Scheme clasice de probabilitate

1.Schema binomiala – Bernoulli cu bila intoarsa

Daca evenimentele independente Ai au aceia¸si probabilitate de realizare pi = p, qi = 1 − p =

q, i = 1 , n atunci probabilitatea sa se realizeze k din cele n evenimente (si sa nu se realizeze n −

k) este coeficientul lui xk din polinomul (px + q)ⁿ, adica (nk)pk qn−k.

In general, daca A este un eveniment legat de o experienta si P(A) = p si daca repetam de n

ori experienta, atunci probabilitatea ca A sa se realizeze de k ori (prin abuz de limbaj am

considerat A ın loc de Ai , i = 1 , n) este (nk )pk qn−k, unde q = 1 − p.

Modelul schemei lui Bernoulli cu bila ıntoarsa este dat de o urna cu a bile albe si b bile negre,

din care efectuam n extrageri, punand dupa fiecare extragere bila ınapoi ın urna. Probabilitatea ca

sa obtinem la o extragere o bila alba este p = a

a+b .

Conform celor aratate mai sus probabilitatea ca ın n extrageri sa obtinem k bile albe si n − k

bile negre este (nk)pk qn−k.

2.Schema binomiala – Bernoulli cu bila neintoarsa

Dintr-o urna ın care sunt a bile albe si b bile negre (a + b = N) se extrag n bile, n ≤ N, fara a se

puna dupa fiecare extragere bila ınapoi ın urna.

Notam cu α numarul de bile albe obtinut la n extrageri. Evident α ≤ n, α ≤ a, deci max

(0, n − b) ≤ α ≤ min{a, n}.

Probabilitatea ca din n extrageri efectuate ın modul aratat mai sus sa obtinem α bile albe este

Pn(α) = (aα)( b

n−a)(N

n )

Numarul de cazuri posibile este (Nn ) (N bile ın urna, din care se extrag n).

Numarul de cazuri favorabile se obtine astfel: avem (aα) bile albe care se combina cu bile

( bn−α) negre, adica (a

α)( bn−α).

3.Bernoulli mai multe stari

Sa consideram sistemul complet de evenimente A1, A2, . . . , An si o experienta la care apare

unul dintre aceste evenimente.

Deci P(Ai) = pi, s ∈ N, i = 1 , s si ∑i=1

s

pi=1.

Se repeta experienta ¸stiind ca la fiecare repetare probabilitatile pi , i = 1 , s raman

neschimbate. Se cere sa se calculeze probabilitatea ca ın n experiente (probe) evenimentul Ai sa

apara de ki ori, i =1 , s. In acest caz avem∑i=1

s

ki=n. Modelul pentru acest experiment poate fi o

urna cu bile avand s culori precizate.

Prin rationamente asemanatoare cu cele de la schema binomiala cu doua stari se obtine P(n;

k1, k2, . . . , ks ) = n!

k 1! k2 !…ks ! p1k 1 p2

k 2 …. psks . Daca vom considera experienta prin care vom

extrage n bile dintr-o urna ce contine N1 bile de culoarea 1, N2 bile de culoarea 2, . . ., Ns bile de

culoarea s, s ∈ N, fara sa mai introducem bila extrasa ın urna, se poate calcula probabilitatea de a

extrage k1 bile de culoarea 1, k2 bile de culoarea 2, . . ., ks bile de culoarea s cu formula

P(n; k1, k2, . . . , ks ) = (N 1

k 1 )(N 2k 2 )…(Ns

ks)

(N 1+N 2+…Nsk 1+k 2+…ks

) , unde ∑ s i=1 ki = n.

Aplicatie:

Sa presupunem ca avem o urna cu 5 bile albe, 10 bile negre si 4 bile rosii. Care este

probabilitatea ca din 6 extrageri sa obtinem 2 bile albe, 2 bile negre si 2 bile rosii:

a) punand de fiecare data bila extrasa ınapoi ın urna;

b) fara a pune bila extrasa ınapoi ın urn˘?

Fie evenimentele:

A1 — extragerea unei bile albe;

A2 — extragerea unei bile negre;

A3 — extragerea unei bile rosii. Pentru aceste evenimente avem

p1 = P(A1) = 5

19 ,

p2 = P(A2) = 1019 ,

p3 = P(A3) = 4

19 .

a) P(6; 2, 2, 2) = 6 !

2!2 !2 ! ( 519 )²( 10

19 ) ² ( 419 )²

b) P(6; 2, 2, 2) = (52)(10

2 )(42)

(106 )

4.Hipergeometrica – bila neintoarsa

Se considera o urna ce contine N=a+b bile de doua culori, a bile albe si b bile negre. Se

extrag bile din urna, una cate una, fara intoarcerea bilei in urna. Vrem sa calculam probabilitatea

ca din n bile extrase k sa fie de culoare alba.  

Pentru a calcula aceasta probabilitate, folosim definitia clasica a probabilitatii. Anume,

exista  CNa  posibilitati de a extrage n bile din totalul celor N cate sunt in urna la inceput.

Numarul cazurilor favorabile este dat de numarul modurilor de a obtine k bile albe din

cele a bile albe ce exista la inceput in urna, adica Cak respectiv de numarul modurilor de a

obtine n-k bile negre din cele b bile negre cate exista in urna la inceput si care este  Cba−k.

Avem astfel ca probabilitatea  P(n,k) de a se extrage k bile albe in n extrageri este data de

formula

P(n,k) = Ca

k C ba−k

CNa

In mod necesar avem ca: a≥k

b≥n-k

a+b≥n

5.Pascal

Se considera o experienta ın care pot sa apara doar doua evenimente A (succes) ¸si Ā

(insucces) cu probabilitatile de aparitie p ¸si respectiv q.

Vom nota cu Sn numarul insucceselor pana la al n-lea succes. Se cere probabilitatea realizarii

evenimentului (Sn = k), ın ipoteza ca experimentele sunt independente.

Evenimentul S = (Sn = k) se poate scrie sub forma S = U ∩ V, unde U este evenimentul ca

din n + k − 1 probe sa se realizeze de n − 1 ori A ¸si de k ori Ā, iar V este evenimentul ca la

proba n + k sa se realizeze A.

Evident P(V ) = p si P(U) = ( n+k−1k )pn−1 qk (am aplicat schema lui Bernoulli cu bila

ıntoarsa). Deoarece U si V sunt independente deducem

P(S) = P(U ∩ V ) = P(U)P(V ) = ( n+k−1k )pn qk ·

Aceasta probabilitate este coeficientul lui xk din dezvoltarea lui ( p1−qx )²

6.Schema lui Poisson

Daca A1, A2, . . . , An sunt evenimente independente, atunci probabilitatea ca sa se realizeze

k din cele n evenimente (si sa nu se realizeze n − k) este coeficientul lui xk din polinomul ( p1x +

p1) (p2x+ p2). . .(pnx + pn), unde P(Ai) = pi , q i = 1 − pi , i = 1, n.

Fie A evenimentul a carui realizare ınseamna realizarea a k din cele n evenimente.

Pentru a se realiza A trebuie sa se realizeze k din evenimentele Ai (Ai1 , Ai2 , . . . , Aik ) si

Aik+1 , . . . , Ain sa nu se realizeze, adica sa se realizeze unul din evenimentele de forma

Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik ∩ . . . ∩ Aik+1 ∩ . . . ∩ Ain , adica A este se poate scrie ca o reuniune de

evenimente incompatibile A = [ Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik ∩ . . . ∩ Aik+1 ∩ . . . ∩ Ain .

Multimea {i1, . . . , ik } parcurge familia submultimilor de indici {1, . . . , n} avand k elemente.

Obtinem P(A) = ∑pi1 pi2 . . . pik qik+1 . . . qin, adica coeficientul lui x k din (p1x + q1)(p2x +

q2). . .(pnx + qn).