A Doua Sansa Secundar Matematica m4 Elev 4

Centrul Step by Step, 2006

UNIUNEA EUROPEAN I MINISTERUL EDUCAIEI I CERCETRII

NICOLAE PELLEGRINI

MATEMATICModulul 4Provocri matematiceGhidul elevului

Proiect Phare Acces la educaie pentru grupuri dezavantajateProgramul A doua ans

Ministerul Educaiei i Cercetrii

Aceste materiale publicate n cadrul Proiectului Phare Acces la educaie pentru grupuri dezavantajate 2003 au fost realizate de o echip de experi ai Ministerului Educaiei i Cercetrii pentru a fi folosite n perioada deaplicare experimental a programului educaional revizuit A doua ans nvmnt secundar inferior.

Membrii echipei care a elaborat materialele sunt:Lucia Copoeru, coordonatoarea componentei A doua ans nvmnt secundar inferiorDorina Kudor, autoare Limba i literatura romnGina Anton, autoare Limba i literatura rromaniCarmen Costina, autoare Limba englezIudit Sera, autoare Limba englezNicolae Pellegrini, autor MatematicAriana-Stanca Vcreu, autoare MatematicLuminia Chicina, autoare tiineIoana Mihacea, autoare tiineMihai Stamatescu, autor Istoriedr. Horaiu Popa-Bota, autor GeografieElena Blan, autoare Cultur civicdr. Doina-Olga tefnescu, autoare Cultur civicPaul Vermeulen, expert U.E., componenta Elaborare curriculum i materiale educaionale

Ghidul este realizat n conformitate cu programa colar pentru disciplina Matematicdin cadrul programului A doua ans nvmnt secundar inferior, aprobat de Ministerul Educaiei i Cercetrii prin Ordinul nr. 5375/29.12.2005, i este distribuit gratuit cursanilor nscrii n acest program educaional.

Toate materialele din cadrul programului educaional A doua ans vor fi modificate, conform sugestiilor dembuntire formulate n urma utilizrii lor n coal.n acest sens, trimitei comentariile i sugestiile dumneavoastr pe [email protected]

Coordonator editorial: Laura CodreanuDesign copert, layout: Elemr KnczeyDesign i DTP: Andrs TnczosIlustraii: Levente SzekeresCorectur: Mirabela Mitric

Acest material este publicat n scopuri educaionale, non-profit, pentru a fi folosit n primul an de aplicareexperimental a programului educaional A doua ans nvmnt secundar inferior.Autorii s-au strduit s intre n legtur cu proprietarii imaginilor pentru a obine permisiunea de a le folosi naceast ediie. i rugm pe aceia pe care nu i-am putut contacta s ia legtura cu noi [email protected].

Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a RomnieiPELLEGRINI, NICOLAE

Matematic : modulul 4 : ghidul elevului / Nicolae Pellegrini. Bucureti : Step by Step, 2006IndexISBN (10) 973-1706-12-7 ; ISBN (13) 978-973-1706-12-2

371.3:51

Aceast publicaie face parte din Programul Phare 2003 Acces la educaie pentru grupuri dezavantajate,componenta A doua ans.Editorul materialului: Ministerul Educaiei i CercetriiData publicrii: august 2006

Coninutul acestui material nu reprezint n mod necesar poziia oficial a Uniunii Europene.

Cuprins

Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Lecie introductiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Capitolul I. Date i cerine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81. Mulimi i puin logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102. Ipotez i concluzie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123. Deducia i inducia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144. Logica de toate zilele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Capitolul II. Numrare i combinatoric . . . . . . . . . . . . 201. Probabiliti i jocuri de noroc . . . . . . . . . . . . . . . . 222. ncercm s numrm? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243. Alegeri i voturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264. Paradoxuri i dileme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Capitolul III. Algoritmi i modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321. Scheme logice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342. Descompuneri i recompuneri . . . . . . . . . . . . . . . . . 363. Proporionalitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384. Ecuaii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405. Probleme cu probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426. Funcii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Autoevaluare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Cuvnt de final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

PROGRAMUL A DOUA ANS NIVEL SECUNDAR 3

PROVOCRI MATEMATICE

Introducere

MATEMATIC GHIDUL ELEVULUI4

Iat o nou invitaie la o incursiune n secretele matematicii, ochemare s continum mpreun excursia noastr n aceastdisciplin. Bun venit i succes tuturor! Cine a ajuns la Modulul 4,intitulat provocator Provocri matematice, cu siguran s-a obinuitdeja cu efortul necesar unei asemnea plimbri.

Modulul nostru finalizeaz un drum parcurs, dar i deschideperspective. El recapituleaz i aspecte nvate deja, dar dintr-unanumit punct de vedere nou i fr s-i propun repetiia. Acestnou perspectiv este rezolvarea de probleme, ceea ce constituiechiar esena matematicii. Desigur, vom vedea mpreun cenelegem prin problem, i ce nelegem prin rezolvare.

Am ntlnit diferite probleme i n modulele anterioare, problemepe care nu intenionm s le relum acum. Vom avea, ns, nevoiede cunotinele acumulate pe parcurs i de cunotinele iexperienele personale pe care le avei. Scopul acestui modul estedezvoltarea capacitilor de gndire, pentru c zilnic, n toatesituaiile cotidiene, avem nevoie de acestea, n ncercarea noastrde a face fa provocrilor vieii. Am ales coninuturi noi, care nuau mai aprut n modulele parcurse. Sperm c temele vor fiinteresante, suficient de provocatoare i accesibile, nctparcurgerea lor s nu fie un efort prea mare pentru nimeni.

Ateptm, n urma parcurgerii modulului, s fii mai siguri nluarea de decizii, s avei curajul s cercetai situaii-problem noii s combinai gndirea intuitiv cu cea raional.

Acest modul este structurat pe 35 de ore alocate leciilor i temelorpropriu-zise i orelor de evaluare ntre capitole. Coninutul acestuimodul este grupat n 3 capitole:

Date i cerine Numrare i combinatoric Algoritmi i modele

Ca orice delimitare i mprire pe capitole, i cuprinsul nostru estepuin artificial. Astfel, vom ntlni probleme care s-ar puteainvestiga sub alt titlu de capitol, dar nu acest lucru este important,ci intenia de rezolvare, de soluionare a problemelor.

Ateptm de la voi ca aritmetica, folosirea i operarea cu numere snu fie un obstacol pentru nimeni i ca formele geometrice s fiecunoscute, mpreun cu proprietile lor simple. De asemenea,credem c v-ai familiarizat cu datele, cu statisticile cele mai simplei c prelucrarea datelor nu e strin pentru voi. Completnd acesteelemente, ceea ce prezint modulul nostru duce la formarea uneiimagini de ansamblu despre matematic, despre utilitatea ei nviaa cotidian, chiar dac nu eti matematician sau inginer.

Despre acest ghidGhidul pe care tocmai l citii ofer doar un anumit cadru de lucrupentru voi i profesorul vostru, o posibil orientare a nvrii. Va deveniutil, n msura n care activitile concrete pe care le vei organiza vorntregi oferta ghidului i vor face ca ideile s fie nsuite prin exerciiu.

Leciile au o construcie asemntoare. Fiecare dou pagini de lecieconin trei blocuri, oarecum distincte: un prim bloc care urmrete s vpun n tem, s v orienteze atenia spre un anumit context, un aldoilea bloc n care se dezvolt ideile de pornire i n care se ncearcrealizarea achiziiilor principale i, n sfrit, un al treilea grupaj destinataplicaiilor n i n afara matematicii. ntinderea acestor blocuri difer dela lecie la lecie. Coninutul leciilor este, de cele mai multe ori, unpretext pentru formarea, dezvoltarea i exersarea unor deprinderi, pentruformarea unor aa-numite competene. n acelai timp, consideraileciile ca pre-text, adic text ce urmeaz s se constituie prin activitateavoastr. Astfel, textul ghidului trebuie prelucrat: citit, analizat,reformulat, nlocuit, recompus etc., n funcie de sarcinile de nvare pecare vi le propunei mpreun cu profesorul vostru.

Ghidul v propune s participai la o serie de activiti (de nvare), maimult sau mai puin specifice matematicii. Printre acestea, cel maifrecvent apar exerciiul, discuiile cu colegii, rezolvarea de probleme,dar vom avea i activiti de proiect. n cadrul acestor activitispecifice, este de mare importan s deosebii informaia relevant decea irelevant, s elaborai strategii de tratare i rezolvare a situaiei-problem, s formulai ceea ce este de fcut ntr-un limbaj ct mainatural i, poate cel mai semnificativ aspect, s argumentai demersulvostru, s susinei modul n care ai judecat.

Ghidul v va oferi posibilitatea s v formulai cteva idei de proiect,dac acestea corespund ateptrilor voastre. Iat i aici cteva sugestii. Oprim tem poate fi legat de jocuri i de strategiile aferente acestora, unfel de mini-studiu comparativ al jocurilor mai cunoscute, fie de noroc,fie jocuri strategice. Un alt proiect se poate referi la algoritmii cei maicunoscui. Ca produs al acestui proiect se poate imagina, de exemplu, oculegere de probleme. De asemenea, v putei referi la aplicaiilematematicii n arhitectur, art plastic, sau orice alt domeniu care esten interesul vostru.

Ghidul pune un accent deosebit pe aspecte care, de regul, nu suntamintite n manualele de matematic. Este vorba de trimiteri spre altedomenii ale cunoaterii, aparent nematematice, aa cum, probabil, v-aobinuit deja modulul despre forme. Vrem s v convingem din nou c ogndire matematic, ordonat i raional poate fi de mare folos ntr-o seriede situaii-problem, chiar dac nu e singurul mod de abordare a acestora.

S nu v ateptai ca acest ghid s prezinte un tablou complet. Esteimposibil s avem un inventar al problemelor, chiar i al celor maifrecvente. Nici nu avem acest scop. Nu vrem s facem o culegere deprobleme de diverse tipuri, ci, dimpotriv, s ncercm o pregtire anoastr pentru probleme noi, nentlnite, strine pentru noi. Merit!


PROVOCRI MATEMATICE

Lecie introductiv


Orice problem ar fi n atenia noastr, recomandm s ncercai ct mai frecventorganizarea informaiei noi, s folosii diveri organizatori, grafici, sau de alt natur.

Iat un exemplu. n primulcapitol vei discuta desprediferenele dintre deducie iinducie, aa cum aparacestea n gndirea noastr, nmatematic sau n contextemai largi. Pentru o nelegeremai simpl a fenomenului,poate ajuta, cu siguran, cevade felul urmtor:

nsui desenul sugereaz esena: deducia trimite de la general la particular, dinexterior spre interior, de la general la particular. n cazul induciei, desenul neamintete contrariul.

Putei explica ce neles are desenul pentru voi?Asemenea reprezentri putei face cu uurin. Profesorul vostru v va ajuta, cusiguran. Putei folosi tabele, grafice, desene, scheme, planuri, .a.m.d., nfuncie de scopul pe care l avei i de natura problemei.

n introducere, s vedem mpreun o problem, pe care vrem s o analizm nspiritul acestui ghid. Iat situaia:Pe o strad a unui ora se afl o benzinrie. La un moment dat, pe parteacealalt a strzii, se deschide o alt benzinrie, aproape de prima. Exist o lege,care permite modificarea preului benzinei doar o dat pe lun, exact n data de15 ale fiecrei luni, pn cel trziu la ora 24. Proprietarii celor dou benzinriinu cunosc inteniile lor reciproce de a majora sau nu preul.

i care e problema? ne putem ntreba, pe bun dreptate. O situaie devineproblem, doar dac o percepem ca atare. Dac aa stau lucrurile, atunci ne putemformula o serie de ntrebri care vor dezvlui caracterul de problem. Spre exemplu:

1. Se apropie data de 15. Majorm sau nu majorm preul?

2. Avem vreun motiv s majorm?

3. Ce va face benzinria vecin? Va majora i ea?

4. (ntrebarea voastr) ____________________________________________________

5. (ntrebarea voastr) ____________________________________________________

Fr ntrebri de acest fel, problema nu este problem. Unele ntrebri se leagdirect de context, altele mai puin.Care credei c este ntrebarea cea mai arztoare din lista de mai sus?

n toate cazurile, este foarte importants distingem ntre ce tim (dateleproblemei) i ce vrem s aflm(cerinele problemei). De cele maimulte ori nu avem cale direct s aflmrspunsul la ntrebarea noastr.

Pe mine m-ar interesa dac vecinulmrete preul, sau nu, n data de 15.

Credei c ar fi o msur deteapt sm duc s-l ntreb pe patronul vecin?Ar spune, oare, ce intenie are? i chiardac i declar intenia, este sigur c ova respecta pn la miezul nopii?Sau, s ncerc mai bine o rezolvare dealt natur?

n spiritul acestui ghid, DA! ncearc o rezolvare a ta, o strategie ct maiindependent, o soluie care s-i aparin!

Comentarii. Mai important dect soluia problemei este modul n care ajungem (sau nu!)

la ea S-ar putea s nu putem gsi soluie la problema noastr S-ar putea s gsim mai multe rezolvri

Discutai n clas despre aspectele prezentate mai sus. Alegei spre analiz alttext (alt context de problem), care s v permit discuii similare.

Este important s observai c nu despre probleme de matematic va fi vorba,ci despre probleme cotidiene, pe care vom ncerca s le abordm (i) cu ajutorulmatematicii. Pentru acest lucru, avem nevoie de cteva instrumente:cunotine, deprinderi de lucru i foarte important o atitudine pozitiv fa deaceast provocare.

Putei s dai exemple de cunotine matematice pe care le avei?

(Ajutor: triunghi, numr, ______________________________________________)

Putei exemplifica deprinderi de lucru folosite des n matematic?

(Ajutor: calcul, desenare, ______________________________________________)

Reflectai asupra unor atitudini pe care e bine s le avem n procesul de nvare.Un exemplu: CURIOZITATEA.

Cert este c avem nevoie de o gndire ct mai corect, ct mai raional, cu uncuvnt, de logic. De ce? Iat un exemplu celebru:Un crocodil prinde un copil, dar i promite tatlui acestuia c l las liber, dactatl va ghici ce face el, crocodilul. Tatl spune: Nu l vei lsa pe copilul meu.

Punei-v n rolul crocodilului i gndii-v ce va trebui s facei. S nu uitai, csuntei un crocodil cinstit!


DATE I CERINE

Capitolul I


Provocrile matematice sunt, de fapt, problemele. Problemele pe care trebuie s le nfruntm zi de zi,unele exprimate n limbajul matematicii, altele n mod obinuit. Nu exist rezolvare de probleme fr s ne gndim ordonat, fr s facem apel la reguli i la logic.

n capitolul 1 am grupat acele cunotine introductive i elementele de logic de care avem nevoie nrezolvri de probleme. Temele cu care vei face cunotin sunt:1.1. Mulimi i puin logic;1.2. De la ipotez la concluzie;1.3. Deducie i inducie;1.4. Logica de toate zilele.

Leciile v vor ajuta s v nsuii o serie de termeni i noiuni pe care le vom folosi n ghid. V oferim ointroducere sumar n elementele de logic, necesare n rezolvarea de probleme.

Vom vedea ce nelegem printr-o problem, care sunt datele i cerinele ei, care sunt operaiile logicede baz i cum ajungem de la ipotez la concluzie. Deja din acest capitol vom avea prilejul sdescoperim, s formulm, s rezolvm diferite probleme i s cutm aplicaii ale celor nvate nsituaii i contexte interesante nou.

Capitolul se va parcurge n 8 ore, la care se mai adaug 2 ore destinate evalurii i autoevalurii.

DATE I CERINE

Mulimi i puin logic 1


Se ntmpl sViaa de zi cu zi e plin de surprize i capcane. De multe ori greim, mai multsau mai puin, i pltim pentru erorile noastre. De multe ori judecm lucrurile ioamenii n mod eronat. O ans bun s ne aprm de greeli este s inemlucrurile (i ideile noastre!) n ordine.

Citete i descoper!Cine seamn se adun, spune un proverb nelept. Obiectele, lucrurile,persoanele care au ceva n comun se pot pune ntr-o singur mulime.Proprietatea comun a elementelor este definitorie pentru mulime. Spreexemplu, taximetrele aparinnd aceleiai firme din oraul Arad constituie, dacne este util s gndim astfel, o mulime bine definit. Cmile mele din dulapformeaz o alt mulime, precum i toate numerele naturale, spre exemplu.

Mulimile sunt formate din elemente. Dac un element face parte din mulime,spunem c aparine mulimii. Formal, scriem aa: a M, ceea ce nseamn celementul a aparine mulimii M. Interpretai desenul urmtor:

ntr-un mod destul de abstract, mulimea A, format dinacele elemente x care au proprietatea comun, definitorieP, este scris astfel:

A = {x | P(x)}

Spre exemplu, M = {x | x N, x < 4} este, evident, formatdin 0,1, 2 i 3. Putem scrie linitii: {x | x N, x < 4} ={0,1,2,3}. N este simbolul mulimii numerelor naturale,deci N = {0,1,2,3,4,5.}.

Proprietatea notat cu P este o afirmaie, o propoziie n care avem i un predicat.Dup legile uzuale ale gndirii, o propoziie este sau adevrat, sau fals, nu exist oa treia alternativ. Adevrat i fals sunt numite valori de adevr. Gsim exemple deastfel de propoziii? Putei decide valoarea de adevr ataat urmtoarelor propoziii:Romnia se afl n Europa este o afirmaie adevrat. Dac o negm spunndRomnia nu se afl n Europa, ea devine fals. (S observm c negm predicatul!)Dac P este propoziia n cauz, P va nsemna negarea ei. Citim nonP.n raionament i n vorbire legm propoziiile simple n multe feluri. Cel maifrecvent, ns, folosim ca operaie de conectare I ori SAU.Cum sun?

(a) n aceast var vizitez Spania i merg n Frana.;(b) n aceast var vizitez Spania sau merg n Frana..

Dac cele dou propoziii, (a) i (b), au aceeai valoare logic, operaiile I i SAUproduc acelai efect? Nici adunarea numerelor nu este acelai lucru cu nmulirealor.

p I q este adevrat dac p i q sunt ambele adevratep SAU q este adevrat dac cel puin una dintre p sau q este adevrat.

Exerseaz! Dai ct mai multe exemple de situaii n care se pot identifica mulimi. Precizai

elementele mulimilor gsite. Folosind imaginea de mai sus, exersai exprimarea matematic pentru

apartenen. Cnd enumerm elementele unei mulimi, conteaz ordinea acestora? O mulime care nu are nici un element se numete mulime vid i se noteaz cu

. Oare ce nseamn notaia {}? Acelai lucru cu ? (ncearc s te gndeti lacutii goale .a.m.d.)

Folosete ceea ce ai nvat!Exist cteva operaii simple prin care putem construi noi mulimi.

Reuniunea, notat prin , se definete astfel:A B = {x | x A sau x B}.

Intersecia, n schimb, notat prin simbolul , este definit n felul urmtor:A B = {x | x A i x B}.


Altfel spus, reuniunea mulimilor A i B conine aceleelemente care provin ori din A, ori din B, pe cndintersecia lor este mulimea elementelor comune celordou mulimi.ncearc pe desenul alturat s identifici reuniunea iintersecia.Ce putem spune despre intersecie n cazul n caremulimile nu au nici un element comun?Calculeaz A B, apoi A B, dac A = {0, 1, 3, 5}, iar B = {0, 2, 3, 6}.

tiai c?Limba vorbit n situaii cotidiene este mult mai nuanat,mult mai complex i flexibil dect un limbaj tiinific,riguros. Deseori, nici mcar nu ne punem problema sdecidem asupra valorii de adevr a unei propoziii, doarvorbim i comunicm, pur i simplu.

Sunt situaii cnd nu putem decide dac afirmaiile suntadevrate sau false.Ce prere avei despre:Sptmna aceasta voi ctiga la Loto?

n creierul nostru, centrul gndirii logice este localizatn emisfera stng. tiina de astzi este capabil slocalizeze anumite regiuni ale creierului, care suntcentre ale unor funcii specifice, spre exemplu gndireavizual sau orientarea n spaiu.

DATE I CERINE

Ipotez i concluzie 2


Am o problem! vi se pare cunoscut o asemenea afirmaie? Exist o ntreagcolecie de probleme (cteodat i soluii), de la procurarea hranei i satisfacereanevoilor de baz, pn la probleme tiinifice i spirituale. n cele mai multesituaii, n ncercarea de a rezolva problema, gndirea noastr recurge la logic iproduce diferite raionamente, dar n combinaie cu emoii i sentimente.

Citete i descoper!Problema trebuie mai nti sesizat, recunoscut i apoi formulat. Suntem pui ndiferite contexte i situaii n care percepem anumite probleme. Iat un exemplu:Conducem maina pe un bulevard lung de civa km, pe care avem din loc n locsemafoare. Constatm c traficul este uniform, dar destul de intens. Deoarece negrbim, nu vrem s pierdem timpul stnd la culoarea roie a semaforului.

1. Se dau: 2. Se cer:

bulevardul parcurgerea bulevardului

semafoarele timp minim de parcurs

alte maini respectarea regulilor de circulaie

Att. Avem doar o situaie, nu i o problem n sine, pn ce nu o percepem noica atare. Iat acum problema:

Cu ce vitez medie s conducem pentru a prinde band verde?

Aceasta este problema mea, nu neaprat i a celorlali participani la trafic. Dar svedem cte pri are, n general, o problem? Schematic avem:

S observm c datele problemei i cerinele ei se pot completa cu altele, dupinteresele i orientarea acelei persoane care-i formuleaz problema. Deseori, nureproducem problema n cuvinte, ea este sesizat i perceput doar n gnd.n modul cel mai firesc, ncercm s gsim o rezolvare, o soluie pentru problemanoastr. n cazul de mai sus:

alegerea vitezei adecvate, sau schimbarea frecvent a benzilor de circulaie, sau folosirea acelor experiene pe care le-am dobndit pe acelai drum, cu alte

ocazii, sau ______________________________________________________________________

Soluia este doar imaginat, pregtit n mintea noastr. Ca s se rezolveproblema, soluia trebuie ncercat, paii imaginai ai rezolvrii trebuie parcuri.

Atunci cnd ne exprimm mai matematic, datele problemei se numesc ipoteze,iar cerinele pe care le dorim ndeplinite concluzii.

Se ntmpl s

Exerseaz!Un exerciiu: Urmeaz acum un text de problem, aa cum gsim n multe cri.Vom face un antrenament folosind acest text.ntr-un internat de studeni stau 52 de fete. Printre ele sunt blonde, sau fete cuochi albatri, sau fete istee. 33 sunt blonde, 37 au ochi albatri, 32 sunt istee.Avem printre ele 22 de fete care sunt blonde i au ochi albatri, 25 de fete auochi albatri i sunt istee, iar 20 sunt blonde i istee.


Avem de-a face cu o situaie de problem? Ce ntrebri putem formula? Cum putem despri ipotezele (datele) de concluzii

(cerine)? Cum am putea extrage i organiza datele din textul de

mai sus? Cum vom rezolva problema? (Folosii ideile legate de

mulimi i operaii cu mulimi).

Dac ai ntrebat, cumva, cte fete istee avem care nu sunt nici blonde, nici cuochi albatri, rspunsul corect este 4. Profesorul v va ajuta s gsii soluia lantrebarea voastr. Dac problema vi se pare prea complicat, putei s oreformulai, considernd doar dou caracteristici, nu trei.

Folosete ceea ce ai nvat!Distinge ntre ipotez i concluzie n urmtoarele situaii.

a. Un obiect cost 120 RON, dar se ieftinete cu 15%.Care este preul nou al produsului?

b. Distana pn la destinaie este de 600 km. Ci kmmai rmn, dac 3/4 din drum s-au parcurs deja?

c. O plac de faian are dimesiunile de 20 cm i 40 cm.Avem de acoperit 3 m2 de perete. Dac o plac defaian cost 3 RON, ne ajung 150 RON ca sachiziionm cantitatea necesar de faian?

tiai c?n funcie de datele problemei, de ipotezele acceptate, se ncearc obinerea soluiei,deci construirea unei rezolvri. Este sigur c se va gsi o asemenea soluie? Invers,s-ar putea ntmpla s gsim mai multe rezolvri acceptabile? n care dintre acestesituaii ne aflm depinde de problema n sine i de abilitile noastre de rezolvare.Rezolvarea de probleme este, n definitiv, un ir de decizii. Spre exemplu:n vltoarea unui parc de distracii, dintr-odat constatm c persoana cu careeram s-a rtcit. Nu-o mai vedem i, chiar dac am striga-o, oricum nu ne-arauzi. Trebuie s ne ntlnim ns cu orice pre!Este evident c avem de-a face cu o problem i trebuie s DECIDEM repede cestrategie vom urma. Avei o propunere? (ntrebarea este: cum ar trebui s secomporte cei doi pentru ca ansele de a se regsi s fie ct mai mari?)Este foarte important cum se formuleaz ntrebarea problemei!

DATE I CERINE

Deducia i inducia 3


Se ntmpl sDup ce ai recunoscut i ai formulat problema, este normal s cutm soluiileei. n matematic, mecanismul cel mai frecvent i cel mai puternic prin carecutm s ajungem de la datele problemei la concluziile ei este deducia, iar unir de deducii formeaz demonstraia. n viaa cotidian ne rezolvmproblemele pe ci empirice, mai puin formale i folosind matematica n modindirect.

Citete i descoper!Acceptm urmtorul principiu? Dac punctul de plecare este adevrat,argumentele deductive vor produce concluzii adevrate. Spre exemplu:

Dac munceti, merit s fii pltit.Ai muncit, deci, merii plata.

Poate nu spunem de fiecare dat, dar deducia pleac de la un dac i se termincu un deci. Acel dac descrie i delimiteaz condiiile problemei, iar deciintroduce ceea ce rezult (sau ce poate rezulta) pe cale raional din datele iniiale.

Putei construi alte exemple similare cu cel de sus?Avem, deci, urmtoarea schem:

ipotez concluzie

S considerm acum un exemplu simplu de deducie:

(Dac) X face parte din Y. x aparine de X. (Deci) xaparine de Y.

Spre exemplu: Oraul Deva este n Romnia. Prietenul meulocuiete n Deva. Deci el locuiete n Romnia.

Identificai ipoteza i concluzia. Cutai alte exemple detipul acesta!

Gndirea superficial, ns, ne poate conduce uor la erori.S urmrim un exemplu clasic:Toate vrjitoarele au pisici negre.Vecina mea are o pisic neagr.Deci vecina mea este o vrjitoare.

Cum vi se pare acest raionament? Este evident c nu poatefi dect fals (chiar dac vecina se comport, uneori, ca ovrjitoare).Construii exemple similare de raionamente greite!

Exerseaz! Discutai cu profesorul vostru despre nelesul cuvintelor: formal, empiric,

deducie, deductiv, demonstraie. Plecnd de la imaginea a dou mulimi care se intersecteaz, dai exemple de

deducii (raionamente) corecte, apoi de deducii greite. (Folosii modelul dinlecie, chiar dac mulimile sunt acum n alt relaie.)

Cu ce alte cuvinte i expresii introducem, n vorbirea uzual, deduciile noastrei concluziile la care ajungem? Putei gsi asemenea exemple?

Folosete ceea ce ai nvat!


Un alt mod de a face raionamente este calea inductiv. nacest mod ncercm s generalizm experiene punctuale,unice, i s extindem valabilitatea lor. Dac am ntlnitciva (chiar foarte muli!) copii care erau curioi, suntemtentai s generalizm aceast constatare i s afirmm ctoi copiii sunt curioi.

Evident, un asemenea raionament nu poate fi corect. Ajunge s gsim un singur copil carenu este curios i greeala de gndire devine vizibil. Aceast constatare nu nseamn c nuavem i cazuri destule n care inducia produce concluzii corecte. De exemplu, se constatc numerele naturale se descompun n factori primi:

1=1, 2=2, 3=3, 4=22, 5=5, 6=23, 7=7, 8=23, 9=32,

Nu chiar uor, dar se poate demonstra, inductiv, c aceast proprietate este valabilpentru orice alt numr natural.Este cunoscut metoda induciei matematice, metod prin care se pot demonstra multeproprieti, n special ale numerelor naturale.

Deduciile, simplificnd total situaia, reprezint drumul de la ipotez la concluzie icorespund, schematic, urmtorului tipar de gndire:

DAC p, ATUNCI q.

(A se nelege: dac are loc ceea ce afirm propoziia p, atunci va avea loc i ceea ceafirm propoziia q). Formal, notm implicaia aceasta cu:

p q

Deocamdat, s ne nelegem c, prin raionament deductiv corect, din adevr rezult totadevr, iar dintr-o ipotez fals poate rezulta orice: i un adevr, dar i un neadevr.Cerei profesorului s v ofere exemple de asemenea situaii!

tiai c?Totul este o problemMarele fizician german Max Planck a spus odat, n cadrulunei conferine:Lumea noastr este plin de probleme. Acesta, deexemplu i a artat spre perete , este pentru mineperetele din stnga slii, dar pentru dumneavoastr esteperetele din dreapta.

DATE I CERINE

Logica de toate zilele 4


Se ntmpl sn primele trei lecii am fcut cunotin cu anumite aspecte ale gndirii logice,ale raionamentului riguros, aa cum le pretinde matematica. n viaa de toatezilele, ns, normele de rigoare sunt nlocuite, mai degrab, cu condiii deeficien i cursivitate a gndirii. Chiar dac folosim des diferite scheme degndire, rar reflectm asupra corectitudinii i respectrii regulilor.

Citete i descoper!n vorbirea curent folosim o serie de cuvinte i expresii care fac referire laipotezele noastre, la concluziile ateptate sau la modul n care am gndit.

1. Caut nelesul urmtoarelor expresii i explic-le:

evident _______________________________________________________________

probabil ______________________________________________________________

prin urmare __________________________________________________________

sut la sut ___________________________________________________________

imposibil _____________________________________________________________

______________________________________________________________________

2. Completeaz lista de mai sus cu alte expresii care se leagde raionamentul nostru i care descriu, oarecum, modul ncare gndim!

3. Exist anumite noiuni sau operaii pe care le folosimcu mult uurin, fr un control adecvat al raiunii.De exemplu:Producia de lapte a crescut n luna iunie cu 18% scrieziarul, fr s spun la ce se refer procentul de 18%.Toi japonezii sunt harnici, tie toat lumea. Aadar, noulmeu prieten japonez trebuie s fie i el harnic putemafirma, oricare dintre noi, n baza unei prejudeci.

Discutai cu profesorul vostru nelesul cuvntuluiprejudecat!Nu mai spl mrul, doar n-am s m mbolnvesc chiaracum i chiar eu! spunem, convini c nou nu ni sepoate intmpla.Putei formula asemenea argumente i judeci?

Gnditorul lui Rodin

4. n luna ianuarie, temperatura medie a celor 7 zile ale primei sptmni a fost de3C. nseamn c cel puin ntr-o zi temperatura a fost chiar de 3 C!Nu e chiar aa. De exemplu, se putea ntmpla urmtoarea distribuie atemperaturilor: 1C, 4C, 2C, 2C, 1C, 1C, 15C. Media lor este 3C.Ceva similar se produce la coal, atunci cnd elevul primete media 7, la o notde 4 i una de 10, fr s fi rspuns vreodat de 7.

Cutai exemple similare cu cele de mai sus, din ziare, pliante sau alte publicaii!


Exerseaz! Gndete-te la un prieten sau la o prieten. Adunai, n dou mulimi, cteva

dintre obiceiurile voastre, respectiv ale prietenului sau prietenei. (S zicem cititul,mersul n excursii, privitul la TV, fumatul, dansul etc). ncearc s reprezinimulimile prin diagrame. (Atenie, prietenii au, de regul, i obiceiuri comune!)

A este rud cu B. B este rud cu C. Atunci i A este rud cu C. Bifeaz n csuapotrivit:adevrat fals nu pot determina

A este prieten cu B. B este prieten cu C. Atunci i A este prieten cu C. Bifeazcsua potrivit:adevrat fals nu pot determina

La jocul de loto 6 din 49 au ieit ctigtoare numerele: 2, 17, 23, 25, 36 i 40.Doi juctori, A i B, au pus urmtoarele numere:

A: 3, 11, 29, 31, 46 i 48B: 3, 18, 24, 31, 36 i 44.

Dup cum vedei, nu a ctigat nici unul. Care juctor a fost mai aproape dectig? Bifai din nou!A B la fel nici unul nu avem date relevante

Folosete ceea ce ai nvat!Avem o serie de ancore, de repere, la care ne raportm nprocesul de gndire. Reflectai asupra urmtorului text.Tatl i fiul se grbeau la un meci important de baschet,cnd maina lor se mpotmoli exact pe trecerea cu caleaferat. Tatl ncerca disperat s reporneasc motorul, n timpce zgomotul locomotivei se auzea din ce n ce mai aproape.Tatl nu a mai rezistat pn la spital. Cnd targa cu biatulgrav rnit a ajuns la ua blocului operator, chirurgul, cuvoce necat de lacrimi i alb ca varul, a spus: Eu nu l pot opera pe acest pacient. El este biatul meu!Cum este posibil acest lucru? Ceva nu e n regul n aceastpoveste. Sau n gndirea noastr este vreo problem? (Doitai, totui, nu putea avea biatul.)

tiai c?Erorile de gndire, ns, duc la decizii greite i, astfel, n loc s scpm deproblemele noastre, ele se nmulesc ngrijortor. Acesta e un motiv pentru caremerit s nvm matematic. Prin matematic exersm gndirea corect,raionamentul eficient i luarea deciziilor bune.

DATE I CERINE

Autoevaluare I


La sfritul primului capitol, v propunem cteva exerciii pentru evaluare i auto-verificare. Citii cu atenie textul i ncercai s reprezentai i s prelucrai problemele,chiar dac nu le-ai mai ntlnit.

1. Ne gndim la o mulime A. Vom spune c mulimea B este o submulime a mulimii Adac orice element din B aparine i mulimii A. n acest caz, mai spunem c mulimea Beste inclus n mulimea A.S nu confundai incluziunea cu apartenena!

a. Reprezentai prin desen o mulime A n care este inclus o mulime B.b. Mulimea A are 4 elemente i este de forma {a, b, c, d}. Dai exemple de submulimi

ale mulimii A.c. Enumerai toate submulimile lui A. (Facem convenia c pentru orice mulime,

mulimea vid i mulimea iniial sunt considerate ca submulimi ale mulimii date).d. Cte submulimi ai gsit? Oare cte submulimi sunt n caz general, cnd A are n

elemente?

2. Ai ntlnit n lecie operaia I i SAU, prin care conectm dou propoziii. Valoarea deadevr a propoziiei noi depinde de valoarea de adevr a componentelor. De exemplu:

p q p SAU qp q p I q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

a. Interpretai primul tabel i completai urmtoarea afirmaie:

p I q este o propoziie _______________, doar atunci dac ________________________

_________________________ sunt adevrate.

b. Completai cel de-al doilea tabel. (Dac citii atent, n ghid gsii informaiisuficiente!)

c. Interpretai tabelul al doilea i completai urmtoarea afirmaie:

p SAU q este o propoziie _______________, doar dac ____________________________

________________________________ sunt false.

3. n tabelul urmtor gsii o serie de afirmaii n legtur cu care trebuie s decidei dacsunt adevrate sau nu.

Afirmaia Adevrat Fals Nu pot decide

Nu neleg matematica.

Toi oamenii sunt muritori.

Nimeni nu e mai presus de lege.

Triunghiurile pot fi asemenea.

22006 < 22007

Dac a = b, atunci b = a.

Eu nu spun adevrul.

1200 : 20 = 15 6

Voi tri 100 de ani.

Alegei afirmaiile care conin negaie n textul lor. Transformai aceste propoziii astfelnct s nu mai fie negative. Analizai valoarea de adevr a propoziiilor astfel obinute.

4. Calculai:a. Distana pn la destinaie este de 800 km. Ci km mai rmn pe mine dac 3/4

din drum s-au parcurs deja azi?b. Un obiect cost 100 RON, dar se scumpete cu 12%. Putem cumpra din 250 RON

dou asemenea produse?

5. 33% dintre elevii unei clase sunt fete, iar 67% biei, 50% sunt brunei, iar 25% suntblonzi. Care afirmaie de mai jos este sigur adevrat?

a. Toi bieii sunt blonzi.b. Unele fete sunt blonde.c. Sunt i biei brunei.d. Toi bieii i toate fetele au culoarea prului la fel.

(Sfaturi: Elaborai un desen sau o schem pentru a nelege mai bine problema. Eliminaiafirmaiile care sunt sigur false.)

6. Analizai corectitudinea urmtorului raionament:Toate ptratele au diagonalele congruente.Toate ptratele sunt i romburi.

Rezult c:Toate romburile au diagonalele congruente.

a. Care sunt ipotezele noastre? Care este concluzia?

I: ____________________________________________________________________________

C: ___________________________________________________________________________

b. Sunt adevrate ipotezele? Este adevrat concluzia?

______________________________________________________________________________

c. Din ipoteze adevrate poate rezulta o concluzie fals?

______________________________________________________________________________


NUMRARE I COMBINATORIC

Capitolul II


Titlul acestui capitol indic de la nceput intenia noastr: regndirea modului n care tim s numrm.n aparen, numratul nu este o problem, pentru c avem impresia cu toii c tim s numrm.Capitolul de fa ne atrage atenia c numratul nu este chiar aa de simplu. n special atunci nu estesimplu, cnd avem multe variante de numrat i metodele uzuale nu ne mai ajut.

Capitolul 2 prezint urmtoarele titluri:2.1. Probabiliti i jocuri de noroc2.2. ncercm s numrm?2.3. Alegeri i voturi2.4. Paradoxuri i dileme

Vei face cunotin cu noiunea de probabilitate, cu referire la jocurile de noroc sau la alte situaii carene sunt cunoscute. Vei exersa anumite proceduri de numrare i vei vedea ce importan au acestean numratul voturilor la alegeri, de exemplu.

De asemenea, vei nva cte ceva despre paradoxuri i despre situaii (aparent) imposibile. Acesteasunt capcane ale gndirii noastre i reprezint cazuri foarte interesante.

Capitolului 2 i sunt alocate 8 ore, completate cu 2 ore destinate evalurii i autoevalurii.


Probabiliti i jocuri de noroc 1


Se ntmpl sFolosii frecvent expresia probabil? Cnd un eveniment nu vi se pare sigur, estetotui probabil s se realizeze. Sigur, ai jucat diferite jocuri de noroc, ncepnd cujocuri de cri, pn la partide de jocuri pe calculator. V-ai dat seama c toate acesteaau ceva n comun? Ctigul depinde de noroc, de ans, nu doar de pricepereavoastr. Ctigul sau pierderea nu sunt deloc sigure, sunt doar probabile.

Citete i descoper!La nceputul meciului de fotbal, arbitrularunc o moned, pentru a decide careechip alege terenul i care va avea lovi-tura de nceput. De fapt nu arbitrul ale-ge. Cum cade moneda, cu stema sau cupajura, nu depinde de arbitru. Suntdou anse, dou variante de realizare aevenimentului: sau stema, sau pajura.

n multe jocuri de societate se arunccu zarul. Norocul sau ghinionul alegeacum din ase posibiliti, dup acea faa zarului care ajunge sus dup aruncare.

La jocul de Loto 6 din 49 situaia emai complicat. Se extrag, ntmpltor,6 numere din 49, dar care sunt acesteaeste decis, din nou, de soart, nu de noi.

C apare stema sau pajura, un punctpe faa de sus a zarului, dou sau ase,

c se extrage sau nu un anumit numrsunt evenimente egal probabile. Proba-bilitatea lor depinde de numrul cazuri-lor favorabile realizrii evenimentuluistudiat i de numrul total al cazurilor.

Dac aruncm cu moneda, probabilitatea s apar stema este:

( ),50% sau21

P =

pentru c un singur caz este favorabil pentru ceea ce dorim (apariia stemei serealizeaz ntr-un singur mod), din dou variante posibile. La aruncarea zarului,faa cu numrul 6 va aprea cu probabilitatea 1/6 (sau aproximativ 16,66%),deoarece un singur caz se raporteaz acum la ase posibiliti egal probabile. Cujocul de loto s mai ateptm puin.

Probabilitatea realizrii unui eveniment este deci un raport: se comparnumrul cazurilor favorabile realizrii evenimentului cu numrul total alcazurilor posibile.

Dac evenimentul este notat cu A, iar probabilitatea realizrii lui cu P, putemscrie mai formal:

( ) .cazurilor al total numrulfavorabile cazurilor numrul

AP =

Exerseaz!1. M-am rtcit n pdure. Poteca se bifurc, iar eu, care nu tiu drumul bun, aleg la

ntmplare ntre stnga i dreapta. Care este probabilitatea alegerii drumului bun?2. Care este probabilitatea s te fi nscut n martie? Dar n noiembrie? Dar ntr-o

lun oarecare?3. n mod sigur ai jucat jocul de table. Oare ce ans avem s obinem dublu ase

aruncnd cu dou zaruri?4. Un experiment de gndire: arunci cu moneda i notezi rezultatul. Repei acest

exerciiu, de exemplu de 20 de ori. Ce crezi, vei avea sigur de 10 ori stem i de10 ori pajur? Repet exerciiul de 1000 de ori. Vei avea 500 de stem i 500de pajur? (Nu este sigur c avem aceast repartiie, dar cu ct repetm mai multexperimentul, cu att mai mult rezultatele sunt mai aproape de probabilitateacalculat a evenimentului. Aceasta se numete legea numerelor mari.)

Folosete ceea ce ai nvat!Cunoatei jocul alba-neagra? Oare de ce nu merit spunei pariu c vei ghici unde este obiectul ascuns? Celcare v provoac la joc are aceleai anse de ctig ca ivoi? ncercai s exprimai probabilitatea ctigului i vvei convinge.

Un joc este corect i cinstit dac ansele de ctig suntegale pentru toi partenerii, adic 50%, n cazul n caresunt doi competitori. n acest caz, decide norocul i stra-tegia aleas de juctori. Strategia este calea pe care ourmeaz un juctor pentru a-i asigura ctigul.

Sunt i jocuri n care norocul nu conteaz, doar pricepe-rea juctorului. Cel mai cunoscut exemplu este jocul de ah.

tiai c?Atunci cnd dorim s calculm o probabilitate, avem de aflat dou numere: cel alcazurilor favorabile i numrul total al cazurilor. Acestea sunt probleme denumrare. Numrarea nu este ntotdeauna foarte simpl. Dac sunt multevariante de luat n calcul, lucrurile se complic destul de mult. n lecia ceurmeaz ne vom ocupa puin de acest aspect.

Dac evenimentul dorit de noi esteimposibil, probabilitatea lui este 0, iardac este sigur, probabilitatea ataat luieste 1. Altfel, valoarea probabilitiiunui eveniment este un numr cuprinsntre 0 i 1. Dac tim s calculm o pro-babilitate sau dac reuim mcar s oestimm, avem o imagine despre certi-tudinea realizrii acestuia, o ancor nplus pentru gndirea noastr.

Dac un eveniment are probabilitateade 75%, adic este foarte probabil, nunseamn c el se va realiza cu siguran-

. El va rmne n continuare doar oans, o posibilitate, mai mult sau maipuin probabil.



ncercm s numrm? 2


Se ntmpl sNu avem o zi n viaa noastr n care s nu fim nevoii s numrm ceva. Dac nualtceva, cel puin banii din buzunar. De multe ori, ns, numrarea poate devenifoarte complicat, pentru c avem de controlat un mare numr de cazuri, variantesau situaii. Vi s-a ntmplat s v simii n ncurctur ntr-o situaie denumrare? Vi s-a ntmplat s greii la o numrare?

Citete i descoper!Iat cel mai simplu caz: dac e s rspundem repede la ntrebarea cte numeresunt de la 12 la 20, mai toi rspundem: 8! Normal, din moment ce20 12 = 8, nu? Dac ns numrm atent, irul 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20conine 9 numere, nu 8. Cum ar arta calculul n cazul nostru? Dar dac vrem saflm cte numere sunt de la a la b?

Dac avem de numrat doar cteva obiecte, situaia e simpl. De la o mrime,ns, numrarea prin nirarea elementelor nu ne mai este posibil. De pild,ce ai face s putei numra cte crmizi sunt ntr-o grmad mare? Oareordonarea, punerea n ordine v-ar ajuta ntr-un fel?

n spatele scrierii numerelor se ascunde cevasimilar. tim cu toii c, de exemplu, 563nseamn

563 = 5102 + 6101 + 3100, adic

3 blocuri a cte un element, 6 blocuri acte 10 elemente i 5 blocuri a cte 100 ele-mente chiar dac aveam n gnd o grmaddezordonat, amorf de 563 elemente.

Putei explica, n acelai mod, semnificaia altor numere scrise n sistemul denumeraie zecimal?

De multe ori avem de-a face cu un anumit numr de obiecte, pe care le inem natenia noastr, ns n alt ordine. O asemenea schimbare de ordine, n care nuse modific numrul obiectelor se numete permutare. Un caz simplu: avem 3ghivece de flori, s spunem a, b, c, pe care vrem s le aezm n geam. Gsii ncte moduri putem face acest lucru? Un ajutor:

n ce fel ne ajut desenul?

Dac permutm 3 obiecte, numrul total al permutrilor este 6.Acest numr se obine prin produsul 1.2.3, ceea ce se numetefactorial n matematic, notat cu !. Mai exact, vom scrie 3! =1.2.3 = 6 sau 4! = 24 etc.

Exerseaz! Un drapel are culorile galben (G), albastru (A) i negru (N), dispuse vertical i

arat astfel: G-A-N, ceea ce nseamn ordinea culorilor de la stnga la dreapta.Poi aranja culorile i n alt ordine? Cte drapele diferite ai putea face?

Primeti 6 musafiri, pe care vrei s-i aezi la o mas rotund. n cte moduridiferite poi face acest lucru?

Arunci cu dou zaruri identice. Care este probabilitatea c vei obine dubluase? n cte moduri poate aprea 6-6 pe cele dou cuburi? Dar numrul total alcombinaiilor l poi calcula? Putei dezvolta aceste idei?

Este adevrat c 100 < 5! < 120? Ce vom face pentru a gsi un rspuns sigur?

Folosete ceea ce ai nvat!1. n campionatul de fotbal al judeului X particip

16 echipe. Fiecare echip joac cu fiecare altechip i ntr-o sptmn toi joac doar unsingur meci. Gsii cte meciuri se vor organiza,dac se joac n sistemul tur-retur. Notai echipelecu A, B, C etc. i elaborai o planificare ameciurilor combinnd echipele la ntmplare.Putei folosi un tabel n acest scop?

2. n jocurile de noroc, numrul variantelor, ctigtoare sau nectigtoare, estefoarte mare. S vedem un caz simplu: un joc loto, n care trebuie s ai 4 numereextrase din 15 posibile, astfel nct ordinea extragerii s conteze. 4 numere din 15numere date se pot extrage n peste 32.000 de moduri. Din toate aceste posibiliti,doar una singur ne convine, dac am completat doar un singur bilet. Aadar,ansa ctigului este mai mic dect 1/32.000. Altfel spus, ar trebui s completmpeste 32.000 de bilete, ca s fim siguri de ctig. Doar c biletele cost.

tiai c?Legenda spune c inventatorul jocului de ah ar fi cerut, drept rsplat, 1 bob degru pe primul ptrat al tablei de ah, 2 boabe pe cel de-al doilea, 4 boabe peurmtorul .a.m.d. Adic, pe fiecare ptrat, exact dublul numerelor de boabe degru de pe ptratul precedent. Folosind puterile, pe primele 8 ptrate ale tablei deah trebuia s fie 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, 25 = 32, 26 = 64, respectiv 27

= 128 boabe de gru. Poi exprima numrul de boabe de pe ultimul ptrat?(Atenie la exponentul lui 2!) Ai o idee despre ct de mare este acest numr? Dardac adunm toat cantitatea de pe fiecare ptrat? Rezultatul este un numr imens.

Marele matematician german Carl Friedrich Gauss(1777-1855) era considerat nc de la o vrst foarte mic unmare talent. ntr-o zi, pe vremea cnd era la coala primar,nvtorul le-a cerut copiilor s adune toate numerelenaturale de la 1 la 1000. Probabil c era obosit i spera s seodihneasc pn cnd copiii calculau. Nici nu a terminatbine enunul problemei, c micul Gauss a i venit cu orezolvare neateptat: a observat c1 + 1000 = 1001; 2 + 999 = 1001; 3 + 998 = 1001 .a.m.d.Continuai voi raionamentul i calculul pentru a afla suma.



Alegeri i voturi 3


Se ntmpl sDin patru n patru ani avem an electoral: ne alegem reprezentanii pentruconsiliile locale, pentru parlament i ne dm votul pentru preedintele rii.Participarea la alegeri este un exerciiu democratic i o datorie civic n acelaitimp. Dac eti cetean romn i ai peste 18 ani, du-te i voteaz!

Citete i descoper!De ce este nevoie ca s putem vorbi despre o alegere? Evident, alegerea este fcutde cineva, de o persoan sau un grup de persoane. Uneori, am vzut deja, n loculnostru alege hazardul, norocul sau ghinionul, iar ceea ce ne revine nou este doarestimarea probabilitii realizrii unei variante sau a alteia. Spre exemplu:

Experiment Varianta 1 Varianta 2aruncatul cu moneda stema pajuraalegeri n Consiliul Local Popescu Ionescualegerea culorii mainii verde galben

Am lsat loc n tabel ca s completai cu alteexemple. Comentai cui i aparine alegerea naceste cazuri.

Studiate din punct de vedere matematic, ale-gerile sunt foarte interesante. Mai sus s-au vzutexemple de alegeri din dou variante. Dacnumrul variantelor este mai mare, lucrurile secomplic.

n exemplul urmtor presupunem c tu decizi, tu eti alegtorul. Ai de analizattrei alternative:

A. m voi duce pe jos la locul meu de munc;B. fac o plimbare cu bicicleta pn la locul meu de munc;C. iau tramvaiul i apoi parcurg, pe jos, 100 m pn la locul meu de munc.

Ce preferi comparnd varianta A cu B i, separat, varianta B cu C? Folosetesimbolul pentru a nota preferina ta. De exemplu, dac preferi A mai multdect B, scrie A B. Completeaz urmtorul mic tabel:

A comparat cu B B comparat cu C

Opiunea mea

ncearc acum s reflectezi asupra ntrebrii: rezult, de mai sus, preferina mean ceea ce privete A sau C?. Alegerea ntre mersul pe jos i plimbatul cu


bicicleta, apoi ntre plimbatul cu bicicleta i mersul cu tramvaiul are vreoconsecin n alegerea mea ntre mersul pe jos sau cel cu tramvaiul?

i ce se ntmpl dac A,B i C desemneaz politicieni dintre care vrei s alegi ste reprezinte? i nu vei alege de unul singur, aa c s-ar putea uor ntmpla sctige candidatul pe care nici nu l preferi. Dac alegem din trei, dup sistemulde mai sus, nu este sigur nici mcar c va ctiga cel care are susinere majoritar.

Exerseaz! Cerei profesorului s v explice ce nseamn majoritatea i minoritatea! Ce nseamn expresia alegere democratic? Cum explicai faptul c n comisiile cu drept de decizie avem, ntotdeauna, un

numr impar de membri? Notm cu A,B i C preferinele la o anumit alegere (din trei variante) i

presupunem c avem doar trei alegtori.a. Cte moduri de ordonare are fiecare alegtor pentru preferinele sale?b. Care este numrul total al variantelor celor trei

alegtori? La o alegere proporional, reprezentarea celor alei este

proporional cu numrul voturilor acordate. Aa sentmpl n alegerile parlamentare. Analizai i explicaigraficul de mai jos, n care procentele exprim numrullocurilor obinute n parlament de ctre formaiunilepolitice. Parlamentul are 321 de locuri. Calculai ctelocuri va obine fiecare partid n acest parlament.

S numim paradox fenomenul n care A este preferat lui B, B este preferat lui C, darC este preferat lui A. n cazul descris n penultimul exerciiu, se poate calculaprobabilitatea ca n urma exprimrii preferinelor de ctre cei trei alegtori s aparparadoxul. Aceast probabilitate este de aproximativ 0,05, deci relativ mic. Dac,ns, crete numrul alegtorilor i a variantelor din care se alege, probabilitatea de aaprea paradoxul tinde rapid spre 1. Cu alte cuvinte, paradoxul apare aproape sigur!

Folosete ceea ce ai nvat!Cercettorii s-au ntrebat dac exist sau nu alegeri corecte. Au pus la ndoialcorectitudinea alegerilor aa-zis democratice. Cel mai cunoscut rezultat esteteorema de imposibilitate a lui Arrow. n esen, acest rezultat afirm c nu existnici un sistem de alegeri care s corespund unor condiii rezonabile impuse,cum ar fi: libertatea alegerii individuale, fr dictatur, lipsa efecteloralternativelor irelevante etc.

tiai c?Originile alegerilor politice dateaz din secolul al 6-lea .Hr., dindemocraia din Atena. Sistemele de vot s-au dezvoltat mult peparcursul istoriei, spre exemplu n secolul al 13-lea, n StatulVeneia i, mai cu seam, n timpul Revoluiei Franceze din anii1770. Intranzitivitatea preferinelor ntre A, B i C era descris demarchizul de Condorcet nc din aceti ani.


Paradoxuri i dileme 4


Se ntmpl sn lecia precedent am amintit de paradoxuri n legtur cu voturile i alegerile.Ai mai auzit n vorbirea curent expresia paradox sau paradoxal? Oare censeamn un paradox? Unde le putem ntlni?

Citete i descoper!Cunoatem lucruri care par a fi adevrate, dar care sunt, de fapt, false saucontradictorii. Invers, sunt i situaii care ascund contradicii aparente, dar suntde fapt corecte, adevrate. Iat un exemplu celebru:

Achile i broasca estoasLa un concurs de alergare, Achile st la linia de plecare, iar broasca estoas areun avans de 100m. Achile fuge de 100 de ori mai repede dect broasca. n timpce el ajunge acolo unde a fost broasca, aceasta a avansat deja cu 1m. Pn ajungeAchile aici, broasca mai parcurge 1cm, i tot aa, mai departe, pn la infinit.Astfel, Achile nu va ajunge niciodat broasca din urm!

Cum este posibil acest lucru? Simul realitii ne spune c nu poate fi aa! Daratunci unde este greeala n raionamentul de mai sus?(Suma infinit a intervalelor de timp, din ce n ce mai scurte, este totui un timpfinit, exact timpul care i este necesar lui Achile s ajung din urm broasca!)

De multe ori, paradoxul este creat de un calculneglijent. Un alt exemplu celebru:

Trei turiti nnopteaz la un hotel. Camera lorcost 30 Euro i dimineaa pltesc fiecare cte 10Euro. Patronul observ, ns, c preul corect ar fifost doar 25 Euro i cere recepionerului snapoieze cei 5 Euro. Acesta se gndete c 5Euro nu se pot mpri uor n trei i, mai binepstreaz el 2 Euro ca s returneze turitilor dife-rena de 3 Euro. Astfel, turitii au pltit 9 3 = 27Euro i cu cei 2 Euro pstrai de recepioneravem 29 Euro. Unde a disprut 1 Euro?

Punei-v n locul oricruia din turiti sau n locul patronului i ncercai scompletai tabelul de mai jos!

(Putei nota i invers: debit pentru hotel i credit pentru turiti!)

Debit (cheltuial pt. turiti)

Credit (venit pt. hotel)

Costul real al camerei(patului)Bani lsairecepionerului

De multe ori avem de-a face cu paradoxurivizuale, aa cum ai putut vedea i nModulul 2 (de exemplu, la lecia Realitatesau desen), sau cu situaii n care seamestec vizualul cu calculul defectuos.Avem i acum un exemplu celebru:

Exerseaz! Reluai exemplul cu crocodilul, din lecia de nceput! Analizai din nou dilema! Ce se ntmpl dac se amestec debitul cu creditul? Este normal s se adune

cheltuielile cu veniturile? Aranjai datele problemei de mai jos n tabel! Reprezentai variantele posibile sub

forma unei matrice! (Profesorul v va ajuta!)

Folosete ceea ce ai nvat!


Sunt prini doi rufctori care exist suspiciunea aucomis mpreun o crim. Dovezi concrete nu exist, dareste foarte probabil c ei sunt fptaii. Suspecii suntnchii separat n dou celule, fr s poat comunicantre ei. Judectorul face fiecruia dintre ei urmtoareaofert, puin neobinuit:

Dac TU recunoti fapta i EL neag, te eliberm, iarcolegul tu primete 10 ani i cazul se ncheie.

Dac i tu, i el mrturisii, amndoi primii cte 5 anide nchisoare i nchidem cazul.

Dac nici tu, nici el nu recunoatei nimic, primii cte1 an de nchisoare i nchidem dosarul.

Colegului tu i se va face exact aceeai ofert ca i ie!.

Care strategie este cea mai bun pentru suspeci: mrturia sau negarea?S ne gndim cu capul unuia dintre suspeci! Continuai raionamentul pe care lncepem mai jos! Completai pe caietele voastre:

1. Dac eu mrturisesc, colegul are dou posibiliti: sau nu Dac i elrecunoate, primesc ani. Dac el nu recunoate, sunt liber.Dac nu mrturisesc, din nou sunt dou situaii, dup cum va reaciona colegul.Dac el , primesc 10 ani i el e liber, iar dac i el mrturisete, primesc 5 ani.E clar c VOI MRTURISI, pentru c astfel pedeapsa probabil este mai mic.Numai c la fel se va gndi i cellalt suspect, deci va depune mrturie i se voralege amndoi cu cte 5 ani de detenie, cu toate c puteau scpa cu doar 1 andac n-ar fi recunoscut nimic nici unul din ei. Aici este DILEMA!

2. Pe de alt parte, pot presupune c rezultatul raionamentului meu va fi identiccu al colegului. Deci dac eu recunosc, va recunoate i el i primim cte 5 ani.Dac eu nu recunosc nimic, nici el nu va recunoate i primim cte 1 an. Aadar,NU RECUNOSC NIMIC. Aici e a doua DILEM!

Care raionament este corect? Ambele? Totui, ele au produs dou rezultate diferite!Altfel spus, adevrata dilem este urmtoarea: cooperm sau nu cooperm nasemenea situaii? (Dac exist asemenea situaii!)


Autoevaluare II


V propunem din nou cteva exerciii pentru evaluare i auto-verificare. Recomandm scitii textul cu mare atenie, s ncercai s nelegei i s prelucrai problemele chiardac nu le-ai mai ntlnit.

1. Mai jos avei o list cu afirmaii care descriu evenimente sigure, probabile sau imposibile.Alegei i bifai n dreptul lor varianta corect. (Avei un exemplu.)

Sigur Probabil Imposibil

Ziua de mine va ine 24 de ore.

Cupa Mondial la fotbal va fi ctigat n2010 de Brazilia.

Dac arunc cu zarul, obin un ase. Orice minune ine trei zile.

Ajung cu maina n 10 minute de la Arad laTimioara.

La testul de evaluare obin punctaj maxim.

2. Considerm irul numerelor naturale de la 1 la 1000.a. Cte numere gsim n acest ir care se divid la 3?b. Cte numere gsim n acest ir care se divid la 6?c. Dar care nu se divid nici la 2, nici la 3, nici la 5?

3. Cuvntul rob este scris cu literele R, O, B. Cutai toate permutrile iruluiR O B.

Avem printre acestea cuvinte care au sens?

4. ntr-o familie cu doi copii, cel puin unul este biat. Care este probabilitatea ca al doileacopil s fie fat? Reprezint toate variantele posibile n urmtorul tabel:

Primulcopil

B F

Al

doi

lea

cop

il B

F

Care este varianta imposibil n conformitate cu textul?

5. Mai jos avem suma numerelor naturale pare de la 2 la 1000:

2 + 4 + 6 + 8 + +996 + 998 + 1000

Care este valoarea acestei sume?

6. n desenul de mai jos am redat legarea n serie i legarea n paralel a componentelor.

Componenta A sau B se pot defecta. Estimai probabilitile pentru cazurile descrisemai jos:

7. Pe o insul triesc dou feluri de locuitori: care ntotdeauna spun adevrul care ntotdeauna mint

Am ntrebat un localnic: Tu spui adevrul?a. Care este rspunsul localnicului?b. Descriei modul n care v-ai gndit.

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

8. Extragem la ntmplare un numr din primele o sut de numere naturale. Calculaiprobabilitatea ca numrul extras s fie numr prim!

9. Un zar are dou fee galbene, trei verzi i una neagr. Care este probabilitatea ca duparuncarea zarului s obinem:

a. o fa galben,b. o fa verde,c. o fa neagr?


Legarea n seriefuncioneaz

Legarea n paralelfuncioneaz

A i B defecte

A sau B defecte

A i B bune

A sau B bune

ALGORITMI I MODELE

Capitolul III


Ultima parte a ghidului este o colecie de probleme, adunate pe categorii. n leciile acestui capitol vomregsi majoritatea ideilor prezentate n prima parte, aplicate aici la probleme pe care le considermimportante.

Temele capitolului 3 sunt urmtoarele :3.1. Scheme logice3.2. Descompuneri i recompuneri3.3. Proporionalitate3.4. Ecuaii3.5. Probleme cu probleme3.6. Funcii simple

Dintr-un anumit punct de vedere, foarte multe probleme v cer s descompunei i apoi s recompuneilucrurile. Dac nu altceva, datele problemei cu siguran. Vei vedea din nou proporiile i ctevasituaii de proporionalitate. Vei exersa s reformulai anumite probleme, s le redai ca ecuaii i sle rezolvai sub aceast form.

n ultima parte a capitolului vei nva ce sunt funciile i cum putem modela cu ajutorul lor anumitefenomene ale lumii care ne nconjoar.

Pentru capitolul 3 avei 12 ore la dispoziie i alte 2 ore pentru evaluare i autoevaluare.

ALGORITMI I MODELE

Scheme logice 1


Se ntmpl sn mod sigur ntlnii mereu probleme, sub o form sau alta. Unele se rezolvfolosind diverse scheme, diverse mecanisme care conduc la rezultat. Alteprobleme sunt mai deosebite i rezolvarea lor cere mai mult ingeniozitate. Estecert ns c oricare ar fi problema, raionamentul corect i logica nu prea se potpune la o parte. Primul pas, i de data acesta, este s avem un plan de rezolvare.n acest sens ne pot ajuta schemele logice.

Citete i descoper!Alegem urmtoarea problem: splatul hainelor cu maina automat de splat.

Aparent, acest lucru nu este o problem. Splm att dedes nct rezolvarea acestei sarcini se ntmpl mecanic.S ne uitm, totui, puin mai atent. Iat dateleproblemei noastre:

maina de splat, sursa de curent, sursa de ap rece,hainele murdare, detergentul

Vom avea de parcurs unele proceduri i operaii (mai mult sau mai puinmatematice). n cazul nostru:

n timpul prelucrrii problemei, avem de luat decizii. De exemplu:

Desigur, putem avea mai multe asemenea blocuri de decizie. Putei formula altentrebri asupra crora trebuie s reflectm? Poate legat de detergent? Deduritatea apei? Altele?

punerea hainelor n maina de splat; adugareadetergentului; deschiderea robinetului de ap, conectarea

la sursa de curent; alegerea programului; pornirea

S mai adugm i momentul de nceput i de sfrit:


Astfel, problema splatului hainelor, chiar i cu maina automat, apareSCHEMATIC, n felul urmtor:

Comentariin realitate, splatul cu maina merge mai uor. Ceea ce am vrut s ilustrm estemecanismul logic, deseori ascuns sau invizibil, care orienteaz aciunile noastrei care ofer un plan de rezolvare a problemelor cu care ne confruntm.

Exerseaz! Construiete o schem logic pentru rezolvarea urmtoarei probleme: ne-am

rtcit n oraul Berlin, dar avem hart i cunoatem limba german. Vrem sgsim gara central.

ncearc s elaborezi o schem logic pentru dilema prizonierului! Cum ar arta o schem logic ce descrie construcia unei case de vacan? Dar schema rezolvrii unei ecuaii simple, de tipul 5x = 20?

ALGORITMI I MODELE

Descompuneri i recompuneri 2


Se ntmpl sA descompune ceva n componentele sale este o activitate obinuit pentru toatlumea. Copilul i desface jucria din curiozitate, iar tnrul, bicicleta saumotorul. De cele mai multe ori nu descompunerea este problema, cirecompunerea, refacerea originalului. Vi s-a ntmplat s desfacei ceva i s numai reuii s l facei la loc?

Citete i descoper!Imaginai-v un numr, de exemplu 12. Am mai vzut c aceast scriere ascundeputerile lui 10, coninute n numrul ales, n felul urmtor:

12 = 1 101 + 2 100

Numrul 12 este compus dintr-un 10 i un 2. Oare am putea descompune acestnumr (sau orice alt numr natural) i n alt mod?

S ncercm dou idei noi.

1. Descompunerea n sumSpre exemplu, 12 = 3 + 7 + 2. ncercai s descompunei n sum acest numr in alte moduri, folosind

a. doar termeni diferiib. i termeni care s se repete

Cte descompuneri gsii?

2. Descompunerea n produsAcum, de exemplu, 12 = 2 6 sau 12 = 1 12 i, astfel, 12 apare ca un produs, nuca o sum. n acest caz, factorii n care se descompune numrul se numesc idivizori ai lui. Printre asemenea descompuneri, cea mai important estedescompunerea n factori primi.

Un numr natural se numete numr prim dac, n afara lui 1 i el nsui,nu are ali divizori.Exemple de numere prime: 2, 3, 5, 17, 31, .

Exerciiu. Cutai alte exemple de numere prime i un mod de averifica dac un numr este prim sau nu. (Profesorul v va ajuta)Relund numrul 12, el apare descompus n factori primi astfel:12 = 22 3

Un rezultat foarte important i celebru, cunoscut deja din vremealui Euclid, afirm c:Orice numr natural se poate descompune n mod unic n factoriprimi.(dac ordinea factorilor nu conteaz)

Deseori avem restricii n realizarea descompunerii unui numr. Iat un exemplu:Se poate plti suma de 130 RON folosind doar bancnote de 5 i 10 RON? Dacda, cte bancnote de fiecare fel se vor folosi?

ncercai s analizai ce legtur se poate stabili ntre textul de mai sus i expresia:

5x + 10y = 130.

Expresia de mai sus este o ecuaie. Mai precis, o ecuaie cu dou necunoscute,notate prin x i y.

Exerseaz! Descompunei n factori primi numerele: 18, 25, 44, 60 i 120. Descompunei aceleai numere n sum, n cteva moduri alese dup preferin. Rezolvai ecuaia 5x + 10y = 130. Cte soluii gsii? Este perechea (6,10) soluie? Dar (10,6)? Gsii soluii i pentru ecuaia 7x + 10y = 130?

Folosete ceea ce ai nvat!n geometrie, un caz tipic de descopunere recompunereeste cel al pavajelor. n varianta cea mai simpl, un pavajacoper o anumit suprafa, utiliznd diverse figurigeometrice plane: triunghiuri, ptrate, hexagoane .a.m.d.,sau combinaii ale acestora. Un pavaj trebuie s fie plcut,estetic. Exist figuri plane cu care se poate acoperi un planfr probleme: figurile se ating perfect, nu se suprapun ivor umple complet planul. Aa se comport, de exemplu,triunghiul echilateral. Rmne adevrat afirmaia de maisus dac folosim triunghiuri oarecare? (nainte de arspunde, ncearc s desenezi, s faci o schi!)

i acum un exerciiu simplu:Baia are o form dreptunghiular, cu o latur de 3m iuna de 2,2m. Se poate acoperi aceast suprafa cuplci de gresie de dimensiunile 44 20 cm fr s setaie plcile? (Nu lum n considerare rosturile dintreplci!)Folosete un desen, o schi la scar.

tiai c?Euclid a fost unul dintre cei mai de seam savani ai omenirii. Cel mai importantmerit al su este elaborarea unui tratat de matematic, intitulat Elemente, careadun n 11 volume toate cunotinele matematice ale vremii, ntr-un modsistematic i riguros. n crile lui Euclid se gsete primul sistem axiomatic algeometriei. Geometria lui Euclid a fost de foarte mare influen de-a lungulsecolelor. O serie de elemente din Elemente se regsesc i azi n manualelecolare de matematic.


ALGORITMI I MODELE

Proporionalitate 3


Se ntmpl sAi ncercat vreodat s folosii o carte de bucate sau o reet culinar pentru un anumitfel de mncare? Ce putem face dac reeta este formulat pentru o porie de 4 persoane,iar nou ne trebuie de 12? Sau, dimpotriv, doar pentru 2 persoane? Cum vom calculacantitile necesare?

Citete i descoper!Avem mai jos reeta pentru budinc de carne cu sos desmntn, cu urmtoarele ingrediente: 1 kg carne de vielsau de purcel, 1 felie de franzel, 1 ceac cu lapte, 75gunt, 4 ou, sare, piper, salat i sos de smntn.

Presupunem c reeta este pentru 4 persoane. Cum vomschimba cantitile dac pregtim acest fel de mncare pentru16 persoane? Vom modifica proporional fiecare cantitatenmulindu-le, n cazul nostru, cu 4. Completai mai jos:

Dac ai calculat, s observai c toate cantitile s-au modificat de acelai numr de ori,adic n mod proporional. Reeta presupune c ingredientele sunt ntr-un anumit raport:dac cretem cantitatea de carne, va crete i cantitatea de ou de exemplu de acelainumr de ori. Asemenea cantiti sunt considerate direct proporionale.

S vedem un alt exemplu! Presupunem c pentru a ajunge n localitatea X avem nevoiede 3 ore, dac viteza medie a micrii este de 60 km/h. Ce se va ntmpla dac vitezamedie crete la 90 km/h? Va crete i timpul necesar pentru a parcurge acest drum?

Viteza s-a mrit de 1,5 ori i, tocmai din aceast cauz, timpul s-a micorat de acelainumr de ori. Un asemenea raport se numete proporionalitate invers.

n cazul n care vrem s facem calcule cu cantiti direct sau invers proporionale, avemla ndemn regula de trei simpl. Simplificnd lucrurile, s relum exemplele de maisus. Avem schematic:

Porie de 4 persoane Porie de 16 persoane Porie de 2 persoane

1kg carne

1 felie de pine

1 ceac cu lapte

75g unt

4 ou

4 persoane .. 75 g unt

16 persoane .. x g unt


ceea ce exprim, n exemplul acesta, c ne-am ntrebat ce cantitate de unt este necesardac pregtim mncare pentru 16 persoane. Dac proporionalitatea este direct, vom aveax = (16. 75) / 4 = 300 (g unt). Creterea numrului persoanelor de 4 ori duce la cretereacantitii tot de 4 ori. Altfel spus, avem:

4/16 = 75/x, de unde x = 300.

Exerseaz! Ce nseamn vitez medie? Dar media vitezelor? Putei gsi cteva exemple? Cum am putea exprima schematic situaia din a doua problem? Care proporie este

corect: 3/x = 60/90 sau 3/x = 90/60? Calculai valoarea lui x din aceste proporii i interpretai rezultatele obinute. La ce

trebuie s fim ateni nainte de calculul necunoscutei la regula de trei simpl?

Folosete ceea ce ai nvat!Am ntlnit deja proporionalitatea n modulul intitulat Forme, la leciile referitoare laasemnare. De exemplu, dou triunghiuri sunt asemenea dac laturile lor suntproporionale i unghiurile congruente, dou cte dou.

Un alt caz tipic este ilustrat prin exerciiul de mai jos:La o lucrare avem alocat suma total de 1800 RON.Aceast sum trebuie mprit n mod proporional, nfuncie de volumul de munc efectuat, ntre treimuncitori. Primul a lucrat 5 pri din lucrare, al doileamuncitor 3 pri, iar cel de-al treilea doar o parte. Ct i secuvine fiecrui muncitor?

ncercai s rezolvai aceast problem folosind ca punct deplecare urmtoarea relaie, care exprim proporionalitatea:

x/5 = y/3 = z/1, unde

x,y i z nseamn sumele pe care le vor primi cei trei muncitori. (Profesorul v va ajuta sprelucrai informaiile i s ajungei la rezultatul cutat!)Explicai de ce vom mpri 1800 la 9.

tiai c?O proporie cu totul special este cea din seciunea de aur. n prezentarea cea mai simpl,aceast valoare apare atunci cnd avem un segment de dreapt, cu un punct pe el, aezat naa fel nct lungimea segmentului ntreg comparat cu lungimea segmentului mai mare s fieaceeai valoare ca i lungimea segmentului mai mare comparat cu lungimea segmentului maimic. Pe desen este mult mai simplu:

AB/AC = AC/CBA C B

ALGORITMI I MODELE

Ecuaii 4


Se ntmpl sAm vzut n leciile precedente c multe probleme se reduc la cutarea unei(unor) cantiti necunoscute. Diferitele situaii n care ne pune viaa cotidian serezum la cutarea, punerea unor ntrebri adecvate i gsirea rspunsurilor laacestea. Rspunsurile sunt, foarte des, diverse mrimi exprimabile prin numere.ntrebrile noastre se pot exprima n multe situaii pe cale formal, sub formaunor ecuaii.

Citete i descoper!Iat un prim exemplu clasic:Suntem proprietari la un mic magazin de haine. Seapropie perioada reducerilor de preuri i ne decidem sreducem preul unui costum cu 25%. Dup puin timphotrm s majorm preul, tot cu 25% din preul actual,i astfel costumul va costa 320 RON.

Ce ntrebare vom pune n mod firesc? Probabil neintereseaz dac preul actual este mai mare sau mai micdect preul iniial.

Notm preul iniial cu x. Reducerea cu 25% din acesta face ca noul pre alcostumului s fie 0,75x. (De ce?)Dac acesta se va mri cu 25% din el, vom putea scrie pentru preul final:0,75x + 0,75x 0,25 = 320.

Aceast expresie este o ecuaie, cu necunoscuta x.Rezolvarea ecuaiei nseamn gsirea acelor valori ale necunoscutei (x, n cazulnostru) pentru care egalitatea este adevrat. (Observai c pentru un numr alesla ntmplare n locul lui x egalul nu este corect!)

Nu orice ecuaie are o form att de simpl. Spre exemplu:Pardoseala bii este de 16 m2 i vrem s o pavm cu 64 de plci de gresie deform ptratic. Ct de mare trebuie s fie plcile de gresie?Care este ntrebarea, ce cutm? Dar datele problemei?Ne ajut i acum o notaie pentru necunoscut? Ce vom nota i cu ce liter? Cumtranscriem problema noastr ntr-o ecuaie?

Exerseaz! Rezolvai ecuaia din primul exemplu. Cerei ajutorul profesorului i fii ateni la

ordinea operaiilor. Observai ntrebrile din exerciiul al doilea. Reinei c asemenea ntrebri

trebuie s formulai singuri n rezolvarea problemelor!

Rezolvai acum ecuaia 64 x2 = 16. Cte soluii obinem? Cte soluii corespundsituaiei problem care a condus la ecuaie?

ncercai s rezolvai urmtoarele ecuaii pentru a exersa tehnicile de rezolvare:a. 2x + 4,5 = x + 6,3b) 5(3x 1) = 15xc) 3x2 = 27

Analizai numrul soluiilor acestor ecuaii!

V amintii de proporiile din lecia precedent? Deseori, avem o necunoscutntr-o proporie, adic o ecuaie. Ct este valoare lui x din proporia x/5 = 3/7?

Folosete ceea ce ai nvat!n problemele reale avem, de regul, mai mult dect o necunoscut. Problemareformulat n limbajul ecuaiilor va necesita mai multe ecuaii pentru gsireanecunoscutelor. Astfel, avem de-a face cu sisteme de ecuaii. Iat un exemplupentru un sistem de ecuaii foarte simplu:5 kg de detergent de dou caliti diferite cost 76 RON. Primul fel de detergentare preul de 16 RON, iar al doilea tip cost 14 RON.

Se nelege de la sine c ne vom ntreba cte kg de detergent avem din fiecare fel.Ne-ar ajuta notaiile i n aceast problem? Cte necunoscute cutm? Ce vomnota cu litere i ce simboluri s folosim? i tot aa, irul ntrebrilor poatecontinua. Cu ct ntrebm mai mult i mai pertinent, cu att vor crete ansele derezolvare a problemei.

O rezolvare: notez cu x cantitatea de detergent de primul fel i cu y cantitatea deal doilea fel. Atunci:

x + y = 516x + 14y = 76

Ecuaiile considerate mpreun formeaz un sistem de ecuaii. Rezolvnd acestsistem (profesorul v va arta cum!), primim pentru x valoarea 3 i pentru y valoarea2. Interpretai rezultatul obinut i reflectai dac soluia este acceptabil sau nu.

tiai c?Soluia sistemului se poate reprezenta ntr-un sistem deaxe de coordonate, cu condiia ca valoarea lui x s fiemsurat pe orizontal, iar a lui y pe axa vertical. Astfel,soluia ne furnizeaz un punct geometric. Acest punct estetocmai intersecia celor dou drepte descrise mai sus deecuaiile sistemului.Gndii-v geometric:

dou drepte se intersecteaz ntotdeauna? pot dou drepte s coincid?

Altfel: cte soluii poate avea un sistem de ecuaii? ncercai s analizai cazurileposibile i s cutai exemple pentru ceea ce gsii.

Exerciiu suplimentar: Cutai alte exemple de sisteme de ecuaii i ncercai s lerezolvai!


ALGORITMI I MODELE

Probleme cu probleme 5


Se ntmpl sn lecia aceasta vom ncerca s studiem cteva probleme mai deosebite.Asemenea probleme sunt, de fapt, exerciii de gndire, de raionament i dedecizie. Chiar dac nu le ntlnim sub aceast form n viaa de zi cu zi, indirect,ele ne sunt de mare folos. Multe din ele se pot aduna n clase de probleme.

Citete i descoper!1. Din motive de simplitate, ne referim la micarea uniform,

adic la situaia cnd viteza micrii rmne neschimbat.Iat situaia:Pe un fluviu, un vapor parcurge o anumit distan n 4ore, n sensul curgerii apei. Invers, mpotriva curentuluiapei, acelai drum ar ine 4 ore i 20 de minute.

Putem ntreba mai multe lucruri, dar este firesc s ne punem problema n cttimp ar parcurge aceeai distan o plut care se deplaseaz cu viteza apei?

nc ceva: nu att rezultatul este interesant i important, ct modul n careajungem la el!

Notm viteza proprie a vaporului cu v, iar viteza apei cu va. Exprimm drumulparcurs, care este acelai, i egalm expresiile astfel obinute:

4(v + va) = 13/3(v va).

De aici primim v = 25 va, iar asta nseamn c timpul necesar pentru ca pluta sparcurg distana este de 104 ore.Discutai n clas rezolvarea acestei ecuaii. Interpretai rezultatul obinut!

2. Un alt caz pe care l prezentm este legat de amestecuri i aliaje. Spunem c titlulunui aliaj este raportul dintre masa metalului preios din acel aliaj i masa totala aliajului. Problema noastr este urmtoarea:Un aliaj de aur i cupru cntrete 20g i are titlul de 0,850. Ct aur ar trebui sadugm aliajului pentru ca acesta s aib titlul de 0,950?Putei folosi notaii, ca i n problema precedent. Reformulai problema folosindecuaii.

nainte de cutarea unei rezolvri, ncercai s v formulai un plan, s punei ntrebri ajuttoare,

s cutai asemnri ale problemei cu altele pe care poate le-ai mai vzut.

3. nc un exemplu:Avem 3 obiecte pe care vrem s le mprim la 2 persoane, dar fiecare dintreacestea trebuie s primeasc cel puin un obiect. n cte moduri se poate faceacest lucru?Pentru rezolvarea acestei probleme v propunem s ncercai metode euristice.Mai simplu: gsii un mod de a numra variantele, folosind o schi sau orice altmetod prin care v putei organiza aceast munc de cutare. i din nou: puneintrebri i rspundei la ele. De exemplu: Care 2 obiecte din acele 3? n ctemoduri putem alege aceste 2 obiecte din obiectele date?

Convingei-v astfel c nu att rspunsul este greu de dat la o ntrebare, ci maidegrab formularea nsi a ntrebrii!

Exerseaz! Descompunei numrul 24 n factori primi. Gsii toi divizorii numrului 24. Rezolvai problema 3 de mai sus lucrnd n perechi. Comparai rspunsurile

gsite i alegei rspunsul corect.

Folosete ceea ce ai nvat!Multe probleme se leag de jocuri. Un joc strategic presupune aa cum s-a maivzut o serie de decizii i rezolvri de probleme. V propunem un exemplu, unjoc pe care l putei ncerca chiar i n clas. Jocul se numete puncte i linii i sejoac n doi, pe o reea de 4 4 ptrate, aa cum se vede pe desenul alturat.Folosii n joc dou culori!

Regula jocului: fiecare juctor deseneaz, pe rnd, cu culoarea sa,o linie orizontal sau vertical, unind dou puncte alturate alereelei. Dac o celul (ptrel de 1 1) are toate laturile deaceeai culoare, se coloreaz i n interior i respectivul juctorprimete o mutare n plus. Mai multe celule alturate i de aceeaiculoare formeaz un lan. Ctig cel care realizeaz mai multeptrate colorate cu culoarea sa.

Jocul este aparent simplu, dar strategia de ctig este o problemdestul de complicat, neelucidat complet.

tiai c?Exist n matematic multe probleme nerezolvate. Un caz celebru este alnumerelor prime gemene. Numerele prime gemene sunt perechile de numereprime de forma (p, p + 2). De exemplu: (3, 5) sau (29, 31).

Gsii i alte exemple de perechi de numere prime gemene?Problema la care ne referim afirm c exist o infinitate de perechi de numereprime gemene. Mai exact, se ntreab dac este aa sau nu, deoarece nu secunoate o rezolvare a acestei conjecturi.


ALGORITMI I MODELE

Funcii 6


Se ntmpl sVom face acum cunotin cu ideea de model i modelare, prin exemplul relativsimplu al funciilor. Cuvntul funcie este utilizat i n vorbirea curent. Spreexemplu, spunem c adaptm viteza mainii n funcie de condiiile de drum.n matematic, ns, expresia are un neles bine precizat. De altfel, noiunea defuncie este una dintre cele folosite n matematic.

Citete i descoper!Lumea n care trim este plin de relaii i corespondene. Multe dintre acesteaau fost recunoscute de oameni i folosite n ncercarea lor de a nelege i modelarealitatea. S observm cteva exemple:

Codul numeric

personal:

1721117040034

Este vreo coresponden ntre individ i codul lui numeric personal? Sau ntremain i numrul de nmatriculare?

Exerseaz!Cutai ct mai multe asemenea exemple, n care exist o coresponden ntreelementele a dou mulimi. Identificai aceste mulimi i descriei n cuvinterelaia sau corespondena pe care o descoperii.Putem reda prin desen, simplificnd lucrurile, cel puin dou situaii diferite:

Numrul de nmatriculare: AR-04-RDC

Care sunt deosebirile ntre aceste dou situaii?Analizai cu atenie mulimile i relaiile dintre elementele lor. Sgeilesimbolizeaz corespondena ntre elemente.

Desenul din figura 1 nu reprezint o funcie, pe cnd desenul 2 da!Putem vorbi despre funcie dac: fiecrui element dintr-o mulime i se asociaz unsingur element dintr-o alt mulime n baza unei legi sau a unei reguli de asociere.

Dac mulimile sunt A i B, iar regula de coresponden este f, putem scrieformal f: A B, ceea ce reprezint funcia despre care vorbim. Mulimea A senumete domeniul de definiie, iar B este domeniul de valori.Avem funcii n primele exemple? Dar n cele gsite de voi n primul exerciiu?

Folosete ceea ce ai nvat!De cele mai multe ori cel puin n matematic corespondena se face ntremulimi de numere. Dac aceste mulimi sunt tocmai mulimea R a numerelorreale, atunci funcia se mai poate pune n eviden i printr-un grafic. Nu e nevoiedect de un sistem de axe de coordonate xOy, aa cum l-ai ntlnit n modulul 3.

Iat un asemenea grafic:

De pe grafic putem citi cu uurincorespondena realizat prin funcie, putemvedea ce valoare i corespunde unui anumitx ales de pe axa orizontal.Simbolic, scriem f: R R, f(x) = 2x + 1.


Din nou exerciii: Mulimea A are 3 elemente, iar mulimea B are 4. Cte funcii diferite putem avea

definite pe A cu valori n B?Aceasta este o nou problem de numrare. S ne imaginm c elementelemulimii B sunt patru cutii goale, n care vom aeza cele trei elemente alemulimii A, n toate modurile posibile. Primul element se poate pune n oricare din cutii, deci avem 4 posibiliti. Aldoilea element are, de asemenea, 4 locuri posibile, deci alte 4 posibiliti .a.m.d.Astfel, numrul total al funciilor este, n cazul nostru, 43.

Cte funcii de tipul f: A B avem dac ambele mulimi au, de exemplu, 5 elemente? Cte funcii exist n cazul general, cnd mulimea A are n elemente, iar B are m

elemente?

tiai c?Ai vzut vreodat pe coperta din spate a unei cri ISBNul ataat crii respective?V-ai ntrebat ce reprezint acest ISBN (International Standard Book Number)?ISBN este un cod de 10 cifre (simboluri) care descrie i identific respectivacarte, adic respectivul titlu. Fiecare cifr sau simbol ofer o anume informaiedespre ara unde este editat cartea, editura, tipul publicaiei .a.m.d.

ALGORITMI I MODELE

Autoevaluare III


Problemele i exerciiile care urmeaz v vor ajuta s evaluai modul n care aineles cele mai importante idei din capitolul 3. Citii atent ntrebrile, reflectaiasupra lor i, nainte de rezolvare, construii-v un plan.

1. Descompunei n factori primi numerele 64, 120 i 84, apoi n sum de cte 7termeni fiecare.

2. Recompunei numerele 64, 120 i 84 n urmtorul fel:

2x + 3y = 647x + 5y = 1202x + 6y = 84

3. Pe un flacon cu detergent scrie:

2 l = 8 l

(l nseamn litri). Este corect aceast egalitate? Ce vrea ea s exprime?

4. Rezolvai ecuaiile de mai jos:a) 2x = 6; b) 3x + 1 = 16; c) x + 12 = 12; d) 1971 x = 1; e) x/4 = 11.

5. Amestecm 10l de benzin cu preul de 3,5 RON/litru, cu 20l de benzin cupreul de 3,7RON/litru. Obinem 30l de benzin. Ct cost un litru din acestamestec?

6. S presupunem c asociem unor semne nelesul cuvintelor, dup cum urmeaz:R soare; cnt; bronzat; brbat;p munte; crare.Construii cteva propoziii folosind acest cod. Un exemplu: R va nsemna brbat cnt soare, adic un brbat cnt la soare.

7. Scriei alfabetul i numerotai ordinea literelor. Redai cuvintele de mai jos priniruri de numere care reprezint ordinea literelor din cuvntul respectiv.(De exemplu, la cuvntul ac corespunde 13, din moment ce a este prima liter aalfabetului, iar c este pe locul 3.)

bar

deviz

faraon

motor

8. Aezai n ordine logic urmtoarele operaii: tiprete; conecteaz la curent; deschide documentul; deschide calculatorul;

pune hrtie n tav; verific.

9. Semnul 3 nseamn document. Ce neles i ataai semnului 4?

10. O carte este scris de trei autori. Primul a scris 4 capitole, al doilea 2 capitole, iaral treilea autor doar un capitol. Capitolele sunt la fel de mari. Cartea a produs unctig net de 2800 RON. Cum ar trebui s mprim corect aceast sum ntre ceitrei autori?

11. Textul care urmeaz este o reet pentru o porie de 4 persoane.Ingrediente: 3 morcovi, 1 ptrunjel, 2 legturi tarhon, 3 linguri ulei, 1 lingur fin, 3linguri smntn, 1/2 linguri boia dulce, 2 linguri orez, 1 ou, 1/2 l bor, 1,5 l ap.

(Reeta este pentru bor de tarhon)a. Modificai cantitile de ingrediente, n mod proporional, pentru o porie

de 20 de persoane.b. Ne pregtim de nunt. Ce cantiti vom folosi pentru 100 de persoane?

12. Construii un dreptunghi folosind echerul, astfel nct laturile dreptunghiului srespecte proporia de aur. Pentru aceasta, folosii valoarea aproximativ a acestuiraport: 1,6.(Valoarea exact se poate doar aproxima, numrul care exprim seciunea de aureste iraional.)

13. Reprezentai grafic, ntr-un sistem de axe de coordonate, temperaturile uneisptmni, n funcie de zilele n care acestea au fost nregistrate. Valorile sunt,n ordine: 7C, 5C, 7C, 8C, 4C, 3C, 6C.Unii punctele obinute cu segmente de linii drepte i interpretai desenul astfelconstruit.


PROVOCRI MATEMATICE

Index


Aadevr 10alegere 26

ancor 17apartenen 10

Cconcluzie 14, 15 conjectur 43

Ddecizie 13, 26deducie 14demonstraie 14descompunere 36

dilem 29divizor 36domeniu de definiie 45domeniu de valori 45

Eecuaie 37, 40element 10empiric 14

eveniment 22experiment 22

Ffactorial 15factor prim 36fals 10

formal 14funcie 44

Hhazard 26

Iinducie 15inducie matematic

intersecie 11ipotez 14, 15


Llogic 12 legea numerelor mari 23

Mmajoritate 27mulime 10

mulime vid 11

Nnecunoscut 40negaie 10

numrare 23numere prime gemene 43

Oordine 10

Pparadox 27permutare 24probabilitate 22, 23, 27

problem de numrare 23proporie 38proporionalitate 38

Rraionament 12, 14repartiie

reuniune 11

Sschem logic 34sistem axiomatic 37

sistem de ecuaii 41strategie 29

Vvot 26 valoare de adevr 10

PROVOCRI MATEMATICE

Cuvnt de final


Finalul acestui modul este un bun prilej de reflecie pentruelev i profesor, deopotriv. Evaluarea v va ajuta s vformai o imagine ct se poate de corect despre progreselevoastre, dar putei s regndii modulul i cu alt scop.

Ar fi de dorit s v ntrebai dac vedei lucrurile n alt feldup parcurgerea acestui modul. Dac problemele noastreatt de frecvente, n care trebuie s lum o decizie, nu vmai sperie ca nainte, nseamn c nu ai nvat n zadar.Dac situaiile de incertitudine, dominate de probabiliti,nu v mai par strine, nseamn c ai fcut un progres.Dac aplicarea calculului matematic n diverse situaiifuncioneaz cu uurin, nseamn c ai dobndit unctig. Dac judecai lucrurile mai limpede i mai uor,nseamn c ai avut succes!

S nu uitai c aceste cteva ore de exerciiu au constituitdoar o introducere. nvarea cere efort, necesit timp ienergie, presupune reveniri periodice i mult, multantrenament. Modulul pe care l-ai parcurs trebuia s vajute n acest sens, mpreun cu celelalte discipline pe carele-ai studiat.

Ct ai ctigat din aceast ntreprindere, rmne de vzut.Cine i n ce msur va fructifica cele nvate, deasemenea. Ctigul nu este imediat. i de data aceasta,nvtura a fost o investiie pe termen mediu sau lung. Totceea ce s-a exersat i deprins prin munca voastrintelectual va fi valorificat n situaiile cotidiene, diferitede la caz la caz. Leciile i ghidul nu aveau dect s lase ourm n gndirea voastr, s deschid interesul pentru oastfel de matematic i s lanseze noi provocri.

Modulul 4 trebuie vzut i valorificat mpreun cu celelaltemodule. Acestea, mpreun, vor produce efectele dorite,asupra crora v recomandam s reflectai. Credem c nu olecie sau alta, o tem sau alta trebuia s fie provocareapropriu-zis, ci tot ansamblul pe care l-ai vzut i l-aiparcurs.

Indiferent de nota obinut la evaluare, indiferent de oricecalificativ, fiecare cursant este ctigtor. Fiecare cursanteste mai bogat n idei, n sentimente i cunotine. Oricaredin noi este mai nzestrat cu deprinderi utile n viaa de zicu zi, indiferent de meseria pe care o avem.


___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________

______________

A Doua Sansa Secundar Matematica m4 Elev 4

Documents

Transcript of A Doua Sansa Secundar Matematica m4 Elev 4