Truy cập hoc360.net để tải tài liệu học tập, bài giảng ... fileTruy cập...

Truy cập hoc360.net để tải tài liệu học tập, bài giảng miễn phí


11. Tính tổng 3 4 5 nn n n nS 1.2.3.C 2.3.4.C 3.4.5.C (n 2)(n 1)n.C

LỜI GIẢI

Từ công thức k k 1n n 1kC nC

ta có:

k k 1n n 1(k 2)(k 1)kC (k 2)(k 1)nC

k 1 k 2n 1 n 2n(k 2)(k 1)C n(k 2)(n 1)C

k 2 k 3n 2 n 3n(n 1)(k 2)C n(n 1)(n 2)C (1)

Áp dụng công thức (1) 3 k n,k ¥ , có:

Với 3 0n n 3k 3 : 1.2.3.C n(n 1)(n 2)C .

Với 4 1n n 3k 4 : 2.3.4.C n(n 1)(n 2)C .

Với 5 2n n 3k 5 : 3.4.5.C n(n 1)(n 2)C .

Với n n 3n n 3k n : (n 2)(n 1)n.C (n 2)(n 1)n.C

.

Từ đó suy ra:

0 1 2 n 3 n 3n 3 n 3 n 3 n 3S n(n 1)(n 2) C C C ... C n(n 1)(n 2).2

.

1. Tính tổng 0 1 2 nn n n n

1 1 1 1S C C C ... C

1 2 3 n 1

, nN* (THTT‐12‐2008‐Tr 14)

LỜI GIẢI

Theo công thức k k 1n n 1kC nC

Ta có k 1 k k 1 kn 1 n n 1 n

1 1(k 1)C (n 1)C C C

n 1 k 1

Nên 0 1 2 n 1 2 n 1n n n n n 1 n 1 n 1

1 1 1 1 1 1 1S C C C ... C C C ... C

1 2 3 n 1 n 1 n 1 n 1

1 2 n 1 1 2 n 1n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1

1S C C C C C C n 1 .S

n 1

0 1 2 n 1 0

n 1 n 1 n 1 n 1 n 1C C C C n 1 .S C

n 1 0 n 1

n 12 n 1 .S C 2 1 n 1 .S

n 12 1S

n 1

2. Tính 0 1 2 nn n n n

1 1 1 1S .C .C .C ... .C

1.2 2.3 3.4 (n 1)(n 2)

LỜI GIẢI

Sử dụng công thức k k 1n n 1

1 1.C .C

(k 1) (n 1)

k k k 1 k 1n n n 1 n 1

1 1 1 1 1 1.C .C . .C . .C

(k 1)(k 2) (k 2)(k 1) (k 2) (n 1) (n 1) (k 2)

k 2n 2

1 1. .C

(n 1) (n 2)



Như vậy 2 3 4 n 2n 2 n 2 n 2 n 2

1S C C C ... C

(n 1)(n 2)

n 2 0 1 n 2n 2 n 2

1 1S 2 C C 2 n 3

(n 1)(n 2) (n 1)(n 2)

3. Tính 0 1 2 nn n n n

1 1 1 1S .C .C .C ... .C

1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n 1)(n 2)(n 3)

LỜI GIẢI

Ta có :

k k k 1n n n 1

1 1 1 1C C .C

(k 1)(k 2)(k 3) (k 2)(k 3) k 1 (k 2)(k 3)(n 1)

k 1 k 2 k 3n 1 n 2 n 3

1 1 1 1 1. .C . .C .C

(n 1)(k 3) k 2 (n 1)(k 3) n 2 (n 1)(n 2)(n 3)

Suy ra: 3 4 n 3n 3 n 3 n 3

1S . C C ... C

(n 1)(n 2)(n 3)

n 4 2n 3 0 1 2

n 3 n 3 n 3

1 2 n 7n 142 C C C

(n 1)(n 2)(n 3) 2(n 1)(n 2)(n 3)

TÌM HỆ SỐ CỦA MỘT SỐ HẠNG

Tìm hệ số của số hạng thứ k trong các khai triển sau:

1). Tìm số hạng thứ 9 trong khai triển 1422x y

2). Tìm hệ số của 7x trong khai triển 111 x .


4). Tìm hệ số của 7x trong khai triển 153 2x .

5). Tìm hệ số của 5 8x y trong khai triển 13

x y .

6). Tìm hệ số của 25 10x y trong khai triển 153x xy .

LỜI GIẢI

1). Tìm số hạng thứ 9 trong khai triển 1422x y

Ta có số hạng tổng quát kk n k k k 14 k 2k 1 n 14T C a b C (2x) y . Để có số hạng thứ 9 thì k 1 9 k 8 .

Vậy số hạng thứ 9 trong khai triển là 88 6 2 6 1614C (2x) y 192192x y .


Ta có 11

11 k k11

k 0

1 x C x

. Để có hệ số của 7x thì k 7 . Kết luận 77 11a C .




Ta có 19 19

19 kk 19 k k k 19 k k19 19

k 0 k 0

2 x C 2 ( x) C 2 1 x

. Để có hệ số của 9x thì k 9 . Kết luận

99 10 9 109 19 19a C 2 1 C 2 .

4). Tìm hệ số của 7x trong khai triển 153 2x .

Ta có 15 15

15 kk 15 k k k 15 k k15 15

k 0 k 0

3 2x C 3 ( 2x) C 3 2 x

. Để có hệ số của 7x thì k 7 . Kết luận

77 87 15a C 3 2 .

5). Tìm hệ số của 5 8x y trong khai triển 13

x y .

Ta có 13

13 k 13 k k13

k 0

x y C x y

. Để có hệ số của 5 8x y thì

13 k 5

k 8

k 8 (đúng). Kết luận hệ số

của 5 8x y là 8

13C .

6). Tìm hệ số của 25 10x y trong khai triển 153x xy .

Ta có 15 1515 15 k k3 k 3 k 45 2k k

15 15k 0 k 0

x xy C x xy C x y

. Để có hệ số của 25 10x y thì

45 2k 25

k 10

k 10 (đúng). Kết luận hệ số của 25 10x y là 10

15C .

16). Tìm số hạng là số nguyên trong khai triển:

a). 63 15 b). 933 2 c). 1933 2

LỜI GIẢI

a). 6 66 6 k k 6 k k

k k

6 6k 0 k 0

3 15 C 3 15 C 3 3 5

k6 6 66 k k k 6 kk k kk k k 3 2

6 6 6k 0 k 0 k 0

C 1 3 3 5 C 1 3 5 C 1 3 5

. Để có số hạng chứa số

nguyên thì k

2là số nguyên, có nghĩa

k 2

0 k 6; k

M

¢ k 0,2,4,6 .

Vậy số hạng nguyên là 0 3 2 3 4 3 2 6 3 36 6 6 6C 3 C 3 5 C 3 5 C 3 5 15552 .

b). k9 k

1 k1 9 k9 9 99 9 k3 3k k k3 32 2

9 9 9k 0 k 0 k 0

3 2 C 3 2 C 3 2 C 3 2

. Để có số hạng chứa số nguyên thì

(9 k) 2

k 3 k 3,9

0 k 9

M

M .

Vậy số hạng nguyên là 3 3 9 39 9C 3 2 C 2 4544 .

c). 19 19 k3 3k

193 2 C 3 2

18)

a) Tìm hệ số của số hạng chứa 10x trong khai triển nhị thức

14

2 2x

x

; x 0



b) Tìm hệ số của số hạng chứa 3x trong khai triển nhị thức

9

2 1x ; x 0

3x

c) Tìm hệ số của số hạng chứa 15x trong khai triển nhị thức

9

312x ; x 0

x

d) Tìm hệ số của số hạng chứa 8x trong khai triển nhị thức

7

4 22x ; x 0

x

e) Tìm hệ số của số hạng chứa 18x trong khai triển nhị thức

113

2

x 2; x 0

3 x

LỜI GIẢI

a) Tìm hệ số của số hạng chứa 10x trong khai triển nhị thức

14

2 2x

x

; x 0

Ta có 14 k14 1414 k k2 k 2 k 28 2k k

14 14k 0 k 0

2 2x C x C x 2 x

x x

14

kk 28 3k14

k 0

C 2 x

. Để có hệ số của 10x thì 28 3k 10 k 6 . Kết luận hệ số của 10x là

6614C 2 192192 .

b) Tìm hệ số của số hạng chứa 3x trong khai triển nhị thức

9

2 1x ; x 0

3x

Ta có 9 k9 9 99 k

2 k 2 k 18 2k k k 18 3k9 9 9k k

k 0 k 0 k 0

1 1 1 1x C x C x x C x

3x 3x 3 3

. Để có hệ số của 3x thì 18 3k 3 k 5 . Kết luận hệ số của 3x là 59 5

1 14C

273 .

c) Tìm hệ số của số hạng chứa 15x trong khai triển nhị thức

9

312x ; x 0

x

Ta có 9 9 k9 9k 9 k3 k 3 k k k 9 3k

9 9k 0 k 0

1 12x C 2x C 1 2 x x

x x

9

9 kk k 4k 99

k 0

C 1 2 x

. Để có hệ số của 15x thì 4k 9 15 k 6 . Kết luận hệ số của 15x là

36 69C 1 2 5376 .

d) Tìm hệ số của số hạng chứa 8x trong khai triển nhị thức

7

4 22x ; x 0

x

Ta có 7 k7 77 k 7 k k4 k 4 k 28 4k k

7 7k 0 k 0

2 22x C 2x C 2 x 2 x

x x

77 k kk 28 5k

7k 0

C 2 2 x

. Để có

hệ số của 8x thì 28 5k 8 k 4 . Kết luận hệ số của 8x là 4 3 47C 2 ( 2) 4480 .

e) Tìm hệ số của số hạng chứa 18x trong khai triển nhị thức

113

2

x 2; x 0

3 x



Ta có 11 11 k k11 113 3

kk k 33 3k 2k11 112 2 11 k

k 0 k 0

x 2 x 2 1C C x 2 x

3 3x x 3

11

kk 33 5k11 11 k

k 0

1C 2 x

3

.

Để có hệ số của 18x thì 33 5k 18 k 3 . Kết luận hệ số của 18x là 3 311 8

1 440C ( 2)

21873 .

4. Cho 2 20 2 200 1 2 20P(x) 1 x 2 1 x ... 20 1 x a a x a x ... a x .

Tính 15a .

LỜI GIẢI

Hệ số của 15x trong 15 16 201 x , 1 x ,..., 1 x lần lượt là

15 15 15 15 15 1515 16 17 18 19 20C ,C ,C ,C ,C ,C .

Suy ra 15 15 15 15 15 1515 15 16 17 18 19 20a 15C 16C 17C 18C 19C 20C 400995.

5. Đặt 2 3 5 20 1 2 15f(x) (1 x x x ) a a x a x ... a

1). Tính 10a ; 2). Tính 0 1 15a a ... a ; 3). Tính 0 1 2 15a a a ... a

LỜI GIẢI

1). Ta có : 5

2f(x) (1 x) x (1 x) 5

2(1 x)(1 x ) 5 2 5(1 x) (1 x )

Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có:

5 5 5 5

k k m 2m k m k 2m5 5 5 5

k 0 m 0 k 0m 0

f(x) C x . C x C .C .x

(1)

Để có số hạng chứa 10x thì

k 2m 10k 0 k 2 k 4

0 k,m 5m 5 m 4 m 3

k,m

¥

Vậy 0 5 2 4 4 310 5 5 5 5 5 5a C C C C C C 1 50 50 101 .

2). Ta có 50 1 2 15f(1) (1 1 1 1) a a a ... a .

Vậy 50 1 2 15a a a ... a 4 1024 .

3). Ta có 50 1 2 15f( 1) (1 1 1 1) a a a ... a .

Vậy 0 1 2 15a a a ... a 0 .

Nhận xét : Ta hay sử dụng kết quả sau :

Với đa thức : n n 1n n 1 1 0,P(x) a x a x ... a x a

Khi đó 0 1 2 n

n0 1 2 n

a a a ... a P(1)

a a a ... ( 1) a P( 1)

1. Tìm hệ số của x8 trong khai triển nhị thức Niu tơn

n5

3

1x

x

, biết tổng các

hệ số của khai triển trên bằng 4096 (với n là số nguyên dương và x > 0).

LỜI GIẢI



Đặt n

5

3

1f x x

x

.

Chọn x = 1 thay vào f(x) ta được tổng hệ số của khai triển.

Ta có n nf 1 1 1 2 Theo đề bài ta có n2 4096 n 12

3. (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Cho đa thức P(x) = (1 + x)9 + (1 + x)10 + (1 + x)11 +… + (1 + x)14

có dạng khai triển là: P(x) = a0 + a1x + a2x2 +… + a14x14. Hãy tính hệ số a9.

LỜI GIẢI

a9 = 1 + 9 9 9 9 910 11 12 13 14C C C C C = 1 + 1 2 3 4 5

10 11 12 13 14C C C C C

= 1 + 10 + 11.10 12.11.10 13.12.11.10 14.13.12.11.10

2 6 24 120 = 3003

4. Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức:

11 72

2

1 1A x x

xx

LỜI GIẢI

Công thức khai triển của biểu thức là:

k11 7 11 77 n kk 11 k n 2 k 11 3k n 14 3n

11 7 11 72 nk 0 n 0 k 0 n 0

1 1A C .x . C . x . 1 .C .x C .x

x x

Để số hạng chứa x5 thì 11 3k 5 k 2

14 3n 5 n 3

Kết luận hệ số của x5 là 2 311 7C C 90 .

5. Khai triển và rút gọn biểu thức 2 n1 x 2(1 x) ... n(1 x) thu được đa

thức n0 1 nP(x) a a x ... a x . Tính hệ số 8a biết rằng n là số nguyên dương

thoả mãn2 3n n

1 7 1

nC C .

LỜI GIẢI

Ta có 2 3n n

n 31 7 1

2 7.3! 1nC C

n(n 1) n(n 1)(n 2) n

2

n 3n 9

n 5n 36 0

(nhận).

Suy ra hệ số của a8 nằm trong biểu thức 8 98(1 x) 9(1 x) .

Đó là 8 88 98.C 9.C 89.

Tìm a để trong khai triển 61 ax 1 3x hệ số của hạng chứa 3x bằng 405.

LỜI GIẢI



Có 6 6

6 6 6 k mk m6 6

k 0 m 0

1 ax 1 3x 1 3x ax 1 3x C 3x ax. C 3x

6 6

k mk k m m 16 6

k 0 m 0

C 3 .x C .a. 3 .x

. Để có số hạng chứa 3x thì k 3 k 3

m 1 3 m 2

Vậy hệ số của số hạng chứa 3x là

3 23 23 6 6a C . 3 C .a. 3 540 135a 405 a 7 .

Tìm hạng số thứ 4 trong khai triển

63 21

8a x2

theo lũy thừa tăng dần của x.

LỜI GIẢI

Có 6 k k6 66 k 6 k

3 2 k 3 2 k 3 2k6 6

k 0 k 0

1 1 18a x C 8a x C 8a .x

2 2 2

(1)

Với k = 0 thay vào (1) được số hạng thứ nhất, tiếp theo thay k = 1 được số hạng thứ 2, thay k = 2 được số

hạng thứ 3. Vậy khi thay k = 3 được số hạng thứ 4 là 3

33 3 6 9 66

1C . 8a x 1280a x

2

.

Tìm hệ số của 5x trong khai triển: 5 102P x 1 3x x 1 2x

LỜI GIẢI

Ta có 5 10

5 10 k m2 k 2 m5 10

k 0 m 0

P x 1 3x x 1 2x x C 3x x C 2x

5 10

k mk k 1 m m 25 10

k 0 m 0

C 3 x C 2 x

Để cố hệ số của 5x thì k 1 5 k 4

m 2 5 m 3

(thỏa).

Kết luận hệ số của 5x là 34 4 35 5 10a C 3 C 2 1365 .

Bài 3: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức

n2

3

2x

x

, biết rằng n là số tự nhiên thỏa

phương trình: 2 1n n2C 5C 40 0 .

LỜI GIẢI

Ta có

2 1n n

n! n!2C 5C 40 0 2. 5. 40 0

2! n 2 ! n 1 !

n n 1 5n 40 0

2n 6n 40 0 n 10 (nhận).

Ta có n 10 k10 1010 k

2 2 k 2 k k 20 5k10 103 3 3

k 0 k 0

2 2 2x x C x C .2 .x

x x x

Để có số hạng không chứa x thì 20 5k 0 k 4 .

Vậy hệ số của số hạng không chứa x là 4 410C .2 3360



7. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

n

3 2x

x

. Biết rằng số nguyên

dương n thỏa mãn 6 7 8 9 8n n n n n 2C 3C 3C C 2C

LỜI GIẢI

6 7 8 9 8 6 7 7 8 8 9 8

n n n n n 2 n n n n n n n 2C 3C 3C C 2C C C 2 C C C C 2C

7 8 9 8 7 8 8 9 8n 1 n 1 n 1 n 2 n 1 n 1 n 1 n 1 n 2C 2C C 2C C C C C 2C

8 9 8n 2 n 2 n 2C C 2C 9 8

n 2 n 2C C n 15

Khi đó n k 30 5k15 1515 k

3 k 3 k k 615 15

k 0 k 0

2 2x C x C 2 x

x x

Để có số hạng không chứa x thì 30 5k

0 k 56

.

Hệ số của số hạng không chứa x phải tìm 6 615C .2 320320 .

8. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn : n 3 2 1 n 2n n 1 n 1 n 3C C C C

. Tìm hệ số của

số hạng chứa x11 trong khai triển nhị thức NiuTon của biểu thức

n3 n 8 n

P x x3x

.

LỜI GIẢI

Điều kiện n ,n 3 ¥

Ta có

n 3 2 1 n 2n n 1 n 1 n 3

n 1 ! n 1 ! n 1 !n!C C C C .

3! n 3 ! 2! n 3 ! n 2 ! n 2 !

n n 1 n 2 3 n 1 n 2 6 n 1 n 3

n n 2 3 n 2 6 n 3

2n 1 lo¹i

n 11n 12 0n 12 nhËn

Khi đó 12 k12 1212 k k3 4 3 k 4 k 51 5k

12 12k 0 k 0

4 4P x x x C . x . C 4 .x

x x

Số hạng tổng quát của khai triển là kk 51 5k12C 4 .x

Để có số hạng chứa x11 thì 51 5k 11 k 8

Kết luận hệ số của số hạng chứa x11 trong khai triển là 8812C . 4 32440320

9. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 1 2 3 n 1 nn n n n nC C C C C 255 . Hãy

tìm số hạng chứa x14 trong khai triển nhị thức Niu tơn n2P(x) 1 x 3x .

LỜI GIẢI

Với n là số nguyên dương ta có:



n0 1 2 3 n 1 n nn n n n n nC C C C C C 1 1 2

1 2 3 n 1 n nn n n n nC C C C C 2 1 .

Theo giả thuyết ta có n n n 82 1 255 2 256 2 2 n 8 .

88 k2 k 2

8k 0

P(x) 1 x 3x C 3x x

Ngoài ta ta có k kk k m

2 m 2 m m k m 2k mk k

m 0 m 0

3x x C 3x x C .3 .x 0 m k

Vậy 8 k 8 k

k m k m 2k m k m k m 2k m8 k 8 k

k 0 m 0 k 0 m 0

P(x) C C .3 .x C C .3 .x

Theo yêu cầu bài toán

2k m 14m 0 m 2

0 m k 8k 7 k 8

m,k

¥

Kết luận hệ số của số hạng chứa x14 là 7 0 7 8 2 68 7 8 8C .C .3 C .C .3 .

10. Cho khai triển Niutơn 2n 2 2n *0 1 2 2n1 3x a a x a x a x ,n ¥ . Tính

hệ số của a9 biết n thỏa mãn hệ thức : 2 3n n

2 14 1

nC 3C .

LỜI GIẢI

Điều kiện *n ,n 3 ¥

2 3n n

2 14 1 2 14 1 4 28 1

n! n!n n nn n 1 n n 1 n 2C 3C 3.2! n 2 ! 3! n 3 !

2

n 3n 9

n 7n 18 0

Ta có k18 1818 k kk k k2

18 18k 0 k 0

1 3x C 3x C 1 3 x

Do đó hệ số của 99 18a 81C 3 3938220 3 .

11. Tìm hệ số của x5 trong khai triển n 2n2P(x) x 1 2x x 1 3x , biết rằng

2 n 1n n 1A C 5

LỜI GIẢI

Điều kiện n 2,n ¥

Ta có 2 n 1 2n n 1

n 1 nA C 5 n n 1 5 n 3n 10 0 n 5

2

Với n = 5 ta có 5 10

5 10 k m2 k 2 m5 10

k 0 m 0

P(x) x 1 2x x 1 3x x C 2x x C 3x



5 10

k k 1 m 2k m m5 10

k 0 m 0

C 2 x C 3 x

.

Để có số hạng chứa x5 thì k 1 5 k 4

m 2 5 m 3

Suy ra hệ số của số hạng chứa x5 : 44 3 35 10C 2 C 3 21360

12. Tìm hệ số của x8 trong khai triển 182 1x x 1 2x

4

.

LỜI GIẢI

18 18 2 18 202 21 1 1 1x x 1 2x 4x 4x 1 1 2x 2x 1 2x 1 2x 1

4 4 4 4

20 20

kk k k k20 20

k 0 k 0

1 1C 2x C 2 x

4 4

Từ đó suy ra hệ số của x8 trong khai triển là 8 820

1C 2 8062080

4 .

13. Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển

n3 5

3

1nx

x

, biết rằng n là số

nguyên dương thỏa mãn 1 2 2n n2C C n 20 .

LỜI GIẢI

Ta có

1 2 2 2n n

n! n!2C C n 20 2 n 20 n 8

n 1 ! n 2 !

Ta có 8 8 k 40 14k8 88 k

3 33 5 5 k 5 k 8 k 38 83 3 3

k 0 k 0

1 1 18x 2 x C 2 x C 2 x

x x x

.

Để có chứa x4 thì 40 14k

4 k 23

. Vậy hệ số của x4 là 2 6

8C 2 1792 .

14. Tìm hệ số chứa x4 trong khai triển

n 22nx

1 3x6

, biết:

n 1 nn 4 n 3C C 7 n 3

LỜI GIẢI

Điều kiện n 2

n

¥

.

n 1 nn 4 n 3

n 4 ! n 3 !C C 7 n 3 7 n 3

3!n!3! n 1 !

n 4 n 3 n 2 n 3 n 2 n 1

7 n 36 6

n 4 n 2 n 2 n 1 42

n 12 .



Với n 12 thì n 2 1010 k

2 2 k 210

k 0

nxP x 1 3x 1 2x 3x C 2x 3x

6

Ngoài ra ta có:

k kk mk m2 m 2 m k m m k m

k km 0 m 0

2x 3x C 2x 3x C .2 3 .x 0 m k

Vậy 10 k m k

k m k m m k m k m k m m k m10 k 10 k

k 0 m 0 k 0 m 0

P(x) C C .2 .3 .x C C .2 .3 .x

Theo yêu cầu bài toán

k m 4m 0 m 1 m 2

0 m k 10k 4 k 3 k 2

m,k

¥

Kết luận hệ số của số hạng chứa x4 là:

4 0 4 3 1 2 2 2 0 210 4 10 3 10 2C C 2 C C 2 .3 C C 2 .3 8085 .

15. Cho khai triển 210 2 2 140 1 2 141 2x 3 4x 4x a a x a x a x . Tìm 6a

LỜI GIẢI

Ta có: 2210 10 221 2x 3 4x 4x 1 2x 2 1 2x

10 12 144 1 2x 4 1 2x 1 2x

Số hạng tổng quát của khai triển 104 1 2x là kk104C 2x hệ số của x6 trong khai triển này là

6 6104.2 .C .

Số hạng tổng quát của khai triển 124 1 2x là kk124C 2x hệ số của x6 trong khai triển này là

6 6124.2 .C .

Số hạng tổng quát của khai triển 141 2x là kk14C 2x hệ số của x6 trong khai triển này là 6 6

142 .C .

Kết luận 6 6 6 6 6 66 10 12 14a 4.2 .C 4.2 .C 2 .C 482496 .

16. Tìm hệ số của số hạng chứa x6 trong khai triển

220 2f x 1 2x x x 1 thành đa thức.

LỜI GIẢI

Ta có 22 1 3x x 1 2x 1

4 4 .

Vậy 2

220 20 22 1 31 2x x x 1 1 2x 2x 1

4 4

20 4 21 3 91 2x 2x 1 1 2x

16 8 16



24 22 201 3 91 2x 1 2x 1 2x

16 8 16

Có n

n k k k

nk 0

1 2x C 2 x

, để có hệ số của 6x thì k 6 , nên:

Trong khai triển 241 2x hệ số của 6x là 6 6

242 C .


222 C .


202 C .

Vậy hệ số 6 6 6 6 6 6

6 24 22 20

1 3 9a 2 C 2 C 2 C

16 8 16

18. Cho n

21P x x x

x

. Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai

triển P x biết n là số nguyên dương thỏa mãn 3 2n n 1C 2n A .

LỜI GIẢI

Ta có 3 2n n 1

n N,n 3

C 2n A n 8n n 1 n 22n n 1 n

6

8 8 k 8 k8 8 kk mk k2 k 2 k m k m 28 8 k

k 0 k 0 m 0

1 1 1x x C 1 x x C 1 . C x . x

x x x

8 k

k k m 2k m 88 k

k 0 m 0

1 C .C .x

Để có số hạng không phụ thuộc vào x thì:

0 m k 8,m ,k 0 m k 8,m ,k m 0 m 2

2k m 8 0 2k m 8 k 4 k 3

¥ ¥ ¥ ¥

Suy ra có hai số hạng không phụ thuộc vào x là 4 08 4C .C và 3 2

8 31 C .C .

Kết luận hệ số của số hạng không chứa x là 4 0 3 28 4 8 3C .C 1 C .C 98 .

19. Tìm hệ số của x7 trong khai triển biểu thức 2n2 3x thành đa thức , biết rằng

: 1 3 2n 12n 1 2n 1 2n 1C C C 1024

.

LỜI GIẢI

Ta có 2n 1 0 1 2 2 2n 1 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 11 x C C x C x C x

.

Chọn 2n 1 0 1 2 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1x 1 2 C C C C 1

.



Chọn 0 1 2 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1x 1 0 C C C C 2

.

Lấy 1 2 ta được:

2n 1 1 3 2n 1 1 3 2n 1 2n2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 12 2 C C C C C C 2

2n 2n 102 1024 2 2 2n 10 n 5 .

Ta có : 10 10

10 k kk 10 k k 10 k k10 10

k 0 k 0

2 3x C .2 . 3x C .2 . 3 .x

.

Từ đó suy ra hệ số của x7 là 77 310C .2 . 3 .

21. Đặt 42 3 2 120 1 2 121 x x x a a x a x a x . Tính hệ số cố a7.

LỜI GIẢI

4 44 44 k2 3 2 k k i 2i

4 4k 0 i 0

1 x x x 1 x 1 x 1 C x C x

Từ giả thuyết ta có k 2i 7 0 k,i 4;k,i ¥ .

Từ đó suy ra k 1 k 3

i 3 i 2

Vậy 1 3 3 27 4 4 4 4a C C C C 40 .

22. Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển biểu thức

n

5

3

2P x x x 0

x

. Biết số nguyên dương n thỏa mãn:

1 2 n 1 nn n n nC C C C 4095 .

LỜI GIẢI

Ta có: 1 2 n 1 nn n n nC C C C 4095

0 1 2 n 1 n n 12n n n n nC C C C C 4096 2 2 n 12

Ta có 12 5k 11k12 12 36

5 k 12 k 36 3k k 12 k2 212 123

k 0 k 0

2P x x C .2 .x .x C .2 .x

x

.

Để có hệ số của số hạng chứa x8 thì 11k

36 8 k 82

.

Vậy hệ số của x8 trong khai triển là: 8 412C .2 7920 .

23. Cho khai triển n n 2 n0 1 2 n1 n x 1 x a a x a x ... a x 1 (n nguyên

dương). Biết rằng: 0 1 2 na a a ... a 4096 . Hãy tính a4.

LỜI GIẢI.

Với x = 1 thay vào (1) ta được:

n n n 20 1 2 na a a ... a 1 1 1. 1 1 2 2 4096 n 12 .

Do đó trong khai triển:



12 12 12 12

12 12 k k kk m m k m m 112 12 12 12

k 0 m 0 k 0 m 0

1 x x 1 x C x x C x 1 C x C x

Để có hệ số của x4 thì k 4 k 3

m 1 4 m 3

Vậy 4 4 34 12 12a 1 .C C 715 .

24. Cho số tự nhiên n thỏa mãn n 1 n 2n nC C 36 . Tìm hệ số của x8 trong khai

triển thành đa thức của biểu thức n2 3f x 1 2x x .

LỜI GIẢI

n 1 n 2

n nC C 36 1 .Điều hiện n *,n 2 ¥ .

n 1 2n 1

n 1 !1 C 36 36 n n 72 0 n 8 n 9

2 n 1 !

.

So với điều kiện nhận n = 8.

Từ đó 8 8

2 3 2f x 1 2x x 1 x 2 x

8 8k kk 2 k 2k

8 8k 0 k 0

C x 2 x C x 2 x

8 k 8 k

i ik 2k i k i k i k i 2k i8 k 8 k

k 0 i 0 k 0 i 0

C x . C .2 x 1 .2 C .C .x

.

Để có số hạng chứa x8 thì

k 42k i 8

i 00 i k 8

k 3i,k

i 2

¥

Vậy hệ số của x8 trong khai triển f(x) là: 0 24 4 0 3 28 4 8 31 .2 .C .C 1 .2.C .C 1456 .

37. (ĐH khối A 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1 + x2(1

– x)]8.

LỜI GIẢI

Ta có 888 8 k k

2 2 3 k 3 28

k 0

1 x 1 x 1 x x C x 1 x

8 k 8 km8 k 8 kk 24 3k m 2 k m 24 3k 2m

8 k 8 kk 0 m 0 k 0 m 0

C 1 .x . C . x C C 1 x

.

Số hạng chứa x8 ứng với giá trị k, m thỏa mãn:

16 2m k 6k24 3k 2m 8 3 m 10 m k 8 0 m k 8

k 8m,k m,k

m 4

¥ ¥



Vậy hệ số của x8 trong khai triển là: 2 06 1 8 48 6 8 8C C 1 C C 1 238

36. (ĐH khối A 2003) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức

Newton của

n5

3

1x

x

, biết rằng: n 1 n

n 4 n 3C C 7(n 3) (n nguyên dương, x >

0).

LỜI GIẢI

Ta có: n 1 nn 4 n 3C C 7(n 3) n 1 n n

n 3 n 3 n 3C C C 7(n 3)

(n 2)(n 3)

2!

= 7(n + 3 n + 2 = 7.2! = 14 n = 12.

Số hạng tổng quát của khai triển là: 12 k5 60 11k

k 3 k k2 212 12C (x ) x C x

Số hạng chứa x8 trong khai triển, ứng với giá trị k thỏa: 60 11k

2

= 8 k = 4.

Do đó hệ số của số hạng chứa x8 là 412

12!C

4!(12 4)!

= 495.

38. (ĐH khối D 2004)Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức

Newton của:

73

4

1x

x

với x > 0

LỜI GIẢI

Ta có: k7 7 k k 28 7k7 7 77 k

3 k 3 k k3 4 127 7 74 4

k 0 k 0 k 0

1 1x C x C x .x C x

x x

Số hạng không chứa x là số hạng tương ứng với k (k Z, 0 ≤ k ≤ 7) thoả mãn: 28 7k

0 k 412

.

Vậy số hạng không chứa x cần tìm là 47C = 35.

39. (ĐH khối A 2005 dự bị 2): Tìm hệ số của x7 trong khai triển đa thức (2 – 3x)2n,

trong đó n là số nguyên dương thoả mãn:

1 3 5 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C ... C 1024

.

LỜI GIẢI

Ta có: 2n 1 0 1 2 2 3 3 2n 1 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 11 x C C x C x C x ... C x *

Chọn x = 1 thay vào (*) được:

22n+1 = 0 1 2 3 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C C ... C

(1)

Cho x = –1 thay vào (*) được:

0 = 0 1 2 3 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C C ... C

(2)

Lấy (1) – (2):

2n 1 1 3 2n 1 1 3 2n 1 2n2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 12 2 C C ... C C C ... C 2

Theo đề bài ta có: 2n2 1024 2n 10 n 5



Ta có: (2 – 3x)10 = 10 10

10 kk 10 k k 10 k k k10 10

k 0 k 0

2 3x C 2 3x C 2 ( 3) (x)

Số hạng chứa x7 ứng với giá trị k thỏa: k = 7.

Suy ra hệ số của x7 là 77 310C 3 2 2099520

40. Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niu tơn của

n7

4

1x

x

, biết rằng 1 2 n 20

2n 1 2n 1 2n 1C C ... C 2 1

LỜI GIẢI

Từ giả thiết suy ra: 0 1 2 n 202n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C ... C 2 (1)

Vì k 2n 1 k2n 1 2n 1C C

, k, 0 ≤ k ≤ 2n + 1 nên:

0 1 2 n 0 1 2 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1

1C C C ... C C C C ... C

2

(2)

Từ khai triển nhị thức Newton của (1 + 1)2n+1 suy ra:

0 1 2 2n 1 2n 1 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C ... C (1 1) 2

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: 22n = 220 n = 10.

Ta có: 10 10 10k

11k 407 k 4 10 k 7 k10 104

k 0 k 0

1x C (x ) x C x

x

Số hạng chứa x26 ứng với giá trị k thỏa mãn 11k 40 26 k 6

Vậy hệ số của x26 là 610C = 210.

42. (CĐ Sư phạm TPHCM khối BT 2006)Khai triển biểu thức (1 – 2x)n ta được đa

thức có dạng: a0 + a1x + a2x2 + … + anxn.

Tìm hệ số của x5, biết a0 + a1 + a2 = 71.

LỜI GIẢI

Số hạng thứ k + 1 trong khai triển (1 – 2x)n là: Tk+1 = k k knC ( 2) .x

Từ đó ta có: a0 + a1 + a2 = 71 0 1 2n n nC 2C 4C 71

n N, n 2

n(n 1)1 2n 4 71

2

2

n N, n 2

n 2n 35 0

n = 7

Với n = 7, ta có hệ số của x5 trong khai triển (1 – 2x)n là:

a5 = 5 57C ( 2) = – 672.

43. (CĐ Điện lực TPHCM 2006): Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị

thức

n2

3

1x

x

, biết rằng: 1 3

n nC C 13n (n là số tự nhiên lớn hơn 2, x là số thực

khác 0).

LỜI GIẢI



Ta có: 1 3 2n n

n 10n(n 1)(n 2)C C 13n n 13n n 3n 70 0

n 76

So với điều kiện nhận n = 10.

Số hạng tổng quát của khai triển nhị thức là:

k 2 10 k 3 k k 20 5kk 1 10 10T C (x ) (x ) C x

Số hạng không chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn 20 – 5k = 0 k = 4

Vậy số hạng không chứa x là: 45 10T C 210

44. (CĐ Kinh tế đối ngoại khối AD 2006): Cho A =

20 103

2

1 1x x

xx

. Sau

khi khai triển và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm bao nhiêu số hạng?

LỜI GIẢI

Khai triển biểu thức

20 103

2

1 1A x x

xx

= 20 10k 10 k n

k k 20 k 2 n n 3 120 10

k 0 n 0

( 1) C x x ( 1) C x x

20 10

k nk 20 3k n 30 4n20 10

k 0 n 0

1 C x 1 C x

Xét trường hợp 2 biểu thức có số hạng chứa x mũ giống nhau:

20 3k 30 4n 4n 3k 10n 4

0 k 20 0 k 20n 7

0 n 10 0 n 10n 10

n,k n,k

¥ ¥

20 – 3k = 30 – 4n 10 – n = 3(n – k)

có 3 số hạng trong hai khai triển trên có luỹ thừa của x giống nhau.

Vậy sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm: 21 + 11 – 3 = 29 số hạng.

49. Tìm hệ số của x7 trong khai triển nhị thức Niu tơn của

n2 2

xx

, biết n là số

nguyên dương thỏa mãn 3 2 3n 1 n n4C 2C A .

LỜI GIẢI

Ta có 3 2 3n 1 n n4C 2C A 1 . Điều kiện n 3,n ¥

n 1 ! n! n!

1 4 23! n 2 ! 2! n 2 ! n 3 !

2 n 1 n n 1

n n 1 n n 1 n 23

2 2 22 n 1 3 n 1 3 n 3n 2 n 12n 11 0 n 11



50. Tìm hệ số chứa x7 trong khai triển n32 x 2x biết 0 1 2n n nC C C 29

LỜI GIẢI

0 1 2

n n nC C C 29 1 . Điều kiện n 2,n ¥ .

n! n!

1 1 29n 1 ! 2! n 2 !

2n n 1

1 n 29 n n 56 0 n 72

Ta có 7 7 k7 7 kk i3 k 3 k 7 k 21 3k i k i

7 7 kk 0 k 0 i 0

2 x 2x C 2 x 2x C 2 x C 2 x

7 k

ik i 7 i 21 3k i7 k

k 0 i 0

C C .2 1 .x

Để có hệ số chứa x7 ta phải có:

21 3k i 7 3k i 14i 1 i 4 i 7

0 i k 7 0 i k 7k 5 k 6 k 7

i,k i,k

¥ ¥

Kết luận hệ số của x7: 4 75 1 6 6 4 3 7 77 5 7 6 7 7C C 2 1 C C 2 1 C C 1 5881

51. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 3 3n 3 n 1A 6C 294 . Tìm số hạng mà tích

số mũ của x và y bằng 18 trong khai triển nhị thức Niu tơn n

24

2

ynx, xy 0

3y x

.

LỜI GIẢI

3 3

n 3 n 1A 6C 294 1 . Điều kiện n 2,n ¥

n 3 ! n 1 !1 6 294 n 3 n 2 n 1 n 1 n n 1 294

n! 3! n 2 !

2n 2n 48 0 n 6 .

Ta có

6 k6 k2 24 46 6k k 6 k 24 6k 6 3k6 62 2

k 0 k 0

y y2x 2xC C .2 .x .y

y yx x

Để tích của hai số mũ của x và y bằng 18, theo đề bài có

224 6k 6 3k 18 k 6k 9 0 k 3

Số hạng cần tìm là: 3 3 6 3 6 36C 2 .x y 160x y

52. Tìm số hạng không phụ thuộc vào x trong khai triển nhị thức Niu tơn của

n

51

x , x 0x

. Biết n số nguyên dương thỏa

n 1 n 2 n 3 2n 2n 1 362n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C C C 2

.



LỜI GIẢI

Ta có k 2n 1 k2n 1 2n 1C C , k 0,2n 1

Nên ta có:

0 1 2 n n 1 n 2 n 3 2n 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C C C C C C C

Vậy n 1 n 2 n 3 2n 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C C C C C

0 1 2 n n 1 n 2 n 3 2n 2n 1

2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1

1C C C C C C C C C

2

2n 1 2n1.2 2

2

Theo đề bài ta có 2n 362 2 2n 36 n 18

NHỊ THỨC NIU TƠN TÌM HỆ SỐ ak max

1. (HV Kỹ thuật quân sự 2000) Khai triển đa thức: P(x) = (1 + 2x)12 thành dạng: a0

+ a1x + a2x2 + … + a12x12. Tìm max(a1, a2, …, a12).

LỜI GIẢI

P(x) = (1 + 2x)12 = a0 + a1x + a2x2 + … + a12x12

Ta có số hạng tổng quát: kk k k k12 12C 2x C 2 x .

Hệ số của số hạng tổng quát k kk 12a C .2

Giả sử k 0 1 12a max a ,a ,...,a . Từ đó ta có:

k k k 1 k 1k k 1 12 12

k k k 1 k 1k k 1 12 12

a a C .2 C .2

a a C .2 C .2

12! 12! 1 2.2k! 12 k ! k 1 ! 11 k ! 12 k k 1

12! 12! 2 1.2

k 13 kk! 12 k ! k 1 ! 13 k !

23k

23 263 k k 826 3 3

k3

(vì k¢ )

Kết luận hệ số lớn nhất trong khai triển là: 8 88 12a C .2 126720

2. (ĐH An Ninh khối A 2001) Tìm các số âm trong dãy số x1, x2, …, xn, … với

xn = 4n 4

n 2 n

A 143

P 4P

(n = 1, 2, 3, …)

LỜI GIẢI

Ta phải tìm các số tự nhiên n > 0 thoả mãn:

xn = 4n 4

n 2 n

A 143

P 4P

< 0 (n + 3).(n + 4) – 143

4 < 0



4n2 + 28n – 95 < 0 19 5

n2 2

Vì n là số nguyên dương nên ta được n = 1, 2

các số hạng âm của dãy là x1, x2.

3. (ĐHSP HN khối A 2001) Trong khai triển của

101 2

x3 3

thành đa thức:

a0 + a1x + a2x2 + … + a9x9 + a10x10 (ak R) hãy tìm hệ số ak lớn nhất (0 ≤ k ≤ 10).

LỜI GIẢI

Ta có

101 2

x3 3

Gọi ak là hệ số của xk trong khai triển: ak = k k1515

1C .2

3; (với k = 0, 1, 2, …, 15)

Giả sử k 0 1 15a max a ;a ;...;a . Từ đó ta có:

k k k 1 k 115 1515 15

k k 1

k k k 1 k 1k k 115 1515 15

15! 15!1 1 .2C .2 C .2 k! 15 k ! k 1 ! 14 k !a a 3 3a a 1 1 15! 15!

C .2 C .2 .2k! 15 k ! k 1 ! 16 k !3 3

Ta có: ak–1 ≤ ak k 1 k 1 k k10 10C .2 C .2

1 2

(k 1)!(11 k)! k!(10 k)!

k ≤ 2(11 – k) k ≤ 22

3

Vậy hệ số a7 là lớn nhất: a7 = 7 71010

1.C .2

3.

8. Tìm các số hạng là số nguyên trong khai triển nhị thức n33 2 , biết

3 n n nn n 2n 3n 27P C C C P , với n là số tự nhiên.

LỜI GIẢI

Ta có

3 3n n nn n 2n 3n 27 27

2n ! 3n !P C C C P n! . . P

n!.n! n!. 2n !

3n ! 27! 3n 27 n 9

Ta có k9 k9 9n 9 9 k k

3 3 k 3 k 329 9

k 0 k 0

3 2 3 2 C 3 2 C .3 .2

Để có số hạng là số nguyên khi

9 k 2

k 3 k 3 k 9

0 k 9,k N

M

M

Vậy có hai số hạng là số nguyên là 3 39C .3 .2 và 9 3

9C .2 .

9. Khai triển đa thức 12P(x) (1 2x) thành dạng:



2 12.0 1 2 12P(x) a a x a x ... a x

Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số 0 1 12a ,a ,...a (tức là tìm max 0 1 2 12(a ,a ,a ,...,a ) )

LỜI GIẢI

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có 12 12

k k k k k12 12

k 0 k 0

P(x) C (2x) C 2 x

(1)

Từ (1) suy ra k kk 12a 2 C ; k 0,1,2,...12

Xét bất phương trình k k 1a a , ta thấy:

k k k 1 k 1k k 1 12 12a a 2 C 2 C

k k 112 12C 2C

12! 12!2

(12 k)!k! (11 k)!(k 1)!

1 2

12 k k 1

k 1 2(12 k), (do 12 k 0)

3k 23 23

k .3

Do k¢ vì k 0 nên k 0,1,2,...,7 .

Vì lẻ ấy k k 1a a k 8,9,10,...,11

Vậy ta có 0 1 2 7 8 9 10 12a a a ... a a a a ... a .

Vì thế 8 80 1 11 12 8 12max a ,a ,...,a ,a a 2 C 126720 .

10. Xét khai triển 9 2 90 1 2 9(3x 2) a a x a x ... a x .

Tìm max 0 1 2 9{a ,a ,a ,...,a } .

LỜI GIẢI

Theo công thức khai triển Newton, ta có9

9 k k 9 k9

k 0

(3x 2) C (3x) (2)

.

Vậy k 9 k kk 9a 3 (2) C ; k 0,1,2,...,9 .

Ta có k 9 k k k 1 8 k k 1k k 1 9 9a a 3 (2) C 3 (2) C

k k 19 92C 3C

9! 9!

2 3(9 k)!k! (8 k)!(k 1)!

2 3

9 k k 1

2k 2 27 3k 5k 25 k 5 k 0,1,2,3,4

Từ đó suy ra k k 1a a k 5

k k 1a a k 5 k 6,7,8,9

Vậy ta có 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9a a a a a a a a a a

Do đó giá trị lớn nhất của các hệ số đạt tại hai giá trị 55 6 9a a 2C 252 .

11. Xét khai triển n 2 n0 1 2 n(1 2x) a a x a x ... a x .

Tìm n để 0 1 2 n 8max{a ,a ,a ,...a } a .

LỜI GIẢI

Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có:



n n

n k k k k kn n

k 0 k 0

(1 2x) C (2x) 2 C x

Như vậy k kk na 2 C ; k 0,1,2,...,n .

Theo giả thiết ta có 8 0 1 2 na max{a ,a ,a ,...,a } tức là:

0 1 7 8 9 10 na a ... a a a a ... a .

Vậy ta phải có 8 8 7 7

8 7 n n

8 8 9 98 9 n n

a a 2 C 2 C

a a 2 C 2 C

n! n!2(n 8)!8! (n 7)!7!

n! 2n!

(n 8)!8! (n 9)!9!

2 1

8 n 71 2

n 8 9

2n 14 8

9 2n 16

25

11 n2

.

Do n¢ n 12 .

Khai triển 301 3x thành đa thức : 2 30

0 1 2 30a a x a x ... a x . Tìm hệ số lớn nhất của các hệ số

0 1 2 30a ;a ;a ;...;a .

LỜI GIẢI

Ta có: 301 3x = 30 30

kk k k k

30 30k 0 k 0

C 3x C 3 x

Hệ số của kx là k k k

30C 3 x . Ta có:

k 1 k

k 1 k 1 k k k

k 1 k 30 30

30!3 30!3a a C 3 C 3 x

k 1 ! 29 k ! k! 30 k !

k k

k 1 k

30!3 30!3a a 3 30 k k 1 89 4k

k 1 ! 30 k ! k 1 ! 30 k !

k 1 k 0 1 2 22 23

89a a 0 89 4k 0 k 22,25 a a a ... a a 1

4

k 1 k 23 24 25 29 30

89a a 0 89 4k 0 k 22,25 a a a ... a a 2

4

Suy ra hệ số lớn nhất trong các hệ số 0 1 2 30

a ;a ;a ;...;a là 23 23

23 30a C 3

Truy cập hoc360.net để tải tài liệu học tập, bài giảng ... fileTruy cập...

Documents

Transcript of Truy cập hoc360.net để tải tài liệu học tập, bài giảng ... fileTruy cập...