Matematica - Integrale

of 19 /19
Pentru: Atunci: Dar: . atunci: Tema 1.4.19 1) 2) 59

description

Matematica - Integrale

Transcript of Matematica - Integrale

Pentru:

Atunci:

Dar:

.

atunci:

Tema 1.4.19

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7)

XXII. Integrale de forma:

59

(se fac cu substituţiile lui

Euler).

Făcînd substituţia conduce la tipul XXI.

Tema 1.4.20:

1) 2)

3) 4)

XXII. Integrale Cebîşev de forma:

cu .

Substituţiile Cebîşev

1) Dacă p este număr întreg şi

atunci fie s numitorul comun al acestor fracţii: m şi n.

Substituţia . Rezultă integrală raţională. (Acest caz conduce la

integrală de tip VI)

2)Dacă este număr întreg, atunci se face substituţia unde

s este numitorul fracţiei p.

3) Dacă este număr întreg, atunci se face substituţia ,

unde s este numitorul fracţei p.

În toate cazurile conduce la integrala raţională.

Aplicaţie:

Să se calculeze:

Soluţie:

Deci:

60

atunci:

Calculăm

care este număr întreg, deci se face substituţia

Înlocuind în integrală se obţine:

Dar: .

Atunci:

Tema 1.4.21.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

61

1.5. Primitive

Definiţie.

Fie atunci este o primitivă a lui dacă:

1) derivabilă :

2)

Notaţie: Primitiva

Observaţii:

1)Orice două primitive diferă printr-o constantă, adică şi

primitive ale lui

2)Orice funcţie care admite primitive are proprietatea lui Darboux.

Definiţie:

are proprietatea Darboux

astfel încît .

Proprietate:

a) Orice funcţie continuă are proprietatea Darboux

b) Dacă o funcţie are proprietatea Darboux nu rezultă că funcţia este

continuă.

3) Fie .

Dacă (imaginea funcţiei f ), nu este un interval,

atunci nu are primitive.

4) Dacă f este continuă are primitivă.

5) Dacă găsesc primitiva unei funcţii, atunci ea trebuie să fie continuă

şi derivabilă

62

.

6) Dacă se cere să se demonstreze că o funcţie nu are primitive, atunci se

încearcă direct condiţia:

“Primitiva” F(x) nu este derivabilă în acest caz.

Aplicaţii:

Să se studieze dacă următoarele funcţii au primitive.

1) f: R R cu f(x)=[x].

care nu este interval f nu are primitive.

2) cu

Soluţie:

Varianta I: Calculez efectiv primitivele.

pentru cu pentru

pentru

pentru

Deci primitiva

care trebuie să fie continuă şi derivabilă.

Studiez continuitatea.

Este continuă şi derivabilă pe şi ca fiind funcţie elementară

Studiez continuitatea în

Dar:

pentru că:

Înmulţind această inegalitate cu rezultă:

63

Pentru ca f să fie continuă în , trebuie ca:

Studiez derivabilitatea în ?

, nu există pentru că:

nu există.

Deci, funcţia f nu are primitive.

Varianta a II-a

Fie o primitivă pentru

Dar iar nu există nu are primitivă.

3)

Soluţie:

Pentru şi este funcţie elementară continuă şi derivabilă.

Studiem continuitatea în

continuă în admite primitive.

pentru

pentru

pentru .

Primitiva

care trebuie să fie continuă

64

Tema 1.5. Să se determine primitivele funcţiilor:

1)

2)

3)

4)

1.6. Sume Riemann

Fie şi o diviziune a lui [a,b], adică:

Fig. 2

Alegem Se formează un dreptunghi elementar cu baza

şi înălţime care are aria elementară .

Notăm cu:

(1)

care se numeşte sumă Riemann corespunzătoare funcţiei f, intervalului

, diviziunii şi alegerii punctelor .

Definiţie:

y=f(x)

x x0=a ξ0 x1 ξ2 x2 xi ξi xi+1 xn-1 ξn xn=b

f(ξ0)

f(ξ1) f(ξi) f(ξn)

65

y

Numim norma diviziunii , cea mai mare lungime a subintervalelor

diviziunii şi se notează:

Definitie:

Funcţia f este integrabilă pe dacă există şi este finită:

şi reprezintă aria mărginită de graficul funcţiei , axa Ox, şi

Cazuri particulare:

A. Dacă:

1) Intervalul

2) Diviziunea este echidistantă

3) Punctele (capătul din stânga intervalului.)

Diviziunea este echidistantă , atunci:

(notaţie – reprezintă pasul diviziunii).

În aceste condiţii diviziunea are punctele:

sau pentru .

Alegînd punctele ,

atunci înlocuind în (1) rezultă:

66

(2)

Dacă f este integrabilă, atunci:

pentru

sau:

(*)

B. Dacă:

1) Intervalul

2) Diviziunea este echidistantă

3) Punctele (capătul din dreapta intervalului).

Atunci suma Riemann (1) devine:

adică:

(**)

Formulele (*) şi (**) sunt utile la calculul limitelor de şiruri.

Calculul integralelor definite

Pentru a calcula se procedează astfel:

1) Se calculează primitiva

2) ; formula lui Leibnitz

3) reprezintă integrala definită.

67

Tema 1.6.1.

I. Să se verifice egalităţile:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

II. Să se calculeze integralele:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

68

15) .

Aplicaţie:

Să se afle , unde .

Soluţie:

Se urmăreşte să se aducă şirul la una din formele (*) sau (**) de unde

să se poată “ghici” uşor funcţia f

Deci:

Ghicesc!!! funcţia , atunci:

Calculez primitive F a funcţiei f:

Deci:

,

69

atunci:

Deci:

.

Tema 1.6.2.

Să se calculeze pentru:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

70

13)

14)

15)

16) .

1.7. Aplicaţiile integralelor definite

I. Calculul ariilor plane

a) Fie pentru . Aria mărginită de graficul

funcţiei f , axa Ox şi dreptele şi este:

(Vezi fig. 1).

Fig. 1

a bx

y y=f(x)

71