Flambajul barelor drepte

Introducerea lui I min (cel mai mic dintre momentele de inerţie principale centrale ale secţiunii transversale) în formulă conduce la cea mai mică dintre posibilele forţe critice de flambaj ale barei studiate. De altfel, este uşor de intuit că încovoierea barei (sub forţă axială) se produce în mod preferenţial în jurul axei principale centrale (a secţiunii transversale) față de care momentul de inerţie (adică rezistenţa la încovoiere) are valoare minimă.Relaţia (1.4), numită şi formula lui Euler pentru cazul fundamental de flambaj, se foloseşte la calculul forţei critice pentru bara comprimată ca în figura 1.1 de mai sus.Atenţie: Forţa critică este nivelul solicitării de compresiune până la care se admite că nu se produce pierderea stabilităţii elastice a barei, adică trebuie evitate încărcările ce ar atinge această limită!

Desigur că se pot scrie noi soluţii ale ecuaţiei diferenţiale (1.2), dând lui k alte valori decât 1; dacă se adoptă k=2, se obţine că (a×L=2p) şi se ajunge la a doua forţă critică a barei:

                                        (1.5)

Fig. 1.2Această valoare corespunde situaţiei în care lungimea barei se înjumătăţeşte prin rezemare

suplimentară, la mijlocul lungimii sale, cu o articulaţie mobilă (fig. 1.2); se observă că noua variantă de rezemare este o soluţie practică relativ simplă pentru a mări (de 4 ori) forţa critică de flambaj a barei, deci şi intervalul de funcţionare sigură a ei.Pentru următoarele soluţii ale ecuaţiei diferenţiale (obţinute din condiţia a×L=kp) se deduce, cu un raţionament asemănător, că se introduc un număr de (k–1) reazeme mobile intermediare, obţinând creşterea de (k2) ori a forţei critice a barei. Trebuie însă observat că orice defectare a unuia sau unora dintre reazeme duce la scăderi importante ale forţei critice!

 Fig. 1.3

Calculul forţei critice pentru alte cazuri de rezemarePentru bara în consolă (fig. 1.3) se remarcă faptul că axa longi-tudinală se curbează rămânând

tangentă la poziţia din momentul anterior producerii solicitării.

--- 1 ---

Efortul secţional de încovoiere se calculează la fel ca la bara articulată la capete:Miz(x) = F×v(x).

Prin urmare, ecuaţia diferenţială a fibrei deformate se scrie tot sub forma (1.2) şi întregul raţionament făcut anterior se repetă aici, iar singura deose-bire apare în scrierea condiţiilor la limită (după cum s-a ales originea coor-donatei x, rezultă că sunt egale cu zero săgeata barei – în x=0 şi respectiv rotirea ei – în x=L):

Pentru cea de-a doua condiţie se observă că nici constanta A (care ar însemna că bara nu se curbează deloc) şi nici parametrul a nu pot fi nule, iar din egalitatea cu zero a funcţiei trigonometrice rezultă că argumentul ei trebuie să fie multiplu impar de (p/2). Folosind prima valoare posibilă, adică aL = p/2,  se ajunge la:

                              (1.6)   adică formula forţei critice de flambaj pentru bara în consolă.

Procedând analog (cu ecuaţii diferenţiale neomogene) se pot rezolva încă două cazuri de rezemare pentru barele comprimate – încastrare la ambele capete (fig. 1.4), respectiv încastrare la un capăt şi articulaţie la celălalt (fig. 1.5). Forţa critică se calculează, pentru fiecare caz, cu relaţia scrisă în dreptul figurii respective.

Fig. 1.4

  (1.7)

Fig. 1.5

  (1.8)

--- 2 ---

 Analizând relaţiile forţei critice pentru cazurile de rezemare studiate, se observă că ele se diferenţiază prin mărimea de la numitor; această mărime se notează cu (Lf2), desemnând “lungimea de flambaj” a barei pentru fiecare variantă de încărcare. Din relaţiile de mai sus se extrag lungimile de flambaj pentru situaţiile respective, astfel:

pentru bara dublu articulată                   Lf = L pentru bara în consolă                            Lf = 2L pentru bara dublu încastrată                  Lf = L/2 pentru bara articulată şi încastrată        Lf = 0,707×LÎn acest mod se ajunge la o formă unică a relaţiei lui Euler, pentru calculul forţei critice în cele

patru tipuri de rezemare:

                                            (1.9) Observaţii:

1. Pentru toate discuţiile de faţă se admite că factorul EI (rigiditatea barei la încovoiere) este constant pe lungimea L a barei studiate, iar această lungime este practic egală, în starea deformată, cu cea iniţială! În plus, greutatea proprie a barei se neglijează.

2. Prezenţa la numitor a lungimii de flambaj arată că barele cu lungimi mari au forţe critice mici, deci un pericol mare de cedare prin flambaj.

3. Din compararea valorilor Lf pentru cele 4 cazuri de rezemare rezultă că bara în consolă se află în situaţia cea mai periculoasă, având cea mai mare lungime de flambaj (Lf = 2L), cea mai sigură fiind bara dublu încastrată (Lf = L/2).

4. Pentru barele care flambează elastic forţa critică depinde, în raport cu materialul barei, numai de modulul de elasticitate E, iar acesta are valori similare pentru cele mai multe oţeluri. Din acest motiv, pentru astfel de bare (la care flambajul este ameninţarea principală) nu este raţional să se folosească oţeluri aliate, care sunt scumpe, ele se fac din oţeluri laminate obişnuite!

5. Forţa critică a unei bare creşte proporţional cu momentul de inerţie al secţiunii sale faţă de axa de încovoiere. Secţiunile cele mai avantajoase sunt cele cu materialul dispus simetric (astfel ca Iz = Iy) şi la distanţă cât mai mare de axele de simetrie, pentru ca momentul de inerţie să fie maxim, la un consum de material dat.

Aplicabilitatea formulei lui EulerS-a precizat că în toate cazurile de mai sus flambajul barelor este de tip  elastic: pierderea

stabilităţii tinde să se producă în domeniul deformabilităţii elastice a materialului barei, în care tensiunea maximă din piesă nu depăşeşte limita de proporţionalitate (sp) de pe curba caracteristică.Dacă se defineşte, pe baza forţei critice dată de formula (1.9), o tensiune critică de flambaj scr (ca raport între forţa critică şi aria secţiunii transversale a barei), ţinând seama de relaţia de definiţie a razei de

inerţie                rezultă că:

                                   (1.10) Această relaţie devine mult mai simplă dacă se face notaţia

     (1.11) adică                     

--- 3 ---

                                                        (1.12) Numărul l, coeficientul de subţirime (sau de zvelteţe) al barei analizate, este raportul între două lungimi (nu are dimensiuni!) şi reprezintă indicatorul principal al modului în care o bară concretă se calculează la flambaj.

Observaţii: Calculele de stabilitate elastică sunt specifice fiecărei bare, inclusiv în privinţa materialului

şi încărcărilor ei. Coeficientul l introduce în calculele de flambaj influenţele exercitate asupra stabilităţii

barei de lungimea, rezemarea, dar şi de forma şi dimensiunile secţiunii ei transversale. Două bare caracterizate prin aceeaşi valoare a coeficientului de subţirime îşi vor pierde

stabilitatea elastică în acelaşi fel.Pornind de la relaţia (1.12) se poate construi o curbă de dependenţă între tensiunea critică de

flambaj şi coeficientul l. Principial, graficul acestei funcţii reprezintă o hiperbolă echilateră, dar trebuie remarcat că numai o porţiune din acest grafic este relevantă pentru calculul barei: deoarece relaţia (1.12) se referă la flambajul elastic, rezultă că forma hiperbolică a graficului (fig. 1.6) este valabilă numai în zona aflată sub limita de proporţionalitate a materialului (scr<sp). Graniţa acestei zone pe axa absciselor depinde exclusiv de caracteristicile materialului barei şi se obţine extrăgând din relaţia (1.12) valoarea lui l ce corespunde tensiunii limită sp:

                                     (1.13)

Prin urmare, deşi coeficientul l ţine seama în mod complex de bara concretă, graniţa l0 a domeniului în care bara se calculează cu formula lui Euler este dată numai de materialul barei; de exemplu, pentru oţelul laminat OL37 (având sp=190 şi E=21×104 [MPa]) această graniţă va fi:

                      (1.14) Pentru calculele uzuale această valoare se admite a fi l0@105. Domeniul de pe grafic (fig. 1.6) aflat la dreapta acestei graniţe este pentru flambajul elastic, cel de la stânga urmând să descrie dependenţa dintre tensiunea critică şi coeficientul l în cazurile de flambaj elasto-plastic.Observaţii:

Pentru fiecare bară şi mod de rezemare există o singură valoare a lui l, deci oricărei situaţii concrete de încărcare îi corespunde un punct reprezentativ pe axa absciselor din graficul de mai jos; poziţia lui arată cum se fac calculele de stabilitate longitudinală pentru bara studiată!

Cu cât materialul barei are o valoare mai mare a lui sp, cu atât valoarea limitei l0 va fi mai mică, adică domeniul în care bara flambează elastic va fi mai întins!

--- 4 ---