TEMA 8: INTEGRALE DEFINITE 69

TEMA 8: INTEGRALE DEFINITE 

Obiective: 

Definirea principalelor proprietăţi matematice ale integralelor definite

Analiza modului de determinare a ariilor figurilor plane

Aplicaţii economice ale integralelor definite

Conținut:

8.1 Proprietăţile integralelor definite 70

8.2 Ariile figurilor plane 72

8.3 Aplicaţii economice ale integralelor definite 73 8.3.1 Surplusul consumatorului 73 8.3.2 Surplusul producătorului 74 8.3.3 Fluxuri continue de încasări 75

8.4 Concepte cheie 76

70    MODULUL 4: MODELE DE CALCUL INTEGRAL 

8.1  Proprietățile integralelor definite 

Fie ( )xf o funcţie definită pe intervalul închis [ ]ba , , cu partiţionarea arbitrară bxxxa n =<<<= K10 a intervalului [ ]ba , în n diviziuni.

Definiţia 8.1: Se numeşte suma integrală a funcţiei ( )xf pe [ ]ba , orice sumă de forma:

( )∑−

=

Δ⋅=1

0

n

iiin xfS ξ , (8.1)

unde 1+≤≤ iii xx ξ , iii xxx −=Δ +1 , 1,1 −= ni .

Definiţia 8.2: Limita sumei nS , când numărul de diviziuni n tinde la infinit şi când cele mai mari valori ale ixΔ tind la 0, se numeşte integrala definită a funcţiei ( )xf între limitele

ax = şi bx = şi se notează:

( ) ( )∫∑ =Δ⋅−

=→Δ

b

a

n

iiix

dxxfxfi

1

00maxlim ξ . (8.2)

Dacă funcţia ( )xf este continuă pe [ ]ba , , atunci ea este integrabilă pe [ ]ba , , adică limita (8.2) există şi este independentă de procedeul de partiţionare a intervalului de integrare [ ]ba , în intervale închise parţiale, precum şi de alegerea punctelor iξ . Din punct de vedere geometric, integrala definită este de fapt suma algebrică a ariilor figurilor ce alcătuiesc trapezul curbiliniu format de graficul funcţiei, axa Ox şi dreptele ce mărginesc intervalul închis, după cum se observă în exemplul următor. Să calculăm acum integralele definite cu ajutorul integralelor nedefinite. Dacă funcţia ( )tf este continuă pe intervalul închis [ ]ba , , atunci funcţia:

( ) ( )∫=x

adttfxF ,

este o primitivă a funcţiei ( )xf , adică ( ) ( )xfxF ′= , pentru bxa ≤≤ . Dacă funcţia ( )xf este continuă pe intervalul închis [ ]ba , şi ( ) ( )xfxF =′ , atunci:

( ) ( ) ( )aFbFdxxfb

a−=∫ . (8.3)

Relaţia de mai sus este cunoscută şi sub numele de formula Newton – Leibnitz sau ca formula fundamentală a calculului integral. Primitiva ( )xF se determină calculând integrala nedefinită: ( ) ( )∫ += KxFdxxf . Să analizăm acum principalele proprietăţi ale integralelor definite:

(1) ( ) ( )[ ] ( ) ( )dxxgdxxfdxxgxfb

a

b

a

b

a ∫∫∫ ±=± ; (8.4)

(2) ( ) ( )dxxfkdxxkfb

a

b

a ∫∫ = , constant=k ; (8.5)

(3) ( ) 0=∫ dxxfa

a; (8.6)

TEMA 8: INTEGRALE DEFINITE 71

(4) ( ) ( )dxxfdxxfa

b

b

a ∫∫ −= ; (8.7)

(5) ( ) ( ) ( )dxxfdxxfdxxfb

c

c

a

b

a ∫∫∫ += , bca ≤≤ , f continuă în c. (8.8)

În definiţiile de până acum, limitele intervalului de integrare au fost finite. Să investigăm în continuare aşa-numitele integrale improprii în care una sau ambele limite ale intervalului de integrare sunt infinite. Dacă funcţia ( )xf nu este mărginită într-o vecinătate a punctului [ ]bac ,∈ şi dacă este continuă pentru cxa <≤ şi bxc ≤< , atunci:

( ) ( ) ( )dxxfdxxfdxxfb

c

c

a

b

a ∫∫∫ +→

−

→+=

εε

ε

ε 00limlim . (8.9)

Dacă limitele din membrul drept al relaţiei (8.9) există şi sunt finite, atunci integrala improprie se spune că este convergentă, în caz contrar fiind divergentă. Dacă funcţia ( )xf este continuă pentru ∞<≤ xa , avem, prin definiţie:

( ) ( )dxxfdxxfb

aba ∫∫ ∞→

∞= lim , (8.10)

şi în funcţie de existenţa sau nu, în membrul drept, a unei limite finite, integrala este convergentă sau divergentă. De aceeaşi manieră avem:

( ) ( )dxxfdxxfb

aa

b

∫∫ −∞→∞−= lim , (8.11)

precum şi:

( ) ( )dxxfdxxfb

aba ∫∫

+∞→−∞→

+∞

∞−= lim . (8.12)

Pentru rezolvarea integralelor definite vom utiliza metodele de schimbare de variabilă şi de integrare prin părţi similare celor de la integralele nedefinite. Dacă funcţia ( )xf este continuă pe intervalul închis [ ]ba , şi ( )tx ϕ= şi derivata sa ( )tϕ′ sunt continue pe intervalul închis [ ]βα , , unde ( )αϕ=a şi ( )βϕ=b , iar ( )[ ]tf ϕ este

continuă pentru βα ≤≤ t , atunci pentru schimbarea de variabilă în integrala definită avem:

( ) ( )[ ] ( )dtttfdxxfb

aϕϕ

β

α′= ∫∫ . (8.13)

Dacă funcţiile ( )xu şi ( )xv sunt derivabile pe intervalul închis [ ]ba , , atunci pentru integrarea prin părţi în integrala definită avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxuxvxvxudxxvxub

a

b

a

b

a ∫∫ ′⋅−⋅=′⋅ . (8.14)

Pentru evaluarea integralelor definite se utilizează aşa-numita teoremă de medie. Dacă ( ) ( )xFxf ≤ pentru bxa ≤≤ , atunci are loc relaţia:

( ) ( )dxxFdxxfb

a

b

a ∫∫ ≤ . (8.15)

Dacă ( )xf şi ( )xϕ sunt funcţii continue pe intervalul închis [ ]ba , şi în plus ( ) 0≥xϕ , atunci are loc proprietatea:

72    MODULUL 4: MODELE DE CALCUL INTEGRAL 

( ) ( ) ( ) ( )dxxMdxxxfdxxmb

a

b

a

b

a ∫∫∫ ≤⋅≤ ϕϕϕ , (8.16)

unde m este cea mai mică valoare, iar M cea mai mare valoare a funcţiei ( )xf pe intervalul [ ]ba , . În particular, dacă ( ) 1≡xϕ ,avem formula de medie:

( ) ( ) ( )abMdxxfabmb

a−≤≤− ∫ . (8.17)

Prin definiţie, dacă ( )xf este continuă pe [ ]ba , , atunci numărul:

( )dxxfab

b

a∫−=

1μ . (8.18)

se numeşte valoarea medie a funcţiei ( )xf pe intervalul închis [ ]ba , .

8.2 Ariile figurilor plane 

Una din cele mai uzuale aplicaţii ale integralelor definite este la calculul ariilor figurilor plane determinate de una sau mai multe funcţii. Dacă avem în planul axelor de coordonate o funcţie continuă ( )xfy = , cu ( ) 0≥xf , atunci aria trapezului curbiliniu limitat de această funcţie, de dreptele ax = şi bx = , precum şi intervalul [ ]ba , de pe axa Ox este dată de:

( )∫=b

adxxfS . (8.19)

Dacă rata de creştere în raport cu timpul, ( )tf ′ , a unei funcţii (cum ar fi suma de bani la dobânda compusă) este cunoscută, atunci integrala acestei rate de creştere conduce la funcţia ( )tf (care pentru exemplul dat, furnizează valoarea acumulată). Valoarea funcţiei ( )tf la

momentul kt = reprezintă suma totală la momentul k, iar valoarea pentru 0=t este suma de bani la începutul perioadei de timp. Astfel, creşterea totală în perioada [ ]k ,0 este:

( ) ( )0fkf − .

Această valoare poate fi determinată prin evaluarea integralei definite:

( )∫ ′k

dttf0

.

Pentru rate de creştere pozitive, integrala definită de mai sus (şi creşterea) este aceeaşi cu aria de sub graficul lui ( )tf ′ de la 0=t la kt = . Un rezultat fundamental din teoria probabilităţilor este acela că pentru a fi o distribuţie de probabilitate continuă, aria de sub funcţia de densitate de probabilitate pe tot domeniul de definiţie trebuie să fie egală cu 1. De asemenea, avem relaţia:

{ } ( )dxxfxxx

∫ ∞−=≤ 0

0Prob , (8.20)

adică aria de sub funcţia de densitate de probabilitate de la limita inferioară a domeniului şi până la 0x .

TEMA 8: INTEGRALE DEFINITE 73

Să analizăm acum aria dintre graficele a două funcţii. Dacă ( )xf şi ( )xg sunt funcţii continue pe intervalul [ ]ba , şi pe acest interval ( ) ( )xgxf ≥ , atunci aria regiunii mărginite de

( )xfy = , ( )xgy = , ax = şi bx = este:

( ) ( )[ ]∫ −=b

adxxgxfS . (8.21)

În anumite situaţii ne interesează să determinăm regiunea închisă cuprinsă între două curbe. Pentru aceasta determinăm punctele de intersecţie dintre cele două curbe şi apoi aplicăm formulele pentru determinarea ariei.

8.3 Aplicații economice ale integralelor definite 

8.3.1 Surplusul consumatorului 

Să presupunem că cererea pentru un produs este dată de funcţia ( )xfp = , în timp ce oferta pentru acelaşi produs este descrisă de funcţia ( )xqp = . Preţul 1p în care graficul acestor funcţii se intersectează este preţul de echilibru, aşa după cum se observă în Figura 8.7. După cum arată funcţia de cerere, anumiţi consumatori (dar nu toţi) vor fi dispuşi să plătească mai mult decât valoarea 1p pentru produs. De exemplu, anumiţi consumatori vor dori să cumpere 3x unităţi dacă preţul este 3p . Acei consumatori care sunt dispuşi să plătească mai mult decât 1p pot beneficia de preţuri mai mici. Câştigul total al tuturor acestor consumatori dispuşi să plătească mai mult decât preţul de echilibru 1p se numeşte surplusul consumatorului şi este reprezentat prin aria haşurată din Figura 8.1.

Figura 8.1: Surplusul consumatorului

Dacă funcţia de cerere are ecuaţia ( )xfp = , surplusul consumatorului este dat de aria dintre ( )xf şi axa Ox, de la 0 la x, minus aria dreptunghiului notat VT (venit total), respectiv:

( ) 110xpdxxfSC

x−= ∫ . (8.21)

Să notăm că 11xp este aria dreptunghiului care reprezintă venitul total (VT), aşa cum se poate observa din Figura 8.2.

Cererea

Oferta

x

p1

p2

p3

x1x2x3

Surplusul consumatorului

74    MODULUL 4: MODELE DE CALCUL INTEGRAL 

Figura 8.2: Surplusul consumatorului şi venitul total

8.3.2 Surplusul producătorului 

Atunci când un produs este vândut la preţul de echilibru, anumiţi producători vor avea de asemenea profit, vânzând produsele la un preţ mai mic. Aria dintre dreapta 1pp = şi funcţia de ofertă (de la 0=x până la 1xx = ) furnizează surplusul producătorului, aşa cum se observă în Figura 8.3, unde surplusul producătorului este aria haşurată, iar punctul de echilibru este ( )11, pxE .

Figura 8.3: Surplusul producătorului

Dacă funcţia de ofertă este ( )xgp = , atunci surplusul producătorului este dat de aria dreptunghiului 11EpOx , din care se scade aria dintre graficul funcţiei de ofertă ( )xgp = şi axa Ox, de la 0=x până la 1xx = , adică:

( )∫−= 1

011

xdxxgxpSP . (8.22)

Să notăm, de asemenea, faptul că 11xp reprezintă venitul maxim în punctul de echilibru.

p

Cererea

Venitul total

x

p1

x1

Surplusul consumatorului

VT

SC

Cererea

Oferta

x

p1

x1

Surplusul producătorului

SP

O

E(x1, p1)

TEMA 8: INTEGRALE DEFINITE 75

8.3.3 Fluxuri continue de încasări 

În anumite ramuri economice profiturile depind de încasări de resurse financiare care afluesc în mod continuu. În industria petrolieră, de exemplu, profiturile depind de cantitatea de petrol ce poate fi extrasă dintr-o anumită sondă. Considerăm în acest caz că sonda generează un flux continuu de încasări pentru compania petrolieră ce o deţine. Deoarece sonda se uzează , iar sursa de petrol se epuizează în timp, fluxul continuu de încasări va fi o funcţie de timp. Să presupunem că ( )tf este rata anuală a fluxului de încasări. Atunci încasările totale (IT) pe o durată de k ani sunt date de relaţia:

( )∫=k

dttfIT0

. (8.23)

Pentru un flux continuu de încasări ne interesează şi valoarea sa actuală. Valoarea actuală este importantă în deciziile de înlocuire a echipamentelor sau cele de alegere a unui nou echipament. Pentru a afla valoarea actuală a unui flux de încasări cu rata ( )tf , trasăm mai întâi graficul funcţiei ( )tf şi apoi divizăm intervalul [ ]k,0 în n diviziuni (subintervale) de mărime

itΔ , ni ,1= . Valoarea totală a încasării este aria de sub grafic între 0=t şi kt = . Vom aproxima cantitatea de încasat pe fiecare subinterval prin aria dreptunghiului În modelele de matematici financiare, valoarea finală S pentru o sumă iniţială 0S este investită pentru t ani cu o rată anuală a dobânzii r, compusă în mod continuu, este:

rteSS ⋅= 0 .

Atunci valoarea actuală a unei anuităţi (o sumă plătită sau încasată anual) care constă dintr-o singură plată finală S după t ani este:

rtrt eS

eSS −⋅==0 .

Valoarea lui S pe intervalul i este ( ) irtiii ettfS −⋅Δ⋅= . Atunci valoarea totală a lui S

poate fi aproximată prin suma:

( )∑=

−⋅Δ⋅n

i

rtii

iettf1

.

Această aproximare devine din ce în ce mai exactă pe măsură ce 0→Δ it , iar valoarea actuală devine:

( )∑=

−

→Δ⋅Δ⋅

n

i

rtiit

i

i

ettf10

lim .

Această limită ne furnizează de fapt valoarea actuală, ca fiind o integrală definită. Dacă ( )tf este rata unui flux continuu de încasări, cu rata anuală a dobânzii r, compusă în mod

continuu, atunci valoarea actuală a unui flux continuu de încasări este:

( ) dtetfSk rt∫ −⋅=

00 ,

unde [ ]k,0 este intervalul de timp.

76    MODULUL 4: MODELE DE CALCUL INTEGRAL 

8.4  Concepte cheie 

Sumă integrală

Integrală definită

Fomula Newton-Leibnitz

Integrală improprie

Teoremă de medie

Aria unei figuri plane

Surplusul consumatorului

Surplusul producătorului

Flux continuu de încasări

Valoare actuală a unei anuităţi