141

5.

SOLICITRI DINAMICE ALE PIESELOR I STRUCTURILOR

Numeroase probleme inginereti trebuie abordate avnd n vedere micarea diverselor maini i componente ale acestora, de exemplu, n diverse regimuri de funcionare, la solicitrile dinamice produse de vnt, de cutremure, vibraiile i ocurile diverselor instalaii, mijloacelor de transport etc, aprute n timpul manevrelor etc. n aceste situaii apar micri ciclice, vibraii, propagri ale micrilor, disipare a energiei, oboseal, instabilitate, zgomote etc, care induc n structurile de rezisten solicitri suplimentare.

Importana practic i complexitatea abordrii prin calcul i/sau experimental a problemelor dinamice ale sistemelor mecanice, au dus

la constituirea mai multor discipline inginereti, de sine stttoare, destinate acestor probleme ca, de exemplu: dinamica mainilor, teoria vibraiilor, teoria ocurilor, dinamica construciilor etc. n rezistena materialelor nu sunt incluse, de regul, dect unele probleme dinamice elementare, foarte simple.

Considernd calculul la solicitri statice drept demersul de baz pentru o analiz inginereasc care are n vedere modelarea geometriei, rigiditilor, sarcinilor i reazemelor un model pentru o analiz a comportrii dinamice a unei structuri sau a unei piese trebuie s mai ia n considerare i cel puin modelarea maselor i a amortizrilor. De asemenea, se poate pune problema considerrii valorilor constantelor mecanice i elastice dinamice ale materialelor, a variaiei sarcinilor n timp, a dependenei amortizrilor de frecven etc.

5.1. Concepte i noiuni de baz

Calculul dinamic al unei structuri const, n esen, n determinarea rspunsului (sau a efectelor de natur mecanic asupra structurii) acesteia la aciunea unor sarcini sau deplasri impuse,

142

variabile n timp, denumite perturbaii sau excitaii. Rspunsul este determinat de caracteristicile mecanice ale structurii i de parametrii excitaiei, relaia cauz efect depinznd de structur. Orice problem de dinamica structurilor const n stabilirea relaiilor dintre excitaie, caracteristicile dinamice ale structurii i rspunsul acesteia. n acest scop, de regul, se scrie ecuaia de micare, care n condiiile n care micarea de rotaie lipsete, are forma

)t(FuKuCuM , (5.1)

n care: [M] este matricea de mas, simetric i pozitiv definit, de obicei constant; [C] este matricea de amortizare vscoas, (sau [Ci], care este o matrice de amortizare generat de material, descriind disiparea energiei n interiorul materialului), de obicei (semi)pozitiv definit, constant i simetric; [K] este matricea de rigiditate, (semi)pozitiv definit i simetric (n general, matricea de rigiditate [K] are i o component generat de rigiditatea geometric sau a tensiunilor iniiale [K], denumit matricea de rigiditate geometric),

{u} este vectorul deplasrilor nodale; { u } este vectorul vitezelor nodale; { u } este vectorul acceleraiilor nodale; {F}={F(t)} este vectorul excitaiilor sau forelor (al ncrcrilor) nodale; t este variabila timp. Observaii: O matrice pozitiv definit are toate elementele de pe diagonal strict pozitive (nenule i pozitive). O matrice semi-pozitiv definit este o matrice pozitiv definit, care are cteva elemente de pe diagonal nule.

Problemele de dinamica structurilor pot fi mprite n dou mari categorii: directe i inverse.

Problema direct este cea n care se cunosc ecuaiile care descriu comportarea dinamic a structurii, se cunoate excitaia i se cere rspunsul structurii.

Problema invers poate avea, n principiu, dou variante: - se cunoate rspunsul structurii la o excitaie dat, dar nu se

cunosc ecuaiile de micare, configuraia structurii sau unii parametri ai acesteia;

- se cunosc structura i rspunsul ei, dar nu se cunoate excitaia.

Prin urmare, problema invers poate avea urmtoarele variante inginereti, practice:

143

a. Sinteza sau proiectarea. Excitaia i rspunsul fiind cunoscute, se concepe, adic se proiecteaz sau se face sinteza unei structuri realizabile tehnic, economic i tehnologic, care s aproximeze ct mai bine relaia excitaie rspuns. Soluia nu este unic, gradul de aproximare fiind diferit de la caz la caz. De asemenea, trebuie avute

n vedere i multe alte aspecte, funcionale i de calcul, privind condiiile pe care trebuie s le ndeplineasc structura.

b. Msurarea. Se cunoate structura i rspunsul acesteia i se caut excitaia care produce rspunsul respectiv. Este cazul msurrilor cu aparate a cror funcie de transfer sau curb de etalonare se cunoate, cazul determinrii forelor excitatoare etc.

c. Identificarea structurii. Se cunosc o serie de parametri i funcii ale excitaiei i rspunsului i se caut o descriere matematic sau un model al structurii. Frecvent, datele se obin sub forma unui rspuns n frecven al modelului la excitaia cu semnale de prob armonice, neperiodice sau aleatoare, pe baza cruia se determin frecvenele, modurile proprii de vibraie i proprietile dinamice specifice: amortizare, rigiditate dinamic etc.

Principalele categorii de fenomene care aparin domeniului dinamicii structurilor se definesc astfel:

a. Vibraiile. Acestea sunt variaii n timp ale unei mrimi de stare a structurii, de obicei n vecintatea valorii corespunztoare unei stri de echilibru, produse de fore de readucere elastice.

b. Vibraiile libere. Dac un sistem elastic (pies sau structur) este scos din poziia de echilibru stabil, prin aplicarea unei solicitri statice, acesta nmagazineaz o cantitate de energie potenial. Dac apoi sistemul este lsat liber, fr s se mai introduc energie n sistem, acesta execut vibraii libere, prin transformarea repetat a energiei poteniale de deformaie a sistemului elastic n energie cinetic a maselor acestuia i invers. n prezena unor fore de frecare, energia sistemului este disipat, iar vibraiile se amortizeaz dup un numr oarecare de cicluri.

c. Autovibraiile. Acestea se pot produce cnd scoaterea din poziia de echilibru static a sistemului are loc n prezena unei surse de energie. Amplitudinea micrii crete continuu, pn cnd este limitat de efecte nelineare sau de amortizare. Micarea este

144

ntreinut de o for periodic, creat sau determinat de micarea nsi, dei energia este furnizat uniform de sursa exterioar.

d. Vibraiile forate sau ntreinute. Sunt produse de fore perturbatoare independente, care aplic structurii sarcini sau deplasri dinamice, variabile n timp. Astfel de excitaii duc la un transfer de energie de la sursa perturbatoare la sistemul elastic. Dac transferul are loc periodic, constant pe fiecare ciclu, vibraia forat este staionar, de amplitudine constant. Dac transferul de energie se face neuniform, vibraia are un caracter tranzitoriu, amplitudinea variind pn la stabilirea unui regim staionar sau pn la amortizarea complet.

e. ocurile sau impacturile. Se produc la aplicarea brusc a unei perturbaii, adic aceste probleme sunt cazuri particulare ale celor definite la categoria d. ocul este o perturbaie prin care se transmite structurii energie cinetic ntr-un interval de timp scurt, n comparaie cu perioada sa proprie de vibraie. Din momentul ncetrii aciunii ocului, rspunsul structurii devine o vibraie liber.

f. Vibraiile aleatoare. Acestea au caracter nedeterminist, aleator, adic valorile instantanee ale mrimilor care definesc micarea nu sunt predictibile. Acesta este cazul majoritii situaiilor reale, practice, spre deosebire de vibraiile periodice i de cele tranzitorii, care sunt fenomene deterministe.

g. Vibraiile proprii. n general, cnd asupra unei structuri linear elastice, cu parametri invariabili n timp, se aplic o perturbaie oarecare, micarea rezultant este suma a dou componente distincte: vibraia forat, descris de o funcie asemntoare funciei excitaiei i vibraia proprie, dependent doar de caracteristicile dinamice ale structurii, a crei funcie de timp este, de obicei, o combinaie ntre o sinusoid i o exponenial. n cazul unei perturbaii armonice sau aleatoare staionare vibraia proprie se amortizeaz foarte repede, imediat dup nceputul micrii, rmnnd doar vibraia forat, care, n anumite condiii, poate produce fenomenul de rezonan.

h. Rezonana. Acest fenomen dinamic ia natere la frecvenele la care suma celor dou energii reactive recuperabile potenial i cinetic este nul, iar energia transmis structurii este egal cu cea disipat prin frecri. Rezonana se produce cnd spectrul de

145

frecvene al perturbaiei acoper un domeniu ce cuprinde frecvenele proprii ale sistemului.

Rezonana se caracterizeaz prin amplitudini mari ale micrii n anumite puncte sau zone ale structurii, nsoite de tensiuni mari sau deplasri relative considerabile, care pot duce la ruperi prin oboseal, funcionare necorespunztoare, uzur sau zgomot accentuate.

5.2. Principiile i etapele elaborrii modelelor i a analizei

problemelor dinamice

Elaborarea unui model i abordarea prin calcul a analizei comportrii dinamice a unei piese sau structuri const, n esen, n definirea unui ansamblu de elemente elastice, ineriale i

disipative, capabil s descrie satisfctor fenomenul care intereseaz i const n parcurgerea, cel puin, a urmtoarelor etape:

a. Adoptarea unei scheme

cinematice, prin care se aleg gradele

de libertate geometric, care definesc forma deformat a structurii.

b. Definirea valorilor i poziiilor maselor asociate schemei cinematice. De exemplu, pentru

arborele din figura 5.1.a, avnd n captul liber un volant de mas M, masa arborelui fiind m, se pot avea

n vedere numeroase modele de calcul, dintre care se prezint patru, cu diverse variante de distribuire a

maselor i a gradelor de libertate. Modelul din figura 5.1.e consider arborele cu masa distribuit i deci cu o infinitate de grade de libertate; pentru volant s-au considerat dou grade de libertate: deplasarea z1 i rotirea 1.

Piesele i structurile reale au masele distribuite continuu. Dar considerarea modelelor de calcul astfel ceea ce nseamn modelri i analize mai precise duce la dificulti de calcul care nu sunt

Figura 5.1

146

totdeauna justificate, motiv pentru care frecvent se prefer modele de calcul cu mase concentrate.

Operaia de concentrare a maselor poate fi considerat din dou puncte de vedere i anume:

- modelul cu mase concentrate aproximeaz structura real, care are masa distribuit, gradul de aproximare fiind cu att mai bun, cu ct se consider mai multe mase concentrate. Suma maselor concentrate trebuie s fie egal cu masa total a structurii;

- modelul cu mase concentrate este echivalent, din punct de

vedere dinamic, cu structura real, n sensul c, att structura real ct i modelul de calcul, au aceleai deplasri maxime sau aceeai energie de deformaie. n acest caz, din condiia ca deplasrile maxime sau energiile de deformaie s fie egale, rezult masa echivalent a modelului, care, de obicei, nu este egal cu masa structurii.

c. Definirea urmtoarelor caracteristici ale modelului de calcul: - legturile interioare deformabile ale structurii; - relaiile tensiune-deformaie specific (legea constitutiv); - modelele corespunztoare tipului de deformare considerat; - proprietile materialelor din care este realizat structura; - amortizrile. d. Definirea amortizrilor. Determinarea corect a tipului de

amortizare precum i estimarea valorilor constantelor de amortizare, specifice problemei concrete care se studiaz, constituie o dificultate major a modelrii i analizei unei probleme dinamice. Variaii relativ nensemnate ale tipului i valorilor constantelor de amortizare pot duce, n unele situaii, la comportri dinamice complet diferite ale structurii. Informaii exacte privind caracteristicile de amortizare ale structurii nu pot fi obinute dect experimental, prin determinri pe structura pentru care se face analiza. Dac acest deziderat nu este posibil (de exemplu, structura este n faza de proiectare), se folosesc informaiile disponibile de la structuri asemntore, existente.

Principalele cauze ale amortizrii vibraiilor unei structuri deformabile sunt:

- neelasticitatea materialelor, care produce amortizarea intern; - frecrile ntre elementele componente, care produc

amortizarea de structur;

147

- frecrile cu mediul ambiant, care produc amortizarea extern. Natura fizic a mecanismelor de amortizare este att de

diferit, nct pentru descrierea lor este necesar utilizarea mai multor modele, dintre care, cele mai cunoscute sunt urmtoarele:

- Amortizarea vscoas linear. Cel mai simplu model mecanic care descrie acumularea de energie potenial de deformaie i disiparea de energie const dintr-un element elastic ideal (reprezentat prin arcul de constant elastic k n fig. 5.2.a) i un amortizor ideal (definit prin coeficientul de amortizare c) legate n paralel (model denumit Kelvin - Voigt).

Fora dezvoltat de arc este proporional cu deplasarea relativ |fe| = k(x-y) = kz, iar

fora dezvoltat de amortizor este

proporional cu viteza relativ

zc )y-xc( |f| d .

Deci relaia for deplasare pentru modelul din figura 5.2.a este

zckz f . (5.2)

- Amortizarea histeretic. Pentru multe materiale, energia disipat ntr-un ciclu de vibraie este proporional cu ptratul amplitudinii deplasrii, fiind independent de pulsaie. Se ajunge la modelul din figura 5.2.b, la care coeficientul de amortizare c variaz invers proporional cu pulsaia , adic c = h / , n care h este coeficientul de amortizare histeretic.

Trebuie avut n vedere c modelul amortizrii histeretice (denumit i amortizare constructiv sau structural) este valabil doar pentru vibraii armonice, n cazul regimurilor tranzitorii ducnd la rezultate absurde.

- Amortizarea ereditar. Modelul cu trei parametri (fig. 5.2.c) este format din amortizorul vscos liniar c i dou elemente pur elastice cu constantele k1 i k2. Dac pentru modelul cu amortizare vscoas linear (fig. 5.2.a) disiparea de energie era proporional cu viteza relativ instantanee, pentru modelul cu trei parametri (fig.

a b c

Figura 5.2

148

5.2.c) disiparea depinde de istoria acestei viteze, de aceea amortizarea se numete ereditar. Modelul amortizrii ereditare se poate reduce la un model Kelvin -Voigt cu parametri dependeni de pulsaie.

- Amortizarea coulombian. Este un model de amortizare nelinear, produs de frecarea uscat. Fora de amortizare coulombian are amplitudine constant, este independent de deplasare i de pulsaie, avnd sens contrar vitezei.

- Amortizarea echivalent. Pentru simplificarea modelului de calcul, fora de amortizare nelinear se nlocuiete cu o for vscoas sau histeretic linear echivalent, astfel nct energia disipat pe ciclu de amortizorul nelinear s fie egal cu cea disipat de amortizorul echivalent, deplasarea relativ fiind aceeai. Rezult c un coeficient de amortizare echivalent (vscos sau histeretic) depinde, n general, de pulsaia i amplitudinea vibraiei; utilizarea lui ca i cum ar fi constant, presupune s se determine experimental domeniul pentru care aceast ipotez este valabil.

Observaie. Cele 3 schematizri din figura 5.2 nu reprezint structuri, ci modele mecanice echivalente ale comportrii materialului, deci sunt modele de material.

La elaborarea modelului de calcul dinamic al unei structuri

trebuie s se aib n vedere c elementele de amortizare ct i cele elastice se introduc att ntre mase, ct i ntre mase i puncte fixe (reazeme).

Ca urmare a frecrilor (amortizrilor) din structur, relaiile de dependen dintre sarcinile P i deplasrile u, precum i cele dintre tensiunile i deformaiile sunt nelineare.

a b c d e

Figura 5.3

Dac se reprezint grafic astfel de dependene, se obin aa-zisele bucle de histerezis. n figura 5.3 se prezint cteva modele de bucle

149

de histerezis, tipice, idealizate, obinute pentru diverse clase de structuri i anume:

- structuri din oel sudate: figura 5.3.a; - structuri asamblate cu uruburi, n care apar lunecri la un

anumit nivel al sarcinilor: figura 5.3. b i c; - structuri din beton armat precomprimat: figura 5.3.d;

- structuri din beton armat, ale cror rigiditi scad la apariia fisurilor: figura 5.3.e.

e. Definirea legturilor exterioare deformabile ale structurii, lund n considerare i proprietile mediilor adiacente (dac este cazul: de exemplu, fundaiile).

f. Definirea aciunilor mediului exterior considerate n calcul i stabilirea gradelor de libertate asupra crora acioneaz, adic precizarea modului de aplicare i definire a modului de variaie n timp a diferitelor componente ale unei aciuni.

Aproximaiile care se fac la elaborarea modelelor pentru studiul dinamic al structurilor se refer la:

- nlocuirea caracteristicilor distribuite (continue) prin parametri concentrai (discrei) similari;

- linearizarea relaiilor cauz-efect dintre variabilele fizice; - neglijarea variaiei n timp a unor parametri; - neglijarea caracterului aleator al unor fenomene.

5.3. Tipuri de analize dinamice

Pentru a acoperi diversele cerine ale practicii inginereti, sunt necesare mai multe tipuri de analize (i modelri) ale dinamicii pieselor i structurilor. Cele mai importante i mai utilizate se prezint n continuare.

Analiza modal. Se consider un model care are n vedere doar vibraiile libere, fr amortizare (se neglijeaz amortizrile, adic [C] = 0 i forele aplicate structurii, adic {F(t)} = 0). Ecuaia de micare (5.1) n aceste condiii, devine

0uKuM . (5.3)

Pentru ea se alege o soluie de forma tieu , n care este o funcie de poziie (forma modal) independent de timp, este pulsaia proprie, iar t variabila timp. nlocuind n (5.3) se obine

150

0KM2 , (5.4)

care este o problem general de valori i vectori proprii. Ea are ca

soluie n perechi de valori proprii 2jj i n vectori proprii

corespunztori j . Vectorii proprii j sunt ortogonali n raport cu matricea de

mas [M] i cu matricea de rigiditate [K] i, de obicei, se ordoneaz n ordinea cresctoare a valorilor proprii. Dac vectorii proprii se

aranjeaz pe coloane, ntr-o matrice modal , relaiile de ortogonalitate se scriu n form matriceal:

IMT ; KT , (5.4.a)

n care: [I] este matricea unitate, iar 2jdiag , este matricea spectral, care conine toate pulsaiile (frecvenele) vibraiilor proprii, libere, fr amortizare, ale structurii sau piesei.

Mrimea fizic uzual folosit de ingineri este frecvena proprie fj = j / 2 .

Semnificaia fizic a formei modale, este forma deformat a structurii, care vibreaz cu frecvena proprie respectiv.

Cea mai mic frecven proprie este numit fundamental. Dac structura are micri de corp rigid sau de mecanism, se obin frecvene proprii nule, corespunztoare fiecrei micri de corp rigid sau de mecanism. Dac structura prezint simetrii, este posibil s se obin frecvene proprii coincidente.

Analiza modal presupune, implicit, o comportare teoretic, ideal, a structurii i anume c aceasta vibreaz numai cu frecvene i moduri de vibraii proprii, pure, aceasta fiind consecina ipotezei c sistemul nu are amortizri. n realitate, ca urmare a existenei amortizrilor, la o excitaie dat, sunt antrenate mai multe frecvene i moduri proprii de vibraii, fiecare mod, participnd cu o anumit pondere n fenomenul de ansamblu. Aceast observaie a dus la elaborarea unor metode de calcul dinamic, prin suprapunerea modurilor proprii de vibraii, care este o etap ulterioar analizei modale.

151

Observaie. Se poate spune c atta timp ct matricele [C] i [K][M-1] nu au aceeai vectori proprii, amortizrile cupleaz modurile proprii. Altfel, vibraiile structurii au loc ca i cnd modurile proprii sunt independente. Un astfel de efect de cuplare are loc i atunci cnd exist neliniariti n sistem, de exemplu cnd [K] depinde de amplitudinea vibraiilor.

Analiza spectral. Analiza de rspuns linear al unei structuri, pe baza unor nregistrri spectrale obinute experimental (sau n urma unei analize tranzitorii), este posibil prin analiz spectral. nregistrrile spectrale (funcii de frecven) pot fi n vitez, acceleraie sau deplasare. Spectrul de ncrcare al structurii, att n punctele fixate ale structurii, ct i n cele libere, poate fi determinist sau aleator.

Prin analiza spectral (denumit i analiz n frecven), se urmrete determinarea distribuiei n frecven (adic la frecvene diferite, pentru un anumit interval de valori) a puterii (sau energiei)

mrimilor dinamice ale structurii: viteze, acceleraii sau deplasri. n acest scop se separ componentele de diferite frecvene (sau pentru benzi de frecvene) ale unui semnal complex (de exemplu, produs de funcionarea unei maini sau instalaii) i se determin amplitudinea fiecreia din ele, obinndu-se, astfel, spectrul de frecvene al acelei mrimi: deplasare, vitez, acceleraie. Aceste informaii sunt folosite pentru diferite diagnostice privind comportarea structurii, ca, de exemplu, apariia unui fenomen de rezonan.

Metodele de calcul difer, funcie de caracterul excitaiei: ntru-un singur punct, sau n mai multe puncte. Pentru vibraii aleatoare se folosete metoda densitii spectrale de putere. n esen, metoda se bazeaz pe o analiz modal, urmat de o combinaie modal n diverse ipoteze. Amortizarea se consider n calcul, dar se presupune c ea este proporional sau modal.

Analiza armonic. Se determin rspunsul unei structuri care are ncrcarea (vectorul forelor i/sau al deplasrilor) variabil dup o funcie armonic (adic trigonometric, de exemplu, sinusoidal), de pulsaie , constant (sau frecvena f).

n ecuaia de micare (5.1), tiimax eeF)t(F . Se presupune c rspunsul (soluia ecuaiei) este de forma tiimax eeuu , n care: maxF este amplitudinea forelor; maxu este amplitudinea

152

rspunsului; este defazajul ntre fore; este defazajul ntre

deplasri i fore. Prin separarea prii reale i imaginare a vectorilor deplasare {u}

i for {F} se obine:

tiImRe euiuu ; tiImRe eFiFF

,

iar ecuaia de micare (5.1) devine

ImReImRe2 FiFuiuKCiM , (5.5) adic se obine un sistem de ecuaii liniare cu valori complexe (echivalent problemei statice), n care necunoscutele sunt deplasrile i/sau forele. Este posibil ca pentru o parte a gradelor de liberate s se cunoasc forele i s nu se cunoasc deplasrile, sau invers.

Amplitudinea deplasrii, maxu i defazarea relativ a deplasrii

fa de faza forei, , pentru fiecare grad de libertate, se calculeaz

cu relaiile

2Im

2Remax uuu ; ReIm uuarctan .

Analiza armonic a rspunsului unei structuri este foarte important pentru modelarea i analiza problemelor dinamice ale structurilor sau pieselor, deoarece orice micare periodic (oarecare), poate fi descris ca suprapunerea unui numr, finit sau infinit, de vibraii armonice. n practic, se consider totdeauna, un numr finit de armonice, analizele inginereti fiind aproximative. Acest demers este justificat i de faptul c unele moduri de vibraie au o contribuie nesemnificativ la rspunsul structurii. Rezult c vibraia armonic este micarea periodic elementar, sau fundamental.

Analiza tranzitorie. Cea mai general problem dinamic este cea pentru care {F} = {F(t)} (sau {u} = {u(t)}) este o funcie oarecare de timp. Soluia unei astfel de probleme se obine prin integrarea direct, analitic sau numeric, a ecuaiei de micare (5.1). Aceast analiz permite introducerea tuturor tipurilor de nelineariti. n cazul general ncrcrile pot proveni i din deplasri impuse, variabile n timp.

n cele ce urmeaz se consider cazul ncrcrilor cu fore variabile i deplasri impuse nule. Analiza const din rezolvarea pas cu pas (incremental), n timp, a ecuaiilor de micare. Rezolvarea este posibil dac se cunosc condiiile iniiale n deplasri i viteze i

153

dac pasul de timp t , n algoritmul de integrare (numeric), este suficient de mic pentru a descrie corect micarea i a asigura stabilitatea algoritmilor. Din punct de vedere matematic exist dou tehnici distincte de integrare direct a ecuaiei (5.1):

- metoda integrrii implicite, n care

,u,u,ufu n1n1n1n , (5.6) deci pentru calculul deplasrii la pasul n + 1 ar trebui cunoscute viteza i acceleraia la acelai pas, pe lng deplasrile, vitezele i acceleraiile din paii precedeni;

- metoda integrrii explicite, pentru care

,u,u,u,ufu 1nnnn1n , (5.7) deci, pasul n+1 se calculeaz funcie de mrimile precedente, pn la pasul n.)

Analizele tranzitorii, chiar pentru probleme dinamice relativ

simple, necesit un volum de calcul apreciabil. De aceea, aproape toate problemele practice se rezolv cu metode numerice de calcul, implementate n programe, pe calculatoare.

5.4. Exemplu

Se consider un exemplu de analiz dinamic a unei structuri cu patru grade de libertate.

Structura este reprezentat n figura 5.4 i este schema (modelul de calcul) unei cldiri cu patru nivele. Se face aproximarea c fiecare nivel se poate mica pe orizontal independent de celelalte, dar nu se poate roti sau

deplasa pe vertical. Legtura dintre nivele este asigurat de coloane cu rigiditatea la ncovoiere cunoscut (ki, i=14). n exemplul numeric se consider c toate rigiditile sunt egale ntre ele i au valoarea 68 MN/m. Datorit frecrilor din elementele

Figura 5.4

f2(t)

f1(t)

f4(t)

f3(t) u3

u4

u1

u2

M1

M2

M3

M4

k1

k2

k3

k4

C

1

C

2

C

3

C

4

154

de fixare, micarea relativ a dou nivele vecine este amortizat, cu coeficienii de amortizare (Ci, i=14). n exemplul numeric se consider c toate amortizrile modale sunt egale ntre ele i au valoarea 0.01. Masele celor patru nivele sunt M1 = 3200 kg, M2 = M3 = 2600 kg i M4 = 1800 kg. Fore externe fi(t) acioneaz asupra fiecrui nivel.

Modelarea matematic. Se scrie ecuaia de micare a fiecrui nivel, lund n considerare forele externe i cele de legtur cu nivelele vecine. De exemplu, pentru nivelul al doilea se poate scrie:

.)uu(C)uu(k

)uu(C)uu(k)t(fuM

233233

122122222

(5.8)

Ecuaia ntregului sistem este de forma (5.1), unde

.}u,u,u,u{}u{,

4C4C00

4C4C3C3C0

03C3C2C2C

002C2C1C

]C[

,

4K4K00

4K4K3K3K0

03K3K2K2K

002K2K1K

]K[,

4M000

03M00

002M0

0001M

]M[

4321

(5.9)

Analiza modal. Scopul analizei modale este dublu: pe de o parte, se urmrete determinarea frecvenelor naturale ale sistemului, adic a acelor frecvene care, atunci cnd sunt regsite la forele de excitaie, duc la rezonana structurii, iar pe de alt parte, realiznd analiza modal se obine matricea modal, cu ajutorul creia sistemul iniial de ecuaii (5.9) poate fi transformat ntr-un sistem de ecuaii decuplate. n analiza modal se neglijeaz efectul amortizrilor, ecuaia de micare a sistemului devenind de forma (5.3).

Tabelul 5.1

Frecvena proprie (Hz)

{}

Modul 1 9.51 {-0.0050, -0.0092, -0.0121, -.0134}

Modul 2 26.12 { 0.0123, 0.0090, -0.0036, -0.0124}

Modul 3 39.39 {0.0107, -0.0094, -0.0075, 0.0120}

Modul 4 48.56 { -0.0048, 0.0114, -0.0130, 0.0089}

Alegnd o form particular a soluiei, aceasta este pus n forma unei ecuaii de valori proprii de forma (5.4), n care [M] i [K] sunt

155

date n (5.9). Rezolvnd aceast problem de valori proprii se obin urmtoarele perechi de frecvene i vector

Vectorii proprii arat cum se deformeaz structura, dac ar vibra liber cu frecvena proprie respectiv. Aceste moduri proprii de vibraie sunt reprezentate n figura 5.5.

Modul 1 Modul 2 Modul 3 Modul 4

Figura 5.5

Decuplarea ecuaiei de micare. Aceasta se poate face folosind

matricea modal [. Decuplarea ecuaiei (5.1) revine la diagonalizarea matricelor din (5.9) i este de dorit acest lucru, deoarece, odat decuplate, ecuaiile pot fi rezolvate independent, pentru orice for de excitaie. Pentru aceasta se procedeaz n felul urmtor:

- Vectorul soluie, {u}, este scris n mod formal ca o superpoziie

de moduri proprii, }q{}u{ , unde {q} este un vector care poate fi

tratat pentru moment ca un vector de coeficieni (se mai numete i vectorul coordonatelor modale). Introducnd n ecuaia de micare, rezult

)t(Fq][Kq][Cq][M , iar dup nmulirea la stnga cu inversa matricei modale, []-1,

)t(F][q][K][q][C][q][M][ 1111 . (5.10) n continuare se folosesc ecuaiile care reprezint normalitatea

modurilor proprii de vibraie (5.4.a), astfel nct (5.10) se poate scrie

)t(F][qqCq]I[ 1m (5.11)

unde [I] este matricea unitate.

Vibraiile libere. Vibraiile libere sunt vibraiile structurii, care urmeaz unei solicitri de tip impuls. Pentru acest exemplu s-a

156

considerat un impuls (o lovitur de ciocan) aplicat masei M4. Sistemul de ecuaii a fost rezolvat impunnd o vitez iniial masei M4. Rspunsul se obine prin integrarea direct a ecuaiei (5.11) sau prin analiz modal i este reprezentat n figura 5.6.

Figura 5.6 Figura 5.7

Din cauza amortizrii, rspunsul sistemului descrete spre zero, imediat dup solicitarea impuls. Se noteaz c n calculul de rezisten, deplasarea dintr-un mod (al unui grad de libertate) este oarecum irelevant, mrimea important fiind deplasarea relativ a dou nivele vecine, ceea ce duce la tensiuni n elementele de legtur.

Analiza spectral. Spectrul de frecvene al sistemului considerat se obine efectund transformata Fourier a rspunsului impuls. Pentru exemplificare, s-a considerat rspunsul impuls la nivelul celui de al patrulea grad de libertate, care s-a reprezentat n figura 5.6. Astfel, se obine spectrul rspunsului msurat la nivelul acestei mase, ca n figura 5.7.

Energia sistemului este concentrat n patru benzi de frecven, centrate la frecvenele de rezonan. n sistemele cu amortizare, aceste frecvene sunt diferite de frecvenele proprii ale sistemului (Tab. 5.1). n cazul n care amortizrile sunt mici (care este i cazul curent), diferena dintre frecvenele de rezonan i cele proprii este neglijabil. n condiiile n care structura este excitat cu o for extern coninnd una dintre aceste frecvene, amplitudinea rspunsului crete foarte mult (dar nu la infinit, datorit prezenei amortizrilor) existnd pericolul cedrii. n general, se recomand

157

proiectarea structurii astfel nct s nu aib frecvene naturale n regiuni apropiate frecvenelor de excitaie. Pentru o structur deja executat, se recomand modificarea ei prin adugarea amortizoarelor pasive sau active, care au i scopul de a schimba frecvena de rezonan a structurii.

5. Concluzii

Studiul unei probleme de dinamica unei piese sau structuri

implic un proces iterativ de mbinare a analizei teoretice cu determinrile experimentale. n acest cadru, cunoaterea caracteristicilor dinamice ale materialelor i ale structurii n ansamblu (foarte important este cunoaterea amortizrilor: tipul procesului de amortizare i valorile exacte ale constantelor), constituie un factor esenial pentru succesul modelrii i analizei problemei dinamice. Forma cea mai evoluat de exprimare a acestor exigene o constituie elaborarea modelului de calcul al sistemului analizat, care permite efectuarea unor analize i elaborarea unor predicii cantitative privind comportarea structurii n exploatare, fiind deosebit de util n procesele de proiectare i optimizare.

n acest context se ajunge la problema identificrii sistemelor, care este, n esen, procesul de determinare a ecuaiilor difereniale care descriu comportarea unui sistem, n concordan cu un criteriu de performan prestabilit, pe baza unor relaii ntre mrimile care caracterizeaz excitaia i cele care caracterizeaz rspunsul. Identificarea dinamic are ca obiectiv stabilirea ecuaiilor de micare i implicit a coeficienilor care intr n compunerea lor, deci determinarea caracteristicilor dinamice ale structurii.

Bibliografie

1. Hangan, S.M., Crainic L.N., Concepte i metode energetice n dinamica construciilor, Bucureti, Editura Academiei, 1980.

2. Rade, M., Metode dinamice pentru identificarea sistemelor mecanice, Bucureti, Editura Academiei, 1979.

3. Sorohan, t., Constantinescu, I. N., Practica modelrii i analizei cu elemente finite, Bucureti, Editura Politehnica Press, 2003.