UNIVERSITATEATRANSILVANIABRASOVDEPARTAMENT: INVAT AMANTLADISTANT A(DID)FACULTATEA:MATEMATICA-INFORMATICASPECIALIZAREA:INFORMATICA,ANULIIMARINMARINSISTEMEDINAMICEBRASOV-2007Prof. univ. dr. MarinMarinSISTEME DINAMICEAnulUniversitar2007-2008Cuprins1 Ecuat iidirectintegrabile 31.1 Scurtaintroducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Ecuat iidiferent ialeordinare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Ecuat iidiferent ialedeordinulI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Ecuat iicuvariabileseparabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Ecuat iiomogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Ecuat iireductibilelaecuat iiomogene. . . . . . . . . . . . . . . 91.7 Ecuat iicudiferent ialatotalaexacta. . . . . . . . . . . . . . . . 112 Ecuat iilinearesicuparametru 132.1 Ecuat iideordinulIliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Ecuat iireductibilelaecuat iiliniare . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Ecuat iiBernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Ecuat iiRiccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5 Ecuat iidiferent ialecuparametru . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6 Ecuat iaLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7 Ecuat iaClairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.8 TeoremaluiPicard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Ecuat iideordinsuperior 253.1 Ecuat iiliniaredeordinsuperior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Ecuat iilineareneomogene 334.1 Ecuat iineomogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 Ecuat iicucoecient iconstant i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3612 CUPRINS4.3 Ecuat iideordinulnneomogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.4 Ecuat iidiferent ialedetipEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 Sistemedeecuat iidiferent iale 415.1 Sistemedeecuat iidiferent ialeliniare . . . . . . . . . . . . . . . 415.2 Sistemecucoecient iconstant i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 Sistemeautonome 496.1 Sistemeautonomedeecuat iidiferent iale . . . . . . . . . . . . . 496.2 Sistemediferent ialesimetrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527 Ecuat iicuderivatepart iale 577.1 Ecuat iicuderivatepart ialedeordinulI. . . . . . . . . . . . . . 577.2 ProblemaCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.3 Ecuat iicuderivatepart ialedeordinulIcvasiliniare . . . . . . . 617.4 Ecuat iicuderivatepart ialedeordinulIneliniare . . . . . . . . 638 Stabilitate 678.1 Not iunidestabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678.2 Stabilitateasolut iilorecuat iilordiferent iale . . . . . . . . . . . . 708.3 Stabilitatea nsensLiapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729 Temeaplicative 759.1 Ecuat iidiferent ialeelementare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759.2 Ecuat iiliniare sireductibilelaliniare . . . . . . . . . . . . . . . 899.3 Ecuat iicuparametru. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949.4 Ecuat iideordinsuperior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Lect ia1Ecuat iidirectintegrabile1.1 ScurtaintroducereObiective:1. Prezentareanot iunilordebazaaleteorieiecuat iilordiferent iale,aprin-cipalelorproblemecaresepun naceastateorie.2. Sunt prezentateprincipaleletipuri deecuat ii diferent ialedeordinul I,pentruecare nparteesteexpusalgoritnul derezolvare.3. Esterezolvat complet cateunexempludeecuat iediferent ialaconformcualgoritmul expuslateorie.DisciplinaEcuat ii diferent ialeesteunadinrecelemaivechisimaiam-pleramurialematematicii. Terminologia,metodelesitehniciledelucrupen-trudemonstrat ii derezultateteoreticeprecumsi pentrurezolvareaefectivaaecuat iilor diferent iale, sebazeazapeelementelavarf dinalteramuri alematematicii, precum Analiza matematica clasica, Topologie, Geometrie diferen-t iala,Mecanica,etc.Abordareaecuat iilordiferent ialeesteuneori ngreunatamaialesdefaptulcasuntnecesarenot iuni sirezultatedelafrontieradisciplinelorenumerate.Aproapecanuexistafenomennzica, mecanica,ntehnicangeneral34 LECT IA1. ECUAT IIDIRECTINTEGRABILEsi, si mai general,noricedomeniual stiint elornaturii, caresanupoatamodelatprintr-oecuat iediferent iala.Simplicat spus, oecuat iediferent ialaesteoecuat iencarefunct iane-cunoscutaaparemacarsuboderivata. Deci, necuat iarespectivaapareatatfunct ianecunoscutacatsi derivataei. Ordinul maximdederivaresubcareaparefunct ianecunoscutaesteordinulecuat iei. Astfel,vomspunecaavemoecuat iediferent ialadeordinulI,II,etc.,daca necuat iadiferent ialarespec-tivaaparedoarderivata ntaiafunct ieinecunoscute,derivataadoua,etc.Daca funct ia necunoscuta dintr-o ecuat ie diferent iala depinde de o singuravariabilaindependenta, spunemcaavemoecuat iediferent ialaordinara,iardacafunct ianecunoscutadepindedemai multevaribile, spunemcacareavemoecuat iediferent ialacuderivatepart iale.Dacantr-o ecuat ie funct ia necunoscuta apare subo integrala, avemoecuat ie integrala.In sfarsit, daca funct ia necunoscuta apare si sub o derivatasisubointegrala,spunemcaavemoecuat ieintegro-diferent iala.Exemple.1)Ecuat iediferent ialaordinara:mx

= F(t, x), x = x(t), t [a, b];2)Ecuat iediferent ialacuderivatepart iale:P(x, y)ux+Q(x, y)uy= R(x, y) u = u(x, y), (x, y) R2;3)Ecuat ieintegrala:x(t) +_t0k(, x)x()d= 0, t [0, a], = parametru;4)Ecuat ieintegr-odiferent iala:x(t) + x = _t0k(, x)x()d, t [0, a], , = parametri;1.2. ECUAT IIDIFERENT IALEORDINARE 51.2 Ecuat iidiferent ialeordinareOecuat iediferent ialaordinaraareformageneralaF_x, y(x), y

(x), y

(x), ..., y(n)(x)_ = 0,unde x [a, b], y(k)(x) =dkydxk.Funct iaF,caredepindeden + 2variabile,F: R, Rn+2,estecunoscutasisucientderegulatapentruapermiteoperat iilecaresefacasupraeipentruarezolvaecuat ia. CazulcelmaisimpluesteF (x, y(x), y

(x)) = 0, y= y(x), x [a, b], F: R, R3.In mod uzual, ecuat iile diferent iale sunt puse sub forma normala, n careseexpliciteazaderivatadeordinmaximy(n)(x) = f_x, y(x), y

(x), ..., y(n1)(x)_,sau, ncazulparticular1dimensional,demaisus,y

(x) = f (x, y(x)) . (1.1)Incontinuare, nafaraunei precizari exprese, se fac considerat ii numaiasupraecuat iilordeforma(1.1).Senumestesolut ieaecuat ieidiferent iale(1.1),ofunct ie : (a, b) R, C1(a, b),care nlocuita necuat ia(1.1)otransformapeaceasta nidentitate,deciF (x, (x),

(x)) 0.6 LECT IA1. ECUAT IIDIRECTINTEGRABILEConsideram,caunexemplufoartesimplu,ecuat iadiferent ialay

(x) = x2, saudydx= x2.Prinintegraredirecta,seobt inesolut iay(x) =x33+C, C= constanta, ; C R.Exemplul dat oferasi unexemplude solut ie, si o metoda de rezolvare aunei ecuat ii diferent ialesi,nplus, anticipeazasi faptul caoaceiasi ecuat iediferent ialapoateaveamaimultesolut ii,caresuntnumitecurbeintegrale,denumiresugeratademodul ncareaufostobt inutesolut iile, adicaprinin-tegrare. Mult imeasolut iilor estegeneratadevariat iaconstantei C, numitaconstantadeintegrare.CandconstantaCnuesteprecizata, spunemcaavemsolut iagenerala.Prinparticularizarea constantei Cse obt insolut ii particulare. Daca oecuat iediferent ialaadmiteosolut iecarenuseobt ineprinparticularizareaconstanteiC,atuncispunemcaavemosolut iesingulara.Principalele probleme care se urmaresc, atunci cand se abordeaza o ecuat iediferent iala,sunt:i) existent a solut iei, adica n ce condit ii o ecuat ie diferent iala admite macarosolut ie;ii) unicitatea solut iei, adica ce trebuie pretins suplimentar unei ecuat iidiferent ialepentrucaaceastasaadmitanumaiosolut ie;iii) construct ia efectiva a solut iei. Termenul este folosit pentru a surprindemetodaprincareestedeterminatasolut iaecuat ieidiferent iale.Omodalitateconcretaprincareseeliminaarbitrariuldinsolut iageneralaa unei ecuat ii diferent iale consta n a obliga curba integrala sa treaca printr-unpunctprecizatdinplan(x0, y0), deci y0=y(x0). Astfel constantaCcapatavaloareconcreta sisolut iadevineunica.Inmodresc, ncazul general al unei ecuat ii diferent ialedeordinul n,curbele integrale depind de n constante de integrare si atunci pentru eliminarealorsuntnecesarecondit iisuplimentare.Condit iilesuplimentarecareseimpununei ecuat ii diferent ialepentrude-terminareaconstantelordeintegraresenumesccondit iiCauchy.1.3. ECUAT IIDIFERENT IALEDEORDINULI 7Se numeste ProblemaCauchy, problema integrarii unei ecuat ii diferent -iale sideterminareaconstantelordeintegrare.Precizamacum, pescurt, caresuntalteproblemecaresepun nstudiuluneiecuat iidiferent iale.1) Odata ce am demonstrat existent a si unicitatea solut iei pentru o ecuat iediferent iala, se pune problema determinarii intervalului maxim pe care aceastaestedenita. Apareastfelnot iuneadesolut iesaturata.2) Se poate pune problemadacasolut iaeste denitape uninterval njurulpunctuluixat nproblemaCauchy,saudacaestedenitapeosemiaxancepanddelaacelpunct,sau,chiarpe ntreagaaxaanumerelorreale.3)Sepoateapoiurmaricareestelegatura ntreschimbareaunordatedinecuat ia diferent iala, sau a condit iei Cauchy, si schimbarea solut iei. Apare astfelnot iuneadedependent acontinuadedate.4)In cazul n care solut ia unei ecuat ii diferent iale este denita pe o semiaxa,saupeaxa ntreaga,sepuneproblemacomportariisolut ieilainnit.1.3 Ecuat iidiferent ialedeordinulIDupacums-aprecizatmai sus,ncazul acestorecuat ii diferent iale, funct ianecunoscuta apare doar sub derivata de ordinul ntai. Forma generala a aestorecuat iidiferent ialeesteF (x, y(x), y

(x)) = 0, sau y

(x) = f (x, y(x)) ,ncarefunct iafestedata sisucientderegulatapentruapermiteoperat iilematematicecesefacasupraeipentruaintegraecuat iadata.In cele ce urmeaza expunem catalogul celor mai cunoscute ecuat ii diferent ialedeordinulIcaresuntdirectintegrabile,prinsimplecuadraturi.8 LECT IA1. ECUAT IIDIRECTINTEGRABILE1.4 Ecuat iicuvariabileseparabileSuntaceleecuat iidiferent iabilepentrucarefunct iadinmembruldreptauformaf(x, y(x)) = g(x)h(y),deciy

(x) =dydx= f(x, y(x)) = g(x)h(y).Solut iaseobt inefoarteusor,dupaseparareavariabilelor,dupacumurmeazadyh(y)= g(x)dx y_y0dsh(s)=x_x0g(s)ds G(y(x)) G(y0) =x_x0g(s)ds y(x) = G1__G(y0) +x_x0g(s)ds__.Exemplu.y

=xy(1 +y2)1 +x2.Procedandca ncazulteoretic,obt inem:dyy(1 +y2)=x1 +x2dx _1y y1 +y2_dy=x1 +x2dx lny 12ln(1 +y2) =12(1 +x2) + lnC y21 +y2= C(1 +x2).1.5 Ecuat iiomogeneSa reamintim mai ntai ca o funct ie f= f(x, y) este numita funct ie omogenadegradn, nsensEuler,dacasatisfacerelat iaf(tx, ty) = tnf(x, y), t 0.1.6. ECUAT IIREDUCTIBILELAECUAT IIOMOGENE 9Incazul particularcandn=0seobt inefunct iaomogenadegrad0, sau,simplu, omogena: f(tx, ty)=f(x, y). Relat iaestesimilarapentruofunct iedenvariabilef= f(x1, x2, ..., xn).O ecuat ie diferent iala y

= f(x, y) se numeste omogena daca funct ia mem-brudreptestefunct ieomogenadegrad0, insensEuler. Pentrurezolvareaunei astfel deecuat ii, sedafactorcomunxsi sefaceschimbareadefunct ienecunoscuta:y/x = u(x)sauy= xu(x). Seobt ineonouaecuat iediferent ialanfunct ianecunoscutau=u(x)careesteoecuat iediferent ialacuvariabileseparabile.Exemplu.xy

y= xtgyx.Putemsascriem:dydx=yx+ tgyxCuschimbareadefunct iey =xu(x),ncarederivamnraport cux, deci,y

=u + xu

, seobt ineecuat iaxu

(x) =tgu, careestecuvariabilesepara-bile. Acesta se rezolva dupa modelul de mai sus, se obt ine funct ia u(x) si apoiy(x) = xu(x).1.6 Ecuat iireductibilelaecuat iiomogeneAuformageneralay

= f_a1x +b1y +c1a2x +b2y +c2_.Sedistingtreicazuri:10 LECT IA1. ECUAT IIDIRECTINTEGRABILEi)c21 +c22= 0,decic1= c2= 0 siatunciy

= f_a1x +b1ya2x +b2y_ = f_a1 +b1yxa2x +b2yx_ = g_yx_,adicas-aobt inutdirectoecuat ieomogena.ii) Cel put in una dintre constantele c1 si c2 este nenula iar dreptele de ecuat iia1x+b1y +c1= 0 si a2x+b2y +c2= 0 sunt concurente, adica a1b2y a2b1 = 0.Fie(x0, y0)punctuldeintersect iealcelordouadrepte. Sefaceschimbareadevariabilaindependenta sidefunct ienecunoscuta_x = x0 +t dx = dty= y0 +udy= dudydx=dudt= f_a1t +b1u +a1x0 +b1y0 +c1a2t +b2u +a2x0 +b2y0 +c2_ == f_a1t +b1ua2t +b2u_ = g_ut_,adicaamajunslacazuli).iii)Celedouadreptesuntparalele, deci a1b2y=a2b1. Sefaceschimbareanumaidefunct iea2x +b2y= u (1). Atuncia1x +b1y +c1= a1x +a1b2a2y +c1=a1a2u +c1.Derivamacum nrelat ia(1) nraportcux siobt inema2 +b2y

= u

siatunciecuat iadevineu

a2b1= f_a1a2u +c1u +c2_,adicaoecuat iediferent ialacuvariabileseparabile.1.7. ECUAT IICUDIFERENT IALATOTALAEXACTA 111.7 Ecuat iicudiferent ialatotalaexactaAcesteecuat ii diferent ialeauformageneralaP(x, y)dx + Q(x, y)dy=0(1),carepoatescrisa nformadydx=M(x, y)N(x, y),ncaresemnicat ianoilorfunct iiM(x, y) siN(x, y)esteclara.Nu orice ecuat ie de forma (1) este cu diferent iala totala. Condit ia necesarasi sucientacamembrul dreptdin(1)saeodiferent ialatotalaexactaesteca funct iile P(x, y) si Q(x, y) sa admita derivate part iale de ordinul I si acestederivatesasatisfacacondit iaPy=Qx.Acestacondit ieasiguraexistent auneifunct iiF(x, y)astfel ncatdF(x, y) = P(x, y)dx +Q(x, y)dy,ncare P(x, y) =Fx, Q(x, y) =Fy .Atunci ecuat iaecuat iadevinedF(x, y) =0, deundeobt inemF(x, y) =C,adicasolut iaecuat iei diferent ialeesteocurbaintegraladatasubformaim-plicita. Pentruagasi efectivformafunct iei F, xamunpunctA0(x0, y0)siluamunpunctarbitrarA(x, y). DeoareceexpresiaP(x, y)dx +Q(x, y)dyesteodiferent ialatotala, atunciinteralaacesteiexpresii ntreA0siAnudepindededrumul celeuneste, ci numai decapeteleA0si A. Integramatunci ntreA0(x0, y0)si B(x, y0), peundrumparalel cuaxaOx, apoi ntreB(x, y0)siA(x, y),peundrumparalelcuaxaOy. Atunci_AA0P(x, y)dx +Q(x, y)dy=_AA0dF(x, y) = F(x, y) = C.12 LECT IA1. ECUAT IIDIRECTINTEGRABILELect ia2Ecuat iilinearesicuparametru2.1 Ecuat iideordinulIliniareObiective:1. Prezentareaecuat iei diferent ialeliniaradeordinul Isi adouametodederezolvareaacesteia.2. Sunt prezentateprincipaleletipuri deecuat ii diferent ialedeordinul I,care se pot reduce laecuat ii diferent iale liniare (ecuat ii de tipBernoulli siRiccati).3. Sunt prezentatepescurt ecuat iilediferent ialecuparametruprecumsicelemaicunoscuteastfel deecuat ii: ecuat iileLagrangesiecuat iileClairaut.4. Prezentarea rezultatului central al teoriei ecuat iilor diferent iale liniare deordinul I: teorema privind existent a si unicitatea solut iei unei astfel de ecuat ii,teorem adatorataluiPicard.Denumireadeecuat iiliniareestedatadefaptulcalaastfeldeecuat iiatatfunct ia necunoscuta cat si derivata ei apar doar la puterea ntai. Aceste ecuat iiauformagenerala1314 LECT IA2. ECUAT IILINEARESICUPARAMETRU(1) y

+P(x)y= Q(x).Incazul ncareQ(x, y) 0spunemcaavemoecuat ieomogena,deciy

+P(x)y= 0.Vomindicadouametodederezolvareaecuat iei(1).Metoda1.Serezolva ntaiecuat iaomogena, folosindtehnicadelaecuat iilecuvariabileseparabile:y

+P(x)y= 0 dydx= P(x)y dyy= P(x)dx.Deaici,prinintegrare, nambiimembri_yy0dss= _xx0P(t)dt, y0= y(x0) lny lny0= _xx0P(t)dty= y0e_xx0P(t)dtNotamcuC= y(x0) sicuy0(x)solut iageneralaaecuat ieiomogene. Asadary0(x) = Ce_xx0P(t)dt.Pentrudeterminarea solut iei generale a ecuat iei neomogene, vomfolosimetodavariat iei constantele. Asta nseamnacavompresupunecaCdinexpresiasolut iei ecuat iei omogenedevinefunct ie. Vomcautaosolut iepar-ticularaaecuat iei neomogenesubformayp(x) =C(x)y0(x). Funct iaC(x)sedeterminaprinfort areaacestui yp(x)saeefectivsolut iepentruecuat ianeomogena:C

y0 +Cy

0 +PCy0= Q C

y0= Q C

=Qy0_xx0C

(t)dt =_xx0Q(t)y0(t)dt.2.2. ECUAT IIREDUCTIBILELAECUAT IILINIARE 15FolosimacumfaptulcaC(x0)=y0sitinemcontdeexpresialuiy0(x), astfelcaobt inemC(x) = y0 +_xx0Q(t)e_sx0P()ddt yp(x) = e_xx0P(t)dt_y0 +_xx0Q(t)e_sx0P()ddt_.Metoda2.Inmult im nambiimembriaiecuat ieineomogeneinit ialecue_xx0P()dsiobt inemsuccesiv:y

e_xx0P()d+P(x)ye_xx0P()d= Q(x)e_xx0P()ddsx_ye_xx0P()d_ = Q(x)e_xx0P()dIntegramacum nambiimembri:ye_xx0P()dC=_xx0Q(s)e_sx0P()ddsPentru x = x0obt inem y(x0) C= 0 si deci C= y(x0) = y0astfel ca, n nal,solut iadeviney(x) = e_xx0P()d_y0 +_xx0Q(s)e_sx0P()dds_.2.2 Ecuat iireductibilelaecuat iiliniare2.3 Ecuat iiBernoulliAcesteecuat iidiferent ialeauformageneralay

+P(x)y= Q(x)y, = 0 si = 1.16 LECT IA2. ECUAT IILINEARESICUPARAMETRUSaremarcamfaptulcarestrict ia =0, 1nuesteesent iala, esteimpusadoardemetodadeabordareaecuat iilorBernoulli. Daca = 0sau = 1seobt indirectecuat iidiferent ialeliniare.Primulpas nabordareaecuat iilorBernoullieste nmult irea nambiimembriaiformeigeberalecuy,deci:yy

+P(x)y1= Q(x).Sefaceapoischimbareadefunct iey1(x) = z(x),relat ie ncaresederiveazanraportcux siseobt ine(1 )yy

= z

. Atunciecuat iainit ialadevine11 z

+P(x)z= Q(x) z

+ (1 )P(x)z= (1 )Q(x),adicaoecuat iediferent ialaliniara.2.4 Ecuat iiRiccatiSuntecuat iidiferent ialeacarorformageneralaestey

= P(x)y2+Q(x)y +R(x).Pentruaaasolut iageneralaaecuat iilor Riccati, trebuiesasecunoascaosolut ie particulara a lor. Daca nu este data explicit o astfel de solut ie particu-lara, atunci se poate tatona o solut ie particulara, cautand-o de forma funct iilorP(x), Q(x)sauR(x).Inceleceurmeazavompresupunecunoscutaosolut ieparticularapecareonotamcuy1. Pentruareduceoecuat ieRiccati laoecuat ieliniaravomindicadouametode.Metoda1.2.4. ECUAT IIRICCATI 17Se face schimbarea de funct ie z(x) = y(x)y1(x), relat ie din care, prin derivare,conducelaz

= y

y

1. Introducem necuat iaRiccatiinit iala siobt inemz

= Py2+Qy +R (Py21 +Qy1 +R) z

= zPy +zPy1 +zQ z

(2Py1 +Q) z= Pz2,adicaamobt inutoecuat ieBernoulli cu=2, dincaresevaobt ineapoi oecuat ieliniara.Metoda2.Notamcuy1osolut ieparticularaaecuat iei Riccati si facemschimbareadefunct iey(x) = y1(x) +1z(x) y

= y

1z

z2.Introducemnecuat ia init iala si, dupa reducerea termenilor asemenea, seobt inez

z2= P1z2+ 2y1P 1z+Q 1z2.Inaceastaultimaecuat ie nmult imcu z2siobt inemz

+ (2P(x)y1(x) +Q(x)) = P(x).Se observa ca prin metoda a doua se obt ine direct o ecuat ie diferent iala liniara.18 LECT IA2. ECUAT IILINEARESICUPARAMETRU2.5 Ecuat iidiferent ialecuparametruDenumirea este sugerata de faptul ca n rezolvarea acestor ecuat ii se introducentotdeauna un parametru, de obicei notat cu p. De asemenea,solut ia acestorecuat iiareformaparametrica:_x = x(p)y= y(p)Ecuat iile cu parametru sunt usor de recunoscut, caci n locul formei cunoscutey

=f(x, y) eleauformay =f(x, y

). Dupacesefacenotat iay

=poecuat ie cu parametru se transformantr-o ecuat ie diferent iala de un tip anteriorstudiat. Cunotat iay

= pecuat iacapataformay= f(x, p). Avemy

= p dydx= p dy= pdx.Apoidiny= f(x, p) dy=fxdx +fracfpdp.Egalamceledouaexpresiialeluidy:dy=fxdx +fpdp _p fx_dx +fpdp = 0.Aceastaesteoecuat iediferent iala ncarefunct ianecunoscutaestexiarvari-abileestep. Tipul ecuat iei esteunul anteriorstudiat. Solut iavax=(p)iar din y= f(x, p) se va obt ine y= f((p), p) = (p), adica solut ia nala va data n forma parametrica. Sunt consacrate doua tipuri de ecuat ii diferent ialecuparametru: ecuat iaLagrange siecuat iaClairaut.2.6. ECUAT IALAGRANGE 192.6 Ecuat iaLagrange.Areformagenerala(1)y=xf(y

) + g(y

)cucondit iaf(x) =x. Sefacedecinotat iay

=psi atunci din(1)avemy=xf(p) + g(p). Egalam, ca ncazulgeneral,celedouaexpresiipentrudysiobt inemdy=x (xf(p) +g(p)) dx +p (xf(p) +g(p)) dp dy= f(p)dx +xf

(p)dp +g

(p)dp = pdx (f(p) p)) dx + (xf

(p) +g

(p)) dp = 0 (f(p) p)) dxdp+xf

(p) = g

(p) dxdp+f

(p)f(p) px = g

(p)f(p) p.Ultima ecuat ie este o ecuat ie diferent iala lineara, n funct ia necunoscuta x, devariabilap, si deci vadasolut iax=(p). Apoi funct iaysedeterminacuformulay=(p)f(p) + g(p)=(p). Asadar, solut iaecuat iei Lagrangeesteunaparametrica.2.7 Ecuat iaClairautAreformagenerala(1)y=xy

+ g(y

), adicasurprindetocmai situat iaex-ceptata de la ecuat ia Lagrange. Din y

=p obt inemdy =pdxiar diny=xp + g(p)avemdy=pdx + (x +g

(p)) dp.Egalamceledouaexpresiialelui dy si reducem termenul pdx, care apare n ambii membri. Se obt ine ecuat ia(x +g

(p)) dp = 0. Atuncidp = 0deundep = C=constanta. Deciy

= Cdeunde rezulta y= Cx+C1, C1= constanta. Avem astfel un exemplu de solut iesingulara. Pedealtaparte,dinx + g

(p)=0seobt inex= g

(p)=(p)siatunciy= pg

(p) +g(p) = (p),adica,dinnou,solut iaesteparametrica.20 LECT IA2. ECUAT IILINEARESICUPARAMETRUInceleceurmeazavomdemonstraunrezultatcentral nteoriaecuat iilordiferent iale. Este unrezultat calitativcare asigura existent a si unicitateasolut iei pentruproblemaCauchyasociataunei ecuat ii diferent ialeordinare,de ordinul I. Reamintim ca pentru problema Cauchy se xeaza un punct x0 nplan sisenoteazay0= y(x0). DeciproblemaCauchyeste:_y

= f(x, y)y0= y(x0).(2.1)Pentrua>0si b>0seconsideradreptunghiul Ddatdeurmatorul produscartezianD = [x0a, x0 +a] [y0b, y0 +b],adicaD =_(x, y) R2/|x x0| a, |y y0| b_.2.8 TeoremaluiPicardTeorema1Presupunemsatisfacuteipotezele:i)festefunct iecontinuapedomeniul D nambelevariabile;ii)festefunct ieLipschitz nraportcuvariabilay,peD.Atunci,problemaCauchy(1)admiteosolut iey=(x)denitapeintervalul|x x0| h,undeh = min_a,bM_, M= sup(x,y)D|f(x, y)|.Inplus,solut iaproblemeiesteunica.Demonstrat ie. Reamintimdenit iafunct ieiLipschitz:y1, y2 [y0b, y0 +b], L > 0astfel ncat|f(x, y1) f(x, y2)| L|y1y2| , x [x0a, x0 +a].O presupusa solut ie a problemei Cauchy y= (x) trebuie sa satisfaca condit iaCauchy (x0) = y0si nlocuita n ecuat ie o transforma pe acesta n identitate:2.8. TEOREMALUIPICARD 21

(x) = f(x, (x)). Integramaceastaecuat iepeintervalul[x0, x] siobt inem_xx0

()d=_xx0f(, ())d (x) (x0) =_xx0f(, ())d.Folosindcondit iaCauchy,seobt ine(x) = y0 +_xx0f(, ())d. (2.2)Asadar,dacafunct iaesteosolut ieaproblemeiCauchy(2.1)atuncieasat-isfaceecuat iaintegrala(2.2). Vomdemonstraacumsi rezultatul reciprocsianume daca funct ia satisface ecuat ia (2.2), atunci este o solut ie a problemeiCauchy.Intr-adevar,daca n(2.2) nlocuimxcux0seobt ine(x0) = y0 +_x0x0f(, ())d= y0.Apoi, derivamn(2.2), membrucumembrusi folosindregulade derivareaintegralei cuparametru, obt inem

(x) =f(x, (x)), deci satisfacesicondit iaCauchy siecuat iadinproblemaCauchy.Demonstrat ia acestor doua rezultate ne da dreptul ca, n cele ce urmeaza, nloc sa rezolvam problema Cauchy (2.1) vom rezolva ecuat ia integrala (2.2). Cuosugestiedatadeformaecuat iei (2.2)vomconstrui unsirdefunct ii acaruilimitaestetocmai solut iaecuat iei (2.2), deci aproblemei Cauchy(2.1).Inultima parte a demonstrat iei vom arata ca solut ia este unica. Pentru existent asolut ieivomconstrui siruldefunct ii {yn}nNastfel:y1(x) = y0 +_xx0f(, y0)d, yn(x) = y0 +_xx0f(, yn1())d, n 2.Sirulesteconstruitastfel ncat |x x0| h. Searatafaradicultatecasirulestebineconstruit, nsensulcaargumentelefunct ieifsuntdindomeniulD.Demonstramacumca sirulesteconvergent. Folosinddenit ialuiMsifaptulcafestefunct ieLipschitz,obt inemsuccesiv:|y1(x) y0| M(x x0),|y2(x) y1(x)| _x0x|f(, y1() f(, y0)|d L_x0x|y1() y0|d LM_x0x( x0)d= LM(x x0)22.22 LECT IA2. ECUAT IILINEARESICUPARAMETRUSedemonstreazaimediatprininduct iematematica,prinanalogiecucalculeledemaisus,ca:|yn(x) yn1(x)| Ln1M(x x0)nn!.Esteclarca sirulpoatescris nformayn=ynyn1+yn1yn1+...+y1y0+y0=y0+n

k=1(ykyk1) .Atunci sirulynnNpoateprivitca sirulsumelorpart ialealeserieiy0 +

k=1(ykyk1) .Aceastaserieesteconvergentadeoareceestedeoserienumericaconvergenta,sianumedeseria|y0| +

k=1Lk1Mhkk!.Se stie ca sirul sumelor part iale este chiar uniform convergent. Apoi un sir uni-formconvergentareproprietateadeereditate,adicatransmiteproprietat iletermenilorsai si limitei. Deoarecetermenii sirului suntfunct ii continue, de-ducemastfel casi limita sa este funct ie continua. Notamcu(x) limitasirului, deci (x) = limnyn(x). Ne propunemsaaratamcafunct ia(x),astfel denita, estesolut iaproblemei Cauchy(2.1), adicaconformcuprimaparteademonstrat iei, (x)estesolut iaecuat iei(2.2). Dacatrecemlalimitanrelat iadedenit iea siruluiynnNyn(x) = y0 +_xf(, yn1())dobt inem(x) = y0 +_xf(, ())d.2.8. TEOREMALUIPICARD 23Cum(x0) = y0,deducemcasatisfaceecuat ie(2.2). Sademonstramacumunicitattea solut iei. Presupunem, prin reducere la absurd, ca ar mai o funct iecaresasatisfacaproblemaCauchy(2.1),deci siecuat ia(2.2). Atunci(x) = y0 +_xx0f(, ())d.Pedealtaparte,avemyn(x) = y0 +_xx0f(, yn1())d.Dacascademultimeledouarelat ii,obt inem|yn(x) (x)| _xx0|f(, yn1()) f(, ())|d L_xx0|yn1() ()|d L2_xx0|yn2() yn1()|d.Dinaproape naproapeseobt ine, nnal|yn(x) (x)| Ln1Mhnn!.Printrecerelalimitacun deducemcaestelimitasirului {yn}nNsicumlimitaunui siresteunica,deducemca .Observat ie.Indemonstrat iaunicitat iisolut ieiesteesent ialfaptulcafestefunct ie Lipschitz. Daca se renunt a la aceasta ipoteza, atunci problema Cauchyare solut ie, dar aceasta nu mai este unica, asa cum arma si rezultatul urmator,pecare ldamfarademonstrat ie.Teorema2(Peano). ConsideramproblemaCauchy(2.1), formulataca nTeoremaluiPicard, ncare nsafunct iafestedoarcontinua nambelevari-abile(decifnueste sifunct ieLipschitz). Atunciproblema(2.1)arecelput inosolut ie..24 LECT IA2. ECUAT IILINEARESICUPARAMETRULect ia3Ecuat iideordinsuperior3.1 Ecuat iiliniaredeordinsuperior[Ecuat iidiferent ialeliniaredeordinsuperior]Obiective:1. Se prezinta ecuat iile diferent iale de ordin superior cu coecient i variabilisicucoecient iconstant i.2. Pentruecuat iilediferent ialedeordinsuperioromogene,suntprezentatenot iunile de independent a a solut iilor precum si sistemul fundamental de solut iipentruastfel deecuat ii.Denit ia1Se numeste ecuat ie diferent iala de ordinul n liniara si neomogenaoecuat iedeformaan(x)y(n)(x)+an1(x)y(n1)(x)+...+a1(x)y

(x)+a0(x)y(x)=f(x), (3.1)ncarefunct ianecunoscutaestey=y(x), x [a, b]. Coecient ii ecuat ieisimembrul drept sunt funct ii datesi continuepe[a, b], deci ai, fC0[a, b].Dacaf(x) 0,obt inemecuat iaomogena,decian(x)y(n)(x)+an1(x)y(n1)(x)+...+a1(x)y

(x)+a0(x)y(x)=0. (3.2)2526 LECT IA3. ECUAT IIDEORDINSUPERIORPentruformulareaproblemeiCauchy,seadaugacondit iileinit iale:y(x0) = y0, y

(x0) = y1, y(n1)(x0) = yn1, (3.3)n care y0, y1, ..., yn1 sunt cantitat i date, deci cunoscute. Punctul x0 este xatarbitrar, x0 [a, b]. Condit iileinit ialeprecizeaza, deecaredata, valoareainit iala a funct iei necunoscute si ale derivatelor sale pana la ordinul de derivaren 1.Incazul defat aproblemaCauchyesteproblemaformatadinecuat ia(3.1) sicondit iileinit iale(3.3).Denit ia2Senumestesolut ieaproblemeiCauchy,datade(3.1)si(3.3),ofunct ie=(x), x [a, b], Cn[a, b], carevericacondit iileinit iale(3.3)si nlocuita necuat ia(3.1)otransformapeaceasta nidentitate.Introducemoperatoruldiferent ialLprinL = andndxn+an1dn1dxn1+... +a0ddx+a0(3.4)siatunciecuat ia(3.1)capataformamaisimpla(1

) Ly(x) = f(x), x [a, b]Propozit ia1Operatorul diferent ial introdus n(3.4)esteliniar:L(y1 +y2) = Ly1 +Ly2, L(y) = Ly L(1y1 +2y2) = 1Ly1 +2Ly2.Demonstrat ie. Armat iile sunt imediate avandn vedere liniaritatea operat ieidederivare:(f+g)(n)= f(n)+g(n), (f)(n)= f(n).Sa mai remarcam forma mai simpla a ecuat iei omogene, folosind operatorul L,introdus n (3.4), adica Ly(x) = 0. De asemenea, daca y1, y2,..., ynsunt solut iipentruecuat iaomogena, atunci si funct iay =n

i=1Ciyi, undeC1, C2,..., Cnsunt constante, este de asemenea solut ie pentru ecuat ia omogena.Intr-adevar,avemLyi= 0(pentrucayiestesolut ie) si, nbazaliniaritat iiluiL,Ly= L_n

i=1Ciyi_ =n

i=1L(Ciyi) =n

i=1CiL(yi) = 0.3.1. ECUAT IILINIAREDEORDINSUPERIOR 27Denit ia3Funct iiley1, y2,..., ynsenumescliniar independentepeinter-valul [a, b] dacanuexistaocombinat ieliniaraalorfaracatot i coecient iicombinat ieisaenuli,adicadaca1y1 +2y2 +... +nyn= 0 1= 2= ... = n= 0.Exemplu. Funct iile1, x, exsuntliniarindependentepeRcaci dacaavem1+ 2x + 3ex=0, x Ratunci 1=2=3=0.Intr-adevar, damlui xvalorile0, 1si 1si obt inemunsistemliniarsi omogendeecuat iinnecunoscuteleial carui determinantestenenul, deci admitenumai solut iabanala.Denit ia4Senumestewronskianal funct iilory1(x),y2(x),...,yn(x),deter-minantul denitprinW(x) = W (y1(x), y2(x), ..., yn(x)) ==y1(x), y2(x), ... yn(x)y

1(x), y

2(x), ... y

n(x) y(n1)1(x), y(n1)2(x), ... y(n1)n(x)Teorema1Daca funct iile y1(x), y2(x),..., yn(x) sunt liniar dependente, atunciwronskianul lorestenul,deciW(y1, y2, ..., yn) = 0, x [a, b].Demonstrat iePentrucafunct iiley1(x), y2(x),..., yn(x) sunt liniar depen-dente, deducemcaexistacoecient ii1, 2,...,n, nutot inuli, astfel ncatsaavem1y1 +2y2 +... +nyn= 0. Derivamaceastarelat ie,succesiv,membrucumembru, siobt inemsistemuldeecuat ii___1y1 +2y2 +... +nyn= 01y

1 +2y

2 +... +ny

n= 01y(n1)1+2y(n1)2+... +ny(n1)n= 0Amobt inut unsistemliniarsi omogennnecunoscutele1, 2,...,n. Dar,conformcuipoteza,acestsistemadmite sisolut iinenule.28 LECT IA3. ECUAT IIDEORDINSUPERIORDeducemastfelcadeterminantulsistemului(careestetocmaiwronskianulfunct iilory1(x),y2(x),...,yn(x))trebuiesaenul,deciW(x) = 0.Observat ieFolosindnegarea nteoremaanterioara,seobt ineunaltrezultatcare este mai util n aplicat ii decat cel din Teorema 1. Asadar avem urmatorulrezultat.Teorema2Daca x0 [a, b]astfel ncatwronskianul lorestenenul,W (y1(x0), y2(x0), ..., yn(x0)) = 0,atuncifunct iiley1(x),y2(x),...,yn(x)suntliniarindependentepe[a, b].Unrezultatfoarteimportantprivindwronskianul unui sistemdefunct ii estedeurmatoareateorema,datorataluiLiouville.Teorema3(Liouville)Dacaexistaunpunctx0 [a, b]astfel ncatsaavemW(x0) = 0,atunciW(x) = 0, x [a, b].Demonstrat ie. Folosindreguladederivareaunui determinant, seobt ineecuat iadWdx= an1(x)an(x)W(x) dWW= an1(x)an(x)dx.Seintegreazaultimaecuat ie(careestecuvariabileseparabile)peintervalul[x0, x] siseobt ineW(x) = W(x0)e_xx0an1()an()d.Avand nvedereipotezacaW(x0) = 0 sit inandcontcafunct iaexponent ialaestestrictpozitiva,sededucecaW(x) = 0, x [a, b].Observat ie. Avandn vedere rezultatele din ultimele doua teoreme, deducemcadacaunsistemdefunct ii esteliniarindependent ntr-unpunctx0 [a, b]atuncifunct iilesuntliniarindependentpe ntregintervalul[a, b].3.1. ECUAT IILINIAREDEORDINSUPERIOR 29Teorema4Sapresupunemcafunct iile y1, y2, ..., yn, y Cn1[a, b] satisfaccondit iileW(y1, y2, ..., yn) =0peintervalul [a, b] si W(y1, y2, ..., yn, y)=0peintervalul [a, b].AtunciexistaconstanteleCi, i = 1, 2, ..., nastfel ncatsaavemy= C1y1 +C2y2 +... +Cnyn.Demonstrat ie.Inbazaprimeiipoteze,avemy1y2... ynyy

1y

2... y

ny

y(n1)1y(n1)2... y(n1)ny(n1)y(n)1y(n)2... y(n)ny(n)= 0.Putemsascriemy1y2... ynyy

1y

2... y

ny

y(n1)1y(n1)2... y(n1)ny(n1)y(k)1y(k)2... y(k)ny(k)= 0, k = 0, 1, 2, ..., nDezvoltamacestdeterminatdupaultimalinie siobt inem1y(k)1+2y(k)2+... +ny(k)n+0y(k)= 0, (3.5)ncare0estetocmaiwronskianulfunct iilory1,y2,...,ynsicareestenenul, nbazaprimeiipotezeateoremei. Deciputem mpart icu 0 necuat ia(3.5),scrisapentruk = 0 siobt inemy=10y1 +20y2 +... +n0yn. (3.6)Folosindnotat iai(x)0(x)= i(x),relat ia(3.6)deviney= 1y1 +2y2 +... +nyn. (3.7)30 LECT IA3. ECUAT IIDEORDINSUPERIORDemonstrat iase ncheiedacaaratamcaisuntconstante, i = 1, 2, ..., n.Inacestscopderivamsuccesiv n(3.7)si, deecaredatafolosim(3.5)astfel caseobt inesistemuldeecuat ii___

1y1 +

2y2 +... +

nyn= 0

1y

1 +

2y

2 +... +

ny

n= 0

1y(n1)1+

2y(n1)2+... +

ny(n1)n= 0Acestaesteunsistemalgebricliniarsi omogen nnecunoscutele

ial caruideterminant estetocmai wronskianul W(y1, y2, ..., yn =0si atunci sistemuladmitedoarsolut iabanala

i= 0 sidecii= Ci=constant, i = 1, 2, ..., n.Denit ia5Se numeste sistem fundamental de solut ii pentru ecuat ia omogena(3.2),unsistemdefunct iiy1,y2,...,yncareauwronskianul nenul,deciW(y1, y2, ..., yn) = 0.Dupa Teorema 4, daca se cunoaste un sistem fundamental de solut ii y1, y2,...,ynpentruecuat iaomogena(3.2), atunci solut iageneralaaacestei ecuat ii estey= C1y1 +C2y2 +... +Cnyn,undeCisuntconstante, i = 1, 2, ..., n.Exemplu. Fie ecuat ia x2y

2xy

+2y= 0 care are solut iile y1= x, y2= x2.Se constata imediat ca W(y1, y2) = x = 0 pe R\ {0}. Atunci y1 si y2formeazaunsistemfundamental desolut ii pentruecuat iadatasi deci solut iageneralaaecuat ieiestey= C1y1 +C2y2,undeC1siC2suntconstante.In ncheiereaacestui paragraf facemcatevaconsiderat ii asupraproblemeiCauchydatade(3.2) si(3.3).Teorema5Dacapentruecuat ia(3.2)secunoasteunsistemfundamentaldesolut ii, denitepe[a, b], atunci existaosingurasolut ieaacestei ecuat ii caresasatisfacacondit iileinit iale(3.3).Demonstrat ie. DupaTeorema4, dacasecunoasteunsistemfundamentaldesolut ii y1, y2,...,ynpentruecuat iaomogena(3.2), atunci solut iageneralaaacestei ecuat ii estey=C1y1 + C2y2 + ... + Cnyn, undeCisuntconstante,3.1. ECUAT IILINIAREDEORDINSUPERIOR 31i = 1, 2, ..., n. Obligam aceasta solut ie sa verice condit iile init iale si obt inemsistemul___C1y1(x0) +C2y2(x0) +... +Cnyn(x0) = y0C1y

1(x0) +C2y

2(x0) +... +Cny

n(x0) = y1C1y(n1)1(x0) +C2y(n1)2(x0) +... +Cny(n1)n(x0) = yn1Am obt inut un sistem algebric liniar si neomogenn necunoscutele C1, C2,...,Cn.Determinantul sistemului estewronskianul funct iilory1, y2,...,ynsi deci estenenul caci ampresupus cafunst iile y1, y2,...,ynformeazaunsistemfunda-mental desolut ii. Deci sistemul admitesolut ieunica. CumconstanteleC1,C2,...,Cnsuntunice,deducemcasolut iaydemaisusesteunica.Exemplu. Fie ecuat ia y

6y

+11y

6y =0 cusolut iile y1=ex,y2=e2x, y3=e3x. Severicaimediat(cuajutorul wronskianului)caacestefunct ii formeazaunsistemfundamental desolut ii. Atunci solut iageneralaaecuat iei date este y= C1ex+C2e2x+C3e3x. Daca impunem condit iile Cauchyy(0) =y

(0) =0si y

(0) =1obt inemcaproblemaCauchyarecasingurasolut iefunct iay=12exe2x+12e3x.In propozit ia urmatoare, demonstram un rezultat prin care se poate reduceordinuluneiecuat iidiferent iale.Propozit ia2Daca pentru ecuat ia neomogena (3.1) se cunoaste o solut iey1(x),atunciordinul ecuat ieidevinen 1dacasefaceschimbareadefunct iez(x) =y(x)y1(x).Demonstrat ie. Avemsuccesivy= y1z y

= y

1z +y1z

y

= y

1z + 2y

z

+y1z

.32 LECT IA3. ECUAT IIDEORDINSUPERIORPrininduct iematematicaseobt ineimediaty(n)=n

k=0Ckny(nk)1z(k).Aceste derivate se nlocuiesc n ecuat ia (3.1) si se obt ine o ecuat ie n funct ia zcarearecoecientulluiznul,pentrucay1estesolut ieaecuat iei(3.1).Senoteazaapoi z

=usi astfel seobt ineonouaecuat iediferent ialanfunct ianecunoscutaucareareordinuln 1.Exemplu. Fie ecuat ia de ordinul II y

+2xy

2y= 0 cu solut ia y1= x. Facemschimbareadefunct iey(x)=xz(x), calculamderivatelelui y, le nlocuim necuat ie si obt inem noua ecuat ie xz

+2(1+x2)z

= 0. Facem o noua schimbarede funct ie z

(x) = u(x) si obt inem ecuat ia de ordinul I xu

+2(1+x2)u = 0.Lect ia4Ecuat iilineareneomogene4.1 Ecuat iideordinsuperiorneomogeneObiective:1. Esteexpusametodavariat iei constantelor pentruaareaunei solut iiparticularepentruecuat iilediferent ialedeordinsuperiorneomogene.2. Pentruecuat iilediferent ialedeordinsuperioromogene, cucoecient iconstant i, seataseazaecua- t iacaracteristicasi seanalizeazacazurilecandecuat ia caracteristica are radacini reale simple, radacini reale multiple, radacinicomplexesimplesiradacinicomplexeconjugate.3. Pentruecuat iilediferent ialedeordinsuperiorneomogenesuntprezen-tatedouametodepentrudeterminareauneisolut iiparticulre sianumemetodavariat ieiconstantelorsimetodasugestiva.4. Pentruecuat iadiferent ialaEuler, care are coecient ii variabili, esteprezentat algoritmul de reducere a acesteia la o ecuat ie cu coecient i constant i.Forma generala a unei ecuat ii diferent iale de ordinul n liniara si neomogenaesteany(n)(x)+an1y(n1)(x)+...+a1y

(x)+a0y(x)=f(x), (4.1)3334 LECT IA4. ECUAT IILINEARENEOMOGENEundex [a, b].Dacaintroducemoperatoruldiferent ialLprinL = andndxn+an1dn1dxn1+... +a1ddx+a0, (4.2)ecuat iacapataformaLy(x) = f(x). (4.3)Teorema care urmeaza furnizeaza metoda de aare a solut iei generale a ecuat iineomoege.Teorema1Solut ia generala a ecuat iei neomogene se obt ine adunand la solut iageneralaaecuat ieiomogeneosolut ieparticularaaecuat ieineomogene.Demonstrat ie. Deci,dacanotamcuyOsolut iageneralaaecuat ieomogene,cuyposolut iparticularaaecuat ieneomogene siyGsolut iageneralaaecuat ieneomogene,atunciavemdedemonstratrelat iayG= yO +ypFie y(x) o solut ie a ecuat iei neomogene, Ly(x) = f(x). Presupunem cunoscutaosolut ieparticularaaecuat ieineomogene,yp.Facemschimbareadefunct iey(x) = yp(x) +z(x). AtunciavemL(y) = L(yp +z) +L(yp) +L(z),adicaf(x) = f(x) +L(z)astfel ca L(z) = 0,adicazestesolut ieaecuat iei omogene. Daroricesolut ieaecuat iei omogeneareformaz(x)=C1y1 + C2y2 + ... + Cnyn, undey1, y2,...,ynesteunsistemfundamental desolut ii pentruecuat iaomogena. Revenindlaschimbareadefunct iedemai suscay=yp+ C1y1+ C2y2+ ... + Cnynsi demonstrat iasencheie.Urmeaza sa indicam o metoda pentru determinarea unei solut ii particularea ecuat iei neomogene. Cea mai generala metoda este cea propusa de Lagrange,numitametodavariat ieiconstantelor.Teorema2Dacafunct iiley1, y2,...,ynformeazaunsistemfundamental desolut iipentruecuat iaomogena,atunciosolut ieparticularaaecuat ieineomo-geneesteyp(x) = C1(x)y1(x) +C2(x)y2(x) +... +Cn(x)yn(x), (4.4)4.1. ECUAT IINEOMOGENE 35undefunct iileC1(x), C2(x), ..., Cn(x)vericasistemul___y1C

1 +y2C

2 +... +ynC

n= 0y

1C

1 +y

2C

2 +... +y

nC

n= 0y(n2)1C

1 +y(n2)2C

2 +... +y(n2)nC

n= 0y(n1)1C

1 +y(n1)2C

2 +... +y(n1)nC

n=f(x)an(x)(4.5)Demonstrat ie. Deoarece funct iile y1, y2,...,ynformeazaunsistemfunda-mental desolut ii pentruecuat iaomogena, atunci solut iageneralaaecuat ieiomogeneestez(x)=C1y1 + C2y2 + ... + Cnyn ncareCisuntconstante. Fiefunct ia y(x) = C1(x)y1 +C2(x)y2 +... +Cn(x)ynobt inuta din z nlocuind con-stantele Cicu funct iile Ci(x). Aratam ca daca funct iile Ci(x) verica sistemul(4.5), atunciyesteosolut ieparticularaaecuat ieineomogene. Derivamsuc-cesiv nexpresialui ysi, dupacefolosimecuat iilesistemului (4.5), obt inemurmatorulsistem___y= C1y1 +C2y2 +... +Cnyny

= C1y

1 +C2y

2 +... +Cny

ny(n1)= C1y(n1)1+C2y(n1)2+... +Cny(n1)ny(n)= C1y(n)1+C2y(n)2+... +Cny(n)n+f(x)anInmult im prima ecuat ie cu a0, a doua cu a1,..., ultima cu an iar relat iile obt nuteseadunamembrucumembru. Obt inemecuat iaany(n)+an1y(n1)+... +a1y

+a0y== C1_any(n)1+an1y(n1)1+... +a1y

1 +a0y1_++C2_any(n)2+an1y(n1)2+... +a1y

2 +a0y2_++... +Cn_any(n)n+an1y(n1)n+... +a1y

n +a0yn_+f(x).Dar, parantezeledreptecaresuntcoecient i pentruC1, C2,...,Cnsuntnule,deoarecefunct iileyisuntsolut ii pentruecuat iaomogena. Astfel, ecuat iademaisusdevineany(n)+ an1y(n1)+ ... + a1y

+ a0y=f(x),ceeacearatacayestesolut iepentruecuat ianeomogena.36 LECT IA4. ECUAT IILINEARENEOMOGENE4.2 Ecuat ii diferent iale de ordinsuperior cucoecient iconstant iVomstudia ntai ecuat iilediferent ialedeordinul nomogene, careauformageneralaany(n)(x) +an1y(n1)(x) +... +a1y

(x) +a0y(x) = 0, x [a, b] (4.6)ncareai=constant, i = 1, 2, ..., n.Pentruastfel de ecuat ii se poate determinantotdeaunaunsistemfun-damnetal desolut ii.Inacestscop, secautasolut ii subformay(x) =AexundeAesteoconstantaA = 0iaresteunparametrucomplex, C.Derivam succesiv expresia lui y, derivatele obt inute se nlocuiesc n ecuat ia(4.6) sigasimAex_ann+an1n1+... +a1 +a0_ = 0.DeoareceA = 0 siex= 0deducemcaann+an1n1+... +a1 +a0= 0. (4.7)In felul acesta am obt inut o ecuat ie algebrica n necunoscuta care se numesteecuat iecaracteristicaatasatauneiecuat iidiferent ialedeordinuln.Inceleceurmeaza,vomabordaecuat ia(4.6)prinintermediulecuat ieisalecaracter-istice(4.7). Distingemmaimultecazuri:Cazul 1. Presupunemntai ca ecuat ia (4.7) are toate radacinile reale si simple1 = 2 = ... = n. Atunci funct iile y1(x) = e1x, y2(x) = e2x,..., yn(x) = enxformeaza un sistem fundamental de solut ii pentru ecuat ia (4.6) deoarece acestefunct ii auwronskianul nul.Intr-adevar, nlocuind nexpresiawronskianului,vomobt ineundeterminantVandermonde:W(y1, y2, ..., yn) =e1xe2x enx1e1x2e2x nenx n11e1xn12e2x n1nenx=4.2. ECUAT IICUCOEFICIENT ICONSTANT I 37= e(1+2+...+n)x1 1 112 n2122 2n n11n12 n1n== e(1+2+...+n)x

1j 0 sau x = et, daca x < 0si ecuat iaEuler setransformantr-oecuat iecucoecient i constant i. Dupamodeluldederivareexpusmaijosy

=dydx=dydtdtdx=dydt1x=dydtet40 LECT IA4. ECUAT IILINEARENEOMOGENEy

=d2ydx2=ddx_dydx_ =ddx_dydtet_ ==ddt_dydtet_et= e2t_d2ydt2 dydt_,seobt inecaregulageneralay(k)= ekt_dkydtk+bk1dk1ydtk1+... +b1dydt_,n care coecient ii bisunt constant i. Coecientul din fat a lui y(k)este xk= ektsi atunci cand nlocuimn ecuat ia init iala exponent ialele dispar, deci se obt ineoecuat iecucoecient iconstant i.Lect ia5Sistemedeecuat iidiferent iale5.1 Sistemedeecuat iidiferent ialeliniareObiective:1. Sunt prezentate doua metode de rezolvare a sistemelor de ecuat ii diferen-t ialeliniare. Metodareducerii estemetodaprincareabordareaunui sistemdeecuat ii diferent ialesereducelarezolvareaunei ecuat ii diferent ialedeor-dinsuperior. Adouametoda, metodaecuat iei caracteristice, estedestul deasemanatoarecuceadincazul ecuat iilordiferent ialedeordinsuperior.2. Pentru sistemele de ecuat ii diferent iale liniare nepmogene sunt ex-pusedouametodepentruadeterminaosolut ieparticulara. Primametoda,metodavariat ieiconstantelor(metodaluiLagrange)propuneosolut iepartic-ularaporninddelasolut iageneralaaformei omogenearespectivului sistemde ecuat ii diferent iale. Prin a doua metoda se propune o solut ie particulara deformavectoruluitermenliber.4142 LECT IA5. SISTEMEDEECUAT IIDIFERENT IALEForma generala a unui sistem de ecuat ii diferent iale liniare de ordinul I este___y

1= f1 (x, y1, y2, ..., yn)y

2= f2 (x, y1, y2, ..., yn)y

n= fn (x, y1, y2, ..., yn)(5.1)n care funct iile necunoscute sunt yi= yi(x), i = 1, 2, ..., n. Funct iile fi(x), i =1, 2, ..., n sunt date si sucient de regulate pentru a permite operat iile matem-aticecesefacasupralorpentruarezolvasistemul sistemul deecuat ii. Dacatoate funct iile fi(x) sunt liniarenargumentele lor, atunci sistemul devineliniar siareformagenerala___y

1= a11y1 +a12y2 +... +a1nyn +b1y

2= a21y1 +a22y2 +... +a2nyn +b2y

n= an1y1 +an2y2 +... +annyn +bn(5.2)Si la sistemul (5.2) funct iile necunoscute sunt yi= yi(x), x [a, b] iar funct iilecoecient iaij= aij(x) sifunct iiletermenliberbi= bi(x)suntdate. Dacatot ibi= 0,i = 1, 2, ..., n,atuncisistemulcapataformasaomogena.Unsistemdeecuat ii diferent ialeliniaredeordinul IcapataoformamaisimpladacafolosimscriereamatricealaY

= AY+b, unde Y=_____y1y2yn_____,A =_____a11a12 a1na21a22 a2n an1an2 ann_____, b =_____b1b2bn_____. (5.3)Nepropunemsaaratamcaoecuat iediferent ialaliniaradeordinul nsereducelaunsistemdenecuat ii diferent ialeliniaredeordinul Icunfunct iinecunoscute. Deexemplu,ecuat iadeordinuldoiy

ky= 0sereducelaunsistemdedouaecuat ii diferent ialedeordinul Icudouafunct ii necunoscute.5.1. SISTEMEDEECUAT IIDIFERENT IALELINIARE 43Intr-adevar, dacafolosimnotat iiley1(x) =y(x) si y2(x) =y

1(x), obt inemsistemulliniar_y

1(x) = y2(x)y

2(x) = ky1(x)In general, pentru ecuat ia anyn+an1yn1+... +a1y

+a0y= fse folosescnotat iiley1=y, y2=y

, y3=y

,..., yn=y(n1)si atunci obt inemsistemulliniar___y

1(x) = y2(x)y

2(x) = y3(x)y

n1(x) = yn(x)y

n(x) = f(x) 1an(a0y1 +a1y2 +... +an1yn)Vomexpunedouametodederezolvareunsistemdenecuat iidiferent ialeliniaredeordinulI.Metoda1.Analogiademai sus dintreoecuat iediferent ialaliniaradeordinul nsiunsistemde necuat ii diferent iale liniare de ordinul I sugereaza o primametod aderezolvareasistemelor deecuat ii diferent ialeliniaresi pecareovomnumi metodareducerii. Aceastaconsta nreducereasistemului laoecuat iediferent ialacuosingurafunct ienecunoscuta, ngeneraldeordinegalcunumarul ecuat iilor dinsistem. Mai precis, sexeazaofunct ienecunos-cuta,sazicemyn,siseexpliciteazacelelaltefunct iinecunoscute mpreunacuderivatelelorcuajutorulluiyn. Seobt ineoecuat iediferent ialadeordinulnnfunct ianecunoscutayn.Exemplu. Saconsideramsistemulparticular_y

1= 4y1y2y

2= 5y1 + 2y2Prin derivare obt inem y

1= 4y

1y

2 si y

2= 5y

1+2y

2din care, prin combinat iievidente, rezultay

1 6y

1 + 13y1=0, adicaoecuat iediferent ialadeordinul44 LECT IA5. SISTEMEDEECUAT IIDIFERENT IALEdoi,cuosingurafunct ienecunoscuta,y1.Metoda2.Vom expune acum o metoda care aminteste de rezolvarea ecuat iilor diferent ialecucoecient iconstant i. Senumestemetodaecuat iei caracteristice. Pen-trusistemuldatsecautasolut iideformaY=_____y1y2yn_____ =_____C1C2Cn_____ex=_____C1exC2exCnex_____SeobligaacestY saeefectivsolut iesi dupacesimplicamcuexobt inemurmatorulsistemalgebric,liniar siomogen___(a11) C1 +a12C2 +... +a1nCn= 0a21C1 + (a22) C2 +... +a2nCn= 0an1C1 +an2C2 +... + (ann) Cn= 0Pentrucasistemul saadmitasi solut ii diferitedesolut iabanala, trebuiecadeterminantulsistemuluisaenul,adicaa11 a12 a1na21a22 a2n an1an2 ann= 0.Dupacalculareadeterminantuluiseobt ineoecuat iealgebricadegradul n nnecynoscuta,deforman+b1n1+... +bn1 +b0= 0, (5.4)care se numeste ecuat ia caracteristica a sistemului. Aici se vede analogia cuecuat ia caracteristica atasata ecuat iilor diferent iale de ordinul n.In felul acestaamredusproblemarezolvarii sistemului deecuat ii diferent ialelarezolvareaecuat ieisalecaracteristicecareesteoecuat iealgebricapolinomiala.5.1. SISTEMEDEECUAT IIDIFERENT IALELINIARE 45Casi ncazulecuat iilordiferent ialedeordinuln,vomdistingemaimultecazuri, nfunct iedenaturaradacinilorecuat ieicaracteristice.Cazul 1. Presupunem ca ecuat ia caracteristica are o radacina reala simpla 1.Solut iasistemuluisecautadeformay1= C1e1x,y2= C2e1x,...,yn= Cne1x,care se obliga sa verice sistemul de ecuat ii diferent iale. Se va obt ine un sistemalgebricden 1ecuat ii nnecunoscuteleC1, C2, ..,Cn. Sevorexplicita, deexemplu,constanteleC2,C3,...,Cn nfunct iedeC1iar, nnal,sevaluiC1ovaloareparticulara.Cazul 2. Presupunemca ecuat ia caracteristica are o radacina complexasimpla1=+i. Pentrucaecuat iacaracteristicaare coecient i reali,ea va admite si radacina complex conjugata 2= i. Solut ia sistemului secautadeformaY=_____C1 cos x +B1 sin xC2 cos x +B2 sin xCn cos x +Bn sin x_____exIntroducemsolut iagasita nsistemuldeecuat iidiferent ialeinit ialsi,prinmetodaidenticarii, seobt ineunsistemalgebricdincaresedeterminacon-stanteleC2, B2, C3, B3,...,Cn, Bnnfunct iedeC1si B1, iar nnal sedauvaloriparticularepentruC1siB1.Cazul 3. Presupunemcaecuat iacaracteristicaareoradacinareala,,mul-tipla de ordinul m. Cautam solut ia sistemului de ecuat ii diferent iale sub formaY=_____C11 +C12x +... +C1mxm1C21 +C22x +... +C2mxm1Cn1 +Cn2x +... +Cnmxm1_____exCoecient iiCijsedeterminaca ncazuldoi.Cazul 4. Presupunemca ecuat ia caracteristica are o radacina complexa46 LECT IA5. SISTEMEDEECUAT IIDIFERENT IALE1= +i, (deci automat are si conjugata, 2= i), multipla de ordinulm. Cautamsolut iasistemuluideecuat iidiferent ialesubformaY=_____(C11+...+C1mxm1)cos x+(B11+...+B1mxm1)sin x(C21+...+C2mxm1)cos x+(B21+...+B2mxm1)sin x(Cn1+...+Cnmxm1)cos x+(Bn1+...+Bnmxm1)sin x_____ex5.2 Sistemecucoecient iconstant i[Sistemecucoecient iconstant i]Prinanalogiecualgoritmulderezolvarealecuat iilordiferent ialedeordinsuperior, algoritmul de rezolvare al sistemelor neomogene de ecuat ii diferent ialeesteurmatorul:i)seataseazasitemulomogen siseaasolut iasagenerala;ii)seaaosolut ieparticularaasistemuluineomogen;iii) solut ia generala a sistemului meomogen se obt ine prinnsumarea solut ieigeneraleasistemuluiomogencusolut iaparticularaasistemuluineomogen.Deoarece algoritmul pentru determinarea solut iei generale a sistemului omo-genafostdejaexpus,amairamassaindicammetodepentruaaaosolut ieparticularaasistemului neomogen. Casincazul ecuat iilor diferent ialedeordinsuperior, sunt douametode: metodavariat iei constantelor, aceiasi cancazul sistemelorcucoecient i variabili si metodasugestiva. Catprivesteaceastaultimametoda,prezentamtreicazuri.Cazul 1. Presupunemcatot i termenii liberi ai sistemului suntpolinoame,carepotdegradediferite,adicadeforma(f1(x), f2(x), ..., fn(x))T= (P1(x), P2(x), ..., Pn(x))TAtunciosolut ieparticularaasistemuluineomogenvaluatadeforma(y1(x), y2(x), ..., yn(x))T= (Q1(x), Q2(x), ..., Qn(x))TncareQisuntpolinoamedegradeegale, sianumegrQ1= grQ2= ... = grQn= max{grP1, grP2, ..., grPn}.5.2. SISTEMECUCOEFICIENT ICONSTANT I 47Coecient iipolinoamelorQiseaaobligandvectorulcoloana(y1(x), y2(x), ..., yn(x))Tsa verice efectiv sistemul diferent ial neomogen,procedandu-se apoi la identi-care.Cazul 2. Presupunemcatot i termenii liberi ai sistemului neomogensuntdeforma(f1(x), f2(x), ..., fn(x))T= (P1(x), P2(x), ..., Pn(x))TexundePisuntpolinoame,carepotdegradediferite. Atunciosolut iepartic-ularaasistemuluineomogenvaluatadeforma(y1(x), y2(x), ..., yn(x))T= (Q1(x), Q2(x), ..., Qn(x))Texdaca nu este radacina pentru ecuat ia caracteristica atasata sistemului omogen.Aici,Qisuntpolinoamedegradeegale, sianumegrQ1= grQ2= ... = grQn= max{grP1, grP2, ..., grPn}.Coecient iipolinoamelorQiseaaobligandvectorulcoloana(y1(x), y2(x), ..., yn(x))Tsavericeefectivsistemul diferent ial neomogen, procedandu-seapoi laiden-ticare. Dacaesteradacinapentruecuat iacaracteristicaatasatasistemuluiomogen,multipladeordinulm,atunciosolut ieparticularaasistemuluineo-mogenvaluatadeforma(y1(x), y2(x), ..., yn(x))T= (Q1(x), Q2(x), ..., Qn(x))TxmexncarepolinoameleQisunt nsituat iademaisussisedetermina nmanieraexpusamai sus. Trebuiesaremarcamca, prinparticularizarealui =0, ncazul2,obt inemcazul1.Cazul 3. Presupunem ca termenii liberi ai sistemului neomogen sunt de formaf(x) = (f1(x), f2(x), ..., fn(x))T==_(P1(x), ..., Pn(x))Tcos x + (R1(x), ..., Rn(x))Tsin x_ex48 LECT IA5. SISTEMEDEECUAT IIDIFERENT IALEDaca + inuesteradacinapentruecuat iacaracteristicaatasatasistemuluiomogen, atunci o solut ie particulara a sistemului neomogen va luata de formayp(x) = (y1(x), y2(x), ..., yn(x))T==_(Q1(x), ..., Qn(x))Tcos x + (S1(x), ..., Sn(x))Tsin x_exDaca+i este radacinapentruecuat iacaracteristicaatasatasistemuluiomogen,deordinm,atunciosolut ieparticularaasistemuluineomogenvaluatadeformayp(x) = (y1(x), y2(x), ..., yn(x))T==_(Q1(x), ..., Qn(x))Tcos x + (S1(x), ..., Sn(x))Tsin x_xmexPolinoamele Qi si Si sunt n situat ia expusa la cazul 2 si se determina n aceiasimaniera.Lect ia6Sistemeautonome6.1 Sistemeautonomedeecuat iidiferent ialeObiective:1. Esteprezentatanot iuneadeintegralaprimapentrusistemeleautonomedeecuat iidiferent ialeliniare.2. Rezolvarea sistemelor autonome este redusa la rezolvarea sistemelorcaracteristiceatasatelor,iarrezolvareaacestoradinurmasereduceladeter-minareaunuinumardeintegraleprimeliniarindependente.3. Sunt prezentate sistemele simetrice de ecuat ii diferent iale si se dovedesteechivalent adintreacesteasisistemeleautonomedeecuat iidiferent iale.Seconsiderafunct iilefi: D R, D Rn, fi C1(D), i = 1, 2, ..., n.Denit ia1Se numeste sistem diferent ial autonom un sistem de ecuat ii diferen-t ialedeordinul I,neliniare,deforma___y

1= f1 (y1, y2, ..., yn)y

2= f2 (y1, y2, ..., yn)y

n= fn (y1, y2, ..., yn)(6.1)4950 LECT IA6. SISTEMEAUTONOMEncarefunct iilef1,f2,...,fnnusuntsimultannulepeD.Denumireaestesugeratadefaptulcafunct iilefi(x), i=1, 2, ..., nnudepindexplicit devariabilax. Reamintimcaecuat iilediferent ialealeunui sistemneautonomauformay

i= fi (x, y1, y2, ..., yn),decivariabilaxapareexplicit.Denit ia2Funct ia: D R, C1(D) se numeste integralaprimapentrusistemul autonom(6.1)dacapentrusolut ie(y1, y2, ..., yn)asistemuluiavem(y1, y2, ..., yn) = C,undeCesteoconstanta.Nu trebuie nt eles ca funct ia este constanta, ci valoarea ei calculata pen-tru o solut ie a sistemului este constanta. De exemplu, funct ia (x, y) = sin x+yesteintegralaprimapentruunsistemdiferent ialautonomdedouaecuat iicudouanecunoscutecareadmitesolut iay1=arcsinx, y2=2 x.Intr-adevar,(y1, y2)=sin y1+ y2=x + 2 x=2. Valoareaconstantei Cdepindedesolut iasistemului pentrucaresecalculeazafunct ia, deci pentrualtasolut ieasistemului,valoareafunct ieivaaltaconstanta.Anticipamcarezolvareaunui sistemautonomde ecuat ii diferent iale sereducelaaareaunuianumitnumardeintegraleprimealesale. Vom ncepeprinaindicatehnicipentruaaaintegraleprime.Teorema1Funct ia : D R, C1(D) este integrala prima pe Dpentrusistemul autonom(1)dacasinumaidacasatisfaceecuat iaf1 (y1, ..., yn)y1+f2 (y1, ..., yn)y2+... +fn (y1, ..., yn)yn= 0, (y1, ..., yn) D. (6.2)Demonstrat ie. NecesitateaPresupunemcafunct iaesteintegralaprimapentrusistemul (6.1), deci, pentruorice solut ie (y1, y2, ..., yn) asistemului,avem(y1, y2, ..., yn)=C. Prindiferent iere, obt inemd(y1, y2, ..., yn)=0,adicay1y

1 +y2y

2 +... +yny

n= 0.Insadinecuat iilesistemuluiavemy

k= fksiatunciecuat iademaisusdeviney1f1 +y2f2 +... +ynfn= 0,6.1. SISTEMEAUTONOMEDEECUAT IIDIFERENT IALE 51adicatocmaiecuat ia(6.2).Sucient a. Presupunemcafunct iasatisface ecuat ia(6.2). Trebuie saaratam ca este integrala prima pentru sistemul (6.1). Luam o solut ie oarecarea sistemului, (y1, y2, ..., yn) si vrem sa aratam ca (y1, y2, ..., yn) = C. De fapt,aratamcad(y1, y2, ..., yn) =0. Deoarece(y1, y2, ..., yn)estesolut iepentrusistem,avemy

k= fk. Pentrucasatisfaceecuat ia(2) sifk= y

k,deducemy1y

1 +y2y

2 +... +yny

n= 0,adicad(y1, y2, ..., yn)=0deundededucemca(y1, y2, ..., yn)=C, pentruoricesolut ie(y1, y2, ..., yn)asistemului.Denit ia3Funct iile1,2,...,pcup n,caresuntintegraleprimepentrusistemul atronom(1),suntliniarindependente ntr-unpunctx0 [a, b]dacarang_D(1, 2, ..., p)D(y1, y2, ..., yn)_ = rang______1y11y2...1yn2y12y2...2yn py1py2...pyn______= p n,matriceajacobianaindcalculata nx0 [a, b].Teorema2Sistemul diferent ial autonom(6.1) nupoate aveamai mult den 1integraleprimeindependente.Demonstrat ie. Conform cu denit ia integralelor prime independente, rangulmatricii iacobiene, careestedreptunghiulara, nupoatedepasi n. Saaratamca rangul acestei matrici nu poate n, deci sistemul nu poate avea n integraleprimeindependente. Presupunem, prinreducerelaabsurd, casistemul (6.1)admite n integrale prime independente. Deci rangul matricii iacobiene atasatacelor n integrale prime, care acum devine patratica, este n, deci determinantulacesteimatriciestenenul:D(1, 2, ..., p)D(y1, y2, ..., yn)= 0.52 LECT IA6. SISTEMEAUTONOMEConformcuteorema1, ecareintegralaprimasatisfaceoecuat iedeforma(6.2). Seobt ineurmatorulsistemdeecuat ii___1y1f1 +1y2f2 +... +1ynfn= 0,2y1f1 +2y2f2 +... +2ynfn= 0,ny1f1 +ny2f2 +... +nynfn= 0(6.3)Avemdeci unsistemalgebricliniar, patratic, omogen, ncarenecunoscutelesunt funct iilef1, f2,...,fn. Pentrucaacest sistemaredeterminantul nenul,deducemcael admitenumai solut iabanala. Deci toatefunct iilef1, f2,...,fnsuntnule,contrarcudenit iaunuisistemautonom.Dam acum, fara demonstrat ie, un rezultat care completeaza rezultatul dinteorema2 nprivint anumarului deintegraleprime. Rezultatul esteatribuitluiPontreaghin.Teorema3Sistemul autonom (6.1) nu poate avea mai put in de n1 integraleprimeindependente.Observat ie. Daca confruntam rezultatele din teorema 2 si teorema 3 deducemcaoricesistemautonomareexactn 1integraleprimeindependente. Ast-fel, rezolvareaunui sistemautonomrevinelaaareaan 1integraleprimeindependente.Cele mai uzuale sisteme autonome suntntrei dimensiuni si atunci re-zolvarealor nseamnadeterminareaadouaintegraleprimeindependente.6.2 Sistemediferent ialesimetricePornim de la un sistem diferent ial autonom si t inem cont ca o ecuatie din acestsistem, sazicemprima, dy1/dx=f1poatescrisasi nformady1/f1=dx.Analogsescriu sicelelalteecuat iialesistemului.6.2. SISTEMEDIFERENT IALESIMETRICE 53Denit ia4Senumestesistemsimetric,unsistemdiferent ial deformady1f1(y1, y2, ..., yn)=dy2f2(y1, y2, ..., yn)= ...dynfn(y1, y2, ..., yn). (6.4)Reamintimcafunct iilef1, f2, ..., fnnupotsimultannule. Sefaceconvent iaca daca una din funct iile f1, f2, ..., fneste nula, atunci raportul, corespunzatorei, dinsistemul simetric(6.4) lipseste. Amaratat cumunsistemautonompoateaduslaformasasimetrica. Reciproc,unsistemsimetricpoatescrissubformaunui sistemautonom. Scriemcarapoarteledin(6.4) sunt toateegalecuultimul:dy1f1=dynfndy1dyn=f1fn, dy2dyn=f2fn, ..., dyn1dyn=fn1fn.Folosim notat iile gi= fi/fn si consideram ca variabila independenta pe u = ynsiobt inem:dy1du= g1, dy2du= g2, ..., dyn1du= gn1,care este un sistemul autonom de n1 ecuat ii diferent iale n funct iile necunos-cutey1, y2, ..., yn1devariabilaindependentau = yn.Dupa ce am stabilit ca rezolvarea unui sistem autonom (n baza considerat ii-lor de mai sus, deci si a unui sistem simetric) revine la aarea a n1 integraleprimeindependente,trebuieacumsaindicamtehnicipentrudeterminareain-tegralelorprime. Ceamai generalametodaesteceaacombinat iilorliniare,expusa nteoremacareurmeaza.Teorema4Presupunemdeterminatefunct iilei= i(y1, y2, ..., yn),undei: D R, D Rn, i C1(D), i = 1, 2, ..., nastfel ncat1f1 +2f2 +... +nfn= 01dy1 +2dy2 +... +ndyn== d, = (y1, y2, ..., yn)Atuncifunct ia : D Resteintegralaprimapentrusistemul (6.4).54 LECT IA6. SISTEMEAUTONOMEDemonstrat ie. Luam(y1, y2, ..., yn)osolut ieoarecareasistemului (4)si saaratamca(y1, y2, ..., yn) = C. Scriemecuat iilesistemuluisimetric nformady1=f1fn, dy2=f2fn, ..., dyn1=fn1fn, dyn=fnfn.Inlocuimacestediferent iale nadouaipotezaateoremei siobt inem1dy1+2dy2+...+ndyn==_1f1fn+2f2fn+...+n1fn1fn+nfnfn_dyn=d dynfn(1f1+2f2+...+nfn)=d d = 0 (y1, y2, ..., yn) = C.Observat ie. Practic, teoremapropuneamplicarearapoartelor cedenescsistemulsimetriccui,care ngeneralsuntfunct iidevariabileley1, y2, ..., yn,astfel ncatsumanumaratorilorsaenula. Condit iaadouadinteoremaserealizeaza aproape de la sine. Reamintim ca daca o funct ie fieste nula, atuncidyi=0, deci yi=C(practicaceastaesteointegralaprimaparticulara)siatuncisistemulsimetricnumaicont ineraportulrespectiv.Vomdaunexempluparticular desistemsimetricntrei dimensiuni cuscopul deaurmari concret metodafurnizatadeteorema.Intr-undomeniudinspat iul euclidiancutrei dimensiuni pentrucarex =y, x =zsi y =z,consideramsistemul(nfunct iilenecunoscutex, y, zdevariabilat):dxy z=dyz x=dzx y.i) Luamcafactori deamplicare1=2=3=1si atunci obt inem1.(y z) + 1.(z x) + 1.(x y) = 0,decidx +dy +dz= d(x +y +z) = 0deundex +y +z= Csiamgasitprimaintegralaprima1(x, y, z) = x +y +z.Amfolositaiciproprietat ialeproport iilorderivate.ii)Amplicamacumceletreirapoartecu1= x, 2= y, 3= z,respectivsi obt inemx(y z) + y(z x) + z(x y)=0. Atunci xdx + ydy + zdz=d(x2/2 + y2/2 + z2/2) = 0deunderezultax2+ y2+ z2= Csiatunciadouaintegralaprimaeste2(x, y, z)=x2+ y2+ z2. Mai trebuievericatcacele6.2. SISTEMEDIFERENT IALESIMETRICE 55douaintegraleprimesuntindependente. Avemmatriceaiacobiana_1x1y1z2x2y2z_ =_1 1 12x 2y 2z_carearerangul doi dincauzaipotezei impuseunui sistemsimetriccamacarunnumitorsaenenul.Oaltametodapentrudeterminaredeintegraleprime,careestemaiput ingenerala, consta ncuplareaconvenabilaarapoartelorpentruaputeaseparavariabilele, apoi integramn ecare membru unde avem o singura variabila.56 LECT IA6. SISTEMEAUTONOMELect ia7Ecuat iicuderivatepart iale7.1 Ecuat iicuderivatepart ialedeordinulIObiective:1. Oecuat iecuderivatepart ialedeordinul I liniaraesteabordataprinprismasistemului saucaracteristic, careesteunsistemsimetric. Rezolvareasistemului caracteristicesteredusaladeterminareaunui numardeintegraleprimeliniarindependente.2. Esteapoi expusaformageneralaaunei ecuat ii cuderivatepart ialedeordinul I cvasi-liniara precum si algoritmul cum aceasta este redusa la o ecuat ieliniaracuderivatepart ialedeordinul I.3. Atat pentru ecuat ia cu derivate part iale de ordinul I liniara cat si pentruecuat iacvasi-liniaraesteprezentataProblemaCauchyprecumsi tehniciledeabordarealeacestora.4.Innalul lect iei sunt abordateecuat iileneliniarecuderivatepart ialedeordinul I. Estepropusaoprocedurapentruaobt inesistemul caracteristicatasat acestorecuat ii precumsi modalitateadeaobt ineintegralageneralaaacestorecuat iiprcumsiauneiintegraleparticulare.Denit ia1Senumesteecuat iediferent ialacuderivatepart ialedeordinul I5758 LECT IA7. ECUAT IICUDERIVATEPART IALEliniarasiomogenaoecuat iedeformaP1(x1, x2, ..., xn) ux1+P2(x1, x2, ..., xn) ux2+... ++Pn(x1, x2, ..., xn)uxn= 0 (7.1)ncarefunct ianecunoscutaesteu = u(x1, x2, ..., xn).Funct iilecoecient i Pi=Pi(x1, x2, ..., xn) sunt datesi auproprietat ilePi:D R, D Rn, Pi C1(D), i=1, 2, ..., nsi nuseanuleazasimultanpedomeniulD.Denit ia2Senumestesolut iepentruecuat ia(7.1)ofunct ie = (x1, x2, ..., xn), : D R, D Rnastfel ncat C1(D) si nlocuita n(7.1)otransformapeaceasta nidentitate.Denit ia3Se numeste sistem caracteristic asociat ecuat iei cu derivate part iale(7.1)urmatorul sistemsimetricdx1P1(x1, x2, ..., xn)=dx2P2(x1, x2, ..., xn)= ... =dxnPn(x1, x2, ..., xn)(7.2)Seremarcafaptul cafunct iiledelanumitorii sistemului (7.2)suntfunct iilecoecientaleecuat iei(1).Observat ie. Anticipamcarezolvareauneiecuat iicuderivatepart ialerevinelarezolvareasistemului saucaracteristic, careesteunsistemsimetricpentrucare, dupa cum am demonstrat deja, rezolvarea nseamna determinarea a n1integraleprimeindependente.Teoremacareurmeazademonstreazafaptul carezolvareaunei ecuat ii cuderivatepart ialerevinelarezolvareasistemuluisaucaracteristic.Teorema1Condit ianecesarasi sucientacafunct ia: D RnRsaesolut iepentruecuat ia(7.1)estecasaeintegralaprimapentrusistemulcaracteristic(7.2).7.1. ECUAT IICUDERIVATEPART IALEDEORDINULI 59Demonstrat ie. Sucient aPresupunemcaesteintegralaprimapentrusistemulcaracteristic(7.2). Conformcuteoremadecaracterizareaintegraleiprime,satisfaceecuat iaP1(x1, x2, ..., xn) x1+P2(x1, x2, ..., xn) x2+... ++Pn(x1, x2, ..., xn) xn= 0,adicavericaecuat ia(7.1).Necesitatea. Presupunem ca este solut ie pentru ecuat ia (7.1) si sa aratamcaesteinegralaprimapentrusistemul(7.2). Pentruaceastaluamosolut iearbitrara(x1, x2, ..., xn)asistemului (7.2)si aratamca(x1, x2, ..., xn)=C.Astfel,dacacalculamdiferent ialafunct ieiconstatamd =x1dx1 +x2dx2 +... +xndxn==x1P1Pndxn +x2P2Pndxn +... +xnPnPndxn=dxnPn_P1(x1, x2, ..., xn) x1+P2(x1, x2, ..., xn) x2+...+Pn(x1, x2, ..., xn) xn_=0,n care am folosit faptul ca satisface ecuat ia (7.1). Deoarece d = 0 deducemca(x1, x2, ..., xn) = C,adicaesteintegralaprima.Teorema care urmeaza indica modalitatea prin care se aa solut ia generalaauneiecuat iicuderivatepart ialedeforma(7.1).Teorema2Presupunemcunoscute funct iile 1, 2, ..., n1care sunt inte-grale prime independente pentru sistemul caracteristic (7.2). Atunci oricefunct ie : Rn1R, C1(Rn1), care are ca argumente cele n 1integraleprime,estesolut iepentruecuat iacuderivatepart iale(7.1).Demonstrat ie. Trebuie sa vericam ca funct ia u = (1, 2, ..., n) nlocuitanecuat ia(7.1) otransformapeaceastanidentitate. Calculamderivatele60 LECT IA7. ECUAT IICUDERIVATEPART IALEpart ialealefunct ieiu:ux1=11x1+22x1+... +n1n1x1ux2=11x2+22x2+... +n1n1x2uxn=n1xn+22xn+... +n1n1xn.Inmult im prima relat ie cu P1, a doua cu P2,..., ultima cu Pn si adunam relat iileastfelobt inute,membrucumembru:P1ux1+P2ux2+... +Pnuxn==1_P11x1+P21x2+... +Pn1xn_++ 2_P12x1+P22x2+... +Pn2xn_++... +n1_P1n1x1+P2n1x2+... +Pnn1xn_ = 0.Amfolositaici faptul caparantezelesuntnuledincauzacafunct iileisuntintegrale prime deci verica ecuat ia din teorema de caracterizare a integralelorprime.Exemplu. Oferimacumunexemplusimplu ntreidimensiuni,pentruaxarezultateleteoretice. Fieecuat iacuderivatepart ialesi sistemul caracteristicasociat:xux+yuy+ (x +y)uz= 0,dxx=dyy=dzx +y.Obt inemcasistemul caracteristicadmiteurmatoareledouaintegraleleprime1(x, y, z)=x/y, 2(x, y, z)=x + y z. Cuajutorul matricii iacobianeseconstatacaaceasteintegraleprimesunt independente. Atunci, conformcuteoremaanterioara,solut iageneralaaecuat ieidateestefunct iau = (x/y, x +y z) .7.2. PROBLEMACAUCHY 617.2 ProblemaCauchySeremarcadinformasolut iei generaleaunei ecuat ii cuderivatepart ialedeordinul I gradul mare de arbitrarietate al solut iei. Daca la ecuat iile diferent ialeordinaresolut iageneraladepindeconstanteledeintegrarecaresuntarbitrare,ncazuldefat achiarsifunct iacaredenestesolut iaestearbitrara. Sepuneproblemadeterminarii unei anumite solut ii, adicaaeliminarii arbitrariuluidinsolut ie. Casilaecuat iilediferent ialeordinareacestlucruserezolvaprinimpunereaunorcondit ii, numitecondit iiinit ialesaucondit iiCauchy. Acestecondit ii mpreunacuecuat iapropriu-zisaformeazaproblemaCauchy. Formageneral aacondit ieiCauchyesteu(x1, x2, ..., xn1, x0n) = (x1, x2, ..., xn1),ncarefunct iaPsiestecunoscuta. Decis-axatunadintrevariabilesi,farasaserestrangageneralitatea, aceastas-aales ultima. Dacasexeazaaltavariabila,atuncisepoaterecurgelareordonareavariabilelor.AlgoritmulderezolvareaprobleiCauchyesteurmatorul:i)sedeterminacelen 1integraleprimeindependentealesistemuluicar-acteristic;ii) se ataseaza condit ia Cauchy langa integralele prime. Se obt ine un sistemde n relat ii din care se elimina variabilele si se obt ine o relat ie curata numainconstanteleC1,C2,...,Cn1;iii) n relat ia obt inuta la pasul precedent se nlocuisc constantele cu expre-siilelorcompletedelaintegraleleprime.7.3 Ecuat iideordinulIcvasiliniareEcuat iilediferent ialeacest numepentrucasunt liniarenumainderivatelepart ialealefunct ieinecunoscute siauformagenerala:Q1(x1, x2, .., xn, u) ux1+Q2(x1, x2, .., xn, u) ux2+..++Qn(x1, x2, .., xn, u)uxn=0 (7.3)62 LECT IA7. ECUAT IICUDERIVATEPART IALEDe remarcat ca la o ecuat ie cvasiliniara funct iile coecient depind si de funct ianecunoscuta, careestefunct iau=u(x1, x2, ..., xn), iartermenullibernumaiestenul,calaecuat iileliniare.In teorema care urmeaza se demonstreaza o modalitate prin care rezolvareauneiecuat iicvasiliniaresereducelarezolvareauneiecuat iiliniare.Teorema3Oriceecuat iecvasiliniarasereducelaoecuat ieliniarapentruonouafunct ienecunoscutacaredepindeden + 1variabile.Demonstrat ie. Cautamsolut iaecuat iei cvasiliniare(7.3)nusubformaex-plicitau = u(x1, x2, ..., xn)cisubformaimplicitav(x1, x2, ..., xn) = 0, v C1(D), D Rn+1,ux = 0. (7.4)Dacaderivam n(7.4) nraportcux1obt inemvx1+vuux1= 0 ux1= vx1/vu.Analog se calculeaza celelalte derivate part iale care se introduc n ecuat ia (7.3)siseobt ine:Q1vx1/vu Q2vx2/vu ... Qnvxn/vu= Qn+1.Inmult imaici cu vu, mutamtermenul dindreaptanstangasi obt inemecuat ialiniaraQ1vx1+Q2vx2+... +Qnvxn+Qn+1vu= 0.Avemaici o ecuat ie cu derivate part iale liniaran funct ia necunoecuta vcaredepindeden + 1varibile, ultimul indxn+1=u.Inconsecint a, pen-trusistemul caracteristic asociat acestei ecuat ii vor necesare nintegraleprimeindependente1, 2, ..., niarsolut iageneralaaecuat ieivadeforma7.4. ECUAT II CU DERIVATE PART IALE DE ORDINUL I NELINIARE63Psi(1, 2, ..., n) = 0. Pentruaconcretizarezultatulteoreticdinteorema3,indicam un exemplu simplu de ecuat ie cvasiliniara. Fie deci ecuat ia cvasiliniaraxy2ux+x2yuy= u_x2+y2_.Cuprocedeul dinteoremaacestaecuat iesetransforma ntr-oecuat ieliniaranfunct ianecunoscutav= v(x, y, u):xy2vx+x2yvy+u_x2+y2_ vu= 0.Seataseazaapoi sistemul saucaracteristic, segasescintegraleleprimeinde-pendente1(x, y, u) = x2 y2si2(x, y, u) = xy/usiatuncisolut iageneralaaecuat ieiinit ialeeste(x2y2, xy/u) = 0.7.4 Ecuat iideordinulIneliniareVom trata aceste ecuat ii, ind mai dicile, doar n cazul particular cand funct ianecunoscutadepinde numai de douavariabile. Pentrufunct iaz =z(x, y)introducemnotat iileluiMonge:p =zx, q=zysiatunciformageneralaauneiecuat iineliniarecuderivatepart ialeeste:F(x, y, z, p, q) = 0, F: D R4R, (x, y) R2. (7.5)Procedeuldeabordareaecuat iilorneliniareesteunuldeliniarizare.Inacestscop,derivam n(7.5),perand, nraportcux siy:Fx+Fzzx+Fppx+Fqqx= 0Fy+Fzzy+Fppy+Fqqy= 0. (7.6)64 LECT IA7. ECUAT IICUDERIVATEPART IALESepoateconstataimediatcapy=y_zx_ =2zxyqx=x_zy_ =2zxy,ncare amfolosit faptul cafunct iazC() si deci satisface criteriul luiSchwartz. Atuncisistemuldeecuat ii(7.6)poatescris nformaFppx+Fppy= Fx FzzxFpqx+Fpqy= Fy Fzzy(7.7)Extindemacumnotat iileluiMonge:X=Fx, Y=Fy , Z=Fz , P=Fp , Q =Fq(7.8)siatuncisistemul(7.7)capataforma:P px+Qpy= (X +pZ)P qx+Qqy= (Y+qZ) .Avemaici douaecuat ii cvasiliniare cuderivate part iale. Folosimaici pro-cedeul dejaexpussi trecemacesteecuat ii nformalorliniara, apoi atasaampentruecaresistemulcaracteristic. Dupaegalareapart ilorcomuneobt inemurmatorulsistemsimetric:dxP=dyQ=dp(X +pZ)=dq(Y+qZ). (7.9)Dacat inemcontcadz=zxdx +zydy= pdx +qdy,7.4. ECUAT II CU DERIVATE PART IALE DE ORDINUL I NELINIARE65atunciputemscriepdxpP=qdyqQ pdx +qdypP+qQ=dxPdxP=dzpP+qQ,ncareamfolositproprietat i aleproport iilorderivate. Curelat iademai suscompletamsistemulcaracteristic(7.9) siatunciavem:dxP=dyQ=dzpP+qQ=dp(X +pZ)=dq(Y+qZ). (7.10)Cu sistemul simetric (7.10) putem acum sa rezolvam ecuat ia init iala neliniara.Secautadouaintegraleprimepentrusistemul simetric(7.10)dincaresasepoataexplicitafunct iilepsi q nfunct iedexsi ysi douaconstantedeinte-grareC1si C2. Apoi t inemcontcadz=pdx + qdy, nlocuimaici expresiilegasitepentrup siqsiobt inemoecuat ienumai nfunct iaz. Serezolvaacestaecuat iesi segasestez(x, y)=(x, y, C1, C2, K), constantaK, careaaparutdeultimaintegrare, seeliminaprinimpunereafunct iei zsavericeecuat ianeliniarainit iala.Spunem ca am obt inut astfel integrala generala a ecuat iei neliniare z(x, y) =(x, y, C1, C2). Ointegralaparticularaseobt ineprineliminareaconstan-telorC1siC2dinsistemul___z= (x, y, C1, C2)C1= 0,C2= 066 LECT IA7. ECUAT IICUDERIVATEPART IALELect ia8Stabilitate8.1 Not iunidestabilitateObiective:1. Caunmicstudiucalitatival ecuat iilor diferent iale, seexpuncatevanot iuniprivindstabilitateasolut iilorecuat iilordiferent iale.2. Suntprezentateprincipaleletipuridestabilitatesiesteexpus ndetaliucriteriul luiHurwitz.3. Otrataremodernaateorieistabilitat iisebazeazaperezultateleluiLia-punov. Aicisuntprezentatedoarnot iunileintroductivealestabilitat iiinsensLiapunov.Estecunoscutfaptulcacelemaimultefenomenezicesuntmodelateprinecuat ii diferent iale sausisteme de ecuat ii diferent iale. Ostare distinctaaacestorfenomenezice, mai ales ncazul proceselor nfunct ionare nregimstat ionar, o constituie starea de echilibru, sau pozit ia de echilibru. Pentruspecialistii tehnicieni prezinta interes deosebit starea de echilibru stabil.Intermenitehnici,aceastaestestarea njurulcareiasemiscasistemuldacaestesupusunorimpulsuri init iale.Intermeni matematici, stabilitatea nseamnastudiulacelorsolut iialesistemelordeecuat iidiferent ialecaresuntconstante6768 LECT IA8. STABILITATEntimp.Saconsideramunsistemdeecuat iidiferent ialescris nformasavectoriala: x = f(t, x), (8.1)ncarex sifsuntfunct iivectorialendimensionale.Sepresupunsatisfacuteurmatoareleipotezestandard:i)festecontinua n(t, x)pedomeniulD = {(x, y)/t , x a};ii)festefunct ieLipschitz nvariabilaxpedomeniulD.Observat ie. Daca n sistemul (8.1) se presupune ca x si fsunt funct ii scalaresi ndenit iadomeniuluiDse nlocuiestenormacumodulul,seobt inecazulecuat iilordiferent iale.Ne intereseaza pentrusistemul (8.1) numai solut iile stat ionare, saudeechilibru, adicasolut iilex=(t) C, C=constanta. Si mai mareinteresprezintasolut iabanalax=0. Oricestudiuasuprasolut iei x=(t), pen-trusistemul (8.1), sepoatereducelastudiul solut iei banale, x=0, printr-ooperat iedetranslat ie. Singurulinconvenientestecasistemulsuferaousoaraadaptare.Intr-adevar, daca facem translat ia y= x(t), obt inem y= x =f(t, x) = f(t, y +) .Amobt inutdecisistemul y= g(t, y), unde g(t, y) = f(t, y +(t)) (t). (8.2)Aceastadovedestecanurestrangemgeneralitateadacastudiemdoarstabili-tatea solut iei banale pentru sistemul diferent ial (8.1). Trebuie doar ca sistemulsasatisfacacondit iaf(t, 0)=0, t 0,adicasistemulsaadmitasolut iaba-nalax = 0.Dacaxamt0 0 siconsideramcunoscutavaloareax0= x(t0) (8.3)atunciamformatproblemaCauchy(8.1)+(8.3).Pentruoxareaperechii(t0, x0) D, nbazaipotezelorstandard, deducemcaproblemaCauchy(8.1)+(8.3)admitesolut ieunica. Evident,pentruoaltaxare(t0, x0) D,problemavaaveaoaltaunicasolut ie. Pentruaevident iadependent asolut ieidexarea(t0, x0) Dovomnotacux(t, t0, x0).8.1. NOT IUNIDESTABILITATE 69Denit ia1Solut iax=0pentruproblemaCauchy(8.1)+(8.3)estenumitastabiladaca: >0si t0 0 (, t0) >0astfel ncat pentrutot i x0xuproprietatea x0 (, t0)solut iacorespunzatoareluit0six0estedenitapesemiaxa[t0, )sisatisfacecondit iax(t, t0, x0) , t t0.Denit ia2Solut iax=0pentruproblemaCauchy(8.1)+(8.3)estenumitauniformstabiladacasunt satisfacutecondit iiledindenit ia1cu(, t0) (),adicanudepindet0.Denit ia3Solut iax=0pentruproblemaCauchy(8.1)+(8.3)estenumitaasimptoticstabiladacaestestabila nsensul denit iei1si nplusavem:(t0) > 0astfel ncat limtx(t, t0, x0) = 0pentruoricesolut iex(t, t0, x0)cecorespundeluix0caresatisfacecondit ia x0 (t0).Denit ia4Solut iax=0pentruproblemaCauchy(8.1)+(8.3)estenumitauniformasimptoticstabiladacasuntndeplinitecondit iiledindenit ia3ncare nsanudepindet0.Studiind cele patru denit ii ale stabilitat ii putem deduce urmatoarea legaturantretipuriledestabilitate:Stabilitateaasimptoticauniformaimplicaatatstabilitateauniformacat sistabilitateaasimptoticaiaracesteadouaimplica,ecare,stabilitateasimpla.Facem precizarea ca proprietatea de stabilitate se refera la solut ia unui sis-temdeecuat ii diferent ialesi nulasistem nsine. Esteposibil caunacelasisistemsaaibasimultanatatsolut iistabilecat sisolut iiinstabile.Exemplul 1. Unexempluclasic care sust ine aceastaarmat ie este oferitdependululmatematic,acaruimiscareestemodelataprinecuat ia:x

+ sin x = 0, t 0. (8.4)Seobservacaecuat ia(8.4)admitedouasolut ii stat ionarex1=0si x2=,corespunzatoarecelordouapozit ii deechilibrualependulului. Searataime-diatcax1estesolut iestabila ntimpcesolut iax2esteinstabila.70 LECT IA8. STABILITATEExemplul 2. Pentruaevident iadiferent a ntrestabilitateasimplasistabil-itateaasimptoticavomconsideramiscareaunui punctmaterial subact iuneaunei fort e de atract ie, modelata de ecuat ia x

= kx, k > 0 sau x

+2x = 0.Ecuat ia sa caracteristica 2+2= 0 are radacini complex conjugate si atuncisolut iageneralax(t) = C1 cos t +C2 sin t. Dacaluamdateleinit ialex(0) =x0six

(0) = v0obt inemconstanteleC1= x0siC2= v0/,decisolut iaunicacorespunzatoareacestordateinit ialeestex(t) = x0 cos t +v0sin tSeconstataimediatcanuexista limtx(t), pentrucafunct iilesin tsi cos tnuaulimitalainnit. Deci solut ianuesteasimptoticstabila. Dacaalegemx0siv0astfel ncat |x0| + |v0|/ 0.Ecuat ia de ordinul II. Fie ecuat iax

+ax

+bx=0, a, b =constante.Daca ecuat ia caracteristica 2+a+b = 0 are radacinile reale, atunci acesteasuntnegativedaca sinumaidacaS< 0 siP> 0 siatuncia > 0,b > 0. Dacaecuat iacaracteristicaareradacinilecomplexconjugatex1,2= i, atuncipartearealaestesi trebuiesaenegativa. Darx1 + x2=2= a, decia > 0. Apoix1x2= a = 2+2> 0 sidecia > 0.Ecuat iadeordinulIII.Rezultatuldestabilitatepentruacestaecuat ieestecunoscutsubdenumireadeCriteriulluiHurwitz.Fieecuat ia(*)x

+ax

+bx

+cx = 0, a, b, c =constante.Propozit ia1Condit ianecesarasisucientacaradacinileecuat ieicaracter-isticeatasataecuat iei(*)saaibapartearealanegativa(decicasolut iabanalasaeasimptoticstabila)estesaavema > 0,b > 0,c > 0siab > c.Demonstrat ie. NecesitateaPresupunemcaradacinileecuat iei caracteris-ticesunt realesi negativesausunt complexesi autoatepartearealanega-tivasi atunci saaratamcasuntndeplinitecondit iilea>0, b >0, c >0si ab>c. Oricum, unadinradacinileecuat iei caracteristiceesterealea, sazicemx1=, iar celelaltex2,3=1 i1. Atunci x1+ x2+ x3= asix1+x2+x3=+210. Apoi x1x2+x2x3+x1x3=bsi x1x2+ x2x3+ x1x3=21+ 21+ 21>0, deci b >0.Insfarsit, din72 LECT IA8. STABILITATEx1x2x3= c si x1x2x3= (21 +21) < 0 deducem c > 0. Sa aratam ca ab > c.Seconstataprincalculdirectcaab = (x1 + x2 + x3)(x1x2 + x1x3 + x2x3) =( + 21)(21 +21 +21) siatunci ab < c,deciab > c.Sucent a. Sedemonstreaza ntr-omanierafoarteasemanatoarecuceadelanecesitate.8.3 Stabilitatea nsensLiapunovVom ncheiaparagraful cucatevaconsiderat ii asuprastabilitat ii nsensLia-punov. Pentruaceastareluamsistemuldiferent ialx

= f(t, x), (8.6)n care funct ia fsatisface pe [0, )D, D Rncondit iile teoremei lui Picardsif(t, 0) = 0.Denit ia5Se numeste funct ie Liapunov atasata sistemului (8.6), funct iaV= V (t, x)caresatisfacecondit iile:i)V C1([0, ) D);ii) Veste funct ie pozitiv denita,adica V (t, x) a(|x|),unde a : [0, ) R,a(0) = 0siaestefunct iecontinuasicrescatoare;iii)dVdt=Vt+n

i=1Vxifi 0, t [0, ).Spunemca niii)avemderivatatotalaafunct ieiVnbazasistemului(6).Teorema2Dacasistemului(8.6)isepoateatasaofunct ieLiapunov,atuncisolut iabanalax(t) = 0estestabila.Demonstrat ie. Fixamt0 [0, )si x0=x(t0). Atasamaceastacondit ielangasistemul diferent ial (8.6)pentruaconstitui problemaCauchy. Trebuieatunci saaratamcaorice solut ie aproblemei Cauchy, pentrucare x0estesucient de mic, deci x(t, t0, x0) este ea nsasi sucient de mica. Alegem > 0,8.3. STABILITATEA INSENSLIAPUNOV 73arbitrar de mic si notam 1= a(). Pentru ca funct ia Veste continua, deducemcadaca |x0| (1)atunci V (t, x0) a(|x(t, t0, x0)|) si pentru ca funct ia a este crescatoare deducem|x(t, t0, x0)| < ,ceeace ncheiedemonstrat ia.Studiul stabilitat ii cumetodapropusadeLiapunovprezintadezavantajul capentruecaresistemdiferent ial trebuiegasitafunct iaLiapunov, ceeacenuesteunlucrufoartefacil.74 LECT IA8. STABILITATELect ia9Temeaplicative9.1 Ecuat iidiferent ialeelementare1. Saseintegrezeecuat ia:xdy ydx =1 +x2dy +_1 +y2dx.Rezolvare:Observamcaesteoecuat iecuvariabileseparabile.xdy 1 +x2dy= ydx +_1 +y2dx (x 1 +x2)dy= (y +_1 +y2)dxdyy +1 +y2=dxx 1 +x2_dyy +1 +y2=_dxx 1 +x2 _(y _1 +y2)dy=_(x +1 +x2)dx.7576 LECT IA9. TEMEAPLICATIVECalculamseparatintegrala:I=_ 1 +t2dt.Avem:I=_1 +t21 +t2dt =_11 +t2dt +_t21 +t2dt == ln(1 +t2+t) +_tt1 +t2dt = ln(1 +t2+t) +_t(1 +t2)

dt == ln(1 +t2+t) +t1 +t2_ 1 +t2dt.Obt inem:I=ln(1 +t2+t) +t1 +t22.Revenim necuat ianoastra siavem:y22 ln(1 +y2+y) +y1 +y22==x22+ln(1 +x2+x) +x1 +x22+c2. Saseintegrezeecuat ia:_y2+xy2_dx =_x2yx2_dyRezolvare:Observamcaesteoecuat iecuvariabileseparabiley2(1 +x) dx = x2(1 y) dy 1 +xx2dx =1 yy2dy 9.1. ECUAT IIDIFERENT IALEELEMENTARE 77_1 +xx2dx =_1 yy2dy 1x+ ln x = 1y ln y +c3. Saseintegrezeecuat ia:(x + 2y)dx xdy= 0Rezolvare:Observamcaesteoecuat ieomogenadeoarece:P(x, y) = x + 2y P(tx, ty) = tx + 2ty P(tx, ty) = tP(x, y)siQ(x, y) = xQ(tx, ty) = txQ(tx, ty) = Q(x, y).Facemschimbareadevariabilay= zx sidiferent iindobt inem:dy= zdx +xdz.Inlocuind necuat iainit ialaavem:(x + 2zx)dx x(zdx +xdz) = 0 (x +zx)dx xzdx x2dz= 0 xdx = x2dz dz=dxxz= ln x + ln c yx= ln(xc) y= x ln(cx).4. Saseintegrezeecuat ia:ydx + (2xy x) dy= 0.78 LECT IA9. TEMEAPLICATIVERezolvare:Observamcaesteoecuat ieomogenadeoarece:P(x, y) = y P(tx, ty) = ty P(tx, ty) = tP(x, y)Q(x, y) = 2xy x Q(tx, ty) = 2txty tx Q(tx, ty) = t(2xy x) Q(tx, ty) = tQ(x, y).Facemschimbareadevariabilay= zx sidiferent iindobt inem:dy= zdx +xdz.Inlocuind necuat iainit ialaavem:zxdx + (2x2z x)(zdx +xdz) = 0 zxdx + 2xzdx xzdx +x2(2z 1)dz= 0 2xzdx = x2(2z 1)dz 2dxx =2z 1zdz _2dxx=_ 2z 1zdz 2 ln x =_(2 +1z)dz 2 ln x = 2z + 2z +c 2 ln x = 2yx+ 2_yx+c5. Saseintegrezeecuat ia(3x + 3y 1)dx + (x +y 1)dy= 0.Rezolvare:(3x + 3y 1)dx = (x +y 1)dy dydx= 3x + 3y 1x +y 1y,= 3x + 3y 1x +y 1.9.1. ECUAT IIDIFERENT IALEELEMENTARE 79Observamcaecuat iasepoatereducelaoecuat iecuvariabileseparabile.Facemschimbareadevariabila z= x +y . Derivandobt inem:y,+ 1 = z, 3z 1z 1+ 1 = z,3z + 1 +z 1z 1=dzdxz 1zdz= 2dx _z 1zdz=_ 2dxz ln z= 2x +c x +y ln(x +y) + 2x = c 3x +y ln(x +y) = c6. Saseintegrezeecuat ia:y,=_4x + 2y 1Rezolvare:Observamcaecuat iasepoatereducelaoecuat iecuvariabileseparabile.Facemschimbareadevariabilaz= 4x + 2y 1.. Derivandobt inem:z,= 4 + 2y,y,=z,42z,4 = 2z z,= 2z + 4 dzdx= 2z + 4 dz2z + 4= dx _dz2z + 4=_dx t =z z= t2dz= 2tdt _2tdt2t + 4= x +c _(1 42t)dt = x +c t 2 ln t = x +c z 2 lnz= x +c 80 LECT IA9. TEMEAPLICATIVE_4x + 2y 1 ln(4x + 2y 1) = x +c7. Saseintegrezeecuat ia:2(x + 4y 6)dx = (7x +y 15)dy.Rezolvare:Observamcaecuat iasepoatereducelaoecuat ieomogena.Avemsistemul:x + 4y 6 = 0, 7x +y 15 = 0.Rezolvandacestsistemseobt insolut iile:x0= 2, y0= 1.Facemtranslat ia:u = x 2 x = u + 2 dx = duv= y 1 y= v + 1 dy= dv.Cuaceastatranslat ieobt inem:2 (u + 4v) du = (7u +v) dv Amobt inutoecuat ieomogena.Facem schimbarea de variabil,a v= zu si diferent iind obt inem: dv= zdu+udz.Inlocuind necuat iainit ialaavem:2 (u + 4zu) du = (7u +zu) (zdu +udz) 2 (1 + 4z) du = (7 +z)zdu + (7 +z)udz (2 + 8z 7z z2)du = (7 +z)udz duu=7 +zz2+z + 2dz 9.1. ECUAT IIDIFERENT IALEELEMENTARE 81_duu=_7 +zz2+z + 2dzduuln u = _z + 7z2z 2dz z + 7z2z 2=z + 7(z + 1) (z 2)=Az + 1+Bz 2z + 7 = Az 2A +Bz +Bechivalentcusistemul:A +B= 1, 2A +B= 7,carearesolut iile:A = 2, B= 3 ln u =_2z + 1dz _3z 2dzln u = 2 ln(z + 1) 3 ln(z 2) + ln c u = c (z + 1)2(z 2)3u = c_vu+ 1_2_vu 2_3x 2 = c_y 1x 2+ 1_2_y 1x 2 2_3(y 2x + 3)3= c (y +x 3)28. Aat isolut iageneralaaecuat iei:(2x 4y + 6)dx + (x +y 3)dy= 0.Rezolvare:Observamcaecuat iasepoatereducelaoecuat ieomogena.Avemsistemul:2x 4y + 6 = 0, x +y 3 = 082 LECT IA9. TEMEAPLICATIVEcusolut iilex0= 1, y0= 2.Facemschimbariledevariabile:u = x 1 x = u + 1 dx = duv= y 2 y= v + 2 dy= dv.Inlocuind necuat iainit ialaobtinem:(2u + 2 4v 8 + 6)du + (u + 1 +v + 2 3)dv= 0.Ecuat iaindomogena,facemschimbareav= zu,dv= zdu +udz(2u 4zu)du + (u +zu)(zdu +udz) = 0 (2 4z)du + (1 +z)(zdu +udz) = 0 (2 4z +z +z2)du +u(1 +z)dz= 0 (z23z + 2)du = u(z + 1) duu= z + 1z23z + 2 _duu= _z + 1z23z + 2dz (1)z + 1z23z + 2=z + 1(z 1)(z 2)=Az 1+Bz 2Az 2A +Bz B= z + 1 Avemsistemul:A +B= 1, 2A B= 1cusolut iile:A = 2, B= 3.Inlocuind nrelat ia(1)obt inem:ln u =_2z 1dz _3z 2dz9.1. ECUAT IIDIFERENT IALEELEMENTARE 83ln u = 2 ln(z 1) 3 ln(z 2) + ln cln u = ln (yu 1)2(yu 2)+ ln c u = c(v u)2(v 2u)3u (v 2u)3= c(v u)2(y 2 2x + 2)3= c(y 2 x + 1)2(y 2x)3= c(y x 1)29. Aat isolut iageneralaaecuat iei:(2x + 3x2y)dx + (x33y2)dy= 0.Rezolvare:P(x, y) = 2x + 3x2y, Q(x, y) = x33y2Py= 3x2Qx= 3x2Avemoecuat iediferent ialaexacta. Atunci Fa.i. Fx= PsiFy= Q.Funct iaF= F(x, y)seobt ine nfelulurmator:F=_P(x, y)dx =_(2x + 3x2y)dx = x2+x3y +C(y)VomcalculaFysiegalamcuQ.Fy= x3+C

(y)84 LECT IA9. TEMEAPLICATIVEx3+C

(y) = x33y2C

(y) = 3y2C(y) =_ 3y2dy= y3+c F= x3y3+c x3y3= c10. Aat isolut iageneralaaecuat iei:2x(1 +_x2y)dx _x2ydy= 0,Rezolvare:P= 2x(1 +_x2y), Q = _x2yPy= 2x12x2y=xx2yQx=2x2x2y=xx2y.Avemoecuat iediferent ialaexacta. Atunci Fa.i. Fx= PsiFy= QF=_P(x, y)dx =_(2x + 2x_x2y)dx == x2+_(x2y)

(x2y)12dx == x2+23(x2y)32+C(y)Fy=23(1)32(x2y)12+C

(y) == _x2y +C

(y)9.1. ECUAT IIDIFERENT IALEELEMENTARE 85Fy= _x2y_x2y= _x2y +C

(y) C

(y) = 0 C(y) = C F(x, y) = x2+23(x2y)32+C x2+23(x2y)32= C11. Aat isolut iageneralaaecuat iei:(x2+y2+x)dx +ydy= 0.Rezolvare:P(x, y) = (x2+y2+x), Q(x, y) = yPy= 2yQx= 0Qx +PyQ=2yyundeQx=Qx, Py=Py

= 2 , ln = 2x , = e2x(x2+y2+x)e2xdx +ye2xdx = 0 P(x, y) = (x2+y2+x)e2x, Q(x, y) = ye2xPy= 2ye2xQx= 2ye2x.86 LECT IA9. TEMEAPLICATIVEAvemoecuat iediferent ialaexacta. Atunci:()Fa.i.Qx= P

siFy= QF=_Q(x, y)dy=_ye2xdy=y22 e2x+C(x) Fxy2e2x+C

(x) (x2+y2+x)e2x= y2e2x+C

(x) C

(x) = (x2+x)e2xC(x) =_(x2+x)e2xdx = (x2+x)e2x212_(2x + 1)e2xdx ==12(x2+x)e2x12(2x + 1)e2x2+12_2e2x2dx ==12(x2+x)e2x14(2x + 1)e2x+12e2x2==14e2x(2x2+ 2x 2x 1 + 1) ==12x2e2x+C F= y2e2x+12x2e2x+Cy2e2x+12x2e2x= C12. Aat isolut iageneralaaecuat iei:(x2sin2y)dx +x sin 2ydy= 0.Rezolvare:P= x2sin2y, Q = x sin 2y9.1. ECUAT IIDIFERENT IALEELEMENTARE 87Py= 2 sin y cos y= sin 2yQx= 2 sin 2yNuavemoecuat iediferent ialaexactasi ncercamsaorezolvamcuajutorulfactoruluiintegrant.Py +QxP=2 sin 2yx2sin2yDepinde sidex sidey,decinuconvine.Qx +PyQ= 2 sin 2yx sin 2y= 2xDepindenumai dexsi atunci deducemcaexistafactorintegrant=(x)caretransformaecuat iadata ntr-oecuat iediferent ialaexacta.

= 2x ln = 2 ln x + ln C ln = ln Cx2 =Cx2 PentruC= 1rezultafactorulintegrant =1x2.Inmult imecuat iainit ialacu =1x2siobt inem:(1 sin2yx2)dx +sin 2yxdy= 0P= 1 sin2yx2, Q =sin 2yx288 LECT IA9. TEMEAPLICATIVEPy= 2 sin y cos yx2= sin 2yx2Qx= sin 2yx2.Rezultaoecuat iediferent ialaexacta.()Fa.i.Fx= P

siFy= QF=_Qdy=_sin 2yxdy=1x_sin 2ydy== 1xcos 2y2+C(x) = cos 2y2xFx=cos 2y2x2+C

(x) =1 2 sin2y2x2+C

(x) ==12x2 sin2yx2+C

(x).DarFx= 1 sin2yx2.Rezulta:12x2 sin2yx2+C

(x) = 1 sin

yx2C

(x) = 1 12x2 C(x) = x +12x+C.Deci:F(x, y) = cos 2y2x+x +12x+C.cos 2y2x+x +12x= C9.2. ECUAT IILINIARESIREDUCTIBILELALINIARE 899.2 Ecuat iidiferent ialeliniare sireductibilelaliniare13. Aat isolut iageneralaaecuat iei:xy

2y= 2x4.Rezolvare:Ecuat iasepoatescriesubforma:y

2xy= 2x3,careesteoecuat ieliniara. Avemsolut iaecuat iei:y(x) = e_2xdx_C +_2x3e_2xdxdx_ == e2 ln x_C +_2x3e2 ln xdx_ == x2_C +_2x3x2dx_= x2_C +_2xdx_= x2_C +x2_.Observat ie: eln a= a.14. Aat isolut iageneralaaecuat iei:(xy

1) ln x = 2y.Rezolvare:Ecuat iaesteechivalentacu:x ln x y

ln x = 2y 90 LECT IA9. TEMEAPLICATIVEx ln x y

2y= ln x y

2x ln xy=1xy(x) = e_2x ln xdx_C +_1xe_2x ln xdxdx_I1=_2x ln xdxln x = t 1xdx = dtI1=_2tdt = 2 ln t = 2 ln ln x = ln_ln2x_I2=_1xe_2x ln xdxdx =_1xeln(ln2x)dx ==_1x 1ln2xdx =_dtt2= 1t= 1ln xy (x) = eln(ln2x)_C 1ln x_ == ln2x_C 1ln x_ = C ln2x ln x15. Aat isolut iageneralaaecuat iei:(sin2y +x cot yy

= 1.Ecuat ianuesteliniara ny:(sin2y +x cot y)dydx= 1dxdy= x cot y + sin2yx

x cot y= sin2y,9.2. ECUAT IILINIARESIREDUCTIBILELALINIARE 91rezultaecuat ieliniara nx = x(y).x(y) = e_cot ydy(C +_sin2ye_cot ydydy) == eln sin y(C +_sin2yeln sin ydy) == sin y(C +_sin2y1sin ydy) == sin y(C cos y).Decix(y) = sin y(C cos y).16. Aat isolut iageneralaaecuat iei:(2eyx)y

= 1.Rezolvare:Ecuat ianueliniara ny. Avem:(2eyx)dydx= 1 dxdy= 2eyxx

+x = 2ey.Amobt inutoecuat ieliniara nx:x(y) = e_dy(C +_2eye_dydy) == ey(C +_2eyeydy) == ey(C + 2e2y2) == ey+Cey.92 LECT IA9. TEMEAPLICATIVE17. Saseintegrezeecuat ia:y

= y cos x +y2cos x.Rezolvare:Esteoecuat ieBernoullicu = 2.Facemsubstitut ia:z= y1z= y1y= z1y

= z2z

z

(z2) = z1cos x +z2cos x/z2z

= z cos x + cos xz

+z cos x = cos xcareesteoecuat ieliniara nz. Solut iasa:z(x) = e_cos xdx(C +_ cos xe_cos xdxdx)z(x) = esin x(C +_ cos xesin xdx)z(x) = esin x(C esin x) = Cesin x1 y1= Cesin x1 y=1Cesin x118. Saseintegrezeecuat ia:xy

+y +x5y3ex= 0.Rezolvare:Esteoecuat ieBernoullicu = 3.Facemsubstitut ia:z= y1 z= y2y= z129.2. ECUAT IILINIARESIREDUCTIBILELALINIARE 93y

= 12z32z

12xz32z

+z12+x5z32ex= 0 12xz

+z= x5exz

2xz= 2x4exz(x) = e_2xdx_C +_2x4exe_2xdx_z (x) = e2 lnx_C +_2x4exe2 lnxdx_z (x) = x2_C +_2x4exx2dx_z (x) = x2_C + 2_x2exdx_z (x) = x2_C + 2x2ex_4xexdx_z (x) = x2_C + 2x2ex4xex+ 4_exdx_z (x) = x2_C + 2x2ex4xex+ 4ex_y= 1z y= 1xC + 2x2ex4xex+ 4ex19. Saseintegrezeurmatoareaecuat ieRiccatistiindcaadmitesolut iapar-ticular aindicatay

= y2sin x +2 sin xcos2x

si (x) =1cos x94 LECT IA9. TEMEAPLICATIVERezolvare:Sefacesubstitut ia:y=1cos x+1z y

=sin xcos2x z

z2 sin xcos2x z

z2= sin xcos2x 2 sin xz cos x sin xz2+2 sin xcos2xz

= 2z tan x sin x ,careesteecuat ieliniara z (x) = e_2 tan xdx_C +_sin xe_2 tan xdxdx_z (x) = e2 ln cos x_C +_sin xe2 ln cos xdx_z (x) = cos2x_C +_sin x cos2xdx_z (x) = cos2x_C cos3x3_z (x) =Ccos2x cos x3y (x) =1cos x+1Ccos2x cos x39.3 Ecuat iidiferent ialecuparametru20. Saseintegrezeecuat iaLagrange:y= x +_y

+ 1y

1_29.3. ECUAT IICUPARAMETRU 95Rezolvare:y

= p dydx= p dy= pdxy= x +_p + 1p 1_2dy= dx + 2_p + 1p 1__p + 1p 1_dp pdx = dx + 2_p + 1p 1_p 1 p 1(p 1)2dp (p + 1) dx = 4 (p + 1)(p 1)3dpi) p + 1 = 0 p = 1 y

= 1 y= x +C.Inlocuind necuat iainit iala siobt inem:x +C= x C= 0 y= x,careesteosolut iesingulara.ii)dx =4(p 1)3dpx =2(p 1)2+CAvemsolut ia:y= x +_p + 1p 1_2x =2(p 1)2+C.96 LECT IA9. TEMEAPLICATIVE21. Saseintegrezeecuat iaClairaut:y=x1 +y2+ 91 +y2y

Rezolvare:y= xy

+91 +y2y

y

= p dy= pdx y= xp +9p1 +p2 dy= pdx +____x + 91 +p2p21+p21 +p2____dp pdx = pdx +_x +9(1 +p2)3/2_dp _x +9(1 +p2)3/2_dp = 0.Avemdouaposibilitat i:i)dp = 0 p = C1y

= C1 y= C1x +C2,careestesolut iesingulara.Inlocuind necuat iainit ialaseobt ineC1siC2.ii)x +9(1 +p2)3/2= 09.4. ECUAT IIDEORDINSUPERIOR 97Avemsolut iagenerala:x =9(1 +p2)3/2y= xp +9p1 +p29.4 Ecuat iidiferent ialedeordinsuperior22. Saseintegrezeecuat ia:y

+y

2y= 0.Rezolvare:Avem o ecuat ie omogena cu coecient i constant i. Ecuat ia caracteristica atasataeste:r2+r 2 = 0. = 1 + 8 = 9r1,2= 1 32r1= 2 R, r2= 1 R.Avemradacinireale siatunciy (x) = C1er1x+C2er2xy (x) = C1e2x+C2ex.Observat ie: Ecuat iacaracteristicasescrieastfel:y(n)rn, y 1dinecuat iainit iala.23. Aat isolut iageneralaaecuat iei:y

2y

= 0.98 LECT IA9. TEMEAPLICATIVERezolvare:Avemoecuat ieomogenacucoecient iconstant i.Ecuat iacaracteristicaatasataeste:r22r = 0 r1= 0, r2= 2 y (x) = C1e2x+C224. Aat isolut iageneralaaecuat iei:4y

+ 4y

+y= 0.Rezolvare:Avemoecuat ieomogenacucoecient iconstant i.Ecuatiacaracteristicaatasataeste:4r2+ 4r + 1 = 0 r1= r2= 12 careareradacinadubla y (x) = C1e12x+C2xe12x.25. Aat isolut iageneralaaecuat iei:y

4y

+ 5y= 0.Rezolvare:Avemoecuat ieomogenacucoecient iconstant i.Ecuat iacaracteristicaatasataeste:r24r + 5 = 0 = 16 20 = 49.4. ECUAT IIDEORDINSUPERIOR 99r1,2=4 2i2r1= 2 +ir2= 2 i.Avemradacinicomplexea +bi,rezulta:y (x) = eax(C1 cos bx +C2 sin bx) ,rezulta:y (x) = e2x(C1 cos x +C2 sin x)26. Aat isolut iageneralaaecuat iei:y

+ 4y= 0.Rezolvare:Avemoecuat ieomogenacucoecient iconstant i.Ecuat iacaracteristicaatasataeste:r2+ 4 = 0 r1,2= 2iy (x) = C1 cos 2x +C2 sin 2x.27. Aat isolut iageneralaaecuat iei:y

y= 0.Rezolvare:Avemoecuat ieomogenacucoecient iconstant i.Ecuat iacaracteristicaatasataeste:r41 = 0 _r21_ _r2+ 1_ = 0 r1,2= 1, r3,4= i 100 LECT IA9. TEMEAPLICATIVEy (x) = C1ex+C2ex+C3 cos x +C4 sin x.28. Aat isolut iageneralaaecuat iei:y

+ 64y= 0.Rezolvare:Avemoecuat ieomogenacucoecient iconstant i.Ecuat iacaracteristicaatasataeste:r4+ 64 = 0 r4+ 16r2+ 64 16r2= 0 _r2+ 8_2(4r)2= 0 _r24r + 8_ _r2+ 4r + 8_ = 0r24r + 8 = 0 = 16 32 = 16 r1,2=4 4i2= 2 2ir2+ 4r + 8 = 0 = 16 32 = 16 r3,4=4 4i2= 2 2irezulta:y (x) = e2(C1 cos 2x +C2 sin 2x) +e2(C3 cos 2x +C4 sin 2x) .29. Aat isolut iageneralaaecuat iei:yV2yIV16y

+ 32y= 0.Rezolvare:Avemoecuat ieomogenacucoecient iconstant i.Ecuat iacaracteristicaatasataeste:r52r416r + 32 = 0 9.4. ECUAT IIDEORDINSUPERIOR 101r4(r 2) 16 (r 2) = 0 (r 2)_r416_ = 0 (r 2)2(r + 2)_r2+ 4_ = 0 r1= 2 radacinadublar2= 2, r3,4= 2i.Rezulta:y (x) = C1e2x+C2