Unitati de masura

In Fizica se determina valorile numerice ale marimilor fizice prin masurare directa sau prin calcul. Aceaste valori exprima multipli sau fractii de unitati de masura. Masurarea inseamna compararea a doua valori ale aceleeasi marimi din care una este considerata "unitate" si pentru alte masuratori. Astfel valoarea v = V/[u] unde V este marimea iar v arata cite unitati [u] sint in valoarea obtinuta dupa masurare. Daca avem o alta unitate de masura se poate exprima in functie de aceasta si pentru o masurare v1 = V/[u1]. Daca pentru u corespunde valoarea v pentru u1 va corespunde valoarea v1 = v*[u]/[u1] regula de trei simpla. Deci v/v1 = [u1]/[u] care este teorema fundamentala a unitatilor de masura. Prin unitati de masura formula fizica se deosebeste de formula matematica. Pentru un volum matematic avem : V = A*B*C, Fizic daca avem unitatea de masura pentru lungime [L] si pentru volum [V] avem urmatoarele valori masurate: a = A/[L]; b = B/[L]c = C/[L] siv = V/[V]adica v = ( [L]3/[V] ) * a*b*c = kabc unde k = [L]3/[V] este un coeficient parazit dependent de unitatile de masura si evident de formula. De obicei se alege k = 1 pentru a se simplifica calculele si astfel formula fizica va corespunde formulei matematice iar [L]3 = [V]. In acest fel nu mai putem alege ce unitate de masura vrem pentru una din marimile fizice si simplificam calculele. Deci se alege pentru marimile fundamentale un sistem de unitati de masura fundamentale si definim unitati derivate pentru marimile derivate cu k=1. Marimile si unitatile fizice de acest fel formeaza un sistem coerent. Se cunosc mai multe sisteme coerente in istoria fizicii dar azi se utilizeaza sistemul international SI cu unele exceptii in

tari anglofone si SUA Imperial and US customary units. SI are pentru mecanica conform tabel:

Mărimea Unitatea S.I.

Denumirea Simbol Relaţia de definiţie

Simbol dimensional

Denumirea Simbol

Lungime l L metru m

Lăţime b L metru m

Înălţime h L metru m

Grosime d L metru m

Distanţă s L metru m

Arie A,Σ A= l b L2 metru pătrat

m2

Volum, capacitate V V= l bh L3 metru cub m3

Unghi plan α, β, γ….

α = lungimea arcului/r

radian rad

Unghi solid Ω, ω

Ω = aria suprafetei sferice/r2

steradian sr

Timp t T secundă s

Viteză v

v = s/t

L T-1 metru pe secundă

m/s

Acceleraţie a a = v/t L T-2

metru pe secundă la

pătrat m/s2

Masă m M kilogram kg

Densitate ρ ρ = m/V M L-3

kilogram pe metru cub

kg/m3

Impuls p P= m·v L M T-1

Kilogram metru pe secundă

kg m/s

Forţă F F = ma L M T-2 newton

kg m/s2

Celelate sint in link pentru Sistemul International. Unitatile de masura au multipli si submultipli prin inmultirea respectiv impartirea la 10. Multipli sint: deca- *10, hecto- *100, kilo- *1.000, mega- *1.000.000, etc. Submultipli sint: deci- /10, centi- /100, mili- /1000, nano- /1.000.000, etc. Exemplu pentru lungime, multipli sunt decametru, hectometru,

kilometru, etc iar submultipli sunt decimetru, centimetru, milimetru etc. Masurarea se executa cu aparat sau instrument de masura. Acesta este de asemenea un sistem fizic si in operatia de masurare interactioneaza cu sistemul masurat.

Formule dimensionale:

Trecerea de la formula matemetica la cea fizica presupune inlocuirea marimilor cu valorile de masurare. Desi valorile de masurare difera in functie de unitatile de masura aceasta nu inseamna ca se schimba legile fizicii ci isi pastreaza aceeasi forma. Acesta este Principiul invariantei legilor fata de unitatile de masura care permite determinarea unitatilor de masura pentru marimile derivate cum sint exemple in tabelul de mai sus. Orice marime derivata are o unitate de masura care se bazeaza pe unitatile de masura fundamentale. Formula generala se scrie, pentru mecanica, u=LαMβTγ unde α, β, γ se numesc dimensiuni ale marimii derivate. Aceasta este Formula dimensionala in mecanica clasica. Daca exista doua formule (expresii) matematice pentru aceeasi marime fizica, formula dimensionala trebuie sa fie aceeasi. De exemplu pentru u1 = Lα1Mβ1Tγ1 ca sa avem aceeasi unitate de masura u = u1 trebuie sa avem egalitatile α = α1, β = β1 si γ = γ1 conditie numita conditie de omogenitate.

Determinarea conditiei de omogenitate a unei formule matematice a legii fizice Exemplu: Sa verificam daca formulele acceleratiei a = v/t, care este formula de definitie din cinematica, si a = F/m au aceeasi formula dimensionala. Din tabelul de mai sus avem [a1] = LT-1/T = LT-2 iar pentru a doua formula [a2] = LMT-2/M = LT-2 deci [a1] = [a2] adica aceeasi formula dimensionala.

Determinarea unitatilor de masura derivate

Unitatea de masura derivata se determina din formula matematica a marimii fizice folosindu-se unitatile fundamentale.

Exemplu: Sa determinam unitatea de masura derivata a vitezei din unitatile de masura fundamentale ale spatiului L si timpului T conform definitiei v = s/t. Avem formula dimensionala [v] = L/T = LT-1 cu denumirea m/s metru pe secunda. Aceasta este justificarea pentru unitatea de masura introdu-sa in tabelul anterior pentru viteza.

Analiza dimensionala

Pe baza conditiei de omogenitate este posibil si procedeul invers de determinare a expresiei matematice a unei legi fizice cunoscind formulele dimensionale ale marimilor fizice care intra in expresia dorita. Aceasta determinare se numeste analiza dimensionala.

Exemplu: Sa determinam formula matematica de calcul a densitatii in functie de masa si volum (putem presupune si ca am uitat-o) cind cunoastem unitatile de masura pentru fiecare. Scriem formula dimensionala generala [ρ] = [m]α[V]β si pentru ca densitatea se masoara in kg/m3 avem ML-3 = (M)α(L3)β sau ML-3 = MαL3β de unde α = 1 si 3β = -3, β = -1, deci formula fizica este ρ = m1V-1 = m/V. Se observa ca a fost nevoie de cunoasterea unitatilor de masura pentru fiecare marime fizica din formula.

Teorema III (teorema π)

Scop : Descoperirea şi scrierea sub formă de relaŃii fizice a legilor unor fenomene

Metodă : Simplificarea relaŃiei fizice prin înlocuirea

unor mărimifizice cu complexe adimensionale.

y =f (x1

, x 2

,K, x k

, x k 1

,K, x p

,K, x n

)

O relaŃie fizică (scrisă cu respectarea teoremelor I şi II a analizei dimensionale) cuprinzând n+1 mărimi, poate fi (re)scrisă ca o relaŃie între n+1-k complexe adimensionale, dacă se renunŃă la sistemul iniŃial de unităŃi de măsură şi se adoptă un sistem propriu fenomenului studiat, format din mărimile x1, x2, …, xk.

ω0 =km

ω0 x(0)

O b s e r v a Ń i i l a T e o r e m a π

-la ce foloseşte-alegerea corectă a mărimilor fizice ce determină fenomenul …

k < n … forme multiple-critici-pentru fenomene mecanice k=3-grupe (categorii) de mărimi : -liniare

-cinematice şi dinamice-proprietăŃi fizice ale fluidului

“ R e Ń e t e ” p e n tru m ă r i m ile a l e se :

-să intervină cu pondere în desfăşurarea fenomenului-să fie independente dimensional-sistemul propriu ales să fie coerent-să fie alese mărimi din fiecare categorie, conform clasificării anterioare

Oscilaţii liniare libere

Să considerăm unul dintre cele mai simple exemple de sisteme mecanice

oscilante, cel al

unui corp de masă m fixat de un perete rigid printr-un resort de constantă elastică k,

în absenţa

frecării (vezi Fig.1.1). Vom nota deplasarea faţă de poziţia de echilibru2

, la

momentul de timp

t, cu x(t). Forţa elastică (F~e) este singura forţă necompensată, întrucât greutatea

corpului de masă m (G~

) este anulată de către reacţiunea normală din partea planului. Aplicând principiulal II-lea al dinamicii, găsim ecuaţia diferenţială a mişcării:

m x (t) = −kx(t).

Semnul minus din expresia forţei indică faptul că forţa elastică dezvoltată în

resort tinde să

micşoreze deformaţia resortului. Trecând totul în membrul stâng al ecuaţiei

precedente şi împărţind prin m se obţine:

x(t) + ω2

x(t) = 0.

Mărimea ω0, definită de relaţia:

se numeşte pulsaţia proprie a mişcării 3

. După cum rezultă şi din modul în care a

fost definită, pulsaţia proprie este o mărime specifică oscilatorului. Ea nu depinde

de regimul în care acesta se mişcă, fiind un fel de "carte de identitate" a oricărui

oscilator.O altă mărime specifică mişcării oscilatorii este frecvenţa proprie a acestuia,

notată cu ν . Ea reprezintă numărul de oscilaţii complete ce se produc în interval de

1s. Unitatea de măsură a frecvenţei este s−1

sau Hertz (Hz).Pulsaţia ω0 este numărul de oscilaţii complete ce se produc în 2π secunde.

Unitatea de măsură a pulsaţiei este rad s−1

. Între cele două mărimi există relaţia:

ω0 = 2πν.

Relaţia (1.1) ne permite să interpretăm pătratului pulsaţiei proprii, ca forţa ce

acţionează

asupra unităţii de masă, pe unitatea de deplasare, ω2

= k/m = F /m/x.

Perioada proprie a mişcării reprezintă timpul în care are loc o oscilaţie

completă a siste-

mului. Expresia ei este: 2pi m

T0 =

ω

= 2π

k

.

În cazul micilor oscilaţii, perioada mişcării nu depinde de amplitudinea acestora,

de aceea se

spune că micile oscilaţii sunt izocrone.Este foarte uşor de verificat că ecuaţia (1.2) admite o soluţie de forma:

x(t) = A cos ω0 t + B sin ω0 t.

Constantele A şi B se determină din condiţiile iniţiale ale elongaţiei şi, respectiv,

vitezei:

A = x(0),

B=

Există mai multe modalităţi de exprimare a soluţiei ecuaţiei (1.2). De

exemplu, înlocuind

constantele A şi B din ecuaţia (1.6) cu alte două constante, C şi ϕ, definite prin

relaţia:

A = C cos ϕ,

B = C sin ϕ,

se poate exprima legea de mişcare x(t) sub forma unei singure funcţii armonice, de

amplitudine

C şi fază iniţială ϕ:

x(t) = C cos(ω0 t − ϕ).

O a treia posibilitate de exprimare a soluţiei, cea mai comodă din punct

de vedere al

calculului matematic, este cea în care se folosesc numere complexe. Forma funcţiei de variabilă complexă care descrie mişcarea este sugerată de constatările experimentale, care arată că atât elongaţia x, cât şi derivatele sale de ordinul I şi ordinul II respectă acelaşi tip de dependenţă

temporală. Evident, o dependenţă având în expresia sa funcţia exponenţială ex

ar putea fi o

soluţie particulară a ecuaţiei diferenţiale (1.2). Aşadar, se alege drept

soluţie funcţia:

x(t) = C eλt

.

Vom calcula acum derivata a doua a lui x(t) şi o vom înlocui, împreună cu x(t)

în ecuaţia

(1.2). Se observă că ambii termeni din ecuaţia ce se obţine în urma acestei

înlocuiri, au factor

comun cantitatea C eλt

, adică x(t). Cum ne interesează să găsim o soluţie ne-banală,

Ceλt

= 0,

rezultă ecuaţia algebrică:

λ2

+ ω2

= 0,

numită ecuaţia caracteristică asociată ecuaţiei diferenţiale (1.2) . Rezolvarea

ecuaţiei caracte-

ristice ne permite determinarea valorilor constantei λ:

λ1,2 = ±jω0 , j =

√

−1.

Am găsit, aşadar, două valori ale lui λ care verifică această ecuaţie4

. Soluţia generală

a ecuaţiei oscilatorului armonic va fi o combinaţie liniară a celor două soluţii

particulare5

:

x(t) = A+ ejω0 t

+ A- e−jω0 t

,

unde A+, A− sunt mărimi complexe.

Folosind reprezentarea trigonometrică a numerelor complexe:

e±jα

= cos α ± j sin α,

rezultă că soluţia (1.14) este echivalentă cu celelalte forme (1.10) şi (1.6), deoarece:

x(t) = A+ (cos ω0 t + j sin ω0 t) + A−(cos ω0 t − j sin ω0 t)

(A+ + A−) cos ω0 t + j (A+ − A−) sin ω0 t

A cos ω0 t + B sin ω0 t = C cos(ω0 t − ϕ).

Oscilaţii amortizate

În analiza efectuată până în prezent am neglijat orice fenomen de disipare

a energiei. În

realitate, oscilaţiile ”se sting” după un oarecare timp, ca urmare a disipării

(transformării în căldură) energiei înmagazinate iniţial în oscilator.Să analizăm, în cele ce urmează, mişcarea oscilatorie efectuată în prezenţa frecării. Să

considerăm că frecarea dintre oscilator şi mediul înconjurător este una de natură

vâscoasă, caz

în care forţa de frecare este proporţională cu cu viteza.Ecuaţia principiului II al dinamicii, pentru sistemul reprezentat în Fig.1.15 este:

mx¨ = Ff + Fe;

mx¨ = −rx − kx,

unde r este coeficientul de rezistenţă.

După rearanjarea termenilor şi împărţirea prin m, se obţine:

x¨ + 2δ x +ω2

x = 0,

Ecuaţia diferenţială (1.119) este de ordin doi, omogenă şi cu coeficienţi

constanţi. Urmând

acelaşi algoritm ca şi în cazul oscilaţiilor liniar armonice (alegând soluţii de tip exponenţial), se obţine ecuaţia caracteristică:

λ2

+ 2δλ + ω2

= 0,

Caracterul mişcării este determinat de relaţia dintre efectele forţei de frecare şi forţei

elastice, traduse aici prin relaţia dintre δ2

şi ω2

:

Oscilaţii forţate

Să analizăm în continuare ce se întâmplă dacă acţionăm din exterior cu o forţă

care să com-

penseze pierderile prin frecare. Presupunem că forţa exterioară este periodică, cu amplitudinea

F0 şi frecvenţa Ω, de forma:

F

=

F

0

c

o

s

Ω

t

.

Putem să reprezentăm forţa sub forma complexă:

FÒ

= F

0ej

Ω

t

şi, în final, să luăm în considerare doar valoarea reală a acesteia.

x+ 2δx˙ + ω2

x = f e−j Ω t

,

Ecuaţia (1.135) este o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul doi, neomogenă

(din cauza

termenului independent de variabila x, din membrul doi). Soluţia unei astfel de

ecuaţii este de forma:

x(t) = xomog (t) + xpart(t),

unde xomog este soluţia ecuaţiei omogene (aflată deja!) iar xpart este o soluţie

particulară a

ecuaţiei neomogene, de forma termenului liber:

xpart(t) = C¯

ejΩt

.

C¯

este, în general, o mărime complexă ce conţine şi informaţiile legate de întârzierea în fază. Alegerea expresiei matematice de o asemenea formă este justificată de comportarea practicăa oscilatorului forţat care execută, în final, o mişcare periodică cu pulsaţia forţei exterioare.

Înlocuind soluţia (1.138) în ecuaţia (1.135), se obţine, după simplificarea factorului nenul

Fenomenul de rezonanţă

Dependenţa amplitudinii de frecvenţa forţei exterioare este neliniară,

prezentând un maxim

pentru Ω = Ωr . Acest maxim se găseşte din condiţiile: