Observaţii:
1. Mulţimea funcţiilor f: [a, ∞) →R local integrabile, cu ( )a
f x dx∞
∫
convergentă, notată ℑ([a ,∞)) are structură algebrică de spaţiu vactorial
real.
2. Aplicaţia : ℑ([a ,∞)) → R care asociază fiecărui f ∈ℑ([a ,∞)) numărul
real ( )1a
I f x dx∞
= ∫ (convergentă) este liniară, după egalitatea (VII.21) din
teorema VII.9.
2. Criterii de convergenţă pentru integrale improprii
Problema convergenţei integralelor improprii va fi studiată în două
situaţii: integrantul are semn constant şi apoi când integrantul are semn
variabil. În afară de teorema lui Cauchy, aplicabilă fără condiţii asupra
semnului integrantului, vom avea criterii de comparaţie cu inegalităţi şi cu
limită, criteriul integral al lui Cauchy (pentru funcţii pozitive) şi criterii de
tip Abel-Dirichlet, Leibniz (pentru funcţii de semn oarecare).
Presupunem f ≥ 0, ∀ x ∈[a, ∞) (cazul f(x) ≤ 0, ∀x∈[a, ∞) nu se
studiază deoarece convergenţa ( )a
f x dx∞
∫ este echivalentă cu convergenţa
integralei ( )a
f x dx∞
−⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ).
Condiţia f ≥ 0, ∀ x ≥ a implică faptul că F(u) = ( )u
af x dx∫ , ∀ u > a este o
funcţie monoton crescătoare şi, în acest caz, existenţa limitei este lim ( )u
F u→∞O
NLY
FOR
STUD
ENTS
1
echivalentă cu faptul că F(u) este majorată (mărginită superior) pentru
u →∞.
Teorema VII.10
Fie f : [a, ∞) →R pozitivă şi local integrabilă. Integrala improprie
( )a
f x dx∞
∫ este convergentă, dacă şi numai dacă, F(u) este majorată pe
[a, ∞) pentru u →∞.
Demonstraţie: ( )a
f x dx∞
∫ convergentă 1lim ( )def
uF u I
→∞⇔∃ = R∈ .
Totodată, existenţa l , cu F funcţie crescătoare, este echivalentă cu
faptul că F majorată pentru u → ∞.
im ( )u
F u→∞
Teorema VII.11. (Criteriul de comparaţie cu inegalităţi - I)
Fie f , g: [a, ∞) →R pozitive şi local integrabile. Dacă avem: f (x) ≤ g(x),
∀ x ≥ a, atunci au loc afirmaţiile:
1) convergentă ⇒ ( )a
g x dx∞
∫ ( )a
f x dx∞
∫ convergentă;
2) ( )a
f x dx∞
∫ divergentă ⇒ divergentă. ( )a
g x dx∞
∫
Demonstraţie: Din ipoteza f (x) ≤ g(x), ∀ x ≥ a, rezultă că:
F(u) =u
afdx∫ ≤ G(u) =
u
agdx∫ , ∀ u > a.
1) Dacă este convergentă, atunci G(u) este majorată
pentru u →∞. Aşadar, din inegalitatea F(u) ≤ G(u), ∀ u > a rezultă că F(u)
este majorată pentru u→∞. Deci, după teorema VII.10,
( )a
g x dx∞
∫
( )a
f x dx∞
∫ este
convergentă.
ONL
Y FO
R ST
UDEN
TS
2
2) Dacă ( )a
f x dx∞
∫ este divergentă, atunci lim ( )u
F u→∞
= ∞ . Cum
F(u) este crescătoare şi pozitivă rezultă că F(u) este nemajorată pentru
u →∞. Deoarece F(u) ≤ G(u), ∀ u > a rezultă că G(u) nemajorată pentru
u→∞. Dar G(u) este crescătoare şi pozitivă, deci lim ( )u
G u→∞
= ∞ , ceea ce
înseamnă că este divergentă. ( )a
g x dx∞
∫
Observaţii:
1. Criteriul de comparaţie cu inegalităţi este anevoios de aplicat, deoarece
necesită stabilirea în prealabil a inegalităţii: f (x) ≤ g(x).
2. Pentru aplicarea acestui criteriu, putem folosi afirmaţia: " ( )a
f x dx∞
∫
convergentă ⇔ ( )0a
f x dx∞
∫ convergentă pentru orice a0 > a şi a0 suficient
de mare ales". Deci comparaţia celor două funcţii f şi g ar fi suficientă "de
la un loc încolo" potrivit de depărtat de x = a.
Teorema VII.12. (Criteriul de comparaţie cu inegalităţi - II)
Fie f , g: [a, ∞) →R pozitive şi local integrabile. Dacă există a0 > a, astfel
încât f (x) ≤ g(x), ∀ x ∈ [a0, ∞), atunci au loc afirmaţiile:
1') convergentă ⇒ ( )a
g x dx∞
∫ ( )a
f x dx∞
∫ convergentă;
2') ( )a
f x dx∞
∫ divergentă ⇒ divergentă. ( )a
g x dx∞
∫
Demonstraţia se obţine direct din teorema VII.11 şi observaţia 2.
ONL
Y FO
R ST
UDEN
TS
3
Teorema VII.13. (Criteriul de comparaţie cu limită).
Fie f , g: [a, ∞) →R pozitive şi local integrabile. Dacă există limita
(VII.22) [ ]( )lim şi 0,( )x
f x l lg x→∞
= ∈ ∞
atunci au loc afirmaţiile:
1°) pentru l finit (l < ∞) şi convergentă ⇒ ( )a
g x dx∞
∫ ( )a
f x dx∞
∫ este
convergentă;
2°) pentru l nenul (l >0) şi divergentă ⇒ ( )a
g x dx∞
∫ ( )a
f x dx∞
∫ este
divergentă;
3°) pentru 0 < l < +∞, integralele ( )a
f x dx∞
∫ şi au aceeaşi
natură.
( )a
g x dx∞
∫
Demonstraţie:
1) Fie 0 ≤ l < + ∞. Atunci (VII.22) ⇔
(VII.22') ( ) ( )
0, 0 şi a. î. .
( ) ( ) ( )u u a x u
l g x f x l g xε ε ε∀ε > ∃ > > ∀ > >⎧⎪
⎨⇒ −ε < < + ε⎪⎩
a
Deci f(x) < ( l + ε) g (x), ∀ x > uε > a. Cum este convergentă,
după teorema VII.12, rezultă că
( )a
g x dx∞
∫
( )a
f x dx∫∞
este convergentă. ONL
Y FO
R ST
UDEN
TS
4
2) l ≠ 0 ⇔ ( )( )
( )( )
lim 0 limx x
f x g xl
g x f x→∞ →∞l= ≠ ⇔ = < +∞ . Din (VII.22'),
rezultă că g(x) < ( l + ε) f(x), ∀ x > uε > a. Astfel, cum ( )a
f x dx∫∞
∞
este
divergentă, după teorema VII.12, rezultă că este divergentă. ( )a
g x dx∫
3) Fie 0 < l< ∞ şi (VII.22'). Alegem ε > 0 a. î. l - ε > 0. Cum
( )a
f x dx∫∞
∞
este convergentă şi (l - ε) g(x) < f(x), ∀ x > uε > a, după teorema
VII.11, rezultă că este convergentă. ( )a
g x dx∫
Când este convergentă, având f(x)<(l+ ε) g (x), ∀x>u( )a
g x dx∞
∫ ε>a,
după teorema VII.11, rezultă că ( )a
f x dx∫∞
este convergentă.
Când ( )a
f x dx∞
∫ este divergentă şi f(x) < ( l + ε) g (x), ∀ x > uε > a,
după teorema VII.11, rezultă că este divergentă. ( )a
g x dx∫∞
Când este divergentă şi ( l + ε) g(x) < f(x), ∀ x > u( )a
g x dx∞
∫ ε > a,
după teorema VII.11, rezultă că ( )a
f x dx∫∞
este divergentă. ONL
Y FO
R ST
UDEN
TS
5
Teorema VII.14. (Criteriul în α)
Fie f : [a, ∞) →R pozitivă şi local integrabilă.
(i) Dacă există α > 1 a. î. lim ( )x
x f x lα
→∞= < ∞ , atunci ( )
af x dx
∞
∫ este
convergentă;
(ii) Dacă există α ≤ 1 a. î. lim ( ) 0x
x f x lα
→∞= > , atunci ( )
af x dx
∞
∫ este
divergentă.
Demonstraţie: Ştiind că ( 0a
dx ax
∞
α >∫ ) este convergentă când α > 1
şi divergentă când α ≤ 1, pentru (i) aplicăm criteriul de comparaţie cu
limită, cazul 1°), cu 1( )g xxα= (teorema VII.13 - 1°), iar pentru (ii)
aplicăm criteriul de comparaţie cu limită, cazul 2°), tot cu 1( )g xxα=
(teorema VII.13 - 2°).
Teorema VII.15. (Criteriul în λ)
Fie f : [a, c) →R, cu x = c punct singular şi f pozitivă, local integrabilă.
(i) Dacă există λ <1 a. î. ( )lim ( )x cx c
c x f x lλ
→<
− = < ∞ , atunci ( )c
af x dx
−
∫ este
convergentă;
(ii) Dacă există λ ≥ 1 a. î. ( )lim ( ) 0x cx c
c x f x lλ
→>
− = > , atunci ( )c
af x dx
−
∫ este
divergentă.
ONL
Y FO
R ST
UDEN
TS
6
Demonstraţia este imediată, folosind criteriul de comparaţie cu
limită (teorema VII.13), cu ( )
1( )g xc x λ=−
cunoscut fiind faptul că
( )c dx−
a c x λ−∫ este convergentă pentru λ< 1 şi divergentă pentru λ ≥ 1.
Teorema VII.16 (Criteriul integral al lui Cauchy).
Fie f : [1, ∞) →R o funcţie monoton descrescătoare şi pozitivă.Următoarele
afirmaţii sunt echivalente:
(I) seria numerică 1
( )n
f n∞
=∑ este convergentă.
(II) şirul numeric { }1 1( )
n
nf x dx
≥∫ este convergent.
(III) integrala improprie 1
( )f x dx∞
∫ este convergentă.
Demonstraţie: Fie Sn = f(1) + f(2) + ...+ f(n) şirul de sume parţiale
al seriei numerice 1
( )n
f n∞
=∑ şi Vn =
1( )
nf x dx∫ termenul general al
şirului ( )1 1( )
n
nf x dx
≥∫ . Funcţia f, monoton descrescătoare, este integrabilă
pe [1, ∞). Deci f este şi local integrabilă. Cum f ≥ 0, integrala definită a lui
f are proprietatea de monotonie. Astfel, avem:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3
1 2
2 1 , 3 2 ,...,f f x dx f f f x dx f f n≤ ≤ ≤ ≤∫ ∫ ≤
−
( ) ( )1
1n
n
f x dx f n−
≤ ≤∫ . Adunând aceste inegalităţi, obţinem:
ONL
Y FO
R ST
UDEN
TS
7
(VII.23) Sn – f(1) ≤ Vn, ∀n ≥ 1 şi Vn ≤ Sn – 1, ∀n ≥ 2.
(I) ⇒ (II) Dacă 1
( )n
f n∞
=∑ este convergentă (S
def
⇒ n) este convergent în R.
Deci (Sn) este (în mod necesar) şir mărginit. Din (VII.23) (Vn≤ Sn– 1, ∀n≥2),
rezultă că şirul ( ) 1n nV
≥ este mărginit superior şi, fiind crescător, rezultă prin
teorema Weierstrass, că (Vn) este şir convergent în R.
(II) ⇒ (I) Dacă şirul ( ) 1n nV
≥ este convergent atunci (în mod necesar) este
şir mărginit şi, din (VII.23) (Sn – f(1) ≤ Vn, ∀n ≥ 1), rezultă că (Sn) este
mărginit. Şirul (Sn) fiind monoton crescător şi mărginit este convergent. Ca
urmare, seria 1
( )n
f n∞
=∑ este convergentă.
(II) ⇒ (III) Fie F(u) = ( )1
u
f x dx∫ , ∀u ≥ 1 şi lim nnl
→∞V= . Pentru orice u ≥1,
există n∈N a. î. u < n şi deci F(u) ≤ F(n) = Vn ≤ l. Dar lim nnV
→∞l= ⇔ ∀ε>0,
∃ nε∈N a. î. ∀ n ≥ nε ⇒ | Vn - l | < ε. Fie un → ∞. Atunci, un > nε de la un
rang încolo şi deci F(un) ≤ F(nε) = ≤ l - ε. Cum F(unVε
n) ≤ l, rezultă că
l - ε <F(un) ≤ l < l + ε, adică | F(un) - l | < ε, pentru n suficient de mare.
Aşadar, lim ( )nnF u l
→∞= , în R şi astfel, ( ) ( )
1
f x dx l∞
=∫ este convergentă.
(III) ⇒ (II) rezultă din faptul că F(n) = Vn, ∀n ≥1 şi din definiţia integralei
improprii convergente.
ONL
Y FO
R ST
UDEN
TS
8
Consecinţa VII.3.
Fie f : [1, ∞) →R o funcţie pozitivă şi descrescătoare. Atunci seria
1( )
nf n
∞
=∑ şi integrala improprie ( )
1
f x dx∞
∫ au aceeaşi natură.
Demonstraţia este evidentă din echivalenţa (I) ⇔ (III) şi din
criteriul integral al lui Cauchy (teorema VII.16).
Consecinţa VII.4.
Fie f : [1, ∞) →R cu 1( )f xxα= , pozitivă şi descrescătoare pentru α >0.
Atunci seria armonică generalizată sau seria lui Riemann
1 1
1( )f nn
∞ ∞
α=∑ ∑ şi integrala improprie 1
dxx
∞
α∫ au aceeaşi natură. Deci sunt
convergente pentru α > 1 şi divergente pentru α ≤1.
Demonstraţia este directă, din consecinţa VII.3 şi teorema VII.16.
Consecinţa VII.5
Fie g: [a, ∞) →R pozitivă şi local integrabilă, iar f : [1, ∞) →R local
integrabilă. Dacă există M > 0, astfel încât | f (x) | ≤ Mg(x), ∀ x ≥ a şi
integrala este convergentă, atunci ( )a
g x dx∞
∫ ( )a
f x dx∞
∫ este absolut
convergentă şi are loc inegalitatea: ( ) ( )a a
f x dx M g x dx∞ ∞
≤∫ ∫ .
ONL
Y FO
R ST
UDEN
TS
9
Top Related