𝒂𝒃𝟐 �
𝑑𝑥√2ax
2𝑎
𝑎
=2-√𝟐
� xex𝑑𝑥1
0
=1 �𝑑𝑥𝑥𝑙𝑛𝑥
𝑒2
𝑒
=ln2 �𝑥2 + 𝑚2
𝑚2
𝑚
0
𝑑𝑥 = 𝟒𝟑𝒎 ∫ 𝑑𝑥
√x43𝑏𝑎 a,b>0 =3� 𝟏
√𝒂𝟑 − 𝟏
√𝒃𝟑 �
�1√x
𝑑𝑥1
0+0
=2 � x2cosx𝑑𝑥
𝜋2
0
= 𝝅𝟐
𝟒− 𝟐 � (2𝑥 + 1)2𝑑𝑥
2,5
1
=31,5 � ex𝑑𝑥3
0
=e3-1
�min ( 𝑥, 𝑥2)𝑑𝑥2
0
= 𝟏𝟏𝟏𝟔
� e−x𝑑𝑥∞
0
=1 �(𝑎 + 𝑥)2
𝑎
0
−𝑎
𝑑𝑥 = 𝒂𝟐
𝟑 � sec2x𝑑𝑥
𝜋4
0
=1
�1�√xn 𝑑𝑥
1
0
,𝑛 > 1 = 𝒏𝒏−𝟏
� ex𝑑𝑥1
0
=e-1 �𝑥3𝑑𝑥2
0
=4 �𝑑𝑥
1 + 𝑥2
1
0
= 𝝅𝟒
Serii de puteri
Studiati convergenta seriei de puteri x+ 𝟏𝟐x2+𝟏
𝟑x3+.. domeniul de convergenta al seriei este [-1,1)
Sa se studieze convergenta seriei ∑ 𝟏𝐧𝟐
∞𝐧=𝟏 (𝐱 − 𝟐)𝐧
Converge pentru x∈ (𝟏,𝟑) si diverge pentru x∈ (−∞,𝟏)𝑼(𝟑,∞)
Sa se determine multimea de convergenta si suma urmatoarei serii de puteri ∑ (−𝟏)𝐧+𝟏 𝐱𝐧
𝐧∞𝐧=𝟏
ptr. x=1 suma este ln(2), domeniul de convergenta al seriei este (-1,1]
Sa se determine multimea de convergenta si suma urmatoarei serii de puteri ∑ (−𝟏)𝐧+𝟏 𝐱𝟐𝐧+𝟏
𝟐𝐧+𝟏∞𝐧=𝟏
ptr. x=1 suma este 𝝅𝟒
domeniul de convergenta al seriei este [-1,1]
Sa se dezvolte in serie de puteri functia f(x)=𝐞𝐱, precizandu-se si domeniul pe care este valabila dezvoltarea. 𝐞𝐱 = ∑ 𝐞𝐧(𝟎)
𝐧!𝐱𝐧∞
𝐧=𝟎 =∑ 𝟏𝒏!𝒙𝒏∞
𝒏=𝟎 ; (−∞,∞)
Sa se dezvolte in serie de puteri functia f(x)=sin(x), precizandu-se si domeniul pe care este valabila dezvoltarea.
Sa se dezvolte in serie de puteri functia f(x)=(𝟏 + 𝒙),𝜶 𝜶 ∈ 𝑹 precizandu-se si domeniul pe care este valabila dezvoltarea.
Sa se arate ca functia f:(-1,1)→R,f(x)=ln �𝟏+𝒙𝟏−𝒙
este dezvoltabila in serie de puteri si sa se gaseasca
aceasta dezvoltare , stabilindu-se si intervalul pe care este valabila dezvoltarea.
Sa se arate ca functia f:RI{-2,-3}→R,f(x)= 𝟑𝒙𝒙𝟐+𝟓𝒙+𝟔
este dezvoltabila in serie de puteri si sa se gaseasca aceasta dezvoltare , stabilindu-se si intervalul pe care este valabila dezvoltarea.
Sa se dezvolte in serie de puteri functia f(x)=𝟐𝐱.
Sa se dezvolte in serie de puteri functia f(x)=𝐞−𝐱𝟐.
PRIMITIVE
Utilizand integrala definita sa se calculeze limita 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞𝟏𝒑+𝟐𝒑+⋯+𝒏𝒑
𝒏𝒑+𝟏 pentru p∈N* =1
Utilizand integrala definita sa se calculeze limita 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ �𝒏
𝒏𝟐+𝟏+ 𝒏
𝒏𝟐+𝟐𝟐+ ⋯+ 𝒏
𝒏𝟐+𝒏𝟐� = 𝝅
𝟒
Utilizand integrala definita sa se calculeze limita 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞√𝟏+√𝟐+⋯+√𝒏
𝒏√𝒏 = 𝟐
𝟑
∫√𝑥dx = 𝟐𝟑√𝒙𝟑 + 𝑪 �(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥 = 𝝅
𝟐𝒙 + 𝑪 ∫ (𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙)𝟐
𝟏+𝒙𝟐 dx = (𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙)𝟑
𝟑+ 𝑪
∫ √𝑥𝑛𝑚 dx = 𝒎𝒙𝒏𝒎+𝟏
𝒏+𝒎+ 𝑪 �𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝒔𝒊𝒏
𝟐𝒙𝟐
+C ∫ 𝑒𝑥(𝑠𝑖𝑛𝑒𝑥)dx =- cos𝒆𝒙+C
�dx𝑥2
=C- 𝟏𝒙
∫ 𝒕𝒈𝟑𝒙𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙
dx = 𝒕𝒈𝟒𝒙𝟒
+ 𝑪 ∫ 𝒙𝟐
𝒙𝟑+𝟏 dx = 𝟏
𝟑 ln I1+𝒙𝟑I+C
∫ 10𝑥dx = 𝟏𝟎𝒙
𝒍𝒏𝟏𝟎 +C �
xdx√𝑥2 + 1
= √𝑥2 + 1+C ∫ 𝒆𝒙
𝒆𝒙+𝟏 dx =ln(𝒆𝒙 + 𝟏)+C
∫𝑎𝑥 𝑒𝑥dx = (𝒂𝒆)𝒙
𝟏+𝒍𝒏𝒂 +C �
x4dx√4 + 𝑥5
= 𝟐𝟓√4 + 𝑥5 + 𝑪 �
dx𝑥𝑙𝑛𝑥
= 𝒍𝒏𝟐𝒙 + 𝑪
�dx
2√𝑥 =√𝒙+C �𝑠𝑖𝑛3𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝟏
𝟒𝒔𝒊𝒏𝟒x+C ∫ (𝒍𝒏𝒙)𝒎
𝒙 dx m∈ 𝑁 = 𝒍𝒏
𝒎+𝟏𝒙𝒎+𝟏
+C
∫(1 − 2𝑥)dx =x-𝒙𝟐+C ∫ 𝐬𝐢𝐧𝒙𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙
dx = 𝟏𝒄𝒐𝒔𝒙
+ 𝑪 �𝑐𝑜𝑠𝑥𝑒𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 =𝑒𝑠𝑖𝑛𝑥+C
�𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒅𝒙 =C-ctgx+tgx �𝑐𝑜𝑠3𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 =C - 𝟐
𝟓𝒄𝒐𝒔𝟓𝒙
Top Related